ISSN: X 23 PEMANFAATAN GEOGEBRA UNTUK MENGGAMBAR POTRET FASE SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

ISSN: 2088-687X

23

PEMANFAATAN GEOGEBRA UNTUK MENGGAMBAR POTRET FASE SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL Eminugroho Ratna Sari Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY [email protected] ABSTRAK Perilaku solusi sistem persamaan diferensial seringkali akan lebih mudah diinterpretasikan melalui grafik, tetapi hal ini tidak mudah digambar tanpa bantuan software. Padahal software matematika seringkali membutuhkan bahasa pemrograman yang rumit untuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Hal ini tidak mudah dilakukan bagi pemula. Sementara, di lain pihak terdapat software yang lebih mudah digunakan, khususnya dalam menggambar grafik. Tujuan penulisan paper ini adalah bagaimana memanfaatkan Geogebra sebagai software yang user friendly untuk menggambar potret fase sistem persamaan diferensial untuk mengamati perilaku solusinya. Akan diberikan langkah-langkah menggambar potret fase sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear. Berdasarkan potret fase dapat diketahui perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium. Kata Kunci: Geogebra, potret fase, sistem persamaan diferensial

ABSTRACT The behavior of solutions of differential equations systems will be more easily interpreted by graphs, but this is not easy drawn without software. As known, mathematics software often requires a complicated programming language to get the desired results. It is not easy for beginners. On the other hand, there is software that is easier to use, especially in drawing a graph. The purpose of this paper is how to utilize GeoGebra as user friendly software to draw a phase portrait of a system of differential equations. Step-by-step drawing phase portrait systems of differential equations both linear and nonlinear will be given. Based on the phase portrait can be seen the behavior of solutions around the equilibrium point. Keywords: Geogebra, phase portrait, differential equations systems

Pendahuluan

fungsi f disebut solusi dari persamaan

Persamaan diferensial merupakan

diferensial jika f terdefinisi pada suatu

persamaan yang memuat derivative atas

persamaan diferensial beserta turunan-

satu atau lebih variable tak bebas

turunannya pada suatu interval I, dan

terhadap satu atau lebih variable bebas.

apabila

Jika persamaan hanya memuat satu atau

diferensial tersebut akan terpenuhi. Suatu

lebih variable tak bebas terhadap satu

persamaan diferensial disebut linear jika

variable bebas, maka disebut persamaan

(1) variable tak bebas dan/atau turunan-

diferensial biasa. Lebih lanjut, suatu

turunannya bukan merupakan fungsi

AdMathEdu | Vol.5 No.1 | Juni 2015

Pemanfaatan … (Emi Nugroho Ratnasari)

disubstitusi

ke

persamaan

24

ISSN: 2088-687X

transenden, (2) pangkat dari variable tak

dengan vaksinasi (Keeling, Tildesley,

bebas dan turunan-turunannya adalah

House, & Danon, 2013), bahkan dengan

satu, (3) tidak ada perkalian antara

control (Bakare, Nwagwo, & Danso-

variable tak bebas dengan dirinya sendiri,

Addo, 2014).

atau dengan turunan-turunannya, atau antar turunan-turunannya (Ross, 1984). Himpunan

berhingga

Analisa mengenai perilaku solusi ini tidak mudah dilakukan. Namun

dari

demikian, dapat juga dianalisa melalui

persamaan diferensial disebut sebagai

potret fase. Menggambar potret fase

sistem

Hal

tanpa bantuan software seringkali juga

persamaan

menarik

yang

mendapatkan

diferensial.

dapat

dilihat

setelah

tidak mudah dilakukan. Dewasa ini

solusi

suatu

sistem

software matematika telah banyak ada

persamaan diferensial adalah dengan

antara

lain

MAPLE,

MATLAB,

menganalisa perilaku dari solusi sistem

WinGeom, WinPlot, maupun Geogebra.

tersebut. Bucur (2006) telah membahas

Geogebra merupakan salah satu

mengenai teori perilaku solusi suatu

software yang free download yang sering

persamaan

digunakan

diferensial.

Sementara

dalam

pembelajaran

Ademola (2011) menganalisa kestabilan

matematika karena fiturnya yang lengkap

untuk persamaan diferensial nonlinear.

dan interaktif. Geogebra juga relative

Perilaku

persamaan

lebih mudah digunakan daripada software

diaplikasikan

yang lain karena tidak membutuhkan

solusi

diferensial

juga

sistem sering

dalam pemodelan matematika di bidang

bahasa

biologi. Bagaimana penyebaran suatu

(Hohenwarter, Hohenwarter, Kreis, &

penyakit dapat dianalisa sehingga dapat

Lavicza, 2008). Salah satu yang bisa

diprediksi kapan akan terjadi epidemic.

dimanfaatkan

Model

menggambar potret fase dari sistem

SIR

epidemiologi diperkenalkan

merupakan pertama

kali

yang

Geogebra

rumit

adalah

persamaan diferensial. Pada paper ini akan dibahas

McKendrick (1927). Pada model klasik

mengenai penggunaan Geogebra untuk

ini diasumsikan tidak ada kelahiran dan

menggambar trayektori solusi sistem

kematian. Modifikasi model ini terus

persamaan

diferensial,

mengalami perkembangan, mulai dari

bagaimana

potret

muncul

adanya

tersebut. Pertama akan dibahas untuk

kelahiran dan kematian, model SIR

sistem persamaan diferensial linear. Pada

dengan efek demografi, model SIR

bagian ini, akan diberikan contoh-contoh



SIR

Kermack

dari

yang

&

model

oleh

pemodelan

pemrograman

dengan

fase

lebih

lanjut

dari

sistem

ISSN: 2088-687X

25

sistem persamaan diferensial linear yang kemudian dianalisa bagaimana perilaku

x  t0   x0   x10 , x20 , Selanjutnya

, xn0  

n

.

xt   x x 0 , t 

notasi

solusi sistem tersebut melalui potret fase yang

diperoleh

dengan

Geogebra.

Selanjutnya akan dibahas bagaimana penggunaan

Geogebra

menyatakan solusi Sistem (2) yang melalui x 0 . Selanjutnya

untuk

akan

diberikan

menggambar trayektori solusi sistem

definisi titik ekuilibrium suatu sistem

persamaan diferensial nonlinear, dalam

pada

hal ini yang akan dibahas untuk model

Definisi 1 (Perko, 1991)

SIR.

Titik xˆ 

n

.

n

disebut titik ekuilibrium

diberikan

Sistem (2) jika f  xˆ   0 .

beberapa definisi yang berkaitan dengan

Definisi 2 (Perko, 1991)

sistem persamaan diferensial. Antara lain

Diberikan

definisi

Sistem (2).

Untuk

itu,

solusi

diferensial,

berikut

sistem

titik

persamaan

ekuilibrium

dan

xˆ 

n

titik ekuilibrium

i. Titik ekuilibrium xˆ dikatakan stabil

kestabilan.

lokal jika untuk setiap bilangan ε >

Sistem Persamaan Diferensial

0, terdapat bilangan δ = δ (ε) > 0,

Pada bagian ini akan dibahas mengenai

definisi

sistem

persamaan

diferensial, titik ekuilibrium, kestabilan, bidang fase, trayektori dan potret fase. Diberikan sistem persamaan diferensial

sedemikian sehingga untuk setiap solusi

x t 

yang

xt0   xˆ  

memenuhi berlaku

xt   xˆ   , untuk setiap t  t 0 . ii. Suatu titik ekuilibrium xˆ dikatakan

biasa x1  f1 x1 , x 2 ,, x n , x 2  f 2 x1 , x 2 ,, x n ,

tak stabil, jika tidak dipenuhi (i). iii. Titik ekuilibrium xˆ dikatakan stabil

(1)



asimtotik

x n  f n x1 , x 2 ,, x n ,

dengan kondisi awal xi t 0   xi 0 , i = 1, 2, ..., n.

lokal

ekuilibrium

xˆ

,

jika

titik

stabil dan jika

terdapat  0  0 , sehingga untuk setiap solusi x t  yang memenuhi

Sistem (1) dapat ditulis sebagai x  f  x 

x   x1 ,x2 ,…,xn  

dengan

f   f1 ,

,f n 

xt 0   xˆ   0

(2)

dan

kondisi


n

,

berlaku

lim xt   xˆ . t 

awal Pemanfaatan … (Emi Nugroho Ratnasari)

26

ISSN: 2088-687X Menganalisa kestabilan di sekitar

1. Mempelajari

sistem

persamaan

titik ekuilibrium menggunakan Definisi 2

diferensial berikut perilaku solusinya

seringkali tidak mudah dilakukan. Untuk

secara analitik.

melihat perilaku solusi dapat melalui potret fase.

Diperhatikan Sistem (2),

untuk fungsi atas 2 variabel tentu dapat

2. Mempelajari

Geogebra

untuk

persamaan diferensial. 3. Memanfaatkan

Geogebra

dalam

digambar grafik solusinya. Dalam hal ini,

menggambar solusi sistem persamaan

bidang- x1 x2

sebagai

diferensial.

menggambar

grafik

bidang

fase.

kurva/grafik

tempat

untuk

disebut

sebagai

4. Menginterpretasikan perilaku solusi

Sementara,

sebuah

berdasarkan gambar yang diperoleh

solusi

yang

dilengkapi

dari Geogebra.

dengan arah disebut trayektori, arah

Diagram

berkaitan dengan t yang membesar.

dalam paper ini adalah sebagai berikut:

Gabungan

dari

mengenai

pembahasan

trayektori-trayektori Sistem Persamaan Diferensial

disebut potret fase. Lebih lanjut, jika semua trayektori berada di sekitar titik

Linear

ekuilibrium, maka disebut stabil, dan jika pada

alir

akhirnya

semua

Non Linear

trayektori Solusi Analitik

mendekati titik ekuilibrium, maka disebut stabil asimtotik. Sedangkan, jika ada trayektori

yang

menjauh

dari

Digambar dengan Geogebra

titik

ekuilibrium, maka disebut tidak stabil. Metode Penelitian Paper ini berisi kajian mengenai

Interpretasi perilaku solusi Gambar 1. Diagram alir pembahasan

dalam

Pada bagian selanjutnya akan

menggambar potret fase dari suatu sistem

dibahas bagaimana menggambar potret

persamaan

fase

pemanfaatan

pembahannya

Geogebra

diferensial. menggunakan

Adapun studi

literature yang mengambil dari buku-

sistem

persamaan

diferensial

menggunakan Geogebra. Hasil dan Pembahasan

buku maupun jurnal yang berkaitan

Geogebra

merupakan

software

dengan sistem persamaan diferensial dan

yang

perilaku solusinya. Langkah-langkahnya

melalui www.geogebra.org. Saat ini,

sebagai berikut

versi terbaru adalah Geogebra 5. Versi


dapat

diperoleh

secara

gratis


ISSN: 2088-687X

27

inilah yang digunakan dalam pembahasan

berikut. Misal titik yang dibuat diberi

paper ini. Setelah Geogebra terpasang,

nama dengan titik A.

maka akan muncul icon yang berbentuk . Geogebra dalam

pemahaman

sangat materi

membantu kalkulus,

Gambar 3. Membuat titik A sebagai

statistika maupun geometri. Bahkan terus

nilai awal

mengalami perkembangan hingga saat ini

Tujuan membuat titik ini adalah

dapat digunakan untuk materi persamaan

digunakan sebagai nilai awal dari

diferensial (Kovacs, 2010). Pada paper

sistem persamaan diferensial.

ini, akan dibahas mengenai pemanfaatan

3. Menginput ruas kanan dari sistem

Geogebra dalam menggambar potret fase

persamaan

sistem persamaan diferensial melalui

digambar trayektori solusinya. Misal

contoh-contoh.

fungsi diberi nama dengan f(x,y) dan

1. Sistem

Persamaan

Diferensial

diferensial

yang

akan

g(x,y). 4. Menggambar trayektori solusi sistem

Linear Pada dasarnya, langkah-langkah untuk masing-masing contoh akan sama,

persamaan

diferensial

dengan

menginput perintah sebagai berikut

yaitu

SolveODE[ , <x'>, <Start x>,

1. Membuka jendela Geogebra. Berikut

<Start y>, <End t>, <Step> ]

adalah tampilan awal Geogebra.

Suku pertama pada perintah tersebut adalah

fungsi

persamaan

ruas

kedua

kanan dari

dari sistem

persamaan diferensial, yaitu g. Suku kedua merupakan fungsi ruas kanan dari persamaan pertama, yaitu f. Suku ketiga menyatakan nilai awal untuk x, diisikan dengan cara x(A), dengan A adalah titik yang telah dibuat pada Gambar 2. Tampilan awal Geogebra 2. Membuat

titik

dengan

mengklik

bagian seperti tampak pada Gambar 3

langkah kedua. Suku keempat diisi dengan y(A). Suku kelima menyatakan waktu,

karena

sistem

persamaan

diferensial merupakan fungsi atas



28

ISSN: 2088-687X waktu. Sedangkan suku keenam untuk

Untuk potret fase pada sumbu-x positif

increment dari trayektori, semakin

dan sumbu-y negatif digunakan

kecil

nilai

yang

diinput,

maka

Sequence[Sequence[Vector[(i,j),

trayektori yang tampak akan semakin

(i,j)

smooth.

sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i, 0, 5,

5. Setelah diperoleh trayektori solusi

+

0.15(f(i,j),g(i,j))

/

0.2], j, -5, 0, 0.2]

berdasarkan langkah 4, titik A dapat Berdasarkan langkah 1 – 6,

digeser sehingga perilaku solusi akan lebih jelas. Atau langkah 2 – 4 dapat

berikut

diulang kembali menggunakan titik

menggambar potret fase dari masing-

yang berbeda untuk lebih memahami

masing sistem persamaan diferensial

perilaku solusinya.

berikut

6. Selanjutnya

untuk

mendapatkan

arahnya menggunakan perintah

akan

untuk

Contoh 1. Diberikan sistem persamaan diferensial


x1  x1

(i,j)

x2  x2

+

digunakan

0.15(f(i,j),g(i,j))

/

(3)

sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i, 0, 5,

Menggunakan Geogebra, diperoleh potret

0.2], j, 0, 5, 0.2]

fase Sistem (3) sebagai berikut

Artinya akan digambar potret fase untuk sumbu-x dan sumbu-y positif. Selanjutnya untuk potret fase pada sumbu-x negative dan sumbu-y positif digunakan Sequence[Sequence[Vector[(i,j), (i,j)

+

0.15(f(i,j),g(i,j))

/

sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i, -5, 0,

Gambar 4. Potret fase Sistem (3) Berdasarkan Definisi

0.2], j, 0, 5, 0.2]

1, Sistem (3)

 0, 0 

T

Untuk potret fase pada sumbu-x

mempunyai titik ekuilibrium

negative

pada Gambar 4 ditunjukkan dengan titik

dan

sumbu-y

negatif

digunakan

,

B, sedangkan gambar yang berwarna


merah menunjukkan trayektori solusi

(i,j)

dengan

+

0.15(f(i,j),g(i,j))

/

sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i, -5, 0,

nilai

awal

di

A

dan

C.

Berdasarkan Gambar 4 tersebut bahwa

0.2], j, -5, 0, 0.2] Pemanfaatan … (Emi Nugroho Ratnasari)


ISSN: 2088-687X

29

trayektori-trayektori solusi menjauh dari

Contoh 3. Diberikan sistem persamaan

titik ekuilibrium. Hal ini berarti, titik

diferensial

ekuilibrium dari Sistem (3) tidak stabil.

x1   x1


x2  2 x2

diferensial

Potret fase dari Sistem (5) adalah

x1  x1

(4)

x2   x2

Diperoleh

(5)

potret

fase

Sistem

(4)

menggunakan Geogebra sesuai langkah 1-6 adalah


1, Sistem (5)


 0, 0 

T

,

pada Gambar 6 ditunjukkan dengan titik C, sedangkan gambar yang berwarna Gambar 5. Potret fase Sistem (4) Berdasarkan Definisi


1, Sistem (4)


 0, 0 

T

dengan

nilai

awal

di

A

dan

B.

,


pada Gambar 5 ditunjukkan dengan titik

trayektori-trayektori solusi pada kuadran

C, sedangkan gambar yang berwarna

I,II,III


ekuilibrium,

dengan

B.

sepanjang sumbu-y dan sumbu-x. Hal ini


berarti, untuk t yang membesar solusi

trayektori-trayektori solusi pada kuadran

mendekati titik ekuilibrium, akibatnya

I,II,III

titik ekuilibrium dari Sistem (5) stabil

nilai

awal

maupun

ekuilibrium, sepanjang

di

IV

demikian sumbu-y.

A

dan

menuju

titik

maupun

IV

demikian

menuju juga

titik untuk

juga

untuk

asimtotik.

Namun,

untuk


sepanjang sumbu-x justru menjauh dari

diferensial

titik ekuilibrium. Hal ini berarti, titik

x1   x2

ekuilibrium dari Sistem (4) tidak stabil.

x2  x1

(6)

Potret fase dari Sistem (6) adalah AdMathEdu | Vol.5 No.1 | Juni 2015


30

ISSN: 2088-687X penyakit dan kelas Recovered (R untuk menyatakan populasi yang sembuh dan kebal terhadap penyakit. Model SIR berbentuk (Kermack & McKendrick, 1927)

dS    SI dt dI   SI   I dt dR I dt


1, Sistem (6)


 0, 0 

T

,

pada Gambar 7 ditunjukkan dengan titik B, sedangkan gambar yang berwarna merah menunjukkan trayektori solusi dengan nilai awal di A. Berbeda dengan potret fase pada Contoh 3, bahwa pada Gambar 7 tampak bahwa trayektoritrayektori solusi pada kuadran I,II,III maupun IV hanya berada di sekitar titik ekuilibrium.

Hal

ini

berarti,

titik

ekuilibrium dari Sistem (6) adalah stabil. 2. Sistem

Persamaan

Diferensial

Karena kelas R tidak mempengaruhi kelas S dan I, maka Sistem (7) cukup dipandang sebagai berikut dS    SI dt dI   SI   I dt

(8)

Pembentukan model maupun analisa perilaku solusi Sistem (8) telah dibahas secara detail oleh Brauer (2001). Pada paper ini, akan dianalisa mengenai perilaku solusi Sistem (8) menggunakan potret

fase

yang

digambar

Langkah-langkah untuk

sistem

persamaan diferensial nonlinear akan dibahas untuk menggambar potret fase model SIR. Model SIR merupakan model matematika biologi yang sering dibahas. Pada model ini, populasi dibagi menjadi 3 kelas yaitu kelas Susceptible (S) untuk

dengan

Geogebra.

Nonlinear Selanjutnya,

(7)

menggambar

hampir sama dengan ketika menggambar sistem

persamaan

diferensial

linear.

Namun akan lebih tampak perilakunya jika digambar juga untuk masing-masing solusi S dan I. Berikut langkah-langkah untuk menggambar potret fase maupun solusi S dan I dengan Geogebra:

menyatakan populasi yang rentan terkena penyakit, kelas Infectious (I) untuk menyatakan populasi yang terinfeksi Pemanfaatan … (Emi Nugroho Ratnasari)


ISSN: 2088-687X 1.

2.

31

Menetapkan maksimum nilai t yang

dinyatakan

digunakan dalam gambar. Misal

dinyatakan dengan y, jadi

x

maxT = 15.

f(x,y)=-0.48*x*y

Membuat titik A dan B di sumbu-y

g(x,y)=0.48*x*y - 0.33*y

sebagai nilai awal dari solusi S dan I,

3.

dengan

6.

dan

I

dan

Menggambar trayektori solusi yang

berturut-turut. Misal A = (0,4) dan B

akan muncul di Graphic 2, dalam hal

= (0,1)

ini sumbu-x menyatakan S dan

Membuka jendela sebagai tempat

sumbu-y menyatakan I, yaitu

untuk

menggambar

grafik

yang

SolveODE[g, f, x(C), y(C), maxT,

kedua (dalam hal ini disebut Graphic 2), dengan cara klik view –> graphic

0.01] 7.

2, seperti tampak pada gambar

Menggambar potret fase Sistem (8), yaitu

berikut

Sequence[Sequence[Vector[(i,j), (i,j)

+

0.15(f(i,j),g(i,j))

/

sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i, 0, 5, 0.2], j, 0, 5, 0.2] 8.

Membuat barisan t, yang digunakan untuk

melihat

perilaku

masing-

masing solusi S dan I, yaitu t= Sequence[i, i, 0, 1, 0.01] maxT 9.

Membuat barisan R, untuk titik-titik solusi dari S, yaitu R=Sequence[x(Point[numericalInt

Gambar 8. Membuka Graphic 2 Tujuannya

adalah

untuk

menggambar trayektori solusi dan potret fase Sistem (8) 4.

Membuat titik C ditempatkan di Graphic 2, yaitu C = (y(A),y(B)), sebagai nilai awal dari trayektori solusi

5.

Menginput fungsi ruas kanan dari Sistem (8), dalam hal ini diambil

  0.33 dan   0.48 , sedangkan S


egral1, i]), i, 0, 1, 0.01] 10. Menggambar solusi dari S pada Graphic 1, dalam hal ini sumbu-x sebagai

t,

sedangkan

sumbu-y

sebagai S, yaitu Polyline[Sequence[(Element[t, i], Element[R, i]), i, 1, 100]] 11. Membuat barisan F, untuk titik-titik solusi dari I, yaitu F=Sequence[y(Point[numericalInt egral1, i]), i, 0, 1, 0.01] Pemanfaatan … (Emi Nugroho Ratnasari)

32

ISSN: 2088-687X

12. Menggambar solusi dari I pada Graphic 1, yaitu

Berdasarkan langkah 1 – 12, maka diperoleh :

Polyline[Sequence[(Element[t, i], Element[F, i]), i, 1, 100]]

Gambar 9. Graphic 1 (sebelah kiri) menyatakan solusi dari S (warna merah) dan I (warna hijau). Graphic 2 menyatakan trayektori solusi dan potret fase Sistem (8).

Berdasarkan Gambar 9 bagian

dengan

memanfaatkan

Graphic 1 tampak bahwa populasi S turun

Diharapkan

karena masuk ke kelas I, pada saat itu

software

populasi I akan naik. Sementara dari

mengenai perilaku solusi suatu sistem

Graphic 2 dapat terlihat bahwa solusi

persamaan diferensial menjadi lebih baik

menuju ke titik ekuilibrium

 0, 0 

T

,

artinya di titik ini solusinya stabil.

ini

menggunakan

penguasaan

konsep

lagi. Pustaka Ademola, A. T., & Arawomo, P. O.

Kesimpulan Geogebra

dengan

Geogebra.

sangat

bermanfaat

dalam pembuatan grafik fungsi. Pada paper ini lebih menekankan bagaimana cara mendapatkan trayektori solusi dan potret fase suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear

(2011). Stability, Boundedness and Asymptotic Behaviour of Solutions of Certain Nonlinear Differential

Equations

of

the

Third Order. Kragujevac Journal of Mathematics, 35(No 3), 431445.



ISSN: 2088-687X

33

Bakare, E., Nwagwo, A., & Danso-Addo, E.

(2014).

Congress

on

Control

Mathematical Education. Mexico.

Analysis of an SIR epidemic

Keeling, M., Tildesley, M., House, T., &

Model

Optimal

International

with

Constant

Recruitment.

International

Journal of Applied Mathematical Research, 273-285.

Models

Population

in

Biology

Epidemiology.

New

and York:

Springer.

A

Contribution

Mathematical Epidemics.

Proc.

to

the

Theory

of

Royal

Soc.

London, (pp. 700-721).

of

Solutions

of

Difference Equations Supported by

Geogebra:Exploring

Kepler

General

Journal

Mathematics,

Vol.14(No.2), 55-58.

for

International

Technology

in

Z.

146.

(2008).

Perko, L. (2001). Differential Equations

Teaching and Learning Calculus

and Dynamical Systems. New

with Free Dynamic Mathematics

York: Springer-Verlag.

Software

Lavicza,

Problem.

the

Mathematics Education, 17, 141-

Hohenwarter, M., Hohenwarter, J., Kreis, &

Vaccination.

Mathematics TODAY, pp. 40-43.

Differential Equations as x->~.

Y.,

of

Kovacs, Z. (2010). Modelling with

Bucur, A. (2006). About Asymptotic Behaviour

Mathematics

Kermack, W., & McKendrick, A. (1927).

Brauer, F., & Castillo-Chavez, C. (2001). Mathematical

Danon, L. (2013, February). The

GeoGebra.

11th

Ross, S. L. (1984). Differential Equation. Canada: John Wiley & Sons, Inc.



34


ISSN: 2088-687X


ISSN: X 23 PEMANFAATAN GEOGEBRA UNTUK MENGGAMBAR POTRET FASE SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

Recommend Documents