Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1

Aktivní filtry Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco ostatní frekvenční pásma potlačuje. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj. rezistorů, kapacitorů a induktorů. Použití pasivních filtrů je běžné všude tam, kde nejsou příliš vysoké nároky na přesnost aproximace přenosové funkce filtru. V ostatních případech dáváme přednost aktivním filtrům, které obsahují jeden nebo několik zesilovačů. Jednou z výhod aktivních filtrů je možnost vyloučení induktorů při návrhu a realizaci přenosové funkce – obvykle stačí zapojovat rezistory a kapacitory. Induktor je totiž obvykle charakterizován velkými rozměry, relativně velkou cenou vzhledem ke složitosti výroby, ale zejména při použití feromagnetického materiálu se vždy jedná o nelineární prvek, který může negativně ovlivňovat přesnost aproximace přenosové funkce celého filtru. Dalšími výhodami aktivních filtrů je, že při vhodné konstrukci si vystačíme i pro nízké frekvence s malými kapacitami a dále lze dosáhnout velkých vstupních a malých výstupních impedancí.

1. 2. 3. 4.

Podle účelu, ke kterému má filtr sloužit, rozlišujeme celkem čtyři základní typy: filtr typu dolní propust (DP, low-pass, propouští všechny kmitočty menší než horní mezní kmitočet) filtr typu horní propust (HP, high-pass, propouští všechny kmitočty větší než dolní mezní kmitočet) filtr typu pásmová propust (PP, band-pass, propouští jen dané pásmo kmitočtů) filtr typu pásmová zádrž (PZ, notch, latch, band-stop, zadržuje dané pásmo kmitočtů)

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U2 U1

U2 U1

HP

DP

0

0

fc

fc

f

U2 U1

f

U2 U1

PP

0

fd

PZ

fh

f

0

fd

fh

f

Hranice mezi propustným pásmem a nepropustným pásmem nastává při určité frekvenci fc, která se nazývá frekvence zlomu. Při této frekvenci může dosáhnout amplitudová frekvenční charakteristika, aproximovaná v logaritmických souřadnicích přímkami své největší chyby proti skutečné hodnotě. Reálná frekvenční charakteristika se od ideální liší. Příklad je znázorněn (pro DP) na následujícím obrázku. U2 U1 ideální frekvenční charakteristika DP A

A

reálná frekvenční charakteristika DP

0

1 0

f0 pásmo propusti

f1

přechodová oblast

f pásmo útlumu

Hranice pásma propustnosti a pásma útlumu nejsou přesně rozlišeny. Za pásmo propustnosti budeme považovat frekvence, kde

U2 U1

neklesne pod zvolenou hodnotu A0 (obvykle se jedná o

hodnotu menší o 3 dB proti hodnotě v propustném pásmu). Za pásmo útlumu budeme U2

považovat frekvence, pro které platí, že U klesne pod zvolenou hodnotu . Rychlost útlumu je 1 určena řádem filtru n (n = 3 ~ filtr 3. řádu, n = 6 ~ filtr 6. řádu). Čím větší řád filtru, tím rychleji dochází k útlumu. Na druhou stranu je nutné upozornit na to, že s řádem filtru roste i jeho složitost, což znamená, že v praxi jsme omezeni asi na řád n ≤ 10.

Druhy filtrů: 1. Butterworthovy filtry Amplitudová charakteristika Butterworthových filtrů má velmi plochý průběh v propustném pásmu, který začíná klesat teprve v blízkosti frekvence zlomu. Rozdíl mezi ideální a aproximovanou amplitudovou frekvenční charakteristikou je na frekvenci zlomu (f = fc) 3 dB a nezáleží na řádu filtru. Normovaným Butterworthovým polynomem n-tého řádu rozumíme polynom, jehož komplexně sdružené kořeny leží v levé polorovině, přitom pro liché n je jeden kořen vždy reálný a roven -1, dalších n-1 kořenů jsou komplexně sdružené kořeny se zápornou reálnou částí. Pro sudá n má polynom n/2 dvojic komplexně sdružených kořenů se zápornou reálnou částí. V následující tabulce jsou uvedeny normované Butterworthovy polynomy. n ... řád filtru

koeficienty normovaného Butterworthova polynomu BN(p)

1 2 3 4 5 6 7 8

(p + 1) (p2 + 1.4142p + 1) (p2 + p + 1)(p + 1) (p2 + 0.7654p + 1)(p2 + 1.8478p + 1) (p2 + 0.618p + 1)(p2 + 1.618p + 1)(p + 1) (p2 + 0.5176p + 1)(p2 + 1.4142p + 1)(p2 + 1.9319p + 1) (p2 + 0.445p + 1)(p2 +1.247p + 1)(p2 + 1.8019p + 1)(p + 1) (p2 + 0.3902p + 1)(p2 + 1.1111p + 1)(p2 + 1.6629p + 1)(p2 + 1.9616p + 1)

9

(p2 + 0.3473p + 1)(p2 + p + 1)(p2 + 1.5321p + 1)(p2 + 1.8794p + 1)(p + 1)

10 (p2

(p2 + 0.3129p + 1.9754p + 1)

+

1)(p2

+0.908p

+

1)(p2

+

1.4142p

+

1)(p2

+

1.782p

+

1)

Obecně lze přenos např. systému 2. řádu napsat ve tvaru: G ( p) 

Au 0

[1]

2

 p p 1    2k c  c 

c [s 1 ] ... je frekvence zlomu k[ ] ... je poměrné tlumení I v případě Butterworthových filtrů současně platí, že řešením charakteristické rovnice jsou dva komplexně sdružené kořeny ležící v levé polorovině. Butterworthův filtr však lze obecně popsat přenosem: G ( p) 

Au 0 BN ( p)

[2]

kde B N ( p) je Butterworthův polynom n-tého řádu. Jestliže dosadíme p  j , bude pro absolutní velikost G( j ) v případě Butterworthova filtru platit: 2

G ( j )  G ( j ) G (  j ) 

Au20  1    c 

2n

[3]

Ze vztahu (3) vyplývá, že absolutní hodnota přenosu G( j ) je dána vztahem: G ( j ) 

Au 0  1    c

  

2n

[4]

kde n je řád polynomu. Z výrazu (4) vyplývá velmi důležitá vlastnost Butterworthových filtrů: platí totiž, že pro   c poklesne amplituda na výstupu filtru na hodnotu:

G ( j ) 

Au 0 2

 0,707  Au 0

tj. na hodnotu o 3 dB nižší oproti propustnému pásmu.

[5]

Fázová frekvenční charakteristika vykazuje v propustném pásmu plynulou změnu fáze s frekvencí, se sklonem daným řádem filtru. Pro posouzení těchto vlastností se používá pojmu skupinové zpoždění, což je derivace fáze podle frekvence. U tohoto typu filtru nemá v propustném pásmu skupinové zpoždění zvlnění

Přechodová charakteristika se vyznačuje rychlým čelem impulsu a mírným překmitem. Butterworthův filtr je nejvíce používaný filtr v regulační technice.

Pro normovaný filtr, kdy uvažujeme, že ω0 = 1 rad/s, je možné přenosovou funkci přepsat ve dvou tvarech. Pro n sudá (2, 4, 6, …) n/2

G( p)   k 1

Ak p  ak p  bk 2

Pro n lichá (1, 3, 5, …) A0 n 1 / 2 Ak G( p)   p  b0 k 1 p 2  ak p  bk

V předcházející tabulce jsou uvedeny normované Butterworthovy polynomy pro filtr 1. až 10. řádu. Koeficienty jednotlivých polynomů lze určit pomocí vztahů (6) a (7).

bk  1 a k  2 sin

[6] (2k  1) 2n

kde k … je pořadí polynomu

[7]

Pro příklad určeme ze vztahu (7) koeficienty pro n = 6:

k  1 : a1  2 sin 2  1  / 12  2 sin( / 12)  0,5176

k  2 : a 2  2 sin 4  1  / 12  2 sin(3 / 12)  1,4142

k  3 : a3  2 sin6  1  / 12  2 sin(5 / 12)  1,9319

n ... řád filtru

koeficienty normovaného Butterworthova polynomu BN(p)

1 2 3 4 5 6 7 8

(p + 1) (p2 + 1.4142p + 1) (p2 + p + 1)(p + 1) (p2 + 0.7654p + 1)(p2 + 1.8478p + 1) (p2 + 0.618p + 1)(p2 + 1.618p + 1)(p + 1) (p2 + 0.5176p + 1)(p2 + 1.4142p + 1)(p2 + 1.9319p + 1) (p2 + 0.445p + 1)(p2 +1.247p + 1)(p2 + 1.8019p + 1)(p + 1) (p2 + 0.3902p + 1)(p2 + 1.1111p + 1)(p2 + 1.6629p + 1)(p2 + 1.9616p + 1)

9

(p2 + 0.3473p + 1)(p2 + p + 1)(p2 + 1.5321p + 1)(p2 + 1.8794p + 1)(p + 1)

10

(p2 + 0.3129p (p2 + 1.9754p + 1)

+

1)(p2

+0.908p

+

1)(p2

+

1.4142p

+

1)(p2

+

1.782p

+

1)

2. Besselovy filtry Besselovy filtry (nazývané též Bessel-Thomsonovy nebo Thomsonovy filtry) jsou navrhovány tak, aby fázová charakteristika byla v pásmu okolo kritické frekvence maximálně lineární. Amplitudová charakteristika v nepropustném pásmu je velmi plochá. Na následujícím obrázku jsou amplitudové frekvenční charakteristiky Besselových filtrů sudého řádu 2 ÷ 10. Amplitudová charakteristika má neostrý zlom a oproti filtrům ostatních druhů je její přechodové pásmo nejdelší.

Fázová část frekvenční charakteristiky je ve své přechodné části plochá nejvíce ze všech popisovaných filtrů.

Přechodová charakteristika má malý překmit, menší než 1% amplitudy vstupního skoku. Besselovy filtry se používají v televizní technice, při zpracování digitálně syntetizovaného signálu a též v měřicí technice. Použití nacházejí všude tam, kde je na závadu překmit přechodové charakteristiky.

n ... řád filtru

koeficienty normovaného Besselova polynomu BL(p)

1

(p + 1)

2

(p2 + 1.732p + 1)

3

(p2 + 1,4912p + 1.062)(9416p + 1)

4

(p2 + 1.3144p + 1.1211)(p2 + 1.8096p + 0.8920)

5

(p2 + 1.7032p + 0.9212)(p2 + 1.1812p + 1.1718)(0.9264p + 1)

6

(p2 + 1.8188p + 0.8615)(p2 + 1.5954p + 0.9556)(p2 + 1.0772p + 1.215)

7

(p2 + 1.76p + 0.8779)(p2 +1.5054p + 0.9897)(p2 + 0.9934p + 1.2517) (0.9195p + 1)

8

(p2 + 1.8194p + 0.8475)(p2 + 1.6946p + 0.8993)(p2 + 1.4222p + 1.0222) (p2 + 0.9244p + 1.2836)

9

(p2 + 1.7822p + 0.8579)(p2 + 1.6296p + 0.9226)(p2 + 1.3488p + 1.0525) (p2 + 0.8662p + 1.3114)(0.9155p + 1)

10

(p2 + 1.8182p + 0.8395)(p2 +1.7376p + 0.8725)(p2 + 1.5676p + 0.946) (p2 + 1.2836p + 1.0804)(p2 + 0.8166p + 1.3359)

3. Eliptické filtry Eliptické, též Cauerovy nebo Cauer-Čebyševovy filtry, byly navrženy Cauerem v roce 1931. Tyto filtry se vyznačují maximální strmostí zlomové části amplitudové charakteristiky, čemuž odpovídá krátké přechodové pásmo.

Eliptické filtry nacházejí použití všude tam, kde se požaduje velmi strmý pokles amplitudové frekvenční charakteristiky na zlomové frekvenci. Eliptický filtr představuje optimální řešení pro tento požadavek. Eliptické filtry najdeme v televizní, měřicí a komunikační technice. Vstupními parametry návrhu eliptického filtru jsou n, ωc , Rp a Rs , tedy řád, zlomová frekvence, maximální zvlnění v propustném směru a minimální útlum v nepropustném pásmu.

Příklad návrhu a realizace Butterworthova filtru Návrh Butterworthova filtru s použitím operačních zesilovačů a s využitím normovaných polynomů BN(p) je možno řešit různým způsobem. Především je možné dokázat, že lze s jedním operačním zesilovačem a sítí RC realizovat filtr libovolného řádu. Tímto způsobem lze redukovat na nejmenší možnou míru počet aktivních součástek obvodu, na druhé straně však vytvořené obvody splňují požadované vlastnosti pouze s velmi přesnými hodnotami součástek. Tato citlivost roste s rostoucím řádem filtru. Příklad zapojení aktivní dolní propusti n-tého řádu s jedním operačním zesilovačem je možné nalézt např. v literatuře [3].

Jiný způsob návrhu dolních nebo horních propustí využívá operačních zesilovačů jako impedančních převodníků, tj. zesilovačů s kladným zesílením s vysokou vstupní impedancí a minimální výstupní impedancí. V tomto případě je možné použít zapojení pro první řád podle následujícího obrázku. Impedance Z1 a Z2 jsou tvořeny prvky RC. V případě aktivního filtru typu dolní propust bude impedance Z1 nahrazena rezistorem a impedance Z2 kapacitorem. R1

R2

3

1

1

1

+

1

1

OZ1 -

2

Z1

1

1

Z2

1

U2 1

U1

Zapojení s jedním operačním zesilovačem pro druhý řád je na následujícím obrázku. Tomuto zapojení se běžně říká Salen-Key filtr. Impedance Z1 až Z4 jsou tvořeny stejně jako v případě filtru 1. řádu prvky RC. V případě aktivního filtru typu dolní propust budou impedance Z1 a Z2 nahrazeny rezistory, zatímco impedance Z3 a Z4 budou nahrazeny kapacitory. Při realizaci filtru typu horní propust budou zaměněny rezistory a kapacitory. R1

R2 Ui

Ui

Z3

Z4

1

1

U2 1

Ux

1

1

1 1

3

+

U1

1

OZ1 -

1

2

Z2

Z1

Chceme-li realizovat filtr vyššího řádu, pak pro liché n se zapojení skládá z kaskádního spojení (n-1)/2 obvodů druhého řádu a jednoho obvodu prvního řádu. Pro sudé n se pak výsledné schéma skládá z n/2 obvodů druhého řádu. Určitá nevýhoda tohoto způsobu návrhu je v tom, že pro zaručení přenosové funkce BN(p) vycházejí obvykle rozdílné hodnoty kapacit nebo odporů pro jednotlivá zapojení. V následujícím odvozeních bude použit vztah (1), který představuje typickou přenosovou funkci obecného systému druhého řádu: G ( p) 

Au 0 2

 p p 1    2k    c c

V obou popisovaných zapojeních je operační zesilovač zapojen jako neinvertující zesilovač, jehož zesílení AU 0 je v pásmu provozovaných frekvencí dáno vztahem:

AU 0 

R1  R2 R  1 2 R1 R1

[8]

S využitím vztahu (8) platí pro zapojení druhého řádu:

R1 U2 Ui  U2  R1  R2 AU 0

[9]

Pro napětí Ux platí: Z3 Z2  Z4  U x  U1

Z3  Z2  Z4 Z1 

Z3 Z2  Z4 

Z1  Z 2  Z 4   U2

Z3  Z2  Z4

Z1  Z 2  Z 4 Z3 

Z1  Z 2  Z 4 

[10]

Z1  Z 2  Z 4

Napětí na neinvertujícím vstupu je jednak dáno vztahem (9), ale současně můžeme psát: Ui  U x

Z4 Z2  Z4

[11]

Dosadíme-li za Ux ze vztahu (10) do vztahu (11) a současně porovnáme vztahy (9) a (11) dostaneme po úpravě: U2 U 1 Z 3 Z 4  U 2 Z1 Z 4  AU 0 Z1 Z 3  Z1 Z 2  Z1 Z 4  Z 3 Z 2  Z 3 Z 4

[12]

Další úpravou dostaneme přenos ve tvaru: U2 AU 0 Z 3 Z 4  U 1 Z1 Z 2  Z1 Z 4  Z 2 Z 3  Z 3 Z 4  Z1 Z 3  AU 0 Z1 Z 4

[13]

Chceme-li nyní realizovat např. dolní propust druhého řádu typu Butterworth, definujeme: 1 Z3  Z4  Z1  Z 2  R pC U 2 ( p)  U 1 ( p)

 1   AU 0  pC  

2

[14]

2

R2 

R R  1  R R       AU 0 pC pC  pC  pC pC

a po úpravě dostaneme: AU 0 U 2 ( p)  U 1 ( p )  pRC 2  3  AU 0  pRC  1

Porovnáme-li nyní vztah (15) se vztahem (1) určíme:

1 c  RC

AU 0  3  2 k

[15] G ( p) 

Au 0 2

 p p 1    2k c  c 

[16] [17]

Na základě vztahů (16) a (17) lze velmi jednoduše navrhovat požadovaný filtr tak, že určíme podle (16) prvky R, C a hledáme takové zesílení AU0 pro každý operační zesilovač, aby byl navržen koeficient tlumení podle tabulky normovaných Butterworthových polynomů.

Návrh pásmových propustí pomocí filtrů polynomiálního typu Realizace pásmové propusti podle principu na následujícím obrázku má velkou výhodu v univerzálnosti použití. Volbou řádu obou propustí můžeme volit sklony charakteristik nezávisle na sobě. Frekvence fd a fh je možno libovolně měnit a vždy jsou vzájemně nezávislé, je-li splněna podmínka f d  f h .

1

1

DOLNÍ PROPUST

HORNÍ PROPUST

1

1

U1 1 1

1

1

U2

Vlastní návrh pásmové propusti je velmi jednoduchý a lze použít stejný postup jako v případech dolní či horní propusti, které byly popsány výše.

Návrh pásmových zádrží pomocí filtrů polynomiálního typu U tohoto návrhu, podobně jako v předchozím případě, lze frekvence fd a fh libovolně bez interakce měnit. Rovněž sklony frekvenčních charakteristik v okolí pásma zadržených frekvencí lze navrhovat nezávisle na sobě. Vlastnosti zapojení dolní a horní propusti však v tomto případě nelze provést kaskádně. Obě propusti se zapojují společně svými vstupy a jejich výstupy se přivádějí na součtový zesilovač podle následujícího obrázku. Návrh této pásmové zádrže vychází opět z výše popsaného způsobu návrhu dolní a horní propusti. U11 0,5R

1

1

2 3

U1

OZ1 1

1

1

+

R

-

DOLNÍ PROPUST

U2 1

HORNÍ PROPUST

1

1

1

R

U12

V tomto případě je výstupní napětí dáno vztahem: R R U 2  U 11  U 12  0,5U 11  U 12  2R 2R

[18]

Butterworthův filtr typu horní propust 3. řádu Navrhněte Butterworthův filtr typu horní propust třetího řádu se zlomovou frekvencí fc = 800Hz. Máte k dispozici kapacitory 1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Vyberte vhodný kapacitor z nabízených tak, abyste vypočtený odpor mohli snadno nastavit pomocí odporové dekády 1kΩ až 999kΩ. Hodnoty rezistorů R1 = R1‘ = 10kΩ nemáte možnost měnit. Filtr bude sestaven ze zapojení filtru 1. řádu a ze zapojení „ Salen-Key “. Výsledné zapojení je znázorněno na následujícím obrázku. R2

3

C

2

C

1

3

OZ2 1

1

1

+

1

-

1

OZ1

+

2

C

R'2

R'1

-

R1

U2 R

R

1

1

1

R

1

U1

BN(p) = (p + 1)(p2 + p + 1) První závorku bude realizovat OZ1 a druhou závorku OZ2 AU0 = 3 – 2k1 = 3 – 1 = 2 AU0’ = 3 – 2k1 = 3 – 1 = 2 R R  1 = R  1= 2 AU0 = AU0’ = R '

2

2

1

1

'

Ze zadání známe R1 = R1’ = 10kΩ a snadno dopočítáme R2 = R1(AU0 – 1) = R1(2 – 1) = 10kΩ R2‘ = R1‘ (AU0‘ – 1) = R1‘ (2 – 1) = 10kΩ Frekvence zlomu je dána vztahem

f  C

1 2RC

Volíme jednu součástku a druhou dopočítáme. Z praktického hlediska je vhodné volit velikost kapacitorů, neboť se obvykle jedná o rozměrnější součástku, která by měla být co do hodnoty v řadě vyráběných kapacitorů. Ze zadání plyne, že máme volit hodnotu kapacitoru C=1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Např. pro C=33nF je: 1 R

R [kΩ]

2f c C

 6,029k

C=3,3nF

C=10nF

C=33nF

C=100nF

60,286

19,894

6,029

1,989

Butterworthův filtr typu horní propust 3. řádu

Navrhněte Butterworthův filtr typu dolní propust čtvrtého řádu se zlomovou frekvencí fc = 1kHz. Máte k dispozici kapacitory 1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Vyberte vhodný kapacitor z nabízených tak, abyste vypočtený odpor mohli snadno nastavit pomocí odporové dekády 1kΩ až 999kΩ. Hodnoty rezistorů R1 = R1‘ = 10kΩ nemáte možnost měnit. Filtr bude sestaven ze dvou zapojení „ Salen-Key “. Výsledné zapojení je znázorněno na následujícím obrázku.

1

3

1

R

R

3

OZ2 1

1

1

+

1

R

R'2

2

OZ1 -

2

R

R'1

+

R2

-

R1

U2 C

C

C

1

1

1

C

1

U1

BN(p) = (p2 + 0,7654p + 1)(p2 + 1,8478p + 1) První závorku bude realizovat OZ1 a druhou závorku OZ2 AU0 = 3 – 2k1 = 3 – 0,7654 = 2,2346 AU0’ = 3 – 2k1 = 3 – 1,8478 = 1,1522

R  1 = 1,1522 AU0’ = R '

R AU0 =  1 = 2,2346 R

2

2

'

1

1

Ze zadání známe R1 = R1’ = 10kΩ a snadno dopočítáme

R2  R1 ( AU )  1)  R1 (2,2346  1)  12,346k R2'  R1' ( AU' 0  1)  R1' (1,1522  1)  1,522k Frekvence zlomu je dána vztahem

f  C

1 2RC

Volíme jednu součástku a druhou dopočítáme. Z praktického hlediska je vhodné volit velikost kapacitorů, neboť se obvykle jedná o rozměrnější součástku, která by měla být co do hodnoty v řadě vyráběných kapacitorů. Ze zadání plyne, že máme volit hodnotu kapacitoru C=1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Např. pro C=10nF je: 1 R  15,915k 2f c C R [kΩ]

C=1nF

C=3,3nF

C=10nF

C=33nF

C=100nF

159,155

48,229

15,915

4,823

1,592

R1

R2 +IN B

+IN A 3

1

1

1

-IN B 1

C 1

C 1

80 Hz

R

-IN A

AC

1

2V

R

+

1

1

OZ1 -

2

R1

+IN B

+IN A 1

1

R

R

3

OZ1 1

1

1

+

2

-

OUT

R2

-IN A

-IN B

1

C 1

1

C

1

GND

Filtry se spínanými kapacitory

V předchozích části přednášky jsme poznali jak lze vytvořit aktivní filtry z diskrétních pasivních a aktivních prvků. U těchto filtrů lze velmi složitým způsobem měnit jejich parametry, především pak přeladění jejich kmitočtových vlastností. Nabízí se zde použití filtrů, kde se tato změna provádí velmi elegantním způsobem. Rezistory v nich jsou nahrazeny periodicky spínanými kapacitory, což dovoluje změnu jejich ekvivalentních odporů a následně i přeladění filtru úpravou přepínacího kmitočtu. Proto jsou tyto filtry v literatuře označovány jako SCF (Switched Capacitors Filters). Princip filtru se spínaným kapacitorem 1

f CLK

3

C2 t2 2

1

1

21

2

2 3

S2

S1

U1

2

OZ 1

1

1

+

1

1

-

t1 1

U0

C1

1

1

1

1

1

1

U2

Označíme-li časový interval t1 , jako interval po který je sepnut spínač S1 a t2 jako interval, po který je sepnut spínač S2 , bude pro periodu TCLK platit: 1 TCLK   t1  t 2 [19] f CLK kde TCLK je perioda vzorkování a fCLK je vzorkovací frekvence. Náboj kapacitoru C1 je v okamžicích přepnutí dán vztahy:

Q(t1 )  C1u1

Q(t 2 )  C1u2

[20]

Změna náboje na kondenzátoru za jednu vzorkovací periodu je tedy:

Q (t )  Q (t1 )  Q (t2 )  C1 u1  u2   I  TCLK

[21]

Změna náboje v časovém intervalu je proto dána střední hodnotou proudu v tomto časovém intervalu. Z tohoto a s využitím Ohmova zákona můžeme psát:

I

u1  u2 u1  u2  Rekv  TCLK     C1 

[22]

Ze vztahu (22) plyne, že pomocí vzorkování lze realizovat časovou konstantu, ve které figuruje přídavný kapacitor C1 a odpor je nahrazen fiktivním odporem Rekv 

TCLK . C1

Časová konstanta obvodu je tedy:   Rekv C2 

C2 T C1 CLK

[23]

Časová konstanta podle vztahu (23) nezávisí na skutečném odporu, ale pouze na periodě vzorkování TCLK a na poměru dvou kapacit

C2 . C1

Přenos obvodu je dán vztahem:

U O ( p) C 1 1   1 U 1 ( p) pC 2 Rekv C 2 pTCLK Pokud zaručíme konstantní poměr

[24]

C2 , bude zlomová frekvence řízena pouze frekvencí C1

vzorkovací, přičemž se nemění tvar charakteristiky filtru. Toto je základní výhoda filtrů se spínaným kapacitorem. Další výhodou je, že mezní kmitočet je dán poměrem kapacit , což je příznivé z hlediska vlivu teploty na parametry filtru.

Aliasing

Aliasing, neboli překrývání ve frekvenčním spektru vzniká v důsledku přepínání kapacitoru, které je současně vzorkováním. Běžná dolní propust je pásmovou propustí pro frekvence od 0Hz do fC. Filtr se spínaným kapacitorem je však navíc propustí frekvence od fCLK - fC do fCLK + fC , od 2fCLK - fC do 2fCLK + fC , …, přeložené do propustného pásma filtru. Aliasingu se zamezuje vložením klasického filtru za filtr se spínaným kapacitorem. Filtr se spínaným kapacitorem tedy zajistí požadovaný řád a typ filtru (velkou strmost, malou chybu) a klasický (spojitý) dolnopropustný filtr zajistí, aby ve spektru signálu vystupujícího z filtru byly frekvence vyšší než fCLK/2 dostatečně potlačeny. Nevýhodou je, že spojitý filtr není snadné plynule přelaďovat elektrickým signálem. Pevným spojitým filtrem se omezíme jen na určité pásmo, ve kterém lze celý filtr přelaďovat. Stabilita filtru je závislá na vhodně zvolené vzorkovací frekvenci vzhledem k požadované frekvenci zlomu. Pro stabilitu je nutno zaručit, aby vzorkovací frekvence fCLK byla podle Shannonovy věty fCLK >> 2fC , kde fC je požadovaná frekvence zlomu. Poměr fCLK/2fC bývá pro běžné aplikace volen v pásmu 50:1, v přesnějších aplikacích až 100:1.

MAX291 (Butterworthova aproximace), MAX292 (Besselova aproximace) a MAX293 (eliptická aproximace) – filtry 8. řádu

Příkladem filtru se spínaným kapacitorem je např. řada integrovaných obvodů MAX 29x. Základní vlastnosti této řady jsou uvedeny v následující tabulce: Aproximace

f CLK / f C

MAX 291

Butterworthova

100:1

8

25 kHz

MAX 292

Besselova

100:1

8

25 kHz

MAX 293

Eliptická

100:1

8

25 kHz

MAX 294

Eliptická

100:1

8

25 kHz

MAX 295

Butterworthova

50:1

8

50kHz

MAX 296

Besselova

50:1

8

50kHz

MAX 297

Eliptická

50:1

8

50kHz

Označení

f C (max)

Řád

Parametr Napájecí napětí - symetrické Napájecí napětí - nesymetrické

min 2.375V

max 5.500V

 + 4.750V

 + 11.000V

Napájecí proud Rozkmit vstupního napětí

22 mA 4V

Rozkmit výstupního napětí

4V

Příkon Pin 1 2 3 4 5 6 7 8

760 mW Název

Popis funkce

CLK UOP OUT OP IN OUT GND U+ IN

Vstup hodinového signálu Záporné napájecí napětí Výstup volného OZ Vstup volného OZ Výstup filtru Analogová zem Kladné napájecí napětí Vstup filtru

Filtry umožňují připojit k vnitřnímu oscilátoru MAX 29x externí kapacitor. Tento externí kapacitor se připojuje místo vstupního hodinového signálu fCLK mezi svorku vstup CLK a svorku GND. Frekvence generovaného hodinového signálu se vypočte takto:

f CLK  kHz  

105

3Cext  pF 

[25]

Pozn.: Hodnota kapacity se zadává v pF (viz vztah 25) a výsledná hodnota frekvence je v kHz. Opět je nutné si uvědomit, že takto jsme spočítali pouze vstupní hodinový kmitočet fCLK a že poměr mezi fCLK/fC je opět 100:1.

Literatura:

1. Hlinovský M., Honců J., Němeček P., Vysoký O.: ELEKTRONICKÉ SYSTÉMY Návody ke cvičením, skriptum ČVUT FEL, Praha 2006 2. Punčochář J.: OPERAČNÍ ZESILOVAČE v elektronice, BEN – technická literatura, Praha 1999 3. Vysoký, O.: Elektronické systémy II, skriptum ČVUT, Praha 2003