HET SPINNENWEB
Een vierde verdeler… Luc Van den Broeck
‘En hoe zit het nu wanneer er vier verdelers op mijn shortlist staan?’, heb je wellicht gedacht na het lezen van het spinnenwebartikel over het kiezen van de voordeligste elektriciteitsleverancier in UW 26/3. Johan Deprez stond enkele maanden geleden voor het trilemma of hij zich zou abonneren bij Belpower, EBEM Groen of Ecopower. Voor elk van deze elektriciteitsleveranciers had hij een formule kunnen samenstellen die gebruikt werd bij de jaarlijkse elektriciteitsafrekening. Het ging telkens om een functie met twee variabelen: het verbruikte aantal kilowattuur tegen dagtarief (x) en het verbruikte aantal kilowattuur tegen nachttarief (y). De slotconclusie was dat het xy-vlak kan opgesplitst worden in drie spieën die in één knooppunt samenkomen. In elk van deze spieën is een andere elektriciteitsverdeler het voordeligste. In het knooppunt maakt je keuze niet uit.
Johan gaf ook aan dat al zijn tweedimensionale schema’s projecties waren van driedimensionale configuraties. Maar dit werd toen niet verder uitgewerkt. In deze spinnenwebbijdrage zou ik hier dieper op in willen gaan. Het opzet van dit artikel verschilt duidelijk van de doelstellingen die Johan voor ogen had. Bij hem ging het in hoofdzaak over het modelleren van een niet-wiskundig fenomeen. In deze tekst gaat het eerder over problem solving binnen een wiskundige context. Daarom zal ik in deze bijdrage fictieve en afgeronde getallen gebruiken om zo de grafieken en de berekeningen iets eenvoudiger te maken. Dat de jaarafrekening van sommige klanten hierdoor aan realisme inboet, is een logisch gevolg.
Eén leverancier Stel, je hebt één elekticiteitsleverancier. Hij berekent je jaarfactuur in euro met de volgende formule: f (x, y) = 2x + y + 100 . Je kunt van deze functie een grafische voorstelling maken in een driedimensionaal assenstelsel. De onafhankelijke variabelen x en y lees je af op de twee horizontale assen. De afhankelijke variabele z, m.a.w. het bedrag op de jaarfactuur f (x, y) , lees je af op de
1
Uitwiskeling 27/1 (winter 2011)
verticale as. Waarschijnlijk ben je geneigd om bij dit soort van vergelijkingen aan een onbegrensde, vlakke grafiek te denken. Opgelet dan: in deze toepassing gaat het slechts om een vlakdeel. De x- en de y-waarden moeten positief zijn. Als gevolg daarvan is ook de z-waarde positief. Omwille van deze randvoorwaarden gebruiken we in dit artikel alleen de delen van de grafieken die in het eerste octant gelegen zijn. Ziehier de grafiek. Het eerste octant moet je zien als de bovenkamer rechts vooraan.
Drie leveranciers Stel dat er twee andere providers op komen dagen. Ze rekenen een hogere vaste kostprijs aan maar dit wordt waarschijnlijk wel gecompenseerd door lagere prijzen per kilowattuur. De formules die deze leveranciers hanteren, zijn: g(x, y) = 1,8x + 1,2 y + 200 en h(x, y) = 1,9x + 0,8y + 600 . Als we van deze formules grafieken in het eerste octant maken, dan verkrijgen we twee nieuwe vlakdelen, die heel erg op het eerste vlakdeel gelijken. Dit is ook de bedoeling. Als de klant het verschil tussen de drie providers moeilijk kan onderscheiden, maakt hij misschien wel de (voor hem) minst voordelige keuze.
De drie vlakdelen komen in één puntje samen. Dit verschijnsel kennen we uit de ruimtemeetkunde. Drie vlakken, waarvan er geen twee evenwijdig zijn, hebben altijd één punt gemeen. Ze vormen als
2
het spinnenweb
het ware de zijvlakken van een driezijdige piramide. Als we deze piramide projecteren op het xy-vlak, dan ontstaan de drie spieën uit het artikel van Johan. De vergelijkingen van de scheidingslijnen tussen deze gebieden kunnen berekend worden door gelijkstelling van formules:
f (x, y) = g(x, y) ⇔
y = x − 500
g(x, y) = h(x, y) ⇔
y = 0,25x + 1000 .
f (x, y) = h(x, y) ⇔
y = 2500 − 0,5x
Het knooppunt ligt op deze drie scheidingslijnen. Dit betekent dat het bij een dagverbruik van 2000 kilowattuur en een nachtverbruik van 1500 kilowattuur niet uitmaak welke verdeler je kiest. Je betaalt sowieso 5600 euro. Dit kunt je narekenen door de waarden 2000 en 1500 in te vullen in één van de drie formules: f (x, y) , g x, y of h x, y .
( )
( )
Wie in welk vlakdeel de winnaar is, kun je beredeneren zonder berekeningen te maken. De eerste provider heeft de kleinste vaste kostprijs, nl. 100 euro. Dit wil zeggen dat hij de ideale leverancier is bij een nulverbruik (of een bijna nulverbruik). Het vlakdeel dat de oorsprong bevat, behoort dus toe aan de eerste provider. De tweede provider heeft in zijn formule de kleinste coëfficiënt bij x. Dit betekent dat hij de beste is wanneer er geen nachtverbruik is en heel veel dagverbruik. Hij mag zich het vlakdeel toe-eigenen dat de grote waarden van de x-as omvat. En de derde leverancier heeft de kleinste coëfficiënt bij de variabele y. Hij is voordeliger dan de anderen wanneer er geen dagverbruik is en heel veel nachtgebruik. Hij is eigenaar van het vlakdeel dat de grote waarden van de y-as omvat. Een andere manier om de spieën toe te wijzen, is gebaseerd op een redenering met de driedimensionale grafieken. Neem in gedachte een willekeurig koppel x, y . Lees op de grafische
( ) ( )
( )
( )
voorstelling af welke waarde het kleinst is: f x, y , g x, y of h x, y . De leverancier die gekoppeld
( )
wordt aan het minimum van deze drie getallen, is de eigenaar van het gebied waartoe x, y behoort.
Vier leveranciers Er komt een vierde elektriciteitsleverancier de markt afschuimen. Hij mikt op de middenklasse: de matige dagverbruikers en de matige nachtverbruikers. Zijn formule is: k(x) = 1,9x + 0,95y + 300 . Indien we ook van deze functie een grafiek maken, wordt de tekening totaal onoverzichtelijk …
Tenzij natuurlijk dat je deze tekst van onze website haalt en de tekeningen in kleur bekijkt. In zwartwit moeten we op zoek gaan naar een meer overzichtelijke voorstellingswijze. Als je goed kijkt naar het centrale gedeelte van de bovenstaande figuur, lijkt de vroegere driezijdig piramide wel afgetopt te zijn.
3
Uitwiskeling 27/1 (winter 2011)
Het verdwenen topje van de piramide heeft een zeer geringe hoogte. Dit komt omdat de drie zijvlakken van de piramide bijna in elkaars verlengde liggen. Om de duidelijkheid van de figuur te verhogen, tonen we nu, in twee verschillende aanzichten, een versie waarbij alleen het weggesneden topje te zien is.
In de verticale projectie op het xy-vlak kun je zien dat er centraal een vlakdeel bijgekomen is, dat afgebakend wordt door drie nieuwe scheidingslijnen en drie nieuwe knooppunten. In dit vlakdeel is de vierde leverancier absoluut de goedkoopste. Dat merk je wel aan de onderlinge ligging van de vier vlakken boven dit centrale gebied. Het laatst bijgekomen vlak hier ligt onder de drie andere vlakken. De vergelijkingen van de scheidingslijnen worden opnieuw berekend door gelijkstelling:
f (x, y) = k(x, y) ⇔
y = 400 − 2x
g(x, y) = k(x, y) ⇔
y = 0,4x + 400 .
h(x, y) = k(x, y) ⇔ x = 2000 De coördinaten van de knooppunten kun je weer vinden door stelsels met drie vergelijkingen op te lossen. In elk knooppunt komen namelijk drie scheidingslijnen samen. Bij het knooppunt betaal je 4100 euro, of je nu leverancier 1, 3 of 4 kiest. Bij het knooppunt maakt het niet uit of je voor leverancier 1, 2 of 4 kiest. Je betaalt (toevallig) ook 4100 euro. En tot slot heb je ook een brede waaier aan keuze bij knooppunt . Je stort dan 9800 euro op de rekening van leverancier 2, 3 of 4.
Nog een vijfde leverancier Mocht er nog een vijfde kaper op de kust zijn dan kunnen we best teruggrijpen naar de figuur met de afgeknotte driezijdige piramide, zie hieronder links. Deze piramide wordt gevormd door de minima van de functies f (x, y) , g(x, y) , h(x, y) en k(x, y) . Je moet heel goed opletten om op te merken dat de drie zijvlakken en het bovenvlak van de afgeknotte piramide niet in één vlak liggen.
4
het spinnenweb
De vijfde leverancier heeft een eigen kostenformule opgesteld waarvan de vlakke grafiek de afgeknotte piramide waarschijnlijk snijdt. Wordt de afgeknotte piramide nergens gesneden door dit vlak, dan is deze leverancier niet goed genoeg om tegen zijn concurrenten op te kunnen. Hij verovert dan ook geen territorium in het xy-vlak. Wordt de afgeknotte piramide wel gesneden, dan zal er in de projectie op het xy-vlak een nieuw gebied ontstaan waarin de vijfde leverancier absoluut de laagste prijs kan garanderen. Dit nieuwe gebied kan een klein driehoekig gebied zijn zoals op de bovenstaande tekening rechts. Maar het kan even goed een vierhoekig gebied zijn of een gebied dat zo groot is dat het het grondgebied van een andere leverancier opslokt. De economische concurrentie kan hard zijn.
5
