INGKARAN DARI PERNYATAAN

HAND-OUT Student Name

:

Subject

: Matematika Wajib

Grade/Class

:

Topic

: Logika Matematika

Date

:

Teacher(s)

: Mr. Daniel Kristanto

Semester

: 2

Parent’s Signature

:

/

LOGIKA MATEMATIKA Kalimat logika matematika dibagi menjadi 2 hal : A. Kalimat pernyataan : kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duangnya. Contoh : 1. Hasil kali 5 dan 4 adalah 20. 2. Ada bilangan prima yang genap. B. Kalimat bukan pernyataan, kalimat ini dikelompokkan menjadi 3 hal : a) Kalimat tanya. 1. Apakah Budi sudah makan? 2. Jam berapakah sekarang? b) Kalimat seru/kalimat perintah. 1. Tutup pintu itu! 2. Cepatlah makan! c) Kalimat terbuka : kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel. 1. 2𝑥 + 3 = 9 2. 5 + 𝑛 adalah bilangan prima. Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti 𝑝, 𝑞, 𝑟 dan sebagainya. Misalnya : 𝑝 : semua bilangan prima adalah ganjil 𝑞 : Jakarta ibukota Indonesia INGKARAN DARI PERNYATAAN Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran dari pernyataan 𝑝 dinotasikan ~ 𝑝 dibaca “bukan 𝑝” atau “tidak 𝑝”. Tabel kebenarannya sebagai berikut : 𝑝 ~𝑝 B S S B Contoh : a. 𝑝 ~𝑝 b. 𝑞 ~𝑞

: Ayah pergi ke pasar : Ayah tidak pergi ke pasar :2 + 5 < 5 :2 + 5≥ 5

MS HIGH |Grade 10 | Matematika Wajib| Hand-out| 25 April 2017

1

FR/MSCS/CRD/050-Rev00

PERNYATAAN BERKUANTOR Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam kuantor, yaitu : 1. Kuantor Universal Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua atau setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀ (dibaca untuk semua atau untuk setiap). Contoh : ∀ 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 0 dibaca untuk setiap 𝑥 anggota bilangan riil maka berlaku 𝑥 > 0. 2. Kalimat Eksistensial Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian atau terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ (dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian). Contoh : ∃ 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 + 5 > 1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana 𝑥 + 5 > 1. INGKARAN KALIMAT BERKUANTOR Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal. Contoh : a. ~ ∀𝑝 = ∃~𝑝 𝑝 : semua ikan bernafas dengan insang. ~𝑝 : Ada ikan bernafas tidak dengan insang. b. ~ ∃𝑞 = ∀~𝑝 𝑞 : beberapa siswa SMA malas belajar. ~𝑞 : semua siswa SMA tidak malas belajar. PERNYATAAN MAJEMUK 1. KONJUNGSI Pernyataan 𝑝 dengan 𝑞 dapat digabungkan dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “𝑝 dan 𝑞” yang disebut konjungsi. Konjungsi “𝑝 dan 𝑞” dilambangkan dengan (𝑝 ⋀ 𝑞). p q 𝑝⋀𝑞 B B B B S S S B S S S S Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar Contoh : 𝑝 : 3+2= 5 𝑞 : 5 adalah bilangan prima 𝑝 ⋀ 𝑞 : 3 + 2 = 5 dan 5 adalah bilangan prima 2. DISJUNGSI INKLUSIF Pernyataan 𝑝 dengan 𝑞 dapat digabungkan dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “𝑝 atau 𝑞” yang disebut disjungsi. Konjungsi “𝑝 atau 𝑞” dilambangkan dengan (𝑝 ⋁ 𝑞). MS HIGH |Grade 10 | Matematika Wajib| Hand-out| 25 April 2017

2


p q 𝑝⋁𝑞 B B B B S B S B B S S S Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah. Contoh : 𝑝 : 2 adalah bilangan genap 𝑞 : 2 adalah bilangan prima 𝑝 ⋁ 𝑞 : 2 adalah bilangan genap atau prima DISJUNGSI EKSKLUSIF Disjungsi eksklusif dua pernyataan 𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑞 bernilai benar hanya jika salah satu dari pernyataan 𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑞 bernilai benar. 𝑝 ∨ 𝑞 p q B B S B S B S B B S S S Contoh : 𝑝 : Ayah bertugas di Surabaya 𝑞 : Ayah bertugas di Bandung 𝑝 ⋁ 𝑞 : Ayah bertugas di Surabaya atau Bandung 3. IMPLIKASI Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika …. Maka ….” Implikasi dari pernyataan 𝑝 dan 𝑞 dinotasikan dengan 𝑝 ⟹ 𝑞 yang dibaca “jika 𝑝 maka 𝑞” atau “𝑝 syarat perlu bagi 𝑞” atau “𝑞 syarat cukup bagi 𝑝”. Dari implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞, 𝑝 disebut anteseden atau sebab atau hipotesa. 𝑞 disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi. p q 𝑝⟹𝑞 B B B B S S S B B S S B Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika sebabnya benar dan akibatnya salah. Contoh : 𝑝 : Danu ingin nonton bioskop 𝑞 : Danu harus beli tiket 𝑝⟹𝑞 : jika Danu ingin nonton bioskop maka Danu harus beli tiket. 4. BIIMPLIKASI Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …” dan dilambangkan 𝑝 ⇔ 𝑞. Biimplikasi dari pernyataan 𝑝 dan 𝑞 ditulis 𝑝 ⇔ 𝑞 yang dibaca 𝑝 jika dan hanya jika 𝑞 atau jika 𝑝 maka 𝑞 dan jika 𝑞 maka 𝑝.


3


p q 𝑝⇔𝑞 B B B B S S S B S S S B Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimpikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama. Contoh : 𝑝 : Universitas Indonesia terletak di Depok 𝑞 : Bandung adalah ibu kota Jawa Barat 𝑝⟺𝑞 : Universitas Indonesia terletak di Depok jika dan hanya jika Bandung adalah ibu kota Jawa Barat. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Dari implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞 dapat dibentuk implikasi baru : 1. 𝑞 ⟹ 𝑝 disebut konvers dari implikasi semula 2. ~𝑝 ⟹ ~𝑞 disebut invers dari implikasi semula 3. ~𝑞 ⟹ ~𝑝 disebut kontraposisi dari implikasi semula PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah ≡. 1. ~ 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞 (de morgan) 2. ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∧ ~𝑞 (de Morgan) 3. 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 ∧ 𝑟 (Distributif) 4. 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑝 ∧ 𝑟 (Distributif) 5. 𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞 6. ~ 𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ 𝑝 ∧ ~𝑞 7. 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ (𝑞 ⟹ 𝑝) 8. ~(𝑝 ⟺ 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ~𝑞 ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝) TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI Tautology adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya. PENARIKAN SIMPULAN 1. Modus Ponens Premis 1 :𝑝⟹𝑞 Premis 2 :𝑝 ________ Kesimpulan :𝑞 Contoh : P1 : Jika Budi rajin belajar maka Dia naik kelas. P2 : Budi rajin belajar Kesimpulan : Dia naik kelas. MS HIGH |Grade 10 | Matematika Wajib| Hand-out| 25 April 2017

4


2. Modus Tolens Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Contoh : P1 P2 Kesimpulan 3. Silogisme Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Contoh : P1 P2 Kesimpulan

:𝑝⟹𝑞 : ~𝑞 ________ : ~𝑝 : Jika ABCD jajar genjang maka AB sejajar dengan CD : AB tidak sejajar dengan CD : ABCD bukan jajar genjang. :𝑝⟹𝑞 :𝑞⟹𝑟 ________ :𝑝⟹𝑟 : Jika Anton malas belajar, maka Anton tidak naik kelas. : Jika Anton tidak naik kelas, maka Anton bodoh. : Jika Anton malas belajar, maka Anton bodoh.


5


INGKARAN DARI PERNYATAAN

Recommend Documents