Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 57 – Klas: ............
Naam: ……………………………………….… 12. Derdewortel van een reëel getal (boek pag 37)
Een derdewortel van het reëel getal a is dus een getal waarvan de derdemacht gelijk is aan a. Voorbeelden:
0,5
is een derdewortel van 0,125
- 0,3
is een derde wortel van ...................
1
is een derde wortel van ...................
-1
is een derde wortel van ..................
Definitie: Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a
c b3 = a
Elk reëel getal a heeft in |R precies één derdewortel, die we noteren met Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Opmerking : Het gebruik van de ZRM (Texas Instruments TI-30x IIB) De derdewortel van een getal :
3
x
: 3 2nd ..
x
. getal ..= ..
De derdewortel van een getal :
3
− x : 3 2nd ..
x
. .(-). getal ..= ..
Opgave1: zie boek pag 38 nr. 40: Bereken zonder ZRM
a.
3
b.
3
125 = ................................
j.
− 0,000004 = .........................
− 1 = ................................
k.
0,0001 = ................................
c.
1,21 = ................................
l.
d.
64 = ................................
m.
3
− 125 = ................................
36 = ................................ 49
3
a
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 58 – Klas: ............
Naam: ……………………………………….… e.
f.
g.
3
3
3
27 = ................................
n.
3
− 64 = ................................
o.
−
− 27 = ................................
p.
h.
− 16 = ................................
i.
3
− 1000 = ................................
1 = ................................ 8
625 = ................................ 81
1 = ................................ 25
q.
− 3 1000000 = ................................
r.
− 3 − 0,064 = ................................
Studiehulp: Vul het volgende overzicht aan en zorg ervoor dat je die waarden zeer goed kent, dit zal je veel tijd sparen bij het maken van oefeningen.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
..........
1
..........
36
..........
121
..........
256
..........
441
..........
4
..........
49
..........
144
..........
289
..........
484
..........
9
..........
64
..........
169
..........
324
..........
529
..........
16
..........
81
..........
196
..........
361
..........
576
..........
25
..........
100
..........
225
..........
400
..........
625
3
a
a
............
3
a
a
1
............
............
8
............
3
a
a
-1
............
............
-8
27
............
............
64
............
125
3
a
a
216
............
- 216
............
343
............
- 343
- 27
............
512
............
- 512
............
- 64
............
729
............
- 729
............
- 125
............
1000
............
- 1000
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… 13. Vierkantswortel van een product (boek pag 39)
+ ∀ a, b, c ∈ |R :
250000 =
Klas: ............
a⋅b⋅c = a ⋅ b ⋅ c
L → R : Eigenschap van Links naar Rechts :
Voorbeelden:
- 59 –
a⋅b⋅c = a ⋅ b ⋅ c
25 ⋅ ................ = ............................
19600 = 196 ⋅ ................ = ............................ Om de positieve vierkantswortel van een product te nemen, kan je de ................................................................. nemen van elke ...................................... en de verkregen ....................................... met elkaar ..............................................
L ← R : Eigenschap van Rechts naar Links: Voorbeelden:
a ⋅ b ⋅ c = a⋅b⋅c
2 ⋅ 32 = ................... = ............................ 27 ⋅ 3 = ................... = ............................
Om positieve vierkantswortels met elkaar te vermenigvuldigen, kan je de ................................................ met elkaar ................................ en daarna de positieve .................................................... nemen van het verkregen ..............................................................
Toepassing: Vereenvoudigen van vierkantswortels Als we een factor van het grondtal vóór het vierkantswortelteken kunnen plaatsen, zeggen we dat we de vierkantswortel vereenvoudigd hebben.
Voorbeelden:
108 = 36 . 3 = 36 ⋅ 3 = 6 3 8 = 2 . ........ = 2 ⋅ .......... = ...... 2 48 = ............. = ..................... = ...................... 72 = ..................................... 180 = .....................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… Opgave boek pag 40 nr. 49 : Vereenvoudig
- 60 – Klas: ............
a.
80 = ....................................
c.
1000 = ....................................
b.
288 = ....................................
d.
150 = ....................................
Opgave boek pag 40 nr. 50: Bereken a.
d. 80 ⋅ 125 = ...........................
2 3 ⋅ 5 27 = ...........................
e.
b. 2 ⋅ 3 ⋅ 24 = ...........................
(− 3 2 ) ⋅ (− 2 6 )= ...........................
f.
c. 5 ⋅ 2 ⋅ 10 = ...........................
( 2)
2
⋅ 18 = ...........................
Taak 13.1 : Bereken in de eerste kolom en noteer in de tweede kolom welke eigenschap je toepast. 27 ⋅ 12 = ...........................
................................................
3 75 ⋅ 5 6 = ...........................
................................................
7 2 ⋅ 3 6 ⋅ 8 8 = ...........................
................................................
a.
b.
c.
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….…
5 12 ⋅ 3 8 ⋅ 27 = ...........................
- 61 – Klas: ............
................................................
d.
(
)
5 + 2 30 . 15 = ......................................
................................................
= ........................................
................................................
e.
(6
3+ 2 2 + 5 6
)2
6
= ....................................................... ................................................
f.
= .......................................................
( 2x y ) 2
3
g.
= ........................... = ............................
(9 x
)
2
2y
= ...........................
................................................
................................................ ................................................
................................................
h.
i.
(5
3y
)
= ...........................
( 5xy ) 2
j.
2
3
= ........................... = ............................
................................................
................................................ ................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….…
( k.
( l.
3x −
2y
- 62 – Klas: ............
)2
= .....................................
................................................
= ......................................
................................................
2 +5
)2
= .......................................
................................................
= .......................................
................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… 14. Vierkantswortel van een quotient (boek pag 40) + + ∀ a ∈ |R : ∀ b ∈ |R0 :
a = b
L → R: Eigenschap van Links naar Rechts :
Voorbeelden:
- 63 – Klas: ............
a b a = b
a b
9 = ............................ 25 196 = ............................ 81 361 = ............................ 49
Om de positieve vierkantswortel te nemen van een quotiënt , kan je de .......................................................... nemen van .................................... en .................................... en de verkregen ................................ daarna in de gepaste orde door elkaar ..............................................
L ← R : Eigenschap van Rechts naar Links:
Voorbeelden:
150 6 242 2 180 5
a b
=
a b
= ................... = ............................
= ................... = ............................
= ................... = ............................
Om twee positieve vierkantswortels door elkaar te delen, kan je de ....................................... in de gepaste .............. door elkaar ................................ en daarna de positieve ........................................................ nemen van het verkregen .......................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… Opgave boek pag 41 nr. 52: Bereken
2 243 a.
3
112 b.
2 7
= ............................
- 64 – Klas: ............
5 8 : 2 = ................................ d.
= .............................. e.
68 : 17 = ............................. c.
6 48 : 2 3 = ............................
− 14 14 : 7 2 = ................... f.
Taak 14.1: Bereken en noteer het resultaat in de eerste kolom en noteer in de tweede kolom de eigenschap die je toepast ( alle letters stellen reële getallen voor). a.
b.
c.
6400 = .......................................
....................................................
a 2 b 4 = .......................................
....................................................
2500 = .......................................
....................................................
75 x 2 y 3 = .......................................
....................................................
d.
3 15 e.
3
= .......................................
....................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… f.
15 7 3 2
= .......................................
- 65 – Klas: ............
....................................................
1 2 14 : 28 = ....................................... 3 9
....................................................
1 3 5 12 : = ....................................... 2 5 4 15
....................................................
g.
h.
Studiehulp: Vul het overzicht hieronder aan en de leerfiche nr.7 in. Eigenschappen met symbolen en woorden moet je heel goed K E N N E N ! ! ! Gebruik de leerfiches om de herhalingsoefeningen op te lossen. Bij deze herhalingsoefeningen moet je zeker de eigenschappen goed kennen.
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 66 –
Klas: ............ Naam: ……………………………………….… Herhalingsopdrachten : Bereken en noteer het resultaat in de eerste kolom en noteer de eigenschap die je toepast in de tweede kolom (alle letters stellen reëele getallen voor)
(2
6 +3
2
)2 = .......................................
a.
(3
..................................................
= .......................................
..................................................
= ......................................
.................................................
)(
x − y 3 x + y
)
b. ..................................................
= .......................................
(2a
b −
)(
ab 2a b + ab
)
c.
= .......................................
..................................................
Samenvatting: Definitie vierkantswortel + ∀ a ∈ |R :
( a)
2
= ............................
Vierkantswortel van een product: + ∀ a, b, c ∈ |R :
a ⋅ b ⋅ c = ........................................
Vierkantswortel van een quotiënt:
a = .............................................. b
+ + ∀ a ∈ |R : ∀b ∈ |R0 :
Definitie van een derdewortel : ∀ a ∈ |R :
( a) 3
3
= .............................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… 15. Breuken met een reële teller en noemer (boek pag 42) We noemen elke uitdrukking
Voorbeelden:
- 67 – Klas: ............
a met a ∈ |R en b ∈ |R0 een breuk b
2 3 −
π 4
a. Gelijkheid van twee breuken (hoofdeigenschap van breuken) ∀ a , c ∈ |R , ∀ b , c ∈ |R0 :
Voorbeelden:
a c = ⇔ a⋅d =c ⋅b b d
5 15 = ⇔ ......................... 2 6 y x = ⇔ ......................... 2 6
2 x = ⇔ ......................... 2 4
b. Teller en noemer vermenigvuldigen met éénzelfde getal ∀ a ∈ |R , ∀ b , m ∈ |R0 :
Voorbeelden :
a a⋅m = b b⋅m
5 10 15 = = = ................. 2 4 6 2 2 2 = = ................. 3 6
Als je teller en noemer van een breuk met ........................................ verschillend van nul ................................................... of als je teller en noemer door ................................... van nul verschillend reéel getal deelt , bekom je een nieuwe ......................................die gelijk is aan de ................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… c. Optellen en aftrekken van twee breuken ∀ a , c ∈ |R , ∀ b , d ∈ |R0 :
- 68 – Klas: ............
ad + cb a c ad cb + = + = b d bd bd bd
Voorbeelden: 2 ⋅ ........ 2 2 + = + 2 3 2 ⋅ .......
2 ⋅ ......... 3 ⋅ .......
............ + .......... ............. ........... = ............. =
2
+
2
3 −
3
............................ .. ........................... .. .............................
=
............ + .......... .............
...............................
=
........... .............
................................
2
......... 3 ............. = − 5 .............. .......
..................................
=
............ − .......... .............
...................................
=
........... .............
....................................
Om twee breuken op te tellen (of af te trekken), maken we die breuken eerst ................................................. De som ( of het verschil ) vind je dan als volgt:
Behoud de ............................................. Maak de .................... ( of het.........................) van de ............................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 69 –
Naam: ……………………………………….… d. Product van twee breuken
a⋅c a c ⋅ = b d b⋅d
∀ a , c ∈ |R , ∀ b , d ∈ |R0 :
Voorbeelden:
π 2
⋅
2 = ................... 2
a b ⋅ = ..................................... 2 5x
( x ≠ 0)
x 2 (− 2 ) ⋅ 3 = ..................................... 3 y
π 2
⋅
Klas: ............
3
π
(y
≠ 0)
= ...............................
Het product van twee breuken is gelijk aan het ........................................ van de tellers..................................... door het ........................................ van de noemers.
e. Delen van twee breuken ∀ a ∈ |R , ∀ b , c , d ∈ |R0 :
a c a d : = ⋅ b d b c
Voorbeelden: (Alle letters stellen getallen voor van |R0 ) a b : = ..................................... 2 5x x:
x = .................................. 3
1:
a = ..................................... b
a : a = .................................... b a : b = .................................... b
Om te delen door een breuk .................................................. we met de ........................................................ breuk.
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 70 –
Naam: ……………………………………….…
Klas: ............
Toepassing: Noemers wortelvrij maken 1
=
1
3
⋅1
3
=
1 3
=
⋅
..................................
3
....................................
3
3 3
.....................................
Opgave boek pag 43 nr.57 : Maak de noemers wortelvrij. a.
1 5
b.
3 6
c.
2 10
d.
2 2
= ...................................
= ...................................
e.
14
= ...................................
7
f.
2
= ...................................
3
= ...................................
g.
3
= ...................................
5
= ...................................
h.
5 6
= ...................................
Opgave zie boek pag 58: Vereenvoudig de vierkantswortels en maak vervolgens de noemers wortelvrij. a.
2 12
= ................................
e.
14 98
= ................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 71 –
b.
Klas: ............ Naam: ……………………………………….… f. 6 6 = ................................ = ................................ 18 48
c.
6 150
d.
= ................................
10 125
g.
72
= ................................
h.
3 5
=
5 +1
b.
−2 3 3− 1
54 24
Taak 15.1: Maak de noemer wortelvrij en herleid: a.
20
=
= ................................
= ................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R c.
Naam: ……………………………………….… 2 = 7 + 3
d.
5 x
=
2 x +5
e.
a +b a +b a
=
- 72 – Klas: ............
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 73 – Klas: ............
Naam: ……………………………………….… Samenvatting:
Definitie: We noemen elke uitdrukking
a met a ∈ |R en b ∈ |R0 ....................... b
Gelijkheid van twee breuken (hoofdeigenschap van breuken) ∀ a , c ∈ |R , ∀ b , c ∈ |R0 :
a c = ⇔ ............................. b d
Teller en noemer vermenigvuldigen met éénzelfde getal a = ......................... b
∀ a ∈ |R , ∀ b , m ∈ |R0 :
Optellen en aftrekken van twee breuken ∀ a , c ∈ |R , ∀ b , d ∈ |R0 :
a c + = .............................. b d
= ...............................
Product van twee breuken ∀ a , c ∈ |R , ∀ b , d ∈ |R0 :
a c ⋅ = ............................. b d
Delen van twee breuken ∀ a ∈ |R , ∀ b , c , d ∈ |R0 :
a c : = ............................. b d
Toepassing: Noemers wortelvrij maken ∀ a ∈ |R0 :
1 a
=
a a
Opgave pag 43 nr. 56: Werk uit in de eerste kolom( alle letters stellen elementen van |R voor) Noteer in de tweede kolom de eigenschap waarop je steunt. 0 a. π 3 ⋅ = ....................................... ............................................ 2 π b.
π 5
:
π 3
= ....................................
............................................
= .....................................
............................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… c.
3π − 2π = .............................. 2
- 74 – Klas: ............
............................................
= ............................... d. 3x x − = .............................. 4 2
............................................
= .............................
............................................
x 8 . = ............................ 12 xy
............................................
e.
............................................ f. x = ............................. 3
x+
= ............................... g.
x:
x 3
............................................
............................................
= .............................. ............................................
............................................ h.
1−
a = .......................... b
............................................
= ......................... ............................................
i. 1:
a = ........................... b
............................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… j.
- 75 – Klas: ............
a : a = ........................ b
............................................
a : b = ........................ b
............................................
a − b = ...................... b
............................................
k.
l.
Opgave pag 47 nr. 75: : Werk uit in de eerste kolom( alle letters stellen elementen van |R voor) Noteer in de tweede kolom de eigenschap waarop je steunt. 0 a. a a .................................................. + = .......................... 2 3 = ............................
.................................................
b. x−
c.
x = .......................... 5
..................................................
= ............................
.................................................
2 5 + = .......................... a a
..................................................
................................................. d.
a a + = .......................... 2 5 = ............................
..................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….…
- 76 – Klas: ............
e. a 5a 3a + − = .......................... 6 3 4 = ............................
..................................................
.................................................
f.
π 2
g.
+
3π − 2π = .......................... 2
..................................................
= ............................
.................................................
a 3 ⋅ = .......................... 2 a
..................................................
................................................. h.
x x : = .......................... 5 3
..................................................
= ............................
i.
a b : = .......................... b a
..................................................
= ............................ .................................................
j.
a a : − = .......................... b b = ............................
..................................................
.................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….…
- 77 – Klas: ............
k. 7 a 3a : = .......................... 4 8 = ............................
..................................................
.................................................
Taak 15.2: Werk uit in de eerste kolom (alle letters stellen elementen van |R0 voor) Noteer in de tweede kolom de eigenschap waarop je steunt a. a −2 a+ 1 = ................................... + .......................................... 5 3
b.
c.
= ....................................
...........................................
= ....................................
...........................................
b −1 b+ 1 − = ................................... 2 4
..........................................
= ....................................
...........................................
= ....................................
...........................................
3− z z −2 − = ................................... 4 3
..........................................
= ....................................
...........................................
= ....................................
...........................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R d.
Naam: ……………………………………….… 3 ( x − 1) 4 ( 2 x − 1) − 2 5
= .............................................
e.
- 78 – Klas: ............
..........................................
= .............................................
...........................................
= ..............................................
...........................................
= ..............................................
..........................................
4t + 1 t − 2 12 = .............................................
..........................................
= .............................................
...........................................
= ..............................................
...........................................
Studiehulp: Maak de oefeningen die we in de klas gemaakt hebben opnieuw en controleer jezelf door de oplossingen te vergelijken met de oplossingen in je map. Vul de leerfiches aan tot en met leerfiche 8. Zorg ervoor de je deze leerfiches kent. Dit zijn de wegwijzers die je door de oefeningen gidsen. Gebruik dus enkel de bestaande eigenschappen. Vul de leerfiches aan met je eigen opmerkingen zoals dingen die je steeds vergeet of die je over het hoofd had gezien om een bepaalde oefening te kunnen maken. Zorg ervoor dat je de oefeningen waar je moeite mee had aanduidt zodat je weet dat je deze oefeningen zeker moet herhalen voor je toets of voor het examen.
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 79 –
Klas: ............ Naam: ……………………………………….… 3 16. Het merkwaardig product: de derdemacht (a + b) (boek pag 35)
∀ a, b ∈ |R : (a + b )3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3
(a − b )3
= a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3
Voorbeelden:
(2 x + 3 ) 3 = ..................................................................................... = ..................................................................................... = ....................................................................................
(2 x − 3 ) 3 = ...................................................................................... = ..................................................................................... = ...................................................................................... De derdemacht van de som van twee getallen is gelijk aan de som van vier termen:
De derdemacht van de .....................................term Het drievoud van het product van de ................................ term en het ....................................... van de eerste term.
Het drievoud van het product van de ......................... term en het .............................................van de tweede term.
De derdemacht van de ................................. term Opgave pag 36 nr. 38: Werk uit door de juiste formule toe te passen.
a.
( x + 1 ) 3 = ......................................................... = ..........................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….…
- 80 – Klas: ............
b.
( x − 1 ) 3 = .............................................................................. = ............................................................................... c.
( a + 2 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................ d.
( 2 x + 1 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................ e.
( x − 3 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................ f.
( 2 x + 3 y )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................ g.
( − 5 x − 2 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................ h.
( 4 xy
− 1 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................
i.
( x 3 + 1 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….…
- 81 – Klas: ............
j.
( 2 − a 7 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................ k.
( 7 x − y )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................ l.
( a 2 + x 3 ) 3 = ........................................................................................... = ............................................................................................
m.
( x 2 + 4 y ) 3 = ........................................................................................... = ............................................................................................
n.
( 5x 3 − 2 y 4 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................ o.
(− x 4 − y 2 )3 = ........................................................................................... = ............................................................................................
De eigenschapppen van de bewerkingen goed kennen is de eerste stap om ze daarna goed toe te passen . !!!! !!!! Om te kunnen lopen moet je eerst kunnen stappen !!!!
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… 17. Veeltermbreuken Uitgewerkte voorbeelden : xy − x 2
y −y
=
x (y − 1) y (y − 1)
=
x y
4 x 2 + 8xy + 4y 2 x
nr 1.
2
−y
2
=
(
4 x 2 + 2 xy + y 2 (x − y ) (x + y )
)
=
4 (x + y ) 2 (x − y ) (x + y )
=
4 (x + y ) x −y
Vereenvoudig volgende breuken zo ver mogelijk Opgave 9x2 y = 3 xy
2.
36 x m+ 2 y 2 n = 6x 2 y n
3.
24 x 4 y 3 4x 4 z 3
4.
15 x 2 m y 2 z 3n 12 x 2 m y 3 z n
- 82 – Klas: ............
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R 5.
Naam: ……………………………………….… 4 x + 8 xy + 4 y 2 = x2 − y2 2
6.
8 x 2 − 32 = x2 − 4
7.
4 x 2 + 24 xy = x 2 + 12 xy + 36 y 2
8.
25 x 2 − 9 y 2 = 10 x − 6 y
9.
9x4 − 9 y 4 = 3x 2 − 3 y 2
10.
16 x 2 − 9 y 2 = 16 x 2 − 24 xy + 9 y 2
- 83 – Klas: ............
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 84 –
Klas: ............ Naam: ……………………………………….… 18. Verenigbaarheid van de gelijkheden met de hoofdbewerkingen (boek pag 44)
∀ a, b, c ∈ |R :
a =b ⇔ a + c = b + c
∀ a, b ∈ |R ; ∀ c ∈ |R0 : a = b ⇔ a ⋅ c = b ⋅ c
19. Een product gelijk aan nul
∀ a, b ∈ |R : a ⋅ b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
Opgave boek pag 45 nr. 60: Voor welke reële waarden van x geldt volgende uitdrukking
( x − 3 ) (x − 7 ) = 0 ⇔ ................................................... a.
⇔ ....................................................
( x + 2 ) (x − 4 ) = 0 ⇔ ................................................... b.
⇔ ....................................................
( x + 5 ) (x + 1 ) = 0 ⇔ ................................................... c.
⇔ ....................................................
( − x + 3 ) (− x + 9 ) = 0 ⇔ ................................................... d.
⇔ ....................................................
( x − 6 ) (2 x − 8) = 0 ⇔ ................................................... e.
⇔ ....................................................
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R Naam: ……………………………………….… Samenvatting:
- 85 – Klas: ............
Verenigbaarheid van de gelijkheden met de hoofdbewerkingen ∀ a, b, c ∈ |R :
a = b ⇔ a + c = ........................
∀ a, b ∈ |R ; ∀ c ∈ |R0 : a = b ⇔ a ⋅ c = ........................
Een product gelijk aan nul ∀ a, b ∈ |R :
a ⋅ b = 0 ⇔ .......................
Toets jezelf !!!!
Opgave : Werk uit
Oplossing
(x 3 − 5)( x 3 + 5)= (5 − 6 x 3 )3 = ( − 4a 4 − 3 )2 =
x 6 − 25
125 − 450 x 3 + 540 x 6 − 216 x 9
d.
( x + 1 )3
6x 2 + 2
e.
(y − 2 )(y 2 + 2)(y + 2 )=
a. b. c.
f.
2x −
− ( x − 1)3 =
x+4 = 2
16a 8 + 24a 4 + 9
y4 − 4
3x − 4 2
(3a −2 )−3 ⋅ (− 2a 4 )−2 ⋅ (6a −4 )3 = 3 3 2 2 1 2 (− 3x ) − x ⋅ 3x =
2a −14
i.
− 3 ( x − 1 ) + ( x + 2 )( x − 3 ) − x 2 =
− 4x − 3
j.
(a 3 )2 (a 4 )4 b 3 (b 2 )4 = (a 2 )4 (b 3 )3 (a 5 )2
a 4 b2
(x − 1)4 =
x 4 − 4x 3 + 4x 2 − 4x + 1
g. h.
k.
−
8 −2 x 3
Evaluatie
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R l.
[(x
m
(b
Naam: ……………………………………….… 2 x 4m − 2 x 2m y 2n + y + yn xm − yn =
)]
)(
m
2
- 86 –
)(
)
3 (b 4 − 3) =
3 b2 −
+
Klas: ............ 4n
b 8 − 6b 4 + 9
. n. o. p.
[(
)]
)(
5 − xm − 1 − xm + 1 3
3 ⋅ − 5 10 = 8
−
a 4 b8 ⋅ a
(
2
)
a3 b
− 7
2 2 2a x + 3 x 9 a x + 3
r.
(
) (5
2 −3 y 3
a3 b3 =
⋅b
q.
s.
5 x 4 m − 10 x 2 m + 5
=
1 ax 4
ax =
)
2 +
y =
15
− a 6 b10
2 9 ax a + ax 2 4 4
a +
1 ax 2 6
10 − 16 2 y − 3 y 1 3
=
27
t.
15 2
− 5 128
2 4
−
=
16 100
Werk uit en maak de noemer wortelvrij : a.
x
2x
=
2x
2
b.
20 x 3 = 3y
2x 3y
c.
32 x 3 y 4 = 12 xy
2 xy 3
d.
2
2 3
+
−3
3
e.
=
2
a + b
15 xy
6y
3 −
3 2
2
a + b
=
a + b
f.
(a
2
b 5
) : (− ab 3 ) 3
3
=
−
5 3 a 9
15
Werk uit : a.
(3
b.
(a
3 + m
− bn
)
2
2
)
2
= =
29 + 6 6
a 2m − 2 a m b n + b 2n
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 87 – Klas: ............
Naam: ……………………………………….… c. d.
(x − y ) ( 3 − 2) ( 3 + m+ 2
p −2
2
x
=
)=
2
2m+4
− 2x
m+2
y
p −2
+ y
1
e.
2 2 2 2 2 2 a b + c 3 a b − c 3 5 5
4 4 2 a b − 3c 4 25
f.
1 1 2 m +1 2 − ym x m+ 1 + ym x 5 5 3 3
4 x 9
g.
9 x 4 − 30 x 7 + 25 x 6
j.
(3x − 5x ) = (x 5 − 2 x 2 ) = (a − b )(a + b ) (a + b ) = (x − 2 y )(x + 2 y ) (x − 4 y ) =
k.
2 (− 3 x + 1 )2 − 3 (− 2 x − 3)2 =
6 x 2 − 48 x − 25
l.
5 (5 x − 2 ) (5 x + 2 ) + 2 (5 − 3 x )(3 x + 5) =
107 x 2 + 30
m.
x − 2 2
n.
(a
h. i.
3 2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
)(
−
1 2m y 25
a8 − b8
2
x x − + 1 1 − = 3 3
2m+ 2
5 x 2 − 4 x 3 10 + 8 x 4
2
2
2 p −4
x 4 − 8 x 2 y 2 + 16 y 4
13 2 x − x + 3 36
)
+ 2 a 3 − 2 + [(a + 2) (a − 2 )]2 + 4 (a − 2 )2
3
= a 6 + a 4 − 4a 2 − 16a + 12 o.
(a + b )2 (a − b )2
p.
[(x
q.
3
m
+ yn
(
) (x
6 +
m
) ):
a 4 − 2a 2 b 2 + b 4
= − yn
)]
2
2 =
(
s.
(x
+ 1)3 − (x − 1)3 =
t.
(x
+ y )3 − x 3 + y 3 =
14
(
x 4 m − 2 x 2m y 2 n + y 4n 3
r.
63 −
=
7 =
)
3−
2 +
6
2
3xy ( x + y )
Maak de noemers wortelvrij a.
1
=
3+ 2 2
3− 2 2
b.
7 −
5
7 +
5
=
1−
7 5 22
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 2 : Rekenen in |R
- 88 – Klas: ............
Naam: ……………………………………….… c.
3 +
2
3 −
2
5+ 2 6
=
Vereenvoudig volgende breuken a.
− x 5x 7 y 2 ⋅ ⋅ 10 y x
b.
− 5x 4 y 2 3 z
c.
35a 2 b 3 3 xyz : m n 15 x y 15 x m y n z p
d.
− 2x5 y 2 z 2 5x
e.
7 − xy 2
2
25 x 8 y 4 9z 2
35 a 2 b 3 z p −1 3 xy
3
25 x m y 2 n z 3 p ⋅
− 5x 2 y 3 7z p
8 9 6 3 x y z 125
125 m + 2 2 n+ 3 2 p x y z 7
f.
14a 2 m b 2 n − 35a m b n : − 9x3 y3 36 x 2 y 2
8 a mb n 5 xy
g.
9x + x 2 9 − x 2 ⋅ x2 81 − x 2
(3 − x )(3 + x ) x (9 − x )
h.
( x − y )2 ( x + y )2
y (x − y )
i.
( x + 3) 2 2
x −9
:
:
3
x 2 + xy xy − y 2
x (x + y )
9 − x2
−1
( x − 3)
3
2
j.
x+5 x−2 x+3 + + 5 7 4
83 x + 165 140
k.
x− y y−z − x−z z−x
1
l.
2x + 5 3 2x − 3 − − 8 5 20
6 x + 55 40
m.
6x m y 2 − 2n 11z
2
36 x 2 m y 4 121 z 4 n
