Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
IV.3. GONDOLJ, GONDOLJ... A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Ezek felhasználása szöveges feladatok megoldásánál. Előzmények Egyenletek, egyszerűbb algebrai törtes egyenletek megoldása, algebrai azonosságok használata. Cél Algebrai készségek fejlesztése. Szöveges feladatokra matematikai (algebrai) modell felállítása készségének fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + + +
Felhasználási útmutató Tanórai feldolgozásra javasolt feladatsor. Az 1–4. feladatok kifejezetten alkalmasak egyéni munkára. Az 1. feladatot oldjuk meg visszafelé következtetéssel és egyenlet felírásával is. Szembesítsük a tanulókat azzal, hogy a 2. feladatnál a visszafelé következtetés már nem működik, mivel a gondolt számot ismét felhasználjuk a műveletek közben. A 3. feladat b) része izgalmas kihívás lehet az ügyesebbeknek, egyébként, ha túl nehéznek érezzük, ezt átugorhatjuk. A 4. feladat az előző feladatok gondolatmenetét megfordítva adott egyenlethez kéri a kérdés megfogalmazását. A feladatsor megoldását kicsit érdekesebbé teszi, ha itt nemcsak egy „Gondoltam egy számot...” típusú feladat kitalálását kérjük az egyenlethez, hanem egy normál szövegezésű feladatét is. A gyerekeket lehet versenyeztetni, ki készít szellemesebb szituációt, illetve szöveget. Ahol természetesen adódik, érdemes szót ejteni az ellenőrzésről. Az itteni feladatoknál ez lényegében annak a megállapítása, hogy minden átfogalmazás (szövegből egyenletre) és az egyenletrendezés ekvivalens átalakítás volt. A megoldások keresése folyamán nyomon követhető a diákok szövegértelmezési készsége. Az 1. feladatban alkalmazható a visszafelé gondolkodás módszere, ezért a címet tréfásan visszafelé írva adtuk meg. A 2. feladat címe pedig egy betűrejtvény, megoldása: „1-en let”. IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.3. Gondolj, gondolj!
1.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
GONDOLJ, GONDOLJ... Feladat sor Ű Y N N ÖK , MA JD SEP EZ ÖK
1. a) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 2-vel, majd elvettem belőle 3-at, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? b) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 2-vel, majd elvettem belőle 3-at, majd megint megszoroztam 2-vel, és megint elvettem belőle 3-at, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? LET
1 2.
Gondoltam egy nullától különböző számra. Megszoroztam 2-vel, majd elvettem belőle 3-at, majd megint megszoroztam 2-vel, és megint elvettem belőle 3-at, majd a kapott eredményt elosztottam a gondolt számmal, végül megszoroztam 10-zel, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam?
G ON D OL AT OL VA SÓ 3. a) Válassz egy kétjegyű pozitív egész számot! Adj hozzá 1-et, majd vond le belőle a gondolt szám számjegyeinek összegét! A kapott eredményt szorozd meg 4-gyel, majd vonj le belőle 4-et! Az így kapott számot oszd el a gondolt szám első számjegyével, és vonj ki belőle még 1-et! 35-öt kaptál. Honnan tudtam? b) Próbálj egy hasonló trükkös feladatot magad is kitalálni!
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.3. Gondolj, gondolj!
2.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
TIÉD
A PÁ L YA !
4. a) Fogalmazzunk meg egy „Gondoltam egy számot....” kezdetű feladatot, mely az alábbi egyenlet segítségével oldható meg! Oldjuk is meg a feladatot!
5 ( x 6) 35 b) Fogalmazzunk meg egy „Gondoltam egy számot ...” kezdetű feladatot, mely az alábbi egyenlet segítségével oldható meg! Oldjuk is meg a feladatot! 5 ( x 6) 32 35 x 1
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.3. Gondolj, gondolj!
3.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) Legyen a gondolt szám x. Ekkor a következő egyenlet írható fel: 2x – 3 = 35. Az egyenlet megoldása x = 19, ez volt a gondolt szám. b) Legyen a gondolt szám x. Ekkor a következő egyenlet írható fel: (2x – 3) 2 – 3 = 35. Az egyenlet megoldása x = 11, ez volt a gondolt szám. Megjegyzés: Az első két feladat megoldható visszafelé gondolkodva is: pl. 35 38 19 22 11. Ez a gondolatmenet azonban a következő feladattól kezdve már nem működik.
2.
Legyen a gondolt szám x (x 0). Ekkor a következő egyenlet írható fel: (2 x 3) 2 3 10 35 . x
Átalakítva (2x – 3) 2 – 3 = 3,5x, innen 0,5x = 9. Az egyenlet megoldása x = 18, ez volt a gondolt szám.
3. a) A gondolt szám tízes számrendszerbeli alakja legyen ab , ekkor ennek értéke 10a + b, számjegyeinek összege pedig a + b, első számjegye a (a > 0). A feladatban leírt műveleteket felírva:
(10a b) 1 ( a b) 4 4 1 (9a 1) 4 4 1 36a 4 4 1 36a 1 36 1 35 . a
a
a
a
Látható, hogy a gondolt számtól függetlenül mindig 35 a műveletsor eredménye. b) Itt beszéljük meg a trükk működési elvét, és találjunk ki rá egyszerűbb példákat! A trükk lényege: ha a számjegyek összegét kivonjuk a számból, akkor az utolsó számjegy eltűnik, bármi is volt. Utána, ha az elsőt is „eltüntetjük”, akkor a kiindulási számtól függetlenül ugyanazt a számot kapjuk. Ez a gondolatmenet az előbbiekben felírt algebrai alakból is látszik.
4. a) Gondoltam egy számot, kivontam belőle 6-ot, majd megszoroztam 5-tel, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? Az egyenlet megoldása x = 13, ez volt a gondolt szám.
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.3. Gondolj, gondolj!
4.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
b) Gondoltam egy számot, kivontam belőle 6-ot, majd megszoroztam 5-tel. A kapott eredményt elosztottam a gondolt számnál eggyel kisebb számmal, majd hozzáadtam 32-t, így 35-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? 5 ( x 6) 3 x 1
A nevezővel beszorozva (x 1):
5 (x – 6) = 3 (x – 1), ahonnan rendezéssel 2x = 27.
Az egyenlet megoldása x = 13,5, ez volt a gondolt szám.
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.3. Gondolj, gondolj!
5.oldal/5
