Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
II. Gyakorlat: Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek hajlítási teherbírása III. feszültségi állapotban) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin
-1-
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
A számításokban feltételezzük [Kollár, 47. oldal], hogy: - a vasbeton keresztmetszet sík marad az alakváltozás után is - a beton és az acél csúszásmentes együttdolgozik Ezeken túl még azt is feltételezzük, hogy a beton III. feszültségi állapotban van és nyomott szélső szálában elérte a határösszenyomódását, azaz εc = εcu [Kollár, 67. oldal], ez a feltevés biztos, hogy nem teljesül, ha a vasbeton keresztmetszet gyengén vasalt, mert az acél elszakad, mielőtt a beton szélső szálában létrejönne a határösszenyomódás a feltevés teljesül normálisan vasalt keresztmetszet esetén, azaz az acél megfolyt és a betonban létrejön a törési összenyomódás a feltevés teljesül túlvasalt keresztmetszet esetén is, azaz a betonban létrejön a törési összenyomódásés az acél rugalmas állapotban van - A feladat megoldások során a beton esetén a következő anyagjellemzőket használjuk : - anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell c
-f - αf
σ ασ
ck
Az EC-ben javasolt beton s(e) diagramok közül a legegyszerűbb
ck
cd
cd
c := 0.8
- az ábra kitöltöttsége:
ε [%0] ε =-0,7 ε =-3,5 1. ábra:A beton σ(ε) diagramja c
c1
cu
Természetesen lehetőség van, ennél pontosabb σ ( ε)-diagram használatára is, de mivel a megkívánt számítási pontosságnak ez is megfelel, és a biztonság javára tér el a többi σ ( ε)-diagramtól, ezért az egyszerűség kedvéért a továbbiakban ezt használjuk. (Az EC2-ben javasolt többi diagramot lásd a Kollár könyv 62. oldalán .) - beton biztonsági tényezője:
γc := 1.5
- működési tényező (kedvezőtlen hatásokat figyelembe vevő tényező):
α := 1
εcu := −3.5 ⋅ ‰
- beton határösszenyomodása:
- A feladat megoldások során az acél esetén a következő anyagjellemzőket használjuk : s
σyk σyd
f yk f yd ε's σ'yd σ'yk
f yd εsu=2,5 Es
ε [%] s
-f'yd -f'yk σs'
2. ábra:Az acél σ(ε) diagramja - acél biztonsági tényezője:
γs := 1.15
- acél határnyúlása:
εsu := 2.5 ⋅ %
- acél rugalmassági modulusa:
Es := 200000⋅
N mm
-2-
2
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
Annak szemléltetésére, hogy a relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzetének képletének kényelmes, általunk 560 használt végleges formája, nem mértékegység konzekvens, mégis fizikai tartalommal bír, álljon itt a ξ c0 = fyd + 700 képletének levezetése:
αf cd .
x
x c=cx
d
.
{
cu
As
ε
b
ε
s
σ
s
σ
3. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája Az x és az xc viszonya az 1. és a 3. ábra alapján belátható: xc x
=
xc = 0.8x = c⋅ x xc x = 1.25xc = c
3.5‰ − 0.7‰ 3.5‰
vagy
Az acélban keletkező nyúlás (aránypárból a 3. ábra alapján): εs = −εcu⋅ εs >
Az acél folyik, ha
d
<
(
)
c⋅ −εcu ⋅ Es fyd Es
(
)
+ −εcu ⋅ Es
behelyettesítve
x
fyd Es fyd
c⋅ d εs = −εcu⋅ − 1 > xc Es xc
d− x
átrendezve
ahol
ξc =
xc
és
ξ c0 =
d
(
fyd Es
εsu := 2.5 ⋅ % ; Es := 200000⋅
N 2
; c := 0.8
)
c⋅ −εcu ⋅ Es
(
)
+ −εcu ⋅ Es
megkapjuk
mm 560 ξ c < ξ c0 = és ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor a húzott acélbetétel megfolynak fyd + 700
-3-
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
2.1.példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:
500
450
M Ed=105 kNm Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B
4φ20
300 Feladat definiálása:
αf cd
cu
.
x
F =x b α f
xc
c
c*
*
*
cd
.
h
d
.
{
ε
As b
ε σ s
ε
zc
F =A f
s
s
σ
s*
yd
Belső erők
4. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm d := 450mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 darab φ := 20mm 2
φ ⋅π
As := n⋅ 4
As = 1256.6 mm
2
Anyagjellemzõk definiálása: beton: C16/20 - a beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke:
N
fck := 16⋅
mm - a beton nyomószilárdságának tervezési értéke:
fcd :=
2
fck
N
fcd = 10.7
γc
mm
2
acél: S500B fyk := 500⋅
- az acél folyási határának karakterisztikus értéke:
N mm
fyd :=
- az acél folyási határának tervezési értéke:
ξ c0 :=
- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez: - relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez:
2
fyk
2
mm 560
fyd + 700
560 ξ´c0 := 700 − fyd xc0 := d⋅ ξc0
-4-
N
fyd = 434.8
γs
ξ c0 = 0.5
ξ´c0 = 2.111 xc0 = 222.1 mm
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd
xc = 170.7 mm
b = 300 mm α = 1.0
ahol
N
fcd = 10.7
mm
2 2
As = 1256.6 mm N fyd = 434.8 2 mm
Feltevés ellenőrzése (aránypárral): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c := 0.8 Az acélban keletkezõ nyúlás: xc xc d − d − εs c c átrendezve = εs := −εcu ⋅ xc xc −εcu
(
)
c
c
εE :=
rugalmássági határ: εs = 0.388 %
εs = 0.388 %
>
fyd Es εE = 0.217 %
εE = 0.217 % ezért az acélbetétek tényleg megfolynak
A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete alapján) : xc ξ c := d ξ c = 0.379 < ξ c0 = 0.493 vagy xc = 170.7 mm <
A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak ( a keresztmetszet normálisan vasalt)
xc0 = 222.1 mm
Az acélbetétek megnyúlása: εs = 0.388 %
<
εsu = 2.5 %
acélbetétek nem szakadnak el xc MRd := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅ d − 2
A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára:
ahol
MRd = 199.2 kN⋅ m
b = 300 mm xc = 170.7 mm α = 1.0 N fcd = 10.7 2 mm d = 450 mm
MRd = 199.2 kN⋅ m
>
MEd = 105 kN⋅ m
a keresztmetszet hajlításra megfelel
-5-
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
2.2. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:
500
437
MEd := 210⋅ kN⋅ m Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B
6φ20
300 Feladat definiálása:
αf cd
cu
.
x
F =x b α f
xc
c
c*
*
*
cd
.
h
d
.
{
ε
As b
ε σ s
ε
zc
F =A f
s
s
σ
s*
yd
Belső erők
5. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm d := 437mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 6
φ := 20mm
darab 2
φ ⋅π
As := n⋅ 4
As = 1885 mm
2
Anyagjellemzők: lásd 3.1. példa Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak A vetületi egyenlet:
xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol b = 300 mm
xc = 256.1 mm
α = 1.0 fcd = 10.7
N mm
2 2
As = 1885 mm N fyd = 434.8 2 mm A A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := d ξ c = 0.586 > ξ c0 = 0.493 A feltételezés nem volt helyes, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak ( keresztmeteszet túlvasalt) vagy xc = 256.1 mm >
xc0 = 222.1 mm A feltételezés nem volt helyes, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak
-6-
Vasbetonszerkezetek I. c
II. gyakorlat c0
A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása: 560 xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ x − 700 c
ahol
d
(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során)
b = 300 mm fcd = 10.7
xc = 225.9 mm
N mm
2 2
As = 1885 mm Acél rugalmasságának ellenőrzése: xc ξ c := ξ c = 0.517 > ξ c0 = 0.493 d vagy xc = 225.9 mm<
az acélbetétek rugalmas állapotban
xc0 = 222.1 mm
Az acélban keletkező feszültség: σ s :=
560 xc
− 700
σ s = 383.5
N
< 2
mm
d
ahol
N
mm d = 437 mm >
MEd = 210 kN⋅ m
2
a keresztmetszet hajlításra megfelel
-7-
2
MRd = 234.2 kN⋅ m
b = 300 mm xc = 225.9 mm fcd = 10.7
N mm
xc MRd := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅ d − 2
A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára:
MRd = 234.2 kN⋅ m
fyd = 434.8
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
Megjegyzés: A 2.1. és a 2.2. példában a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságúk, voltak, a 2.1 példában a húzott vasalás 4φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=199,2kNm a 2.2 példában a húzott vasalás 6φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=234,2kNm. Másfélszeres vasmennyiség nem növelte, a nyomatéki teherbírást ennyivel nagyobbra (pedig I. feszültségi állapotban így lett volna.) A vasmennyiség növelesével az xc nyomott betonzóna magassága is nőt, hiszen több beton kell bevoni a nyomott zónába ahhoz, hogy egyensúlyban legyenek a keresztmetszet belső erői, lásd 6. ábra
C16/20
σ [MPa] c
f
cd
=10,7
ε
-0,7
cu
=-3,5
2.1. példa: 4φ20 2.2. példa: 6φ20
d
500
xc0 x0
As 300
ε σ [MPa] s
2.1. példa
S500B f
=434,8
yd
2.2. példa
ε'
ε
=-25
su
s
f =-2,17 E yd
s
f
=434,8
yd
σ' s
6. ábra: A betonacél határhelyzetének ellenőrzése
-8-
ε
ε [%0] s
=-25
su
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
2.3 példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: MEd := 105⋅ kN⋅ m
500
455
Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B
2φ10
300 Megoldás:
αf cd
cu
.
x
F =x b α f
xc
c
c*
*
*
cd
.
h
d
.
{
ε
As
ε σ s
ε
b
zc
F =A f
s
s
σ
s*
yd
Belső erők
7. ábra: A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és belső erői Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm d := 455mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 2
φ := 10mm
darab 2
φ ⋅π
As := n⋅ 4
As = 157.1 mm
2
Anyagjellemzõk: lásd a 3.1. példában Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol b = 300 mm α = 1.0
A vetületi egyenlet:
fcd = 10.7
xc = 21.3 mm
N mm
2 2
As = 157.1 mm N fyd = 434.8 2 mm
-9-
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
A feltevés ellenőrzése (aránypárral): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c := 0.8 Az acélban keletkezõ nyúlás: xc xc d − d − εs c c átrendezve = εs := −εcu ⋅ xc xc −εcu
(
)
c
c
εE :=
rugalmássági határ: εs = 5.619 %
εs = 5.619 %
fyd Es εE = 0.217 %
>
εE = 0.217 % ezért az acél tényleg folyik
A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete alapján) : xc ξ c := d ξc = 0
< ξ c0 = 0.5
A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak
DE!!!!! εs = 5.619 %
εsu = 2.5 %
>
A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára:
acélbetétek elszakadnak !!!! keresztmetszet gyengén vasalt xc M = 234.2 kN⋅ m MRd := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅ d − Rd 2 ahol
b = 300 mm xc = 21.3 mm α = 1.0 N fcd = 10.7 2 mm d = 455 mm
MRd = 30.3 kN⋅ m
<
MEd = 105 kN⋅ m
a keresztmetszet hajlításra nem felel meg!!!!
-10-
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
2.4. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: MEd := 200⋅ kN⋅ m
500
2φ20
Anyagok :
6φ20
Beton: C16/20 Betonacél: S500B
300
Feladat definiálása:
ε ε
σ αf
.
s
x
σ'
Belső erők
cd
s
.
ε'
A's
{
cu
F' =A' f F =x b α f s
xc
s*
c*
yd
*
*
cd
h
d
c
ε
As
s
σ
F =A f
s
s
s*
yd
b
10. ábra:A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm kengyel:
φk := 10mm
betonfedés: a vasak kedvezõtlen elmozdulása miatt:
bf := 20mm δ := 10mm
n := 6
alkalmazott húzott vasalás:
darab
φ := 20mm
2
φ ⋅π
As := n⋅ 4
As = 1885 mm
2
.
Megjegyzés: Ha a keresztmetszetben az acélbetétek két vagy több sorban helyezkednek el, akkor számításban a súlypontjukban egyetlen acélkeresztmetszettel helyettesített acélbetétek hasznos magasságát a következőképpen számítjuk:
ζ
11. ábra:Vasbetétek súlyvonala
φ 20mm
vasak közötti minimális távolság:
ζ := max
alsó sorban levő vasak száma:
nalsó := 4 nfelsõ := 2
felső sorban levő vasak száma:
ζ = 20 mm
nfelsõ φ φ φ d := h − bf − φk − − ⋅ + ζ + − δ 2 nfelsõ + nalsó 2 2 alkalmazott nyomott vasalás: n´ := 2 darab φ´ := 20mm hasznos magasság:
2
φ´ ⋅ π A´s := n´⋅ 4
2
A´s = 628.3 mm
φ´ d´ := bf + φk + +δ 2 Anyagjellemzők: lásd a 3.1. példában hasznos magasság:
-11-
d´ = 50 mm
d = 436.7 mm
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is folynak A vetületi egyenlet:
xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = 0 ahol b = 300 mm α = 1.0 N fcd = 10.7 2 mm
xc = 170.7 mm
2
A´s = 628.3 mm 2
As = 1885 mm N fyd = 434.8 2 mm A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.391 d
< ξ c0 = 0.493
A felt. helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak
xc ξ´c := d´
> ξ´c0 = 2.111
A felt. helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak
ξ´c = 3.415
A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc MRd := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅ d − + A´s⋅ fyd⋅ (d − d´) 2
ahol
MRd = 297.6 kN⋅ m
b = 300 mm xc = 170.7 mm fcd = 10.7
N
mm d = 436.7 mm
2 2
A´s = 628.3 mm N fyd = 434.8 2 mm d´ = 50 mm MRd = 297.6 kN⋅ m
>
MEd = 200 kN⋅ m
-12-
a keresztmetszet hajlításra megfelel
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
Megjegyzés: (A megelőző példákban a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságú voltak) A 2.2. példában a 6φ20 vasalás húzottként alkalmaztuk és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=234,2kNm a 2.6. példában a húzott vasalásként 6φ20 és t nyomott vasalásként 2φ20-as alkalmaztunk és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=297,6kNm-re nőtt, amiből látható, hogy egy túlvasalt keresztmetszetbe nyomott vasalást rakunk, akkor mind a nyomott és húzott acélbetétek is megfolynak, és jelentősen növeli a keresztmetszet nyomatéki teherbírását. Az xc alakulása megfigyelhető a következő ábrán:
C16/20
σ [MPa] c
f =10,7 cd
2.6. példa: 2φ20
cu
A's
xc0 x0 d
500
2.6. példa: 6φ20 2.2. példa: 6φ20
ε =-3,5
-0,7
As 300
ε σ [MPa] s
S500B f =434,8 yd
2.6. példa
2.6. példa
2.2. példa
ε'
ε =-25 su
s
f =-2,17 E yd s
f =434,8 yd
σ' s
12. ábra: A betonacél határhelyzetének ellenőrzése
-13-
ε =-25 su
ε [%0] s
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
2.5. példa: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: 2φ20
500
MEd := 200⋅ kN⋅ m Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B
4φ20
300 Feladat definiálása:
ε ε
cu
s .
σ'
s
F's=A's*f yd Fc=xc*b*α*f cd
xc
h
d
x
Belső erők .
{
ε'
A's
σ αf cd
As
ε
s
σ
Fs=As*f yd
s
b
8. ábra:A vasbeton keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 300mm kengyel: φk := 10mm betonfedés: bf := 20mm a vasak kedvezõtlen elmozdulása miatt:
δ := 10mm
n := 4
alkalmazott húzott vasalás:
darab
φ := 20mm
2
hasznos magasság: alkalmazott nyomott vasalás:
φ ⋅π As := n⋅ 4
As = 1256.6 mm
φ d := h − bf − φk − −δ 2
d = 450 mm
n´ := 2
darab
φ´ := 20mm
2
hasznos magasság:
2
φ´ ⋅ π A´s := n´⋅ 4
A´s = 628.3 mm
φ´ d´ := bf + φk + +δ 2
d´ = 50 mm
2
Anyagjellemzők: lásd a 3.1. példában Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅ fyd − As⋅ fyd = 0 ahol b = 300 mm α = 1.0 N fcd = 10.7 2 mm 2
A´s = 628.3 mm N fyd = 434.8 2 mm As = 1256.6 mm
2
-14-
xc = 85.4 mm
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat s
A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.19 d
< ξ c0 = 0.493 A felt. helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak
xc ξ´c := d´
< ξ´c0 = 2.111 A felt.nem volt helyes, a nyomott acélbetétek rugalmas állapotúak
ξ´c = 1.707
A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása: (húzott acélbetétek folynak, nyomottak rugalmasak) 560 xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd + A´s⋅ 700 − xc
d´
− A ⋅f = 0 s yd
(az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) xc = 92.6 mm
Feltétel ellenőrzése: xc ξ c := ξ c = 0.206 d
< ξ c0 = 0.493
a húzott acél képlékeny
xc ξ´c := d´
< ξ´c0 = 2.111
a nyomott acél rugalmas
ξ´c = 1.853
nyomott acélban keletkező feszültség:
560 σ´s := 700 − xc d
A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc MRd := b ⋅ xc⋅ α ⋅ fcd⋅ d − + A´s⋅ σ´s⋅ (d − d´) 2
ahol
σ´s = 397.75
N
N (< fyd = 434.8 ) 2 2 mm mm
MRd = 219.6 kN⋅ m
b = 300 mm xc = 92.6 mm N
fcd = 10.7
mm
2
d = 450 mm d´ = 50 mm 2
A´s = 628.3 mm MRd = 219.6 kN⋅ m
>
MEd = 200 kN⋅ m
-15-
a keresztmetszet hajlításra megfelel
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
Megjegyzés: (A megelőző példákban a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságú voltak.) A 2.1 példában a húzott vasalás 4φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=199,2kNm a 2.2. példában a 6φ20 vasalás húzottként alkalmaztuk és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=234,2kNm a 2.4. példában a vasalás 6φ20, de úgy hogy ebből 2φ20-ast nyomott vasalásként alkalmaztunk és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása MRd=219,6kNm-re csökkent, hisz két vas nyomott oldalra áthelyezésével túlvasalt lett a keresztmetszet, mintha "csak ezért" raktuk volna be nyomott vasalást, hogy az rugalmasan viselkedjen, azaz nyomóerőt átvállaljon a betontól. De a gyakorlatban túlvasalt keresztmetszetet kerülni kell! Az xc alakulását lásd a következő ábrán:
C16/20
c
f =10,7
[MPa]
cd
2.4. példa: 2φ20
ε =-3,5
-0,7
cu
2.4. példa:4φ20 2.1. példa:4φ20 2.2. példa:6φ20
xc0 x0 d
500
A's
As
ε σ [MPa] S500B
300
s
2.1. példa f =434,8 yd
2.2. példa
2.4. példa ε' s
ε =-25 su
2.4. példa f E
yd s
f =-2,17 E yd s
σ' s
9. ábra: A betonacél határhelyzetének ellenőrzése
-16-
ε =-25 su
ε [%0] s
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
2.6. példa: Ellenőrizze az alábbi T keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra:
400
380 500
460
120
MEd := 220⋅ kN⋅ m
Anyagok :
4φ25
Beton: C16/20 Betonacél: S400B
240 Feladat definiálása:
h
t
b
As bw 13.. ábra:A T-keresztmetszet jelölései Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm b := 400mm d := 460mm (a fejlemez vastasága) t := 120mm (borda szélessége) b w := 240mm - az alkalmazott húzott vasalás:
n := 4
darab
φ := 25mm
2
φ ⋅π
As := n⋅ 4
As = 1963.5 mm
2
Anyagjellemzők definiálása: beton: C16/20 N
- a beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke: fck := 16⋅
mm - a beton nyomószilárdságának tervezési értéke:
fcd :=
2
fck
N
fcd = 10.7
γc
mm
2
acél: S400B - az acél folyási határának karakterisztikus értéke:
fyk := 400⋅
N mm
- az acél folyási határának tervezési értéke:
- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete:
fyd := ξ c0 :=
-17-
2
fyk
fyd = 347.8
γs
N 2
mm 560
fyd + 700
ξ c0 = 0.5
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak és Tegyük fel, hogy a nyomott zóna a fejlemezben van
x
xc
.
αf cd
As
Fc
Fs ε
σ
belső erők
14. ábra:A T-keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők xc⋅ b ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol b = 400 mm
A vetületi egyenlet:
xc = 160.1 mm
α = 1.0 fcd = 10.7
N mm
2 2
As = 1963.5 mm N fyd = 347.8 2 mm A feltevés ellenőrzése : xc < ξ c := ξ c = 0.348 d xc = 160.1 mm >
ξ c0 = 0.534
a feltevés helyes, az acélbetétek folyási állapotban vannak
t = 120 mm
a feltevés helytelen, a nyomott zóna a bordába nyúlik
A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása
.
αf cd
Fc
x
xc
As
Fs
ε
σ
belső erők
15. ábra:A T-keresztmetszet ε −, σ −ábrája és a belső erők
t ⋅ ( b − bw) + xc⋅ b w ⋅ α ⋅ fcd = As⋅ fyd ahol
b = 400 mm b w = 240 mm
xc = 186.8 mm
t = 120 mm α = 1.0 fcd = 10.7
N mm
2 2
As = 1963.5 mm N fyd = 347.8 2 mm
-18-
Vasbetonszerkezetek I.
II. gyakorlat
A feltevés ellenőrzése : xc ξ c := ξ c = 0.406 < ξ c0 = 0.534 A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak d A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: xc t MRd := t ⋅ b − bw ⋅ d − + xc⋅ bw⋅ d − ⋅ α ⋅ fcd 2 2
(
ahol
)
MRd = 257.2 kN⋅ m
b = 400 mm b w = 240 mm t = 120 mm fcd = 10.7
N mm
2
d = 460 mm xc = 186.8 mm MRd = 257.2 kN⋅ m
>
MEd = 220 kN⋅ m
-19-
a keresztmetszet hajlításra megfelel
