Hoe komt een formule tot stand? Een voorbeeld van good practice met focus op het wiskundige denken
[email protected] Dag van de wiskunde 14/11/2015
Korte voorstelling • Opleiding KULeuven • Doctoraat in getaltheorie via F.W.O. Vlaanderen (o.l.v. J. Denef & J. Oesterlé) • Postdoc in Parijs (Orsay) bij B. Perrin-Riou • Docent-onderzoeker aan de Universiteit Utrecht (oa. de lerarenopleiding) o.l.v. F. Beukers • Leraar secundair, o.a. in een technische school en in een zwarte school • Docent in de Ba lager onderwijs – Vorselaar • Docent/praktijkassistent aan de UAntwerpen • Verleden in de VWO/IMO • Lid van de commissie van de Wiskunde B-dag • Redactielid van ”Matematika v šoli” • Verbonden met talrijke praktische onderwijsvernieuwingen 1
Inleidend vb. + de start • Met n afbetalingen van één euro met vaste tussenperioden aan een vaste rente i kan je vandaag A(n,i) geld ontlenen. Formule annuïteiten: • Oefening: hoeveel kan je ontlenen als je maandelijks 500 euro kan afbetalen op 20 jaar tegen een jaarrente van 0,5%? • Obstakels: - 500 euro 1 euro - Jaarrente rente tussen twee afbetalingen - Eerste afbetaling vandaag 2
Uit gesprek met studenten • Zeg in eigen woorden wat een formule voor jou inhoudt. - Iets wat wordt aangereikt door leerkracht - Iets wat je altijd mag gebruiken - ! Truc om oefeningen op te lossen
• Gebrek aan weten wat je juist doet, voorwaarden, flexibiliteit in gebruik… • Verwoording is weinig aanwezig • Focus op de opbouw en redenering achter een formule. Betekenis van een voorwaarde.
3
Zelfontdekkend werken •
A teacher has great opportunity. If he fills his allotted time with drilling his students in routine operations he kills their interest, hampers their intellectual development and misuses his opportunity. But if he challenges the curiosity of his students by setting them problems proportionate to their knowledge, and helps them solve their problems with stimulating questions, he may give them a taste for, and some means of, independent thinking (G. Pólya)
• Aan de slag in groepen van 2. • Geobord of nagelbord (rooster met spaties 1 cm). Meten met lat is dus niet nodig. • Figuren maken met elastiek en spijkers tellen die (1) binnen de figuur liggen; (2) op de rand van de figuur liggen • Oplijsten van figuren (beschrijf in woorden of teken op constructieblad) en resultaten van de telling + berekening oppervlakte
4
Voorbeeld – opdracht 1 • Rechthoek met zijden 3 en 5 cm heeft oppervlakte 15 cm2. • Spijkers binnen de rechthoek (grijs): 8 • Spijkers op rand van de rechthoek (wit): 16
5
Opdrachten 1-8 • Conclusie (Stelling van Pick) De oppervlakte (in cm2) van een roosterveelhoek is gelijk aan het aantal spijkers binnen de figuur + de helft van het aantal spijkers op de rand -1 • Oppervlakte van zwaanfiguur is gelijk aan 26 + 20/2 - 1 = 35 cm2. • Laten verwoorden wanneer deze formule van pas (kan) komen en wanneer niet
6
Geldt dit altijd? • Ondanks de overtuigende cijfers in de tabel, toch de nood laten aanvoelen van argumentatie • Idee (cfr opdracht 3): betegelen met rechthoeken en driehoeken + additiviteit
7
En verder • Wat als de spijkers niet 1 cm uit elkaar staan, maar bv ½ cm? • Wat als de spijkers niet in een vierkant staan, maar in rechthoeken? • Conclusie: Oppervlakte figuur is steeds gelijk aan (spijkergetal – 1) x oppervlakte van de roosterbasisfiguur
8
Opdrachten 9 e.v. • Verschillende opdrachten, behalve de allerlaatste. • Conclusie bij figuren ‘met gaten’: oppervlakte is gelijk aan (spijkergetal – 1 + aantal gaten) x opp basisfiguur • Merk op dat ‘aantal gaten’ samenhangt met aantal elastiekjes die nodig zijn • Bewijs: pas originele formule toe op grote figuur zonder gaten en op alle gaten afzonderlijk
9
Doorsnijdingen • Doorsnijding op roosterpunt • Opsplitsen in verschillende figuren met oorspronkelijke formule, leidt tot: • opp figuur is gelijk aan (spijkergetal - 1 – ½ x (aantal zelfdoorsnijdingen)) x opp basisfiguur
10
Doorsnijdingen (vervolg) • Multipliciteit van een doorsnede • Vb. multipliciteit is hier 4 • Leidt tot conclusie: opp figuur is gelijk aan (spijkergetal - 1 – ½ x (aantal zelfdoorsnijdingen geteld met multipliciteit)) x opp basisfiguur • Bewijs: via opsplitsing in deelfiguren en daarop toepassen van oorspronkelijke formule
11
Doorsnijdingen (vervolg) • Wat als de doorsnijding niet op een roosterpunt valt? • Geen formule mogelijk… • … tenzij je je rooster aanpast
12
Ook combineren kan • Bovenstaande combineren kan uiteraard
13
Tot slot: alternatieve manier • Alle verschillende gevallen kunnen in één keer worden behandeld door elke spijker te tellen met zijn correct “gedeelte”, nl. het gedeelte waaronder de spijker de figuur ziet.
14
Na de wiskunde… de didactiek • Is dit zelfontdekkend leren zinvol in de klas(sen) waar je staat? • Wordt er iets bijgeleerd? Kan je dit nog gebruiken verder? • Zullen leerlingen dit kunnen appreciëren? • Algemene reacties na het (gedeeltelijk) uitvoeren van de workshop?
15
Observaties • Leerlingen - gaan zelfstandig (in kleine groep) aan de slag - hebben heel wat moeite met (correct) verwoorden - appreciëren het verschil in lesaanpak
• Feedback lln.:
“mijn reflectie over de les van dinsdag is uiterst lovend. Ik vond het ontzettend prettig om zelf eens op onderzoek te gaan. Het was een uiterst interessante les! Ook de samenwerking vond ik goed verlopen, samen zijn we tot mooie inzichten gekomen.”
“Ik vond de andere manier van werken dinsdag heel aangenaam. Het was een leuk gevoel zelf dingen te kunnen ontdekken. Het is wel jammer dat we niet voldoende tijd hadden om alles af te werken. Ik hoop dat we in de toekomst nog vaker zo een dingen zullen doen.”
• Feedback leraar: “Ik voel me wat schuldig. Ik zag vandaag S. openbloeien terwijl ik in december ze nog heb moeten terechtwijzen dat ze er niet zou komen op deze manier. Ik was er van overtuigd dat dit aan haar inzet en inzicht lag, maar als ik het plezier en het succes zie waarmee ze vandaag wiskunde deed, zet me dat wel aan het denken.”
16
Inspirerende quotes •
Since learning is the sum of each person’s experiences, and since success in meeting a challenge is a powerful motivator, blending experience with new content helps students to organize the new content (J. Zull)
•
From the very beginning of his education, the child should experience the joy of discovery. (A. Whitehead)
•
Mathematical notation no more is mathematics than musical notation is music... It is in its performance that it comes alive, it exists not on the page but in our minds (K. Devlin)
•
La tâche de l'éducateur est de faire repasser l'esprit de l'enfant par où a passé celui de ses pères, en passant rapidement par certaines étapes mais en n'en supprimant aucune. (H. Poincaré)
•
! Het woord wiskunde komt van « Wisconst » (S. Stevin)
17
Didactische conclusies • Begrip hoe een formule tot stand komt + nood aan argumentatie/bewijs, zorgt voor een beter begrijpen van wiskunde (en meer zelfvertrouwen) • Deze les kan dienen als discussie bij het bespreken van andere formules • Zorg voor een ‘leuk’ deel met kans tot persoonlijke toets • Tactiele opdrachten in een les wiskunde • Variatie in lessen wordt heel erg geapprecieerd • De les eens letterlijk uit handen geven • Veel aandacht voor het ontdekken en verwoorden is cruciaal • Inhoudelijke differentiatie mogelijk
18
Didactische conclusies (2) • Laat de stapjes bij de opbouw van een formules duidelijk zien -
Een lijst waar je een duidelijke systematiek in herkent Een formule die goed lijkt te werken De ontdekking van een tegenvoorbeeld Dit leidt tot een verbetering/veralgemening van je eerste formule - Nood aan argumentatie wanneer de formule geldt: voorwaarden/bewijs
• Laat de verschillende stappen van de opbouw van een bewijs zien - Check de formule in eenvoudige gevallen - Ga van daaruit naar de moeilijkere gevallen - Probeer te beargumenteren dat je daarmee alles kan bekomen 19
• Nog vragen/bemerkingen?
• Referenties: -
-
Herremans A., Calculating areas by counting nails, Proceedings of the 1st International Conference on Learning and Teaching Mathematics, Maribor - ISBN 9789610300557 Ljubljana, Institute of Education (2012), p. 633-656 Herremans A., Hoe komt een formule tot stand?, Wiskunde en onderwijs - ISSN 2032-0485 – 161 (2015), p. 29-37
• Op laatste bladzijde: een voorbeeld van samenvattende conclusie voor leerlingen na het zelfontdekkende leren 20
Conclusies
Formules
Wanneer je een veelhoek hebt op een spijkerbord, dan kan je daaraan een spijkergetal associëren: dat is het aantal spijker in het inwendige van je figuur plus de helft van het aantal spijkers op de rand van de figuur.
Veel belangrijker dan het resultaat is de weg er naar toe. In lessen en boeken vind je vaak enkel de afgewerkte eindformule terug. Daarom lijken ze erg moeilijk toegankelijk, of denk je dat je dit nooit zelf kan vinden. Doch eer die afgewerkte formule er komt, heeft die al een hele weg doorlopen die in vele gevallen vele jaren duurt. We onderscheiden verschillende stappen:
Voor eenvoudige veelhoeken is de oppervlakte dan gelijk aan (OPP. BASISFIGUUR) X (SPIJKERGETAL – 1).* Voor meer ingewikkelde figuren kon je de formule verfijnen tot (OPP. BASISFIGUUR) X (SPIJKERGETAL + # GATEN –0,5 X # ZELFDOORSNIJDINGEN – 1). Deze formule is handig voor iets ingewikkeldere figuren, waar ze zeker tijdswinst oplevert. In het voorbeeld tellen we 33 inwendige en 34 randspijkers. Dat levert een spijkergetal van 50. Verder zijn er twee gaten en twee zelfdoorsnijdingen. We besluiten dat de oppervlakte van de figuur gelijk is aan (50 + 2 – 1 – 1) x de oppervlakte van een basisvierkantje.
Het bewijs van de eenvoudige formule vertrekt van rechthoekige driehoeken en toont dan aan dat de som van 2 figuren waar de formule voldoet, opnieuw een figuur is waar de formule standhoudt (met een moeilijk woord: we bewijzen het additief karakter van de formule).
• • • • • • •
Meestal vind je in een les of boek dus enkel de laatste twee stappen. Dat betekent ook dat het dus heel normaal is dat jij niet elke formule direct ‘ziet’, vaak was dat ook het geval voor de mensen die de formule hebben gevonden! Ook mogelijke stappen bij de opbouw van een wiskundig bewijs, vind je hier terug: • • • •
*
De Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick (1859-1942) beschreef deze formule voor het eerst in 1899. Hij stierf in een nazi-concentratiekamp.
Experimenteren en verzamelen van cijfermateriaal (opdrachten 1-3) Een logisch en eenvoudig idee (spijkergetal uit opdracht 4) Het vinden en verwoorden van een systematiek (verschil tussen oppervlakte en spijkergetal lijkt steeds 1 te zijn) Zoeken naar argumenten waarom je gevonde systematiek altijd opgaat Het vinden van tegenvoorbeelden bij je eerste idee (figuren met gaten, zelfdoorsnijdingen) Het verfijnen van de formule zodat die meer algemeen geldig is (aanpassingen voor ander rooster, voor figuren met gaten…) Het opleggen van voorwaarden waaronder de formule geldig is (doorsnijdingen moeten steeds op een spijker gebeuren)
check de formule in eenvoudige gevallen (rechthoek, rechthoekige driehoeken) ga van daar naar de moeilijkere situaties (additiviteit) probeer aan te tonen dat je elke situatie de baas kan als je stap 1 en 2 kan (deze stap hebben we niet gedaan en is hier heel moeilijk) maak gebruik van de originele formule om de veralgemeende versies ervan aan te tonen
