Een drama van de derde graad De formule van Cardano in dichtvorm A. Hol / J. van Dijk Studenten Universiteit Utrecht
Inleiding Hoe heeft men vroeger een methode gevonden om op lossingen van derdegraads vergeljkingen te vinden? De onlstaansgeschiedenis van deze methode is een boeIend en leuk verhaal in de geschiedenis van de wiskunde, Die geschiedenis is het uitgangspunt van dit artikel; er is niet gepoogd om aan te geven hoe wij nu oplossingen van derdegraads vergelijkingen zouden berekenen.
Nicolo: “Het is niet zo dat ik de regel niet kwijt wil, maar ik kan nu een heleboel dingen gaan ontdekken, omdat het een sleutel is die de deuren opent voor oneim alg veel andere problemen. En als ik nu niet erg druk was geweest met het vertalen van de Elementen van Em clides in het Italiaans (ik ben nu al bij boek 13), dan had ik al lang een algemene regel gevonden voor vele andere gevallen.” Girolamo: “Ja, ja.”
Op welke wijze je kwadratische vergelijkingen moet op lossen is al lang bekend; de abc-formule wordt in feite al vanaf de Babyloniërs (2000 v, Chr,) gebruikt. Kubische vergeljkingen (vergelijkingen van de derde graad) zijn veel moeilijker. In de middeleeuwen wordt eeuwenlang geprobeerd ze op te lossen; helaas zonder succes. Pas in het begin van de zestiende eeuw wordt de oplom sing gevonden van het speciale geval 2 + px = q, door Scipione dcl Ferro in Italië, Scipione publiceert de op lossing niet, maar geeft hem door aan zijn niet erg be gaafde leerling Antonio Maria Fior. Deze daagt Nicolo Tartaglia ( = ‘de stotteraar’) uit voor een wiskundge wedstrijd, door hem een aantal vragen voor te leggen ijver derdegraads vergelijkingen. Tartagr lia komt ook achter de methode (waarschijnlijk zelf ge vonden) en geeft binnen de toegestane tijd van tien das gen de antwoorden zonder ze echt te bevijzen. Voor Gi rolamo Cardaio is dat reden om aan te nemen dat hij via Nicolo Tartaglia de methode te weten kan komen en die dan kan verwerken in zijn nieuwste boek,
De dialoog’ Milaan (Italië), 25 maart 1539. Nicolo Tartaglia is op bezoek bij Girolamo Cardano, na herhaaidehjke verzoeken hiertoe door Caidano. Girolamo: “Ik ben zeer blij dat U gekomen bent, omdat we nu de mogelijkheid hebben om te praten over onze perikelen. Ik vind het zeer onvriendelijk dat U, ondanks de grote tegenprestaties die ik U aangeboden heb, mij de regel over-een der gevallen 2 v-an de. kuhische vergelijkias gen niet wil vertellen”,
NW, Tijdschria voor Nederlands Wiskundeonderwijs/april 1993
Girolamo Cardann
Nicolo, onverstoerbaar “Als ik klaar ben met dit werk van-S Euclides, ga Ik me helem.anl bezig houden met kas bische vergelijkingen. Dan ga ik een boek schrijven over de Praktijk van de Rekenkuast, samen met een nieuw soort algebra. In dat boek komen niet alleen de
19
gedicht Het 3 s,totcf..e c(ertte maditenamaa[c Ia opteffing tezamen dgeven ‘Vitu(dzn eerst twee ant[’regeta[[en met verschitd Daartij moet dan ookjwg even De één maat cte andfergeûjzijn 4an eeiutercte van c en dit tot de derde macht verheven De algemene regel is nu hee(fijn: Laat het ve rschit van de ert nacjkçworte[.ç van deez’ twee De die gezocht wordt zijn
±
fu
—
/uv
ca
=
di
v
=
dJ
1 3 ( c)
=
-Il
[t=
9fet tweedegevat in fit procedee Doet zkh voor wanneer de derde macht afzoiufer(ijkstaat Ookjian weten we er wet raad mee. Lr zijn nu twee delen waaruit de ébestaat En wetzô, dat het ene maat het and’re part e(ijkJs aan eenderde van c, dat weer tot de derde macht gaat De algemene regeti. hieruit ontward. Dat de derdemachtswortek van de eteten Tesamen de optossing zijn, gezocht flij de start
f’c [u
c&
+
dJ
v
=
di
+
/uv
[ Jtet derde gevaftan rugeer tijdmeer vekr het tweedeg vaft nn’r we de bepak V ziet dat ze van nature af niet vee(sche(en
=
=
( cJ]
±
=
+
d= c?(J
Dit het ikqevonden met weinW dralen te he z (weer uge t gek rlCt stevgegronds[dj zonder veel o’nhvlcn In een ctad omringd door de Zee
ed
d
9
dingen die ik al gevonden heb. maar ook de dingen die ik nog hoop te vinden; en meer, ik wil ook een handige regel publiceren waarmee je alle gevallen kunt onder zoeken,” Gfrolamo “Zo, zo.” Nicolo: “Dat is dus de reden dat ik geweigerd heb de re gel te vertellen, Ook omdat als ik de regel aan ieder geïn teresseerd persoon, zoals ook U, vertel, hij met de dui delijke informatie makkelijk alle andere oplossingen kan vinden en dan publiceren als ontdekker. Dat zou een streep door mijn plannen zetten.” Girolamo: “Maar ik Nicolo, valt hem in de rede: “Ja, ik weet dat U als omdekker mijn naam zou noemen. Maar dat zou me op geen enkele manier plezier doen omdat ik deze ontdek kingen in m’n eigen boek wil pubiLeren en niet in het. boek van iemand anders.” Girolamo: “Ik heb ook gezegd dat als U niet wilde dat het gepubliceerd wordt, ik alles geheim houd.” Nicolo ‘Het is genoeg om te zeggen dat ik gekozen heb dat niet te geloven.’ Girolamo: “Ik zweer het U, bij Gods Heilige Evangelieen, en als een man van eer, dat ik Uw ontdekkingen nooit zal publiceren als U ze mij leert, Ik beloof zelfs, en t weer bij mijn geloof als een waar Christen, de ontdek kingen in code op te schrijven, zodat na mun dood me mand in staat is ze te snappen.” Nicolo, is even stil, maar: “Als ik ondanks Uw eed niet zou toegeven, zou ik wel heel wantrouwig zijn. Maar omdat ik verder moet naar Vivegano naar Zijne Excel lentie Signor Marchese en ik al een tijd hier ben en hem niet langer wil laten wachten, ga ik nu. Maar ik beloof U alles uit te leggen als ik terugkom.’ Girolamo: “Ik zie dat U vastbesloten bent te gaan. ik zal U een br’cf meegeve oo Si,nor March se zodat hj ee v U be’it Maar voo d U ia wi ik graag at U me de regel alvast geeft.” Nicolo: ‘Ja, daar zit wat in. Ik wil trouwens wei dat U weet dat, om het rnogelik te maken hoc dan ook de rege 1 h ich ijrr he eer ode or ei g Til d daa xl, aaP S sergeLn iijn. Ik wil ook het gedicit zeil oor U op schrijsen 7oddt ik zeker weet dat ik da ontaeeking ceed
Nicolo: “Vergeet het alstublieft niet.’ Girolamo: “Gaat U nu maar!”
Uitleg over het gedicht We zullen hier aan de hand van het gedicht de formule voor het vinden van oplossingen van derdegraads verge lijkingen uitleggen. Bij het uitleggen gebruiken we de huidige notatie, die in die tijd nog niet bekend was. Daarnaast werd nul niet als getal gezien en kende men geen negatieve getallen; daarom beschouwen we alleen positieve oplossingen en coëffïciënten. Bovendien willen we nog opmerken dat een vergelijking 2 + mx n tegenwoordig door de substitutie 3 + Lx x x = 4y— Jj vnj eenvoudig is om te werken tot een serge lijkang y 3 + Gy = d (zonder kwadratische term), maar vroeger had men dat nog niet zo in de vingers. De regels: 1. Als x tot de derde macht en x maal c 2. Na optelling tezamen d geven duiden het eerste geval aan dat opgelost zal worden: ) + x = d Dit gaat als volgt 3 (x 3. 4. 5. 6.
Vind dan eerst twee andere getallen met verschil d Daarbij moet dan ook nog even De een maal de ander gelijk zijn Aan eenderde van c en dit tot de derde macht verhe ven
geven aan dat er een is en een v gevonden moeten wor den v=(- )3 d odatu w v rg lij inOrr da er d eke d Lijm staan 1 gen met twee onbekenden, zodat is en v redelijk eenvou dig gevonden kunnen worden.
7. Dc algemene regel is nu Feel for 8 Laat het sc-chii san dc dcrdemachrswortcis van
gcvr dan nu cL de Ijlossi g x We kunnen door het een en ander om te schrujven een formule gcvcn aarnee x direct ditgerekend kan wor in laats is 1 1 d mtd t n der u ft .
\colo’ “Dit gedicht iS 7Q duidelijk dat ik ,zaioof dat L zelfs zonder oorbcCid alles snapt.’ tr0 Is bijn san den ook o’ iiro
iat ik ee snap L’. io \ ‘ree- v k”
‘
i’
‘
Y’
x” -‘
‘
,‘“i; ‘
-
.-
Met de abc -formule (waarin we alleen de positieve wor tel bekijken) volgt:
—d
en met behulp van
+4(c)
is =
d
+
v volgt dan.
u=
Merk op: ook hier worden dus alleen positieve wortels bekeken. Uitemdelijk hebben se nu, —
x=
d÷[d)’+
ï
(C)3_f
2 (-1d+ ± 4(d)
(c)
De regels:
19. Het derde geval kan nu geen tijd meer velen: 20. Als het tweede geval kunnen we de x bepalen 21 U ziet dat ze van nature al niet veel schelen
die aan zouden moeten geven hoe het derde geval: x + d = ex opgelost moet worden. Dz regels zcggn ) 3 dat dit geval eigenlijk als het tweede geval gaat: x=i.f+ 3 J5,waarinu+v=- 3 den . Ma uv= ara (c) ls je daarover nadenkt dan zou dat betekenen dat je een ne gatieve oplossing krijgt. Want stel dat q een oplossing is van het tweede geval, dus q 3 cq + d, dan is q een op lossing van het derde geval: (— q) 3 + d = cq. Pas later vindt Cardano nog een andere formule om een oplossing van x ) + d cx te bepalen. Dit doet hij ook mei behulp 3 van de oplossing q van het tweede geva:x’ cv + d. Dan is dus q 3 = cq + d. Tel aan beide zijden x op: 3 + q cq ± x 3 + d. We vullen nu hi’rin dc op te lossen vergelijking 3 + d cx in, en we krijgen dan. x —
—
-
10 Het tweede geval in dit procedd 11 Doet zich voor wanneer dc lerde macht afzonderlijk staat
q
3
t ÷x=q+cx
en er volgt. (q + x)( qx + q ) c(q ± xl. 2 Dan is dus q ± x = 0 of (rj qx ÷ (q’ = c. De vergelijking q + x 0 gceftx q’ dit s geer oplos sing, wantx is negatief! De goede oplossing volgt uit x ) 2 qx + (q Dit is ) 2 en tweedegraadsvergelijkrng in x en met dc ahc lorir u le volgt dan: -
geven aan dat hier het geval worden In
cx + d bekeken gaat
=
12, Ook dan weten we er el raad mee: 13 Fr zijn nu twee delen waaruit de d bcstaat 14. En wel zd, dat het ene maal het andre part 15. Gelijk is aan eenderde deel van c, dat weer tot de der de macht gaat wordt uitgelegd dat we we r een den maarnuzo dat u+v=dcnuv= t
n een
is
mo tei vi
-
De afloop Girolarr o (‘ardano houdt i’eh riet aan lijn bek fie als hij er achter komt lat nog veel mur mensen van dc metho de van lartaglia opde hoogte zijn en publiceert dc me
mie i rj m wuk r il nu D Ii, rot’ tussen ‘t ariziglia en (‘ardano, Van Cardano5’ vnrderc le en ziji no er’ cle ee om f ‘[en bek’nd rm 56f rd zij uidst c t zeus leve ing zo t &xecutecrml wegen.v hei vrgmtti.cn van diens flocal s t oe r h o e g e iCfl i node: dc mart .ailcii van 1 r ‘rnui ‘nen r:’tkr ct a-iaa. Ic’a Ir ‘d ‘ei’ u
Met de regels: e ge e e regel h ru ee wa d 17Datde dcrdemachtswortck van de deten I’ez nc d op g jr ge.. h d
v’ ian & el-i”. Is r ze i een c tit ziukh,n 1 n r u r vv t ii
e
zie
‘,
Da
i 1
u .r
‘r
iI
55’
t \a
t
een gcvneenchap au een naar maand
11 nee rmt tij ( d r ar i,r neemt na’ r ceert Dy’mt Cudatn 1 r n naar cd m ‘eiRci 1 a Ij Pi Vcl h ‘r nv r” SI i t t. 1 t
cd
t
t
e
nu
‘
—
Tartaglia op een dood spoor. Tartaglia sterft op 13 de cember 1557 arm en een;aam Zelfs de formule voor derdegmads vergelijkingen heet nu de Formule vie Cardano,
Literatuur Boyer Cari B (1968): A the ry of Mathemaucs, Singa pore. John Wilev & Sons. Cantor, Moritz (1913): VorIesunen üher Geschichte der Mathematik, Band 2: 1200-1668, Leipzig: B.G, Teubner Fauvel, John and Jeremy Gray, eds. (1988): The hisiorv of Mathematics: a reader, Houndmilis: MacMillan Press in ass. with The Open University, pp. 254-256. Gillispie 0 G. (cd in chief) (1968) Dzctionarv of Scientific Biography, New York. Ch, Scribner, Hiemnymus Cardanus (1962): The Book if my Life; transi. from De Propria Vita by Jean Stoner, Ne Yorlc Dover, Scholz, Erhard, e.a (1990): Geschzchte der Algebra eine Einfiihrung, Mannhcim: BI. Wissenschaftvcr lac.
Noten [1] Deze dialoog heeft Tartaglia achteraf opgeschreven. Wij hebben een Engelse vertaling (Fauvel and Gray, 1988) Vrij vertaald. [2] In die tijd kon men alleen werken met positieve coëf ficienten, waardoor bijvoorbeeld de vergelijking 3 + kx + m ix als een ander type werd gezien als x + = L + m. [3] In deze vertaling van het gedicht ‘s het originele Italiaanse rij mschema aangehouden De notatie x, c, dis modem (17e eeuws). [4] Venetiaanse jaartelling; in onze jaartelling 1545.
WISKUNDE
EERSTEGRAADS
Al gedacht aan een eerstegraads erarenopleiding wiskunde? 1)
1
.
gia,
t’it.
he
IdIk ci
chi
a
gi
tu
ei
Ç
iS
15
‘f
t,
t, st’
t
-td,j t t -s ‘1-
t,
s
t
t
‘rsis’-c’ thks
dc’ ‘els—
s C
k Ii
1,
-
‘ci
•t’S_
-\
t
‘t--1’’(
t
t,,
5,rt-p
-.
air
B
t
.,
ei
i(rctinu(Ilig
St
iaI”rdutg 1
A
•l
er
ns
i9O
5 t
t
.
