IV PEMBAHASAN
4.1 Analisis Model HSC Tanpa Terapi 4.1.1 Penentuan Titik Tetap Model HSC Tanpa Terapi Titik tetap dari persamaan (3.1) – (3.3) akan diperoleh dengan menetapkan ,
, dan
, dengan menggunakan bantuan software Mathematica
7.0, diperoleh dua titik tetap
(
) dan
(
(
) dengan )
(
(4.1)
) ( (
)
(4.2)
) (
(
)
(4.3)
)
Penentuan titik tetap ini dapat dilihat pada lampiran 1.
4.1.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model HSC tanpa Terapi Pelinearan Misalkan persamaan (3.1) – (3.3) dituliskan sebagai berikut:
dengan mendeferensialkan mengatur ̅( )
( )
(
)
(
)
(
)
persamaan (3.1) – (3.3) terhadap Q, N, P dan , ̅( )
( )
̅( )
dan
( )
, maka
pelinearan diperoleh dengan cara ( ( )
( )
( )
)
( (
( Sehingga diperoleh
)
(4.4)
)
(4.5)
)
(4.6)
14
, (
)
(
)
(
)
(
-
)
(4.7)
(
)
(4.8)
(
)
(4.9)
dan pelinearan diperoleh ̅
(
)̅ ̅
̅
̅
̅
̅̅̅ ̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅ ̅
(4.10)
̅̅̅̅̅̅̅̅
(4.11)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(4.12)
dengan ( ̅̅̅̅
(
) )
(
) (
) ̅̅̅
(
)
(
)
.
Penurunan selengkapnya proses pelinearan ini dapat dilihat pada lampiran 2.
Untuk memperoleh nilai kestabilan maka diperoleh matriks Jacobi (lihat lampiran 3) dari persamaan (4.9) – (4.11) sebagai berikut
J=(
) (4.13)
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik dari
(
(
)
( det (
)
, yaitu: ) )=0
sehingga persamaan karakteristik (lihat pada lampiran 4)
(4.14)
15
(4.15)
dan nilai eigen diperoleh **
(
)+ *
+*
++
(4.16)
4.1.3 Analisis Kestabilan di Titik Tetap T1 Nilai eigen di titik tetap
(
) diperoleh dengan mensubsitusi nilai
parameter pada Tabel 1 {{
}, {
}, {
}}.
(4.17)
Proses selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 5. Artinya nilai-nilai eigen dititik tetap T1 adalah
dan
real positif. Hal ini menunjukkan titik
tetapnya bersifat sadel.
4.1.4 Analisis Kestabilan di Titik Tetap Pada analisis kestabilan titik tetap ini dipengaruhi adanya kematian sel ( ) dan laju perkembangan sel ( ). Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik tetap , penyelesaian nilai eigen sangat sulit untuk diperoleh dengan menyelesaikan (
persamaan karakteristik titik tetap
(
)
, Untuk memperoleh kestabilan sistem di
) terlebih dahulu melakukan pelinearan titik tetap dengan
mensubstitusikan nilai parameter pada Tabel 1, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: (
)
dan nilai eigen diperoleh: {{ dan
(
)
1.77}, {
= 0.15}, {
(4.18)
2.4}}, artinya
real positif, nilai-nilai eigen yang diperoleh menunjukkan
titik tetapnya bersifat sadel. Untuk mengamati pengaruh pertumbuhan populasi ketiga kompartemen HSC tanpa terapi G-CSF, maka diperlukan bidang solusi yang menunjukkan
16
hubungan antara banyaknya populasi sel terhadap waktu. Solusi numerik menggunakan software Mathematica 7.0 dilakukan dengan mensubsitusi nilainilai parameter Tabel 1 ke persamaan model sel batang HSC tanpa terapi G-CSF, sehingga diperoleh hubungan antara perkembangan hematopoietic, leukosit, dan platelet, berdasarkan analisis kestabilan titik tetapnya.
4.1.5 Dinamika Populasi Kompartemen HSC tanpa Terapi Dalam simulasi model, penulis membuat simulasi proses dinamika populasi kompartemen HSC mulai dari awal terinfeksi hingga benar-benar terinfeksi atau dikatakan memasuki fase CML, dapat dilihat pada gambar berikut:
Gambar 2 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel (
)
Gambar 2 menunjukkan dinamika populasi HSC pada awal terinfeksi leukemia dengan
. Dinamika yang terjadi tanpa osilasi dan meningkat
stabil. (lihat lampiran 6)
Gambar 3 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel (
)
17
Gambar 3 menunjukkan dinamika populasi HSC setelah 10 hari terinfeksi leukemia dengan
. Dinamika osilasi tak stabil mulai terjadi kemudian
berosilasi. (lihat lampiran 7)
Gambar 4 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel (
)
Gambar 4 menunjukkan dinamika populasi HSC setelah 20 hari terinfeksi leukemia dengan
. Dinamika dengan osilasi tak stabil terus terjadi sampai
hari ke-300. (lihat lampiran 8)
Gambar 5 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel (
)
Gambar 5 menunjukkan dinamika populasi HSC setelah 40 hari terinfeksi leukemia dengan
. Dinamika dengan osilasi tak stabil ini bisa dikatakan
memasuki fase kronis atau disebut CML. (lihat lampiran 9)
18
Gambar 6 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel (
)
Gambar 6 menunjukkan dinamika populasi HSC setelah 80 hari terinfeksi leukemia dengan waktu kematangan sel,
. Dinamika dengan osilasi tak
stabil ini bisa dikatakan memasuki fase leukemia akut. (lihat lampiran 10) Hasil simulasi HSC diatas menunjukkan dinamika populasi mulai dari awal terinfeksi hingga dapat dikatakan memasuki fase kronis atau CML. Hasil analisis kestabilan titik tetap HSC tanpa terapi G-CSF yang diperoleh sama dengan hasil simulasi menggunakan software Mathematica 7.0 yaitu sadel tak stabil. Ini berarti penyakit akan berkembang terus hingga memasuki fase akut jika tidak ada terapi obat.
Gambar 7 Dinamika populasi Leukosit dengan waktu kematangan sel (
)
Gambar 7 menunjukkan dinamika populasi leukosit pada awal terinfeksi leukemia dengan (lihat lampiran 11)
. Dinamika populasi meningkat tanpa osilasi dan stabil.
19
Gambar 8 Dinamika populasi leukosit dengan Waktu kematangan sel (
)
Gambar 8 menunjukkan dinamika populasi leukosit setelah 10 hari terinfeksi leukemia dengan
. Dinamika dengan osilasi tak stabil dan
rentang osilasi yang terjadi per 10 hari. (lihat lampiran 12)
Gambar 9 Dinamika populasi Leukosit dengan waktu kematangan sel (
)
Gambar 9 menunjukkan dinamika populasi leukosit setelah 20 hari terinfeksi leukemia dengan
. Dinamika dengan osilasi tak stabil terus
terjadi sampai hari ke-300. (lihat lampiran 13)
20
Gambar 10 Dinamika populasi Leukosit dengan waktu kematangan sel (
)
Gambar 10 menunjukkan dinamika populasi leukosit setelah 40 hari terinfeksi leukemia dengan
. Dinamika dengan osilasi tak stabil ini bisa
dikatakan memasuki fase kronis atau disebut CML dengan rentang osilasi per 40 hari. (lihat lampiran 14).
Gambar 11 Dinamika populasi Leukosit dengan waktu kematangan sel (
)
Gambar 11 menunjukkan dinamika populasi leukosit setelah 80 hari terinfeksi leukemia dengan
. Dinamika dengan osilasi tak stabil ini bisa
dikatakan memasuki fase akut. (lihat lampiran 15). Hasil simulasi leukosit diatas menunjukkan dinamika populasi mulai dari awal terinfeksi hingga dapat dikatakan memasuki fase kronis atau CML. Populasi terus berkembang tidak terkontrol, jika tidak ada terapi yang diberikan maka fase
21
kronis tersebut akan memasuki fase akut yang artinya penyakit semakin parah dan sulit untuk disembuhkan.
Gambar 12 Dinamika populasi Platelet dengan waktu kematangan sel ( ,
,
,
,
)
Gambar 12 diatas menunjukkan bahwa terinfeksinya HSC hanya dipengaruhi oleh laju perubahan leukosit yang meningkat, tetapi tidak berpengaruh terhadap dinamika populasi platelet. Hasil yang didapat tetap sama sejak awal terinfeksi leukemia sampai memasuki fase kronis atau CML. Ini artinya memang platelet selalu memproduksi sesuai dengan kebutuhan diri. (lihat lampiran 16). Dari gambar 2 – gambar 12 dapat disimpulkan bahwa dinamika populasi HSC tanpa terapi G-CSF akan meningkat dan terjadi osilasi tak stabil mulai hari ke
10 dan memasuki fase leukemia pada hari ke
40 – 80 sampai menuju ke
fase akut.
4.2 Analisis Model HSC Dengan Terapi G-CSF 4.2.1Penentuan Titik Tetap Model HSC Dengan Terapi G-CSF Titik tetap dari persamaan (3.7) – (3.11) akan diperoleh dengan menetapkan
,
,
,
, dan
dengan menggunakan
bantuan software Mathematica 7.0, diperoleh titik tetap (Q,N,P,X,G) dengan:
22
(
)
(
)
(
, (
( )
(
(
)
(
(
)
) (
)
,
)
,
) )
( (
)
)
,
(
)
(4.19) Selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 17
4.2.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model HSC Dengan Terapi G-CSF Dari persamaan (3.7) – (3.11) diperoleh matriks Jacobi (lihat pada lampiran 18) yaitu: (
) (4.20)
(
)
Untuk memperoleh nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
(
(
)
yang terdapat pada lampiran 19, yaitu:
)
det
=0 (
) (4.21)
Dan diperoleh nilai eigennya (lihat pada lampiran 20) yaitu **
+*
(
)+ *
+*
+*
++ (4.22)
Dengan mensubsitusi nilai-nilai parameter pada Tabel 1 nilai eigen dapat diperoleh sebagai berikut
23
{{ = 0 }, { {
= 0.103104 }, {
= 0.25 }, {
= -0.379289 – 330161 i},
-0.379289 + 3301.61 i}}
(4.23)
dapat disimpulkan bahwa nilai-nilai eigen menunjukkan titik tetapnya bersifat spiral stabil.
Untuk mengamati pengaruh pertumbuhan populasi ketiga kompartemen HSC dengan terapi G-CSF, maka diperlukan bidang solusi yang menunjukkan hubungan antara banyaknya populasi sel terhadap waktu. Solusi numerik menggunakan software Mathematica 7.0 dilakukan dengan mensubsitusi nilainilai parameter ke persamaan
model sel batang HSC dengan terapi G-CSF,
sehingga diperoleh hubungan antara perkembangan hematopoietic, leukosit, dan platelet, berdasarkan analisis kestabilan titik tetapnya. Pengaruh yang signifikan pada model terapi pengobatan G-CSF ini adalah jadwal pemberian suntikan I(t).
4.2.3 Dinamika Populasi Kompartemen HSC dengan terapi G-CSF Solusi numerik menggunakan software Mathematica 7.0 dilakukan dengan mensubsitusi nilai-nilai parameter Tabel 1 ke persamaan (3.7) – (3.11), sehingga diperoleh hubungan antara populasi Q, N, P yang menggunakan terapi pengobatan G-CSF yang ditunjukkan dalam gambar berikut :
Gambar 13 Dinamika HSC dengan Terapi G-CSF
24
Gambar 13 menunjukkan dinamika populasi HSC saat sudah terinfeksi leukemia dengan
yang meningkat kemudian turun dan berosilasi stabil.
(lihat lampiran 21)
Gambar 14 Dinamika Leukosit dengan Terapi G-CSF
Gambar 14 menunjukkan dinamika populasi leukosit yang sudah terinfeksi leukemia dengan
menurun setelah diberikannya terapi G-CSF dan
kemudian stabil . (lihat lampiran 22)
Gambar 15 Dinamika Platelet dengan Terapi G-CSF
Gambar 15 menunjukkan dinamika populasi platelet saat sudah terinfeksi leukemia dengan 23)
yang menurun dan stabil tanpa osilasi. (lihat lampiran
25
Dari gambar 13, 14, dan 15 diperoleh informasi bahwa jika sel batang hematopoietic, leukosit dan platelet disimulasikan dengan menggunakan terapi pengobatan G-CSF, perkembangan dapat menurun setelah beberapa saat untuk kemudian berosilasi stabil pada sel batang hematopoietic, sedangkan pada leukosit dan platelet populasi menurun kemudian stabil tanpa osilasi. Dengan terapi pengobatan G-CSF menghasilkan pengaruh dinamika perkembangan ketiga kompartemen, yaitu memperlambat perkembangan dan menurunkan jumlah populasi hematopoietic, leukosit dan platelet.
