MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 1I. PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
1 1 .
F E L A D A T S O R
11. FELADATSOR I. rész
Felhasználható idő: 45 perc 11.1.) Melyik állítás igaz az alábbi egyenlet megoldásával kapcsolatban? a) x = 0 , b) végtelen sok megoldása van, c) nincs megoldása
6x − 1 = 2x + 4 3
2 pont
11.2.) Ha az A halmaznak 15 eleme van, a B halmaznak 9 eleme van, az A ∩ B halmaz 6 elemű, akkor hány eleme van az A − B halmaznak?
2 pont
x
1 ⎛1⎞ 11.3.) Mely valós számokra igaz? ⎜ ⎟ ≤ 49 ⎝7⎠ 3 pont
11.4.) Az ABCD négyzet középpontja O. Mekkora a négyzet területe, ha AO = 8 cm ?
2 pont
11.5.) Egy konvex sokszög valamely csúcsából 5 átló húzható. Mekkora e sokszög belső szögeinek összege?
3 pont
DFT-BUDAPEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
99
1 1 .
F E L A D A T S O R
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
11.6.) Egy üzletben egy liter tej ára 140 Ft, egy kg kenyéré pedig 120 Ft. Egy napon a tej árát 10%-kal növelték, a kenyérét pedig 15%-kal csökkentették e boltban. Ezen a napon egy liter tejért és egy kg kenyérért többet vagy kevesebbet fizetünk, mint az előző napon?
3 pont
11.7.) Egy urnába elhelyeztük az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyeket, majd – visszatevés nélkül – kihúztunk egymás után 2-t és leírtuk sorban egymás mellé a kihúzott számjegyeket. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a leírt szám prímszám?
3 pont
11.8.) Az ábrán két edény és két grafikon látható. A grafikonok az egyes edényekben levő folyadékmennyiséget szemléltetik a folyadék magasságának függvényében. Melyik grafikon melyik edényhez tartozik? Válaszát indokolja!
2 pont
11.9.) Egy téglalap alakú konyha padlózatát szeretnénk járólappal lefedni. A téglalap oldalai: 2,8 m és 3,6 m. Egy járólap méretei: 10 cm x 20 cm. Hány darab lapot kell vennünk, ha selejtre, törésre 10%-t kell számítani?
3 pont 100
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
INTEZÍV
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍTÕ
TANFOLYAMOK
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
1 1 .
F E L A D A T S O R
11.10.) Ábrázolja a valós számok halmazán értelmezett f ( x) = x − 3 − 1 függvényt!
3 pont
11.11.) Az ABC derékszögű háromszög befogói: AC = 18, BC = 8 . Az A csúcsból induló szögfelező talppontja E. Milyen távol van az E pont a C csúcstól?
4 pont
II/A rész Felhasználható idő: 135 perc 11.12.) Egy számtani sorozat nyolcadik eleme 45, a tizenegyedik eleme pedig a második elemének hétszerese. a) Melyik ez a számtani sorozat? 6 pont
b) Hány prímszám van ebben a számtani sorozatban?
3 pont
c) Adja meg a sorozatnak három olyan elemét, melyek egy mértani sorozat egymást követő elemei!
3 pont
DFT-BUDAPEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
101
1 1 .
F E L A D A T S O R
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
11.13.) Az alábbi táblázatban egy tavaly érettségizett 26 fős osztálynak a matematika érettségin az egyes feladatokra kapott összpontszámát láthatjuk. Az első sorban a feladatok sorszáma mellett a kérdéses feladatra kapható maximális pontszámot tüntettük fel, a másodikban pedig a 26 tanuló által a kérdéses feladatra kapott pontok számát 1. (9 pont) 192
2. (9 pont) 180
3. (14 pont) 162
4. (16 pont) 232
5. (10 pont) 238
6. (10 pont) 210
7. (12 pont) 224
a) Hány %-os az osztály teljesítménye? 6 pont
b) Ábrázolja egy oszlopdiagramon az osztály egyes feladatokban elért teljesítményét! 4 pont
c) Melyik feladatnál érte el az osztály a legjobb, ill. a leggyengébb teljesítményt? 2 pont
11.14.) Egy téglalap alakú teniszpályát egy olyan lámpával világítanak meg, mely a téglalap átlóinak metszéspontja fölött van. A lámpa fénykúpjának nyílásszöge 120o. A téglalap oldalai 24 m és 11 m.
a) Legalább milyen magasan kell elhelyezni a lámpát, hogy az a pálya minden pontját megvilágítsa? 8 pont 102
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
INTEZÍV
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍTÕ
TANFOLYAMOK
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
1 1 .
F E L A D A T S O R
b) A pályát 2 cm vastagon beborították egy speciális tömör salakkal. Mennyibe került ez, ha e salak ára dm3-ként 86 Ft?
4 pont
II/B rész Az alábbi három feladat közül tetszés szerint választott kettőt kell csak megoldani 11.15.) Egy téglatest élei egymást követő pozitív egész számok. A térfogat mértéke a legrövidebb oldal mértékének 20-szorosa. a) Mekkora a téglatest testátlója? 7 pont
b) Számítsa ki a leghosszabb él végpontjaiból induló testátlók hajlásszögét!
5 pont
c) A téglatestet pirosra festettük, majd lapjaival párhuzamos síkokkal egységnyi élű kis kockákra vágtuk szét. Hány db olyan kis kocka keletkezett, melynek pontosan két lapja piros?
5 pont
11.16.) Egy térképhez rögzített koordinátarendszerben az A falu koordinátái A(2; 6), a B falu koordinátái B(8; 4). Az országút egyenlete y = 2 . (Az egység 1 km.) a) Hol helyezzék el az országúton az M buszmegállót, hogy az az A falutól és a B falutól egyenlő távolságra legyen?
8 pont
DFT-BUDAPEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
103
1 1 .
F E L A D A T S O R
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
b) A két falu önkormányzata úgy döntött, hogy építenek egy-egy bekötőutat a buszmegállótól az A, ill. a B faluba. 1 km út megépítése 8,2 millió Ft, a két falunak pedig összesen 52 millió Ft-ja van erre a célra. Mennyi állami támogatást kell kérniük, hogy az utakat megépíthessék?
5 pont
c) András az A faluban, édesanyja pedig B-ben lakik. András megígérte édesanyjának, hogy átmegy hozzá és kiviszi kocsival a megállóba 10 óra 30-kor érkező buszhoz. Legkésőbb mikor kell elindulnia A-ból kocsival, ha átlagosan 60 km/h sebességgel halad és édesanyjának felvétele két percet vesz igénybe?
4 pont
11.17.) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 2y 1 1 , sin x + sin y = 0 + = 1 x 1+ x 1+ x
17 pont
104
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
INTEZÍV
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍTÕ
TANFOLYAMOK
MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ
DFT-BUDAPEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
113
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
M E G O L D Á S I
Ú T M U T A T Ó
–
1 1 .
F E L A D A T S O R
11. FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 11.1.) Az egyenletből: 6 x − 1 = 6 x + 12 ; az egyenletnek nincs megoldása, tehát a c) állítás igaz. 11.2.) A feltételekből az alábbi halmazábra következik:
Így az A ∩ B halmaznak 9 eleme van. 11.3.) 7 − x ≤ 7 −2 , azaz
− x ≤ −2 ,
ahonnan
x ≥ 2.
11.4.) Készítsünk ábrát! Ha AO = 8 cm, akkor a négyzet oldala: AB = 8 2 cm. Ekkor a T terület
11.5.) Ha egy csúcsból 5 átló húzható, akkor a sokszögnek 8 oldala van, így belső szögeinek összege: (8 − 2) ⋅ 180° = 1080° . 11.6.) A kérdéses napon a tejért és a kenyérért fizetendő összeg: 1,1 ⋅ 140 + 0,85 ⋅ 120 = 154 + 102 = 256 Ft. Ez kevesebb, mint az előző napon fizetendő 140 + 120 = 260 Ft. 11.7.) Az adott módon képezhető valamennyi kétjegyű szám: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54. 6 Közülük a prímeket aláhúztuk. Így a keresett valószínűség: = 0,3 . 20 11.8.) Az 1. grafikon az a), a 2. grafikon a b) edényhez tartozik. Ugyanis a henger esetében a térfogat növekedése a magassággal egyenesen arányos, a gömb esetében viszont nem.
DFT-BUDAPEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
157
M E G O L D Á S I
Ú T M U T A T Ó
–
1 1 .
F E L A D A T S O R
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
11.9.) A területet 14 ⋅ 36 db csempével lehet lefedni. Így a szükséges csempék száma: 14 ⋅ 36 ⋅ 1,1 = 554,4 ≈ 555 db csempe. 11.10.) Az f ( x) = x − 3 − 1 függvény grafikonja:
11.11.) Az ábra jelöléseivel:
tgα =
8 EC α , ahonnan ≈ 12° . Ezzel tg12° = , ahonnan EC ≈ 18 ⋅ 0,2125 ≈ 3,82 . 18 18 2
II/A rész 11.12.) a) a8 = 45 és a11 = 7a 2 . Részletesen kiírva: a1 + 7 d = 45 és a1 + 10d = 7 a1 + 7 d . A második egyenlőségből: 3d = 6a1 , ahonnan d = 2a1 . Ezt az első egyenlőségbe helyettesítve: a1 + 14a1 = 45 , azaz a1 = 3 és ezzel d = 6 . Tehát a számtani sorozat első eleme 3, differenciája 6. b) Egyetlen prímszám van a számtani sorozatban, az első elem. Ugyanis a sorozat n-edik tagja (n>1): a n = 3 + (n − 1) ⋅ 6 , ahonnan látszik, hogy a sorozat minden további tagja osztható 3-mal. c) Írjuk fel a sorozat első néhány elemét: 3, 9, 15, 21, 27, 33, … A sorozat első, a második és az ötödik tagja egy q = 3 differenciájú mértani sorozat egymást követő tagjai. (Természetesen nem ez az egyedüli megoldás.) 11.13.) a) A maximálisan elérhető pontszám: 26(9 + 9 + 14 + 16 + 10 + 10 + 12) = 2080 . Az osztály által elért összpontszám: 192 + 180 + 162 + 232 + 238 + 210 + 224 = 1438 . 1438 ⋅ 100 ≈ 69,13% Így az osztály teljesítménye: 2080
158
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
INTEZÍV
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍTÕ
TANFOLYAMOK
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
M E G O L D Á S I
Ú T M U T A T Ó
–
1 1 .
F E L A D A T S O R
b)
c) Az elérhető és elért pontszám közötti különbség a legkisebb az 5., a legnagyobb a 3. feladatnál. Így a legjobb teljesítményt az 5., a leggyengébb teljesítményt a 3. feladatnál érték el az osztály tanulói. 11.14.) a) A pálya két legtávolabbi pontja a téglalap valamelyik átlójának két végpontja. Ezt dvel jelölve: d = 24 2 + 112 = 697 Ezek után az alábbi rajzzal modellezhetjük a kérdést:
697 697 Innen tg 60° = 2 , vagyis h = ≈ 7,62 méter. h 2 3 Tehát a lámpát legalább 7,62 méter magasan kell elhelyezni, hogy a pálya minden pontját megvilágítsa. b) A salakozáshoz felhasznált salak térfogata: 240 ⋅ 110 ⋅ 0,2 = 5280 dm2. Ennek költsége az adatok alapján: 5280 ⋅ 86 = 454080 Ft. II/B rész 11.15.) Legyen a középső oldal mértéke x ( x > 1) . Ekkor a másik két oldal mértéke x − 1 és x + 1 . a) A feltételek szerint ( x − 1) x( x + 1) = 20( x − 1) , azaz x 2 + x − 20 = 0 ,
DFT-BUDAPEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
159
M E G O L D Á S I
Ú T M U T A T Ó
–
1 1 .
F E L A D A T S O R
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
− 1 ± 81 − 1 ± 9 = , x1 = −5 , x2 = 4 . 2 2 A negatív gyök nyilván érdektelen számunkra, így a téglatest oldalai: 3, 4, és 5. x1, 2 =
A testátló hossza: 3 2 + 4 2 + 5 2 = 50 ≈ 7,07 . b) Az ábra ABK egyenlő szárú háromszögének a szárszögét kell meghatároznunk
α sin = 2
5 2 = 5 = 1 . 50 2 50 2
α = 45° , azaz α = 90° . Tehát a leghosszabb él két végpontjából induló testátló merőleges 2 egymásra. c) Azok a kis kockák, melyeknek két lapja piros, az éleken vannak, leszámítva a csúcsokban levőket. Így az ilyen kis kockák száma: 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 = 24 . Innen
11.16.) a) Ábrázoljuk az adatokat egy koordinátarendszerben! Ha az M pont ugyanolyan távol van A-tól, mint B-től, akkor M-nek rajta kell lennie az AB szakasz felezőmerőlegesén!
Az AB szakasz F felezőpontjának a koordinátái: F(5; 5). Az AB egyenes egy irányvektora: vAB(6; 2), azaz v(3; -1). Ez a vektor a felezőmerőlegesnek egy normálvektora, így a felezőmerőleges egyenlete: 3x − y = 10 . Mivel y = 2 , ezért x = 4 . Tehát az M pont koordinátái: M(4; 2). 160
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
INTEZÍV
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍTÕ
TANFOLYAMOK
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
M E G O L D Á S I
Ú T M U T A T Ó
–
1 2 .
F E L A D A T S O R
b) A bekötőutak hossza: 2 ⋅ MA = 2 ⋅ 2 2 + 4 2 = 2 ⋅ 20 km. Így az elkészítésükhöz szükséges pénzösszeg: 2 20 ⋅ 8,2 ≈ 73,343 millió Ft. Figyelembe véve a rendelkezésre álló összeget, a szükséges állami támogatás összege: 73,343 − 52 = 21,343 millió Ft. c) Az AB távolság: AB = 6 2 + 2 2 = 40 km. Így Andrásnak összesen meg kell tennie
40 + 20 ≈ 10,7967 , azaz 10,8 km-t. Mivel 60 km/h a sebessége, így 1 km-t 1 perc alatt tesz meg, tehát az autózáshoz szükséges idő: 10,7967 perc. Édesanyja felvétele 2 perc, így, ha el akarja érni a kérdéses autóbuszt, legkésőbb 10 után17,2 perccel el kell indulnia. 11.17.) Az egyenletrendszer első egyenletéből x ≠ 0 és x ≠ −1 . Bővítsük az első egyenlet bal oldalának második törtjét x-szel: 1 x 2y 1+ x 2y , azaz , ahonnan x = 2 y . + = = 1+ x x +1 x x +1 x Ezt a második egyenletbe helyettesítve: sin 2 y + sin y = 0 , azaz 2 sin y cos y + sin y = 0 , sin y (2 cos y + 1) = 0 . 1 Innen vagy sin y = 0 vagy 2 cos y + 1 = 0 , azaz cos y = − . 2 Ha sin y = 0 , akkor y = kπ és x = 2kπ (k ∈ Z , k ≠ 0) . 1 2π 4π Ha cos y = − , akkor y = ± + 2nπ , x = ± + 2nπ (n ∈ Z ) . 2 3 3
12. FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 12.1.) A tanulók 36%-a fiú, tehát az iskolába járó diákok száma: 12.2.) a) Igaz,
135 ⋅ 100 = 375 . 36
b) hamis
12.3.) P-nél derékszög van. Ha PBA∠ = 24° , akkor PAB∠ = 90° − 24° = 66° .
x 2 − xy x( x − y ) x = =− . 12.4.) 2 y y − xy y ( y − x) 12.5.) A vízállás kb. szeptember közepétől november végéig volt legalább 500 cm fölött, így ebben az időszakban legalább I. fokú árvízvédelmi készültség volt a községben.
DFT-BUDAPEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
161
