MATEMATIKA BISNIS Dosen Hikmah Agustin,SP.,MM
Politeknik Dharma Patria Kebumen 2016
Himpunan • Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas. • KONSEP HIMPUNAN ▫ Himpunan (set) sekumpulan obyek yg dapat dibedakan secara tegas ▫ Obyek yg membentuk sebuah himpunan disebut anggota/elemen/unsur. ▫ Secara umum himpunan dilambangkan dgn huruf besar,sedang anggota berhuruf kecil
Penulisan • Penulisan himpunan : cara daftar & cara kaidah • Contoh • A = {1,2,3,4,5} cara daftar • A = {x; 0 < x < 6} cara kaidah atau A = {x ; 1 ≤ x ≤5} B = {x; x adalah bilangan gasal}
xS berarti objek x adalah unsur himpunan S xS berarti objek x bukan unsur himpunan S
PENYAJIAN HIMPUNAN 1. Cara daftar : Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan. Contoh : HIMPUNAN A YANG BERISI EMPAT BILANGAN ASLI PERTAMA DAPAT DITULIS SEBAGAI A = {1, 2, 3, 4} 2. Cara Kaidah : Cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut . Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Keanggotaan Suatu Himpunan
Contoh: A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
1 A 3 A
1 B 3 B
2 B 4 B
5 A 7 A 9 A
5 B 7 B 9 B
6 8 10 12
B B B B
2 A 4 A
6 A 8 A 10 A 12 A
Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6 Catatan:
Lambang dibaca “elemen” atau anggota Lambang dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal
Jenis Himpunan 1. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Simbol himpunan semesta : S atau U. 2. Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : ∅ atau { } Contoh : E = {x | x < x}, maka n(E) = 0 P = {orang Indonesia yang pernah ke mars}, maka n(P) = 0
Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A Contoh : Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
Himpunan Saling Lepas • Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika ke duanya tidak memiliki elemen yang sama. • Notasi : A // B • Contoh 11. Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B. U A
B
Operasi Himpunan Politeknik Dharma Patria Kebumen 2016
OPERASI HIMPUNAN 1. Gabungan/union :
A B = {x: x A dan atau x B } 2. Irisan/intersection: A B = {x: x € A dan x € B } 3. Selisih : A – B= A/B={x: x A tapi x B } 4. Komplemen : A’ = {x: x U tapi x A} = U-A
Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn: U
A
B
Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh (i)Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B
Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A
Komplemen (complement) Notasi : = { x x U, x A }
Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9},A maka = {2, 4, 6, 8} jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas terte ntu “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri ata u diimpor dari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tah un 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”
Selisih (difference) Notasi : A – B = { x x A dan x BB } = A
Contoh (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8 , 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
SISTEM BILANGAN Hikmah Agustin ,SP.,MM
SISTEM BILANGAN
Bilangan
Ril/Nyata (bisa - +)
Irrasional
Khayal/Imajiner
Rasional
Bulat
Pecahan
Sistem Bilangan ► Bilangan nyata = seluruh bilangan yg ada, kecuali bilangan yg imajiner ► Bilangan bulat positif: ► Bilangan asli : tidak termasuk nol A = {1,2,3, …} ► Bilangan cacah: termasuk 0 (nol) B = {0,1,2,3,…} ► Bilangan prima: besarnya ≠ 1, dan hanya “habis” dibagi (hasil baginya bilangan bulat) dengan dirinya sendiri P ={2, 3, 5, 7, 11, ….}
Contoh Soal : Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }
A = { 1,2,3,4,5,6 }
B = { 2,4,6,8,10 }
C = { 3,6,9,12 }
Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab:
S
0
6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C
A
7
9
3
12
6
C 13 11
1
3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C
5
2 4
14 8
10
B
2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B
Contoh 2: Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya. a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? Jawab:
N(S) = 32
Misalnya : A = {siswa gemar melukis} B = {siswa gemar menari} A B = {siswa gemar keduanya}
n(A) = 21 n(B) = 16 n(A B) = 10
Perhatikan Diagram Venn berikut S
A
a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis
B
b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari
11
10
6
c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya
5
Contoh 4: Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.
a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso? c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay? Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20 B = {siswa suka siomay} n(B) = 46 (A B)c = {tidak suka keduanya} Maka A B = {suka keduanya} {siswa suka bakso saja} = 20 - x {siswa suka siomay saja} = 46 - x Perhatikan Diagram Venn berikut S A
20 - x
x
46 - x
B
5
n((A B)c) = 5 n(A B) = x n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5 60 = 71 - x X = 71 – 60 = 11 a. Yang suka keduanya adalah x = 11 orang b. Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang c. Yang suka siomay saja adalah 46-x = 46-11= 35 orang
Latihan dikelas Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa haru s lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang lulus tes bahasa. Banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai peneri ma beasiswa ada . . .
Pembahasan n(S) = 180 orang n(M) = 103 orang n(B) = 142 orang n(M B ) = x orang n(S) = n( M B ) = n(M) + n(B) – n( MB) 180 = 103 + 142 - X X = 245 – 180 = 65 Jadi yang lulus adalah 65 orang = ( C )
Take Home 1. Dari 80 terdapat 25 orang suka membaca , 46 orang suka menulis dan 10 orang tidak suka keduanya. • • • •
Ada berapa orang siswa yang suka membaca dan menulis? Ada berapa orang siswa yang hanya suka membaca? Ada berapa orang siswa yang hanya suka menulis? Gambarkan diagram Venn-nya!
2. Dari 40 siswa terdapat 20 orang suka futsal, 16 orang suka basket dan 7 orang tidak suka keduanya. • • • •
Ada berapa orang siswa yang suka bermain futsal dan basket? Ada berapa orang siswa yang hanya suka futsal saja? Ada berapa orang siswa yang hanya suka basket saja? Gambarkan diagram Venn-nya!
Penyelesaian
