Ander boek
INHOUD MAART 2004
124 133
Dafne de Boer
148 146
Roelof de Nekker
De wig van Bjerrum
Een bespreking van een hulpmiddel dat het titreren voor leerlingen makkelijker maakt. Arnold Moene, Berenice Michels en Bert Holtslag
Twisters: Rotatie in de atmosfeer Deel 1: Linksom of rechtsom?
Waardoor wordt de draairichting van een atmosferisch systeem bepaald? Waarom stormt het nooit rond een hogedrukgebied? Deze en andere vragen worden in deze eerste bijdrage over de fysica van draaiende atmosferische systemen beantwoord.
Pissebedden gaan digitaal
Deze diertjes lenen zich uitstekend voor een practicumles. Hubert Biezeveld
De versnelling van een bungeejumper
Een bewerking van een tweetal artikelen uit respectievelijk periScoop en The Physics Teacher.
Verder in dit nummer:
131 Aad Termorshuizen en Gerlof Hoefsloot
Proeven bij biologische landbouw 123 Paul Mijzen
Het practicum als vorm van samenwerken
Een werkvorm die uitermate geschikt is tot het doen van gezamenlijk onderzoek. De auteur gaat in een workshop tijdens het NVON-congres 2004 uitgebreider op dit onderwerp in.
In de inhoudsbeschrijving van het artikel ‘Biologische landbouw: een wetenschap apart’ in NVOX 1, 2004 werd aangegeven dat uitgebreide proefbeschrijvingen op de NVOX-site zijn weergegeven. Voor de lezer zijn dio hierbij alsnog in het blad geplaatst. 138 Richard Thuis
126 Gerard Stout
6666 wereldbollen met gras
Kleurpotloden in de exacte vakken
NA = 6,0.1023. Een beschouwing.
Het grammaticale beeldgebruik van Jos van den Broek.
142 Anneke de Leeuw
127 Henny Kramers-Pals en Wim Both
Chaos of orde in het natuurkundeonderwijs?
Chemieshow door leerlingen
Leerlingen zijn met enige ondersteuning van docent en toa uitstekende presentatoren van de wonderen der chemie. 139 Erno Vreugdenhil
Hoe stress de activiteit van genen in onze hersenen beinvloedt: een farmacogenomics aanpak
Op het NVON-congres 2004 wordt door de auteur een lezing gehouden over dit onderwerp. Hier kunt u alvast kennismaken met dit nieuwe vakgebied.
Entropie op school? Dit artikel introduceert het begrip entropie en probeert aan te geven waarom entropie een interessant onderwerp is. De auteur ontving in 2002 een beurs van de NNV (Nederlandse Natuurkundige Vereniging) om het begrip meer ingang te laten vinden in het natuurkundeonderwijs in Nederland. Rubrieken 130 Regien Stomphorst: Hier Addis Abbeba
(2) 136 Ivonne Rietjens: Gevaarlijke stoffen in 137 141 150 151 152 155 161 168
het voortgezet onderwijs (5) Gabby Zegers: Dio dagen (5) Marjan Bruinvels: Chemici en poëzie Paula Petunia: Herinneringen Marianne Offereins: Agnes Mary Clerke Vereniging Het Kabinet Recensies Mededelingen
151 159 166
Adresgegevens Scholing Media
Van Internet is gratis een boek te downloaden, dat in de boekenkast van iedere leraar moet staan. Een digitale boekenkast, ‘mijn documenten’, is goed genoeg. ‘How people learn’ (1999) is geschreven door een gezelschap Amerikaanse onderwijskundigen in opdracht van zoiets als de Amerikaanse Koninklijke Academie van Wetenschappen, zie http://www. nap.edu/html/howpeople1/. Het boek, 120 bladzijden zonder noten, geeft een overzicht van alle kennis op het gebied van leren op dit moment. Het begint wat stug maar dan blijken er opeens vele halfvergeten waarheden als koeien in te staan, open deuren waarvan je vergeten bent dat ze open zijn. Hier is er één over een misconcept, of preconcept: ”A common misconception regarding constructivist theories of knowing (that existing knowledge is used to build new knowledge) is that teachers should never tell students anything directly but, instead, should always allow them to construct knowledge for themselves.” Dus, lezer-leraar, uitleggen is niet ouderwets. Maar denk dan wel hieraan: ”There is a good deal of evidence that learning is enhanced (verbeterd) when teachers pay attention to the knowledge and beliefs that learners bring to a learning task, use this knowledge as a starting point for new instruction, and monitor students’ changing conceptions as instruction proceeds.” Hier nog een open deur: ”The ultimate goal of schooling is to help students transfer what they have learned in school to everyday settings of home, community, and workplace... One major contrast between everyday settings and school environments is that the latter place much more emphasis on individual work than most other environments... A second major contrast between schools and everyday settings is the heavy use of tools to solve problems in everyday settings, compared with ”mental work” in school settings... A third contrast between schools and everyday environments is that abstract reasoning is often emphasized in school, whereas contextualized reasoning is often used in everyday settings... ” Ofwel: wat je op school leert, moet je in het dagelijks leven kunnen toepassen, maar het dagelijks leven verschilt danig van school. Er wordt meer samengewerkt, er worden krachtige gereedschappen gebruikt bij het oplossen van problemen en context is er veel belangrijker dan in school. Er zijn twee conclusies te trekken: de school moet meer gaan lijken op het dagelijks leven, of: ik doe of mijn neus bloedt. Beste lezer: wat er vanmorgen gebeurde in 4-havo, was dat een goede voorbereiding op het dagelijks leven?
[email protected] MAART 2004 |
NVOX
3 | 121
Dafne de Boer
De wig van Bjerrum is een hulpmiddel om het omslagpunt van een titratie te bepalen. Met behulp van dit middel kan het titreren voor leerlingen gemakke-
TOA scheikunde
lijker worden.
Het Rijnlands Lyceum, Oegstgeest
De wig van Bjerrum Tijdens mijn MLO-opleiding heb ik heel veel moeten titreren. Want daardoor leer je onder andere nauwkeurig werken. In het begin is het erg moeilijk om de juiste kleur te vinden waarbij je titratie klaar is. Onze docent had indertijd een doorzichtig bakje van kunststof met een schuin doorzichtig middenstuk erin. In de theorieles was dit uitgelegd als de Wig van Bjerrum. In dit stukje wil ik de collega’s hier ook mee bekend maken en op die manier het titreren voor leerlingen wat makkelijker maken. De wig van Bjerrum bestaat dus uit een doorzichtig bakje met hierin een diagonaal geplaatst doorzichtig schot dat het bakje in twee gescheiden ruimten verdeelt, zie figuur 1.
andering tussen de beide 10%-grenzen wordt aangeduid als het kleuromslagtraject van de indicator. Het oog is veel beter in staat om het contrast kleurloos-gekleurd en ook het contrast grijs-gekleurd waar te nemen dan een contrast tussen twee kleuren. Daarom wordt een indicator soms gemengd met een kleurstof die een kleur heeft die complementair is aan de tussenkleur van de indicator. Je krijgt dan een mengindicator waarmee bij een tritatie een duidelijke kleuromslag is waar te nemen met grijs als tussenkleur. Het omslagtraject van een mengindicator wordt dan zoveel ingekort dat men wel mag spreken van een omslagpunt. Ook door mengen van twee of meer indicatoren zijn goede mengindicatoren samen te stellen, bijvoorbeeld methylrood en broomkresolgroen. Wanneer je bij de eerste titraties een dergelijk bakje voor in het lokaal zet, kunnen de leerlingen zelf bepalen of hun kleur in de erlenmeyer hetzelfde is als de middenkleur in de wig, en zo dus bepalen of er een goede titratie is uitgevoerd. Succes ermee! x
Bronvermelding Altmann, C.J.G. & Schöder, P.I. (1987). Beginselen van de chemie. Utrecht: Bohn, Scheltema en Holkema. 5e druk, p. 160.
Figuur 1. De wig van Bjerrum, van bovenaf gezien.
Ruimte A wordt bijvoorbeeld gevuld met verdund zoutzuur en ruimte B met een verdunde natriumhydroxideoplossing van dezelfde concentratie. Aan beide oplossingen voeg je nu de indicatoroplossing toe die je wilt gebruiken bij de titratie. In dit voorbeeld is dat broomthymolblauw. Bij de waarneming van boven ziet men in A nu de kleur van het indicatorzuur en in B de kleur van de indicatorbase. Kijkt men van opzij door de wig, dan ziet men van links naar rechts de kleur van de oplossing geleidelijk verlopen van die van het indicatorzuur naar die van de indicatorbase. Door de beperkte gevoeligheid van het menselijk oog is bij een tweekleurige indicator pas een verandering van de zuivere kleur van base of zuur te zien, indien ongeveer 10% van de andere kleur aanwezig is. Pas na overschrijding van deze 10%-grens zal men alle mengkleuren van de indicator kunnen waarnemen. In het midden van de wig kijk je door gelijke laagdikten van beide kleuren: Dit noemt men de tussenkleur. De zichtbare kleurverFiguur 2. De wig van Bjerrum, van opzij gezien. MAART 2004 |
NVOX
3 | 125
men voorkomen maar dat de variatie (biodiversiteit) op bijvoorbeeld de biologische appels veel groter is. Deze hogere diversiteit aan micro-organismen zou er voor kunnen zorgen dat er een evenwicht is tussen de schadelijke en niet-schadelijke organismen waardoor de ongewenste ziekteverwekkers niet ongeremd kunnen gaan groeien. Meer onderzoek is nodig naar de verschillen tussen biologisch en gangbaar geproduceerde producten. Vooroordelen tegen beide producten zijn er genoeg, ‘harde’ feiten echter heel wat minder!
Arnold Moene Berenice Michels
2,3
Bert Holtslag
1
1
Leerstoelgroep Meteorologie en
Luchtkwaliteit, Wageningen Universiteit 2
Bewaren in bakjes Om biologisch en gangbaar geteelde producten met elkaar te vergelijken worden van elk product vier exemplaren in verschillende schone bakjes gedaan. De bewaaromstandigheden kunnen worden gevarieerd door twee bakjes in de koelkast te zetten, één met deksel en één zonder deksel. Ook kunnen twee bakjes op dezelfde manier buiten de koelkast worden geplaatst. Door verschillende producten te gebruiken kunnen vergelijkingen worden gemaakt. Misschien beschimmelt het ene product wel veel sneller dan het andere? Elke week worden de producten op het oog beoordeeld. Beschrijf hoe het product er uit ziet en teken het. Voor elk product kan het percentage aangetast oppervlak geschat worden. Als een hele klas hetzelfde product heeft kan het aantal aangetaste exemplaren worden bepaald. Omdat het ene levensmiddel sneller beschimmelt dan het andere, is de tijdsperiode waarin je kunt kijken verschillend. Zie en gruwel! (zie voor materiaal bij deze proef de NVOX site)
1, 3
3
Dorenweerd College, Doorwerth
VWO-campus, Wageningen Universiteit
Uitplaten op voedingsbodems Het aantal bacteriën op de producten kan als volgt bepaald worden. Neem een stukje product of gebruik (steriel) waswater en verdere verdunningen daarvan als entmateriaal. In figuur 2 staat een schematisch overzicht van een verdunnings- en uitplatingsreeks. Na een incubatieperiode, die afhankelijk is van het medium dat je gebruikt hebt, kunnen de aantallen verschillende kolonies geteld worden. Vervolgens kan het aantal verschillende micro-organismen per oppervlakte worden bepaald. Aan de hand van deze getallen kan er worden geconcludeerd op welke producten het aantal microorganismen en de diversiteit aan micro-organismen het hoogste is. (de uitgebreide beschrijving van het maken van een verdunningsreeks en het uitplaten staat op de NVOX-site) Figuur 2. Schematisch overzicht verdunningsreeks: 1 cm3 monster wordt verdund in 9 ml steriel water, de afgesloten buis voorzichtig enige minuten zwenken of gebruik een vortex (voor elk monster zelfde omstandigheden). Verdere verdunningen met pipetten maken door stapsgewijs 1 ml verdund monster aan 9 ml steriel water toe te voegen. 0.1 ml monster uitplaten per steriele plaat met medium met antibioticum (ook dit is dus een 10x verdunningsstap). Uiteindelijk aantal kolonies op plaat terugrekenen naar aantal bacteriën aanwezig op oorspronkelijke cm2 buitenoppervlak.
Proef 4: Wat bevat meer water? Het doel van dit experiment is om te bepalen of er verschil is tussen biologisch en gangbaar geteelde producten in vochtgehalte en in drooggewicht als gevolg van teeltverschillen. Producten uit de gangbare landbouw worden door het gebruik van kunstmest vaak sneller opgekweekt dan producten in de biologische landbouw. Als gevolg hiervan is het mogelijk dat producten uit de gangbare landbouw meer water bevatten en daardoor een lagere voedingswaarde hebben vergeleken met producten uit de biologische landbouw. x (Materiaal en methode staan op de NVOX-site). Zie ook elders in deze NVOX de aankondiging van de bijscholingsdag over de biologische productieketen op 30 maart. 132 |
NVOX
3 | MAART 2004
Figuur 1: Wetenschappelijk experiment aan de evenaar? (Met dank aan Richard J. Wainscoat, zie URL1)
Het beschreven tafereel (zie figuur 1) is niet typisch Keniaans: het is te aanschouwen in alle landen in Afrika die doorsneden worden door de evenaar. Als het experiment zo herhaalbaar is, zou je bijna gaan geloven dat het klopt… In het tweeluik ‘Twisters: rotatie in de atmosfeer’, gaan we in op de fysica van draaiende atmosferische systemen. In dit eerste deel zullen we onder andere aantonen dat ondanks de herhaalbaarheid, het equator-experiment fysisch onzinnig is (over de economische haalbaarheid doen we verder geen uitspraken). We bespreken waardoor de draairichting van een atmosferisch systeem wordt bepaald en gaan in op andere mechanische aspecten van twisters: heeft u zich bijvoorbeeld wel eens afgevraagd, waarom het rond een hogedrukgebied nooit stormt? Naast de hoofdtekst treft u in dit artikel een aantal kaders aan. Deze kaders bieden fysische verdieping en laten zien hoe u de theorie over rotatie in de atmosfeer zou kunnen gebruiken als context in de lessen voor het vak natuurkunde.
Op zijn reis door Kenia stopt de chauffeur van Richard J. Wainscoat plotseling, schijnbaar in de the-middle-of-nowhere. Op een bord langs de weg staat de tekst ‘Kenya – This sign is on the equator’. Een ondernemende jongeman wil voor een paar dollar wel een wetenschappelijk experiment doen. Hij vult een schaal met water. De schaal heeft een klein gat in het midden. Op het noordelijk halfrond laat hij zien dat als hij de schaal laat leeglopen het water in de richting van de klok gaat draaien. Op het zuidelijk halfrond draait het juist tegen de wijzers van de klok, en recht onder het bord, op de evenaar, draait het water niet. Richard probeert nog de jongeman te overtuigen dat de draairichting precies andersom zou moeten zijn, maar hij vindt geen gehoor.
Twisters: Rotatie in de atmosfeer Deel 1: Linksom of rechtsom? Wat houdt de lucht in beweging? De lucht in de atmosfeer is voortdurend in beweging. Dagelijkse fietstochten met wind tegen vormen de directe confrontatie van veel Nederlanders met de dynamische en interessante processen die zich in de atmosfeer afspelen. Wat zijn de krachten die de lucht in beweging brengen en houden? Voor dit artikel beperken we ons tot de drukgradiëntkracht, de Corioliskracht en de middelpuntzoekende kracht. De belangrijkste kracht die we daarmee buiten beschouwing laten is de wrijvingskracht en dan met name de wrijving tussen atmosfeer en aardoppervlak (Vakgroep Meteorologie, 1995). In figuur 2 en 3 staan schematische tekeningen van de krachtenbalans van deze krachten bij stroming langs rechte, respectievelijk cirkelvormige isobaren. Een uitgebreidere toelichting bij de figuren vindt u in kader 3. Voor het begrip van roterende systemen (waarover dit artikel gaat), is uiteraard de stroming bij cirkelvormige isobaren van belang. Als we ons om te beginnen beperken tot een cirkelvormige beweging rond een gebied van lage druk, dan is de krachtenbalans zoals in figuur 3: de drukgradiëntkracht is naar het centrum van lagedruk gericht, terwijl de Corioliskracht daarentegen naar buiten is gericht (altijd naar rechts – op het noordelijk halfrond – ten opzichte van de bewegingsrichting). De drukgradiëntkracht en de Corioliskracht heffen elkaar echter niet op, want in dat geval zou er geen nettokracht zijn en de lucht gewoon rechtdoor stromen (zie figuur 2).
Figuur 3: Krachtenevenwicht rond een lagedrukgebied (NH): de wind waait evenwijdig aan de – gekromde – isobaren. De resultante van drukgradiëntkracht en Corioliskracht zorgt voor de benodigde middelpuntzoekende kracht.
De lucht gaat echter de bocht om, dus moet er een resulterende kracht zijn die de middelpuntzoekende kracht levert: in dit geval het netto-effect van drukgradiëntkracht en Corioliskracht.
Linksom of rechtsom? Cyclonaal en anti-cyclonaal Eigenlijk is de vraag ‘linksom of rechtsom?’ niet de juiste vraag als het gaat om rotatie op de aarde. De vraag zou moeten luiden: draaiend in dezelfde richting als de aarde, of tegenovergesteld? De draairichting van de aarde bepalen we daarbij door de aarde te bekijken vanaf een punt boven de pool van het halfrond waar 1. De meteorologische werkelijkheid is specifiek In de natuurkunde van het vwo wordt doorgaans gewerkt met krachten die werken op objecten met een bepaalde massa. Die kracht heeft dan een versnelling tot gevolg. Het probleem voor meteorologen is dat het betreffende object niet zo duidelijk te omlijnen is: ook al spreken we vaak over 'pakketjes lucht', in werkelijkheid is er sprake van een continuüm van lucht. Daarom wordt in de meteorologie meestal gewerkt met een specifieke kracht oftewel de kracht per massa. In feite nemen we op de plek van de atmosfeer waarin we geïnteresseerd zijn een willekeurige kilo lucht. Uiteraard is deze specifieke
Figuur 2: Geostrofisch evenwicht: de geostrofische wind waait evenwijdig aan de isobaren.
kracht uiteindelijk niets anders dan een versnelling.
MAART 2004 |
NVOX
3 | 133
Roelof de Nekker
Nederland is een pissebeddenland. Het veelal vochtige klimaat maakt dat zo’n dertig soorten zich in ons land prima thuis voelen. De kustpissebed houdt zich
Noordelijke Hogeschool Leeuwarden
graag schuil rond rotsachtige kusten, terwijl de mierenpissebed zijn leven door-
Tweedejaarsstudent lerarenopleiding
brengt in een mierennest. Dicht bij huis, op vochtige plaatsen onder bladeren en
exacte vakken,
stenen, zijn bijvoorbeeld ruwe pissebedden en kelderpissebedden te vinden.
Instituut Educatie en Communicatie
Deze soorten lenen zich prima voor een practicumles. Het maken van digitale foto’s en verwerking in Excel geven deze proef een extra dimensie.
Pissebedden gaan digitaal Wie er de tijd voor neemt, gaat een halfuur met de leerlingen naar buiten. Neem mee: een petrischaal en een kwastje. Laat de leerlingen pissebedden zoeken. De dieren zijn goed te vinden in donkere hoekjes, onder bladeren en stenen. Een stuk of tien pissebedden per tweetal is voldoende voor het practicum. Wie minder lestijd ter beschikking heeft, gaat zelf op zoek naar deze kreeftachtigen. Vang de beestjes op de dag van het practicum, en laat ze geen week in het lokaal staan. Pissebedden kunnen slecht tegen de warmte en de lage luchtvochtigheid in het lokaal. Dit experiment is het best uit te voeren in tweetallen. Je hebt nodig: een stopwatch, drie petrischalen (met deksel), warm en koud water en natuurlijk de vers gevangen pissebedden. Start het onderzoek. Vul één petrischaal met warm kraanwater van ongeveer 50°C. Vul een tweede schaaltje met koud water. Doe in de laatste petrischaal vijf pissebedden. Sluit alle schalen af met een deksel. Zet de twee waterbakjes tegen elkaar aan, en plaats de petrischaal met de pissebedden er in het midden bovenop. Leg
Figuur 1: De proefopstelling
tussen de petrischaal met pissebedden en de onderste twee schalen een overheadtransparant met een vakjespatroon. (zie figuur 1) Start de stopwatch. Noteer gedurende drie minuten elke twintig seconden de plaats van de pissebedden. Zo ontstaan er negen waarnemingen. Een ‘waarnemingsprotocol’ is zelf te maken, door bijvoorbeeld de opstelling negen keer te tekenen. Een dergelijk protocol is ook te downloaden via www.trq.nl. Zet telkens kruisjes op de plaatsen van de pissebedden. Trek na negen waarne-
mingen de conclusie waar de beestjes het liefst zitten. In de warmte, in de kou of er tussenin. Maak het geheel nog spannender met een digitale camera. Neem elke twintig seconden een foto Figuur 2: De grafiek van de opstelling. Plaats voor een constant resultaat de camera in een statief. Nu hoeft de leerling enkel negen keer op het knopje te drukken. Verwerk de gegevens in Excel. Dit programma kan gemiddelden berekenen en grafieken maken. (Figuur 2) Handig om te gebruiken in een werkstuk. Vroeger aten mensen pissebedden om brandend maagzuur tegen te gaan. Hoewel dat niet vreemd is, het schild van de beestjes bevat kalk, dat het zuur neutraliseert, is het verstandiger de pissebedden terug te zetten op de vindplaats. Dek de diertjes toe met wat bladeren. Op dit practicum zijn vele variaties te bedenken. Zo kan onderzocht worden of pissebedden houden van een droge, of een vochtige omgeving. Vul een petrischaal met droog zand, en maak de helft daarvan vochtig. Laat de pissebedden in de petrischaal, en volg dezelfde procedure. Op deze manier kan ook worden x bekeken of pissebedden van licht of donker houden.
Bronnen: Turnhout, S. e.a. (2002). Zelf de natuur in. KNNV-uitgeverij. www.trq.nl
MAART 2004 |
NVOX
3 | 147
Hubert Biezeveld
Deze tekst is een bewerking van twee artikelen die eerder verschenen in periScoop1 en The Physics Teacher2. Uitgaande van energiebehoud leid ik een voor-
Zwaag
spellend model af voor de grafieken van y(t) en F(t); daarna vergelijk ik deze grafieken met metingen van y en F. Model en metingen werden uitgevoerd met Coach. Uit de regels van energiebehoud volgt dat de versnelling van een bungeejumper groter is dan g. Dit contra-intuïtieve resultaat wordt bevestigd door de metingen. Het idee om aan model en metingen te beginnen werd gevonden in een artikel van Kagan en Kott in The Physics Teacher3.
De versnelling van een bungeejumper Energiebehoud De jumper met massa M valt aan een touw met massa m en lengte L; de lineaire dichtheid (in kg/m) is dus d = m/L. Het linkerdeel van figuur 1 geeft de beginsituatie weer op t = 0 s; het rechterdeel hoort bij het tijdstip t als de jumper de afstand y heeft afgelegd. Het linkerdeel van het touw zit aan een brug vast en is in rust; de lengte van dit deel is op het tijdstip t toegenomen met 1/2y. Het rechterdeel van het touw (dat nu 1/2y korter is) en de jumper hebben dan de snelheid v. De vette punten in het touw horen bij de zwaartepunten van de twee delen van het touw. De posities van die punten zijn aangegeven. Terzijde zij opgemerkt dat in het onderste punt van figuur 1: Links het begin en het touw wat geks aan de hand is: het rechts de toestand na vallen over linkerdeel van dat punt (als je dat al deafstand y. zeggen kunt) is in rust en het rechterdeel beweegt met de snelheid v. In het algemeen geldt voor de zwaarte-energie van een massa m op een afstand h onder het nulpunt: Ez = –mgh Voor de tijdstippen 0 en t is voor Ez en Ek af te leiden:
De formule voor v is niet te integreren tot een y(t)-formule. Het is interessant om in beide formules twee bijzondere gevallen na te gaan: wat gebeurt er als m = 0 en wat als M = 0 bij y = L? Ik laat dat, net als het goochelen met de letters, aan de lezer over.
Waarom neemt de versnelling toe tijdens de val?
Figuur 2: Het afremmen van een stukje koord met de lengte 1/2dy en de snelheid v1 in de tijd dt.
Figuur 2 geeft de situatie weer op twee tijdstippen die kort na elkaar liggen. In de tijd dt neemt y toe met de afstand dy en de snelheid groeit rechts aan van v1 tot v2. Tegelijk komt aan de linkerkant onderaan een stukje touw met de lengte 1/ dy tot rust dat rechts bewoog 2 met de snelheid v1. De massa van dat stukje is d.1/2dy. Voor deze gebeurtenis geldt volgens de tweede wet van Newton: F.dt = d.1/2dy.v1 De opwaartse kracht F die hiervoor nodig is, wordt door beide helften van het touw geleverd. Dat betekent volgens actie/reactie twee dingen: a) de kracht op de jumper wordt groter dan zijn eigen Mg zodat zijn versnelling groter wordt dan g en b) op de brug werkt een kracht die steeds groter wordt – afgezien nog van het feit dat er steeds meer stil hangend touw aan de brug komt te hangen.
Een model voor y en voor F
Verder geldt :
Na enig goochelen met letters is hieruit toch nog makkelijk af te leiden:
Deze formule kun je differentiëren naar t (kettingregel!), bedenk daarbij dat y_(t) = v. Je vindt dan:
148 |
NVOX
3 | MAART 2004
Uitgaande van de formule voor v2 heb ik een model gemaakt dat op de volgende regels gebaseerd is: • Gewoonlijk laten we de tijd t toenemen met een vaste dt en berekenen we daarna dy. In het model voor de bungeejump ga ik uit van een vaste dy en bereken ik de bijbehorende dt. • De snelheid heeft aan het begin van iedere rekenlus de waarde v1 en krijgt in de loop van de lus de waarde v2, waarbij v2 de v is uit de afgeleide formule. • Iedere dy wordt afgelegd met de gemiddelde snelheid vg = (v1 + v2)/2. • Voor dy geldt dy = vg.dt. Hiermee kunnen we dt berekenen en de tijd t laten aangroeien met dt. • Voor de kracht op de brug geldt: Fb = d.1/2(L + y)g + 1/2d.1/2dy.v1/dt De eerste term is het statische gewicht van het steeds langer wordende stuk touw en de tweede term is de helft van de dyna-
