Hikmah Agustin, SP.,MM
Barisan
: Susunan bilangan terurut menggunakan pola tertentu (rumus tertentu) Deret : Penjumlahan suku-suku barisan
Barisan
aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku yang berurutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).
Bilangan
yang tetap tersebut disebut dengan beda yang dinotasikan dengan b.
•
1, 4, 7, 10, 13, … +3
+3
+3
+3
•
Pada barisan ini, barisan selanjutnya dapat diperoleh dari suku sebelumnya yang ditambah dengan bilangan 3. Yang artinya bahwa nilai beda pada barisan tersebut adalah 3 atau dapat ditulis dengan b=3.
•
30, 25, 20, 15, … Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
•
Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku
Untuk
lebih memahami tentang barisan geometri, kita lihat barisan berikut ini terlebih dahulu, 3, 12, 48, 192, ….
Ternyata bilangan pengali dari barisan tersebut adalah 4.
Empat
merupakan pengali atau rasio yang biasa disingkat dengan r.
menentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri
Un = arn-1
Dari barisan geometri berikut ini tentukan nilai dari suku ke-10 dengan barisan geometrinya adalah 4, 12, 36, 108, … Jawab: • 4, 12, 36, 108, … a = 4, Un = a.rn-1 = 4 . 3n-1 • U10 = 4 . 39 = 4 . (19.683) = 78.732 •
Hikmah Agustin, SP.,MM
Rangkaian
bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaedah-kaedah tertentu Penggolongan deret : JUMLAH SUKU YANG MEMBENTUK 1. Deret berhingga 2. Deret tak berhingga DARI POLA PERUBAHAN 1. Deret hitung/Aritmatika 2. Deret ukur/ geometri
Deret
yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu
Contoh:
7, 12, 17, 22, 27, 32 pembeda +5 (positif,>0, disebut deret aritmatika naik) 93, 83, 73, 63, 53, 43 pembeda -10 (negatif,< 0 , disebut deret aritmatika turun)
Sn = a + (n-1) b Sn a b n
: : : :
suku ke-n suku pertama pembeda indeks suku
•
Ada beberapa rumus Jn Jn = n/2 { 2a + (n-1) b)} Jn = n/2 (a + Sn) Jn = na + (n-1) b
Dimana : • Jn : Jumlah n suku • a : suku pertama • b : pembeda • Sn : suku ke-n
deret
yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu
Contoh
5, 10, 20, 40, 80, 160 512, 256, 128, 64, 32, 16
pengganda: 2 pengganda : 0,5
Sn = Sn a r n
: : : :
n-1 ar
Suku ke n Suku pertama atau S1 pengganda/pengali indeks suku
kadang notasinya
p
Terdapat
dua rumus: 1. Untuk IrI < 1
2. Untuk IrI > 1
Hikmah Agustin, SP.,MM
1. Model Perkembangan Usaha 2. Model Bunga Majemuk 3. Model Pertumbuhan Penduduk
Perusahaan roti basah menghasilkan 3000 buah roti pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan,
Berapa buah roti yang dihasilkannya pada bulan kelima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?
•
Karena perkembangan produksi roti bersifat konstan 500 buah per bulan, maka model yang sesuai adalah Deret Aritmatika.
•
Jumlah roti yg diproduksi sampai akhir bulan ke 5 adalah 20.000
1.
Suku ke2 suatu barisan geometri adalah 12 dan suku ke5nya adalah 324. Tentukan jumlah 15 suku pertama barisan tersebut
2.
Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!
3.
Misalkan a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika a2 = 8 maka tentukan a6 !
4.
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !
•
Modal pokok P dibungakan secara majemuk, suku bunga per tahun i, maka jumlah akumulatif modal F setelah n tahun adalah (jumlah masa datang dari jumlah sekarang) :
Fn P(1 i) Syarat : Bunga dibayar 1x setahun
n
BUNGA MAJEMUK Bila bunga dibayar m kali dalam setahun, dengan m>1 maka :
i Fn = P1+ m
m. n
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga majemuk” (compounding interest factor). Compounding interest factor bernilai lebih besar dari 1.
24
Pt P0 .1 r
t 1
Dimana P0 = jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah penduduk tahun ke-t r = rasio pertumbuhan per-tahun t = waktu (tahun ke-t)
•
Penduduk sebuah kota tercatat 2,5 juta jiwa pada tahun 2002, dan diperkirakan menjadi 3 juta jiwa pada tahun 2006. Jika tahun 2000 dianggap tahun basis a. b. c. d.
Berapa persen tingkat pertumbuhannya ? Berapa jumlah penduduk pada tahun 2000 ? Berapa jumlah penduduk pada tahun 2012 ? Pada tahun berapa penduduknya berjumlah 5 juta jiwa ?
1. Sebuah perusahaan konveksi menghasilkan 7000 buah baju pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 400 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah baju yang dihasilkannya pada bulan keenam? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ? 2. Nadhifa membeli sebuah TV berwarna merek LG, secara kredit selam 36 bulan seharga Rp 800.000 yang dibungakan sebesar 12% per tahun. Ada 2 alternatif pembayaran bunga yaitu setiap semester atau setiap 3 bulan. Mana yang lebih menguntungkan bagi Nadhifa? 3. Jumlah angka kelahiran bayi di desa Sukamaju pada 2005 banyaknya 1.000 orang per tahun. Biro Pusat Statistik (BPS) memperkirakan bahwa jumlah kelahiran bayi pada tahun-tahun berikutnya akan meningkat 205 orang dari tahun sebelumnya. Berdasarkan perkiraan BPS tersebut, tentukan: a. Berapa persen tingkat pertumbuhan ? b. Berapa jumlah bayi yang lahir pada tahun 2017, c. jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2005 hingga tahun 2015 d. Pada tahun berapa jumlah bayi yang lahir berjumlah 2550 ?
Salam...
