Intelligente feedback in e learning

Intelligente feedback in e­learning  Hans Cuypers  Gemma Corbalan  Bastiaan Heeren Erik Jansen Johan Jeuring Jan Willem Knopper Josje Lodder Rick van der Meiden Wouter Pasman E­learning systemen zijn uitermate geschikt om onderwijsmateriaal via het web te ontsluiten en om de communicatie  tussen docent en student bij afstandsonderwijs te faciliteren. We zien dit o.a. in de zgn. Electronische Leer  Omgevingen (ELO's). Er zijn echter ook andere vormen van e­learning, zoals het gebruik van de computer als  intelligente tutor. Deze vorm van e­learning, aanvankelijk onder de naam Computer­Aided Instruction (CAI), heeft  de afgelopen decennia veel minder ingang gevonden. Het is ook veel moeilijker gebleken om de student bij het leren  zelf te ondersteunen. Dat vraagt om het kunnen volgen van het leerproces van de student en het kunnen bijsturen  waar nodig. In dit artikel beschrijven we de resultaten van een onderzoeksproject1 op het gebied van e­learning voor  wiskunde, in het bijzonder de lineaire algebra. Hoewel lineaire algebra een typisch wiskundevak is, zijn de resultaten  van het onderzoeksproject ingezet in een informatica­opleiding, en zijn de resultaten van het project ook relevant  voor andere informatica­vakken waarin algebraïsche vaardigheden aan bod komen, zoals semantiek,  programmacorrectheid, etc. We beschrijven een strategietaal en een parser waarmee oplossingspaden kunnen worden  beschreven en waarmee de stappen van de student gevolgd kunnen worden. Vervolgens kan daarmee automatisch  feedback worden gegenereerd tijdens het oplossen van de som en niet alleen achteraf.  E­learning voor wiskunde Door de invoering van het studiehuis en de automatische rekenmachine op de middelbare school blijken de  algebraïsche vaardigheden van aankomende studenten in het hoger onderwijs steeds verder achter te lopen bij het  gewenste niveau van de aansluitende universitaire opleiding (Eindrapport NKBW2). Daarom worden nu instaptoetsen  en bijspijkercursussen georganiseerd. De resultaten van deze toetsen en cursussen laten echter zien dat in veel  gevallen aanvullend maatwerk nodig is. Soortgelijke problemen zijn er ook bij de overgang van MBO­HBO en HBO­ WO. Verder staat het wiskunde onderwijs in het algemeen, ook bij de informatica­opleidingen, onder druk door de  toename van “actieve" werkvormen zoals projectonderwijs en practica bij andere vakken. Deze onderwijsvormen  leggen een groot beslag op de student en concurreren daardoor in tijd met de wiskunde die het nog moet doen met de  klassieke instructie en huiswerk in de vorm van individuele oefenopgaven.  E­learning zou als actieve onderwijsvorm een goed alternatief kunnen zijn voor de traditionele "passieve"  onderwijsvormen, als het meer zou doen dan alleen het electronisch ontsluiten van leerstof die nu ook al in  boekvorm beschikbaar is. E­learning kan pas meerwaarde bieden als het ook feedback naar de student zelf kan  geven. Leren is een gecompliceerd proces waarbij een vorm van “tutoring” essentieel is.  De standaard vorm van e­learning voor wiskunde gaat uit van een oefenbank met opgaven die de student met potlood  en papier maakt en door de computer laat verifiëren door het antwoord in te typen. Het systeem kan een "goed" of  "fout" geven, al of niet gevolgd door een aanwijzing. Voor het toetsen van het antwoord wordt vaak een Computer  Algebra Systeem (CAS) gebruikt zoals Maple, Mathematica of Matlab. Daarmee wordt het  e­learning systeem een  stuk beter bestand tegen bepaalde variaties in de vorm van de antwoorden: (1+x)^2 is wiskundig gelijk (equivalent)  aan x^2+2x+1, maar een simpele parser zou dit mogelijk fout rekenen. Verder maakt een CAS het mogelijk om  "geparametriseerde" opgaven te gebruiken, dwz. hetzelfde type som kan worden aangeboden in verschillende  uitvoeringen, met verschillende getallen. Het systeem kan zelf het nieuwe antwoord uitrekenen en vergelijken met het  antwoord dat de student geeft.  Als het antwoord echter fout is, dan is het voor een e­learning systeem niet eenvoudig te achterhalen waar de student  een fout gemaakt heeft. Een ervaren leraar kent de veel gemaakte "logische" fouten en kan deze onderscheiden van  simpele rekenfouten, maar ook dan is het geven van individuele feedback niet altijd mogelijk (Baki & Güveli, 2008). 

Voor een e­learning systeem is deze diagnose veel moeilijker te stellen. Een optie is om de opgave dan "in stappen"  te doen. Door eerst een deelvraag te stellen kan het systeem de student een hint geven hoe het probleem aan te  pakken. Stapsgewijs kan de student dan door de opgave geleid worden naar het goede antwoord. Vooral voor een  beginner die met opgaven oefent is het belangrijk om bij iedere stap feedback te krijgen (Mory, 2003). Het MathDox  systeem zoals ontwikkeld aan de TU Eindhoven (zie box 1) heeft onder andere deze optie geïmplementeerd.  Een andere optie is het e­learning systeem te gebruiken als een electronische rekenmachine die de opgave in stappen  uitvoert op aangeven van de student. Vanuit de beginsituatie selecteert de student (voorgeprogrammeerde) operaties  die door het systeem worden uitgevoerd, totdat het eindantwoord bereikt is. De student moet zelf de juiste stappen  bedenken en uitvoeren maar het rekenwerk wordt door het systeem gedaan. Nu weet het systeem wél welke  opdrachten gegeven zijn en kan het de gekozen stappen direct vergelijken met de beoogde oplossingsprocedure. Een  dergelijk systeem is ontwikkeld aan de TU Delft (zie box 2).  Nog een ander systeem gaat uit van een vrije invoer. Het e­learning systeem is dan een editor waarmee de student  een opgave kan uitwerken door de berekening geheel op de computer uit te voeren. Door “mee te lezen” kan het  systeem proberen te achterhalen welke operaties en denkstappen de student heeft uitgevoerd. Dit is de opzet van de  Exercise Assistant ontwikkeld aan de Open Universiteit Nederland (zie box 3).  Naast de hier genoemde systemen zijn er ook diverse commerciële systemen met vergelijkbare functionaliteit zoals  Aleks3, MyMathLab4 en WebAssign5.  Al deze meer intelligente interfaces veronderstellen expliciete kennis van het domein, van de mogelijke operaties  binnen dat domein, en van procedures (strategieën) om opgaven met behulp van die operaties op te lossen. De docent  die een opgave bedenkt en invoert in een e­learning systeem zou in principe al deze kennis expliciet in het systeem  moeten inbrengen om gericht feedback te kunnen geven. Dit is echter niet altijd eenvoudig.  Ten eerste zijn de meeste oplossingsmethoden – ondanks het exacte wiskundige domein – toch op een vrij intuïtieve  manier in taal beschreven, bv. de regel “breng de breuken op een gelijke noemer”.  Automatische verwerking door  een computer van deze suggestie vraagt een veel formelere beschrijving. Ten tweede zijn er vaak meerdere  oplossingsmethoden mogelijk, en ook binnen één methode zijn vaak vele variaties toegestaan. Zo kun je van 4x(5­2)  eerst 4 x 3 maken, maar je kunt ook eerst de haakjes wegwerken en 4x5 en 4x2 uitrekenen en die dan van elkaar  aftrekken. Ook kunnen sommige getalcombinaties bepaalde stappen van een procedure overbodig maken of het  eindantwoord kan al duidelijk zijn voordat de procedure geheel is afgelopen. Het is dus én veel werk én nauwelijks te  overzien om deze kennis expliciet in een e­learning systeem in te brengen. Aanvullend moet de docent dan nog hints  en andere feedback op de juiste plaatsen toevoegen. Zoals gezegd kunnen die plaatsen talrijk en zeer variabel zijn.  Strategietaal In plaats van alle mogelijke feedback door de docent te laten invoeren, zou het eenvoudiger en efficiënter zijn als het  systeem zelf de feedback zou kunnen genereren vanuit een specificatie van de oplossingsmethode. De  oplossingsmethode zouden we kunnen beschrijven als een serie wiskundige operaties, die enerzijds bestaat uit  herschrijfoperaties zoals het onder één noemer brengen bij breuken, en anderzijds uit rekenregels zoals optellen en  aftrekken voor het evalueren van wiskundige expressies. Een oplossing bestaat uit een aantal stappen waarin deze  elementaire operaties worden uitgevoerd. Zoals gezegd is ook het type operatie en het aantal stappen niet altijd vast  maar mede afhankelijk van de gegeven uitgangssituatie en berekende tussenresultaten. Tijdens het aflopen van de  stappen moet er dus ook gerekend worden.  Een strategietaal zoals Stratego (Visser, 1998) wordt in de informatica gebruikt om te beschrijven hoe expressies  getransformeerd kunnen worden. Strategieën worden bijvoorbeeld gebruikt bij het vertalen van  computerprogramma’s. Een strategietaal biedt een aantal operatoren waarmee herschrijfstappen worden  gecombineerd. Om het stappenplan voor een opgave flexibel te beschrijven als een volgorde van basisoperaties  gebruiken we een strategietaal (Heeren et al. 2008). Nuttige operatoren in een strategietaal zijn: • Sequence specificeert een volgorde van operaties of deelstrategieën.  • Choice geeft een keuze aan tussen twee strategieën.  • Repeat­exhaust herhaalt een operatie/deelstrategie tot de operatie niet meer toepasbaar is. • Succeed / fail  zijn strategieën die altijd slagen / falen.  • Traversals passen een operatie of deelstrategie bijvoorbeeld top­down, of bottom­up toe.

• Parallel geeft aan dat twee strategieën parallel kunnen worden uitgevoerd waarbij de afzonderlijke operaties van  iedere strategie elkaar kunnen afwisselen. • Labels markeren posities in strategieën, en worden gebruikt voor hints of andere feedback. De basiscombinatoren van een strategietaal corresponderen met de bouwstenen van een context­vrije grammatica.  De elementaire wiskundige operaties kunnen dan als het alfabet worden gezien waarmee een strategie zinnen  samenstelt. Met een gegeven strategiebeschrijving kunnen we een mogelijk oplossingspad herkennen als een  specifieke zin die voldoet aan de grammatica van die strategie. Met een parser kunnen we controleren of een  gegeven volgorde van operaties tot de taal van de grammatica behoort. Zo volgen we de student stap voor stap en  controleren we of hij nog op het goede pad is. Wijkt de student af van de toegestane paden dan kan het systeem op  basis daarvan een waarschuwing geven, of een hint waarin aangegeven wordt welke stap wel correct is. Ook kan het  systeem op verzoek een volledige uitwerking geven, door de strategiebeschrijving af te lopen.  Als voorbeeld nemen we de optelling 1/2 + 2/3 + 5/6. Binnen het domein van expressies met breuken hebben we volgende rekenregels: 1. Optellen van twee breuken 2. Vermenigvuldigen van twee breuken  3. Schalen van teller en noemer van een breuk 4. Vereenvoudigen van een breuk Een mogelijke strategie voor het optellen van breuken is om paarsgewijs, van links naar rechts, twee breuken bij  elkaar op te tellen: stap 1. Vind het kleinste gemene veelvoud (kgv) van de noemers van beide breuken stap 2. Schaal beide breuken, zodat de noemers gelijk worden aan het kgv stap 3. Tel beide breuken op stap 4. Vereenvoudig stap 5. Herhaal stap 1 t/m 4 zolang er meer dan één breuk is De eerste stap is geen herschrijfstap (het verandert de oorspronkelijke expressie niet) maar  voert een berekening uit.  Om de regels voor het optellen van twee breuken te combineren tot een strategie is alleen de Sequence operator  nodig. Het herhalen van de strategie om alle breuken bij elkaar op te tellen wordt bereikt met een Repeat­exhaust.  In een alternatieve strategie worden alle drie de breuken eerst op één noemer gebracht. Om alle breuken op één  noemer te brengen bepalen we eerst het kgv van alle noemers, en gebruiken we Repeat­exhaust om alle breuken op  één noemer te brengen. Vervolgens worden alle resultaten paarsgewijs bij elkaar geteld door weer een Repeat­ exhaust te gebruiken. We kunnen de keus tussen de twee strategieën vrij laten door ze te combineren met de Choice  operator. Willen we de student de vrijheid laten om eerst 2/3 + 5/6 bij elkaar op te tellen en te vereenvoudigen omdat  dit het eenvoudige tussenresultaat 3/2 biedt wat weer direct bij 1/2 kan worden opgeteld, dan kunnen we met behulp  van de Choice operator nog een strategie toevoegen. Feedback Het genereren van feedback uit een strategiebeschrijving kan op verschillende manieren.  Ten eerste kan de strategiebeschrijving gebruikt worden voor het uitleggen van de gehele procedure. De hele  procedure kan automatisch worden uitgevoerd, waarbij verschillende stappen en tussenresultaten aan de student  worden getoond. Ten tweede kan de strategie worden gebruikt om deel­vragen te stellen. Door gebruik te maken van  deelstrategieën wordt een complexe procedure opgesplitst en worden corresponderende deelvragen gegenereerd Ten derde kan het systeem aan de hand van de strategie hints genereren. Door middel van deelstrategieën kan op  verschillende niveaus hints worden gegeven. Na het vragen van een algemene hint kan het systeem bij een volgende  hint meer specifieke aanwijzingen geven door de eerstvolgende deelstrategie af te dalen en uitleg te geven over de  concrete stappen binnen die deelstrategie. Als dat nog niet duidelijk is dan kan het systeem de eerstvolgende echte  stap als hint geven, en bij herhaling de daarop volgende stappen. Binnen het project Intelligente Feedback zijn twee feedback componenten geïmplementeerd, die het domein van de  lineaire algebra bestrijken. Aan de Open Universiteit Nederland is een feedback component in Haskell 

geïmplementeerd, die als webservice beschikbaar is. Het Eindhovense MathDox systeem maakt van deze service  gebruik om binnen opgaven feedback aan studenten te geven. De TUD heeft de feedback component ingebouwd in  het LA­systeem, een applicatie die binnen Mathematica draait. Binnen deze applicatie kunnen opgaven gemaakt  worden met behulp van de feedback component. User tests Er zijn drie user tests gehouden om de werking van de feedback te testen.  Een eerste test met het MathDox systeem was gericht op de vraag welke vorm van feedback het meest gewaardeerd  wordt. Vergeleken zijn de opties "eindantwoord" (het systeem bepaalt of het eindantwoord goed of fout is), “in  stappen” (het systeem stelt bij een fout antwoord de opgave opnieuw maar nu in deelvragen) en “volledige  uitwerking” (het systeem toont eerst een volledige uitwerking, waarna de student zelf weer een soortgelijke opgave  ter oplossing krijgt). De “in stappen” variant werd meer gewaardeerd voor moeilijke opgaven dan voor makkelijke  opgaven. Voor eenvoudige opgaven was het beantwoorden van deelvragen te omslachtig, terwijl voor moeilijke  opgaven de hints van de afzonderlijke deelvragen juist gewaardeerd werden, ondanks de extra moeite die gedaan  moest worden om de wiskundige tussenresultaten in te voeren. De variant “volledige uitwerking” werd ook goed  gewaardeerd, terwijl de variant “eindantwoord” het minst gewaardeerd werd. De informatieve waarde van deze  variant wordt gering geacht.  In een tweede test is een versie van MathDox met alleen feedback op het eindantwoord  vergeleken met een versie  van MathDox met alle feedbackopties. De twee groepen van ongeveer 15 studenten maakten een serie oefenopgaven  gedurende twee sessies van 10 opgaven per sessie en deden vervolgens een post­test (oefententamen met potlood en  papier). Daaruit bleek dat de groep met alle feedback opties beter scoorden op de post­test, met name op de wat  moeilijkere opgaven. De groep met de uitgebreide feedback scoorde ook hoger zowel op een perceptie als een  motivatie enquête afgenomen na afloop van de oefensessies. Een derde test was gericht op het vergelijken van het MathDox systeem met het LA­systeem. De studenten (acht  resp. negen) werkten drie dagdelen met het hen toegewezen systeem aan een dertigtal opgaven. Na het afronden van  de opgaven werd een post­test van zes opgaven afgenomen, en vulden ze een uitgebreide enquête in over de  gebruiksvriendelijkheid van het systeem, over de kwaliteit van de feedback, en over de voorkeuren in leerstijlen, dwz.  hoe ze de huidige onderwijsvormen waardeerden en welke rol ze voor e­learning zagen.  De scores van de beide groepen op de post­test verschilden weinig met uitzondering van één opgave die beter werd  gemaakt door de studenten van het LA­systeem. Dit was achteraf geheel toe te schrijven aan de manier waarop de  feedback voor die opgave gespecificeerd was in beide systemen. Het laat in ieder geval zien dat de feedback er wel  toe doet.  Het feit dat het LA­systeem alleen procedurele vaardigheden oefent en geen rekenvaardigheden bleek voor de  gebruikers van het LA­systeem geen nadeel in het doen van de post­test met pen en papier. Het oefenen van  procedurele vaardigheden is dus voldoende voor het bereiken van het gewenste leereffect.  Uit de enquête zelf kwam naar voren dat de gebruiksvriendelijkheid van beide systemen als voldoende werd  beoordeeld. Het invoeren van formules in MathDox is niet altijd even handig evenmin als het selecteren van formules  of onderdelen van formules in het LA­systeem. Van de feedback opties waardeerde men de "volledige uitwerking"  het meest. De MathDox gebruikers gaven aan dat ze de "in stappen" optie wat meer zouden hebben gebruikt als ze  ook bepaalde stappen zouden mogen overslaan. Bij het LA­systeem werd de informatiewaarde van de hints goed  gewaardeerd maar hanteerde het systeem vaak een te strikte strategie. De studenten zijn over het algemeen zeer positief over de reguliere vorm van Lineaire Algebra onderwijs  (gecombineerde college en instructie), al volgen ze niet alle instructies en hebben ze moeite om tijd vrij te maken  voor het maken van huiswerk. Wel onderschrijven ze de stelling dat het zelf oefenen van opgaven essentieel is om de  stof te begrijpen. E­learning zou daarbij kunnen helpen. Over de geteste vorm van e­learning is men positief (>4 op  een schaal van 5). Veertien van de zeventien studenten gaven aan een "blended course" dwz. instructies + e­learning  als onderwijsvorm te prefereren. Wel vinden ze dat de systemen nog moeten worden verbeterd.  Discussie Door gebruik te maken van een strategietaal en een parser kunnen we studenten volgen bij het maken van een  opgave, en automatisch feedback genereren. Bij het gebruik zijn we een aantal uitdagingen tegen gekomen:

 ­ Een strategie veronderstelt een aantal logische, bijvoorkeur algebraïsche, stappen. Sommige opgaven, zoals een  vraag om een bewijs te geven voor een bepaalde eigenschap, zijn echter veel minder makkelijk te beschrijven met  behulp van een strategie. Een voorbeeld hiervan is de vraag:  Let U be a subspace of vector space V, and let b be a vector in V but not in U. Is the set U + b a  vector space? Ook hebben wiskunde opgaven vaak een specifiek puzzelelement dat je moet "zien" om de opgave op te lossen. Dit  soort elementen vraagt om herschrijfregels die niet zo maar door docenten kunnen worden toegevoegd zonder de  strategietaal goed te kennen.  ­ Het is eenvoudig om strategieën te schrijven die een grote mate van variabiliteit toe laten. Zelfs kan men besluiten  om een student niet meteen terug te fluiten op het moment dat hij een operatie doet die niet de strategie volgt, maar  ook niet incorrect is (hij zou altijd met een omweg nog op het goede antwoord kunnen komen). We willen daarna  herkennen of een student weer terug op het goede pad komt. Hoe kunnen we dit controleren? ­ Bij problemen waarvoor de strategieën grote variabiliteit toelaten, kan de zoekruimte heel groot worden. Dat kan  het soms lastig maken om snel goede feedback te genereren. In de praktijk zal men dan een compromis moeten  zoeken tussen wat technisch haalbaar is, en wat onderwijskundig wenselijk is.  Conclusies We hebben een strategietaal gepresenteerd voor het beschrijven van oplossingsmethoden voor wiskunde opgaven. De  strategie en parser zijn geïmplementeerd in de functionele taal Haskell, en in Mathematica. We hebben laten zien  hoe automatisch feedback gegenereerd kan worden op basis van een strategiebeschrijving. Initiële user tests laten  zien dat de technieken goed werken en effectief kunnen bijdragen aan het verbeteren van het rendement van het  oefenen van wiskunde opgaven.  Een groot deel van de basisstof van het vak Lineaire Algebra is inmiddels ingebracht. De komende periode zal  verder gewerkt worden aan het inbrengen van de rest van de stof. De ontwikkelde systemen en oefenbanken zullen  beschikbaar worden gesteld via de binnen het NKBW project ontwikkelde repository6. Ook zullen aanvullende  experimenten gedaan worden voor gebruik van de systemen bij tentamenvoorbereiding en voor de aansluiting HBO­ WO.  Wil e­learning succesvol zijn dan dienen systemen zeer betrouwbaar en gebruiksvriendelijk te zijn. In dit project zijn  twee user interface stijlen met elkaar vergeleken. Bij de vrije invoer van het MathDox systeem werkt de student zelf  de opgave uit en toetst het systeem alleen het (deel)antwoord. Dit sluit goed aan bij de traditionele oefenpraktijk,  maar is kwetsbaar voor interpretatiefouten van het systeem want het kan nog geen onderscheid maken tussen een  principe fout en een rekenfout. De select­and­click interface van het LA­systeem heeft minder problemen met een  foutieve interpretatie maar lokt uit dat de student maar wat gaat proberen. Uit de laatste user test blijkt overigens dat  qua leereffectiviteit beide benaderingen elkaar niet veel ontlopen.  Ondanks deze tekortkomingen kunnen we uit de reacties van de studenten en de evaluaties van de tests de conclusie  trekken, dat beide systemen een nieuwe en waardevolle bijdrage kunnen leveren aan nieuwe vormen van interactief  onderwijs, en waarschijnlijk niet alleen binnen het domein van de lineaire algebra.    

Box 1.  MathDox systeem7 MathDox is een collectie software tools voor interactieve wiskunde over het web, die  de gebruiker toegang verschaft  tot allerlei (wiskundige) webservices, met name Computer Algebra Systemen (CAS). De MathDox sofware omvat een XML­format voor documenten en een MathDox player die deze documenten omzet  in webpagina's. Een MathDox document kan gezien worden als een automaat, waarbij de verschillende states als  webpagina's aan de gebruiker worden gepresenteerd, en de transities tussen de verschillende states bepaald worden  door interacties van de gebruikers en resultaten verkregen  van de verschillende webservices. Gebruikmakend van deze functionaliteiten van MathDox zijn lineaire algebra opgaven geimplementeerd. Deze  opgaven zijn als volgt opgebouwd. In elk onderdeel van een opgave krijgt de student een (mogelijk gerandomizeerde)  vraag voorgeschoteld. De student kan  een antwoord invoeren en dit antwoord controleren. Afhankelijk van de  feedback van de service wordt de student verder geleid naar een relevant ander deel van de opgave. Tevens wordt de  student de mogelijkheid geboden, de uitwerking van het onderdeel te bekijken, of de opgave of een  onderdeel ervan  in kleinere stappen uit te werken. We bespreken het voorbeeld van het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen in drie onbekenden x,y en z.

FIGUUR 1

Presentatie van de opgave

Bij het openen van de opgave wordt het stelsel  aan de student gepresenteerd en naar de oplossingen van het stelsel  gevraagd.  De student kan het eindantwoord invullen en laten controleren. Hij kiest er echter voor deze opgave in  stappen te doen. De opgave biedt hem drie deelstappen aan. 1.

Stel de uitgebreide matrix horende bij het stelsel op.

2.

Veeg de matrix naar gereduceerde normaalvorm.

3.

Lees de oplossingen af uit de normaalvorm.

FIGUUR 2

De opgave in deelstappen

In elk van de stappen krijgt de gebruiker feedback. Zo kan de gebruiker het vegen in meerdere stappen doen. De  feedback kan dan zijn “veeg nu onder de diagonaal zoveel mogelijk naar 0” of  “zorg dat de entries op de diagonaal 0 of 1 zijn”.

FIGUUR 3 

Feedback tijdens het vegen

Na het vegen, leest de student de goede oplossing af uit de gereduceerde vorm van de matrix. Hij heeft de opgave  voltooid.

FIGUUR 4

Bepalen van het eindantwoord

De opgaven zijn beschikbaar via de wiskunde webomgeving wortel.tue.nl.

Box 2. Het LA­systeem8 Het LA­systeem (Lineaire Algebra e­learning systeem) is geïmplementeerd in Mathematica. De tool lijkt qua  interface op MathXpert9 en qua werking op DirectMath10. Het repertoire van bewerkingsoperaties is gebaseerd op  een "rule set", een verzameling herschrijfregels die in Mathematica zijn geïmplementeerd en die door het systeem  kunnen worden uitgevoerd. De rule set is domein specifiek, dwz. voor de verschillende vormen van wiskunde  bestaan er specifieke herschrijfoperaties. Op basis van een gegeven rule set kan echter een groot repertoire van  opgaven worden opgebouwd.  De student krijgt na het opstarten van het systeem twee windows te zien: het werk­window waar de opgave en  achtereenvolgende stappen getoond worden, en het regel­window waar hij regels kan selecteren om de vergelijkingen  in het werk­window te manipuleren (Fig. 5).

FIGUUR 5. Het werk­window met de vergelijkingen (links) en het regel­window met de toepasbare regels (rechts).  Er is nog geen toepasbare regel zichtbaar omdat de student nog niets geselecteerd heeft. Manipuleren van vergelijkingen gaat in twee stappen: eerst selecteert de student dat deel van de vergelijking die hij  wil manipuleren. Dan biedt het systeem een aantal bewerkingsopties en de student selecteert de regel die hij wil  toepassen. De student kan nu bijvoorbeeld de hele set van vergelijkingen selecteren. Dan belandt hij in de situatie van  Fig. 6.

  

FIGUUR 6. Na selectie van een deel van de vergelijking verschijnen in het regel­window de toepasbare regels. Door nu één van de regels, bijvoorbeeld de regel "Convert set of equations to augmented matrix" te selecteren wordt  de vergelijking omgezet in een equivalente alternatieve vergelijking. De naam van de toegepaste regel en de  resulterende vergelijking verschijnen in het werk­window en de eerste stap richting de oplossing is gemaakt (Fig. 7). 

FIGUUR 7. Na selecteren van een manipulatieregel verschijnt een nieuwe, equivalente vergelijking die weer verder  gemanipuleerd kan worden.  Na een aantal van dit soort stappen wordt een oplossing bereikt. Fig. 8 laat een voorbeeld zien.

FIGUUR 8. Complete voorbeeld uitwerking van de rest van de benodigde stappen tot de oplossing.  Er zijn meerdere wegen mogelijk die leiden tot de oplossing, zowel qua volgorde van de stappen als qua strategie  (bijvoorbeeld, door niet via een augmented matrix te werken). Juist de analyse van de gebruikte oplossingsmethode  is belangrijk om de student verder te helpen, en dit systeem biedt de basis om de gebruikte strategie te kunnen  achterhalen en becommentariëren.

Box 3. Exercise Assistant11

FIGUUR 9

Uitwerking van een logica­opgave met behulp van de exercise assistant

De bovenstaande exercise assistant ondersteunt studenten met het oplossen van opgaven waarin ze logische  expressies moeten herschrijven naar disjunctieve normaalvorm. Deze webapplicatie maakt gebruik van dezelfde  feedback­services als ontwikkeld voor de lineaire algebra opgaven in het MathDox systeem. De applicatie geeft  studenten de mogelijkheid om expressies vrij te editen, en geeft feedback op strategie­niveau. Verder kan de  applicatie hints geven, en stappen voor de student uitvoeren. Ook laat de applicatie zien hoeveel stappen er nog  minimaal moeten worden uitgevoerd (volgens de strategie).

Referenties Baki, A., & Güveli, E. (2008). Evaluation of a web based mathematics teaching material on the subject of functions.  Computers and Education, 51, 854­863. Bastiaan Heeren, Johan Jeuring, Arthur van Leeuwen, and Alex Gerdes. Specifying strategies for exercises. In S.  Autexier et al., editor, MKM 2008: Mathematical Knowledge management, volume 5144 of LNAI, pages 430–445.  Springer­Verlag, 2008.  Mory, E. H. (2003). Feedback research revisited. In D. H. Jonassen (Ed.), Handbook of research on educational  communications and technology (pp. 745­783). Mahwah, NJ: Erlbaum. Eelco Visser, Zine­el­Abidine Benaissa, and Andrew Tolmach. Building program optimizers with  rewriting strategies. In ICFP 1998: International Conference on Functional Programming, pages  13–26, 1998.  Auteursgegevens Technische Universiteit Delft: prof.dr.ir. Erik Jansen, dr. Rick van der Meiden,  dr. W. Pasman contact:  [email protected] Technische Universiteit Eindhoven: dr. Hans Cuypers, ir. Jan Willem Knopper, contact: [email protected] Open Universiteit Nederland: dr. Gemma Corbalan, dr. Bastiaan van Heeren, prof.dr. Johan Jeuring, drs. Josje  Lodder, contact: [email protected]

1

 SURF­innovatieproject "Intelligente feedback". http://ideas.cs.uu.nl/wiki/index.php/IDEAS:IntelligentFeedback Dit project is tot stand gekomen met steun van SURFfoundation, de organisatie die ICT vernieuwingen in het hoger  onderwijs en onderzoek initieert, regisseert en stimuleert door onder meer het financieren van projecten. Meer informatie over SURF  is te vinden op de website (www.surf.nl). 2

 Nederlandse Kennis Bank Wiskunde 

3

 www.aleks.com

4

 www.mymathlab.com

5

 www.webassign.net

6

 www.wizmo.nl

7

 www.wortel.tue.nl

8

 graphics.tudelft.nl/LA­system

9

 Beeson, M. (1999). MathXpert: Learning Mathematics in the 21st Century.      http://www.mathcs.sjsu.edu/faculty/beeson/Papers/English­ste/English­ste.html 10

 www.directmath.com

11

 ideas.cs.uu.nl