V´ eges matematika 1. feladatsor megold´ asok 1. H´any olyan 10 hossz´ us´ ag´ u kockadob´as-sorozat van, melyben a) csak 1-es ´es 2-es van; Egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul d¨ onthet¨ unk a k¨ ul¨onb¨oz˝o dob´asok eredm´eny´er˝ol, ´ıgy a tanultak 10 szerint a megold´ as: 2 · 2 · · · 2 = 2 . b) h´arom 1-es ´es h´et 2-es van; 10! . Ez ugyanaz, mint a h´ arom 1-es ´es h´et 2 sorbarak´asai, erre a tanult k´eplet 3!7! c) h´arom 1-es van; El˝osz¨ or eld¨ ontj¨ uk, hol legyen a h´arom 1-es. Ehhez a 10 dob´as k¨oz¨ ul h´armat kell 10 os´eg. Ha ez eld˝olt, akkor a t¨obbi dob´asr´ol d¨ont¨ unk egyenk´ent, ezek kiv´alasztani: 3 lehet˝ 7 mindegyik´ere 5 lehet˝ os´eg¨ unk van. Mivel ezek ”f¨ uggetlen” d¨ont´esek, a megold´as: 10 3 5 . d) h´arom 1-es, k´et 3-as ´es ¨ ot 5-¨os van; 10! Hasonl´ oan a b) feladathoz, ez is egy sorbarendez´es, ´ıgy a megold´as 3!2!5! . e) van 1-es; Az a) megold´ as´ ahoz hasonl´oan l´atszik, hogy ¨osszesen 610 sorozat van. Hasonl´ oan 10 l´athat´o, hogy azon sorozatok sz´ama, melyekben nincs 1-es, 5 . A megold´ as ezek k¨ ul¨onbs´ege, azaz 610 − 510 . f ) legfeljebb h´ arom 1-es van? Ezt csak esetsz´etv´ alaszt´ assal lehet megoldani aszerint, hogy pontosan h´any 1-es van (lehet nulla, egy, kett˝ o vagy h´ arom). Ezeket k¨ ul¨on-k¨ ul¨on a c) megold´as´ahoz hasonl´ oan 10 8 10 7 10 9 lehet sz´amolni, ´ıgy a megold´ as 5 + 10 · 5 + 2 5 + 3 5 . ´ 2. H´any szelv´enyre van sz¨ uks´eg a TOTO-n, hogy biztosan 13/13 tal´alatot ´erj¨ unk el (teh´ at +1 m´erk˝ oz´es nincs)? Minden meccsr˝ ol egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul d¨onthet¨ unk 3-f´elek´eppen (1,2 vagy x), ´ıgy a megold´ as 3 · 3 · · · 3 = 313 . 3. H´anyf´elek´eppen tehet¨ unk fel egy sakkt´abl´ara 8 egyforma b´asty´at u ´gy, hogy semelyik kett˝o ne u ¨sse egym´ ast? Minden sorba pontosan egyet kell tenn¨ unk. Az els˝o sorban 8 helyre tehet¨ unk. Ha ez megvan m´ ar, akkor a m´ asodik sorban m´ar csak 7 olyan hely lesz, ahol az els˝o nem u ¨ti a m´asodikat,..., v´eg¨ ul a 8. sorban m´ar csak egyf´elek´eppen tehetj¨ uk le a b´asty´ at. Ezek ”f¨ uggetlen” d¨ ont´esek, ´ıgy a megold´as 8 · 7 · 6 · · · 1 = 8!. ´ 4. H´any szelv´enyre van sz¨ uks´eg a LOTTO-n, hogy biztosan 5 tal´alatot ´erj¨ unk el? A 90 sz´ amnak b´ armelyik 5-elem˝ u r´eszhalmaza lehet kih´ uzott sz´am¨ot¨os, ´ıgy szelv´enyre van sz¨ uks´eg.
90 5
5. A 0, 1, 2, 3, 4, 5 jegyekb˝ ol h´ any hatjegy˝ u, 5-tel oszthat´o sz´amot k´epezhet¨ unk, ha minden ´ ha t¨ jegy egyszer szerepel? Es obbsz¨or is szerepelhet? Akkor lesz egy sz´ am 5-tel oszthat´o, ha az utols´o jegye 0 vagy 5. A sz´amol´ast megnehez´ıti, hogy vigy´ aznunk kell r´ a, hogy az els˝o jegy nem lehet 0. Ezt u ´gy a legegyszer˝ ubb ´athidalni, hogy sz´etv´ alasztunk k´et esetet aszerint, hogy 0-ra v´egz˝odik-e a sz´am. a) Minden jegy csak egyszer szerepelhet. Ha 0-ra v´egz˝odik, akkor az els˝o ¨ ot helyre valahogy sorba kell tenni az 1, 2, 3, 4, 5 sz´amokat, a lehet˝os´egek sz´ama 5!. Ha nem 0-ra
v´egz˝odik, akkor 5-re kell v´egz˝ odnie. Ilyenkor az els˝o jegy 4 f´ele lehet (0 ´es 5 nem), ha ezt eld¨ont¨ott¨ uk, akkor a m´ asodik megint 4 (5 ´es az els˝o helyre v´alasztott nem), a harmadik helyre 3, a negyedikre 4, az ¨ ot¨ odikre 1 lehet˝os´eg¨ unk van, ´ıgy ¨osszesen (mivel ”f¨ uggetlen” d¨ont´eseket hoztunk) 4 · 4!-t kapunk. A megold´as a kapott k´et sz´am ¨osszege, azaz 5! + 4 · 4!. b) T¨ obbsz¨ or is szerepelhet ugyanaz a jegy. Itt nem kell esetsz´etv´alaszt´as. Az els˝ o jegyre 5, a m´ asodik, harmadik, negyedik ´es ¨ot¨odik jegyre 6, az utols´o jegyre k´et lehet˝ os´eg¨ unk 4 van, ezek f¨ uggetlenek, azaz a megold´as 5 · 6 · 2. 6. Egy 30 f˝ os oszt´ aly di´ akbizotts´agot v´alaszt: eln¨ok, titk´ar, sportfelel˝os, kult´ uros, gazdas´agi felel˝ os. H´ anyf´ele eredm´eny lehet, ha Pistinek mindenk´eppen szeretn´enek tiszts´eget adni? El˝osz¨ or Pistinek adunk tiszts´eget: 5 lehet˝os´eg, majd egyenk´ent a marad´ek tiszts´egekre v´alasztunk embereket (29, 28, 27, 26 lehet˝os´eg). ´Igy a megold´as 5 · 29 · 28 · 27 · 26. 7. H´any olyan 10-bet˝ us (nem felt´etlen¨ ul ´ertelmes) sz´o van, melyben 3 a, 5 b ´es 2 c szerepel ´es a k´et c nincs egym´ as mellett? 10! Az ¨ osszes 10 bet˝ us sz´ o a tanultak alapj´an 3!5!2! . Azon szavak sz´ama, melyekben egym´as mell´e ker¨ ul a k´et c u ´gy sz´amolhat´o, hogy ¨osszeragasztjuk a k´et c-t ´es egy bet˝ unek 9! fogjuk fel. ´Igy az ilyen szavak sz´ama 3!5!1! . A megold´as a kapott k´et sz´am k¨ ul¨onbs´ege, 10! 9! azaz 3!5!2! − 3!5!1! . 8. Egy trafikban 10 f´ele k´epeslap kaphat´o (mindegyikb˝ol korl´atlan mennyis´eg). H´anyf´elek´eppen k¨ uldhet¨ unk a) egy bar´ atunknak 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ot; A 10-f´ele lapb´ ol 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ot kell v´alasztanunk, ´ıgy 10 os´eg van. 3 lehet˝ b) ¨ot bar´ atunknak egyet-egyet; A bar´ atoknak k¨ uld¨ ott lapokr´ol egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul d¨onthet¨ unk, ´ıgy a megold´ as 105 . c) ¨ot bar´ atunknak 3 − 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ot? 10 unk a k¨ uld¨ott lapokr´ol. Ezek a d¨ ont´esek Minden bar´ atunkn´ al 3 -f´elek´eppen d¨onthet¨ 10 5 f¨ uggetlenek, ´ıgy a megold´ as 3 . 9. H´any olyan 6-jegy˝ u sz´ am van, melynek pontosan h´aromf´ele jegye van, mind p´ aratlan, mindegyikb˝ ol 2-2? El˝osz¨ or eld¨ ontj¨ uk, melyik h´ arom jegy szerepeljen az 1, 3, 5, 7, 9 k¨oz¨ ul, ez 53 lehet˝ os´eg. Ha ez m´ ar megvan, akkor a kapott aromszor k´et sz´amot ak´arhogy sorba kell tenni, ezek h´ 5 6! 6! sz´ama 2!2!2! . Teh´ at a megold´ as 3 2!2!2! . 10. H´any olyan 5-jegy˝ u sz´ am van, melyben a 15 szerepel egym´as ut´ani jegyk´ent? Ezt csak esetsz´etv´ alaszt´ assal lehet aszerint, hogy hol van benne a 15, r´ad´asul arra is figyelni kell, hogy lehet benne k´etszer is a 15, ezt nem szabad t¨obbsz¨or sz´amolnunk. Ha 15-tel kezd˝ odik, akkor ut´ana 3 jegyre 10 lehet˝os´eg¨ unk van, ´ıgy a megold´as 103 . Ha .15.. alak´ u a sz´ am, akkor az els˝ o jegy 9 f´ele, az utols´o kett˝o 10 f´ele lehet, ´ıgy ezek sz´ ama 2 9 · 10 . Ha ..15. vagy ...15 alak´ u, akkor az el˝oz˝o esethez hasonl´oan mindkett˝on´el 9 · 102 lehet˝os´eg van. Ha ezeket a sz´ amokat ¨osszeadjuk, akkor k´etszer sz´amoljuk a 15.15, 1515. ´es .1515 alak´ uakat, ´ıgy ezek sz´ am´ at le kell vonni. Az els˝o kett˝o 10 f´ele, az utos´o 9 f´ele lehet. A megold´ as teh´ at 103 + 3 · 9 · 102 − 2 · 10 − 9.
11. H´anyf´elek´eppen u ¨ltethet¨ unk le 30 embert a) egy k¨ or alak´ u, 30 szem´elyes asztalhoz; Ha meg lenn´enek sz´ amozva a sz´ekek, akkor az els˝o sz´ekre u ¨l˝o emberr˝ol 30-f´elek´eppen, majd a m´ asodikra u ¨l˝ or˝ ol 29 f´elek´eppen, ..., az utols´ora u ¨l˝or˝ol 1 f´elek´eppen d¨onthetn´enk, azaz 30! lenne a megold´ as. Mivel az asztal k¨oralak´ u, ez´ert nem kell k´et esetet k¨ ul¨onb¨ oz˝ onek venni, ha csak elforgatottjai egym´asnak. Minden egyes u ¨ltet´esnek saj´at mag´at is belesz´amolva 30 elforgatottja van, ennyiszer sz´amol teh´at a 30! egy-egy esetet. ´Igy a megold´ as 30! . 30 b) 6 k¨or alak´ u, 5 szem´elyes asztalhoz, melyek k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´ın˝ uek; lehet˝os´eg¨ unk van. Ha El˝osz¨ or eld¨ ontj¨ uk, kik u ¨ljenek az els˝ o asztal k¨or¨ ul, erre 30 5 5! os´eg van. ez megvan, akkor le¨ ultetj¨ uk ezt az 5 embert, erre az a)-hoz hasonl´oan 5 lehet˝ 25 ¨ltetj¨ uk le, 5! Ezut´an d¨ ont¨ unk a m´ asodik asztal embereir˝ol, ez 5 lehet˝os´eg, majd ezeket u 5 ´Igy a megold´ lehet˝ o s´ e g,... a s 30 5! 25 5! 20 5! 15 5! 10 5! 5 5! 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5. c) 6 egyforma, k¨ or alak´ u, 5 szem´elyes asztalhoz? A megold´ as a b) feladat megold´asa osztva 6!-sal. Ugyanis a c) egy eset´ehez a b-nek annyi esete tartozik, ah´ anyf´elek´eppen kisz´ınezhetj¨ uk az asztalokat 6 sz´ınnel. 12. H´any szigor´ uan monoton f¨ uggv´eny van az {1, 2, . . . , 10} halmazb´ol az {1, 2, . . . , 100} halmazba? A szigor´ u monotonit´ as miatt, ha eld¨ontj¨ uk, kik lesznek a k´ephalmazban, m´ ar au 100 tomatikus, hogy melyik f¨ uggv´enyr˝ol van sz´o. Teh´at a megold´as 10 . 13. Egy dobozban 10 c´edula van, melyekre rendre az 1, 2, . . . , 10 sz´amokat ´ırt´ak. Kih´ uzunk egym´as ut´ an 5 c´edul´ at u ´gy, hogy minden h´ uz´as ut´an a kih´ uzott c´edul´at visszatessz¨ uk. H´ any olyan eset van, melyben az ´ıgy kapott sz´am¨ot¨osben a sz´amok nem cs¨okken˝o sorrendben k¨ovetkeznek? Ha eld¨ ontj¨ uk, hogy az egyes sz´amok h´anyszor szerepelnek a kih´ uzottak k¨oz¨ott (pl. 3 darab 2-es, 2 darab 7-es), akkor m´ar automatikus, hogy melyik esetr˝ol van sz´o. Teh´ at 10+5−1 val´oj´aban ism´etl´eses kombin´ aci´ okat kell sz´amolnunk: . 5 14. H´anyf´elek´eppen lehet 10 jutalomk¨onyvet 5 di´aknak kiosztani, ha mindenkinek legal´ abb egyet akarunk adni ´es a) a k¨onyvek egyform´ ak; Ez anal´ og a p´enzoszt´ assal, ´ıgy a megold´as (5 embernek 10 forint): 94 . b) a k¨onyvek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ok? Ezt csak szit´ aval lehet. M´eg nem vett¨ uk. 15. H´any olyan (nem felt´etlen¨ ul ´ertelmes) tizenk´et bet˝ us sz´o k´esz´ıthet˝o az a, a, b, b, c, c, d, d, e, e, f, f bet˝ ukb˝ol, melyben szomsz´edos bet˝ uk nem lehetnek egyform´ ak? Ezt csak szit´ aval lehet. M´eg nem vett¨ uk. 16. H´any olyan 100-jegy˝ u sz´ am van, melyben nincs 0, de minden m´as sz´amjegy szerepel legal´abb egyszer? Ezt csak szit´ aval lehet. M´eg nem vett¨ uk. 17. Egy 52 lapos francia k´ artya csomagot kiosztunk 4 j´at´ekosnak.
(Legyenek a j´ at´ekosok A, B, C ´es D u ´gy, hogy A u ¨l szemben C-vel, B pedig D-vel.) a) H´any leoszt´ as van? El˝osz¨ or d¨ ont¨ unk A lapjair´ ol: 52 lehet˝os´eg. Ha ez megvan, akkor B lapjair´ ol: 39 13 13 39 26 52! lehet˝os´eg.... A megold´ as: 52 as gondolatmenettel ez is kij¨ohet: 13!13!13!13! ,a 13 13 13 . M´ kett˝o ugyanannyi. b) H´any olyan leoszt´ as van, melyben mindenkinek jut ´asz? A n´egy ´ aszt 4! f´elek´eppen oszthatjuk ki. Ha ez megvan, oan akkor az a)-hoz hasonl´ 48 36 24 adunk m´eg mindenkinek 12 lapot. A megold´as 4! 12 12 12 . c) H´any olyan leoszt´ as van, melyben minden ´asz egy k´ezbe ker¨ ult? Eld˝ osz¨ or eld¨ ontj¨ uk, kinek a kez´ebe ker¨ uljenek az ´aszok, ez 4 lehet˝os´eg. Ha ez megvan, lehet˝os´eg. Ut´ana osztunk a akkor kiosztjuk annak a lapj´ at, akin´el az ´aszok lesznek: 48 9 48 39 26 kor´abbiak szerint a t¨ obbieknek. A megold´ as teh´at 4 9 13 13 . d) H´any olyan leoszt´ as van, melyben minden figura k´et egym´assal szemben u ¨l˝o j´at´ekoshoz ker¨ ult? Eld¨ ontj¨ uk, melyik k´et egym´assal szemben ¨l˝on´el legyenek az ´aszok: 2 lehet˝os´eg. Azt´ an u 36 23 ul a marad´ek paklit (ebben osztunk azoknak, akiknek nem jut ´asz: 13 13 lehet˝os´eg. V´eg¨ most m´ ar benne vannak a figur´ ak is) kiosztjuk annak a k´ e t j´ a t´ e kosnak, akik mellett az els˝ o 36 23 26 26 d¨ont´esn´el d¨ ont¨ ott¨ unk: 13 lehet˝os´eg. A megold´as: 2 13 13 13 . e) H´any olyan leoszt´ as van, melyben minden j´at´ekosnak jut minden sz´amb´ol ´es figur´ ab´ ol? Minden sz´ amb´ ol ´es figur´ ab´ ol 4 van, ´ıgy mindenki minenb˝ol egyet kap. A 2-eseket is, 3okat is, ..., kir´ alyokat is, ´ aszokat is 4!-f´elek´eppen oszthatjuk ki, ezek egym´ast´ol f¨ uggetlenek, ´ıgy a megold´ as (4!)13 . f ) H´any olyan leoszt´ as van, melyben minden j´at´ekosnak jut legal´abb egy k˝or? Csak szit´ aval lehet, ezt m´eg nem tanultuk. 18. Bizony´ıtsuk be, hogy a Pascal h´aromsz¨og b´armely sor´aban a k¨oz´eps˝o elem(ek) a legnagyobb(ak)! n . Be´ırva a faktori´alisos k´epletet, Azt kell megn´ezni, hogy mikor igaz, hogy nk < k+1 n−1 majd egyszer˝ us´ıtve ez arra vezet, hogy k < 2 . Ez pont azt jelenti, hogy a k¨ozepe el˝ ott n˝o, ut´ana cs¨ okken minden sor. K¨ oz´eps˝ o onnyen l´athat´o, hogy p´aratlan n eset´en a k´et k¨ n n = (n+1)/2 (ld. k¨ovetkez˝o feladat). elem egyenl˝ o: (n−1)/2 19. Bizony´ ıtsuk abbi ¨ osszef¨ ugg´eseket! be az al´ n n a) k = n−k ; Ak´ar a k´epletb˝ ol, ak´ ar onnan l´athat´o, hogy a k-elem˝ u ´es (n − k)-elem˝ u r´eszhalmazok p´arba´all´ıthat´ a komplementer legyen a p´arja. ok: mindenkinek n b) nk + k+1 = n+1 . k+1 A faktori´ alisos k´epletet be´ırva ´es kicsit sz´amolva kij¨on. 20. Mutassuk meg, hogy nn + n+1 + · · · + n+k = n+k+1 n n n+1 . Rajzoljuk le, mit jelent ez a Pascal h´ aromsz¨ ogben! k-ra vonatkoz´ o.k = 1-re onny˝ rizni. k-ig megvan, akkor k + 1-re: n+1 o indukci´ k¨ u ellen˝on+k Ha n+k+1 n n+k+1 n n+1 n+k+1 n+k+1 = n + n +· · ·+ n + = n+1 + = n + n +· · ·+ n n n n+k+2 n+1 . 21. Hozzuk z´ art alakra a k¨ ovetkez˝o kifejez´est: 0 · 1 n1 + 1 · 2 n2 + · · · + (n − 1)n nn .
Ez azt sz´ amolja, hogy h´ anyf´elek´eppen v´alaszthat egy n tag´ u t´arsas´ag ak´arh´ any (de legal´abb 2) tag´ u bizotts´ agot ´es azon bel¨ ul eln¨ok¨ot ´es titk´art (esetsz´etv´alaszt´as a bizotts´ ag m´erete szerint). A megold´ as (m´as logik´aval sz´amolva ugyanez): n(n − 1)2n−2 . 22. Igazoljuk o¨ osszef¨ ugg´eseket! ovetkez˝ a k¨ a) n0 + n2 + n4 + · · · = 2n−1 ; Mindk´ am´ u r´eszhalmazait sz´amolja. elemsz´ aros halmaz np´ megy et oldal n+m m n m n b) 0 k + 1 k−1 + · · · + k 0 = k ; Mindk´et oldal a k¨ ovetkez˝ o feladat megold´as´at adja: H´anyf´elek´eppen v´alaszthatunk n f´erfi ´es m n˝ o k¨ oz¨ ul k embert? A jobb oldal ezt k¨ozvetlen¨ ul sz´amolja, hiszen teljesen mindegy, ki f´erfi ´es ki n˝ o. A bal oldal esetsz´etv´alaszt´ast csin´al aszerint, hogy h´any f´erfit ´es h´any n˝ot v´ alasztunk. 2 2 2 ; c) n0 + n1 + · · · + nn = 2n n n n n oz˝ onek + · · · + nn n0 = 2n Ez ´ atlak´ıthat´ o ´ıgy: 0 n + n1 n−1 n . Ez viszont az el˝ speci´alis esete: o k¨oz¨ ul n embert v´alasztunk. + n n˝ n f´enrfi n n n n d) 0 1 + 1 2 + 2 4 + · · · + n 2 = 3n . A binomi´ alis t´etelt fel´ırva (1 + 2)n -re pont ez j¨on ki. 23. A koordin´ atarendszerben adott 5 olyan pont, melyek koordin´at´ai eg´eszek (ezeket szok´as r´ acspontoknak h´ıvni). Mutassuk meg, hogy van k¨ozt¨ uk kett˝o, melyek ´ altal meghat´ arozott szakasz felez˝ opontja is r´acspont! Egy r´ acspont k´et koordin´ at´aja 4 f´ele lehet parit´as szempontj´ab´ol: (ps,ps), (ps,ptln), (ptln,ps), (ptln,ptln). Skatulya elv szerint lesz k´et egyforma pont, jel¨olje ezeket (a, b) ´es (c, d). Ekkor a felez´espont is r´ acspont lesz, mert a parit´asok egyez´ese miatt a+c es b+d 2 ´ 2 is eg´esz. 24. Melyik az a legkisebb k, melyre igaz a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as: k n´egyzetsz´am k¨oz¨ott mindig van kett˝ o, melyek k¨ ul¨ onbs´ege oszthat´o 8-cal? Egy n´egyzetsz´ am 8-cal osztva h´aromf´ele marad´ekot adhat. ´Igy k = 3 m´eg kev´es: 1, 4 ´es 64 j´o ellenp´elda. k = 4 viszont m´ar el´eg, hiszen skatulya elv miatt n´egy sz´am k¨ ozt van ket˝o melyek oszt´ asi marad´eka ugyanaz. 25. Mutassuk meg, hogy F0 + F1 + · · · + Fn = Fn+2 − 1, ahol Fn jel¨oli az n. Fibonacci sz´amot! 26. Tegy¨ uk fel, hogy n l´epcs˝ ofokot akarunk megm´aszni u ´gy, hogy egyszerre egy vagy k´et fokot l´ephet¨ unk. H´ any lehet˝ os´eg¨ unk van? 27. Oldjuk meg az al´ abbi rekurzi´okat: a) a1 = 3, a2 = 8, n ≥ 3-ra pedig an = 2an−1 + 2an−2 ; b) a1 = 1, a2 = 3, n ≥ 3-ra pedig an = 10an−1 − 25an−2 ! 28. H´any n bet˝ us sz´ o k´esz´ıthet˝o az a, b ´es c bet˝ ukb˝ol, ha a) k´et b nem lehet egym´ as mellett; b) b ut´ an k¨ ozvetlen¨ ul nem j¨ ohet c? 29. Oldjuk meg az al´ abbi rekurzi´ot: a1 = 1, a2 = 3, n ≥ 3-ra pedig an = 2an−1 − 3an−2 !
30. Adjunk meg olyan rekurzi´ ot, melynek megold´asa an = 5 · 2n − 3 · 5n ! 31. H´anyf´elek´eppen juthatunk el az orig´ob´ol a (18, 6) pontba, ha minden l´ep´esben jobbra ´ a (18, 9) pontba? Es ´ a (6, 8) pontba? fel vagy jobbra le ugorhatunk? Es 32. H´anyf´ele sorrendben mehet be 14 fi´ u ´es 23 l´any a t´ancterembe, ha minden pillanatban legal´abb annyi l´ anynak kell bent lennie, mint fi´ unak ´es a fi´ uk, illetve l´anyok egym´ as k¨ ozti sorrendje nem sz´ am´ıt? 33. H´any olyan 2n + 1 hossz´ us´ ag´ u −1/1 sorozat van, melyben b´armely kezd˝oszelet ¨ osszege pozit´ıv (azaz a1 > 0, a1 + a2 > 0,...,a1 + a2 + ... + a2n+1 > 0) ´es a sz´amok ¨osszege 1? 34. Egy kerek asztal k¨ or¨ ul 2n ember u ¨l. H´anyf´elek´eppen alkothatnak n p´art u ´gy, hogy az egy p´ arban l´ev˝ ok kezet foghassanak an´elk¨ ul, hogy egy m´asik kezet fog´o p´ar keze alatt vagy felett kellene ´ atny´ ulniuk? 35. Egy barlang´ aszcsapatban 23 f´erfi ´es 15 n˝o van. Olyan sorrendben szeretn´enek egy barlang bej´ arat´ an bem´ aszni, hogy minden pillanatban legal´abb annyi f´erfi maradjon kint, mint n˝o. H´ anyf´elek´eppen tehetik ezt meg? 36.* Sz´ az ember fej´ere egy-egy fekete vagy feh´er sapk´at adunk. Semmilyen jelz´est nem adhatnak egym´ asnak, de mindenki k¨or¨ uln´ezhet, teh´at a saj´atj´an k´ıv¨ ul mindenkir˝ ol tudja, hogy milyen sz´ın˝ u sapka van a fej´en. Ezek ut´an s´ıpsz´ora mindenkinek fel kell emelnie a bal vagy jobb kez´et. El tudj´ ak-e ´erni, hogy pont a feket´ek emelj´ek fel a jobb kez¨ uket ´es a feh´erek a balt vagy esetleg ford´ıtva, a feh´erek a jobbat, a feket´ek a balt? (Miel˝ott a sapk´ at kapj´ak, ¨ osszebesz´elhetnek.)
