Het dynamisch gedrag van een industrie-robot met een graad van vrijheid. door: R.J. van der Kruk

1

AFDELING DER ELEKTROTECHNIEK TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Vakgroep Meten en Regelen

Het dynamisch gedrag van een industrie-robot met een graad van vrijheid. door: R.J. van der Kruk

Rapport van het afstudeerwerk uitgevoerd van okt. 1981 tot okt. 1982 in oPdracht van prof.dr.ir. P.Eykhoff onder leiding van ir. H.H. van de Ven

De afdeling der elektrotechniek van de Technische Hogeschool Eindhoven aanvaardt geen verantwoordelijkheid voor de inhoud van Stage- en Afstudeerverslagen.

2

VOORWOORD

Dit afstudeerwerk is tot stand gekomen binnen de interafdelingswerkgroep " Industrie-robots " een samenwerkingsverband tussen de vakgroepen " Bedrijfsmechanisatie

It

van de afdeling Werktuig-

bouwkunde en " Meten en Regelen " van de afdeling Elektrotechniek. De medewerkers en studenten van beide vakgoepen wil ik hartelijk bedanken voor de hulp en stimulans die ik het afgelopon jaar steeds weer gekregen heb.

Robbert van der Kruk

3

THINGS TO COME

toen vader robot moeder robot en kind robot lekker gebakken mens gegeten hadden las vader robot verzadigd verzaligd een kapitteltje voor uit de ijzeren schrift

C. Buddingh'

Uit "De wind houdt het droog" 1974

4

Samenvatting.

In dit verslag wordt het dynamisch gedrag van een industrie-robot met een graad van vrijheid besproken. Om de invloed van de andere vrijheidsgraden te elimineren is een opstelling gebouwd waarmee alleen een rotatie om de verticale as mogelijk is. Dit fysische model bestaat uit een servo-motor, tachometer met resolver, harmonic-drive en een aan te drijven massa.

Bij de wiskundige modelvorming zijn massatraagheidsmomenten, torsiestijfheden, demping, coulombwrijving, speling en de eigenschappen van de motor in rekening gebracht. Het model is van de ge orde.

Een aantal modelparameters kan uit de catalogi gehaald worden. De andere zijn bepaald door statische en dynamische karakteristieken

.

van de opstelling en onderdelen ervan op te meten en te vergelijken· met die van het wiskundige model.

De responsie van het model in het tijddomein is m.b.v. een simulatie-programma bepaald. Voor het berekenen van de bode- en nyquistdiagrammen is een eigen programma geschreven.

Uit de analyse van de parametergevoeligheid is gebleken dat de parameters van de harmonic-drive het meest van invloed zijn. Voor e de meeste toepassingen kan het model tot een 4 orde systeem met demping, twee massatraagheidsmomenten en een veerkonstante gereduceerd worden.

Door de metingen te vergelijken met die van een ASEA robot is gebleken dat de robotarm niet door een gehele massa te modelleren is: er treedt interactie met enkele andere vrijheidsgraden op.

5

The dynamic behaviour of an industrial robot with one degree of freedom.

SUMMARY

This thesis deals with the dynamic behaviour of an industrial robot with one degree of freedom. To eliminate the interaction of the other degrees of freedom a configuration has been built which has only one rotation. This physical model consists of a servomotor, a tachometer with resolver, a harmonic-drive, and a load.

For the mathematical model moments of inertia, stiffness factors, damping, Coulomb friction, backlash, and the dynamics of the motor th were taken into account. This result is a 9 order model.

A number of model parameters can be obtained from catalogues. The others have been determined by measuring static and dynamic characteristics from the set-up.

The response of the model in tHe time-domain was determined by means of a simulation program. In order to calculate the frequency response a computer program has been written.

From the parameter sensitivity analysis it was determined that the harmonic-drive parameters are the most important ones. For most th applications the model can be reduced to a 4 order system with two dampers, two moments of inertia, and one stiffness factor.

By comparing the measurements with those of an ASEA robot it was concluded that the arm of the robot can not be modelled as a lumped mass; interaction with other degrees of freedom occurs.

6

INHOUDSOPGAVE pag. Voorwoord

2

THINGS TO COME

3

Samenvatting

4

Summary

5

Inhoudsopgave

6

1.Inleiding

8

1.1 Doel van het onderzoek 1.2 De ASEA robot

8 10

1.3 Literatuur over het dynamisch 'gedrag van industrie-robots 12 1.4 Formulering van de opdracht

2.Modelvorming

16

18

2.1 Metingen aan.de ASEA robot

18

2.2 Opstelling met een vrije bewegingsmogelijkheid

21

2.3 De permanentemagneet: .Ulotor

23

2.4 Het mechanische systeem

27

2.5 Het spelingsmodel.van Dubowsky en Freudenstein

33

2.6 Het complete model

35

3.Berekening van responsie in tijd- en frequentiedomein

38

3.1 Oplossing in het tijddomein

38

3.2 Oplossing in het frequentiedomein

41

4.Bepaling van de modelparameters

46

4.1 De permanente magneet motor

46

4.2 Motor met tachometer

51

4.3 Motor met tachometer en harmonic-drive

64

4.4 Complete opstelling met maximale belasting

72

4.5 Complete opstelling met kleinste belasting

83

4.6 Conclusie

89

7

5.Parametergevoeligheid

91

5.1 Invloed van belasting

91

5.2 Invloed van zelfinduktie

92

5.3 Demping

93

5.4 Torsiestijfheid

96

5.5 Speling

98

5.6 Conclusie

99

6.Vergelijking van ASEA-robot en opstelling

100

7.Conclusies

104

Literatuur

105

Appendix

A: PSI-programma

107

B: Frequentierespontie-programma

112

C: Dither signaal

120

D: Het systeem zonder tachometer

122

8

1. Inleiding.

1.1 Doel van het onderzoek.

In vele geindustrialiseerde landen hebben onlangs de industrie robots hun intrede gedaan. Bij de naam "robot" moet men zich geen "Willy Wortel"-achtig samenstel van armen en benen voorstellen, maar denken aan de "in meer coordinaten vrij programmeerbare hanteermachine" zoals geschetst in fig. 1.1. De toepassingen liggen voornamelijk op puntlassen, booglassen, lakspuiten, laden en lossen van machines, montage en het hanteren van werktuigen. Er zijn een aantal argumenten waarom de robots ingezet worden: - verbetering van de veiligheid, - het elimineren van ongezonde en zware werkomstandigheden, ~

verhoginq van de kwaliteit,

- verhoging van de produktiviteit, - verbetering van de flexibiliteit van het prorluktie-apparaat, - eliminatie van mensonwaardig werk (korte arbeidscycli), - de mogelijkheid om minder validen aan het arbeidsproces te laten deelnemen.

Op dit moment worden robots ingedeeld in drie generaties. De meeste robots die momenteel toegepast worden zijn nog van de eerste generatie. De arm wordt bestuurd, zonder dat het resultaat van de beweging gemeten wordt. Er

vind~

geen terugkoppeling plaats in de besturing zodat er een

,bepaalde onzekerheid overblijft in de positie van het uiteinde van de robotarm. Robots die uitgerust zijn met zintuigen (sensoren) zoals "gezichtsvermogen" en "tastzin" behoren tot de tweede generatie.

9

fig. 1.1

Industrie-robot naar het ontwerp van de firma ASEA.

Zij kunnen corrigeren op afwijkingen in de positie van het armmechanisme en op veranderingen in de omgeving. Zij zijn minder afhanke1ijk geworden van de p1aatsbepa1ing van het mechaniek. Een robot van de derde

gene~atie

za1 in staat moeten .zijn ervaringen uit het

ver1eden in de besturing te verwerken. Hierbij spee1t de patroonherkenning een be1angrijke ro1. Robots van de tweede en derde generatie zijn nog zeer schaars. De meeste van hen moeten gerekend worden tot de 1aboratoriumopste11ingen.

De TH Eindhoven bezit een ASEA-robot. Deze is nog van de eerste generatie. Binnen de interafde1ings-werkgroep "Industrie robots" worden de prob1emen die zich voordoen om van deze robot een meer inte11igente machine te maken onderzocht. Een van de 9nderzoeksgebieden betreft het J dynamisch gedrag. Het toevoegen van sensoren gaat gepaard met ~et aanbrengen van een aanta1 extra terugkoppe1ingen. Om dit op een professione1e manier te doen, is kennis vereist van de systeem-dynamica. Ook voor de ontwerper van robots is deze kennis van be1ang. Deze za1 bijvoorbee1d moeten weten hoevee1 spe1ing er toege1aten mag worden, hoe stijf de constructie dient te zijn of hoe tekortkomingen van de constructie in het rege1systeem gecompenseerd kunnen worden.

10

1.2 De ASEA robot.

Alvorens in te gaan op het dynamisch gedrag van robots, zal eerst het robotsysteem, zoals aanwezig in het laboratorium bedrijfsmechanisatie van de TH Eindhoven, kort besproken worden. Bij deze ASEA IRb-6 robot kunnen de volgende drie subsystemen onderscheiden worden: Mechanisch-systeem Servo- en meetsysteem Besturingssysteem

Onder het mechanische systeem wordt de robotarm en de transmissie, die de rotaties van de motoren omzet in de gewenste armbeweging verstaan. De robot kent vijf graden van vrijheid (fig. 1.1):

¢

rotatie van gehele robot om'de verticale as

e

in en uit beweging van de arm

a

op en neer beweging van de arm

t

buiging van de pols

v

draaiing van de pols

De eerste drie graden van vrijheid zijn nodig en voldoende om het polsgewricht op iedere plaats binnen het werkgebied te brengen. Zij worden gerealiseerd door rotaties: de robot is van het type RRR. De t en v bewegingen bepalen de orientatie van de pols. De overbrenging in de ¢-as bestaat uit een harmonic-drive (zie par. 2.1). De

e en

a bewegingen worden gerealiseerd d.m.v. schroefspindels. De

transmissies van de t en v bewegingen bestaan uit harmonic-drives en een stelsel parallelstangen in de robotarm.

11

Dit subsysteem bestaat uit de gelijkstroommotoren, tachogeneratoren, terugkoppelingen, de servoversterkers en de positieregelkringen, die gerealiseerd zijn d.m.v. resolvers, bevestigd op de motorassen (fig. 1.2).

Operator

Computer t---e1 Memory

--, ....----lL.-......,

I

I

External Process Signals

fig. 1.2

I I I I I I .l.. _ _

5x

I

~

...J

Blokschema van het besturingssysteem en meet- en servosysteem (omlijnd) van de ASEA robot.

De resolvers zijn geen echte robotzintuigen, zij meten niet de positie van de pols maar de stand van de motoras. Zo wordt de hoekverdraaiing van de motor geregeld (feedback regeling) en het uiteinde van de robotarm gestuurd (feedforward regeling).

12

De computer neemt hier de centrale plaats in. De operator kan het systeem bedienen met het "control pannel" en programmeren d.m.v. de "programming unit II (fig. 1. 2). Een verzameling geprogrammeerde robotinstructies wordt in het geheugen opgeslagen. Als een of meer assen moeten gaan bewegen, berekent de computer de hoekverdraaiing die voor iedere as in een korte tijd (bemonsteringstijd van het systeem is 10 ms) moet geschieden. Het resultaat wordt dan als setpoint naar het servo- en meetsysteem gestuurd. Voor iedere beweging kan de plaats en snelheid geprogrammeerd worden. Het computersysteem bewaakt ook constant de externe processignalen zoals bijv. de standen van de eindschakelaars die de grenzen van het werkgebied aangeven.

1.3 Literatuur over het dynamisch gedrag van industrierobots.

1.3.1. Meer graden van vrijheid.

Vanuit de hoek van de ruimtevaart, cybernetica, biomechanica en de regeltechniek is sinds ca. 1965 veel over mechanismen met verschillende vrijheidsgraden gepubliceerd. In het algemeen worden robots als volkomen stijf en zonder wrijving of speling beschouwd. De modelvorming wordt opgezet met behulp van de theorie over stelsels van starre lichamen. De robotarm bestaat dan uit een keten van starre leden, verbonden door gewrichten. Ieder lid heeft een graad van vrijheid. Gewrichten waarmee meer graden van vrijheid mogelijk zijn worden vervangen door twee of drie gewrichten verbonden met leden met lengte nul. Er zijn een aantal methoden om tot de bewegingsvergelijkingen te komen. Meestal zijn deze methoden varianten van de Lagrange (uitgaande van potentiele en kinetische energie) of de Euler-Newton (F = ma, T = Ia ) methoden. Beide stromen leiden tot het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen:

M (t)

B(q)

oq +

D(q,cO

13

Hierin is q de plaatsvector, bestaande uit translaties of rotaties van de gewrichten, q de snelheidsvector en q de versnellingsvector. B(q) is de gegeneraliseerde inertantie matrix, die plaatsafhankelijke traagheidstensoren en massa's bevat. De vector D(q,q) is een vectorfunctie van centrifugaal-, gravitatie- en corioliskrachten. M(t) is de gegeneraliseerde aandrijfvector bestaande uit koppels en/of krachten.

De Euler-Newton methode is het meest geschikt om de numerieke waarden van B en D te berekenen, 'terwijl de methode van Lagrange het meest tot zijn recht komt bij het afleiden van de symbolische vergelijkingen met behulp van computerprogramma's. Nicosia et al.

(lit. 1) stellen dat

de laatstgenoemde methode het meest geschikt is voor regeltechnische toepassingen. De berekeningen kosten weliswaar veel rekentijd, maar behoeven slechts eenmaal uitgevoerd te worden, hetgeen off-line kan geschieden.

In het algemeen zijn de te regelen grootheden van een robot de positie en de snelheid. De uitgangen van het systeem zijn dus q en q. De aandrijfvector M vormt·pe ingang (fig. 1.3)

M(t)

;1

Robot

}

---------'-----Dynamica

.

q,q

-

fig. 1.3

Blokschema van robot dynamica.

Als B(q) niet singulier is, is (1.1) oplosbaar naar q

(1. 2)

Na integratie van (1.2) kan het gewenste verband tussen ingang en uitgang verkregen worden. Dit mathematische model vormt een niet lineair, tweede ordestelsel differentiaalvergelijkingen met een enorme omvang en complexiteit. Voor deze klasse van multivariabele systemen bestaat geen exacte theorie.

•

14

Bij meer dan twee graden van vrijheid kunnen de vergelijkingen niet meer met de hand opgesteld worden, zodat computerprogramma's ontwikkeld zijn die modellen in de vorm van (1.1) genereren. Het programma IMP (aanwezig op de afdeling Werktuigbouwkunde van de TH Eindhoven) is hier bijvoorbeeld toe in staat. Volgens Vukobratovic (lit. 2), die erg veel publiceert over het dynamisch gedrag van anthropomorfe lichamen, zijn voor een lichaam met zes graden van vrijheid ± 16 bladzijden nodig om de elementen van de matrices en vectoren van (1.1) uit te schrijven.

Een eenvoudig mechanisme is de omgekeerde pendule van fig. 1.4.

y

fi~.

1.4

Anthropamarf lichaam met een graad van vrijheid q. (bran: lit. 3)

x Als het lichaam in het xy-vlak beweegt kunnen de volgende vergelijkingen voor de kinetische energie E en potentiele energie E opgep k steld worden:

(1.3)

E

p

= mglsin(q)

(1.4)

15

Om de methode van Lagrange te gebruiken dient eerst de Lagraniaan L opgesteld te

worden~

~(m12 + J)q2 - mglsin(q)

L =

Met toepassing van de regel van Lagrange:

(1.6)

volgt dan: q(m1 2 + J) + mglcos(q) = M ~ q

= M - mglcos(q) t J + ml

(1. 7)

Vergelijking (1.7) is de meest simpele vorm van vergelijking (1.2).

Vergelijking (1.2) beschrijft het dynamisch gedrag niet volledig omdat vaak'ook demping en elasticiteit in de gewrichten een rol spelen. De laatste jaren wordt in de literatuur hi~r steeds meer aandacht aan besteed (lit. 1.4). Wrijving en doorbuiging kunnen in rekening gebracht worden in de D vector uit (1.1). Bet aantal systeemvergelijkingen wordt hierdoor wel

verdubbeld~

Over het modelleren van speling met behulp van dit soort modellen is niets gevonden in de literatuur.

1.3.2. Een graad van vrijheid.

• Een flexibel mechanisme zoals een robotarm kenmerkt zich door een aantal

. eigen .

frequenties, die afhankelijk zijn van de stand en

belasting van de arm. Een aantal publicaties van medewerkers van het "Swiss Institute of Technology, Lausanne" (lit. 5, 6, 7) houdt zich voornamelijk bezig met de vraag hoe stijf de mechanische komponenten moeten zijn bij een bepaalde gewenste positioneernauwkeurigheid en maximale versnelling.

16

Zij beperken zich tot de laagste

frequentie f en intro-

eigen

duceren een kwaliteitsfactor Q die een functie is van f en de lengte van de arm 1:

Q = f.l

(ms

-1

)

(1. 8)

De meeste robotarmen hebben een Qfactor tussen de 10 en 30 ms

-1

Naarmate een grotere positioneernauwkeurigheid gewenst is dient Q groter te zijn. Voor een menselijke arm geldt volgens de genoemde auteurs: Q = 11 ± 1 ms

-1

.

Voor de open loop overdracht in de positie

<j> ,

m

werken zij met het vol-

gende model:

(1. 9)

Hierin is

wm

c de laagste

de gewenste positie, G

m

eiqen.

de motorversterkingsfactor,

frequentie en Sm de

het systeem. De invloed van speling,

relatieve demping van

(niet lineaire) wrijving en de

dynamica van de motor zelf wordt verwaarloosd.

Ook Futami et al.

(lit. 8) werken met het model volgens (1.9).

Zij besteden wel aandacht aan wrijvingsverschijnselen en speling, maar doen dit onafhankelijk van elkaar. Bij hen is nauwelijks sprake van echte modelvorming.

Hoewel de verschillende auteurs aandacht besteden aan de invloed van torsiestijfheid, speling en wrijving op het dynamisch gedrag van robotarmen, is nergens in de literatuur een beschrijving gevonden van al deze invloeden tesamen, waarbij bovendien ook het dynamisch gedrag van de motor zelf verdisconteerd is.

1.4 Formulering van de opdracht.

Op grond van de

problem~n

besproken in par. 1.3.1 zullen wij ons be-

perken tot een graad van vrijheid.

17

Metingen, modelvorming en berekeningen zullen uitgevoerd worden voor een robot met een vrijheidsgraad, welke in het laboratorium bedrijfsmechanisatie naast de ASEA-robot is opgesteld. Van deze opstelling die bestaat uit gelijkstroommotor, tachometer, harmonic-drive en aan te drijven massa dienen de volgende aspecten in acht genomen te worden: - eigenschappen van de motor - stijfheden - wrijving - massatraagheden - speling

om modelparameters te bepalen zijn metingen uitgevoerd aan de genoemde opstelling en onderdelen daarvan.

.

In hoofdstuk 2 wordt . de modelvorming besproken, in hoofdstuk 3 de methoden pm het opgestelde model te analyseren. In hoofdstuk 4 wordt ingegaan op de bepaling van de diverse modelparameters en de modelverificatie. In hoofdstuk 5 wordt de parametergevoeligheid en de mogelijkheid tot modelreductie onderzocht aan de hand van gesimuleerde stap- en frequentieresponsies. Tenslotte zullen de metingen aan de genoemde opstelling worden met enige metingen gedaan aan de ASEA-robot zelf.

vergel~ken

18

2. Modelvorming .

2.1 Metingen aan de ASEA robot.

Om een indruk te krijgen in hoeverre torsiestijfheden en varierende massatraagheidsmomenten van invloed zijn op het dynamisch gedrag van de ASEA robot zijn een aantal stapresponsies gemeten. Het mechanisch systeem is hiertoe losgekoppeld van de besturing. Het ingangssignaal, de spanning over de motor van de

~-as

(zie fig. 1.1), verandert

stapvormig tussen 2 en 7 V, met een periodetijd van 1 s. De hoeksnelheid van de robot om zijn verticale as varieert hierdoor tussen 1,4 mrad/s en 25,5 mrad/s. De tachospanning, die rechtevenredig is met de hoeksnelheid van de motoras is het uitgangssignaal. Fig. 2.1 toont de responsie voor een ingetrokken arm.

_.

Tl AVG I I.

Ut

EXPAND

t

Tach 0volta ge

(

.-

/

~

V\...., ""-- V

""--'

I

REAL

I l/ I

I

"

----l Boa

fig. 2.1

_time

Stapresponsie van

~-as

[SEC]

....

van ASEA robot bij ingetrokken arm.

Het oscillerendekarakter duidt op elasticiteit in het systeem. Een volkomen starre robot zou zijn eindwaarde bereiken volgens een "gladde" curve.

19

De metingen zijn uitgevoerd bij drie verschillende standen en belastingen van de arm (zie fig. 2.2). In stand 1 is de massatraagheid van de arm minimaal. Stand 2 geeft de maximale massatraagheid zonder belasting en in stand 3 is bovendien een belasting van 5,8 kg. aan het uiteinde van de arm toegevoegd, deze is bijna gelijk aan de maximale belasting van de IRb-6 robot welke 6 kg. bedraagt. De metingen zijn uitgeVoerd met een Fourier analyzer (zie par. 4.2). Door de curve van fig. 2.1 te interpoleren kan een schatting gemaakt worden van de tijdconstante (63% - waarde) van het proces. De uitslingerfrequentie en de tijdconstante zijn afhankelijk van de stand en belasting van de arm.

5,8

Ingetrokken arm (stand 1)

fig. 2.2

Uitgestrekte arm (stand 2)

kg

Uitgestrekte arm met gewicht (stand 3)

Drie verschillende standen van de robotarm, waarvoor een stapresponsie gemeten is.

In tabel I zijn de geschatte waarden van de 3 stapresponsies samengevat.

Stand

Uitslinger Frequentie

Benadering Tijdconstante

1

22 Hz

42 ms

2

17 Hz

55 ms

3

14 Hz

73 ms

,

,

Tabel I

Numerieke gegevens van de drie gemeten stapresponsies.

20

De 1aagste natuur1ijke frequentie in de ~-as

(1.8) voor de

Q

=

~-as

is 14 Hz. De Q-factor

kan nu berekend worden:

= 14.0,826

f1

11,6 ms

~

-1

(2.1)

Vo1gens Burckhardt (lit. 7) is deze waarde 1aag t.o.v. andere ~-as

robots: de

van de ASEA robot is re1atief slap.

Daar het massatraagheidsmoment evenredig is met de tijdconstante, kan ook een schatting gemaakt worden van het tota1e massatraagheidsmoment voor de verschi11ende standen. Het extra gewicht in stand 3 vergroot de massatraagheid met een te berekenen waarde. Door dit b10k op te vatten a1s een puntmassa vo1gt: J

~ m1 2 = 5,8. (0,826)2 ~ 3,9 kgm2

toegevoegd

(2.2)

Dit extra gewicht vergroot de tijdconstante met een factor 73/55 (zie tabe1 I), zodat ge1dt voor

he~

massatraagheidsmoment van de

onbe1aste arm in de uiterste stand J : u

(J

u

+ 3,9)/J

u

73/55 ~ J

u

~ 12 kgm2

(2.3)

Voor het massatraagheidsmoment van de onbe1aste arm voor de ingetrokken arm J

i

ge1dt:

J /J. = 55/42 u 1.

(2.4)

Met volle be1asting en maxima1e uitstrekking van de arm ge1dt dan: J

max

J

u

+ m 12 = 12 + 6. (0,826)2 ~ 16 kgm2 max max

(2.5)

Onder norma1e bedrijfsomstandigheden kan het tota1e massatraagheidsmoment dus varieren tussen 9 en 16 kgm2. Bij de mode1vorming za1 beha1ve de torsiestijfheden, ook een varierend massatraagheidsmoment in rekening gebracht moeten worden.

21

2.2 Opstelling.met een vrije bewegingsmogelijkheid.

om het dynamisch gedrag van een graad van vrijheid gescheiden van zijn omgeving, de andere bewegingsmogelijkheden van de robot, te bestuderen hebben we de beschikking over de opstelling van fig. 2.3.

fig. 2.3 Opstelling met een vIije bewegingsmogelijkheid.

'De" set be staat uit een servomotor, een tachometer met resolver, een reductlekast en een aan te drijven massa, welke bestaat uit een cirkelvormige"schijf. Deze kan gemakkelijk vervangen worden door andere lasten, waardoor de invloed van verschillende massatraagheidsmomenten gemeten kan worden. De enkele graad van vrijheid van· deze opstelling is een rotatie rond de verticale as. De set is aangesloten op de besturing van dexobot en vormtzo een zesde vrijprogrammeerbare as. In het kader van dit onderzoek zijn we geinteresseerd in het dynamisch gedrag van de opstelling zelf, zodat aile metingen zijn uitgevoerd zonder de genoemde besturing. De servomotor is een pm motor van het type F9M4H, geleverd door de firma CEM. De permanente magneten wekken het magnetische statorveld op, zodat hiervoor geen externe elektrische energie nodig is (fig. 2.4). schijfanker

~+ ~

perm. magneten

fig. 2.4 Permanente magneet motor van het schijfanker type.

22

De schijfvormige rotor be staat grotendeels uit isolatiemateriaal, zodat het massatraagheidsmoment van deze dunne'constructie gering is. Hierdoor is dit motortype geschikt voor aandrijvingen, waarbij snel varierende toerentallen gewenst zijn. De zelfinductie bij dit soort ankers is zeer klein, zodat een kleine elektrische tijdconstante gehaald wordt. Hierdoor wordt een snelle responsie niet gehinderd door het elektrische circuit. De pm motor wordt behalve in de ASEA ook in een aantal andere typen robots (Thor, VW, Renault, Siemens, Kuka) toegepast.

De tachometer is eveneens van het fabricaat CEM, type F9T en vormt een geheel met de motor. Hierdoor ontstaat het voordeel van een lage torsieresonantie en een lage rimpel op de uitgangsspanning. De tachospanning is rechtevenredig met het toerental van de motoras.

De resolver vormt de opnemer van het positie-meetsysteem. Na bewerking van het resolver signaal ontstaat een spanning evenredig met de hoekverdraaiing van de as. De resolver heeft een (klein) massatraagheidsmoment en is dus van invloed op het dynamisch gedrag van de opstelling. Tijdens de metingen is geen gebruik gemaakt van het resolversignaal omdat het niet meer informatie bevat dan het tachosignaal.

De reductiekast is een Harmonic-drive (zie fig. 2.5).

o

Circular Spline

FI~spline

fig. 2.5 Harmonic-drive van het type IlDUC.

HarmonicDrive

fig. 2.6 Bouwstenen van de Harmonic-drive.

23

De extreem hoge reductieverhouding en de geringe speling zijn kenmerkend voor deze drives. Het overbrengingsmechanisme bestaat uit drie bouwstenen die t.o.v. elkaar elastisch kunnen bewegen (fig. 2.6). De Wave-generator is een elliptische bouwsteen met aan de buitenzijde kogellagers en wordt d.m.v. een spieverbinding bevestigd aan de motoras. De flexspline of flexibele bus is een elastische ring, die de vorm van de Wave-generator aanneemt als hij om de laatstgenoemde gemonteerd wordt. De flexspline heeft een buitenvertanding. De circular-spline met binnenvertanding is het starre, niet roterende deel van de drive. De uitgaande as wordt aan de flexspline gemonteerd. De tanden van beide splines grijpen precies in elkaar, terwijl het aantal tanden verschilt. Bij de HDUC-32-158 heeft de circular-spline 318 en de flexspline 316 tanden. Als de wave-generator 1 omwenteling maakt is de flexspline dus twee tanden t.o.v. de circular-spline verdraaid. De reductie-verhouding van de drive is:

aantal tanden van flexspline

316

= aantal tanden van flexspline - aantal tanden van circular-spline

=316 - 318

De aan te drijven massa is d.m.v. een spieverbinding aan de uitgaande as van de drive bevestigd. De kunsthars locktite is gebruikt om deze verbinding voldoende stijf en spelingsvrij te maken.

2.3 De permanentemagneet motor.

In deze paragraaf zullen de vergelijkingen van een gelijkstroom motor besproken worden. Tevens zal de overdrachtsfunctie worden afgeleid. Voor de theorie van servomotoren wordt verwezen naar lit. 9.

158

24

Elektrische circuit.

Het elektrische circuit bestaat uit een stator van permanente magneten en een rotor met daarop de wikkelingen. Het schema van fig. 2.7 geeft het vervangingsmodel.

I

m

L

R

+ fig. 2.7 U m

~r~n~n~s~e~

elektrisch circuit.

U is de spanning over de aansluitklemmen van de motor. I is de m m motorstroom. R staat voor de verliezen in het circuit. Deze worden veroorzaakt door de weerstand in de wikkelingen en de kontaktweerstand tussen de koolborstels en de windingen. L is de zelfinductie van de rotorspoel. Als de motor draait, beweegt de spoel in het magneetveld en wordt een tegen-EMK opgewekt. Deze is rechtevenredig met de motorsnelheid w.

(2.61

K wordt de EMK-konstante genoemd. De vergelijking van het elekE trische circuit luidt: U m

LdI Idt + RI m

m

+ KEW

(2.71

Mechanische circuit.

Orndat het magneetveld in de motor konstant is, is het geproduceerde koppel T evenredig met de stroom:

(2.81

25

~

wordt de koppelkonstante genoemd. De verliezen in het mechanische

circuit kunnen beschreven worden door coulomb- en visceuze wrijving.

Tver l'l.es

ow + TfSign(W)

(2.9)

D is de visceuze dempingskonstante. T

is het frictiekoppel veroorf zaakt door de coulombwrijving (fig. 2.8).

T D

fig. 2.8 Verliezen in het mechanische circuit. -1

------+ w - - - - -

D

-

-

-T

1

f

Bij sommige motoren speelt ook de stictie-wrijving een role Deze wrijving treedt op bij de snelheid nul en geeft een soort plakeffect. Zodra een lichaam in beweging is, is de stictie nul geworden. Ter vermijding van de stictie wordt in de ASEA robot een voortdurende kleine trilling aan de assen toegevoerd (dither signaal). Om de motor te versnellen is een koppel ter waarde van Jdw/dt nodig. J is het massatraagheidsmoment van de motor. De volledige vergelijking van het mechanische circuit luidt: T

= KTI m = Jdw/dt

+ OW + Tfsign(w)

(2.10 )

De vergelijkingen (2.7) en (2.10) beschrijven het dynamische gedrag

volledig. Uit een eenvoudige energiebeschouwing (Werter, lit. 10) volgt dat K E

= KT

' mits de beide konstanten uitgedrukt worden in SI-eenheden.

26

Door T

nul te ste11en kan de overdrachtsfunctie worden afge1eid. f Deze wordt gedefinieerd a1s de verhouding tussen de motorspanning

en de sne1heid. Door 1ap1acetransformatie van (2.7) en (2.10) vo1gt: (2.11)

U (s) m

(Js + D)w(s) E1iminatie van I

m

(2.12 )

(s) 1evert:

W(s)

U (s) m

(2.13 )

LJs 2 + (LD + RJ) s + K K + RD E T

De polen zijn de nu1punten van de noemer van (2.13):

-

(LD + RJ) +

V(L~ +

RJ)

2

4LJ (RD +

-

~~~

(2.14)

Pl\ 2

2LJ

A1s L «

(LD + RJ)2/ J (RD + K K ) dan kan (2.14) benaderd worden door: E T)

Pl,2

(LD + RJ) + (RJ + LD - 2LJ(K K + RD)/(LD + RJ) E T

:::---------------....::..~--------

(2.15 )

2LJ

zodat en

P2

::: -

R/L

(2.16 )

Voor de gebruikte motor zijn deze benaderingsformu1es binnen 1% nauwkeurig. De mechanische tijdkonstante T

m

wordt gedefinieerd

door - l/pl , de e1ektrische tijdkonstante T door - 1/ P2. e Fig. 2.9 geeft de motordynamica in b10kschema weer. De cou1ombwrijving is d.m.v. een "bang-bang"-b1ok aangegeven.

27

Tf

Um~

,

-

I R+sL

~

K

K

fig. 2.9

T

./,+

~

S

~

I

S. 4

W

~+O

E

Blokschema van een gelijkstroom motor.

2.4 Het mechanische systeem.

De massatraagheidsmomenten in de opstelling concentreren zich op vier punteh nl. de rotor van de motor, de rotor van de tacho, de wave-generator in de harmonic-drive en de last. Het massatraagheidsmoment van de resolver is naar verhouding veel kleiner en kan bij de tacho in rekening gebracht worden. We veronderstellen dat dedynamica beschreven kan worden met een eindig aantal discrete elementen. Deze bestaan uit veren die dempingsvrij en zonder gewicht zijn, dempers die volledig stijf en massaloos zijn en massa's die volkomen stijf zijn en geen wrijving ondervinden. Fig. 2.10 toont het aldus verkregen model, waarbij bovendien de speling s en de reductiefaktor i schematisch aangegeven zijn. Bij de modelvorming is de aanname gedaan dat de drive volledig stijf aan de omgeving gemonteerd is en dat de demping en torsie zich door lineaire vergelijkingen laten beschrijven. De invloed van coulomb-wrijving wordt door de parameter T

f

in het model van de

motor in rekening gebracht (fig. 2.9). De paralleldempers dl, d 2 en d 3 brengen de dissipatie in de as in rekening als deze getordeerd wordt: zij kunnen als een soort verbindingsdemping beschouwd worden.

28

De seriedempers

d~

tim d7 brengen de dissipatie bij een konstant

toerental in rekening. Het door de motor geleverde koppel T wordt uitgeoefend op Jl

.

TACHO

MOTOR

HARMONIC DRIVE (L)

~s

fig. 2.10

Model van het mechanische systeem.

LAST

Reduktie.

De reduktieverhouding i kan uit fig. 2.10 geelimineerd worden, door J~,

d 7' d

3'

C 3

en s te reduceren tot de motoras. Door een krachtbalans

voor de drive op te stellen volgt (Koster, lit. 11, blz. 35 - 38): (2.17)

29

Onder verwaarlozing van de speling ontstaat het gereduceerde model van fig. 2.11. Voor dit gedempte massa-veersysteem kunnen we m.b.v. de Wet van Newton-Lagrange de volgende bewegings vergelijkingen opstellen: Jl ~1

. .

= T + cl «1>2-$1) + dl ($2-$1)

. .

J2~2 = Cl ($1-$2) + dl ($1-$2)

.

J3~3 = C2 ($1-$ 3) + d2 ($1 -$ 3) J .. ~ ..

, C 3 ($ r$ .. )

, +

+

d .. $l

+

C2($3-$1)

d2 ($3-$1l

.

(2.19)

dS$2

, dS$3

(2.18)

+

,

C3 ($ .. -$3)

+

.

.

d 3 ($ .. -$ 3 )

(2.20)

I.

(2.21)

d 3 ($ 3-$ .. ) - d7$ ..

H(}. 2.11

Gereduceerd model van mechanisch systeem.

30

Na laplace-transformatie en hergroepering volgt:

(2.23)

(dl +ds) s+

,

,

(d2S+C2)~2(S)+(d3S+C3)~~(S)

(2.24) (2.25)

In fig. 2.12 zijn bovenstaande vergelijkingen in blok diagram weergegeven. Het door de motor geproduceerde koppel is het ingangssignaal. De uitgangen zijn

~I

tim

~~

, de hoekverplaatsingen van de'vier massa's.

De overdrachtsfunkties hangen op zeer complexe wijze samen met de gekozen modelparameters:

WI (s)

S~I (s)

---= T (s)

(2.26)

T (s)

W2(S)

---= T (s)

(2.27)

31

I d s +c 1 1

I

1

1f2

J:!~+ (d1+ d S ) S + c1 II d 1s+C1

,,<{

r

T

I J

1 J1 s2+ (d1 + d2+d4) S+ c1 +c2

J d S+C

I

I d S + c2

I

2

b +

t

2

2

I

1 _ J3S 2+(d 2 + dj + de) S +c2+C~

J' I d

.

3 s+c 3

I I

1 I • • 2 • J 4 s +(d:3+d7)s+~

. I

~

d 's+ C I 1 3 3 __ I

Blokdiagram van gereduceerd model, zonder speling.

fig. 2.12

,

W3

(s)

S¢3(S)

r

I

,

(dlS+C1) (d2S+C2) (JIIS 2+ (d3+d7) S+C3

(2.28) T (s)

T (s)

, WII(S)

S¢II

(s)

(dlS+C1) (d2S+C2) (d3S+C3

(2.29) T (s)

T (s)

Hierbij ge1dt:

Al~ CIC2(C3(J3+J3)+d~(d~+dll+ds+d6)+d~(dll+ds+d6»+ C2~3(Cl(Jl+J~)+ds(dl+dll+d6+d~)+dl(dll+d6+d7»+ CIC3(d2(d6+d 7)+d ll +ds)

32

Al= CICl«JI+Jl+J3)(d~+d;)+J~(d~+d~+ds+d6»+ ClC3«JI+J3+J~)(dl+ds)+Jl(dl+d~+d6+d7»+

CIC3«JI+Jl)(dl+d6+d7)+(J3+J~)(dl+d~+ds»+

cI«d~+ds)(d~(dl+d3+d6)+d3(

dl+d6»+dl(di d6+d t(d3+ d 6»)+

c3«d6+d7}(ds(dl+dl+d~)+dl(dl+d~»+dl(dId~+ds(dl+d~»)+ d3+d7)(d5(d!-dl+d~)+dl(-dl+d~»

Cl(

A~= CIClJ~(JI+Jl+Jl)+ClC3Jl(JI+J3~J~)+CIC3(JI+Jl)(J3+J~)+ Cl«JI+Jl)«dl+d6)(d3+d7)+d3d7)+(dl+d~+ds)(J3(d~+d;)+J~dl(d~+ds»+ C3«J3+J~)«dl~d~)(dl+ds)+dIds)+(dl+d6+d7)(JI(dl+ds)+Jld l (d6+d 7»+

Cl«JI+J3)(d3+d7)(dl+ds)+Jl«d;+d7)(dl+d~+d6)+d3d7)+J~«dl+ds)(d~+d~+d;)+dIds»+

d7(d3+d6)(dl(d2+d~+ds)+ds(dl+d~»+ds(dl+d~)(dl(d3+d~)+d 3 d 6 )+ dId%(d3(~~+d7)+d~d7)+a3d6(dId~+dld5)

A~= CI«JI+Jl)rJ3(d3+d7)+J~(dl+d3+d6»+J3J~(dl+d~+ds»' + C3«J3+J~)(JI(dl+ds)+Jl(dl+dl+d~»+JIJl(dl+d6+d;» + Cl«JI+J3)(Jl(d3+d7)+Jl(dl+d3+d~+d6)+JIJ~(dl+ds»+

J~(d3+d7)(dl(dl+d~)+ds(dl+dl+d~»

JI(dl+ds)(d3(dl+d6)+d;(dl+d3+d6»

+ +

J3«d3+d7)(dl(dl+d~)+ds(dl+dl+d~»+dl(dId~+dIds+d~ds»

Jl«dl+d~)(d3~dl+d6)+d;(dl+d;+d6»+dl(d3d6+d;d;+d6d7»

+

As = J IJ l (C'3 (J 3+J~ )+d; (d l +d 6 )+(d l +d;+d 6 )d;)+

J3J~(CI(JI+Jl)+dl(dl+d~)+(dl+dl+d~)ds)+

JlJ~(Cl(JI+J3)+dl(d3+d6)+(dl+d3+d6)(dl+d~»+ ~~J3(dl+ds)(d3+d;) + JIJ~(dl+ds)(dl+~3+d6) + JlJ3(d;+d;)(dl+dl+d~)

A6= JIJl(J3(d;+d;)+J~(dl+d3+d6»

+ J3J4(Ji(dl+ds)+Jl(dl+dl+d~»

A7= JIJlJ3J~ Bo= ClC3 BI = cl(d~+d;) + c3(dl+d 6+d;) Bl= J3 C3 + J~(Cl+C~) + d;(dl+d~+d6) + di(d l +d6) B3= J3(d;+d;) + J~(dl+d3+d6) Bit'" J3J~ De overdrachtfunkties zijn van de zevende orde en hebben het noemerpolynoom gemeenschappelijk en hebben dus gelijke polen. De teller polynomen verschillen: de overdrachtsfunkties hebben verschillende nulpunten. Daar mechanische systemen in het algemeen licht gedempt zijn, lijkt het waarschijnlijk dat er sprake is van een reele pool en drie toegevoegde complexe polen. De laatstgenoemde zullen in drie resonantiefrequenties resulteren.

33

2.5 Ret spelingsmodel van Dubowsky en Freudenstein.

Speling veroorzaakt een onbepaaldheid van plaats binnen het spelingsgebied en leidt vaak tot onbeheerste krachten na het doorlopen van de speling. Dit laatste geeft vaak slijtage. In teruggekoppelde systemen kunnen door speling limit-cycles optreden waardoor het systeem niet asymptotisch stabiel is. Dubowsky en Freudenstein hebben in lit. 12 een eendimensionaal spelingsmodel geintroduceerd dat relatief eenvoudig is. Bij de analyse van het dynamisch gedrag van een draaitafel concludeert Van Aaken (lit. 13) dat dit z.g.n. "Impact-pair" model een goed uitgangspunt vormt voor de beschrijving van het spelingsgedrag. Fig. 2.13 geeft het model schematisch weer.

c

Fig. 2.13 " Impact-pair"··model van Dubowsky en Freudenstein.

ml

De gedwongen beweging wordt bepaald door de uitwendige krachten Fl en F2. De materiaaldemping wordt verdisconteerd in de demper d en de oppervlakte compliantie door de veer c. In lit. 12 wordt aangetoond dat d en c lineair gemodelleerd mogen worden zonder dat grote afwijkingen in het dynamisch gedrag van het mechanisme ontstaan. De totale speling tussen Ml en M2 is speling doorlopen.

25. Als Xl

= x2 is de halve

34

In de bewegingsvergelijkingen kunnen drie fasen onderscheiden worden:

1. De speling wordt doorlopen.

IX2

(2.30.a)

- XII < S:

(2.30.b)

2. De speling is in positieve richting doorlopen. (2.31.a) (2.31.b)

3. De speling is in negatieve richting doorlopen . ~X2

- Xl)

~

• S :

MIXI= FI+C(X2-XI+S)+d(X2-XI)

(2.32.a) (2.32.b)

De vergelijkingen (2.31) en (2.32) kunnen als volgt samengevat worden:

(2.33.a) (2.33.b)

(2.30) en (2.33) beschrijven het dynamisch gedrag van het "Impactpair "-model volledig en worden in de volgende paragraaf in het model van het mechanische systeem gepast.

35

2.6 Het complete model.

De interactie tussen motor en mechanisch systeem wordt in het blokschema van fig. 2.14 uitgedrukt.

r-t-

Urn +

0:--

I

R;S'[

----+

K

.... T

,-

Tf .

'T

+

~

'J

~ S

H

KES

~

........ r----~

-r 3

l?2

~.

Blokschema van een compleet model.

fig. 2.14

Het blok H is het blokschema van fig. 2.12. De overdrachtsfunctie H(s) = ¢l (s)/T(s) is gegeven in vergelijking (2.26). Fig. 2.14 heeft dezelfde structuur als fig .. 2.9. K is de tacho-EMK-konstante. Onder verwaarlozing van de coulombET wrijving (T = 0) kunnen de overdrachtsfuncties Ut(s)/Um(s) en f W4(S)/U (s) berekend worden. m De overdrachtsfuncties Wl(S)/U (s) en W3(S)/U (s) zijn niet meetm m baar en in het kader van dit verslag niet van belang.

U

m

(s)

U

m

(s)

S¢4(S) (2.35 ) U (s)

m

U (s) m

36

Hierbij geldt:

,

,

c 1C2 C 3 (~KT + R(dl++ds+d6+d 7) )

ao

a1 = RA1 + LAo + KEK (c1 B1 + (d1+ds)BO) T a2 = RA2 + LA1 + KEK (Cl B2 + (d1+ds)B1 + J2 BO) T a3

RA3 + LA2 + ~KT(C1B3 + (d1 +ds) B2 + J2B1)

al+

RAI+ + LA3 + KEK (ClBI+ + (d1 +ds) B3 + J2B2) T

as = RAs + LAI+ + K K ( E T RA6 + LAs + KE~(

a6

+ (d1+ds)BI+ + J2 B3) +

J2BI+)

a7 = RA7 + LA6 I

as

LA7

LJ1J2J3JI+

De waarden van de A. 's en de B. 's zijn uitgeschreven in. par. 2.4. 1.

1.

De speling vindt plaats tussen J3 en JI+ (fig. 2.10). De veer c en de ,

I

demper d van het "Impact-pair"-model komen overeen met C3 en d3 in

.

het model van het mechanische systeem. DoQr M1 en M2 te vervangen door J3 en J'1+ kan het complete stelsel differentiaalvergelijkingen opgesteld worden (2.36 tim 2.41) •

.

LI

m

..

J2
= U - RI m m

C1 (
(2.36 )

..

(
- s: ----- 1
als

••

.

(2.38)

)-dS
(speling is doorlopen) •

I

J3~3= C2 (
,

,

~.

I

(
..

,.

JI+~I+= C3(
(2.40. a)

37

a~s 1¢4 - ¢31 -----< S : ----------.'

(speling wordt doorlopen)

.

(2.39.b)

J3~3= C2(¢1-¢3)+d2(¢1-¢3)-d6¢3

(2.40.b)

(2.41)

Het bovenstaande model is van de achtste orde en bevat twee nietlineariteiten: speling en coulombwrijving. Het totale aantal modelparameters is 22 (zie tabel 2).

In hoofdstuk 3 zal de oplossing van het stelsel (2.36) tim (2.41) besproken worden. De bepaling van de parameterwaarden vindt plaats in hoofdstuk 4.

Tabel 2 Omschrijving

Mo d elparameters Eenheid

Nr.

Symbool

1

R

Weerstand motor

ohm

2

L

Zelfinduktie motor

henry

3

K T K E K ET T f J.

Koppelkonstante

Nm/A = Vs/rad

EMK-konstante

Vs/rad

Tacho-EMK-konstante

Vs/rad

Frictiekoppel

Nm

Traagheidsmomenten

kgm

c.

Torsiestijfheden

Nm/rad

14-20

d.

Dempers

Nms/rad

21

s

(halve) speling

Rad

22

i

Reduktieverhouding

4

5 6 7-10

1.

11-13

1.

1.

2

,

38

3. Berekening van responsie in tijd- en frequentiedomein.

De responsie van het model op ingangssignalen kan zowel in het tijdals het frequentiedomein berekend worden. Beide zullen in dit hoofdstuk behandeld worden.

3.1 Oplossing in het tijddomein.

Vanwege de complexiteit en niet-lineariteit kan het stelsel (2.36) tim (2.41) niet zonder meer opgelost worden. Er zal gezocht moeten worden naar een oplossing door middel van simulatie. Een aantal wegen kunnen bewandeld worden om systemen te simuleren: I . Simulatie m.b.v. een analoge rekenmachine; II. Berekening door middel van een simulatieprogramma op een digitale rekenmachine.

I • Simulatie m.b.v. een analoge rekenmachine. Analoge rekenmachines zijn bij uitstek geschikt voor de simulatie van continue dynamische systemen. Zij hebben het voordeel van een korte rekentijd. De nadelen liggen in de beperktheid van het aantal komponenten en de no?dzakelijke schaling. Op de THE is geen geschikte machine beschikbaar om het in hoofdstuk 2 beschreven model te simuleren.

II. Berekening d.m.v. een simulatieprogramma. Bij het gebruik van een digitale rekenmachine voor de analyse van continue systemen, wordt de integratie berekend met een diskreet algorithme. De parallelstruktuur van het systeem wordt berekend met een sorteeralgorithme. Het aantal komponenten is veel minder beperkt dan bij de analoge machine. De rekennauwkeur1gheid is veel groter en er is geen schaling nodig. Een nadeel is de geringe rekensnelheid. Op de THE zijn de programma's THTSiM, CSMP en PSI beschikbaar. In principe kunnen zij alle gebruikt worden.

39

TBTSiM heeft echter het nadeel dat het geen hogere ordeintegratiealgorithmes kent. CSMP heeft niet de mogeltjkheid tot interactief werken en is bovendien niet te gebruiken op de PDP-ll minicomputer van de vakgroep ER. PSI heeft deze bezwaren niet en is daarom gekozen voor de analyse van het model in het tijddomein. Bet is een interactief blok-georienteerd simulatieprogramma, ontwikkeld in de vakgroep Regeltechniek, afdeling elektrotechniek, van de TH-Delft. Een zeer duidelijke beschrijving van de mogelijkheden van dit pakket wordt gegeven in lit. 14. struktuur van het te simuleren model te

om

de topologische

beschrijven dient een

blokdiagram opgesteld te worden, in de vorm van een analoog reken-machine schema (fig. 3.1). De nauwkeurigheid van de oplossing wordt bepaald door de integratiemethode en het integratie-interval. Voor de keuze van de integratiemethode bestaan geen algemene regels. De vierde orde Runge Kutta methode met variabele stapgrootte (RK4VR) blijkt een nauwkeurige· en relatief snelle oplossing te geven voor ons model. Voor het 5 integratie-interval is 10- gekozen: een kleinere waarde blijkt geen extra nauwkeurigheid te geven.

Door het blokschema van fig. 3.1 met blokken uit PSI te realiseren en ieder blok een symbolische naam te geven, ontstaat een PSIprogramma. Dit is verder uitgewerkt in Appendix A.

40

1- - -

I

--

--

--

--

- -

- -

- -

--

- -

- -,

: I

I

Last

I

_____ 1

I I

I I

Drive

I,

___I

!--- --u-..:- ~I-;_-_-_-_-_-_-_-_- ----+7-----==--~------- -:---...J

---l -1

I

I I I

I

I

I I

Um

I I

I I

L

.

_

Motor

1,

Tacho

I I

I ,

L

Fig. 3.1

ds-

Analoog rekenschema van het complete model.

aT

Ut:

I

J'

41

3.2 Oplossing in het frequentiedomein.

Er zijn een aantal methoden om de overdrachtsfunktie van dynamisch systeem te berekenen. I

Transformatie van de oplossing in het tijddomein naar het frequentiedomein d.m.v. Fast Fourier Transformation (FFT).

II

Gebruik van het transformatiepakket TRIP om uitgaande van de toestandsvergelijkingen de oplossing in het frequentiedomein te berekenen.

III: Bet schrijven van een eigen "special purpose" programma om de overdrachtsfunkties te berekenen en uit te plotten.

De output van een simulatierun in PSI kan als input dienen van een ander softwarepakket ontwikkeld aan de TB-Delft nl. TRIP (Transformation and Identification Package). In TRIP kan deze data fourier getransformeerd worden. De mogeli.jkheden van deze methode zijn voor ons probleem beperkt omdat het FFT algorithme in TRIP maar met 128 frequentie-waarden rekent. Om nauwkeurig de ligging van de resonantiefrequenties te bepalen is dit aantal veel te klein.

TRIP kent behalve een FFT trans formatie ook een transformatie van de toe~an&beschrijving van

het systeem naar de bode- en nyquistdia-

grammen. Doordat de verschillende eigenwaarden van ons model ver uit elkaar liggen (ca. 1 : 1000) ontstaan numerieke problemen. Daar bovendien de overdrachtsfunktie voor een beperkt aantal frequentiewaarden berekend wordt is deze methode niet geschikt voor ons probleem.

42

Voor de berekening van bode- en nyquistdiagrammen kan ook een eigen programma geschreven worden, die de beperkingen van methode I niet heeft en de numerieke problemen van methode II omzeilt. Door het aantal frequentie-intervallen door de gebruiker te laten bepalen en niet in het s-domein, maar in het jW-domein te werken, kan aan beide eisen voldaan worden. De berekeningsmethode berust op het inverteren van complexe-matrices en is ontleend aan Oosterling (lit. 16). We gaan uit van de vergelijkingen (2.22) tim (2.25) en (2.36) •

In matrixvorm luiden deze vergelijkingen:

R+5L

-~

a

~ JI5+dl+d~-rS-

-dl-s'" 5

5

a

a

I

a

a

WI (5)

a

a

W2(5)

a

W3 (5)

a

W, (5)

a

a

-dl-s'" 5

J25+dl+d2+ds,C I +C 2 5

-d 2 -s' 5

a

a

- d2 -S. 5

J35+d2+d;+d6Ic2+C3 5

a

a

a

• C3 -d35

.

.

.

• C3 -d35 I

I

I

.

m

(5)

C3

J,5+d3+d7+-"5

U (5) m

(3.1)

Verkort weergegeven door: A(s) •

~(s),

= £,(s)

(3.2)

Door over te gaan van het laplace-domein naar het jW-domein volgt:

A(jW).~(jW)

=

(A +jA, .(jw)) .c(jw) = _b(jW) r

1.

-

(3.3)

43

A

r

is het reeie deei van A(jW) en A. (w) het imaginaire deei. 1

Voor A en A. (W) geidt: r

1

~

R

A r

0

0

0

0

0

-d2

0

-K.r

dl+dl+

-dl

0

-dl

dl+d2+ds

0

0

-d2

0

0

0

(3.4)

, d2+d3+d 6 -d3

,

A. (w) = 1

WL

0

0

JIW-

0

0

0

0

I

Cl

Cl/ W

/w

0

0

0

0

C2/ W

J2W_(Cl+C2) W C2/ W

I

d3+d7

0

Cl/ W

0

-d3

0

C 3) J3 W- (2+ W C3/ W

0

(3.5)

C3/ W ' C3/W JI+W-

Indien A(jW) niet singuiier is voigt:

5: (jw)

(A +jA. (w) ) -l a (jW) r

1

(3.6)

-

WI (jw), W2(jW), W3(jW) en wl+(jw) worden dus verkregen door (3.6) voor verschiiiende waarden van W te berekenen.

Het stelsel (3.3) is opgelost d.m.v. een standaard procedure op de B7700 genaamd "F04ADA", deze benadert een stelsel complexe lineaire

vergelijkingen d.m.v. de factorisatiemethode van Crout. Volgens de minimanual van de NAG-library is deze procedure het meest geschikt omdat A(jW) niet -positief-definiet en niet-sYmmetrisch is. In Appendix B is het struktuurdiagram en de listing van het programma opgenomen.

De overdrachtsfunkties van de motor, motor met tachometer en motor, tachometer en harmonic-drive kunnen allen beschreven worden met (3.2) en zijn dus oak gemakkelijk te programmeren.

R+sL Motor:

A(s)

D.7)

Motor & tachometer:

R+sL

------------------

A(s)

-K

T

K E

0

cl Jls+dl+d.. + -dl-

0

Cl

Is

Is

-dl- Cl

IS

J2s+dl+dS+

(3.8)

Cl

Is

C2

Is

Motor, tachometer en harmonic-drive:

----------------------------------R+sL -~

K E

Cl Jls+dl+d.. +S

A(s)= 0 0

-dl0

Cl

Is

0

0

-dl-Cys

0

J2s+dl +d2+dsl -d2-

C2

Cl+C2 s

Is

-d2-

(3.9)

,

' C2+C3 J3s+d2+d3+d6 I S

Door de gebruiker van het programma de orde van de A-matrix te laten invoeren, kan een keuze gemaakt worden uit een van de vier systemen ( (3. 1) , (3. 7), (3 . 8 ) of (3.9)).

De aangegeven methode is relatief eenvoudig en overzichtelijk te programmeren. Het berekenen van frequentiediagrammen direkt uit (2.34) geeft geen enkele flexabiliteit en kan gemakkelijk tot fouten leiden.

46

4. Bepaling van modelparameters.

In dit hoofdstuk wordt de bepaling van de 22 modelparameters besproken. Een aantal parameters kan uit de handleidingen van motor en harmonic drive gehaald worden en een aantal kan berekend worden. Veel parameters kunnen direkt of indirekt uit meetgegevens gedestilleerd worden. De parameter dz (zie fig. 2.11) is d.m.v. simulatie met het frequentieresponsieprogramma bepaald. Behalve aan de complete opstelling zijn metingen verricht aan de volgende onderdelen ervan: - motor met tachometer - motor met tachometer en harmonic drive.

4.1 De permanente magneet motor.

De handleiding van de.motor (lit. 17) geeft de volgende waarden behorende bij de AXEM F9M4H. motor:

=

8,8 cm.N/A

0,088

Nm/A

(4.1)

9,2 V/1000 rpm

0,088

Vs/rad

(4.2)

340 gcm Z

34.10- 6 kgmZ

(4.3)

dl+

0,8 cm.N/1000 rpm

76.10- 6 Nms/rad

(4.4)

T

2,5 cm.N

0,025

(4.5)

K T

~ Jl

=

f

n

R

=

1,1

L

<

100 l.IH

Nm

(4.6) (4.7)

Uit metingen aan de a-motor van de ASEA-robot (Werter, lit. 10) is gebleken dat de opgegeven waarde van R te laag is. De weerstand en zelfinduktie van het ingangscircuit van de motor in onze opstelling zijn dan ook nog eens apart bepaald.

47

4.1.1 Metingen.

De weerstand en zelfinduktie van het ankercircuit zijn bepaald door een RLC-meetbrug aan te sluiten op de ingangsklemmen van de motor. Voor een warm-gedraaide motor geldt: L

=

R

'" 1,6

(4.8)

87].1 H

n

(4.9)

De weerstand van de toevoerdraden bleek kleiner te zijn dan 0,08 De zelfinduktie hiervan bedraagt ca. 3,5

.~H.

n.

R is afhankelijk van

de temperatuur: voor een niet-opgewarmde motor is een waarde van 2,0

n

gemeten. R is kleiner bij hogere temperaturen, doordat de

kontaktweerstand tussen rotor en koolborstels afneemt bij toenemende temperatuur.

Door de vrij onnauwkeurige bepaling van R zal de mechanische tijd.' constante (4.10) en dus de bandbreedte van het systeem nooit nauwkeurig berekend kunnen worden. Van de motor zelf zijn geen bode-diagrammen opgemeten omdat hiertoe de tachometer losgekoppeld dient te worden van de motoras. Na

demantage

kunnen verliezen in het magnetische circuit optreden

en kan de verbinding tussen tachometer en motoras minder star worden.

4.1.2 Frequentie-diagrammen.

Nu alle motorparameters bekend zijn kan de responsie in het frequentie-domein bepaald worden (fig. 4.1 en 4.2). Voor de mechanische tijdconstante geldt:

Tm '"

6,92 ms

(4.10 )

De hierbij berekende korresponderende frequentie is 23 Hz en stemt goed overeen met de exacte waarde van de 3dB-frequentie (zie fig. 4.1).

48

o

1

10

10

2

3

10

10

•

5

10

10

30 r----.---r-T""'T""rTTl..---,--rTTTTT,.,.---r-,--r-r.."..,....----,--r--r-rTTrrr--.,---;rrrrr'T"l 30

20

F-----_~

20

Fig. 4.loa 10

10 -I

o

~ '-

o

-10

-10

-20

-20 -30 -40

OCGAIN= 30B

20.98 OB

FREQ~

-50

23.19 HZ

-2

-60

-60

-70

-70

-BO

-BO

- 90 L,;,o-J...-JL-l....Ll..J..1.lL,-..L...-.L.....L...L..l..Jl.J..l.L=--...l.-..J......L....L.J...L.lll-:;-3---'---L...J...J..........~._'--'L-l....Ll..J.J.I.J 5- 9 0 2 10 10 10 10 10 10

FREQUENCY (HZ; a

I

10

10

2

3

10

10

•

10

5

10

o ....--r--..,....,...TTTrr---r-,-..,..-rTTTrr-----r--r....,...,.."..,m--,......,....,-,....,..,.rrr--.,...-..-rTTT"'TTI 0

Fig. 4.lob

-20 -40 -60

.......

~

§

-BO

-BO

t:.:l

Cl::::: -100

-100

-120

-120

-140

-140

-160

-160

ct

Fig. 4.1 Bode-diagrammen van de overdfachts. W 1 \5 f unk t~e U (5) van

m het model van de motor.

- 1B0 L,o-'--'-'--.Ll..J..uL,-..L...-.L.....L...L..l..Jel.l.L=--...l.-..J......L....L.J..1.1.1.l.-:;-3---'----'---'-'...L.L.J,",-,-:-.---l---L...J...Ju.::z:m 5- 1 B0 2 10 10 10 10 10 10 .

FREQUENCY (HZ; Voor de e1ektrische tijdconstante ge1dt: T

e

~

L/R =

54,4'~s

(4.11)

De bijbehorende frequentie is 2,9 kHz. Doordat beide tijdkonstantes zover uit e1kaar 1iggen, komt de po1aire e figuur (fig. 4.2) nauwe1ijks in het 3 kwadrant. Vanwege de gebruikte p1otprocedure heeft de po1aire figuur onge1ijke schaa1waarden: er vindt een automatische scha1ing p1aats.

49

l-...

~

.5

-.5 0

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

9.5

10.5

Q...

:>....

-1

250 H~

-

-1

~

% ....... ~

~

.......

I

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

23 h -6 -.5

.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

7.5

6.5

~

Fig. 4.2

9.5

10.5

-6 11.5

RERL PRRT

Nyquist diagram van de overdrachtsfunktie (5) van het model van de motor. m

Wl(S)/U

4.1.3 Invloed van coulombwrijving. De invloed van het wrijvingskoppel T

kom~

f gedrag als het dynamisch gedrag tot uiting.

zowel in het statisch

De motor kan pas gaan draaien als een koppel op de rotor uitgeoefend wordt dat groter is dan T . Hiervoor is een minimale elektrische f spanning van RTf/~ = 0,45 V nodig. Als Urn kleiner is dan 0,45 V zal de as niet draaien: er is een dade zone in de motorkarakteristiek (fig. 4.3) ter waarde van 0,9 V. De maximale uitstuurspanning van

U is 36 V. m In werkelijkheid is de dode zone groter dan 0,9 V vanwege stictieeffekten.

so

l

30

Fig. 4.3 Statisch verband tussen ingangsspanning en motortoerental.

-30

Als de motorspanning stapvormig van teken omkeert, is de responsie van WI die volgens fig. 4.4.

Z7-MAY-8Z

URI tV] : =::;;::= • Phil CRAD/S]

II

I

-II

-8 I

..

•

• ----~

Fig. 4.4

TI3D IN

m.

l~S

Gesimuleerde responsie op stapvormig ingangssignaal (-2V -+ 2V ).

51

Opvallend in fig. 4.4 is de knik bij Wl=O. Deze knik wordt veroorzaakt door de coulombwrijving. Als het toerental van de motor door nul komt, gaat de coulombwrijving plotseling in de andere richting werken: het sign-teken in fig. 2.9 klapt om. Het zelfde "knik-effect" zou bereikt worden als de ingangsspanning stapvormig met 0,9 V verlaagd wordt. Bij het opmeten van stapresponsies bij dit soort motoren moet men verdacht zijn op deze knik. Om nauwkeurig de tijdconstante van de motor te bepalen moet U buiten de.dode zone blijven. m

4.2 Motor met tachometer.

~

J2

TACHO

c1

Fig. 4.5 Model van motor met tachometer

H

MOTOR

De overdrachtsfunctie U (s)/U (s) kan berekend worden uit (3.2) t m en (3.8). Door de benadering van (2.15) toe te passen voIgt:

K(l + sT )

(4.12 )

o

(1 + ST ) (1 + ST ) (1 + e m

~ss o

+

~:~ 0

Hierbij geldt: (gelijkspannings versterking)

(4.13)

(verbindings tijdconstante)

(4.14)

(elektrische tijdconstante)

(4.15)

52

l m

R(Jl +J2) / (KEK.r + R(dl++ds))

:::

w o

=

De term

wo /2 s

(mechanische tijdconstante) (4.16)

(eigen frequentie)

(4.17)

(relatieve demping)

(4.18)

is gelijk aan de bandbreedte B van de resonantie-piek.

In lit. 17 worden de volgende waarden voor de tacho-EMK-konstante en het

massatraagh~idsmoment gegeven:

K ET J

tacho

3V/1000 rpm = 350 gcm

(4.19)

0,0286 Vs/rad

2

De uitgangsimpedantie van de tachometer

(4.20)

(l~)

kan

verwaarloos~.worden

t.o.v. de ingangsimpedantie van het meetcircuit. J2 representeert behalve het massatraagheidsmoment van de tachometer ook die van de resolver met klemring en verbindingsstukje (fig. 4.6).

Fig. 4.6

Motor met tachometer en resolver. l=motor, 2=tachometer, 3=klemring, 4=koppeling, 5=resolver.

53

De afmetingen van de k1emring zijn vee1 groter dan die van de koppeling en de resolver (het getekende reso1verhuis draait niet mee) zodat het resterende massatraagheidsmoment grotendee1s bepaa1d wordt door de k1emring. Door deze a1s een homogene cylinder met straa1 r en massa m te beschouwen vo1gt: Jk1emring

~ 1

2

1

zmr = 20,041(0,0175)

2

~

6. 10

_6

kgm

2

(4.21)

Werter (lit. 10) vindt uit metingen waarbij de stroom door de motor stapvormig veranderd wordt een waarde van 7.10

-6

2

kgm.

Deze 1aatste waarde rechtvaardigt de toegepaste berekeningsmethode.

De torsiestijfheid tussen motor en tachometer kan qua orde van grootte berekend worden. Door te veronderste11en dat de spieverbindingen waarmee beide rotors op de as gemonteerd zijn vo1komen stijf zijn, wordt C1 bepaa1d door de stijfheid van de as. Vo~r

.

de torsiestijfheid c van een uniforme as met diameter d,

1engte 1 en glijdingsmodu1us G ge1dt: 8. 10 10 . TI. (0, 01)

c =

32 1

32.0,072

4

=

1,1,10 3 Nm/rad ~ c1

(4.22 )

De waarden van d1, ds, T

en de exacte waarde van C1 zijn uit de f meetgegevens beschreven in 4.2.1 en 4.2.2 bepaa1d.

4.2.1 Meting van de overdrachtsfunctie.

De bodediagrammen zijn opgemeten m.b.v. een "dynamic signal analyzer". Na bemonstering van het

inga~-en

het uitgangssignaa1, wordt m.b.v.

een FFT-a1gorithme de fourier-getransformeerde van beide signa1en berekend. Na de1ing ontstaat hieruit de overdrachtsfunctie. Ret FFT-a1gorithme rekent met 256 equidistante punten. Om zowe1 het 1aagfrequente a1s het hoogfrequente gedee1te nauwkeurig te bepa1en, kan het frequentiebereik opgedee1d worden in een aanta1 gebieden.

54

Door het aantal middelingen te vergroten kan de meetnauwkeurigheid opgevoerd worden. Fig. 4.7 geeft het gebruikte meetcircuit. Het ingangssignaal be staat uit "pseudo random noise" en wordt gegenereerd in de analyzer. Binnen het geselecteerde gebied is de ruis als wit te beschouwen. Aan het ingangssignaal wordt een gelijkspanningskomponent toegevoegd zodanig dat de dode zone nooit wordt binnengegaan.

offset versterker

ingang 2

ingang 1

'-----------it Dynamic signal

.

analyzer HP 5420A

.. Fig. 4.7 Meetcircuit.

Display en plotter

De versterker (300W) heeft een bandbreedte van 30 kHz. De versterkings factor is instelbaar. Het gefilterde tachosignaal (3dB frequentie = 24 kHz) dient als uitgangssignaal.

De opgemeten bodediagrammen zijn weergegeven in fig. 4.8. Het aantal middelingen bedraagt 500. De torsieresonantie is duidelijk waarneembaar en is 1037 Hz. Daar de relatieve demping van mechanische systemen erg laag is

(~

< 10%) verschillen de eigenfre-

quentie en de resonantiefrequentie nauwelijks. Omdat

Jl

en

J2

bekend zijn kan met (4.17)

Cl

nauwkeuriger be-

paald worden:

------------ =

789 Nm/rad

(4.23)

55

TRANS

*A.

=:::::::==-__!J:_;'rS_H~Z

10. 000 --r

EXPAND

500

10_3. 7_H_Z..., j

Ut(jw) U. (Jw) ~

t - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - t - - - - I - 1 1. 6

LGMAG DB Overdracht bij 0 Hz : 10.OdB. Bandbreedte : 9.5 Hz. Res. freq. : 1037 Hz bij -11.6 dB. Ingangssignaal: 9V DC + 10V ruis (top-top) Versterking: 10.

-40. 000 - t - - - - - - r - - - . . . I . . . , - - - - - - - - r - - , - - - - - - r - - - - T - - I

LG HZ

1.0000

*A.

9,5 Hz

1.0000 K

500

EXPAND

1037 Hz

o t - - - - - - - " " " ' C : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - r - " - - ; -45

Ut(jw) arg U. (jw) ~

Frequentie gebieden:

oPHASE

Fig. 4.8

100 Hz

~f=

0,4 Hz

100-800 Hz

~f=

2,7 Hz

800-1250 Hz

~f=

1,8 Hz

Bodediagrammen van de overdrachtsfunctie Ut(s)/Ui(S) van de motor met t

-360

5. 0000

-180

t

LG HZ

1.0000 K

56

Deze waarde is lager dan die berekend in (4.22). Blijkbaar zijn de spieverbindingen of de rotors zelf niet helemaal star. De bandbreedte van de resonantiepiek is 100 Hz (fig. 4.9). Met (4.18) is nu de verbindingsdemping d 1 te berekenen:

TRANS -11. _

37_H_Z I,;. .0...

-r

1,2.10- 3 Nms/rad

=

=

*A. 1_

(4.24)

--.

lOG Hz

LGMAG DB

Res.freq.: 1037 Hz bij -11.6dB. Bandbreedte: 100 Hz lngangsstgnaal: 9V DC + 10V ruis (top-top)

-30. -

Versterking: 10. ~--..-----r---....L-,.---...L-.-----l-.-------,----r----r

1.2S8i K

HZ

Fig. 4.9

Gemeten amplitude diagram van Ut(s)/Ui(S) in het frequentiegebied 800-1250 Hz.

De verbindingstijdconstante

To =

1,5.10

-6

en de elektrische tijd-

constante T = 5,4.10- 5 zijn zo klein dat hun invloed niet meetbaar e is met de analyzer. Een andere waarde van de voorspanning heeft geen meetbaar effect op de frequeptieresponsie: de parameters zijn lineair te beschouwen binnen het werkgebied: -36V < U < 36V. m De stapresponsie (fig. 4.10) heeft het karakter van een eerste orde responsie met daarop gesuperponeerd een oscillatie. De frequentie hiervan komt overeen met de resonantie-frequentie uit fig. 4.8.

57

TI AVG 1

1

EXPAND

Fig. 4.10.a

4.8088

--

I

// REAL

~

V

~

1/

/

/

If 1. 0SlIIl!I

ea._ .

SEC

AYll.S_

Yll. BB99

'Aa

TI AVG 1

1

2.388S

/

l,.r/ REAL ~

.;

1.4909

/

V

V

r

~

V

-V

/

/

B.9

4.2.2

Fig. 4.10.b

Fig. 4.10

Responsie op een stap in U (5-11V). m SEC

lB._ •

Wrijvingsverschijnse1en.

De wrijving die de motor met tachometer ondervindt afhanke1ijk van het toe rental kan gemeten worden door de motorstroom I m a1s functie van de . tachospanning U op te meten. Dit kan a1s vo1gt aangetoond worden. t We veronderste11en dat de motor een wrijvingsfunctie fl(Wl) en de tachometer een wrijvingsfunctie f2(W2) heeft.

58

De systeemvergelijkingen luiden: JI~I =

KTl

m

J2~2

U

t

=

= ~2

(4.25)

(
(4.26)

+

CI

(
f2(
+

C1

(

.

(4.27)

KET
Indien de motor stationair draait geldt: ~I

)

fI(
.

=

konstant en dus

O. Onder deze voorwaarden luidt de oplossing van het stel-

sel (4.25) tim (4.27): 3.5

t

Meetopstellinq.

1.5

1,3--1,2---

0,035 A/V

1'}",284- -

-10

-8

-6

-4

-2

-=---~~ Ut

-0,284

(V) 10

_ _ -0.46

-0,5

-I

Fig. 4.11 -1,2

-1,3 I: ~lotor (machine gegevens)

2: '1otor met tachometer J:

~otor,

tachometer en harmonic-drive

4:

~otor,

tachometer en harmol1ic-drive

(warm gedraaide motor) (koude motor)

'J,29A/','

3

Statisch verband tussen motorstroom en tachospanning.

59

I

(4.28)

m

Het gemeten verband tussen I

en U is grafisch weergegeven in m t fl is bekend uit de machinegegevens en luidt:

fig. 4.11.

(4.29)

Uit fig. 4.11 volgt:

0,46.~sign(Wl)

+

0,035.~~T

0,04 sign(Wl) + 8&10-6 W1

(4.30)

Voor het frictiekoppel volgt dus:

(4.3'1)

0,04 Nm

. en

voo~

de visieuze demping,:

(4.32)

dl+ + ds

ds is veel kleiner dan dl+ : de tachowrijving, veroorzaakt door lagers en koolborstels, is t.o.v. de motorwrijving gering. Werter (lit.10) verwaarloost ds t.o.v. dl+.

De opgemeten waarde van de dode zone van motor met tachometer bedraagt 2,4V. Gelijkspanningssignalen kleiner dan 1,2V geven geen enkele output. Uit metingen (Werter, lit. 10, blz. 59) is echter gebleken dat wisselspanningssignalen

met amplituden kleiner dan 1,2V

wel een responsie hebben. Sinusvormige signalen met een frequentie groter dan 50 Hz lijken goed gevolgd te worden door het tachosignaal. De wrijving heeft behalve een niet-lineair ook een frequent ieafhankelijk karakter.

60

Door blokvormige motorspanningen aan te brengen en de tachospanning te meten ontstaat de fig. 4.12. Bij de frequenties 10 en 20 Hz geeft de tachospanning een kortstondige spanning af na een neergaande of opgaande flank. Het oppervlak onder de grafiek is voor beide frequenties gelijk en o correspondeert met een hoekverdraaiing van ca. 1 . Voor hogere frequenties komt de tachospanning niet meer tot rust, de oppervlakte onder de grafiek is kleiner geworden.

,--

! Um(V)

r

a

--+t(s) 0,2

0,1

10 Hz

~

f\.

v

. .v

~t(s)

Um( V)

a

J

50

~t(rns)

20 Hz·

-1

~

{

..•

(

TJO

11

Ul(!:lV .. ,:>

.c:=:=>-

2

'-------+

1 kHz terns)

-1

~

50

o"""=7'

'''''''=7'

.c:::-

. ~ t (ms)

-50

Fig. 4.12

Responsie van de tachometer voor drie verschillende ingangssignalen.

61

o De afstand tussen de wikkelingen op de rotor is ca. 1,5 . Een

~oge-

lijke verklaring van het waargenomen effect zou kunnen zijn dat de koolborstels tussen twee wikkelingen aanmerkelijk minder wrijving opdoen. De gemeten hoekverdraaiing zou dus plaats vinden in het gebied waar de borstels zich tussen twee wikkelingen bevinden. Om deze hypothese te toetsen zijn geen verdere metingen gedaan. Belangrijk is echter dat het model niet voldoet voor kleine ingangssignalen.

62

4.2.3 Modelverificatie. Met de gevonden parameters kan de frequentieresponsie van het model bepaald worden (fig. 4.13). De invloed van de versterkingsfactor kan ondergebracht worden in K

ET

. De resonantiefrequentie is met een

nauwkeurigheid van 2 Hz berekend. De invloed van de elektrische tijdconstante komt tot uiting in de

steile helling (-80 dB/dec) na

de resonantiepiek. De verbindingstijdconstante dl/Cl komt tot uiting in de fasedraaiing in het gebied tussen 10 kHz en 100 kHz en is nauwelijks van invloed op de amplitude karakteristiek. 10-

16

1

100

10'

Ie!

la'

10'

lOs 16

.--....-T"'T"T'TT"rTT"'"""""T"""T'"T'T'1Tm-......l'""T'"rTT'I'IT""".....,......,....I"TT,.,.".-.....,-rr"TT'l"n-"""T'"...,..,"T'T'lrm

8

8

a -e

a

-I

Fig. 4.13.a

-8

-16

-16

.....

-24

-24

~ '-

-32

-32 -40

-4e -56

oCoAIN= lo.oe De 30e FREQ= 10.50 HZ RES.FREQ 1032. HZ. AT -11.1 De

-72

-64

-72

-eo

-80

-ee

-ee -96

-96 - I04

s- I 04 10

1...-...J..-.L..J..J...I.J.Ju..L.,----L....J.....L...U..u..u..,..-.J....J'-'-J...uJ.u...,...-'-..J...J~WL,.___L.-J...J..J..u.uJ..:.......J......J..J...I.U.w

10-' 175

175

~

150

150

~

125

125

~

100

100

~

75

V)

......

Fig. 4.13.b

75

50

50

2S

25

a i----==------------f---------+ a -25

-25

-50

-50

-75

-75

-100

-100

-125

-125

-150

-150

- 175 '-:-,-'-.L..J..J...I.J.JL.U.;:-o---'-...J.....L...U...u..u...,..,---L....J....L..J..L.l.Ll.ll.~:--J......l-u.J..U.ILL03,.---L.-J.....L..J..J..J.JJ"-.,...--JL-J......L...l..LL.ws - 175 lif 10 10 0 10 10

FREQUENCY fHZi

Fig. 4.13

Bodediagrammen van het model van motor met tachom€tter.

63

In tabe1 3 worden meetgegevens en berekening met e1kaar verge1eken. Opva11end is dat de berekende 3-dB frequentie 1 Hz groter is dan de gemeten waarde. De oorzaak is waarschijn1ijk de onnauwkeurige bepaling van de weerstand R (par. 4.11). De afwijking in het 3dB punt heeft tot gevo1g dat de berekende hoogte van de resonantiepiek hoger is (0,5 dB). De ge1ijkspanningsversterking en de resonantie~%

frequentie zijn met een nauwkeurigheid van een

ge1ijkspannings~

3dB frequentie

versterking (dB) meting berekening

(dB)

bepaa1d.

resonantiefrequentie (Hz)

hoogte resonantie piek (dB)

10,0

9,5

1037

-11,6

10,08

10,5

1032

-11,1

Vergelijking van berekende en gemeten waarden.

. Tabe1 3

De po1aire figuur van Ut(s)/U (s) wordt gegeven in fig. 4.14. i e e De k1eine cirke1 in het 2 en 3 kwadrant wordt veroorzaakt door de resonantiepiek.

-.4 ·25

"Q::

~ ::>... Q::

~ ....., t::l

i§ .....,

-.2

0

·2

.4

.6

.8

1.4

\ .2

\ .6

\ .8

2

2.2

2.4

2.6

0 190

3.2 .25

3

2·8

./1

\-l.z.

o H'z

-.25

-.25

-.5

-.5

-.75

-.75 -\

-\

r

0

-I .25

-1.25 I

-1.5 -\ .75 - .4

-.2

0

.2

.4

.6

.8

1 ·2

oJ5

Hz

\ .4

1.6

-I .5

\ .8

2.2

2·4

2·6

~RERL

Fig. 4.14

2.8

-1.75 3.2

PRRT

Polaire figuur van U (s)/U.(s) van model van motor met t ~ tachometer.

64

4.3 Motor met tachometer en harmonic-drive.

TACHO

Fig. 4.15

Model van motor met tachometer en harmonic-drive. MOTOR

HARMONIC DRIVE

De overdrachtsfunctie U (s)/U (s) kan berekend worden uit (3.2) en t m (3.9) en heeft de volgende vorm:

Ut(s)

(4.33)

= U

m

(s)

det(A(s))

Hierin is det(A(s)) de determinant van de systeemmatrix van (3.9). e Het noemerpolynoom is van de 6 orde en geeft vanwege de complexlteit e weinig inzicht. De teller is van de 3 orde. Zoals besproken in 4.2.3 is het nulpunt c 1/ d1 nauwelijks van invloed. Indien d 6 + d 2 voldoende klein zijn resulteert de term (C2 + (d6 + d2)S + J3S2) in twee toegevoegd complexe nulpunten met als eigen frequentie: rad/ s

(4.34 )

Het massatraagheidsmoment van de harmonic-drive wordt bepaald door de wavegenerator. Volgens de catalogus (lit. 18) geldt: (4.35)

De torsiestijfheid tussen motor en drive kan op dezelfde wijze als in (4.22) benaderd worden d.m.v. de glijdingsmodulus as geldt:

. Voor een uniforme

65

8.10:arr(0,012)

1+

------- = 32 1

2,5..10 3 Nm/rad

(4.36)

32.0,072

4.3.1 Metingen. Met de meetopstelling van fig. 4.7 zijn amplitude- en fasediagram van motor met tachometer en harmonic-drive bepaald. Fig. 4.16 geeft de resultaten van een nog niet ingelopen harmonic-drive. Fig. 4.17 geeft de diagrammen voor dezelfde combinatie, maar na een bedrijfstijd van ca. 100 uur. TRANS llL_

490

3,3Hz

O,65k

I ,4kHz

I I Ut(jw)

"!fiTiWi

12.5 19.5 Overdracht bij 0 Hz : 9 dB Bandbreedte: 3,3 Hz Res. freq. : 0,65 kHz op -12.5 dB Res. freq. : 1,4 kHz op -19.5 d! Ingangssignaal: 10V DC + 9V ruis (top-top) Versterking: 10.

-58. -

-I..---+--.,...--__.,..._......

....L,....l---.---.l.---l

LGHZ

1.B188 K

1_

'Iu

TRANS 1.18

3,3Hz

490

O,65k

14kHz ,

Freguentie gebieden:

o - 100 Hz 100 - 500 Hz 500 - 2100 Hz

Ut(jw)

a r g "ll,"'(jW) i JW

.

\

[if· 0,4 Hz

l::.f- 1,6 Hz 61 Hz

~

t::.f•

(\ PHASE

-1.""

~

I

o

Fig. 4.16

--45 . Gemeten bode-dia-

~

J

I

1\ I

I

LGHZ

,

1.B188 K

grammen van Ut(S)/Ui(S), waar-

bij de harmonicdrive niet ingelopen is.

66

TRANS

-5. 0000

- , - - - - - - - . . - I - I . + J ' I * - - - - - - - - - - - - " ' ".........~...............,.~

Ut(jW)

u.l. (jw)

-150.00

Fig. 4.17 Bodediagrammen van de overdrachtsfunctie Ut(S)/Ui(s) van de motor met tachometer en

500.00 m

ha~monic-drive.

LG HZ

1.0000 K

67

Deze tijd is weliswaar vrij kort, maar de slijtage tengevolqe van stapvormige- en ruissignalen is veelgroter dan de gladde snelheidsprofielen die door de besturing van de robot gegenereerd worden. De motor-tacho resonantie is door de harmonic-drive verlaagd naar 0,60 kHz. De torsiestijfheid

resulteert in een resonantie-

C2

frequentie van 1,22 kHz. Bij 400 Hz ligt een "antiresonantie". De bandbreedte(3,5 Hz) is aanzienlijk lager dan die van de motor met alleen een tachometer (9,5 Hz). De oorzaak ligt in het relatief grote massatraagheidsmoment van de harmonic-drive. TI AVG 1 4. BI!Jm'J

fA.

EXPAND

18

Fig. 4.18.a

REAL

/ 1/

/

V

~

I---

..

.

,

1/

1. BBl/IB 258. BB •

SEC

&8

1.9BBB

/

/ ,./

REAL

,,/

V

/ Fig. 4.18.b

l.-'"

V

V

./'

--I

I

('\...

1.4_

I-"

,/,

Fig. 4.18

If/ &8

SEC

1& _ .

Tacho-responsie op een stapvormig ingangssignaal (B-+14V)

68

M.b.v.

(4.34) volgt uit de ligging van de dip in fig. 4.17 voor C2: C2 =

(2TI.400fJ3 =

1225

Nm/rad

(4.37)

Deze waarde is beduidend lager dan de theoretische waarde van (4.36). De waarde van C2 voor een niet ingelopen drive is 1839 Nm/rad. Na veelvuldig gebruik wordt de stijfheid van de verbinding tussen motor en drive kennelijk kleiner: de parameter C2 is niet tijdinvariant. De stapresponsie wordt gegeven in fig. 4.18. Daar de bemonsteringstijd van de analyzer (1 ms) te groot is, is in fig. 4.l8.a de resonantie niet zichtbaar. In fig. 4.l8.b waar de bemonsteringstijd 40

~s

is, is de trilling wel te zien. De grondfrequentie komt over-

een met een frequentie van 0,60 kHz. Op dezelfde wijze als in par. 4.2.2 kan voor de drive een wrijvingsfunctie f3(W3) aangepomen worden. Uit fig. 4.11 volgt dan voor een opgewarmde motor:

(4.38)

Voor een koude motor is t.g.v. de grotere viscositeit van de olie in de drive de wrijving groter:

(4.39)

De parameter d6 is dus afhankelijk van de temperatuur. omdat in het praktisch gebruik de motor warmgedraaid zal zijn volgt voor d6:

(4.40)

Het frictiekoppel bedraagt 0,11 Nm.

69

4.3.2 Bepaling van dz.

De waarde van dz kan niet bepaald worden uit de bandbreedte van de dip in het amplitudediagram omdat deze teveel beinv16ed wordt door de nabijgelegen resonantiepiek van 0,60 kHz. De resonantiefrequenties liggen zo dicht bij elkaar, dat hun onderlinge beinvloeding groot is,'hierdoor kunnen geen verwaarlozingen gemaakt worden teneinde dz te benaderen. De bekende "trial and error"-methode lijkt de enige mogelijkheid om de waarde van dz te vinden. Met het programma "Frequencyresponse" zijn een aantal waarden van dz geprobeerd (tabel 4, fig. 4.19).

13610- 3

0

1710- 3

3410- 3

6010- 3

6810- 3

7010- 3

9010- 3

0,59

0,59

0,59

0,59

0,59

0,59

0,60

modulus (dB)

-19,3

.-24,6

-27,'3

-31,1

-31,8

-32,0

-33,6

-36,0

resonantie freq.

1,34

1,33

1,31

1,27

1,25

1,24

1,14

geen

-30,S

-35,3

-38,3

-41,3

-41,9

-42,1

-43,2

d2 resonantie freq.

.

0,61

(kHz)

modulus (dB)

Tabel 4

!

0,60

I I I,

-31,8

I,

...

(kHz)

! gemeten

n.v.t.

.

I

Berekende resonantiefrequenties en hun moduli voor verschillende waarden van dz.

dz beinvloedt sterk de beide moduli en in lichte mate ook de resonantie frequenties. Geen van de waarden van dz kan de meting volledig dekken. Omdat de laagste

resonantie~frequentie het

meeste invloed

heeft op het dynamisch gedrag en bovendien het meest nauwkeurig gemeten is (signaal-ruis verhouding

maximaal)~

1,22 -39,6

•

10 200 -10

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000 -10

-20

-20

-30

-30

-40

-40

-50

-50

~

-60

-60

2 ~

-70

____

ig 'l.r)

.:::J 1, d 2

-80 -90

2

•

NllIs/red

0

3:

17.10. 3 34,10.3

4:

68.10. 3

5:

.136.10.3

-70

Fig. 4.19

Amplitude-diagram van Ut(s)/u (s) i voor verschillende waarden van d 2 •

-80 -90

• 1

-100 '---L---JL.--'-...,....._-'----'_-'----'_...L---.l._-'-----.l._.L.----L_.l..---L_.L..-....J _ 100 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

FREOUENCY (HZ) kiezen we de waarde van d2 waarbij de modulus van de genoemde frequentie in overeenstemming is met de meetwaarden: (4.41)

Nms/rad

d2

Voor de niet-ingelopen drive volgt op dezelfde wijze d2 = 1~10-3. De verbindingsdemping tussen motor en drive is sterk afhankelijk van slijtage-effecten en waarschijnlijk ook van de wijze van monteren van de drive.

4.3.3 Modelverificatie.

Met tabel 5 en fig. 4.20 kunnen metingen en model vergeleken worden.

Gelijkspanningsversterking (dB)

3.dB frequentie (Hz)

resonantiefrequentie (kHz)

modulus (dB71

resonantie modulus frequentie (kHz) (dB)

meting

-7,6

3,5

0,60

-31,8

1,22

-39,6

model

-7,55

3,33

0,592

-31,8

1,248

-41,9

Tabel 5

Vergelijking van berekende en gemeten waarden.

71

Evenals bij de motor met tachometer treedt een verschil op in de 3dB-frequentie. De modulus van de tweede resonantie-frequentie wijkt 2,3 dB af. Deze kleine afwijking kan veroorzaakt worden door de kleine signaal-ruisverhouding waarmee in dit frequentiegebied is gemeten. In fig. 4.20 worden model en metingen grafisch vergeleken in de vorm van bodediagrammen. Weer geldt dat de grootste afwijkingen optreden waar de signaal-ruis verhouding het laagst is.

Ondanks het feit dat een aantal parameters (d6, dz en R) zich moeilijk laten berekenen kan de frequentie-responsie goed beschreven worden met het massa-veer systeem van fig. 4.15. TRANS Iill

responsie

•

-71il -

TRANS 2S8. B8

Berekende

-I--:--'--"4.......'+-:-..................,...L.I.If-.................t-'-"""t----'.......'""'+.........t - -........."'t""...... 1. . . .

LG HZ

s.._K

Berekende re8Ponaie~i

PHASE

Fig. 4.20 Gelleten re spone ie

~

Berekende en gemeten frequentieresponsie van Ut (s) lUi (s) •

l&GII

III

LG HZ

72

Fig. 4.21 geeft het nyquistdiagram. De grote halve cirkel wordt veroorzaakt door de mechanische tijdconstante, de cirkel rechts van de oorsprong door de laagste resonantiefrequentie en de kleinste cirkel door de hoogste resonantiefrequentie. .02 .06 ·1 .14 .18 .22 .26' .3 .34 .38 .42 -.02 .02 .---.--.,--,---,----,-,-----,--,--,.---.-.----.--,---,---,-----,-,----,,.---.-,.-...,..---, . 02

:;;:

ct 1248 0 Q...

Hz

~:¥e..-;:'r------------------------------......,O "'--- 592 Hz

-.02

o

Hz

/

-.02

-.04

-.04

-.06

-.06

-.08

-.06

- .1

- .12

- .12

-.14

- .14

- .16

-.16 3,33 Hz

- .18

- .18

-.2

-.2

- . 22 L.-.:---.l....-L---L.----..JL...-....L...---l"-----'----l_-'-----I._-'--------I._-'----.....,L_..l.----L_-'--.....L_-'----I..._"--....J -.22

-.ot

.02

·06

.1

.14

18

·22

:26

·3 ~

Fig. 4.21

.34

.38

.42

RERL PRRT

Nyquistdiagram van Ut(s)/Ui(s) voor het model van motor met tachometer en harmonic-drive.

4.4 Complete opstelling met maximale belasting.

In par. 2.1 is aangetoond dat het totale massatraagheidsmoment van de ASEA-robot om z'n verticale as varieert tussen 9 en 16 kgm2. De massatraagheid van de onbelaste set, teruggerekend naar de uitgaande as van de drive is: (4.42)

om het dynamisch gedrag van de robot zo goed mogelijk na te bootsen dient de belasting van de drive te kunnen varieren tussen 2 en 9 kgm2. In deze paragraaf worden de metingen besproken waarbij J4= 9,3 kgm2. In par. 4,5 zijn metingen gedaan waarbij J4 = 1,6 kgm2. Ret massatraagheidsmoment J4 = 9,3 is gerealiseerd door ijzeren stavan met gewichten d.m.v. kikkerplaten te bevestigen aan de drive (fig. 4.22).

73

d

.1. 2

11,-

19,5 kg kg 19," 2 111 - 9,55 kg 3 111,,- 9,"6 kg 111

------

--_.---~

111

1

11IRS6-

3

2 111

kg

"

0,25 kg

r 1 - 0,15

1 111

------

4

Bovenaanzicht

II

3 r,,- 0,055

III

r - 1,00

III

d 1 - 0,060 d 2 - 0.13

III

1 2 - 0,25

I

~

-6

m

r 2- 0."35

III

-

m

6

Zijl!ll!lnzicht

Fig. 4.22

Belasting van 9,3 kgm 2 gerealiseerd door ijzeren staven en gewichten.

Met behulp van elementaire formules ter berekening van

mas~atraag

heidsmomenten en de stelling van Steiner volgt voor J4: ~

1 2 + d2)) 2 (ml + m2 + 6m6) (r22 + 12(12 + 2 1 2 2 1. 2 2 (m3 + m4) (r4 + l2(2r 3) + dl)) + ~5rl = 9,3 kgm

(4.43)

Deze laatste waarde is iets groter dan het maximale massatraagheidsmoment van de robot zelf.

4.4.1 Metingen.

De opgemeten frequentiediagrammen zijn weergegeven in fig. 4.23. Zoals te verwachten was uit (2.34) zijn er drie resonantie-frequenties en twee anti-resonantie-frequenties. Voor frequenties groter dan 100 Hz zijn de bodediagramman nauwelijks verschillend met de onbelaste drive. De resonantie van 15,9 Hz wordt blijkbaar veroorzaakt door de torsie tussen drive en last. Uit de ligging van de dip (9,9 Hz) kan zoals

aan~etoond

wordt in par. 4.4.2 de waarde van C3 bepaald worden.

Door J4 asymmetrisch aan te brengen verandert het dynamisch gedrag niet. Ook de grootte van de voorspanning is nauwelijks van invloed.

74

TRANS ----:!l~-----iil."""""---Io.o+'_"''-------------l. ..................--+-......,k

-5. 0000 --,-

I I Ut (jw)

u.1. (jw)

LGMAG DB

Overdracht bij 0 Hz: -8,0 dB Bandbreedte: 1,5 Hz Res.freq: 15,9 Hz bij -13,2 dB Res.freq: 0,60kHZ bij -31,5 dB Res.freq: 1,21kHz bij -38,8 dB Ingangssignaal: 15V DC + 4Vrms ruis Versterking: 1,5 -60. 000 --'---,----,--'----oor---+-....1---..---...,...--------,-"""--...,...-"------'

LG HZ

500.00 m 150.00

arg Ut (jWl

1.0000 K

Frequentie gebieden:

o - 3,125 3,125-19,125 19,25-419,25 400 - 2000

Hz Hz Hz Hz

Llf=12,2 mHz Llf=62,5 mHz M=1,56 Hz Llf=6,25 Hz

u.1. (jw)

o

PHASE

-150. 00

Fig. 4.23 Bodediagrammen van de overdrachtsfunctie Ut(s)/Ui(S) van opstelling met grote belasting.

500.00 m

LG HZ

1.0000 K

75

Het verband tussen l

en U (fig. 4.11) verandert niet door het aanm t brengen van een last. De wrijving die de last ondervindt is dus te verwaarlozen:

(4.44 )

Nms/rad

Ook het frictiekoppel blijft onveranderd (vgl. 4.39): T

f

= 0,11 Nm

(4.45)

Een tweetal stapresponsies zijn weergegeven in fig. 4.24 en 4.25. Evenals bij de ¢-as van de ASEA-robot wordt de eindwaarde bereikt volgens een sterk opslingerende curve. De uittrilfrequentie is ca. 16 Hz en komt overeen met de laagste resonantiepiek in fig. 4.23. Vanwege de lage bemonsteringstijd van de analyzer is de hoogfrequente trilling nauwelijks zichtbaar in beide fiquren. TI AVG 1 4.11I0211I

R'.

'A.

91

./

V

./

MAG

--

/

/ /

1

EXPAND

10"""

.

.

1\1 I A

-Fig. 4.24

Responsie yan tacho op een stap in U (O-+l2,SV) bij een

-511l11l.02

m

II

4.1IlIIlIIl8

Ill. III

SEC

511l11l.liJil

II

maximale last.

"

1\

V\

REAL

1\

\

Fig. 4.25 ~

1\

Responsie van tacho op een stap in U (l2,S-+OV) bij een

"'- ~

m

maximale last. -5e11l.02 II

Ill. III

SEC

5e11l.02

II

76

Er is een duidelijk verschil tussen de responsie op een positieve of een negatieve stap. In fig. 4.25 wordt de eindwaarde(oV) al na 0,2 s bereikt, terwijl de eindwaarde in fig. 4.24 pas na ca. 0,4 s bereikt wordt. Dit verschil wordt door coulombwrijving veroorzaakt. In fig. 4.24 speelt T

f

alleen een rol voor t=O, omdat daar het

tachosignaal nul is. In fig. 4.25 gaat T

pas een rol spelen als U voor de eerste maal t f nul wordt. De coulombwrijving is zo groot dat er nauwelijks overshoot plaats vindt. Voor het positioneren van het niet-geregelde systeem geeft de coulombwrijving een gewenste demping: de neiging tot overshoot wordt sterk belemmerd. Het genoemde verschijnsel komt sterk overeen met de responsie op het plotseling onderbreken van de motorstroom (Werter, lit. 10, blz. 38-39).

4.4.2 Vereenvoudigd model.

Omd~t

de laagste resonantiefrequentie (15,9 Hz) en de een na laagste

resonantiefrequentie (600 Hz) zover uit elkaar liggen is hun onderlinge beinvloeding erg klein. I

I

am de waarden C3 en d3 te bepalen kan het model gereduceerd worden. tot het massa-veer systeem van fig. 4.26. Cl=C2~,

L=O

Hie~bij

stellen we

en ~ =~1=~2=~3' d

H

J

I

Fig. 4.26

J

~

Gereduceerd model van mechanisch systeem.

~I~ l

d3

I

H

Jt~~k 4 I

is het massatraagheidsmoment van motor, tacho en harmonic-drive

samen: 6

269.10- kgm

(4.46)

77

Zoals aangetoond in par. 4.41 is d7 nul. Voor d geldt: 6

d = d~ + ds + d6 = 788.10

J~

(4.47)

Nms/rad

is het gereduceerde massatraagheidsmoment van de last: 2

J~=J~/i

=9,3/(158)

2

=372.10

-

6

kgm

2

(4.48 )

C3 en d3 zijn de te bepalen parameters.

Als we voorlopig de coulombwrijving en de speling verwaarlozen, volgt voor de systeem-vergelijkingen van het model van fig. 4.26: I

J~

= K.rIm - c 3 (
, J~~~ RI

- c3

U t

, (
d3

Wo

(4.51) (4.52)

KET
Ut(s)

K(l +

U (s) m

(1

+

en I

m

volgt:

~ Wo

(4.53)

T s) (1

m

K.r~T/ (KEKT + Rd) =

(4.50)

(
Na laplacetransformatie en eliminatie van

K

(4.49 )

d
I
U m

m

,

d3 (~-~~)

W

(gelijkspanningsversterking)

(4.54)

(anti-resonantie)

(4.55)

(relatieve demping)

(4.56)

(mechanische tijdconstante)

(4.57)

(resonantie-frequentie)

(4.58)

(relatieve demping)

(4.59)

d3

1:;0

, ~

T

R(J + J~)/(KEKT + Rd)

2

V-_l" J~C3

, m

r

V

I';;r

d; 2

W

,

c; (J, +

J~)

J~J

V

J~'

J + ' ,

JJ~c3

78

Eveneens kan afgeleid worden dat voor de overdrachtsfunctie w~(s)/U

m

(s) geldt:

K(l + .

w~ (s)

u

m

~T(l

(s)

~ c~

s)

+ LmS) (1 +

(4.60 )

2~~

s

r

Beide overdrachtsfuncties zijn van de derde orde,en beschrijven tot ca. 200 Hz het dynamisch gedrag van de opstelling. Daar

bekend is volgt uit (4.55) en de ligging van de dip in

J~

- fig. 4.23 (9,9 Hz):

C3

2

I

= WoJ~ =

(2'IT.9,9)

2

~:6

372.10

=

(4.61)

1,44 Nm/rad

De niet gereduceerde waarde van C3 is: C3

..

=

I

C3i 2

=

1,44'(158)

2

36.10 3 Nm/rad

(4.62 )

In de catalogus van de harmonic-drive (lit. 18) wordt voor de gemiddelde veerkonstante van de flexspline een waarde van 82~03 Nm/rad opgegeven. De stijfheid van de drive wordt blijkbaar niet alleen door de flexspline maar ook door de relatief dunne uitgaande as bepaald. I

De waarde van'd3 is niet zonder meer uit fig. 4.23 te bepalen, daar resonantiepiek en dip elkaar teveel beinvloeden. Als de overdrachtsfunctie van (4.60) opgemeten zou worden zou dit probleem zich niet voordoen. Door de motor aan te stoten met ruis en een hoekversnellingsopnemer op de last te klemmen zijn m.b.v. de dynamic analyzer een aantal metingen verricht. De opgemeten overdrachtsfunctie is niet die van (4.60) maar omdat de versnelling de afgeleide naar de tijd van de snelheid is, wordt op deze manier

Sw~(s)/U

(s) bepaald. m Deze overdrachtsfunctie bevat eveneens de gewenste informatie over

de laagste resonantie en zijn demping.

79

Het gemeten signaal verdrinkt voor lage

frequen~ie

«2 Hz) en hoge

frequentie (>50 Hz) in de ruis zodat alleen de genoemde resonantie waar te nemen is. De resultaten zijn: w f

r

r

=

21T

14 Hz

en

5%

(4.63)

,

Met (4.59 ) volgt dan voor d3: 21':;

r

VC;J~J J + JIt'

1,6.10

-3

Nms/rad

(4.64 )

, De ongereduceerde waarde van d3 bedraagt:

,

.2

41

d 31.

Nms/rad

(4.65)

4.4.3 Model-verificatie.

Met tabel 6 en fig. ~.27 kunnen de berekende en gemeten resultaten vergeleken ·worden.

meting

I

Res.freq.

ModululO

Res.freq.

(Hz)

(Hz)

(dB)

(kHz)

(dB)

(kHz)

(dB)

-8,0

1,5

15,9

-13,2

0,60

-31,5

1,21

-38,8

-7,55

1,38

15,5

-12,9

0,592

-31,9 .

1,248

-41,9

Modulus

Res.freq.

Modulus

Bandbreedte


I

model

Tabel 6

Vergelijking van gemeten en berekende waarden.

80

9.0

LGMAG DB 8arakanda rasponaiaI'

-79. 080

-+---J.--J...J..j-l.....ut-..L....J....l..t..J....l..lJ'i-------'-..J......l.+'-'-'4-----'---'-""+""-'"t-.L......l.-"-t""""'""

_,7

LG HZ

8arakanda rasponsia

t

Fig. 4.27 Berekende en gemeten bodediagrammen van Ut(S)/Ui(S) voor de

PHASE -

complete opstelling met volle last.

Gamatan rasponsia ~

Hl9. 00 ..

LG HZ

50 0800 K

De modulus en frequentie van de gemeten laagste resonantie verschillen zeer weinig van de berekende waarden. Bet gereduceerde model van fig. 4.26 beschrijft het laagfrequente gedrag kennelijk nauwkeurig. In fig. 4.27 is een afwijking te zien in de modulus van de eerste dip; waarschijnlijk is deze te wijten aan de slechte signaal-ruis verhouding in dit frequentiegebiedje. De afwijkingen in het hoogfrequente gedeelte zijn besproken in par.

4.3.3.

81

Het nyquistdiagram wordt gegeven in fig. 4.28. T.a.v. fig. 4.21 heeft de figuur er een lus bijgekregen. Deze wordt uiteraard veroorzaakt door de laagste resonantie. Vanwege de gebruikte plotprocedure heeft het diagram ongelijke schaalwaarden, waardoor ellipsvormige curves i.p.v. de vertrouwde cirkels ontstaan. Met PSI is de stapresponsie van de last gesimuleerd (fig. 4.29). In het versnellingssignaal is de resonantie het meest duidelijk. In de

. =

responsie van a~

Omdat

4l~

~~

is de trilling niet meer terug te vinden .

is fig. 4.29. cook te be schouwen als de impuls-

responsie van het model.

- . 02

.02

.06

.I

. 14

. 18

.22

.26

.3

·34

.38

42

• 1 r---r-,--,--.,--.....,.-..,.....---.--1---..----;..:-,....-.....;:.;=--.,.-~=----.---.;=--...,....-.:...:;;....:....-.--.:..:;:.:....-~.

.075 ~

.1

.075

.05

~ <: ......

C:>

%1248

.......

Hz

1

-.05 -.075 - .1

- .125

- .175

- .175

-.2

/

-.2

- .225 <:-:-......._"'--:---'-_..L----l._-'------'_....L---''----....L_l...-....L_.l..---L_..L----i._-'-----l_....L-----l_....l...-.--J -.225 -.02 .02 .06 .1 ·14 .18 ·22 .26 .3 ·34 .38 .42 ~RERL

Fig. 4.28

PRRT

Nyquistdiagram van U (s)/U.(s) van het model van t

~

complete opstelling met volle last.

82 ---AU'HM ~

E;ig. 4.29.a

Responsie van

II II

2llI

&Ill

111II

- - - DMEGo\4 ~

Fig. 4.29.b

Responsie van

II II

2llI

&Ill

1.

- - - PHI4 ERAIXI

Fig. 4.29.c

Responsie van

Fig. 4.29 III

Gesimuleerde responsies van complete opstelling met volle last op een stap in U (0 m -

TIJD IN .. _

SliC.

-l-

lOV).

83

4.5 Complete opstelling met kleinste belasting.

Door een cirkelvormige schijf met straal r en massa m (zie fig. 2.3) als last te gebruiken is het volgende massatraagheidsmoment gerealiseerd: (4.66)

Voor de reele speling aan de uitgaande as van de drive wordt in lit. 18 een waarde van 3 boogminuten opgegeven. Voor de halve speling aan de ingaande as geldt dus:

t.158~3/60~~~0

s' =

(4.67)

rad

0,07

4.5.1 Metingen.

Voor het opmeten van de frequentiediagrammen is het van belang dat de schijf spelingsvrij aan de drive gemonteerd is. Daarom is de schijf m.b.v. kikkerplaten bevestigd aan de drive. Het

fS

gebleken dat een

simpele verbinding d.m.v. bouten en moeren lagere resonantie-frequenties geeft: blijkbaar is deze verbinding

niet voldoende star.

De bodediagrammen zijn in fig. 4.30 weergegeven. De laagste resonantiefrequentie bedraagt 26

Hz en de bandbreedte 2,9 Hz. T.o.v. fig. 4.23

veranderen de resonantiepiek en dip en de bandbreedte. Het hoogfrequente

deel blijft onaangetast.

De stapresponsies zijn in fig. 4.31 en 4.32 weergegeven. Het resohantie-effect komt veel zwakker tot uiting dan bij volle last. Ook hier treedt het verschijnsel op dat de eindwaarde als gevolg van een negatieve stap sneller wordt bereikt dan bij een positieve stap. De relatieve demping van de laagste resonantie is eveneens voor de opstelling met kleine last d.m.v. een hoekversnellingsopnemer gemeten (fig. 4.33). De resultaten zijn: f

r =

w 2t =

22,6 Hz

en

De demping is kleiner dan bij volle last.

~r

4%

(4.68)

84

TRANS

-5. 0000 .....,..

(jw) U.(jw)

Ut ,

2_2_,,..2.... 2_6_,

2 _'9r--

60_k_,1_,_2..,2k 0_'r

I

J '~

LGMAG DB Overdraeht bij 0 Hz: -7,6 dB Bandbreedte: 2,9 Hz Res. freq.: 26 Hz bij -19,4 dB Res. freq.: 0,60kHZ bij -32,6 dB Res. freq.: 1,22kHz bij -40,3 dB Ingangssignaal: 15V de + 4Vrms ruis Versterking: 1,5

LG HZ

1.0000 K

150.00 Frequentie gebieden

Ut (jW) arg U. (jw)

o - 6,25 6,25 - 38,25 37,25 -437,25 400 - 2000

Hz Hz Hz Hz

6.f= 6.f= 6.f= 6.f=

24,4 DiHz 0;125 Hz 1,56 Hz 6,25 Hz

~

PHASE + - - - - - - - - - - - - - - - - i \ - - - - - - - - - - - - r - ; - - - r - - t

-150.00

0

Fig. 4.30 Bodediagrammen van de overdrachtsfunctie Ut(s)/Ui(s) van de opstelling met kleine belasting.

500.00 m

LG HZ

1.0000 K

85

TI AVG 1 4.0080

Rill.

'A.

94

REAL

/

/

/

~

1

EXPAND

--Fig. 4.31 Responsie van tacho op een stap in U m

I

(0 ~l2,5V) bij de kleinste last.

I ..

-588. 08 4.0il0il

SEC

0.0

\

\

REAL

250. 09 ..

.. I

\

,

\ \

Fig. 4.32

~

Responsie van tacho op een stap in U m

'"I-----

(l2,5~6v) bij de

kleinste last.

..

-500. 08 0.0

SEC

250. 09 ..

Uit (4.68) en (4.59) kan d3 bepaald worden:

18

Bij volle last geldt: d3

Nms/rad

(4.69 )

41. Een andere last gaat blijkbaar gepaard

met een andere waarde voor d3. De relatieve demping wijkt minder af dat de absolute demping en vormt dus een betere beschrijving van het dempingsgedrag (bij volle last:

sr = 5%).

86

XI 22. 68"

TRANS -6. """" ....,....

.\

~. (jw)

U (Jw)

Y. -7. 5288

Y. -7. 4"""

'A. 3""

EXPAND

...,.._-------------,

I

i

LGMAG DB

Relatieve demping: 4% Resonantie frequentie: 22 , 6Hz

-18. """

-L

...,.._----~----...,.._------..:!lltoI

LG HZ

Fig. 4.33

25. """

Frequentie-responsie van complete opstelling met kleinste last in het frequentie-gebied van de laagste resonantie. (Uitgangssignaal is hoekversnelling van last, gemeten met versnellingsopnemer).'

Door de motoras te blokkeren en een moment op de schijf aan te brengen kan het statische verband tussen koppel en hoekverdraaiing van de schijf opgemeten worden. De aldus opgemeten hysteresislus is in fig. 4.34 weergegeven. De gemiddelde torsiestijfheid bedraag~ ca. 20.10 3 Nm en is aanzienlijk lager dan de gevonden waarde van c 3 (36. 10.3 ), berekend uit de bodediagrammen. De doorbuiging van de as tengevolge van het aangebrachte moment is ca. 1% van de vervorming van de last en is dus verwaarloosbaar. Een verklaring voor de afwijkende waarde van de torsiestijfheid is nog niet gevonden. Wel is uit fig. 4.34 duidelijk dat de totale,torsiestijfheid geen lineaire parameter is. Dit laatste wordt waarschijnlijk veroorzaakt doordat voor grotere belastingen er meer tanden van circular en flexspline in elkaar zullen grijpen waardoor de stijfheid groter wordt. De onbepaaldheid van plaats t.g.v hysteresis bedraagt ca. 10 mrad. en wordt behalve door speling ook veroorzaakt door de coulombwrijving (virtuele speling, zie lit. 19, hoofdstuk 12).

137 200

150 _

l

Belasting (Nm)

'/

100

T

I -I

-so

.. 100

~ISO

Fig. 4.34

Statisch verband tussen aangebracht koppel en de vervormin~ van de schijf. De motor as is hierbij vastgeklemd.

88

4.5.2 Modelverificatie. Fig. 4.45 en tabel 7 geven het verband tussen model en metingen voor de complete opstelling met kleinste last.


3dB-freq. (Hz)

res.freq. (Hz)

modulus (dB

res.freq. (kHz)

modulus (dB

res.freq. (kHz)

modulus (dB)

--

meting

-7,6

2,9

26

-19,4

0,60

-32,6

1,22

-40,3

model

-7,55

2,68

27,1

-19,5

0,591

-31,9

1,248

-41,9

!~~~!_2

Vergelijking van gemeten en berekende waarden.

B.B responsie

LGMAG _ 08

28B. BI

188. BI!I

LG HZ

III

8arakande responsi8

PHASE

s..., K

'-

Fig. 4.35

Berekende en gemeten bodediagrammen van Ut(S)/Ui(S) voor de complete opstelling met kleinste last.

lBB. BB '"

LG HZ

S. BI!IBB K

89

De afwijkingen tussen model en metingen zijn van dezelfde aard als die bij volle last en zijn in par. 4.3.3 besproken. In fig. 4.35 valt op dat de berekende laagste resonantie-frequentie hoger is dan de gemeten waarde. Blijkbaar is dez.e waarde van C3 voor kleine last toch lager dan 36.10 3 Nm/rad. Hierin komt het niet-lineaire karakter van c3 tot uiting. De afwijkingen zijn overigens relatief klein. Het nyquist-diagram van het model is in fig. 4.36 gegeven. .\ .l4 .\8 .22 .26 .3 .34 .38 .42 06 02 02 .02- • r-U ~--r-~'~...--",,:·~--,----,,:,:-...,....~:'::-...--"":";':::-'.,.--~=----r-T---,.-"':""--,--,-...,....---,r-"'--I . 0 2 h¥±~:""--""=::::"..---------------------::1° -.02 ~HZ /

-.08

-.08

- .\

- .\

- .12

- .12

- .14

- .14

- .16

2,68

- .16 Hz •

- .18

1

- .\8

-.2

-.2

L...L---L---l._.l...--'-----I.....-----..J-...L--'---L~'--_::_.....L------:;::-L....-~--'-~:_l....-~-'-~ - .22

- .2~ .02

.02

.06

.l

.14

.18

.22

.26

.3

.34

~RERL

Fig. 4.36

.38

.42

PRRT

Nyquistdiagram van U (s)/U.(s) voor complete opstelling t

~

met kleinste last.

4.6 Conclusie. Het dynamisch gedrag laat zich goed beschrijven met het model besproken in hoofdstuk 2. Bij andere lasten verandert niet alleen

J~

maar ook d3. De demping van de laagste resonantiefrequentie laat zich beter door derelatieve dempingsverhouding dan door d3 beschrijven. De paremeters C2 en d2 zijn door slijtage en inloopverschijnselen aan veranderingen onderhevig en zijn dus niet tijdinvariant. De waarden en de methode van bepaling van de modelparameters zijn in tabel 8 samengevat.

90

parameter

R

omschrijving

waarde

weerstand motor

1,6

zelfinductie motor

L

K ET

bepalingsmethode

n

meting (RLC-brug) meting (RLC-brug)

87 flH

motorkonstantes

0,088 NTrVA

tachokonstante

0,0286 Vs/rad

- --_.

-

-

catalogus motor

--- -

massatraagheid motor

34.10- 6 kgm2

catalogus motor

J2

massatraagheid tacho+resolver

41.10- 6 kgm2

catalogus tachometer en berekening

J3

massatraagheid drive

194.10- 6 kgm2

catalogus drive

f--

-

----

torsiestijfheid motor-tacho

789 Nm/rad

berekening uit res.piek

C2

t6rsiestijfheid motor-drive

1225 Nm/rad

berekening uit res.dip

C3

torsie-stijfheid drive-last

36.10 3 Nm/rad

berekening uit res. dip

-- - -

-"- - -

dl

verbindingsdemping motor-tacho

d2

verbindingsdemping motor-drive

- -

-

wrijving motor

ds

wrijving tacho

d6

wrijving drive

d1

wrijving last

- -

--- --

--

s i

-

-

lItrial and error"

-

--

-

-

-

-

-

Nms/rad

-

-

-- - -

reductie verhouding

0,11

"

Tabe"l 8.

"

OVel'ziaht Van mode "lpar>ametel's.

--- --

---

(halve) speling

J~

-

68.10 -3 Nms/rad

o

totale coulombwrijving

De parameter

-

-

catalogus motor

-~-----

-

~

berekening uit bandbreedte res. piek •

- - - -

d.

T f f-

~--

Cl

-- -

r--

---

Jl

,..---- , . - - - - - - r - - - - - -

-

catalogus tachometer

Nm

--

-4,410 -~ rad 158

I'

catalogus drive catalogus drive

(massatraagheid van last) kan varieren tussen

2 en 9 kgm2 , de waarde van d3

(verbindingsdemping tussen drive en

last) tussen 18 en 41 Nms/rad. J~

kan berekend worden. d3 is uit de bandbreedte van de laagste

resonantie-frequentie van de last bepaald.

91

5. Parametergevoeligheid. In mit hoofdstuk wordt de invloed van de diverse modelparameters onderzocht. De invloed van parameters die het lineaire gedrag beschrijven, wordt met het programma "FREQUENCYRESPONSE" bestudeerd. Door ze een voor een te varieren wordt hun invloed op het amplitude diagram zichtbaar. De invloed van de parameters die het niet-lineaire gedrag beschrijven, wordt d.m.v. simulatie met PSI onderzocht.

Fig. 5.1

Model van mechanisch systeem

5.1 Invloed van belasting. Zoals uit de metingen is gebleken wordt het dynamisch gedrag sterk bepaald door de belasting van de drive. Een verandering van de last gaat,gepaard met een verandering in demping sr

en d3. Door de relatieve

J~

4,5% te kiezen ontstaat de figuur 5.2. -,

0

10'

10

\0'

10' 0 -6

-6 -\0

2 1: J ' 0 k!l'" , d ; 0 4 1 2: .2 -21,2 .24,5 3: • 3 =28.9 4: • 5 =31,6 = 7 5: '33,5 6: • 9

-\6 ~

~

-20

~

-26

~

-30

~

-10

Veranderinp vlIn last

-\6 -20 -26 -30 -36

-36

3 2

-40

t.d~=4,5% r

-46 -60

~

JJ",jCJ

65 •

-40 -46 -60

ui t

Ill'

Il!

10'

FREQUENCY

1HZ;

Fig. 5.2 Amplitudediagram voor zes waarden van de belasting.

92

De gemeten waarde van

~

r

voor een kleine en een grote belasting is

resp. 4% en 5%. Uit de figuur blijkt dat door een verandering van de lastparameters

J~

en d3 de modulus en frequentie van zowel re-

sonantiepiek als dip beinvloed wordt. Voor frequenties kleiner dan 0,3 Hz en groter dan 70 Hz wordt de frequentiekarakteristiek niet aangetast. Overeenkomstig de verwachting wordt bij een grote last zowel de bandbreedte als qe resonantiefrequentie kleiner. Zie ook vgl. 4.53.

5.2 Invloed van zelfinduktie.

Daar de elektrische tijdconstante van de motor zeer klein is 10-

.

(54,4 }J.s) is de invloed van de zelfinduktie op het dynamisch gedrag pas zichtbaar in het frequentiegebied boven 1000 Hz. (vergelijk

1

0

-10

-'0

-20

-20

-30

-30

~

~ V)

:::>

::5

2~

-'0

-'0

-50

-60

-60

Invloed van zel f;nductie

-70

l:L'O"H 2: L • 87 "H

-70

-80

1: L • 7

-80

curve 1 en 2 van

-60

~H

.-90

-90

fig. 5.3).

-100

Ie! FREOUENCr (HZ)

-I

10

In de besturingskast van de ASEA-robot is

Fig. 5.3

in serie met de motor

Amplitudediagram voor drie verschillende waarden van L.

een smoorspoel met een zelfinduktie terwaarde van 7 mH opgenomen (zie Appendix C).

Als we deze smoorspoel als onderdeel van het systeem beschouwen is curve 3 van fig. 5.3 het amplitude-diagram van het

totale systeem.

De smoorspoel werkt als laagdoorlaat filter, het 3dB punt ligt bij 36 Hz. De invloed van de beide hoogfrequente resonantie-pieken wordt verminderd waardoor het trillingsgedrag.verbeterd wordt.

93

5.3 Demping.

_

Het systeem wordt mecha-

J 4" 9.3 kgm 1

2

• d 4 " al Nms/rod

-2

-5 -10 -15

-20

nisch gedempt door de

-25

seriedempers

d~

tim d7,

-30 -35

de paralleldempers dl tim d3 en het wrij-

l.f'lvloed van seriedempers

vingskoppel T , veroorf zaakt door coulomb-

1: d4'dS'd6=~f 0 rllls/rad_ 6 2: "4= 76 10 • dS' 12 10 • 4 d = 7 10 • d 7" 0 6

wrijving.

-'0 -'5 -50

-55 -60

-65

L..-........................w::-.- ' -..................."-;o.-----'-'- .........W1.;o'-'-~-'-'-" ..... 10.,3~..................... li70 10

Ff?EOUENCr (HZ)

Fig. 5.4

Amplitude-diagram voor een model zonder en met seriedempers.

De seriedempers beinvloeden alleen het laagfrequente gedrag (vergelijk curve 1 en 2 in fig. 5.4).

Ver~aarlozing

van deze dempers

vergroot de gelijkspanningsoverdracht met 1,3 dB. De modulus van de laagste resonantiepiek wordt met 0,5 dB vergroot. Als de seriedemping gereduceerd wordt tot een parameter d

= d~

+ ds + d6 + d7 aangebracht op de motor (Jl) ontstaat geen af-

wijking in de frequentiekarakteristiek. Hoewel de wrijving in de harmonic drive (d6) zeer gevoelig is voor temperatuursinvloeden, is de invloed van de temperatuur op de frequentieresponsie erg klein omdat de overdracht relatief ongevoelig is voor variaties in d6.

De verbindingsdemping tussen motor en tachometer is pas merkbaar voor frequenties hoger dan 500 Hz (zie fig. 5.5). dl beinvloedt de hoogte van beide resonantiepieken. De invloed op de resonantiefrequenties is zeer gering.

94

,

o

j

i ""

10 i

10 ",11'1

in"

i

I

In'

ill

---.--rTTr--~·~~'~jl""~~~lo

,:l

~

1 ' ,

if

-IS

If>

-20

ill

-25

is

-30

.][1

~

-35

~

-40

i?

-'5 -50

-55 -60

Variatie in d

-4()

=l :=3

1

-~

1: d 1 = 3 10- 3 Nms/rad 2: = 6 10- 3 3: = 12 10- 3 4:

5S

\

-60

3 • 24 1010

Amplitudediagram voor vijf verschillende waarden van d1.

-Sf)

J • 9,3 kgm2 • d • 41 Nm'/rad 4 4 5: = 48 0- 3 - 7 0 I ':co_,. ....--'-c..u..~o,..-''-'........u..W-;-,-'---'-'-'-'-'oW.;-,--'---'-'-U..cuL,----~~'__'_'_" 1

-65

Fig. 5.5

10

to

fRE~UENCY

10

- 70

4

10

IHZI

Evenals d1 beinvloedt d2 slechts

.~et

hoogfrequente gedrag (zie

fig. 5.6). In tegenstelling tot d1 beinvloedt d2 ook de modulus van de resonantiedip. Het systeem is gevoeliger voor variaties in d2 dan voor variaties in d1. Indien d2 > 10- 1 Nms/rad is geen sprake meer van een derde resonantiefrequentie. In par. 4.3.2 is geconstateerd dat door slijtage er inderdaad sprake kan zijn van grote variaties in d2.

- \0

-20 -30 ,0

Fig. 5.6

Amplitudediagram voor vijf verschillende waarden van d2.

Variatie in d Z 1: d = 17 lQ-3 Nms/rad Z Z: = 34 10- 3 = 68 10- 3 3:

4: 5:

-50

-60

= 1J6 10- 3 • 272 10- 3

-70

-eo

fRE~UENCY

IHZI

95

De verbindingsdemping tussen last en drive beinvloedt in sterke mate de modulus van -4

de laagste resonantiepiek en

-0

-12

dip (zie fig. 5.7). De in-

-16

vloed beperkt zich tot het

-24

-20

frequentiegebied:

Vadatie in d 1: d

5 Hz < f < 50 Hz.

2: 3: 4: 5:

Het systeem is dus zeer gevoelig voor de parameter d3,

1

=

-20

3

10,25 Nms/rad

-32

20,5

-36

II

-40

A2

-44

164

-40 -52

welke door de constructeur

-56

zeer moeilijk te beinvloeden is. Fig. 5.7 Amplituqediagram voor vijf verschillende waarden van d3.

De gevoeligheid voor de coulombwrijving (T ) is m.b.v. PSI bepaald f (zie fig. 5.8). Op t = 0 wordt de motorspanning stapvormig van 12,5 V naar 0 V gebracht. In fig. 5.8 is de responsie voor vier waarden van de coulombwrijving uitgezet. Zonder coulombwrijving (T

= 0) wordt de eindwaarde (0 V) pas na ca. 1 s bereikt. Met f coulombwrijving staat de motor duidelijk eerder stile

1!l-SE~-82

- - Tf'- 11.22 N_. ______ Tf'- ill. lZl!lS N",. - * - Tf'. II 11 N ....

.....

.TA~ IN U.. (la.!I _Tf'_GlN_.

C~

- .. mv

... Fig. 5.8 Tachospanning als funktie van de tijd ten gevolge van een stapvormig ingangssignaal voor vier verschillende waarden van T {simulatie met PSI). f

L.

---- TIJC IN . . . .5

SEC.

96

Dat de responsie sneller wordt naarmate T toeneemt kan verklaard f worden doordat de parameter T in een terugkoppeling zit (fig. 3.1). f De curve waarbij T = 0,11 Nm komt zeer sterk overeen met de gef meten responsie van fig. 4.25.

Fig. 5.8 suggereert dat een niet-lineaire stuurfunctie die op dezelfde wijze ingrijpt als de coulombwrijvingsfunctie (T = T

f

sign

het dynamisch gedrag van het servosysteem nog

(WI»

verder kan verbeteren. 5.4 Torsiestijfheid.

-,

0

..

10

Id

10'

,,/

10'

10' 0

-10

-10

-20

-20

~

-3D

-3D

~

-'0

~

:5 :§l :t:

-'0

Va,.1at1e in c

-so

-70 -60

10- 1

10'

,d

10'

Amplituaediagram voor vijf verschil 1ende' waarden van CI •

-so

1: c 1 = 172,25 Nm/r.d 2: • 34 5,5 IIrI/r4d 3: • 789 4= 1578 5: • 3156 J 4= 9,3 kgm2 • d ' 41 ImIs/r.d 4

-60

-90

1

Fig. 5.9

-60 -70 -60

,

10

-90 10'

FREQUENCY (HZ!

De torsiestijfheid tussen motor en tachometer beinvloedt de ligging en hoogte van beide hoogfrequente resonanties (fig. 5.9). De frequentie van de "antiresonantie"wordt nauwelijks beinvloed. Het laagfrequente gedrag blijft onaangetast.

97

-,

-: [ -\5 -20 -25

~

Ii"i

-30 -35

'":::>

-'0 -.5

~

Variatie in C 2

-50

I:

-55

2:

• !ill.

-60

3:

• 2450

~ ~

,

,

10'

, 10

10 "'1

~~5

j

\1

-\0

~

Id' .r

0

\0 "I

\0

c'- •

-\0 -\5

rto I

~

-20

-30 -35

-'0

L.5

612,5 fft/rad.

-55

-60

Fig. 5.10

Amplitudediagram voor drie verschillende waarden van cz·

-65

-65

-70

J •• 9,3 kgm 2 , d4 • 41 Nms/rad

-70

-75

-75 -BO

10-

1

Ill'

,

10

-BO

Irl

lIf

10'

FREOUENU / /-IZ!

De torsiestijfheid tussen motor en drive beinvloedt evenals

beide

Cl

hoogfrequente resonantiepieken (fig. 5.10). De ligging van de resonantiedip wordt nu wel veranderd. Het laagfrequente deel blijft onaangetast. In par. 4.~.2 is aangetoond dat Cz inderdaad sterk kan veranderen door slijtage-effecten.

-. -B

-\2

-16 -20

-2'

Varlatie in (,

Fig. 5.11

Amplitudediagram voor vijf verschillende waarden van c 3 •

I: 2: J: 4: 5:

C

J

=

9 In

-2B

J

I~ 10J J6 10

1

72J[i"! = J.14

10

3

rim/rod

-32 -36

-'0 -44

-'B

De torsiestijfheid tussen drive en last beinvloedt in grote mate de ligging van de laagste resonantiefrequentie en bepaalt dus voor een belangrijk deel het dynamisch gedrag van het systeem. Opmerkelijk in fig. 5.11 is dat alleen de resonantiefrequentie en niet de modulus verandert onder invloed van

C3.

98

5.5 Speling. De invloed van de speling op de hoekvernsnelling van de last

=

is in fig. 5.12 weergegeven. Op het tijdstip t

.

(w~)

0 wordt de motor-

spanning stapvormig van 10 V naar -10 V omgekeerd. Tussen het tijd-

=

stip t

-0,2 en t

=

0 is een stapvormige spanning van 10 V aange-

bracht. Dit tijdsinterval is te kort om de motor tot een konstant toerental te brengen: in de curve zonder speling is de hoekversnelling niet"geheel nul op t

= O.

De speling wordt op de tijdsintervallen 0 - 10 ms, 66 - 82 ms en 134 - 142 ms doorlopen. In het spelingsgebied is de versnelling nul, omdat er dan geen externe momenten op (d7

uitgeoefend worden

= 0). u... ('tI,)

17-SEP-8:Z

=::;;::::= S· m 9·

=

J~

-

fI.;l7 tI

-

1121 -

2m.... ('tI,)

BACKLS

.-ad

.-ad

33

41

67

71

Hoek-

versnelling last (rad/s 2 )

Fig. 5.12

r

Hoekversnelling van last ten gevolge van een stapvormig ingangssignaal voor een model met en zonder speling (simulatie met PSI).

--3_ 28

'1

el

III

81 ---~

TIJO IN

1ZI.~m2

SEC.

vanwege het hysteresiskarakter van de speling ontstaat een kleine faseverschuiving; de curve met speling ijlt enkele graden na op de curve zonder speling. De amplitude bij aanwezigheid van speling is groter dan zonder speling. Dit wordt mogelijk veroorzaakt doordat bij de botsing na het doorlopen van het spelingsgebied het systeem voor een tweede maal aangestoten wordt. Zie ook Koumans (lit. 20, afb. 9-28 en 9-29). Het effect van speling op het tachosignaal en de snelheid van de last is nauwelijks waarneembaar.

99

5.6 Conclusie.

De parameters L, Cl, C2, dl en d2 hebben alleen invloed voor hoge frequenties ( > 300 Hz). De seriedempers

d~

tim d7 hebben alleen

invloed op het laagfrequente deel ( < 20 Hz) en kunnen tot een demper gereduceerd worden. Hierdoor kan het systeem voor de meeste toepassingen vereenvoudigd worden tot het vierde orde model uit par: 4.4.2.

De invloed van de coulombwrijving is relatief groot en heeft een gunstig effect op het dynamisch gedrag van het open-loop servosysteem: het systeem bereikt sneller de rust-toe stand.

Afhankelijk van de belasting,van de harmonic-drive varieert de bandbreedte tussen 2,9 Hz en 1,5 Hz; de resonantiefrequentie tussen 26,5 Hz en 16 Hz.

De resonantiefrequenties worden alleen door de mechanische parameters en niet door de motorparameters bepaald. De demper d3 bepaalt de modulus en de parameter C3 de frequentie van de laagste resonantie. Het massatraagheidsmoment van de last beide.

(J~)

beinvloedt

1DO

6. Vergelijking van ASEA-robot en opstelling.

De aandrijving van de ¢-as van de ASEA-robot bestaat uit dezelfde komponenten als die in de opstelling met een graad van vrijheid. Voor de rotatie om de verticale as van de robot verwachten we dan ook eenzelfde dynamisch gedrag, indien de robotarm volkomen star zou zijn.

De stapresponsie van de ¢-as, bij ingetrokken arm is gegeven in fig. 2.1 en kan vergeleken worden met fig. 4.31, de stapresponsie van de opstelling bij een kleine last. De stijgtijd en uitslingerfrequentie komen goed overeen. De amplitude van de uitslingering is bij de robot echter groter. om dit verschil nader te analyseren is ook een frequentieresponsie van de ¢-as opgemeten (fig. 6.1). Omdat het werkgebied van de ¢-beweging beperkt is tot 340 0 is het niet mogelijK om het ruissignaal toe te voeren bij een konstant toerental. Het grote aantal benodigde middelingen (minimaal 100) vergt een meettijd van enkele minuten, zodat de robot dan tijdens de metingen tegen de grens van zijn werkgebied zou lopeno Het ingangssignaal in fig. 6.1 be staat alleen uit een ruissignaal, hierdoor is de responsie voor lage frequenties niet betrouwbaar omdat een gedeelte van het ingangssignaal binnen de dode zone valt. Als we fig. 6.1 vergelijken met fig. 4.30 kunnen we het volgende op- _ merken:

- Beide amplitudediagrammen hebben een laagfrequente resonantiepiek. Bij de schijf als belasting bedraagt deze 26,5 Hz, bij de robot 24 Hz. Aan zowel het fase- als amplitudediagram is te zien dat het resonantie-effect niet uit een maar uit twee eigen frequenties bestaat. De tweede resonantiefrequentie is 20 Hz en de modulus is 4 dB lager dan de piek bij 24 Hz.

- In amplitude- en fasediagram van fig. 6.1 is ook een zeer zwakke resonantie bij 60 Hz te zien. In fig. 4.30 is deze eigenfrequentie niet aanwezig.

1,01

TRANS

-15. 880 -.,..

/

Ut(jW) U.(jw)

2_0r--2.,...4

6"T"0

66,..9~_1r_, 2_k_H---.Z

I

1.

LGMAG DB

Ingangssignaal: 4Vrms ruis Versterking: 1,5

-60. 080 - 4 - - - - - - - r - - - - . - - - - -__- - - r - - - - - - r . . . . . l - - - T - -.....

Lt HZ

1.B080

1.80BB K

TRANS 188. B0 --r---------~- ---------.,.......---r-----, Frequentie gebieden,

arg

Ut(jW) U. (jw)

o - 100 Hz 100 -1700 Hz

1.

o

PHASE

Fig. 6.1

1.Boo0

Gemeten bodediagrammen van de overdracht Ut(sJ!Ui(S) voor de ~-as van

LG HZ

'102

- In het frequentiegebied boven de 100 Hz hebben zowel fig. 6.1 als fig. 4.30 een resonantiedip en een resonantiepiek. De frequenties zijn qua orde van grootte gelijk. De piek wordt door de motor-tacho torsiestijfheid veroorzaakt. De dip door de stijfheid tussen motor en drive.

In het amplitudediagram van fig. 6.1 is de resonantiefrequentie veroorzaakt door de stijfheid tussen motor en drive

(~

1,2 kHz)

nauwelijks waar te nemen. Het fasediagram geeft wel een sterke fasedraaiing in het gebied rondom 1 kHz te zien. Evenals in fig. 4.30 is de hoogste eigenfrequentie dus wel aanwezig, maar is duidelijk sterker gedempt (zie fig. 5.6).

Hoewel beide bodediagrammen een sterke overeenkomst vertonen is het toch duidelijk dat de robot zelf niet als een gehele massa beschouwd mag worden; er is sprake van enige interactie tussen de andere vrijheidsgraden en de

~-as.

om te onderzoeken waar de extra trillingen vandaan komen is ieder gewricht van de tobot d.m.v. een hamertik in trilling gebracht. Met een hoekversnellingsopnemer, die dicht bij het gebied van de hameraanslag gemonteerd is, is de trilling op een oscilloscoop zichtbaar gemaakt. De waargenomen frequenties zijn in tabel 9 weergegeven.

Bewegingsvrijheidsgraad

eigenfrequentie (Hz)

~

22

e

160

Ct.

20

t

50

v

110

Tabel 9

Eigenfrequentie in de verschillende gewrichten .van de ASEA-robot bij een onbelaste en ingetrokken arm.

103

De waarden in tabel 9 gelden voor

e~n

onbelaste, ingetrokken arm en

zijn met een nauwkeurigheid van ca. 10% bepaald. De frequenties zijn de laagste eigenfrequenties die in de verschillende bewegingen optreden. De eigenfrequentie in de ¢-as (22 Hz) komt globaal overeen met de resonantiepiek bij 24 Hz in fig. 6.1. De ¢- en t-bewegingen hebben een hoge resonantiefrequentie: de aandrijvingen zijn blijkbaar relatief stijf. De trilling in de a-beweging (onderarm) is iets lager in frequentie en zou de oorzaak van de smalle resonantiepiek bij 20 Hz in fig. 6.1 kunnen zijn. De zeer kleine resonantiepiek bij 60 Hz zou veroorzaakt kunnen worden door interactie met de t-beweging (buiging van de pols).

Hoe de interactie tot stand komt en waarom geen wisselwerking met de ¢- en t-beweging plaats vindt, vraagt een verdere studie.

Hoe de verschillende eigenfrequenties afhangen van stand en belas, ting van de arm verdient eveneens een verder onderzoek.

104

7. Conclusies.

- Uit berekening aan het model voIgt dat de frequentieresponsie van het systeem zich goed laat beschrijven door het massa-veersysteem van fig. 2.10. Kleine afwijkingen in bandbreedte en gelijkspanningsoverdracht ontstaan doordat de seriedemper d6 en de ankerweerstand R temperatuurafhankelijk zijn. - De torsiestijfheid van de harmonic-drive

(C3)

is niet geheel

lineair met de hoekverdraaiing. Hierdoor ontstaan kleine afwijkingen voor de laagste resonantiefrequentie tussen gemeten en berekende waarae. - Voor kleine motorspanningen (

IumI

< 2,4 V) voldoet het model

niet geheel vanwege stictie- en frequentie-afhankelijke wrijvingseffecten. - pe laagste

re~onantiefrequentie wordt

bepaald door pe torsiestijf-

heid van de harmonic-drive en varieert tussen 26,5 en 16 Hz, afhankelijk van d~ aan te drijven massa. - De torsiestijfheid van de motoras beinvloedt aIleen het gedrag voor hoge frequenties en is voor de meeste toepassingen verwaarloosbaar. Ook de zelfinduktie van de motor (L) is van weinig invloed. e Om deze redenen kan het model gereduceerd worden tot het 4 orde systeem van par. 4.2.2. - Coulombwrijving heeft een zodanige werking op het systeem dat de rusttoestand sneller bereikt wordt. Het effect van speling in de harmonic-drive is voor het open-loop servosysteem nauwelijks waar te nemen. - Bij rotatie om de

~-as

is de arm van de ASEA-robot niet als een

gehele massa te beschouwen. Interactie met de a-as geeft een extra resonantie-effect.

105

Literatuur.

1. Nicosia, S., F. Nicola, D. Lentini: Dynamical control of industrial robots with elastic and dissipative joints. Proc. 8th Triennial World Congress of IFAC, Kyoto, August

~981,

XIV pp 84 - 90. 2. Vukobratovic, M.: Legged Locomotion robots and anthropomorphic mechanisms, Mihailo Pupin Institute Beograd, 1975. 3. Hemani, H., V.C. Jaswa, R.B. MCGHEE: Some alternative formulations of manipulator dynamics for computer simulation studies. Proc. of 13th Allerton Conf. on Circuit and System Theory, Univ. of Illinois, October 1975. 4. Truckenbrodt, A.: Truncation problems in the dynamics and control of flexible mechanical systems. Proc. 8th Triennial World Congress of IFAC, Kyoto, August 1981,

X~V

pp 60 - 65.

5. Burckhardt, C.W., D. Helms: Some general rules for building robots, Proc. 6th.lnternational SYmposium on Industrial Robots, Nottingham, March 1976, E4 pp 49 - 58. 6. Demaurex, M.a., E.G.R. Gerelle: Can I build this robot? Proc. 9th International Symposium on Industrial Robots, Washington DC, March 1979, pp 621 - 639. 7. Burckhardt, C.W., E.G.R. Gerelle: Dynamic design parameters for robot-arms: experimental results. Proc. 10th International Symposium on Industrial Robots, Milan, March 1980, pp 321 - 329. 8. Futami, S., N. Kyara, S. Nanai: Intelligent servo system: An approach to control-configured robot. Proc. 12th International Symposium on Industrial Robots, Paris, June 1982. 9. DC-motors Speedcontrols Servosystems. An engineering handbook bij Electro-Craft Corporation. Third edition, October 1975. 10. Werter, M.J.: Het dynamisch gedrag van een servomotor met tachometer van een robot. Stageverslag. Vakgroep Meten en regelen, TH-Eindhoven, februari 1982.

106

11. Koster, M.P.: Vibrations of cam mechanisms and their consequenses on the design. Proefschrift TH-Eindhoven, 1973. 12. Dubowsky, S., F. Freudenstein: Dynamic analysis of mechanical systems with clearances. Transactions of ASME, Journal of engineering for industry. Series B, Vol. 93, No.1, February 1971, pp 305 - 309. 13. Aaken, P.J.M. van: Onderzoek van het.dynamisch gedrag van nokmechanismen m.b.v. de analoge computer - Analyse van een draaitafel. Afstudeerverslag TH-Eindhoven, Vakgroep Bedrijfsmechanisatie, april 1974. 14. Bosch, P.P.J. van den: PSI-Software Tool for Control System Design. Journal A, Voll. 22, no. 2, 1981. 15. Bosch, P.P.J. van den: PSI, A user's manual. Delft, University of Technology, Dept. of Electrical Engineering, 1981. 16. Oosterling, J.A.J.: Het 9ynamisch gedrag van het aandrijf-systeem

v~n

de gereedschapsslede van een numeriek bestuurde werk-

tuigmachine. Arstudeerverslag TH-Eindhoven. WPT-Rapport nr. 0510, juni 1981. 17. AXEM DC Servomotors, integral tachometers. Cie Electro-Mecanique. Catalogue 565 PRE 3PV - 10 - 79E. 18. Harmonic-drive catalogus. Harmonic-drive System GmbH, September 1980. 19. Hoek, Prof. ira W. van der: Het voorspellen van dynamisch gedrag en positioneringsnauwkeurigheid van constructies en mechanismen. Collegedictaat 4.007, TH-Eindhoven, december 1980. 20. Koumans, ira P.W.: Nokmechanismen. Diktaat nr. 4042, TH-Eindhoven.

107

Appendix A.

PSI-programma.

De ingangen van ieder blok in PSI worden aangegeven met iI' i 2 en i 3, de uitgang met y en de parameters behorende bij het blok met PI' P2 en P3. Het schema van fig. 3.1 kan gerealiseerd worden met de volgende PSI blokken(lit. 15):

l. Integrator (INT) 2. Opteller (ADD)

Y

Pl+J(il+P2 i 2+P3 i 3)dt

.y = it+i2+i3 iI!i2

3. Deler (DIV)

Y

4. Versterker (GAl)

y = Pli

5. Vermenigvuldiger (MUL)

y

il x i2 X i3

6. Aftrekker (SUB)

y

il

7. Sommator (SUM)

y = PI il + P2i2+ P3 i 3

8. Absolute waarde (ABS)

y = PIli

9. Exponent (EXP)

y

-

PIe

i2

I

i

als P3= i i

y = PllO .p2 Y = PI 1-

als P3= 2 als P3= 3

10. Bang-Bang (BNG)

y

PI als i> P3 anders y = P2

ll. Konstante (CON)

y

PI

Fig. Al geeft het schema met PSI-blokken. De ingang (U ) van het m

systeem is in dit geval een stapvormig

sign~al,

gerealiseerd met een

BNG-blok. De uitgang van ieder blok kan als uitgangsvariabele gekozen worden. De listing van het PSI-programma is in deze Appendix opgenomen onder de naam "Model of robot with'l degree of freedom".

108

,J"

!"lULl

mul

EM/(

Um 6N6

ADDER1

}----..,. DIll

1--71 INT ;1.

Fig. Ai. Blokdiagram van het complete model, gerealiseerd met PSI-blokken.

05 t ~-----\lGI\.Iji;"----""""'--"""GAIt--~

1'09

Run: MODEL OF ROBOT WITH 1 DEGREE OF FREEDOM - - STRUCTURE AND PARAMETERS PRESENT HODEL - Block OMEGA1 OnEGA2 OMEGA3 OHEGM Phi4 P'nl. '1 Phi2 Phi3 CUF:RENT AIlSl ABDERl AIIDER:! ADDEF:2 SIGNl B

.

SlGN4 Um i J1 J2 l J3 J4 ,,":

>0"

D3 J4' C3' AlF'HA2 ALPHI~3

Alf'HM D3' DIV1 ALPHA1 iH2 r' ~

Ii7' Iil

C1 112 C2 TOPOUE D4 ItS EMK R Tf

Dt Ut HUU HUll HUL2 SUB? SUB3 SUBl SUM

T~'?e

InFut1

INT ALPHA1 lilT AL;:'HA2 INT ALPHA3 HIT AlPHM INT OHEGA4 HIT OMEGAl nn OI'EGA2 INT OMEGA3 INT DI!}l ABS SUB3 ADD D1 AriD MUL2 ADD D2 ENG SUB3 BNG ABS1 BNG OMEGfil BNG TIME CON CON CON CON CON CON CON CON DIV J4 DIV C3 [III) SUMMER3 flF,' SUMMERS DIV SUMHER6 IiI!) [13 DP) SUi'iMERl Ii!l} SUHMEF:4 EX? GAl SIGNl GAl OMEGM GAl SUB4 GAl SUBl GAl SUBS GAl SUB2 GAl CURRENT GAl OMEGA1 GAl OM£GA2 GAl OhEGAl GAl CURRENT GAl SIGN4 GAl OHEGA3 GAl OliEGA2 HUL SUB7 HliL ADDEF:3

In?ut2

Input3

F'ar1

Par2

Pu3

0,000 1) 0.0000

o.OO0~1 0.0000 I) .OOO'} O.OO':JO 0.0000 0.0000 1),0000 1.000

".

1'1

l'!L1l3 C

.

-1.000 1.000 1,000 C',OO''j~, 1,000 -1.000 o,fO('O,j 10.0-:' -158.0 3,4000E-05 4.1000E-05 8.7000E-·j5 1.9400E-,j4 9.30'J 3. 6':J00E+04 41.00

0,0000 7.0000E-02 '1,0000 O.OO/JO

i**2 iU2 J2 1'1

""

J4' iU2 l Jl 1.000 7.00C·OE-02 0.OC·00 1.2000E-02 789.0 6.eOOOE-02 1225. S.8W)f-f'2 7.6000£-05 1.2000E-OS g.SOOOE-02 l.bO!) 0.1100

7.0000£-04 2.S600E-02

MU!..

sun

C3' B D3'

SUB SUB SUB SUB

SUB3 F'hi3 Phi2 OMEGA3

Phi4 Phil Oi'lEGM

~./

2t''jOO

3.000

111

SLiPS

SUB OMEGA2 SUE: [t:'\:GAl

OHEGA1 OMEGA3

SUB~

SUB

F'hi3

SL!l'!!'IEF:6 SU1'l1'lER4 Sl!MMER3 SUMMER1 SUMMERS SIJMMER2

SUM D?' SUM SUMHER2 SUM ADDEF:l SLIM Um SUH MUll SUM TORGUE

SUB4

Phil

MUll D4

If

[IS

EHK AItDER2 AnrtER1

F: D6

AItDEF:2

1.1)00

-1 ,,~}::O 1,000

-1.000

-1. ell})

-1.000

1.000

-1.000

-1.')00

-1.000

1. l~fr,t'_1 1.000

-1"')0 1)

1.000

DT: 1.000£-05 HOT: o.SOO Int.Method:RK4VR Error boundaries for variable step methods: 1.000E-04 5.000E-04

-1.000

-1 . 0')(!

112

Appendix B.

Frequentieresponsie-programma.

Het volgende voorbeeld kan het gebruik van het interactieve programma "FREQUENCYRESPONSE" illustreren. De responsie van de motor met tacho en harmonic drive (ORDE=4) wordt berekend tussen 150 en 1500 Fe. De door de gebruiker verstrekte informatie is onderstreept. Na de invoer van de machine-gegevens worden de bandbreedte, dcgain en resonantiefrequenties berekend. Met behulp van deze informatie kan besloten worden of een "plot" van de diagrammen gemaakt moet worden.

R FREQUENCYRESPONSE IRUNNING 7405 17405 DISPLAY:PLOTNEWS DD 7/20/82. IBOT 7406 *SERVICE/PLOTTER ON APPL 11 NUHBER OF DECADES=

1 -FREQ . IN DECADE 1

.ill

LOWEST FREQ.=

-FHAX= 150

1500.00

NUHBER OF RUNS= 1

ORDER OF A HATRIX= 4

SELECT OUTPUT:Wl=2,W2=3,W3=4,W4=5 3

R= 1.6

"[;""

~

HOTORCONSTANT=

.!..ill

TACHOCONSTANT=

-Jl= -4= D

.0429

34@-6 76@-6 ~ 41@-6

ns;-

12@-6

Dl= 12@-3

Cl=

1-13

Z!.ill

J3= 194@-6 06=

7@-4 D2= ~ C~

1225 BANDWIDTH(HZ)= 13.40 MODULUS FOR F=Faax = -46.15

DCGAIN(DB)= -7.56

FRES(Hz)

MOD(dB)

592.50

-31.09

-35.64

1267.50

-41.28

-172.31

ARG(desrees)

PLOT OF THIS RUN(T,F)?

.L

BODEPLOT(T,F)1

~

PHASEPLOT< T, F> 1

L

NYQUISTPLOT(T,F)?

.E.

LOG FREG.SCALE?(T,F)

.E.

AUTOMATIC SCALING IN BODE DIAGRAM?(T,F)

! END OF FREQUENCYRESPONSE tEOT 7406 SERVICE/PLOTTER on APPL t7405 DISPLAY: ET=4:15.7 PT=8.6 10=3.5 tET=4:17.8 PT=0.3 10=0.7

Vanwege het vele malen uitvoeren van de matrix-inversie kost het programma veel rekentijd. Voor 1000 frequentiepunten is ongeveer 50 s. nodig. Bet struktuurdiagram en de listing van het programma geven inzicht in de opbouw van het programma.

114

Lees aantal decades; Lees laagste frequentie; Lees frequenties per decade; Vul Array F met frequenties waarvoor responsie wordt berekend; Lees aantal runs; Voor i = 1(1) aantal runs Lees orde van A matrix Kies uitgangsvariabele (Wl , W2, W3 of w.. ); Lees modelparameters; Initieer

~

vektor; ,

f--

J : =

. 0

zolang J < aantal frequenties W: = 21TF{J}; vul A en Ai(W); r inverteer A(jW)

(F04ADA)

Bepaal Modulus en Argument uit C en C. -r -~ J: = J+l Bereken 3dB-frequentie; --

Bereken resonantie frequenties; Plot Amplitude, Fase of Nyquistdiagram naar keuze; ,

Fig. Bl

Struktuurdiagram van programma "FREQUENCYRESPONSE".

115 FREQUENCYRESPONSE

ON

USER6

DATE & TIME PRINTED: TUESDAY, SEPTEMBER 14, 1982 e 11:56:49. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 5000 5100 5200 5300 5400 5500 5600 5700 5800 5900 6000 6100 6200 6300 6400 6500 6600 6700 6800 6900 7000 7100 7200 7300 7400 7500 7600 7700 7800

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % This program calculates and plots the Bode-and Nyquistdiagra~s % % % of a dyna~ical syste~ which consists of a DC-Motor with tacho% Meter,drive and load, or a subset of theM. % % % The calculation is based on complexmatrix inversion. % % The mechanical systeM is defined as follows: % % %

% % % % % % % %

C3 C2 Cl 1-vvvv--1 1-vvvv--I----T--vvvv-T----1 J4 ! 1 J3 1 1 Jl 1 1 J2 1 1--C 1---1 1--C 1---1 1--C 1 - - - 1 ! -1-- D3 --1- D2 --1- Dl --1D7 III

D6 III

D4 III

05 III

%

%

% % % % % % % %

%

% load drive % % JC1:4J: MOMENTS OF INERTIA % CC1:3J: STIFFNESS FACTORS % 0(1:7J: DAMPERS %

motor

tacho

% I

CkgM**2J CNMlradJ CNMs/radJ

% I % %

%

%

% THE OTHER PARAMETERS ARE: R= electrical resistanse of motor % L= selfinduction of Motor % Ke=Kt= Motor constant % Ket= tacho constant % RR= reduction ratio in drive

% % % % %

%

%

% % % % %'

The prograM is interactive, so the actual systeM- and plot parameters have to be typed on terMinal. If a plot is wanted the picture should first be viewed on a previewer terminal after whicb you can decide to plot it on the small plotter or not.

%

I

% % ' % % %

%

%

%

%

% % % Robbert van der Kruk, SepteMber 1982 % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%I%%%I%I% $BIND=FROM NAGA/=ON A P P L · • sINCLUDE 'PLOTLIBRARY ON APPL' 0-499999 $INCLUDE 'NAG/ALGOLHEADINGS ON APPL' 01297000-01306000 %F04ADA sINCLUDE 'PLOTLIBRARY ON APPL' 500000-999999 IlEGIN FILE TV(KIND=REMOTE,MYUSE=IO); FILE FR(KIND=PREVIEWER); %

REAL PROCEDURE ARGUMENT(A,B);VALUE A,B; REAL A,B; BEGIN COMMENT ArguMent of the cOMplex nUMber a+jb is calculated between -180 and 180 degrees; REAL PI; PI:=4*ARCTAN(1); IF A=O THEN ARGUMENT:=90*SIGN(B) ELSE IF A>O THEN ARGUMENT:~(180/PI)*ARCTAN(B/A) ELSE ARGUMENT:=(180/PI)*ARCTAN(B/A) + 180*SIGN(B); END ARGUMENT; PROCEDURE F3DB(MOD,F,NFR,BW);VALUE NFR; INTEGER NFR;REAL ARRAY MODC*J,FC*J;REAL BW; BEGIN COMMENT Calculation of bandwidth by linear interpolation; INTEGER I; 1:=1; WHILE«MODCOJ-MODCIJ)(3.0103 AND I(NFR) DO 1:-1+1; IF I>=NFR THEN WRITE(TV,('BANDWIDTH NOT FOUND'» ELSE . BEGIN BW:=FCI-1J+«MODCI-1J-MODCOJ+3.0103)/(MODCI-1J-MODCI])) *(FCIJ-HI-l]);

WRITE(TV,<'BANDWIDTH(HZ)=',F7.2,X10,'DCGAIN(DB)~',F6.2>,

Illoj,MODCO]) END; END F3DB;

116

79()0 8000 8100 8200 8300 8400 8500 8600 8700 8800 8900 9000 9100 9200 9300 9400 9500 9600 9700 9800 9900 1()000 10100 10200 '10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200 11300 11.400 11500 11600 11700 11890 11900 12000 12100 12200 12300 12400 12500 12600 12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900 15000 15100 15200 15300 15400 15500 15600 15700 15800 15900 16000 16100 16200

PROCEDURE FILLAICAI,J,C,L,W,ORDERI;VALUE L,W,ORDER; REAL ARRAY AIE*,*J,JE*J,Ct*J; REAL L,W; INTEGER ORDER; matrix A ia 'illed; BEGIN COMMENT Imaginary part AIC1,1J:=-L*W; AIE1,2J:=AIC2,1J:=-0; AIE2,2J:=-JE1J*W; IF ORDER>2 THEN BEGIN AIE2,2J:=AIE2,2J-CEIJ/W; AIE1,3J:=AIE3,1J:=0; AIE2,3J:=-AIE3,2J:=CE1J/W; AIE3,3J:=JE2J*W-CE1J/W; IF ORDER>3 THEN BEGIN

0'

AIE2,2J:~AIE2,2J-CE2J/W; AIE1,4J:=AIE4,1J:~AIE3,4J:=AIE4,3]:=0;

AIE2,4J:=-AIE4,2J:=CE2J/W; AIE4,4J:=JE3J*W-CE2J/W; IF ORDER=5 THEN BEGIN AIE4,4J:=AIE4,4J-CE3J/W;

AI[1,5J:=AIE5,1J:='AIE2,5J:=AIE5,2J:=AIE3,5J:=AIE5,3J:~0;

AIE4,5J:=AIES,4J:=CE3J/W; AIE5,5J:=JE4J*W-CE3J/W; END; END; END; END FILL.AI; PROCEDURE FILLARCAR,D,R,KE,ORDERI;VALUE R,KE,ORDER; REAL ARRAY ARE*,*J,DE*J; REAL R,KE; INTEGER ORDER; matrix A is 'illed; BEGIN COMMENT Real part ARE1,1J:=R; ARE1,2J:=KE; ARE2,1]:=-ARE1,2J; ARE2,2J:=DE4J; IF ORDER>2 THEN BEGIN

0'

ARE2,2J:~ARE2,2J+DE1];

ARE1,3J:=ARE3,1J:=0; ARE2,3J:=ARE3,2J:=-DE1J; ARE3,3J:=DE1J+DE5J; IF ORDER>3 THEN BEGIN ARE2,2J:=ARE2,2J+DE2J; ARE1,4J:=ARE4,1J:=ARE3,4J:=ARE4,3J:~0;

ARE2,4J:=ARE4,2J:=-DE2J; ARE4,4J:=DE2J+DE6J; IF ORDER=5 THEN BEGIN ARE4,4J:=ARE4,4J+DE3J; ARE1,5J:=ARE5,1J:=ARE2,5J:=ARE5,2J:=.ARE3,5J:=ARC5,3J: ARE4,5J:=ARE5,4J:=-DE3J; ARE5,5J:=DE3J+DE7J; END; END; END; END FILLAR; PROCEDURE FILLFCF,FMIN,NFDEC,NFR,NDECI; VALUE FMIN,NFR,NDEC; ARRAY FE*J,NFDECE*J; REAL FMIN; INTEGER NFR,NDEC; BEGIN COMMENT Array F is filled wi~h those frequenc1ec ·tor response has to be calculQted;

INTEGER I,J,K; REAL DELTAF,FMINDEC,POINTR; FEOJ:=O.OOOOl;COMMENT FEOJ=O gives dividing oy zero; FEl):"'FMIN; POINTR:-=O; FOR 1:"'0 STEP 1 UNTIL NDEC-1 DO BEGIN REAL FMINDEC,DELTAF; FMINDEC:=FEIJ*10**I; DELTAF:=-CFMINDEC*91/NFDECCI+IJ; FOR J:=l STEP 1 UNTIL NFDECEI+1J DO BEGIN K:=-POINTR+J+1; FEKJ:=FMINDEC+J*DELTAF; END; POINTR:=POINTR+NFDECEI+IJ; END' WRITECTV,<"FMAX=",Fl1.2>,FENFRJI; END FILLF;

wh~.ch

117 16300 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600 17700 17800 17900 18000 18100 18200

18300 18400 18500 18600 18700 18800 18900 19000 19100 19200 19300 19400 19500 19600 19700 19800 19900 20000 20100 20200 20300 20400 20500 20600 20700 20800 20900 21000 21100 21200 21300 21400 21500 21600 21700 21800 21900 22000 22100 22200 22300 22400 22500 22600 22700 22800 22900 23000 23100 23200 23300 23400 23500 23600 23700 23800 23900 24000 24100 24200 24300 24400

PROCEDURE FMAX(MOD,ARG,F,NFR,FRES,PEAK,PHASE);VALUE NFR; REAL ARRAY MODC*J,ARG[*J,FC*J,FRESC*J,PEAKC*J,PHASEC*J;INfEGER NFR BEGIN COMMENT Resonance frequencies are calcula~ed and wr1t~en on t.ermilNl; INTEGER I,J; J :=0; WRITE(TV,MODCI-1J)AND(MODCIJ)MODCI+1J) THEN BEGIN J:=J+1; FRESCJJ:=FC!J; PEAKCJJ :'-"MODCI J; PHASECJJ:=ARGCIJ; WRITE(TV,
PROCEDURE FREQUENCYRANGE(NFR,FMIN,NFDEC,NDEC); INTEGER NFR,NDEC; REAL FMIN; INTEGER ARRAY NFDECC*J; BEGIN COMMENT The number of decades, frequencies per decade, and t.he lowest. frequency for which t.he response has t.o be calculated are read.The t.ot.al number of frequenci~s is calculated; INTEGER I; DO BEGIN WRITE(TV,
118 24500 24600 24700 24800 24900 25000 25100 25200 25300 25400

END; URITE(TV,<'LOG FREQ.SCALE?(T,F)'»;READ(TV,I,LG); IF BD THEN BEGIN URITE(TV,<'AUTOMATIC SCALING IN BODE DIAGRAM?(T,F)'»; READ(TV,I,SCALING); IF NOT SCALING THEN BEGIN URITE2 THEN BEGIN COMMENTTEXT
25500

25600 25700 25800 25900 26000 26100 26200 26300 26400 26500 26600 26700 26800 26900 27000 27100 27200 27300 27400 27500 27600 27700 27800 27900 28000 28100

COMME~TNNUMBER
~8200

28300 28400 2850~ 28600 28700 28800 28'700 29000 29100 29200 29300 29400 29500 29600 29700 29800 29900 30000 30100 30200 30300 30400 30500 30600 30700 30800 30900 31000 31100 31200 31300 31400 31500 31600 31700 31800 31900 32000 32100 32200 32300 32400 32500 32600 32700 32800

COMMENTNNUMBER
PROCEDURE READPARAMETERS(JM,D,C,R,L,KE,KET,ORDER);VALUE ORDER; REAL ARRAY JMC*J,DC*J,CC*J; REAL R,L,KE,KET; INTEGER ORDER; BEGIN COMMENT Syste~ para~eters are read ¥ro~ ter~inal; URITE
I

,

119

32900 33000 33100 33200 33300 33400 33500 33600 33700 33800 33900 34000 34100 34200 34300 34400 34500 34600 34700 34800 34900 35000 35100 35200 35300 35400 35500 35600 35700 35800 35900 36000 36100 36200 36300 36400 36500 36600 36700 36800 36900 37000 37100 37200 37300 37400 37500 37600 37700 37800 37900 38000 38100 38200 38300 38400 38500 38600 38700 38800 38900 39000 39100 39200 39300 39400

RR:=RR**2; JMC4J:=JMC4J/RR; DC7l:=DC7J/RR; DC3J:=DC3J/RR; CC3l:=CC3J/RR; END; END; END; END READ PARAMETERS; %

%-----------------%

MQin ProgrQM ~------------------------

REAL FMIN,R,L,KE,KET,W,PI,BW,DCGAIN; ARRAY JMC1:4J,DC1:7J,FRES,PEAK,PHASE,C[1:3J,AR,AI[1:5,1:5J; ARRAY BR,BI,CR,CIC1:5,1:1l,F,MOD,ARG,IM,RECO:Ol; INTEGER ARRAY NFDECC1:8J; INTEGER NDEC,NFR,I,J,NRUNS,OUT,ORDER,IFAIL,OBJ,RUN; %

PI:=4*ARCTAN(1); FREGUENCYRANGE(NFR,FMIN,NFDEC,NDEC); RESIZE(F,NFR+2);RESIZE(MOD,NFR+2);RESIZE(ARG,NFR+l); RESIZE(IM,NFR+1);RESIZE(RE,NFR+l); FILLF(F,FMIN,NFDEC,NFR,NDEC); DO BEGIN WRITE(TV,<"NUM~ER OF RUNS="»;READ(TV,I,NRUNS) END UNTIL NRUNS<9 AND NRUNS>O; FOR RUN:=l STEP 1 UNTIL NRUNS DO BEGIN DO BEGIN WRITE(TV,<'ORDER OF A MATRIX~'»;READ(TV,I,ORDER); END UNTIL ORDER>l AND ORDER<=5; DO BEGIN WRI1E(TV,<'SELECT OUTPUT:Wl~2,W2"'3,W3=4,W4=5'»; READ(TV,I,OUT) • END UNTIL OUT>} AND OUT<=ORDER; READPARAMETERS(JM,D,C,R,L,KE,KET,ORDER); .BRC1,lJ:=KET;BR[2,lJ:=BR[3,lJ:=BR[4,ll:=B~C5,IJ:-0;

BIC1,lJ:=BIC2,ll:=BIC3,lJ:=BIC4,il:=BIC5,lJ:=O; J:=O;IFAIL:=O; WHILE J<=NFR AND IFAIL=O DO BEGIN W:=2*PI*FCJJ; FILLAI(AI,JM,C,L,W,ORDER); FILLAR(AR,D,R,KE,ORDER); F04ADA(AR,AI,BR,BI,ORDER,1,CR,CI,IFAIL); IF IFAIL=l THEN WRITE(TV,<'ERROR IN F04ADA AT F"'",F9.2>,FCJJ) ELSE BEGIN RECJJ:=CRCOUT,lJ; IMCJJ:=CICOUT,lJ; ARGCJJ:=ARGUMENT(CRCOUT,lJ,CICOUT,lJ); MODCJl:=10*LOG(RECJJ**2+IMCJJ**2); J:=J+l; END; END; DCGAIN:=MODCOl; F3DB(MOD,F,NFR,BW); WRITE(TV,<'MODULUS FOR F=FMQX =",F7.2>,MODCNFRJ); IF ORDER>2 THEN FMAX(MOD,ARG,F,NFR,FRES,PEAK,PHASE); PLOT(F,MOD,ARG,IM,RE,DCGAIN,FRES,PEAK,BW,ORDER,NRUNS,RUN, NFR,FMIN); END;WRITE(TV,
120

Voor het aansturen van de DC-motoren wordt in de ASEA-robot gebruik gemaakt van pulsbreedtemodulatie. Hierdoor wordt de dissipatie in de eindversterker relatief laag gehouden. De uitgangsspanning van de eindtrap bestaat uit een blokvormige spanning waarvan de amplitude 47 V is. De breedte van de pulsen bepaalt de gemiddelde spanning over de motor. De

pulsf~equentie

bedraagt 1,2 kHz. Daar de 3dB-

frequentie van·het elektrische circuit van de motor (2,9 kHz) te hoog is

o~de

blmkvorm af te vlakken is in serie met de motor een

smoorspoel van 7 mH opgenomen (fig. C.l). smoorspoel

47V

Um

Fig.C.l

-47V

Motorcircuit met smoorspoel.

1/12 0 s.

De zelfinduktie van de smoorspoel is ca. SOx zo groot als de zelfinduktie van het ankercircuit, zodat het pulsbreedte gemoduleerde signaal afgevlakt wordt tot een konstante spanning met daarop een kleine rimpel (fig. C.2).

Y.7.4000 TI AVG 1 lla. 00B

Fig. C.2 Afgevlakte spanning over de motor bij pulsbreedte modulatie.

REAL

la.0

SEC

50 0000

m

121

De amplitude van de rimpel is ca. 2 V. Dit hoogfrequente signaal dat de motor voortdurend in een zeer kleine trilling brengt, wordt dither signaal genoemd. Dither signalen reduceren zoals opgemerkt in par. 2.3 de invloed van de stictie. Het effect van de hoogfrequente trilling is weergegeven in de gemeten karakteristiek

,

van fig. C.2. /'

Ut (V)

,,-;;

f)

~

h

'"

"

1

4

2,3

20

......__-:>,.

-2

-4

-6

Fig. C.2

Statisch verband tussen de tachospanning en de (gemiddelde) motorspanning.

De helling van Ut/U

wordt niet beinvloed door het dither signaal. m Wel wordt de dode zone g~reduceerd van 2,3 V naar ca. 1,5 V doordat het kleefeffect van de stictie niet meer overwonnen hoeft te worden. De aanspreekgevoeligheid wordt dus vergroot, hetgeen gunstig is voor het verkrijgen van een nauwkeurige regeling. Een nadeel is dat de elektrische tijdconstante veel groter is geworden, waardoor het aanloopmoment van de motor verkleind wordt.

Um (V)

122

In de nieuwste uitvoering van de ASEA IRb/6 robot is de tachometer bij alle assen weggelaten. Het snelheidssignaal wordt na integratie van het resolversignaal verkregen. Met ons model kan het dynamisch gedrag van het systeem zonder tachometer voorspeld worden. De enige parameter die een wijziging ondergaat is J2: het massatraagheidsmoment van tacho + resolver. Volgens tabel 8 bedraagt deze 41.10- 6 kgm2. Het massatraagheidsmoment van de tacho is 35.10- 6 kgm2 zodat voor het systeem zonder tacho geldt:

(C.l)

In fig. C.l zijn de bodediagrammen bij volle last (J4= 9,3 en d4 = 41) weergegeven.

~e

frequentieresponsie met tachometer is die

volgens fig. C.2.

Uit de diagrammen kunnen we het volgende concluderen:

- Weglaten van de tachometer vergroot de bandbreedte met

1,46/ 1, 38

~·6%.

Het systeem wordt dus 6% sneller.

- De laagste resonantiefrequentie verandert nauwelijks.

De beide hoogfrequente resonanties zijn zowel in modulus als in frequentie toegenomen.

Hoewel het servosysteem iets sneller wordt door het weglaten van de tacho, wordt qua trillingsgedrag dus geen verbetering bereikt.

1-23

-I

0

--gs

10

0

10

•

3

2

1

10

\0

10

10

0

-10

-10

-20

-20

-30

-30

-40

-40

-50

-50

'-

tr:l

::::J

2S

C::l c:::J

-50

-50

~

OCGAfN: -7.55 08 308 FRED: 1. 4 5 HZ

-70

-70

RES.FREO 15 .OHZ. AT -12.5 08 RES .FREO 974. HZ. AT -30. / 08 RES.FREO 1940. HZ. AT -33 .4 DB

-80

-80 -90

-90 -100

-I

\0

0

10

2

1

-100 10•

3

10

10

lO

FREOUENCY (HZ) -I

200

10

0

10

10

10 ii,

•

3

l

I

III

i

,

10 t

iii

10

'""1 200

III

175

1/5

t3

150

150

tr:l

Q::

c:J

125

125

C::l

100

\00

~

...,

75

75

....

50

50

25

25

ll.J

~

§

c:J Q::

Cl::

0

0' -25

-25

-50

-50

-75

-75

-100

-\00

-125

- \ 25

-150

-150 -175

- 175 -200

!

-I

\0

0

10

I

10

r

!

!J

"I

2

10

!!

3

10

till

•-200

10

FREOUENCY (HZ) Fig. C.l

Berekende bodediagrammen van de overdrachtsfunctie Ut(s)/Ui (s) voor het systeem zonder tachometer.

f24

-,

a

-...,

~

"-

U) ~

~

10

-10 -15

-20

-20

-25

-25

-30

-30 -35

OeGRIN: -7.55 08 308 FRED: 1.38 HZ RES.FRED 15.5HZ, RT -12.9 08 RES.FRED 592. HZ. RT -31.9 08 RES.FRED 1248. HZ, RT -41.9 DB

-40 -45 -50

-55

-55

-60

-60

-65

-65

-70 200

~

a

-15

-50

~

•

10

-10

-45

..

la'

-5

-40

U)

~

10

-5

I:::l -35 .~

i.J..J

Id

100

-,

10-1 10

I~

.-70 10. 10 200

1

101 10

10

175

175

150

150

125

125

100

100

~

......

75

75

I-...

50

50

25

25

~ ~

~

a

0

-25

-25

-50

-50

.~

"-

-75

-75

-100

-100

-125

-125

-150

-150

-175 -200

-175 -I

10

0

10

1

10

2

10

, 10

.-200 10

---> FREQUENCY (HZ)

Fig. C.2

Berekende bodediagrammen van de overdrachtsfunctie Ut(s)/U (s) voor het systeem met tachometer. i

Het dynamisch gedrag van een industrie-robot met een graad van vrijheid. door: R.J. van der Kruk

Recommend Documents