Algebra II pro distanční studium

Zpět Začátek

Algebra II pro distanční studium

Str. zpět Jdi na Str. vpřed Konec Vpřed

Obsah Rejstřík

Hledej Okno Zavřít

(1)

Obsah Zpět

Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Začátek Str. zpět

I.

Struktury s jednou binární operací 1. Základní vlastnosti grup . . . 2. Podgrupy . . . . . . . . 3. Grupy permutací . . . . . . 4. Homomorfismy grup . . . 5. Vnoření pologrupy do grupy . 6. Cyklické grupy . . . . . . 7. Grupy řádu n < 8 . . . . . . 8. Rozklad podle podgrupy . . 9. Normální podgrupy . . . . . 10. Kongruence . . . . . . . 11. Faktorové grupy . . . . . . 12. Direktní součiny grup . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 22 28 40 48 55 63 69 78 84 88 98

Jdi na Str. vpřed Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


II.

Struktury se dvěma binárními operacemi 1. Od okruhu k tělesu . . . . . . . 2. Okruh polynomů . . . . . . . 3. Homomorfismy a ideály . . . . . 4. Faktorové okruhy . . . . . . . 5. Prvoideály a maximální ideály . . 6. Dělitelnost v oboru integrity . . 7. Gaussovy okruhy . . . . . . . . 8. Okruhy hlavních ideálů . . . . 9. Vnoření okruhů do těles. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 107 107 . 121 126 . 137 144 . 152 158 . 162 168

(2)

Zpět Začátek Str. zpět Jdi na

Literatura Rejstřík

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Str. vpřed Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


(3)

Předmluva Zpět

Toto skriptum je určeno studentům matematických oborů na PřF OU, jako doplňkový text ke kurzu Algebra 2, respektive ke kurzu Algebraické struktury. Skriptum shrnuje základní poznatky z teorie algebraických struktur s jednou nebo se dvěma binárními operacemi. Ke čtení tohoto skripta je zapotřebí povrchní znalost lineární algebry. V části věnované algebraickým strukturám s jednou operací jsou představeny grupy včetně speciálních tříd – grup permutací a cyklických grup. V této části se studují homomorfismy grup a jejich souvislost s faktorovou grupou. V jedné z kapitol je uveden výčet grup až do řádu 15. Poslední kapitola řeší otázku, kdy je grupa direktním součinem svých podgrup. Třetí část popisuje okruhy, tělesa a obory integrity. Podobně jako v kapitole o grupách je zde ukázána provázanost homomorfismů a faktorových okruhů. Dále je zde také popsána dělitelnost v oborech integrity

Začátek Str. zpět Jdi na Str. vpřed Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


(4)

následovně speciální třídy okruhů – Gaussovy okruhy, Eulerovy okruhy a okruhy hlavních ideálů. Závěr je věnován vnoření oboru integrity do tělesa. Tato verze má datum 28. listopad 2006. Zpět


Obsah Rejstřík


I.1

I.

(5)

Struktury s jednou binární operací Zpět Začátek

1.

Základní vlastnosti grup

Str. zpět Jdi na

Binární operací na množině G je libovolné zobrazení G × G → G. Každé uspořádané dvojici prvků z G (operandům) přiřazuje jeden prvek (výsledek) z téže množiny. Obvykle používáme pro binární operaci, která dvojici (a, b) přiřadí prvek c, multiplikativní zápis a · b = c, nebo zápis aditivní a + b = c, setkáme se ale také s jiným označením např. , ◦, ∗ ∗ atp. 1.1. Definice. Mějme dánu neprázdnou množinu G a binární operaci · na G, dvojici (G, ·) nazýváme grupoidem.


Obsah Rejstřík

Hledej

Máme-li dán grupoid (G, ·) tak, že je z kontextu zřejmé jakou operaci máme na mysli, pak píšeme obvykle pouze G.

Okno Zavřít

Operace v grupoidu (G, ·) může splňovat vlastnost

I.1

(6)

a·b =b·a potom říkáme, že operace je komutativní respektive, že grupoid je komutativní, někdy se také používá pojem grupoid abelovský1 . Zpět

1.2. Příklad. 1. Množina přirozených čísel spolu s operací sčítání (N, +) je komutativní grupoid. 2. Množina přirozených čísel spolu s odčítáním není grupoid, protože pro m, n ∈ N, m < n je rozdíl n − m záporný a tedy odčítání není binární operací na množině N. 3. Množina lichých přirozených čísel spolu se sčítáním (2k + 1)N, + , grupoidem není, nebot součtem dvou lichých čísel je číslo sudé a tedy sčítání není binární operací na množině (2k + 1)N. 4. Množina lichých přirozených čísel spolu s násobením (2k + 1)N, · je komutativním grupoidem. 5. Množina čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení matic tvoří nekomutativní grupoid.


Obsah Rejstřík

Hledej Okno

1

Abel, Niels Henrik, 1802–1829, norský matematik.

Zavřít

V multiplikativních grupoidech budeme často v součinech vynechávat znaménko operace, tedy místo a · b budeme psát jen ab.

I.1

(7)

1.3. Definice. Operace v grupoidu (G, ·) je asociativní, pokud pro všechna a, b, c ∈ G platí (a · b) · c = a · (b · c) . Grupoid (G, ·), ve kterém je operace · asociativní, nazýváme pologrupou. Jestliže pro tři prvky platí asociativní zákon říkáme tím, že součin těchto prvků, v daném pořadí, je určen jednoznačně. Indukcí lze asociativní zákon rozšířit na libovolnou n-tici prvků pologrupy G, tedy v pologrupě je součin libovolné uspořádané n-tice prvků určen jednoznačně. V dalším textu tedy můžeme v pologrupách vynechávat všechny závorky. 1.4. Příklad. 1. Množina přirozených čísel spolu se sčítáním (N, +) je pologrupou. 2. Množina čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení je pologrupou.

Zpět Začátek Str. zpět Jdi na Str. vpřed Konec Vpřed

Obsah Rejstřík

3. Vektorový prostor R3 spolu se sčítáním vektorů je pologrupou. 4. Vektorový prostor R3 spolu s operací vektorového násobení × není pologrupa. Vektor (u × v) × w = (u · w)v − (v · w)u ,


je lineární kombinace2 vektorů v a u a obecně není shodný s vektorem

I.1

(8)

u × (v × w) = −(v × w) × u = −(v · u)w + (w · u)v , lineární kombinací vektorů w a v. Neutrálním prvkem v grupoidu (G, ·) nazýváme prvek e ∈ G, který pro všechny a ∈ G splňuje vlastnost ea = ae = a . Neutrální prvek e je v grupoidu G jediný. Jestliže je také e0 další neutrální prvek grupoidu G, pak e0 = ee0 = e. Jestliže nemůže dojít k záměně s čísly 1 a 0, lze namísto obvyklého označení písmenem e v případě multiplikativního grupoidu značit neutrální prvek znakem 1 a v případě aditivního grupoidu znakem 0. 1.5. Definice. Pokud v pologrupě (G, ·) existuje neutrální prvek e říkáme trojici (G, ·, e) monoid. 1.6. Příklad. 1. Množina přirozených čísel s operací násobení je monoidem s neutrálním prvkem e = 1. 2

Operace · tady představuje skalární součin vektorů.


Obsah Rejstřík


2. Množina čtvercových matic stupně 2 s operací násobení matic je monoidem s neutrálním prvkem E=

1 0

0 1

I.1

(9)

.

3. Vektorový prostor R3 spolu se sčítáním vektorů je monoid s neutrálním prvkem o = (0, 0, 0).

Zpět Začátek Str. zpět

Mějme monoid (G, ·) s neutrálním prvkem e. Jestliže k prvku a ∈ G existuje prvek a−1 ∈ G s vlastností a · a−1 = a−1 · a = e ,


říkáme prvku a−1 inverzní prvek k prvku a. V monoidu (G, ·) je inverzní prvek k prvku a ∈ G, pokud existuje, určený jednoznačně. V případě, že existují k jednomu prvku a ∈ G −1 −1 −1 dva různé inverzní prvky, a−1 1 ∈ G a a2 ∈ G, potom a1 = a1 e = −1 −1 −1 = a−1 1 aa2 = ea2 = a2 . 1.7. Definice. Jestliže v pologrupě (G, ·) existuje neutrální prvek e a·e =e·a=a

Obsah Rejstřík


a pro každý prvek a ∈ G existuje inverzní prvek a−1

I.1

(10)

a · a−1 = a−1 · a = e nazýváme tuto pologrupu grupou. 1.8. Příklad. 1. Množina celých čísel spolu s operací sčítání (Z, +) tvoří komutativní grupu, kde neutrálním prvkem je e = 0 a inverzním prvkem k prvku a ∈ Z je −a. 2. Vektorový prostor R3 spolu se sčítáním tvoří komutativní grupu. 3. Množina regulárních čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení tvoří nekomutativní grupu označovanou GL2 (R), kde neutrálním prvkem je 1 0 E= . 0 1 Mějme regulární matici


Obsah

A=

a c

b d

Rejstřík

,

její determinant ad − bc je nenulový, tedy existuje regulární matice d −b −1 ad−bc ad−bc A = , −c a ad−bc

ad−bc


inverzní prvek k matici A.

I.1

(11)

4. Množina všech čtvercových matic stupně 2 spolu s operací násobení netvoří grupu, protože singulární matice nemají inverzní prvky. Pokud v grupě G dále zkoumáme vlastnost inverze prvku a ∈ G, dostáváme a = ae = a a−1 (a−1 )−1 =

Zpět

= (aa−1 )(a−1 )−1 = e(a−1 )−1 =

Začátek

= (a−1 )−1 .

Str. zpět

Pro součin dvou prvků a, b grupy G platí ab(ab) = e, pokud tuto rovnost pronásobíme zleva postupně inverzními prvky k a a b, obdržíme

Str. vpřed

(ab)−1 = b−1 a−1 .

Konec

Necht pro prvky a, b1 , b2 grupy G platí rovnost ab1 = ab2 . Obě strany rovnice můžeme zleva vynásobit inverzním prvkem a−1 , tedy a−1 (ab1 ) = a−1 (ab2 ) uplatníme-li asociativnost a vlastnost inverzí obdržíme eb1 = eb2 a tedy b1 = b2 . Obdobně z rovnosti b1 a = b2 a plyne , rovnost b1 = b2 . Existence inverzních prvků v (G, ·), tedy zajišt uje, že

Vpřed

−1

,

ab1 = ab2

implikuje

b1 = b2 .

Říkáme, že v grupě lze krátit zleva, podobně bychom zavedli pojem krácení zprava.

Jdi na

Obsah Rejstřík


Prvku ep grupoidu (G, ·) s vlastností aep = a, pro všechna a ∈ ∈ G, říkáme pravý neutrální prvek. Obdobně prvku el grupoidu (G, ·) s vlastností el a = a říkáme levý neutrální prvek. Mějme v grupoidu pravý neutrální prvek ep . Prvku a−1 p s vlastností −1 aap = ep říkáme pravý inverzní prvek k prvku a. Obdobně prvku a−1 l s vlastností a−1 l a = ep říkáme levý inverzní prvek prvku a. Obdobně také s levým neutrálním prvkem.

I.1

1.9. Věta. Jestliže v pologrupě (G, ·) existuje pravý neutrální prvek ep a pro každý prvek a ∈ G existuje alespoň jeden pravý inverzní prvek a−1 p , pak je (G, ·) grupou.

Začátek

= ep ep = ep = aa−1 p . inverzních prvků k a−1 dop

ep aa−1 p

Důkaz. V grupě G pro každé a ∈ G platí Pronásobíme-li obě strany rovnosti jedním z staneme ep aep = aep tedy ep a = a a prvek ep je neutrálním prvkem pologrupy G. Dále jej tedy značme bez indexu, pouze e. Mějme prvek a ∈ G a jeden jeho pravý inverzní prvek a−1 p . Platí −1 −1 −1 ap = a−1 e = a aa . Pokud pronásobíme obě strany této rovnosti p p p −1 jedním z inverzních prvků k a−1 , dostaneme rovnost e = a ae = a−1 p p p a −1 a prvek ap je inverzním prvkem k prvku a. Pologrupa G splňuje tedy obě vlastnosti grupy. Předchozí větu můžeme vyslovit také pro levé neutrální a levé inverzní prvky. Věta 1.9 nám usnadňuje rozhodování, zda struktura je

(12)

Zpět


Obsah Rejstřík


grupou. Nyní stačí ověřit jedinou z rovností ae = a a ea = a pro potenciální neutrální prvek e a všechna a ∈ G. Podobně stačí pro všechna a ∈ G ověřit jedinou z rovností aa−1 = e, a−1 a = e pro potenciální inverzní prvky. 1.10. Definice. Řádem grupy G nazýváme mohutnost množiny G. Pokud je G konečná množina říkáme, že grupa G je konečného řádu. Pokud je G nekonečná množina, říkáme že grupa G má nekonečný řád. Řád grupy značíme #.

I.1

(13)


1.11. Definice. Řádem prvku a v grupě (G, ·) rozumíme nejmenší přirozené číslo n pro které platí

Jdi na Str. vpřed

a | · a{z· · · a} = a = e . n

n-krát

Jestliže žádná nenulová mocnina daného prvku a není rovna jednotkovému prvku e říkáme, že prvek je nekonečného řádu.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík

1.12. Příklad. Symetrií pravidelného n-úhelníku nazvěme takovou permutaci jeho vrcholů, která zachovává vzdálenosti (tedy shodné zobrazení, které permutuje vrcholy daného n-úhelníku). Mějme pevně daný čtverec A, B, C, D. Pokud vezmeme v úvahu, že středová souměrnost se středem S a rotace o 180◦ kolem téhož středu


I.1

B

o1

r1

A

r2 S

Zpět

r3

Začátek

C o2

Str. zpět

D o3

o4

Obrázek 1. Symetrie čtverce. jsou stejné zobrazení, reprodukuje daný čtverec osm shodných zobrazení, identita, čtyři osové souměrnosti a tři rotace, viz obrázek 1. Tabulka 1 popisuje skládání těchto zobrazení. Takové tabulce, definující grupovou operaci v konečné grupě, říkáme Cayleyova3 tabulka. Symetrie čtverce spolu se skládáním zobrazení tvoří grupu s identitou jako neutrálním prvkem. Inverzní prvky lze vyčíst v tabulce, osové souměrnosti a rotace o 180◦ jsou inverzní samy k sobě, r1 je inverzní k r2 . Značme tuto grupu ∆4 . 3

(14)

Cayley, Arthur, 1921–1895, anglický matematik (a advokát).


Obsah Rejstřík


id id id o1 o1 o2 o2 o3 o3 o4 o4 r1 r1 r2 r2 r3 r2

o1 o1 id r3 r2 r1 o4 o3 o2

o2 o2 r1 id r3 r2 o1 o4 o3

o3 o3 r2 r1 id r3 o2 o1 o4

o4 o4 r3 r2 r1 id o3 o2 o1

r1 r1 o2 o3 o4 o1 r2 r3 id

r2 r2 o3 o4 o1 o2 r3 id r1

r3 r3 o4 o1 o2 o3 id r1 r2

Tabulka 1. Skládání v grupě symetrií čtverce. Grupa ∆4 je řádu 8. Rotace r1 , r3 jsou prvky řádu 4. Rotace r2 a osové souměrnosti jsou prvky řádu 2. Pro n-prvkovou množinu je možno sestrojit n3 různých operací a tedy n3 různých Cayleyových tabulek, většina z nich ale nepopisuje grupy. Jeden ze způsobů jak poznat grupu podle tabulky se opírá o následující úvahu. Mějme pevný prvek a konečného grupoidu s krácením G a uvažujme zobrazení fa : G → G, x 7→ ax. Protože v G lze krátit, tedy ax = ay implikuje x = y je výše zmíněné zobrazení injektivní. Injekce konečné množiny do sebe je jistě bijekcí. Tedy každý řádek Cayleyovy tabulky grupoidu s krácením (podobně i každý sloupec) je permutací množiny G. Je zřejmé, že komutativní grupoid bude mít shodné sloupce

I.1

(15)


Obsah Rejstřík


a řádky pro shodné prvky tedy, že tabulka bude symetrická podle diagonály aa, a ∈ G. Z Cayleyovy tabulky je ovšem obtížné rozpoznat asociativitu. 1.13. Věta. Pologrupa (G, ·) je grupou právě, když pro a, b ∈ G mají rovnice a · x = b, y · a = b jednoznačně určené řešení x, y ∈ G. Důkaz. Jestliže je pologrupa (G, ·) grupou, potom pro každé a ∈ G existuje inverzní prvek, tedy x = a−1 b a y = ba−1 jsou prvky, které jsou řešením rovnic a · x = b, y · a = b Uvedené rovnice nemají žádné další řešení x1 , y1 , protože rovnosti ax = ax1 , yb = y1 b lze v grupě krátit. Rovnice ax = a má v G jediné řešení pro každé a, označme toto , řešení ea . Mějme prvky a, b ∈ G, b 6= a a y at je řešení rovnice ya = b. Potom bea = (ya)ea = y(aea ) = ya = b. Protože rovnice bx = b má také jediné řešení eb , platí ea = eb . Tedy v G existuje prvek e s vlastností ae = a pro všechny a ∈ G, pravý neutrální prvek. Rovnice ax = e je jednoznačně řešitelná a její řešení je pravý inverzní prvek prvku a. Podle věty 1.9 je pologrupa (G, ·) grupou.

I.1

(16)


Obsah Rejstřík

Hledej

1.14. Poznámka. Podle předchozí věty je lhostejné zda jako definici grupy přijmeme definici 1.7 nebo zda grupu definujeme jako pologrupu ve které mají rovnice ax = b, ya = b jednoznačně určené řešení.

Okno Zavřít

1.15. Příklad. Rozhodněte zda množina přirozených čísel N spolu s operací největší společný dělitel (N, gcd) tvoří grupu. Rovnice gcd(12, x) = 4 má dvě různé řešení x1 = 8 a x2 = 4, a podle věty 1.13 proto (N, gcd) není grupa. 1.16. Věta. Pologrupa konečného řádu s krácením je grupou. Důkaz. Mějme pologrupu konečného řádu s krácením (G, ·). Při úvahách o Cayleyho tabulkách, na str. 15 jsme dokázali, že krácení v konečném grupoidu je postačující podmínkou toho, že pro libovolné pevné a ∈ G je zobrazení fa : G → G, x 7→ ax je bijektivní, tedy každá rovnice ax = b má jediné řešení. Podobně zobrazení ga : G → G, x 7→ xa je bijekce a rovnice xa = b je rovněž jednoznačně řešitelná. Podle věty 1.13 je tedy G grupou.

I.1

(17)


Cvičení k oddílu 1 1. Rozhodněte, který z následujících grupoidů je pologrupou, respektive monoidem respektive grupou (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (N, ·), (Z \ {0}, ·), (Q \ {0}, ·), (Q+ , ·), (R \ {0}, ·), (R+ +, ·), (C \ {0}, ·).

Obsah Rejstřík

Hledej

2. Dokažte, že (Zn , +) je grupa pro každé n ∈ N.

Okno

¯ ·) grupou ? 3. Je (Zn , ·) grupou ? Pro jaká n ∈ N je (Zn \ {0},

Zavřít

4. Dokažte, že množina Q \ {−1} spolu s operací ∗ definovanou a ∗ ∗ b = a + b + ab, a, b ∈ Q, tvoří komutativní grupu.

I.1

(18)

5. Dokažte, že množina Q \ {1} spolu s operací ∗ definovanou a ∗ b = = a + b − ab, a, b ∈ Q, tvoří komutativní grupu. 6. Dokažte, že množina p-adických čísel Qp = {m/pn ; m, n ∈ Z} tvoří multiplikativní grupu. 7. Dokažte, že GLn (T ), množina čtvercových regulárních matic stupně n nad tělesem T , spolu s násobením matic tvoří nekomutativní grupu. 8. Dokažte, že množina shodných zobrazení v rovině tvoří nekomutativní grupu. 9. Mějme A ∈ GLn (T ) a B ∈ T n . Definujme afinní zobrazení jako zobrazení fA,C : T n → T n


fA,C (X) = AX + B . Dokažte, že množina afinních zobrazení afinního prostoru T n tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení.

Rejstřík

10. Dokažte, že potenční množina množiny M spolu s operací průnik, respektive sjednocení, tvoří komutativní monoid, ale ne grupu.

Hledej

11. Rozhodněte zda potenční množina množiny M spolu s operací ∗

Okno

A ∗ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ,

A, B ⊆ M ,

Obsah

Zavřít

tvoří grupu.

I.1

(19)

12. Dokažte, že ∆n , množina symetrií pravidelného n-úhelníku, spolu se skládání zobrazení tvoří nekomutativní grupu, řádu 2n. 13. Dokažte, že každý prvek grupy ∆n lze zapsat jednoznačně jako on · r m , kde o je symetrie podle jedné pevné osy, n = 0, 1, r je rotace převádějící každý bod na nejbližšího souseda vlevo, m = = 0, 1, 2, . . . , n − 1. 14. Mějme grupy G a G0 . Na množině G × G0 definujme operaci ◦ předpisem (a, a0 ) ◦ (b, b0 ) = (ab, a0 b0 ), a, b ∈ G a a0 , b0 ∈ G0 . Dokažte, že (G × G0 , ◦) tvoří grupu. Tuto grupu nazýváme direktní součin grup G a G0 . 15. Určete tabulku čtyřprvkové grupy {e, a, b, ab}, kde a2 = e. Tato grupa se nazývá Kleinova4 4-grupa.


16. Proč tabulka 2 neurčuje grupu ? 17. Mějme množinu komplexních čísel a definujme operaci ◦ na C takto

Obsah Rejstřík

a ◦ b = a2 + b,

Hledej Okno

4

Klein, Felix, 1849–1925, německý matematik. Roku 1872 ukázal význam teorie grup v geometrii, v přednášce dnes zvané Erlangenský program.

Zavřít

e a b c d

e e a b c d

a a e d b c

b b c e d a

c c d a e b

d d b c a e

Tabulka 2. Pětiprvková kvazigrupa.

I.1

(20)

Zpět Začátek

kde a, b ∈ C a číslo a2 + b vzniklo běžným umocňováním a sčítáním komplexních čísel. Dokažte, že ◦ je na C nekomutativní a neasociativní. Jsou v C rovnice a◦x = b,

y ◦a = b?

jednoznačně řešitelné ? Hledejte (jednostranné) neutrální a inverzní prvky. 18. Mějme množinu R3 , operaci ◦ definujme takto u ◦ v = (u + v)/2 pro všechny u, w ∈ R3 . Dokažte, že operace ◦ je na R3 komutativní, neasociativní s jednoznačně určeným řešením rovnic u◦x = v,

y ◦u = v.


Obsah Rejstřík


Existují zde neutrální a inverzní prvky ?

I.2

(21)

19. Mějme množinu symetrií trojúhelníka ∆3 . Vyberme jednu pevnou neidentickou symetrii u ∈ ∆3 . Definujme operaci ◦ a◦b =a·u·b·u kde a, b ∈ ∆3 a násobení · je běžné skládání symetrií. Ukažte, že množina symetrií trojúhelníka s operací ◦ je nekomutativní, neasociativní. Jsou rovnice a◦x = b,

y ◦a = b,

Zpět Začátek Str. zpět Jdi na Str. vpřed

jednoznačně řešitelné ? Hledejte (jednostranné) neutrální a inverzní prvky. 20. Dokažte, že v grupě řádu 2n prvky existují nejméně dva prvky, řádu 2, tedy aa = e.

Konec Vpřed

Obsah

21. Dokažte, že pokud v grupě G platí aa = e pro každé a ∈ G, potom je G komutativní.

Rejstřík

22. Kolik je dvouprvkových grupoidů, kolik z toho je pologrup, monoidů, grup. Které z těchto struktur jsou komutativní.


2.

I.2

Podgrupy

(22)

2.1. Definice. Grupa (H, ∗) je podgrupou grupy (G, ·), když H ⊆ G a pro všechna a, b ∈ H platí a ∗ b = a · b. Operace ∗ se pak nazývá zúžením operace · na množinu H. Zpět

Obvykle budeme značit operaci v grupě a všech jejích podgrupách stejným symbolem.


Je zřejmé, že (G, ·) a (e, ·) jsou podgrupami (G, ·). Těmto podgrupám se říká triviální podgrupy. Všechny podgrupy grupy G různé od těchto dvou nazýváme netriviální podgrupy. 2.2. Příklad. 1. Množina rotací (identita je rotace o 360◦ ) je podgrupou grupy symetrií čtverce. Viz příklad 1.12.


2. Celá čísla tvoří aditivní podgrupu grupy (Q, +).

Obsah

3. Permutace

Rejstřík

id = π2 =

1 2

2 1

3 3

4 4

1 1

2 2

3 4

4 3

, ,

π1 = π3 =

1 2

2 1

3 3

4 4

1 2

2 1

3 4

4 3

,


spolu se skládáním permutací tvoří komutativní podgrupu nekomutativní grupy S4 .

I.2

(23)

2.3. Věta. Mějme grupu (G, ·), Podmnožina H ⊆ G tvoří podgrupu grupy G právě, když zároveň platí 1. e ∈ H, 2. pro každé a ∈ H je a−1 ∈ H, 3. pro všechny a, b ∈ H platí ab ∈ H. Důkaz. Je zřejmé, že struktura splňující podmínky naší věty je podgrupou grupy G. Pokud je struktura (H, ∗) podgrupou grupy G, pak v H existuje jednotkový prvek e0 tak, že a ∗ e0 = e0 ∗ a = a, protože platí a = a ∗ e0 = = a · e0 musí být prvek e0 jednotkovým prvkem grupy G a e = e0 ∈ H. Ostatní podmínky věty jsou splněny triviálně. Přestože věta 2.3 říká vše podstatné o struktuře podgrupy následující kritérium zjednodušuje rozhodování o tom zda daná struktura je či není podgrupou. 2.4. Věta. Mějme H ⊆ G, H 6= ∅. Dvojice (H, ·) je podgrupou grupy (G, ·) právě, když pro všechny a, b ∈ H platí ab−1 ∈ H. Důkaz. Je zřejmé, že každá podgrupa H grupy G výše uvedenou vlastnost splňuje.


Obsah Rejstřík


,

Naopak, necht (H, ·) splňuje uvedenou vlastnost. Dokažme platnost , podmínek věty 2.3. Necht a ∈ H. Potom také e = aa−1 ∈ H. Dále a−1 = ea−1 ∈ H. Pokud také b ∈ H, platí také b−1 ∈ H a součin ab = = a(b−1 )−1 leží v H. Mějme H, H 0 podgrupy grupy G. Pokud dva prvky a, b patří do obou těchto podgrup současně, a, b ∈ H ∩ H 0 , potom také součin ab−1 patří současně do H a H 0 , tedy H ∩ H 0 je podgrupou grupy G. Indukcí tuto vlastnost můžeme rozšířit, mějme Hi , i = {1, 2, . . . , n} systém podgrup grupy G. Potom H=

n \

Hi

i=1

I.2

(24)


je podgrupa grupy G.

Konec

2.5. Definice. Mějme A ⊆ G, množinu prvků grupy G. Podgrupu hAi grupy G s vlastností

Vpřed

1. A ⊆ hAi,

Obsah

2. pro všechny podgrupy H, s vlastností A ⊆ H platí hAi ⊆ H,

Rejstřík

nazveme podgrupou generovanou množinou A. Hledej

Mějme A ⊆ G. Podgrupa hAi grupy G, je rovna průniku všech podgrup grupy G obsahujících množinu A. Dá se také vytvořit jako součin všech možných kombinací prvků z A a jejich inverzí v G.

Okno Zavřít

Cvičení k oddílu 2

I.2

(25)

1. Ukažte, že pro n ∈ N je množina n-násobků celých čísel Zn = = {na; a ∈ Z} je podgrupa grupy (Z, +). 2. Ukažte, že (R+ , ·) je podgrupou grupy (R \ {0}, ·). 3. Ukažte, že ({1, −1}, ·) je podgrupou grupy (R \ {0}, ·). 4. Určete podgrupu GL2 (C) generovanou maticemi 0 i 0 1 A= , B= . i 0 −1 0 5. Najděte všechny podgrupy grupy h{A, B}i, z předchozí úlohy. 6. Dokažte, že množina symetrií krychle takových, že ponechávají na místě jeden vrchol je podgrupou množiny všech symetrií krychle.


7. Dokažte, že množina permutací n-prvkové množiny M takových, že ponechávají na místě všechny prvky množiny A ⊆ M je podgrupou množiny všech permutací Sn .

Konec

8. Najděte nejmenší podgrupu multiplikativní grupy C, která obsahuje komplexní jednotku i.

Obsah

Vpřed

Rejstřík

9. Mějme grupu (G, ·). Množinu Z(G) = {x ∈ G; xa = ax, pro všechna a ∈ G} nazveme centrum grupy G. Dokažte, že centrum Z(G) je komutativní podgrupa grupy G.


10. Mějme grupu (G, ·) a prvek a ∈ G. Množinu

I.2

(26)

N(a) = {x ∈ G; xa = ax} = {x ∈ G; xax−1 = a} nazveme normalizátor prvku a. Dokažte, že N(a) je podgrupa grupy G. 11. Dokažte, že množina prvků konečného řádu tvoří podgrupu v každé grupě G. Této podgrupě říkáme torzní podgrupa. 12. Mějme grupu (G, ·) dokažte, že množina {x ∈ G; x = x− } tvoří podgrupu grupy G. 13. Dokažte, že množina skalárních matic a 0 , kde a ∈ R , 0 a je centrum grupy GL2 (R). 14. Dokažte, že množina matic a b B= ; 0 c


a, b, c ∈ R

je podgrupa GL2 (R). Dokažte, že B není obsažena v žádné netriviální podgrupě GL2 (R), různé od B. 15. Dokažte, že SL2 (R), množina matic jejichž determinant je roven 1, je podgrupa GL2 (R).

Obsah Rejstřík


16. Dokažte, že centrum SL2 (R) je množina 1 0 −1 0 , . 0 1 0 −1 17. Dokažte, že množina matic a b BS = ; 0 a−1

a, b ∈ R

je podgrupa SL2 (R). Dokažte, že BS není obsažena v žádné netriviální podgrupě SL2 (R), různé od BS . 18. Ukažte, že GL2 (R) je podgrupou grupy afinních zobrazení Rn → → Rn .

I.3

(27)


19. Nalezněte podgrupu grupy (Z, +) generovanou dvěma prvky 4, 6.

Konec

20. Mějme grupu (G, ·). Komutátorem prvků a, b ∈ G nazýváme prvek

Vpřed

[a, b] = aba−1 b−1 . Podgrupu generovanou všemi komutátory

Obsah Rejstřík

K(G) = h{[a, b]; a, b ∈ G}i nazveme komutant grupy G. Dokažte, že komutant K(G) je podgrupa grupy G. Dokažte, že každý prvek z K(G) se dá vyjádřit jako součin komutátorů.


3.

I.3

Grupy permutací

(28)

Bijektivní zobrazení konečné množiny M = {1, 2, . . . , n} na sebe se nazývá permutací množiny M. 3.1. Příklad. Pro pětiprvkovou množinu {1, 2, 3, 4, 5} můžeme permutaci τ zadanou předpisem τ(1) = 3,

τ(2) = 2,

τ(3) = 5,

τ(4) = 1,

τ(5) = 4,

Zpět Začátek

zkráceně zapisovat dvouřádkovým symbolem 1 2 3 4 5 τ= . 3 2 5 1 4

Str. zpět Jdi na Str. vpřed Konec

Pro n prvkovou množinu M můžeme obraz prvku 1 vybrat n různými způsoby, obraz prvku 2 smíme vybrat ze všech prvků různých od π(1), tedy n − 1 způsoby atd., takže dostáváme n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · · 1 = n! permutací. Je zřejmé, že složení dvou permutací množiny M je opět permutace množiny M. 3.2. Příklad. Pro permutace τ a σ 1 2 3 4 5 τ= 3 2 5 1 4

Vpřed

Obsah Rejstřík

Hledej

σ=

1 4

2 5

3 2

4 1

5 3

Okno Zavřít

dostáváme permutaci τ ◦ σ, kde τ ◦ σ(1) = σ τ(1) = σ(3) = 2 atd. Což můžeme zapsat 1 7→ 3 7→ 2 , 2 7→ 2 7→ 5 ,

3 7→ 5 7→ 3 , 4 7→ 1 7→ 4 ,

I.3

(29)

5 7→ 4 7→ 1 ,

obdobně σ ◦ π, Zpět

1 7→ 4 7→ 1 ,

2 7→ 5 7→ 4 , 3 7→ 2 7→ 2 ,

4 7→ 1 7→ 3 , 5 7→ 3 7→ 5 ,


tedy

Jdi na

τ ◦σ =

1 2

2 5

3 3

4 4

5 1

,

σ◦τ =

1 1

2 4

3 2

4 3

5 5

.


Kompozice libovolných zobrazení, a tedy i permutací, je asociativní a tedy množina permutací se skládáním tvoří pologrupu. Identickou permutace na M značme id. Je to neutrální prvek v pologrupě permutací. Protože permutace je bijektivní zobrazení, existuje pro každou permutaci π inverzní permutace π −1 tak, že π ◦ π −1 = id. Tedy množina permutací tvoří grupu. Pro n prvkovou množinu M nazýváme tuto grupu symetrickou grupou a značíme Sn . S výjimkou S1 a S2 jsou symetrické grupy nekomutativní.

Obsah Rejstřík


r0 rk

I.3

(30)

r1

rk−1

r2 Zpět Začátek

Obrázek 3. Cyklická permutace.

Str. zpět Jdi na

3.3. Definice. Permutaci π nazveme cyklem, jestliže platí π(r0 ) = r1 , π(r1 ) = r2 , . . . , π(rk−1 ) = rk a konečně π(rk ) = r0 , kde ri 6= rj , i, j ∈ ∈ {0, 1, . . . , k}, 1 ≤ k ≤ |M|, a pro všechny x 6= ri , platí π(x) = x. Číslo k nazýváme délka cyklu. Pro cyklické permutace používáme zkrácený zápis


Obsah

(r0 , r1 , . . . , rk ) ,

Rejstřík

1 ≤ k ≤ |M|. Protože není podstatné, kterým prvkem cyklus začíná, je tento zápis ekvivalentní s libovolným zápisem ve tvaru

Hledej Okno

(ri , ri+1 , . . . , rk , r0 , . . . , ri−1 ) .

Zavřít

Inverzní permutací k cyklu (r0 , r1 , . . . , rk ) je zřejmě cyklus obsahující tytéž prvky seřazené v opačném pořadí,

I.3

(31)

(r0 , r1 , . . . , rk )−1 = (rk , rk−1 , . . . , r1 , r0 ) . 3.4. Příklad. Permutace τ=

1 3

2 2

3 5

4 1

5 4

,


je cyklická permutace, kde 1 7→ 3 7→ 5 7→ 4 7→ 1 ,

Zpět

2 7→ 2

a můžeme ji zkráceně zapsat (1, 3, 5, 4), popřípadě některým z následujících zápisů (3, 5, 4, 1), (5, 4, 1, 3), (4, 1, 3, 5). Délka τ je 3. Inverzní permutace k permutaci τ je τ −1 = (4, 5, 3, 1) v dvouřádkovém zápise 1 2 3 4 5 −1 τ = . 4 2 1 5 3


Obsah Rejstřík

Hledej

Dva cykly na množině M, nazýváme disjunktní, jestliže nemají společný prvek, tj. cykly (r0 , r1 , . . . , rk ) a (s0 , s1 , . . . , sl ), 1 ≤ k, l ≤ |M| jsou disjunktní, jestliže {r0 , r1 , . . . , rk } ∩ {s0 , s1 , . . . , sl } = ∅.

Okno Zavřít

3.5. Věta. Každou neidentickou permutaci množiny M lze zapsat jako kompozici disjunktních cyklů. Až na pořadí je tento zápis jednoznačný.

I.3

(32)

Důkaz. Je zřejmé, že disjunktní cykly komutují a tedy nezáleží na pořadí v jakém je součin disjunktních cyklů zapsán. Větu dokážeme indukcí přes n, počet prvků množiny M. Pro n = 2 je podmínka splněna, neidentická permutace dvouprvkové množiny je cyklem délky jedna.

Zpět Začátek

Předpokládejme, že platí předložená věta pro n = k a uvažujme permutace k + 1 prvkové množiny.

Str. zpět

Pokud π(k + 1) = k + 1, pak jsme π obdrželi z permutace k prvkové množiny π 0 , která se podle indukčního předpokladu skládá z disjunktních cyklů, přidáním jediného prvku, který není obsažen v žádném z těchto cyklů a tedy π je také součinem disjunktních cyklů.

Str. vpřed

Předpokládejme, že v množině M existuje prvek p 6= k + 1 takový, že π(p) = k + 1, pak existuje prvek q 6= k + 1 takový, že π(k + 1) = = q. Permutace k prvkové množiny π 0 zadaná předpisem π 0 (p) = q a π 0 (i) = π(i), pro všechna i 6= p, q, je podle indukčního předpokladu složena z disjunktních cyklů. Přitom permutaci π dostaneme z π 0 tak, že do cyklu obsahujícího prvky p, q vložíme mezi p a q další prvek k + 1, který není obsažen v žádném dalším cyklu permutace π 0 . Tedy také π se skládá z disjunktních cyklů.

Jdi na

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


Dokažme jednoznačnost takovéhoto rozkladu indukcí pro počet cyk, lů. Pro n = 1 není co dokazovat. Necht pro každou permutaci složenou z k cyklů je tento rozklad určený jednoznačně. Mějme permutaci π která je složena s k + 1 disjunktních cyklů, tedy

I.3

(33)

π = π1 π2 · · · πk πk+1 . Zpět

Podle indukčního předpokladu je rozklad permutace

Začátek −1 ππk+1 = π1 π2 · · · πk

Str. zpět

určený jednoznačně. Protože množina permutací tvoří grupu je rovnice

Jdi na Str. vpřed

πx = π1 π2 · · · πk

Konec

řešitelná jednoznačně a vzhledem k jednoznačně určeným inverzním prvkům v grupě, je tedy jednoznačně určený i rozklad

Vpřed

π = π1 π2 · · · πk πk+1 .

Obsah

Rejstřík

Hledej

3.6. Příklad. Permutace σ=

1 4

2 5

3 2

4 1

5 3

Okno Zavřít

zapsaná jako součin disjunktních cyklů vypadá takto

I.3

(34)

σ = (1, 4)(2, 5, 3) .

3.7. Věta. Mějme dánu permutaci π, potom Y π(i) − π(j) i>j

i−j

= ±1 .


,

Důkaz. Necht π je permutace n prvkové množiny. Množina {{i, j}; i > > j, i, j ∈ {1, 2, . . . , n}} je množina kombinací druhé třídy z n prvků a stejně tak množina {{π(i), π(j)}; i > j, i, j ∈ {1, 2, . . . , n}}. Nyní je snadné nahlédnout, že čitatel i jmenovatel uvedeného výrazu obsahuje, až na znaménko, stejné činitele. 3.8. Definice. Mějme dánu permutaci π, potom výraz sgn π =


Obsah Rejstřík

Y π(i) − π(j) i>j

i−j

nazýváme znaménko permutace. Je-li sgn π = 1 pak říkáme, že permutace je sudá, pokud sgn π = −1 pak říkáme, že permutace je lichá.


Počítat znaménko permutace podle předchozí definice by bylo obtížné, ukážeme si tedy jiné možnosti, jak určit znaménko permutace. Zároveň s tím si objasníme význam tohoto pojmu.

I.3

(35)

3.9. Definice. Mějme π permutaci množiny M. Inverzí v permutaci π rozumíme dvojici5 prvků π(i), π(j) takovou, že π(i) < π(j) a i > j, kde i, j ∈ M. Zpět

3.10. Věta. Je-li počet inverzí v permutaci π sudý, je permutace π sudá naopak, je-li počet inverzí v permutaci lichý, je permutace π lichá, tedy označíme-li počet inverzí v permutaci π písmenem s pak můžeme psát

Začátek Str. zpět Jdi na


i−j

= (−1)s .


Důkaz. Jmenovatel zlomku sgn π =


i−j

obsahuje jen kladná čísla. Činitel π(i) − π(j) je záporný právě, když dvojice π(i), π(j) je inverzí, tedy sgn π = (−1)s . 5

Nezaměňuj inverzi s dvouprvkovým cyklem.

Obsah Rejstřík


3.11. Příklad. Snadno nahlédneme, že permutace 1 2 3 4 5 τ= 3 2 5 1 4

I.3

(36)

obsahuje inverze (3, 2), (3, 1), (5, 1), je lichá a sgn τ = −1. 3.12. Věta. Pro libovolné dvě permutace π a π 0 na množině M platí sgn(ππ 0 ) = sgn π sgn π 0 .

Zpět Začátek

Důkaz. Mějme π a π 0 dvě permutace na téže množině a jejich kom pozici ππ 0 . Dvojice ππ 0 (i), ππ 0 (j) tvoří inverzi v permutaci ππ 0 , tedy ππ 0 (i) < ππ 0 (j) a i > j právě, když , 1. bud π(i) < π(j) a tedy dvojice π(i), π(j) tvoří inverzi v permu 0 0 0 0 taci π. Protože ππ (i) = π π(i) a ππ (j) = π π(j) , platí nerov nost π 0 π(i) < π 0 π(j) a dvojice π 0 π(i) , π 0 π(j) netvoří inverzi v permutaci π 0 . 2. nebo π(i) > π(j) a tedy dvojice π(i),π(j) netvoří inverzi v permutaci π. Zároveň platí rovnost π 0 π(i) < π 0 π(j) a dvojice π 0 π(i) , π 0 π(j) 0

tvoří inverzi v permutaci π .


Obsah Rejstřík


Tedy parita počtu inverzí v permutaci ππ 0 závisí na paritě celkového počtu inverzí v permutacích π a π 0 .

I.3

(37)

Po přečtení kapitoly 4, je možné vyslovit předchozí větu také v této formě. 3.13. Věta. Zobrazení f: Sn → {−1, 1} definované předpisem π 7→ sgn π


je homomorfismus symetrické grupy Sn na dvouprvkovou multiplikativní grupu ({−1, 1}, ·).

Jdi na Str. vpřed

Hledání inverzí je pořád ještě komplikovaný způsob určení znaménka permutace. K dalšímu zjednodušení využijeme výsledky vět 3.12 a 3.5. Nejprve ukažme, že znaménko cyklu závisí jen na jeho délce.

Konec

3.14. Věta. Mějme cyklus (r0 , r1 , . . . , rk ) délky k, potom

Obsah

sgn(r0 , r1 , . . . , rk ) = (−1)k .

Vpřed

Rejstřík

Hledej

Důkaz. Nejprve dokažme, že cyklus délky 1 takzvaná transpozice, má znaménko −1. Mějme (r, s) cyklus délky 1. Bez újmy na obecnosti před-

Okno Zavřít

pokládejme, že r < s. Cyklus (r, s) můžeme zapsat jako 2(s − r) + 1 prvkový součin transpozic, které zaměňují sousední prvky

I.3

(38)

(r, s) = (r, r + 1)(r + 1, r + 2) · · · · · · (s − 2, s − 1)(s − 1, s)(s − 2, s − 1) · · · · · · (r + 1, r + 2)(r, r + 1) . Zpět

Každá z transpozic zaměňujících sousední prvky obsahuje jedinou inverzi, její znaménko je −1 a podle věty 3.12 obdržíme znaménko našeho cyklu sgn(r, s) = (−1)2(s−r)+1 = −1. Dále zapišme cyklus (r0 , r1 , . . . , rk ) jako součin transpozic

Str. zpět Jdi na Str. vpřed

(r0 , r1 , . . . , rk ) = (r0 , r1 )(r0 , r2 ) · · · (r0 , rk−1 )(r0 , rk ) ,

Konec

Pro zápis cyklu (r0 , r1 , . . . , rk ) bylo třeba k transpozic přičemž, každá z nich má znaménko −1, tedy podle věty 3.12 je sgn(r0 , r1 , . . . , rk ) = (−1)k .

Začátek

Vpřed

Obsah Rejstřík

Hledej

Znaménko permutace nyní počítejme jako součin znamének disjunktních cyklů. Znaménko výše zmíněné permutace σ = (1, 4)(2, 5, 3) je sgn σ = (−1)(−1)2 = −1.

Okno Zavřít

Spočítejme kolik je lichých a kolik sudých permutací. Mějme pevně zvolenou lichou permutaci π. Protože Sn je grupa, je zobrazení fπ : Sn → → Sn definované předpisem fπ (π1 ) = ππ1 , bijekce (viz str. 15, respektive důkaz Cayleyovy věty). Zobrazení fiπ převádí sudé permutace na permutace liché a tedy sudých permutací je stejně jako permutací lichých, tedy n!/2. Navíc podle věty 3.12 je složením sudých permutací zase sudá permutace. Protože identita je sudá permutace musí být i inverzní permutace k sudé permutaci sudá a tedy platí následující věta. 3.15. Věta. Množina sudých permutací tvoří grupu.

I.3

(39)


Grupě sudých permutací říkáme alternující grupa a značíme ji An .

Jdi na Str. vpřed

Cvičení k oddílu 3 1. Pro X ∈ S5 vyřešte rovnici 1 2 3 4 5 1 2 X 2 4 3 1 5 5 3

Konec Vpřed

3 4

2. Nalezněte rozklad permutace 1 2 3 π= 2 1 4

4 1

5 2

=

1 3

2 2

3 5

4 4

5 1

.

Obsah Rejstřík

4 7

5 6

6 5

7 3

na disjunktní cykly, určete paritu a znaménko, vypište inverze v této permutaci.


3. Mějme permutaci π na n prvkové množině M. Dokažte, že relace ∼ definovaná předpisem i ∼ j právě, když existuje k ∈ N tak, že π k (i) = j je ekvivalence na množině M, přičemž rozklad množiny M podle této ekvivalence je právě rozklad permutace π na disjunktní cykly.

I.4

(40)

4. Řád permutace π je přirozené číslo k takové, že π k = id. Mějme rozklad π na disjunktní cykly. Ukažte, že řád π je roven nejmenšímu společnému násobků délek těchto cyklů.

Začátek

5. Pro permutaci

Str. zpět

π=

1 3

2 2

3 1

4 4

5 6

6 7

7 5

vypočtěte π 104 .

Zpět

Jdi na Str. vpřed Konec

6. Vypište prvky a tabulku pro skládání alternující grupy A3 .

Vpřed

7. Dokažte, že v grupě G řádu 2n existuje prvek a různý od e řádu 2. Dále ukažte, že pro tento prvek je zobrazení fa : x 7→ ax sudá permutace množiny G.

Obsah

4.

Homomorfismy grup

Abychom mohli porovnávat grupoidy (tedy i grupy) mezi sebou, potřebujeme zobrazení, které zachovává vlastnosti operace.

Rejstřík


4.1. Definice. Mějme grupoidy (G, ·) a (G0 , ∗). Zobrazení f: G → G0 které pro všechny a, b ∈ G splňuje podmínku

I.4

(41)

f(a · b) = f(a) ∗ f(b) nazýváme homomorfismem grupoidů. Pokud je zobrazení f surjektivní nazýváme homomorfismus epimorfismem. Pokud je zobrazení f injektivní, mluvíme o monomorfismu. Bijektivní homomorfismus se nazývá izomorfismus!grup. Jsou-li grupoidy G a G0 izomorfní, značíme to G ' G0 . 4.2. Příklad. Mějme grupy (R, +) a (R+ , ·). Uvažujme zobrazení f: R → R+ ,

f(a) = ea .

Zpět Začátek Str. zpět Jdi na Str. vpřed Konec

Platí f(a + b) = ea+b = ea · eb = f(a) · f(b). Zobrazení f je homomorfismus grup. Protože exponenciální funkce je bijektivní, je f izomorfismem.

Vpřed

Obsah Rejstřík

+

4.3. Příklad. Mějme grupy (R, +) a (R , ·), tyto grupy jsou izomorfní. Na základě toho můžeme využít znalostí v (R, +) a přenést je do struktury (R+ , ·). Mějme aritmetickou posloupnost a0 ,

a1 = a0 + d,

a2 = a0 + 2d,

...,

an = a0 + nd .


Pro součet prvních n členů této posloupnosti sn platí

I.4

(42)

2sn = 2(a0 + a1 + · · · + an ) = = (a0 + an ) + (a1 + an−1 ) + · · · + (ai + an−i ) + · · · + (an + a0 ) = = n(2a0 + nd) = Zpět

= n(a0 + an ) . Protože existuje izomorfismus f: R → R+ můžeme vlastnosti aditivní struktury přenášet do multiplikativní grupy R+ . Pokud a00 = f(a0 ) a q = f(d), potom a0i = f(ai ) je geometrická posloupnost a00 ,

a01 = q · a00 ,

a02 = q2 · a0 ,

...,

a0n = qn · a00 .

Součin prvních n členů pn = f(sn ), tedy pn2 = f(2sn ) = f(n(a0 + an ) = (a00 · a0n )n .


Obsah

Mějme homomorfismy f: G → G0 a g: G0 → G00 , potom složené zobrazení f ◦ g: G → G00 je homomorfismus. Stačí nahlédnout, že pro a, b ∈ G platí (f ◦ g)(ab) = g(f(ab) = g f(a)f(b) = g f(a) g f(b) = = (f ◦ g)(a)(f ◦ g)(b) .

Rejstřík


Obrazem homomorfismu f: G → G0 je množina prvků z G0 , které jsou obrazem některého prvku z grupoidu G. Obraz homomorfismu f označujeme =f.

I.4

Je snadné ukázat, že homomorfismus zachovává základní vlastnosti operace, tj, pokud je grupoid G asociativní respektive komutativní, pak i =f je asociativní respektive komutativní. Tedy homomorfním obrazem pologrupy je opět pologrupa

(43)

Zpět

,

Necht G je grupa. Vezměme neutrální prvek e ∈ G. Platí f(a) = = f(ae) = f(a) ∗ f(e), tedy obraz neutrálního prvku f(e) je neutrální v =f. Podobně pro inverzi k prvku a ∈ G, f(e) = f(aa−1 ) = f(a) ∗ ∗ f(a−1 ), tedy obraz inverzního prvku k prvku a je inverzní k f(a). Homomorfním obrazem grupy je opět grupa.

Začátek Str. zpět Jdi na Str. vpřed Konec

Jádrem homomorfismu f grup G a G0 nazýváme množinu prvků grupy G, jejichž obraz je neutrální prvek v grupě G0 . Jádro homomorfismu f označujeme ker(f). Podle předchozího e ∈ ker(f). 4.4. Věta. Mějme homomorfismus grup f: G → G0 . Potom dvojice ker(f), · je podgrupou v grupě G. Dvojice =f, ∗ je podgrupou v G0 . ,

Důkaz. Označme e0 neutrální prvek v grupě G0 . Necht a, b ∈ ker(f), potom f(ab−1 ) = f(a) ∗ f(b−1 ) = f(a) ∗ f(b)−1 = e0 ∗ e0 = e0 , tedy ab−1 ∈ ker(f) a ker(f) je podgrupa v G.

Vpřed

Obsah

Rejstřík


,

Necht pro a0 , b0 ∈ =f, tedy existují a, b ∈ G takové, že f(a) = a0 a f(b) = b0 . Potom a0 ∗ b0−1 = f(a) ∗ f(b)−1 = f(a) ∗ f(b−1 ) = f(ab−1 ), tedy a0 ∗ b0−1 ∈ =f a =f je podgrupa v G0 .

I.4

(44)

4.5. Věta. Homomorfismus grup f: G → G0 je surjektivní právě tehdy, když Zpět

=f = G0 . Homomorfismus f je injektivní právě, když

Začátek Str. zpět Jdi na

ker(f) = {e} .

Str. vpřed Konec

Důkaz. První část věty je zřejmá. Mějme homomorfismus f: G → G0 , , s jádrem ker(f) = {e}. Necht pro prvky a, b ∈ G platí f(a) = f(b). Potom neutrální prvek v G0 můžeme vyjádřit jako součin f(a) a inverzního prvku k f(b), e0 = f(a) ∗ f(b)−1 = f(a) ∗ f(b−1 ) = f(ab−1 ). Tedy ab−1 ∈ ker(f) a proto ab−1 = e, z čehož plyne a−1 = b−1 a tedy a = b. Zobrazení f je injektivní. Obrácená implikace je zřejmá. 4.6. Věta. (Cayleyova) Každá konečná grupa je izomorfní s některou grupou transformací.

Vpřed

Obsah Rejstřík


Důkaz. Nejprve dokažme, že pro pevný prvek a grupy (G, ·) je zobrazení

I.4

(45)

fa : x 7→ ax bijektivní transformace množiny G. Protože v grupě platí pravidlo o krácení, je ax = ay právě, když x = y, tedy fa je injekce. Pro každé b ∈ G platí b = a(a−1 b), tedy zobrazení fa je také surjekce a tedy bijekce. Dále ukažme, že G je izomorfní s (T, ◦), kde T = {fa ; a ∈ G} a ◦ je skládání zobrazení. Je zřejmé, že (fb ◦ fa )(x) = fa fb (x) = fa (bx) = = abx = fab (x), podobně fe je neutrální v T , a fa−1 je inverzní k fa . Struktura (T, ◦) je grupa. Zobrazení G → T definované předpisem a 7→ fa


je zřejmě surjektivní homomorfismus. Jestliže fa = fb , potom fa (e) = = a = b = fb (e), a dané zobrazení je také injektivní a tedy izomorfismus. Každá konečná n-prvková grupa je tedy izomorfní s některou nprvkovou podgrupou grupy permutací Sn .

Vpřed

Obsah Rejstřík

Hledej

Cvičení k oddílu 4 1. Najděte homomorfismus grupy symetrií pravidelného trojúhelníka do grupy symetrií krychle.

Okno Zavřít

2. Najděte všechny injektivní homomorfismy grupy symetrií pravidelného trojúhelníka do grupy symetrií pravidelného čtyřstěnu.

I.4

(46)

3. Najděte všechny homomorfismy mezi grupou Z4 a grupu symetrií čtverce. 4. Najděte izomorfismus grupy otočení čtverce a grupy Z4 . 5. Dokažte, že zobrazení a 7→ log a je izomorfismus multiplikativní grupy (R+ , ·) a aditivní grupy (R, +). 6. Dokažte, že zobrazení a 7→ 2a je izomorfismus aditivní grupy (R, +) a multiplikativní grupy (R+ , ·). 7. Dokažte, že grupa (C \ {0}, ·) je izomorfní podgrupě GL2 (R) tvořené nenulovými maticemi typu a b . −b a


8. Najděte grupu transformací izomorfní s aditivní grupou Z6 . 9. Najděte izomorfismus grupy symetrií čtverce a některé grupy transformací. 10. Najděte homomorfismus alternující grupy A4 a grupy symetrií pravidelného čtyřstěnu. 11. Mějme grupu (Q \ {−1}, ∗), kde operace ∗ je definovaná předpisem a ∗ b = a + b + ab, a, b ∈ Q,. Nalezněte izomorfismus (Q \ {−1}, ∗) a (Q \ {0}, ·).

Obsah Rejstřík


12. Dokažte, že jestliže prvek a ∈ G má řád n a a jeho homomorfní obraz f(a) je řádu m, pak m dělí n.

I.4

(47)

13. Mějme G, H dvě komutativní aditivní grupy. Množinu homomorfismů z G do H značme Hom(G, H). Definujme operaci ⊕ předpi sem (f ⊕ g)(x) = f(x) + g(x). Dokažte, že Hom(G, H), ⊕ je grupa. 14. Automorfismem nazýváme izomorfismus grupy G do sebe. Množinu automorfismů grupy G značme Aut(G). Dokažte, že Aut(G) je podgrupa grupu permutací množiny G. 15. Dokažte, že pro komutativní grupu G je zobrazení f: x 7→ x−1 izomorfismus. Určete zobrazení f ◦ f a f −1 . 16. Ukažte, že pro ∆3 není zobrazení f: x 7→ x−1 izomorfismus.


17. Dokažte, že pro komutativní grupu G je zobrazení f: x 7→ xn , n ∈ ∈ N, homomorfismus grupu G do sebe. Ukažte na příkladě, že pro nekomutativní grupy to homomorfismus být nemusí.

Konec

18. Mějme pevný prvek a grupy G. Konjugací prvkem a nazveme zobrazení grupy G do sebe, zadané předpisem

Obsah

γa : x 7→ axa

−1

Vpřed

Rejstřík

.

Dokažte, že konjugace je automorfismus grupy G. Konjugaci také nazýváme vnitřní automorfismus grupy G. Dále dokažte, že množina všech konjugací tvoří grupu, značíme ji In(G).


19. Dokažte, že zobrazení a 7→ γa je homomorfismus grupy G do množiny Aut(G).

I.5

(48)

20. Reprezentujte C2 × C2 jako podgrupu S4 . 21. Reprezentujte C2 × C4 jako podgrupu S4 . 22. Reprezentujte C2 × C2 × C3 jako podgrupu S6 . Zpět

5.

Vnoření pologrupy do grupy

Mějme pologrupu přirozených čísel (N, +) tato pologrupa je podpologrupou v grupě celých čísel (Z, +), kde množina Z vznikla z množiny N „přidáním“ záporných čísel a nuly. Podobně multiplikativní grupa Q vznikla z multiplikativní pologrupy Z „přidáním“ převrácených hodnot celých čísel, kmenových zlomků, a všech součinů mezi kmenovými zlomky a celými čísly. Obě tyto konstrukce mají společný základ, k dané pologrupě P přidáváme prvky, tak abychom dostali grupu, respektive hledáme grupu která obsahuje jako podpologrupu danou pologrupu P . Pokusíme se popsat obecný tvar takovéto konstrukce. Mějme injektivní homomorfismus grupoidů f: G → G0 , potom v G0 existuje podgrupoid izomorfní s G. Takovému homomorfismu pak říkáme vnořenígrupoidu G do grupoidu G0 . Nalézt nutnou a postačující podmínku pro to, aby bylo možné daný grupoid G vnořit do grupy je obtížné a obecně tyto podmínky je možno


Obsah Rejstřík


zapsat nekonečným počtem rovností. Je zřejmé, že pouze nutná podmínka je jednoduchá : Grupoid G lze vnořit do grupy, potom G je pologrupa s krácením. Následující věta ukazuje, kdy bude tato podmínka také podmínkou postačující. 5.1. Věta. Komutativní grupoid G lze vnořit do grupy právě, když G je pologrupa s krácením, tj. pro všechny a, b, c ∈ G ab = ac

respektive

ba = ca

implikují

b = c.

I.5

(49)


¯ Potom pro liboDůkaz. Uvažujme f, vnoření grupoidu G do grupy G. volné a, b, c ∈ G platí f a(bc) = f(a) f(b)f(c) = f(a)f(b) f(c) = . = f(ab)f(c) = f (ab)c


Obsah

Zobrazení f je injektivní a tedy a(bc) = (ab)c a grupoid G je tedy pologrupou. ¯ lze krátit, tedy z rovnosti f(a)f(b) = f(a)f(c) Podobně, v grupě G plyne f(c) = f(b), f je homomorfismus tedy také rovnost f(ab) = = f(ac) implikuje f(c) = f(b). Protože f je injektivní, rovnost ab = ac tedy implikuje b = c a v pologrupě G lze krátit.

Rejstřík


Obráceně, mějme abelovskou pologrupu G, ve které lze krátit. Zkon¯ tak aby existoval injektivní homomorfismus f: G → struujme grupu G, ¯ → G. Vezměme množinu G2 = G × G. Na této množině definujme relaci ∼ předpisem (a, b) ∼ (c, d)

právě, když

a

(50)

ad = cb

Relace ∼ je zřejmě reflexivní. Protože G je komutativní je ∼ také symetrická. Pokud pro a, b, d, c, u, v ∈ G platí zároveň (a, b) ∼ (c, d)

I.5

(c, d) ∼ (u, v) ,


pak platí zároveň

Str. vpřed

ad = cb

a

cv = ud ,

odkud dostáváme (ab)(cv) = (cb)(ud). Protože G je komutativní pologrupa s krácením, lze poslední rovnost zjednodušit na rovnost av = ub odkud plyne (a, b) ∼ (u, v) . Relace ∼ je také tranzitivní a tedy ∼ je ekvivalence na množině G. Uvažujme rozklad G2 /∼ na kterém definujme operaci ∗ [a, b] ∗ [c, d] = [ac, bd] ,

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


,

pro všechna [a, b], [c, d] ∈ G2 /∼. Necht [a0 , b0 ] a [c0 , d0 ] je jiná reprezentace tříd [a, b] a [c, d, ], tedy (a, b) ∼ (a0 , b0 )

a

I.5

(51)

(c, d) ∼ (c0 , d0 ) ,

což je ekvivalentní s rovnicemi Zpět 0

0

ab = a b

a

0

0

cd = c d .


Utvořme součin

Jdi na 0

0

0

0

0 0

0 0

[a , b ] ∗ [c , d ] = [a c , b d ]

Str. vpřed Konec

pak platí,

Vpřed 0 0

0

0

0

0

0 0

a c bd = (a b)(c d) = (ab )(cd ) = acb d

Obsah

odkud plyne

Rejstřík

(a0 c0 , b0 d0 ) ∼ (ac, bd) a tedy součin ∗ nezávisí na volbě reprezentantů dané třídy. Struktura ¯ = (G2 /∼, ∗) je grupoid. G


Dokažme, že platí asociativní zákon,

I.5

(52)

[a, b] ∗ ([c, d] ∗ [u, v]) = [a, b] ∗ [cu, dv] = [a(cu), b(dv)] = = [(ac)u, (bd)v] = [ac, bd] ∗ [u, v] = . = ([a, b] ∗ [c, d]) ∗ [u, v] ¯ je pologrupou. Grupoid G Protože v pologrupě G můžeme krátit, obsahuje třída [a, a] právě všechny prvky tvaru [x, y], kde x = y. Ze stejného důvodu je součin [a, a] ∗ [c, d] = [ac, bd] roven prvku [c, d] a prvek tvaru [a, a] je neut¯ rální v G. Je zřejmé, pro všechny a, b ∈ G patří oba prvky [a, b], [b, a] zároveň do G2 /∼. Součin [a, b] ∗ [b, a] = [ab, ab] dává neutrální prvek a ¯ je grupou. tedy prvek [b, a] je inverzní k [a, b], pologrupa G Označme aa = a2 , pro všechny a ∈ G. Pro zobrazení f: G → G2 /∼ definované předpisem a 7→ [a , a] 2

platí, f(ab) = [(ab)2 , ab] = [a2 b2 , ab] = [a2 , a] ∗ [b2 , b] = f(a) ∗ f(b) a f je homomorfismus. Pokud [a2 , a] = [b2 , b] potom a2 b = b2 a a po vykrácení a = b, tedy f je injektivní zobrazení a tedy vnoření pologrupy ¯ = (G2 /∼, ∗ . G do grupy G


Obsah Rejstřík


¯ zkonstruované v průběhu pžedešlého důkazu říkáme poGrupě G, dílová grupa pologrupy G. Pokud používáme pro pologrupu G aditivní ¯ rozdílová grupa. zápis, říkáme grupě G Zobrazení f z předchozího důkazu se nazývá kanonické vnoření G ¯ následující věta objasní výjimečnost tohoto zobrazení. Protože pro do G, libovolné [a, b] ∈ G2 /∼ platí [a, b] = [a2 , a] ∗ [b, b2 ] = f(a) ∗ f(b)−1 , ¯ k obrazům prvků pologrupy G pouze jejich inverze, přibyly v grupě G ¯ je minimální grupou obsahující homomorfní obraz polozdá se, že G grupy G. 5.2. Věta. Mějme komutativní pologrupu G, ve které platí pravidlo o krá¯ a kanonické vnoření f. Jestliže g je homomorcení, její podílovou grupu G fismus pologrupy G do grupy G0 , potom existuje jediný homomorfismus ¯ → G0 tak, že g = f ◦ h tedy, že následující diagram komutuje. h: G f

G

-G ¯

I.5

(53)


Q Q h

Q g

Q

Obsah

Q Q s ? G0 Zobrazení g je vnoření právě, když h je injektivní. Důkaz. Mějme podle předpokladů G pologrupu s krácením, její podílo¯ kanonický homomorfismus f a g: G → G0 homomorfismus vou grupu G, pologrupy G do grupy multiplikativní G0 .

Rejstřík


,

¯ → G0 tak, at platí g = f ◦ h. Pro Sestrojme homomorfismus h: G každé a ∈ G tedy g(a) = h f(a) = h([a2 , a]). Protože konstruované zobrazení musí být homomorfismus, platí pro b ∈ G rovnost h([b, b2 ]) = = h([b2 , b]−1 ) = h([b2 , b])−1 = g(b)−1 a tedy

I.5

(54)

h([a, b]) = h([a2 , a] ∗ [b, b2 ]) = = h([a2 , a])h([b, b2 ]) = g(a)g(b)

−1

.

Tato konstrukce byla jednoznačná a předpis h: [a, b] 7→ g(a)g(b)−1 zadává hledaný homomorfismus. Předpokládejme, že zobrazení g je injektivní tedy, že g je vnoření. Mějme a, b, c, d ∈ G a předpokládejme h([a, b]) = h([c, d]), tedy g(a)g(b)−1 = g(c)g(d)−1 a g(a)g(d) = g(c)g(b) protože g je injektivní homomorfismus musí platit ad = cb a tedy [a, b] = [c, d]. Zobrazení h je tedy také injektivní. , Naopak, necht h je injektivní. Protože f je vnoření, je tedy také injektivní, a jejich kompozice g = f ◦ h musí být rovněž injekce a tedy vnoření.


Obsah Rejstřík

Hledej

Cvičení k oddílu 5 1. Popište vnoření aditivní pologrupy přirozených čísel N do rozdílové grupy celých čísel Z.

Okno Zavřít

2. Popište vnoření multiplikativní pologrupy celých čísel Z do podílové grupy čísel racionálních Q.

I.6

(55)

3. Popište konstrukci vnoření pologrupy (N, ·) do grupy (Q+ , ·). 4. Popište konstrukci vnoření pologrupy (N, +) do grupy (3Z, +). 5. Dokažte, že podílová grupa pologrupy (2N, +) je izomorfní aditivní grupě Z.

Zpět

6. Dokažte, že podílová grupa pologrupy (3ZN, ·) je izomorfní multiplikativní grupě Q.

Začátek

7. Popište podílovou grupu k C5 .

Str. zpět

8. Můžete popsat podílovou grupu pologrupy (Z4 , ·).

Jdi na Str. vpřed

6.

Konec

Cyklické grupy

V multiplikativním monoidu G s neutrálním prvkem e můžeme pro přirozené číslo n definovat n-tou mocninu prvku a ∈ G jako součin an = |a · a{z· · · a} ,

Vpřed

Obsah Rejstřík

n-krát

nultou mocninu a0 položme rovnu e, neutrálnímu prvku v G. Indukcí přes n lze dokázat, že pro všechna m, n ∈ N platí a ·a =a m

n

m+n

,

(a ) = a m n

mn

.


Pro komutativní monoidy platí ještě rovnost (a · b)n = an · bn . Jestliže (G, ·) je grupa, můžeme definici n-té mocniny rozšířit na všechna celá čísla

I.6

(56)

a−n = (a−1 )n . Pokud si uvědomíme, že indukcí lze dokázat (a−1 )n · an = e, dostáváme (a−1 )n = (an )−1 .

Zpět

Nyní rozšiřme platnost rovnosti am · an = am+n , m, n, ∈ N, pro záporná čísla. Nejprve vezměme případ obou exponentů záporných.

Začátek

a

−m

·a

−n

m −1

= (a )

n −1

· (a )

m −1

= (a · a ) n

=a

−(n+m)

=a

−m−n

=

=

a

·a =a n

−m

=

Konec

.

·a

m+k

m −1

= (a )

Vpřed

= m

Obsah Rejstřík

· (a · a ) = = (a ) · am ·ak = m −1

Jdi na Str. vpřed

Dále uvažujme m ≤ n, tedy existuje kladné k takové, že n = m + k a rozeberme případ, kdy je jeden exponent záporný a druhý kladný, −m

Str. zpět

k

Hledej

= e · an−m =

Okno

−m+n

Zavřít

=a

.

Ostatní případy dokážeme obdobně. Dále můžeme psát

I.6

(57)

n (a−m )n = (am )−1 −1 = (am )n = = (amn )−1 = = a−mn , Prozkoumáme-li i zbylé případy, rozšířili jsme platnost rovnosti (a · b)n = = an · bn na všechna celá čísla. Je-li f: G → G0 homomorfismus grup, pak není těžké indukcí dokán zat, že f(an ) = f(a) , pro všechny celé n. Jestliže máme (G, +) monoid s aditivním zápisem, tak definujme n-násobek prvku a ∈ G, n ∈ Z, n·a=a | +a+ {z· · · + a} .


Obsah

n-krát

Stejně jako pro mocninu položme 0 · a = e a platí m · a + n · a = (m + n) · a ,

m · (n · a) = (mn) · a .

V komutativních monoidech platí také rovnost n · (a + b) = n · a + n · b. Do aditivní notace potom můžeme přepsat všechny vlastnosti mocniny.

Rejstřík


6.1. Věta. Mějme pevně zvolený prvek a v grupě (G, ·), potom zobrazení fa : Z → G

I.6

(58)

n 7→ an je jediný homomorfismus aditivní grupy celých čísel (Z, +) a grupy G, pro který platí 1 7→ a. Důkaz. Z definice mocniny je zřejmé, že dané zobrazení je homomorfismus. Mějme naopak homomorfismus f: Z → G, pro který platí f(1) = a. Musí platit f(0) = e a f(n + 1) = f(n) · f(1), tedy indukcí f(n) = an .


6.2. Definice. Grupa (G, ·) se nazývá cyklická, jestliže obsahuje takový prvek a, že pro každý prvek b ∈ G, existuje k ∈ N tak, že platí b = ak . Prvku a pak říkáme vytvářející prvek (generátor) grupy G.


,

6.3. Příklad. Necht n je přirozené číslo takové, že pro komplexní číslo ζn platí ζnn = 1, potom ζn nazýváme n-tým kořenem z jedné. Je zřejmé, ?? že množina všech řešení rovnice ζnn = 1, {ζnk ; k = 1, . . . , n} tvoří cyklickou grupu s generátorem ζn = e2πi/n . Na obrázku 5 je tato grupa pro n = 5. ,

6.4. Věta. Necht (G, ·) je cyklická grupa s generátorem a, potom řád prvku a určuje tuto grupu až na izomorfismus.

Obsah Rejstřík


I.6

i

(59)

ζ5

ζ52

−1

1 = ζ55

0

Zpět Začátek

ζ53

Str. zpět

−i

ζ54

Jdi na Str. vpřed

Obrázek 5. Grupa ζ5n .

Konec

Důkaz. Předpokládejme nejprve, že řád prvku a, generátoru cyklické grupy G, je nekonečný. Zobrazení fa z věty 6.1 je tedy surjektivní homomorfismus Z na G Hledejme takové exponenty m, n ∈ Z, že a = a . Tedy e = = am (an )−1 = am−n , a protože všechny nenulová mocniny prvku a jsou různé od e, dostáváme, že rovnost am = an platí právě, když m = = n. Zobrazení fa je injektivní. Dokázali jsme, že fa je izomorfismus libovolné cyklické grupy nekonečného řádu a aditivní grupy Z. Cyklická grupa nekonečného řádu je tedy až na izomorfismus jediná. m

n

Vpřed

Obsah Rejstřík


Předpokládejme dále, že řád prvku a, generátoru cyklické grupy G, je přirozené číslo n. Pro všechna k ∈ N platí akn = (an )k = ek = e. Všechny násobky čísla n tedy patří jádru zobrazení fa z věty 6.1.

I.6

(60)

,

Mějme m ≥ n takové, že e = am . Necht m je nesoudělné s n. Pro toto číslo existují k, r ∈ Z, 0 ≤ k, 0 < r < n takové, že m = kn + r. Tedy e = am = akn+r = akn · ar = e · ar = ar , což je spor s tím, že n je řád prvku a, tedy nejmenší mocnina prvku a která se rovná e. Nutně tedy platí, že n dělí m. Jádro zobrazení fa tedy obsahuje právě celočíselné násobky čísla n, řádu grupy G. Rovnost ar = as nastane právě, když e = ar · (as )−1 = ar−s , což podle předchozího nastane právě, když r − s = kn, k ∈ Z tedy, když r ≡ s (mod n). Zobrazení fa je surjektivní zobrazení Z → G, přičemž restrikce fa na Zn , aditivní grupu zbytkových tříd modulo n, je injektivní a tedy izomorfismem.


Obsah

Jako důsledek dostáváme: 1. Každá cyklická grupa G, jejíž generátor má nekonečný řád, je izomorfní s aditivní grupou celých čísel Z. 2. Každá cyklická grupa G s generátorem řádu n je izomorfní s aditivní grupou zbytkových tříd modulo n, Zn .

Rejstřík


3. Každá cyklická grupa s generátorem řádu n má právě n prvků. Říkáme tedy, že řád generátoru cyklické grupy je řádem této grupy. Cyklickou grupu řádu n značme Cn .

I.6

(61)

6.5. Příklad. Grupa rotací reprodukujících čtverec (viz příklad 2.2) je cyklická grupa s generátorem r1 (respektive r3 ). Předpis 1 7→ r1 ,

2 7→ r12 = r2 ,

3 7→ r13 = r3 ,

0 7→ r10 = id .

Zpět Začátek

zadává izomorfismus s grupou Z4 .

Str. zpět

6.6. Věta. Každá podgrupa H cyklické grupy G je cyklická. ,

Důkaz. Mějme v cyklické grupě G podgrupu H. Necht m je nejmenší kladný exponent pro který am ∈ H. Cyklická grupa H 0 generovaná prv, kem am je jistě podgrupou grupy H. Dokažme ted obrácenou inkluzi. , s Necht a ∈ H, potom s ≥ m a můžeme vyjádřit s = km + r, kde 0 ≤ k a 0 ≤ r < m, tedy as = akm+r = ak m · ar a ar = (akm )−1 · as . Protože akm ∈ H, platí (akm )−1 ∈ H a protože také as ∈ H, musí být ar ∈ H. Protože m je nejmenší kladný exponent takový, že am ∈ H, musí platit r = 0 a ar = e. Obdrželi jsme, že s = km, tedy as ∈ H 0 a grupa H je podgrupou cyklické grupy H 0 .


Obsah Rejstřík

Hledej

Následující věta, přestože její důkaz je obtížný a přesahuje možnosti tohoto skripta, je užitečná pro nalezení všech abelovských grup. Při její formulaci použijeme aditivní notaci obvyklou pro abelovské grupy.

Okno Zavřít

6.7. Věta. Každá komutativní grupa se dá vyjádřit jako direktní součet cyklických grup.

I.6

(62)

6.8. Příklad. Grupa rotací reprodukujících čtverec je řádu 4 a proto může mít netriviální podgrupu jedině řádu 2. Touto podgrupou je množina {id, r2 }. Zpět

Cvičení k oddílu 6 1. Dokažte, že každý prvek konečné grupy má konečný řád. 2. Určete všechny podgrupy cyklické grupy řádu p, kde p je prvočíslo. 3. Mějme Ck , podgrupu cyklické grupy Cn . Dokažte, že k dělí n. 4. Mějme cyklickou grupu Cn . Dokažte, že pro každé k ∈ Z takové, že k dělí n existuje H, podgrupa Cn řádu k. 5. Dokažte, že řád prvku cyklické grupu Cn , dělí řád grupy n. 6. Dokažte, že každá cyklická grupa je komutativní.


Obsah

7. Dokažte, že jediné generátory nekonečné cyklické grupy (Z, +) jsou {−1, 1}.

Rejstřík

8. Dokažte, že cyklická grupa nekonečného řádu, s generátorem a má jediný další generátor a−1 .

Hledej

9. Dokažte, že am generuje cyklickou grupa řádu n s generátorem a, právě když největší společný dělitel čísel m, n je roven 1.

Okno Zavřít

10. Určete všechny generátory cyklické grupy Cp , kde p je prvočíslo. 11. Dokažte, že prvky a a a

−1

I.7

(63)

mají v grupě G stejný řád.

12. Dokažte, že prvky ab a ba mají v grupě G stejný řád. 13. Dokažte, že grupa automorfismů cyklické grupy G má řád 2. 14. Dokažte, že každá cyklická grupa je abelovská. 15. Dokažte, že pro m, n ∈ N nesoudělné platí Cmn ' Cm × Cn . 16. Dokažte, že homomorfním obrazem libovolné cyklické grupy je opět cyklická grupa. 17. Mějme konečnou cyklickou grupu Cn . Dokažte, že pro n sudé platí Y a 6= e , a∈Cn


a pro liché n platí Y

Vpřed

a = e.

a∈Cn

Obsah Rejstřík

7.

Grupy řádu n < 8

K pečlivému prostudování této kapitoly je třeba pochopit výsledky kapitoly 8. Prosíme tedy čtenáře, aby nejprve systém grup jen zběžně prohlédl a později se k této kapitole vrátil.


Nalezněme všechny grupy řádu menšího než osm. Z kapitoly o cyklických grupách víme, že pro každé n ∈ N existuje cyklická grupa řádu n. Dokonce podle předchozí kapitoly, pokud v grupě řádu n existuje prvek řádu n, potom je tato grupa cyklická. Dále, pro prvočíselný řád p neexistují jiné grupy než cyklická řádu p. Pro n < 8 zbývá tedy prozkoumat řády n = 4 a n = 6. Dokažme, že existuje jediná grupa G řádu n = 4 různá od cyklické grupy C4 . Pokud je G řádu 4 a není cyklická, plyne z Lagrangeovy věty že všechny tři prvky a, b a c, různé od neutrálního prvku e, jsou řádu 2, a2 = b2 = c2 = e. Pokud budeme krátit, snadno dokážeme, že ab 6= 6= e, ab 6= a a podobně ab 6= b, proto ab = c. Stejně tak ba = c = ab. , Ted již ac = aab = b = baa = ca, bc = bba = a = abb = cb. Obdrželi jsme Kleinovu 4-grupu. Z konstrukce této grupy je zřejmé, že tato grupa je součinem cyklických grup {e, a} a {e, b}. Naše konstrukce byla jednoznačná, jiná necyklická grupa řádu 4 neexistuje. Konstrukci jediné necyklické grupy řádu 6 necháváme čtenářům za cvičení. Touto grupou bude S3 a je to první nekomutativní grupa. Přehled grup do řádu n < 8 udává tabulka 3. Konstrukce grup řádů 7 < n < 16 již přesahuje možnosti tohoto spisku proto v tabulce 4 uvedeme jen prostý výčet těchto grup a popíšeme dvě, se kterými jsme se dosud nesetkali. Grupa Q3 je nekomutativní, osmiprvková grupa kvaternionů. Pokud označíme Q3 = {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k}, můžeme operaci násobení

I.7

(64)


Obsah Rejstřík


řád 1 2 3 grupy C1 C2 C3

4 5 6 7 C4 C5 C6 C7 C2 × C2 S3 ' ∆ 3

I.7

(65)

Tabulka 3. Grupy řádu n < 8. řád grupy

8 9 10 11 12 13 14 15 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C2 × C4 C 3 × C 3 ∆5 C2 × C2 × C3 ∆7 C2 × C2 × C2 C2 × S3 ∆4 A4 Q3 C3 o C4 Tabulka 4. Grupy řádu 7 < n < 16.

zavést vztahy −1(−1) = 1, −1a = a(−1) = −a, pro všechna a ∈ ∈ Q3 , a tabulkou 5. O kvaternionech obecně pojednáme později v příkladu II. II.1.11. Grupa C3 o C4 je grupa generovaná dvěma prvky a, b a vztahy a3 = b 4 = e

a


Obsah Rejstřík

bab−1 = a2 ,

je to tzv. semidirektní součin6 grup C3 a C4 .

Hledej Okno

6

Grupa G se nazývá semidirektní součin svých podgrup N a H, jestliže N / G a H ' G/N respektive, když platí N / G, NH = G, N ∩ H = {e}.

Zavřít

1 i j k

1 1 i j k

i i −1 −k j

j j k −1 −i

k k −j i −1

Tabulka 5. Násobení bázových prvků v grupě Q3 . Pro n = 16 bychom dostali 14 neizomorfních grup.

I.7

(66)


Cvičení k oddílu 7 1. Ukažte, že S3 ' ∆3 . 2. Vypište tabulky všech grup řádu 8. 3. Dokažte, že grupy řádu 8 uveden v tabulce 4, nejsou navzájem izomorfní. 4. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticemi 0 i 0 1 A= , B= . −i 0 1 0 Ukažte, že tato grupa je izomorfní s ∆4 . 5. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticemi −i 0 0 −1 A= , B= . 0 i −1 0


Obsah Rejstřík


Ukažte, že tato grupa je izomorfní s ∆4 .

I.7

(67)

6. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticemi 0 i 0 1 A= , B= . i 0 −1 0 Ukažte, že tato grupa je izomorfní s Q3 . 7. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticemi −i 0 0 −i A= , B= . 0 i −i 0 Ukažte, že tato grupa je izomorfní s Q3 . 8. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticemi i 0 −1 0 A= , B= . 0 i 0 1 Ukažte, že tato grupa je izomorfní s C2 × C4 . 9. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticemi −1 0 0 1 A= , B= . 0 1 1 0 Ukažte, že tato grupa je izomorfní s C2 × C2 × C2 .


Obsah Rejstřík


10. Nalezněte prvky podgrupy GL2 (C), generované maticí A=

0 i

−1 0

I.7

(68)

.

Ukažte, že tato grupa je izomorfní s C8 . 11. Vypište všechny netriviální podgrupy grupy Q3 . 12. Vypište tabulku grupy řádu 12 se dvěma generátory x, y, pro kterou platí x6 = y 2 = e , xy = yx5 . Ukažte, že tato grupa je izomorfní podgrupě grupy ∆6 , generované rotací o 60◦ a jednou osovou souměrností.


13. Dokažte, že ∆n je izomorfní grupě generované dvěma prvky a, b, kde an = e , b2 = e , bab = a−1 .

Konec

14. Mějme grupu Qn , n ≥ 3, generovanou dvěma prvky a, b, kde

Obsah

a2

n−1

= e,

n−2

a2

Vpřed

Rejstřík

= b2 ,

bab−1 = a−1 .

Ukažte, že pro n = 3 je tato grupa izomorfní s osmiprvkovou grupou kvaternionů. Grupa Qn má řád 2n . 15. Nalezněte v tabulce 4 grupu izomorfní s ∆6 .


16. Dokažte, že C2 × C6 ' C2 × C2 × C3 .

I.8

(69)

17. Vypište prvky a tabulku dvanáctiprvkové grupy C3 o C4 . 18. Nalezněte všechny nekomutativní grupy do řádu n = 15.

8.

Rozklad podle podgrupy

Mějme dvě množiny A, B ⊆ G, kde (G, ·) je grupa. Potom součinem množin A, B nazýváme množinu AB = {a · b; a ∈ A, b ∈ B} . Pro součin jednoprvkové množiny {a} a množiny B užívejme symbol aB. Mějme grupu (G, ·) a její podgrupu H. Součinu množin aH říkáme levá třída grupy G podle podgrupy H. Obdobně součin množin Ha je pravá třída grupy G podle podgrupy H. 8.1. Věta. Mějme grupu (G, ·) a její podgrupu H. Množina součinů


Obsah Rejstřík

G/Hl = {aH ; a ∈ G} Hledej

je rozklad množiny G. ,

Důkaz. Nejprve dokažme, že dvě levé třídy bud to splývají, nebo jsou disjunktní. Mějme levou třídu aH, a prvek b ∈ aH, potom existuje s ∈ H

Okno Zavřít

takové, že b = as. Protože H je podgrupa, platí tedy s−1 ∈ H a libovolný prvek x třídy aH, který má vyjádření x = ar, r ∈ H, můžeme vyjádřit jako x = bs−1 r, kde ovšem s−1 r ∈ H, tedy aH ⊆ bH. Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně. Dvě třídy se společným prvkem tedy splývají. Pro každé a ∈ G platí a = ea, kde jistě e ∈ H a tedy a ∈ aH. Sjednocení všech levých tříd je rovno množině G.

I.8

(70)

Zpět

Rozkladu G/Hl říkáme levý rozklad grupy G podle podgrupy H. Podobně definujeme G/Hp pravý rozklad grupy G podle podgrupy H. Pro pravý rozklad platí podobné vlastnosti jako pro rozklad levý, takže v dalším mluvme jen o levých rozkladech. Je zřejmé, že aH = bH právě, když ab−1 ∈ H. Podgrupa H = eH je levou třídou grupy G. Z důkazu Cayleyovy věty víme, že zobrazení fa : H → aH, h 7→ ah je bijektivní, proto mají všechny levé třídy grupy G podle konečné podgrupy H stejný počet prvků jako samotná podgrupa H, z čehož plyne následující věta. ,

8.2. Věta. (Lagrangeova7 ) Necht G je konečná grupa. Potom řád každé její podgrupy H je dělitelem řádu grupu G. 8.3. Definice. Počet tříd rozkladu grupy G podle podgrupy H nazýváme index podgrupy a značíme [G : H]. 7

Lagrange, Joseph Luis, 1736–1813, matematik italsko-franc. původu.


Obsah Rejstřík


Pokud značíme neutrální prvek v konečné grupě G jako 1, pak počet prvků grupy G je roven číslu [G : 1]. Lagrangeovu větu pak můžeme psát ve tvaru

I.8

(71)

[G : 1] = [G : H] · [H : 1] . Máme-li dvě podgrupy K ⊆ H konečné grupy G, potom snadno napočítáme, že platí

Zpět Začátek

[G : K] = [G : H] · [H : K] . Je ovšem třeba poznamenat, že ke každému děliteli p řádu grupy G nemusí existovat podgrupa řádu p. 8.4. Příklad. Mějme grupa G přímých shodností reprodukujících pravidelný čtyřstěn. G je tvořená identitou, osmi rotacemi jejichž osy procházejí jedním vrcholem a středem protější strany (na obrázku 7 je znázorněna oD ), a třemi osovými souměrnostmi jejichž osy spojují středy dvojice mimoběžných hran, (například o1 ). Grupa G je izomorfní alternující grupě A4 a její řád je 12. Hledejme její šestiprvkovou podgrupu. Podle kapitoly 7 jsou šestiprvkové grupy dvě, cyklická C6 a grupa symetrií trojúhelníka ∆3 ' S3 . Rotace v grupě G jsou prvky řádu 3, souměrnosti mají řád 2. Je zřejmé, že neexistuje žádný injektivní homomorfismus C6 , která obsahuje prvek řádu 6, do G. Podobně prvky řádu 2 v grupě G, osové souměrnosti, tvoří podgrupu G, tedy jejich součinem


Obsah Rejstřík


oD

I.8

(72)

D

Zpět

C


A

Jdi na

o1 B Obrázek 7. Čtyři přímé shodnosti reprodukující čtyřstěn. nikdy nedostaneme prvek řádu 3 tak, jak je to v grupě ∆3 , kde součin dvou osových souměrností dává rotaci. Neexistuje tedy injektivní homomorfismus ∆3 do G. Grupa G ' A4 řádu 12 tedy nemá šestiprvkovou podgrupu.


Obsah Rejstřík

Hledej

Na závěr kapitoly ještě jeden užitečný vzorec. Začněme ovšem trochu zeširoka.

Okno Zavřít

8.5. Definice. Grupa (G, +) má (levou) akci na množině M, jestliže je dáno zobrazení G × M → M, pišme (a, x) 7→ a ∗ x, splňující vlastnosti

I.8

(73)

1. pro všechna a, b ∈ G a x ∈ M platí a ∗ (b ∗ x) = (ab) ∗ x, 2. pro všechna x ∈ M platí e ∗ x = x. 8.6. Příklad. 1. Libovolná grupa (G, ·) má akci na množině G definovanou zobrazením (a, b) 7→ a · b. 2. Grupa (G, ·) má na G akci konjugací zadanou předpisem (a, b) 7→ 7→ aba−1 . 3. Grupa Aut(G) má akci na množině G zadanou předpisem (f, a) 7→ 7→ f(a). 4. Grupa reálných čísel R má akci na třírozměrném vektorovém prostoru R3 zadanou předpisem (a, v) 7→ av. ,

Necht grupa G má na množině M akci, potom orbitou grupy G určenou prvkem x ∈ M rozumíme množinu


Obsah Rejstřík

G ∗ x = {a ∗ x; a ∈ G} . Mějme orbitu G ∗ x. Protože e ∗ x = x, platí x ∈ G ∗ x. Pokud y ∈ G ∗ x, pak existuje a ∈ G tak, že y = a ∗ x a x = e ∗ x = (a−1 a) ∗ ∗ x = a−1 ∗ (a ∗ x) = a−1 ∗ y a je zřejmé, že G ∗ x = G ∗ y. Každá orbita


je reprezentovaná libovolný svým prvkem a množina všech orbit grupy G tvoří rozklad množiny M. , Necht grupa G má akci na množině M. Mějme x ∈ M a a, b ∈ G takové, že a ∗ x = b ∗ x = x. Potom a−1 ∗ x = a−1 ∗ (a ∗ x) = (a−1 a) ∗ ∗ x = x, Také (ab) ∗ x = a ∗ (b ∗ x) = a ∗ x = x a množina Gx = {a ∈ G; a ∗ x = x}

I.8

(74)

Zpět

je podgrupa grupy G. Nazýváme ji izotropickou grupou prvku x ∈ M.

Začátek

8.7. Příklad. Mějme podgrupu H grupy G. Potom zobrazení H × G → G, (h, g) 7→ hg definuje akci grupy H na množině G. Orbity této akce jsou třídy rozkladu G/H. Pro každý prvek g ∈ G je Hg = {e}.

Str. zpět

,

8.8. Věta. Necht G má akci na množině M. Mějme x ∈ M, potom


|G ∗ x| = [G : Gx ] .

Obsah ,

Důkaz. Mějme grupu G s akcí na množině M. Necht x ∈ M. Stačí dokázat, že f: a ∗ x 7→ aGx je bijektivní zobrazení G ∗ x → G/Gx . Předpokládejme pro dva prvky a, b ∈ G, že a ∗ x = b ∗ x, potom x = b−1 ∗ (a ∗ x) = (b−1 a) ∗ x a tedy b−1 a ∈ Gx , proto b−1 aGx = Gx a aGx = bGx . Dokázali jsme, že f je zobrazení, jehož surjektivnost je zřejmá.

Rejstřík


Pokud aGx = bGx tak b−1 a ∈ Gx a tedy a ∗ x = b ∗ x. Zobrazení f je injektivní a množiny G ∗ x a G/Gx mají stejný počet prvků.

I.8

(75)

8.9. Věta. Mějme grupu G, její centrum Z(G) a normalizátory prvků grupy G, N(g). Potom X [G : e] = [G : N(g)] = Zpět

g∈J

= [Z(G) : 1] +

X

[G : N(g)] ,

g∈I

kde J je množina reprezentantů orbit grupy G vzhledem k akci konjugace a I je množina reprezentantů víceprvkových orbit grupy G vzhledem k akci konjugace. 8.10. Věta. (Cauchyho8 ) Jestliže prvočíslo p dělí řád grupy G, pak v G existuje prvek řádu p. Důkaz. Mějme grupu G a prvočíslo p takové, že p | [G : e]. Pokud G je komutativní, potom podle věty 6.7 existuje v G cyklická podgrupa Cpk , k ∈ N. Cyklická grupa Cpk už jistě obsahuje prvek řádu p. , Necht G není komutativní. Vyjádřeme řád G podle věty 8.9, X [G : e] = [Z(G) : 1] + [G : N(g)] . g∈I 8

Cauchy, Auguste Louis, 1789–1857, francouzský matematik.


Obsah Rejstřík


,

Necht p dělí v tomto součtu všechny členy tvaru [G : N(g)]. Potom p dělí také [Z(G) : 1]. Protože Z(G) je komutativní, podle první části důkazu zde existuje prvek řádu p. , Necht pro a ∈ G, a ∈ / Z(G) platí p nedělí [G : N(a)], potom podle Lagrangeovy věty p | [N(a) : e]. Protože [N(a) : e] < [G : e] dojdeme další analýzou případů pro grupu N(a) k tomu, že N(a) nutně obsahuje prvek řádu p.

I.8

Důkaz. Mějme grupu G. Konjugace je akce grupy G na množině M = G. Orbita určená prvkem g ∈ G je množina všech prvků konjugovaných s g, G ∗ g = {aga−1 ; a ∈ G}. Protože množina všech orbit tvoří rozklad na množině M = G, je

Začátek

(76)

Zpět


[G : e] =

X

|G ∗ g| ,

Konec

g∈J

Vpřed

kde J je množina reprezentantů všech orbit grupy G vzhledem k akci konjugace. Normalizátor prvku g ∈ G je podgrupa v G, N(g) = {a ∈ G; ag = = ga} = {a ∈ G; aga−1 = g}, což je vzhledem k akci konjugace izotropická grupa prvku g, N(g) = Gg . Podle předchozí věty |G ∗ g| = = [G : Gg ] = [G : N(g)] a dostáváme první z dokazovaných rovností. Každý prvek centra Z(G) určuje jednoprvkovou orbitu vzhledem k akci konjugace, z čehož plyne druhá z dokazovaných rovností.

Obsah Rejstřík



I.8

(77)

1. Dokažte, že grupa G prvočíselného řádu p je cyklická. 2. Dokažte, že řád prvku a ∈ G dělí řád grupy G. 3. Nalezněte rozklady grupy G podle triviálních podgrup. 4. Nalezněte rozklad aditivní grupy R2 podle podgrupy H = {(x, y); x − 2y = 0} . 5. Nalezněte rozklady grupy ∆4 podle všech podgrup. 6. Nalezněte rozklad grupy permutací Sn podle alternující grupy An . 7. Dokažte, že [Sn : An ] = 2. 8. Nalezněte rozklad aditivní grupy Z podle podgrupy nZ, kde n ∈ ∈ N. 9. Nalezněte rozklad grupy GL2 (R) podle SL2 (R). 10. Nalezněte rozklad grupy GL2 (R) podle podgrupy diagonálních matic stupně 2.


Obsah

11. Nalezněte rozklady grupy GL2 (R) podle podgrupy skalárních matic stupně 2.

Rejstřík

12. Mějme H podgrupu grupy G. Dokažte, že b ∈ aH právě, když a−1 b ∈ H.

Hledej

13. Najděte šestiprvkové podgrupu grupy C2 × S3 .

Zavřít

Okno

14. Dokažte, že C4 není podgrupa C2 × S3 .

I.9

(78)

15. Nalezněte všechny orbity akce konjugace grupy Q3 .

9.

Normální podgrupy

V kapitole 8 jsme ukázali, že počet levých tříd grupy G podle podgrupy H je stejný jako počet pravých tříd. Je sice zřejmé, že vždy platí eH = = He, ale není pravda, že levá třída aH je vždy rovna pravé třídě Ha.

Zpět Začátek

9.1. Příklad. Mějme grupu symetrií čtverce ∆4 , viz příklad 1.12. Mějme podgrupu H = {id, o1 }. Potom r1 H = {r1 , o4 } = 6 {r1 , o2 } = Hr1 . Pokud vezmeme podgrupu N všech rotací transformujících čtverec, potom rozklad G/N je dvouprvkový a nejenom, že eN = Ne, ale také druhá levá třída rozkladu G/Nl , množina všech osových souměrností je shodná s druhou pravou třídou rozkladu G/Nr , o1 N = No1 .

Str. vpřed

9.2. Definice. Podgrupa N grupy G se nazývá normální, jestliže pro každé a ∈ G platí aN = Na. Značme N / G. Normální podgrupě se také říká invariantní podgrupa.

Obsah

Pro normální podgrupu N splývají pojmy levý a pravý rozklad grupy G a můžeme mluvit o rozkladu grupy G podle normální podgrupy N. 9.3. Věta. Podgrupa N grupy G je normální právě, když pro každý prvek h ∈ N platí aha−1 ∈ N, pro libovolné a ∈ G.

Str. zpět Jdi na

Konec Vpřed

Rejstřík


Důkaz. Je-li N / G, potom aN = Na pro všechna a ∈ G, tedy pro každé h ∈ N existuje takový prvek h0 ∈ N, že ah = h0 a a tedy aha−1 = h0 ∈ N. , Obráceně, necht N je podgrupa grupy G taková, že pro každé h ∈ ∈ N a libovolné a ∈ G platí aha−1 ∈ N. V podgrupě N tedy existuje prvek h0 takový, že aha−1 = h0 . Potom ah = h0 a a platí inkluze aN ⊆ ⊆ Na. Označíme-li a−1 = b ∈ G, potom podle předpokladu bhb−1 ∈ N, tedy existuje h00 ∈ N, h00 = a−1 ha a ha = ah00 obdrželi jsme Na ⊆ aN. Z těchto inkluzí plyne rovnost Na = aN, pro libovolné a ∈ G a platí N / G.

I.9

(79)


,

0

9.4. Věta. Necht N a N jsou normální podgrupy grupy G, potom N ∩ N je rovněž normální podgrupa grupy G.

0

Důkaz. Mějme h ∈ N ∩ N 0 . Protože N je normální, pro všechna a ∈ G platí aha−1 ∈ N, podobně aha−1 ∈ N 0 , tedy aha−1 ∈ N ∩ N 0 a podle předchozí věty platí N ∩ N 0 / G. 9.5. Věta. Máme-li prvek a ∈ G a podgrupu H, potom množina aHa−1 je podgrupou grupu G.


Obsah Rejstřík

,

Důkaz. Necht H je podgrupa grupy G. Mějme dva prvky x, y ∈ aHa−1 . Potom existují h, h0 ∈ H takové, že x = aha−1 a y = ah0 a−1 . Pokud vynásobíme xy −1 = aha−1 (ah0 a−1 )−1 = aha−1 (a−1 )−1 h0 a−1 = = aha−1 ah−1 a−1 = ahh−1 a−1 . Protože hh−1 ∈ H platí xy −1 ∈ aHa−1 a množina aHa−1 je podgrupa grupy G.


9.6. Definice. Prvky b, c ∈ G pro které existuje a ∈ G tak, že platí c = = aba−1 se nazývají prvky konjugované. , Necht a ∈ G a H je podgrupa G, podgrupu aHa−1 nazýváme podgrupou konjugovanou s H.

I.9

(80)

9.7. Příklad. Mějme H=

1 0

n 1

n∈Z

;

Zpět


podgrupu GL2 (Q) izomorfní s (Z, +). Potom podgrupa aHa−1 konjugovaná prvkem a=

5 0

0 1


má prvky Obsah

aha−1 = = =

5 0

0 1

5 0

5n 1

1 0

5n 1

1 0

n 1

1/5 0

1/5 0 0 = 1

0 1

Rejstřík

= ,


tedy pišme

I.9

aHa

−1

=

1 0

5n 1

;

n∈Z

(81)

.

Podgrupa aHa−1 je izomorfní s grupou 5Z. Platí aHa−1 ⊂ H, aHa−1 6= 6= H. Poznamenejme jen, že H není normální podgrupa GL2 (Q). 9.8. Věta. Podgrupa N grupy G je normální právě, když aNa−1 = N, pro všechna a ∈ G, tj. jestliže splývá se všemi svými konjugovanými podgrupami. Důkaz. Pokud N je normální, potom aN = Na, potom aNa−1 = N. , Naopak, necht aNa−1 = N, pro všechna a ∈ G, potom platí podmínka z věty 9.3 a podgrupa N je normální. Triviální podgrupy grupy G jsou normálními podgrupami. Grupu nazýváme jednoduchá, pokud jediné normální podgrupy jsou triviální. Abelovské grupy mají všechny podgrupy normální, tedy abelovská grupa G je jednoduchá jedině, když nemá netriviální podgrupy. To nastane v případě konečných cyklických grup prvočíselného řádu. Lze dokázat, že alternující grupy An , n 6= 4 jsou jednoduché. 9.9. Věta. Mějme N1 / G1 a N2 / G2 , potom N1 × N2 / G1 × G2 .


Obsah Rejstřík


Důkaz. Pokud N1 / G1 potom pro všechny h1 ∈ N1 a a1 ∈ G1 platí −2 a1 h1 a−1 1 ∈ N1 . Obdobně pro všechny h2 ∈ N2 a a2 ∈ G2 platí a2 h2 a2 ∈ ∈ N2 . Mějme (h1 , h2 ) ∈ N1 × N2 , a (a1 , a2 ) ∈ G1 × G2 , potom

I.9

(82)

−1 (a1 , a2 )(h1 , h2 )(a1 , a2 )−1 = (a1 , a2 )(h1 , h2 )(a−1 1 , a2 ) = −2 = (a1 h1 a−1 1 , a2 h2 a2 ) ∈ N1 × N2

Zpět

a tedy platí N1 × N2 / G1 × G2 .



Jdi na

1. Najděte všechny normální podgrupy všech grup až do řádu n < 8.

Str. vpřed

2. Ukažte, že Q3 má všechny podgrupy normální. 3. Dokažte, že alternující grupa An je normální podgrupou grupy Sn . 4. Dokažte, že v libovolné grupě G, každá podgrupa H indexu [G : : H] = 2 je normální. 5. Dokažte, že pro grupu G a její podgrupu H platí, jestliže N / G a N je podgrupa H, pak N / H.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík

,

6. Necht H je podgrupa v G a N je normální podgrupa v G. Potom platí H ∩ N / H. ,

7. Necht H je podgrupa v G a N je normální podgrupa v G. NH je podgrupa v G.


8. Dokažte, že An / Sn .

I.9

(83)

9. Dokažte, že H = {id , (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} je normální podgrupa grupy S4 . 10. Nalezněte všechny normální podgrupy grupy Cn . 11. Dokažte, že centrum grupy G je normální podgrupa G. 12. Mějme dvě podgrupy H1 , H2 grupy G. Vzájemný komutant podgrup H1 , H2 je množina generovaná všemi komutátory [a, b], kde a ∈ H1 a b ∈ H2 ,


[H1 , H2 ] = {[a, b]; a ∈ H1 , b ∈ H2 } . Ukažte, že vzájemný komutant podgrup grupy G je normální podgrupa v G.


13. Ukažte, že množina všech diagonálních matic stupně 2 není normální podgrupou GL2 (R).

Vpřed

14. Ukažte, že množina všech skalárních matic stupně 2 je normální podgrupou GL2 (R).

Obsah

15. Rozhodněte, zda množina matic a b B= ; 0 c je normální podgrupa GL2 (R).

a, b, c ∈ R

Rejstřík


16. Automorfismus grupy G přiřazující každému prvku x ∈ G jeho konjugaci pevným prvkem a ∈ G

I.10

(84)

γa : x 7→ axa−1 , se nazývá vnitřní automorfismus. Dokažte, že množina vnitřních automorfismů grupy In(G) je normální podgrupa grupy Aut(G). Zpět Začátek

10.

Kongruence

Str. zpět Jdi na

10.1. Definice. Mějme na grupoidu G zadanou ekvivalenci ≡ splňující vlastnost a ≡ c a b ≡ d implikuje ab ≡ cd pro všechny a, b, c, d ∈ G, pak říkáme, že ekvivalence ≡splňuje substituční podmínku a nazýváme ji kongruence!v grupě na grupoidu G.


Obsah

10.2. Příklad. 1. Mějme grupu (R, +), pak rovnost reálných čísel je kongruence na této grupě. 2. Mějme multiplikativní grupoid (N, ·) a ekvivalenci definovanou rozkladem N na sudá a lichá čísla. Tato ekvivalence je kongruencí na grupoidu (N, ·).

Rejstřík


3. Mějme grupu (Z, +) a pevné číslo m ∈ Z, pak relace definovaná předpisem a ≡ b (mod m) právě, když a a b dávají stejný zbytek při dělení číslem m, je kongruence na (Z, +). 10.3. Věta. Mějme grupoid (G, ·) a ekvivalenci ≡ na množině G. Pro libovolné dvě třídy z G/≡, položme [a] ∗ [b] = [a · b] .

I.10

(85)


Potom (G/≡, ∗) je grupoid právě, když relace ≡ je kongruence. Pokud grupoid (G, ·) je grupou, je (G/≡, ∗) také grupa. Důkaz. Mějme grupoid (G, ·) a ekvivalenci ≡ na G. Množina G/≡ je rozklad G podle ≡ a ∗ je předpis definovaný v naší větě. , , Necht (G/≡, ∗) je grupoid, tedy necht předpis ∗ je operace. Mějme prvky a, b, c, d ∈ G takové, že a ≡ c a b ≡ d. Pro třídy rozkladu G/≡ potom platí [a] = [c] a [b] = [d] a tedy [a] ∗ [b] = [c] ∗ [d]. Podle definice operace ∗ z toho plyne [ab] = [cd], odkud ab ≡ cd. Ekvivalence ≡ splňuje substituční podmínku a je kongruencí. , Obráceně, necht ≡ je kongruence na grupoidu (G, ·). Dokažme, že předpis ∗ přiřazující dvěma třídám [a], [b] ∈ G/≡ třídu [ab] ∈ G/≡ je operací na G/≡. Mějme třídy [a], [b] ∈ G/≡ a prvky c, d ∈ G takové, že c ∈ [a] a d ∈ [b], tedy a ≡ c a b ≡ d. Ze substituční podmínky


Obsah Rejstřík


pro kongruenci ≡ plyne, ab ≡ cd, tedy třídy [ab] = [a] ∗ [b] a [cd] = = [c] ∗ [d] splývají. Předpis ∗ nezávisí na výběru reprezentantů ve třídách, dvojici [a], [b] přiřazuje jediný výsledek [ab], je tedy zobrazením G/≡ × G/≡ → G/≡ a proto je operací na G/≡. Pokud je grupoid (G/≡, ∗) grupou, je zřejmé, že platí asociativní zákon pro operaci ∗. Dále, třída [e], generovaná neutrálním prvkem e ∈ ∈ G je neutrální v (G/≡, ∗). Podobně třída [a−1 ] je inverzní k třídě [a], Grupoid (G/≡, ∗) je grupa. Grupoidu (G/≡, ∗) říkáme faktorový grupoid podle ekvivalence ≡ ≡. Pokud je (G/≡, ∗) grupou, říkáme této grupě faktorová grupa podle ekvivalence ≡. ,

10.4. Věta. Necht ≡ je kongruence na grupě G. Mějme a, b ∈ G, potom a ≡ b implikuje a−1 ≡ b−1 . ,

−1

(86)


−1

Důkaz. Necht a, b ∈ G, a ≡ b. Relace ≡ je reflexivní a tedy a ≡ a a protože ≡ splňuje substituční podmínku tak aa−1 ≡ ba−1 . Protože také b−1 ≡ b−1 , platí b−1 aa−1 ≡ b−1 ba−1 , což můžeme upravit na a−1 ≡ ≡ b−1 . ,

I.10

10.5. Věta. Mějme kongruenci ≡ na grupě G. Necht [e] ∈ G/≡ je třída rozkladu obsahující neutrální prvek e ∈ G. Třída [e] je normální podgrupa grupy G a platí G/[e] ' G/≡.

Obsah Rejstřík


,

Důkaz. Necht a, b ∈ [e] potom platí a ≡ b podle věty 10.4 platí a−1 ≡ ≡ b−1 , ze substituční podmínky dostaneme ab−1 ≡ ba−1 . Relace ≡ je reflexivní, tedy a ≡ a a za opětovného použití substituční podmínky dostaneme ab−1 a ≡ ba−1 a. Potřetí použitá substituční podmínka nám dává ab−1 aa−1 ≡ ba−1 ab−1 . Poslední kongruence se dá přepsat ve tvaru ab−1 ≡ e, tedy ab−1 ∈ [e] a třída [e] je podgrupou v G. Pokud h ≡ e a a ∈ G, pak substituční podmínka a věta 10.4 nám dávají aha−1 ≡ aea−1 , což lze přepsat jako aha−1 ≡ e tedy pokud h ∈ ∈ [e] tak aha−1 ∈ [e] a [e] / G. Mějme [a] ∈ G/≡. Pro každé b ∈ [a] platí a ≡ b tedy a−1 a ≡ ≡ a−1 b, tedy existuje h ∈ [e], h = a−1 b a b = ah a tedy [a] ⊆ a[e] ∈ ∈ G/[e]. Obráceně, mějme a[e] ∈ G/[e]. Pokud b ∈ a[e], pak existuje h ∈ [e] takové, že b = ah a tedy b ≡ ah. Protože h ≡ e a tedy h−1 ≡ e, platí be ≡ ahh−1 , což dává b ≡ a, tedy b ∈ [a] a platí a[e] ⊆ [a]. Dostali jsme rovnost a[e] = [a] pro libovolné a ∈ G a tedy G/[e] ' G/≡. Cvičení k oddílu 10 1. Dokažte, že kongruence celých čísel modulo n je kongruencí na aditivní grupě Z. 2. Která z následujících relací na multiplikativní grupě komplexních čísel C je kongruencí ? a) ρ1 = {(x, y); xy ∈ Q}

I.10

(87)


Obsah Rejstřík


b) ρ2 = {(x, y); x/y ∈ Q}

I.11

(88)

c) ρ3 = {(x, y); x − y ∈ Q} 3. Mějme třídimenzionální vektorový prostor nad R. Dokažte, že rovnoběžnost vektorů je ekvivalence, která není kongruencí na aditivní grupě vektorů (R3 , +). 4. Mějme třídimenzionální vektorový prostor nad R. Dokažte, že rovnoběžnost vektorů je kongruencí na grupoidu (R3 , ×), kde relace × je vektorový součin.


11.

Faktorové grupy

Str. vpřed

Hledejme souvislosti normálních podgrup grupy G a homomorfismů této grupy G → G0 .

Konec Vpřed

0

11.1. Věta. Mějme homomorfismus grup f: G → G . Jádro homomorfismu f je normální podgrupa v G, ker(f) / G. ,

Obsah

Důkaz. Necht h ∈ ker(f), tedy f(h) = e ∈ G . Hledejme obraz prvku aha−1 , kde a ∈ G je libovolný prvek grupy. Platí následující rovnost f(aha−1 ) = f(a)e0 f(a)−1 = e0 , tedy aha−1 ∈ ker(f) a ker(f) / G.

Rejstřík

Pokusme se tuto větu obrátit. Podle věty 10.3 je struktura (G/≡, ∗) kde aN ∗ bN = (ab)N, a, b ∈ G grupou. Následující věta předepíše ke

Okno

0

0

Hledej

Zavřít

každé normální podgrupě N / G homomorfismus p: G → G/N tak, že N = ker(p).

I.11

(89)

11.2. Věta. Mějme normální podgrupu N grupy G a rozklad G/N. Definujme na G/N operaci ∗ předpisem aN ∗ bN = (ab)N , potom (G/N, ∗), je grupa. Zobrazení p definované předpisem p: a 7→ aN


je potom epimorfismus grup G → G/N, jehož jádro je N. Důkaz. Mějme grupu G a její normální podgrupu N. Dokažme, že dvojice (G/N, ∗) je grupa. Součin libovolných dvou prvků a, b ∈ G leží v G a tedy pro každé dvě třídy aN, bN ∈ G/N, součin aN ∗ bN = (ab)N je prvkem z G/N. Uvažujme libovolné prvky a0 ∈ aN a b0 ∈ bN, pak existují c, d ∈ 0 0 ∈ N tak, že a0 = ac a b0 = bd. Pro součin tříd a0 N a N, b N platí ∗ 0 0 0 −1 −1 ∗ b N = (a b )N = (acbd)N = a(bb )cbd N = (ab)(b cb)d N. −1 −1 Protože N / G, platí b cb ∈ N,0 tedy (b 0 cb)d ∈ N a proto platí −1 (ab)(b cb)d N = (ab)N. Pro a ∈ aN a b ∈ bN jsme obdrželi rovnost a0 N ∗ b0 N = aN ∗ bN, a součin dvou tříd aN, bN ∈ G/N tedy nezáleží na výběru reprezentantů z těchto tříd.


Obsah Rejstřík


Pokud máme třídy aN, bN, cN ∈ G/N, potom platí (aN ∗ bN) ∗ ∗ cN = (ab)cN = a(bc)N = aN ∗ (bN ∗ cN) a (G/N, ∗) je pologrupa. Pokud násobíme třídu aN a třídu N = eN dostáváme aN ∗ eN = = (ae)N = aN, třída eN je neutrálním prvkem v (G/N, ∗). Dále aN ∗ ∗ a−1 N = (aa−1 )N = eN a ke každé třídě aN je inverzním prvkem a−1 N. Struktura (G/N, ∗) je grupa. Mějme zobrazení p: a 7→ aN. Toto zobrazení je jistě surjektivní zobrazení G na G/N. Uvažujme prvky a, b ∈ G, p(ab) = (ab)N = aN ∗ ∗ bN = p(a) ∗ p(b), tedy p je epimorfismus. Protože N = eN = hN pro všechny prvky h ∈ N, platí p(h) = eN a , N ⊆ ker(p). Obráceně, necht a ∈ ker(p) potom p(a) = aN = eN, tedy a ∈ N a platí N ⊆ ker(p). Platí tedy N = ker(p).

I.11

(90)


11.3. Poznámka. Z vět 11.2 a 10.3 plyne, že každá normální podgrupa grupy G určuje svým rozkladem na G jednoznačně kongruenci. Pokud vezmeme v úvahu také větu 10.5 existuje mezi kongruencemi a normálními podgrupami jedna-jedna korespondence. Grupě (G/N, ∗) říkáme faktorová grupa grupy G podle normální podgrupy N. Zobrazení p z věty 11.2 je projekce na faktorovou grupu G/N. Podle následující věty je projekce p je zobrazení univerzální, tedy je zobecněním libovolného homomorfismu grupy G.

Vpřed

Obsah Rejstřík


11.4. Věta. (Základní věta o faktorových grupách) Mějme grupy G , a G0 . Necht N je normální podgrupa grupy G a p projekce na faktorovou grupu G/N. Potom pro každý homomorfismus f: G → G0 , pro který platí N ⊆ ker(f) existuje jediný homomorfismus f 0 : G/N → G0 takový, že f = = p ◦ f 0 . Tedy následující diagram komutuje. p

G

- G/N

f

Začátek

f0

Q

(91)

Zpět

Q Q

I.11

Q Q

Str. zpět

? G0

s Q

Jdi na

Důkaz. Mějme N / G a homomorfismus f: G → G0 , kde N ⊆ ker(f). Pro všechny h ∈ N platí f(h) = e0 , neutrální prvek v G0 . Tedy pro každé a0 ∈ aN, a0 = ah, h ∈ N platí f(a0 ) = f(ah) = f(a)f(h) = f(a). Všechny prvky jedné třídy rozkladu G/N mají stejný obraz a můžeme zobrazení f 0 : G/N → G0 definovat předpisem 0

f (aH) = f(a) .


Obsah Rejstřík

Dostáváme

Hledej 0

0

0

(p ◦ f )(a) = f p(a) = f (aH) = f(a) .

(1)

Zobrazení f je jediné zobrazení G/N → G s vlastností f = p ◦ f . 0

0

0

Okno Zavřít

Dále platí

I.11

(92)

f 0 (aH ∗ bH) = f(abH) = f(ab) = f(a)f(b) = f 0 (aH)f 0 (bH) , zobrazení f 0 je homomorfismus.

Zobrazení p je surjekce a tedy z (1) plyne, že pro homomorfismy f a f 0 z předchozí věty platí =f = =f 0 . ,

p

f

f0


Necht i je inzerce =f do G0 , pak g: G/N 7→ =f je izomorfismus a následující diagram komutuje. G

Zpět


- G/N g

Vpřed

(2)

Obsah

? + G0

i

? =f

Dále, N je podgrupa grupy ker(f) a protože N / G, musí platit N / / ker(f). Faktorová grupa ker(f)/N je podgrupou G/N. Přičemž pro všechny aN ∈ ker(f)/N, platí a ∈ ker(f) a f 0 (aN) = f(a) = e0 ∈ ∈ G0 . Tedy ker(f)/N ⊆ ker(f 0 ). A naopak, pokud pro některou třídu

Rejstřík


aN ∈ G/N platí aN ∈ ker(f 0 ), potom f(a) = f 0 (aN) = e0 a aN ∈ ∈ ker(f)/N, tedy ker(f 0 ) ⊆ ker(f)/N a nutně dostáváme

I.11

(93)

ker(f 0 ) = ker(f)/N . Jako důsledek věty 11.4 můžeme vyslovit následující větu o izomorfismu. 11.5. Věta. (První věta o izomorfismu) Mějme surjektivní homomorfismus f: G → G0 . Potom G/ ker(f) je izomorfní s G0 . p

G

- G/ ker(f)


Q Q

f0

Q f

Konec

Q Q s Q

? G0

Vpřed

Obsah Rejstřík

11.6. Věta. (Druhá věta o izomorfismu) Mějme H podgrupu grupy G a normální podgrupu N / G. Potom NH je podgrupa G, H ∩ N je normální v H a zobrazení g: H/H ∩ N → HN/N dané předpisem h(H ∩ N) 7→ hN ,

h∈H


je izomorfismus.

I.11 p2

H p1

- H/H ∩ N g

p10

? + G/N

(94)

i

? HN/N

Důkaz. Uvažujme zobrazení p1 : H → G/N definované předpisem


h 7→ hN.

Jdi na

Zobrazení p1 je restrikcí projekce p: G → G/N na množinu H a je tedy homomorfismus s jádrem

Str. vpřed

ker(p1 ) = H ∩ N a tedy H ∩ N / H. Dokažme nyní, že množina HN je podgrupa v G. Mějme x, y ∈ ∈ HN, tedy existují a1 , a2 ∈ H a b1 , b2 ∈ N takové, že x = a1 b1 a y = a2 b2 . Uvažujme součin xy−1 = a1 b1 (a2 b2 )−1 = a1 b1 b2−1 a−1 2 . Označme prvek b1 b2−1 = b0 ∈ N Protože N / G, pak aNa−1 = N pro všechny a ∈ G a tedy existuje b ∈ N takové, že b0 = a2−1 ba2 a součin xy−1 = a1 a−1 2 b již zřejmě leží v HN.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


Homomorfismus p1 má zřejmě obraz

I.11

(95)

=p1 = HN/N , přičemž i je vnoření HN/N → G/N a podle (2) je HN/N ' H/H ∩ ∩ N. 11.7. Poznámka. Mějme N1 , N2 normální podgrupy v G a podgrupu H takovou, že K = N1 ∩ H = N2 ∩ H potom podle předchozí věty HN1 /N1 ' ' K ' HN2 /N2 . Tedy


HN1 /N1 ' HN2 /N2 .

Jdi na Str. vpřed

11.8. Věta. (Třetí věta o izomorfismu) Mějme normální podgrupy N / / H / G. Potom (G/N) (H/N) ' G/H ,

Konec Vpřed

Obsah

tedy následující diagram komutuje. p

G/N

Rejstřík

- (G/N) (H/N)

Q

Hledej

Q

f0

Q f

Q

Okno

Q s Q

? G/H

Zavřít

Důkaz. Mějme zobrazení f: G/N → G/H, toto zobrazení je epimorfismus s jádrem H/N. Tedy, použijeme-li větu 11.5, dostáváme hledaný izomorfismus. 11.9. Poznámka. Platnost této věty můžeme zobecnit. Mějme grupu G a ¯ Necht, projekce p: G 7→ G ¯ definovaná předpisem její faktorovou grupu G.

I.11

(96)

Zpět

a 7→ [a]

Začátek

¯ ' G/N. Pak existuje má jádro ker(p) = N / G. Z věty 11.5 plyne, že G jedna-jedna korespondence mezi podgrupami grupy G obsahujícími N ¯ Pokud H je podgrupou v G, pak podle věty 11.6 je a podgrupami G. ¯ = {[h]; h ∈ H} = {hN ; h ∈ H} HN podgrupou v G množina tříd H ¯ kde H ¯ = p(HN) = p(H). Pokud máme H1 , H2 dvě je podgrupou v G, ¯ 1 je podgrupou H ¯2 podgrupy v G s vlastností H1 je podgrupou H2 , pak H a navíc


Obsah

¯1 : H ¯2] [H1 : H2 ] = [H ¯ je normální v G. ¯ Potom Podgrupa H je normální v G právě, když H dostáváme ¯ H ¯. G/H ' G/

Rejstřík



I.12

(97)

1. Dokaž, že pro libovolnou konečnou grupu G a libovolný její homomorfismus f: G → G0 platí #G = #=f · # ker(f). 2. Dokažte, že pro dvě konečné grupy G a G0 , pro které platí, že největší společný dělitel #G a #G0 je 1, existuje pouze triviální homomorfismus zobrazující celou grupu G na neutrální prvek v G0 .

Zpět

3. Mějme Cn cyklickou podgrupu grupy ∆n . Dokažte, že ∆n /Cn ' Z2 .

Začátek

4. Dokažte, že 4Z/20Z ' Z5 .

Str. zpět

5. Mějme grupu (Q \ {0}, ·) a její podgrupu ({−1, 1}, ·). Popište faktorovou grupu Q \ {0}/{−1, 1}. 6. Mějme grupu G a její centrum Z(G), Dokažte, že G/Z(G) je izomorfní grupě vnitřních automorfismů In(G). 7. Dokažte, že komutátor grupy G, K(G, je normální podgrupa v G. 8. Popište faktorovou grupu GL2 (R)/SL2 (R). ,

9. Necht S značí množinu reálných skalárních matic stupně 2, S=

a 0

0 a

;

a∈R .


Obsah Rejstřík

Hledej Okno

Popište faktorovou grupu GL2 (R)/S.

Zavřít

12.

Direktní součiny grup

I.12

(98)

12.1. Definice. Mějme grupy G1 a G2 . Struktura (G1 × G2 , ∗) s operací ∗ definovanou předpisem (a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = (a1 b1 , a2 b2 ) , kde a1 , b1 ∈ G1 a a2 , b2 ∈ G2 , je grupa a nazývá se direktní součin grup G1 a G2 .


,

12.2. Věta. Necht H1 a H2 jsou podgrupy grupy G. Zobrazení f: H1 × × H2 → G definované předpisem

Str. vpřed

f ((h1 , h2 )) = h1 h2

Vpřed

pro všechna h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 , je grupový izomorfismus právě, když platí následující podmínky

Obsah

1. H1 H2 = G,

Konec

Rejstřík

2. H1 ∩ H2 = {e},

Hledej

3. pro všechny h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 platí h1 h2 = h2 h1 .

Okno

Důkaz. Pokud f je izomorfismus, pak je zřejmé, že platí podmínky 1–3.

Zavřít

Obráceně, předpokládejme platnost podmínek 1–3. Mějme prvky (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ H1 × H2 , potom f (a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = f (a1 b1 , a2 b2 ) =

I.12

(99)

= a1 b1 a2 b2 což můžeme díky platnosti podmínky 3 přepsat f (a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = a1 a2 b1 b2 = = f (a1 , a2 ) · f (b1 , b2 ) a zobrazení f je homomorfismus. Podmínka 1 zaručuje, že tento homomorfismus je surjektivní. Pro jádro tohoto zobrazení platí (a1 , a2 ) ∈ ∈ ker(f) právě, když a1 a2 = e, odsud a1 = a−1 2 , protože a1 ∈ H1 a a2 ∈ H2 , platí a1 ∈ H1 ∩ H2 = {e}. Tedy ker(f) je jednoprvková množina {(e, e)}, neutrální prvek v G1 × G2 , zobrazení f je injektivní. Ukázali jsme, že f je izomorfismus. ,

12.3. Věta. Necht H1 a H2 jsou podgrupy grupy G. Zobrazení f: H1 × × H2 → G definované předpisem


Obsah Rejstřík

f ((h1 , h2 )) = h1 h2 pro všechna h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 , je grupový izomorfismus právě, když platí následující podmínky 1. H1 H2 = G,


2. H1 ∩ H2 = {e},

I.12

(100)

3. H1 a H2 jsou obě normální v G. Důkaz. Vzhledem k platnosti věty 12.2 stačí dokázat, že pokud platí první dvě podmínky, je podmínka 3 ekvivalentní podmínce 3 z věty 12.2. , Necht platí podmínky 1–3 dokazované věty. Ukažme, že pro všechny h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 platí h1 h2 = h2 h1 . Mějme tedy h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 . Protože H1 je normální podgrupa v G, existuje h01 ∈ H1 takové, že h01 = = h2 h1 h−1 2 odsud h01 h2 = h2 h1 .

(3)

Protože také H2 je normální podgrupou, prvek −1 0 h−1 1 h1 h2 = h1 h2 h1

leží v podgrupě H2 . Vynásobíme-li tuto rovnost zprava prvkem h−1 2 dostáváme −1 −1 0 h−1 1 h1 = h1 h2 h1 h2 ∈ H2 0 Tedy součin h−1 1 h1 leží zároveň v obou podgrupách H1 a H2 . Podle pod0 0 mínky 2 je h−1 1 h1 = e a proto h1 = h1 a podle (3) dostáváme h1 h2 = = h2 h1 a platí podmínka 3 z věty 12.2. , Naopak, necht platí podmínky 1–3 z věty 12.2, dokažme, že obě podgrupy H1 a H2 jsou normální. Mějme h ∈ H1 a libovolné a ∈ G.


Obsah Rejstřík


Podle podmínky 1 existují takové h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 , že a = h1 h2 . Protože platí podmínka 3 z věty 12.2 a tedy h2 h = hh2 , můžeme psát

I.12

(101)

aha−1 = (h1 h2 )h(h1 h2 )−1 = −1 = h1 h2 hh−1 2 h1 = −1 = h1 hh2 h−1 2 h1 =

=

h1 hh−1 1

∈ H1 .

Podgrupa H1 je normální. Podobně dokážeme, že také H2 je normální a platí podmínka 3 z dokazované věty.


Mějme direktní součin grup G1 × G2 . Označme e1 ∈ G1 a e2 ∈ G2 neutrální prvky v grupách G1 a G2 . Je zřejmé, že zobrazení p1 : a1 7→ 7→ (a1 , e2 ) a p2 : a2 7→ (e1 , a2 ) jsou homomorfismy grup

Konec Vpřed

Obsah

p1 : G1 → G1 × G2 ,

p2 : G2 → G1 × G2 .

Větu 12.2 lze zobecnit do následujícího tvrzení. 12.4. Věta. Mějme homomorfismy grup f1 : G1 → G a f2 : G2 → G takové, že f1 (g1 ) · f2 (g2 ) = f2 (g2 ) · f1 (g1 ) pro každé g1 ∈ G1 a g2 ∈ G2 . Potom

Rejstřík


existuje jediný homomorfismus f: G1 × G2 → G, takový, že f1 = p1 ◦ f a f2 = p2 ◦ f. p1

G1

p2

- G1 × G2

I.12

(102)

G2

Q

Q f1

f

Q

f2

Q Q s Q

? + G

Důkaz. Mějme dány homomorfismy f1 : G1 → G a f2 : G2 → G takové, že f1 (a1 ) · f2 (a2 ) = f2 (a2 ) · f1 (a1 ) a uvažujme zobrazení f: G1 × G2 → G dané předpisem (a1 , a2 ) 7→ f1 (a1 ) · f2 (a2 ) .


Platí f (a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = f (a1 b1 , a2 b2 ) = f1 (a1 b2 ) · f2 (a2 b2 ) = = f1 (a1 ) · f1 (b1 ) · f2 (a2 ) · f2 (b2 ) = nyní využijeme, že f1 (b1 ) · f2 (a2 ) = f2 (a2 ) · f1 (b1 ) a dostáváme = f1 (a1 ) · f2 (a2 ) · f1 (b1 ) · f2 (b2 ) = = f (a1 , a2 ) · f (b1 , b2 )

Obsah Rejstřík


Zvolené zobrazení f je homomorfismem G1 × G2 a G. Mějme f 0 libovolný homomorfismus grup G1 × G2 a G takový, že f1 = p1 ◦ f 0 a f2 = p2 ◦ f 0 . Potom f 0 (a1 , a2 ) = f 0 (a1 , e2 ) ∗ (e1 , a2 ) = = f 0 (a1 , e2 ) · f 0 (e1 , a2 ) = = f 0 p1 (a1 ) · f 0 p2 (a2 ) = = f1 (a1 ) · f2 (a2 ) = = f (a1 , a2 )

I.12

(103)


a zobrazení f 0 a f splývají. Homomorfismus f: G1 × G2 → G je tedy určen jednoznačně.


Na úplný závěr ještě jedno zobecnění věty 12.2.

Vpřed

,

12.5. Věta. Necht H1 a H2 jsou podgrupy grupy G takové, že 1. H1 H2 = G,

Obsah

2. pro všechny h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 platí h1 h2 = h2 h1 .

Rejstřík

Potom G/(H1 ∩ H2 ) je izomorfní grupě G/H1 × G/H2 , ve které je násobení definováno předpisem

Hledej

(aH1 , bH2 )(cH1 , dH2 ) = (ac)H1 , (bd)H2 .

Zavřít

Okno

Následující diagram komutuje.

I.12

p

G

(104)

- G/(H1 ∩ H2 )

Q Q

f0

Q f

Q Q s Q

? G/H1 × G/H2

Zpět

Důkaz. Mějme grupu G a její podgrupy H1 , H2 splňující předpoklady naší věty. Nejdříve se zabývejme strukturou G/H1 × G/H2 . Pokud a ∈ ∈ G, pak existují a1 ∈ H1 a a2 ∈ H2 tak, že a = a1 a2 . Třída aH1 = = a1 a2 H1 se díky vlastnosti 2 rovná třídě a2 H1 . Podobně aH2 = a1 H2 . Dostáváme G/H1 × G/H2 = (G \ H1 )/H1 × (G \ H2 )/H2 .

(4)


Mějme a, b ∈ G. Mějme součin tříd definován předpisem (aH1 )(bH2 ) = (ab)H1 .

Obsah

Uvažujme libovolné prvky a0 ∈ aH1 a b0 ∈ bH1 , pak existují g, h ∈ H1 tak, že a0 = ag a b0 = bh. Pro součin tříd a0 H1 , b0 H1 platí (a0 H1 )(b0 H1 ) = = (a0 b0 )H1 = (agbh)H1 toto se díky vlastnosti 2 rovná (ab)H1 . Podobně (a0 H2 )(b0 H2 ) = (ab)H2 . Násobení (aH1 , bH2 )(cH1 , dH2 ) = (ac)H1 , (bd)H2

Rejstřík


ve struktuře G/H1 × G/H2 je nezávislé na volbě reprezentantů jednotli, vých tříd. Ted již je snadné ukázat, že G/H1 × G/H2 tvoří spolu s tímto násobením grupu. Uvažujme zobrazení p: G → G/H1 × G/H2 , pro prvek a ∈ G, a = = a1 a2 , a1 ∈ H1 , a2 ∈ H2 zadané předpisem p: a1 a2 7→ (a2 H1 , a1 H2 ) .

I.12

(105)

Zpět

Pro a, b ∈ G platí


f(ab) = (ab)H1 , (ab)H2 = = (aH1 bH1 , aH2 bH2 ) = = (aH1 , aH2 )(bH1 , bH2 ) =

Jdi na

,

= f(a)f(b)


takže f je homomorfismus a díky (4) je f zřejmě epimorfismus. V grupě G/H1 × G/H2 je neutrální prvek (eH1 , eH2 ), na který se zobrazují právě takové prvky z G které leží v H1 ∩ H2 , tedy ker(f) = H1 ∩ H2 . Nyní už je naše věta důsledkem věty 11.5. Cvičení k oddílu 12

Obsah Rejstřík

Hledej

1. Zapište ∆6 jako direktní součin podgrup.

Okno

2. Zapište Kleinovu čtyřgrupu jako direktní součin podgrup.

Zavřít

3. Ověřte, zda C2 a C4 jsou normální v ∆4 .

I.12

(106)

4. Rozložte na direktní součin aditivní grupu komplexních čísel. 5. Rozložte na direktní součin cyklickou grupu Cp , kde p je prvočíslo. 6. Dokažte, že pokud má grupa G jedinou netriviální normální podgrupu, pak G nelze rozložit na direktní součin podgrup. 7. Pro která n lze rozložit na direktním součin alternující grupu An .

Zpět

,

8. Necht direktním součiny grup G1 × G2 G1 × G3 jsou izomorfní. Dokažte, že G2 je izomorfní G3 . ,

9. Necht G je direktní součin podgrup H1 a H2 . Ukažte, že centrum Z(G) je direktní součin Z(H1 ) a Z(H2 ). ,

10. Necht H1 a H2 jsou podgrupy grupy G takové, že

Začátek Str. zpět Jdi na Str. vpřed

a) H1 H2 = G,

Konec

b) H1 ∩ H2 = e

Vpřed

c) pro všechny h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 platí h1 h2 = h2 h1 . Dokažte, že H1 ' G/H2 a H2 ' G/H1 .

Obsah Rejstřík


II.1

II.

Struktury se dvěma binárními operacemi

(107)


1.

Od okruhu k tělesu

Jdi na Str. vpřed

1.1. Definice. Mějme neprázdnou množinu R a dvě binární operace na R, + a ·, trojici (R, +, ·) nazýváme okruh, jestliže (R, +) je abelovská grupa, (R, ·) je pologrupa a pro všechny trojice a, b, c ∈ R platí distributivní zákony a · (b + c) = a · b + a · c ,

(b + c) · a = b · a + c · a .

Poznamenejme, že operace násobení bude mít v tomto textu vždy vyšší prioritu než sčítání a tedy v zápise (a · b) + c budeme vynechávat závorky a psát jen a · b + c.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


Je-li násobení komutativní operace říkáme, že okruh (R, +, ·) je komutativní. V okruzích budeme obvykle používat pro neutrální prvek aditivní struktury znak 0 a budeme mu říkat nulový prvek okruhu. Pokud existuje neutrální prvek struktury multiplikativní, pak jej obvykle budeme značit 1 a budeme mu říkat jednotkový prvek okruhu R. Mějme okruh R s jednotkovým prvkem 1. Multiplikativní struktura okruhu (R, ·) nemusí být grupou, tedy ke každému prvku nemusí existovat inverze. Prvky okruhu R ke kterým existuje inverzní prvek nazýváme invertibilní nebo také jednotky okruhu1 . Množinu jednotek označme R× . Množina R× tvoří multiplikativní grupu. Okruhu (R, +, ·) ve kterém je množina R jednoprvková, říkáme triviální okruh. O netriviálním okruhu mluvíme, jestliže R je alespoň dvouprvková množina. 1.2. Příklad. 1. Celá čísla s násobením a sčítáním (Z, +, ·) jsou komutativním a okruhem s jednotkou. 2. Pro libovolné n ∈ N je množina zbytkových tříd Zn spolu se sčítáním a násobením zbytkových tříd (Zn , +, ·) komutativním a okruhem s jednotkou.

II.1

(108)


Obsah Rejstřík

Hledej Okno

1

Nezaměňujme jednotkový prvek, tj. prvek neutrální vzhledem k násobení, s jednotkami v okruhu.

Zavřít

3. Množina čtvercových matic stupně n ≥ 2, spolu se sčítáním a násobením matic (Mn (R), +, ·), tvoří nekomutativní kruh s jednotkou.

II.1

(109)

4. Vektorový prostor R3 spolu se sčítáním vektorů a vektorovým součinem (R3 , +, ×) není okruh. Operace · je nekomutativní, neasociativní a neexistuje jednotka. 1.3. Věta. V okruhu (R, +, ·) platí pro všechny a, b ∈ R

Zpět

1. a · 0 = 0 · a = 0,

Začátek

2. (−a)b = a(−b) = −(ab), speciálně (−1)a = −a,

Str. zpět

3. (−a)(−b) = ab, 4. v netriviálních okruzích platí 0 6= 1.

Jdi na Str. vpřed

Důkaz. 1) Mějme libovolný prvek x v okruhu (R, +, ·), potom pro každé a ∈ R platí a0 = a(x − x) = ax − ax = 0. 2) Pro a, b ∈ R máme

Konec

ab + (−a)b = (a − a)b = 0b = 0 ,

Obsah

ab + a(−b) = a(b − b) = a0 = 0 ,

Rejstřík

oba prvky (−a)b a(−b) jsou opačné k ab a tedy jsou si rovny. 3) Platí (−a)(−b) = −a(−b) = −(−ab) = ab. 4) Pokud 0 = 1, pak v souladu s předchozím a = 1a = 0a = 0, pro každé a ∈ R, tedy R je triviální.

Vpřed


Pro zjednodušení zápisu budeme místo a + (−b) psát a − b. Takto definované odčítání je operace na R.

II.1

(110)

V okruhu (R, +, ·) definujme n-násobek prvku a ∈ G, n ∈ Z, n·a=a | +a+ {z· · · + a} . n-krát

Pro 0 ∈ Z položme 0 · a = 0 ∈ R. Podobně jako v kapitole I.6 platí m · a + n · a = (m + n) · a ,

m · (n · a) = (mn) · a .

Protože aditivní struktura okruhu je komutativní grupa, platí n · (a + b) = n · a + n · bi . 1.4. Definice. Říkáme, že okruh R má charakteristiku n, jestliže n je nejmenší nezáporné celé číslo takové, že platí na = 0,

pro každé a ∈ R .

Pokud takovéto n neexistuje říkáme, že okruh má charakteristiku 0. Prvek a okruhu R nazveme dělitel nuly, jestliže existuje prvek b ∈ ∈ R \ {0} tak, že ab = 0. Množinu všech dělitelů nuly značíme z(R). Pokud a 6= 0 jde o netriviální dělitel nuly. Je zřejmé, že nulový prvek okruhu patří množině z(R), říkáme, že je triviálním dělitelem nuly.


Obsah Rejstřík


1.5. Příklad. Mějme okruh matic M2 (R), pak 1 0 0 0 0 = 0 1 0 0 0

II.1

0 0

(111)

,

tedy existují nenulové prvky v M2 (R) jejichž součin dává nulový prvek tohoto okruhu. Zpět

1.6. Definice. Netriviální komutativní okruh ve kterém je součin libovolných nenulových prvků nenulový, tj. a 6= 0

b 6= 0

a

implikuje

ab 6= 0 ,

(5)

Začátek Str. zpět Jdi na Str. vpřed

se nazývá obor integrity.

Konec

Obor integrity je tedy komutativní okruh bez netriviálních dělitelů , nuly. Hledejme ted ekvivalentní podmínky, k podmínce (5). je zřejmé, že podmínku (5) můžeme nahradit podmínkou ab = 0

implikuje

a=0

nebo

b = 0.

1.7. Věta. Netriviální komutativní okruh je obor integrity právě, když pro násobení platí zákon krácení tj. ab = ac

a

a 6= 0

implikuje

b = c.

Vpřed

Obsah Rejstřík


Důkaz. Mějme obor integrity (R, +, ·). Potom pro každé dva nenulové prvky a, b ∈ R platí ab 6= 0. , Necht ab = ac a zároveň a 6= 0. Potom

II.1

(112)

ab = ac ab − ac = 0

Zpět

a(b − c) = 0 .

Začátek

Toto platí právě tehdy, když b − c = 0, tedy b = c. V oboru integrity R platí zákon o krácení. Obráceně, mějme komutativní okruh R ve kterém platí zákon o krácení. Pro každý nenulový prvek a ∈ R platí a0 = 0. Rovnost ab = 0 = = a0 můžeme krátit a tedy ab = 0 implikuje b = 0 a okruh R je oborem integrity.


1.8. Věta. V oboru integrity R má každá rovnice ax = b, a, b ∈ R, nejvýše jedno řešení.

Rejstřík

Důkaz. Pokud v oboru integrity R má rovnice ax = b, a, b ∈ R, řešení, tak je díky zákonu o krácení jediné.

Hledej

1.9. Definice. Okruh (R, +, ·), ve kterém je (R \ {0}, ·) grupou nazýváme tělesem.

Obsah

Okno Zavřít

Je zřejmé, že v těleso musí obsahovat 1 6= 0 a tedy je vždy netriviálním okruhem. Také je snadno vidět, že těleso nemůže obsahovat netriviální dělitele nuly.

II.1

(113)

1.10. Příklad. 1. Celá čísla s násobením a sčítáním (Z, +, ·) jsou oborem integrity. 2. Ve vektorovém prostoru R3 spolu se sčítáním vektorů a vektorovým součinem (R3 , +, ×) jsou každé dva lineárně závislé vektory děliteli nuly.

Zpět Začátek

3. Racionální čísla s násobením a sčítáním (Q, +, ·) jsou komutativním tělesem.

Str. zpět

4. Mějme okruh (Z6 , +, ·), pak zbytkové třídy [2] a [3] jsou děliteli , nuly, nebot 2 · 3 ≡ 0 (mod 6).

Str. vpřed

5. Pro libovolné prvočíslo p je množina zbytkových tříd Zp spolu se sčítáni a násobením zbytkových tříd (Zp , +, ·) komutativním tělesem.

Vpřed

Jdi na

Konec

Obsah Rejstřík

Je-li (R \ {0}, ·) komutativní grupa, hovoříme o komutativním tělese, které se někdy nazývá pole. Následující příklad nám potvrzuje existenci nekomutativního tělesa. Tento případ je však ojedinělý a proto v následujících kapitolách budeme pod pojmem těleso chápat již těleso komutativní, pokud nebude uvedeno jinak.


1.11. Příklad. Ukážeme si jedno zobecnění komplexních čísel, těleso kvaternionů. Definujme Q jako množinu uspořádaných čtveřic reálných čísel, Q = R4 . Pro α ∈ Q, α = (a0 , a1 , a2 , a3 ) a r ∈ R položme rα = αr = = (ra0 , ra1 , ra2 , ra3 ). Pro dva prvky α, β ∈ Q, α = (a0 , a1 , a2 , a3 ), β = (b0 , b1 , b2 , b3 ) definujme součet α + β = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) a součin

II.1

(114)

Zpět Začátek

α · β = (c0 , c1 , c2 , c3 ) ,

Str. zpět Jdi na

kde c0 = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 ,

Str. vpřed

c1 = a0 b1 + a1 b0 + a2 b3 − a3 b2 ,

Konec

c2 = a0 b2 − a1 b3 + a2 b0 + a3 b1 ,

Vpřed

c3 = a0 b3 + a1 b2 − a2 b1 + a3 b0 . Obsah

Pokud označíme bázové kvaterniony 1 = (1, 0, 0, 0) ,

i = (0, 1, 0, 0) ,

j = (0, 0, 1, 0) ,

k = (0, 0, 0, 1) ,

pak každý kvaternion můžeme jednoznačně zapsat ve tvaru α = a0 + a1 i + a2 j + a3 k ,

Rejstřík


přičemž předpis pro násobení můžeme zjednodušit. Pokud si vypíšeme vztahy pro součin bázových prvků

II.1

(115)

i2 = j2 = k2 = −1 , ij = −ji = k

jk = −kj = i ,

ki = −ik = j ,

můžeme kvaterniony násobit podobně jako se násobí polynomy. Je zřejmé, že (Q, +) je grupa a tedy kvaterniony tvoří okruh. Prvek 1 je jednotkou v okruhu kvaternionů. Násobení je asociativní, protože bázové prvky jsou si rovnocenné, stačí dokázat následujících pět rovností (ii)i = i(ii) ,

(ii)j = i(ij) ,

(ij)i = (i(ji)

(ji)i = j(ii) ,

(ij)k = i(jk) .


Ke kvaternionu α = a0 + a1 i + a2 j + a3 k definujme kvaternion sdružený ¯ = a0 − a1 i − a2 j − a3 k , α

Konec

a dále definujme normu kvaternionu α

Obsah

n(α) = α¯ α.

Vpřed

Rejstřík

Je zřejmé, že n(α) = α¯ α = a20 + a21 + a22 + a23 ∈ R a n(α) = 0 pouze pro α = 0. Přestože kvaterniony obecně nekomutují, platí

Hledej

¯α α¯ α=α

Zavřít

Okno

pro libovolný kvaternion α. Nyní už je snadné ukázat, že

II.1

(116)

¯ /n(α) = α ¯ /n(α) α = 1 . α α Tedy ke každému nenulovému kvaternionu α existuje kvaternion in¯ /n(α) a množina kvaternionů je nekomutativní těleso. verzní α−1 = α 1.12. Definice. Mějme okruh (R, +, ·) a podmnožinu S ⊆ R s operacemi ⊕ a tak, že pro každé a, b ∈ S platí a ⊕ b = a + b a a b = a · b. Potom (S, ⊕, ) nazýváme je podokruh okruhu R.


Operace v okruhu i jeho podokruzích budeme obvykle značit stejným symbolem.

Str. vpřed

1.13. Věta. Mějme S ⊆ R. (S, +, ·) je podokruhem okruhu (R, +, ·) právě, když

Vpřed

Konec

1. 0 ∈ S,

Obsah

2. pro každé a ∈ S platí −a ∈ S,

Rejstřík

3. pro všechny a, b ∈ S platí a + b ∈ S, a · b ∈ S. Hledej

Důkaz. Viz věta I.2.3. Podobně z věty I.2.4 lze odvodit větu následující.

Okno Zavřít

1.14. Věta. Mějme S ⊆ R, S 6= ∅. (S, +, ·) je podokruhem okruhu (R, +, ·) právě, když pro všechny a, b ∈ S platí a − b ∈ S a a · b ∈ S.

II.1

(117)

1.15. Definice. Je-li podokruh S tělesa R také tělesem, nazýváme jej podtěleso tělesa Ra. 1.16. Věta. Mějme S ⊆ R, S 6= ∅. (S, +, ·) je podtělesem tělesa (R, +, ·) právě, když 1. pro každé a, b ∈ S platí a − b ∈ S,


2. 1 ∈ S,

Jdi na

3. pro každé a, b ∈ S, b 6= 0 platí ab−1 ∈ S. Důkaz. Dokážeme podobně jako větu I.2.4.

Zpět

Str. vpřed

Je zřejmé, že pokud máme S, S0 podokruhy (podtělesa) okruhu R, pak množina S ∩ S0 je podokruh (podtěleso) okruhu R. 1.17. Příklad. 1. Libovolný okruh (R, +, ·) je svým podokruhem. Také ({0}, +, ·) je podokruhem R. Tyto dva podokruhy se nazývají triviální podokruhy. 2. Množina sudých celých čísel s nulou 2Z, je podokruhem oboru integrity (Z, +, ·), protože také tvoří obor integrity můžeme mluvit o podoboru integrity.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


3. Okruh celých čísel Z je podokruhem tělesa racionálních čísel Q.

II.1

(118)

4. Množina Z[i] Gaussových celých čísel, tj. komplexních čísel tvaru m + ni, kde m, n ∈ Z je podokruh tělesa komplexních čísel. 2

5. Položme Q0 = Q4 . Ukažte, že množina racionálních kvaternionů Q0 , je podtěleso tělesa kvaternionů. Zpět

Cvičení k oddílu 1 1. Mějme okruh (R, +, ·) dokažte, že pro odčítání platí distributivní zákony, a(b − c) = ab − ac ,

(a − b)c = ac − bc .

2. Mějme okruh (R, +, ·) dokažte, že pokud pro každé a ∈ R platí a2 = 0, pak ab = −ba, tedy platí podmínka antikomutativnosti.


,

3. Necht (R, +, ·) je okruh dokažte, že (R, +, ◦) s operací ◦ definovanou předpisem a ◦ b = ab − ba

2

Obsah Rejstřík

je okruh. Jak se bude chovat nová struktura, když původní okruh bude oborem integrity, popřípadě tělesem ?

Hledej

Gauss, Karl Friedrich, 1777–1855, německý matematik, fyzik, astronom.

Zavřít

Okno

,

4. Necht (R, +, ·) je okruh dokažte, že (R, +, ◦) s operací ◦ definovanou předpisem

II.1

(119)

a ◦ b = ab + ba je komutativní okruh. Jak se bude chovat nová struktura, když původní okruh bude oborem integrity, popřípadě tělesem ? 5. Dokažte, že pro libovolné kvaterniony α, β platí ¯ β¯ a αβ = α

¯ + β¯ . α+β =α

6. Dokažte, že pro libovolné kvaterniony α, β a platí n(αβ) = n(α) · n(β) . 7. Které z následujících binárních struktur jsou okruhy ? √ a) ({a + b 2; a, b ∈ Z}, +, ·), b) ({a/2k ; a ∈ Z, k ∈ N0 }, +, ·), √ 3 c) ({a + b 2; a, b ∈ Z}, +, ·). 8. Dokažte, že množina všech čtvercových matic nad Z, Q, R, C tvoří okruh vzhledem k maticovému sčítání a násobení. ,

9. Necht G je množina všech funkcí na intervalu h0, 1i, + je operace sčítání funkcí, ◦ skládání funkcí. Dokažte, že (G, +, ◦) není okruh.


Obsah Rejstřík


,

,

10. Necht k ∈ N a necht Z(k) = {m/n; n ∈ Z \ {0}, m ∈ Z, k - m}. Pro která k je (Z(k), +, ·) okruh ?

II.1

(120)

11. V okruhu Z10 označme T1 = {0, 5} a T2 = {0, 2, 4, 6, 8}. Dokažte, že T1 , T2 jsou podokruhy Z10 , které jsou obory integrity. 12. Na množině R × Z definujme operace ⊕, ⊗ následovně. Zpět

(a, z) ⊕ (b, v) = (a + b, z + v) ,

Začátek

(a, z) ⊗ (b, v) = a(b + v) + zb, zv .

Rozhodněte, zda (R × Z, ⊕, ⊗) je okruh. Určete nulový a jednotkový prvek ve struktuře (R × Z, ⊕, ⊗) . 13. Rozhodněte a dokažte, které z následujících číselných množin tvoří vzhledem k aritmetickým operacím +, · těleso. √ a) {a + b 3; a, b ∈ Q}, √ √ 3 b) {a + b 3 + c 3 9; a, b, c ∈ Q}, c) {a ∈ Q; a ≤ 0}, d) {a + b i; a, b ∈ R, b ≥ 0}. 14. Dokažte, že každý podokruh tělesa je obor integrity. 15. Dokažte, že podmnožina konečného tělesa je podtělesem právě tehdy, když je uzavřená vzhledem na aditivní a multiplikativní operaci okruhu a obsahuje více než jeden prvek.


Obsah Rejstřík


,

16. Necht R je obor integrity charakteristiky p. Dokažte, že pro všechna a, b ∈ R platí (a + b)p = ap + bp .

II.2

(121)

17. Určete charakteristiky okruhů Z2 , Z3 , Z5 , Z6 , Z8 .

2.

Okruh polynomů

V této kapitole zavedeme jednu důležitou třídu okruhů, okruhy polynomů. ,

2.1. Definice. Necht R je komutativní okruh s jednotkovým prvkem 1. Množinu všech nekonečných posloupností


(f0 , f1 , . . . , fk , . . .), prvků okruhu R takových, že až na konečný počet platí fi = 0, i ∈ N0 označíme R[x]. Prvky f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) množiny R[x]nazýváme polynomy nad okruhem R a jednotlivé členy posloupnosti koeficienty polynomu.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík

,

2.2. Definice. Necht R je komutativní okruh, R[x] množina všech poly, nomů nad okruhem R. Necht f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) je nenulový prvek množiny R[x]. Potom největší přirozené číslo d, pro které platí fd 6= 0 nazveme stupeň polynomu f a značíme deg f.


,

Na množině R[x] zavedeme součet dvou polynomů. Necht f = = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a g = (g0 , g1 , . . . , gk , . . .) jsou prvky R[x]. Potom

II.2

(122)

f + g = (f0 + g0 , f1 + g1 , . . . , fk + gk , . . .) . 2.3. Věta. (R[x], +) tvoří abelovskou grupu. ,

Důkaz. Necht f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a g = (g0 , g1 , . . . , gk , . . .) jsou prvky R[X]. Pro každé i ∈ N0 platí fi + gi ∈ R, odtud

Zpět

f + g = (f0 + g0 , f1 + g1 , . . . , fk + gk , . . .) ∈ R[x]

Začátek

a tedy množina R[x] je uzavřená vzhledem k operaci sčítání. Asociativnost a komutativita této operace triviálně plyne z asociativity a komutativity sčítání v okruhu R. Nyní tedy zbývá dokázat existenci neutrálního a inverzních prvků. Uvažujme libovolný polynom f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a polynom o = (0, 0, . . . , 0, . . .), jehož všechny koeficienty jsou rovny 0. Potom f + o = (f0 + 0, f1 + 0, . . . , fk + 0, . . .) = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) = f ,


o je neutrálním prvkem v R[x]. Nyní uvažujme libovolný polynom f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a polynom −f = (−f0 , −f1 , . . . , −fk , . . .), jehož jednotlivé koeficienty jsou prvky opačné ke koeficientům polynomu f. Potom

Rejstřík

f + (−f) = (f0 + (−f0 ), f1 + (−f1 ), . . . , fk + (−fk ), . . .)

Hledej

Obsah

= (0, 0, . . . , )

Okno

=o

Zavřít

a tedy −f je inverzní prvek k polynomu f v R[x].

II.2

(123)

,

Definujme na R[x] součin! polynomůsoučin polynomů. Necht f = = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a g = (g0 , g1 , . . . , gk , . . .) jsou prvky R[x]. Potom f · g = (h1 , h2 , . . . , hk , . . .) , Zpět

kde

Začátek

hk =

k X

Str. zpět

fi gk−i =

i=0

X

fi g j ,

k ∈ N.

i+j=k

Jdi na Str. vpřed

2.4. Věta. (R[x], ·) je monoid. ,

Důkaz. Necht f = (f0 , f1 , . . . , fk , . . .) a g = (g0 , g1 , . . . , gk , . . .) jsou Pk prvky R[x]. Položme h = f · g. Protože hk = i=0 fi gk−i ∈ R platí, že množina R[x] je uzavřená vzhledem k operaci násobení. Asociativnost této operace triviálně plyne z asociativity násobení v okruhu R. Neutrálním prvkem v R[x] vzhledem násobení je zřejmě polynom (1, 0, 0, . . .), značme jej stejně jako jednotkový prvek okruhu R symbolem 1. Na základě předchozích vět vidíme, že binární struktura (R[x], +, ·) je okruh, který nazýváme okruh polynomů nad R.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


,

2.5. Věta. Necht f, g jsou nenulové polynomy nad okruhem R, deg f = n, deg g = m, kde n, m ∈ N0 . Potom deg(f + g) ≤ max(n, m)

a

II.2

(124)

deg(f · g) ≤ n + m .

Důkaz. Můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že n ≥ m. Potom v součtu f + g = (f0 + g0 , f1 + g1 , . . . , fm + gm , . . . , fn + gn , . . .) . je fn 6= 0 a fk = gk = 0, k > n tedy fn + gn je poslední koeficient polynomu f + g který může být nenulový. Potom deg(f + g) ≤ n = = max(n, m). Uvažujme polynom h = f · g. X hk = fi gj , k ∈ N. i+j=k


Obsah

Protože fi = gj = 0 pro všechna i > n a j > m je každý koeficient hk polynomu h s indexem k > n + m je zřejmě roven nule a deg(fg) ≤ ≤ n + m.

Rejstřík

Označme x = (0, 1, 0, 0, . . .). Násobíme-li tento polynom sám sebou, dostáváme polynom x2 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .), pro který f2 = 1 a

Okno

Hledej

Zavřít

ostatní koeficienty jsou nulové. Indukcí můžeme tento postup zobecnit pro n-tou mocninu polynomu x.

II.2

(125)

xn = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .) , | {z } n členů

kde pouze fn = 1 a ostatní koeficienty jsou nulové. Každému prvku a ∈ R můžeme přiřadit prvek z R[x] a 7→ (a, 0, 0, 0, . . .) . Nyní můžeme definovat definovat násobení polynomu f ∈ R[x] prvkem a ∈ R, stejně jako násobení dvou polynomů, tedy po složkách. Je-li tedy f = (f0 , f1 , f2 , . . .) a a = (a, 0, 0, . . .) pak af = (af0 , af1 , af2 , . . .). , Ted již můžeme pomocí polynomů x, x2 , . . . , xn , . . . ∈ R[x] a přiřazení polynomu (a, 0, 0, . . .) prvkům a ∈ R, každý polynom f ∈ R[x], stupně n, f = (f0 , f1 , . . . , fn , 0, . . .) psát ve tvaru f = f0 + f1 x + · · · + fn x n , čím dostáváme pro praktickou práci užitečnější zápis polynomu f.


Obsah Rejstřík

Cvičení k oddílu 2 Ve cvičeních se některými pojmy odkazujeme na pozdější kapitoly. K ta, kovým cvičením at se čtenář vrací později. 1. Dokažte, že pro okruhy polynomů nad tělesem R platí: 2

2

a) R[x]/(x − 1) ' R[x]/(x − 4),


b) R[x]/(x2 + 1) ' R[x]/(x2 + 2x + 2).

II.3

(126)

2. Sestrojte izomorfismy okruhů Z[x]/(3) ' Z3 a Z[x]/(6) ' Z6 [x]. 3. Dokažte, že (x) je prvoideál, ale ne maximální ideál okruhu Z[x]. 4. Najděte všechny automorfismy okruhu Q[x]. 5. Dokažte, že množina všech polynomů z okruhu Z[x], jejichž absolutní člen, tj. první člen posloupnosti f0 , je sudý, je ideálem okruhu Z[x], který není hlavním ideálem. 6. Dokažte, že pro těleso R je okruh R[x] oborem integrity.


3.

Homomorfismy a ideály

Str. vpřed Konec

3.1. Definice. Homomorfismem okruhů (R, +, ·) a (R0 , ⊕, ) rozumíme zobrazení f: R → R0 , které pro všechna a, b ∈ R splňuje vlastnosti f(a + b) = f(a) ⊕ f(b)

a

f(a · b) = f(a) f(b)

(6)

Homomorfismus okruhů (R, +, ·) a (R0 , ⊕, ) je tedy homomorfismem mezi aditivními grupami i multiplikativními pologrupami obou okruhů.

Vpřed

Obsah Rejstřík


Je-li homomorfismus okruhů injektivním zobrazením, nazveme jej monomorfismem okruhů, je-li homomorfismus surjektivní, nazveme jej epimorfismem okruhů a splňuje-li obě vlastnosti najednou, nazveme jej izomorfismem okruhů. Speciálním případem izomorfismu je automorfismus okruhů, izomorfismus okruhu sám na sebe. Mějme surjektivní zobrazení f okruhu (R, +, ·) na libovolnou strukturu se dvěma binárními operacemi (R0 , ⊕, ) tak, že f splňuje vlastnost (6). Ze str. 43 víme, že homomorfním obrazem naší aditivní abelovské grupy je abelovská grupa, podobně je zachována asociativnost pro násobení. Dále

II.3

(127)


f(a) f(b) ⊕ f(c) = f(a) f(b + c) = f a · (b + c) = = f(a · b + a · c) = f(a · b) ⊕ f(a · c) = = f(a) f(b) ⊕ f(a) f(c) .


Obsah

Ve struktuře (R0 , ⊕, ) platí levý distributivní zákon, obdobně lze odvodit platnost pravého distributivního zákona a proto (R0 , ⊕, ), homomorfní obraz okruhu (R, +, ·), je také okruh. ,

Necht R, R0 , R00 jsou okruhy, zobrazení f : R → R0 a g : R0 → R00 jsou homomorfismy okruhů. Potom, podobně jako u grup, také složení těchto homomorfismů g ◦ f: R → R00 je homomorfismem okruhů.

Rejstřík


3.2. Definice. Jádrem homomorfismu f okruhů R a R0 nazýváme množinu ker(f) prvků okruhu R, jejichž obrazem je nulový prvek 00 v okruhu R0 , tedy

II.3

(128)

ker(f) = {a ∈ R; f(a) = 00 ∈ R0 } . Podmnožinu =f ⊆ R0 všech prvků z R0 , které mají vzor v R, nazveme obrazem homomorfismu f. ,

3.3. Věta. Necht R, R0 jsou okruhy a zobrazení f: R → R0 je homomorfismem okruhů. Potom f je monomorfismus okruhů právě tehdy, když platí ker(f) = {0}. Zobrazení f je epimorfismus právě tehdy, když =f = R0 . Předchozí větu dokážeme podobně jako I.4.5. Jádro homomorfismu f okruhů R a R0 je jádrem homomorfismu aditivních grup (R, +) a (R0 , ⊕) a podle věty I.4.4 je ker(f) aditivní grupou, která je podle věty I.11.1 normální podgrupou v (R, +). Mějme a ∈ ker(f) a r ∈ R, potom 00 = 00 f(r) = f(a) f(r) = f(a · r) a tedy a · r ∈ ker(f) a podobně r · a ∈ ker(f). Jádra homomorfismů okruhu R tedy patří do speciální třídy podokruhů v R. 3.4. Definice. Podmnožina I okruhu R se nazývá ideálokruhu R, značíme I / R, jestliže


Obsah Rejstřík

Hledej

1. pro všechna a, b ∈ I platí a − b ∈ I,

Okno

2. pro všechna r ∈ R a a ∈ I platí ar, ra ∈ I.

Zavřít

Vlastnost 2, můžeme vyslovit i ve slabší formě. Pokud pro všechna a ∈ I a r ∈ R platí ar ∈ I, pak I nazýváme levý ideál. Podobně, pokud pro všechny a ∈ I a r ∈ R platí ra ∈ I, pak I nazýváme pravý ideál.

II.3

(129)

Je zřejmé, že triviální podokruhy {0} a R jsou ideály v (R, +, ·), tyto ideály nazýváme nevlastní ideály okruhu R. 3.5. Věta. Jestliže (I, +, ·) je ideál okruhu (R, +, ·), potom (I, +) je normální podgrupa aditivní grupy (R, +). Důkaz. Mějme I ideál okruhu (R, +, ·). Z věty 2.4 plyne, že (I, +) je podgrupou komutativní grupy (R, +). Každá komutativní grupa má všechny podgrupy normální, tedy nemáme dále co dokazovat. 3.6. Věta. Každý ideál I okruhu (R, +, ·) je vzhledem k operacím + a · podokruhem okruhu R. Důkaz. Již víme, že (I, +) je grupa. Z druhé vlastnosti definice ideálu je zřejmé, že množina I je uzavřená vzhledem na násobení a (I, ·) grupoid. Asociativita v (I, ·) plyne z asociativity v (R, ·) a tedy (I, +, ·) je podokruh. 3.7. Příklad. Množina sudých celých čísel s nulou 2Z, je ideálem okruhu (Z, +, ·). Ovšem množina lichých čísel ideálem není. Obecněji, každý ideál okruhu Z je nZ množina násobků nějakého čísla n ∈ Z. (Dokažte.)


Obsah Rejstřík


,

,

3.8. Věta. Necht f je homomorfismus okruhů R a R0 . Necht I je ideálem okruhu R. Potom homomorfní obraz ideálu I je ideálem v okruhu f(R) ⊆ ⊆ R0 .

II.3

(130)

,

Důkaz. Necht f je homomorfismus okruhů R, R0 a I / R. Mějme x, y ∈ I, r ∈ R a označme f(x) = x0 , f(y) = y0 a f(r) = r 0 . Potom platí x0 − y0 = f(x) − f(y) = f(x − y) ∈ f(I)

Zpět

a také

Začátek

r 0 x0 = r 0 f(x) = f(rx) ∈ f(I) .

Str. zpět

Odtud f(I) / f(R). ,

3.9. Věta. Necht (R, +, ·) je okruh, I, J jsou jeho ideály, potom množina I ∩ J je ideálem okruhu R. Ideál I ∩ J nazveme průnik ideálů I, J. ,

Důkaz. Mějme okruh (R, +, ·) a jeho ideály I, J. Necht x, y ∈ I ∩ J. Potom x, y ∈ I a x − y ∈ I. Podobně x, y ∈ J a x − y ∈ J. Dostáváme tedy x − y ∈ I ∩ J. Mějme x ∈ I ∩ J a r ∈ R. Platí x ∈ I a tedy rx ∈ I. Také x ∈ J a tedy rx ∈ J. Proto rx ∈ I ∩ J. Množina I ∩ J je tedy ideálem. 3.10. Definice. Mějme okruh (R, +, ·) a množinu M ⊆ R. Ideál (M) s vlastnostmi


Obsah Rejstřík

Hledej

1. M ⊆ (M),

Okno

2. pro všechny ideály I takové, že M ⊆ I platí (M) ⊆ I,

Zavřít

nazveme ideál generovaný množinou M3 . Mějme okruh (R, +, ·) a prvek a ∈ R. Ideál generovaný jednoprvkovou množinou ({a}), značme jej pro jednoduchost (a), nazveme hlavní ideál okruhu R generovaný prvkem a. Protože průnik ideálů je opět ideálem, je zřejmé, že platí následující tvrzení. 3.11. Věta. Ideál generovaný množinou M je roven průniku všech ideálů obsahujících množinu M. ,

3.12. Věta. Necht (R, +, ·) je komutativní okruh s jednotkovým prvkem a , necht M = {a1 , a2 , . . . , an }. Potom (M) = {r1 a1 + r2 a2 + · · · + rn an ; r1 , r2 , . . . , rn ∈ R} .

II.3

(131)


Důkaz. Označme I = {r1 a1 + r2 a2 + · · · + rn an ; r1 , r2 , . . . , rn ∈ R}. Je zřejmé, že I ⊆ (M). Mějme a, b ∈ I potom existují x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R tak, že a = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an

a

b = y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an .

Obsah Rejstřík

Hledej Okno

3

Z kontextu je vždy jasné, kdy jde o ideál generovaný množinou a kdy mají kulatém závorky běžný význam.

Zavřít

Platí

II.3

(132)

a − b = (x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an )− − (y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an ) = = (x1 − y1 )a1 + (x2 − y2 )a2 + · · · + (xn − yn )an , kde (xi − yi ) ∈ R, pro všechna i = 1, . . . , n, a tedy a − b ∈ I. Dále

Zpět

ra = r(x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an ) =

Začátek

= (rx1 )a1 + (rx2 )a2 + · · · + (rxn )an

Str. zpět

kde rxi ∈ R, pro všechna i = 1, . . . , n, a tedy ra ∈ I. Množina I je ideál. Protože R obsahuje nulový a jednotkový prvek je snadné ukázat, že M ⊆ I. Podle definice ideálu (M) tedy I = (M). ,

3.13. Věta. Necht (R, +, ·) je komutativní okruh s jednotkovým prvkem. Mějme a ∈ R, potom (a) = {ra; r ∈ R}. Důkaz. Věta je přímým důsledkem předchozího.


Obsah Rejstřík

3.14. Příklad. 1. Nevlastní ideály okruhu R generované nulovým a jednotkovým prvkem jsou hlavními ideály. Konkrétně (0) = {0}

a

(1) = R.


2. Uvažujme okruh celých čísel Z. Potom pro každé n ∈ Z je nZ hlavní ideál okruhu Z, (n) = nZ.

II.3

(133)

3. Mějme okruh 2Z a jeho hlavní ideál (6). V tomto okruhu neexistuje jednotkový prvek, množina {6r ; r ∈ 2Z} neobsahuje prvek 6 a tedy (6) * {6r ; r ∈ 2Z}. ,

3.15. Věta. Necht (R, +, ·) je okruh, I, J jsou jeho ideály. Potom množina I + J = {x + y ; x ∈ I, y ∈ J} je ideálem okruhu R a I + J = (I ∪ J). Ideál I + J nazveme součet ideálů I, J. ,

Důkaz. Mějme okruh (R, +, ·) a jeho ideály I, J. Necht a, b ∈ I + J, tedy a = x1 + y1 a b = x2 + y2 , kde x1 , x2 ∈ I a y1 , y2 ∈ J, pak a − b = = (x1 + y1 ) − (x2 + y2 ) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) přičemž (x1 − x2 ) ∈ I a (y1 − y2 ) ∈ J, tedy a − b ∈ I + J. Podobně, mějme r ∈ R, pak ra = r(x1 + y1 ) = rx1 + ry1 . Protože rx1 ∈ I a ry1 ∈ J platí ra ∈ I + J. Množina I + J je ideál okruhu R. Nulový prvek okruhu R leží v každém ideálu a tedy 0 ∈ I, J, proto I, J ⊆ I + J a tedy (I ∪ J) ⊆ I + J. Obráceně, mějme a = x + y ∈ I + J, pak x, y ∈ I ∪ J a tedy x + y ∈ (I ∪ J) a platí I + J ⊆ (I ∪ J). ,

3.16. Věta. Necht R je okruh s jednotkovým prvkem 1, I je ideál okruhu R. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní. 1. I = R,


Obsah Rejstřík


2. I ∩ R× 6= ∅,

II.3

(134)

3. 1 ∈ I. Důkaz. Mějme R okruh s jednotkovým prvkem. Prvek 1 je invertibilní, tedy R× 6= ∅. Jestliže I = R a R× 6= ∅, potom triviálně I ∩ R× 6= ∅. , Necht I ∩ R× 6= ∅, pak v ideálu I existuje prvek x invertibilní v okruhu R, tedy 1 = x−1 x ∈ I Pokud 1 ∈ I pak pro každé r ∈ R platí r = r1 ∈ I a I = R. 3.17. Věta. Okruh R s jednotkovým prvkem je tělesem právě tehdy, když obsahuje pouze nevlastní ideály. Důkaz. Mějme okruh (R, +, ·) s jednotkovým prvkem. Množina R ob, sahuje prvek 1 a je tedy neprázdná. Necht R obsahuje pouze nevlastní × ideály. Mějme x ∈ R \ R . Množina (x) = {rx; r ∈ R} je ideál (viz hlavní ideál). Protože x ∈ / R musí podle předpokladů (x) = {0} a tedy x = 1x = 0. Množina invertibilních prvků R× je tedy rovna R \ {0} a proto (R \ {0}, ·) je grupa a (R, +, ·) je těleso. V tělese (R, +, ·) je (R \ {0}, ·) grupou a tedy R \ {0} = R× . Každý ideál I 6= {0} v tělese R má tedy neprázdný průnik s R× a podle předchozí věty I = R. Těleso R tedy obsahuje pouze nevlastní ideály. ×

3.18. Věta. Každý konečný obor integrity je tělesem.


Obsah Rejstřík


Důkaz. Stačí dokázat, že v konečném oboru integrity R neexistují vlastní , ideály. Necht I je ideál oboru integrity R, I 6= (0). Potom pro libovolné , a ∈ I je aR ⊆ I. Necht a 6= 0, protože v oboru integrity lze nenulovým prvkem krátit, platí ar = ar 0 právě, když r = r 0 . Zobrazení fa : x 7→ ax je bijekce R → aR a dostáváme, že aR má stejný počet prvků jako R a tedy I = R a R je těleso.

II.3

(135)

Zpět Začátek

Cvičení k oddílu 3 1. Dokažte, že množina matic a+bi c +di ; a, b, c, d ∈ R ⊆ GL2 (C) −c + d i a − b i


je izomorfní tělesu kvaternionů.

Konec

2. Ukažte, že následující zobrazení jsou izomorfismy okruhů. √ √ √ √ a) f: Z[ 3] → Z[ 3] , a + b 3 7→ a − b 3 , b) g: C → C ,

a + bi 7→ a − bi .

Vpřed

√

3. Ukažte, že neexistuje surjektivní homomorfismus okruhů Z[ 2] a √ Z[ 3].

Obsah Rejstřík

,

4. Necht R je okruh všech ohraničených funkcí jedné reálné proměnné , na intervalu ha, bi pro a 6= b. Necht X ⊆ ha, bi, X 6= ∅. Dokažte, že množina I = {f ∈ R; f(x) = 0, pro každé x ∈ X} je ideálem okruhu R.


,

5. Necht I, J jsou ideály okruhu R. Ukažte, že množina I ∪ J nemusí být ideálem okruhu R.

II.3

(136)

6. Dokažte, že v okruhu (Z[i], +, ·), kde Z[i] = {a + b i; a, b ∈ Z} , jsou množiny A = {2a; a ∈ Z[i]}, B = {(1 + i)b; b ∈ Z[i]} a C = = {5c; c ∈ Z[i]} ideály tohoto okruhu. 7. Popište hlavní ideály v okruzích bez jednotkového prvku. 8. Určete všechny hlavní ideály v okruzích Z4 , Z6 , Z10 . √ √ √ 9. Dokažte, že v okruhu (Z[ 5], +, ·), kde Z[√ 5] = {a + b 5; a, b ∈ ∈ Z}, ideál generovaný množinou {2, 1 − 5} není hlavní.


10. Dokažte, že každý ideál okruhu celých čísel Z je hlavní ideál.

Konec

11. Najděte všechny ideály okruhu Z × Z. (Prvky okruhu sčítáme a násobíme po složkách.)

Vpřed

,

12. Necht R, R0 jsou tělesa. Potom okruh R × R0 má právě čtyři ideály. Dokažte. (Operace v okruhu R × R0 probíhají po složkách. )

Obsah Rejstřík

13. Dokažte následující větu. Neprázdná podmnožina komutativního okruhu R je ideálem právě tehdy, když s každou dvojicí prvků a, b obsahuje i jejich lineární kombinace, tedy všechny prvky tvaru r1 a + + r2 b, kde r1 , r2 ∈ R.

Hledej

14. Nalezněte všechny ideály Z48 uspořádejte je množinovou inkluzí.

Zavřít

Okno

15. Dokažte, že množina všech hlavních ideálů oboru integrity (R, +, ·) je monoidem vzhledem na binární operaci (a), (b) 7→ (a · b).

II.4

(137)

,

16. Necht (R, +, ·) je okruh, I1 , . . . In , n ∈ N jsou jeho ideály. Dokažte, Tn že množina i=1 Ii je ideálem okruhu R. ,

17. Necht (R, +, ·) je okruh, I1 , . . . In , n ∈ N jsou jeho ideály. Dokažte, Pn že množina i=1 Ii je ideálem okruhu R. ,

18. Necht (R, +, ·) je okruh, I1 , . . . In , n ∈ N jsou jeho ideály. Dokažte, Sn že množina i=1 Ii nemusí být ideálem okruhu R.


4.

Faktorové okruhy

Podobně jako souvisejí ideál a normální podgrupa, zavedeme odpovídající pojem k faktorové grupě. Mějme okruh (R, +, ·) a jeho ideál I. Pro a ∈ R označme a + I = {a + h; h ∈ I} .


Obsah Rejstřík

,

4.1. Věta. Necht I je ideál okruhu R. Množina R/I = {a + I ; a ∈ R} . tvoří rozklad množiny R.


Důkaz. Z věty 3.5 víme, že pokud I je ideálem okruhu R, potom (I, +) je normální podgrupa aditivní grupy (R, +). Z věty I.8.1 vyplývá, že potom R/I tvoří rozklad množiny R.

II.4

(138)

4.2. Věta. Mějme okruh (R, +, ·) a jeho ideál I. (R/I, ⊕, ), kde a + I ⊕ b + I = (a + b) + I a + I b + I = ab + I je okruh. Zobrazení p definované předpisem p: a 7→ a + I


je epimorfismus okruhů R a R/I, jehož jádro je I. Důkaz. Mějme okruh R a jeho ideál I. Protože (I, +) je normální podgrupa aditivní grupy okruhu R je podle věty I.11.2 (R/I, ⊕) grupa s neutrálním prvkem 0 + I = I a k prvku a + I je opačný prvek −a + I. , Necht a, b ∈ R. Mějme a0 ∈ a + I a b0 ∈ b + I. Potom existují c, d ∈ ∈ I tak, že a0 = a + c a b0 = b + d. Protože c + I = I = d + I jsou nulové prvky v R/I, součin tříd a0 + I b0 + I = (a + c) + I (b + d) + I = = (a + I ⊕ c + I) (b + I ⊕ d + I) = a + I b + I je nezávislý na výběru reprezentantů z jednotlivých tříd. Nyní již je snadné ukázat, že násobení v R/I je asociativní, a že v R/I platí distributivní zákony.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík


Zobrazení p je zřejmě epimorfismus okruhů R a R/I jehož jádro je ker(p) = I.

II.4

(139)

,

4.3. Definice. Necht I je ideál okruhu R. Potom okruh (R/I, ⊕, ) nazveme faktorový okruh okruhu R podle ideálu I. Pokud bude z kontextu zřejmé o jaké operace jde, budeme v okruhu R/I značit operace běžnými znaménky + a ·, přičemž operátor pro násobení budeme zpravidla vynechávat.


4.4. Příklad. Už jsme se setkali s množinou zbytkových tříd modulo n, Zn . Spolu s operacemi a (mod n) ⊕ b (mod n) = (a + b) (mod n) a a (mod n) b (mod n) = ab (mod n) je to faktorový okruh okruhu Z podle hlavního ideálu (n) = nZ, často se také píše Zn = Z/nZ.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík

4.5. Věta. V okruhu R platí R/R = {R} a R/(0) = R. Hledej

Důkaz. Tvrzení je zřejmé, jen malá poznámka. Rozklad R/R tvoří jediná třída obsahující všechny prvky okruhu R. V rozkladu R/(0) jsou třídy jednoprvkové.

Okno Zavřít

,

4.6. Věta. (o izomorfismu okruhů) Necht f: R → R0 je epimorfismus okruhů R, R0 . Potom R0 je izomorfní R/ ker(f). p - R/ ker(f) R Q Q Q f0 f Q Q ? s Q R0

II.4

(140)

Zpět Začátek

Důkaz. Mějme epimorfismus okruhů f: R → R0 . Na základě toho, že jádro homomorfismu f je ideálem a z věty 4.2 víme, že existuje epimorfismus p: R → R/ ker(f). p: a 7→ a + ker(f) Uvažujme zobrazení f 0 : R/ ker(f) → R0 , f 0 : x + ker(f) 7→ f(x) , a dokažme, že f 0 je izomorfismem okruhů. Mějme x, y ∈ R. Potom f 0 x + ker(f) + f 0 y + ker(f) = f x + f y = =f x+y = 0

= f (x + y) + ker(f) = = f 0 x + ker(f) + y + ker(f)


Obsah Rejstřík


a také

II.4

(141)

f 0 x ker(f) f 0 y ker(f) = f x f y = = f xy = = f 0 xy + ker(f) = = f 0 x + ker(f) y + ker(f) . Zobrazení f 0 je homomorfismus okruhů. Je zřejmé, že =f 0 = R0 a ker(f)0 = {0 + ker(f)} a tedy f 0 je izomorfismus. 4.7. Definice. Mějme okruh (R, +, ·). Ekvivalenci na množině R splňující substituční pravidlo vzhledem k oběma operacím okruhu R nazýváme kongruence v okruhu R.


,

4.8. Věta. Necht R je okruh a (I, +) je podgrupa (R, +). Potom relace ρI ⊆ R × R

Obsah Rejstřík

ρI = {(a, b); a − b ∈ I} je ekvivalence na R. Relace ρI je kongruence právě, když I je ideálem okruhu R. Důkaz. Uvažujme okruh R, podgrupu (I, +) grupy (R, +) a relaci ρI .


,

Necht x je libovolný prvek okruhu R. Potom x − x = 0 ∈ I a (x, x) ∈ ρI tedy ρI je reflexivní. , Necht x, y jsou libovolné prvky okruhu R takové, že (x, y) ∈ ρI . Potom x − y ∈ I a protože I je grupa, také opačný prvek −(x − y) = = y − x leží v množině I. Relace ρI je symetrická. , Necht prvky x, y, z jsou z okruhu R takové, že (x, y) ∈ ρI a (y, z) ∈ ∈ ρI . Potom x − y ∈ I a y − z ∈ I a také jejich součet (x − y) + (y − − z) = x − z leží v množině I. Relace ρI je také tranzitivní a tedy je ekvivalence. Nyní dokažme druhou část věty. Předpokládejme, že I je ideál. Pro prvky a, b ∈ R platí a − b ∈ I právě, když a ∈ b + I a rozklady R/ρI a R/I splývají. Z toho, že součet a součin v R/I nezávisí na výběru reprezentantů je zřejmé, že relace ρI splňuje substituční podmínky pro sčítání i násobení v R. Předpokládejme, že relace ρI je kongruence. Mějme r ∈ R a a ∈ I. Potom (r, r) ∈ ρI a také (a, 0) ∈ ρI . Z platnosti substituční podmínky pro součin dostáváme (ra, r0) ∈ ρI a tedy ra − r0 = ra − 0 = ra leží v I. Aditivní grupa I je tedy ideálem v R. 4.9. Poznámka. Mějme kongruenci ρI na okruhu R podle ideálu I. Situaci (x, y) ∈ ρI značme zjednodušeně x≡y

(mod I) .

II.4

(142)


Obsah Rejstřík


,

Uved me si nyní v souhrnu již dokázané vlastnosti této relace. ,

II.4

(143)

,

1. Substituční podmínky. Necht x, y, u, v ∈ R a necht x ≡ y (mod I) a u ≡ v (mod I), potom x+u≡y+v

(mod I) ,

a

(mod I) .

xu ≡ yv ,

,

2. Speciální případ substitučních podmínek. Necht x, y, u ∈ R a necht x ≡ y (mod I), potom x+u≡y+u

(mod I) ,

a

xu ≡ yu

(mod I) .


4.10. Příklad. Kongruence modulo n na celých číslech je speciálním případem kongruence modulo ideál. Stačí si uvědomit, že pro n ∈ Z je (n) hlavní ideál.

Konec Vpřed

Obsah

Cvičení k oddílu 4 1. Sestrojte faktorový okruh Z6 /I kde I = {0, 2, 4}. 2. Uvažujme okruh R = (Z[i], +, ·), kde a ideály A = {2a; a ∈ Z[i]}, B = {(1 + i)b; b ∈ Z[i]} a C = {5c; c ∈ Z[i]}. Rozhodněte, zda faktorové okruhy R/A, R/B a R/C jsou oborem integrity, popřípadě tělesem.

Rejstřík


3. Mějme okruh Z[i], sestrojte faktorový okruh Z[i]/(2 + i).

II.5

(144)

,

4. Necht R je komutativní okruh, I, J jeho ideály. Dokažte, že jestliže I + J = R a I ∩ J = {0}, potom okruh (R, +, ·) je izomorfní s okruhem (I × J, +, ·).(Prvky okruhu I × J sčítáme a násobíme po složkách.) 5. Dokažte, že násobky prvku 5 z okruhu Z10 tvoří okruh izomorfní s okruhem Z2 . ,

6. Necht I, J jsou ideály komutativního okruhu R a platí I + J = R. Dokažte, že R/(I ∩ J) ' R/I × R/J .


5.

Prvoideály a maximální ideály Obsah

5.1. Definice. Mějme okruh (R, +, ·). Podmnožinu S ⊆ R nazveme multiplikativně uzavřenou podmnožinou množiny R jestliže S · S = {s1 s2 ; s1 , s2 ∈ S} ⊆ S .

Rejstřík


,

5.2. Definice. Necht R je okruh. Potom ideál P 6= R okruhu R nazveme prvoideál, jestliže R \ P je multiplikativně uzavřená množina. Množinu všech prvoideálů okruhu R nazýváme spektrum okruhu a značíme spec(R). 5.3. Věta. Ideál P okruhu R je prvoideálem právě tehdy, když platí P 6= R a pro všechny x, y ∈ R platí

II.5

(145)

Zpět Začátek

xy ∈ P

implikuje

x∈P

nebo

y∈P.

Str. zpět Jdi na

,

Důkaz. Necht P je prvoideálem okruhu R, potom z definice plyne P 6= R. Předpokládejme, že existují prvky x, y okruhu R tak, že xy ∈ P . Protože R \ P je multiplikativně uzavřená musí alespoň jeden z x, y ležet mimo R \ P , tedy x ∈ P nebo y ∈ P . Opačná implikace je zřejmá. ,

5.4. Definice. Necht (R, +, ·) je okruh, I, J jsou jeho ideály. Ideál IJ = = ({xy ; x ∈ I, y ∈ J}) nazveme součin!ideálůsoučin ideálů I, J. 5.5. Poznámka. Mějme dva ideály I, J okruhu R. Je zřejmé, že IJ ⊆ I a zároveň IJ ⊆ J, tedy IJ ⊆ I ∩ J.


Obsah Rejstřík


,

5.6. Věta. Necht P je ideál okruhu R. Potom P je prvoideálem právě tehdy, když pro každé dva ideály I, J okruhu R platí IJ ⊂ P

implikuje

I⊂P

nebo

II.5

(146)

J⊂P.

,

Důkaz. Necht P je prvoideál a I, J jsou ideály v okruhu R takové, že IJ ⊂ P . Předpokládejme, že I * P a uvažujme prvek x ∈ I \ P . Protože IJ ⊂ P , platí pro každé y ∈ J, že xy ∈ P a protože P je prvoideál a x 6∈ P platí y ∈ P a tedy J ⊂ P . Mějme ideál P okruhu R. Předpokládejme, že pro každé dva ideály I, J okruhu R platí IJ ⊂ P , potom I ⊂ P nebo J ⊂ P . Uvažujme prvky x, y ∈ R takové, že xy ∈ P . Také pro hlavní ideály generované prvky x, y platí (x)(y) ⊂ P , potom (x) ⊂ P nebo (y) ⊂ P . Potom také x ∈ P nebo y ∈ P a podle věty 5.3 je P prvoideál.


5.7. Poznámka. Mějme prvoideál P okruhu R. Pro dva ideály I, J okruhu , R nastane rovnost IJ = P právě, když bud I = P nebo J = P . ,

Obsah

5.8. Věta. Necht I je ideálem okruhu R. Třída a + I je dělitelem nuly v okruhu R/I právě tehdy, když existuje b ∈ R \ I tak, že ab ∈ I.

Rejstřík

Důkaz. Prvek a + I je dělitelem nuly ve faktorovém okruhu R/I právě tehdy, když existuje prvek b + I ∈ R/I, b + I 6= 0 + I tak, že

Hledej

(a + I)(b + I) = ab + I = 0 + I .

Zavřít

Okno

Podmínka b + I 6= 0 + I je ekvivalentní podmínce b ∈ / I a podmínka ab + I = 0 + I je ekvivalentní podmínce ab ∈ I.

II.5

(147)

,

5.9. Věta. Necht I je ideálem komutativního okruhu R. Potom platí, že R/I je obor integrity právě tehdy, když I je prvoideál. Důkaz. Pokud R je komutativní, tak R/I je také komutativní. , Mějme ideál I okruhu R. Necht R/I je obor integrity. Potom R/I nemá netriviální dělitele nuly, tedy z(R/I) = {0 + I} . Uvažujme prvky a, b ∈ R takové, že ab ∈ I. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že b ∈ / I potom podle věty 5.8 a + I ∈ z(R/I), tedy a + I = 0 + I, což nastane pouze tehdy, když a ∈ I. Podle věty 5.3 je ideál I je prvoideálem. Předpokládejme, že R/I není oborem integrity. Potom existuje prvek a + I ∈ z(R/I), a + I 6= 0 + I, tedy a ∈ / I. Podle věty 5.8 existuje b ∈ R \ I tak, že ab ∈ I. Existuje tedy dvojice prvků a, b tak, že ab ∈ I a a, b ∈ / I, a podle věty 5.3 ideál I není prvoideálem. 5.10. Definice. Ideál M okruhu R nazveme maximální, jestliže M 6= R pro každý ideál I takový, že M ⊆ I ⊆ R platí I = M nebo I = R. Množinu všech maximálních ideálů okruhu R značíme max(R).


Obsah Rejstřík


,

5.11. Věta. Necht I je ideálem komutativního okruhu R s jednotkovým prvkem 1. Třída a + I je invertibilní v R/I, a + I ∈ (R/I)× , právě tehdy, když (a) + I = R. Důkaz. Je zřejmé, že 1 + I je jednotkový prvek v okruhu R/I. Jestliže a + I ∈ (R/I)× potom existuje b + I ∈ R/I tak, že (a + I)(b + I) = 1 + I. Označme ab − 1 = z. Protože ab + I = 1 + I, platí ab ∈ 1 + I a tedy z ∈ I a také −Z ∈ I, proto ab − z = 1 ∈ (a) + I. Potom z věty 3.16 plyne, že (a) + I = R. , Obráceně. Necht (a) + I = R = (1). Potom existuje z ∈ I, b ∈ R tak, že ab + z = 1. Potom 1 + I = (ab + z) + I = (ab + I) + (z + I) = = (ab + I) + (0 + I) = ab + I = = (a + I)(b + I) a tímto jsme našli v okruhu R/I pro prvek (a + I) inverzní prvek (b + I) a tedy (a + I) ∈ (R/I)× .

II.5

(148)


Obsah

,

5.12. Věta. Necht I je ideálem komutativního okruhu R s jednotkovým prvkem 1. Ideál I je maximální ideál právě tehdy, když R/I je těleso.

Rejstřík

,

Důkaz. Necht I je maximálním ideálem komutativního okruhu R s jednotkovým prvkem. Potom pro každé a ∈ R \ I platí (a) + I = R a tedy podle věty 5.11 je každá nenulová třída v R/I invertibilní. Obrácená implikace je již zřejmá.


5.13. Věta. Každý maximální ideál komutativního okruhu R s jednotkovým prvkem je prvoideálem. Důkaz. Mějme maximální ideál M komutativního okruhu R s jednotkovým prvkem. Uvažujme prvky x, y ∈ R takové, že xy ∈ M. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že x ∈ / M. Protože xy ∈ M je součin prvků (x + M)(y + M) = xy + M nulový prvek v R/M. Jelikož těleso R/M nemá dělitele nuly a x + M není nulový prvek v R/M, musí být y + M nulový prvek v R/M a tedy y ∈ M a M je podle věty 5.3 prvoideál. 5.14. Poznámka. Při důkazu předchozí věty nám také stačí uvážit platnost vět 5.9, 5.12 a tvrzení, že každé komutativní těleso je oborem integrity. ,

5.15. Věta. Mějme okruh R, necht S je multiplikativně uzavřená podmnožina v R a I je ideál okruhu R takový, že I ∩ S = ∅. Uvažujme množinu Ω = {J ; J / R, I ⊂ J, J ∩ S = ∅}. Množina Ω má maximální prvek a platí, že tento je prvoideálem. Důkaz. Důkaz existence maximálního prvku v množině Ω plyne z Zornova lemmatu o existenci maximálního prvku v částečně uspořádaných množinách. Tato problematika zasahuje mimo rámec našeho skripta a proto provedení této části důkazu ponecháváme zvídavým čtenářům.

II.5

(149)


Obsah Rejstřík


Nyní předpokládejme, že ideál P je maximálním prvkem množiny Ω. Předpokládejme, že P není prvoideálem. Potom musí existovat prvky a, b ∈ R \ P takové, že ab ∈ P . Součty ideálů P + (a) a P + (b) jsou ideály okruhu R, přičemž P je vlastní podmnožinou těchto ideálů P ⊂ ⊂ P + (a), P ⊂ P + (b) , tedy P + (a) 6∈ Ω ,

P + (b) 6∈ Ω

a protože J ⊂ P + (a), J ⊂ P + (b) platí (P + (a)) ∩ S 6= ∅ ,

(P + (b)) ∩ S 6= ∅ .

Existují tedy prvky p1 , p2 ∈ P, x1 , x2 ∈ R tak, že p1 + ax1 ∈ S,

p2 + bx2 ∈ S

a protože S je multiplikativně uzavřená množina platí, že z = (p1 + ax1 )(p2 + bx2 ) ∈ S. Potom ovšem z = p1 p2 + p1 bx2 + p2 ax1 + abx1 x2 ∈ P což je spor s tvrzením P ∩ S = ∅.

II.5

(150)


Obsah Rejstřík

Hledej

5.16. Poznámka. Podle předchozí věty je každý vlastní ideál I komutativního okruhu R s jednotkou je obsažen v nějakém prvoideálu téhož okruhu.

Okno Zavřít


II.5

(151)

1. Dokažte, že ideál (p) v okruhu Z je prvoideálem právě tehdy, když p je prvočíslo. ,

2. Necht R je okruh všech spojitých funkcí na intervalu ha, bi, a 6= b. , Necht c ∈ ha, bi. a) Dokažte, že množina I = {f ∈ R; f(c) = 0} tvoří maximální ideál v R. ,

b) Necht d ∈ ha, bi, c < d. Dokažte, že množina J = {f ∈ ∈ R; f(x) = 0 pro každé x ∈ hc, di} netvoří maximální ideál v R. ,

3. Necht I je ideálem konečného okruhu R. Dokažte I je prvoideál právě tehdy, když je maximálním ideálem. 4. Ukažte, že ideál (2 + i) je v okruhu Z[i] Gaussových celých čísel maximální.


,

5. Necht f je homomorfismus okruhů R, R0 . Dokažte nebo popřete následující tvrzení. a) Vzorem prvoideálu I 0 / R0 je prvoideál I / R. b) Je-li f surjektivní, pak vzorem maximálního ideálu I 0 / R0 je maximální ideál I / R. c) Je-li f surjektivní, pak vzorem maximálního ideálu I 0 / R0 je maximální ideál I / R.

Obsah Rejstřík


6.

Dělitelnost v oboru integrity

V této a následujících kapitolách budeme zkoumat speciální vlastnosti oborů integrity. Obor integrity s jednotkovým prvkem budeme značit D. V okruhu D tedy budeme mít zaručenu existenci jednotkového prvku různého od prvku nulového, komutativitu násobení, neexistenci dělitelů nuly a v neposlední řadě budeme mít možnost krácení v D. 6.1. Definice. Mějme dva prvky a, b ∈ D. Nech existuje r ∈ D takové, že a = br ,

II.6

(152)


potom říkáme, že prvek b je dělitelem prvku a popřípadě, že a je dělitelný b, značíme b | a. Jednotky bychom nyní mohli zadefinovat jako prvky které jsou dělitelé 1. Pokud j ∈ D× je jednotka, pak pro libovolné a ∈ D platí a = = j(j −1 a) a jednotka je dělitel všech prvků oboru integrity D. ,

6.2. Věta. Necht a, b, c, d ∈ D. Potom


Obsah Rejstřík

1. a | a, 2. a | b a b | c, potom a | c,

Hledej

3. ac | bc a c 6= 0, potom a | b,

Okno

4. a | b a c | d, potom ac | bd,

Zavřít

5. ab | c, potom a | c a b | c,

II.6

(153)

6. c | a a c | b, potom pro všechna s1 , s2 ∈ D c | (as1 + bs2 ), 7. c | a a c | b, potom c | (a + b) a c | (a − b). ,

Důkaz. Necht a, b, c, d ∈ D. Vlastnost reflexivita a tranzitivita relace | je zřejmá. , 3) Necht ac | bc a c 6= 0, potom existuje r ∈ D tak, že bc = (ac)r a díky komutativitě a protože nenulovým prvkem lze krátit dostáváme b = ar a a | b. , 4) Necht a | b a c | d, potom existují r, s ∈ D tak, že b = ar a d = cs. Pak bc = (ar)(cs) = (ac)(rs) a ac | bd. , 5) Necht ab | c, potom existuje r ∈ D tak, že c = (ab)r a také c = a(br) = b(ar) a tedy a | c a b | c. , 6) Necht c | a a c | b, potom potom existují r1 , r2 ∈ D tak, že a = cr1 a b = cr2 , tedy pro všechna s1 , s2 ∈ D platí as1 = (cr1 )s1 a bs2 = (cr2 )s2 a také as1 + bs2 = (cr1 )s1 + (cr2 )s2 = c(r1 s1 + r2 s2 ) a c | (as1 + bs2 ). 7) Je přímým důsledkem vlastnosti 6.


Obsah Rejstřík

6.3. Definice. Mějme dva prvky a, b ∈ D. Pokud existují r, s ∈ D tak, že a = br ,

a

b = as ,

tedy, když b | a a zároveň a | b, říkáme, že prvky a, b jsou asociovány, značíme a k b.


Relace „býti asociován“ je navíc symetrická, takže „býti asociován“ je ekvivalence. Rozklad množiny D podle této ekvivalence obsahuje třídu všech jednotek D× , tj. a k 1 právě když a ∈ D× . Uvažujeme rozklad D/D× , aditivní grupy (D, +) podle normální podgrupy D× . Pokud b ∈ ∈ aD× , pak b = aj, j ∈ D× a také a = bj −1 a a k b. Obráceně, pokud a k b, pak existují r, s ∈ D tak, že a = br a b = as a tedy a = (as)r a protože v oboru integrity D lze krátit, tak 1 = sr, s, r ∈ D× a b ∈ aD× . Rozklady D/k a D/D× splývají. V důsledku toho platí následující věta. 6.4. Věta. Prvky a, b ∈ D jsou asociované právě, když existuje jednotka j ∈ D× taková, že a = bj. ,

6.5. Definice. Necht pro a, b ∈ D platí b | a. Prvku b říkáme vlastní dělitel prvku a, jestliže b ∈ / D× a b ∦ a. Jednotky a prvky s a asociované jsou nevlastní, nebo také triviální dělitelé prvku a.

II.6

(154)


×

6.6. Definice. Prvek a ∈ D \ D nazýváme ireducibilní, jestliže je dělitelný jen jednotkami a svými asociovanými prvky tedy, když nemá vlastní dělitele. Je zřejmé, že prvek a ∈ D je ireducibilní právě, když pro všechny b, c ∈ D, a = bc nastane jediná z možností b ∈ D× nebo c ∈ D× . 6.7. Věta. Každý prvek asociovaný s ireducibilním prvkem a ∈ D je ireducibilní.

Obsah Rejstřík


,

Důkaz. Necht a ∈ D je ireducibilní prvek. Mějme b k a. Pokud c | d, , potom c | a a tedy bud to c ∈ D× , nebo c k a a tedy c k d. Prvek d tak nemá vlastní dělitele.

II.6

(155)

6.8. Definice. Prvek p ∈ D \ D× je prvočinitel, jestliže z p | ab plyne p | a nebo p | b. Zpět

6.9. Věta. Každý prvek r ∈ D asociovaný s prvočinitelem p ∈ D je také prvočinitel. ,

Důkaz. Mějme prvočinitel p ∈ D. Necht r ∈ D, r k p. Předpokládejme, že r | ab, protože p | r a relace | je tranzitivní platí r | ab. Jelikož p je prvočinitel, tak p | a nebo p | b. Předpokládejme bez újmy na obecnosti, že p | a. Potom protože r | p a relace | je tranzitivní platí tedy r | a a prvek r je tedy prvočinitel.


6.10. Věta. Mějme p ∈ D prvočinitel, potom p je ireducibilní prvek. ,

Důkaz. Necht a je dělitel prvočinitele p, potom existuje b ∈ D takové, že p = ab. Protože p | p platí p | ab a tedy p | a nebo p | b. Pokud p | a tak p k a a není vlastní dělitel. Pokud p | b, tak p k b a a ∈ D× a a opět není vlastní dělitel. 6.11. Poznámka. Obrácená věta neplatí. V další kapitole budeme hledat charakteristické vlastnosti těch okruhů, kde tuto větu lze obrátit.

Obsah Rejstřík


6.12. Definice. Největším společným dělitelem prvků a, b ∈ D nazveme prvek d ∈ D takový, že

II.6

(156)

1. d | a a d | b, 2. jestliže existuje c ∈ D takové, že c | a a c | b pak c | d. Pokud největší společný dělitel dvou prvků a, b existuje, značíme jej gcd(a, b), nebo také jenom d = (a, b). Říkáme, že prvky a, b ∈ D jsou nesoudělné, jestliže gcd(a, b) = 1. 6.13. Věta. Pro prvky a, b, c ∈ D platí


1. pokud d = gcd(a, b) a d0 = gcd(a, b), potom d k d0 ,

Jdi na

2. pokud d = gcd(a, b) a d k d0 , potom d0 = gcd(a, b).

Str. vpřed Konec

Předchozí tvrzení, jehož důkaz je zřejmý, nám říká, že gcd(a, b), pokud existuje, je určen „jednoznačně“ jako třída asociovaných prvků v rozkladu D/D× . ,

6.14. Věta. Necht existuje největší společný dělitel pro každou dvojici prvků z D, potom pro všechna a, b, c ∈ D platí

Vpřed

Obsah Rejstřík

1. gcd(ac, bc) = gcd(a, b)c, 2. gcd gcd(a, b), c = gcd a, gcd(b, c) ,

Hledej

3. jestliže a | bc a gcd(a, b) = 1 potom a | c.

Zavřít

Okno

Důkaz. 1) Mějme a, b, c ∈ D. Platí gcd(a, b) | ac a také gcd(a, b) | bc, tedy gcd(a, b) | gcd(ac, bc). Také c | gcd(ac, bc), takže

II.7

(157)

gcd(a, b)c | gcd(ac, bc) . Naopak a | gcd(a, b), c | c tedy ac | gcd(a, b)c. Podobně bc | gcd(a, b)c a platí gcd(ac, bc) | gcd(a, b)c .

Zpět Začátek

Prvky gcd(ac, bc) a gcd(a, b)c jsou asociované a podle 6.13 tedy

Str. zpět Jdi na

gcd(ac, bc) = gcd(a, b)c .

Str. vpřed

2) Platí gcd gcd(a, b), c dělí všechny tři prvky a, b, c, tedy

Konec Vpřed

gcd gcd(a, b), c | gcd a, gcd(b, c) . Obsah

Podobně

gcd a, gcd(b, c) | gcd gcd(a, b), c . Z 6.13 tedy plyne námi dokazovaná rovnost. , 3) Necht a | bc a gcd(a, b) = 1. Uvažujme gcd(ac, bc). Podle 1 platí gcd(ac, bc) = gcd(a, b)c a tedy c = gcd(ac, bc). Podle předpokladů a | bc a triviálně a | ac proto musí platit a | gcd(ac, bc) = c.

Rejstřík


7.

Gaussovy okruhy

7.1. Věta. Pokud každý řetězec prvků a1 , a2 , . . . , an , . . . takový, že ai+1 je vlastní dělitel ai , i = 1, 2, . . . , n, . . ., je konečný, potom lze každý prvek a ∈ D vyjádřit jako součin konečného počtu ireducibilních prvků.

II.7

(158)

Zpět

,

Důkaz. 1) Necht platí předpoklad naší věty. Dokažme, že potom pro každý prvek a ∈ D existuje alespoň jeden ireducibilní dělitel prvku a. Pokud a je ireducibilní nemáme co dokazovat. Předpokládejme tedy, že a není ireducibilní. Potom existuje a1 , vlastní dělitel prvku a. Pokračujme v úvahách o ireducibilitě prvku a1 . Podle předpokladu musíme po konečném počtu kroků dojít k prvku an takovému, že an | an−1 | · · · | | a1 | a, který již nemá vlastní dělitele. 2) Hledejme nyní rozklad prvku a na součin ireducibilních činitelů. Pokud a je ireducibilní, je tento rozklad jednoprvkový. Pokud a není ireducibilní má podle první části důkazu alespoň jeden vlastní ireducibilní , dělitel p1 a můžeme psát a = p1 a1 . Necht ani prvek a1 není ireducibilní. Potom také a1 má vlastní ireducibilní dělitel p2 a a = p1 p2 a2 . Platí ovšem také a2 | a1 . Uvažujme podobně o prvku a2 atd. Díky předpokladu naší věty musíme po konečném počtu kroků obdržet a = = p1 p2 · · · pn an , kde pi jsou ireducibilní dělitelé prvků ai−1 a an nemá vlastní dělitele, je také ireducibilní.


Obsah Rejstřík


7.2. Definice. O dvou rozkladech prvku a ∈ D na součin ireducibilních činitelů a = a1 a2 · · · an , a = b1 b2 · · · bm říkáme, že jsou asociované, jestliže m = n a při vhodném očíslování ai k bi , i = 1, 2, . . . , n.

II.7

(159)

7.3. Věta. Pokud lze každý prvek a ∈ D vyjádřit jako součin konečného počtu ireducibilních prvků, pak následující podmínky jsou ekvivalentní. 1. Každý ireducibilní prvek z D je prvočinitelem. 2. Každé dva rozklady prvku a ∈ D na součin ireducibilních prvků jsou asociované. 3. Ke každé dvojici prvků a, b ∈ D existuje jejich největší společný dělitel d = gcd(a, b), Důkaz. I. Předpokládejme platnost podmínky 1. Podle 7.1 pro každé a ∈ ∈ D existuje rozklad na ireducibilní prvky. Dokazujme indukcí podle počtu prvků tohoto rozkladu, že všechny tyto rozklady jsou asociované. Pro n = 1 dostáváme a = p1 je ireducibilní prvek a tedy neexistuje žádný další rozklad prvku a. , Necht n = k. Předpokládejme, že pokud má prvek a rozklad na k a méně ireducibilních prvků, jsou každé dva rozklady prvku a asociované. , Předpokládejme n = k + 1. Necht prvek a má dva rozklady a = p1 p2 · · · pn ,

a = r1 r2 · · · rm .

na součin ireducibilních prvků. Protože ireducibilní prvek p1 je také prvočinitel, musí v součinu r1 r2 · · · rm existovat prvek ri takový, že p1 | ri ,


Obsah Rejstřík


tedy ri = p1 s pro nějaké s ∈ D. Prvek ri je ovšem ireducibilní a tedy s je jednotka a p1 k ri . Protože D je komutativní, můžeme bez újmy na obecnosti přečíslovat prvky r1 r2 · · · rm tak, že p1 k r1 . Platí

II.7

(160)

p1 p2 · · · pn = r1 r2 · · · rm = p1 sr2 · · · rm Zpět

a protože v D lze krátit dostáváme

Začátek

a0 = p2 · · · pn = sr2 · · · rm . Prvek a0 má podle indukčního předpokladu asociované rozklady a tedy n − 1 = m − 1 a při vhodném očíslování pi k ri , i = 2, 3, . . . n. Tedy také rozklady prvku a jsou asociované. II. Podle 7.1 pro každé a ∈ D existuje rozklad na ireducibilní prvky. Předpokládejme platnost podmínky 2 a dokažme podmínku 3. Mějme a, b ∈ D a jejich rozklady na součin ireducibilních prvků


Obsah Rejstřík

a = p1 p2 · · · pn ,

b = r1 r2 · · · rm . Hledej

Nalezněme prvky d1 , d2 , . . . , dk tak, aby pro každé di , i ∈ {1, 2, . . . , k} existovalo x ∈ {p1 , p2 , . . . , pn , r1 , r2 , . . . , rm } pro které di k x a také obráceně, aby pro každé x ∈ {p1 , p2 , . . . , pn , r1 , r2 , . . . , rm } existovalo

Okno Zavřít

,

di , i ∈ {1, 2, . . . , k} takové, že di k x. Zároveň at platí di ∦ dj pro i 6= j, i, j ∈ {1, 2, . . . , k}. Potom u

u

u

v

v

II.7

(161)

v

b = j 0 d11 d22 · · · dkk .

a = jd1 1 d2 2 · · · dkk ,

kde j, j 0 jsou vhodné jednotky a ui , vi , i ∈ {1, 2, . . . , k}, jsou nezáporná celá čísla. Je zřejmé, že w

w

w

gcd(a, b) = d1 1 d2 2 · · · dk k ,


kde wi = min(ui , vi ), i ∈ {1, 2, . . . , k}.

Jdi na

III. Předpokládejme, že ke každým dvěma prvkům z D existuje nej, větší společný dělitel. Necht p je ireducibilní prvek takový, že p | ab. Pokud p - a pak gcd(p, a) = 1 a podle věty 6.14 podmínky 3 platí p | b a tedy p je prvočinitel.

Str. vpřed

7.4. Definice. Obor integrity D s jednotkovým prvkem nazveme Gaussův okruh, jestliže lze každý prvek a ∈ D vyjádřit jako součin konečného počtu ireducibilních prvků a platí jedna z podmínek 1–3 z věty 7.3.

Obsah

7.5. Poznámka. To, že ve větě 7.3 podmínka 3 implikuje podmínku 1 není závislé na předpokladu existence konečných rozkladů na ireducibilní prvky.

Konec Vpřed

Rejstřík



II.8

(162)

1. Dokažte, že pro a, b ∈ D platí, pokud b | a, pak gcd(a, b) = b, 2. Dokažte, že pokud platí gcd(a, b) = 1 a gcd(a, c) = 1, potom gcd(a, bc) = 1.

8.

Okruhy hlavních ideálů


8.1. Definice. Obor integrity D s jednotkovým prvkem 1 nazveme okruh hlavních ideálů, jestliže každý ideál okruhu D je hlavní.

Jdi na Str. vpřed

8.2. Věta. Každý okruh hlavních ideálů je Gaussovým okruhem.

Konec

Důkaz. Uvažujeme-li prvky a, b okruhu D. Podmínka b | a je ekvivalentní s a = bc, c ∈ D a to je ekvivalentní (a) ⊆ (b). Obdobně, podmínka a k b je ekvivalentní podmínce (a) = (b). 1) Nejprve dokažme, že v okruhu hlavních ideálů je každá posloupnost vlastních dělitelů konečná tedy, že podle věty 7.1 existuje ke každému prvku rozklad na součin ireducibilních činitelů. Nyní uvažujme posloupnost nenulových prvků okruhu D

Vpřed

Obsah Rejstřík

Hledej Okno

a1 , a2 . . . , ai , . . .

Zavřít

tak, že ai+1 | ai pro každé i ∈ N. Potom dostáváme následující posloupnost ideálů okruhu D

II.8

(163)

(a1 ) ⊆ · · · ⊆ (ai ) ⊆ · · · . Vytvoříme-li množinové sjednocení této posloupnosti, dostaneme opět hlavní ideál okruhu D, označme jej (b). Prvek b je prvkem sjednocení neklesající posloupnosti ideálů, potom musí být obsažen v některém z ideálů této posloupnosti, označme jej (an ). Potom pro každé i ≥ n platí (b) ⊆ (ai ) a zároveň (ai ) ⊆ (b), odtud (ai ) = (b). Dokázali jsme tedy, že v dané posloupnosti nenulových prvků okruhu jsou vzájemně asociovány všechny prvky ai pro i ≥ n a tedy posloupnost vlastních dělitelů a1 , a2 . . . , ai , . . . je konečná. 2) Dokažme, že v okruhu hlavních ideálů D existuje největší společný dělitel pro každou dvojici a, b ∈ D. Mějme prvky a, b okruhu D a (a), (b) hlavní ideály generované těmito prvky. Uvažujme ideál (d) (d) = {ar + bs; r, s ∈ R} .


Obsah Rejstřík

Potom platí (a) ⊆ (d)

a zároveň

(b) ⊆ (d) .

Protože a = a · 1 + b · 0 ∈ (d) a b = a · 0 + b · 1 ∈ (d), je (a) ⊆ (d) a (b) ⊆ (d) a tedy prvek d je tedy společným dělitelem prvků a, b.


Uvažujme jiný společný dělitel c prvků a, b. Potom (c) ⊇ (a) a (c) ⊇ ⊇ (b), takže ideál (c) musí obsahovat všechny prvky tvaru ar + bs a tedy (c) ⊇ (d). Prvek d je největší společný dělitel prvků a, b. 8.3. Definice. Obor integrity D s jednotkovým prvkem 1 nazveme Euklidovský4 okruh, jestliže pro každý nenulový prvek x okruhu D existuje nezáporné celé číslo n(x), které nazýváme norma prvku x a pro libovolné dva prvky x, y ∈ D, y 6= 0 existují prvky q, r ∈ D tak, že x = yq + r , přičemž r = 0 nebo n(r) < n(y). 8.4. Příklad. 1. (Z, +, ·) je Euklidovský okruh. Definujme pro každé celé číslo a ∈ Z jeho normu jako absolutní hodnotu tohoto čísla. Druhá podmínka definice euklidovského okruhu je běžné dělení se zbytkem. 2. Okruh gaussových celých čísel Z[i] je euklidovským okruhem s normou n(a + b i) = a2 + b2 , tj. n(z) = |z|2 . Druhá podmínka z definice euklidovského okruhu plyne z této úvahy. Pokud máme pevné y ∈ ∈ Z[i], y 6= 0, tak pro všechny q ∈ Z[i] tvoří yq v gaussově rovině vrcholy čtvercové sítě, kde strana čtverce je dlouhá |y|.√Tedy pro libovolné x ∈ Z[i] existuje q tak, že platí |x − yq| ≤ |y|/ 2. 4

Euklides, 3 stol. př. n. l., řecký matematik.

II.8

(164)


Obsah Rejstřík


,

8.5. Věta. Necht R je komutativní těleso, potom obor integrity R[x] polynomů jedné neurčité nad R je Euklidovský okruh.

II.8

(165)

Důkaz. Definujme pro libovolný polynom f ∈ R[x] normu n(f) jako , stupeň polynomu f. Necht f, g jsou polynomy okruhu R[x] takové, že f(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , g(x) = b0 + b1 + x + · · · + bm xn , kde g(x) 6= 0 a n(f) = n, n(g) = m, tedy an 6= 0 a bm 6= 0. Hledejme polynomy q, r ∈ R[x] takové, že f = gq + r a r(x) = 0 nebo n(r) < < n(g). Je-li n < m, potom stačí položit q(x) = 0 a r(x) = f(x). Předpokládejme proto n ≥ m. Důkaz provedeme matematickou indukcí podle stupně polynomu f. , Necht n = 0, potom také m = 0. Polynomy f, g máme ve tvaru f(x) = a0 , g(x) = b0 , kde a0 , b0 6= 0. Poněvadž a0 , b0 jsou podle našeho předpokladu prvky tělesa, existuje prvek c ∈ R tak, že a0 = b0 c. Nyní stačí označit q(x) = c a r(x) = 0 a druhá podmínka definice 8.3 je ověřena. Nyní předpokládejme, že druhá podmínka definice 8.3 platí pro všechny polynomy stupně menšího než n, dokážeme, že platí i pro polynom f stupně n. Poněvadž n ≥ m, potom n − m ≥ 0. Sestrojme polynom h(x) = f(x) −

−1 n−m an bm x g(x) ,


Obsah Rejstřík


−1 n−m potom díky tomu, že an xn − an bm x bm xm = 0 platí, že n(h) < n a tedy existují polynomy qh , rh ∈ R[x] tak, že

II.8

(166)

h(x) = g(x)qh (x) + rh (x) , rh (x) = 0 nebo n(rh ) < n(g). Tedy −1 n−m f(x) − an bm x g(x) = g(x)qh (x) + rh (x)

Zpět Začátek

a po úpravě

Str. zpět

f(x) = g(x) qh (x) +

−1 n−m an bm x

+ rh (x) .

−1 n−m Položíme-li q(x) = qh (x) + an bm x a r(x) = rh (x), potom je f(x) = = g(x)q(x) + r(x), kde r(x) = 0 nebo n(r) < n(g).

8.6. Věta. Každý Euklidovský okruh je okruhem hlavních ideálů.


,

Důkaz. Necht R je Euklidovský okruh. Uvažujme libovolný ideál I v R. Musíme dokázat, že I je hlavním ideálem okruhu R. Je-li I = 0, potom I = (0). Je-li I 6= 0, potom označme x0 nenulový prvek ideálu I takový, že pro každý nenulový prvek x téhož ideálu platí n(x0 ) ≤ n(x). Z definice Euklidovského okruhu víme, že existují prvky q, r ∈ R takové, že x = x0 q + r.

Obsah Rejstřík


a pokud r 6= 0, potom n(r) < n(x0 ). Zároveň r = x − x0 q ∈ I, a tedy n(x0 ) < n(r), tedy musí platit r = 0. Dostáváme x = x0 q a tedy I je hlavní ideál generovaný prvkem x0 . Nalézt příklad toho, že obrácené tvrzení neplatí přesahuje možnosti √ tohoto spisku (opravdu bystrý čtenář může prozkoumat Z[(1 + + 19)/2]).

II.8

(167)

Zpět Začátek

Cvičení k oddílu 8 ,

a

a

1. Necht n = p1 1 · . . . · pk k je rozklad přirozeného čísla na součin prvočísel. Dokažte, že platí.


Zn ' Z

a p1 1

× · · · × Zp . ak

k

2. Dokažte, že okruh všech racionálních čísel s lichým jmenovatelem je okruhem hlavních ideálů. 3. Ukažte, že okruh Z[i] celých Gaussových čísel je Euklidovský. √ 4. Ukažte, že okruh Z[ 2] je Euklidovským okruhem.

Konec Vpřed

Obsah Rejstřík

,

5. Necht R1 , . . . Rn jsou tělesa. Dokažte, že okruh R1 × · · · × Rn je okruhem hlavních ideálů. (Sčítání a násobení prvků okruhu R1 × × · · · × Rn probíhá po složkách.) 6. Jsou všechny okruhy Zn okruhy hlavních ideálů ?


,

7. Necht R je Euklidovský okruh, a1 , . . . , an ∈ R. Dokažte, že ideál generovaný množinou {a1 , . . . , an } je hlavní ideál.

9.

II.9

(168)

Vnoření okruhů do těles.

V této kapitole navážeme na výsledky uvedené v I.5. Podle I.5.1 lze do grupy vnořit každou abelovskou pologrupu s krácením. Hledejme obdobu této věty pro okruhy. 9.1. Věta. Okruh R lze izomorfně vnořit do tělesa právě, když R je oborem integrity. ,

Důkaz. Necht okruh R lze vnořit do tělesa T , tedy existuje monomorfismus f: R → T . Jádro ker(f) = {0} a protože nenulovými prvky v tělese T lze krátit, pro a, b, c ∈ R \ 0 platí f(a)f(b) = f(a)f(c) implikuje f(c) = f(b), také f(ab) = f(ac) je postačující podmínkou pro f(c) = = f(b). Zobrazení f je injektivní a tedy rovnost ab = ac implikuje b = c. V okruhu R lze krátit a podle věty 1.7 je R oborem integrity. ,

Obráceně, necht R je obor integrity. Uvažujme množinu


Obsah Rejstřík

Hledej Okno

R × R \ {0} .

Zavřít

Použijme odlišné značení, než při důkazu věty I.5.1, dvojici (a, b) ∈ R × , × R \ {0} značme jako zlomek a/b. Na množině R × R \ {0} zaved me relaci „rovnost zlomků“ podobně jako v I.5.1, a c = b d

právě, když

právě, když

(169)

ad = cb .

Že je tato relace ekvivalence na množině R \ {0} × R \ {0} již víme, dále stačí vzít v úvahu, že 0 a = b c

II.9

a = 0,


a je snadné dokázat, že tato relace je ekvivalencí na R × R \ {0}. Vytvořme nyní faktorovou množinu R × R \ {0} podle „rovnosti zlomků“ a ¯ ¯ Třídu zlomků tvaru 0/b označme symbolem 0. označme ji R. ¯ definujme násobení předpisem ¯\0 Na R a c ac · = . b d bd Podle věty I.5 je takto definované násobení nezávislé na výběru prvků ¯ spolu s tímto násobením tvoří grupu. ¯\0 z jednotlivých tříd a navíc R Definujme pro a, b, c, d ∈ R sčítání zlomků a c ad + cb + = . b d bd


Obsah Rejstřík


Uvažujme zlomky

II.9

a1 a = b b1

a

(170)

c c1 , = d d1

tedy ab1 = a1 b a cd1 = c1 d, potom (ad + cb)b1 d1 = (a1 d1 + c1 b1 )bd ,

Zpět Začátek

takže a1 d1 + c1 b1 ad + cb = . bd b1 d1


¯ Sčítání zlomků je nezávislé na výběry reprezentantů z tříd množiny R. Jelikož pro každý zlomek a/b platí

Konec Vpřed

a 0 ad a + = = b d bd b a také

Obsah Rejstřík

a −a ab + (−ab) 0 + = = 2 b b b2 b tedy, že všechny zlomky 0/d tvoří vzhledem ke sčítání neutrální prvek a ¯ +) grupa, a to zřejmě abelovská. −a/b je opačným prvkem k a/b, je (R,


Mezi sčítáním a násobením platí distributivní zákon: ag cg c g a g · + · = + b h d h bh dh agdh + cgbh = bdh2 agd + cgb = bdh ad + cb g = · abd c hc · . + = b d d ¯ je vzhledem k sčítání a násobení komutativním tělesem. Množina R Protože axy + byx (a + b)xy ax by + = = , x y xy xy

II.9

(171)


Obsah

a také (ab)(xy) ax by + = , x y b(xy)

Rejstřík

Hledej

¯ je zobrazení ψ: R → R

Okno

ax a 7→ x

Zavřít

injektivním homomorfismem okruhů. Nalezli jsme vnoření oboru inte¯ grity R do tělesa R.

II.9

(172)

¯ který jsme zkonstruovali, se nazývá podílové těleso oboru Těleso R, ¯ integrity R a příslušné vnoření f se nazývá kanonické vnoření R do R. ,

¯ je jeho podílové těleso a f je kano9.2. Věta. Necht R je obor integrity, R nické vnoření. Pokud existuje vnoření g oboru integrity R do tělesa T , pak ¯ do T tak, existuje jediný injektivní homomorfismus h podílového tělesa R že g = f ◦ h.

Str. zpět

f

Jdi na

R

-R ¯

Q

Zpět Začátek

Str. vpřed

Q h

Q g

Konec

Q Q Q s ? T

Důkaz. Toto tvrzení dokážeme podobně jako tvrzení I.5.2.

Vpřed

Obsah Rejstřík

Cvičení k oddílu 9 1. Dokažte, že podílové těleso oboru integrity Z je těleso racionálních čísel.

Hledej

2. Dokažte, že podílové těleso Z[i] je Q[i].

Zavřít

Okno

√ 3. Sestrojte podílové těleso k Z[ 2].

II.9

(173)

,

4. Necht R je obor integrity. Určete podílové těleso oboru integrity R[x]. 5. Nalezněte podílové těleso k Z5 . 6. Dokažte, že každé těleso charakteristiky 0 obsahuje podtěleso izomorfní s tělesem racionálních čísel. 7. Dokažte, že každé těleso prvočíselné charakteristiky p, obsahuje podtěleso izomorfní s tělesem Zp .


Obsah Rejstřík


(174)

Literatura Zpět

[1] Beran, L. Grupy a svazy. SNTL, Praha, 1974.

Začátek

[2] Birkhoff, G., a Bartee, T. Aplikovaná algebra. ALFA, Bratislava, 1981.

Str. zpět

[3] Birkhoff, G., a MacLane, S. Prehľad modernej algebry. ALFA, Bratislava, 1979.

Str. vpřed

[4] Blažek, J., Koman, M., a Vojtášková, B. Algebra a teoretická aritmetika II. SPN, Praha, 1985.

Vpřed

[5] Kuroš, A. G. Kapitoly z obecné algebry. Academia, Praha, 1968.

Obsah

[6] Lang, S. Undergraduate Algebra. Springer-Verlag, New York, 1990.

Jdi na

Konec

Rejstřík

[7] Legéň, A. Grupy okruhu a zväzy. ALFA, Bratislava, 1980.

Hledej

[8] MacLane, S., a Birkhoff, G. Algebra. ALFA, Bratislava, 1972.

Okno

[9] Procházka, L., a kol. Algebra. Academia, Praha, 1990.

Zavřít

[10] Schvarz, Š. Algebraické čísla. JČMF, Praha, 1950.

(175)

[11] Struik, D. J. Dějiny matematiky. ORBIS, Praha, 1963.


Obsah Rejstřík


(176)

Rejstřík Zpět [a, b], 27 #, 13 ≡, 84 ≡ (mod I), 142 |, 152 k, 153 ', 41 o, 65 /, 78 R[x], 121 Aut, 47 An , 39 Cn , 61 deg, 121 ∆n , 19 [G : H], 70 gcd, 156 GL, 18 G/H, 70 Hom, 47 In, 47

Im, 43, 128 K(G), 27 Ker, 43, 128 max, 147 Q3 , 64 R× , 108 SL, 26 Sn , 29 spec, 145 z(R), 110 Z/nZ, 139 Z[i], 118 Z(G), 25


Obsah A Abel, Niels Henrik, 6 akce grupy, 73 konjugací, 73 antikomutativita, 118 automorfismus, 47 okruhů, 127 vnitřní, 47

Rejstřík


C Cauchy, Auguste Louis, 75 Cayley, Arthur, 14 centrum grupy, 25 cyklus, 30 cykly disjunktní, 31

D dělitel, 152 největší společný, 156 nevlastní, 154 triviální, 154 dělitel nuly, 110 netriviální, 110 triviální, 110 délka cyklu, 30

E epimorfismus, 41 okruhů, 127 Erlangenský program, 19 Euklides, 164

G Gauss, Karl Friedrich, 118 generátor grupy, 58 grupa, 10 alternující, 39 cyklická, 58 faktorová, 86, 90 izotropická, 74 jednoduchá, 81 Kleinova, 19 kvaternionů, 64 permutací, 29 podílová, 53 rozdílová, 53 symetrická, 29 symetrií, 19 grupoid, 5 abelovský, 6 asociativní, 7 faktorový, 86 komutativní, 6 H homomorfismus grupoidů, 41 injektivní, 41 okruhů, 126 surjektivní, 41

(177)


Obsah Rejstřík

Hledej Okno

Ch charakteristika okruhu, 110

Zavřít

I ideál, 128 generovaný množinou, 131 hlavní, 131 levý, 129 maximální, 147 nevlastní, 129 pravý, 129 index podgrupy, 70 inverze, 35 izomorfismus grup, 41 okruhů, 127 J jádro homomorfismu grup, 43 okruhů, 128 jednotka okruhu, 108

L

(178)

Lagrange, Joseph Luis, 70

M množina multiplikativně uzavřená, 144 mocnina prvku, 55 monoid, 8 monomorfismus, 41 okruhů, 127


K Klein, Felix, 19 komutant grupy, 27 komutant vzájemný, 83 komutátor prvků, 27 kongruence v grupě, 84 v okruhu, 141 konjugace, 47 kořen z jedné, n-tý, 58 krácení, 11 kritérium podgrupy, 23 kvaternion, 114 sdružený, 115

N Obsah

násobek prvku, 57, 110

Rejstřík

norma kvaternionu, 115

Hledej

norma prvku, 164

Okno

normalizátor prvku, 26

Zavřít

O obor integrity, 111 obraz homomorfismu grup, 43 okruhů, 128 okruh, 107 Euklidovský, 164 faktorový, 139 Gaussův, 161 hlavních ideálů, 162 komutativní, 108 netriviální, 108 polynomů, 123 triviální, 108 operace aditivní, 5 asociativní, 7 binární, 5 komutativní, 6 multiplikativní, 5 orbita grupy, 73

P permutace lichá, 34 sudá, 34 permutace množiny, 28

podgrupa, 22 generovaná množinou, 24 invariantní, 78 konjugovaná, 80 netriviální, 22 normální, 78 torzní, 26 triviální, 22 podmínka, substituční, 84 podokruh, 116 triviální, 117 podtěleso, 117 pologrupa, 7 polynom, 121 projekce na faktorovou grupu, 90 průnik ideálů, 130 prvek asociovaný, 153 dělitelný, 152 invertibilní, 108 inverzní, 9 levý, 12 pravý, 12 ireducibilní, 154 jednotkový, 108 neutrální, 8 levý, 12 pravý, 12 nulový, 108 vytvářející, 58

(179)


Obsah Rejstřík


prvky nesoudělné, 156 prvky konjugované, 80 prvočinitel, 155 prvoideál, 145

R rozklad grupy podle normální podgrupy, 78 podle podgrupy levý, 70 pravý, 70 rozklady asociované, 159

Ř řád grupy, 13 cyklické, 61 prvku, 13 nekonečný, 13

S

(180)

součet ideálů, 133 polynomů, 122 součin polynomů, 123 grup direktní, 19, 98 semidirektní, 65 ideálů, 145 množin, 69 spektrum okruhu, 145


stupeň polynomu, 121 substituční podmínka, 84 symetrie n-úhelníku, 13


T těleso, 112 kvaternionů, 114 podílové, 172

Obsah Rejstřík

transpozice, 37 třída rozkladu grupy podle podgrupy levá, 69 pravá, 69


V věta Cauchyho, 75 Cayleyova, 44 Lagrangeova, 70 o izomorfismu druhá, 93 první, 93 třetí, 95 o faktorových grupách, 91 o izomorfismu okruhů, 140 vnoření, 48 kanonické, 53, 172

Z

(181)

zákon asociativní, 7 distributivní, 107 zápis aditivní, 5 multiplikativní, 5 znaménko permutace, 34 zobrazení afinní, 18 univerzální, 90 zúžení operace, 22


Obsah Rejstřík


Algebra II pro distanční studium

Recommend Documents