9
IV PEMBAHASAN jika λ1 < 0 dan λ2 > 0, maka titik bersifat ( ) mengakibatkan sadel. Nilai
4.1 Model SIR 4.1.1 Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( an ) sehingga dari persamaan (2) diperoleh : - si +
– s=0
(9)
si –( + )i = 0 didapat titik tetap yaitu E0 = (1, 0) dan (
E1 = (
)
)=(
(
)
)
(
Oleh karena itu, titik akan stabil asimptotik untuk . Namun, jika nilai maka titik akan tidak stabil. Dengan nilai dan diperoleh maka dapat disimpulkan bahwa titik E0 = (1, 0) tidak stabil asimptotik. Kestabilan sistem di titik tetap E1 Tititk tetap E1= (
Dengan menggunkan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan , , dan diperoleh nilai titik tetap yaitu E0 = (1, 0) dan E1= (0.5, 0.4). E0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E 1 merupakan titik tetap endemik. 4.1.2 Konstruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR Dari Persamaan (2) akan diperoleh matriks jacobi sebagai berikut;
[
]
[
(
)
)
(
)
)
disubstitusikan
pada
persamaan (10), maka akan diperoleh matriks jacobinya sebagai berikut ini; (
) (
)
[
]
Untuk memperoleh nilai eigen dari matriks jacobi di atas maka |J – λI| = 0, sehingga diperoleh nilai eigen yaitu;
] λ=
(
)
(
+
)
(10) Jika nilai 4.1.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR Titik tetap E0 = (1, 0) disubstitusikan ke dalam persamaan (10) sehingga akan diperoleh sebagai berikut; [
] ( ) Untuk memperoleh nilai eigen dari matrik jacobi di atas maka |J – λI| = 0, sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu; ( ) (-μ-λ) ( )=0 Didapat nilai eigen sebagai berikut; λ1 = -μ < 0 λ2 =
(
)
untuk dan λj < 0 (j =1, 2), nilai λ1 = -μ < ( )< 0. Jika λ1 = -μ 0 dan λ2 < 0 maka < 0 dan λ2 < 0 maka titik bersifat stabil dan
(
maka titik E1
)
bersifat stabil asimtotik, jika nilai maka E1 bersifat sadel. Nilai ( ) maka (
(
)
)
(
titik )
E1
adalah
= titik
stabil asimptotik. 4.1.4 Bilangan Reproduksi untuk model SIR R0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut; (
)
persamaan di atas setelah diperoleh sebagai berikut; ( )
dilinearisasi (11)
10
( ( R0 = (
))
( ) (
)
)
4.1.5 Orbit dan Kestabilan Sistem Model SIR Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan Software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti di bawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut: = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4 dan ξ = 0.03. Hal ini berimplikasi . Titik tetap yang ( ) yang bersifat tak diperoleh adalah ( ) yang bersifat stabil. stabil dan Orbit disajikan sebagai berikut.
Gambar 6. Dinamika populasi S, I, dan R menurut waktu (tahun) Gambar 6 merupakan bidang solusi untuk S, I dan R yang menuju titik tetap stabil bila dimasukkan nilai awal S = 0.8, I = 0.2 dan R = 0 sehingga menuju titik E1 (s, i) = (0.54, 0.43). Seiring berjalannya waktu proporsi kelompok individu S akan semakin berkurang. Hal ini terjadi karena kelompok individu S terinfeksi oleh penyakit campak (measles) dan memasuki kelompok individu I. Pada waktu tertentu proporsi individu pada kelompok S tidak mengalami perubahan dan mencapai kondisi setimbang. Pada proporsi kelompok individu I mengalami kenaikkan dari keadaan awal, Kenaikkan jumlah individu I terjadi karena adanya tambahan individu dari individu S yang terinfeksi virus. Proporsi individu R mengalami kenaikkan, hal ini disebabkan oleh adanya kelompok individu I yang sembuh dari penyakit sehingga akan memasuki kelompok individu R. 4.2 Model SIR vaksinasi 4.2.1 Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( an ), sehingga dari persamaan (4) diperoleh : (
Gambar 5. Orbit kstabilan model SIR dibidang SI Pada gambar 5 di atas terlihat bahwa orbitnya menuju titik E1. Oleh karena itu, titik tetap endemik bersifat stabil asimptotik. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada individu I yang dapat menyebarluaskan penyakit campak (measles) sehingga kelompok individu S terinfeksi penyakit.
) -
–μ s = 0 )i = 0
si –(
(12)
Di dapat nilai titik tetap yaitu E0(s, i) = ( ) , 0) dan E1(s, i) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) (
(
)
) . Dengan menggunakan
Software Maple 12 dan parameter yang digunakan , , , dan μ = 0.4 diperoleh nilai titik tetap yaitu E0(s, i) = (0.5, 0) dan E1(s, i) = (0.54, -0.03). E0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E1 merupakan titik tetap endemik. .4.2.2 Konstruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR vaksinasi Dari Persamaan (4) akan diperoleh matriks jacobi sebagai berikut; [
]
[
(
)
]
11
(13) 4.2.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR vaksinasi ) , 0) Titik tetap E0 = ( disubstitusikan ke dalam persamaan (13) sehingga akan diperoleh; [
( )
(
) (
)
(-μ-λ)( (
)
(
sehingga menyebabkan titik
)
(
)=0
)
Jika λi < 0 untuk i = 1,2. Nilai μ > 0 mengakibatkan λ1 = -μ < 0, jika λ2 < 0 maka ( )<( ). Jika λ1 < 0 dan λ2 < 0, maka titik tetap bersifat stabil dan jika λ1 < 0 dan λ2 > 0, maka titik tetap bersifat ( ) sadel. Nilai < ( ) mengakibatkan
( (
) )
=
< 1. Jika
< 1
maka merupakan titik tetap stabil asimtotik. Dengan kata lain, syarat terjadinya bebas penyakit adalah bilangan reproduksi dasar harus kurang dari satu. Jika > 1 maka akan tidak stabil. Dengan mengambil parameter positif diperoleh < 1, sehingga merupakan titik tetap stabil asimtotik. Kestabilan sistem di titik tetap E1 ( ) ( ) ( ) Tititk tetap = ( ) ( )
)
Persamaan di atas setelah diperoleh sebagai berikut;
( )
akan
stabil asimtotik. 4.2.4 Bilangan Reproduksi Dasar untuk model SIR vaksinasi R0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut; (
λ1 = -μ < 0 λ2 = (
)
]
Untuk memperoleh nilai eigen dari matriks jacobi di atas maka |J – λI| = 0, sehingga diperoleh nilai eigen yaitu;
(
R0 = (
(
)
(
))
dilinearisasi
(14)
)
4.2.5 Orbit dan Kestabilan Sistem Model SIR vaksinasi Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti dibawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut: = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4 dan ξ = 0.03, hal ini berimplikasi pada < 1 maka akan ( ) yang bersifat stabil diperoleh ( ) yang bersifat tak dan stabil. Orbit disajikan sebagai berikut;
disubstitusikan pada persamaan (13), maka akan diperoleh matriks jacobinya sebagai berikut ini; ( ) [ ] Dari persamaan diatas diperoleh nilai eigen dari matriks jacobi yaitu; √
(
) (
)
√
(
) (
)
Dari persamaan di atas, titik tetap endemik hanya akan muncul ketika , sedangkan nilai merupakan bilangan real negatif atau berupa bilangan kompleks. Dengan bilangan real bernilai negatif untuk 1<
Gambar 7. Orbit kstabilan model SIR dengan vaksinasi dibidang SI
12
pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi lebih kecil dari vaksinasi minimum.
Gambar 8. Dinamika populasi S, I dan R menurut waktu (tahun) Pada gambar 8 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan individu rentan, infeksi dan pulih. Seiring berjalannya waktu poroporsi individu rentan akan semakin berkurang. Hal ini, disebabkan oleh kelompok individu rentan terjangkit penyakit dan memasuki kelompok individu infeksi. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok rentan tidak mengalami perubahan lagi. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada titik kesetimbangan. Kelompok individu infeksi mengalami penurunan. Hal ini disebabkan oleh karena kelompok individu rentan tidak terjangkit penyakit setelah adanya penerimaan vaksin. Sehingga pada waktu tertentu kelompok individu rentan tidak memasuki individu I, semakin besar individu rentan yang tidak terjangkit penyakit maka kelompok individu infeksi akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilan. Program vaksinasi dilakukan untuk mencegah meluasnya penyebaran penyakit campak (measles). Vaksinasi diasumsikan berhasil jika pada waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi I. Bilangan reproduksi dasar dapat juga digunakan untuk menentukan apakah penyakit campak (measles) tersebut akan menghilang dari populasi I pada waktu tertentu jika nilai dan jika Penyakit campak (measles) akan ada sampai batas waktu yang tak terbatas. Upaya pencegahan penyebaran penyakit campak (measles) dapat dilakukan dengan program vaksinasi pada tingkat 𝛂. Pengaruh vaksinasi dapat dilihat dari prilaku proposi individu I yang bersifat endemik. Berdasarkan persamaan (4) tingkat vaksinasi minimum yang diperlukan dalam pencegahan penyebaran penyakit campak (measles) ialah = 0.4625. Menganalisis bagaimana
Gambar 9. Proporsi individu I pada saat nilai = 0.4625, = 0.3 , = 0.1, dan = 0 Dari gambar 9 menunjukan bahwa semua vaksinasi yang diberikan bahwa penyakit akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak (measles) bersifat endemik. Dengan demikian vaksinasi yang dilakukan tidak berhasil membuat penyakit campak (measles) menghilang dari populasi individu I. Dengan demikian jika < = 0.4625, maka penyakit campak (measles) tidak akan menghilang dari populasi individu I dalam jangka waktu yang tak terbatas. Kondisi kesetimbangan yang dicapai dalam individu I merupakan titik kesetimbangan endemik. Tabel 1. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan.
0
Titik Tetap (
)
1.86
0.1
(1, 0) (
)
1.67
0.3
(1, 0) (
)
1.3
(0.7, 0)
Kestabilan -Stabil asimtotik - Takstabil -Stabil asimtotik -Takstabil -Stabil asimtotik -Takstabil
Dari Tabel 1 dapat di lihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan maka nilai bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Namun demikian < 0.4625, nilai c= sehingga penyakit campak (measles) akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak batas. Makinde (2007) menyatakan tingkat vaksinasi yang dilakukan harus lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum yang
13
diberikan agar penyebaran campak (measles) dapat dicegah dengan sangat baik. Oleh karena itu, selanjutnya akan dilakukan simulasi nilai yang lebih besar dari Selajutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum.
Tabel 2. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan 𝛂 0.6
Titik tetap ( )
0.74
0.9
(0.5, -0.2) ( )
0.19
1
(0.5, -0.4) ( )
0
Kestabilan -Stabil asimtotik -Takstabil -Stabil asimtotik -Takstabil -Stabil asimtotik -Takstabil
(50, -16)
Gambar 10. Proporsi individu I pada saat nilai = 0.4625, = 0.6, = 0.9 , dan =1 Dalam waktu kurang lebih 15 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabi di = (0.5, 0). merupakan titik tetap bebas penyakit dikarenakan proporsi individu I = 0. Besarnya bilangan reproduksi dasar ialah = 0.74. Titik tetap bebas penyakit tersebut bersifat stabil asimtotis karena nilai . Jika setiap kelahiran memperoleh vaksin sebesar = 1. Diberikan vaksinasi pada tingkat = 1, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna biru. Untuk = 1, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 15 tahun. Dalam waktu kurang lebih 15 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabil di = (0.5, 0). Dengan demikian Penyakit campak (measles) akan menghilang dari populasi untuk nilai tingkat vaksinasi lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum Semakin besar tingkat vaksinasi maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi.
Dari Tabel 2 dapat di lihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan maka bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Namun demikian < = 0.4625, nilai c sehingga penyakit campak (measles akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak batas. Tabel 2 juga menunjukkan bahwa untuk < c = 0.4625, kenaikan tingkat vaksinasi dapat menyebabkan semakin menurunnya bilangan reproduksi dasar ( ) Untuk = 1, titik stabil pada proporsi kelompok individu rentan bernilai nol. Hal tersebut menunjukkan bahwa semua individu rentan kebal dari penyebaran penyakit campak (measles) dan akan memasuki kelompok individu pulih. Titik stabil yang dicapai ialah titik tetap stabil bebas penyakit dikarenakan proporsi kelompok individu infeksi bernilai nol. 4.3 Model SEIR 4.3.1 Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( an diperoleh :
) , sehingga dari persamaan (4)
=0 (
(15)
)
(
)
=0
didapat nilai titik tetap yaitu E0 (s, e, i)= (1, 0, 0) dan E1(s, e, i)= (
(
)
(
(
)
)(
(
)
*(
))
Dengan menggunakan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan , ,
14
, dan diperoleh nilai titik tetap yaitu E0 = (1, 0, 0) dan E1 = (0.29, 0.22, 0.45). E0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E1 merupakan titik tetap endemik. 4.3.2 Konstruksi Matriks Jacobi Untuk Model SEIR Misalkan sistem persamaan (6) dituliskan sebagai berikut:
λ1= (
) (
λ2 = (
)𝜖)
λ3 = Jika λ1 < 0, λ2 < 0 dan λ3 < 0, maka E1 bersifat stabil dan jika λ1 < 0, λ2 < 0 dan λ3 > 0, maka bersifat sadel. Teorema 1.
[ [
a.
]
] (15)
dengan (
*
)𝜖
(
+
)𝜖
(
)
(16) 4.3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SEIR Kestabilan sistem di titik tetap E0(s, e, i) = (1, 0, 0). Titik tetap E0 disubstitusikan pada persamaan (16), maka akan diperoleh
Jika < c, maka sebuah titik tetap endemik yang tunggal dari model merupakan tititk tetap stabil asimtotik global. b. Misalakan > c , titik tetap tanpa penyakit merupakan titik tetap stabil asimtotik global didalam Ὠ. Berdasarkan model SEIR yang digunakan maka diperoleh dua titik tetap endemik ( c< < *). Dari dua titk tetap endemik yang diperoleh dari model di atas tidak dapat menjadi stabil secara bersamaan di dalam Ὠ. 4.3.4 Bilangan Reproduksi untuk model SEIR R0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut (
(
*
)𝜖
(
+
(
)𝜖
)𝜖 ) (
( (
Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut;
Sehingga akan diperoleh
λ1 = (
R0
) (
λ2 = (
)𝜖)
λ3 = Jika λ1 < 0, λ2 < 0 dan λ3 < 0, maka E0 bersifat stabil dan jika λ1 < 0, λ2 < 0 dan λ3 > 0, maka E0 bersifat sadel. Kestabilan sistem di titik tetap E1(s, e, i) =(
(
)
(
(
)
(
)(
)
*(
))
Titik tetap E1 disubstitusikan pada persamaan (16), maka akan diperoleh J=*
( (
)𝜖 )𝜖
+ (
)
Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut:
(
( (
) )
) )
)
(17)
)
4.3.5 Orbit dan Kestabilan Sistem Model SEIR Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti di bawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut; = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4 , dan ξ = 0.03. Hal ini berimplikasi R0 >1 maka akan ( ) yang diperoleh bersifat stabil. Orbit disajikan sebagai berikut ;
15
Gambar 11. Orbit kestabilan model SEIR di bidang SI. Pada gambar 11 terlihat bahwa orbitnya menuju titik . Oleh karena itu titik tetap endemik bersifat titik tetap stabil. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada kelompok individu I yang dapat menyebarluaskan penyakit sehingga kelompok individu S terinfeksi penyakit campak (measles) dan memasuki kelompok individu R. Pada saat keadaan stabil, penyakit akan tetap ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak (measles) bersifat endemik. Berdasarkan persamaan (10), model SEIR akan mencapai stabil pada saat ) ( =( ). Titik merupakan titik stabil endemik karena .
Gambar 12. Dinamika populasi S, E, I, dan R menurut waktu (tahun) Pada gambar 12 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan individu rentan, infeksi dan pulih. Seiring berjalannya waktu poroporsi individu S akan semakin berkurang. Hal ini disebabkan oleh kelompok individu S terinfeksi penyakit dan memasuki kelompok individu I. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok S tidak mengalami
perubahan lagi. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada titik stabil. Kelompok individu I mengalami kenaikan. Hal ini disebabkan oleh karena kelompok individu S terjangkit penyakit campak (measles). Sehingga pada waktu tertentu kelompok individu S tidak memasuki individu I, semakin besar individu S yang tidak terjangkit penyakit maka kelompok individu I akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilannya. Besarnya bilangan reproduksi dasar ketika = 0 ialah = 3.72. Nilai mengakibatkan kedua nilai eigen matriks jacobi pada model SEIR ini berupa bilangan real positif. Hal tersebut menunjukkan titik stabil endemik bersifat stabil asimtotik. Upaya pencegahan penyebaran penyakit campak (measles) dapat dilakukan dengan program vaksinasi pada tingkat . Pengaruh vaksinasi dapat dilihat dari prilaku proposi individu I yang bersifat endemik. Berdasarkan persamaan (6) tingkat vaksinasi minimun yang diperlukan dalam pencegahan penyebaran penyakit campak (measles) ialah = 0.4625. Selanjutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksin jika tingkat vaksinasi lebih kecil dari vaksinasi minimum.
Gambar 13. Proporsi individu Infeksi pada sataun waktu (tahun) Dari gambar 13 warna biru menunjukkan proporsi individu untuk tingkat vaksinasi minimum = 0.4625. Warna hitam menunjukkan proporsi individu I untuk vaksiansi = 0.3, warna merah menunjukkan proporsi individu I untuk vaksinasi = 0.1 dan warna hijau menunjukkan proporsi individu I untuk vaksinasi = 0. Dari kurva di atas terlihat bahwa pada setiap tingkat vaksinasi yang diberikan pada saat yang bersamaan mencapai titik stabil. Proporsi individu kelompok infeksi akan mencapai titik kestabilan dalam jangka waktu kurang lebih 4 tahun. Dari semua vaksinasi
16
yang diberikan bahwa penyakit akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak (measles) bersifat endemik. Dengan demikian vaksinasi yang dilakukan tidak berhasil membuat penyakit campak (measles) menghilang dari populasi individu I. Dengan demikian jika < c = 0.4625, maka penyakit campak (measles) tidak akan menghilang dari populasi individu I dalam jangka waktu yang tak terbatas. Titik stabil yang dicapai dalam individu I merupakan titik stabil endemik. Tabel 3. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan 𝛂 0
Titik stabil (
)
3.72
0.1
(
)
3.35
0.3
(
)
2.66
kestabilan Stabil asimtotik Stabil asimtotik Stabil asimtotik
Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa dengan meningkatkan vaksinasi yang diberikan pada model SEIR ternyata bilangan reproduksi dasar mengalami penurunan. Namun demikian < = 0.4625, nilai c sehingga penyakit campak (measles) tidak akan menghilang dari populasi. Selajutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingakat vaksinasi minimum.
0. Besarnya bilangan reproduksi dasar adalah = 3.72. Titik tetap bebas penyakit tersebut bersifat stabil asimtotik karena nilai . Jika, setiap kelahiran memperoleh vaksin sebesar = 1. Jika diberikan vaksinasi pada tingkat = 1, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna biru . Untuk = 1, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 5 tahun. Dalam waktu kurang lebih 5 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabi di = (0.29, 0.22, 0.54). Dengan demikian penyakit campak (measles) akan menghilang dari populasi untuk nilai tingkat vaksinasi lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum Semakin besar tingkat vaksinasi maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi. Tabel 4. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan 𝛂 0.6
Titik stabil (
)
1.49
0.9
(
)
1.27
1
(
)
1.04
Kestabilan Stabil asimtotik Stabil asimtotik Stabil asimtotik
Dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan pada model SEIR maka nilai rasio reproduksi dasar mengalami penurunan. Dengan demikian, untuk tingkat vaksinasi yang lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum, bilangan reproduksi dasar mengalami penurunan. Namun demikian sehingga penyakit campak (measles ) akan selalu ada dalam jangka waktu yang tidak terbatas. 4.4 Model MSEIR 4.4.1 Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular (
Gambar 14. Proporsi individu I Jika diberikan vaksinasi pada tingkat = 0.6, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna hijau. Untuk = 0.6, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 4 tahun dan mencapai titik stabil di = (0.29, 0.22, 0.54). merupakan titik tetap endemik dikarenakan proporsi individu I
an (7) diperoleh : (
), sehingga dari persamaan
) (18) (
)
17
(
)
( ) . Jika Titik tetap , maka akan memperoleh titik kestabilan endemik di 𝕯 sebagai berikut;
4.4.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model MSEIR Kestabilan sistem di titik tetap E1 ) adalah Matriks jacobi di titik E1= ( (
* (
(
)
)
)(
(
(
)
)(
)
(
*
(
*
dimana Jika < 1, maka < 0 untuk t > 0, hal ini menunjukkan bahwa jumlah penderita penyakit campak (measles) berangsur - angsur semakin berkurang sedemikian hingga penyakit akan menghilang dari populasi dan tidak terjadi endemik pada populasi tersebut. Jika > 1, maka > 0 untuk t > 0, artinya jumlah penderita akan bertambah sehingga penyakit akan menyebarluas dan menjadi endemik. Titik tetap endemik pada model MSEIR juga menunjukkan bahwa terdapat individu pada kelompok I yang dapat menyebarkan penyakit kepada individu S 4.4.2 Konstruksi Matriks Jacobi untuk Model MSEIR Misalkan sistem persamaan (10) dituliskan sebagai berikut;
[
] (
)
Dengan menggunakan persamaan di atas di peroleh nilai eigen sebagai berikut;
*
)(
)(
*
+ (
)(
(
)
)
+ ) (19) Kestabilan persamaan (5) , (6) , (9) , dan (10) akan diperoleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jacobi pada titik tetap yang didapat. (
λ=
( (
) )
Sehingga ada nilai λ positif, jika maka merupakan stabil asimtotik. Jika merupakan titik tetap stabil hiperbolik yang tidak stabil dengan mainfold dan terjadi persinggungan dengan daerah D, sehingga merupakan stabil global asimtotik. 4.4.4 Bilangan Reproduksi Dasar Model MSEIR R0 dari model MSEIR diperoleh sebagai berikut; (
)
Sehingga akan diperoleh (
)(
)
4.4.5 Orbit dan Kestabilan Sistem Model MSEIR Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti dibawah. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut; = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4 , dan ξ = 0.03, maka akan diperoleh ( ) yang bersifat stabil karena nilai . Orbit disajikan sebagai berikut;
18
Semakin besar individu rentan terjangkit virus maka kelompok individu infeksi akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilannya. Berdasarkan definisi titik kestabilan, nilai S pada persamaan (2) dan (4) didekati dengan titik kestabilan bebas penyakit yaitu , sehingga akan diperoleh nilai dapat disederhanakan sebagai berikut; =(
)
=
=(
)
=
(
)
(
) (
)
(
)
dan (
Gambar 15. Orbit kestabilan model MSEIR di bidang SI. Dari gambar 15 terlihat bahwa orbitnya menuju titik tetap . Oleh karena itu, titik tetap bersifat titik tetap stabil. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada kelompok individu infeksi yang dapat menyebarluaskan virus sihingga kelompok individu rentan terinfeksi penyakit dan individu rentan akan memasuki individu infeksi.
(21)
)
(
)
(
)
Dari ketiga persamaan di atas dapat didefinisiskan tingkat vaksinasi minimum yang diperlukan untuk mencegah penyebaran penyakit. Tingkat vaksinasi yang diperlukan untuk mencegah penyebaran penyakit, dengan penyakit akan berangsur-angsur menghilang dari populasi I dan akan memasuki klompok individu R untuk Dengan demikian, untuk diperoleh tingkat vaksinasi minimum untuk model SIR sebagai berikut; (
)
(22)
(
)
Dan tingkat vaksinasi minimum untuk model SEIR sebagai berikut; (
Gambar 16. Proporsi individu S, I, E dan R dalam satuan waktu (tahun) Dari gambar 16 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan ketiga individu tersebut. Seiring dengan berjalannya waktu proporsi individu rentan akan semakin berkurang. Hal ini disebabkan individu rentan telah terinfeksi oleh virus dan individu rentan memasuki individu infeksi. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok individu rentan tidak mengalami perubahan lagi dan sistem berada pada titik stabil. Dengan meningkatnya individu rentan menyebabkan kelompok individu infeksi mengalami penurunan.
)
(23)
Menurut Makinde (2007) menyatakan bahwa tingkat vaksinasi yang diberikan harus lebih besar daripada supaya penyakit dapat dicegah penyebarannya. Jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum maka pa a model SIR dan model SEIR masingmasing diberikan sebagai berikut; ( ( ( (
) ) ) )
< <
(
)
(
) ( (
=1 )
)
=1
19
Dan
(24) (
)
(
(
)
)
(
)
=1
Dari persamaan (24) mengakibatkan bahwa jumlah individu pada kelompok I secara berangsur-angsur akan semakin berkurang dan penyakit akan menghilang dan akan memasuki ke dalam kelompok R dalam waktu tertentu. Jika vaksinasi maka (
)
(
)
(
)
(
)
> >
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) )
( (
MODEL
Bilangan Dasar
Reproduksi
SIR (
SIR vaksinasi SEIR
)
(
)𝜖
=1 MSEIR (
=1
Dan (
Tabel 5. Perbandingan Bilangan Reproduksi Dasar antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR
) )
=1
Hal ini menunjukkan bahwa jumlah individu pada kelompok I dalam jangka waktu yang berangsur- angsur akan semakin meningkat dan penyakit akan menjadi endemik.
)(
)
Dari Tabel 5 terlihat bahwa adanya perbedaan bilangan reproduksi dasar antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR. Dengan mengambil parameter β, , μ, 𝛆, ξ dan bilangan positif, bilangan reproduksi dasar pada model MSEIR lebih kecil dari model SEIR, SIR vaksinasi dan SIR. Hal ini menunjukkan bahwa kondisi bebas penyakit pada model MSEIR lebih cepat tercapai titik kestabilan daripada model SEIR,SIR vaksinasi dan SIR sehingga kelompok individu infeksi akan memasuki kelompok individu pulih. Begitu juga hal sebaliknya, kondisi penyakit campak (measles) akan lebih cepat tercapai pada model SEIR, SIR vaksinasi dan SIR jika dibandingkan dengan model MSEIR. Kriteria kestabilan titik tetap yang dilihat dari nilai bilangan reproduksi dasar antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR disajikan sebagai berikut;
Tabel 6. Kriteria Kestabilan Titik Tetap model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Kriteria Kestabilan Titik Tetap Bebas penyakit stabil Tetap endemik stabil
Model SIR
Model SIR vaksinasi
Model SEIR
( (
( (
)𝜖 )
( (
Model MSEIR
)𝜖 )
*
(
)(
)
*
(
)(
)
20
Tabel 7. Perbandingan Titik Tetap antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR
Model SIR
Tititk Tetap Bebas Penyakit (1, 0)
Titik Tetap Endemik
( Model SIR vaksinasi
(1-α, 0)
Model SEIR
(1, 0, 0)
( (
Model MSEIR
(
(1, 0, 0)
(
(
) (
)𝜖
(
(
)
) (
(
) )
)
)𝜖
)(
(
) )
)(
*,
)
(
*
(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
Dari Table 7 di atas, diketahui bahwa model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR memilki titik tetap bebas penyakit yang sama yaitu populasi total hanya terdiri dari kelompok individu rentan, sedangkan kelompok individu kelas populasi lainnya tidak ada. Hal ini berarti bahwa populasi beresiko tinggi mencapai kapasitas maksimum. Dari Table 7 juga terlihat adanya perbedaan titik tetap endemik antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR. Perbedaan tersebut terjadi karena pada
(
(
*
(
*
model SIR dan SIR vaksinasi kelompok individu rentan tidak memasuki individu laten, individu rentan tersebut langsung memasuki kelompok individu infeksi. Pada model SEIR dan MSEIR individu rentan masuk terlebih dahulu ke individu laten kemudian dilanjutkan ke individu infeksi. Akibatnya ketika penyakit campak (measles) terjadi, jumlah setiap kelas populasi pada model SIR, SIR vaksiansi berbeda dengan jumlah setiap kelas populasi pada model SEIR dan MSEIR.
21
Tabel 8. Plot Bidang Fase dan Bidang Solusi untuk model SIR,SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Bidang Fase Model SIR
Model SIR vaksinasi
Model SEIR
Model MSEIR
Bidang Solusi
22
Tabel 9. Plot Bidang Fase dan Bidang Solusi untuk model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Bidang Fase Model SIR
Model SIR vaksinasi
Model SEIR
Model MSEIR
Bidang Solusi
23
Dari Tabel di atas dapat dilihat bahwa dengan menggunakan parameter positif yang sama pada setiap masing-masing model, diperoleh plot bidang fase dan bidang solusi yang berbeda dari setiap masing- masing model. Titik tetap endemik model SIR, SIR vaksinasi dan SEIR merupakan titik tetap yang bersifat stabil, seperti pada tabel 9, semua orbit yang berada di sekitar titik tetap bergerak mendekati titik tersebut. Sedangkan pada titik tetap model MSEIR merupakan titik tetap yang bersifat tak stabil, dimana semua orbit yang berada di sekitar titik tetap bergerak menjauhi titik tersebut. Titik tetap bebas penyakit model SIR dan SIR vaksinasi bersifat stabil dan titik tetap bebas penyakit model SEIR dan MSEIR
bersifat tak stabil, dengan menggunakan parameter yang sama diperoleh titik endemik model MSEIR bersifat stabil. Hal ini disebabkan adanya perbedaan kriteria kstabilan model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR, baik kriteria kestabilan titik tetap bebas penyakit maupun kriteria kestabilan titik tetap endemik.
