´ dio ´ frekvencia ´ s Induktivita ´s Ra ´ lata e ´s Fejleszte ´se Vizsga ´geselem-mo ´ dszerrel Ve ´Irta:
´ lik Zolta ´n Po III. ´eves villamosm´ern¨ok (B.Sc.) szakos hallgat´o
Konzulens:
´ s, PhD Dr. Kuczmann Miklo egyetemi adjunktus
Elektrom´agneses Terek Laborat´orium T´avk¨ozl´esi Tansz´ek Sz´echenyi Istv´an Egyetem 2008. ´aprilis Gy˝or
Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es
2
2. Elm´ eleti ¨ osszefoglal´ as 2.1. A feladat specifik´aci´oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. A v´egeselem-m´odszer (FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Az elektrom´agneses t´er elm´elete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 5 6
3. A feladat megval´ os´ıt´ asa 3.1. A v´egeselemes modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 13
4. Konkl´ uzi´ o, j¨ ov˝ obeli tervek
18
1
1. fejezet Bevezet´ es A passz´ıv elektronikai alkatr´eszek – ellen´all´asok, kondenz´atorok ´es induktivit´asok – minden elektronikus eszk¨ozben megtal´alhat´ok a j´arm˝ uipart´ol kezdve, az ipari elektronik´an ´es a t´avk¨ozl´esen kereszt¨ ul, a h´etk¨oznapi elektronikai cikkekig. Ezek az eszk¨oz¨ok kulcsszerepet j´atszanak a k¨ ul¨onb¨oz˝o elektronikus berendez´esekben. Energi´at t´arolnak, frekvenci´at v´alasztanak, esetleg v´edelmet ny´ ujtanak t´ ulfesz¨ ults´eg ´es t´ ul´aram ellen. ´ Uj eszk¨oz¨ok tervez´es´ehez ´es a megl´ev˝ok t¨ok´eletes´ıt´es´ehez ismerni kell ezen passz´ıv alkatr´eszek ¨osszes tulajdons´ag´at, az alkatr´eszgy´art´oknak pedig k´epesnek kell lenni¨ uk olyan komponenseket gy´artani, amelyek kiel´eg´ıtik a v´as´arl´oi ig´enyeket. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a gy´art´onak rendelkeznie kell azzal az ismeretanyaggal ´es gy´art´astechnol´ogi´aval, amellyel a gy´artott alkatr´eszeik tulajdons´agait a lehet˝o legsz´elesebb hat´arok k¨oz¨ott tudj´ak v´altoztatni. Min´el t¨obb tulajdons´agot kell azonban figyelembe venni, a feladat ann´al bonyolultabb. Tudom´anyos di´akk¨ori dolgozatomban bemutatom jelenlegi feladatom, amely az EPCOS Elektronikai Alkatr´esz Kft. (Szombathely) ´altal gy´artott SMT induktivit´as v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´oja ´es annak tov´abbfejleszt´ese. A kutat´as c´elja az alkatr´esz m˝ uk¨od´es´enek meg´ert´ese, ´es egy olyan realisztikus modell megalkot´asa, amellyel az eszk¨oz tulajdons´agai (indutivit´as, kapacit´as, j´os´agi t´enyez˝o, frekvenciaf¨ ugg´es, stb.) el˝ore kalkul´alhat´ov´a v´alnak. C´elunk tov´abb´a az induktivit´as geometri´aj´anak m´odos´ıt´asa bizonyos param´eterek v´altoztat´asa ´erdek´eben. Jelen kutat´as egy folyamatban l´ev˝o, k´et h´onapja indult munka laborat´oriumunkban, ´ıgy messzemen˝o eredm´enyeket m´eg nem tudunk prezent´alni. Dolgozatomban ez´ert els˝osorban a szimul´aci´o elm´eleti h´atter´ere, a feladat bemutat´as´ara, a kutat´asi f˝o ir´anyvonalakra, ´es a kezdeti l´ep´esek valamint eredm´enyek bemutat´as´ara fogok koncentr´alni.
2
2. fejezet Elm´ eleti ¨ osszefoglal´ as 2.1.
A feladat specifik´ aci´ oja
Az EPCOS Elektronikai Alkatr´esz Kft. az elektronikai alkatr´esz piacon eur´opai piacvezet˝ok´ent sz´amos v´as´arl´oval rendelkezik a j´arm˝ uipart´ol kezdve, a t´avk¨ozl´esi elektronikai cikkeket gy´art´o c´egeken kereszt¨ ul, a mag´anc´egekig. Term´ekeik olyan eszk¨oz¨okbe, ker¨ ulnek be´ep´ıt´esre, amelyek kifog´astalan m˝ uk¨od´es´ehez sz¨ uks´eges, hogy azok legapr´obb alkatr´eszei is hozz´ak a t˝ol¨ uk elv´arhat´o legjobb min˝os´eget. El˝ofordulhat, hogy az alkatr´esz n´eh´any param´etere elt´er a katal´ogusban megadottakt´ol. Ebben az esetben el˝ofordulhat, hogy m´eretben ´es ¨osszetetts´egben l´enyegesen nagyobb eszk¨ozben ezen kis alkatr´esz nem megfelel˝o param´eterei miatt m˝ uk¨od´esi hiba l´ep fel. P´eld´aul nem m˝ uk¨odik a mobiltelefon, vagy nem indul el az aut´o. Ilyen ´es hasonl´o hib´ak elker¨ ul´ese ´erdek´eben a gy´art´onak t¨orekednie kell a param´eterek sz´or´as´anak cs¨okkent´es´ere. Tov´abbi feladata, hogy olyan alkatr´eszeket ´all´ıtson el˝o, amelyek param´eterei megfelelnek a felv´as´arl´oi krit´eriumoknak. Ezen k´ıv´analmak betart´as´ahoz nagy seg´ıts´eget ny´ ujthat a sz´am´ıt´og´epes szimul´aci´o oly m´odon, hogy m˝ uk¨od´es k¨ozben az alkatr´eszben lej´atsz´od´o folyamatok k¨ovethet˝ov´e v´alnak. ´Igy felfedezhet˝ok olyan, eddig nem ismert, m´er´esekkel nem minden esetben, vagy csak nehezen igazolhat´o t´enyek, amelyek befoly´asolhatj´ak a param´eterek v´altoz´as´at. Ezeknek az ismereteknek a birtok´aban k´epesek lehet¨ unk u ´gy m´odos´ıtani egy alkatr´esz geometri´aj´at, vagy gy´art´as´anak folyamat´at, hogy a komponens tulajdons´againak sz´or´asa minim´alis legyen, tov´abb´a az alkatr´esz param´etereit a k´ıv´ant ´ert´ekekre ´all´ıthatjuk be – term´eszetesen csak a rendelkez´esre ´all´o gy´art´astechnol´ogia ´es a fizika hat´arain bel¨ ul. Induktivit´asok eset´eben fontoss´ag szempontj´ab´ol nem emelhet˝o ki egy param´eter sem a t¨obbi k¨oz¨ ul. P´eld´aul oszcill´ator tervez´esekor a legfontosabb dolog a j´os´agi t´enyez˝o ismerete, amely jelen munka k¨oz´eppontj´aban ´all. R´adi´ofrekvenci´as eszk¨oz¨ok tervez´esekor az impedancia frekvenciaf¨ ugg´ese l´enyeges, sz˝ ur˝ok eset´eben pedig az induktivit´as ´ert´eke. A parm´eterek kalkul´al´asa nem mindig egyszer˝ u feladat, nem minden esetben egy´ertelm˝ u, hogy bizonyos m´odos´ıt´asok milyen hat´assal lesznek az alkatr´esz tulajdons´agaira. Induktivit´asok eset´eben, egyszer˝ uen m´erhet˝o, ´am nehezen kalkul´alhat´o param´etere a j´os´agi t´enyez˝o, mely defin´ıci´oszer˝ uen [2, 7], W W W = 2π = ω0 , (2.1) WR P T0 P ahol W a rezg˝ok¨orben t´arolt energia, WR az egy peri´odus alatt disszip´alt munka rezonanciafrekvenci´an, P az ellen´all´as (vesztes´egi) teljes´ıtm´enye, T0 pedig a peri´odusid˝o rezonanciafrekvenci´an. Q = 2π
3
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
2.1. ´abra. A vizsg´alt induktivit´as modellje ´es mikroszk´opos f´enyk´epe
2.2. ´abra. A ker´amia hordoz´o mikroszk´opos k´epe – a k´ep sz´eless´ege 35μm Jelen kutat´as t´argya egy leggyakrabban r´adi´ofrekvenci´as tartom´anyban haszn´alt induktivit´as 180 μH ´es 220 μH n´evleges ´ert´ek˝ u fajt´aja. Els˝osorban antennaer˝os´ıt˝okben, DECT (Digital European Cordless Telecommunications - Digit´alis eur´opai vezet´ek n´elk¨ uli telekommunik´aci´o) rendszerekben, mobiltelefonokban ´es GPS eszk¨oz¨okben tal´alkozhatunk vele [9]. Az alkatr´esz sz´am´ıt´og´epes modellje, valamint mikroszk´opos f´enyk´epe a 2.1 ´abr´an l´athat´o. M´eretei 1, 2 × 1, 2 × 2 mm, magj´anak anyaga Rubalit 710. A Rubalit egy kifejezetten az elektronikai ipar sz´am´ara kifejlesztett, nagy mechanikai szil´ards´ag´ u ´es nagy h˝ot˝ ur˝o k´epess´eg˝ u aluminium-oxidb´ol k´esz¨ ul˝o ker´amiafajta. A feladat szempontj´ab´ol l´enyeges tulajdons´aga relat´ıv elektromos permittivit´asa, melynek ´ert´eke εr = 10. A Rubalit mikroszk´opos k´epe a 2.2 ´abr´an l´athat´o. A kutat´as c´elja a bemutatott alkatr´esz v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´oja, valamint egy olyan m´odszer kidolgoz´asa, amelynek seg´ıts´eg´evel tulajdons´agai tetsz˝olegesen m´odos´ıthat´ov´a ´es el˝ore sz´am´ıthat´ov´a v´alnak. Az els˝o feladat a sz´oban forg´o alkatr´esz j´os´agi t´enyez˝oj´enek m´odos´ıt´asa. A m´er´esi eredm´enyek szerint a j´os´agi t´enyez˝onek maximuma van a 180 μH ´ert´ek˝ u induktivit´as eset´eben 1050 MHz-n´el, a 220 μH ´ert´ek˝ u induktivit´as eset´eben pedig 950 MHz-n´el. A gy´art´o u ¨gyfelei azonban enn´el alacsonyabb frekvenic´akon szeretn´ek haszn´alni ezeket az alkatr´eszeket, nagyj´ab´ol 300 ´es 500 MHz k¨oz¨ott. ´Igy a feladat ebben az esetben a j´os´agi t´enyez˝o maximumhely´enek alacsonyabb frekvenci´ara mozgat´asa, ´am ´ert´ek´enek cs¨okken´ese nem k´ıv´anatos. A p´elda ¨osszetetts´eg´ere jellemz˝o, hogy a szimul´aci´o sor´an figyelembe kell venn¨ unk p´eld´aul a r´ezhuzalt bor´ıt´o szigetel´est – a huzal ´atm´er˝oje 50μm, a bor´ıt´as vastags´aga 3,75 μm –, a ker´amia hordoz´o permittivit´as´at ´es a r´ezhuzal kivezet´esein´el a magot bor´ıt´o 4
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
f´emez´est is. Mivel ilyen form´aban a feladat megold´asa a jelenlegi infrastrukt´ ur´ank mellett nem lenne lehets´eges a nagy er˝oforr´asig´eny miatt, legel˝osz¨or a modellen elv´egezhet˝o egyszer˝ us´ıt´eseket kell v´egrehajtani. Ezut´an az induktivit´as, mint reg˝ok¨or vizsg´alata a k¨ovetkez˝o feladat. V´eg¨ ul a kapott eredm´enyek f¨ uggv´eny´eben az alkatr´esz geometri´aj´anak m´odos´ıt´asait hajtjuk v´egre a k´ıv´ant c´el el´er´ese ´erdek´eben. Term´eszetesen ezut´an sz¨ uks´eges lesz a m´odos´ıtott eszk¨oz legy´art´asa, az elm´eleti eredm´enyek al´at´amaszt´asa miatt.
2.2.
A v´ egeselem-m´ odszer (FEM)
Napjainkban a v´egeselem-m´odszer (FEM - Finite Element Method) a legn´epszer˝ ubb ´es legrugalmasabb numerikus m´odszer parci´alis differenci´alegyenletek megold´as´ara. A numerikus m´odszerek c´elja, hogy a parci´alis differenci´alegyenleteket algebrai egyenletekk´e egyszer˝ us´ıts´ek. Ezen egyenletek megold´asa adja az ismeretlen potenci´alok ´es elektrom´agneses mennyis´egek k¨ozel´ıt´es´et. Az egyszer˝ us´ıt´es sor´an a differenci´alegyenleteket t´erben, ´es ha sz¨ uks´eges id˝oben is diszkretiz´aljuk. Az egyenletek k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenletrendszer megold´o algorimusok alkalmaz´as´aval oldhat´ok meg [1, 3, 4, 6]. A feladat megval´os´ıt´as´at a COMSOL Multiphysics programcsomag t´amogat´as´aval v´egeztem. E szoftver rendelkezik egy tervez˝o r´esszel, amellyel geometriai objektumokat hozhatunk l´etre, amely lehet 1-, 2- ´es 3 dimenzi´os is. R´eszben ezek az objektumok jelentik majd azt a val´os ´eletb˝ol mer´ıtett probl´em´at, amelyet vizsg´alni szeretn´enk. Amenynyiben lehets´eges, c´elszer˝ u a modellt a szimmetriatelygelyek ment´en egyszer˝ us´ıteni. ´Igy cs¨okkentj¨ uk az ismeretelenek sz´am´at, ezzel egy¨ utt a megold´ashoz sz¨ uks´eges proceszszorid˝ot ´es mem´oriaig´enyt is [1, 3, 4, 6]. A modell fel´ep´ıt´ese ut´an annak diszkretiz´al´asa k¨ovetkezik, ami a gyakrolatban, azt jelenti, hogy r´eszekre, elemekre bontjuk az alakzatot. Az ´ıgy kapott elemek halmaz´at r´acsnak, un. v´egeselemes r´acsnak nevezz¨ uk. A projekt t´argy´at k´epez˝o induktivit´as v´egeselemes r´acsa a 2.3. ´abr´an l´athat´o. A modell v´egeselem r´acs´at k¨ ul¨onb¨oz˝o szab´alyok szerint ´ep´ıthejt¨ uk fel, 2 dimenzi´oban ´altal´aban h´aromsz¨og vagy n´egysz¨og alak´ u elemeket szok´as haszn´alni, 3 dimenzi´oban pedig tetra´eder vagy hexa´eder alak´ ut. A 2.3. ´abr´an l´athat´o r´acsot tetra´eder alak´ u elemek ´ep´ıtik fel. K´etf´ele elemt´ıpus l´etezik a r´acs ´es a probl´em´at le´ır´o egyenletek ¨osszerendel´es´ere. Csom´oponti elemeket haszn´alva a probl´em´at le´ır´o egyenleteket a megold´o algoritmusnak minden csom´opontban ki kell sz´amolnia. Ez azt jelenti, hogy p´eld´aul 3 dimenzi´oban tetra´ederes elemek eset´eben minden elemre 4 egyenletet kell fel´ırni line´aris k¨ozel´ıt´es eset´en. Ha m´asodfok´ u k¨ozel´ıt´est alkalmazunk ez 10 egyenletet jelent. Vektorlemek alkalmaz´asa est´en az elemek ´elei, mint vektorok jelentik a megoldand´o probl´em´at [1, 3, 4, 6]. A k¨ovetkez˝o l´ep´esben l´etre kell hoznunk k¨ ul¨onb¨oz˝o v´altoz´okat (μ - permeabilit´as, ε - permittivit´as), amelyek majd az anyagok jellemz˝oit fogj´ak jelenteni. Erre az´ert van sz¨ uks´eg, hogy a szimul´aci´oban a fel´ep´ıtett modell ugyanolyan tulajdons´agokat ´es viselked´est mutasson, mint a val´os´agban [1, 3, 4, 6]. A szimul´aci´o k¨ovetkez˝o l´ep´ese a probl´ema megold´asa. Ehhez meg kell adnunk a sz¨ uks´eges egyenleteket, amelyek a modellezni k´ıv´ant jelens´eg matematikai megfogalmaz´asai. Ez t¨ort´enhet a haszn´alt szoftvercsomagban el˝ore defini´alt egyenletrendszerekkel, de fel´ep´ıthet¨ unk saj´at egyenleteket is. Tov´abb´a be kell ´all´ıtanunk azokat a peremfelt´eteleket, amelyek mellett az egyenletek teljes¨ ulnek. Ezut´an a COMSOL Multiphysics szoftvercsomagba ´ep´ıtett megold´o algoritmusok egyik´enek seg´ıts´eg´evel a szimul´aci´o elind´ıthat´o. Amennyiben a megoldand´o rendszer nemline´aris tulajdons´agokkal 5
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
2.3. ´abra. Az induktivit´as v´egeselemes r´acsa is rendelkezik, p´eld´aul ferrom´agneses anyagok eset´eben, a megold´as tartalmazhat bels˝o nemline´aris iter´aci´ot is. Id˝oben v´altoz´o folyamatok eset´en id˝oben val´o diszkretiz´asl´asra is sz¨ uks´eg van. Ezekben az esetekben minden diszkr´et id˝opillanatban meg kell oldani a probl´em´at [1, 3, 4, 6]. A szimul´aci´o eredm´enyei a potenci´alok ´ert´ekei a v´egeselemes r´acs csom´opontjaiban, illetve ´elein. Az elektrom´agneses t´er b´armely tulajdons´ag´at (m´agneses t´erer˝oss´eg vagy indukci´o, kapacit´as, induktivit´as) a potenci´alok seg´ıts´eg´evel sz´amolhatjuk ki. V´eg¨ ul az eredm´enyek megjelen´ıt´ese k¨ovetkezik, amit posztprocessz´al´asnak nevez¨ unk [1, 3, 4, 6, 10].
2.3.
Az elektrom´ agneses t´ er elm´ elete
Elektrom´agneses t´ersz´am´ıt´asi feladatok v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o megold´asa eset´en a kiindul´asi egyenletek a Maxwell-egyenletek differenci´alis alakj´ab´ol ´ırhat´oak fel [1, 8], I Z ∂E ∂E dA −→ ∇ × H = J + ε , (2.2) Hdl = J +ε ∂t ∂t L A I Z ∂ ∂H , (2.3) Edl = −μ HdA −→ ∇ × E = −μ ∂t A ∂t L I BdA = 0 −→ ∇ ∙ B = 0, (2.4) I
A
DdA = L
Z
D = εE,
−→
ρdV V
B = μH,
∇ ∙ D = ρ, J = σE,
(2.5) (2.6)
ahol H m´agneses t´erer˝oss´eg ´es D elektromos eltol´as gerjesztetts´egi jelleg˝ u mennyis´eg, melyek - az egyenletekb˝ol ad´od´oan - szoros kapcsolatban ´allnak a J ´es a ρ gerjeszt˝o jelleg˝ u mennyis´egekkel. E elektromos t´erer˝oss´eg ´es B m´agneses indukci´o intenzit´as jelleg˝ u mennyis´egek. ε, μ ´es σ anyagjellemz˝ok, sorrendben a villamos permittivit´as vagy abszol´ ut dielektromos ´alland´o, a m´agneses permeabilit´as ´es az elektromos vezet´es. A fenti alakok line´aris izotr´op k¨ozeg eset´en igazak.
6
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
A Maxwell-egyenletek szerint az elektrodinamika ¨ot r´eszre oszthat´o fel. Ezek a legegyszer˝ ubbt˝ol a leg¨osszetettebb fel´e haladva a k¨ovetkez˝ok. A tartom´any perem´en bizonyos felt´eteleket kell kiel´eg´ıteni, amelyek a H ´es E tangenci´alis, valamint a B ´es a D norm´alis komponenseire vonatkoznak [1, 6]. Magnetosztatika ∂ = 0), a vezet˝o k¨ornyezet´eben Ha egy vezet˝oben id˝oben ´alland´o J0 ´aram folyik ( ∂t m´agneses t´er j¨on l´etre. Ebben az esetben az egyenletek a k¨ovetkez˝ok´epp alakulnak,
μ0 H, μ0 μr H, B= μ0 (H + M ),
∇ × H = J0 ,
(2.7)
∇ ∙ B = 0,
(2.8)
leveg˝oben, m´agnesesen line´aris anyagban, m´agnesesen nemline´aris anyagban,
(2.9)
ahol M a m´agnesezetts´egi vektor. Elektrosztatika
Abban az esetben, amikor ´aram nem folyik ´es az id˝obeni v´altoz´asokt´ol is eltekint¨ unk, ∂ teh´at J = 0 ´es ∂t = 0, az egyenletek a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´ok fel, ∇ × E = 0,
(2.10)
∇ ∙ D = ρ,
(2.11)
vagy
(2.12)
D = εE,
D = ε0 E + P ,
ahol P a polariz´aci´os vektor. Ebben az esetben a teret a nyugv´o t¨olt´esek gerjesztik. ´ Aramok vezet˝ okben A mozg´o t¨olt´esek ´aramot hoznak l´etre a vezet˝o anyagokban, amely jelens´eg a Maxwellegyenletek k¨ovetkez˝o alakj´aval fogalmazhat´o meg, ∇ × E = 0,
(2.13)
∇ ∙ J = 0,
(2.14)
J = σE,
J = σ(E + Eg ),
(2.15)
ahol Eg a nem elektrom´agneses energia. σEg szeml´eltethet˝o p´eld´aul a J0 forr´as ´arams˝ ur˝ us´eggel, ahol J0 = σEg , teh´at J = J0 + σE.
7
(2.16)
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
Kv´ azistacion´ arius elektrom´ agneses terek Abban az esetben, ha m´agneses t´er v´altoz´as´anak hat´asait is figyelembe vessz¨ uk, teh´at ∂ ∂D 6= 0, azonban a ∂t eltol´asi ´aramokat elhagyagoljuk – p´eld´aul mert a haszn´alt frek∂t | teljes¨ ul –, az egyenletek a k¨ovetkez˝ok´epp alakulnak, venci´an |J | | ∂D ∂t ∇ × H = J,
(2.17)
∂B , ∂t ∇ ∙ B = 0,
∇×E =−
B=
μ0 H, μ0 μr H, μ0 (H + M ),
(2.18) (2.19)
leveg˝oben, m´agnesesen line´aris anyagban, m´agnesesen nemline´aris anyagban,
J = σE, vagy J = σ(E + Eg ).
(2.20) (2.21)
Hull´ amterjed´ es Ebben az esetben az elektrom´agneses hull´amok m´agnesez˝o hat´as´at is figyelembe vessz¨ uk, teh´at a Maxwell-egyenletek teljes alakj´at haszn´aljuk. A kutat´as t´argy´at k´epez˝o induktivit´as szimul´aci´oj´ahoz sz¨ uks´eges az elektrom´agneses hull´amok ¨osszes egyenlet´enek felhaszn´al´asa, az eszk¨oz fel´ep´ıt´ese ´es a r´adi´ofrekvenci´as tartom´anyban val´o haszn´alata miatt. A kiindul´asi egyenletek teh´at a k¨ovetkez˝ok [1], ∇ × H = J0 + σE + ε
∂E , ∂t
(2.22)
2.3-nak megfelel˝oen, ∇ × E = −μ
∂H , ∂t
(2.23)
∇ ∙ B = 0,
(2.24)
B = μH.
(2.25)
Els˝ok´ent vezess¨ uk be az un. m´agneses vektorpotenci´alt, [1, 3, 4, 6] B = ∇ × A.
(2.26)
Ez megtehet˝o, mert A kiel´eg´ıti a (2.24) egyenletet, mivel ∇ ∙ ∇ × υ ≡ 0. A m´agneses vektorpotenci´al rot´aci´oja teh´at adott, viszont csom´oponti elemek alkalmaz´asa eset´en sz¨ uks´eg van A divergenci´aj´anak meghat´aroz´as´ara is, mivel ebben az esetben a vektor rot´aci´oja nem hat´arozza meg egy´ertelm˝ uen mag´at a vektort. Alkalmazhatjuk a ∇∙A=0
(2.27)
un. Coulomb-m´ert´eket. Helyettes´ıts¨ uk a (2.26) egyenletet(2.23)-ba, ekkor ∇×E+
∂ ∇ × A = 0, ∂t 8
(2.28)
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
amelyb˝ol
∂A ∇× E+ ∂t
= 0.
(2.29)
Ebb˝ol kifejezhet˝o a V elektromos skal´arpotenci´al, mivel ∇ × ∇υ = 0. Teh´at E+
∂A = −∇V ∂t
−→
E = −∇V −
∂A . ∂t
(2.30)
Helyettes´ıts¨ uk (2.25)-¨ot, (2.26)-ot ´es (2.30)-et a (2.22) egyenletbe. Ekkor a k¨ovetkez˝o eredm´enyre jutunk. 1 ∂ ∂A ∂A +ε −∇V − . (2.31) ∇ × ∇ × A = J0 + σ −∇V − μ ∂t ∂t ∂t 2
∂ ∂ 2 Mivel a gerjeszt´es szinuszos jelalak´ u ´arammal t¨ort´enik, ez´ert ∂t ⇒ jω ´es ∂t 2 ⇒ −ω . L´assuk el tov´abb´a (2.31) egyenletet a Coulomb-m´ert´ekkel, a csom´oponti elemek eset´en megoldand´o egyenlethez. Ekkor,
∇×
1 1 ∇ × A − ∇ ∙ ∇ ∙ A + (jωσ − ω 2 ε)A + (σ + εjω)∇V = J0 . μ μ
(2.32)
L´athat´o, hogy a fenti egyelet k´et ismeretlent tartalmaz, be kell vezetn¨ unk a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´est, ∇ ∙ J = 0 −→ ∇ ∙ (−σ∇V − σjωA) = 0. (2.33) A (2.32) ´es (2.33) egyelnetek alkotj´ak teh´at a csom´oponti elemek alkalmaz´asa eset´en megoldand´o egyenleteket. A COMSOL Multiphysics szoftvercsomag ehhez a szimul´aci´os feladathoz haszn´alt, be´ep´ıtett megold´oja ´elelemeket haszn´al az egyenletek ´es a v´egeselem-modell ¨osszerendel´es´ere [10]. Bel´athat´o [6], hogy ´elelemek alkalmaz´asa eset´en V = 0 v´alaszthat´o ´es (2.27) automatikusan teljes¨ ul. Ebben az esetben a megoldand´o egyenlet a k¨ovetkez˝o alakra egyszer˝ us¨odik, (jωσ − ω 2 )A + ∇ ×
9
1 ∇ × A = J0 . μ
(2.34)
3. fejezet A feladat megval´ os´ıt´ asa A passz´ıv alkatr´eszek k¨oz¨ ul legkev´esb´e ide´alisnak az induktivit´asok tekinthet˝oek, mivel a tekercset alkot´o huzal rendelkezik soros ellen´all´assal is, valamint – k¨ ul¨on¨osen magasabb frekvenci´akon – a menetek k¨oz¨ott sz´ort kapacit´as alakul ki. Ha modellezni szeretn´enk e komponens m˝ uk¨od´es´et, a modellnek teh´at mindenk´epp tartalmaznia kell az indukt´ıv elemen k´ıv¨ ul, ellen´all´ast ´es kapacit´ast is. Az induktivit´asok modellez´ese rendk´ıv¨ ul fontos feladat annak ´erdek´eben, hogy a k¨ ul¨onb¨oz˝o alkalmaz´asi ter¨ uletekre az bizonyos felt´etelek mellet a legmegfelel˝obb lehessen [5]. Sz´amos modell ismert az induktivit´asok viselked´es´enek le´ır´as´ara, munk´am sor´an ezek k¨oz¨ ul a legismertebbet haszn´altam fel a m´er´esi eredm´enyek ismeret´eben az alkatr´esz modellez´es´ere, majd a szimul´aci´o sor´an megszerzett tapasztalatokra t´amaszkodva az alkatr´esz esetleges fejleszt´esi lehet˝os´egeinek meghat´aroz´as´ara. A haszn´alt modell fel´ep´ıt´ese rendk´ıv¨ ul egyszer˝ u, ahogy az a 3.1. ´abr´an l´athat´o. Param´etereinek meghat´aroz´ara nem okoz nagy probl´em´at, ugyanis az induktivit´as rezonanciafrekvenci´aja ´es induktivit´as´anak ´ert´eke egyszer˝ u m´odszerrel m´erhet˝o. Ezek ismeret´eben a kapacit´as ´ert´eke a Thomson-k´epletb˝ol kiindulva a C=
1 2πω02 L
(3.1)
o¨sszef¨ ugg´essel hat´arozhat´o meg, ahol ω0 az eszk¨oz rezonanciafrekvenci´aja. A modellben tal´alhat´o rezisztancia nem felt´etlen¨ ul az eszk¨oz soros ellen´all´as´at jelenti, ink´abb egy olyan v´altoz´onak tekinthet˝o a rendszerben, amelynek beiktat´as´aval az induktivit´as m˝ uk¨od´ese
3.1. ´abra. Az alkalmazott modell 10
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
pontosabban modellezhet˝o a haszn´alt frekvenciatartom´anyban [5]. Az alkalmazott modell seg´ıts´eg´evel j´o k¨ozel´ıt´essel meghat´arozhat´o a szimul´alt eszk¨oz impedancia- ´es f´azismenete. Az irodalomb´ol ismeretes [5], hogy a j´os´agi t´enyez˝o maximuma jelen modellt alkalmazva az eszk¨oz rezonanciafrekvenci´aj´anak √13 -szoros´an´al tal´alhat´o. A gyakorlatban a gy´art´ok ´altal´aban alacsonyabb ´ert´ekeket adnak meg induk1 tivit´asaik j´os´agi t´enyez˝oj´enek maximum´ara, ez ´altal´aban a rezonanciafrekvencia 12 - 10 szerese modellcsal´adt´ol f¨ ugg˝oen. Tov´abbi pontatlans´ag, hogy a j´os´agi t´enyez˝o a maximum el´er´ese ut´an ω → ∞ eset´en szigor´ uan monoton cs¨okken, ami szint´en nem t¨ ukr¨ozi a val´os´agot. A kutat´as c´elja azonban a j´os´agi t´enyez˝o maximumhely´enek cs¨okkent´ese, ´ıgy a pontos maximumhely ismerete nem sz¨ uks´eges, valamint a maximum el´er´ese ut´ani monoton cs¨okken´es sem jelent probl´em´at. A modell egyszer˝ us´ege ´es k¨onny˝ u kezelhet˝os´ege viszont jelent˝os el˝ony¨okkel j´ar, ez´ert alkalmaztuk ezt a t´ıpus´ ut sz´amol´asaink sor´an [5]. A feladat t´argy´at k´epez˝o induktivit´as R, L ´es C param´etereit a gy´art´o egy speci´alisan erre a feladatra k´esz¨ ult berendez´es seg´ıts´eg´evel m´ar kor´abban meghat´arozta. Ezeket a m´er´esi eredm´enyeket rendelkez´es¨ unkre bocs´ajtott´ak. A 180nH n´evleges ´ert´ek˝ u induktivit´as eset´eben R = 591.81mΩ, L = 171.3035nH, C = 90.38043fF. Az alkatr´esz impedanciamenete Z(jω) =
1 (R + jωL) jωC , 1 + R + jωL jωC
(3.2)
a h´al´ozat fel´ep´ıt´es´eb˝ol ad´od´oan. Soros rezg˝ok¨or eset´en a j´os´agi t´enyez˝o (2.1) egyenletb˝ol meghat´arozva ω0 L , R ahol ω0 a rezonanciafrekvencia. Ez ´altal´anos rezg˝ok¨orre [5] Q=
Q=
|Im(Z)| , Re(Z)
(3.3)
(3.4)
ahol Im(Z) az impedancia k´epzetes r´esze, Re(Z) pedig az impedancia val´os r´esze. Munk´am sor´an a modell elk´esz´ıt´es´et ´es a modellez´est MATLAB k¨ornyezetben v´egeztem el. Az al´abbi programr´eszlet a m´ert adatok ismeret´eben meghat´arozza az alkatr´esz impedanciamenet´et, f´azismenet´et, ´es j´os´agi t´enyez˝oj´enek frekvenciaf¨ ugg´es´et. clc; clear; L=171.3035e-9; C=90.38043e-15; R=591.81e-3; index=0; f=[1000000:100000:3000000000]; for a=f, index = index + 1; Z(index)=((j*2*pi*a*L+R)*(1/(j*2*pi*a*C)))/((j*2*pi*a*L+R)+ +(1/(j*2*pi*a*C))); Q(index)=imag(Z)/real(Z); end; figure(1); loglog(f,abs(Z)); figure(2); loglog(f,phase(Z)*180/pi); figure(3); loglog(f,Q);
11
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
A 3.2, 3.3 ´es 3.4 ´abr´an ¨osszevetett¨ uk az induktivit´as m´ert ´es a modellez´es sor´an sz´amolt impedancia- ´es f´azismenet´et, valamint j´os´agi t´enyez˝oj´enek frekvenciaf¨ ugg´es´et. A grafikonokon ¨osszehasonl´ıt´asa sor´an meg´allap´ıthat´o, hogy a szimul´aci´o a m´er´esekhez
3.2. ´abra. Az induktivit´as m´ert ´es modellezett impedanciamenete
3.3. ´abra. Az induktivit´as m´ert ´es modellezett f´azismenete
3.4. ´abra. Az induktivit´as m´ert ´es modellezett j´os´agi t´enyez˝oje
12
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
3.5. ´abra. Az induktivit´as ide´alis modellezett j´os´agi t´enyez˝oje k¨ozeli eredm´enyeket szolg´altatott. Az elt´er´esek a modell fel´ep´ıt´es´eb˝ol ad´odnak, m´as modellek eset´eben elt´er´esek m´as m´odon mutatkozn´anak. A k¨ovetkez˝o l´ep´esben a feladat a j´os´agi t´enyez˝o maximum´anak alacsonyabb frekvenci´ara ”mozgat´asa”. A tetsz˝oleges frekvencia be´all´ıt´as´ahoz a modell param´etereinek ´ert´ekeit v´altoztathatjuk. Azonban mivel az adott induktivit´as n´evleges ´ert´eke – jelen esetben – 180nH, ett˝ol nem t´erhet¨ unk el jelent˝osen. R ´ert´eke pedig egyr´eszt nem befoly´asolja a param´eterek frekvenciaf¨ ug´es´et, m´asr´eszt pedig az ellen´all´as anyagf¨ ugg˝o tulajdons´ag, ´ıgy a gy´art´asban nem megoldhat´o ennek nagyar´any´ u v´altoztat´asa. V´egeredm´enyben teh´at C ´ert´ek´et m´odos´ıthatjuk, jelen esetben ez n¨ovel´est jelent, amely gyakorlatban – gy´art´asi tapasztalatok alapj´an – a tekercsel´es m´odos´ıt´as´aval (pl. t¨obbr´eteg˝ u tekercsel´es), vagy az induktivit´assal p´arhuzamosan k¨ot¨ott kondenz´atorral ´erhet˝o el. Ennek a m´odszernek a h´atr´anya, hogy a j´os´agi t´enyez˝o a maximum´at val´oban alacsonyabb frekvenci´an ´eri el, azonban ezzel maxim´alis ´ert´eke is cs¨okken. A 3.5. ´abr´an l´athat´o az ezzel a m´odszerrel be´all´ıtott j´os´agi t´enyez˝o, amelyet C ´ert´ek´enek 600fF-ra val´o n¨ovel´es´evel ´ert¨ unk el. Rem´enyeink szerint ugyanez az eredm´eny a maximum ´ert´ek cs¨okken´ese n´elk¨ ul is megval´os´ıthat´o lesz az alkatr´esz geometri´aj´anak m´odos´ıt´as´aval is, amihez azonban sz¨ uks´eges a v´egeselemm´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´o.
3.1.
A v´ egeselemes modell
A kutat´as t´argy´at k´epez˝o induktivit´as v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´oj´anak elv´egz´es´ehez legel˝osz¨or a modell fel´ep´ıt´es´et kell elv´egezn¨ unk. E munka sor´an neh´ezs´eget okoz a feladat ¨osszetetts´ege, ez´ert els˝o l´ep´esk´ent a feladat egyszer˝ us´ıt´es´et pr´ob´altuk elv´egezni. A modellt legink´abb bonyol´ıt´o t´eny, hogy a hordoz´ora tekercselt r´ezhuzal szigetel´es´et is figyelembe kell venni a pontos szimul´aci´o ´erdek´eben. Ez azonban azt vonn´a maga ut´an, hogy a h´aromdimenzi´os modellben a modell m´er´et´ehez viszony´ıtva rendk´ıv¨ ul v´ekony r´eteget csak nagyon s˝ ur˝ u r´acsoz´assal lehetne diszkretiz´alni. ´Igy a feladat megold´as´anak er˝oforr´asig´enyei meghaladn´ak jelenlegi infrastrukt´ ur´ank lehet˝os´egeit. Ez´ert els˝o l´ep´esk´ent a huzaloz´as vizsg´alat´at a modell k´etdimenzi´os metszeti modellj´en v´egezt¨ uk el. A legfontosabb k´erd´es, amire szerett¨ unk volna v´alaszt kapni, hogy milyen m´ert´ekben v´altoznak a szimul´aci´o eredm´enyei, ha a huzal szigetel´es´et nem vessz¨ uk figyelembe. Vizsg´altuk tov´abb´a a tekercsben fell´ep˝o szkin-hat´ast is. A k´etdimenzi´os 13
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
3.6. ´abra. Az induktivit´as k´etdimenzi´os modellj´enek v´egeselemes r´acsa modell v´egeselemes r´acsa a 3.6 ´abr´an l´athat´o. Am´ıg egyen´aram´ u gerjeszt´es mellett ´es alacsony frekvenci´an egy vezet˝ore u ´gy tekinthet¨ unk, hogy a rajta kereszt¨ ulfoly´o ´aram annak teljes keresztmetszet´eben egyenletesen oszlik el, teh´at az ´arams˝ ur˝ us´eg ´alland´o, addig magas frekvenci´akon – ahol d > 5Δ – a l´etrej¨ov˝o ¨orv´eny´aramoknak k¨osz¨onhet˝oen a vezet˝oben foly´o ´aram egyre ink´abb kiszorul annak fel¨ ulet´ere. Ezt a jelens´eget h´ıvjuk szkin-hat´asnak. A behatol´asi m´elys´eg defini´alhat´o Δ sz´ammal, ami megadja azt a m´elys´eget, amelyen a t´erer˝oss´eg ´ert´eke az eredeti e-ed r´esz´ere cs¨okken. Ennek defin´ıci´oja [8] Δ= √
1 . πf μσ
(3.5)
Ez az ´altalunk modellezett r´ezhuzalban, h´arom a haszn´alt frekvenciatartom´anyb´ol kiragadott f1 = 100MHz, f2 = 500MHz ´es f3 = 1GHz esetben Δ1 ∼ = 7.47 ∙ 10− 9m, Δ2 ∼ = − − ∼ 3.34 ∙ 10 9m ´es Δ1 = 2.36 ∙ 10 9m. A 3.7 ´abr´an l´athat´o a teljes ´arams˝ ur˝ us´eg a tekercsben 100, 500 ´es 1000MHz eset´en. A (3.5) egyenlet ebben az esetben azonban csak k¨ozel´ıt´es, v´egtelen f´elt´er eset´eben lenne val´oban igaz, ´ıgy jelen p´eld´aban csak szeml´eltet´esk´ent haszn´aljuk. A 3.8 ´abr´an megfigyelhet˝o az ´arams˝ ur˝ us´eg cs¨okken´ese a huzal belseje fel´e haladva a 2.3. fejezetben defini´alt m´odon v´egeselem-m´odszerrel sz´am´ıtva. L´athat´o, hogy a (3.5)-b˝ol sz´am´ıtott ´ert´ekek j´o k¨ozel´ıt´esnek sz´am´ıtanak ebben az esetben is – a huzal ´atm´er˝oje 50μm. A skin-hat´as k¨ovetkezt´eben teh´at az ´aram nem a vezet˝o teljes keresztmetszet´en fog folyni, ez´ert nem alkalmazhat´o (3.4) ¨osszef¨ ugg´es a j´os´agi t´enyez˝o meghat´aroz´as´ara, mivel nem ismert az a keresztmetszet, amelyen az ´aram folyik. Erre a k´es˝obbiekben a (2.1)-b˝ol levezetett, v´egeselem-m´odszerrel kalkul´alhat´o ¨osszef¨ ugg´est kell tal´alnunk. Ez azonban m´eg nem ismeretes. A huzalt bor´ıt´o szigetel´es szimul´aci´o szempontj´ab´ol fontos tulajdons´aga az relat´ıv permittivit´asa, melynek ´ert´eke εr = 10. A tekercsel´es vizsg´alata sor´an t¨obb sz´amol´ast v´egezt¨ unk a huzal szigetel´es´enek figyelembe v´etel´evel ´es an´elk¨ ul, majd a kapott eredm´enyeket ¨osszehasonl´ıtottuk. Az elektromos energia, az elektromos t´erer˝oss´eg ´es a m´agneses indukci´o ¨osszehasonl´ıt´asa a szigetel´essel ell´atott ´es szigetel´es n´elk¨ uli modellek eset´eben 14
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
(a)
(b)
(c) 3.7. a´bra. Teljes ´arams˝ ur˝ us´eg a tekercsben 100 (a), 500 (b) ´es 1000 (c) M Hz-en
3.8. ´abra. Teljes ´arams˝ ur˝ us´eg a huzalban 500M Hz-en
3.9. ´abra. Elektromos energia szigetel´es n´elk¨ ul ´es szigetel´essel 15
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
3.10. ´abra. Elektromos t´erer˝oss´eg szigetel´es n´elk¨ ul ´es szigetel´essel
3.11. ´abra. M´agneses indukci´o szigetel´es n´elk¨ ul ´es szigetel´essel
3.12. ´abra. Elektromos t´erer˝oss´eg szigetel´es n´elk¨ ul ´es szigetel´essel 16
P´olik Zolt´an, TMDK dolgozat
2008. ´aprilis
a 3.9, 3.10, ´es 3.11 ´abr´an l´athat´ok. A bemutatott grafikonok a 3.12 ´abr´an jel¨olt vonal ment´en ´ertend˝ok az induktivit´as magj´an kereszt¨ ul. A kapott eredm´enyek azt mutatt´ak, hogy az elt´er´esek a k´et eset k¨oz¨ott minim´alisak. Az elektromos enegria nagys´ag´aban 1.29%-os elt´er´es volt tapasztalhat´o, az eletromos eltol´as, elektromos t´erer˝oss´eg, a m´agneses indukci´o ´es a m´agneses t´erer˝oss´eg eset´eben pedig 1% alatti volt a k¨ ul¨onbs´eg. Ezen eredm´enyek birtok´aban arra a k¨ovetkeztet´esre jutottunk, hogy a huzal szigetel´es´enek elhagy´asa a v´egeselemes modellben megengedhet˝o a v´egeredm´enyben alig jelentkez˝o v´altoz´asok miatt. Ezzel egy¨ utt a feladat l´enyegesen leegyszer˝ us¨odik, mivel a modell m´ereteihez k´epest rendk´ıv¨ ul kis kiterjed´es˝ u szigetel´es elhagy´as´aval, a v´egeselemes r´acs j´oval egyszer˝ ubb lesz, kevesebb ismeretlen kisz´amol´as´at teszi sz¨ uks´egess´e a szimul´aci´o sor´an. A k´etdimenzi´os modell eset´eben ez azt jelenti, hogy m´ıg a szigetel´es berajzol´as´aval 46928 r´acspontot kapunk, addig a szigetel´est elhagyva ez 16064 r´acspontra reduk´al´odik. H´aromdimenzi´os modell eset´en ez a k¨ ul¨onbs´eg hatv´anyozottan igaz. Munk´am jelen pillanatban a fent bemutatott eredm´enyekkel rendelkezik. A tov´abbiakban az induktivit´as h´aromdimenzi´os szimul´aci´oja fog k¨ovetkezni az el˝oz˝oekben bemutatott m´odszer ´es a fel´ep´ıtett modell alkalmaz´as´aval. Levezet´esre v´arnak azok az ¨osszef¨ ugg´esek, amelyekkel a sz¨ uks´eges mennyis´egek – kapacit´as, induktivit´as, ellen´all´as, j´os´agi t´enyez˝o – a v´egeselem-m´odszer alkalmaz´as´aval kapott ponenci´alokb´ol sz´armaztathat´ok. Ezek ut´an k¨ovetkezhet majd az alkatr´esz tulajdons´againak t´enyleges vizsg´alata ´es azok k´ıv´ant m´ert´ekben t¨ort´en˝o m´odos´ıt´asa.
17
4. fejezet Konkl´ uzi´ o, j¨ ov˝ obeli tervek Tudom´anyos di´akk¨ori dolgozatban bemutattam az Elektrom´agneses Terek Laborat´oriumban folyamatban l´ev˝o munk´am jelenlegi eredm´enyeit, r´adi´ofrekvenci´as tartom´anyban haszn´alt SMT induktivit´as v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´oj´anak ´es tov´abbfejleszt´es´enek t´emak¨or´eben. Bemutat´asra ker¨ ult a vizsg´alt induktivit´as, annak fel´ep´ıt´ese ´es a probl´ema bemutat´asa, az eszk¨oz viselked´es´enek modellez´ese ´es tulajdons´againak vizsg´alata a haszn´alt frekvenciatartom´anyban MATLAB k¨ornyezetben. Prezent´altam tov´abb´a a v´egeselemm´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´ohoz sz¨ uks´eges parci´alis diffenci´alegyenletek levezet´es´et, valamint a v´egeselemes modell egyszer˝ us´ıt´ese ´erdek´eben t¨ort´en˝o vizsg´alatokat COMSOL Multiphysics k¨ornyezetben. A projekt tov´abbi c´elja az induktivit´as h´aromdimenzi´oban t¨ort´en˝o szimul´aci´oja, ´es a sz¨ uks´eges ismeretanyag megszerz´ese az alkatr´eszr˝ol, bele´ertve a m´eg hi´anyz´o ¨osszef¨ ugg´esek levezet´es´et ´es a szimul´aci´o sor´an szerzett tapasztalatokat is, amelyek birtok´aban az alkatr´eszen tervezett m´odos´ıt´asok v´egrehajthat´ok.
18
Irodalomjegyz´ ek [1] M. Kuczmann, A. Iv´anyi, Neural Network Based Vector Hysteresis Model in the Finite Element Method, Akad´emiai Kiad´o, Budapest, megjelen´es alatt. [2] Simonyi K´aroly, Zombory L´aszl´o, Elm´eleti Villamoss´agtan, M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 2000 [3] Z. P´olik, M. Kuczmann, Eddy Currents in SMT Inductors Simulated by the Finite Element Method, Pollack Periodica, megjelen´es alatt [4] P´olik Zolt´an, SMT Induktivit´asok Szimul´aci´oja V´egeselem-M´odszerrel, TMDK dolgozat, 2007, Gy˝or [5] L. Green, RF-inductor modelling for the 21st century, EDN, 2001 [6] O. B´ır´o, K. R. Richter, CAD in Electromagnetism, in series Advances in Electronics and Electron Physics, Academic Press, New York, 82, 1991 [7] Standeisky Istv´an, Villamoss´agtan, Universitas Kht., Gy˝or, 2005 [8] Fodor Gy¨orgy, Elektrom´agneses terek, M˝ uegyetemi kiad´o, Budapest, 1998 [9] www.epcos.com [10] www.comsol.com
19
