Het Realistisch Rekenonderwijs en taalzwakke leerlingen: een onmogelijke combinatie?
Een literatuurstudie naar de geschiktheid van het Realistisch Rekenonderwijs voor allochtone en taalzwakke VMBO leerlingen.
Bachelorscriptie Onderwijskunde Geschreven door: Katie Rienstra Studentnummer: 5615682 Begeleid door: Els Kuiper & Erica Moens Datum: 01/07/2011
1
Inhoudsopgave Abstract ...................................................................................................................................... 3 Inleiding ..................................................................................................................................... 4 1. Het Realistisch Rekenonderwijs in het kort ........................................................................... 6 2. Taalaspecten van het Realistisch Rekenonderwijs ................................................................. 8 2.1 Onderdelen van het Realistisch Rekenonderwijs die een beroep doen op taal ................ 8 2.2 Taalvaardigheden die in het Realistisch Rekenonderwijs van belang zijn ...................... 9 2.2.1 Woordenschat ............................................................................................................ 9 2.2.2 Technisch lezen ......................................................................................................... 9 2.2.3 Begrijpend lezen...................................................................................................... 10 2.3.4 Bereidheid om te lezen ............................................................................................ 10 3. Problemen die leerlingen kunnen ondervinden met de talige aspecten van het Realistisch Rekenonderwijs ........................................................................................................................ 12 3.1 Problemen op taalniveau ................................................................................................ 12 3.2 Problemen met het culturele aspect van taal .................................................................. 14 3.3 Bereidbaarheid om te lezen ............................................................................................ 16 3.4 De invloed van leerkrachteigenschappen op het taalbegrip van leerlingen ................... 17 4. Aanvullende en alternatieve benaderingen op het Realistisch Rekenonderwijs .................. 20 4.1 Redactiesommen ............................................................................................................ 20 4.2 Taalgericht Vakonderwijs .............................................................................................. 21 4.2.1 Wisbaak ................................................................................................................... 23 5. Conclusie .............................................................................................................................. 25 6. Discussie............................................................................................................................... 28 7. Onderzoeksopzet .................................................................................................................. 29 7.1 Methode .......................................................................................................................... 30 7.1.1 Proefpersonen .......................................................................................................... 30 7.1.2 Materialen................................................................................................................ 30 7.1.3 Procedure ................................................................................................................. 31 7.1.4 Analyse .................................................................................................................... 32 Literatuur .................................................................................................................................. 33
2
Abstract In het Realistisch Rekenonderwijs wordt een groot beroep gedaan op de taalvaardigheid van leerlingen. Vooral voor allochtone en taalzwakke leerlingen kan dit beroep op taalvaardigheid problematisch zijn. In deze scriptie is gekeken naar de aspecten van het wiskunde onderwijs die zich op de taalvaardigheid van leerlingen beroept. Hierna is onderzoek gedaan naar de problemen die allochtone en taalzwakke leerlingen ondervinden in het wiskunde onderwijs. Het blijkt dat in het wiskunde onderwijs vooral goed begrijpend lezen, technisch lezen en een hoog woordenschat niveau vereist is. Allochtone en taalzwakke leerlingen blijken over het algemeen niet of onvoldoende over deze vaardigheden te beschikken. Ook speelt mee dat deze groep leerlingen weinig geïnteresseerd is in lezen. In het Realistisch Rekenonderwijs is lezen echter een groot onderdeel van de wiskunde. De vraag is daarom of het Realistisch Rekenonderwijs en de realistische contexten die gebruikt worden, wel geschikt zijn voor allochtone en taalzwakke VMBO leerlingen. Een belangrijk aspect van het Realistisch Rekenonderwijs is de interactie met de leerkracht. Dit aspect wordt in het huidige wiskunde onderwijs echter te weinig benut. Waar leerlingen problemen hebben met de talige kant van de realistische contexten, kunnen leerkrachten verduidelijking geven. Ook kan een leerkracht hulp bieden bij het ontwikkelen van de taalproductie die nodig is binnen het wiskunde onderwijs. Hoewel het Realistisch Rekenonderwijs deze rol voor leerkrachten onderkent, moet meer gedaan worden om leerkrachten dit aspect van het Realistisch Rekenonderwijs daadwerkelijk uit te laten voeren. Het Taalgericht Vakonderwijs richt zich hier wél meer op. Bij het Taalgericht Vakonderwijs wordt meer de nadruk gelegd op de taalproductie van leerlingen en de rol die leerkrachten moeten aannemen. Een nadeel hiervan is dat het veel verandering eist van leerkrachten. Het is de vraag of leerkrachten mee willen werken aan deze verandering en of dit op korte termijn haalbaar is. Om de wiskunde resultaten op korte termijn wél te doen verhogen, is er een mogelijkheid tot het werken met Redactiesommen. Deze methode beroept zich een stuk minder op de taalvaardigheid van leerlingen en zou daarmee, als aanvulling op de reguliere methodes, de wiskunde resultaten van allochtone en taalzwakke VMBO leerlingen op korte termijn kunnen verhogen.
3
Inleiding Uit onderzoek blijkt dat de wiskunderesultaten van allochtone en taalzwakke autochtone leerlingen achterblijven ten opzichte van andere leerlingen (Janssen, van der Schoot & Hemker, 2005). Ook blijkt uit onderzoek dat 25% van de leerlingen in groep 8, de basisschool verlaten met het technisch leesniveau van groep 6 (Inspectie van het onderwijs 2007, 2008). Hacquebord et al. (2004) vond in zijn onderzoek dat 24% van de brugklasleerlingen van de basis- en kadergerichte leerwegen van het VMBO, niet de vaardigheden hadden om de voor hen bestemde lesboeken te lezen. In het onderzoek van Prenger (2005) wordt tevens bevestigd dat taalzwakke leerlingen in de tweede klas van het VMBO-t, ook dit probleem hebben met wiskundeteksten. Uit deze cijfers lijkt een grote samenhang te bestaan tussen de wiskunde resultaten en het taalniveau van VMBO leerlingen. Het tegenwoordige wiskunde onderwijs wordt steeds taliger van aard. Dit is het gevolg geweest van de ontwikkeling van het Realistisch Rekenonderwijs (in het vervolg afgekort met: RRO), dat voornamelijk op de visie van Hans Freudenthal berust. Zijn visie achter het RRO was dat wiskunde gezien kon worden als een menselijke activiteit (Freudenthal, 1991). Hierin staat centraal dat leerlingen de wiskunde zelf moeten (her)ontdekken (Doorman & Gravemeijer, 1999). Dit wordt bewerkstelligd door in de methodes realistische contexten te gebruiken. Een realistische context is niet realistisch in de nauwe zin van het woord. Het realistisch zijn van een context houdt in dat de leerling de context ‘logisch’ acht. De leerling kan het zich voorstellen, of realiseren (Van den HeuvelPanhuizen, 2005). De realistische contexten zijn beschrijvingen van situaties, waarbij leerlingen een wiskundige bewerking moeten uitvoeren om deze situaties te begrijpen. Door leerlingen wiskundige kennis zelf te laten ontdekken, wordt formele wiskunde toegankelijker en interessanter voor leerlingen, dan wanneer zij dit in louter wiskundige termen voorgeschoteld krijgen (Doorman & Gravemeijer, 1999). Deze scriptie zal ingaan op het gebruik van het contextgebonden onderwijs door VMBO leerlingen. Omdat zich in het VMBO een relatief grote groep taalzwakke leerlingen bevindt, is juist de vraag naar de werkzaamheid van contextgebonden methodes bij deze groep leerlingen het grootst. Verder zal worden ingegaan op de vraag hoe contextgebonden methodes aangeboden moeten worden, om deze gebruiksvriendelijker te maken voor VMBO leerlingen. Dit zou in de vorm van extra instructie kunnen zijn, extra ondersteuning bij de taalvaardigheden en/of in de vorm van het aanbieden van extra methodes.
4
De hoofdvraag van deze scriptie luidt: In hoeverre is het gebruik van realistische contexten bij het wiskundeonderwijs een geschikte aanpak voor allochtone en taalzwakke VMBO leerlingen? De deelvragen hierbij zijn: 1. Welke elementen van realistische contexten doen een beroep op de taalvaardigheden van leerlingen? 2. Welke problemen ondervinden allochtone en taalzwakke leerlingen bij het gebruik van realistische contexten in het wiskundeonderwijs, met betrekking tot de talige aspecten hiervan? 3. Welke aanvullende of alternatieve benaderingen kunnen eventueel ondersteuning bieden aan allochtone en taalzwakke leerlingen? Met taalzwakke leerlingen worden autochtone taalzwakke leerlingen bedoelt. In deze scriptie zullen zij tot dezelfde groep behoren als de allochtone leerlingen, waarvan verondersteld wordt dat zij door hun achtergrond taalzwak zijn. In de literatuur worden deze twee groepen leerlingen vaak ook als één groep benoemd. Om deze vragen te beantwoorden wordt in de scriptie eerst ingegaan op het RRO. Er wordt een korte samenvatting gegeven van de kern van het RRO. Vervolgens zal worden gekeken naar de elementen van het RRO, die een beroep doen op het taalvermogen van leerlingen. Hierna zal aandacht besteed worden aan de gevolgen die deze elementen kunnen hebben voor allochtone en taalzwakke leerlingen. Via deze gevolgen zal worden gekeken naar mogelijke aanpassingen op het wiskundeonderwijs. In de conclusie wordt een antwoord gegeven op de hoofdvraag.
5
1. Het Realistisch Rekenonderwijs in het kort Het RRO vind zijn grondbeginselen in de visie van Hans Freudenthal. Één van de belangrijkste aspecten van deze visie, is dat wiskunde gezien kan worden als een menselijke activiteit. Freudenthal (1991) beroept zich hier op het belang om wiskundige kennis te kunnen reproduceren. Voorheen werd wiskundige kennis voorgelegd aan leerlingen alsof deze zeker en onveranderbaar was. Freudenthal realiseert zich echter dat wat wij nu voor zeker achten, niet zozeer zeker hoeft te zijn in de toekomst. Het belang van het (her)ontdekken van (wiskundige) kennis wordt hiermee onderstreept. Het herontdekken van wiskundige kennis staat dan ook centraal in het RRO. Door leerlingen de kans te geven wiskundige kennis te reproduceren, wordt wiskunde toegankelijker voor een breed scala aan leerlingen. Leerlingen moeten dus zelf wiskundige kennis opdoen door deze te reproduceren. Om dit mogelijk te maken, wordt gebruik gemaakt van realistische contexten. Het realistische aspect hiervan heeft betrekking op de belevingswereld van de leerlingen. Een context of opdracht is realistisch wanneer de leerling deze zich voor kan stellen, of beter gezegd: kan realiseren. Dit hoeft niet per se een context uit het dagelijks leven te zijn. Wanneer een leerling zich meer wiskundige bewerkingen eigen maakt, kan een wiskundige context ook realistisch voor de leerling zijn (Van den Heuvel-Panhuizen, 2005). Een context heeft, volgens Freudenthal, niet het doel om een wiskundige bewerking in te pakken. Het doel is juist om de context te begrijpen. Om de context te kunnen begrijpen moet een wiskundige bewerking worden uitgevoerd. Het inzicht in welke wiskundige bewerking moet worden uitgevoerd, heet horizontaal mathematiseren (Treffers, 1978). Dit omvat dus het wiskundig maken van een niet-wiskundige context. De volgende stap in het mathematiseren, is verticaal mathematiseren. Tijdens het verticaal mathematiseren blijft de leerling in de wiskundige bewerkingen (Treffers, 1978). Het houdt het generaliseren van wiskundige kennis in en het ontdekken van regelmatigheden binnen de wiskunde. Met andere woorden: leerlingen zien tijdens het verticaal mathematiseren de structuren tussen verschillende situaties en generaliseren hun situatiespecifieke kennis naar andere situaties (van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Modellen staan centraal in het RRO. Ze omvatten een breed scala aan voorbeelden, materialen, schema’s, diagrammen, symbolen en tekeningen die leerlingen helpen te mathematiseren (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Er zijn twee belangrijke factoren die modellen moeten bevatten. Ze moeten ten eerste in een realistische, voor het kind begrijpbare context worden geplaatst. Ten tweede moeten ze zodanig flexibel zijn, dat ze toepasbaar zijn 6
in meerdere situaties en op een hoger niveau gebruikt kunnen worden (van den HeuvelPanhuizen, 2003). Vygotski (1978) noemde dit al in zijn werk scaffolding. Scaffolding is het mogelijk maken om datgene te leren, wat zonder ‘scaffold’ of houvast, niet beschikbaar zou zijn voor de leerling. Bij scaffolding wordt een houvast gegeven, zodat de leerling verder kan gaan dan voorheen. Vygotsky (1978) beroept zich hier op zijn zone of proximal development (ZPD). De ZPD wordt gekenmerkt als datgene wat de leerling met enige hulp kan leren, maar zonder hulp niet aan toegekomen was. Een model kan in wezen getypeerd worden als een scaffold om de leerling kennis te laten inzien (van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Een andere scaffold is de leerkracht. De leerkracht is van belang, omdat deze het kind kan sturen door feedback te geven. Leerlingen moeten leren reflecteren over hun eigen leerproces (Freudenthal, 1991). De leerkracht moet de drijfveer zijn achter het reflecterend vermogen van de leerling. Hierin bevindt zich de kern van wat Freudenthal noemt guided reinvention. Guided reinvention betekent dat het herontdekken van wiskundige kennis gestuurd moet worden. De leerkracht, of eventueel mede-leerlingen, moet het reflecteren sturen en sturen hierbij ook het herontdekkingsproces van de leerling. Behalve het reflecteren te bevorderen, is het ook aan de leerkracht om de leerlingen te motiveren voor het vak. Één van de kenmerken van realistische context opgaven is dat de leerling het probleem wíl oplossen. Wiskundige problemen omvatten helaas niet alleen realistische problemen. Wanneer men wil dat de leerling het probleem abstraheert en bewijst, valt dit buiten het praktische probleem. Hier moet de leerling ook voor gemotiveerd worden. Uit onderzoek van Gravemeijer (2002) blijkt dat leerlingen hiervoor te motiveren zijn wanneer de leerkracht laat zien daadwerkelijk geïnteresseerd te zijn in het denken van de leerling en wanneer de leerkracht ervoor zorgt dat bijdragen van de leerling daadwerkelijk een rol gaan spelen in het leerproces. Vooral dit laatste beroept zich op het eerder genoemde belang van reflecteren. In het volgende hoofdstuk zal worden ingegaan op de elementen van het RRO die een beroep doen op het talige vermogen van leerlingen.
7
2. Taalaspecten van het Realistisch Rekenonderwijs 2.1 Onderdelen van het Realistisch Rekenonderwijs die een beroep doen op taal Er zijn een aantal onderdelen van het RRO die een beroep doen op het taalvermogen van leerlingen. In dit hoofdstuk zal worden bekeken welke taalvaardigheden leerlingen nodig hebben, om deze talige elementen van het RRO te kunnen beheersen. In eerste instantie kunnen we in het RRO niet om taal heen door het gebruik van de realistische contexten. In deze contexten wordt vooral gebruik gemaakt van situatietaal. Situatietaal is regulier taalgebruik, die in een specifieke context wordt gebruikt. In het wiskundeonderwijs vindt zich een ontwikkeling bij leerlingen plaats, waarbij zij van situatietaal steeds meer richting formeel wiskundige taal gaan (Van Eerde, 2009). Leerlingen moeten uit de in situatietaal geschreven context een wiskundige bewerking halen. Dit is het eerder beschreven horizontaal mathematiseren. Prenger (2005) merkt vervolgens op dat wiskundige theorieën vaak ingebed worden in een context. De theorie wordt niet expliciet genoemd. Om de theorie uit de context te halen, wordt een bepaald niveau van taalvermogen vereist van de leerling. Het tweede aspect van het RRO dat een beroep doet op taalvermogen, omvat de onderwijzende functie van taal in dialoog. Hierbij kunnen we ons beroepen op Vygotsky. Vygotsky (1986) en hierbij het constructivisme onderstrepen dat kennis sociaal geconstrueerd wordt. Dit betekent dat kennis tot stand komt door de dialoog tussen leerlingen, leerkrachten en mede-leerlingen. Hoewel Freudenthal (1991) dit niet direct zegt, noemt hij wel guided reinvention als een kenmerk van ‘zijn’ RRO. Zoals eerder genoemd is het aan de leerkracht om de leerling te stimuleren om na te denken over het leerproces en hierover te reflecteren. Het leren reflecteren op en het verbaliseren van de leerprocessen, is een onderdeel van de kennis die op deze manier sociaal geconstrueerd moet worden. Leerlingen moeten dus kunnen nadenken over de contexten en hun ideeën of vragen hierover verbaliseren. Een derde aspect van het Realistisch Rekenonderwijs dat met taal te maken heeft, is het culturele aspect. Taalgebruik en taalbegrip worden beïnvloed door cultuur. Om deze reden is cultuur een aspect van taal. Hoe een context gebruikt wordt, wordt mede bepaald door de manier waarop de inhoud van de context geïnterpreteerd wordt door de ontvanger. De ontvanger, in dit geval de leerling, ziet een context binnen zijn/haar referentiekader en interpreteert de context volgens dit referentiekader (Schank & Abelson, 1977)
8
Puntsgewijs zullen hieronder de verschillende taalvaardigheden worden beschreven, die nodig zijn binnen het RRO. 2.2 Taalvaardigheden die in het Realistisch Rekenonderwijs van belang zijn 2.2.1 Woordenschat Prenger (2005) en Van Eerde (2009) geven aan dat de teksten in wiskundeboeken niet uitermate lang zijn. Dit betekent wel dat elk woord van belang is in de tekst. Het is dan ook van groot belang dat leerlingen een bepaald niveau van woordenschat bezitten, willen zij de teksten uit de wiskunde methodes volledig begrijpen en hier de essentie uit kunnen halen. Op woordenschat niveau is het ook belangrijk dat leerlingen kunnen differentiëren tussen woorden die in het dagelijks leven andere betekenissen hebben, dan in de wiskunde. Hierbij kan gedacht worden aan het woord ‘normaal’ in de normaalverdeling, dat een hele andere betekenis heeft dan in het dagelijks leven (Barton, 2008). Het derde aspect waar woordenschat van belang is, is het kunnen verbaliseren en reflecteren over het eigen leerproces. Leerlingen moeten uit kunnen leggen wat zij niet begrijpen en de feedback kunnen begrijpen op de opdrachten die zij gemaakt hebben (Freudenthal, 1991). Doordat contexten vaak een bepaalde culturele achtergrond hebben, is het van belang dat leerlingen voldoende woordenschat bezitten die gerelateerd zijn aan die cultuur. Als laatst is woordenschat van belang, wanneer leerlingen een wiskundige theorie uit een context moeten halen. Wanneer de theorie niet geëxpliciteerd is, is voldoende woordenschat verreist om deze alsnog te begrijpen. 2.2.2 Technisch lezen Bij het lezen van de contexten in de wiskunde methodes is het van belang dat leerlingen vlot kunnen lezen. Ze moeten verbanden tussen de verschillende zinsdelen kunnen zien en voldoende kennis hebben over de verwijswoorden die gebruikt worden (Prenger, 2005). Uit onderzoek blijkt tevens dat leerlingen die goed technisch lezen, beter bekwaam zijn in het omgaan met onbekende woorden. Ze passen betere strategieën toe met betrekking tot het lezen van teksten (Snow, 2007).
9
2.2.3 Begrijpend lezen Prenger (2005) omschrijft een aantal aspecten van begrijpend lezen die van belang zijn bij de verwerking van wiskundeteksten. Deze worden hieronder besproken. Ten eerste kan het niveau van begrijpend lezen van invloed zijn op de wiskundige vaardigheden bij het horizontaal mathematiseren. De leerlingen moeten het doel van de tekst, of context, kunnen herkennen, om hier vervolgens een geschikte wiskundige bewerking voor te vinden. Dit vermogen om een tekst te kunnen abstraheren hoort ook bij het begrijpend lezen. Ook is begrijpend lezen van belang wanneer een theorie is ingebed in een context. Leerlingen moeten de essentie van het stukje tekst kunnen herkennen, wat belangrijk is om de theorie te expliciteren. Bij het verbaliseren van wiskundige opgaven en contexten is het ook van belang dat leerlingen voldoende kunnen begrijpend lezen. Om de essentie van de tekst te kunnen verbaliseren is het nodig om het doel van de tekst te begrijpen. De culturele achtergrond van een context vereist dat leerlingen van alle culturele achtergronden een goed niveau van begrijpend lezen hebben. Dit veronderstelt dat alle leerlingen het doel en de essentie van een tekst moeten herkennen, ook wanneer een leerling een andere achtergrond heeft dan de achtergrond van de tekst. Ook gezegdes, uitdrukkingen en figuurlijk taalgebruik, zijn cultuurspecifieke elementen. 2.3.4 Bereidheid om te lezen Een overkoepelend aspect van taalvermogen betreft het wíllen lezen. Omdat het RRO veel gebruik maakt van teksten en contexten, moeten leerlingen bereid zijn om deze teksten te lezen. Dit heeft betrekking op alle talige aspecten van het RRO. Uit onderzoek van Land, Sanders & Bergh (2006) blijkt dat VMBO leerlingen lezen saai vinden en dan vinden ze met name de studieboeken op school saai (Land, 2005). Motivatie om te lezen kan invloed hebben op de uiteindelijke ervaring met de tekst (Land, Sanders & Bergh, 2006). Weinig motivatie kan ervoor zorgen dat een leerling veel cognitieve energie in een tekst moet stoppen en het kan het leesgenot verminderen Door het gebruik van realistische contexten wordt er een groot beroep gedaan op de taalvaardigheid van leerlingen. De belangrijkste taalvaardigheden die nodig zijn binnen het RRO zijn: woordenschat, technisch lezen en begrijpend lezen. Leerlingen die hier niet bekwaam in zijn, zouden de meeste problemen met het wiskundeonderwijs kunnen 10
ondervinden. Ook speelt de bereidbaarheid om te lezen een grote rol in het RRO. Als leerlingen een tekst niet willen lezen, beginnen ze al met een achterstand. In het volgende hoofdstuk wordt een beschrijving gegeven van de problemen die allochtone en taalzwakke leerlingen kunnen ondervinden met de talige aspecten van het RRO.
11
3. Problemen die leerlingen kunnen ondervinden met de talige aspecten van het Realistisch Rekenonderwijs Zoals in vorige hoofdstukken uitvoerig is besproken, beroept het RRO zich veel op het gebruik van contexten. Deze contexten doen een beroep op het taalvermogen van de leerlingen. Naar aanleiding van achterblijvende wiskunde- en rekenresultaten van allochtone en taalzwakke leerlingen (Janssen, van der Schoot & Hemker, 2005), is er veel aandacht voor de mogelijke problemen die het RRO kan veroorzaken voor deze groep leerlingen. In dit hoofdstuk zal worden gekeken naar de problemen die leerlingen kunnen ondervinden met het talige aspect van het RRO. Ook zal worden gekeken naar de problemen met het culturele aspect van taal. Vervolgens wordt nader ingegaan op de bereidbaarheid van leerlingen om te lezen. Als laatst wordt omschreven hoe leerkrachtkenmerken van invloed kunnen zijn op het taalbegrip en de taalproductie van leerlingen in de wiskundeles. 3.1 Problemen op taalniveau Prenger (2005) is in haar proefschrift dieper ingegaan op het taalprobleem in wiskundige opgaven. Om de problemen te onderscheiden, hanteert Prenger een drietal niveaus van tekstverwerking in haar onderzoek. Het eerste niveau van tekstverwerking is het microniveau. Hiermee wordt het begrip op woord- en zinsniveau bedoeld. Uit onderzoek van Verhallen (1994), blijkt dat allochtone leerlingen vaak een geringe woordenschat hebben. Voor hen en andere taalzwakke leerlingen is er dus een grote uitval op microniveau. Allochtone leerlingen gebruiken daarbij vaak verkeerde strategieën met betrekking tot woorden die zij niet kennen. Het blijkt dat de leerlingen deze woorden gewoonweg negeren. In de opdrachten wordt een relatief klein aantal woorden gebruikt, in tegenstelling tot bijvoorbeeld een taalles, wat maakt dat elk woord van belang is (Van Eerde, 2009). Als een leerling één van deze woorden niet kent, komt hij al gauw in de problemen met de gehele som. Deze leerling heeft dan een probleem op microniveau. Het tweede niveau wat Prenger omschrijft is het mesoniveau. Het mesoniveau beslaat de tekstverwerking tussen zinnen en tekstgedeelten binnen een alinea. Het gaat hier om het correcte gebruik van verwijswoorden en de juiste structuur binnen de alinea te herkennen om verbanden tussen de tekstgedeelten te leggen. Een wiskundige opgave is vaak niet langer dan een alinea, waardoor dit niveau van groot belang is voor het begrijpen van wiskundige vraagstukken. Het blijkt dat allochtone leerlingen op mesoniveau slechter presteren dan autochtone leerlingen (Schuurs, 1998).
12
Het derde niveau, het macroniveau, heeft betrekking op het begrijpen van de tekst als geheel. Het gaat hier om het herkennen van de functie van de tekst. Wanneer een leerling dit doorheeft, kan de leerling de juiste voorkennis en schema’s activeren om deze tekst volledig te begrijpen. Prenger (2005) merkt op dat het RRO gebruik maakt van contexten in realistische situaties. Leerlingen zouden deze situaties moeten herkennen en hierdoor de juiste voorkennis kunnen activeren, waardoor de tekst beter begrepen kan worden. Allochtone leerlingen, of in ieder geval NT2 (Nederlands als tweede taal) leerlingen, hebben deze voorkennis wellicht niet. Zij kunnen hun voorkennis dus niet gebruiken om op te steunen bij het maken van een wiskundeopgave en hebben hierdoor een achterstand. Uit resultaten van het onderzoek van Prenger (2005), blijkt dat er tussen autochtone en allochtone leerlingen verschillen zijn met tekstverwerking op microniveau. Allochtone leerlingen scoren lager op dit punt, waardoor zij voorzichtig concludeert dat dit een verklaring kan zijn voor de lage prestaties in het reken- en wiskundeonderwijs van deze groep. Voorts blijkt ook dat er geen verschillen zijn tussen de prestaties op macroniveau. Dit houdt in dat leerlingen in langere teksten hun geringere woordkennis kunnen compenseren, door betekenissen uit het tekstverband te halen. Dit heeft voor wiskundige opgaven echter het gevolg dat zij hier de ruimte niet hebben om de betekenis uit het tekstverband te halen. Barton (2008) bespreekt ook de rol die taal heeft in het wiskunde onderwijs. Hij merkt op dat problemen kunnen ontstaan tussen het gebruik van wiskunde taal en situatietaal. Er zijn woorden die in de twee taalgebruiken andere betekenissen hebben. Barton (2008) neemt als voorbeeld de normaalverdeling. Het woord normaal heeft in situatietaal een andere betekenis, dan in het wiskundige taalgebruik. In het RRO gebruikt men realistische contexten. Deze contexten bevatten situatietaal die, door horizontaal en verticaal mathematiseren, door leerlingen wordt omgezet in wiskundig taalgebruik. Het is evident dat verschillende betekenissen van hetzelfde woord, hier sneller voor verwarring kunnen zorgen. In het proefschrift van Prenger (2005) is ook onderzoek gedaan naar het taalgebruik van wiskundeboeken. Op het eerder genoemde microniveau blijkt hieruit dat wiskundeboeken vaak woorden gebruiken die niet vaak in het alledaagse leven voorkomen. Dit houdt in dat er voor taalzwakke en allochtone leerlingen nog minder kans is dat zij deze woorden kennen. Verder blijkt dat belangrijke wiskundige termen ingebed zijn binnen een context. Dit houdt in dat deze niet duidelijk genoeg geëxpliciteerd worden. Taalzwakke leerlingen hebben juist deze explicitering nodig om de wiskundige termen volledig te begrijpen. Wat mesoniveau betreft hebben schoolboeken de neiging om in zinsverband zo weinig mogelijk woorden te gebruiken om hetgeen over te brengen wat zij beogen. Vaak worden er maar weinig 13
verwijswoorden gebruikt om verbanden in de tekst weer te geven. Ook worden verschillende woorden gebruikt om naar hetzelfde doel te verwijzen. Dit kan bij taalzwakke leerlingen voor verwarring zorgen. Zij hebben juist expliciete verwijswoorden nodig om de verbanden in de tekst te herkennen. 3.2 Problemen met het culturele aspect van taal In het RRO worden contexten gepresenteerd waar leerlingen een wiskundige bewerking uit moeten halen. Deze contexten worden gemaakt door de auteurs van de wiskundeboeken. De context beoogt realistisch te zijn voor de leerlingen, maar Wiliam (1990) merkt op dat een context onmogelijk voor iedereen realistisch kan zijn. Juist het idee van een fluctuerende realiteit (Freudenthal, 1991) spreekt dit tegen. In het VMBO zit een grote diversiteit aan leerlingen van verschillende culturen. Verschillende culturen kunnen een verschillende kijk op situaties en wiskunde in het algemeen hebben (Barton, 2008). Binnen het constructivisme gaat men ervan uit dat realiteit wordt geconstrueerd door de eerdere ervaringen van de leerling (Vygotski, 1978). Dit betekent dat het een onmogelijke taak is om contexten zo te maken dat ze de diversiteit in culturen en leerlingen onderkennen. Ook Wiliam (1988) gaat hierop verder, door te benadrukken dat datgene wat de context eigenlijk wil overbrengen, vaak anders is dan wat daadwerkelijk door de leerling ontvangen wordt, door het gebruik van verschillende referentiekaders. Een realistische context beoogt realistisch te zijn. Het kan gebeuren dat het niet duidelijk is wat precies bereikt wil worden met de context. Het kan voorkomen dat leerlingen niet realistisch genoeg met de context omgaan. Een voorbeeld is het verdelen van een aantal ballonnen over een aantal kinderen. In een wiskundige setting zou je één kunnen halveren. In de realistische context is het niet mogelijk één ballon te halveren. Leerlingen zouden in dit voorbeeld niet genoeg rekening kunnen houden met de context (Davis, 1989). Het kan juist ook voorkomen dat leerlingen teveel rekening houden met de context, wat in het volgende voorbeeld van Cooper (1992) wordt geïllustreerd. In het voorbeeld moeten 269 mensen naar de bovenste verdieping. De lift kan maximaal 14 personen per keer meenemen. De vraag is hoe vaak de lift op en neer moet. Het beoogde antwoord is 20, namelijk 269/14, waar 19,2 uitkomt, waardoor de lift 20 keer op en neer moet. Het eerste probleem dat de leerling kan ondervinden, is datgene wat hiervoor besproken is, waarbij de leerling geen rekening houdt met de context en het antwoord 19,2 geeft. Het tweede probleem kan zijn dat een leerling teveel nadenkt over de context en zich realiseert dat men ook met de trap zou kunnen gaan. Of dat de lift niet altijd vol hoeft te zitten. Deze realisaties kunnen allen invloed hebben op het
14
antwoord dat het kind geeft. Wanneer een leerkracht de opdracht nakijkt en een verkeerd antwoord gegeven is, zal dit vaak ook fout gerekend worden. Dit, terwijl de leerling louter een andere redenering heeft. Dit kan in verband worden gebracht met de verschillende referentiekaders die leerlingen gebruiken om naar een context te kijken. Een leerling moet voorkennis over de context activeren, om deze te interpreteren zoals het bedoeld is. Bij allochtone leerlingen kan de voorkennis verschillen van de voorkennis die verreist is (Prenger, 2005). In het nakijken van realistische contextproblemen zal hier rekening mee gehouden moeten worden (Van den Heuvel-Panhuizen, 2005).
15
3.3 Bereidbaarheid om te lezen De contexten in de RRO methodes vereisen niet alleen dat leerlingen kúnnen lezen. Ze veronderstellen ook dat leerlingen de teksten wíllen lezen. Als leerlingen niet bereid zijn om de teksten te lezen, zullen ze de opdrachten ook niet goed uit kunnen voeren. Weinig motivatie om te lezen kan ervoor zorgen dat een leerling veel cognitieve energie in een tekst moet stoppen en het kan het leesgenot verminderen (Land, Sanders & Bergh, 2006). Uit onderzoek naar het leesgedrag van adolescenten blijkt dat deze groep veel minder motivatie heeft om te lezen, dan leerlingen die beginnen met lezen (Boland, 1988). Leerlingen op het VMBO lijken nog minder graag te willen lezen dan andere leerlingen. Uit onderzoek van Tellegen en Lampe (2000) blijkt dat 23% van de VMBO leerlingen lezen als een plezierige activiteit ervaart. Voor de meerderheid van de VMBO leerlingen geldt dat zij lezen als moeizaam ervaren. Dit betekent dat een groot deel van de leerlingen thuis geen boeken voor het plezier leest, maar alleen huiswerkteksten leest (Land, Sanders & Bergh, 2006). Uit onderzoek van Land (2005) naar de waardering van schoolboekteksten door VMBO leerlingen, blijkt dat leerlingen de schoolteksten saai vinden om te lezen. Dit heeft een negatief effect op de motivatie om deze teksten te gaan lezen (Land, Sanders & Bergh, 2006). Verder blijkt dat VMBO leerlingen schoolboekteksten leuker gaan vinden, naarmate deze duidelijk, kort, interessant en gemakkelijk zijn (Land, 2002b). Het gebruik van plaatjes maakt een tekst bovendien leuker voor de leerlingen. Belangrijk is dat de schoolboekteksten herkenbaar zijn voor de leerlingen en op hun belevingswereld aansluiten (Land, 2002b).
16
3.4 De invloed van leerkrachteigenschappen op het taalbegrip van leerlingen Door de problemen die hierboven beschreven worden met betrekking tot het woordgebruik en het weinig expliciteren van wiskundige termen in de schoolboeken wordt het belang van de leerkracht onderstreept. Waar de schoolboeken tekort komen, moet de leerkracht dit voor de leerlingen compenseren en verduidelijking bieden. Interactie tussen de docent en de leerlingen is één van de kenmerken van het RRO. Deze impliceert dat leerlingen niet alleen luisteren naar wat de leerkracht te zeggen heeft, maar dat dit ook andersom het geval is. Leerlingen moeten door de leerkracht gestimuleerd worden om zelf na te denken over opdrachten en om hun eigen denkwijzen onder woorden te brengen, waarbij de leerkracht niet direct een antwoord biedt (Gravemeijer, 1995). In het dagelijks leven hebben kinderen ook te maken met interactie buiten de school. Door gesprekken te voeren en reacties op het eigen taalgebruik waar te nemen, wordt het taalbegrip bij kinderen verhoogd (Ellis,Tanaka & Yamazaki, 1994; Pica, 1994). Deze ervaringen zijn echter niet genoeg om mee te komen in de wiskundeles, waar veel termen gebruikt worden die niet in het dagelijks leven voorkomen. Interactie tussen leerkracht en leerlingen is van groot belang om het tekstbegrip in de wiskundeklas te bevorderen. In een klas is echter sprake van een ongelijke relatie, waarbij de leerkracht een dominantere rol heeft ten opzichte van de leerlingen. Er is daarom veel minder mogelijkheid tot informele betekenisonderhandeling tussen leerkracht en leerling. Uit onderzoek van (Van den Branden, 1995; Hajer, 1996) blijkt dat een leerkracht vaak tegen de klas praat in plaats van interactie te hebben met de klas. Ook stimuleren de vragen van de docent niet het geven van uitgebreide antwoorden, maar wordt vaak maar een getal, of één woord verwacht. De docent heeft hierdoor ook niet de gelegenheid om feedback te geven op de taalproductie van de leerlingen. Onderzoek van Van Eerde, et al. (2002) naar wiskundelessen in brugklassen wijst uit dat leerlingen weinig kans krijgen om mee te praten over de contexten en de termen die in deze contexten besproken worden. Allochtone en taalzwakke leerlingen krijgen hierdoor niet de kans om contexten die zij niet begrijpen, uitgelegd te krijgen. Dit stimuleert op zijn beurt weer niet de ontwikkeling van de taalvaardigheden die nodig zijn in het reken- en wiskundeonderwijs (Van Eerde, Hajer, Prenger, 2002). Bovendien is de interactie die wel ontstaat over de opgaven beperkt tot interactie tussen de leerkracht en individuele leerlingen. Leerlingen wisselen onderling nagenoeg geen denkwijzen met elkaar uit over de contexten. Het bovengenoemde feit dat leerlingen tijdens informele discussies tot beter taalbegrip komen, wordt hierdoor niet benut.
17
Uit onderzoek van Van den Boer (2003), naar de achterliggende problematiek bij allochtone leerlingen in het reken- en wiskundeonderwijs, blijkt tevens dat leerlingen en leerkrachten zelf niet doorhebben dat slechte taalvaardigheden en het gebruik van verkeerde strategieën de oorzaak zijn van slechte rekenvaardigheden. Dit komt terug in het onderzoek van Eerde, et al. (2002). Leerkrachten geven weinig inhoudelijke feedback op de taalproductie van de leerlingen. Ook komt het weinig voor dat leerlingen daadwerkelijk moeten opschrijven wat zij nu eigenlijk aan het doen zijn. Uit onderzoek van Khisty (2001) blijkt dat het juist in een multiculturele klas positief kan zijn om leerlingen vaak denkwijzen te laten opschrijven en hier herhaaldelijk feedback op te geven. Leerlingen hebben hierdoor meer zicht op wat zij wel en niet goed doen. Dit geldt voor de wiskundige bewerkingen, maar ook voor hun taalvaardigheden. Het feit dat leerkrachten weinig inhoudelijke feedback geven op de taalproductie, kan er op wijzen dat zij dit niet zien als een factor die meespeelt in de achterlopende wiskunderesultaten. Doordat de leerkrachten dit niet zien als een oorzaak, zien de leerlingen dit ook niet en zullen zij hierbij niet om hulp vragen. Doordat contexten niet besproken worden en de docenten niet inhoudelijk ingaan op de taalproductie van de leerlingen, gaan de problemen van de leerlingen op dit gebied vaak onopgemerkt en kan er dus ook geen oplossing geboden worden (Van den Boer, 2003). In het vorige deelhoofdstuk is beschreven hoe VMBO leerlingen de schoolboekteksten ervaren en de motivatie van deze leerlingen om te lezen in het algemeen. De leerlingen blijken de schoolboekteksten saai te vinden (Land, 2005). Het is mogelijk dat door het bespreken van deze schoolboekteksten, de leerkracht deze meer kan laten leven voor de leerlingen. Het zou bovendien kunnen dat leerlingen de teksten niet volledig begrijpen en deze daarom saai vinden. Hier zou interactie tussen leerkracht en leerlingen ook een uitkomst kunnen bieden. Concluderend kunnen we stellen dat er binnen het gebruik van contexten in het RRO een aantal problemen kunnen ontstaan. Deze problemen hebben vooral betrekking op het talige aspect van de contexten. De contexten die in schoolboeken gepresenteerd worden zijn vaak niet expliciet genoeg voor een grote groep leerlingen. Ook het grote beroep dat gedaan wordt op de tekstverwerking is voor veel leerlingen problematisch. Bovendien blijkt het dat leerkrachten zich niet bewust zijn van de taalproblemen bij leerlingen en er tijdens de lessen niet wordt ingaan op de contexten. Dit zorgt ervoor dat de taalproblemen niet aangekaart en opgelost worden. Een ander aspect van het RRO, is het feit dat leerlingen de motivatie moeten hebben om de schoolboekteksten te willen lezen. Er kan gezegd worden dat er een verband 18
bestaat tussen het kunnen en het willen lezen. Een leerling die veel motivatie heeft om te lezen, zal vaker lezen en zal bekwamer worden in het lezen. Een leerling die weinig motivatie heeft om te lezen, zal minder vaak lezen en zal zijn leesvaardigheid niet blijven ontwikkelen. Dit kan echter ook de andere kant op gelden. Een leerling waarvan de leesvaardigheid minder hoog is zal ook minder lezen, omdat dit veel moeite kost voor de leerling. De motivatie om te lezen is veel minder (Land, Sanders & Bergh, 2006). Voor taalzwakke en allochtone leerlingen zit hier de kern van het probleem. Het is voorts belangrijk dat leerlingen de schoolboekteksten niet als saai ervaren. Dit draagt namelijk bij aan de motivatie van leerlingen om deze teksten te gaan lezen. Dit vraagt om een verbetering van de schoolboekteksten of meer inzet van de docent om deze teksten leuker te maken voor de leerlingen.
19
4. Aanvullende en alternatieve benaderingen op het Realistisch Rekenonderwijs In dit hoofdstuk worden, naar aanleiding van de problemen die leerlingen kunnen ondervinden met de talige aspecten van het contextgebonden wiskundeonderwijs, enkele benaderingen besproken die voor verbetering zouden kunnen zorgen binnen het wiskundeonderwijs. Allereerst wordt een aanvullende benadering besproken, namelijk de redactiesommen. Deze is gekozen omdat het minder beroep doet op het taalvermogen van leerlingen. Als tweede wordt een alternatieve benadering besproken, namelijk het Taalgericht Vakonderwijs. Deze beroept zich juist veel op het taalvermogen van leerlingen, maar heeft als doel het taalvermogen te verbeteren. Ook is in deze benadering meer aandacht voor de rol die docenten moeten hebben om leerlingen beter te ondersteunen bij het verwerven van wiskundige kennis en de behandeling van contexten. In het kader van het Taalgericht Vakonderwijs wordt de prototypische methode Wisbaak omschreven. Dit is een concreet voorbeeld van de manier waarop het Taalgericht Vakonderwijs zou kunnen worden ingevoerd. 4.1 Redactiesommen In Engelstalige literatuur uit eigen land, worden redactiesommen getypeerd als wordproblems. In internationale literatuur wordt de term word-problems echter gebruikt voor een aanduiding van contextgebonden sommen. Er is een groot verschil tussen de twee. Redactiesommen beroepen zich veel minder op het taalvermogen van de leerlingen. Een redactiesom is geen kale som, er wordt wel een context aangeboden. De context is echter niet bepalend voor de som en zou makkelijk verwisseld kunnen worden met een andere context. In sommen met een rijke context is het taalgebruik bepalend voor het oplossen van de som. Dit is bij redactiesommen niet het geval (Treffers & Goffree, 1982). Een voorbeeld van een redactiesom is: Een doosje kiwi’s en een doosje kersen
A. € 3,60 (B)
kosten samen twee euro en vijftig cent.
B. € 0,40 (E)
De kiwi’s kosten een euro en tien cent.
C. € 1,60 (G)
Hoe duur is het doosje kersen?
D. € 1,40 (S)
Uit de methode Redactiesommen (Kinheim)
20
In deze methode worden een aantal redactiesommen onder elkaar gezet op één bladzijde. De leerlingen moeten uit vier antwoorden het juiste antwoord kiezen. Bij de antwoorden hoort een letter. Als de leerlingen de bladzijde af hebben, zullen de letters die horen bij de goede antwoorden, een woord spellen. Dit geldt als extra motivatie om de oefeningen te maken. Er is geen mogelijkheid om eventuele beredeneringen te geven bij het geven van een antwoord. Een redactiesom doet dus minder beroep op de taalvaardigheid van een leerling dan de realistische rekenmethodes. Hoewel een redactiesom wel een korte tekst omvat is er minder kans dat de leerling met taalverwerkingsproblemen op microniveau hier teveel last van zal ondervinden. Er wordt in de tekst van de som geen belangrijke informatie verschaft, die leerlingen mogelijk niet zouden kunnen begrijpen. Hoewel redactiesommen positieve elementen bevatten voor allochtone en taalzwakke leerlingen, is er ook een nadeel aan het gebruik van alleen redactiesommen. Freudenthal (1991) vermoedde sterk dat het gebruik van redactiesommen een negatieve invloed zou hebben op het mathematiserend vermogen van leerlingen. Oftewel: leerlingen die onderwezen worden in redactiesommen zouden niet geneigd zijn om wiskundige opgaven te beschouwen als realistische situaties. Er wordt in het onderzoek van Verschaffel, et al. (2000) bewezen dat leerlingen de redactiesommen inderdaad niet zien als realistische voorbeelden die wiskundig opgelost moeten worden. Cooper en Harries (2002) bewezen in hun onderzoek dat in RRO opgaven de context van groot belang is. Zij vonden dat leerlingen door de context de opgaven in een realistisch kader konden plaatsen, en eerder bereid waren om realistische antwoorden te geven. Redactiesommen zouden voor allochtone en taalzwakke leerlingen wellicht makkelijker op te lossen zijn dan de contextuele opgaven waar een groter beroep op hun taalvaardigheid wordt gedaan. Aan de andere kant is het voordeel van de contextuele opgaven dat zij wiskunde realistisch maken voor de leerlingen. Dit blijkt uit onderzoek van Walkerdine (1989) bovendien een positief effect te hebben op de betrokkenheid en motivatie van leerlingen voor het vak. 4.2 Taalgericht Vakonderwijs In dit tweede deel over aanvullende en alternatieve benaderingen wordt nader ingegaan op de rol die docenten spelen in het RRO. Eerder is besproken dat docenten nauwelijks gelegenheid zien om contexten met leerlingen te bespreken (Van Eerde, Hajer, Prenger, 2002). Ook
21
hebben docenten vaak niet door dat leerlingen problemen hebben met wiskunde door achterlopende taalvaardigheden (Van den Boer, 2003). Docenten spelen een grote rol in het toegankelijk maken van het schoolse leren. Er is een verschil tussen de alledaagse taal die leerlingen gebruiken en de schoolse taal, of vaktaal, waar leerlingen op school mee te maken krijgen. Docenten moeten de verbindende factor zijn die leerlingen deze kloof laten overbruggen (Hajer, 1996). De contexten die het RRO kenmerkt, zouden de ideale overbrugging moeten zijn tussen alledaagse taal en wiskundige taal. Een realistische context, in voor een leerling begrijpelijke taal, lijkt een ideale stap richting het verwerven van wiskundige taal. Eerder is echter al besproken dat leerlingen toch problemen hebben met de taal die gebruikt wordt in de contexten (Prenger, 2005). Vooral allochtone leerlingen gebruiken verkeerde strategieën, wanneer zij woorden tegenkomen die zij niet kennen (Van den Boer, 2003). Hier ligt de kern waarin docenten zich moeten verdiepen. Van Eerde (2009) beschrijft de rol die docenten moeten aannemen om beter om te gaan met taalproblemen van leerlingen in de wiskunde klas. Ten eerste is het belangrijk dat docenten de leerlingen laten praten en schrijven in de les. Hierdoor worden de denkprocessen van de leerlingen zichtbaar aan de docent. De docent zal de kern van het probleem kunnen waarnemen. Zit het probleem in de taalvaardigheid van de leerlingen, dan moet een oplossing op gebied van taalverwerking gevonden worden. Ook Van den Boer (2003) benadrukt meer interactief onderwijs tussen docenten en leerlingen, waarbij zij in gesprek met elkaar gaan en problemen tijdig worden gesignaleerd. Dit brengt ons bij Taalgericht Vakonderwijs. Interactief onderwijs is één onderdeel van Taalgericht Vakonderwijs. Hajer en Meestringa (2009) omschrijven Taalgericht Vakonderwijs als onderwijs waarin niet alleen nadruk wordt gelegd op de vakdoelen zelf, maar ook expliciet de benodigde taalvaardigheid benoemd wordt. Veelvuldige interactie tussen zowel docent en leerlingen, als leerlingen onderling wordt hierin benadrukt. Het Taalgericht Vakonderwijs is bovendien zeer contextrijk en biedt taalsteun waar dat nodig is. Tijdens de les, in dit geval de wiskundeles, heeft taal een belangrijke functie. Gedurende de les wordt nadruk gelegd op de vaktermen die nodig zijn voor het betreffende vak. Dit geldt niet alleen voor de formele wiskundige taal, maar ook voor het taalgebruik dat nodig is om het boek en de docent te begrijpen en om wiskundige bewerkingen zelf te reproduceren. (Hajer & Meestringa, 2009) Taalgericht Vakonderwijs kent veel overeenkomsten met het Realistisch Rekenonderwijs. De nadruk op interactie tussen docent en leerling en de nadruk op 22
contextrijk onderwijs, passen direct in de visie van Freudenthal (Van Eerde, 2009). Bij een invoering van het Taalgericht Vakonderwijs wordt een andere aanpak van docenten vereist. Van Eerde (2009) omschrijft drie belangrijke elementen die docenten moeten toepassen in het lesgeven. Ten eerste is het aan de docent om contexten en teksten begrijpelijk te maken. Ten tweede moet de docent leerlingen mogelijkheden geven tot taalproductie (zowel mondeling, als schriftelijke taalproductie). Door zelf te schrijven en taal te produceren, leren leerlingen de begrippen daadwerkelijk. Alleen een uitleg van de docent is niet voldoende (Van Eerde, 2009). Als laatst is het belangrijk dat docenten leerlingen voorzien van feedback op hun formuleringen. Dit laatste, zoals eerder besproken, wordt door Freudenthal (1991) onderstreept als een zeer belangrijk onderdeel van het reken-wiskunde onderwijs. Om Taalgericht Vakonderwijs in te kunnen voeren is door het Freudenthal instituut, prototypisch materiaal gemaakt, genaamd Wisbaak. Dit materiaal kan worden ingevoerd in de laatste klassen van de basisschool en de eerste en tweede klas van het voortgezet onderwijs. In het volgende gedeelte zullen de kenmerken van dit materiaal worden uiteengezet, om een idee te krijgen hoe het Taalgericht Vakonderwijs een plaats zou kunnen krijgen in het RRO. 4.2.1 Wisbaak Het eerste kenmerk van Wisbaak zijn de taalgerichte lessen. In deze lessen verkent de docent wat de leerlingen al weten. Dit gebeurt in de eerste instantie klassikaal, waarbij de docent in interactie met de leerlingen, de context van een probleem verkent en de begrippen bespreekt. Van de leerlingen wordt verwacht dat zij de begrippen formuleren en hun gedachten onder woorden brengen en dit met elkaar bespreken. Vervolgens maken de leerlingen schrijfopdrachten over het probleem. Deze schrijfopdrachten worden naderhand besproken door de docent en er wordt feedback op gegeven. De docent geeft bovendien taalsteun aan de leerlingen waar nodig. Het tweede onderdeel van Wisbaak zijn de begrippentoetsen. De begrippentoetsen zijn louter een manier om erachter te komen of de taalvaardigheden van de leerlingen op niveau zijn. De begrippentoetsen bevatten geen rijke context of mogelijkheid tot interactie. Het is een manier voor de docent om concreet te stellen wat de leerlingen nu weten. Op deze manier kunnen problemen snel gesignaleerd worden en actie ondernomen worden. Het derde kenmerk van Wisbaak zijn interactieve computeropdrachten. De computeropdrachten bieden extra hulp en taalsteun aan de leerlingen. De bedoeling is dat de leerlingen in tweetallen werken en interactief de opdrachten maken. In de computeropdrachten is feedback geïntegreerd.
23
Het laatste kenmerk van Wisbaak, is het gebruik van Woordweb. Leerlingen kunnen Woordweb gebruiken om woorden op te zoeken die zij niet kennen. Woordweb biedt een korte omschrijving van de term en het bevat een functie om de term hardop te laten uitspreken door de computer. Ook worden uitgebreidere omschrijvingen schematisch gepresenteerd en toegelicht binnen een context. (Van den Boer, Van Eerde, Doorman, Goddijn & Wijers, 2006) In dit hoofdstuk zijn enkele alternatieve en aanvullende benaderingen besproken op het RRO. Ten eerste zijn redactiesommen besproken. Deze sommen beroepen zich minder op de taalvaardigheid van leerlingen. De context in een redactiesom is niet bepalend voor het uitvoeren van de som (Treffers & Gofree, 1982). Om deze reden zouden redactiesommen mogelijk makkelijker zijn om uit te voeren voor allochtone en taalzwakke leerlingen. Er zitten echter wel nadelen aan de redactiesommen. Doordat de redactiesommen niet in een rijke context worden geplaatst, zien de leerlingen deze sommen ook niet als een beeld van de werkelijkheid. Ten tweede is het Taalgericht Vakonderwijs besproken. Dit is een alternatief voor het RRO, zoals dat nu bestaat. Er wordt een groter beroep op de docent gedaan. Docenten zouden de verbindende factor moeten zijn in het RRO (Hajer, 1996). Van den Boer (2003) stelt dan ook interactief onderwijs voor, als voorwaarde voor het RRO. In het interactief onderwijs laat de leerkracht de leerlingen schrijven en praten over de contexten en de rest van de stof. Op die manier heeft de leerkracht een meer begeleidende rol (Van Eerde, 2009). Interactief onderwijs is één van de onderdelen van het Taalgericht Vakonderwijs. In het Taalgericht Vakonderwijs is er niet alleen aandacht voor de vakdoelen, maar is er vooral ook veel aandacht voor de benodigde taalvaardigheid (Hajer & Meestringa, 2009). Docenten vragen de leerlingen zowel mondeling, als schriftelijk na te denken over de vaktermen en deze te formuleren (Van Eerde, 2009). Op deze manier kunnen docenten tijdig problemen signaleren bij de leerlingen en deze aanpakken. Van groot belang in het Taalgericht Vakonderwijs is het geven van feedback. In de gesprekken over de vaktermen, de contexten en de formuleringen van de leerlingen, krijgen leerlingen feedback van hun leerkracht en van andere leerlingen. Het belang van feedback wordt ook door Freudenthal (1991) onderstreept. Als laatst is Wisbaak beschreven. Dit is een concrete uitwerking van het Taalgericht Vakonderwijs voor de wiskundelessen. De principes van het Taalgericht Vakonderwijs komen terug in de methode, waarbij er meer aandacht is voor de talige aspecten van het wiskundeonderwijs en er meer interactie is tussen leerkracht en leerling.
24
5. Conclusie In deze literatuurstudie is onderzoek gedaan naar de talige aspecten van het RRO en de taalvaardigheden die leerlingen moeten hebben om het RRO succesvol te doorlopen. Vervolgens zijn de problemen besproken die VMBO leerlingen ondervinden met betrekking tot deze talige aspecten van het RRO. Als laatst is gekeken naar aanvullende en alternatieve benaderingen die mogelijk geschikter zijn voor VMBO leerlingen dan het RRO zoals dat nu bestaat. De hoofdvraag die aan het begin van de literatuurstudie gesteld is, luidt als volgt: In hoeverre is het gebruik van realistische contexten in het wiskunde onderwijs een geschikte aanpak voor allochtone en taalzwakke VMBO leerlingen? De realistische contexten in het RRO bevatten veel aspecten die een beroep doen op de taalvaardigheid van VMBO leerlingen. Voor allochtone en taalzwakke leerlingen zorgt dit voor problemen, waardoor zij het wiskundeonderwijs niet doorlopen zoals zij dit eventueel zouden kunnen doorlopen. Taalvaardigheid, culturele verschillen en de motivatie om te lezen, zorgen ervoor dat leerlingen niet goed met dit type onderwijs overweg kunnen. Dit zou erop kunnen duiden dat de realistische contexten binnen het RRO inderdaad niet geschikt zijn voor allochtone en taalzwakke VMBO leerlingen. Realistische contexten hebben echter ook voordelen. Uit onderzoek is gebleken dat realistische contexten de wiskunde leuker maken voor leerlingen. Dit heeft weer een positief effect op de motivatie van leerlingen om met wiskunde bezig te zijn (Walkerdine, 1989). Uit onderzoek naar de waardering van schoolboekteksten door leerlingen, komt bovendien naar voren dat leerlingen deze teksten leuker vinden naarmate de teksten op hun belevingswereld aansluiten (Land, 2002b). Omdat motivatie een sterk verband heeft met de manier waarop leerlingen omgaan met de schoolboekteksten en het vak zelf, is het belang van interessante teksten groot (Land, 2002b). Dit maakt de realistische contexten binnen het RRO van waardevol belang voor de leerlingen. Ook zijn de wiskunde teksten in schoolboeken vrij kort, vergeleken met andere schoolboekteksten. Dit werd ook door leerlingen genoemd als een belangrijke eigenschap voor goede schoolboekteksten. Er is echter wel wat aan de hand met het gebruik van de contexten. Hoewel de realistische contexten een schoolboek interessanter maakt voor de leerling, is het wel van belang dat de leerling deze context begrijpt. Het blijkt dat het woordgebruik in schoolboekteksten vaak niet consequent is. Er worden vaak verschillende woorden gebruikt
25
om hetzelfde doel te omschrijven. Ook worden veel relatief onbekende woorden gebruikt en worden termen niet geëxpliciteerd, maar ingebed in een context (Prenger, 2005). Uit onderzoek blijkt dat leerlingen woorden die zij niet kennen gewoonweg overslaan (Verhallen, 1994). Hierdoor begrijpen zij de essentie van de vraag niet en geven zij dus een verkeerd antwoord. Alleen het gebruik van realistische contexten in schoolboekteksten is niet voldoende om allochtone en taalzwakke leerlingen op weg te helpen. Het belang van de leerkracht wordt nu onderstreept. Het blijkt dat leerkrachten de contexten in schoolboeken niet met de leerlingen bespreken en er maar weinig nadruk wordt gelegd op de taalproductie van de leerlingen (Eerde, Hajer, Koole, Prenger, 2002). Hierdoor wordt het gebruik van realistische contexten niet ondersteund door leerkrachten, maar wordt het vooral aan de leerlingen overgelaten. De allochtone en taalzwakke leerlingen zijn echter niet in staat om zelfstandig met de realistische contexten om te gaan. De motivatie die realistische contexten kunnen kweken, wordt niet bewerkstelligd omdat de leerlingen de contexten niet begrijpen en ook niet worden geholpen deze te begrijpen. Het feit dat leerlingen schoolboekteksten vaak saai vinden (Land, 2005), moet een reden voor de leerkracht zijn om deze tot leven te brengen in de klassikale les. Waar het RRO nu tekort schiet in de bovengenoemde zaken, kan het Taalgericht Vakonderwijs uitkomst bieden. Dit is eigenlijk een verbeterde versie van het RRO, waarbij meer nadruk wordt gelegd op de rol van docenten en het verbeteren van de taalproductie van leerlingen. Dit is voor allochtone en taalzwakke leerlingen van groot belang. Concluderend kan gesteld worden dat de positieve elementen van realistische contexten, de negatieve elementen overstijgen. Vooral met betrekking tot het interessant maken van de lesstof. Het is alleen van groot belang dat er meer wordt gekeken naar de rol die docenten spelen in het gebruik van realistische contexten en het verbeteren van de taalproductie van allochtone en taalzwakke VMBO leerlingen. Het invoeren van het Taalgericht Vakonderwijs lijkt hierbij een zeer positieve ontwikkeling binnen het RRO. De vraag is alleen of het binnen korte tijd haalbaar is om een radicale verandering in het lesgeven van docenten teweeg te brengen. Het gebruik van redactiesommen, naast de huidige wiskundemethodes zou op korte termijn leerlingen kunnen ondersteunen in hun wiskunde vaardigheden. Het gebruik van redactiesommen brengt echter wel nadelen met zich mee. Het zou minder motiverend zijn voor leerlingen en het zou niet inwerken op hun mathematiserend vermogen. Het doet echter wel minder een beroep op het taalvermogen van de leerlingen. Dit kan voor allochtone en taalzwakke leerlingen een groot verschil maken in hun resultaten. Het lijkt niet verstandig om 26
het RRO te vervangen door redactiesommen. Het is echter wel voor te stellen om redactiesommen naast het RRO aan te bieden. Het is mogelijk dat taalzwakke leerlingen, door het extra oefenen met relatief kale sommen, een beter begrip krijgen voor de wiskunde. De vaktermen worden explicieter aangeboden dan in de rijke context-opgaven.
27
6. Discussie In deze literatuurstudie zijn een aantal zaken aan het licht gekomen die beter onderzocht zouden moeten worden. Ten eerste is er zeer weinig onderzoek gedaan naar het effect van redactiesommen op het wiskundeniveau van leerlingen. Er is wel gevonden dat het gebruik van redactiesommen alleen, niet motiverend zou zijn voor leerlingen en niet het mathematiserend vermogen van de leerlingen zou verhogen. Het is echter mogelijk dat het gebruik van redactiesommen naast de reguliere wiskunde methodes, verduidelijking zou kunnen bieden. Ook is het mogelijk dat leerlingen het als afwisseling prettig vinden om relatief kale sommetjes te maken, waarbij minder beroep wordt gedaan op hun taalvaardigheid. Vooral wanneer zij lezen als een onplezierige bezigheid ervaren. Dit brengt ons op het tweede punt. Hoewel er wel onderzoek is gedaan naar de ervaringen van VMBO leerlingen op schoolboekteksten, is dit vooral gericht op schoolboekteksten in het algemeen, of op vakken waarbij grote stukken tekst gelezen moeten worden. Dit ligt voor wiskunde teksten iets anders. Over het algemeen zijn deze teksten een stuk korter. Het is daarom aan te bevelen om verder onderzoek te doen naar de motivatie van leerlingen om wiskunde teksten te lezen. Het is mogelijk dat leerlingen wiskunde teksten niet graag lezen omdat zij lezen niet leuk vinden, maar het zou ook kunnen dat leerlingen het idee hebben dat de teksten niet belangrijk zijn. Leerlingen kunnen wiskunde zien als een vak waarbij sommen maken het belangrijkst is en hierdoor het belang van de teksten niet zien. Wanneer leerlingen denken dat er in de tekst geen waardevolle informatie staat, zullen zij deze niet lezen. Dit hoeft niks met de motivatie van de leerlingen te maken te hebben, maar louter met het feit dat zij niet weten dat het lezen van teksten binnen de wiskunde ook belangrijk is. Als derde punt is het nodig dat er onderzoek wordt gedaan naar de welwillendheid van wiskunde leerkrachten om zich meer met taal bezig te houden in hun les. Het is goed in te denken dat een wiskunde leerkracht dit niet als zijn taak ziet. Om het Taalgericht Vakonderwijs eventueel in te voeren, is de samenwerking met de leerkracht van groot belang. Er moet goed worden gekeken hoe leerkrachten staan tegenover deze eventuele verandering, om dit zo goed mogelijk te laten slagen.
28
7. Onderzoeksopzet Naar aanleiding van de conclusie op de hoofdvraag wordt een onderzoek opgesteld, waarin redactiesommen centraal staan. Hiervoor zal de methode Redactiesommen van uitgeverij Kinheim gebruikt worden in het onderzoek. De methode is in principe ontwikkeld voor de verschillende basisschoolleeftijden. Het kan, en wordt, echter ook op het voortgezet onderwijs aangeboden als extra oefening van de basisvaardigheden. De onderzoeksvraag zal luiden: Heeft het aanbieden van redactiesommen naast de reguliere methodiek, een positief effect op de wiskunde resultaten van taalzwakke VMBO leerlingen? In het onderzoek zullen ook niet-taalzwakke leerlingen meegenomen worden. Omdat de wiskunde resultaten van de gehele groep VMBO leerlingen slecht zijn, is het mogelijk dat niet-taalzwakke VMBO leerlingen ook zullen profiteren van het gebruik van redactiesommen, omdat ze dan toch op een ander manier met wiskunde bezig zijn. Bovendien is het nuttig om te weten of er een verschil is tussen de resultaten van de taalzwakke en niet-taalzwakke leerlingen, na het gebruik van Redactiesommen. Als er geen verschil is tussen de twee groepen op de nameting, betekent dit dat het taalprobleem die taalzwakke leerlingen met wiskunde hebben, is opgelost. Dit is in wezen ook het doel van het aanbieden van redactiesommen. De hypotheses van dit onderzoek zijn: -
Na het gebruik van Redactiesommen zullen taalzwakke en niet-taalzwakke leerlingen hogere resultaten behalen op de nameting, dan tijdens de voormeting.
-
Taalzwakke leerlingen die gewerkt hebben met Redactiesommen, zullen tijdens de nameting hogere wiskunderesultaten behalen dan taalzwakke leerlingen die niet met Redactiesommen gewerkt hebben.
-
Niet-taalzwakke leerlingen die gewerkt hebben met Redactiesommen, zullen tijdens de nameting hogere wiskunderesultaten behalen dan niet-taalzwakke leerlingen die niet met Redactiesommen gewerkt hebben.
-
Het verschil tussen taalzwakke en niet-taalzwakke leerlingen, die met de Redactiesommen gewerkt hebben, zal significant vermindert zijn op de nameting. 29
7.1 Methode 7.1.1 Proefpersonen Het onderzoek zal worden afgenomen bij 120 leerlingen uit de tweede klassen van het VMBO-basisberoepsgerichte leerweg en van het Montessori College Oost. Er is gekozen om leerlingen van het VMBO-basisberoepsgerichte en te gebruiken voor dit onderzoek, omdat zich onder deze leerlingen een grote groep allochtone en taalzwakke leerlingen bevind. Ook blijkt dat bij deze groep leerlingen veel wiskundige problemen voorkomen. Ook hebben de leerlingen al voldoende ervaringen op kunnen doen met het Realistisch Rekenonderwijs en de methodes die op het voortgezet onderwijs aangeboden worden. Het is zaak om onderscheid te maken tussen leerlingen die specifieke taal- en/of gedragsproblemen hebben. Deze leerlingen worden wel getest, maar later uit de resultaten geselecteerd, om bias te verkomen. 7.1.2 Materialen Er wordt gebruik gemaakt van een Cito 0-meting op Nederlands woordenschat voor de VMBO-basisberoepsgerichte leerweg. De Cito 0-meting toets de kernvaardigheden van leerlingen aan het begin van het voortgezet onderwijs, om te zien op welk niveau de leerlingen zich bevinden. Er is gekozen om de 0-meting voor woordenschat te gebruiken, omdat blijkt dat woordenschatkennis een belangrijke peiler is voor het succesvol kunnen omgaan met de wiskunde methodes (Cito, 2011). De rekenvaardigheid van de leerlingen wordt getoetst met de ‘Toets rekenen/wiskunde voor het voorgezet onderwijs’, van het Archimedes instituut. Deze toets is in 2002 genormeerd. De toets bestaat uit drie onderdelen, die verschillende wiskundige vaardigheden van leerlingen toetst. De verschillende onderdelen zijn: -
Blok A: basisvaardigheden: basisoperaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met hele getallen, zowel in context als met kale sommen.
-
Blok B: inzicht in en bewerkingen met verhoudingen, breuken, procenten, kommagetallen
-
Blok C: inzicht in elementaire begrippen van meten en meetkunde en rekenen met maten binnen het metriek stelsel, geld en tijd. (Van Groenestijn, 2002)
De methode Redactiesommen (Uitgeverij Kinheim) zal worden gebruikt om leerlingen te laten oefenen met redactiesommen. In deze methode worden een aantal redactiesommen
30
onder elkaar gezet op één bladzijde. De leerlingen moeten uit vier antwoorden het juiste antwoord kiezen. Bij de antwoorden hoort een letter. Als de leerlingen de bladzijde af hebben, zullen de letters van de goede antwoorden een woord spellen. Voor een uitgebreide uitleg over redactiesommen zie blz. 14/15. 7.1.3 Procedure De proefpersonen ondergaan eerst een CITO 0-meting op woordenschat. Omdat leerlingen met taalverwerkingsproblemen op microniveau veelal problemen hebben met de contextrijke opgaven, wordt met de CITO 0-meting het woordenschat niveau van de leerlingen getest. Deze test geldt als manier om leerlingen voor te selecteren op taalniveau. Leerlingen worden naar aanleiding van de resultaten van de test ingedeeld in twee groepen, namelijk: taalzwakke leerlingen en niet-taalzwakke leerlingen. De twee groepen leerlingen worden vervolgens verdeeld in vier groepen. Groep 1: Taalzwakke leerlingen, wél redactiesommen Groep 2: Taalzwakke leerlingen, géén redactiesommen Groep 3: Niet-taalzwakke leerlingen, wél redactiesommen Groep 4: Niet-taalzwakke leerlingen, géén redactiesommen De hoeveelheid leerlingen per groep hangt af van de resultaten op de CITO 0-meting. De vier groepen doen vervolgens een voormeting om het wiskundeniveau te toetsen. Hiervoor wordt de ‘Toets rekenen/wiskunde voor voortgezet onderwijs’ van het Archimedes Instituut gebruikt. Groep 1 & 3 zullen na de voormeting, gedurende zeven weken (één rapportperiode) gebruik maken van de methode Redactiesommen (Uitgeverij Kinheim). De leerlingen hebben in totaal vier lesuren wiskunde in de week. Tijdens één van deze lesuren zullen de leerlingen werken uit de methode Redactiesommen. Dit zullen zij doen onder leiding van een student/onderzoeker, die betrokken is bij het onderzoek. Groep 2 & 4 zullen gedurende dezelfde zeven weken regulier onderwijs volgen, zonder Redactiesommen. Na zeven weken wordt bij de vier groepen een nameting afgenomen. De nameting wordt ook gedaan met behulp van de ‘Toets rekenen/wiskunde voor voorgezet onderwijs’ van het Archimedes Instituut.
31
7.1.4 Analyse Uit de vier groepen wordt het gemiddelde en de standaarddeviatie berekend op grond van de resultaten van de ‘Toets rekenen/wiskunde voor voortgezet onderwijs’ van het Archimedes Instituut. Er worden steeds twee populaties met elkaar vergeleken. Om de eerste hypothese te beantwoorden worden de resultaten van respectievelijk Groep 1 en Groep 3 op de voormeting, vergeleken met hun resultaten op de nameting. Hierbij gaat het om twee populaties die worden vergeleken, namelijk Groep 1 vóór wordt vergeleken met Groep 1 ná. Hiernaast wordt Groep 3 vóór vergeleken met Groep 3 ná. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van de ‘t-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden. Voor deze toets is gekozen omdat de twee groepen naar alle waarschijnlijkheid een grootte hebben tussen de 30 en 100 proefpersonen. Er wordt verondersteld dat de groepen hoger scoren op de nameting. Om deze reden wordt rechtseenzijdig getoetst met =0.05. Om de tweede hypothese te beantwoorden, worden de resultaten van de nameting van Groep 1 en Groep 2 met elkaar vergeleken. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van dezelfde toets als bij de eerste hypothese. Omdat verwacht wordt dat Groep 1 hoger zal scoren dan Groep 2 wordt rechtseenzijdig getoetst met =0.05. De derde hypothese wordt op dezelfde manier getoetst als de eerste en tweede hypothese. Hier gaat het echter om de resultaten tussen Groep 3 en Groep 4, waarbij verondersteld wordt dat Groep 3 hoger zal scoren dan Groep 4. Ook hier wordt daarom rechtseenzijdig getoetst met =0.05. Bij het analyseren van de vierde hypothese word Groep 1 vergeleken met Groep 3 Er is hierbij wederom sprake van het vergelijken van twee groepen. Hierdoor mag weer de ‘ttoets voor het verschil tussen twee gemiddelden’ gebruikt worden. Verwacht wordt dat het verschil tussen de twee groepen significant vermindert is. Allereerst wordt het verschil tussen de gemiddelden van Groep 1 en Groep 3 op de voormeting met elkaar vergeleken. Hier wordt weer een ‘t-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden’ gebruikt. Verwacht wordt dat Groep 3 hoger scoort dan Groep 1. Er wordt daarom rechtseenzijdig getoetst met =0.05. Dit wordt ook gedaan voor de resultaten op de nameting tussen Groep 1 en Groep 3. De verwachting is dat het er significant minder verschil zit tussen de resultaten van Groep 1 en Groep 3 op de nameting en hun gemiddelde scores dus dichter bij elkaar liggen dan op de voormeting.
32
Literatuur Barton, B. (2008). The language of mathematics: Telling mathematical tales. New York: Springer. Boer, C. van den, van Eerde, D., Doorman, M., Goddijn, A., & Wijers, M. (2006). Wisbaak. Educatief pakket voor taalzwakke leerlingen. Utrecht: Freudenthal Instituut. Boland, T. (1988). De ontwikkeling van de leesattitude in het basisonderwijs: een longitudinale benadering. Tijdschrift voor Onderwijsresearch, 13(1), 3-45. Branden, K. van den (1995). Negotiation of meaning in second language acquisition: a study of primary school classes. Leuven: K.U. Cito. (2011). Toets 0 voor VMBO, HAVO, VWO. Verkregen op 09, 06, 2011, van http://www.cito.nl/onderwijs/voortgezet%20onderwijs/cito_volgsysteem_vo/c62498a903e44c 88abd094e8d33b8e74.aspx. Cooper, B. (1992). ‘Testing National Curriculum mathematics: some critical comments on the treatment of ‘real’ contexts for mathematics’. The Curriculum Journal, 3(3), 231-243. Cooper, B. & Harries, T. (2002). ‘Children’s responses to contrasting ‘realistic’ mathematics problems: just how realistic are children ready to be’. Educational Studies in Mathematics, 49, 1-23. Dehaene, S.(1997). The number sense. How the mind creates mathematics. London: Penguin Books.
Doorman, M. en Gravemeijer, K. (1999). Modelleren als organiserende activiteit in het wiskundeonderwijs. Tijdschrift voor didactiek der β-wetenschappen, 16(1), 38-55.
33
Eerde, D. van, Hajer, M., Koole, T. & Prenger, J. (2002). Betekenisconstructie in de wiskundeles. De samenhang tussen interactief wiskunde- en taalonderwijs. Pedagogiek, 22(2), 134-147. Eerde, H.A.A. van, Hajer, M. & Prenger, J. (2008). Promoting mathematics and language learning in interaction. In: Deen, J., Hajer, M. & Koole, T. (Eds.), Interaction in two multicultural mathematics classrooms. Processes of Inclusion and Exclusion 31-69. Amsterdam: Aksant. Freudenthal, H. (1984). Appels en peren / wiskunde en psychologie. Gebundelde opstellen. Apeldoorn: Van Walraven B.V. Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Gravemeijer, K. (1995). Het belang van social norms en socio-math norms voor realistisch rekenwiskundeonderwijs. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het rekenwiskundeonderwijs,Panamapost, 14, 17-23. Gravemeijer, K. (2005). Revisiting “Mathematics education revisited”. Freudenthal 100, 106-113. Gravemeijer, K., Heuvel-Panhuizen, M. van den, Donselaar, G. van, Streefland, L., Vermeulen, W., Woerd, E., te & Ploeg, D., van der (1993). Methoden in het rekenwiskundeonderwijs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek. Utrecht: CD-β
Press.
Greer, B. (1997). Modelling reality in the mathematics classroom: The case of word problems. Learning and Instruction, 7, 293-307. Groenestijn, M. van (2002). Toets Rekenen-wiskunde voor voortgezet onderwijs. Hogeschool Utrecht, Utrecht: Instituut Archimedes. Hacquebord, H.I., R. Linthorst, B. Stellingwerf, M. & Zeeuw, M. de (2004). Voortgezet Taalvaardig. Groningen: Etoc/Rijksuniversiteit. 34
Hajer, M. (1996). Leren in een tweede taal. Interactie in een meertalige mavo-klas. Groningen: Wolters Noordhoff. Hajer, M. & Meestringa, T. (2009). Handboek taalgericht vakonderwijs. Bussum: Coutinho. Heuvel-Panhuizen, M. van den (2003). The Didactical Use of Models in Realistic Mathematics Education: An Example from a Longitudinal Trajectory on Percentage. Educational Studies in Mathematics, 54, 9-35. Inspectie van het onderwijs (2008). Basisvaardigheden taal in het voortgezet onderwijs. Resultaten van een inspectieonderzoek naar taalvaardigheid in de onderbouw van het vmbo en praktijkonderwijs. Utrecht: inspectie van het onderwijs. Janssen, J., Schoot, F. van der & Hemker, B. (2005). PPON (periodiekepeiling van het onderwijsniveau). Balans (32) van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4. Arnhem: Cito. Khisty, L.L. (2001). Effective teachers of second language learners in mathematics. Paper presented at the 25th conference of the PME (Psychology of Mathematics Education.) Utrecht, Juli 2001. Land, J. (2005). Lezen op het vmbo, Smullen of brullen? Een inventarisatie-onderzoek naar de leessituatie op het vmbo. Interne studie Universiteit Utrecht. Land, J., Sanders, T., Bergh, H. van den (2006). Wat maakt een studietekst geschikt voor vmbo-leerlingen? Een experimenteel onderzoek naar de invloed van tekst- en lezerskenmerken op begrip en waardering. Amsterdam: Stichting Lezen. Land, J., Sanders, T., Lentz, L. & Bergh, H. van den (2002b). Coherentie en identificatie in studieboeken. Een empirisch onderzoek naar tekstbegrip en tekstwaardering op het vmbo. Tijdschrift voor Taalbeheersing, 24 (4), 281-302.
35
Prenger, J. (2005). Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het realistisch wiskundeonderwijs. Groningen: Textcetera. Schank, R. C. & Abelson, R. (1977). Scripts, plans, goals and understanding. Hillsdale: Erlbaum. Schuurs, U. (1998). Verschillen in leesvaardigheid in eerste en tweede taal. Spiegel, 16(2), 27-41. Snow, C. (2007). Adolescent Literacy: The Crisis and the Solutions. Ohio Summit on Literacy in Secondary Schools 26 March 2007. Tellegen, S. & Lampe, M. (2000). Leesgedrag van vmbo-leerlingen. Een profielschets. Amsterdam: Stichting Lezen. Treffers, A. (1978). Wiskobas Doelgericht. Utrecht: IOWO. Treffers, A. & Goffree, F. (1982). Inzicht in BOVO-toetsen voor rekenen. Nieuwe Wiskrant, 2(1), 42-48. Verhallen, M. (1994). Lexicale vaardigheid van Turkse en Nederlandse kinderen : een vergelijkend onderzoek naar betekenistoekenning. Amsterdam: IFOTT. Verschaffel, L., Greer, B. & Corte, E. de (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets and Zeitlinger. Vygotsky, L. S. (1978). Mind in society: The development of higher mental processes. Cambridge, MA: Harvard University Press. Vygotsky, L.S. (1986). Thought and language. Cambridge, MA: MIT Press. Walkerdine, V. (1989). Counting girls out. London: Virago.
36
Wiliam, D. (1990). Assessment of Open-ended work in the secondary school. Proceedings of a Theme Group at ICME-6.
37
