JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak) ISSN 2549-6646 (Media Online)
Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik Menggunakan Matlab Silmi 1, Rina Anugrahwaty 2 Staff Pengajar Politeknik Negeri Medan Teknik Mesin 1 Staff Pengajar Politeknik Negeri Medan Teknik Telekomunikasi 2
[email protected] 1,
[email protected] 2 Abstract The linear system is widely used and applied in solving electric circuit problems. The linear equation can be solved using the Gaussian elimination method. To calculate n equations by the unknown number of n of large and complex systems, it takes a long time and is not efficient. The procedure performed by converting the linear equations into the form of augmentation matrix is then operated into a triangular matrix. Implementation of the Gauss elimination method shows the manual calculation results and designed Matlab software are not different. This is proven by applying to seven (7) linear equations, the current quantities from I1 to current I6 are equal to zero (0) and the current I7 equals one (1).
Keywords: Gaussian Elimination, electric circuit, Matlab Abstrak Sistem persamaan linier banyak digunakan dan diterapkan dalam penyelesaian permasalahan rangkaian listrik. Persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss. Untuk menghitung n persamaan dengan jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang besar dan kompleks, membutuhkan waktu yang cukup lama dan tidak efisien. Prosedur yang dilakukan dengan mengkonversi persamaan linear ke dalam bentuk matriks augmentasi kemudian dioperasikan menjadi matriks triangularisasi. Implementasi dari metode eliminasi Gauss menunjukkan hasil perhitungan secara manual maupun menggunakan Matlab tidak ada perbedaan. Hal ini dibuktikan dengan menggunakan tujuh (7) persamaan linear, besaran arus dari I1 sampai I6 hasilnya nol (0) dan arus I7 sama dengan satu (1). Kata Kunci : Eliminasi Gauss, rangkaian listrik, Matlab 1. Pendahuluan 1.1. Latar Belakang Komputer adalah salah satu teknologi yang sangat berkembang dan penerapannya telah dimanfaatkan dalam persoalan matematika berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia dan rekayasa seperti teknik sipil, mesin, elektro dan sebagainya. Peranan komputer tersebut mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan.. Salah satu penggunaan sistem persamaan linear pada rangkaian listrik adalah dengan menggunakan metode eliminasi Gauss. Namun, untuk menghitung jumlah n persamaan dengan jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang sangat besar dan kompleks, diperlukan komputer untuk menghitung persamaan rangkaian listrik tersebut. Matlab dapat membantu penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi Gauss [1]. Tulisan ini bertujuan untuk memberikan solusi penyelesaian metode eliminasi gauss pada rangkaian listrik dengan menggunakan Matlab, agar tidak membutuhkan yang lama untuk menghitung persamaan tersebut.
2. Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks menjadi matriks yang lebih sederhana dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris menjadi matriks eselon-baris. Metode ini mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks augmentasi dan mengoperasikannya. Sistem persamaan linier merupakan salah satu sistem persamaan yang terdiri dari sejumlah persamaan dan variabel yang berhingga. Untuk dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel-variabel persamaan tersebut. Ada dua metode untuk mencari penyelesaian persamaan [2] : 1. Metode langsung, yang mana terdiri dari metode eliminasi Gauss, eliminasi GaussJordan, matriks invers dan metode dekomposisi LU. 2. Metode tak langsung, yang sering disebut juga metode iterasi. Metode ini terdiri dari
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak) ISSN 2549-6646 (Media Online)
metode iterasi Jacobi dan metode iterasi Gauss-Seidel. Adapun bentuk umum dari sistem persamaan linier adalah sebagai berikut [3] :
+
⋮
+
+
+
+
…+ …+ …+
+
=
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear pada rangkaian listrik dengan metode eliminasi Gauss adalah mencari nilai-nilai variabelnya. Sebagai contoh penerapan rangkaian listrik dengan menggunakan metode eliminasi Gauss [4] dapat dilihat pada gambar 1.
=
=
Penyelesaian dengan menggunakan metode eliminasi Gauss terdiri dari beberapa tahap, yaitu: 1. Konversi persamaan linear ke dalam bentuk matriks teraugmentasi.
+2 + =6 +3 +2 =9 2 + + 2 = 12
Maka, persamaan linear yang dikonversi ke dalam bentuk matriks teraugmentasi adalah:
2.
1 2 1 3 2 1
1 2 2
Gambar 1. Rangkaian listrik. Persamaan yang diperoleh adalah sebagai berikut :
6 9 12
Kemudian operasikan matriks yang telah dikonversi ke dalam bentuk matriks teraugmentasi dengan proses triangularisasi. Baris ke-2 pada matiks dikurangi dengan baris ke-1.
1 0 2
2 1 1 1 1 2
2 1 3 2 −3 0
6 3 1
0 ( 0 −1
1 1 1 1 0 3
6 3 0
6 3 9
3.
4.
2 1 1 1 0 1
)
)∙ )∙
= =
(
+ 1
) =
12 = 8 0
=
0
Selanjutnya dikonversi ke dalam bentuk matriks triangularisasi dengan cara menjadikan baris ketiga kolom kedua bernilai = 0.
Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-3:
1 0 0
+
1 0 8 6 0 6 9 −1 1 1
Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2:
1 0 0
+( + +( +
Persamaannya dapat disusun ke kembali dalam bentuk matriks berikut :
Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1:
1 0 0
∙ ∙
=
6 3 3
Setelah terbentuk matriks baru dan diperoleh persamaan linear baru, yaitu:
+2 + =6 + =3 =3
′ ′ ′
Lakukan subsitusi balik maka diperoleh:
′
+ =3→ +3=3→ =0 + 2 + = 6 → + 2(0) + 3 = 3
3. Analisis rangkaian listrik dengan metode eliminasi Gauss
′
31
0 8 0 6 −1 1
6 12 −1 1 1 0 9 8 → 0 6 9 8 1 0 0 8 6 12
8 = 1.333 6 = − ∙ = 0 − 1.333 ∙ 0 = 0 = − ∙ = 8 − 1.333 ∙ 6 = 0 = − ∙ = 6 − 1.333 ∙ 9 = −6 = − ∙ = 12 − 1.333 ∙ 8 = 1.333 −1 1 1 0 = 0 6 9 8 0 0 −6 1.333
=
=
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak) ISSN 2549-6646 (Media Online)
Nilai arus masing-masing hambatan rangkaian listrik tersebut adalah sebagai berikut:
= =
=
4.
=
diagonal suatu matriks, tetapi jika ada elemen diagonal yang bernilai 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang dibawahnya sampai elemen diagbal matriks menjadi nol. 3. Lakukan proses triangularisasi. 4. Hitung nilai . 5. Lakukan subsitusi mundur untuk memperoleh nilai variabel yang dicari.
1.333 = −0.222 −6 − ∙ 8 − 9 ∙ −0.222 = = 1.666 6 −( ∙ + ∙ ) =
0 − (1 ∙ −0.222 + 1 ∙ 1.666) = 1.444 −1
Matlab Salah satu perangkat lunak (software) yang digunakan untuk perhitungan matematika adalah Matlab. Matlab merupakan singkatan dari matrix laboratory, yang mana digunakan sebagai pengembangan algoritma matematika dan komputasi, pemodelan, simulasi dan pembuatan protipe dari penerimaan data dan pengembangan aplikasi berbasis grafik dan pembuatan Graphical User Interface (GUI). Hal yang paling penting untuk diketahui, seluruh perhitungan yang dilakukan pada perangkat lunak ini dilakukan secara matematis dalam bentuk matriks. Gambar 2 menunjukkan tampilan dari Matlab [5].
Gambar 3. Algoritma eliminasi Gauss Pada kasus jumlah n persamaan dengan jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang sangat besar dan kompleks, diperlukanlah Matlab untuk melakukan perhitungan dalam mencari solusi. Gambar 2. Tampilan Matlab default setting 5.
Implementasi dan Pembahasan Adapun algoritma eleminasi Gauss adalah sebagai berikut: 1. Konversi sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks augmentasi. 2. Periksalah elemen-elemen pivot, apakah ada yang bernilai nol. Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati
1. Penyelesaian menggunakan 3 buah persamaan linear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihat pada Gambar 4. I2
I3 I1
R1 2 O hm
R2 6 O hm
R3 3 O hm
32 V1 1 2 V o lt
V2 8 V o lt
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35 0 8 6 0 6 9 −1 1 1 ′
Gambar 4. Rangkaian listrik untuk 3 persamaan linear
ISSN 2338-5677(Media Cetak) ISSN 2549-6646 (Media Online)
12 = 8 0
−1 1 1 0 0 6 9 8 0 0 −6 1.333
=
Setelah dibentuk matriks triangular, maka subsitusi kembali ke dalam bentuk persamaan, sehingga diperoleh arus masing-masing sebagai berikut:
=
= =
=
=
.
= −0.222167
− (
∙ ∙
8 − 9 ∙ −0.222167 6 = 1.666583 =
∙ )
0 − (1 ∙ −0.222167 + 1 ∙ 1.666583) −1 = 1.444416
Dengan menggunakan Matlab besaran arus adalah : I3 = - 0,222; I2 = 1,666 dan I1 = 1,444
2. Penyelesaian menggunakan 6 buah persamaan linear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihat pada Gambar 6.
Gambar 4. Proses Pembentukkan Matriks dan subsitusi persamaan.
Gambar 6. Rangkaian listrik untuk 6 persamaan linear
Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapat persamaan sebagai berikut [4]:
Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapat persamaan sebagai berikut :
0 + 8 + 6 = 12 0 +6 +9 =8 − + +1 =0
Dari persamaan di atas dapat disusun ke dalam persamaan di bawah berikut:
33
76 − 25 − 50 + 0 + 0 + 0 = 10 −25 + 56 − − 30 + 0 + 0 = 0 −50 − 1 + 106 − 55 + 160 − 25 =0 0 − 30 − 55 + 160 − 25 − 50 =0
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak) ISSN 2549-6646 (Media Online)
0 + 0 + 0 − 25 + 56 − 1 = 0 0 + 0 + 0 − 50 − 1 + 106 = 0
−27 = 105 − 43 − 34 24 = 141 − 35 − 34 − 72 5 = 105 − 35 − 43
Bentuk matriks triangular:
0 0 76 −25 −50 0 10 ⎡−25 56 0 −1 −30 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢−50 −1 106 −55 160 −25 0⎥ −30 −55 160 −25 −50 0⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ 0 −25 56 −1 0 ⎥ ⎣ 0 0 0 −50 −1 106 0⎦
Setelah dibentuk matriks triangular dan subsitusi dalam bentuk persamaan, diperoleh arus masingmasing sebagai berikut: I1 = 0,2706 A; I2=0,1748 A; I3=0,1239 A; I4 = 0,0966 A; I5=0,0439 A; I6=0,0460 A.
Gauss
72 ⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ −16 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ −35
0 0 0 0 −87 ⎤ 0 ⎥ 0 −72 233 ⎥ −28 −35 −34⎥ 105 −34 0 ⎥ −34 141 −72 ⎥ −43 0 0 ⎦
0 −17 −35 122 −35 0 −87 −34 0 0 −35 149 −43 0 −28 0 0 −35 105 0 0
dengan
Setelah dibentuk matriks triangular dan subsitusi dalam bentuk persamaan, diperoleh arus masingmasing sebagai berikut: I1 = 0 A; I2 = 0 A; I3 = 0 A; I4 = 0 A; I5 = 0 A; I6 = 0 A; I7 = 1 A. Dengan menggunakan Matlab besaran arus adalah: I1 = 0 A; I2 = 0 A; I3 = 0 A; I4 = 0 A; I5 = 0 A; I6 = 0 A; I7 = 1 A. Dari hasil perhitungan dengan cara manual dan menggunakan Matlab, besaran arus dengan 3, 6 dan 7 persamaan linear tidak ada perbedaan, misalnya dengan menggunaan 7 persamaan linear arus I1 sampai dengan arus I6 menghasilkan arus yang sama yaitu sama dengan nol (0) dan arus I7 sama dengan satu (1).
Dengan menggunakan Matlab besaran arus dapat adalah : I1 = 0,2706 A; I2=0,1748 A; I3=0,1239 A; I4 = 0,0966 A; I5=0,0439 A; I6=0,0460 A. 3.
Penerapan eliminasi menggunakan Matlab adalah : a. Matriks triangular:
Penyelesaian menggunakan 7 buah persamaan linear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihat pada Gambar 7.
6. Kesimpulan Matriks yang digunakan pada Matlab memerlukan matriks augmentasi sebagai input yang tidak dapat dibentuk secara otomatis di Matlab, sehingga perlu dibentuk persamaan linear yang diperoleh dari rangkaian listrik dengan menggunakan hukum Kirchoff. Berdasarkan pembahasan yang dilakukan dengan menggunakan 3, 6 dan 7 persamaan linear dari rangkaian listrik, implementasi metode eliminasi Gauss menggunakan Matlab dapat membantu proses perhitungan dengan hasil yang akurat dan tidak membutuhkan waktu yang lama.
Gambar 7. Rangkaian listrik untuk 7 persamaan linear Dari rangkaian listrik di atas diperoleh 7 persamaan linear dengan menggunakan hukum Kirchoff adalah sebagai berikut [6]:
−26 = 72 − 17 − 35 34 = 122 − 35 − 87 −4 = 233 − 87 − 34 − 72 −13 = 149 − 17 − 35 − 28 − 35 − 34
7.
Daftar Pustaka
[1] Suparno, Supriyanto. 2014. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab. Jakarta: Universitas Indonesia. [2] Steven, Chapra. 2010. Applied Numerical Methods with Matlab for Engineers and
34
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
[3]
[4]. [5] [6]
ISSN 2338-5677(Media Cetak) ISSN 2549-6646 (Media Online)
Scientists. New Delhi: Mcgraw-Hill Education India. Kisabo, Bhar., Funmilayo, Adebimpe., and Okey, Augustine. 2016. Comparative Analysis of Numerical Solution to a Linear System of Algebraic Equations. International Journal of Systems Science and Applied Mathematics. Vol.1(4): 50-57. Taing, Seamleng, 2001. Algebra and Applications. New York: Springer. Kumar Agam. 2012. Matlab and Simulink for Engineers. USA: Oxford University Press. Bourne, Murray. 2017. Metrics and Linear Equations. http://www.intmath.com/matricesdeterminants/6-matrices-linear-equations.php diunduh 4 Mei 2017.
35
