Hoofdstuk 20. Priemgetallen Het aantal priemgetallen < X

Hoofdstuk 20 Priemgetallen 20.1

Het aantal priemgetallen < X

In Hoofdstuk 3 hebben we kennis gemaakt met de echt elementaire zaken rond priemgetallen zoals unieke priemontbinding en de oneindigheid van de verzameling priemgetallen. Hier gaan we iets dieper in op de vraag hoeveel priemgetallen er nu eigenlijk zijn. Een eerste indicatie wordt gegeven door een opmerkelijk bewijs van Euler over de oneindigheid van de verzameling priemgetallen. ∑1 , genomen over alle priemgetallen p, diStelling 20.1.1 (Euler) De som p vergeert. In iets uitgebreidere taal betekent dit dat de som ∑ 1 p p≤N p priem

naar oneindig gaat als N → ∞. In het bijzonder betekent dit dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Het bewijs van Euler beschouwt het product )−1 ∏( 1 1− p p≤N over alle priemgetallen p ≤ N . Gebruiken we de meetkundige reeksontwikkeling (1 − 1/p)−1 = 1 + 1/p + 1/p2 + · · · dan vinden we ) )−1 ∏ ( ∏( 1 1 1 = 1 + + 2 + ··· 1− p p p p≤N p≤N Om dit laatste product te berekenen moeten we haakjes wegwerken en we krijgen een som van termen van de vorm 1/n waarin n bestaat uit priemfactoren ≤ N . 191

192

HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN

Bovendien komt, vanwege éénduidige priemontbinding, voor elke n die bestaat uit priemgetallen ≤ N de term 1/n in de sommatie voor. In het bijzonder komt elke term 1/n met n ≤ N voor in onze sommatie. Dus ∏( p≤N

1 1 1 + + 2 + ··· p p

)

N ∑ 1 ≥ n n=1

∑ ∏ 1 Omdat de reeks ∞ n=1 n divergeert concluderen we dat het product p≤N (1 − −1 1/p) naar oneindig gaat als N → ∞. 1 Nu komt de finishing touch. Uit elementaire analyse weten we dat x > 12 log 1−x als 0 < x ≤ 1/2. Hieruit volgt, met x = 1/p, ( )−1 ) ∑1 ∏( 1∑ 1 1 1 = log > log 1− −1 p 2 1 − p 2 p p≤N p≤N p≤N Omdat het laatste ∑ 1 product naar ∞ gaat als N → ∞ volgt uit deze ongelijkheid dat de reeks divergeert. 2 p Het is niet moeilijk, maar wel technisch, om bovenstaande analyse wat precieser ∑ 1 uit te voeren. Het blijkt dat p<X p in ongeveer hetzelfde tempo groeit als log log X. Preciezer, Stelling 20.1.2 (Mertens) Het verschil ∑1 − log log X p p<X gaat naar een limiet A als X → ∞. Bovendien geldt ) ∑ ( 1 1 A=γ+ log(1 − ) + p p p priem waarin γ Euler’s constante is. ∑ Hoewel de functie p<X p1 naar oneindig gaat als X → ∞, gaat dit in een ongelofelijk langzaam tempo. Bijvoorbeeld bij X = 104 is de som 2.483 bij X = 105 is het 2.705. Bij X = 106 , 107 vinden we respectievelijk 2.887 en 3.041. We beschouwen nu de functie π(x) die het aantal priemgetallen ≤ x telt. Dus π(x) = #{p ≤ x|p priem}. Het gedrag van deze funktie is altijd een bron van inspiratie geweest voor wiskundigen. De rij priemgetallen heeft een onvoorspelbaar gedrag in die zin, als we een priemgetal hebben dan is het onmogelijk te voorspellen wanneer het volgende

20.1. HET AANTAL PRIEMGETALLEN < X

193

priemgetal zal voorkomen. Bekijken we de funktie π(x) daarentegen dan zien we, mits op grote schaal bekeken, een vloeiend verloop. Ter illustratie volgt hier de grafiek van π(x) voor x ≤ 100, 25 20 15 10 5

20

40

60

80

100

Nemen we nu een grotere schaal, dan zien we de sprongen niet meer en nemen we een vloeiend verloop van de grafiek waar. Hier is bijvoorbeeld de grafiek voor x ≤ 105 , 8000 6000 4000 2000

20000

40000

60000

80000

100000

De grote vraag is of we deze grafiek kunnen identificeren met een ons bekende funktie uit de analyse. Het dichtst bij de werkelijkheid kwam C.F.Gauss. Hij telde het aantal priemgetallen in korte intervallen, maar met grote waarden, en kwam tot de conclusie dat de lokale dichtheid van priemgetallen van de grootte X er uit ziet als 1/ log(X). Wat we hiermee bedoelen illustreren we met de tabel aan het eind van deze paragraaf. Daarin is het aantal priemgetallen s(x) in het interval [x, x + 100000] geteld voor diverse grote waarden van x. Ter vergelijking staat in de laatste kolom 105 / log(x), de lengte van ons interval gedeeld door log(x). Uit dit soort gegevens kwam Gauss tot het vermoeden dat ∫

x

π(x) ∼ li(x) := 2

dt . log t

194


Het teken ∼ geeft een zogenaamde asymptotische gelijkheid aan. In het algemeen, als we schrijven f (x) ∼ g(x) dan bedoelen we daarmee dat f (x)/g(x) → 1 als x → ∞. Het is trouwens niet moeilijk om aan te tonen dat li(x) ∼ x/ log(x) zodat uit het vermoeden van Gauss zou volgen, π(x) ∼

x log x

Het eerste resultaat in deze richting werd bereikt door Chebyshev in 1852. Hij liet zien dat x x 0.92 < π(x) < 1.11 log x log x als x voldoende groot is. De methoden van Chebyshev zijn elementair maar zeer ingenieus en we zullen er in een latere paragraaf iets van laten zien. Hier is trouwens de beloofde tabel. x 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015

s(x) 105 / log(x) 5411 5428 4832 4825 4306 4342 4019 3948 3614 3619 3382 3340 3045 3102 2804 2895

De belangrijkste stap in de studie van π(x) werd in 1860 gezet door de beroemde wiskundige Riemann. We besteden hier de volgende paragraaf aan.

20.2

De Riemann zeta-functie

In zijn studie van π(x) gebruikte Riemann de functie ζ(s) =

∞ ∑ 1 ns n=1

waarin s een complex getal is met reëel deel groter dan 1, opdat de reeks convergeert. Tussen haakjes, in deze paragraaf zal het gedrag van ζ(s) voor complexe s van cruciaal belang zijn. Enige vertrouwdheid met complexe getallen is hier dus wel gewenst. Hoewel Euler de functie ζ(s) al eerder bekeken had in verband met priemgetallen, is hij toch naar Riemann vernoemd. De relatie met priemgetallen, zoals Euler reeds opmerkte, wordt gegeven door de zogenaamde Euler factorisatie.

20.2. DE RIEMANN ZETA-FUNCTIE

195

Stelling 20.2.1 (Euler) Zij s een complex getal met reëel deel groter dan 1. Dan geldt, )−1 ∏( 1 ζ(s) = 1− s p p waarin het product genomen wordt over alle priemgetallen. We zullen ons bewijs beperken tot reële getallen s groter dan > 1 om het iets eenvoudiger te maken. Beschouw eerst het product ∑ 1 ∑ 1 1 − . ζ(s)(1 − s ) = 2 ns n=1 (2n)s n=1 ∞

∞

Rechts staat de som van alle 1/ns minus de som van 1/ms over alle even m(= 2n). Het verschil is dus de som van 1/ns over alle oneven getallen n. Evenzo is ζ(s)(1 − 1/2s )(1 − 1/3s ) gelijk aan de som van 1/ns over alle n die noch deelbaar door 2, noch deelbaar door 3 zijn. Kies nu N willekeurig en zij p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr de verzameling priemgetallen ≤ N . Dan is ζ(s)(1 − 1/ps1 ) · · · (1 − 1/psr ) gelijk aan de som van 1/ns over alle n die niet deelbaar zijn door een priemgetal ≤ N . In het bijzonder impliceert dit dat ofwel n = 1 ofwel n > N . Dus ∑ 1 1 1 (20.1) 1 < ζ(s)(1 − s ) · · · (1 − s ) < 1 + p1 pr ns n>N ∑ We weten door middel van de afschattingen uit de Appendix dat n>N 1/ns < ∑ N 1−s /(s − 1). Omdat s > 1 volgt hieruit dat∏ n>N 1/ns → 0 als N → ∞. Laat nu N → ∞ in (19.1) en we vinden dat ζ(s) p (1 − 1/ps ) = 1. Hieruit volgt ons Euler product. 2 Eén van Riemann’s ontdekkingen was dat ζ(s) analytisch kan worden voortgezet tot het complexe vlak met uitzondering van s = 1, waar de functie een pool van eerste orde heeft. Het zou te ver voeren om dit hier allemaal uit te leggen. Wat we wel kunnen laten zien is dat, hoewel we ζ(s) alleen definieerden voor s met Res > 1, deze functie op natuurlijke wijze uit te breiden is tot een functie op het gebied Res > 0, s ̸= 1. Dit gaat als volgt. Voor Res > 1 geldt, ∫ ∞ ∞ ∑ 1 1 dx ζ(s) − = − s s−1 n xs 1 n=1 ∫ ∞ ∫ ∞ dx dx − = s [x] xs 1 ) ∫1 ∞ ( 1 1 = − s dx s [x] x 1 Nu komt de belangrijke opmerking. Het verschil 1/[x]s −1/xs kunnen we schrijven als ∫ x 1 dt 1 − s =s s s+1 [x] x [x] t

196


Neem nu aan beide zijden de absolute waarde en schat de integraal af, ∫ x 1 1 dt [x]s − xs ≤ |s| s+1 | [x] |t ∫ x dt = |s| Res+1 [x] t 1 ≤ |s| Res+1 [x] ∫∞ Res+1 Omdat 1 dx/[x] convergeert voor alle Res > 0, volgt hieruit dat ook ∫∞ de integraal 1 (1/[x]s − 1/xs )dx convergeert voor alle Res > 0. Deze integraal definieert dus een functie op, die kan worden gezien als een natuurlijke voortzetting van ζ(s) tot het gebied Res > 0. Het gebied 0 < Res < 1 wordt wel de kritieke strook genoemd. Het gedrag van ζ(s) in de kritieke strook is van cruciaal belang voor de theorie van de priemgetallen en dit was de schitterende ontdekking van Riemann. Eén van de vragen die Riemann over ζ(s) stelde is zo hardnekkig onbeantwoord gebleven, dat het nu te boek staat als het volgende vermoeden,

Vermoeden 20.2.2 (Riemann hypothese) Alle nulpunten van ζ(s) in de kritieke strook liggen op de lijn Res = 1/2.

Talloze wiskundigen na Riemann hebben hun tanden stukgebeten op dit probleem en tot nu is het nog steeds onopgelost. Naast het, inmiddels opgeloste, vermoeden van Fermat is dit één van de bekendste problemen in de wiskunde. Uit Riemann’s nalatenschap blijkt dat hij zelf, met de hand, expliciet nulpunten berekend had tot vele decimalen nauwkeurig. Dit alleen al mag een prestatie van formaat worden genoemd. Omdat de nulpunten symmetrisch rond de x-as liggen, kunnen we ons beperken tot nulpunten met positief imaginair deel. Tevens ordenen we deze punten naar stijgend imaginair deel. Recente computerberekeningen door Brent, v.d.Lune, te Riele en Winter hebben aangetoond dat de eerste 1.5 × 109 nulpunten inderdaad op de lijn Res = 1/2 liggen. Verder toonde Levinson in 1974 aan dat minstens een derde van de nulpunten op deze lijn ligt. Uit het nagelaten werk van Riemann leidde C.L.Siegel af dat Riemann zijn numerieke berekeningen baseerde op een verwante, reële, functie Z(t) die de eigenschap heeft dat |Z(t)| = |ζ( 12 + it)| voor alle t ∈ R. Voor de aardigheid volgt hier een grafiek van Z(t) gemaakt met het wiskundige pakket Mathematica,

20.2. DE RIEMANN ZETA-FUNCTIE

197

4

2

20

40

60

80

100

-2

-4

Wat is het belang van de nulpunten van ζ(s)? Het blijkt dat als de Riemann hypothese waar is, dan geldt dat π(x) − li(x) √ x log x naar nul gaat als x → √ ∞. Grof gezegd, het verschil tussen π(x) en li(x) is van de orde van grootte x log x, een stuk kleiner dus dan de grootte van li(x) zelf. Hieronder volgt een grafiek van de functie li(x) − π(x) voor x < 10000, 20 15 10 5 2000

4000

6000

8000

10000

-5

Men zou misschien kunnen denken dat het verschil li(x) − π(x) altijd positief is. Het blijkt in ieder geval voor alle x < 1016 zo te zijn. Dat experimentele resultaten soms bedriegelijk kunnen zijn werd duidelijk toen Littlewood (1914) aantoonde dat li(x) − π(x) oneindig vaak van teken verandert. Echter het punt waar li(x)−π(x) voor het eerst negatief wordt, heeft men nog nooit gezien. Onder aanname van de Riemann hypothese bewees Skewes in 1933 dat dit punt kleiner 1034 dan 1010 is. Getallen van dit formaat werden al snel Skewes getallen genoemd. Tegenwoordig is deze grens verbeterd en weet men, zonder de Riemann hypothese aan te nemen, dat li(x) − π(x) negatief is voor een x kleiner dan 6.7 × 10370 . Gelukkig hebben we niet de volle Riemann-hypothese nodig om iets over priemgetallen te kunnen concluderen. Met wat minder informatie ook wat te doen. Het

198


is namelijk niet heel moeilijk om aan te tonen dat ζ(s) geen nulpunten op de lijn Res = 1 heeft. Met deze informatie slaagden Hadamard en De la Vallée-Poussin er, onafhankelijk van elkaar, in de volgende stelling te bewijzen. Stelling 20.2.3 (Priemgetalstelling, 1899) Er geldt, π(x) ∼

x . log(x)

In 1949 gaven Selberg en Erdös, min of meer onafhankelijk van elkaar, een elementair bewijs van deze stelling. Elementair wil zeggen dat er geen gebruik wordt gemaakt van eigenschappen van de complexe ζ-functie. Het wil echter niet zeggen dat het een eenvoudig bewijs is!

20.3

Lokale verdeling

In de vorige paragraaf hebben we het gehad over de groei van de functie π(x). Deze functie geeft de globale groei van het aantal priemgetallen weer. Het is ook interessant om eens naar het lokale gedrag te kijken. Een vraag is bijvoorbeeld, gegeven een priemgetal p, hoe groot is het volgende priemgetal? Anders gezegd, hoe groot of klein kan de afstand tussen twee opeenvolgend priemgetallen zijn. We kunnen gemakkelijk laten zien dat deze afstand willekeurig groot kan zijn. Kies namelijk N ∈ N willekeurig en beschouw de rij getallen N !+2, N !+3, . . . , N !+N . Omdat N !+k deelbaar is door k is geen van de getallen in onze rij priem. Door N willekeurig groot te kiezen kunnen we op deze wijze het bestaan van willekeurig lange ‘gaten’ in de rij priemgetallen aantonen. Chebyshev bewees met elementaire methoden dat elk interval van de vorm [n, 2n] een priemgetal bevat. Hiermee werd het zogenaamde postulaat van Bertrand bewezen. Met behulp van de priemgetalstelling is het niet moeilijk om aan te tonen dat voor elke θ > 1 en voldoend grote n elk interval [n, θn] een priemgetal bevat. Met geavanceerde methoden uit de analytische getaltheorie weet men nu dat er een C > 0 bestaat zodat elk interval [n, n + Cnθ ] een priemgetal bevat, waarin θ = 11/12 − 1/384 (Iwaniec, Pintz, Mozzochi). Indien de Riemann-hypothese waar is kan men θ = 1/2 aantonen. Grofweg zou dit betekenen dat er tussen elk tweetal gehele kwadraten en priemgetal ligt. Echter, men vermoedt dat er nog iets veel sterkers waar is. Een vermoeden van Cramér zegt dat er een C > 0 is zo dat elk interval [n, n + C(log n)2 ] een priemgetal bevat. Niemand heeft echter enig idee hoe een dergelijk probleem aangepakt moet worden. Aan de andere kant gebeurt het opvallend vaak dat twee opeenvolgende oneven getallen priem zijn. We noemen dergelijke paren priemtweelingen. Voorbeelden: (71, 73), (1997, 1999), (20771, 20773), enzovoort. Het blijkt dat ze relatief vaak voorkomen. Het grootst bekende paar in 1993 was 4650828×1001×103429 ±1 maar

20.4. ELEMENTAIRE BESCHOUWINGEN

199

intussen zal dit record wel weer gebroken zijn. Net als bij de priemgetallen kunnen we een telfunctie π2 (x) invoeren die het aantal priemtweelingen kleiner dan x aangeeft. Om een idee van de groei van π2 (x) te krijgen treden we in de voetsporen van Gauss en tellen het aantal priemtweelingen s2 (x) in het interval [x, x+100000] voor diverse x. Ter vergelijking geven we ook het aantal priemgetallen s(x). Hier zijn de resultaten, x 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015

s(x) s2 (x) 5411 377 4832 341 4306 262 4019 182 3614 171 3382 142 3045 123 2804 117

(1.32) × 105 /(log x)2 389 307 249 205 172 147 127 110

De getallen in de laatste kolom vormen de verwachting van het aantal priemgetaltweelingen op grond van heuristische beschouwingen die we hier niet zullen uitvoeren (zie [HW] hoofdstuk XXII).Het ∏ getal 1.32 bovenin de laatste kolom is een afronding van het oneindige product p (1 − 1/(p − 1)2 ) genomen over alle oneven priemgetallen p. Als de verwachtingen kloppen, dan zou het aantal priemgetaltweelingen kleiner ∏ dan x asymptotisch gelijk zijn aan π2 (x) ∼ Cx/(log x)2 met C = p (1 − 1/(p − 1)2 ). Helaas is er nog niets van dit alles bewezen. Het is zelfs niet bekend of er oneindig veel priemgetaltweelingen zijn en de vraag naar de (on)eindigheid van deze verzameling behoort tot de bekendste problemen in de getaltheorie. Eén van de weinige bewezen∑ resultaten op dit gebied vormt de stelling van Brun (1919), die zegt dat de reeks p p1 , genomen over alle p behorend tot een priemgetaltweeling, convergent is. Dit in tegenstelling tot de som over alle priemgetallen die divergeert, zoals we gezien hebben. Om zijn stelling te bewijzen introduceerde Brun een nieuwe techniek in de getaltheorie, namelijk die van de zeefmethoden. Tegenwoordig is dit één van de standaardtechnieken in wat men noemt de analytische getaltheorie.

20.4

Elementaire beschouwingen

Na alle vermoedens en speculaties uit de vorige paragrafen willen we nu ook echt iets gaan bewijzen. Doel van deze paragraaf is het bewijs van de volgende stelling. Stelling 20.4.1 Voor elke n ≥ 3 geldt, n 1 n < π(n) < 2 . 2 log n log n

200


Allereerst gebruiken we voor de afleiding van de bovengrens voor π(x) de binomiaalcoëfficient (zie eventueel de Appendix) ( ) 2m 2m(2m − 1) · · · (m + 1) = m m(m − 1) · · · 2 · 1 en het feit dat dit een geheel getal is. De cruciale opmerking is dat in de teller alle priemgetallen p met m < p ≤ 2m optreden en dat ze (niet) door de factoren ∏ uit de noemer worden weggedeeld. Dus m 1 en merk op dat ( ) ( ) ( ) 2(m − 1) 2m 2m(2m − 1) 2(m − 1) <4 = m·m m−1 m−1 m Ons Lemma volgt nu door inductie naar m.

2

Een iets eleganter manier om dit Lemma aan te tonen is ∑ de opmerking dat uit (n) n n de binomiaalformule van Newton, k=0 k door x = 1 (n) 21.1,n volgt dat 2 = in te vullen. Hieruit volgt dat < 2 voor elke k, n ∈ N. In het bijzonder, k (2m) 2m m <2 =4 . m Hoe dan ook, we concluderen dat voor alle m ∈ N geldt, ∏ p < 4m . p priem m
Het aantal factoren in het product is gelijk aan π(2m) − π(m). Al deze factoren zijn groter dan m. Dus volgt, mπ(2m)−π(m) < 4m . Na het nemen van logaritmen aan beide zijden en deling door log m concluderen we dat π(2m) − π(m) < m log 4/ log m. We kunnen nu onze bovengrens door inductie naar n afleiden. Omdat, behalve 2, alle priemgetallen oneven zijn, geldt π(n) ≤ (n + 1)/2. Elementaire analyse laat zien dat (n + 1)/2 kleiner is dan 2n/ log n voor alle n ≤ 400 en dus is onze bovengrens waar voor alle n ≤ 50. Stel nu n > 400 en dat de bovengrens in de Stelling geldt voor alle π(k) met k < n. Stel n = 2m als n even is en n = 2m + 1

20.4. ELEMENTAIRE BESCHOUWINGEN

201

als n oneven is. In de volgende berekening maken we gebruik van onze bovengrens voor π(2m) − π(m) en de inductiehypothese, π(n) ≤ < = ≤

π(2m) + 1 = π(2m) − π(m) + π(m) + 1 m log 4/ log m + 2m/ log m + 1 (2 + log 4)m/ log m + 1 (1 + log 2)n/ log(n/2) + 1

Elementaire analyse laat zien dat deze laatste bovengrens kleiner is dan 2n/ log n voor alle n ≥ 150 en daarmee is onze inductiestap afgerond. 2 Voor de afleiding van de ondergrens gebruiken we een iets ander idee. Beschouw de integraal ∫ 1 tm (1 − t)m dt. Im = 0

Omdat de integrand positief is in het open interval geldt Im > 0. Verder geldt |tm (1 − t)m | ≤ (1/4)m voor alle t ∈ [0, 1]. Dus, Im < (1/4)m . Anderzijds is Im een rationaal getal. Dit kunnen we zien door de haakjes in tm (1 − t)m weg te werken en term voor term te integreren. Haakjes wegwerken levert een lineaire combinatie met gehele coëfficienten van tk met k = m, m + 1, . . . , 2m. Integratie van tk levert 1/(k + 1). Met andere woorden Im is een gehele lineaire combinatie van de getallen 1/(k + 1) met k = m, . . . , 2m. Gevolg, Im is een rationaal getal waarvan de noemer een deler is van kgv(m+1, m+2, . . . , 2m+1). Omdat Im niet nul is, is het groter of gelijk 1/kgv(m + 1, . . . , 2m + 1). Combineren we dit met de bovengrens voor Im dan vinden we kgv(m + 1, . . . , 2m + 1) > 4m en, omdat kgv(1, 2, . . . , 2m + 1) ≥ kgv(m + 1, . . . , 2m + 1) kgv(1, 2, . . . , 2m + 1) > 4m Nu volgt een belangrijk Lemma. Lemma 20.4.3 Voor elke N ∈ N geldt, kgv(1, 2, . . . , N ) < N π(N ) . We kunnen dit zien door op te merken dat het kgv van de getallen 1, 2, . . . , N als volgt tot stand komt. Van elk priemgetal p bepalen we de grootste k zó dat pk ≤ N en vervolgens vermenigvuldigen we de machten pk met elkaar. Dit product gaan we nu afschatten, ∏ kgv(1, 2, . . . , N ) = p[log N/ log p] p

<

∏

p(log N/ log p)

p

=

∏ p

N = N π(N )

202

HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN 2

In ons geval volgt door toepassing van dit Lemma dat 4m < (2m + 1)π(2m+1) . Na het nemen van logaritmen en deling door log(2m + 1), geeft dit π(2m + 1) > m log 4/ log(2m + 1) Kies nu n ∈ N willekeurig. Stel n = 2m + 1 als n oneven is en n = 2m + 2 als n even is. Merk nu op dat π(n) = π(2m + 1) > m log 4/ log(2m + 1)) ≥ (log 4)(n/2 − 1)/ log(n − 1) Elementaire analyse laat zien dat de laatste ondergrens groter is dan 0.5n/ log(n) als n ≥ 10. En zo vinden we de gewenste ondergrens als n ≥ 10. Voor n = 3, 4, . . . , 9 controleren we de ondergrens numeriek. 2 Tenslotte volgt hier nog een heel amusante opgave van H.W.Lenstra. Bewijs dat er oneindig veel waarden van n zijn zó dat π(n) een deler is van n. Het aardige is dat het bewijs helemaal niet diepzinnig is, maar wel veel te leuk om hier te verklappen. Als hint kan ik de lezer meegeven dat we alleen maar limn→∞ π(n)/n = 0 hoeven te gebruiken.

Hoofdstuk 20. Priemgetallen Het aantal priemgetallen < X

Recommend Documents