II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

MATEMATIKA FELADATSOR – 9. évfolyam Elnézést a tegezésért! 

I. HALMAZOK Számegyenesek, intervallumok 1. Töltsd ki a táblázatot! Minden sorban egy-egy intervallum háromféle megadása szerepeljen!

2. Add meg a következő intervallumokat! A nagybetűk az előző feladat intervallumait jelölik. a) A  B b) A  B c) A \ B

g) A  D h) D \ A i) D  E

d) B \ A e) A  C f) C  B

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Algebrai kifejezés, változó, együttható 3. Hány változósak a következő algebrai kifejezések? Add meg a bennük szereplő változókat és együtthatókat! feladat

kifejezés

a)

3c  4d

b)

 6c2d

c)

zy

d) e)



5 pqr 7 4k 3

változók száma

változók felsorolása

együttható

Helyettesítési érték kiszámolása 4. Számold ki a következő kifejezések értékét, ha x  2 , y  1 ! c) x  y  xy ; a) 6 x  x 2 ; 2 3 1 1 b) 2 y  x  ; d) x y  y  x ; 2 2 1 , b  3 ! 3 b) a 0  b   3a  ;

e)

x  3y  yx 2

c)

ab  1 b   2b 7 a

5. Számold ki a következő kifejezés értékét, ha a 



a) ab  3  ab ;



6. Számold ki a következő kifejezés értékét, ha c  0 , d  0,5 , e  5 ! cd  e 2 c  e  a) ; 5 d

b)

e 1 d e ; c

A hatványozás azonosságainak használata Azonos alapú hatványok

Szorzat, hányados hatványozása

a n  a k  a n k

abn  a nb n

an  a nk k a

an a    n b b

a 

n k

n

 a nk

7. Hozd a lehető legegyszerűbb alakra a következő kifejezést! (Minden betű legfeljebb egyszer szerepeljen benne, és ne legyen benne negatív kitevő!)

 

a 2 b ba 3 a) ab 2

4

;

3 2  ab b 2   a 4  b 7 b)

a b  ab  2

3

Negatív kitevőjű hatvány 8. Számold ki a következő kifejezések értékét! a) 2 3 ; e) 0,11 ; 2 b) 5 2 ; 2 1 f) ;   c) 7 ; 3   d) 3 4 ;

-2-

3 2

a n 

1 an

1 g)   2

1

A számok normál alakja 9. Töltsd ki az alábbi táblázatot! Egymás mellett ugyanannak a számnak a kétféle alakja szerepeljen! helyiértékes alak

normál alak

helyiértékes alak

normál alak – 2,008  1010

200 50 000

0,1255 – 4  103

0,2

3  102

0,05 3,5  101

2,5  10 4

175 000

2  10 2

2 315 000

– 4,05  10 3

– 42 500 000

0,021 1,01 10 3

1,35  105 7,256  102

0,007

Egész kifejezések (polinomok) Nevezetes azonosságok használata

a  b2  a 2  2ab  b 2

a  b2  a 2  2ab  b 2

. 10. A megfelelő nevezetes azonosságok alapján végezd el a műveleteket! j) 3g  4 ; 2 k) 8 p  5q  ;

a) c  d 2 ;

2

b) x  52 ;

c) e  f 2 ;

2

x    1 l)  6  ; 2 a c    m)  2 3  ;

d) a  3 ; 2 e) 4  b ; 2

f) g) h) i)

x  12 2c  d 2 ; e  3 f 2 ; 5 y  4x2 ;

y  1 ; 1  x  ; b  2 2

n)

2

2 2

o)

3

p) -3-

2

a  b a  b   a 2  b 2 11. A megfelelő nevezetes azonosság alapján végezd el a műveleteket! a) x  y x  y  ; b) a  3a  3 ; c) 5  d 5  d  ; d) 6e  f 6e  f  ; e) 2  3x 2  3x  ;

 y 1  y 1  h)      ;  7 2  7 2   a b  a b  i)      ;  10 3  10 3   x5  x 5   6 z   6 z  j)   2y  2 y 

f) a 3  1a 3  1; g) 4 z  5 y 4 z  5 y 

12. Végezd el a műveleteket! a) a  b2  2ab ;

e) d  12  2d  3 ; f) 5x  1  x 2 ;

b) x  y 2  x 2  y 2 ;





c) 5 a 2  b 2  a  b2 ; d) b  c   b  c  ;

g)  y  b y  b   y  b2 ; h) cc  1  c  22  2c 2

13. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! — kiemeléssel: a) 5c  5d =

f)

b) 3 y  15x = c) 6a 2  12 =

1 1 1 abc  abd  bcd = 2 2 2

g) a 2  a =

d) 2 x  4 y  6 z =

h) x 5  x 4  x 3  x 2  x =

e) 10x  100xy =

2 2     nevezetes azonosság alapján: a  b  a  b a  b

i) x 2  y 2 =

n) 25a 2  16b 2 =

j) x 2  5 2 =

o) 100d 2  81c 2 =

k) c 2  25 =

p)

l) 9  a 2 =

q) a 2 b 2  49y 2 =

m) 2 y   3c  = 2

4 2 x  36 = 9

2

-4-

14. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!

a)

15a  2  = 10a  2 

f)

b)

4a  4b = 2a  2b

g)

2 x  8 3 y  15 =  y 2  25 x 2  16

c)

6d  12 = d 2

h)

1 b  = b  100 2b  20

d)

4  2x = 4  x2

i)

x 2 =  2 6x  6 y x  y 2

y2  9 e) = 2y  6

j)

4 5a 3  2  = 3a  6 a  4 2a  4

b2  c2 = 4b  4c

2

III. FÜGGVÉNYEK Ábrázold a következő függvényeket! (Az elsőfokú kivételével függvénytranszformációk segítségével.) Jellemezd őket! (Add meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, zérushelyüket, szélsőértékük helyét és értékét, valamint jellemezd menetüket /monotonitásukat/! Az elsőfokú függvénynél pontosan számold ki a zérushelyet!) Lineáris függvények Elsőfokú lineáris függvények

15. Ábrázold és jellemezd a következő elsőfokú függvényeket! a) f x    x ; f x  

5 x 1 4 ;

b) c) f x   x  3 ; d) f x   5x  2 ; 3 f x    x  2 4 e) ;

1 f x    x  2 5 f) ; g) f x    x  7 ; h) f x   2 x  3 ; i) f x   x  5 ; j) f x   4 x ;

Abszolútérték-függvények 16. Ábrázold és jellemezd a következő abszolútérték-függvényeket! a) f x   x  4 ;

g) f x   3 x  5 ;

b) f x   x  5 ;

h) f  x  

1 x  3; 2 i) f x   2 x  7  6 ;

c) f x   x  2 ; d) f x   x  2  3 ;

j) f x    x  3  4 ;

e) f x   x  5  2 ; f) f x   2 x ;

-5-

Másodfokú függvények 17. Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényeket! a) f  x   x 2 (alapfüggvény); b) f x   x 2  2 ;

e) f x   2x  62 ;

f) f x  2x  7  2 ; 1 2 g) f  x    x  4  ; 2 h) f x    x 2  2 2

c) f x  x  32 ;

d) f x   x  52  4

Négyzetgyökfüggvények 18. Ábrázold és jellemezd a következő négyzetgyökfüggvényeket! a) f x   x  3 ;

d) f x   2 x  1 ;

c) f x  x  5  2 ;

f) f x  2 x  3 ;

b) f x  x  6 ;

e) f x   2 x  3  2 ;

Lineáris (elsőfokú) törtfüggvények 19. Ábrázold és jellemezd a következő lineáris törtfüggvényeket! f x  

f x  

1 x (alapfüggvény); a) 1 f x    4 x b) ; 1 f x    5 x c) ; 1 f x   x7 ; d)

e) f) g) h)

-6-

1 3 x4 ; 1 f x   6 x5 ; 1 f x   7 x2 1 f x    x;

IV. GEOMETRIA (Háromszögek, négyszögek, sokszögek) A következő feladatokhoz tudni kell: a háromszög nevezetes vonalainak definícióit, a háromszög kerületének, területének, beírható köre sugarának kiszámítási módját, valamint a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. 20. Egy derékszögű háromszög két befogója a=3 cm, b=4 cm. Számítsuk ki a háromszög átfogóját, magasságait, középvonalait, kerületét, területét, súlyvonalait, köré, ill. beírható körének sugarát! 21. Szerkeszd meg egy hegyesszögű, egy tompaszögű és egy derékszögű háromszög beírható és köré írható körét is! (Összesen 6 kör lesz a végeredmény.) 22. Egy derékszögű háromszög a befogójához tartozó középvonala ka=5 cm, az a befogóhoz tartozó magassága pedig ma=7 cm. Számítsuk ki a háromszög oldalait, többi magasságát, többi középvonalát, kerületét, területét, súlyvonalait, köré, ill. beírható körének sugarát!

V. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Egyenletmegoldás mérlegelvvel (egyenletrendezéssel) 23. Oldd meg a következő egyenleteket mérlegelvvel (egyenletrendezéssel)! a)  3x  0 1  b) 4 x    0 3  c) 5x  1  0 d)  3x  2  0 e) 2x  2  1  x f) 2 x  7  8  3x   26 g) 8x  5  4 x   6  4 x  9 h) 6 x  3  3x  4  x  4  x  1 i) 0,4 x  1,8  1,5x  1   4 x  0,8  3,8 1  1  1 3 5 1 j)  x      x      x    4  2  3 4 6 2 k) 3xx  1  x3x  1  x  7 l) 4 x  2x  3  3x  34  2 x   8  1 m) 3x  12 x  5  32 x  1x  2  24 n) 234  x   23  2 x   2  44 o)   x   x   x  1 p) 23x  4  7  1  8x  11 -7-

x 0 6 1 3 r) x   0 2 4 3 1  2  3 s) 2 x  x   x     2  x  5 2  5  2 7  16  16 7  t)  x  x   1   x  x   x 2  3  5 3  2  2 5  7 3  29 3 u)  x     x     x    5 3 3   12 10  5 4 1  1 2 3 5 1 v)  x     2 x     x    4  2 3 4 6 2 6 x  4 2  5x   2; w) 5 3 7 x 3x  1   x  1; x) 3 2 x  1 2x  1   x 5; y) 4 9 2x  3 x  2 x 2x  1   x  z) 7 4 2 3

q)

Egyenletmegoldás szorzattá alakítással 24. Oldd meg a következő egyenleteket szorzattá alakítással! a) 7 x 2  14 x  0 ; b) 3 x 3  9 x 2  0 ; c) 5x  2  xx  2  0 ; d) 7  x 5  x   7  x x  1  7  x x  3  0 ; e) 28x  16  x8x  16  2 x  18x  16  0 Egyenlőtlenségek 25. Oldd meg mérlegelvvel! x x a)   44 ; 2 9 6x  4 5x  2 6   2x ; b) 5 3 x 1 x 1   0; c) 6 4 6  2x x3  x d) 1  ; 3 2 2 e) 2 x  10  1  x  3 ; 3 26. Oldd meg a következő szorzatos egyenlőtlenségeket! a) 7  2 x x  1  0 ; b) x  12 x  6  0 ;

-8-

27. Oldd meg a következő törtes egyenlőtlenségeket! x 1  0; a) x3 2x  1  0; b) x9 6  2x  0; c) 8 x x5  0; d) 6x 28. Oldd meg a következő abszolút értékes egyenleteket! 5x  5  4 a) ; 2 x  6  10 b) ; x  7x 1 c) ; Egyenlettel megoldható szöveges feladatok 29. A téglalap egyik oldala 9 egységgel hosszabb, másik oldala 6 egységgel rövidebb, mint egy négyzet oldala. A téglalap és négyzet területe egyenlő. Mekkora a négyzet oldala? 30. 555 Ft-ot egyenlő számú 5 és 10 Ft-osokban szeretnénk kifizetni. Hány db 5 és 10 Ft-osra van szükség? 31. Gondoljatok egy számot! Szorozzátok meg 2-vel, a szorzathoz adjatok hozzá 50-et, a kapott számot osszátok el 2-vel, és a hányadosból vegyétek el a gondolt számot! Igaz-e, hogy az eredmény mindig 25 lesz? 32. Egy apának, az anyának és a lányának az életkora összesen 85 év. Az apa 5 évvel idősebb, a lány 25 évvel fiatalabb az anyánál. Hány évesek külön-külön? 33. Melyik az a szám, aminek a

34. Elolvastam egy könyv

1 3 része 5-tel nagyobb, mint az része? 3 4

1 2 -részét és még 20 oldalt, hátra van még 8 oldal híján a könyv része. Hány oldalas 4 3

a könyv?

Budapest, 2016. szeptember

-9-