H OGERE Z EEVAARTSCHOOL A NTWERPEN S CHEEPSWERKTUIGKUNDE
Basiselektriciteit
Author: Willem M AES
December 6, 2010
Contents 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
I NLEIDING . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.1 Voorkennis . . . . . . . . . . . . . . 0.1.2 Boek . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.3 Cursus . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1.4 Voorvoegsels . . . . . . . . . . . . . S TROOM S PANNING EN W EERSTAND . . . 0.2.1 Lading,Q (Coulomb, C) . . . . . . . 0.2.2 Stroom, I (Ampère, A) . . . . . . . . 0.2.3 Spanning, U of V (Volt,V) . . . . . . 0.2.4 Geleidbaarheid, G(Siemens,S) . . . . 0.2.5 Weerstand, R [Ohm,Ω] . . . . . . . . 0.2.6 Vermogen, P [Watt, W] . . . . . . . . 0.2.7 oefeningen . . . . . . . . . . . . . . S CHAKELINGEN MET WEERSTANDEN . . . 0.3.1 Serieschakeling. . . . . . . . . . . . 0.3.2 Parallelschakeling . . . . . . . . . . 0.3.3 Spanningsdeler . . . . . . . . . . . . S TELLINGEN EN THEOREMA’ S . . . . . . . 0.4.1 De wetten van Kirchoff. . . . . . . . 0.4.2 Het theorema van Thévenin. . . . . . C ONDENSATOREN . . . . . . . . . . . . . . 0.5.1 Lading. . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5.2 Parallelschakeling . . . . . . . . . . 0.5.3 Serieschakeling . . . . . . . . . . . . M AGNETISME . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . 0.6.2 Krachtwerking . . . . . . . . . . . . 0.6.3 Elektromagnetische inductie . . . . . 0.6.4 Wervelstromen . . . . . . . . . . . . 0.6.5 Enkele toepassingen van magnetisme 0.6.6 Schakelen van spoelen . . . . . . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 5 5 5 7 7 7 7 8 8 9 10 12 12 13 14 15 15 16 19 19 20 21 21 21 22 27 29 30 32
0.7
OVERGANGSVERSCHIJNSELEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 0.7.1 De RL keten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 0.7.2 De RC keten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
List of Figures 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Een schakeling van weerstanden in serie. . . . . . . . . . . . . . . Twee weerstanden in een parallelschakeling. . . . . . . . . . . . . Stromen in een parallelschakeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . Som van stromen in een knooppunt is nul. i1 + i4 = i2 + i3 . . . Som van spanningen in een gesloten lus is nul. v1 + v2 + v3 = v4. equivalent netwerk volgens Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . stap 0: Oorspronkelijk netwerk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . stap 1: De open-klemspanning bedraagt 7,5 Volt. . . . . . . . . . stap 3: De inwendige weerstand bedraagt 2 KΩ. . . . . . . . . . . Het Thevenin equivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ladingen op een condensator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condensatoren parallelgeschakeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . Condensatoren in serie geschakeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . magnetische veldlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . veldlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . magnetiseringskarakteristiek voor (links) para-en diamagnetisch materiaal en (rechts) ferromagnetisch materiaal . . . . . . . . . . hysteresislus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . inductiespanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zelfinductie in een winding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . wervelstromen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rechterhandregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . linkerhandregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
12 13 13 15 16 16 17 18 18 19 19 20 21 23 25 26 27 28 29 30 31 31
List of Tables
4
0.1
I NLEIDING
0.1.1
Voorkennis
De leerstof in deze module sluit aan op de leerstof uit het secundair onderwijs. Studenten uit het ASO zullen aansluiting vinden bij bepaalde hoofdstukken uit het vak fysica. Studenten met een industrieel technische vooropleiding zullen deze leerstof mischien al volledig hebben behandeld. Studenten waarvoor deze leerstof nieuw is worden sterk aangemoedigd om deze leerstof goed te doorgronden. Dit is een voorwaarde om de volgende modules succesvol te kunnen volgen.
0.1.2
Boek
Volgend boek wordt gedurende de volgende drie jaar gebruikt tijdens de lessen elektriciteit [Wildi, 2006] Electrical Machines, Drives, and Power Systems van Theodore Wildi ISBN 0-13-196918-8. Het boek kan besteld worden bij alle grote online uitgeverijen, er zijn ook een aantal exemplaren voor inzage beschikbaar in de biblotheek.
0.1.3
Cursus
De cursus en alle bijkomende informatie over de cursus elektriciteit kan u terugvinden via deze link. http://magelhaes.hzs.be/willem
0.1.4
Voorvoegsels
Terra T Giga G Mega M Kilo K milli m micro µ nano η pico p
x109 x109 x106 x103 x10−3 x10−6 x10−9 x10−12
In de elektriciteit en electronica verkiezen we het weergeven van getallen met behulp van deze voorvoegsels. De wetenschappelijke notitie die bijvoorbeeld in de fysica wordt gebruikt komen we in ons vakdomein zelden tegen. Bij een stroom van 0,012A spreken we dus van 12mA (=12 x 10−3 A) in plaats van 1,2 x 10−2 A
5
zoals in de natuurkunde gebruikelijk is. We schrijven ook nooit 0, 15mV . In plaats schrijven we 150µV.
6
0.2
S TROOM S PANNING EN W EERSTAND
0.2.1
Lading,Q (Coulomb, C)
Een lichaam is negatief elektrisch geladen als het teveel electronen heeft. Een lichaam is positief elektrisch geladen als het te weinig electronen heeft. De lading die ontstaat door het teveel of te weinig van 1 electron is 1,60217653x10..19 C. Elektrische lading kan door direct contact, worden overgebracht van het ene lichaam naar het andere lichaam. De coulomb is de grootte van de elektrische lading die, in het vaccuum, op een identieke lading geplaatst op 1 meter afstand, een afstotingskracht uitoefent van 9 Gnewton. Op deze manier is een coulomb natuurlijk zeer moeilijk te bepalen, daarom gaan we de coulomb afleiden van de eenheid van stroomsterkte, nl. de Ampère (A). De definitie van de coulomb is dan: De coulomb is de grootte van de elektrische lading welke verplaatst wordt in de dwarsdoorsnede van een geleider in de tijd van 1 seconde als een constante stroom van 1 ampère er doorheen vloeit (1C = 1A.1s).
0.2.2
Stroom, I (Ampère, A)
Wanneer electronen zich verplaatsen in een elektrische kringloop spreekt men van elektrische stroom. De elektrische stroom geeft weer hoeveel elektrische lading zich in een bepaalde tijd verplaatst. I=
dq C [ = A] dt s
De richting waarin de elektronen zich verplaatsen noemen we de elektronenstroomzin. Tegengesteld hieraan is de conventionele stroomzin.
0.2.3
Spanning, U of V (Volt,V)
Elektrische spanning is het verschil in elektrisch potentiaal tussen twee punten. Een spanning van 1V treedt op tussen twee punten wanneer 1 joule energie wordt uitgewisseld bij het verplaatsen van een lading van 1 Coulomb. U=
W Q
Elektrische bronnen hebben aan hun plusklem een hoger potentiaal dan aan hun minklem. Wanneer we nu een verbinding maken tussen de beide polen zal er ten
7
gevolge van het potentiaalverschil een verplaatsing van elektrische lading op gang komen. Er zal met andere woorden een elektrische stroom vloeien.
0.2.4
Geleidbaarheid, G(Siemens,S)
De grootte van de elektrische stroom die er gaat vloeien ten gevolge van een verbinding tussen twee polen met een elektrisch potentiaalverschil is afhankelijk van de kwaliteit van de stof van de verbinding. Sommige stoffen zoals goud, koper, alluminium,... geleiden elektrische stroom goed (geleiders) andere stoffen rubber, pvc, glas,... geleiden de stroom slecht (isolatoren). De geleidbaarheid geeft aan in welke mate een component de elektrische stroom kan geleiden. We spreken van een betere geleidbaarheid wanneer er voor eenzelfde spanning (verschil van potentiaal) meer stroom vloeit. G=
0.2.5
I A [ = S] U V
Weerstand, R [Ohm,Ω]
Tegengesteld aan de geleidbaarheid geeft de weerstand aan in welke mate een component het vloeien van een elektrische stroom bemoeilijkt. Of met andere woorden, in welke mate het component een weerstand vormt voor de stroom die er vloeit bij een bepaalde spanning. De verhouding van de elektrisch aangelegde spanning op de bijhorende stroom blijkt een lineair gedrag te vertonen. Deze wetmatigheid noemen we de wet van Ohm. V U [A = ] I Ω Het quotient van spanning op stroom is dus een constante. Deze constante noemen we de ohmse weerstand. I=
R=
U 1 1 = [Ω = ] I G S
De formule van Pouillet en de factoren die de weerstand van een draad bepalen. • De factoren Men kan experimenteel vaststellen dat de weerstand – evenredig is met de lengte l van de geleider. 8
– omgekeerd evenredig is met het oppervlak A van de doorsnede van de geleider. – afhankelijk is van de aard van het metaal. • Formule van Pouillet en de specifieke weerstand of de resistiviteit. Voorgaande analyse leidt tot de formule R=ρ
l A
Om rekening te houden met de aard van het metaal wordt gebruik gemaakt van een evenredigheidsfactor ρ, die functie is van het metaal. ρ stelt bijgevolg de weerstand voor van een draad van 1m lengte en met een doorsnede van 1 m2 . ρ wordt de resistiviteit of de specifieke weerstand van het metaal genoemd, en wordt uitgedrukt in Ω.m.
0.2.6
Vermogen, P [Watt, W]
Vermogen is de grootheid die de geleverde arbeid per tijdseenheid voorstelt. In het geval waarbij een spanningsbron wordt aangesloten over een weerstand en waardoor er dus een elektrische stroom zal vloeien kunnen we het geleverde vermogen berekenen door de aangelegde spanning te vermenigvuldigen met de bekomen stroom. P = U.I [W = V.A] Wanneer we de vermogenswet combineren met de wet van ohm krijgen we een aantal afgeleide formules. P = U.I = U.
U2 U = R R
P = U.I = I.R.I = I 2 .R Bij een dergelijke weerstand zal het geleverde vermogen worden omgezet in warmte. Dit proces noemen we dissiperen. Daarom spreken we hier over het gedissipeerde vermogen.
9
0.2.7
oefeningen
1. Een lamp wordt aangesloten aan een gelijkspanning van 220V. Ze neemt een stroom op van een halve ampère. • Teken het schema van het circuit. • Bepaal het vermogen van de lamp.(110W) • Bepaal de energie ontvangen in 5 uren.(1980 kJ) • Hoeveel coulomb zijn er door de lamp gegaan gedurende deze 5 uren ? (9000C) 2. Een elektrische motor van 7,5 kW wordt gekoppeld aan een gelijkspanning van 380V. • Wat is de stroom opgenomen door de motor ? (19,74A) • Welke lading gaat er doorheen, uitgedrukt in coulomb en Ah, als hij draait gedurende twee uren ? (142.000 C=39,47 Ah) 3. Een elektrisch apparaat is gekoppeld aan een gelijkspanning van 5 kV. Het verbruikt 0,72MJ in 2 uur. • Bereken de stroom door het apparaat in mA. (20 mA) • Teken het schema van het circuit. 4. Een elektrische radiator is gekoppeld aan een gelijkspanning van 220 V. Hij ontwikkelt een vermogen van 1,1 kW. Bepaal • de weerstand van het toestel.(44Ω) • de stroom door het toestel.(5A) • wat er gebeurt met het vermogen als het toestel werkt. 5. Bereken de weerstand van een koperdraad van 1 km lengte en een diameter van 1 mm, ρ = 1, 652.10−8 Ω.m. (Antwoord: R=21Ω) 6. Een lange kabel bestaande uit 2 koperen geleiders wordt aan het einde kortgesloten. Aan de andere uiteinden meet men een totale weerstand van 100Ω. De diameter van de geleiders bedraagt 1mm. Bereken de lengte van de kabel. (Antwoord: l=2,377 km). 7. Om een weerstand te maken van 2Ω wordt gebruik gemaakt van een draad van manganine waarvan ρ = 0, 42.10− 6Ω.m. Zijn diameter bedraagt d=0,5mm. Hoelang moet deze draad zijn ? (93,5m) 10
8. Een hoogspanningslijn van 1200 km lengte is samengesteld uit 2 koperen geleiders, elk met een doorsnede van 2cm2 . (ρ = 1, 652.10−8 Ω.m). De generator levert 200 MW bij een spanning van 400 kV. Bereken • De stroom door de geleiders.(500A) • de spanningsval op de geleiders (99.120V) • de beschikbare spanning op het einde van de lijn.(300,880 kV) • het vermogenverlies op de lijn, evenals het energieverlies per uur.(49,46 MW) • het rendement van het energietransport. (75%) • indien de generator dezelfde energie zou leveren, maar aan een spanning van 200 kV, wat zou dan het rendement zijn ? (2%) • Welke besluiten moeten gekoppeld worden aan de antwoorden e) en f)?
11
0.3
S CHAKELINGEN MET WEERSTANDEN
0.3.1
Serieschakeling.
Een serieschakeling is een elektronische configuratie van componenten of deelschakelingen waarbij de stroom door de individuele componenten of deelschakelingen gelijk is, en de spanning over alle deelcomponenten wordt verdeeld. Analyse In een schakeling zijn elementen in serie als en alleen als ze door dezelfde stroom worden doorlopen. De stroom in elk van de elementen is dus gelijk aan I = I1 = I2 = ... = In
Figure 1: Een schakeling van weerstanden in serie. Bij serieschakeling van bijvoorbeeld drie gelijke weerstanden wordt de spanning over de weerstanden gelijk verdeeld. De spanning over de vervangingsweerstand is dus driemaal zo groot als die door de individuele componenten. De stroom door de vervangingsweerstand is gelijk aan die door de individuele componenten. De weerstand van de vervangingsschakeling is dus driemaal van die van de individuele componenten. Algemeen geldt: Rtotal = R1 + R2 + .... + Rn Deze vergelijking kan bewezen worden gebruik makend van de eigenschappen van de schakeling: Utotal = U1 + U2 + .... + Un Itotal = I1 = I2 = ...In Door gebruik te maken van de wet van Ohm en de twee bovenstaande vergekijkingen kunnen we schrijven dat: Utotal = R1 .I + R2 .I + .... + Rn .I Utotal = R1 + R2 + .... + Rn I Rtotal = R1 + R2 + .... + Rn
12
Figure 2: Twee weerstanden in een parallelschakeling.
0.3.2
Parallelschakeling
Een parallelschakeling is een elektronische configuratie van componenten of deelschakelingen waarbij de stroom over de individuele componenten -of deelschakelingenwordt verdeeld, en de spanning op alle deelcomponenten gelijk is. Analyse
Figure 3: Stromen in een parallelschakeling. Door componenten parallel te schakelen, ontstaat een analoog van een nieuw component die wordt voorgesteld door de vervangingsschakeling. Van deze vervangingsschakeling kunnen de eigenschappen worden afgeleid uit de individuele componentwaarden. De totale stroom in een parallelschakeling is gelijk aan de stroom door de verschillende takken van de schakeling heen. Itotaal = I1 + I2 + .... + In De spanning is over ieder deel van de parallelschakeling gelijk. Utotal = U1 = U2 = .... = Un Bij parallelschakeling van bijvoorbeeld drie gelijke weerstanden verdeelt de stroom zich gelijkelijk. De stroom door de vervangingsweerstand is dus driemaal zo groot 13
als die door de individuele componenten. De spanning over de vervangingsweerstand is gelijk aan die van de individuele componenten. De weerstand van de vervangingsschakeling is dus een derde van die van de individuele componenten. Algemeen geldt: 1 1 1 1 = + + .... Rtotal R1 R2 Rn De vervangweerstand van een parallelschakeling is dus altijd kleiner dan elk van de individuele weerstanden. We kunnen deze formule bewijzen door gebruik te maken van de eigenschappen van de schakeling: Utotal = U1 = U2 = .... = Un Itotal = I1 + I2 + .... + In Door gebruik te maken van de wet van Ohm en de twee bovenstaande formules kunnen we schrijven dat: Itotal =
U U U U + + .... + = R1 R2 Rn Rtotal
Na vereenvoudigen naar U: 1 Rtotal
=
1 1 1 + + .... + R1 R2 Rn
Indien we slechts twee weerstanden in parallel hebben kunnen we ook schrijven dat: 1 Rtotaal = 1 + R11 R1 Vaak wordt de volgende schrijfwijze gebruikt voor parallelschakeling van twee weerstanden: R1 .R2 Rtotaal = R1 + R2
0.3.3
Spanningsdeler
Een spanningsdeler is een schakeling die een elektrische spanning in delen splitst. Het doel is om van een beschikbare spanningsbron, bijvoorbeeld een batterij, een lagere spanning af te leiden. Dit gebeurt door de spanningsbron over twee of meer in serie geschakelde weerstanden te zetten.
14
0.4
S TELLINGEN EN THEOREMA’ S
0.4.1
De wetten van Kirchoff.
In de elektrotechniek wordt onder de wetten van Kirchhoff een tweetal veelgebruikte regels verstaan die voortkomen uit de principes van behoud van energie en lading in elektrische kringen. De wetten zijn vernoemd naar de natuurkundige Gustav Robert Kirchhoff. Deze twee regels werden voor het eerst in 1845 beschreven en kunnen worden afgeleid uit de Maxwellvergelijkingen. Stroomwet van Kirchhoff
Figure 4: Som van stromen in een knooppunt is nul. i1 + i4 = i2 + i3 Uit het principe van behoud van elektrische lading volgt de eerste wet van Kirchhoff, ook wel de Stroomwet van Kirchhoff genoemd. In elk knooppunt in een elektrische kring is de som van de stromen die in dat punt samenkomen gelijk aan de som van de stromen die vanuit dat punt vertrekken, we krijgen dus i1+i4 = i2 + i3. Hierbij is de afspraak dat inkomende stromen positief worden geteld en uitgaande stromen negatief. Het knooppunt kan stroom opslaan noch afgeven. Spanningswet van Kirchhoff Uit het principe van behoud van energie volgt de tweede wet van Kirchhoff, ook wel de Spanningswet van Kirchhoff genoemd. De som van de elektrische potentiaalverschillen (rekening houdend met de richting) in elke gesloten lus in een kring is gelijk aan nul. Hier dus U = V b − V a. Tekenconventie: Een spanningsbron wordt negatief gerekend als ze de stroom wil laten vloeien in tegengestelde richting van de lus. Een spanningsval wordt positief gerekend als ze optreedt in de 15
Figure 5: Som van spanningen in een gesloten lus is nul. v1 + v2 + v3 = v4. richting van de rondgangspijl. De richting in een lus wordt bij conventie gekozen en staat los van de lusonderdelen. Het is praktischer om steeds dezelfde richting (bijvoorbeeld rechtsom) te kiezen binnen een lus. De tekens worden dan positief of negatief bepaald per spanningsbron.
0.4.2
Het theorema van Thévenin.
Volgens de Stelling van Thevenin is in een lineair elektrisch netwerk elke combinatie van spannings- en stroombronnen met weerstanden op twee aansluitpunten elektrisch equivalent aan één (ideale) spanningsbron met één weerstand in serie. Dit theorema was eerder in 1853 ontdekt door de Duitse onderzoeker Hermann von Helmholtz, maar werd in 1883 herontdekt door de Franse ingenieur Léon Charles Thévenin (1857-1926). Elk lineair netwerk met spanningsbronnen, stroombronnen en weerstanden
Figure 6: equivalent netwerk volgens Thévenin. of impedanties is equivalent aan een spanningsbron ter waarde van de open klemspanning in serie met een weerstand of impedantie ter waarde van de inwendige weerstand of impedantie. 16
Berekening De grootte van de vervangende spanningsbron en zijn serieweerstand worden als volgt bepaald: 1. de waarde van de spanningsbron is de spanning op de aansluitpunten zonder verbinding. In praktijk gebeurt dat met toepassing van de spanningsdeler. 2. de vervangende serieweerstand is de open klemspanning gedeeld door de kortsluitstroom. In praktijk gebeurt dat met opeenvolgende toepassing van serieschakeling en parallelschakeling van weerstanden of impedanties. Voorbeeld Om het gebruik van de stelling te verduidelijken volgt een voorbeeld. Om de schakeling hieronder te analyseren, bestaat de eerste stap erin om de open klemspanning te bepalen. De volgende stap is om de inwendige weerstand te bepalen. Daaruit volgt het Thévenin equivalent.
Figure 7: stap 0: Oorspronkelijk netwerk. • In het voorbeeld bepalen we de open klemspanning VAB of Ut h: VAB = V1 . VAB = 15V.
R2 + R3 (R2 + R3 ) + R4
1KΩ + 1KΩ (1KΩ + 1KΩ) + 2KΩ
1 VAB = 15V. = 7.5V 2 17
Figure 8: stap 1: De open-klemspanning bedraagt 7,5 Volt. (R1 wordt hierbij natuurlijk niet meegenomen omdat we over A en B de ’open-klem’ spanning uitrekenen, waardoor er geen stroom door de weerstand R1 zal lopen) • Vervolgens bepalen we de inwendige weerstand RAB of Rt h: RAB = R1 + [
1 1 + ] R2 + R3 R4
1 1 + 1KΩ + 1KΩ 2KΩ RAB = 2KΩ
RAB = 1KΩ + [
Figure 9: stap 3: De inwendige weerstand bedraagt 2 KΩ.
18
Figure 10: Het Thevenin equivalent.
0.5
C ONDENSATOREN
0.5.1
Lading.
Figure 11: Ladingen op een condensator. Een condensator kan elektrische lading opslaan. Dit vermogen wordt de capaciteit van de condensator genoemd en uitgedrukt in de eenheid farad (symbool F). Een condensator die een lading bevat van 1 coulomb terwijl er een spanning van 1 volt over de platen staat, heeft een capaciteit van 1 farad. Het verband tussen de capaciteit C van de condensator in farad, de lading Q in coulomb op de condensator, de spanning U in volt over de condensator wordt gegeven door Q C= U of C Q= U De energie in Joule van de opgeladen condensator is te berekenen met de definitie van spanning als energie per lading (1V = 1J/1C). Energie is dan spanning maal lading. Als we een optelling doen over alle lading met een integraal vinden we 19
Eopgeslagen =
Z Q
U dq
q=0
Z Q
Q dq q=0 C 1 Q2 = . 2 C 1 = CU 2 2 1 = UQ 2
=
0.5.2
Parallelschakeling
Voor de vervangingscapaciteit Cp bij parallelle schakeling (naast elkaar) van n condensatoren met capaciteiten C1, ..., Cn worden de afzonderlijke capaciteiten opgeteld omdat de spanningen over de condensatoren gelijk zijn maar de lading zich verdeelt. De formule wordt als volgt afgeleid. Voor de afzonderlijke condensatoren geldt in het algemeen
Figure 12: Condensatoren parallelgeschakeld. Q1 Q2 Qn , , .., , U1 U2 Un over alle condensatoren staat dezelfde spanning C1 =
U 1 = U 2 = ... = U n = U zodat de totale capaciteit Cp van de parallele condensatoren samen geldt Qtot Qtot Cp = = = Utot U
Pn
i=1
Q1
U
of Cp = C1 + C2 + .... + Cn 20
0.5.3
Serieschakeling
Figure 13: Condensatoren in serie geschakeld. Bij de serieschakeling is de lading Q bij elke condensator in serie hetzelfde, de spanningen U daarentegen moeten worden opgeteld: Qtot = Q1 = Q2 = ... = Qn maar Utot = U1 + U2 + ... + Un De vervangingscapaciteit Cs bij serieschakeling (achter elkaar) van n condensatoren met capaciteiten C1,C2,..,Cn, wordt analoog aan parallelle weerstanden berekend als de inverse van de som van de inversen van de afzonderlijke capaciteiten. Dit is een gevolg van het optellen van de spanningen U van iedere condensator. We krijgen n X 1 1 = Cs i=1 Ci Uitgewerkt voor twee in serie geschakelde condensators geeft dit Cs =
0.6
M AGNETISME
0.6.1
Inleiding
C1 .C2 C1 + C2
Magnetisme is een eigenschap die bepaalde stoffen bezitten om andere lichamen aan te trekken en die duidelijk verschillend zijn van cohesie-,adhesie-, elektrostatische en gravitatiekrachten. We hebben duidelijk weer te maken met een krachtwerking zoals in het geval van elektrische ladingen. In het geval van ladingen hadden we te maken met een elektrisch veld, nu hebben we te maken met een magnetisch veld. In het geval van gelijknamige polen stoten deze mekaar af en verschillende polen trekken mekaar aan,zoals het geval was met elektrische ladingen. Wat daarentegen duidelijk verschilt met de elektrische lading is dat men twee verschillende elektrische ladingen 21
steeds duidelijk kan aanwijzen en deze dus afzonderlijk kan terugvinden, maar in het geval van magnetische polen zal men steeds beide tesamen terugvinden en dus bestaan afzonderlijke polen niet. Men heeft steeds een zuidpool en een noordpool.
0.6.2
Krachtwerking
In het geval van magnetische polen hebben we te maken met een krachtwerking en weerom heeft men deze krachtwerking in een formule gegoten. Deze formule is, niet verwonderlijk, sterk gelijkend op deze van de elektrische krachtwerking. F =
m1 m2 4πµr2
mi : magnetische poolsterkte µ: magnetische permeabiliteit r: onderlinge afstand De magnetisch permeabiliteit is gelijk aan het produkt van de permeabiliteit van het vacuum µ0 en de relatieve permeabiliteit µr . De relatieve permeabiliteit is een stofconstante en hangt dus af van het gekozen materiaal, de permeabiliteit van het vacuum is een constante gelijk aan 4π10−7 H/m. De éénheid van poolsterkte is de Weber (Wb). De Weber is de sterkte van een magneetpool, die in het vacuum, op een andere magneetpool, geplaatst op één meter afstand, een kracht uitoefent van 107 /16π 2 newton. Magnetisch veld We hebben reeds gezien dat er een krachtveld bestaat tussen magnetische polen. Dus moet in de nabijheid van een pool een krachtenveld heersen. Dit veld noemt men het magnetisch veld. Dit veld kan aanschouwelijk gemaakt worden door zogenaamde veldlijnen welke steeds van noord naar zuid lopen. Magnetische veldsterkte De kracht die een magneetpool in een magnetisch veld ondervindt is niet overal even groot en hangt dus af van de plaats. De magnetische veldsterkte in een punt van een magnetisch veld is de kracht uitgeoefend op een elementaire magnetische pool geplaatst in dat punt. Indien we het magnetisch veld van één enkele magneetpool, met sterkte m, beschouwen wordt de veldsterkte voorgesteld volgens
22
Figure 14: magnetische veldlijnen
H=
m 4πµr2
H wordt weergegeven door A/m en is een vectoriele grootheid. Magnetische inductie De magnetische inductie is het verschijnsel van het magnetiseren van magnetische materialen onder invloed van externe magnetische velden. Deze inductie wordt voorgesteld door B = µH met als éénheid Tesla (T) of weber per vierkante meter (Wb/m2 ). Magnetische flux We beschouwen een oppervlak loodrecht op de veldlijnen van een uniform magnetisch veld met veldsterkte M. De magnetische flux is het aantal veldlijnen doorheen dat oppervlak. Φ = B.A met als éénheid de weber. Elektromagnetisme Iedere stroom wekt een magnetisch veld op en zoals we later zullen zien zal een veranderend magnetisch veld een spanning opwekken. Deze verschijnselen vallen onder de studie van het elektromagnetisme. Dit wil zeggen dat als een stroom een magnetisch veld opwekt er ook een verband moet zijn tussen beide. Dit verband wordt weergegeven door Fm = w.I. Fm is de magnetomotorische kracht en w is het aantal windingen van de spoel waar de stroom doorloopt. De veldsterkte H die uit deze magnetomotorische kracht voortvloeit wordt voorgesteld door H = dFdlm . 23
Magnetische weerstand Tussen oorzaak (Fm ) van het magnetisch veld en gevolg ( krachtlijnen of een flux) bestaat er steeds een verband. Dit verband is de magnetische weerstand of reluktantie Rm en wordt weergegeven door de wet van Hopkinson. Rm =
24
Fm Φ
Vorm van de veldlijnen rond een stroomvoerende geleider De magnetische veldlijnen rond een rechte stroomvoerende geleider zijn concentrische cirkels. De draairichting op de cirkel wordt gegeven door de geleider in de rechterhand te nemen en de duim in de richting van de stroom te houden. De vingers die de geleider vasthouden geven de draairichting aan van het veld.
Figure 15: veldlijnen
Magnetisch gedrag De studie van magnetisch gedrag zou ons te ver leiden in de moderne fysica en is trouwens voorwerp van onderzoek in tal van domeinen in de fysica. Het komt erop neer dat de draai- en tolbeweging (elektronspin)van elektronen rond de kern hiervoor mee verantwoordelijk zijn. Wat voor ons echter wel van belang is, is dat er verschillende soorten magnetisch gedrag bestaan afhankelijk van het materiaal. Op gebied van magnetische materialen onderscheiden we drie types. • Diamagnetische materialen, die zich magnetiseren in tegengestelde zin van het extern veld en waarbij µr iets kleiner is dan 1. 25
• Paramagnetische materialen, die zich magnetiseren in dezelfde zin als het extern veld en waarbij µr iets groter is dan 1. • Ferromagnetische materialen, die in dezelfde zin magnetiseren als het extern veld en waarbij µr veel groter is dan 1 en waar de magnetisering zich niet lineair gedraagt. Bovendien vertonen de ferromagnetische materialen zich ook nog eens in verschillende klassen • Hardmagnetische materialen:Deze zijn moeilijk te magnetiseren en te demagnetiseren en worden toegepast voor de vervaardiging van permanente magneten. • Zachtmagnetische materialen:Deze worden relatief gemakkelijk gemagnetiseerd en gedemagnetiseerd en worden toegepast als kernmateriaal in spoelen en elektrische machines. Magnetisering Zoals gezegd zal ferromagnetisch materiaal zich niet lineair gedragen als het gemagnetiseerd wordt. Magnetisatie wordt weergegeven in een magnetisatiecurve die de inductie B weergeeft in functie van het veld H. Deze curve wordt ook wel eens de BH karakteristiek genoemd.
Figure 16: magnetiseringskarakteristiek voor (links) para-en diamagnetisch materiaal en (rechts) ferromagnetisch materiaal Als we de veldsterkte vermeerderen en verminderen als we de magnetiseringskarakteristiek voor ferromagnetisch materiaal opnemen en we drijven het materiaal steeds sterk in verzadiging krijgen we onderstaande grafiek. Deze grafiek is duidelijk gesloten en noemt men ook de hysteresislus. We drijven het materiaal tot in punt d en we keren terug door de stroomzin om te keren, dan zien we dat de curve niet terugkeert volgens de oorspronkelijke 26
Figure 17: hysteresislus curve maar een hogere inductie bezit voor eenzelfde veld.Blijven we de stroom in dezelfde zin vergroten tot in punt d0 en keren de stroom daarna terug om zien we dat hetzelfde verschijnsel zich voordoet maar in tegengestelde zin. Er ontstaat dus een gesloten kromme, die men hysteresislus noemt. De oppervlakte is evenredig met wat men het hysteresisverlies noemt. Dit is het verlies te wijten aan opwarming van het materiaal als het een volledige magnetisering en demagnetisering doorloopt in de twee mogelijke stroomzinnen in een geleider. Wat opvalt is dat er een inductie blijft bestaan als het veld gelijk is aan nul. Dit noemt men remanente inductie.Deze inductie is belangrijk bij het opstarten van elektrische machines. Analoog blijft er een veld bestaan als de inductie gelijk is aan nul. Dit noemt men het coërcitief veld.
0.6.3
Elektromagnetische inductie
Zoals reeds gezegd zal een verandering van magnetisch veld een spanning opwekken. Deze spanning noemt men inductiespanning. Dit verschijnsel werd ontdekt door Faraday in 1831.
27
Inductieverschijnsel We nemen één winding en we brengen een magneet naar de winding toe.De fluxverandering door het naderen van de de magneet zal een inductiespanning in de winding teweeg brengen. Deze inductiespanning zal zo gericht zijn dat de fluxverandering teniet gedaan wordt,met andere woorden de flux in de winding zal zijn oorspronkelijke waarde proberen te behouden. Tweede kurketrekkerregel van Maxwell: De schroef van een kurketrekker wordt gericht in de zin van de flux, wanneer de flux stijgt, schroeft men de kurketrekker uit, wanneer de flux daalt, schroeft men de kurketrekker in.De bewegingszin van het handvat levert de zin van de opgewekte induktie-emk. OPGELET:DE WINDING REAGEERT ALS BRON .
Figure 18: inductiespanning De grootte van die spanning wordt berekend met de wet van Lenz. e = −N N: dΦ: dt:
dΦ dt
aantal windingen verandering van magnetisch veld verandering van tijd
Zelfinductieverschijnsel Een stroom doorheen een spoel, geheel vrij van magnetische interactie, zal zelf een veld, dus flux, opwekken als de stroom doorheen die spoel verandert. Hier zal men moeten rekening houden met de toestand van de spoel. Deze zal mee in rekening moeten worden gebracht bij het berekenen van de zelfinductiespanning. e = −L
28
di dt
Dus nu is niet een verandering van veld maar een verandering van stroom oorzaak van inductiespanning. De zelfinductiecoefficient wordt als volgt berekend dΦ dt d(SB) −N dt d(SµH) −N dt d(SµN I/l) −N dt di (−N 2 Sµ/l) dt
e = −N = = = =
Dus de zelfinductiecoefficient wordt voorgesteld door L=
N 2 Sµ l
N: aantal windingen µ : magnetische permeabiliteit S: oppervlakte van de doorsnede van de spoel l: lengte van de spoel
Figure 19: zelfinductie in een winding
0.6.4
Wervelstromen
Wervelstromen zijn stromen die ontstaan in geleidende materialen waarin magnetische fluxveranderingen optreden. 29
Deze stromen zullen zoals bij het hysteresisverschijnsel het materiaal opwarmen en dienen ze zoveel mogelijk vermeden te worden.Dit probleem stelt zich expliciet in de bouw van transformatoren die daarom gelamelleerd worden. Het verschijnsel werkt als volgt,men heeft een gesloten keten vermits men in vol materiaal werkt. Als men een wisselend veld opwekt zullen er zich inductiespanningen voordoen. Vermits men in vol materiaal een gesloten keten kan creëren zullen deze spanningen stromen opwekken die dit materiaal opwarmen en dus ongewenst zijn.
Figure 20: wervelstromen
0.6.5
Enkele toepassingen van magnetisme
Elektrische generator Als we een geleider in een magnetisch veld bewegen of we veranderen een magnetisch veld rond een geleider, er wordt steeds een inductiespanning opgewekt. Stel nu dat men een draad legt op een rotor en deze draait rond in het magnetisch veld dan zal door het veranderend magnetisch veld in deze draad een inductiespanning opgewekt worden. Dit is nu het basisprincipe van een elektrische generator. De zin van de spanning bekomt men met behulp van de rechterhandregel, de grootte door een kleine berekening.We doen de berekening voor één winding in een constant veld. We bewegen de winding loodrecht op het veld. E=−
palm duim vingers
d(Blx) dx d(BS) =− = −Bl = −Blv dt dt dt
veldlijnen (B) snelheid (v) geinduceerd EMK (E)
Opgelet: de drie componenten moeten loodrecht op elkaar staan.
30
Figure 21: rechterhandregel Elektrische motor Als een geleider stroom voert, zal er ten gevolge van deze stroom een magnetisch veld opgewekt worden. Als we dus een stroomvoerende geleider in een magnetisch veld aanbrengen zal er ook een krachtwerking optreden. Stel nu dat men een stroomvoerende geleider op een rotor aanbrengt en deze rotor in een magnetisch veld plaatst dan zal ten gevolge van deze krachtwerking de rotor draaien.Dit is de basiswerking van een elektrische motor. Deze kracht noemt men de Lorentzkracht en de grootte ervan is F = Bli. De zin ervan wordt gegeven door de linkerhandregel. Ook in dit geval moeten enkel de loodrechte componenten in rekening gebracht worden.
Figure 22: linkerhandregel
31
palm vingers duim
0.6.6
veldlijnen (B) stroom (i) kracht(F)
Schakelen van spoelen
Serieschakeling Als we elementen serie schakelen in een elektrisch circuit blijft de stroom doorheen de elementen gelijk en de spanningen worden over de elementen verdeeld. U =L
di di di = L1 + L2 dt dt dt
Dus
di di = (L1 + L2 ) dt dt Hieruit volgt dat L = L1 + L2 of meer algemeen L
Ls =
n X
Lk
k=1
Parallelschakeling In het geval dat we n spoelen parallel schakelen wordt de stroom verdeeld en de spanning over elke component is dezelfde. di dt di1 L1 dt di2 L2 dt di dt U L
U = L U1 = U2 = di1 di2 + = dt dt U1 U2 + = L1 L2 Vermits U = U1 = U2 geldt dat
1 1 1 = + L L1 L2 Meer algemeen wordt dit
n X 1 1 = Lp k=1 Lk
32
0.7
OVERGANGSVERSCHIJNSELEN
Als we een condensator of een spoel in een elektrisch circuit schakelen zullen deze bij in- of uitschakelen hoge stromen of spanningen veroorzaken in dit circuit. Na verloop van tijd zal dit overgangsverschijnsel echter niet meer merkbaar zijn en reageren ze respectievelijk als een open keten of een kortsluiting. Het is daarom nuttig om eens te kijken wat er nu eigenlijk gebeurt in zo’n RC of RL circuit.
0.7.1
De RL keten
Inschakelen van een keten met spoel
In dit circuit zien we drie componenten namelijk een bron, een spoel en een weerstand. We passen hier de spanningswet van Kirchoff op toe, m.a.w de spanning geleverd door de bron wordt opgenomen deels door de spoel en deels door de weerstand. U = UR + UL di = Ri + L dt De oplossing van deze differentiaalvergelijking bestaat uit twee delen namelijk Algemene oplossing: Dit is de oplossing van de differentiaalvergelijking als de bronspanning gelijk is aan 0. Dit is de homogene oplossing of homogeen deel. Dit is een oplossing van de vorm eat . 33
Bijzondere oplossing: Dit is de oplossing van de differentiaalvergelijking als de bronspanning verschillend is van nul en is in ons geval dus een constante spanning. Dit noemt men de particuliere oplossing of particulier deel. Dit is een oplossing van de vorm B (constante). We veronderstellen een oplossing van de vorm i = Aeat + B . We vullen deze oplossing in om de onbekenden A,C en a te vinden. We bekomen de vergelijking Aeat (La + R) + RB = U Opdat dit de oplossing zou zijn van de differentiaalvergelijking moet deze vergelijking voor alle waarden van de tijd opgaan dus moeten de verschillende coefficienten ieder op zich 0 zijn. Zo bekomen we het stelsel vergelijkingen La + R = 0 RB − U = 0 en B = UR . Hiermee hebben we slechts twee van de drie Daaruit volgt a = R L onbekenden. Er onbreekt nog een onbekende namelijk A. Om deze onbekende te berekenen moeten we wat men noemt een randvoorwaarde invoeren. Hiertoe stelt men dat in een spoel de stroom niet onmiddellijk kan veranderen. De spoel tracht de flux zo constant mogelijk te houden, m.a.w. de verandering van flux wordt tegengewerkt.Wiskundig geformuleerd stelt men i(t=0)=0. Zo verkrijgt men bijkomende vergelijking U i = 0 = Ae0 + R waaruit volgt U A=− R Door de gevonden constanten in te vullen krijgt men de vergelijkingen voor R stroom en spanning. Voor de stroom krijgt men i = UR (1 − e− L t ) en voor de R spanning over de spoel UL = U e− L t Onderstaande grafiek geeft weer wat er in de tijd gebeurt bij inschakelen van een RL keten. We zien duidelijk dat na verloop van tijd er geen spanning meer staat over de spoel en dat de volledige spanning over de weerstand staat. In het begin echter staat de volle spanning over de spoel. De factor R noemt men de tijdsconstante van het systeem, en geeft weer hoe L L snel, of hoe traag, dit systeem reageert. τL = R 34
Uitschakelen van een keten met spoel Onderstaande figuur geeft het schema van het uitschakelen van een RL keten.
Als we een RL keten uitschakelen krijgen we volgende differentiaalvergelijking. di L + Ri = 0 dt die op dezelfde manier kan worden opgelost als in vorige paragraaf.De randvoorwaarde is fysisch dezelfde namelijk de flux blijft constant op tijdstip nul, wiskundig wordt dit i(t = 0) = UR . Makkelijker is echter de methode van de
35
scheiding der veranderlijken toe te passen. De oplossingen worden i=
U −Rt e L R
en
R
UL = −U e− L t Deze vergelijkingen leveren onderstaande grafieken op.
36
0.7.2
De RC keten
Inschakelen van een keten met condensator Het inschakelen van een circuit met condensator komt er fysisch op neer dat men een condensator gaat opladen. Om een RC circuit op te lossen gebruiken we dezelfde techniek als met een RL circuit.
We hebben een spanning UC over de condensator waarvoor geldt C=
q UC
Anders gesteld is q = c.UC .De ogenblikkelijke stroom is i=
duC dq =C dt dt
Anders gezegd is de stroom evenredig met de verandering van de spanning.Dit kan nog anders gesteld worden namelijk uC =
1 Z i dt. C
De spanningsvergelijking wordt dan U = UC + UR Als we dan de spanningen in functie van de stroom invullen, wordt dit op zijn beurt 1 Z U= i dt + Ri C 37
Dit is een integro-differentiaalvergelijking die niet eenvoudig oplosbaar is.Daarom zullen we de zaken pragmatisch aanpakken. We nemen de eerste afgeleide naar de tijd van elke term in de vergelijking en daaruit volgt dan volgende vergelijking R
di i dU + = =0 dt C dt
Deze differentiaalvergelijking is op te lossen met de methode van de scheiding der veranderlijken. 1 di = − dt i RC 1 lni + A = − t RC 1 lni + lnK = − t RC i = Kexp(−
t ) RC
Het enige probleem dat nog overblijft is de constante K. Hiertoe hebben we opnieuw een randvoorwaarde nodig. Men stelt dat de spanning over de condensator niet plots kan veranderen dus op tijdstip nul bij het begin van de oplading is de spanning nul. In wiskundige termen UC (t = 0) = 0. Dus op t=0 hebben we U − UC = Ri0 Met UC = 0 wordt dit U = Ri0 of i0 = de differentiaalvergelijking levert op
U .Dit R
i0 = Ke0 =
alles invullen in de oplossing van
U R
De oplossing voor de stroom wordt dus i=
t U exp(− ) R RC
Voor de spanning over de condensator bekomen we dan UC = U (1 − exp(−
t )) RC
De term RC noemt men de tijdsconstante van de RC keten en geeft weer hoe snel de condensator opgeladen (of ontladen) wordt. τC = RC 38
Ontladen van condensator Het ontladen van een condensator komt erop neer dat we kunnen zeggen dat we de condensator gaan gebruiken als bron, daar na opladen de condensator vol lading zit zoals een batterij na opladen. Dit geeft volgende differentiaalvergelijking −UC = Ri of
1 Z Ri + i dt = 0 C of zoals in vorige paragraaf na afleiden naar de tijd van elke component in de vergelijking i di R + =0 dt C Dit is dezelfde vergelijking als het laadproces en geeft dan ook dezelfde oplossing, enkel de randvoorwaarde zal verschillen. Nu is op tijdstip t = 0 de condensator volgeladen en staat de volledige bronspanning over zijn klemmen, dus UC (t = 0) = U . Op t = 0 wordt dit in termen van stroom −UC = Ri0 of i0 = − UR Dit levert volgende oplossing op voor de stroom bij ontladen t U i = − exp(− ) R RC
en voor de spanning over de condensator krijgen we dan UC = U exp(− Grafisch wordt dit
39
t ) RC
De tijdsconstante De tijdsconstante drukt in beide gevallen hetzelfde uit namelijk de reactiesnelheid van het circuit. Als we eens kijken naar het tijdsverloop, met andere woorden hoever is de keten reeds geevolueerd in zijn overgangsverschijnsel dan stellen we vast dat voor de stroom in een RL circuit bij inschakelen we na verloop van één tijdsconstante we vinden τ i = I(1 − exp(− ) = I(1 − exp(−1)) = I(0.63) τ ofwel de stroom is met 63 procent toegenomen sinds het sluiten van de keten.
40
Bibliography [Wildi, 2006] Wildi, T. (2006). Electrical Machines, Drives, and Power Systems. Pearson Prentis Hall, sixth edition. ISBN 0-13-196918-8.
41
