Hedging van sterfte- en rentevoetrisico

Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica

Hedging van sterfte- en rentevoetrisico

Dorien Roels

Promotor: Prof. Dr. M. Vanmaele

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting toegepaste wiskunde

Academiejaar 2011–2012

Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica

Hedging van sterfte- en rentevoetrisico

Dorien Roels

Promotor: Prof. Dr. M. Vanmaele

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting toegepaste wiskunde

Academiejaar 2011–2012

Voorwoord In het laatste jaar van de middelbare school stelde iedereen de vraag: wat ga je volgend jaar studeren? Mijn automatische antwoord was: iets met wiskunde. Naarmate het jaar vorderde verkortte dat antwoord tot: wiskunde, mijn keuze was gemaakt. De vraag die daarna steeds gesteld werd was: ga je dan in het onderwijs? Een mogelijke optie, maar al heel snel had ik door dat dat niet mijn ding was. De wereld van economie en verzekeringen sprak mij meer aan en ik heb dan ook mijn keuzevakken in die richting gekozen. Ook de keuze voor een masterproef was snel gemaakt: financiële wiskunde. Iedere laatstejaarsstudent zal beamen dat je een thesis niet alleen schrijft. Veel mensen spelen hierbij een rol en ik wil hen daarvoor dan ook uitgebreid bedanken. Eerst en vooral wil ik mijn promoter, Prof. dr. Michèle Vanmaele, bedanken voor de begeleiding van deze masterproef. Ondanks haar zeer drukke agenda vond ze steeds een gaatje om mijn werk met een kritisch oog na te lezen en mijn vragen te beantwoorden. Daarnaast wil ook mijn ouders bedanken. Zij hebben mij niet alleen de mogelijkheid gegeven om verder te studeren, maar ook hun volste vertrouwen en onvoorwaardelijke steun gedurende mijn studentencarrière. Ook wil ik mijn vriend Joachim bedanken. In stressperiodes was ik niet altijd even aangenaam en hij heeft dat met veel begrip verdragen. Ook mijn broer, zus, schoonzus en schoonbroer wil ik hier vermelden. De jongste zijn was en is nog steeds heel leuk en leerrijk met zo’n mensen om je heen. Ik ben altijd heel trots op hen geweest en ik hoop dat zij nu ook trots kunnen zijn op mij. Ik dank ook mijn vrienden, studie- en kotgenoten. Samen zorgden we voor een mooie afwisseling tussen studeren en plezier maken. In het bijzonder dank ik nog Elien Pacqué, Yannick Neyt, Thomas De Croock en Pieter De Smet voor de hulp en steun die ze me geboden hebben tijdens het maken van dit werk. Dorien Roels, juni 2012

iii

Toelating tot bruikleen

“De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.”

Dorien Roels, juni 2012

v

Inhoudsopgave Voorwoord

iii

Toelating

v

Inleiding

1

1 Begrippen en definities 1.1 Kanstheorie en stochastische calculus . . . . . 1.1.1 Kanstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Martingaal, Brownse beweging en Itô 1.1.3 Semimartingalen . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Poissonproces . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Obligaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Interestvoeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Affien proces en affiene termijnstructuur . . . 1.5 HJM-framework . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Sterfterisico 2.1 Algemeen . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tijdshomogene modellen . . . . . 2.2.1 Ornstein-Uhlenbeckproces 2.2.2 Ornstein-Uhlenbeckproces 2.2.3 Fellerproces . . . . . . . . 2.2.4 Fellerproces met sprongen 2.3 Tijdsinhomogeen CIR-model . . 2.4 Voorwaartse sterfte-intensiteiten

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Financieel risico en gecombineerd model 3.1 Voorwaartse rentevoet . . . . . . . . . . . . 3.2 De verzekeringsportefeuille . . . . . . . . . . 3.3 Verandering van maat . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Systematisch sterfterisico: θx (t) . . . 3.3.2 Rentevoetrisico: θF (t) . . . . . . . . 3.3.3 Niet-systematisch sterfterisico: φ(t) . vii

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

3 3 3 7 11 12 14 15 16 18

. . . . . . . .

21 21 24 24 26 26 27 27 30

. . . . . .

33 34 34 35 36 37 38

Inhoudsopgave

3.4 3.5

3.3.4 De financiële markt 3.3.5 Gecombineerd model Premie . . . . . . . . . . . . HJM-restrictie . . . . . . .

viii . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 Delta-Gammahedging 4.1 Algemeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Hedging van het sterfterisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Hedging van sterfte- en interestvoetrisico . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Hedging met levensverzekeringen . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Hedging met levensverzekeringen en nulcouponobligaties 5 Kwadratische hedgingtechnieken 5.1 Risicominimaliserende hedgingstrategie . . . . . . . 5.1.1 Algemeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1.1 Complete markt . . . . . . . . . . 5.1.1.2 Incomplete markt . . . . . . . . . 5.1.2 Betaalproces en marktreserves . . . . . . . 5.1.3 Risicominimalisatie in aanwezigheid van een 5.2 Mean-variance hedging . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Mean-variance indifference pricing . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

38 40 45 45

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

51 51 52 56 58 58

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . betaalproces . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

61 62 63 63 64 66 71 82 83

Besluit

97

Bibliografie

99

Inleiding De laatste decennia is de verwachte levensduur wereldwijd gestegen. Hierdoor moeten verzekeringsmaatschappijen zich aanpassen inzake sterftegegevens om de reserves te bepalen. De onzekerheid over de toekomstige ontwikkeling van de sterfte-intensiteit leidt tot het systematisch sterfterisico. Om een juiste beschrijving van de toekomstige sterfte te bekomen wordt gebruik gemaakt van stochastische modellen. Deze zijn belangrijk om de onvoorziene veranderingen in de levensduur van polishouders van verzekeringsmaatschappijen voor te stellen. Er zijn al verschillende modellen ontwikkeld om mortaliteit weer te geven, bv. het Lee-Carter model en uitbreidingen daarvan. Daarnaast wordt ook vaak de link gelegd met het modelleren van interestvoetrisico. Onder andere Dahl [9], Milevsky en Promislov [21] en Luciano et al. [19] maken hiervan gebruik om het sterfterisico te modelleren. Ook de rentevoeten zijn stochastisch waardoor de maatschappijen rekening moeten houden met een financieel risico. Vroeger lag de nadruk vooral op dit risico en werd geopteerd om de sterfte-intensiteit veilig genoeg te kiezen. De sterftetafels die 20 á 30 jaar geleden gebruikt werden om levensverzekeringen te prijzen, bleken niet adequaat genoeg te zijn, waardoor er soms langer moest uitbetaald worden dan verwacht. De laatste jaren wordt dan ook gekozen om zowel het financiële als het sterfterisico te beheersen. Naast deze twee risico’s is er ook nog het zogenaamde niet-systematisch sterfterisico, verbonden aan het willekeurig voorkomen van sterfgevallen in de groep van verzekerden. Dit risico verdwijnt echter wanneer er wordt gewerkt met goed gediversifieerde portefeuilles. Deze masterproef bespreekt een aantal mogelijke oplossingen voor het hedgingprobleem bij levensverzekeringspolissen wanneer het sterftecijfer en de rentevoet stochastisch zijn. We starten met een inleidend hoofdstuk met begrippen en definities uit de financiële wiskunde, voornamelijk gebaseerd op [27] met aanvullingen uit [8] en [24]. In hoofdstuk 2 introduceren we een stochastisch model voor de sterfte-intensiteit en geven we enkele voorbeelden van intensiteitsmodellen. Daarnaast wordt ook de voorwaarste sterfte-intensiteit ingevoerd. Hoofdstuk 3 beschrijft de financiële markt en de verzekeringsportefeuille. Na een verandering van maat komen we dan terecht bij het gecombineerde model. Een eerste manier van hedgen wordt beschreven in hoofdstuk 4: Delta- en Gammahedging. Voor deze uiteenzet1

Inleiding

2

ting gebruiken we het artikel “Natural delta gamma hedging of longevity and interest rate risk”[19] van Luciano et al. als leidraad. Hoofdstuk 5 over kwadratische hedgingtechnieken volgt algemeen het artikel “A guided tour through quadratic hedging approaches”[26] van Schweizer, waarvan het deel over risicominimaliserende hedging gebaseerd is op het artikel “Valuation and hedging of life insurance liabilities with systematic mortality risk”[10] van Dahl en Møller. Als laatste geven we nog een korte inleiding over mean-variance hedging en bespreken we de theorie over mean-variance indifferentieprijzen. Deze stukken zijn gebaseerd op de artikels “On transformations of actuarial valuation principles”[22] en “A guided tour through quadratic hedging approaches”[26] van respectievelijk Møller en Schweizer.

Hoofdstuk 1

Begrippen en definities Dit eerste hoofdstuk biedt de lezer een beknopt overzicht van enkele basisbegrippen uit de financiële wiskunde. Hiervoor baseren we ons voornamelijk op [4], [24] en [27]. We starten met definities uit de kanstheorie en stochastische calculus. Daarna spreken we kort over obligaties en interestvoeten, twee concepten die verder in deze masterproef regelmatig gebruikt worden. Verder geven we ook nog een inleiding over affiene processen en introduceren we het HeathJarrow-Mortonschema.

1.1 1.1.1

Kanstheorie en stochastische calculus Kanstheorie

Een belangrijk begrip in de theorie van stochastische processen is het concept “maat”. We geven hier de belangrijkste definities en eigenschappen, voor een uitgebreide studie van maattheorie verwijzen we naar [16]. Het begrip “maat¨ıs een abstracte veralgemening van gebruikelijke concepten zoals lengte, oppervlakte en volume. Een maat µ op een verzameling Ω kent een positieve waarde µ(A) ∈ [0, ∞] toe aan de meetbare verzamelingen A ⊂ Ω. De vergelijking met het concept oppervlakte levert ons een eerste eigenschap van een maat, namelijk dat de lege verzameling maat 0 heeft: µ(∅) = 0. Ook waneer we een aantal disjuncte meetbare verzamelingen bekijken, is het logisch dat ook de unie van die verzamelingen meetbaar is en dat er geldt   [ X µ  An  = µ(An ). n≥1

n≥1

Het is ook logisch om te eisen dat wanneer een verzameling A meetbaar is, dan ook het complement Ac meetbaar is. Deze eigenschappen worden samengevat in de definitie van een σ-algebra: Definitie 1.1.1 (σ-algebra). [27] Zij Ω een niet-ledige verzameling en F een klasse van deelverzamelingen van Ω, dan is F een σ-algebra (of σ-veld) als: 3

Hoofdstuk 1. Begrippen en definities

4

de ledige verzameling ∅ tot F behoort, als een gebeurtenis A ∈ F, dan ook het complement Ac ∈ F, S als een rij verzamelingen A1 , A2 , . . . ∈ F, dan ook de unie ∞ n=1 An ∈ F. Nu kunnen we een definitie geven van het concept maat: Definitie 1.1.2 (Maat). [8] Zij F een σ-algebra van deelverzamelingen van Ω. Met (Ω, F) noteren we een meetbare ruimte. Een maat op (Ω, F) is een functie µ:

Ω A

→ 7 →

[0, ∞] µ(A)

zodat

µ(∅) = 0. (σ-additiviteit) Voor elke rij van disjuncte verzamelingen An ∈ Ω geldt   [ X µ  An  = µ(An ). n≥1

n≥1

In bovenstaande definitie is de maat steeds positief. Nochthans kunnen ook niet-positieve maten beschouwd worden: als µ+ en µ− twee positieve maten zijn, dan voldoet µ = µ+ − µ− aan definitie 1.1.2, dit wordt dan een “signed” maat genoemd. Zo een “signed” maat is een veralgemening van het concept maat doordat het ook negatieve waarden toelaat. Een “signed” maat is dus een functie µ : Ω → R waarvoor µ(∅) = 0 en µ σ-additief is. Een andere regelmatig gebruikte maat is de Diracmaat δx , deze is verbonden met de Diracdeltafunctie  ∞ als x = 0 δ(x) = 0 als x 6= 0. De Diracmaat wordt gedefinieerd als:  1 δx (A) = 0

als x ∈ A als x ∈ / A.

Aangezien de Diracmaat een kansmaat is, wordt ze gekarakteriseerd door een verdelingsfunctie, de Heavysidedistributie 1{x≥0} . In distributionele zin is de Diracdistributie de afgeleide van de Heavysidedistributie. Voor meer informatie verwijzen we naar [29]. We geven hier nog een eigenschap die we later nog zullen gebruiken: Eigenschap 1.1.3. Voor een meetbare functie f geldt Z b f (x)d1{t≤u} = 1{a≤t≤b} f (t). a


5

Een zeer belangrijke maat in een financiële context is de kansmaat. De verzameling Ω stelt dan de verschillende scenario’s voor die kunnen voorvallen op de financiële markt. Definitie 1.1.4 (Kansmaat). [27] Zij Ω een niet-ledige verzameling en F een σ-algebra van deelverzamelingen van Ω. De functie P die aan elke verzameling A ∈ F een waarde in [0, 1] toekent, i.e. P:

F A

→ 7→

[0, 1] P(A)

is een kansmaat als geldt

P(Ω) = 1, als A1 , A2 , . . . een rij van disjuncte verzamelingen in F is, dan ! ∞ ∞ [ X P An = P(An ). n=1

n=1

Het triplet (Ω, F, P) wordt een kansruimte genoemd. Het is een natuurlijke reactie om twee maten met elkaar te vergelijken. Hiervoor maken we gebruik van de volgende definitie: Definitie 1.1.5 (Absoluut continu). [8] Beschouw een meetbare ruimte (Ω, F). Een maat µ2 is absoluut continu met betrekking tot een maat µ1 als voor elke meetbare verzameling A geldt: µ1 (A) = 0 ⇒ µ2 (A) = 0. We noteren dit ook als µ2 µ1 . Als zowel µ1 µ2 als µ2 µ1 geldt, dan zeggen we dat de maten µ1 en µ2 equivalent zijn. We noteren dit als µ1 ∼ µ2 . Uiteraard kunnen we deze definities ook toepassen op kansmaten: QP

als

∀A ∈ F : P(A) = 0 ⇒ Q(A) = 0,

Q∼P

als

∀A ∈ F : P(A) = 0 ⇔ Q(A) = 0.

Definitie 1.1.6 (Filtratie). [27] Zij Ω een niet-ledige verzameling, T een vast positief getal en onderstel dat voor elke t ∈ [0, T ] er een σ-algebra F(t) bestaat. Veronderstel bovendien dat de familie van σ-algebra’s stijgend is, i.e. F(s) ⊂ F(t) als s < t. Dan is de klasse van σ-algebra’s {F(t); 0 ≤ t ≤ T } een filtratie. Verder zullen we een filtratie vaak noteren als F, terwijl we met F(t) een σ-algebra bedoelen. Vaak worden er extra voorwaarden opgelegd aan de kansruimte:


6

Definitie 1.1.7 (Gebruikelijke voorwaarden). [24] Een kansruimte (Ω, F, P) voldoet aan de gebruikelijke voorwaarden als

F(0) bevat alle P-nulverzamelingen van F, de filtratie is dus compleet, T F(t) = u>t F(u) voor alle t : 0 ≤ t < ∞, dit wil zeggen dat de filtratie rechtscontinu is. Definitie 1.1.8 (Stochastische veranderlijke). [27] Zij (Ω, F, P) een kansruimte. Een stochastische veranderlijke is een reëelwaardige functie X gedefinieerd op Ω met de eigenschap dat voor elke Boreldeelverzameling B van R, de deelverzameling van Ω gegeven door {X ∈ B} = {ω ∈ Ω|X(ω) ∈ B} behoort tot de σ-algebra F. Definitie 1.1.9 (Stoptijd). [24] Zij (Ω, F, P) een kansruimte. Een stochastische variabele T : Ω → [0, ∞] wordt een stoptijd genoemd als {T ≤ t} ∈ F(t) voor elke 0 ≤ t ≤ ∞. De rechtscontinu¨ıteit van de filtratie leidt tot het belangrijke gevolg dat een gebeurtenis {T < t} ∈ F(t), 0 ≤ t ≤ ∞, als en slechts als T een stoptijd is ([24]). Definitie 1.1.10 (σ-algebra gegenereerd door stochastische veranderlijke). [27] Zij X een stochastische veranderlijke gedefinieerd op een niet-ledige verzameling Ω. De verzameling van alle deelverzamelingen van Ω van de vorm {ω ∈ Ω|X(ω) ∈ B}, waarbij B loopt over alle Boreldeelverzamelingen van R, wordt genoteerd als σ(X) en wordt de σ-algebra gegenereerd door X genoemd. Definitie 1.1.11 (Meetbaar). [27] Zij X een stochastische veranderlijke gedefinieerd op een niet-ledige verzameling Ω en G een σ-algebra van deelverzamelingen van Ω, dan is X Gmeetbaar als elke verzameling in σ(X) ook tot G behoort. Definitie 1.1.12 (Aangepast proces). [27] Zij Ω een niet-ledige verzameling met een filtratie {F(t); 0 ≤ t ≤ T }. Zij X(t) een klasse van stochastische veranderlijken met index t ∈ [0, T ]. Een aangepast stochastisch proces is zo een verzameling van stochastische veranderlijken waarbij voor elke t de stochastische veranderlijke X(t) F(t)-meetbaar is. Definitie 1.1.13 (Bijna zeker). [27] Zij (Ω, F, P) een kansruimte. Als een verzameling A ∈ F voldoet aan P(A) = 1, dan zeggen we dat de gebeurtenis A bijna zeker voorkomt. Stelling 1.1.14. [27] Zij (Ω, F, P) en Z een bijna zekere niet-negatieve stochastische veranderlijke met E[Z] = 1. We definiëren voor A ∈ F Z ˜ P(A) = Z(ω)dP(ω) voor A ∈ F. (1.1.1) A

˜ een kansmaat. Als X een nietnegatieve stochastische veranderlijke is, dan geldt er Dan is P Z ˜ ˜ ˜ E[X] = E[XZ] met E[X] = X(ω)dP(ω). Ω


7

Als Z bijna zeker strikt positief is, dan geldt er ook dat X ˜ E[X] = E . Z Definitie 1.1.15 (Radon-Nikodym afgeleide). [27] Beschouw (Ω, F, P) een kansruimte en ˜ een andere kansmaat op (Ω, F) die equivalent is met P. Zij Z een bijna zekere positieve P ˜ via (1.1.1), dan wordt Z de stochastische veranderlijke die het verband geeft tussen P en P ˜ ten opzichte van P genoemd, en we schrijven: Radon-Nikodym afgeleide van P Z=

1.1.2

˜ dP . dP

Martingaal, Brownse beweging en Itˆ o

Definitie 1.1.16 (Martingaal). [27] Zij (Ω, F, P) een kansruimte, T een vast positief getal en {F(t) : 0 ≤ t ≤ T } een filtratie van sub-σ-algebra’s van F. Beschouw een aangepast stochastisch proces {X(t), 0 ≤ t ≤ T }, ook kortweg X genoteerd. Dit proces X is

een martingaal als E[X(t)|F(s)] = X(s), voor alle 0 ≤ s ≤ t ≤ T, in dit geval is er noch een tendens om te stijgen noch om te dalen;

een submartingaal als E[X(t)|F(s)] ≥ X(s), voor alle 0 ≤ s ≤ t ≤ T, hier is er geen tendens om te dalen, maar een tendens om te stijgen is mogelijk;

een supermartingaal als E[X(t)|F(s)] ≤ X(s), voor alle 0 ≤ s ≤ t ≤ T, hier is er geen tendens om te stijgen, maar een tendens om te dalen is mogelijk. Definitie 1.1.17 (Kwadratisch integreerbaar). [24] Een martingaal X, met X(0) = 0, is kwadratisch integreerbaar als E[X 2 (t)] < ∞ voor t ≥ 0. Definitie 1.1.18 (Cadlag). [24] Een stochastisch proces is cadlag als de paden bijna zeker rechtscontinu zijn en linkerlimieten hebben. Het stochastisch proces heet caglad indien de paden bijna zeker linkscontinu zijn en rechterlimieten hebben. Definitie 1.1.19 (Lokale martingaal). [24] Beschouw een aangepast stochastisch cadlag proces X. Als er een rij van stijgende stoptijden Tn bestaat, met limn→∞ Tn = ∞ bijna zeker, zodat Xt∧Tn 1{Tn >0} 1 een uniform integreerbare martingaal is voor elke n, dan is X een lokale martingaal. Voor een stochastisch proces X en een stoptijd Tn stelt Xt∧Tn = Xt 1{t

8

Definitie 1.1.20 (Voorspelbaar). [24] Een stochastisch proces H is simpel voorspelbaar als H(t) geschreven kan worden als: H(t) = H(0)1{t=0} +

n X

H(Ti )1{Ti
i=0

waarin 0 = T0 ≤ · · · ≤ Tn+1 < ∞ een eindige reeks van stoptijden is en X(Ti ) ∈ F(Ti ) met |H(Ti )| < ∞ bijna zeker, 0 ≤ i ≤ n. De verzameling van simpel voorspelbare processen duiden we aan met S. Voor het continue geval in de tijd zegt men dat een stochastisch proces X voorspelbaar is als X(t−) F(t)meetbaar is, waarbij X(t−) de cagladversie is van X(t). Definitie 1.1.21 (Eerste-orde variatie). [27] De eerste orde variatie FVT (f ) van een functie f over een interval [0, T ] is FVT (f ) = lim

kΠk→0

n−1 X

|f (ti+1 ) − f (ti )|,

i=0

met Π = {t0 , t1 , . . . , tn } een partitie van [0, T ] en 0 = t0 < · · · < tn = T en met maximale stapgrootte kΠk = maxi=0,1,...,n−1 (ti+1 − ti ). Een functie f heeft eindige variatie als FVt (f ) < ∞ voor elke t. Definitie 1.1.22 (Kwadratische variatie). [27] Zij f (t) een functie gedefinieerd voor 0 ≤ t ≤ T . De kwadratische variatie van f tot op het tijdstip T wordt gedefinieerd als [f, f ](T ) = lim

kΠk→0

n−1 X

[f (ti+1 ) − f (ti )]2 ,

i=0

met Π = {t0 , t1 , . . . , tn } een partitie van [0, T ] en 0 = t0 < · · · < tn = T en met maximale stapgrootte kΠk = maxi=0,1,...,n−1 (ti+1 − ti ). Op een analoge manier kan dan ook de (kwadratische) covariatie van twee functies f en g gedefinieerd worden: Definitie 1.1.23 (Kwadratische covariatie). Zij f (t) en g(t) twee functies gedefinieerd voor 0 ≤ t ≤ T . De kwadratische covariatie van f en g tot op het tijdstip T wordt gedefinieerd als [f, g](T ) = lim

kΠk→0

n−1 X

(f (ti+1 ) − f (ti ))(g(ti+1 ) − g(ti )),

i=0

met opnieuw Π = {t0 , t1 , . . . , tn } een partitie van [0, T ] en 0 = t0 < · · · < tn = T en met maximale stapgrootte kΠk = maxi=0,1,...,n−1 (ti+1 − ti ). Eigenschap 1.1.24. Als f een continue functie is en g een functie met eindige variatie, dan geldt voor de covariatie: [f, g](t) = 0.


9

Definitie 1.1.25 (Brownse beweging). [27] Zij (Ω, F, P) een kansruimte. Onderstel dat voor elke ω ∈ Ω een continue functie {W (t), t ≥ 0} bestaat die afhankelijk is van ω en voldoet aan W (0) = 0. Dan is het stochastisch proces W = {W (t), t ≥ 0} een 1-dimensionale Brownse beweging als

voor alle 0 = t0 < t1 < · · · < tm de toenames W (t1 ) = W (t1 ) − W (t0 ), W (t2 ) − W (t1 ), . . . , W (tm ) − W (tm−1 ) onafhankelijk zijn, de toenames stationair zijn, elke toename normaal verdeeld is met gemiddelde E[W (ti+1 ) − W (ti )] = 0 en variantie Var[W (ti+1 − W (ti )] = ti+1 − ti . We kunnen deze definitie uiteraard ook uitbreiden naar meerdere dimensies: Definitie 1.1.26 (Meervoudige Brownse beweging). [27] Een d-dimensionale Brownse beweging is een proces {W (t), t ≥ 0} = {W1 (t) · · · Wd (t), t ≥ 0} met de eigenschappen:

elke {Wi (t), t ≥ 0} is een 1-dimensionale Brownse beweging, als i 6= j, dan zijn de processen {Wi (t), t ≥ 0} en {Wj (t), t ≥ 0} onafhankelijk. Stelling 1.1.27 (Kwadratische variatie van een Brownse beweging). [27] Zij W een Brownse beweging, dan is de kwadratische variatie [W, W ](T ) = T voor alle T ≥ 0 bijna zeker. Formeel kunnen we dit ook schrijven als dW (t)dW (t) = dt. Dit wil zeggen dat over een interval [0, T ] een Brownse beweging T eenheden aan kwadratische variatie accumuleert. Hieruit volgt ook dat een Brownse beweging kwadratische variatie verzamelt aan een snelheid van 1 eenheid per tijdseenheid. Opmerking 1.1.28. [27] De kwadratische variatie van de tijd t is gelijk aan 0, wat in differentiaalvorm geschreven wordt als dtdt = 0. Ook is de kwadratische covariatie van een Brownse beweging W en de tijd t gelijk aan 0: dW (t)dt = 0, wegens eigenschap 1.1.24 aangezien W (t) continu is en t eindige variatie heeft. Definitie 1.1.29 (Itˆ o-integraal). [27] Zij {W (t), t ≥ 0} een Brownse beweging en {F(t), t ≥ 0} een bijhorende filtratie. Een Itˆ o-integraal is een integraal van de vorm Rt I(t) = 0 ∆(u)dW (u). Hierbij wordt verondersteld dat het integrandum ∆ een aangepast stochastisch proces is, zodat ∆(t) F(t)-meetbaar is voor elke t ≥ 0. Een andere vaak gebruikte notatie voor een Itô-integraal is: ∆ · W . We kunnen de definitie ook nog in differentiaalvorm schrijven: dI(t) = ∆(t)dW (t). Hieruit vinden we dan onmiddellijk de differentiaalvorm van de kwadratische variatie van een Itô-integraal: dI(t)dI(t) = ∆2 (t)dW (t)dW (t) = ∆2 (t)dt.


10

Definitie 1.1.30 (Itˆ o-proces). [27] Zij {W (t), t ≥ 0} een Brownse beweging en {F(t), t ≥ 0} een bijhorende filtratie. Een Itˆ o-proces is een stochastisch proces van de vorm Z t Z t Θ(u)du, ∆(u)dW (u) + X(t) = X(0) + 0

0

waarbij X(0) niet stochastisch is en ∆ en Θ aangepaste stochastische processen zijn, die Rt Rt voldoen aan de integreerbaarheidsvoorwaarden E 0 ∆2 (u)du < ∞ en 0 |Θ(u)|du < ∞ voor alle t > 0 zodat de integralen in het rechterlid bestaan en de Itˆ o-integraal een martingaal is. In differentiaalvorm wordt voorgaande definitie: dX(t) = ∆(t)dW (t) + Θ(t)dt en de kwadratische variatie van een Itˆ o-proces is dan gelijk aan dX(t)dX(t) = ∆2 (t)dt. Definitie 1.1.31 (Integraal met betrekking tot een Itô-proces). [27] Zij {X(t), t ≥ 0} een Itˆ o-proces en {Γ(t), t ≥ 0} een aangepast proces. De integraal met betrekking tot een Itˆ o-proces wordt gedefinieerd als: Z t Z t Z t Γ(u)dX(u) = Γ(u)∆(u)dW (u) + Γ(u)Θ(u)du, 0

0

Rt

waarbij verondersteld wordt dat E 0 ∆2 (u)du < ∞ en de integralen in het rechterlid gedefinieerd zijn.

0

Rt 0

|Θ(u)|du < ∞ voor alle t > 0, zodat

Stelling 1.1.32 (Itˆ o-formule voor een Itô-proces). [27] Zij {X(t), t ≥ 0} een Itˆ o-proces en f (t, x) een functie met partieel afgeleiden ft (t, x), fx (t, x), fxx (t, x) die gedefinieerd en continu zijn, dan geldt voor elke T ≥ 0: Z T Z T f (T, X(T )) = f (0, X(0)) + ft (t, X(t))dt + fx (t, X(t))dX(t) 0 0 Z 1 T + fxx (t, X(t))d[X, X](t) 2 0 Z T Z T = f (0, X(0)) + ft (t, X(t))dt + fx (t, X(t))∆(t)dW (t) 0 0 Z T Z 1 T + fx (t, X(t))Θ(t)dt + fxx (t, X(t))∆2 (t)dt. 2 0 0 Bovenstaande formule kan ook in differentiaalvorm geschreven worden: 1 df (t, X(t)) = ft (t, X(t))dt + fx (t, X(t))dX(t) + fxx (t, X(t))dX(t)dX(t) 2 = ft (t, X(t))dt + fx (t, X(t))∆(t)dW (t) + fx (t, X(t))Θ(t)dt 1 + fxx (t, X(t))∆2 (t)dt. 2 Definitie 1.1.33 (Itˆ o-productregel). [27] Zijn {X(t), t ≥ 0} en {Y (t), t ≥ 0} twee Itˆ o-processen, dan geldt: d(X(t)Y (t)) = X(t)dY (t) + Y (t)dX(t) + dX(t)dY (t).


11

We kunnen dit ook nog noteren als volgt: Z Z XY = Y dX + XdY + [X, Y ], waarin [X, Y ] staat voor de kwadratische covariatie, zie ook definitie 1.1.23.

1.1.3

Semimartingalen

We gaan nu over tot het begrip semimartingaal. Semimartingalen hebben een bijzondere eigenschap: ze vormen de grootste klasse van stochastische processen waarvoor de stochastische integraal tot dezelfde klasse behoort. We beschouwen een stochastische integraal van simpel voorspelbare processen: φ = φ(0)1{t=0} +

n X

φ(Ti )1 ]Ti ,Ti+1 ]

i=0

en definiëren de lineaire afbeelding I : S → I(φ) = φ(0)X(0) +

n X

L0 : Z

φ(Ti )(X(Ti+1 ) − X(Ti )) =

hierin is

φdX 0

i=1

L0

T

de verzameling van stochastische variabelen met eindige realisaties.

Definitie 1.1.34 (Semimartingaal). [24] Een proces X is een semimartingaal als X aangepast en cadlag is en de afbeelding I continu is. Dit wil zeggen dat voor elke rij φi ∈ S die uniform convergeert2 naar φ ∈ S: sup

|φi (t, ω) − φ(t, ω)| → 0 n→∞

(t,ω)∈[0,T ]×Ω

de overeenkomstige stochastische integralen convergeren in kans3 : Z T Z T P φi dX → φdX := (φ · X)(T ). 0

n→∞

0

Als de continu¨ıteitseigenschap uit de vorige definitie niet geldt, kan een kleine wijziging in φ een grote wijziging teweegbrengen in de stochastische integraal. Daarom verkiezen we te werken met stochastische processen die semimartingalen zijn. Een semimartingaal kan ook gekarakteriseerd worden aan de hand van de volgende decompositie: X(t) = X(0) + M (t) + A(t), met M (t) een lokale martingaal en A(t) een cadlag, aangepast proces met eindige variatie. Deze decompositie wordt ook de Doob-Meyerdecompositie genoemd. 2

[16] Een rij van reële functies f1 , f2 , . . . met domein A ⊂ R convergeert uniform naar een reële functie f met domein A als: (∀ > 0)(∃N ∈ N)(∀z ∈ A)(∀n ∈ N)(n ≥ N ⇒ |f (z) − fn (z)| < ). De snelheid van convergeren is hierbij onafhankelijk van z. 3 [16] Een rij van stochastische veranderlijken X1 , X2 , . . . convergeert in kans naar een stochastische veranderlijke X als voor elke > 0: limn→∞ P [|Xn − X| > ] = 0 .


12

Definitie 1.1.35 (Kwadratische covariatie). [24] Het kwadratisch covariatieproces van twee semimartingalen X en Y wordt gedefinieerd als: Z Z [X, Y ] = XY − Y− dX − X− dY. Definitie 1.1.36 (Conditioneel kwadratische variatie). [24] Stel X en Y twee semimartingalen. De conditioneel kwadratisch covariatie hX, Y i wordt gedefinieerd als de compensator van [X, Y ]: hX, Y i is het uniek voorspelbaar proces waarvoor [X, Y ]−hX, Y i een lokale martingaal is. Als X een continue semimartingaal is, dan is [X, X] = hX, Xi. Eigenschap 1.1.37 (Itˆ o-productregel voor semimartingalen). [8] Als X en Y twee semimartingalen zijn dan geldt: Z t Z t X(t)Y (t) = X(0)Y (0) + X(u−)dY (u) + Y (u−)dX(u) + [X, Y ](u), 0

0

waarin [X, Y ] staat voor de kwadratische covariatie. Eigenschap 1.1.38. [24] Zij X een lokale martingaal, dan is X een martingaal met E[X 2 (t)] < ∞ voor alle t ≥ 0 als en slechts als E [[X, X](t)] < ∞ voor alle t ≥ 0. Als E [[X, X](t)] < ∞ dan is E X 2 (t) = E [[X, X](t)]. Eigenschap 1.1.39. [24] Zij X en Y twee semimartingalen en H, K twee aangepaste stochastische processen die kwadratisch integreerbaar zijn, dan geldt: Z t Z t Z t H(s)dX(s), K(s)dY (s) (t) = H(s)K(s)d[X, Y ](s). 0

0

0

Met behulp van bovenstaande twee eigenschappen vinden we volgende belangrijke gelijkheid, de Itô-isometrie: "Z Z t 2 # t H 2 (s)d[X, X](s) . =E H(s)dX(s) E 0

0

Definitie 1.1.40 (Orthogonale martingalen). [24] Twee stochastische veranderlijken X en Y zijn orthogonaal als en slechts als het product XY een martingaal is. Lemma 1.1.41. Stel X en Y twee kwadratisch integreerbare martingalen, dan zijn deze orthogonaal als en slechts als hX, Y i = 0.

1.1.4

Poissonproces

Om tot de definities van een Poissonproces te komen starten we bij telprocessen. Definitie 1.1.42 (Telproces). [24] Zij (Ω, F, P) een kansruimte en {Ti }i≥0 een strikt stijgende rij van positieve stochastische variabelen, met T0 = 0 bijna zeker. Een telproces {Nt }t≥0 is een proces van de vorm: X Nt = 1{Ti ≤t} i≥1

met

1 de indicatorfunctie.


13

De variabele T wordt de explosietijd van N genoemd. Als T = ∞ bijna zeker, dan is N een telproces zonder explosies. Als bovendien geldt dat E[Nt ] < ∞, t ≥ 0, dan is het telproces N integreerbaar ([5]). Stelling 1.1.43. [24] Een telproces N is aangepast als en slechts als de bijhorende stochastische variabelen {Ti }i≥0 stoptijden zijn. Bewijs. Als {Ti }i≥0 stoptijden zijn, geldt er: {Nt = n} = {ω | Tn (ω) ≤ t < Tn+1 (ω)} ∈ F(t)

∀n.

Zodat Nt ∈ F(t) en dus aangepast is. Als N aangepast is, dan {Tn ≤ t} = {Nt ≥ n} ∈ F(t) voor elke t. Hierdoor is Tn een stoptijd. Definitie 1.1.44 (Poissonproces). [24] Een aangepast telproces N is een Poissonproces als

voor alle s, t waarvoor geldt 0 ≤ s < t < ∞, Nt − Ns onafhankelijk is van F(s) (onafhankelijke toenames), voor alle s, t, u, v waarvoor geldt 0 ≤ s < t < ∞, 0 ≤ u < v < ∞ en t − s = v − u, de verdeling van Nt − Ns dezelfde is als de verdeling van Nv − Nu (stationaire toenames). Een Poissonproces kan ook nog gedefinieerd worden als: Definitie 1.1.45 (Poissonproces). [8] Zij {τi }i≥1 een rij van onafhankelijk exponentiële stoP chastische variabelen met parameter λ en Tn = ni=1 τi . Het proces {Nt }t≥0 : X Nt = 1{t≥Tn } n≥1

is een Poissonproces met intensiteit λ. Op deze manier zien we duidelijk dat een Poissonproces een speciaal telproces is. Stelling 1.1.46. [24] Zij N een Poissonproces, dan heeft Nt een Poissonverdeling met parameter λt: e−λt (λt)n P(Nt = n) = , n! n = 0, 1, 2, . . ., λ ≥ 0. De parameter λ van het Poissonproces, heet de intensiteit van het proces. Wanneer deze intensiteit constant is gedurende een tijdsperiode spreken we van een homogeen Poissonproces. Wanneer een niet-homogeen Poissonproces een stochastische intensiteit heeft spreken we van een dubbel stochastisch Poissonproces of Coxproces. Definitie 1.1.47 (Gecompenseerd Poissonproces). [8] Zij N = (Nt )t een Poissonproces met intensiteit λ. Het gecompenseerd Poissonproces wordt gedefinieerd als: ˜t }t≥0 = {Nt − λt}t≥0 . {N


14

Lemma 1.1.48. [8] Het gecompenseerd Poissonproces is een martingaal. Bewijs. We maken gebruik van de eigenschap dat Nt − Ns dezelfde verdeling heeft als Nt−s en onafhankelijk is van F(s) en dat E[Nt ] = λt: E[Nt − λt|F(s)] = E[Nt − Ns + Ns − λt|F(s)] = E[Nt − Ns ] + Ns − λt = λ(t − s) + Ns − λt = Ns − λs.

Hiermee zien we dat λt de compensator is van {Nt }t≥0 aangezien het ervoor zorgt dat het Poissonproces een martingaal wordt. We merken wel op dat het gecompenseerd Poissonproces geen telproces is.

1.2

Obligaties

Definitie 1.2.1 (Nulcouponobligatie). [4] en [6] Een nulcouponobligatie met vervaldag T is een contract waarbij aan de houder van het contract op tijdstip T gegarandeerd één eenheid van een bepaalde munt wordt uitbetaald. De prijs op tijdstip t van een obligatie met vervaldag T is P (t, T ). Op tijdstip t geeft een nulcouponobligatie dus de huidige waarde weer van één eenheid van een munt die betaald moet worden op de vervaldag T . Opdat de obligatiemarkt bestaat en voldoende rendabel is, worden de volgende veronderstellingen gemaakt ([4] en [15]): P (t, t) = 1 geldt voor alle t, zodat de payoff van de obligatie op maturiteit T een zekere waarde 1 heeft. Voor elke vaste t is de obligatieprijs P (t, T ) afleidbaar naar T : ∂ ln P (t, T )/∂T bestaat voor alle T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ], zodat voorwaartse interestvoeten goed gedefinieerd zijn. P (t, T ) > 0 ∀T ∈ [0, τ ] en t ∈ [0, T ], dit zorgt ervoor dat er geen arbitrage mogelijk is. Er bestaat een markt voor nulcouponobligaties voor elke T > 0.

De obligatieprijs P (t, T ) is stochastisch in twee variabelen, t en T . Wanneer t wordt vastgehouden, geeft P (t, T ) de prijzen op het tijdstip t voor obligaties met alle mogelijke vervaldata. Wordt T gefixeerd dan levert P (t, T ) de prijzen op verschillende tijdstippen van een obligatie met vervaldag T .


15

Definitie 1.2.2 (Geldmarkt). [6] B(t) is de waarde van een geldmarkt op tijdstip t ≥ 0 die volgens volgende differentiaalvergelijking evolueert: dB(t) = r(t)B(t)dt,

B(0) = 1,

waarbij r(t) een positieve functie van t is. Via integratie vinden we uit de definitie: Z B(t) = exp

t

r(s)ds .

0

Een investering van één eenheid in de geldmarkt op tijdstip 0, levert de waarde B(t) op tijdstip t, waarin r(t) de ogenblikkelijke interestvoet is waarmee de geldmarkt aangroeit. We kunnen dan ook nog verdisconteringsproces definiëren: Z t 1 = exp − r(s)ds . D(t) = B(t) 0 Definitie 1.2.3 (Arbitrage). Een portefeuille V (t), t ≥ 0 heeft een arbitragemogelijkheid als

V (0) = 0, P(V (t) ≥ 0) = 1, P(V (t) > 0) > 0. Er is dus sprake van arbitrage indien voor een handelsstrategie, waarbij gestart wordt met een beginkapitaal 0, de kans op verlies gelijk is aan 0 en de kans op winst strikt groter dan 0.

1.3

Interestvoeten

We geven hieronder een opsomming van vaak gebruikte interestvoeten. In het vervolg van deze masterproef zal vooral de definitie van de ogenblikkelijke voorwaartse interestvoet regelmatig terugkomen. Definitie 1.3.1 (Eenvoudige contante interestvoet). [4] De eenvoudige contante interestvoet voor het tijdsinterval [S, T ], ook wel LIBOR spot interestvoet genoemd, wordt gedefinieerd als: L(S, T ) = −

P (S, T ) − 1 . (T − S)P (S, T )

Definitie 1.3.2 (Continu samengestelde contante interestvoet). [4] De continu samengestelde contante interestvoet voor het tijdsinterval [S, T ] wordt gedefinieerd als: R(S, T ) = −

ln P (S, T ) . T −S


16

Definitie 1.3.3 (Eenvoudige voorwaartse interestvoet). [4] De eenvoudige voorwaartse interestvoet voor het tijdsinterval [S, T ] vastgelegd op tijdstip t, ook wel voorwaartse LIBOR interestvoet genoemd, wordt gedefinieerd als: L(t; S, T ) = −

P (t, T ) − P (t, S) . (T − S)P (t, T )

Definitie 1.3.4 (Continu samengestelde voorwaartse interestvoet). [4] De continu samengestelde voorwaartse interestvoet voor het tijdsinterval [S, T ] vastgelegd op tijdstip t, wordt gedefinieerd als: ln P (t, T ) − ln P (t, S) R(t; S, T ) = − . T −S Definitie 1.3.5 (Ongeblikkelijke voorwaartse interestvoet). [4] De ogenblikkelijke voorwaartse interestvoet met maturiteit T , vastgelegd op tijdstip t, wordt gedefinieerd als: F (t, T ) = −

∂ ln P (t, T ) . ∂T

Definitie 1.3.6 (Ogenblikkelijke contante interestvoet). [4] De ogenblikkelijke contante interestvoet op het tijdstip t wordt gedefinieerd als: r(t) = F (t, t).

1.4

Affien proces en affiene termijnstructuur

Een affien proces is een speciaal geval van een Markovproces. Daarom starten we met de definitie van een Markovproces. Definitie 1.4.1 (Markovproces). [5] Zij X een stochastisch proces gedefinieerd op de kansruimte (Ω, F, P), dan is X een (P, F(t))-Markovproces als en slechts als voor alle t ≥ 0 geldt: F(t) en σ(X(s), s ≥ t) zijn onafhankelijk, gegeven X(t). Als X een (P, F(t))-Markovproces is, dan geldt in het bijzonder: E[f (X(t))|F(s)] = E[f (X(t))|σ(X(s))] voor alle 0 ≤ s ≤ t en alle begrensde meetbare functies f . Definitie 1.4.2 (Affien proces). [28] Een meerdimensionaal Markovproces X is een affien proces als de voorwaardelijke karakteristieke functie (CCF) of de voorwaardelijke momentgenererende functie (CMGF) van het proces de volgende exponentieel affiene vorm hebben: e

φ0t +φtr X Xt t

met φ0t en φXt vectoren van complexe, respectievelijk reële, coëfficiënten in het geval van CCF, respectievelijk CMGF. De notatie tr staat voor de getransponeerde.


17

De voorwaardelijke karakteristieke functie (CCF) en de voorwaardelijke momentgenererende functie (CMGF) uit de vorige definitie worden gegeven door: CCFt (τ, u) = E[eiu

tr X T

tr X T

CM GFt (τ, u) = E[eu

|Xt ], u ∈ RN ,

|Xt ], u ∈ RN ,

met τ = T − t. Een affien termijnstructuurmodel is een interestvoetmodel waarbij de continu samengestelde contante interestvoet R(t, T ) een affiene functie is van de kortetermijnrentevoet r(t), i.e. R(t, T ) = α(t, T ) + β(t, T )r(t), waarin α en β deterministische functies van de tijd zijn. Wanneer de obligatieprijzen P (t, T ) de volgende vorm hebben: P (t, T ) = eA(t,T )−B(t,T )r(t) met A en B deterministische functies en r de rentevoet, dan heeft het kortetermijnrentevoetmodel een affiene termijnstructuur. We nemen een kortetermijnrentevoet waarvan de stochastische differentiaalvergelijking wordt gegeven door: dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))dW (t), waarin W staat voor een Brownse beweging. Volgende stelling geeft aan voor welke keuzes voor µ en σ het rentevoetmodel een affiene termijnstructuur heeft: Stelling 1.4.3 (Affiene termijnstructuur). [4] Veronderstel dat µ en σ de volgende vorm hebben: µ(t, r) = α(t)r + β(t), p σ(t, r) = γ(t)r + δ(t), dan heeft het interestvoetmodel een affiene termijnstructuur: P (t, T ) = eA(t,T )−B(t,T )r(t) waarbij A en B voldoen aan:   Bt (t, T ) + α(t)B(t, T ) − 21 γ(t)B 2 (t, T ) = −1     B(T, T ) = 0  At (t, T ) = β(t)B(t, T ) − 12 δ(t)B 2 (t, T )     A(T, T ) = 0.


1.5

18

HJM-framework

In een Heath-Jarrow-Morton context (HJM-framework) wordt de evolutie van de interestvoet gemodelleerd, zodat interestvoetmodellen eenvoudig geanalyseerd kunnen worden. Als bouwsteen gebruiken ze de voorwaartse interestvoet, waarmee ze een arbitragevrije context voor de stochastische evolutie van de yield-curve afleiden. Hierin zijn de dynamieken van de voorwaartse interestvoet volledig bepaald door de ogenblikkelijke volatiliteitstructuur. We maken, zoals in [4] de volgende veronderstelling: Zij P een gegeven maat. Stel dat voor elke vaste T > 0, de voorwaartse interestvoet F (·, T ) onder de maat P de volgende stochastische differentiaal heeft: dF (t, T ) = α(t, T )dt + σ(t, T )dW (t),

(1.5.1)

F (0, T ) = F ∗ (0, T ), waarin W een (d-dimensionale) Brownse beweging is en α(·, T ) en σ(·, T ) zijn aangepaste processen. Als beginconditie gebruiken we de geobserveerde voorwaartse interestcurve {F ∗ (0, T ); T ≥ 0}. Wanneer we nu α, σ en {F ∗ (0, T ); T ≥ 0} vastleggen, dan wordt de voorwaartse interestvoetstructuur bepaald, met als gevolg dat de termijnstructuur {P (t, T ); T > 0, 0 ≤ t ≤ T } vastligt, wegens: Z T P (t, T ) = exp − F (t, s)ds (uit definitie 1.3.5). t

In de obligatiemarkt is er nu mogelijkheid tot arbitrage doordat er een bron van onzekerheid is, nl. de Brownse beweging(en), en door het oneindig aantal verhandelbare activa (één obligatie voor elke vervaldatum T ). De vraag is dus: Welk verband is er nodig tussen de processen α en σ zodat het obligatieprijssysteem geen arbitrage toelaat? Hierop geeft volgende stelling een antwoord. Stelling 1.5.1 (Heath-Jarrow-Morton driftvoorwaarde). [4] Stel dat de familie van voorwaartse interestvoeten wordt gegeven door (1.5.1) en dat de obligatiemarkt arbitragevrij is. Dan bestaat er een d-dimensionaal kolomvectorproces λ(t) = [λ1 (t) · · · λd (t)]tr waarvoor voor alle T > 0 en voor alle t ≤ T geldt: Z T α(t, T ) = σ(t, T ) σ(t, s)tr ds − σ(t, T )λ(t), t

waarbij tr staat voor de getransponeerde. Veronderstel vervolgens dat de dynamieken van de voorwaartse rentevoet F (t, T ) onmiddellijk worden gedefinieerd onder de risiconeutrale maat Q: dF (t, T ) = α(t, T )dt + σ(t, T )dW (t), F (0, T ) = F ∗ (0, T ),


19

met W een (d-dimensionale) Brownse beweging onder Q. De risicoloze maat Q zorgt er onmiddellijk voor dat het marktmodel arbitragevrij is, dit volgt uit de Eerste fundamentele stelling. Stelling 1.5.2 (Eerste fundamentele stelling van het prijzen van aandelen). [27] Een marktmodel is arbitragevrij als en slechts als er een risiconeutrale maat bestaat. Hiermee is het arbitrageprobleem opgelost. Nu kunnen we de obligatieprijs ook bepalen aan de hand van de risiconeutrale prijsformule: D(t)P (t, T ) = EQ [D(T )P (T, T )|F(t)] D(T ) |F(t) P (t, T ) = EQ D(t) Z T r(s)ds |F(t) . P (t, T ) = EQ exp − t

Voor de obligatieprijzen hebben we dan volgende uitdrukkingen: Z T P (t, T ) = exp − F (t, s)ds , t Z T P (t, T ) = EQ exp − r(s)ds |F(t) ,

(1.5.2) (1.5.3)

t

waarbij r(t) = F (t, t). Opdat deze twee formules gelijktijdig zouden gelden, moet er een verband gelegd worden tussen α en σ uit de voorwaartse rentevoetdynamieken ([4]). Dit leidt tot een aangepaste versie van stelling 1.5.1: Stelling 1.5.3 (HJM-driftvoorwaarde). [4] Onder de risiconeutrale maat Q moeten de processen α en σ voor elke t en T ≥ t voldoen aan: Z T α(t, T ) = σ(t, T ) σ(t, s)tr ds. t

De veronderstelling dat er geen arbitrage mogelijk is, leidt dus tot een verband tussen de drift α(t, T ) en volatiliteit σ(t, T ) van het stochastisch proces. Voor de volledigheid geven we ook nog de tweede fundamentele stelling van het prijzen van aandelen: Stelling 1.5.4 (Tweede fundamentele stelling van het prijzen van aandelen). [27] Beschouw een marktmodel dat een risiconeutrale maat heeft. Het model is compleet als en slechts als de risiconeutrale maat uniek is.

Hoofdstuk 2

Sterfterisico 2.1

Algemeen

We beschouwen een kansruimte (Ω, F, P), met een niet-ledige verzameling Ω, een klasse σalgebra’s {F(t) : 0 ≤ t ≤ T }, die een rechtscontinue en complete filtratie F vormen, en een kansmaat P. We veronderstellen ook dat de resterende tijd tot sterven een Poissonproces volgt met een stochastische intensiteit. Het intensiteitsproces kan zowel zuiver diffuus zijn als sprongen bevatten. Op de ruimte definiëren we de sterfte-intensiteit van een individu, uit generatie x op tijdstip t, als een niet-negatief en voorspelbaar proces µ. We modelleren het systematisch sterfterisico aan de hand van de sterfte-intensiteit. We vertrekken van de actuele sterftedynamieken en zoeken de overeenkomstige voorwaartse sterfte-intensiteiten en de overlevingskansen. In een eerste deel geven we een algemene behandeling, daarna volgen een paar specifieke intensiteitsprocessen die later nog gebruikt zullen worden. Om het sterftecijfer te modelleren worden er twee begrippen gebruikt (volgens [20]): de overlevingsfunctie en de sterfte-intensiteit. Definitie 2.1.1. De overlevingsfunctie wordt gegeven door: S(t) = P(T0 > t) = 1 − FT0 (t), hierin is T0 een stochastische variabele die de levensduur beschrijft van een pasgeboren individu. We hebben dus de kans gedefinieerd dat een pasgeboren individu minstens t jaar overleeft. De sterfte-intensiteit wordt gedefinieerd als: P(t ≤ T0 ≤ t + δ|T0 ≥ t) . δ→0 δ

µ(t) = lim

21

Hoofdstuk 2. Sterfterisico

22

Het verband tussen deze twee definities vinden we als volgt: P(t ≤ T0 ≤ t + δ|T0 ≥ t) S(t) − S(t + δ) = lim δ→0 δ→0 δ S(t)δ

µ(t) = lim

0

=−

1 S(t + δ) − S(t) S (t) lim =− > 0. δ S(t) δ→0 S(t)

(2.1.1)

De sterfte-intensiteit wordt strikt positief verondersteld, want een sterfte-intensiteit gelijk aan 0 betekent een overlevingskans van 1 en dit is niet realistisch. Dit verschilt met het modelleren van interestvoeten, waar het ook mogelijk is om een interestvoet gelijk aan 0 te hebben. Uit (2.1.1) vinden we een andere definitie voor de overlevingsfunctie: Z t µ(u)du . S(t) = exp − 0

Aangezien de levensduur afhankelijk is van het geboortejaar van een individu is ook de overlevingskans daarvan afhankelijk. Hiervoor gebruiken we een extra parameter x, zodat we krijgen: Z t S(x, t) = exp − µ(x, u)du . 0

Omdat er verschillende factoren de levensverwachting be¨ınvloeden is er een onzekerheid met betrekking tot de overlevingskans. Dit wordt gemodelleerd door de sterfte-intensiteit µ een stochastisch proces te laten volgen. Vaak wordt de evolutie van de sterfte-intensiteit µ weergegeven als: dµ(x, t) = a(t, µ(x, t))dt + σ(t, µ(x, t))dWx (t)

(2.1.2)

met Wx een één-dimensionale Brownse beweging en er wordt verondersteld dat de regulariteitsvoorwaarden voor het bestaan van een sterke oplossing, voor een gegeven beginconditie µ(x, 0) = µ0 > 0, voldaan zijn1 . Aangezien er een verband is tussen µ en S leidt het stochastisch zijn van µ tot het stochastisch zijn van S. Hierdoor zullen we een verwachtingswaarde nodig hebben om de overlevingskans te bepalen. Om dit duidelijk te maken gebruiken we een indicatorfunctie Y (t) die 1 is als het 1

[17] Een sterke oplossing van een stochastische differentiaalvergelijking van de vorm dX(t) = a(t, X(t))dt+ σ(t, X(t))dW (t), zoals (2.1.2), op de gegeven kansruimte (Ω, F, P), met betrekking tot een Brownse beweging W en een gegeven beginvoorwaarde x0 is een proces X met continue paden dat voldoet aan de volgende eigenschappen:

X is aangepast aan de filtratie F, E[X(0) = x0 ] = 1, Rt P[ 0 a(s, X(s)) + σ 2 (s, X(s)) ds < ∞] = 1 geldt voor 0 ≤ t ≤ ∞, Rt Rt de integraalversie van de differentiaalverglijking X(t) = X(0)+ 0 a(s, X(s))ds+ 0 σ(x, X(s))dW (s), 0 ≤ t ≤ ∞ is bijna zeker geldig.


23

individu nog leeft op tijdstip t. De kans dat een persoon van leeftijd x leeft in de periode [0, t] wordt gegeven door: S(x, 0, t) = P(Y (t) = 1) Z 1dPY (t) (ω) = {ω|Y (t)(ω)=1} Z = Y (t)(ω)dPY (t) (ω) Ω

= E[Y (t)] = E[E[Y (t)|I(t)]] = E[1 · S(x, t) + 0 · (1 − S(x, t))] = E[S(x, t)], waarbij I(t) de σ-algebra is gegenereerd door de sterfte-intensiteit µ(x, t). Definitie 2.1.2. De kans dat een individu van leeftijd x (op tijdstip 0) leeft van tijdstip t tot T , t ≤ T , bekeken vanop het tijdstip t, wordt gegeven door:

S(x, T ) S(x, t, T ) = E |F(t) . S(x, t) Uit voorgaande definitie volgt dat we de overlevingskans nog kunnen schrijven als: Z S(x, t, T ) = E exp −

T

µ(x, s)ds |F(t) ,

(2.1.3)

t

waarin F(t) de σ-algebra is met informatie tot op tijdstip t. Wanneer de sterfte-intensiteit gekend is, is de kans dat een persoon van leeftijd x (op tijdstip 0) de periode tussen tijdstip RT t en T overleeft gelijk aan e− t µ(x,u)du . Maar aangezien de verdere ontwikkeling van de sterfte-intensiteit niet gekend is, moet dit aangepast worden met een verwachtingswaarde geconditioneerd op de informatie F(t). Voorts veronderstellen we dat de drift a(t, µ(t)) en de ogenblikkelijke variantie-covariantie coëfficiënt σ 2 (t, µ(x, t)) affiene functies zijn van µ(x, t). We veronderstellen dus dat deze coëfficiënten de volgende vorm hebben: a(t, µ(x, t)) = b + cµ(x, t), σ 2 (t, µ(x, t)) = d + eµ(x, t), met b, c, d, e ∈ R. Volgens eigenschappen van affiene processen kunnen we dan stellen dat ([11]): S(x, t, T ) = eα(T −t)+β(T −t)µ(x,t) ,

(2.1.4)


24

hierin zijn, gelet op stelling 1.4.3, α en β oplossingen van de Riccati-differentiaalvergelijkingen: 1 β 0 (t) = β(t)c + β 2 (t)e2 − 1 2 1 2 0 α (t) = β(t)b + β (t)d2 2

(2.1.5) (2.1.6)

met randvoorwaarden α(0) = 0 en β(0) = 0. Voor het proces µ zijn nu verschillende mogelijkheden. Dahl en Møller [10] kiezen voor een tijdsinhomogeen CIR-model, Luciano en Vigna geven in [20] een aantal tijdshomogene affiene processen als voorbeeld. We overlopen ze hieronder.

2.2 2.2.1

Tijdshomogene modellen Ornstein-Uhlenbeckproces

Het Ornstein-Uhlenbeckproces (OU-proces) beschrijft de sterfte-intensiteit via de volgende differentiaalvergelijking: dµ(t) = aµ(t)dt + σdW (t),

(2.2.1)

met a > 0 en σ ≥ 0. Lemma 2.2.1. De oplossing van differentiaalvergelijking (2.2.1) wordt gegeven door: at

Z

t

µ(t) = µ(0)e + σ

ea(t−s) dW (s).

0

Bewijs. We starten met de homogene differentiaalvergelijking dµ(t) − aµ(t)dt = 0. Via de methode van scheiding der veranderlijken vinden we de homogene oplossing: Z Z dµ(t) = adt µ(t) ln µ(t) = at + C e at , µ(t) = Ce

e ∈ R. C

Nu zoeken we met behulp van de methode van variatie van de arbitraire constante de particuliere oplossing. Stel µ(t) = g(t)eat , hieruit volgt: dµ(t) = eat dg(t) + g(t)deat + dg(t)deat = eat dg(t) + aeat g(t)dt + aeat dtdg(t) = eat dg(t) + aµ(t)dt + 0. Door dit te vergelijken met de opgave dµ(t) = aµ(t)dt + σdW (t) vinden we: dg(t) = σe−at dW (t).


25

Via integratie krijgen we: Z t Z t e−as dW (s) dg(s) = σ 0 0 Z t e−as dW (s) g(t) − g(0) = σ 0 Z t g(t) = µ(0) + σ e−as dW (s)

(µ(0) = g(0)).

0

Door dit in te vullen in µ(t) = g(t)eat vinden we de algemene oplossing van (2.2.1): Z t at µ(t) = µ(0)e + σ ea(t−s) dW (s). 0

We zoeken nu de α en β van (2.1.4) in het geval dat µ een OU-proces volgt. Deze α en β voldoen aan de Riccati-vergelijkingen (2.1.5) en (2.1.6). We noteren het in een lemma: Lemma 2.2.2. We beschouwen de Riccati-differentiaalvergelijkingen (2.1.5) en (2.1.6) met (b, c, d, e) = (0, a, σ, 0): 1 α0 (t) = σ 2 β 2 (t), 2 β 0 (t) = −1 + aβ(t), met randvoorwaarden α(0) = 0 en β(0) = 0. De α en β in (2.1.4) behorende bij het OU-proces µ die hieraan voldoen worden gegeven door: σ2 σ 2 at σ 2 2at 3σ 2 t − e + e + 3 2a2 a3 4a3 4a 1 at β(t) = (1 − e ). a

α(t) =

(a > 0)

Bewijs. We starten met de vergelijking voor β en lossen eerst de homogene vergelijking β 0 (t)− aβ(t) = 0 op. Zoals in lemma 2.2.1 heeft dit als homogene oplossing: βh (t) = Ceat , C ∈ R. Nu zoeken we de particuliere oplossing waarbij we als volgt te werk gaan: Stel β(t) = A, dan is β 0 (t) = 0. We vermenigvuldigen deze eerste vergelijking met a en de tweede met 1, zodat β 0 (t) − aβ(t) = −aA. Combineren we dit met de gegeven inhomogene differentiaalvergelijking β 0 (t) − aβ(t) = −1, dan vinden we dat A = a1 . Zo verkrijgen we als algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking: 1 β(t) = Ceat + . a Wegens de randvoorwaarde weten we dat β(0) = 0, hieruit volgt dat C = β(0) − Zodat we deze unieke oplossing van het beginwaardeprobleem kunnen schrijven als β(t) =

1 1 − eat . a

1 a

= − a1 .


26

Om α(t) te vinden hoeven we enkel deze oplossing voor β(t) in te vullen en te integreren: 1 α0 (s) = σ 2 β 2 (s) 2 σ2 α0 (s) = 2 (1 − 2eas + e2as ) 2a Z t 2 Z t σ dα(s) = (1 − 2eas + e2as )ds 2 0 2a 0 2 at 2 1 2at 1 σ2 α(t) − α(0) = 2 t − 0 − e + + e − 2a a a 2a 2a 2 2 2 2 σ σ σ 3σ α(t) = 2 t − 3 eat + 3 e2at + 3 . 2a a 4a 4a

In Luciano et al. [18] wordt specifiek gekozen voor het OU-proces voor de intensiteit omdat het een affien proces is waarvoor de overlevingskansen in gesloten vorm kunnen worden uitgedrukt. Het proces vormt, net zoals het Fellerproces (paragraaf 2.2.3), een veralgemening van het Gompertzmodel voor de sterftekracht, waardoor het eenvoudig te interpreteren is binnen de actuariële wereld.

2.2.2

Ornstein-Uhlenbeckproces met sprongen

Luciano en Vigna [20] motiveren de toevoeging van sprongen omdat de sterfte-intensiteit plots kan wijzigen als gevolg van onverwachte invloeden. Twee voorbeelden worden gegeven: de sterfte-intensiteit kan verslechteren (dus verhogen) in geval van oorlog, dit uit zich in de toevoeging van een positieve sprong, anderzijds kan de sterfte-intensiteit verbeteren (dus verlagen) wanneer er een geneeskundige doorbraak is, in dit geval zijn de sprongen negatief. Algemeen wordt het intensiteitsproces gegeven door: dµ(t) = aµ(t)dt + σdW (t) + dJ(t) waarin J een zuiver samengesteld Poissonsprongproces is met exponentieel verdeelde spronggroottes met gemiddelde ν. Er wordt ook verondersteld dat de Brownse beweging W en het Poissonproces J onafhankelijk zijn.

2.2.3

Fellerproces

Wanneer µ het OU-proces volgt, heeft het een normale verdeling waardoor er een positieve kans bestaat dat µ < 0. Dit is in strijd met (2.1.1). Daarom werd naar analogie met het invoeren van het Cox-Ingersoll-Ros-model (CIR-model) in de interesttheorie, het Fellerproces (FEL-proces) ontwikkeld. Het FEL-proces voor de intensiteit µ wordt beschreven als: p (2.2.2) dµ(t) = aµ(t)dt + σ µ(t)dW (t), met a > 0 en σ ≥ 0.


27

Lemma 2.2.3. De stochastische differentiaalvergelijking (2.2.2) heeft als impliciete oplossing: at

t

Z

ea(t−s)

µ(t) = µ(0)e + σ

p µ(s)dW (s).

0

De α en β voor het FEL-proces vinden we op een analoge manier als bij het OU-proces. α(t) = 0, β(t) =

1 − ebt , c + debt

√ met b = − a2 + 2σ 2 , c = 21 (b + a), d = 12 (b − a). Er wordt ook verondersteld dat a > 0 en σ ≥ 0.

2.2.4

Fellerproces met sprongen

Analoog als bij het Ornstein-Uhlenbeckproces kunnen er bij het Fellerproces ook sprongen worden toegevoegd. We krijgen dan volgende differentiaalvergelijking: dµ(t) = aµ(t)dt + σ

p µ(t)dW (t) + dJ(t)

met J opnieuw een zuiver samengesteld Poissonsprongproces is met exponentieel verdeelde spronggroottes met gemiddelde ν.

2.3

Tijdsinhomogeen CIR-model

Cox, Ingersoll en Ross ontwikkelden het Cox-Ingersoll-Ross model voor interestvoeten in 1985 en het wordt als volgt gemodellerd: dr(t) = k(θ − r(t))dt + σ

p r(t)dW (t),

r(0) = r0 ,

met k, θ, σ, r0 constanten en W een Brownse beweging. Het voordeel van werken met het CIR-model is dat de interestvoet steeds positief is. Naar analogie met de interesttheorie passen Dahl en Møller [10] het CIR-model toe voor het modelleren van sterfte-intensiteiten. Ze starten met een initiële curve voor de sterfte-intensiteit µ◦ (x) (deterministisch), waarbij x staat voor de leeftijd. We veronderstellen dat µ◦ (x) continu afleidbaar is als functie van x. Voor een individu van leeftijd x op tijdstip 0 wordt de toekomstige sterfte-intensiteit beschouwd als een stochastisch proces µ(x) = (µ(x, t))t∈[0,T ] , met µ(x, 0) = µ◦ (x). Door de initiële sterfte-intensiteit te corrigeren aan de hand van een onderliggend proces wordt de sterfte-intensiteit op een bepaald toekomstig tijdstip verkregen. Deze veranderingen in de sterfte-intensiteit worden gemodelleerd aan de hand van een strikt positief oneindig dimensionaal proces ζ = (ζ(x, t))x>0,t∈[0,T ] , met ζ(x, 0) = 1 ∀x. Met I = (I(t))t∈[0,T ] duiden we de


28

natuurlijke filtratie aan van het proces ζ. Het sterfte-intensiteitproces wordt nu gemodelleerd als: µ(x, t) = µ◦ (x + t)ζ(x, t).

(2.3.1)

Hierin zien we dat ζ(x, t) de verandering in sterfte-intensiteit tussen 0 en t weergeeft voor een persoon van leeftijd x + t. De overlevingskans definiëren we, onder de maat P, als h RT i h RT ◦ i S(x, t, T ) = EP e− t µ(x,τ ) dτ |I(t) = EP e− t µ (x+τ )ζ(x,τ )dτ |I(t) . Hieraan is een P-martingaal verbonden: i h RT Rt S M (x, t, T ) = EP e− 0 µ(x,τ )dτ |I(t) = e− 0 µ(x,τ )dτ S(x, t, T ). Voor elke x ≥ 0 heeft de sterfte-intensiteit de volgende dynamieken: dµ(x, t) = α(t, x, µ(x, t))dt + σ(t, x, µ(x, t))dW (t), met W een Brownse beweging. De parameter t geeft de tijd weer die verlopen is sinds tijdstip 0, het tijdstip waarop de persoon leeftijd x heeft. In dit model wordt verondersteld dat alle veranderingen in de sterfte-intensiteit dezelfde vorm hebben en dat ze een invloed hebben op alle leeftijdsgroepen. Dit kan gezien worden als een onrealistische veronderstelling aangezien sterfte-intensiteiten be¨ınvloed worden door verschillende factoren en dit op verschillende manieren. Zo kan een factor enkel een bepaalde leeftijdscategorie be¨ınvloeden, terwijl een andere werkt op alle leeftijden. Ook kunnen factoren, die inwerken op eenzelfde leeftijdscategorie, een verschillende impact hebben op de sterfte-intensiteit. Dit kan opgelost worden als volgt: dµ(x, t) = α(t, x, µt )dt + σ(t, x, µt )tr dW ∗ (t), hierin staat µt voor de oneindig dimensionale vector met de sterfte-intensiteiten op tijdstip t voor alle x, daarnaast zijn σ(t, x, µt ) en W ∗ d-dimensionale kolomvectoren. Op deze manier beschrijft elke Brownse beweging een impact of een specifieke sterftefactor, waarbij σ zodanig gedefinieerd wordt zodat de Brownse beweging enkel de juiste leeftijdsgroepen be¨ınvloedt. Dahl [9] stelt echter dat dergelijk uitgebreid model niet nodig is aangezien er slechts gewerkt wordt met één waarde van x en omdat er geen bijkomende informatie wordt verkregen door te werken met een meerdimensionale Brownse beweging. Dahl en Møller stellen het onderliggend sterfteproces ζ voor aan de hand van een CIR-model: dζ(x, t) = (γ(x, t) − δ(x, t)ζ(x, t))dt + σ(x, t)

p ζ(x, t)dW µ (t),

(2.3.2)

met hierin W een Brownse beweging onder P. Er wordt tevens verondersteld dat 2γ(x, t) ≥ (σ(x, t))2 zodat ζ strikt positief is ([12]).


29

We passen nu op (2.3.1) Itˆ o’s lemma toe om de dynamieken van de intensiteit te bepalen: dµ(x, t) = d(µ◦ (x + t)ζ(x, t)) = µ◦ (x + t)dζ(x, t) + ζ(x, t)dµ◦ (x + t) + dµ◦ (x + t)dζ(x, t) p = µ◦ (x + t)[(γ(x, t) − δ(x, t)ζ(x, t))dt + σ(x, t) ζ(x, t)dW µ (t)] +

µ(x, t) dµ◦ (x + t) + 0 + t)

µ◦ (x

(µ◦ is deterministisch)

µ(x, t) = µ◦ (x, t)γ(x, t)dt − µ◦ (x + t)δ(x, t) ◦ dt µ (x + t) s µ(x, t) µ(x, t) dµ◦ (x + t) µ dW (t) + dt + µ◦ (x + t)σ(x, t) µ◦ (x + t) µ◦ (x + t) dt p = [γ µ (x, t) − δ µ (x, t)µ(x, t)]dt + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ (t)

(2.3.3)

waarbij in (2.3.3) de volgende substituties zijn doorgevoerd: γ µ (x, t) = γ(x, t)µ◦ (x + t), d ◦ µ (x + t) δ µ (x, t) = δ(x, t) − dt ◦ , µ (x + t) p σ µ (x, t) = σ(x, t) µ◦ (x + t).

We vinden in (2.3.3) dus de structuur van het CIR-model terug. Eigenschap 2.3.1. De overlevingskans S(x, t, T ) wordt gegeven door S(x, t, T ) = eA

µ (x,t,T )−B µ (x,t,T )µ(x,t)

,

(2.3.4)

met 1 Btµ (x, t, T ) = δ µ (x, t)B µ (x, t, T ) + (σ µ (x, t))2 (B µ (x, t, T ))2 − 1, 2 µ B (x, T, T ) = 0, Aµt (x, t, T ) = γ µ (x, t)B µ (x, t, T ) Aµ (x, T, T ) = 0. Voor de dynamieken van de overlevingskans krijgen we: p µ µ µ dS(x, t, T ) = S(x, t, T ) µ(x, t)dt − σ (x, t) µ(x, t)B (x, t, T )dW (t) . Bewijs. De uitdrukking voor de overlevingskans volgt op een analoge manier uit toepassing van stelling 1.4.3. De driftterm van het intensiteitsproces is γ µ (x, t) − δ µ (x, t)µ(x, t) en is dus affien in µ. Ook het kwadraat van de diffusieterm is affien in µ: (σ µ (x, t))2 µ(x, t). Hierdoor µ µ kunnen we S(x, t, T ) schrijven als eA (x,t,T )−B (x,t,T )µ(x,t) , met de voorwaarden voor A(x, t, T ) en B(x, t, T ) zoals gegeven in de opgave.


30

Om nu de stochastische differentiaalvergelijking voor S(x, t, T ) te vinden passen we de Itˆ oformule toe op (2.3.4). We stellen S(x, t, T ) = f (t, µ(x, t)), waardoor we vinden dat ft = S(x, t, T ) (Aµt (x, t, T ) − Btµ (x, t, T )µ(x, t)), fµ = −B µ (x, t, T )S(x, t, T ) en fµµ = (B µ (x, t, T ))2 S(x, t, T ). Hiermee vinden we dan: dS(x, t, T ) = S(x, t, T ) (Aµt (x, t, T ) − Btµ (x, t, T )µ(x, t)) dt − B µ (x, t, T )S(x, t, T )dµ(x, t) 1 + (B µ (x, t, T ))2 S(x, t, T )dµ(x, t)dµ(x, t) 2 = S(x, t, T ) [γ µ (x, t)B µ (x, t, T ) − δ µ (x, t)B µ (x, t, T )µ(x, t)] dt 1 − S(x, t, T ) (σ µ (x, t))2 (B µ (x, t, T ))2 µ(x, t) − µ(x, t) dt 2 − S(x, t, T )B µ (x, t, T ) [γ µ (x, t) − δ µ (x, t)µ(x, t)] dt p − S(x, t, T )B µ (x, t, T )σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ (t) 1 + (B µ (x, t, T ))2 S(x, t, T )(σ µ (x, t))2 µ(x, t)dt 2 p = S(x, t, T )µ(x, t)dt − S(x, t, T )B µ (x, t, T )σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ (t).

2.4

Voorwaartse sterfte-intensiteiten

We gaan de sterfte-intensiteiten omzetten in voorwaartse sterfte-intensiteiten f (x, t, T ). We kunnen f (x, t, T ) dan zien als de beste voorspelling van de huidige sterfte-intensiteit µ(x) aangezien het hiermee zal samenvallen voor T = t: f (x, t, t) = µ(x, t) (zie later). Het stochastisch modelleren van voorwaartse intensiteiten is reeds uitgebreid bestudeerd in de theorie van kredietrisico. Hierin is het concept van voorwaarste intensiteit zeer belangrijk omdat daarmee een verandering van maat of de intensiteitsdynamieken bepaald kan worden, zodat standaardobligaties gewaardeerd en gehedged kunnen worden. We veronderstellen dat arbitrage uitgesloten is en dat µ(x, t) uit (2.1.2) de intensiteit van falen is van een onderneming waarvan de schulden in een complete markt verhandeld worden. Onder de (unieke) risiconeutrale maat Q verkrijgen we dan de Heath-Jarrow-Mortonvoorwaarde (zie hoofdstuk 1): Z t a(t, µ(x, t)) = σ(t, µ(x, t)) σ(u, µ(x, u))du. 0

Deze restrictie is steeds geldig voor OU- en FEL-intensiteitsprocessen, we hoeven hiervoor arbitrage niet op voorhand uit te sluiten, zie sectie 3.5. Door de link te leggen met kredietrisico, kunnen we de sterfte-intensiteit zien als de intensiteit van falen van een onderneming. We definiëren de voorwaartse sterftesnelheid over de periode (t, t + δ), op het tijdstip 0, als de verhouding van de voorwaardelijke kans van het sterven tussen de tijdstippen t en t + δ en de verlopen tijd δ. Op voorwaarde dat de persoon van generatie x nog leeft op tijdstip t


31

krijgen we: 1 δ

S(x, t) − S(x, t + δ) S(x, t)

,

waarbij volgende notatie wordt gebruikt: S(x, t) := S(x, 0, t). De ogenblikkelijke voorwaartse sterftesnelheid noteren we als f (x, 0, t) en we krijgen: 1 S(x, t) − S(x, t + δ) lim S(x, t) δ→0 δ ∂ = − ln(S(x, t)). ∂t

f (x, 0, t) :=

Op een analoge manier vinden we dan de formule voor de voorwaartse sterfte-intensiteit f (x, t, T ): ∂ f (x, t, T ) = − ln(S(x, t, T )). (2.4.1) ∂T Door de kennis van het intensiteitsproces µ op het tijdstip t kunnen we aan de hand van (2.1.4) de voorwaartse sterfte-intensiteit f (x, t, T ) bepalen. Uit (2.4.1) volgt via integratie met betrekking tot de derde veranderlijke T volgende vorm voor S(x, t, T ): Z T S(x, t, T ) = exp − f (x, t, s)ds . (2.4.2) t

Het verband tussen de voorwaartse sterfte-intensiteit f (x, t, T ) en de sterfte-intensiteit µ(x, t) volgt uit de combinatie van (2.4.1) en (2.1.3): Z T ∂ ∂ f (x, t, T ) = − ln(S(x, t, T )) = − ln E exp − µ(x, s)ds |F(t) . ∂T ∂T t Als we nu achtereenvolgens de afleiding uitvoeren, T = t stellen en gebruik maken van de F(t)-meetbaarheid van µ(x, t) vinden we: Z T 1 f (x, t, T ) = − E exp − µ(x, s)ds (−µ(x, T ))|F(t) S(x, t, T ) t f (x, t, t) = −E[−µ(x, t)|F(t)] = µ(x, t). We beschouwen nu het algemene affien geval. Wanneer µ een affien intensiteitsproces is, zoals verondersteld, vinden we uit (2.1.4) en (2.4.2) de voorwaartse intensiteit op tijdstip 0: Z T exp − f (x, t, s)ds = eα(T −t)+β(T −t)µ(x,t) t Z t − f (x, 0, s)ds = α(t) + β(t)µ(x, 0) (t = 0, T = t) 0

f (x, 0, t) = −α0 (t) − β 0 (t)µ(x, 0) f (x, 0, t) = −α0 (t) − β 0 (t)f (x, 0, 0)

(f (x, t, t) = µ(x, t)).


32

Op een analoge manier vinden we uit (2.1.4) en (2.4.2), na het nemen van een logaritme en het afleiden naar T , op elk tijdstip t ≥ T ≥ 0: f (x, t, T ) = −α0 (T − t) − β 0 (T − t)µ(x, t) = −α0 (T − t) − β 0 (T − t)f (x, t, t). Aan de hand van deze formule kunnen we de ogenblikkelijke voorwaartse intensiteit berekenen in de specifieke gevallen van een Ornstein-Uhlenbeck- en een Fellerproces. Uit de definitie van het OU-proces vinden we: σ2 σ 2 a(T −t) σ 2 2a(T −t) − e a + e a 2a2 a3 2a3 i2 σ2 h = 2 ea(T −t) − 1 , 2a 1 0 β (T − t) = − ea(T −t) a a = −ea(T −t) ,

α0 (T − t) =

zodat we voor de voorwaartse intensiteit bekomen: i2 σ2 h f (x, t, T ) = − 2 ea(T −t) − 1 + ea(T −t) µ(x, t). 2a Analoge berekeningen voor het FEL-proces geven: α0 (T − t) = 0, β 0 (T − t) = = = =

−beb(T −t) (c + deb(T −t) ) − (1 − eb(T −t) )(dbeb(T −t) ) (c + deb(T −t) )2 −beb(T −t) (c + d) (c + deb(T −t) )2 −beb(T −t)

b−a b+a 2 + 2 b+a b−a b(T −t) 2 2 + 2 e −4b2 eb(T −t)

b + a + (b − a)eb(T −t)

2 ,

zodat de overeenkomstige voorwaartse intensiteit gelijk is aan: f (x, t, T ) =

4b2 eb(T −t) µ(x, t) b + a + (b − a)eb(T −t)

2 .

Hoofdstuk 3

Financieel risico en gecombineerd model Naast het systematisch sterfterisico is er ook het financiële risico, dat zijn oorsprong vindt in het stochastische proces van de interestvoet. In [10] wordt voorgesteld om met een tijdshomogeen affien model te werken voor de kortetermijnrente. De dynamieken onder P worden gegeven door: dr(t) = αr (r(t))dt + σ r (r(t))dW r (t),

(3.0.1)

met αr (r(t)) = γ r,α − δ r,α r(t), p σ r (r(t)) = γ r,σ + δ r,σ r(t). Hierin zijn γ r,α , δ r,α , γ r,σ en δ r,σ constanten en W r is een Brownse beweging. De filtratie gegenereerd door W r stellen we voor door H = {H(t) : 0 ≤ t ≤ T }. Dahl en Møller veronderstellen in [10] ook dat de financiële markt slechts bestaat uit twee verhandelbare effecten: een spaarrekening B en een nulcouponobligatie P (·, T ) met vervaltijdstip T . De dynamieken onder P hiervan worden gegeven door: dB(t) = r(t)B(t)dt, dP (t, T ) = (r(t) + ρ(t, r(t)))P (t, T )dt + σ p (t, r(t))P (t, T )dW r (t), met p

ρ(t, r(t)) = σ (t, r(t))

e c σ r (r(t)) + cσ r (r(t))

met c en e c constanten. 33

,

Hoofdstuk 3. Financieel risico en gecombineerd model

3.1

34

Voorwaartse rentevoet

We definiëren, volgens Heath et al. [15] de ogenblikkelijke voorwaartse rentevoet: F (t, T ) = −

∂ ln(P (t, T )), ∂T

waarin P (t, T ) staat voor de prijs op tijdstip t van een obligatie met vervaldatum T . F (t, T ) staat voor de voorspelling op tijdstip t van de ogenblikkelijke interestvoet op tijdstip T . De voorwaarden uit sectie 1.2 worden ook hier verondersteld. Het voorwaartse rentevoetproces, op de kansruimte (Ω, F, P), wordt gedefinieerd als: dF (t, T ) = A(t, T )dt + Σ(t, T )dWF (t),

(3.1.1)

met A(t, T ) en Σ(t, T ) reële functies die voldoen aan de voorwaarden zodat er een sterke oplossing bestaat van (3.1.1) en waarbij WF een univariate Brownse beweging is die onafhankelijk is van Wx (uit (2.1.2)) voor alle x. Deze onafhankelijkheid wijst op de onafhankelijkheid tussen het sterfterisico en het rentevoetrisico. In Luciano et al. [18] wordt er een specifieke keuze gemaakt voor het interestvoetproces, het volgt het Hull-White model met constante parameters en er wordt dus gesteld: dF (t, T ) = −gF (t, T )dt + Σe−g(T −t) dWF (t), met g en Σ constante parameters en WF een Brownse beweging onafhankelijk van Wx (uit (2.1.2)) voor alle x. Wanneer T → t in F (t, T ) dan krijgen we de kortetermijninterestvoet r(t).

3.2

De verzekeringsportefeuille

We bekijken het proces van de sterftegevallen binnen een groep van verzekerden. De verzekeringsportefeuille bestaat uit n verzekerden van dezelfde leeftijd en we veronderstellen dat de individuele resterende levensduur op tijdstip 0 wordt beschreven door een rij van identiek verdeelde niet-negatieve stochastische variabelen τ1 , . . . , τn . Bovendien veronderstellen we dat Rt P[τ1 > t|I(T )] = e− 0 µ(x,s)ds en dat de leeftijden τi∗ = τi 1{τi ≤T } + T 1{τi >T } , i = 1, . . . , n, onafhankelijk en identiek verdeeld zijn gegeven I(T ). Hierin is I = {I(t) : 0 ≤ t ≤ T } de filtratie van het sterfte-intensiteitsproces. We definiëren een telproces M (x, t) dat het aantal doden in de portefeuille telt: n X M (x, t) := 1{τi ≤t} . i=1

De natuurlijke filtratie gegenereerd door M (x, t) noteren we als G = {G(t) : 0 ≤ t ≤ T }. Samen met I vormt G de filtratie die alle informatie over zowel de sterfte-intensiteit als over


35

het aantal sterftegevallen in de portefeuille verzamelt. Het stochastisch intensiteitproces van M (x, t) noteren we met {λ(x, t), 0 ≤ t ≤ T } en definiëren we door λ(x, t)dt = (n − M (x, t))µ(x, t)dt.

(3.2.1)

En we definiëren een proces N als: dN (x, t) = dM (x, t) − λ(x, t)dt, 0 ≤ t ≤ T,

(3.2.2)

hierin is λ(x, t) de compensator zodat N (x, ·) een martingaal is onder P. Daarnaast beschouwen we ook nog de filtratie H = {H(t) : 0 ≤ t ≤ T } gegenereerd door het rentevoetproces. H(t) is onafhankelijk van (G(t), I(t)), waarmee wordt verondersteld dat de financiële markt stochastisch onafhankelijk is van de verzekeringsportefeuille en de sterfteintensiteit. Met behulp van de σ-algebra’s G(t), H(t) en I(t) definiëren we de σ-algebra F(t) := G(t) ∨ H(t) ∨ I(t), zodat de filtratie {F(t) : 0 ≤ t ≤ T } = F alle informatie bevat over zowel het interest- als het sterfterisico. F(t) levert dus alle informatie die beschikbaar is voor de verzekeraars op tijdstip t. De filtratie F is de filtratie van het gecombineerde model van zowel de financiële markt, de verzekeringsportefeuille als de sterfte-intensiteit. Om nu evaluaties te kunnen maken van verzekeringsportefeuilles in (Ω, F, P), met filtratie {F(t) : 0 ≤ t ≤ T }, hebben we een equivalente maat nodig. Deze zullen we vinden door gebruik te maken van de stelling van Girsanov.

3.3

Verandering van maat

Wanneer er zowel een sterfterisico als een interestrisico aanwezig is, worden de reserves van een verzekeringsproduct stochastisch. Om de correcte waarde te vinden van een verzekeringsverplichting is er een verandering van maat nodig. Wanneer het intensiteitsproces het OU-model volgt, komt het erop neer dat, onder de veronderstelling dat arbitrage uitgesloten is, de sterfte-intensiteit een OU-proces blijft na de verandering van maat. We zoeken dus de dynamieken van de voorwaartse intensiteiten f (x, t, T ) en overlevingskansen S(x, t, T ) nadat de verandering van maat is toegepast. Deze verandering zorgt ervoor dat we de prijzen van levensverzekeringpolissen kunnen bepalen volgens een analoge manier waarmee nulcouponobligaties worden geprijsd. Zo’n obligatie met vervaldag T heeft op tijdstip t de waarde: Z P (t, T ) = exp − t

T

Z F (t, u)du = EQ exp −

T

r(u)du |F(t) .

(3.3.1)

t

De maat Q is equivalent met P en uniek, onder de veronderstelling dat de financiële markt geen arbitrage toelaat en compleet is.


36

Stelling 3.3.1 (Stelling van Girsanov). Zij θ := [θx θF ] een 2-dimensionaal proces en φ een univariaat, positief en voorspelbaar proces, waarvoor geldt: Z Z

T

θx2 (t)dt < ∞,

0 T

θF2 (t)dt < ∞,

0

Z

T

|φ(t)|µ(x, t)dt < ∞. 0

Definieer het likelihoodproces L als dL(t) = θx (t)dWx (t) + θF (t)dWF (t) + φ(t)dN (x, t) L(t−) L(0) = 1 met Wx en WF onafhankelijke Brownse bewegingen. Veronderstel dat EP [L(t)] = 1, t ≤ T , dan bestaat er een kansmaat Q equivalent met P, zodat de restricties van P en Q tot F(t) (Pt := P|F (t) , Qt := Q|F (t) ) L(t) als Radon-Nikodymafgeleide hebben: dQ = L(t). dP F (t) Het sterfte-indicatorproces heeft intensiteit (1 + φ(t))µ(x, t) onder Q en fx (t) := dWx (t) − θx (t)dt dW fF (t) := dWF (t) − θF (t)dt dW definiëren Q-Brownse bewegingen. Aan de hand van de stelling van Girsanov kunnen verschillende equivalente maten van P gevonden worden, afhankelijk van de keuzes voor de processen θx , θF en φ. Deze drie processen stellen de prijzen voor van de drie risico’s: het systematisch sterfterisico, het interestrisico en het niet-systematisch risico.

3.3.1

Systematisch sterfterisico: θx (t)

Omdat de sterfte-intensiteit stochastisch is, is dit risico niet diversifieerbaar. Er zijn geen standaardkeuzes voor θx (t), maar voor de eenvoud beperken ze zich in Luciano et al. [19] tot zuiver diffuse intensiteiten en kiezen ze θx (t) zodanig dat de risiconeutrale intensiteit affien blijft. Daarom veronderstellen we dat het intensiteitsproces onder P zuiver diffuus en affien is. De premie voor het systematisch sterfterisico wordt gegeven door: θx (t) :=

p(t) + q(t)µ(x, t) σ(t, µ(x, t))


37

met p(t) en q(t) continue functies. Met deze premie bekomen we voor het intensiteitsproces onder Q: dµ(x, t) = a(t, µ(x, t))dt + σ(t, µ(x, t))dWx (t) fx (t) + θx (t)dt) = a(t, µ(x, t))dt + σ(t, µ(x, t))(dW fx (t) = (a(t, µ(x, t)) + p(t) + q(t)µ(x, t))dt + σ(t, µ(x, t))dW

(3.3.2)

en dit is affien, als µ affien is onder P. Voor de specifieke intensiteitsprocessen, OU en FEL, kiezen we p = 0 en q(t) = q ∈ R, zodat de processen onder P en Q gelijk blijven. Enkel de coëfficiënt a wordt vervangen door a + q.

3.3.2

Rentevoetrisico: θF (t)

Net zoals de sterfte-intensiteit is ook de rentevoet stochastisch, waardoor er een financieel risico is. Met θF (t) stellen we de premie voor dit risico voor. Onder de veronderstellingen dat de financiële markt compleet is en arbitrage uitgesloten wordt, is er slechts één keuze voor θF (t): Z T θF (t) := −A(t, T )Σ−1 (t, T ) + Σ(t, u)du. t

Vertrekkend van (3.1.1) volgt er onder Q: dF (t, T ) = A(t, T )dt + Σ(t, T )dWF (t) fF (t) + θF (t)dt) = A(t, T )dt + Σ(t, T )(dW Z T h i −1 fF (t) − A(t, T )Σ (t, T )dt + Σ(t, T ) = A(t, T )dt + Σ(t, T ) dW Σ(t, u)du dt t Z T f = Σ(t, T )dWF (t) + Σ(t, T ) Σ(t, u)du dt. (3.3.3) t

Zo krijgen we voor de driftcoëfficiënt

A0 (t, T )

van de voorwaartse interestvoet: Z T 0 A (t, T ) = Σ(t, T ) Σ(t, u)du. t

Hierin zien we dat de drift verbonden is met de diffusie via een HJM-relatie. We integreren (3.3.3) zodat we de waarde vinden van de voorwaartse rentevoet op tijdstip t: Z T fF (t) dF (t, T ) = Σ(t, T ) Σ(t, u)du dt + Σ(t, T )dW t t

Z ⇔ F (t, T ) = F (0, T ) +

Z Σ(s, T )

0

T

Z Σ(s, u)duds +

t

fF (s). Σ(s, T )dW

s

De kortetermijninterestvoet r(t) = F (t, t) volgt dan automatisch: Z t Z t Z t fF (s). r(t) = F (0, t) + Σ(s, t) Σ(s, u)duds + Σ(s, t)dW 0

s

(3.3.4)

0

0

(3.3.5)


3.3.3

38

Niet-systematisch sterfterisico: φ(t)

Door het stochastisch optreden van overlijdens binnen een verzekeringsportefeuille is er nog een derde risico, het niet-systematisch sterfterisico. Wanneer er wordt gewerkt met goed gediversifieerde verzekeringsportefeuilles zal de wet van de grote getallen van toepassing zijn zodat de financiële markt geen belang hecht aan dit risico. Voor de premie van dit nietsystematisch sterfterisico φ(t) wordt dan gesteld: φ(t) = 0 ∀t.

3.3.4

De financi¨ ele markt

In deze sectie beperken we het model tot de filtratie H zodat de unieke equivalente risiconeutrale maat voor de financiële markt wordt gegeven door: dQ b ), = Λ(T dP r (t)dW r (t), Λ(0) b = Λ(t)h b b met dΛ(t) = 1 en

ρ(t, r(t)) =− h (t) = − p σ (t, r(t)) r

e c r + cσ (r(t)) . σ r (r(t))

(3.3.6)

b Eerst bepalen we Λ(t): Stel f (x) = ln x, dan vinden we dat fx = x1 en fxx = − x12 . Nu passen b we Itô toe op f (Λ(s)) en daarna integreren we over het interval [0, t]: 1 b b b b b b d ln Λ(s) = fΛb (Λ(s))d Λ(s)d Λ(s) Λ(s) + fΛb Λb (Λ(s))d 2 1 b d ln Λ(s) = hr (s)dW r (s) − (hr (s))2 ds 2 Z Z t 1 t r r r b b (h (s))2 ds ln Λ(t) − ln Λ(0) = h (s)dW (s) − 2 0 0 Z t Z 1 t r b = exp Λ(t) hr (s)dW r (s) − (h (s))2 ds . 2 0 0 We kunnen nu de dynamieken van de kortetermijninterestvoet bepalen onder Q. Met behulp van de stelling van Girsanov vinden we dat dW r,Q = dW r (t) − hr (t)dt, zodat we door substitutie in (3.0.1) krijgen: dr(t) = αr (r(t))dt + σ r (r(t))dW r (t) = αr (r(t))dt + σ r (r(t))[dW r,Q (t) + hr (t)dt] = [αr (r(t)) + σ r (r(t))hr (t)]dt + σ r (r(t))dW r,Q (t) e c r r r − cσ (r(t)) dt + σ r (r(t))dW r,Q (t) = α (r(t)) + σ (r(t)) − r σ (r(t)) = αr (r(t)) − e c − c(σ r (r(t)))2 dt + σ r (r(t))dW r,Q (t) = [γ r,α − δ r,α r(t) − e c − c(γ r,σ + δ r,σ r(t))] dt + σ r (r(t))dW r,Q (t) = [γ r,α − (e c + cγ r,σ ) − r(t)(δ r,α + cδ r,σ )] dt + σ r (r(t))dW r,Q (t) h i p = γ r,α,Q − δ r,α,Q r(t) dt + γ r,σ + δ r,σ r(t)dW r,Q (t),


39

hierin is W r,Q een Brownse beweging onder Q en γ r,α,Q = γ r,α − (e c + cγ r,σ ) δ r,α,Q = δ r,α + cδ r,σ . Voor de driftterm µ(t, r(t)) en de diffusieterm σ(t, r(t)) vinden we volgende uitdrukkingen: µ(t, r(t)) = γ r,α,Q − δ r,α,Q r(t) p σ(t, r(t)) = γ r,σ + δ r,σ r(t). Zowel µ(t, r(t)) als σ 2 (t, r(t)) is affien in r waardoor via stelling 1.4.3 de obligatieprijs geschreven kan worden als: P (t, T ) = eA

r (t,T )−B r (t,T )r(t)

,

waarbij Ar (t, T ) en B r (t, T ) voldoen aan: 1 Btr (t, T ) = δ r,α,Q B r (t, T ) + δ r,σ (B r (t, T ))2 − 1, 2 r B (T, T ) = 0, 1 Art (t, T ) = γ r,α,Q B r (t, T ) − γ r,σ (B r (t, T ))2 , 2 r A (T, T ) = 0. Nu bepalen we aan de hand van Itˆ o de dynamieken van de obligatieprijzen onder Q. P (t, T ) r r is functie van t en r(t), we noteren dus P (t, T ) = f (t, r(t)) = eA (t,T )−B (t,T )r(t) . Hierdoor weten we het volgende: ft = P (t, T ) (Art − Btr r(t)) fr = −P (t, T )B r (t, T ) frr = (B r (t, T ))2 P (t, T ). We krijgen dan voor de obligatieprijsdynamiek: 1 dP (t, T ) = P (t, T ) (Art − Btr r(t)) dt − P (t, T )B r (t, T )dr(t) + (B r (t, T ))2 P (t, T )dr(t)dr(t) 2 1 = P (t, T ) γ r,α,Q B r (t, T ) − γ r,σ (B r (t, T ))2 − δ r,α,Q B r (t, T )r(t) 2 h 1 r,σ r 2 − δ (B (t, T )) r(t) + r(t) dt − B r (t, T )P (t, T ) γ r,α,Q − δ r,α,Q r(t) dt 2 i 1 p + γ r,σ + δ r,σ r(t)dW r,Q (t) + (B r (t, T ))2 P (t, T )(γ r,σ + δ r,σ r(t))dt 2 r = P (t, T )r(t)dt − B (t, T )P (t, T )σ r (r(t))dW r,Q (t).


3.3.5

40

Gecombineerd model

Nu beschouwen we het gecombineerde model van de financiële markt en de verzekeringsportefeuille. Ook hier kunnen we een verandering van maat doorvoeren, deze keer voor het telproces M (x, t). We definiëren volgens [10] en stelling 3.3.1 het volgende likelihoodproces dΛ(t) = Λ(t−) (hr (t)dW r (t) + hµ (t)dW µ (t) + g(t)dN (x, t)) ,

(3.3.7)

met Λ(0) = 1, g(t) stelt een voorspelbaar proces voor met de voorwaarde dat g > −1 en het proces N (x, t) wordt gedefinieerd door (3.2.2) We merken op dat EP [Λ(T )] = Λ(0) = 1, aangezien Λ een martingaal is onder P. Net zoals in het vereenvoudigde model voor de financiële markt definiëren we een equivalente risiconeutrale maat Q: dQ = Λ(T ). dP Het proces hr wordt gegeven door (3.3.6) en hangt samen met de verandering van maat voor de financiële markt, hµ houdt verband met de Brownse beweging W µ van het sterfteintensiteitsproces µ. Aan de hand van Girsanov vinden we dat dW µ,Q (t) = dW µ (t) − hµ (t)dt een Brownse beweging onder Q definieert. In [10] wordt er een specifieke vorm gekozen voor hµ : p ζ(x, t) β ∗ (x, t) µ p + , (3.3.8) h (t, ζ(x, t)) = −β(x, t) σ(x, t) σ(x, t) ζ(x, t) met β en β ∗ twee continue functies. Door substitutie in (2.3.2) vinden we dan de dynamieken van ζ(x, t) onder Q: p dζ(x, t) = (γ(x, t) − δ(x, t)ζ(x, t))dt + σ(x, t) ζ(x, t)(dW µ,Q (t) + hµ (t)dt) " !# p p ζ(x, t) β ∗ (x, t) p = γ(x, t) − δ(x, t)ζ(x, t) + σ(x, t) ζ(x, t) −β(x, t) + dt σ(x, t) σ(x, t) ζ(x, t) p + σ(x, t) ζ(x, t)dW µ,Q (t) p = (γ(x, t) − δ(x, t)ζ(x, t) − β(x, t)ζ(x, t) + β ∗ (x, t)) dt + σ(x, t) ζ(x, t)dW µ,Q (t) p = γ Q (x, t) − δ Q (x, t)ζ(x, t) dt + σ(x, t) ζ(x, t)dW µ,Q (t)

waarin in de laatste gelijkheid de volgende substituties zijn doorgevoerd: γ Q (x, t) = γ(x, t) + β ∗ (x, t), δ Q (x, t) = δ(x, t) + β(x, t).


41

Op een analoge manier vinden we door substitutie in (2.3.3) de dynamieken van µ(x, t) onder Q: p dµ(x, t) = [γ µ (x, t) − δ µ (x, t)µ(x, t)] dt + σ µ (x, t) µ(x, t)[dW µ,Q (t) + hµ (t)] p p ζ(x, t) = γ µ (x, t) − δ µ (x, t)µ(x, t) − σ µ (x, t) µ(x, t)β(x, t) σ(x, t) ! p p β ∗ (x, t) p +σ µ (x, t) µ(x, t) dt + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t) σ(x, t) ζ(x, t) ζ(x, t) = γ µ (x, t) − δ µ (x, t)µ(x, t) − σ(x, t)µ◦ (x + t)β(x, t) σ(x, t) ! p p β ∗ (x, t) p +σ(x, t)µ◦ (x + t) ζ(x, t) dt + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t) σ(x, t) ζ(x, t) = (γ(x, t)µ◦ (x + t) − δ µ (x, t)µ(x, t) − β(x, t)µ(x, t) + µ◦ (x + t)β ∗ (x, t)) dt p + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t) !! d ◦ µ (x + t) ◦ ∗ = µ (x + t)(γ(x, t) + β (x, t)) − µ(x, t) δ(x, t) + β(x, t) − dt ◦ dt µ (x + t) p + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t) !! d ◦ µ (x + t) = µ◦ (x + t)γ Q (x, t) − µ(x, t) δ Q (x, t) − dt ◦ dt µ (x + t) p + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t) p = γ µ,Q (x, t) − µ(x, t)δ µ,Q (x, t) dt + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t) waarbij γ µ,Q (x, t) = γ Q (x, t)µ◦ (x + t), δ µ,Q (x, t) = δ Q (x, t) −

d ◦ dt µ (x + t) . µ◦ (x + t)

Indien hµ = 0 zijn de dynamieken van ζ, en bijgevolg ook die van µ, identiek onder P en Q. In dat geval zeggen we dat de markt risiconeutraal is met betrekking tot het systematisch sterfterisico. De functie hr volgt de definitie (3.3.6) uit het vereenvoudigde model. In (3.3.7) zal de term g(t)dN (x, t) de intensiteit van het telproces M (x, t) be¨ınvloeden. Volgens Andersen et al. [1] wordt het intensiteitsproces onder Q gegeven door: λQ (x, t) = (1 + g(t))λ(x, t). Door gebruik te maken van (3.2.1) vinden we dan: λQ (x, t) = (n − M (x, t))(1 + g(t))µ(x, t) = (n − M (x, t))µQ (x, t).

(3.3.9)


42

Op deze manier hebben we dan de sterfte-intensiteit µQ onder Q geschreven als (1+g(t))µ(x, t), wat ook volgt uit stelling 3.3.1. Het proces N krijgt, naar analogie met de definitie onder P, onder Q de definitie dN Q (x, t) = dM (x, t) − λQ (x, t)dt.

(3.3.10)

Als g = 0 dan wordt gezegd dat de markt risiconeutraal is met betrekking tot het nietsystematisch sterfterisico. In [10] wordt g een deterministische, continu afleidbare functie ondersteld. Samen met de definities van hr (3.3.6) en hµ (3.3.8) zorgt dit ervoor dat H(t) en (G(t), I(t)) onafhankelijk blijven onder Q. We definiëren nu de overlevingskans onder Q als: i h RT Q S Q (x, t, T ) = EQ e− t µ (x,s)ds |I(t) .

(3.3.11)

De hierbij horende Q-martingaal wordt gegeven door h RT Q i Rt Q S Q,M (x, t, T ) = EQ e− 0 µ (x,s)ds |I(t) = e− 0 µ (x,s)ds S Q (x, t, T ). Lemma 3.3.2. De dynamieken van µQ onder Q worden gegeven door q dµQ = γ µ,Q,g (x, t) − δ µ,Q,g (x, t)µQ (x, t) dt + σ µ,Q,g (x, t) µQ (x, t)dW µ,Q (t), waarin γ µ,Q,g (x, t) = (1 + g(t))γ µ,Q (x, t), d g(t) δ µ,Q,g (x, t) = δ µ,Q (x, t) − dt , 1 + g(t) p σ µ,Q,g (x, t) = 1 + g(t)σ µ (x, t).

(3.3.12) (3.3.13) (3.3.14)

Bewijs. Het bewijs verloopt analoog als de bewerkingen uitgevoerd in sectie 2.3. We hernemen eerst een aantal uitdrukkingen: µQ (x, t) = (1 + g(t))µ(x, t), Q

λ (x, t) = (1 + g(t))λ(x, t), p dζ(x, t) = γ Q (x, t) − δ Q (x, t)ζ(x, t) dt + σ(x, t) ζ(x, t)dW µ,Q (t), p dµ(x, t) = γ µ,Q (x, t) − µ(x, t)δ µ,Q (x, t) dt + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t).

(3.3.15)


43

We passen Itˆ o toe op (3.3.15) en gebruiken dat g deterministisch is. dµQ (x, t) = d((1 + g(t))µ(x, t)) = (1 + g(t))dµ(x, t) + µ(x, t)d(1 + g(t)) + dµ(x, t)d(1 + g(t)) h i p = (1 + g(t)) γ µ,Q (x, t) − µ(x, t)δ µ,Q (x, t) dt + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t) µQ (x, t) + d(1 + g(t)) + 0 1 + g(t) = (1 + g(t))γ µ,Q (x, t) − δ µ,Q (x, t)µQ (x, t) dt q µQ (x, t) d(1 + g(t)) + σ µ (x, t) µQ (x, t)(1 + g(t))dW µ,Q (t) + dt 1 + g(t) dt q = γ µ,Q,g (x, t) − δ µ,Q,g (x, t)µQ (x, t) dt + σ µ,Q,g (x, t) µQ (x, t)dW µ,Q (t).

Uit voorgaand lemma zien we dat de driftterm en het kwadraat van de diffusieterm van µQ affien zijn in µQ (x, t), waardoor we stelling 1.4.3 kunnen toepassen. Eigenschap 3.3.3. De overlevingskans S Q (x, t, T ) onder Q wordt gegeven door S Q (x, t, T ) = eA

µ,Q (x,t,T )−B µ,Q (x,t,T )(1+g(t))µ(x,t)

,

(3.3.16)

met 1 Btµ,Q (x, t, T ) = δ µ,Q,g (x, t)B µ (x, t, T ) + (σ µ,Q,g (x, t))2 (B µ,Q (x, t, T ))2 − 1, 2 B µ,Q (x, T, T ) = 0, µ,Q,g Aµ,Q (x, t)B µ,Q (x, t, T ) t (x, t, T ) = γ

Aµ,Q (x, T, T ) = 0. Voor de dynamieken van de Q-martingaal S Q,M krijgen we: p dS Q,M (x, t, T ) = −(1 + g(t))σ µ (x, t) µ(x, t)B µ,Q (x, t, T )S Q,M (x, t, T )dW µ,Q (t).

(3.3.17)

Bewijs. Door toepassing van stelling 1.4.3 vinden we onmiddellijk de uitdrukking (3.3.16). Voor het tweede deel van de eigenschap gebruiken we Itô. Eerst bepalen we twee tussenresulR0 Q taten: dS Q (x, t, T ) en d(e− t µ (x,s)ds ). Om de notatie niet te overladen laten we in de volgende berekening (x, t, T ) en (x, t) weg. Voor het eerste stellen we S Q (x, t, T ) = f (t, µ(x, t)), zodat ft = S Q (Aµ,Q − Btµ,Q µQ ), fµQ = −S Q B µ,Q en fµQ µQ = (B µ,Q )2 S Q . Zo kunnen we de t


44

dynamieken van S Q bepalen met Itˆ o: 1 µ,Q,g 2 µ,Q 2 Q Q µ,Q,g µ,Q Q µ,Q,g µ,Q dS = S γ B −µ δ B + (σ ) (B ) − 1 dt 2 h i h p i − S Q B µ,Q γ µ,Q,g − δ µ,Q,g µQ dt − S Q B µ,Q σ µ,Q,g µQ dW µ,Q (t) 1 + (B µ,Q )2 S Q (σ µ,Q,g )2 µQ dt 2 p Q Q = S µ dt − S Q B µ,Q σ µ,Q,g µQ dW µ,Q (t) √ = S Q µQ dt − (1 + g)σ µ µS Q B µ,Q dW µ,Q (t)

via (3.3.14) en (3.3.15).

Rt Stel nu X(t) = 0 µQ (x, s)ds, dan is dX(t) = µQ (x, t)dt en dX(t)dX(t) = 0. Stel verder R0 Q f (x) = e−x zodat fx = −e−x en fxx = e−x . Zo krijgen we voor d(e− t µ (x,s)ds ): d(e−

R0 t

µQ (x,s)ds

) = d(e−X(t) ) = d(f (X(t))) 1 = −e−X(t) dX(t) + e−X(t) dX(t)dX(t) 2 R − 0t µQ (x,s)ds Q = −e µ (x, t)dt.

Deze twee resultaten kunnen we gebruiken in de berekening van de dynamieken van de Q-martingaal S Q,M . Om die te bepalen maken we gebruik van de productregel van Itô. Rt Q dS Q,M (x, t, T ) = d e− 0 µ (x,s)ds S Q (x, t, T ) Rt Q Rt Q = d e− 0 µ (x,s)ds S Q (x, t, T ) + d S Q (x, t, T ) e− 0 µ (x,s)ds Rt Q + d S Q (x, t, T ) d e− 0 µ (x,s)ds Rt Q Rt Q = −S Q (x, t, T )e− 0 µ (x,s)ds µQ (x, t)dt + S Q (x, t, T )µQ (x, t) e− 0 µ (x,s)ds dt Rt Q p − (1 + g(t))σ µ (x, t) µ(x, t)S Q (x, t, T )B µ,Q (x, t, T ) e− 0 µ (x,s)ds dW µ,Q (t) +0 p = −(1 + g(t))σ µ (x, t) µ(x, t)S Q,M (x, t, T )B µ,Q (x, t, T )dW µ,Q (t).

Net zoals in sectie 2.4 kunnen we nu de voorwaartse sterfte-intensiteit onder Q noteren als f µ,Q (x, t, T ) = −

∂ ln S Q (x, t, T ). ∂T

(3.3.18)


3.4

45

Premie

De reserves van levensverzekeringscontracten kunnen berekend worden als verwachtingswaarden onder de maat Q. De onafhankelijkheid tussen het financiële en sterfterisico, dat eerder verondersteld werd onder P, blijft behouden na de verandering van maat omdat de filtratie H = {H(t) : 0 ≤ t ≤ T } gegenereerd wordt door een Brownse beweging ([2]). Deze onafhankelijkheid laat toe het prijzen van het sterfterisico en het prijzen van interestrisico van elkaar te scheiden. We beschouwen nu, net zoals in Luciano et al. [19], een gewoon kapitaalvezekeringscontract (pure endowment) dat start op tijdstip 0 en één eenheid uitbetaalt wanneer het verzekerde individu nog in leven is op tijdstip T . De premie, te betalen bij het begin van het contract, van deze polis wordt gegeven door: Q(0, T ) = S(x, T )P (0, T ) α(T )+β(T )µ(x,0)

=e

EQ

Z exp −

T

r(u)du

(via (2.1.4) en (3.3.1)).

0

Gelet op (2.1.3) en (3.3.1) is de waarde van deze polis op het tijdstip t ≥ 0 dan gelijk aan: Q(t, T ) = S(x, t, T )P (t, T ) (3.4.1) Z T Z T = EQ exp − µ(x, s)ds |F(t) EQ exp − r(u)du |F(t) t t Z T α(T −t)+β(T −t)µ(x,t) =e EQ exp − r(u)du |F(t) (via (2.1.4)). t

Dit is ook de reserve voor de polis op tijdstip t die de verzekeringsmaatschappij wil hedgen.

3.5

HJM-restrictie

In deze sectie tonen we aan, zoals in Luciano et al. [19], dat de HJM-voorwaarde voldaan is zonder op voorhand arbitrage uit te sluiten. In de verdere uitwerking houden we het individu x vast. In de notatie schrijven we dan S(t, T ) en µ(t) in plaats van S(x, t, T ) en µ(x, t). Voorwaartse sterfte-intensiteiten f (t, T ) volgen een stochastisch proces. Vertrekkend van het proces voor de overlevingskansen kan dit proces proces bepaald worden. We passen Itˆ o’s lemma toe op de overlevingskans S(t, T ) en gebruiken (3.3.2) voor het intensiteitsproces, waardoor we volgend proces krijgen: 1 dS(t, T ) = St (t, T )dt + Sµ (t, T )dµ(t) + Sµµ (t, T )dµ(t)dµ(t) 2 ∂S(t, T ) ∂S(t, T ) = dt + [a(t, µ(t)) + p(t) + q(t)µ(t)] dt ∂t ∂µ 2 ∂S(t, T ) f (t) + 1 ∂ S(t, T ) σ 2 (t, µ(t))dt + σ(t, µ(t))dW ∂µ 2 ∂µ2 f (t) = S(t, T )m(t, T )dt + S(t, T )n(t, T )dW


46

met ∂S(t, T ) ∂S(t, T ) 1 + (a(t, µ(t)) + p(t) + q(t)µ(t)) m(t, T ) = S(t, T ) ∂t ∂µ 2 1 1 ∂ S(t, T ) 2 + σ (t, µ(t)) , S(t, T ) 2 ∂µ2 1 ∂S(t, T ) n(t, T ) = σ(t, µ(t)). S(t, T ) ∂µ

(3.5.1) (3.5.2)

We zoeken nu de dynamieken van de voorwaartse sterfte-intensiteit f (t, T ). Er geldt f (t, T ) = ∂ ∂ − ∂T ln(S(t, T )). Stel nu X(t, T ) = ln(S(t, T )) zodat f (t, T ) = − ∂T X(t, T ). Zo vinden we: 1 1 1 dS(t, T ) − dS(t, T )dS(t, T ) 2 S(t, T ) 2 S (t, T ) f (t) − 1 n2 (t, T )dt. = m(t, T )dt + n(t, T )dW 2

dX(t, T ) =

Wanneer we dit integreren van 0 tot t vinden we: Z t Z t 1 2 f (s). n(s, T )dW X(t, T ) = X(0, T ) + m(s, T ) − n (s, T ) ds + 2 0 0 Hiermee kunnen we dan f (t, T ) bepalen: ∂ X(t, T ) ∂T Z t Z t ∂ 1 f (s) =− X(0, T ) + m(s, T ) − n2 (s, T ) ds + n(s, T )dW ∂T 2 0 0 Z t Z t ∂m(s, T ) ∂n(s, T ) ∂n(s, T ) f =0− − n(s, T ) ds − dW (s). ∂T ∂T ∂T 0 0

f (t, T ) = −

Voor de dynamieken van f (t, T ) vinden we dan:

∂m(t, T ) ∂n(t, T ) df (t, T ) = − + n(t, T ) ∂T ∂T f (t) = v(t, T )dt + w(t, T )dW

dt −

∂n(t, T ) f dW (t) ∂T

(3.5.3) (3.5.4)

waarin v(t, T ) en w(t, T ) de drift- en volatiliteitscoëfficiënt zijn: ∂n(t, T ) ∂m(t, T ) − , ∂T ∂T ∂n(t, T ) w(t, T ) = − . ∂T v(t, T ) = n(t, T )

(3.5.5) (3.5.6)

We hebben reeds verondersteld dat het intensiteitsproces affien is zodat we de overlevingskans kunnen schrijven als: S(t, T ) = eα(T −t)+β(T −t)µ(t) .


47

Wanneer we dit invullen in (3.5.1) en (3.5.2) krijgen we: 1 ∂S(t, T ) ∂S(t, T ) m(t, T ) = + (a(t, µ(t)) + p(t) + q(t)µ(t)) S(t, T ) ∂t ∂µ 2 1 ∂ S(t, T ) 2 1 σ (t, µ(t)) + S(t, T ) 2 ∂µ2 1 = S(t, T )(−α0 (T − t) − β 0 (T − t)µ(t)) S(t, T ) 1 + [(a(t, µ(t)) + p(t) + q(t)µ(t))S(t, T )β(T − t)] S(t, T ) 1 2 1 2 + σ (t, µ(t))β (T − t)S(t, T ) S(t, T ) 2 = −α0 (T − t) − β 0 (T − t)µ(t) + (a(t, µ(t)) + p(t) + q(t)µ(t))β(T − t) 1 + σ 2 (t, µ(t))β 2 (T − t), (3.5.7) 2 1 ∂S(t, T ) σ(t, µ(t)) n(t, T ) = S(t, T ) ∂µ 1 = σ(t, µ(t))S(t, T )β(T − t) S(t, T ) = σ(t, µ(t))β(T − t).

(3.5.8)

Door partieel af te leiden en substitutie in (3.5.5) en (3.5.6) vinden we heel gemakkelijk voor de drift en diffusie: ∂n(t, T ) ∂m(t, T ) − v(t, T ) = n(t, T ) ∂T ∂T 2 0 = σ (t, µ(t))β(T − t)β (T − t) − −α00 (T − t) − β 00 (T − t)µ(t) +(a(t, µ(t)) + p(t) + q(t)µ(t))β 0 (T − t) + σ 2 (t, µ(t))β 0 (T − t)β(T − t) = α00 (T − t) + β 00 (T − t)µ(t) − [a(t, µ(t)) + p(t) + q(t)µ(t)]β 0 (T − t), ∂n(t, T ) ∂T = −σ(t, µ(t))β 0 (T − t).

(3.5.9)

w(t, T ) = −

(3.5.10)

De stochastische differentiaalvergelijking voor de intensiteit f (t, T ) wordt dan: df (t, T ) = α00 (T − t) + β 00 (T − t)µ(t) − [a(t, µ(t)) + p(t) + q(t)µ(t)]β 0 (T − t) dt f (t). − σ(t, µ(t))β 0 (T − t)dW We zien dus dat dit afhangt van de drift en diffusie van de sterfte-intensiteit µ(t) (onder Q) en van α en β, de oplossingen van de Riccati-vergelijkingen. Stelling 3.5.1 (HJM-restrictie). Zij µ een intensiteitsproces onder Q dat zuiver diffuus en affien is, met stochastische differentiaalvergelijking (3.3.2), dan geldt volgende HJMvoorwaarde: Z T

v(t, T ) = w(t, T )

w(t, s)ds t


48

als en slechts als

∂m(t, T ) ∂n(t, T ) = n(t, t) . (3.5.11) ∂T ∂T Voor de specifieke intensiteitsprocessen OU en FEL geldt deze voorwaarde als p = 0 en q constant is. Bewijs. Veronderstel eerst dat de HJM-voorwaarde geldt. Uit de formule voor de diffusie (3.5.6) volgt: Z T Z T ∂n(t, s) ds = −[n(t, T ) − n(t, t)]. w(t, s)ds = − ∂s t t

Vermenigvuldiging lid aan lid met (3.5.6) levert vervolgens: Z T ∂n(t, T ) w(t, s)ds = w(t, T ) [n(t, T ) − n(t, t)]. ∂T t Wanneer we dit en (3.5.5) in de HJM-voorwaarde invullen, krijgen we: ∂n(t, T ) ∂n(t, T ) ∂m(t, T ) − = [n(t, T ) − n(t, t)] ∂T ∂T ∂T ∂m(t, T ) ∂n(t, T ) ⇔ = n(t, t) . ∂T ∂T

n(t, T )

Stel nu dat de gelijkheid (3.5.11) geldt. In het geval van een OU- of FEL-proces, waarbij p = 0, q constant is en a ˜ = a + q, zijn (3.5.7), (3.5.8), (3.5.9) en (3.5.10) gelijk aan: m(t, T ) = −α0 (T − t) − β 0 (T − t)µ(t) + a ˜µ(t)β(T − t) 1 + σ 2 (t, µ(t))β 2 (T − t), 2 n(t, T ) = σ(t, µ(t))β(T − t),

(3.5.12)

v(t, T ) = α00 (T − t) + β 00 (T − t)µ(t) − a ˜µ(t)β 0 (T − t),

(3.5.14)

w(t, T ) = −σ(t, µ(t))β 0 (T − t).

(3.5.15)

(3.5.13)

Veronderstel eerst dat de intensiteit een OU-proces volgt. De oplossingen α en β voldoen aan volgend stelsel van differentiaalvergelijkingen: ( β 0 (t) = −1 + a ˜β(t) (3.5.16) 1 α0 (t) = 2 σ 2 β 2 (t) met a ˜ = a + q en randvoorwaarden α(0) = 0, β(0) = 0. Substitutie van (3.5.12) en (3.5.13) in (3.5.11) levert, gelet op (3.5.16): σ 2 β(0)β 0 (T − t) = −α00 (T − t) − β 00 (T − t)µ(t) + a ˜µ(t)β 0 (T − t) + σ 2 β(T − t)β 0 (T − t). En wegens β(0) = 0 wordt dit: α00 (T − t) + β 00 (T − t)µ(t) − a ˜µ(t)β 0 (T − t) = σ 2 β(T − t)β 0 (T − t).


49

Zo vinden we volgens (3.5.14) voor v(t, T ): v(t, T ) = σ 2 β(T − t)β 0 (T − t). Nu kunnen we de HJM-voorwaarde aantonen: Z T Z T 0 −σβ 0 (s − t)ds w(t, s)ds = −σβ (T − t) w(t, T ) t t Z T 2 0 = σ β (T − t) β 0 (s − t)ds t 2 0

= σ β (T − t)[β(T − t) − β(0)] = σ 2 β 0 (T − t)β(T − t) = v(t, T ). Beschouw nu het geval waarin de intensiteit een FEL-proces volgt. De overeenkomstige oplossingen α en β voldoen aan de volgende differentiaalvergelijkingen: ( β 0 (t) = −1 + a ˜β(t) + 12 σ 2 β 2 (t) α0 (t) = 0 Hiermee bepalen we dan v(t, T ) en w(t, T ): v(t, T ) = α00 (T − t) + β 00 (T − t)µ(t) − a ˜µ(t)β 0 (T − t) =a ˜β 0 (T − t)µ(t) + σ 2 β(T − t)β 0 (T − t)µ(t) − a ˜µ(t)β 0 (T − t) = σ 2 β(T − t)β 0 (T − t)µ(t), w(t, T ) = −σ(t, µ(t))β 0 (T − t) p = −σ µ(t)β 0 (T − t)

(definitie FEL-proces).

De HJM-voorwaarde is ook in dit geval voldaan wegens: Z

T

w(t, s)ds = −σ

w(t, T )

p

0

Z

µ(t)β (T − t)

t

T

−σ

p µ(t)β 0 (s − t)ds

t 2

0

= σ µ(t)β (T − t)[β(T − t) − β(0)] = σ 2 µ(t)β 0 (T − t)β(T − t) = v(t, T ).

In het geval dat de intensiteit een OU-proces volgt hebben we reeds de oplossing van de eerste orde differentiaalvergelijking β 0 (t) = −1 + a ˜β(t), met beginvoorwaarde β(0) = 0, bepaald: β(t) =

1 (1 − ea˜t ), a ˜


50

waaruit dan volgt dat β 0 (t) = −ea˜t . Aan de hand hiervan kunnen we de stochastische differentiaalvergelijking van f (t, T ) verder omvormen: f (t) df (t, T ) = v(t, T )dt + w(t, T )dW f (t) = σ 2 β(T − t)β 0 (T − t)dt − σβ 0 (T − t)dW =− =

σ2 f (t) (1 − ea˜(T −t) )ea˜(T −t) dt + σea˜(T −t) dW a ˜

σ 2 a˜(T −t) f (t). (e − 1)ea˜(T −t) dt + σea˜(T −t) dW a ˜

(3.5.17)

Hoofdstuk 4

Delta-Gammahedging 4.1

Algemeen

Eerst overlopen we, volgens [4], de hedging in het geval dat de portefeuille bestaat uit slechts één onderliggend actief met prijsfunctie S(t). Met Pf(t, s) wordt de prijsfunctie op tijdstip t van die portefeuille voorgesteld, waarbij S(t) = s. Ofwel bezitten we het actief zelf, ofwel bezitten we verschillende opties die op het betreffende actief geschreven zijn. Wanneer het onderliggende actief prijsveranderingen ondergaat, heeft dit invloed op Pf(t, s). De gevoeligheid van de portefeuille met betrekking tot verschillende parameters (bv. prijs van de onderliggende, volatiliteit, tijd) wordt weergegeven door de zogenaamde Grieken. Hieronder een opsomming: ∆= Γ= ρ= Θ= V=

∂Pf , ∂s ∂ 2 Pf , ∂s2 ∂Pf , ∂r ∂Pf , ∂t ∂Pf . ∂σ

Wanneer een portefeuille ongevoelig is voor veranderingen in de parameters, heet de portefeuille neutraal en is de overeenkomstige Griek gelijk aan nul. Zo is de portefeuille bijvoorbeeld deltaneutraal en dus ongevoelig voor koersbewegingen wanneer ∆Pf = ∂Pf ∂s = 0. Wanneer de portefeuille niet deltaneutraal is, dus ∆Pf 6= 0, kan dit opgelost worden door een derivaat met prijsfunctie F (t, s) aan de portefeuille toe te voegen. Voor de waarde van de portefeuille krijgen we dan: V (t, s) = Pf(t, s) + x · F (t, s), waarbij x het aantal eenheden van het derivaat aanduidt en x zo gekozen wordt dat de 51

Hoofdstuk 4. Delta-Gammahedging

52

portefeuille deltaneutraal is: ∂V ∂Pf ∂F = +x = 0, ∂s ∂s ∂s waaruit volgt x=−

∆Pf . ∆F

Een dergelijke deltahedge werkt goed wanneer het gaat over kleine veranderingen in prijs van de onderliggende en dus enkel voor een korte tijd. Elke keer de prijs van de onderliggende verandert, moet de ∆ aangepast worden. Vaak aanpassingen doen, zal dan weer leiden tot hoge transactiekosten, dus dringt een andere oplossing zich op. Er moeten aanpassingen gedaan worden omdat ∆ wijzigt als gevolg van een wijziging in de prijs van de onderliggende. Zo komen we bij Γ, die de gevoeligheid weergeeft van ∆ met betrekking tot s: Γ=

∂∆ ∂ 2 Pf . = ∂s ∂s2

Γ kan dus gebruikt worden om te anticiperen op wijzigingen van ∆ en om een betere hedge te vormen. Wanneer Γ groot is, zal de portefeuille vaak aangepast moeten worden. Wanneer Γ laag is, is de deltahedge goed voor een bepaalde periode. Daarom is het dus aangewezen om een portefeuille te hebben die niet alleen deltaneutraal is, maar ook gammaneutraal. Om aan deze twee eisen te voldoen zullen twee verschillende derivaten nodig zijn om te hedgen. Stel deze gelijk aan F en G, met respectieve aantallen xF en xG . De waarde van de gehedgede portefeuille is dan gelijk aan: V (t, s) = Pf(t, s) + xF · F (t, s) + xG · G(t, s). We zoeken nu xF en xG zodat de portefeuille delta- en gammaneutraal is. Dus we zoeken een oplossing voor het stelsel:  ( ∂V  = 0  ∂s ∆Pf + xF · ∆F + xG · ∆G = 0 ⇔ 2  ΓPf + xF · ΓF + xG · ΓG = 0.  ∂ V = 0 ∂s2 In het volgende gebruiken we deze Delta-Gammahedging om het sterfterisico en het interestrisico te hedgen. We bekijken eerst enkel het sterfterisico, daarna wordt het interestrisico er aan toegevoegd.

4.2

Hedging van het sterfterisico

We veronderstellen eerst dat de interestvoet deterministisch is en gelijk aan 0, zodat we enkel het sterfterisico gaan hedgen. We zoeken nu de dynamieken van de reserve, dit is de waarde van de polis voor de uitgever. Voor de eenvoud veronderstellen we dat de sterfte-intensiteit een OU-proces volgt.


53

Door integratie van (3.5.4) vinden we: Z

t

f (u)]. [v(u, T )du + w(u, T )dW

f (t, T ) = f (0, T ) +

(4.2.1)

0

RT Uit de definitie van de overlevingskans S(t, T ) = exp(− t f (t, s)ds) vinden we S(0, T ) = RT Rt exp(− 0 f (0, s)ds) en S(0, t) = exp(− 0 f (0, s)ds) zodat: Z t Z T Z T S(0, T ) f (0, s)ds . (4.2.2) f (0, s)ds exp f (0, s)ds = exp − = exp − S(0, t) t 0 0 Voor de overlevingskans S(t, T ) krijgen we door substitutie van (4.2.1): Z T f (t, s)ds S(t, T ) = exp − t Z T Z t f (u)) ds (v(u, s)du + w(u, s)dW f (0, s) + = exp − 0 t Z T Z T Z t f (u) ds = exp − f (0, s)ds exp − v(u, s)du + w(u, s)dW t

t

0

Z T Z t S(0, T ) f exp − v(u, s)du + w(u, s)dW (u) ds . = S(0, t) t 0 In het geval van het OU-proces voor de intensiteit krijgen we, door integratie van (3.5.17), de volgende uitdrukking voor de voorwaartse intensiteit f (t, T ): Z t 2 Z t σ a˜(T −s) a ˜(T −s) f (s) f (t, T ) = f (0, T ) + (e − 1)e ds + σ ea˜(T −s) dW a ˜ 0 0 Z Z Z t σ 2 2ãT t −2ãs σ 2 a˜T t −ãs f (s) = f (0, T ) + e e ds − e e ds + σ ea˜(T −s) dW a ˜ a ˜ 0 0 0 Z Z σ 2 a˜T t −ãs σ 2 2ãT t −2ãs e e d(−2˜ as) − e e d(−˜ as) = f (0, T ) + −2˜ a2 −˜ a2 0 0 Z t f (s) +σ ea˜(T −s) dW 0 Z t σ 2 2ãT −2ãt σ 2 a˜T −ãt f (s) = f (0, T ) + e (e − 1) − e (e − 1) + σ ea˜(T −s) dW −2˜ a2 −˜ a2 0 Z t σ2 1 f (s). (4.2.3) = f (0, T ) + 2 − e2ãT (e−2ãt − 1) + ea˜T (e−ãt − 1) + σ ea˜(T −s) dW a ˜ 2 0 Lemma 4.2.1. De reserve Q(t, T ) = S(t, T ) kan geschreven worden als: Q(t, T ) = S(t, T ) =

S(0, T ) exp{−X(t, T )I(t) − Y (t, T )}, S(0, t)

waarin ea˜(T −t) − 1 , a ˜ σ2 Y (t, T ) = − (1 − e2ãt )X 2 (t, T ), 4˜ a I(t) = µ(t) − f (0, t).

X(t, T ) =

(4.2.4)


54

Bewijs. Uit (4.2.3) volgt onmiddellijk dat Z t σ2 1 a ˜t 2 f (s). ea˜(t−s) dW I(t) = f (t, t) − f (0, t) = 2 (1 − e ) + σ a ˜ 2 0 Uit de formule (2.4.2), (4.2.2) en (4.2.3) voor S(t, T ) vinden we volgende uitdrukking: S(t, T ) =

S(0, T ) exp(B(t, T )), S(0, t)

waarbij Z B(t, T ) = − t

T

Z T Z t σ2 1 2ãs −2ãt a ˜s −˜ at f (u)ds. ea˜(s−u) dW − e (e σ − 1) + e (e − 1) ds − a ˜2 2 0 t

Dit kunnen we verder uitwerken: σ 2 1 −2ãt 2˜ aT 2˜ at −˜ at a ˜T a ˜t B(t, T ) = 3 (e − 1)(e − e ) − (e − 1)(e − e ) a ˜ 4 ! Z t ea˜(T −t) − 1 f (s). σ ea˜(t−s) dW − a ˜ 0 ea˜(T −t) − 1 voorop, zodat: a ˜ ! ea˜(T −t) − 1 σ 2 1 −2ãt 2˜ at a ˜(T −t) −˜ at a ˜t B(t, T ) = (e − 1)e (e + 1) − (e − 1)e a ˜ a ˜2 4 Z t f (s) − X(t, T )σ ea˜(t−s) dW 0 2 Z t σ 1 2˜ at a ˜(T −t) a ˜t a ˜(t−s) f = X(t, T ) (1 − e )(e + 1) − (1 − e ) − σ e dW (s) a ˜2 4 0 2 2 σ 1 2˜ at a ˜(T −t) 2˜ at a ˜t = X(t, T ) (1 − e )(e − 1) + (1 − e ) − (1 − e ) a ˜2 4 4 Z t f (s) −σ ea˜(t−s) dW 0 ! ea˜(T −t) − 1 σ 2 = X(t, T ) (1 − e2ãt ) a ˜ 4˜ a 2 Z t σ 1 2˜ at a ˜t a ˜(t−s) f + X(t, T ) 2 (−1 − e + 2e ) − σ e dW (s) a ˜ 2 0 2 Z t σ2 σ 1 f (s) = (1 − e2ãt )X 2 (t, T ) − X(t, T ) 2 (1 − ea˜t )2 + σ ea˜(t−s) dW 4˜ a a ˜ 2 0 2 σ (1 − e2ãt )X 2 (t, T ) − X(t, T )I(t) = 4˜ a = −Y (t, T ) − X(t, T )I(t).

Om de herkenning te vereenvoudigen zetten we X(t, T ) =

Dit levert het gestelde.


55

Hiermee hebben we een uitdrukking gevonden voor de reserve in functie van deterministische termen X(t, T ) en Y (t, T ) en een stochastische term I(t). Deze I(t) werd gedefinieerd als het verschil tussen de huidige sterfte-intensiteit µ(t) op tijdstip t en de voorspelling van de sterfte-intensiteit, f (0, t). Hierdoor beschrijft I(t) het systematisch sterfterisico. Via (4.2.4) zien we dat Q(t, T ) = S(t, T ) functie is van t en I(t). Door Itô’s lemma toe te passen op Q(t, T ) vinden we: dQ =

∂S 1 ∂2S ∂S (dI)2 , dt + dI + ∂t ∂I 2 ∂I 2

waarin ∂S ∂I S(0, T ) = exp{−X(t, T )I(t) − Y (t, T )}(−X(t, T )) S(0, t)

∆M :=

(4.2.5)

= −S(t, T )X(t, T ), ∂2S ∂I 2 = S(t, T )X 2 (t, T ),

ΓM :=

(4.2.6)

waarbij de index M staat voor de hedging van het sterftevoetrisico. Om nu de reserve te hedgen kan de verzekeraar gebruik maken van andere kapitaalverzekeringscontracten, met verschillende vervaldata, of van nulcouponlanglevenobligaties1 . Dit zijn producten waarvan de pay-outs gelinkt zijn aan een overlevingsindex. Daarnaast heeft de verzekeraar ook nog levensverzekeringen en doodsobligaties2 ter beschikking. Veronderstel dat we n kapitaalverzekeringen met maturiteit T willen hedgen. We gebruiken hiervoor n1 kapitaalverzekeringen met maturiteit T1 en n2 langlevenobligaties met maturiteit T2 . Zo verkrijgen we de volgende portefeuille: Π(t) = nS(t, T ) + n1 S(t, T1 ) + n2 S(t, T2 ). We gaan er, zoals [19], in dit hoofdstuk van uit dat het niet-systematisch risico niet aanwezig is (zie ook sectie 3.3.3). Hierdoor is de waarde van een nulcouponobligatie gelijk aan de waarde van een kapitaalverzekering. Met als gevolg dat we de drie producten die in onze portefeuille gebruikt worden op dezelfde manier kunnen prijzen: S(t, Ti ). 1

Een langlevenobligatie (Longevity bond) is een financieel instrument dat een coupon betaalt evenredig met het aantal overlevenden in een bepaalde geboortecohorte, bv.de cohorte van de personen die 65 jaar worden in het jaar dat de obligatie wordt uitgegeven. 2 Bij een doodsobligatie wordt gespeculeerd op de dood van een persoon. De persoon kan zijn eigen levensverzekering doorverkopen aan speculanten. Zo zorgt hij er voor dat hij nu zelf cash in handen heeft in plaats van dat het na zijn dood bij nabestaanden terechtkomt.


56

M De ∆M Π (t)- en ΓΠ (t)-waarden volgen uit de definities (4.2.5) en (4.2.6):

∂S ∂S ∂S (t, T ) + n1 (t, T1 ) + n2 (t, T2 ), ∂I ∂I ∂I ∂2S ∂2S ∂2S ΓM (t, T ) + n (t, T ) + n (t, T2 ). 1 1 2 Π (t) = n ∂I 2 ∂I 2 ∂I 2 Door de juiste keuze te maken voor n1 en n2 worden deze coëfficiënten gelijkgesteld aan 0 en verkrijgen we een hedge. We verkrijgen dus een gehedgede portefeuille door volgend stelsel van 2 vergelijkingen in 2 onbekenden (n1 en n2 ) op te lossen: ( ∆M Π (t) = 0, M ΓΠ (t) = 0. ∆M Π (t) = n

Negatieve oplossingen voor ni duiden op het verkopen van ni kapitaalverzekeringen, positieve oplossingen wijzen op het kopen van langlevenobligaties.

4.3

Hedging van sterfte- en interestvoetrisico

Opnieuw veronderstellen we dat de intensiteit een OU-proces volgt. Bovendien veronderstellen we (volgens [19]) nu dat de interestvoet, onder de risiconeutrale maat, een Hull-Whitemodel met constante parameters volgt: Σ(t, T ) = Σe−g(T −t) , met Σ, g ∈ R+ . Door substitutie in (3.3.4) bekomen we voor de voorwaartse interestvoet F (t, T ): Z t Z T Z t −g(T −s) −g(u−s) fF (u). F (t, T ) = F (0, T ) + Σe Σe duds + Σe−g(T −u) dW 0

s

0

Voor de kortetermijninterestvoet, vertrekkend van (3.3.5) vinden we dan: r(t) = F (t, t) Z t fF (s) = F (0, t) + Σe Σe du ds + Σe−g(t−s) dW 0 s 0 Z t Z t Σ g(s−t) −g(t−s) fF (s) (e − 1) ds + Σ e−g(t−s) dW = F (0, t) + Σe −g 0 0 Z Z t Σ2 t 2g(s−t) fF (s) = F (0, t) − e − eg(s−t) ds + Σ e−g(t−s) dW g 0 0 Z t 1 Σ2 1 −2gt −gt fF (s) = F (0, t) − (1 − e ) − (1 − e ) + Σ e−g(t−s) dW g 2g g 0 Z t Σ2 −2gt −gt fF (s) = F (0, t) − 2 1 − e − 2 + 2e +Σ e−g(t−s) dW 2g 0 Z t Σ2 fF (s) = F (0, t) − 2 2e−gt − e−2gt − 1 + Σ e−g(t−s) dW 2g 0 Z t Σ2 −gt 2 fF (s). = F (0, t) + 2 (1 − e ) + Σ e−g(t−s) dW 2g 0 Z

t

−g(t−s)

Z

t

−g(u−s)


57

Lemma 4.3.1. De uitdrukking voor een nulcouponobligatie P (t, T ) kan geschreven worden als P (0, T ) P (t, T ) = exp[−X(t, T )K(t) − Y (t, T )], (4.3.1) P (0, t) waarin 1 − e−g(T −t) , g 2 Σ2 1 − e−2gt X (t, T ), Y (t, T ) = 4g

X(t, T ) =

K(t) = r(t) − F (0, t). K(t) geeft het verschil tussen de kortetermijn- en voorwaartse interestvoet en wordt de financiële risicofactor genoemd. Bewijs. Het bewijs verloopt analoog als in Lemma 4.2.1. De reserve op tijdstip t is gelet op (3.4.1) Q(t, T ) = S(t, T )P (t, T ). Hierop passen we Itˆ o toe, waarbij we voor P (t, T ) de uitdrukking (4.3.1) gebruiken en waarbij we steunen op de onafhankelijkheid van de Brownse bewegingen I en K in S en P : dQ = P dS + SdP + dSdP ∂S 1 ∂2S ∂P ∂P 1 ∂2P ∂S 2 2 dt + dI + (dI) + S dt + dK + (dK) + 0, =P ∂t ∂I 2 ∂I 2 ∂t ∂K 2 ∂K 2 waarbij als we met de bovenindex F verwijzen naar het hedgen van het financiële risico: ∂P ∂K P (0, T ) = exp[−X(t, T )K(t) − Y (t, T )](−X(t, T )) P (0, t)

∆F :=

= −P (t, T )X(t, T ), ∂2P ∂K 2 2 = P (t, T )X (t, T ).

ΓF :=

Door gebruik te maken van deze Grieken kunnen we de dynamieken van de reserve Q(t, T ) schrijven als: ∂S 1 ∂P 1 2 dQ(t, T ) = P dt − SXdI + SX 2 (dI)2 + S dt − P XdK + P X (dK)2 . ∂t 2 ∂t 2 Opnieuw gaan we de reserve proberen hedgen. In Luciano et al. [19] wordt eerst een hedge gemaakt door enkel gebruik te maken van levensverzekeringen (kapitaalverzekeringen, langlevenobligaties). Daarna hedgen ze met zowel levensverzekeringen als nulcouponobligaties.


4.3.1

58

Hedging met levensverzekeringen

We zoeken een hedge voor n kapitaalverzekeringen met vervaldatum T . We kunnen dit doen door gebruik te maken van een combinatie van n1 , n2 , n3 , n4 andere kapitaalverzekeringen met vervaldata T1 , T2 , T3 , T4 . Er worden vier producten gebruikt om de portefeuille delta- en gammaneutraal te maken voor zowel het sterfterisico als het interestrisico. Deze portefeuille kunnen we dan noteren als volgt: Π(t) = nS(t, T )P (t, T ) +

4 X

ni S(t, Ti )P (t, Ti ).

i=1

De Delta-Gammahedge vinden we dan door volgend stelsel op te lossen naar n1 , n2 , n3 , n4 : ∆M Π (t) = −nS(t, T )P (t, T )X(t, T ) −

4 X

ni S(t, Ti )P (t, Ti )X(t, Ti )

i=1

= 0, ΓM Π (t)

2

= nS(t, T )P (t, T )X (t, T ) +

4 X

ni S(t, Ti )P (t, Ti )X 2 (t, Ti )

i=1

= 0, ∆FΠ (t) = −nS(t, T )P (t, T )X(t, T ) −

4 X

ni S(t, Ti )P (t, Ti )X(t, Ti )

i=1

= 0, ΓFΠ (t)

2

= nS(t, T )P (t, T )X (t, T ) +

4 X

2

ni S(t, Ti )P (t, Ti )X (t, Ti )

i=1

= 0.

4.3.2

Hedging met levensverzekeringen en nulcouponobligaties

Nu worden zowel levensverzekeringen als nulcouponobligaties gebruikt om een hedge te maken. Omdat nulcouponobligaties geen sterftecomponent bevatten kunnen we met deze obligaties nooit het sterfterisico wegwerken. Daarom wordt eerst het sterfterisico gehedged met behulp van twee levensverzekeringen en daarna worden daarenboven nog twee nulcouponobligaties gebruikt om ook het interestrisico te hedgen:

∆M Π (t) = −nS(t, T )P (t, T )X(t, T ) − n1 S(t, T1 )P (t, T1 )X(t, T1 ) − n2 S(t, T2 )P (t, T2 )X(t, T2 ) = 0,


59

2 2 ΓM Π (t) = nS(t, T )P (t, T )X (t, T ) + n1 S(t, T1 )P (t, T1 )X (t, T1 )

+ n2 S(t, T2 )P (t, T2 )X 2 (t, T2 ) = 0, ∆FΠ (t) = −nS(t, T )P (t, T )X(t, T ) − n1 S(t, T1 )P (t, T1 )X(t, T1 ) − n2 S(t, T2 )P (t, T2 )X(t, T2 ) − n3 S(t, T3 )P (t, T3 )X(t, T3 ) − n4 S(t, T4 )P (t, T4 )X(t, T4 ) = 0, 2

2

ΓFΠ (t) = nS(t, T )P (t, T )X (t, T ) + n1 S(t, T1 )P (t, T1 )X (t, T1 ) 2

2

+ n2 S(t, T2 )P (t, T2 )X (t, T2 ) + n3 S(t, T3 )P (t, T3 )X (t, T3 ) 2

+ n4 S(t, T4 )P (t, T4 )X (t, T4 ) = 0.

Hoofdstuk 5

Kwadratische hedgingtechnieken We vertrekken van een financiële markt. Hiervoor beschouwen we de kansruimte (Ω, F, P), een filtratie F = {F(t) : 0 ≤ t ≤ T }, waarbij T de tijdshorizon is, en een stochastische variabele X van de prijsverandering van een aandeel. Daarnaast beschouwen we een vordering H die de payoff voorstelt van een financieel instrument. Het prijs- en hedgingprobleem bestaat dan uit de vragen: Wat is de prijs van H op tijdstip 0? En hoe kan men zich indekken tegen de risico’s wanneer men H verkocht heeft? Kwadratische hedgingtechnieken werken hiervoor met dynamische portefeuillestrategieën van de vorm φ = (ξ, η). De waarde van de portefeuille wordt dan voor elk moment t gegeven door: V (t, φ) = ξ(t)X(t) + η(t), 0 ≤ t ≤ T.

(5.0.1)

De cumulatieve winsten/verliezen van het handelen tot op tijdstip t door G(t, ξ) = Rt (ξ · X)(t) = 0 ξ(u)dX(u). Opdat deze integraal goed gedefinieerd zou zijn wordt in [26] verondersteld dat X een semimartingaal is en G(ξ) is dan de stochastische integraal van ξ met betrekking tot X. Door gebruik te maken van de strategie φ ontstaan er kosten, het proces hiervan wordt gedefinieerd door: Z t C(t, φ) = V (t, φ) − ξ(u)dX(u) = V (t, φ) − G(t, ξ), (5.0.2) 0

dit is de geaccumuleerde kost van strategie φ = (ξ, η) tot op het tijdstip t. Definitie 5.0.2 (Zelffinancierende strategie). Een strategie φ heet zelffinancierend als het cumulatieve kostproces C(t, φ) constante paden heeft en dan is het waardeproces Z t V (t, φ) = V (0) + G(t, ξ) = V (0) + ξ(u)dX(u), (5.0.3) 0

met V (0) = V (0, φ) = C(0, φ) de initiële kost om de strategie op te zetten. Wijzigingen in X worden in het geval van een zelffinancierende strategie opgevangen door een juiste keuze voor ξ en η. Een zelffinancierende strategie is volledig bepaald door V (0) en ξ aangezien η dan volgt uit de zelffinancierende voorwaarde en V (t, φ). 61

Hoofdstuk 5. Kwadratische hedgingtechnieken

62

Definitie 5.0.3 (Bereikbaar). Een voorwaardelijke vordering H is bereikbaar als er een zelffinancierende strategie φ bestaat met V (T, φ) = H P-bijna zeker. Uit (5.0.3) volgt dat een vordering H bereikbaar is als ze kan geschreven worden als: Z H = H(0) +

T

ξ H (u)dX(u).

0

In een complete markt is elke vordering bereikbaar. In een incomplete markt daarentegen bestaan er vorderingen die niet bereikbaar zijn. Uit de definitie 5.0.3 volgt dan onmiddellijk dat het onmogelijk is om voor een niet bereikbare vordering een zelffinancierende strategie te vinden waarvoor V (T, φ) = H. Om dit probleem op te lossen zijn er twee mogelijkheden: ofwel kiezen we de voorwaarde V (T, φ) = H, maar dan is de strategie niet zelffinancierend, ofwel kiezen we de zelffinancieringsvoorwaarde. In het eerste geval spreken we van een risicominimaliserende hedgingstrategie. Een strategie is dan ‘goed’ als het een laag kostproces heeft. De tweede mogelijkheid leidt tot de mean-variance hedgingstrategieën. Dit zijn twee strategieën die behoren tot de kwadratische hedgingtechnieken, waarbij de hedgingfout wordt geminimaliseerd in mean square sense.

5.1

Risicominimaliserende hedgingstrategie

In de risicominimaliserende hedgingstrategie is het de bedoeling om de variantie van het kostenproces te minimaliseren onder de veronderstelling dat de waarde van de portefeuille op tijdstip T gelijk is aan het bedrag dat zal moeten betaald worden. We baseren ons, zoals reeds gezegd, op [10]. Hierin wordt de risicominimaliserende theorie van Föllmer en Sondermann [14] uitgebreid voor het geval er een betaalproces gebruikt wordt. Föllmer en Sondermann stelden dat de oplossing voor het risicominimaliserend hedgingprobleem gevonden kan worden door gebruik te maken van de Galtchouk-Kunita-Watanabedecompositie (GKWdecompositie). Dergelijke decompositie heeft volgende definitie: Definitie 5.1.1. Een stochastische variabele X die F(t)-meetbaar is, heeft een GKW-decompositie met betrekking tot de lokale martingaal M als er een contstante X(0), een proces ξ ∈ Lloc (M ) en een lokale martingaal L bestaan zodat [L, M ] een lokale martingaal is (L staat dus orthogonaal op M ) en Z X = X(0) +

T

ξ(u)dM (u) + L(T ). 0

We geven eerst een algemene inleiding over risicominimalisatie volgens [14]. Daarna introduceren we het betaalproces zoals in [10] en bespreken we het hedgingprobleem in dit geval.


5.1.1 5.1.1.1

63

Algemeen Complete markt

We starten de theorie met een uiteenzetting in het geval van een complete financiële markt. Veronderstel een kansruimte (Ω, F, P) en een stochastisch proces {X(t), 0 ≤ t ≤ T } met continue paden. Dit proces geeft de prijsverandering van een bepaald aandeel weer. We veronderstellen eveneens dat X een semimartingaal is, zodat: X = X0 + M + A met M een lokale martingaal en A een voorspelbaar proces met eindige variatie. Daarnaast beschouwen we een stochastische variabele met payoff H op tijdstip T , dit heet de voorwaardelijke vordering (contingent claim). Omdat we hier werken in een complete markt zal deze vordering voorgesteld kunnen worden door een stochastische integraal van het proces X. We maken ook nog een algemene veronderstelling zodat arbitrage uitgesloten is: er bestaat een equivalente risiconeutrale maat Q en deze is uniek omdat de markt compleet is. Het doel is nu om de vordering H te hedgen. Hiervoor maken we gebruik van strategie φ = (ξ, η) die handelt in het aandeel X en een risicoloze obligatie Y ≡ 1. Hierbij staat ξ(t) voor het aantal aandelen en η(t) voor het aantal obligaties in de portefeuille en wordt verondersteld dat ξ een voorspelbaar proces is en η een aangepast proces. Föllmer en Sondermann [14] geven de volgende motivatie voor deze keuzes: De veronderstelling dat ξ een voorspelbaar proces is laat toe om de geaccumuleerde winsten, afkomstig van de prijsveranderingen van het aandeel Rt tot op tijdstip t, te berekenen als de integraal 0 ξ(s)dX(s), 0 ≤ t ≤ T . Omdat het proces η slechts aangepast en niet noodzakelijk voorspelbaar wordt verondersteld, kan de waarde van η vast genomen worden na het observeren van de situatie op tijdstip t. In het bijzonder kan η gebruikt worden om het waardeproces V op een bepaald gewenst niveau V ∗ vast te houden. Definitie 5.1.2 (Strategie). [23] Een strategie is een proces φ = (ξ, η), met ξ ∈ L2 (FX ) 1 en η aangepast zodat het waardeproces V (t, φ) = ξ(t)X(t) + η(t) gedefinieerd door (5.1.1) cadlag is en V (t, φ) ∈ L2 (F) voor alle t ∈ [0, T ] (i.e. E[V (t)2 ] < ∞ voor alle t ∈ [0, T ]). Het waardeproces van de portefeuille wordt gedefinieerd als: V (t, φ) = ξ(t)X(t) + η(t), 0 ≤ t ≤ T.

(5.1.1)

Wanneer voor dit waardeproces geldt dat V (T, φ) = H, heet de strategie (H-)aanvaardbaar. In [13] worden enkel aanvaardbare strategiëen (ξ, η) toegelaten waarvoor de processen V en C kwadratisch integreerbaar en rechtscontinu zijn en wordt de volgende veronderstelling gemaakt: "Z Z T 2 # T E (ξ(u))2 d hXi (u) + |ξ(u)|d|A|(u) < ∞. (5.1.2) 0 1

0

L2 (FX ) is de ruimte van F-voorspelbare processen ξ die voldoen aan E

hR T 0

i ξ 2 (u)d hX, Xi (u) < ∞.


64

Veronderstel nu dat de vordering H kan geschreven worden in de volgende vorm: Z T ξ ∗ (u)dX(u) P-bijna zeker, H = H0 +

(5.1.3)

0

waarbij ξ ∗ voldoet aan (5.1.2). Deze representatie is mogelijk omdat we in een complete markt werken. Nu kan de vordering H gereproduceerd worden aan de hand van een initiële investering H0 en de volgende strategie: ξ(t) = ξ ∗ (t), Z

t

∗

Z

0

t

ξ(u)dX(u) voor 0 ≤ t ≤ T.

ξ (u)dX(u) −

η(t) = H0 +

0

Deze strategie is niet alleen aanvaardbaar (V (T, φ) = H), maar ook zelffinancierend: C(t, φ) = C(T, φ) = H0 , 0 ≤ t ≤ T . De representatie (5.1.3) van H zorgt er dus voor dat we een strategie hebben gecreëerd die de vordering H reproduceert vertrekkend van het initiële kapitaal C0 = H0 = V0 . De vordering H is dus gehedged zonder bijkomende kosten en het risico is volledig geëlimineerd. 5.1.1.2

Incomplete markt

Wanneer we nu werken in een incomplete markt zullen er vorderingen bestaan die niet kunnen geschreven worden als een stochastische integraal. Dergelijke vordering zal een intrinsiek risico bezitten. We zoeken nu dus een aanvaardbare strategie die het risico minimaliseert. We merken bovendien op dat in een incomplete markt de equivalente risiconeutrale maat niet meer uniek is, zodat er een gepaste keuze voor Q gemaakt moet worden. Hiervoor zal gebruik gemaakt worden van een minimale risiconeutrale maat, waardoor de structuur van P zo goed mogelijk bewaard blijft onder de voorwaarde dat X een martingaal wordt onder Q. Een discussie over deze minimale risiconeutrale maat kan gevonden worden in [13]. We veronderstellen in dit geval dat X al een martingaal is onder P (dus P = Q). Het risicoproces van φ wordt gegeven door: R(t, φ) = EQ (C(T, φ) − C(t, φ))2 |F(t) .

(5.1.4)

Een strategie φ is risicominimaliserend als R(t, φ) wordt geminimaliseerd voor alle t, we kunnen dit ook definiëren als: Definitie 5.1.3 (Risicominimaliserende strategie). [23] Een strategie φ = (ξ, η) is risicomiˆ ηˆ) die voldoet aan nimaliserend als voor elke t ∈ [0, T ] en voor elke strategie φˆ = (ξ, ˆ bijna zeker, V (T, φ) = V (T, φ) ˆ voor s ≤ t, ξ(s) = ξ(s)

η(s) = ηˆ(s) voor s ≤ t,


65

ˆ geldt dat R(t, φ) ≤ R(t, φ). Een strategie φˆ die voldoet aan de voorwaarden uit vorige definitie wordt een aanvaardbare voortzetting (admissible continuation) van φ op tijdstip t genoemd. In het algemeen zal een risicominimaliserende strategie in een incomplete markt niet zelffinancierend zijn. Het is daarentegen wel gemiddeld zelffinancierend dit wil zeggen dat E[C(T, φ) − C(t, φ)|F(t)] = 0, 0 ≤ t ≤ T. Dit is equivalent met het volgend lemma: Lemma 5.1.4. Als φ een risicominimaliserende strategie is, dan is het kostproces C(·, φ) een martingaal. Bewijs. Neem een risicominimaliserende strategie φ = (ξ, η) en beschouw een willekeurig tijdstip t0 ∈ [0, T ]. We construeren een aanvaardbare voortzetting φ∗ van φ als volgt: V (t, φ∗ ) = ξ ∗ (t)X(t) + η ∗ (t)

= V (t, φ)1{0≤t
ξ∗

en

Z

T

t

ξ(u)dX(u)|F(t) 1{t0 ≤t≤T } .

η∗:

voor 0 ≤ t ≤ T : ξ ∗ (t) = ξ(t) , voor 0 ≤ t < t0 : η ∗ (t) = η(t) , voor t0 ≤ t ≤ T : η ∗ (t) = EQ [C(T, φ)|F(t)] +

Rt 0

ξ(u)dX(u) − ξ(t)X(t).

Dat dit wel degelijk een aanvaardbare voortzetting van φ is volgt uit: V (T, φ∗ ) = ξ ∗ (T )X(T ) + η ∗ (T ) Z

T

ξ(u)dX(u) − ξ(T )X(T )

= ξ(T )X(T ) + C(T, φ) + 0

= V (T, φ), waarbij de laatste gelijkheid volgt uit (5.0.2). Enerzijds volgt uit de constructie van φ∗ dat Z t η ∗ (t) = EQ [C(T, φ)|F(t)] + ξ(u)dX(u) − ξ(t)X(t). 0

Anderzijds bekomen we uit de definities van het kostproces (5.0.2) en het waardeproces (5.0.1) dat Z t

η ∗ (t) = C(t, φ∗ ) − ξ ∗ (t)X(t) +

ξ ∗ (u)dX(u).

0

Voor φ∗ geldt nu dat ξ ∗ (t) = ξ(t) zodat de gelijkheid voor η ∗ (t) impliceert dat C(t, φ∗ ) = EQ [C(T, φ)|F(t)] voor t0 ≤ t ≤ T.


66

Voor de resterende kost op tijdstip t0 verkrijgen we: C(T, φ∗ ) − C(t0 , φ∗ ) = EQ [C(T, φ)|F(T )] − C(t0 , φ) + C(t0 , φ) − C(t0 , φ∗ ) = C(T, φ) − C(t0 , φ) + C(t0 , φ) − C(t0 , φ∗ ).

(5.1.5)

Aan de hand van C(t, φ∗ ) = EQ [C(T, φ)|F(t)] en rekening houdend met de toreneigenschap, vinden we: EQ [C(T, φ∗ ) − C(t0 , φ∗ )|F(t0 )] = EQ [EQ [C(T, φ)|F(T )]|F(t0 )] − EQ [EQ [C(T, φ)|F(t0 )]|F(t0 )] = EQ [C(T, φ)|F(t0 )] − EQ [C(T, φ)|F(t0 )] = 0.

(5.1.6)

Door gebruik te maken van (5.1.5), F(t0 )-meetbaarheid en (5.1.6) het risicoproces R(t, φ) vinden we hiermee dat: EQ [(C(T, φ) − C(t0 , φ))2 |F(t0 )] = EQ [(C(T, φ∗ ) − C(t0 , φ∗ ))2 |F(t0 )] + EQ [(C(t0 , φ) − C(t0 , φ∗ ))2 |F(t0 )] − 2EQ [(C(T, φ∗ ) − C(t0 , φ∗ )(C(t0 , φ) − C(t0 , φ∗ ))|F(t0 )] = EQ [(C(T, φ∗ ) − C(t0 , φ∗ ))2 |F(t0 )] + (C(t0 , φ) − C(t0 , φ∗ ))2 − 2(C(t0 , φ) − C(t0 , φ∗ ))EQ [(C(T, φ∗ ) − C(t0 , φ∗ )|F(t0 )] = EQ [(C(T, φ∗ ) − C(t0 , φ∗ ))2 |F(t0 )] + (C(t0 , φ) − C(t0 , φ∗ ))2 + 0. Aangezien φ risicominimaliserend was en t0 willekeurig gekozen is (0 ≤ t0 ≤ T ), is R(t, φ) ≤ R(t, φ∗ ) en dus moet C(t0 , φ) = C(t0 , φ∗ ) = EQ [C(T, φ)|F(t0 )], waaruit volgt dat C(t, φ) een martingaal is.

5.1.2

Betaalproces en marktreserves

We starten met de bepaling van het betaalproces en de geassocieerde marktreserves. Het betaalproces A van een verzekeringsportefeuille bestaat uit het totaal aantal uitkeringen verminderd met de premies. Met dA(t) wordt dan de nettobetaling aan de verzekeringsnemers weergegeven in een infinitesimaal interval [t , t + dt). In [10] nemen ze voor A de volgende vorm dA(t) = (n − M (x, T ))∆A0 (T )d1{t≥T } + a0 (t)(n − M (x, t))dt + a1 (t)dM (x, t)

voor 0 ≤ t ≤ T,

(5.1.7)

met A(0) = −nπ(0). We geven hieronder uitleg over de verschillende termen van (5.1.7). nπ(0) staat voor de eenmalige premie die door alle verzekeringsnemers betaald wordt op tijdstip 0.


67

de eerste term geeft weer dat elke overlevende polishouder een vast bedrag ∆A0 (T ) ontvangt wanneer hij met pensioen gaat, hierin staat T voor het tijdstip van pensionering, dit is vast en T ≤ T . a0 (t) is een stuksgewijs continue functie die wordt gegeven door:

a0 (t) = −π c (t)1{0≤t
Verder noteren we het verdisconteerde betalingsproces met A∗ , dat gedefinieerd wordt door: dA∗ (t) = e−

Rt 0

r(u)du

dA(t).

(5.1.8)

Hierbij geldt dat A∗ (0) = A(0) = −nπ(0). We zien dat het verdisconteerde betaalproces A∗ zowel invloed van het financiële als van het sterfterisico ondervindt. Hierdoor kunnen de verzekeringsverplichtingen niet enkel door handel op de financiële markt gehedged worden. We beschouwen nu een willekeurige, vaste equivalente risiconeutrale maat Q. We definiëren het intrinsieke waardeproces: V ∗,Q (t) Z T R ∗,Q − 0τ r(u)du V (t) = A(0) + EQ e dA(τ )|F(t) . (5.1.9) 0

Dit staat voor de voorwaardelijke verwachtingswaarde berekend op tijdstip t van de verdisconteerde uitkeringen verminderd met de premies. Wanneer we de integraal uit (5.1.9) opsplitsen en gebruiken dat zowel het proces r als A aangepast en dus F(t)-meetbaar zijn, krijgen we voor het intrinsieke waardeproces V ∗,Q : Z t R Z T R ∗,Q − 0τ r(u)du − 0τ r(u)du V (t) = A(0) + EQ e dA(τ ) + e dA(τ )|F(t) 0 t Z T Z t R R − 0τ r(u)du − 0τ r(u)du = A(0) + e dA(τ ) + EQ e dA(τ )|F(t) 0 t Z T Z t R R R − 0τ r(u)du − 0t r(u)du − tτ r(u)du = A(0) + e dA(τ ) + e EQ e dA(τ )|F(t) 0

∗

t

−

Rt

r(u)du ˜ Q

= A (t) + e 0 V (t), (5.1.10) hR i Rτ T waarin V˜ Q (t) = EQ t e− t r(u)du dA(τ )|F(t) , dit is de voorwaardelijke verwachtingswaarde op tijdstip t van de toekomstige betalingen en wordt de marktreserve genoemd. Eigenschap 5.1.5. De marktreserve V˜ Q (t) wordt gegeven door: V˜ Q (t) = (n − M (x, t))V Q (t, r(t), µ(x, t)),

(5.1.11)


68

met Z Q

V (t, r(t), µ(x, t)) =

T

P (t, τ )S Q (x, t, τ )(a0 (τ ) + a1 (τ )f µ,Q (x, t, τ ))dτ

t

+ P (t, T )S Q (x, t, T )∆A0 (T ).

(5.1.12)

Bewijs. We starten het bewijs met twee berekeningen die later gebruikt zullen worden. Telkens passen we de toreneigenschap toe, gebruiken we de definitie van de overlevingskans (3.3.11) en steunen we op eigenschappen uit de theorie van kredietrisico [3], zo geldt er bijvoorbeeld voor t ≤ τ : E 1{τi >τ } Y |F(t) = 1{τi >t} E eΓt −Γτ Y |I(t) , Q {τi > τ |F(t)} = 1{τi >t} EQ eΓt −Γτ |I(t) en

Q[τi > τ |I(T )] . Q[τi > t|I(T )] Rt Hierin is Y een stochastische I(τ )-meetbare veranderlijke en Γt = 0 γ(u)du het hazardproces van τi met intensiteit γ onder Q. We houden ook rekening met de veronderstelling dat gegeven I(T ) de leeftijden identiek verdeeld zijn onder Q met sterfte-intensiteit µQ (zie sectie 3.2): Q [τi > τ |F(t) ∨ I(T )] = 1{τi >t}

EQ [(n − M (x, τ ))|F(t)] = EQ [EQ [(n − M (x, τ ))|F(t) ∨ I(T )] |F(t)] " " # # n X = EQ EQ n − 1{τi ≤τ } |F(t) ∨ I(T ) |F(t) i=1

"

"

= EQ EQ

n X

#

#

1{τi >τ } |F(t) ∨ I(T ) |F(t)

i=1

= EQ = EQ

" n X i=1 " n X

EQ

1{τi >τ } |F(t) ∨ I(T ) |F(t)

#

# Q [τi > τ |F(t) ∨ I(T )] |F(t)

i=1 n X

# Q[τi > τ |I(T )] |F(t) = EQ 1{τi >t} Q[τi > t|I(T )] i=1 " n # Rτ Q X e− 0 µ (x,u)du = EQ 1{τi >t} − R t µQ (x,u)du |F(t) e 0 i=1 " # n R X − tτ µQ (x,u)du = EQ (n − 1{τi ≤t} )e |I(t) "

i=1

h i Rτ Q = EQ (n − M (x, t))e− t µ (x,u)du |I(t) h Rτ Q i = (n − M (x, t))EQ e− t µ (x,u)du |I(t) (3.3.11)

=

(n − M (x, t))S Q (x, t, τ ).

(5.1.13)


69

En analoog: h i EQ (n − M (x, τ ))µQ (x, τ )|F(t) " " ! # # n X Q n− = EQ EQ 1{τi ≤τ } µ (x, τ )|F(t) ∨ I(T ) |F(t) i=1

" = EQ = EQ

n X

i=1 " n X

" = EQ

i=1 n X

h EQ

i 1{τi >τ } µQ (x, τ )|F(t) ∨ I(T ) |F(t)

#

# i h Rτ Q 1{τi >t} EQ e− t µ (x,u)du µQ (x, τ )|I(T ) |F(t)

1{τi >t} e

Rτ

1{τi >t} e

Rτ

−

t

# µQ (x,u)du Q

µ (x, τ )|F(t)

i=1

" = EQ

n X

−

t

# µQ (x,u)du Q

µ (x, τ )|I(t)

i=1

h Rτ Q i = (n − M (x, t))EQ e− t µ (x,u)du µQ (x, τ )|I(t) ∂ (−S Q (x, t, τ )) ∂τ = (n − M (x, t))S Q (x, t, τ )f µ,Q (x, t, τ ). = (n − M (x, t))

(5.1.14)

In de voorlaatste gelijkheid gebruiken we (3.3.11). De laatste gelijkheid volgt via de definitie van de voorwaartse sterfte-intensiteit hR i onder Q (3.3.18). We zoeken nu de marktreserve R T − τ r(u)du Q ˜ dA(τ )|F(t) . Invullen van het betaalproces (5.1.7) levert: V (t) = EQ t e t Z EQ

t

T

e− Z

Rτ t

r(u)du

T

dA(τ )|F(t)

= EQ e t (n − M (x, T ))∆A0 (T )d1{t≥T } |F(t) t Z T R − tτ r(u)du + EQ e a0 (τ )(n − M (x, τ ))dτ |F(t) t Z T R − tτ r(u)du + EQ e a1 (τ )dM (x, τ )|F(t) . −

Rτ

r(u)du

(5.1.15)

t

Aangezien

Rt 0

g˜(u)(dM (x, u) − λQ (x, u)du) een martingaal is, volgt dat Z EQ

T

Q

g˜(u)(dM (x, u) − λ (x, u)du)|F(t) = 0.

(5.1.16)

t

We werken de laatste term van (5.1.15) verder uit. Hiervoor gebruiken we eerst (5.1.16), daarna wisselen we integralen om, houden we rekening met de onafhankelijkheid tussen het


70

interestrisico en het sterfterisico en passen we (1.5.3), (3.3.9) en (5.1.14) toe: "Z

#

T

e

EQ

−

Rτ t

r(u)du

"Z

a1 (τ )dM (x, τ )|F(t) = EQ

#

T

e

−

Rτ t

r(u)du

Q

a1 (τ )λ (x, τ )dτ |F(t)

t

t

Z

T

=

i h Rτ EQ e− t r(u)du a1 (τ )λQ (x, τ )|F(t) dτ

t

Z

T

=

i h Rτ EQ e− t r(u)du |F(t) EQ a1 (τ )λQ (x, τ )|F(t) dτ

t

Z

T

P (t, τ )a1 (τ )EQ (n − M (x, τ ))µQ (x, τ )|F(t) dτ

= t

Z =

T

P (t, τ )a1 (τ )(n − M (x, t))S Q (x, t, τ )f µ,Q (x, t, τ )dτ.

t

Op een analoge manier berekenen we de tweede term van (5.1.15): T

Z

e

EQ

−

Rτ t

r(u)du

a0 (τ )(n − M (x, τ ))dτ |F(t)

t T

Z = t

T

Z = t

h Rτ i EQ e− t r(u)du a0 (τ )(n − M (x, τ ))|F(t) dτ h Rτ i EQ e− t r(u)du |F(t) EQ [a0 (τ )(n − M (x, τ ))|F(t)] dτ

T

Z

P (t, τ )a0 (τ )EQ [(n − M (x, τ ))|F(t)] dτ

= t T

Z

P (t, τ )a0 (τ )(n − M (x, t))S Q (x, t, τ )dτ.

= t

Hier hebben we in de laatste gelijkheid gebruik gemaakt van (5.1.13). De berekening van de eerste term van (5.1.15) volgt dezelfde structuur als hierboven en we gebruiken de eigenschap Rb a f (u)d1t≤u = 1{a≤t≤b} f (t): T

Z

e

EQ

t

Z

T

= t

Z

T

= t

Z

T

= t

Z = t

T

−

Rτ t

r(u)du

(n − M (x, T ))∆A0 (T )d1{τ ≥T } |F(t)

h Rτ i EQ e− t r(u)du (n − M (x, T ))∆A0 (T )|F(t) d1{τ ≥T } h Rτ i EQ e− t r(u)du |F(t) EQ (n − M (x, T ))∆A0 (T )|F(t) d1{τ ≥T } P (t, τ )∆A0 (T )EQ (n − M (x, T ))|F(t) d1{τ ≥T } P (t, τ )∆A0 (T )(n − M (x, t))S Q (x, t, τ )d1{τ ≥T }

= ∆A0 (T )(n − M (x, t))P (t, T )S Q (x, t, T ).


71

Wanneer we nu terugkeren naar (5.1.15) vinden we voor de marktreserve: Z T Rτ e− t r(u)du dA(τ )|F(t) V˜ Q (t) = EQ t

= ∆A0 (T )(n − M (x, t))P (t, T )S Q (x, t, T ) Z T P (t, τ )a0 (τ )(n − M (x, t))S Q (x, t, τ )dτ + t Z T P (t, τ )a1 (τ )(n − M (x, t))S Q (x, t, τ )f µ,Q (x, t, τ )dτ + t h = (n − M (x, t)) ∆A0 (T )P (t, T )S Q (x, t, T ) Z T µ,Q Q P (t, τ ) a0 (τ ) + a1 (τ )f (x, t, τ ) S (x, t, τ )dτ + t Q

= (n − M (x, t))V (t, r(t), µ(x, t)). Hiermee is het gestelde bewezen. Opmerking 5.1.6. Wanneer de kortetermijninterestvoet r(t) en de sterfte-intensiteit µ(x, t) gegeven zijn, levert de uitdrukking V Q (t, r(t), µ(x, t)) de marktreserve op tijdstip t voor één polishouder die in leven is. Deze reserve heeft dezelfde vorm als gewone reserves, hoewel er een aantal aanpassingen zijn gebeurd: de nulcouponobligatieprijs P (t, T ) komt in de plaats van de verdisconteringsfactor, S Q (x, t, τ ) komt in de plaats van de deterministische overlevingskans en de voorwaartse sterfte-intensiteit f µ,Q (x, t, τ ) vervangt de deterministische sterfteintensiteit µ◦ (x, τ ). Uit de definities (5.1.9) en (5.1.8) vinden we dat het intrinsiek waardeproces nog geschreven kan worden als V ∗,Q (t) = EQ [A∗ (T )|F(t)] . (5.1.17) Wanneer we gebruik maken van het verdisconteringsproces B −1 kunnen we aan de hand van bovenstaande eigenschap het intrinsiek waardeproces in (5.1.10) geassocieerd aan het betaalproces A nog noteren als: V ∗,Q (t) = A∗ (t) + (n − M (x, t))B(t)−1 V Q (t, r(t), µ(x, t)).

5.1.3

(5.1.18)

Risicominimalisatie in aanwezigheid van een betaalproces

We volgen nu [10] en beschouwen de financiële markt bestaande uit een nulcouponobligatie P (t, T ) met vervaldatum T en een spaarrekening B(t), zoals eerder ingevoerd. Met X(t) = P ∗ (t, T ) stellen we deze keer het verdisconteerde prijsproces van de nulcouponobligatie voor. Daarnaast beschouwen we een proces φ = (ξ, η), met ξ(t) het aantal nulcouponobligaties in bezit op tijdstip t en η(t) het verdisconteerde deposito op de spaarrekening op tijdstip t. Het verdisconteerde waardeproces V (t, φ) geassocieerd aan φ wordt gedefinieerd door V (t, φ) = ξ(t)X(t) + η(t).

(5.1.19)


72

Het kostproces C(t, φ) van de strategie φ heeft nu als definitie: Z C(t, φ) = V (t, φ) −

t

ξ(u)dX(u) + A∗ (t).

(5.1.20)

0

Deze definitie verschilt van de eerdere definitie van een kostproces door de extra term A∗ (t) van het betaalproces. Dit kostproces bestaat uit de verdisconteerde waarde V (t, φ) verminderd met de ruilwinsten (integraal) en vermeerderd met de netto uitbetalingen aan de verzekeringsnemers. Net zoals in het algemene geval is ook hier het kostproces een martingaal: Lemma 5.1.7. Als φ een risicominimaliserende strategie is, dan is het kostproces C(t, φ) gedefinieerd door (5.1.20) een martingaal. Bewijs. Het bewijs verloopt analoog aan het bewijs van lemma 5.1.4. De extra term A∗ (t) in het kostproces wordt opgevangen door η ∗ (t) van de aanvaardbare verderzetting aan te passen met −A∗ (t) voor t0 ≤ t ≤ T . Het risicoproces heeft nog steeds dezelfde definitie: R(t, φ) = EQ (C(T, φ) − C(t, φ))2 |F(t) . Het intrinsiek waardeproces (5.1.17) kan worden opgesplitst aan de hand van de GKW-decompositie: V ∗,Q (t) = EQ [A∗ (T )|F(t)] = V ∗,Q (0) +

Z

t

ξ Q (u)dX(u) + LQ (t), 0

waarbij ξ Q een voorspelbaar proces is en LQ een martingaal met gemiddelde 0 die orthogonaal is met X (i.e. het proces XLQ is een martingaal). Stelling 5.1.8. Er bestaat een unieke 0-aanvaardbare risicominimaliserende strategie φ∗ = (ξ ∗ , η ∗ ) voor het betaalproces A: φ∗ (t) = (ξ ∗ (t), η ∗ (t)) = (ξ Q (t), V ∗,Q (t) − ξ Q (t)X(t) − A∗ (t)). Het bijhorende kostproces en risicoproces worden gegeven door: C(t, φ∗ (t)) = V ∗,Q (0) + LQ (t), h i R(t, φ∗ (t)) = EQ (LQ (T ) − LQ (t))2 . Bewijs. Uit (5.1.17) en de Galtchouk-Kunita-Watanabedecompositie weten we dat: V ∗,Q (t) = EQ [A∗ (T )|F(t)] = V ∗,Q (0) +

Z

t

ξ Q (u)dX(u) + LQ (t). 0

(5.1.21) (5.1.22)


73

We gebruiken deze uitdrukking voor t = T en substitueren daarna V ∗,Q (0), dan krijgen we: A∗ (T ) = V ∗,Q (0) +

Z

= V ∗,Q (t) +

Z

T

ξ Q (u)dX(u) + LQ (T ) 0 T

ξ Q (u)dX(u) + LQ (T ) − LQ (t). t

Samen met V (T, φ) = 0 leidt dit tot volgend verschil in kostprocessen: Z

T

C(T, φ) − C(t, φ) = V (T, φ) − Z

0 T

ξ(u)dX(u) + A∗ (T ) − V (t, φ) +

Z

t

ξ(u)dX(u) − A∗ (t)

0

= V ∗,Q (t) + ξ Q (u)dX(u) + LQ (T ) − LQ (t) − V (t, φ) t Z T − ξ(u)dX(u) − A∗ (t) t = V ∗,Q (t) − A∗ (t) − V (t, φ) + LQ (T ) − LQ (t) Z T ξ Q (u) − ξ(u) dX(u). +

(5.1.23)

t

Rt Rt Stel I Q (t) = (ξ Q · X)(t) = 0 ξ Q (u)dX(u) en I(t) = (ξ · X)(t) = 0 ξ(u)dX(u). Omdat de eerste term van (5.1.23) F(t)-meetbaar is en LQ een Q-martingaal is, orthogonaal met X, krijgen we voor de verwachtingswaarde van de gemengde termen: h i EQ V ∗,Q (t) − A∗ (t) − V (t, φ) LQ (T ) − LQ (t) |F(t) h i = V ∗,Q (t) − A∗ (t) − V (t, φ) EQ LQ (T ) − LQ (t)|F(t) = V ∗,Q (t) − A∗ (t) − V (t, φ) EQ [LQ (T )|F(t)] − LQ (t) = V ∗,Q (t) − A∗ (t) − V (t, φ) LQ (t) − LQ (t) = 0. Omdat I Q en I Q-martingalen zijn, vinden we analoog dat: Z T Z T ∗,Q ∗ Q EQ V (t) − A (t) − V (t, φ) ξ (u)dX(u) − ξ(u)dX(u) |F(t) t t Z T Z t ∗,Q ∗ Q = V (t) − A (t) − V (t, φ) EQ ξ (u)dX(u) − ξ Q (u)dX(u) 0 0 Z T Z t − ξ(u)dX(u) + ξ(u)dX(u)|F(t) 0 0 h i = V ∗,Q (t) − A∗ (t) − V (t, φ) EQ I Q (T ) − I Q (t) − I(T ) + I(t)|F(t) h i = V ∗,Q (t) − A∗ (t) − V (t, φ) EQ I Q (T )|F(t) − I Q (t) − EQ [I(T )|F(t)] + I(t) = 0.


74

Q Uit de orthogonaliteit van LQ en X ( X, LQ = 0) volgt dat: hI Q , LQ iQ = ξ Q · hX, LQ iQ = 0 hI, LQ iQ = ξ · hX, LQ iQ = 0, zodat I Q LQ en ILQ allebei Q-martingalen zijn. Hiermee bekomen we dan dat: Z T Z T Q Q Q ξ(u)dX(u) |F(t) ξ (u)dX(u) − EQ L (T ) − L (t) t t h i = EQ LQ (T ) − LQ (t) I Q (T ) − I Q (t) − I(T ) + I(t) |F(t) h i h i h i = EQ LQ (T )I Q (T )|F(t) − I Q (t)EQ LQ (T )|F(t) − EQ LQ (T )I(T )|F(t) h i h i + I(t)EQ LQ (T )|F(t) − LQ (t)EQ I Q (T )|F(t) + LQ (t)I Q (t) + LQ (t)EQ [I(T )|F(t)] − LQ (t)I(t) = 0. Zo vinden we uit (5.1.23) voor het risicoproces de volgende uitdrukking: R(t, φ) = EQ (C(T, φ) − C(t, φ))2 |F(t) 2 h i = V ∗,Q (t) − A∗ (t) − V (t, φ) + EQ (LQ (T ) − LQ (t))2 |F(t) Z T (ξ Q (u) − ξ(u))2 dX(u)dX(u)|F(t) . + EQ t

Enkel de tweede term is onafhankelijk van de strategie φ. Wanneer we nu ξ(u) = ξ Q (u) kiezen en η zodanig dat V (t, φ) = V ∗,Q (t) − A∗ (t) voor alle t, dan bekomen we voor ons risicoproces: h i R(t, φ) = EQ (LQ (T ) − LQ (t))2 |F(t) , zodat dit geminimaliseerd is. De uniciteit wordt alsvolgt bewezen: stel φˆ een risicominimaliserende en 0-aanvaardbare strategie, dan minimiseert deze strategie R(t, ·) en weten we dat ξˆ = ξ Q . Anderzijds is R ˆ een martingaal, dus V (t, φ) ˆ − t ξ(u)dX(u) + A∗ (t) is een martingaal. Aangezien de C(t, φ) 0 ˆ + A∗ (t) een martingaal zijn. In het bijzonder tweede term een martingaal is, moet ook V (t, φ) ˆ + A∗ (T )|F(t)] = V (t, φ) ˆ + A∗ (t). Omdat we gestart zijn met een geldt er dan dat EQ [V (T, φ) ˆ = 0, zodat V (t, φ) ˆ + A∗ (t) = EQ [A∗ (T )|F(t)] = V ∗,Q (t). 0-aanvaardbare strategie is V (T, φ) ˆ = V ∗,Q (t)−A∗ (t). Als we dit vergelijken met de definitie van V (t, φ), Hieruit volgt dat V (t, φ) ˆ vinden we dat ηˆ(t) = V ∗,Q (t) − A∗ (t) − ξ(t)X(t).


75

Het kostproces geassocieerd met de risicominimaliserende strategie φ∗ (t) = (ξ ∗ (t), η ∗ (t)) = (ξ Q (t), V ∗,Q (t) − ξ Q (t)X(t) − A∗ (t)) wordt dan gegeven door: Z t ∗ ∗ C(t, φ ) = V (t, φ ) − ξ ∗ (u)dX(u) + A∗ (t) 0 Z t ξ ∗ (u)dX(u) + A∗ (t) = ξ ∗ (t)X(t) + η ∗ (t) − 0 Z t Q ∗,Q Q ∗ ξ Q (u)dX(u) + A∗ (t) = ξ (t)X(t) + V (t) − ξ (t)X(t) − A (t) − 0 Z t = V ∗,Q (t) − ξ Q (u)dX(u) =V

∗,Q

0 Q

(0) + L (t).

Als gevolg van deze stelling vinden we dat het verdisconteerde waardeproces V (t, φ∗ ) horend bij de risicominimaliserende strategie gelijk is aan het intrinsieke waardeproces verminderd met de verdisconteerde betalingen: V (t, φ∗ ) = ξ ∗ (t)X(t) + η ∗ (t) = V ∗,Q (t) − A∗ (t). We kunnen het resultaat van stelling 5.1.8 nog meer specifiëren, wat leidt tot de volgende stelling: Stelling 5.1.9. De unieke 0-aanvaardebare risicominimaliserende strategie φ∗ (t) voor het betaalproces A wordt gegeven door (ξ ∗ (t), η ∗ (t)) = (ξ Q (t), (n − M (x, t))B(t)−1 V Q (t, r(t), µ(x, t)) − ξ Q (t)P ∗ (t, T )), met B r (t, τ )P ∗ (t, τ ) Q S (x, t, τ )(a0 (τ ) + a1 (τ )f µ,Q (x, t, τ ))dτ r ∗ t B (t, T )P (t, T ) B r (t, T )P ∗ (t, T ) Q S (x, t, T )∆A0 (T ) . B r (t, T )P ∗ (t, T ) Z

Q

T

ξ = (n − M (x, t−))

Het bewijs van deze stelling steunt op volgend lemma: Lemma 5.1.10. De Galtchouk-Kunita-Watanabedecompostie van V ∗,Q wordt gegeven door: Z t ∗,Q ∗,Q V (t) = V (0) + ξ Q (τ )dP ∗ (τ, T ) + LQ (t), 0

hierin is V ∗,Q (0) = −nπ(0) + nV Q (0, r(0), µ(x, 0)), Z t Z t Q Q Q L (t) = ν (τ )dN (x, τ ) + κQ (τ )dS Q,M (x, τ, T ), 0

0

(5.1.24) (5.1.25)


76

waarin B r (t, τ )P ∗ (t, τ ) Q S (x, t, τ )(a0 (τ ) + a1 (τ )f µ,Q (x, t, τ ))dτ r (t, T )P ∗ (t, T ) B t ∗ r B (t, T )P (t, T ) Q + r T )∆A (T ) , (5.1.26) S (x, t, 0 B (t, T )P ∗ (t, T ) ν Q (t) = B(t)−1 a1 (t) − V Q (t, r(t), µ(x, t)) , (5.1.27) Z T B µ,Q (x, t, τ )S Q (x, t, τ ) κQ (t) = (n − M (x, t−)) P ∗ (t, τ ) µ,Q B (x, t, T )S Q,M (x, t, T ) t !! ∂ µ,Q (x, t, τ ) µ,Q ∂τ B dτ × a0 (τ ) + a1 (τ ) f (x, t, τ ) − B µ,Q (x, t, τ ) B µ,Q (x, t, T )S Q (x, t, T ) ∗ + P (t, T ) µ,Q ∆A0 (T ) . (5.1.28) B (x, t, T )S Q,M (x, t, T ) Z

T

Q

ξ (t) = (n − M (x, t−))

Bewijs. Voor het bewijs maken we een bijkomende veronderstelling: V Q (t, r, µ) ∈ C 1,2,2 , dit wil zeggen dat V Q (t, r, µ) continu afleidbaar is met betrekking tot t en twee keer continu afleidbaar is met betrekking tot r en µ. We starten met uitdrukking (5.1.18) voor het intrinsieke waardeproces V Q : V ∗,Q (t) = A∗ (t) + (n − M (x, t))B(t)−1 V Q (t, r(t), µ(x, t)),

(5.1.29)

waarin Z

T

P (t, τ )S Q (x, t, τ )(a0 (τ ) + a1 (τ )f µ,Q (x, t, τ ))dτ

Q

V (t, r(t), µ(x, t)) = t

+ P (t, T )S Q (x, t, T )∆A0 (T ), met P (t, T ) = eA

r (t,T )−B r (t,T )r(t)

,

Aµ,Q (x,t,T )−(1+g(t))µ(x,t)B µ,Q (x,t,T )

S Q (x, t, T ) = e

f µ,Q (x, t, T ) = −

,

∂ µ,Q ∂ µ,Q ∂ ln S Q (x, t, T ) = (1 + g(t))µ(x, t) B (x, t, T ) − A (x, t, T ). ∂T ∂T ∂T

Afleiden onder de integraal van V Q (t, r(t), µ(x, t)) naar r en µ geeft: ∂ Q V (t, r(t), µ(x, t)) = − ∂r

Z

T

B r (t, τ )P (t, τ )S Q (x, t, τ )(a0 (τ ) + a1 (τ )f µ,Q (x, t, τ ))dτ

t

− B r (t, T )P (t, T )S Q (x, t, T )∆A0 (T ),

(5.1.30)

Hoofdstuk 5. Kwadratische hedgingtechnieken ∂ Q V (t, r(t), µ(x, t)) = − ∂µ

Z

77

T

(1 + g(t))B µ,Q (x, t, τ )S Q (x, t, τ )P (t, τ )a0 (τ )dτ

t

Z

T

(1 + g(t))B µ,Q (x, t, τ )S Q (x, t, τ )P (t, τ )a1 (τ )f µ,Q (x, t, τ )dτ

− t

Z

T

a1 (τ )(1 + g(t))P (t, τ )S Q (x, t, τ )

+ t

∂ µ,Q B (x, t, τ )dτ ∂τ

− (1 + g(t))B µ,Q (x, t, T )S Q (x, t, T )P (t, T )∆A0 (T ) Z T = −(1 + g(t)) B µ,Q (x, t, τ )S Q (x, t, τ )P (t, τ ) t !! ∂ µ,Q (x, t, τ ) B dτ × a0 (τ ) + a1 (τ ) f µ,Q (x, t, τ ) − ∂τ µ,Q B (x, t, τ ) i +B µ,Q (x, t, T )S Q (x, t, T )P (t, T )∆A0 (T ) .

(5.1.31)

Vervolgens passen we eerst de Itˆ o-formule toe op het product (n − M (x, t))B(t)−1 V Q (t, r(t), µ(x, t)). Hierbij houden we rekening met de onafhankelijkheid tussen het sterfte- en rentevoetrisico en met het feit dat de term dB −1 (t) enkel een dtterm bevat en dat (n − M (x, t)) een eindige variatie heeft, waardoor via eigenschap 1.1.24 dV Q (t, r(t), µ(x, t))d(n − M (x, t)) = 0 en dV Q (t, r(t), µ(x, t))dB −1 (t) = 0 en dB −1 (t)d(n − M (x, t)) = 0: d (n − M (x, u))B −1 (u)V Q (u, r(u), µ(x, u))

= (n − M (x, u−))B −1 (u)dV Q (u, r(u), µ(x, u)) + (n − M (x, u))V Q (u, r(u), µ(x, u))dB −1 (u) + B −1 (u)V Q (u, r(u), µ(x, u))d(n − M (x, u))

We integreren dit over [0, t]: (n − M (x, t))B −1 (t)V Q (t, r(t), µ(x, t)) − (n − M (x, 0))B −1 (0)V Q (0, r(0), µ(x, 0)) Z t Z t −1 Q = (n − M (x, u−))B (u)dV (u, r(u), µ(x, u)) + (n − M (x, u))V Q (u, r(u), µ(x, u))dB −1 (u) 0 0 Z t + B −1 (u)V Q (u, r(u), µ(x, u))d(n − M (x, u)) 0

(n − M (x, t))B −1 (t)V Q (t, r(t), µ(x, t)) − nV Q (0, r(0), µ(x, 0)) Z t Z t = (n − M (x, u−))B −1 (u)dV Q (u, r(u), µ(x, u)) + (n − M (x, u))V Q (u, r(u), µ(x, u))dB −1 (u) 0 0 Z t −1 Q Q − B (u)V (u, r(u), µ(x, u))dN (x, u) 0 Z t − B −1 (u)V Q (u, r(u), µ(x, u))(n − M (x, u))µQ (x, u)du. 0

De overgang tot de laatste gelijkheid volgt door gebruik te maken van (3.3.10) en λQ (x, t) = (n − M (x, t))(1 + g(t))µ(x, t) = (n − M (x, t))µQ (x, t).


78

Zo krijgen we voor V ∗,Q (t) in (5.1.29): V ∗,Q (t) = A∗ (t) + nV Q (0, r(0), µ(x, 0)) Z t (n − M (x, u−))B(u)−1 dV Q (u, r(u), µ(x, u)) + 0 Z t + (n − M (x, u))V Q (u, r(u), µ(x, u))dB(u)−1 0 Z t B(u)−1 V Q (u, r(u), µ(x, u))dN Q (x, u) − 0 Z t B(u)−1 (n − M (x, u))µQ (x, u)V Q (u, r(u), µ(x, u))du. −

(5.1.32)

0

In het volgende stuk bepalen we dV Q (u, r(u), µ(x, u)) en herschrijven we A∗ . Om de notatie niet te overladen schrijven we V Q (u) in plaats van V Q (u, r(u), µ(x, u)) en noteren we in de andere termen ook enkel nog de tijdsafhankelijkheid. In het volgende maken we gebruik van de dynamieken van r en µ onder Q: dr(t) = αr,Q (r(t))dt + σ r (r(t))dW r,Q (t), p dµ(x, t) = αµ,Q (t, µ(x, t))dt + σ µ (x, t) µ(x, t)dW µ,Q (t), waarin αr,Q (r(t)) = γ r,α,Q − δ r,α,Q r(t), αµ,Q (t, µ(x, t)) = γ µ,Q (x, t) − δ µ,Q (x, t)µ(x, t). We gebruiken dit samen met de Itˆ o-formule om de stochastische differentiaalvergelijking van Q V (u) te bepalen. Hierbij houden we rekening met de onafhankelijkheid van de Brownse bewegingen W r,Q en W µ,Q : ∂ Q ∂ Q 1 ∂2 Q 1 ∂2 Q ∂ Q V (u)du + V (u)dr + V (u)dµ + V (u)drdr + V (u)dµdµ ∂u ∂r ∂µ 2 ∂r2 2 ∂µ2 ∂ Q ∂ ∂ 1 ∂2 = V (u) + αr,Q (u) V Q (u) + αµ,Q (u) V Q (u) + (σ r (u))2 2 V Q (u) ∂u ∂r ∂µ 2 ∂r 2 ∂ ∂ 1 + (σ µ (u))2 µ(x, u) 2 V Q (u) du + σ r (u) V Q (u)dW r,Q (u) 2 ∂µ ∂r p ∂ + σ µ (u) µ(x, t) V Q (u)dW µ,Q ∂µ ∂ Q ∂ ∂ 1 ∂2 = V (u) + αr,Q (u) V Q (u) + αµ,Q (u) V Q (u) + (σ r (u))2 2 V Q (u) ∂u ∂r ∂µ 2 ∂r ∂ Q V (u) 1 ∂2 + (σ µ (u))2 µ(x, u) 2 V Q (u) du − r ∂r dP ∗ (u, T ) 2 ∂µ B (u, T )P ∗ (u, T )

dV Q (u) =

−

(1 +

∂ Q ∂µ V (u) dS Q,M (x, u, T ). g(u))B µ,Q (x, u, T )S Q,M (x, u, T )

(5.1.33)


79

In de derde gelijkheid wordt gebruik gemaakt van de vergelijkingen voor dP ∗ (·, T ) en dS Q,M (x, ·, T ): dP ∗ (t, T ) = −B r (t, T )P ∗ (t, T )σ r (r(t))dW r,Q (t), p dS Q,M (x, t, T ) = −(1 + g(t))σ µ (x, t) µ(x, t)B µ,Q (x, t, T )S Q,M (x, t, T )dW µ,Q (t). Wanneer we nu nog (5.1.30) en (5.1.31) substitueren in (5.1.33) vinden we voor de derde term van (5.1.32): t

Z

B(u)

−1

Q

t

Z

(n − M (x, u−))dV (u) =

B(u)−1 (n − M (x, u−)) [· · · ] du

0

0

Z

t

Z

T

+ 0

u

B r (u, τ ) P ∗ (u, τ ) Q (n − M (x, u−)) r S (x, u, τ ) a0 (τ ) + a1 (τ )f µ,Q (x, u, τ ) dτ dP ∗ (u, T ) ∗ B (u, T ) P (u, T )

B r (u, T ) P ∗ (u, T ) Q S (x, u, τ )∆A0 (T )dP ∗ (u, T ) r (u, T ) P ∗ (u, T ) B 0 Z t Z T B µ,Q (x, u, τ )S Q (x, u, τ ) + (n − M (x, u−)) P ∗ (u, τ ) µ,Q B (x, u, T )S Q,M (x, u, T ) 0 u Z

t

(n − M (x, u−))

+

× Z +

t

a0 (τ ) + a1 (τ ) f

(n − M (x, u−))P ∗ (u, T )

0

µ,Q

B µ,Q (x, u, τ ) (x, u, τ ) − B µ,Q (x, u, τ ) ∂ ∂τ

!! dτ dS Q,M (x, u, T )

B µ,Q (x, u, T )S Q (x, u, T ) ∆A0 (T )dS Q,M (x, u, T ). B µ,Q (x, u, T )S Q,M (x, u, T )

Hierin herkennen we ξ Q (u) en κQ (u) uit de opgave, waardoor we voorgaand resultaat eenvoudiger kunnen schrijven als: Z t B(u)−1 (n − M (x, u−))dV Q (u) 0 Z t Z t Z T −1 Q ∗ = B(u) (n − M (x, u−)) [· · · ] du + ξ (u)dP (u, T ) + κQ (u)dS Q,M (x, u, T ). 0

0

0

(5.1.34) Voor het herschrijven van A∗ vertrekken we van (5.1.7): h dA∗ (t) = B(t)−1 (n − M (x, T ))∆A0 (T )d1{t≥T } +a0 (t)(n − M (x, t))dt + a1 (t)dM (x, t)] , met A∗ (0) = −nπ(0), zodat we voor A∗ krijgen: Z t A∗ (t) = −nπ(0) + B(τ )−1 (n − M (x, T ))∆A0 (T )d1{τ ≥T } 0 Z t Z t −1 + B(τ ) a0 (τ )(n − M (x, τ ))dτ + B(τ )−1 a1 (τ )dM (x, τ ) 0 0 Z t = −nπ(0) + B(τ )−1 (n − M (x, T ))∆A0 (T )d1{τ ≥T } 0 Z t Z t + B(τ )−1 a0 (τ )(n − M (x, τ ))dτ + B(τ )−1 a1 (τ )dN Q (x, τ ) 0 0 Z t − B(τ )−1 a1 (τ )(n − M (x, τ ))µQ (x, τ )dτ. 0


80

Nu keren we terug naar de uitdrukking voor V ∗,Q . We vullen achtereenvolgens A∗ (t) en (5.1.34) in en vinden: Z t ∗,Q B(u)−1 (n − M (x, T ))∆A0 (T )d1{u≥T } V (t) = −nπ(0) + 0 Z t Z t −1 + B(u) a0 (u)(n − M (x, u))du + B(u)−1 a1 (u)dN Q (x, u) 0 0 Z t B(u)−1 a1 (u)(n − M (x, u−))µQ (x, u)du + nV Q (0, r(0), µ(x, 0)) − 0 Z t Z t −1 ξ Q (u)dP ∗ (u, T ) B(u) (n − M (x, u−)) [· · · ] du + + 0 0 Z T Z t Q Q,M + κ (u)dS (x, u, T ) + (n − M (x, u))V Q (u, r(u), µ(x, u))dB(u)−1 0 0 Z t − B(u)−1 V Q (u, r(u), µ(x, u))dN Q (x, u) 0 Z t − B(u)−1 V Q (u, r(u), µ(x, u))(n − M (x, u))µQ (x, u)du 0 Z t = V ∗,Q (0) + LQ (t) + ξ Q (u)dP ∗ (u, T ) 0 Z t Z t −1 B(u) (n − M (x, T ))∆A0 (T )d1{u≥T } + + B(u)−1 a0 (u)(n − M (x, u))du 0 0 Z t Z t − B(u)−1 a1 (u)(n − M (x, u−))µQ (x, u)du + B(u)−1 (n − M (x, u−)) [· · · ] du 0 0 Z t + (n − M (x, u))V Q (u, r(u), µ(x, u))dB(u)−1 0 Z t − B(u)−1 V Q (u, r(u), µ(x, u))(n − M (x, u))µQ (x, u)du, (5.1.35) 0

waarbij in de tweede gelijkheid gebruik werd gemaakt van (5.1.24), (5.1.25) en (5.1.27). Nu weten we dat zowel V ∗,Q (t) als de eerste drie termen van (5.1.35) Q-martingalen zijn. De overige termen zijn dt-termen zodat ze 0 moeten zijn opdat V ∗,Q (t) een martingaal zou zijn. Voor t = 0 krijgen we inderdaad dat V ∗,Q (0) = −nπ(0) + nV Q (0, r(0), µ(x, 0)). Hiermee krijgen we de volgende decompositie voor V ∗,Q (t): Z t ∗,Q ∗,Q V (t) = V (0) + ξ Q (τ )dP ∗ (τ, T ) + LQ (t). 0

Het lemma is dus bewezen. Met dit lemma kunnen we stelling 5.1.9 aantonen: Bewijs stelling 5.1.9. Uit stelling 5.1.8 weten we reeds dat de unieke 0-aanvaardbare risicominimaliserende strategie φ∗ = (ξ ∗ , η ∗ ) voor het betaalproces A geschreven kan worden als (ξ ∗ (t), η ∗ (t)) = (ξ Q (t), V ∗,Q (t) − ξ Q (t)X(t) − A∗ (t)).


81

Substitueren we nu de uitdrukking (5.1.18) voor V ∗,Q dan vinden we: (ξ ∗ (t), η ∗ (t)) = (ξ Q (t), A∗ (t) + (n − M (x, t))B(t)−1 V Q (t, r(t), µ(x, t)) − ξ Q (t)X(t) − A∗ (t)) = (ξ Q (t), (n − M (x, t))B(t)−1 V Q (t, r(t), µ(x, t)) − ξ Q (t)P ∗ (t, T )), waarbij X(t) = P ∗ (t, T ) het verdisconteerde prijsproces van de nulcouponobligatie voorstelt en ξ Q is gegeven in lemma 5.1.10. Opmerking 5.1.11. De decompositie voorgesteld in lemma 5.1.10 bevat integralen met betrekking tot het telproces N Q en de Q-martingaal S Q,M . Deze zijn beide verbonden met het sterfterisico en daardoor is het betaalproces niet hedgebaar op de financiële markt alleen. De factor ν Q (t) staat voor de verdisconteerde extra kosten die de verzekeraar draagt wanneer er een sterfgeval in zijn portefeuille optreedt. De term B(t)−1 a1 (t) geeft het verdisconteerde bedrag weer dat betaald moet worden bij overlijden. Dit wordt verminderd met B(t)−1 V Q (t, r(t), µ(x, t)), de verdisconteerde marktreserve van een verzekeringsnemer. Het proces κQ (t) stelt de gevoeligheid voor van de verwachtingswaarde (onder Q) van toekomstige betalingen. Die gevoeligheid is een gevolg van veranderingen in de sterfte-intensiteit, waardoor de overlevingskansen wijzigen. Een verandering in overlevingskansen leidt tot een verandering van S Q,M , wat op zijn beurt leidt tot een wijziging in de verdisconteerde waarde van de verwachtingswaarde van de toekomstige betalingen, κQ (t). Voor het risicoproces R(t, φ) kunnen we nog de volgende berekeningen maken: R(t, φ) = EQ

i 2 LQ (T ) − LQ (t) |F(t)

h 

T

Z

Z ν Q (τ )dN Q (x, τ ) +

= EQ  t

"Z

!2

T

κQ (τ )dS Q,M (x, τ, T )

 |F(t)

t

T

(ν Q (τ ))2 d N Q , N Q (x, τ )

= EQ t T

Z

# Q,M Q,M (κ (τ )) d S ,S (x, τ, T )|F(t) Q

+

2

t

"Z

T

(ν Q (τ ))2 (n − M (x, τ ))(1 + g(τ ))µ(x, τ )dτ

= EQ t

Z

T Q

+

(κ (τ ))

2

# 2 p µ,Q Q,M (x, τ, T ) dτ |F(t) . (1 + g(τ ))σ (x, τ ) µ(x, τ )B (x, τ, T )S µ

t

In de derde gelijkheid gebruiken we dat de covariatie van het aangepast proces met eindige variatie N Q (x, ·) en het continue proces S Q,M (x, ·, T ) gelijk is aan nul. Daarnaast wordt ook de Itˆ o-isometrie in termen van geconditioneerde kwadratische variatie toegepast. De vierde

gelijkheid volgt door substitutie van (3.3.17) en d N Q , N Q = λQ dt. Op basis van de laatste resultaten voor de unieke 0-aanvaardbare risicominimaliserende strategie kunnen we opnieuw het verdisconteerde waardeproces V (t, φ∗ ) horend bij de risicomini-


82

maliserende strategie bepalen: V (t, φ∗ ) = ξ ∗ (t)X(t) + η ∗ (t) = ξ ∗ (t)P ∗ (t, T ) + η ∗ (t) = ξ ∗ (t)X(t) + V ∗,Q (t) − ξ ∗ (t)X(t) − A∗ (t) = (n − M (x, t))B(t)−1 V Q (t, r(t), µ(x, t))

(via (5.1.18)).

Op deze manier zien we dat de portefeuille aangepast is zodat de waarde ervan op elk tijdstip t juist gelijk is aan de marktreserve V˜ Q (t) (5.1.11). Voor de volledigheid bepalen we ook nog het kostproces C(t, φ) dat hoort bij de risicominimaliserende strategie. We starten met vergelijking (5.1.21) en substitueren (5.1.24) en (5.1.25) uit lemma 5.1.10: Z t Z t Q Q ∗ Q κQ (τ )dS Q,M (x, τ, T ). ν (τ )dN (x, τ ) + C(t, φ ) = −nπ(0) + nV (0, r(0), µ(x, 0)) + 0

0

We zien dus dat dit proces bepaald wordt door N Q (x, ·) en S Q,M (x, ·, T ). De veranderingen Rt in de sterfte-intensiteit be¨ınvloeden dit kostproces via de term 0 κQ (τ )dS Q,M (x, τ, T ).

5.2

Mean-variance hedging

We geven hier een korte introductie over de theorie van mean-variance hedging. Uitgebreide resultaten kunnen gevonden worden in [26]. We beschouwen opnieuw een kansruimte (Ω, F, P) en een stochastisch procex X aangepast aan de filtratie F = {F(t) : 0 ≤ t ≤ T }. Bovendien veronderstellen we dat X een d-dimensionale semimartingaal is onder P. Zoals in de inleiding gezegd wordt bij mean-variance hedging gebruik gemaakt van een zelffinancierende strategie. Aangezien er geen tussentijdse kosten zijn en er enkel op 0 en T een investering wordt gedaan, is het uiteindelijke resultaat van zo’n strategie van de vorm V (T, φ) = V (0) + G(T, θ) met V (0) ∈ R en θ ∈ L(X), de ruimte van de voorspelbare processen en G(T, θ) is van de vorm RT 0 θ(u)dX(u). In een incomplete markt is een vordering H niet bereikbaar en dus ook niet te schrijven als voorgaande vorm, daarom willen we H zo goed mogelijk benaderen, in mean square sense, door de eindwaarde van een zelffinancierende strategie. We zoeken dus een zelffinancierende strategie φ = (θ, η) die

2

E (H − V (T, φ))

Z = E (H − V (0) −

T 2

θ(u)dX(u))

0

minimaliseert voor alle V (0) ∈ R en alle θ ∈ L(X). Definitie 5.2.1. Noteer met Θ de d-dimensionale ruimte van alle θ ∈ L(X) zodat voor het Rt stochastisch proces G(t, θ) = (θ·X)(t) = 0 θ(u)dX(u), voor t ≥ 0, geldt dat G(T, θ) ∈ L2 (P)2 . 2

dit is de ruimte van alle kwadratisch integreerbare stochastische variabelen met scalair procuct (Y, Z) = p E[Y Z] en norm ||Y || = E[Y 2 ].


83

Een Θ-strategie is een koppel (V (0), θ) ∈ R × Θ, het waardeproces van de strategie wordt ˜ heet Θ-mean-variance optimaal als het gegeven door V (0) + G(θ). Een Θ-strategie (V˜ (0), θ) E (H − V (0) − G(T, θ))2 minimialiseert voor een gegeven vordering H ∈ L2 (P) en voor alle Θ-strategieën (V (0), θ). V˜ (0) heet dan de Θ-benaderingsprijs voor H, de optimale strategie heet de mean-variance hedgingstrategie. De verzameling T

Z G(T, Θ) =

θ(u)dX(u)|θ ∈ Θ = {G(T, θ)|θ ∈ Θ}

0

is dan een lineaire deelruimte van L2 (P). Deze ruimte beschrijft alle resultaten van zelffinancierende Θ-strategieën met beginkapitaal V (0) = 0. Soms wordt er verondersteld dat de ruimte G(T, Θ) van stochastische integralen gesloten is in L2 (P), of worden er voorwaarden opgelegd zodat dit geldt. Meer achtergrond hierover is te vinden in [26]. We zullen met R + G(T, Θ) =

Z V (0) +

T

θ(u)dX(u)|(V (0), θ) ∈ R × Θ

0

de ruimte van voorwaardelijke vorderingen die repliceerbaar zijn door zelffinancierende Θstrategieën en dus bereikbaar zijn voorstellen. Aangezien een strategie volledig bepaald is door V (0) en θ bekomen we een optimale strategie door H ∈ L2 (P) te projecteren op R + G(T, Θ). Mean-variance hedging is nauw verbonden met mean-variance indifference pricing. Daarom behandelen we dit uitgebreid in het volgende deel.

5.3

Mean-variance indifference pricing

Naast de veronderstellingen gemaakt in het voorgaande deel beschouwen we een risiconeutrale ˜ die variantie-optimaal is, dit wil zeggen dat de Radon-Nikodymafgeleide maat P ˜ dP Z˜T = dP

(5.3.1)

de kleinste P-variantie heeft over alle risiconeutrale maten. We beschouwen opnieuw de lineaire deelruimte G(T, Θ) van L2 (P) en definiëren A = RB + G(T, Θ). Met B ∈ L2 (P) en B > 0. Deze ruimte A stelt de ruimte voor van stochastische bereikbare payoffs. Het koppel (G(T, Θ), B) stelt de financiële omgeving voor waarin gehandeld wordt. Een element g ∈ G(T, Θ) staat voor de totale winsten van een zelffinancierende handelsstrategie met beginkapitaal 0, met B wordt de eindwaarde van een spaarrekening met beginwaarde 1 voorgesteld.


84

Wanneer B ≡ 1 wordt gekozen, wordt alles verdisconteerd beschouwd. Er wordt kwadratische integreerbaarheid verondersteld omdat we de structuur van een Hilbertruimte willen bekomen. Neem een stochastische variabele H ∈ L2 (P). Dit staat opnieuw voor een vordering te betalen door de verzekeraar. Wanneer H bereikbaar is en dus H ∈ A, dan kunnen we schrijven H = cH B + g H met cH B ∈ RB en g H ∈ G(T, Θ). Lemma 5.3.1. Opdat er geen arbitrage mogelijk zou zijn moet de prijs van H gelijk zijn aan cH . Bewijs. Veronderstel dat H wordt aangeboden voor een prijs x < cH . Door cH te lenen H en te handelen volgens een strategie geassocieerd aan −g H kunnen we cx eenheden van H H

H

kopen. Op tijdstip T is de payoff dan gelijk aan cx H − cH B − g H = cx − 1 H ≥ 0. Dit levert een arbitragemogelijkheid omdat we van niets vertrekken en toch een positief resultaat krijgen. In een incomplete markt is een algemene vordering echter niet bereikbaar en kunnen we bovenstaande redenering niet volgen. Schweizer [25] stelt voor om −H te beschouwen als het verzekeringsrisico en hierop een waarderingsprincipe toe te passen. Hiervoor kiezen we een afbeelding u die een stochastische variabele Y afbeeldt op R, u(Y ) stelt dan de waarde, of anders gezegd het nut voor van Y . De klassieke actuariële variantieprincipes worden genoteerd als: u1 (Y ) = E[Y ] + a1 Var[Y ], p u2 (Y ) = E[Y ] + a2 Var[Y ], en ze worden respectievelijk het variantieprincipe en het standaarddeviatieprincipe genoemd. De parameters ai heten de risicotoeslagparameters. Vaak wordt er gewerkt met Y = −H, omdat juist −H overeenstemt met een vordering. Op die manier krijgen we dan voor de principes: u1 (Y ) = E[Y ] − a1 Var[Y ], p u2 (Y ) = E[Y ] − a2 Var[Y ].

(5.3.2) (5.3.3)

Om nu een financiële waarderingsregel, als transformatie van u, te bekomen gebruiken we een redenering gebaseerd op nutsindifferentie, zodat de handelsmogelijkheden, voorgesteld door G(T, Θ), ook in rekening worden gebracht. We vertrekken van een beginkapitaal c ∈ R en een waarderingsprincipe u. De verzekeraar heeft nu twee mogelijkheden: 1. Het risico verbonden aan H niet aanvaarden en dus H niet verkopen. Hij investeert het beginkapitaal c dan op de markt door middel van een zelffinancierende strategie R ˜ η˜). De bedoeling is dan om het gegenereerde vermogen cB + T θ(u)dX(u) ˜ φ˜ = (θ, te 0 RT ˜ maximaliseren: v(c, 0) = sup ˜ u cB + θ(s)dX(s) . θ∈Θ

0


85

2. Hij verkoopt γ eenheden van H, waarvoor hij een premie h(c, γ) ∈ R ontvangt. Zo kan hij c + h(c, γ) investeren in de markt door gebruik te maken van een zelffinancierende strategie φ = (θ, η). De totale eindwaarde van de actie is dan (c + h(c, γ))B + RT 0 θ(u)dX(u)−γH, hierbij staat de laatste term voor het bedrag dat op T betaald moet worden aan de koper van het contract. Opdat het een optimale investering zou zijn,moet RT dit gemaximaliseerd worden: v(c, γ) = supθ∈Θ u (c + h(c, γ))B + 0 θ(s)dX(s) − γH . Een eerlijke premie zal gevraagd worden als de verzekeraar onverschillig is voor de bovenstaande alternatieven. We moeten dus h(c, γ) zo kiezen dat de alternatieven gelijk zijn. Dit geeft de volgende definitie: Definitie 5.3.2 (Indifferentieprijs). We noemen h(c, γ) een u-indifferentieprijs voor γ eenheden van H als v(c, γ) = v(c, 0), dus als Z T Z T ˜ sup u (c + h(c, γ))B + θ(u)dX(u) − γH = sup u cB + θ(u)dX(u) . (5.3.4) θ∈Θ

˜ θ∈Θ

0

0

h(c, 0) = 0 is altijd een u-indifferentieprijs voor 0 eenheden van H. We willen nu de indifferentieprijs h1 (c, γ) en optimale strategie bepalen voor de nutsfunctie u1 (5.3.2). Hiervoor beperken we ons tot geval waarin B ≡ 1: Stelling 5.3.3. Voor alle H ∈ L2 (P) en γ, c ∈ R wordt de u1 -indifferentieprijs voor γH gegeven door: ˜ h1 (c, γ) = γ E[H] + aγ 2 Var[N H ], (5.3.5) hierin is N H een term uit de decompositie van H (zie stelling 5.3.7) met N H ∈ A⊥ en E[N H ] = 0. De optimale strategie voor γH onder u1 is: θ∗ = γθH +

1 + Var[Z˜T ] ˜ β, 2a1

(5.3.6)

met Z˜T gegeven door (5.3.1) en de corresponderende waarde voor u1 is dan: Z u1 (c + h1 (c, γ) +

T

θ∗ (u)dX(u) − γH) = c + h1 (c, γ) − γcH +

0

1 Var[Z˜T ] − aγ 2 Var[N H ]. 4a1 (5.3.7)

Om dit te kunnen bewijzen hebben we nood aan enkele tussenresultaten die we meestal voor een algemene B bewijzen. We noteren met π(·) de projectie in L2 (P) op de gesloten lineaire RT ˜ Verder merken we eerst op deelruimte G(T, Θ)⊥ van L2 (P) en B − π(B) = 0 β(u)dX(u). dat (5.3.4) ook kan geschreven worden door het supremum te nemen over alle elementen RT g = 0 θ(u)dX(u) in de ruimte G(T, Θ): sup g∈G(T,Θ)

u ((c + h1 (c, γ))B + g − γH) =

sup g˜∈G(T,Θ)

u (cB + g˜) .

(5.3.8)


86

Definitie 5.3.4. G(T, Θ) laat geen benaderingswinsten toe in L2 (P) als B niet tot de sluiting G(T, Θ) behoort. Deze definitie kan intu¨ıtief als volgt ge¨ınterpreteerd worden: we kunnen de risicoloze payoff B niet benaderen door een zelffinancierende strategie met beginkapitaal 0. Op deze manier wordt arbitrage uitgesloten. We geven hieronder enkele eigenschappen van de ruimte G(T, Θ), de bewijzen kunnen gevonden worden in [25]. Lemma 5.3.5. Als G(T, Θ) een lineaire deelruimte is van L2 (P), dan zijn volgende uitspraken equivalent: 1. G(T, Θ) laat geen benaderingswinsten toe in L2 (P). 2. π(B) is niet P-bijna zeker gelijk aan 0. 3. E[Bπ(B)] > 0. 4. G(T, Θ)⊥ ∩ (RB + G(T, Θ)) 6= {0}. 5. Er bestaat een Z ∈ G(T, Θ)⊥ ∩ (RB + G(T, Θ)) waarvoor het scalair product (B, Z) > 0. Lemma 5.3.6. Zij G(T, Θ) een lineaire deelruimte van L2 (P) die geen benaderingswinsten toelaat in L2 (P). Dan geldt: 1. A⊥⊥ = A = RB + G(T, Θ) = RB + G(T, Θ)⊥⊥ . 2. A is gesloten in L2 (P) als en slechts als G(T, Θ) gesloten is in L2 (P). De volgende stelling is een gevolg van de projectiestelling in Hilbertruimtes. Stelling 5.3.7. Zij G(T, Θ) een lineaire deelruimte van L2 (P) die geen benaderingswinsten toelaat in L2 (P). Dan heeft elke stochastische variabele H ∈ L2 (P) een unieke decompositie van de vorm: H = cH B + g H + N H , ⊥

met cH ∈ R, g H ∈ G(T, Θ), N H ∈ A , E[BN H ] = 0 en E[N H g] = 0 voor alle g ∈ G(T, Θ). ⊥

Bewijs. Aangezien A gesloten is in L2 (P) kunnen we schrijven L2 (P) = A ⊕ A . Via de projectiestelling in Hilbertruimtes volgt dat H op een unieke manier geschreven kan worden ⊥ als H = aH + N H = cH B + g H + N H , met aH = cH B + g H ∈ A en N H ∈ A . Neem nu een Z ∈ G(T, Θ)⊥ ∩ A, dan hebben we dat (aH , Z) = (cH B + g H , Z) = (cH B, Z) = cH (B, Z)3 . Als nu aH = cB + g voor een bepaalde c ∈ R en een bepaalde g ∈ G(T, Θ), dan krijgen we bovendien dat (aH , Z) = (cB + g, Z) = (cB, Z) = c(B, Z). We krijgen dus dat (aH , Z) = cH (B, Z) = c(B, Z), waarmee de uniciteit bewezen is. 3

met (·, ·) bedoelen we het scalair procuct.


87

˜ Voor het vervolg definiëren we eerst twee nieuwe maten PB en P:

en

dPB B2 = dP E[B 2 ]

(5.3.9)

˜ dP Bπ(B) = . dP E[Bπ(B)]

(5.3.10)

De eerste definitie motiveert Schweizer [25] als volgt: we willen E[(H −cB −g)2 ] minimaliseren voor alle c ∈ R en alle g ∈ G(T, Θ), voor een vaste H ∈ L2 (P). Omdat A = RB + G(T, Θ) kunnen we het optimalisatieprobleem nog noteren als: minimaliseer kH − ak2 voor alle a ∈ A. Zo zien we dat dit overeenkomt met het projecteren van H ∈ L2 (P) op A. Als we het optimalisatieprobleem willen uitdrukken in eenheden van B dan moeten alle eindbetalingen gedeeld worden door B, we verdisconteren dus met betrekking tot B. Zo wordt het optimalisatieprobleem genoteerd als " 2 # g H −c− voor alle c ∈ R en alle g ∈ G(T, Θ). (5.3.11) minimaliseer E B 2 B B Via stelling 1.1.14, met Z = " E B2

B2 , E[B 2 ]

en (5.3.9) vinden we dat

H g −c− B B

2 #

= E B 2 EPB

"

H g −c− B B

2 # .

Hierdoor is het optimalisatieprobleem (5.3.11) equivalent met: " # g 2 H −c− voor alle c ∈ R en alle g ∈ G(T, Θ). minimaliseer EPB B B Voor een algemene B wordt het variantieprincipe dan ook nog gedefinieerd als: Y Y u1 (Y ) = EPB − a1 VarPB . B B

(5.3.12)

Met de tweede maat wil Schweizer [25] een variantie-optimale risiconeutrale maat creëren: Definitie 5.3.8. Een “signed” (G(T, Θ), B)-risiconeutrale maat is een “signed” maat Q waar2 voor geldt: Q[Ω] = 1, Q P, B1 dQ dP ∈ L en h g i 1 dQ EQ = , g = 0 ∀g ∈ G(T, Θ). B B dP ˜ is B-variantie-optimaal Definitie 5.3.9. Een “signed” (G(T, Θ), B)-risiconeutrale maat P als

1 dP

1 dQ ˜

≤

B dP B dP voor alle “signed” (G(T, Θ), B)-risiconeutrale maten Q.


88

Schweizer eindigt de motivatie voor de keuze van de tweede maat met het volgend lemma, het bewijs is te vinden in [25]: Lemma 5.3.10. Zij G(T, Θ) een lineaire deelruimte van L2 (P). De B-variantie-optimale ˜ bestaat als en slechts als G(T, Θ) geen benade“signed” (G(T, Θ), B)-risiconeutrale maat P ˜ dan uniek en dP˜ ∈ A. ringswinsten toelaat in L2 . Bovendien is P dP Lemma 5.3.11. Als H ∈ L2 (P) een decompositie heeft van de vorm H = cH B + g H + N H , dan geldt er dat: H N = 0, EPB B g NH Cov = 0 ∀g ∈ G(T, Θ). , B B H

Onder PB heeft NB dus gemiddelde 0 en is het ongecorreleerd met de ruimte B-verdisconteerde winsten.

1 B G(T, Θ)

van

Bewijs. Wegens de definitie van PB en de gegevens van stelling 5.3.7 vinden we dat: H B2 N H N =E EPB B E[B 2 ] B 1 E BN H = 2 E [B ] = 0. Volgens analoge bewerkingen vinden we de covariantie: H hgi g NH g NH N CovPB , = EPB − EPB EPB B B B B B B 1 = E gN H E [B 2 ] = 0.

Stelling 5.3.12. Zij G(T, Θ) een lineaire deelruimte van L2 (P) die geen benaderingswinsten toelaat in L2 (P). Neem H ∈ L2 (P) en beschouw de decompositie H = cH B + g H + N H . Dan geldt: H . cH = EP˜ B Bewijs. Omdat G(T, Θ) een lineaire deelruimte is van L2 (P), is G(T, Θ)⊥⊥ = G(T, Θ) en L2 (P) = G(T, Θ)⊥ ⊕ G(T, Θ). De payoff B kan dan geschreven worden als B = π(B) + (B − π(B)) en in het bijzonder geldt dat π(B) ∈ G(T, Θ)⊥ ∩ (RB + G(T, Θ)). Samen met definitie


89

˜

(5.3.10) vinden we dan dat B1 ddPP ∈ G(T, Θ)⊥ ∩ (RB + G(T, Θ)) = G(T, Θ)⊥ ∩ A (lemma 5.3.6). ⊥ Aangezien g H ∈ G(T, Θ) en N H ∈ A krijgen we nu: " # ! ! ˜H ˜ ˜ H d P 1 d P d P 1 ˜ E =E = ,H = , cH B + g H + N H B dP B B dP B dP ! ! " # ˜ ˜ ˜ d P dP 1 dP , cH B = cH , 1 = cH E = B dP dP dP ˜ = cH . = cH E[1]

We kunnen nu een interpretatie geven aan de decompositie H = cH B + g H + N H . Het eerste ⊥ deel cH B + g H ∈ A is het bereikbare deel van H, N H ∈ A is het deel dat niet gehedged kan worden en de constante cH is het beginkapitaal van het bereikbare deel. Lemma 5.3.13. Voor u1 en voor elke H ∈ L2 (P) is de u1 -indifferentieprijs h1 (c, γ) onafhankelijk van c en wordt die voor elke γ, c ∈ R gegeven door: h1 (c, γ) =

u(g) −

sup g∈G(T,Θ)

u(g − γH) =

sup g∈G(T,Θ)

sup

u(g) −

g∈G(T,Θ)

sup

u(g − γH).

g∈G(T,Θ)

Bewijs. We vertrekken van de definitie van het variantieprincipe (5.3.12) en houden rekening met de eigenschap Var[c + X] = Var[X], voor c ∈ R vinden we dan: g − γH g − γH − a1 VarPB c + x + u1 ((c + x)B + g − γH) = EPB c + x + B B g − γH g − γH = c + x + EPB − a1 VarPB B B = c + x + u1 (g − γH). Hieruit volgt dan: v(c, γ) =

u1 ((c + h1 (c, γ))B + g − γH)

sup g∈G(T,Θ)

=

(c + h1 (c, γ) + u1 (g − γH))

sup g∈G(T,Θ)

= c + h1 (c, γ) +

sup

u1 (g − γH),

g∈G(T,Θ)

v(c, 0) = c + h1 (c, 0) +

sup

u1 (g)

g∈G(T,Θ)

=c+

sup

u1 (g).

g∈G(T,Θ)

Wegens de definitie van een indifferentieprijs moet v(c, γ) = v(c, 0) zodat h1 (c, γ) +

sup g∈G(T,Θ)

u1 (g − γH) =

sup g∈G(T,Θ)

u1 (g),


90

waaruit de eerste gelijkheid uit de opgave volgt. Voor de tweede gelijkheid moeten we aantonen dat voor elke Y ∈ L2 (P): L := supg∈G(T,Θ) u1 (g + Y ) = supg∈G(T,Θ) u1 (g + Y ) =: R. Omdat L ≤ R triviaal is, moet enkel aangetoond worden dat R ≤ L. Neem een willekeurige g ∈ G(T, Θ). Er bestaat h ieen gn +Y 2 rij (gn )n∈N in G(T, Θ) die convergeert naar g in L (P). Hierdoor convergeert EPB = B h i 1 E [B(gn + Y )] naar EPB g+Y en is (kgn + Y k)n∈N begrensd. In wat volgt gebruiken we B E[B 2 ] volgende afschattingen: kgn + Y k2 − kg + Y k2 = |(kgn + Y k − kg + Y k) (kgn + Y k + kg + Y k)| ≤ kgn − gk sup kgn + Y k + kg + Y k , n∈N 2 2 E [B(gn + Y )] − E [B(g + Y )] = |(E [B(gn + Y )] − E [B(g + Y )]) (E [B(gn + Y )] + E [B(g + Y )])| ≤ |E[B(gn − g)]| sup |E[B(gn + Y )] + E[B(g + Y )]| n∈N ≤ kBkk(gn − g)k sup kB(gn + Y )k + kB(g + Y )k n∈N 2 ≤ kBk kgn − gk sup kgn + Y k + kg + Y k . n∈N

Hiermee vinden we dat: g+Y g + Y n VarPB − VarPB B B

2 2 (g + Y ) g + Y n n = EPB − EPB B2 B (g + Y )2 g + Y 2 −EPB + EPB B2 B 1 ≤ E[(gn + Y )2 ] − E[(g + Y )2 ] 2 E[B ] 1 E[B(gn + Y )]2 − E[B(g + Y )]2 + (E[B 2 ])2 kgn − gk ≤ sup kg + Y k + kg + Y k n E[B 2 ] n∈N kBk2 kgn − gk + sup kgn + Y k + kg + Y k E[B 2 ]2 n∈N

en dit convergeert naar 0 als n → ∞. Voor een gegeven > 0 geldt er dan dat: gn + Y g+Y EPB ≥ EPB − voor n B B gn + Y g+Y VarEB ≤ VarPB + voor n . B B


91

Dit impliceert dat: L=

sup

u1 (g + Y ) ≥ u1 (gn + Y )

g∈G(T,Θ)

gn + Y gn + Y − a1 VarPB = EPB B B g+Y g+Y ≥ EPB − − a1 VarPB + B B

voor n .

Wanneer we nu naar 0 laten naderen vinden we: g+Y g+Y − a1 VarPB = u1 (g + Y ). L ≥ EPB B B Nu was g ∈ G(T, Θ) willekeurig, dus L ≥ supg∈G(T,Θ) u1 (g + Y ) = R. Hiermee is het gestelde bewezen. Voor het volgende lemma volgen we [22], waar verondersteld wordt dat G(T, Θ) gesloten is in L2 (P) en dat B = 1. Lemma 5.3.14. Veronderstel dat 1 ∈ / G(T, Θ)⊥ . Voor elke m ∈ R wordt de oplossing van het probleem max u1 (g − N H ) met voorwaarde E[g] = m

g∈G(T,Θ)

gegeven door gm = cm (1 − π(1)), met cm =

m . E[(1−π(1))2 ]

Var[gm ] =

Verder geldt ook:

m2 . Var[Z˜T ]

Bewijs. Via stelling 5.3.7 met B = 1 weten we dat E[N H ] = 0 en E[N H g] = 0 voor elke g ∈ G(T, Θ) = G(T, Θ) (want gesloten ondersteld), hieruit volgt: u1 (g − N H ) = E[g − N H ] − a1 Var[g − N H ] = E[g] − a1 Var[g] − a1 Var[N H ]. Nu willen we u1 (g − N H ) maximaliseren over G(T, Θ), dit impliceert dat we E[g 2 ] = kg 2 k willen minimaliseren over G(T, Θ) onder de voorwaarde dat E[g] := (g, 1) = m. Wegens de projectiestelling in Hilbertruimtes bestaat er een unieke decompositie van g ∈ G(T, Θ): g = α(1 − π(1)) + gˆ, met α ∈ R en gˆ ∈ G(T, Θ) en gˆ ⊥ (1 − π(1)), dit wil zeggen dat E[ˆ g (1 − π(1))] = (ˆ g , 1 − π(1)) = 0. Daarnaast is gˆ ook orthogonaal met π(1) omdat π(1) ∈ ⊥ G(T, Θ) . Hiermee vinden we dan dat: E[g 2 ] = E[α2 (1 − π(1))2 + gˆ2 + 2αˆ g (1 − π(1))] = α2 k1 − π(1)k2 + kˆ g k2


92

en E[g] = E[α(1 − π(1))] + E[ˆ g] = (α(1 − π(1)), 1) + (ˆ g , 1) = α ((1 − π(1)), 1 − π(1) + π(1)) + (ˆ g , 1 − π(1) + π(1)) = α ((1 − π(1)), 1 − π(1)) + α(1 − π(1), π(1)) + (ˆ g , 1 − π(1)) + (ˆ g , π(1)) = αE (1 − π(1))2 = αk1 − π(1)k2 . Wanneer we nu E[g 2 ] minimaliseren onder de voorwaarde E[g] = m vinden we de oplossing m voor gˆ = 0 en α = k1−π(1)k 2 . Zo kunnen we de oplossing g schrijven als: gm =

m(1 − π(1)) m(1 − π(1)) = . 2 k1 − π(1)k E[(1 − π(1))2 ]

Dit is goed gedefinieerd aangezien 1 ∈ / G(T, Θ)⊥ en dus k1 − π(1)k > 0. Voor het tweede deel van de stelling starten we met enkele eenvoudige berekeningen: kπ(1)k2 = E[π(1)2 ] = (π(1), π(1)) = (π(1), π(1) − 1 + 1) = (π(1), 1) = E[π(1)],

(5.3.13)

k1 − π(1)k2 = E[(1 − π(1))2 ] = 1 − E[π(1)] = 1 − E[π(1)2 ] = 1 − kπ(1)k2 .

(5.3.14)

Dit geeft voor de variantie van gm : m2 (1 − π(1))2 − m2 Var[gm ] = − E[gm ] = E k1 − π(1)k4 2 1 (5.3.14) 2 2 1 − (1 − kπ(1)k ) =m −1 = m k1 − π(1)k2 k1 − π(1)k2 ! E π(1)2 (5.3.13) = m2 . E [(1 − π(1))2 ] 2 E[gm ]

2

Aangezien we B = 1 gesteld hebben is wegens (5.3.1) en (5.3.10): ˜ dP π(1) π(1) Z˜T = = = . dP E[π(1)] E[π(1)2 ] Hiermee vinden we dan: π(1)2 π(1) 2 E[π(1)2 ] = −E −1 E[π(1)]2 E[π(1)] E[π(1)]2 E[π(1)] 1 − E[π(1)] = −1= 2 E[π(1)] E[π(1)] 2 E[(1 − π(1)) ] = E[π(1)2 ]

Var[Z˜T ] = E

zodat Var[gm ] =

m2 . Var[Z˜T ]

(5.3.15)


93

Nu zijn we voldoende gewapend om stelling 5.3.3 te bewijzen. Bewijs stelling 5.3.3. We veronderstellen voor de eenvoud B = 1. Door gebruik te maken van stelling 5.3.7 kunnen we H schrijven als H = cH + g H + N H . Daardoor vinden we: u1 (g − γH) = u1 (g − γcH − γg H − γN H ) = E[g − γcH − γg H − γN H ] − a1 Var[g − γcH − γg H − γN H ]

(5.3.16)

= −γcH + u1 (g − γg H − γN H ). Aangezien G(T, Θ) een lineaire deelruimte is van L2 (P) definieert de afbeelding g 7→ g 0 = g − γg H een bijectie van G(T, Θ) in zichzelf voor alle vaste H ∈ L2 (P) en γ ∈ R, zodat: u1 (g − γH) = −γcH + u1 (g 0 − γN H ).

(5.3.17)

Door lemma 5.3.13 en (5.3.17) weten we dat: h1 (c, γ) =

u1 (g) −

sup g∈G(T,Θ)

=

u1 (g − γH)

sup g∈G(T,Θ)

u1 (g) + γcH −

sup

sup

u1 (g 0 − γN H ).

(5.3.18)

g 0 ∈G(T,Θ)

g∈G(T,Θ)

Nu weten we wegens stelling 5.3.7 dat E[N H ] = 0 en E[gN H ] = 0 voor alle g ∈ G(T, Θ) zodat Cov[g 0 , N H ] = Cov[g − γg H , N H ] = E[(g − γg H )N H ] − E[g − γg H ]E[N H ] = 0. Hiermee rekening houdend vinden we dan aan de hand van de eigenschap Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] − 2Cov[X, Y ]: u1 (g 0 − γN H ) = E[g 0 − γN H ] − a1 Var[g 0 − γN H ] = E[g 0 ] − a1 Var[g 0 ] − a1 γ 2 Var[N H ] = u1 (g 0 ) − a1 γ 2 Var[N H ]. Vertrekkend van (5.3.18) vinden we met bovenstaande resultaten en stelling 5.3.12 de u1 indifferentieprijs h1 (c, γ): h1 (c, γ) =

sup

u1 (g) + γcH −

g∈G(T,Θ)

=

sup g∈G(T,Θ)

sup

u1 (g 0 − γN H )

g 0 ∈G(T,Θ)

u1 (g) + γcH −

sup

u1 (g 0 ) + a1 γ 2 Var[N H ]

g 0 ∈G(T,Θ)

= γEP˜ [H] + a1 γ 2 Var[N H ]. Voor het tweede deel van de stelling beschouwen we enkel u1 (g −γH) omdat u1 (x+g −γH) = x + u1 (g − γH) voor alle x ∈ R. Opnieuw werken we met de decompositie H = cH + g H + N H . Omdat E[N H ] = 0 en Cov[g, N H ] = 0 vinden we uit (5.3.16) nog dat: u1 (g − γH) = −γcH + E[g − γg H ] − a1 Var[g − γg H ] − a1 Var[γN H ].


94

Stel opnieuw g 0 = g − γg H zodat u1 (g − γH) = −γcH + u1 (g 0 − γN H ). Het optimalisatieprobleem kan dan geformuleerd worden als: maximaliseer u1 (g 0 − γN H ) voor g 0 ∈ G(T, Θ). Veronderstel dat 1 ∈ / G(T, Θ)⊥ , we lossen het probleem dan eerst op onder de voorwaarde E[g] = m voor alle m ∈ R, waarna we nog maximaliseren over m ∈ R. Volgens lemma 5.3.14 vinden we dan als oplossing m(1 − π(1)) gm = . E[(1 − π(1))2 ] Dan moeten we nu nog u1 (gm − γN H ) maximaliseren voor m: u1 (gm − γN H ) = E[gm − γN H ] − a1 Var[gm − γN H ] = E[gm ] − a1 Var[gm ] − a1 γ 2 Var[N H ] =m−

a1 m2 − a1 γ 2 Var[N H ] := f (m), Var[Z˜T ]

waarbij de laatste gelijkheid volgt uit lemma 5.3.14. Nu is f (m) een negatief kwadratische functie in m en heeft dit een uniek maximum m∗ waarvoor f 0 (m∗ ) = 0: f 0 (m∗ ) = 1 −

Var[Z˜T ] 2a1 m∗ = 0 ⇔ m∗ = . 2a1 Var[Z˜T ]

Op die manier wordt u1 (gm − γN H ) gemaximaliseerd voor ∗ gm =

m∗ (1 − π(1)) Var[Z˜T ](1 − π(1)) 1 + Var[Z˜T ] = = (1 − π(1)). 2 2 E[(1 − π(1)) ] 2a1 E[(1 − π(1)) ] 2a1

(5.3.19)

De laatste gelijkheid in (5.3.19) volgt uit: 1 E[(1 − π(1) + π(1))2 ] E[π(1)2 ] = = 1 + E[(1 − π(1))2 ] E[(1 − π(1))2 ] E[(1 − π(1))2 ] 1 1 + Var[Z˜T ] (5.3.15) = 1+ = . Var[Z˜T ] Var[Z˜T ] Zo wordt u1 (g − γH) gemaximaliseerd voor ∗ g ∗ = gm + γg H = γg H +

1 + Var[Z˜T ] (1 − π(1)). 2a1

Aangezien we eerder al gesteld hadden dat g = voor de optimale strategie onder u1 : θ∗ = γθH +

RT 0

θdX en 1 − π(1) =

1 + Var[Z˜T ] ˜ β. 2a1

RT 0

˜ βdX, vinden we


95

Het laatste deel van de stelling volgt door g ∗ te substitueren in u1 : ∗ u1 (g ∗ − γH) = u1 (gm − γcH − γN H ) ∗ = −γcH + u1 (gm − γN H ) ∗ ∗ = −γcH + E[gm − γN H ] − a1 Var[gm − γN H ] ∗ ∗ = −γcH + E[gm ] − a1 Var[gm ] − a1 γ 2 Var[N H ]

a1 (m∗ )2 − a1 γ 2 Var[N H ] ˜ Var[ZT ] ˜ Var[ZT ] a1 Var[Z˜T ] − − a1 γ 2 Var[N H ] = −γcH + 2 2a1 4a1 ˜ Var[ZT ] = −γcH + − a1 γ 2 Var[N H ]. 4a1 h i π(1) Wanneer 1 ∈ G(T, Θ)⊥ , is π(1) = 1, Var[Z˜T ] = Var E[π(1)] = 0 en E[g] = (g, 1) = 0 voor alle = −γcH + m∗ −

g ∈ G(T, Θ). In dit geval wordt u1 (g − γH) gemaximaliseerd voor g ∗ = γg H en is de optimale strategie θ∗ = γθH . De optimale waarde voor u1 wordt gegeven door: u1 (g ∗ − γH) = u1 (γg H − γcH − γg H − γN H ) = −γcH + E[−γN H ] − a1 Var[−γN H ] = −γcH − a1 γ 2 Var[N H ].

Opmerking 5.3.15. De indifferentieprijs h1 (c, γ) uit stelling 5.3.3 lijkt sterk op het variantieprincipe (5.3.12), maar verschilt op twee plaatsen: Ten eerste wordt bij de indifferentieprijs ˜ in plaats van de maat PB gebruik gemaakt van de variantie-optimale risiconeutrale maat P (of P als B = 1) in (5.3.12). We moeten dus overgaan op de risiconeutrale maat om verwachtingswaarden uit te rekenen. Daarnaast werkt de variantie slechts op een deel van de vordering H, namelijk enkel op het onhedgebare deel N H . Hierdoor komen er geen extra risicotermen bij omdat die weggehedged kunnen worden door een juiste handelsstrategie. Veronderstel dat h1 (c, ±1) de koopprijs (γ = −1) en verkoopprijs (γ = 1) voorstelt voor één eenheid van H, dan volgt uit stelling 5.3.3: ˜ h1 (c, ±1) = E[H] ± a1 Var[N H ]. Als H bereikbaar is zodat H = cH + g H ∈ A, dan is de indifferentieprijs h1 (c, 1) = cH , wat we verwachten omdat we arbitragevrij willen werken. We noemen h1 (c, γ) de u1 -indifferentieprijs voor γ eenheden van H. Toch mogen we dit niet zien als “de prijs voor γ eenheden van H”. Het is de mogelijke waarde die iemand aan γ eenheden van H hecht wanneer hij gebruikt maakt van u1 als waarderingsmaat. Een andere mogelijkheid is om h1 (c, γ) te zien als maatstaf om personelijke waarderingen mee te vergelijken.


96

In het vorige deel hebben gezien dat een mean-variance hedging strategie bepaald wordt door ˜ V (0) en θ. Schweizer [26] berekende dat V (0) = E[H] en θ = θH . Hiermee zien we het verband tussen de theorie van mean-variance heging en mean-variance indifference pricing: de benaderingsprijs voor H en de hedgingstrategie komen respectievelijk overeen met het eerste deel van de mean-variance indifferentieprijs (5.3.5) en het eerste deel van de optimale strategie (5.3.6).

Besluit We hebben in deze masterproef aandacht besteed aan de sterfte-intensiteit en het risico dat daaraan verbonden is. De laatste jaren is het modelleren van sterfte heel belangrijk geworden omdat de levensduur aanzienlijk verhoogd is. Voordien werd er voornamelijk aandacht besteed aan het financiële risico. Er wordt dan ook vaak de link gelegd tussen sterfte-intensiteit en de interestvoet, waardoor technieken die ontwikkeld zijn bij het modelleren van interestrisico kunnen toegepast worden op het modelleren van sterfterisico. In dit werk zien we dit in het gebruik van de HJM-voorwaarde op voorwaartse sterfte-intensiteiten en het, uit de financiële literatuur afkomstig, CIR-proces voor de modellering van sterfte-intensiteiten. Aan de hand van die sterfte-intensiteit hebben we dan sterftekansen opgesteld. Daarna introduceerden we de verzekeringsportefeuille zodat we uiteindelijk een gecombineerd model verkregen. Als eerste manier van hedgen hebben we Delta- en Gammahedging bekeken. Er werd verondersteld dat de sterfte-intensiteit een OU-proces volgde. Bovendien werd eerst gesteld dat de interestvoet deterministisch was en gelijk aan nul, zodat we enkel het sterfterisico konden hedgen. Daarna werd het financiële risico toegevoegd. In beide gevallen verkregen we stelsels waarmee de Delta-Gammahedge bepaald kon worden. Bij de kwadratische hedgingtechnieken hebben we kort gesproken over mean-variance hedging, waarna we een studie gemaakt hebben van indifferente prijsbepaling. We vonden dat dat de benaderingsprijs en de hedgingstrategie respectievelijk overeenkomen met het eerste deel van de mean-variance indifferentieprijs en het eerste deel van de optimale strategie. Daarnaast hebben we de risicominimaliserende hedgingtechniek behandeld in de aanwezigheid van het systematisch sterfterisico. We stelden hierbij een betaalproces en de marktreserves op, waarmee we de eigenlijke risicominimalisatie hebben uitgevoerd en een gehedgede portefeuille hebben verkregen.

97

Bibliografie [1] P. K. Andersen, Ø. Borgan, R. D. Gill en N. Keiding. Statistical Models Based on Counting Processes. Springer Series in Statistics, 1993. [2] T. Bielecki, M. Jeanblanc en M. Rutkowski. Credit risk modelling. Center for the Study of Finance and Insurance, Osaka University, Japan, 2008. [3] T. R. Bielecki en M. Rutkowski. Credit Risk: Modeling, Valuation and Hedging. Springer, 2002. [4] T. Bj¨ ork. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press, 2004. [5] P. Brémaud. Point Processes and Queues. Martingale dynamics. Springer Series in Statistics, 1981. [6] D. Brigo en F. Mercurio. Interest Rate Models - Theory and Practice. Springer, 2006. [7] A. Cairns, D. Blake en K. Dowd. Pricing death: Frameworks for the valuation and securitization of mortality risk. ASTIN Bulletin, 36:79 – 120, 2006. [8] R. Cont en P. Tankov. Financial Modelling With Jump Processes. CRC Press, 2004. [9] M. Dahl. Stochastic mortality in life insurance: market reserves and mortality-linked insurance contracts. Insurance: Mathematics and Economics, 35:113 – 136, 2004. [10] M. Dahl en T. Møller. Valuation and hedging of life insurance liabilities with systematic mortality risk. Insurance: Mathematics and Economics, 39(2):193 – 217, 2006. [11] D. Duffie, J. Pan en K. J. Singleton. Transformation analysis and asset pricing for affine jump-diffusions. Econometrica, 68(6):1343 – 1376, 2000. [12] W. Feller. Two singular diffusion problems. Annals of Mathematics, 54:173 – 182, 1951. [13] H. Föllmer en M. Schweizer. Hedging of contingent claims under incomplete information. In M. H. A. Davis en R. J. Elliott, editors, Applied Stochastic Analysis, Stochastic Monographs, volume 5, pages 389 – 414. Grodon and Breach, 1990. 99

Bibliografie

100

[14] H. F¨ ollmer en D. Sondermann. Hedging of non-redundant contingent claims. In W. Hildebrand en A. Mas-Colell, editors, Contributions to Mathematical Economics, pages 205 – 223. Elsevier, 1986. [15] D. Heath, R. Jarrow en A. Morton. Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation. Econometrica, 60(1):77 – 105. [16] C. Impens. Wiskundige Analyse III. Cursusnota’s, Universiteit Gent, 2007. [17] I. Karatzas en S. E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, 1991. [18] E. Luciano, L. Regis en E. Vigna. Natural delta gamma hedging of longevity and interest rate risk. ICER Working paper series, 21, 2011. [19] E. Luciano, L. Regis en E. Vigna. Delta and gamma hedging of mortality and interest rate risk. Insurance: Mathematics and Economics, 50:402 – 412, 2012. [20] E. Luciano en E. Vigna. Mortality risk via affine stochastic intensities: calibration and empirical relevance. Belgian Actuarial Bulletin, 8(1):5 – 16, 2008. [21] M. A. Milevsky en S. D. Promislow. Mortality derivatives and the option to annuitises. Insurance: Mathematics and Economics, 29:299 – 318, 2001. [22] T. Møller. On transformations of actuarial valuation principles. Insurance: Mathematics and Economics, 28:281 – 303, 2001. [23] T. Møller. Risk-minimizing hedging strategies for insurance payment processes. Insurance: Mathematics and Economics, 5(4):419 – 446, 2001. [24] P. E. Protter. Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, 2004. [25] M. Schweizer. From actuarial to financial valuation principles. Insurance: Mathematics and Economics, 28:31 – 47, 2001. [26] M. Schweizer. A guided tour through quadratic hedging approaches. In E. Jouini, J. Cvitanić en M. Musiela, editors, Option Pricing, Interest Rates and Risk Management, pages 538 – 574. Cambridge University Press, 2001. [27] S. E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer, 2004. [28] K. J. Singleton. Empirical Dynamic Asset Pricing: Model Specification and Econometric Assessment. Princeton University Press, 2006. [29] F. Sommen en N. De Schepper. Wiskundige Analyse V. Cursusnota’s, Universiteit Gent, 2009.

Hedging van sterfte- en rentevoetrisico

Recommend Documents