Irányításelmélet és technika I

Irányításelmélet és technika I. Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök

Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék [email protected]

2010 május 7.

Irányítható kanonikus alak

A állapotegyenletek irányítható (controllability) kanonikus    −a1 . . . −an−1 −an 1  1  0  . . . 0 0    ˙ =  . x(t) .. ..  x(t) +  .. . . .  .  . . . .  0 y (t) =

...

b1 b2 . . .

1 bn

0

alakja     u(t) 

0

x(t)

Mindegyik állapotváltozó (xn kivételével) a hatásirányban következő állapotváltozó deriváltja

Magyar A. (Pannon Egyetem)

Irányításelmélet

2010 május

2 / 16

Megfigyelhető kanonikus alak

A állapotegyenletek megfigyelhető (observability) kanonikus alakja     −a1 1 . . . 0 b1   .  .. .. . . .   . ..  x(t) +  ..  u(t) . . ˙ x(t) =      −an−1 0 . . . 1   bn−1  bn −an 0 . . . 0 y (t) =

1 0 ...

0

x(t)

Az x1 állapot maga a kimenőjel, amely valamennyi állapotváltozóra vissza van csatolva.



2010 május

3 / 16

Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök

Áttekintés

1

Ismétlés

1

Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással



2010 május

4 / 16


Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Szabályozandó rendszer lineáris időinvariáns állapotegyenlete ˙ x(t) = A · x(t) + B · u(t) y (t) = C · x(t) Az állapottér modellnek megfelelő blokkvázlat

Az u-ról y -ra vonatkozó átviteli függvény P(s) = C (sI − A)−1 B =



B(s) B(s) = det(sI − A) A(s)

2010 május

5 / 16


Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Lineáris állapotvisszacsatolás esetén a bemenet: u = KR · r (t) + K · x(t) Zárt rendszer lineáris időinvariáns állapotegyenlete ˙ x(t) = (A − B · K ) · x(t) + KR · B · r (t) y (t) = C · x(t) Az állapottér modellnek megfelelő blokkvázlat

Az u-ról y -ra vonatkozó átviteli függvény C (sI − A)−1 BKR Y (s) Try (s) = = R(s) 1 + K (sI − A)−1 B Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 május

6 / 16



Try (s) =

C (sI − A)−1 BKR Y (s) = R(s) 1 + K (sI − A)−1 B

A zárt rendszer pólusai tervezhetők K -val KR kalibrációs tényező, ennek segítségével lehet beállítani, hogy Try erősítése 1 legyen (Try (0) = 1-ből) KR =


K · A−1 B − 1 C · A−1 · B


2010 május

7 / 16


Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással

Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Alapelv: úgy kell megválasztani a K visszacsatoló vektort, hogy a zárt rendszer karakterisztikus polinomja az előírt R(s) legyen: n Y R(s) = (s −si ) = s n +r1 s n−1 +· · ·+rn−1 s +rn = det(sI −A+B ·K ) i=1

A feladat megoldható, ha a rendszer irányítható Irányíthatósági kanonikus alakot feltételezve    −a1 . . . −an−1 −an  1  ... 0 0     ˙ x(t) =  . + x(t)   .. .. ..  ..  . . .  0 ... 1 0 y (t) =

b1 b2 . . .


bn

1 0 .. .

    u(t) = AC x − B C u 

0

x(t) = C C x


2010 május

8 / 16



Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással     

A megoldandó tervezési egyenlet AC − B C K C =     −a1 . . . −an−1 −an −r1 1  1  0  1 ... 0 0      .. .. .. − ..  K C =  .. ..  . . . . .   .  0 0 ... 1 0 0

... ... .. . ...

 −rn−1 −rn 0 0   .. ..  . .  1 0

A megoldás (irányítható kanonikus alakra!) K C = r1 − a1 r2 − a2 , . . . , rn − an A kalibrációs tényező értéke rn an + (rn − an ) = KR = bn bn A zárt rendszer átvitelil függvénye Try = Magyar A. (Pannon Egyetem)

KR B(s) R(s)


2010 május

9 / 16



Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással A megoldás nem irányíthatósági kanonikus alakban levő rendszer esetében bonyolultabb Bass-Gura algoritmussal K = K C · T C = K C M CC M −1 C ahol T C = M CC M −1 az irányíthatósági kanonikus alakra hozó C transzformációs mátrix Ackermann módszerrel −1 K = BT C M C R(A)

A kalibrációs tényező értéke KR = Magyar A. (Pannon Egyetem)

K · A−1 · B − 1 C · A−1 · B


2010 május

10 / 16


Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás

Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Az állapotvisszacsatoláshoz szükség van a rendszer állapotának értékére, ami többnyire nem mérhető ⇒ állapotbecslő, vagy megfigyelő



2010 május

11 / 16



Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Az állapotvisszacsatolás alakja u(t) = KR · r (t) − K · xˆ Belátható, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye megegyezik a megfigyelő nélküli visszacsatolt rendszerével Try (s)

KR B(s) KR P(s) = 1 + K (sI − A)−1 B R(r )

A megfigyelő akkor jó, ha az x˜ = x − xˆ állapothiba dinamikája stabil x˜˙ = (A − L · C )˜ x

∼

(x˙ = (A − B · K )x) !!!

Előírt karakterisztikus polinom det(sI − A + L · C ) = F(s) = s n + f1 s n−1 + · · · + fn−1 s + fn Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 május

12 / 16




A megoldandó  −a1 1  .. ..  . .   −an−1 0 −an 0

tervezési egyenlet AO − LO C O =   T  ... 0 −f1 1 . . . 1   0  .. .. . . ..  .. . . −L   = . . .   O  ..   −fn−1 0 . . .  .  ... 1  ... 0 0 −fn 0 . . .

 0 ..  .   1  0

A megoldás, ami gerentálja az előírt pólusokat (megfigyelhető T kanonikus alakra!) LO = f1 − a1 f2 − a2 , . . . , fn − an



2010 május

13 / 16



Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás A megoldás nem megfigyelhetőségi kanonikus alakban levő rendszer esetében bonyolultabb L = (T O )−1 · K C = M −1 MO L O O O ahol T O = (M O )−1 M O a megfigyelhetőségi kanonikus alakra hozó O transzformációs mátrix Dualitás az állapotvisszacsatolás és a megfigyelő tervezési módszerek között: A ↔ AT , B ↔ C T , K ↔ LT , M CC ↔ (M O )T O A rendszer és az állapothiba együttes dinamikája A−B K B K x˙ x KR B = + r 0 A−L C x˜ 0 x˜˙ Karakterisztikus egyenlete: R(s) · F(s) Magyar A. (Pannon Egyetem)


2010 május

14 / 16


Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással

Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással Állapotvisszacsatolás előnyei a módszer stabil és instabil rendszerekre is működik robusztus módszer (nem érzékeny a paraméterek pontos ismeretére)

Állapotvisszacsatolás hátrányai a maradék hibát a kalibrációs tényezővel tudjuk kikűszöbölni zérusokat nem tudjuk megváltoztatni zavarelhárítás nem tervezhető közvetlenül

Megoldás: további szabályozási lépcső, kaszkád integráló szabályozó



2010 május

15 / 16


Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással

Kétlépcsős tervezési módszer állapotvisszacsatolással Új állapotváltozó: δ(t) =

R

r (τ ) − y (τ )d τ - a hibajel integrálja

A zárt rendszer állapotegyenlete ˙ x(t) A 0 x(t) B 0 ∗ x˙ (t) = ˙ = + u(t) + r (t) δ(t) 0 −1 C 0 δ(t) = A∗ − B ∗ K ∗ x ∗ (t) + V ∗ r (t) A bemenet: u(t) = − K

KR

x(t) δ(t)

= −K ∗ x ∗ (t) = KR

Z

t

e(τ )d τ −K ·x(t) 0

A tervezés egylépésben a kiegészített rendszerre, a korábban megismert módszerekkel (pl. Ackermann)



2010 május

16 / 16

Irányításelmélet és technika I

Recommend Documents