Harmonická řada a srovnávací kritérium v zajímavé úloze

MATEMATIKA Harmonická řada a srovnávací kritérium v zajímavé úloze Emil Calda, MFF UK Praha V tomto článku se budeme v souvislosti s jednou úlohou z gymnaziální učebnice zabývat nekonečnými řadami. Některé základní pojmy Posloupností částečných součtů nekonečné řady ∞ X an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · n=1

se nazývá posloupnost s1 , s2 , s3 , . . . , sn , . . . se členy: s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 ... sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an ... Řada, jejíž posloupnost částečných součtů má vlastní limitu, se nazývá konvergentní; o této limitě říkáme, že je součtem řady. Řada, jejíž posloupnost částečných součtů nemá vlastní limitu (tj. když tato limita je plus nebo minus nekonečno nebo vůbec neexistuje), se nazývá divergentní. Úloha v učebnici V učebnici Komplexní čísla vydané nakladatelstvím Prometheus je v kapitole Tucet netuctových úloh na závěr“ tato úloha: ” V rovině jsou vedle sebe umístěny tři shodné čtverce podle obr. 1. Určete součet velikostí vyznačených úhlů α, β, γ. Ročník 81 (2006), číslo 4

1

MATEMATIKA H

G

A

E

C

D

γ

β

α

F

B

Obr. 1

Řešení úlohy je v citované učebnici podáno třemi způsoby; hledaný součet je roven 12 p. Nekonečně mnoho čtverců Zvídavý čtenář se však nemusí spokojit se třemi čtverci a položí si otázku: Jak velký je součet velikostí příslušných úhlů, jestliže shodných čtverců umístěných vedle sebe je nekonečně mnoho (obr. 2)? Je roven určitému (konečnému) číslu, nebo je nekonečně velký? B

B1

α3

α1 α2 A

B2

A1

B3

Bn

An−1

An

αn

αn−1 A2

Bn−1

A3

Obr. 2

Nesprávný odhad Protože posloupnost α1 , α2 , α3 , . . . , αn , . . . je klesající posloupností kladných čísel, jejíž limita je rovna nule, mohlo by se zdát, že nekonečná řada α1 + α2 + α3 + · · · + αn + · · ·

je konvergentní a že jejím součtem je určité kladné číslo. Zdání však klame, a to i v matematice. Pracujeme-li s nekonečnem, musíme být ještě opatrnější než obvykle. S nekonečnem nemá totiž zdravý rozum“ žádné zkušenosti, neboť se historicky vyvinul při práci ” pouze s množinami konečnými – pračlověk nikdy neulovil nekonečně mnoho mamutů! 2

Rozhledy matematicko-fyzikální

MATEMATIKA

Je možné, že k uvedené argumentaci, která se nezakládá na žádné matematické větě, dochází nesprávným zobecněním“ příkladů týkajících se ” geometrických řad, jejichž členy se neomezeně blíží nule. Například členy nekonečné řady 1 1 1 1 1+ + + + + ··· 2 4 8 16 tvoří klesající geometrickou posloupnost kladných čísel s kvocientem q = 12 , jejíž limita je rovna nule, a přitom součet této řady je (konečné) číslo 1 1 s= = = 2. 1−q 1 − 12 Harmonická řada Existují však řady, které divergují k +∞, i když jejich členy tvoří klesající posloupnost kladných čísel neomezeně se blížících nule. Příkladem takovéto řady, kterou navíc využijeme k řešení našeho příkladu, je řada harmonická: 1+

1 1 1 1 1 + + + + ··· + + ··· 2 3 4 5 n

Skutečnost, že tato řada diverguje k +∞, tj. že součet dostatečného počtu jejích počátečních členů je větší než libovolně zvolené kladné číslo, ukážeme tak, že odhadneme součet s2k jejích prvních 2k členů: 1 1 1 1 1 1 1 s2k = 1 + + + + + + + + ··· + 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 + + + · · · + ≧ 2k−1 + 1 2k−1 + 2 2k 1 1 1 1 1 1 1 ≧ 1+ + + + + + + + ··· + 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 + + k + ··· + k = 2k 2 2 1 1 1 1 1 +2· +4· +8· + · · · + 2k−1 · k = 2 4 8 16 2 1 1 1 1 1 k = 1 + + + + + ··· + = 1 + 2 2 2 2 2 2 =1+

Ročník 81 (2006), číslo 4

3

MATEMATIKA

Zvolíme-li index n > 2k , platí k , 2 což znamená, že k libovolně velkému předem zvolenému číslu je možné určit přirozené číslo n tak, že součet prvních n členů harmonické řady je větší než toto číslo. sn > s2k ≧ 1 +

Tím jsme ukázali, že harmonická řada diverguje. Srovnávací kritérium K důkazu skutečnosti, že i řada α1 + α2 + α3 + · · · + αn + · · ·

diverguje, použijeme tzv. srovnávací kritérium: Pro nekonečné řady ∞ X

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · ,

∞ X

n=1

bn = b1 + b2 + b3 + · · · ,

jejichž členy jsou nezáporná čísla taková, že pro všechna n ∈ N je an ≦ bn , platí: P P a) Konverguje-li řada b , konverguje i řada an . P n P b) Diverguje-li řada an , diverguje i řada bn .

Důkaz P a) Budeme předpokládat, že řada bn s nezápornými členy konverguje. Všechny její částečné součty jsou proto menší než určité kladné číslo K. Vzhledem k tomu, že pro každé n ∈ NPje an ≦ bn , jsou menší než K také všechny částečné součty řady an . Posloupnost těchto částečných součtů je proto shora omezená, a protože je neklesající (všechna an jsou nezáporná), má vlastní limitu. To znamená, P že řada an konverguje. b) Utvoříme negaci dokazované implikace a ukážeme, že je ve sporu P s již dokázaným tvrzením a). Předpokládejme tedy, že řada an P diverguje a řada bn konverguje (negací implikace a ⇒ b je totiž P však řada bn , pak podle tvrkonjunkce a ∧ : b). Konverguje-li P zení a) konverguje i řada an , což je spor s naším předpokladem. Implikace b) proto platí. 4


MATEMATIKA

Nekonečně mnoho čtverců – pokračování Přistoupíme (konečně!) k důkazu tvrzení, že řada α1 + α2 + α3 + · · · + αn + · · · diverguje k plus nekonečnu, a to tak, že ji porovnáme ji s řadou: sin α1 + sin α2 + sin α3 + · · · + sin αn + · · · Členy obou těchto řad jsou kladná čísla a vzhledem k tomu, že pro α ∈ 0, 12 p je sin α < α, platí pro všechna n nerovnost sin αn < αn . P Proto, diverguje-li sin αn , pak podle srovnávacího kritéria diP řada verguje i řada αn . Z obr. 2 vidíme, že pro všechna n platí sin αn = √ takže

∞ X

n=1

Použijeme nerovnost

sin αn =

1 , 1 + n2

∞ X

n=1

√

1 . 1 + n2

1 1 √ ≧ , 2 1+n 1+n

která platí také pro všechna n. Přitom řada ∞ X

1 1 1 1 1 = + + + + ··· 1 + n 2 3 4 5 n=1 diverguje, neboť jde o řadu, jež vznikne vynecháním prvního členu harmonické řady, o jejíž divergenci jsme se už přesvědčili. P P Podle srovnávacího kritéria diverguje i řada sin αn , a tedy i řada αn . Zvídavému čtenáři tak můžeme odpovědět:

Bude-li shodných čtverců umístěných vedle sebe podle obr. 2 nekonečně mnoho, bude součet nekonečně velký.

α1 + α2 + α3 + · · · + αn + · · ·


5

MATEMATIKA

Konvexní díry v rovinných množinách bodů Jaromír Šimša, PřF MU Brno V tomto příspěvku se můžete dočíst o jednom zajímavém a poměrně novém matematickém problému. Není starý ani tři desítky let a týká se tzv. mnohoúhelníkových děr v konečných množinách bodů v rovině. Tento pojem si přiblížíme pomocí obr. 1. Vidíte na něm množinu několika bodů roviny vyznačených puntíky. Body s čísly 1, 2, 3, 4 a 5 jsou vrcholy pětiúhelníkové díry v dané množině, neboť uvnitř pětiúhelníku 12345 neleží žádný bod dané množiny. Upřesněme hned, že čtyřúhelník 1234 na obr. 2 nepovažujeme za čtyřúhelníkovou díru, neboť bod 1 leží uvnitř trojúhelníku s vrcholy 2, 3 a 4. Obecně vzato, hranice díry musí vymezovat konvexní mnohoúhelník. S malou obměnou budeme říkat, že vrcholy díry musí být v konvexní poloze. Dodejme k úvodnímu vysvětlení ještě jednu důležitou podmínku, která nás bude neustále provázet: Hledají se mnohoúhelníkové díry jen v takových konečných množinách bodů, které jsou v obecné poloze, kdy tedy žádné tři body neleží v přímce.

Obr. 2 Obr. 1

Velmi zjednodušeně se dá říci, že zkoumané díry jsou tím vzácnější, čím větší počet vrcholů mají. Díry s nejmenším počtem vrcholů, totiž trojúhelníkové díry, najdeme v každé množině bodů, dokonce jimi mů6


MATEMATIKA

žeme celý prostor“ mezi danými body zaplnit, a to postupem zva” ným triangulace, jak ukazuje obr. 3. Spatříte na něm rovněž mnoho čtyřúhelníkových děr, například 1234. Není to překvapivé, neboť čtyřúhelníkovou díru najdeme v každé množině pěti bodů v obecné poloze. Při důkazu tohoto tvrzení stačí jen rozlišit, kolik bodů má vnější ” slupka“ dané množiny∗ ), viz tři možné situace na obr. 4. V první z nich má množina dokonce pětiúhelníkovou díru, čtyřúhelníkovou z ní dostaneme, vynecháme-li libovolný z jejích pěti vrcholů. Samozřejmě platí obecně: Odstraníme-li jakoukoliv skupinu vrcholů z mnohoúhelníkové díry dané množiny bodů, dostaneme její díru s menším počtem vrcholů, zůstanou-li alespoň tři. To je ale celkem zbytečná procedura, vždyť už jsme řekli, že vzácnější (nebo chcete-li cennější“) jsou díry s větším ” počtem vrcholů. Proč je tudíž redukovat a snižovat tak jejich hod” notu“?

Obr. 3

Obr. 4

Po naznačené analýze tří možných situací z obr. 4 už není obtížné zdůvodnit, že čtyřúhelníková díra existuje rovněž v každé množině více než pěti bodů v obecné poloze. Na obr. 5 vidíte, že čtyřúhelníková díra nemusí existovat v pětici bodů, jež nejsou v obecné poloze; body označené čísly 1, 2, 3 leží v přímce. Dále už podmínku obecné polohy nebudeme zmiňovat. ∗

) V matematice se této vnější slupce říká hranice konvexního obalu. My budeme

v dalším textu používat jednodušší a srozumitelný výraz slupka“ již bez uvozovek. ”


7

MATEMATIKA

Problém existence děr s předepsaným počtem vrcholů nastolil v roce 1978 Paul Erdös∗ ). Ještě v témže roce dokázal profesor na univerzitě v německém Braunschweigu Heiko Harborth, že pětiúhelníková díra existuje v každé množině alespoň deseti bodů. (Můžete se o takový důkaz pokusit sami, je to úkol srovnatelný s těmi, které se v současné době zadávají na mezinárodních matematických olympiádách.) Zároveň Harborth vymyslel příklad mnoObr. 5 žiny devíti bodů bez pětiúhelníkové díry (obr. 6). Podíváte-li se na obrázek pozorně, objevíte pouze dva konvexní pětiúhelníky s vrcholy v zadaných bodech. Každý z nich však obsahuje uvnitř jeden vyznačený bod, takže se nejedná o díry v dané devítibodové množině.

Obr. 6

Asi tušíte, jak zněla obecná Erdösova otázka, na kterou dal Harborth první částečnou odpověď: Kolik nejméně bodů musí mít jakkoliv vybraná množina, aby v ní existovala k-úhelníková díra s daným počtem vrcholů k? Harborth dokázal, že pro k = 5 je hledaný nejmenší počet bodů roven číslu 10. O pět let později, v roce 1983, univerzitní profesor ve východokanadském New Brunswicku Joseph D. Horton překvapivě sestrojil příklady množin s libovolně velkým počtem bodů, které nemají žádnou sedmiúhelníkovou díru. ∗

) Světoznámý matematik (1913–1996), který jako mladý maďarský Žid utekl do

světa před nacismem, nikde se však natrvalo neusadil, když celý další život strávil pracovními návštěvami jiných matematiků.

8


MATEMATIKA

Po Hortonově objevu zůstala na více než dvě desetiletí nezodpovězena otázka, zda existují šestiúhelníkové díry ve všech dostatečně početných množinách bodů, přestože o odpověď usilovali mnozí. V roce 1980 byla objevena množina 20 bodů bez šestiúhelníkové díry, v roce 1989 množina téže vlastnosti o 26 bodech. V roce 2003 objevil univerzitní profesor v holandském Utrechtu Mark Overmars pomocí počítače několik příkladů odlišných množin 29 bodů bez šestiúhelníkové díry. Jeden příklad je znázorněn na obr. 7; kdyby puntíky měly mít kvůli rozlišení celočíselné souřadnice, potřebovali bychom k nakreslení čtverec o straně 1260 jednotek.∗ )

Obr. 7

∗

) Kvůli malým rozměrům našeho obrázku zrakem stěží ověříme, že vnější slupkou

znázorněné množiny je trojúhelník, tedy že čtyři puntíky poblíž jeho hranice jsou vnitřními body tohoto trojúhelníku. Bohužel příklad s relativně lépe rozlišitelnými body neznáme.


9

MATEMATIKA

Jak Overmars napsal, jím sestavený program (se zabudovanými náhodnými prvky) běžel na počítači Pentium III 500 MHz nepřetržitě řadu měsíců. Vždy po několika dnech počítač ohlásil nalezení další maximální množiny bez šestiúhelníkové díry. Byly to množiny různé, ale všechny měly 29 bodů, nikdy více. Navíc tyto množiny měly společnou strukturu, jakou vidíte na obr. 7: Vnější slupkou byl vždy trojúhelník, další slupkou směrem dovnitř byl čtyřúhelník, následovaly tři sedmiúhelníky a poslední byl jediný bod uprostřed. Tyto počítačové experimenty dovedly Overmarse k hypotéze, že každá slupka množiny bodů bez šestiúhelníkové díry má nejvýše sedm vrcholů. Tuto speciálnější hypotézu dodnes nikdo ani nedokázal, ani nevyvrátil. Vraťme se však k původní Erdösově otázce a vysvětleme, proč je rok 2005 mezníkem v její historii. Podařilo se totiž konečně alespoň principiálně vyřešit otázku existence šestiúhelníkových děr. Mnichovský matematik Tobias Gerken dokázal, že šestiúhelníkovou díru má každá taková množina bodů, která obsahuje devět bodů v konvexní poloze (i když netvoří devítiúhelníkovou díru, viz obr. 8). A to už bylo vyhráno, neboť od roku 1935 je známo, že pro každé pevné číslo k se v každé dostatečně početné množině najde k bodů v konvexní poloze. Konkrétně pro k = 9 stačí, aby množina měla 1717 bodů.∗ ) Dnes už tedy s jistotou víme, že šestiúhelníkovou díru má každá množina o alespoň 1717 bodech.

Obr. 9 Obr. 8 ∗

) Ve skutečnosti patrně stačí mnohem méně, totiž 129 bodů. Podle (nedokázané)

Erdösovy hypotézy se totiž k bodů v konvexní poloze najde v každé množině 2k−2 + 1 bodů v obecné poloze.

10


MATEMATIKA

Své tvrzení Gerken logicky zdůvodnil zcela elementárními prostředky, jeho důkaz však zabírá 39 časopiseckých stran. Jednodušší čtyřstránkový důkaz existence šestiúhelníkových děr vymyslel zcela nedávno docent MFF UK Čech Pavel Valtr. Nevýhoda“ Valtrova postupu spočívá v tom, ” že algoritmus hledání šestiúhelníkové díry začíná nikoliv u konvexního devítiúhelníku, nýbrž patnáctiúhelníku, což v důsledku vede k mnohem horšímu odhadu pro minimální počet bodů, než je Gerkenových 1717. To však tolik nevadí, když tento minimální počet bude nejspíše v desítkách (třeba přesně 30, jak věří Mark Overmars). Nalezení tohoto minimálního čísla je v současné době patrně beznadějně složitý problém. Pro srovnání uvedeme mnohem jednodušší otázku z téže oblasti geometrie, na kterou se hledá odpověď více než sedm desetiletí: Kolik nejméně bodů musí mít množina, aby v ní existovala šestice bodů v konvexní poloze jako na obr. 9? Nyní ovšem nevylučujeme, že uvnitř hledaného šestiúhelníku leží nějaké body z dané množiny, nejedná se tedy o díru. Víme pouze, že hledané číslo je nejméně 17 a nejvíce 37. Tím naše vyprávění o mnohoúhelníkových dírách končí. Věříme, že vás zaujalo i tím, jak potvrdilo provázanost části současného teoretického výzkumu v matematice s praktickým experimentováním na počítačích. Na takové testování pracovních hypotéz neměli matematikové předchozích generací (vyzbrojeni tužkou, papírem, případně logaritmickým pravítkem) ani pomyšlení! ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

UŽ OBĚDVAL Otec kybernetiky a počítačů Norbert Wiener (1894–1964) prý v době konání mezinárodní konference zastavil na chodbě hotelu známého s dotazem: Nevšiml jste si, ze kterých dveří jsem vyšel?“ Známý ukázal na ” dveře hotelové restaurace, načež Wiener s uspokojením konstatoval: Tak ” to jsem patrně již obědval.“ Ivan Štoll ∗ )

∗

) Z publikace Historky o slavných fyzicích a matematicích, Praha, Prometheus 2005


11

FYZIKA Klima a jeho výhled Jan Pretel, Český hydrometeorologický ústav Klima a klimatický systém Klima je definováno jako průměrný stav atmosféry v určité geografické oblasti během dostatečně dlouhého časového intervalu (obvykle měsíc, roční období, rok, desetiletí atp.). Soubor hodnocených meteorologických proměnných může být značně rozsáhlý, což závisí na požadované preciznosti popisu klimatu a na požadavcích uživatele informace. Nejčastěji jsou k hodnocení klimatu používány teploty vzduchu v blízkosti zemského povrchu a charakteristiky popisující srážkový režim. Tyto základní proměnné lze doplňovat o charakteristiky větru, oblačnosti, slunečního svitu, tlaku, dohlednosti, vlhkosti a dále o prvky, které jsou pozoruhodné z hlediska dopadů na člověka a jeho život. Mezi ně patří třeba výrazné bouře, velmi vysoké či velmi nízké teploty, mlhy, sněhová pokrývka, námrazy, krupobití apod. Průměrné hodnoty meteorologických prvků popisující klima ještě doplňují další statistické veličiny, z nichž nejdůležitější jsou směrodatné odchylky od průměrů, charakteristiky statistického rozložení veličin či autokorelační funkce. Důležité je rozlišovat mezi počasím a klimatem. Na rozdíl od klimatu popisuje počasí atmosférické podmínky v daném časovém okamžiku na daném místě. Obecně lze tedy klima charakterizovat jako průměrné počasí, včetně jeho pravděpodobnostního rozložení kolem průměru. Klimatický systém se skládá z pěti složek geofyzikálního systému, a to z atmosféry a z dalších čtyřech systémů, které jsou s atmosférou v přímém kontaktu a které společně s ní klima ovlivňují (oceán, zemský povrch, kryosféra – zaledněné a trvale zmrzlé plochy – a biosféra). Všechny tyto složky se vzájemně ovlivňují a zároveň vytvářejí prostor pro zpětné vazby. Kromě nich existuje ještě řada dalších externích proměnných faktorů, které na klima působí. Mezi ně patří Slunce s jeho periodicitami, orbitální charakteristiky Země, rozložení pevnin a oceánů, topografie Země a složení atmosféry a oceánů. S výjimkou poslední proměnné nejsou ostatní faktory klimatickými podmínkami zpětně ovlivňovány. 12


FYZIKA

Klimatickou změnou rozumíme změnu klimatických podmínek na jednotlivých částech planety, která je přímo nebo nepřímo spjata s lidskou činností a je spolu s účinky přirozené proměnlivosti klimatu dlouhodobě pozorována. Klima se tak stává charakteristikou, která byla, je a vždy bude proměnnou v čase i v prostoru. Radiační procesy, tepelná bilance, skleníkový efekt a jejich vliv na klima Sluneční záření je základním zdrojem energie klimatického systému, který je udržován v rovnováze energetickými toky dopadajícího a odraženého záření. Jakákoliv změna jedné složky vede k narušení rovnovážného stavu a celý systém se ihned snaží dosáhnout zpětné rovnováhy. Dopadající krátkovlnné sluneční záření o vlnových délkách 0,2 až 4 mm je přibližně ze dvou třetin pohlcováno atmosférou, oblačností, oceány, zemským povrchem a jeho pokryvem a jeho jedna třetina je uvedenými komponentami odrážena zpět do kosmického prostoru. Aby nedošlo k narušení energetické rovnováhy systému, je celkové množství energie dopadajícího krátkovlnného záření kompenzováno energií vyzařovanou zpět do vnějšího prostoru dlouhovlnným zářením o vlnových délkách 4 až 60 mm. Vše komplikuje i to, že jednotlivé složky klimatického systému část tohoto dlouhovlnného záření opět pohlcují a vyzařují. Stavu rovnováhy by v případě čisté atmosféry podle Stefan-Boltzmannova zákona odpovídala přibližná teplota zemského povrchu o 33 ◦C nižší, než ve skutečnosti je. Rozdíl mezi takovou hypotetickou a skutečnou teplotou lze přisoudit vlivu přirozeného skleníkového efektu atmosféry. Zároveň jde i o důkaz, že atmosféra obsahuje též přirozené množství skleníkových plynů, včetně vodní páry. Výsledné klima planety je určováno přerozdělováním tepelné energie v atmosféře a oceánech, které závisí na zeměpisné šířce a roční, resp. denní době, protože v daném časovém okamžiku nejsou slunečním zářením všechny části planety ohřívány rovnoměrně. Významnou úlohu hraje i to, že tepelná kapacita oceánů přesahuje tepelnou kapacitu atmosféry až o tři řády, a oceán se tak stává hlavní zásobárnou energie určující dlouhodobý charakter klimatu. Právě teplotní rozdíly mezi pevninami a oceány jsou základní řídicí silou všech pohybů v atmosféře i oceánech – ovlivňují charakter proudění vzduchu, vyvolávají i proudění v mořích a oceánech. Teplotní rozdíly usměrňují i spotřebu energie na výpar, ten generuje rozložení oblačnosti a oblačnost následně ovlivňuje přítok Ročník 81 (2006), číslo 4

13

FYZIKA

krátkovlnné sluneční energie – energetický cyklus se začíná postupně uzavírat. Z tohoto zjednodušeného schématu vyplývá, že zcela zásadní příčinou klimatických změn jsou změny energetické bilance klimatického systému. Jak jsme se již zmínili, působení přirozeného skleníkového efektu vděčíme za současnou přijatelnou průměrnou teplotu planety (kolem 14 ◦C). Rozbory vzorků ledu různého stáří (vrty v arktických a antarktických ledovcích) spolu například se studiem letokruhů starých stromů ukázaly, že změny koncentrací oxidu uhličitého (CO2 ) a metanu (CH4 ), jako dvou nejvýznamnějších skleníkových plynů přirozeného původu, a změny průměrné teploty spolu vždy vzájemně úzce souvisely. Před stovkami tisíc let se atmosférické koncentrace CO2 pohybovaly v intervalu 180 až 280 ppmv ∗ ) a tyto hodnoty nebyly v minulosti pravděpodobně nikdy překročeny. V posledních několika desetiletích však koncentrace velmi výrazně narůstají a dosahují hladiny 380 ppmv (CO2 ). K podobným změnám došlo i u koncentrací CH4 a oxidu dusného N2 O. Jako nové se v poslední době uplatňují i částečně a zcela halogenované fluorovodíky a fluorid sírový. Zvýšená produkce všech těchto plynů souvisí zejména s lidskou činností. Oxid uhličitý je produkován při spalování fosilních paliv (včetně provozu motorových vozidel), emise CH4 ovlivňuje těžba a zpracování ropy, zemního plynu i pevných paliv, dále zemědělská výroba a odpadové hospodářství, N2 O uniká rovněž při řadě zemědělských činností a emise halogenovaných fluorovodíků souvisí s rozvojem chladírenské a klimatizační techniky. Přeměna lesů na zemědělskou půdu a sídelní území, kromě toho, že sama o sobě mění celkovou energetickou bilanci systému, snižuje i přirozené pohlcování CO2 vegetací – i to je důsledek činnosti člověka. Jelikož CO2 má výrazné absorpční a vyzařovací pásy v okolí 4 mm a 15 mm, CH4 kolem 3 mm a 7 mm a N2 O kolem 4 mm a 7 mm, zpětné dlouhovlnné záření se nárůstem jejich množství v atmosféře zvyšuje, a všechny plyny tak dohromady přispívají k rychlému zesilování původně přirozeného skleníkového efektu. Uvedené plyny působí v atmosféře desítky, stovky a v některých případech až tisíce let a jejich radiační účinnost a její následný vliv na celkovou tepelnou bilanci systému je značně rozdílná. Například účinnost stejného hmotnostního objemu metanu je ∗

) 1 ppmv je jedna objemová miliontina“, tzn. jedna objemová jednotka nějaké látky

” v jednom milionu objemových jednotek atmosféry.

14


FYZIKA

21krát vyšší než u CO2 , účinnost oxidu dusného je 310krát vyšší apod. Dramatický nárůst emisí CO2 , CH4 a N2 O způsobil, že pouze za posledních deset let se jejich celková radiační účinnost zvýšila o 20 % a dnes dosahuje již hodnot kolem 2,3 W · m−2 (pro porovnání: průměrné množství zářivé energie přijaté zemskou atmosférou od Slunce je 1369 W · m−2 ). K zesilování skleníkového efektu přispívá i troposférický ozón (současná radiační účinnost 0,35 W · m−2 ), jeho působení naopak snižují emise pevných aerosolových částic (kolem −0,6 W · m−2 ). Mezi látky působící na skleníkový efekt je třeba zahrnout i vodní páru, která je důležitým faktorem ovlivňujícím řadu zpětných klimatických vazeb (včetně oblačnosti), nicméně změny jejího celkového obsahu v globální atmosféře jsou v dlouhodobém pohledu zanedbatelné. Změny klimatu v dávné i nedávné minulosti Paleoklimatické rozbory ukazují, že z důvodů změn energetické bilance systému se klima měnilo i v dávné minulosti. Změny se projevovaly jak globálně, tak i regionálně a teplota kolísala s periodou kolem 120 až 140 tisíc let s nejnižšími teplotami v dobách ledových a nejvyššími v dobách meziledových. Téměř vždy se planeta oteplovala nepoměrně rychleji, než se pak následně ochlazovala. Většina hypotéz se shoduje na tom, že prvotní příčinou kolísání klimatu byly terestrické a extraterestrické vlivy, neboť právě ty mohly energetickou bilanci systému v minulosti nejvýznamněji ovlivňovat. V posledním tisíciletí probíhaly již pouze drobné výkyvy, např. mírné ochlazení ve 12. až 14. a 17. století (obr. 1). Postupné oteplování se začalo projevovat ve druhé polovině 19. století (obr. 2) a s výjimkou krátkých období ochlazení ve čtyřicátých až šedesátých letech probíhalo po celé 20. století. V posledních 10 až 15 letech se trend oteplování výrazně zvyšuje. Od doby zahájení pravidelných měření teploty (polovina 19. století) bylo posledních 12 let zcela nejteplejších. Za posledních 100 let vzrostla průměrná teplota planety o 0,74 ◦C, přičemž trend nárůstu 0,13 ◦C za 10 let je v posledním padesátiletém období téměř dvojnásobný oproti podobnému trendu před sto lety. Podle údajů Světové meteorologické organizace byl zatím nejteplejší rok 1998, následovaný roky 2005, 2002, 2003, 2004 a 2006. Oteplování se však neprojevuje všude stejně a nejrychleji probíhá ve vyšších zeměpisných šířkách severní polokoule. Proto nemusí být globálně nejteplejší roky zároveň nejteplejšími na všech místech planety. Ročník 81 (2006), číslo 4

15

FYZIKA

Obr. 1. Odchylky průměrné teploty na severní polokouli ve druhém tisíciletí od průměru z let 1961–1990

Obr. 2. Odchylky průměrné teploty na severní polokouli po roce 1860 od průměru z let 1961–1990

Jak jsme již uvedli, značnou část tepla pohlcují oceány. Nárůstu teploty vody a její následné teplotní expanzi můžeme dnes již připsat padesátiprocentní podíl na zvyšování hladin oceánů. Trend nárůstu za posledních 10 let je 3,1 mm za rok, zatímco za posledních 40 let to bylo pouze 1,8 mm za rok. I to je důkazem, že nárůst hladin oceánů se stále zrychluje. 16


FYZIKA

Co můžeme očekávat v budoucnu? Chceme-li se dopátrat“ odhadů vývoje budoucího klimatu, existuje ” v současnosti pouze jediná možnost. Musíme důkladně pochopit co nejvíce složitých fyzikálních zákonitostí chování jednotlivých složek klimatického systému a ty pak, spolu s velmi důležitými zpětnými vazbami, matematicky správně a dostatečně přesně popsat. Z numerických řešení soustav rovnic lze následně získat základní představu o tom, jakou výslednou odezvu lze od sil působících na klimatický systém očekávat. Současná řešení však stále ještě podléhají řadě omezení, která nedovolují šíři procesů popsat dostatečně podrobně, a proto používáme různých zjednodušení a předpokladů. K vytvoření věrohodné projekce budoucího klimatu je třeba znát také co nejpřesnější odpověď na otázku, jak se bude naše společnost dále vyvíjet, jak bude vypadat její sociální a ekonomická struktura za padesát, sto let. Východiskem je soubor tzv. emisních scénářů, který je složen z různých variant možného světového populačního nárůstu, úrovně technologického rozvoje, stavů stávajících energetických zásob, možného využívání nových energetických zdrojů apod. Scénáře jsou shrnuty do 6 základních skupin, které ve výhledu nejbližších 20 až 30 let dávají prakticky shodné výsledky a jejichž výstupy se začínají podstatněji lišit až v modelování situace pro druhou polovinu tohoto století. Prozatím se provádějí odhady nejvýše do konce 21. století a spektrum výstupů z modelů očekává“, že na jeho konci by mohly koncentrace ” CO2 dosáhnout hodnot v rozmezí od 490 do 1260 ppmv, tj. o jednu čtvrtinu až třikrát vyšších, než jsou v současnosti. Spektrum odhadu je tedy dosti značné, ale to je právě dáno rozdíly mezi jednotlivými scénáři. Jelikož odhady výhledové sociální a ekonomické struktury světa jsou zatíženy značným stupněm neurčitosti, nemůžeme ani jeden ze scénářů upřednostňovat. Poslední konzervativní odhady ale naznačují, že je dnes již téměř vyloučené, aby globální teplota vzrostla během tohoto století o méně než 1 ◦C, ale na druhé straně není příliš pravděpodobné, že by byl její nárůst vyšší než 6 ◦C. Z uvedených důvodů nemůžeme výstupy z těchto modelů považovat za předpovědi, ale pouze za odhady, přesněji projekce dalšího vývoje. Jejich přesnost je výrazně nižší, než třeba přesnost předpovědí počasí na několik dní dopředu. A v tomto okamžiku si musíme znovu připomenout rozdíl mezi klimatem a počasím. Zatímco předpověď počasí je o předpovědi stavu atmosféry v daném místě na několik hodin či dnů dopředu, projekce Ročník 81 (2006), číslo 4

17

FYZIKA

klimatu je o trendech průměrného počasí v daném regionu na desítky let dopředu. Naše Země se ani nadále nebude oteplovat homogenně. Teploty porostou rychleji nad pevninami a ve vyšších zeměpisných šířkách, pomaleji nad oceány a v nižších zeměpisných šířkách. Extrémně vysoké teploty se budou vyskytovat výrazně častěji než teploty extrémně nízké; některé menší části planety se mohou paradoxně i ochlazovat. S vyšší mírou nejistot jsou spojeny i odhady pravděpodobností výskytu extrémních počasových jevů na různých místech. Přesto však musíme v budoucnu zvláště ve středních zeměpisných šířkách severní polokoule očekávat i výraznější kolísání počasí. S tím souvisí také odhad budoucího srážkového režimu. Modely naznačují nárůst srážkových úhrnů ve vyšších a naopak jejich pokles v nižších zeměpisných šířkách, jakož i zvýšení jejich časové proměnlivosti. Bude se zvyšovat četnost výskytu extrémnějších počasových jevů. Znovu však připomínáme – hovoříme o klimatu, a tedy o projekcích trendů. Neznamená to tedy, že každý následující rok bude teplejší či počasově extrémnější (podívejte se znovu na obr. 1 a obr. 2, kde vidíte, jak teploty v jednotlivých letech kolísaly)! Ubráníme se důsledkům klimatické změny? Problém klimatických změn nespočívá pouze ve vlastním oteplování planety. Daleko podstatnější je, že se mění celkové chování klimatického systému a jeho zpětné reakce. Bohužel, negativní reakce většinou převažují a projevují se ve vodohospodářství, zemědělství, lesnictví, na celých ekosystémech, na ekonomické prosperitě, duševní pohodě a lidském zdraví apod. Jejich projevy a intenzita nejsou všude stejné a obecně platí, že ekonomicky méně vyspělé oblasti, třeba rozvojové země třetího světa“ ” jsou vůči klimatické změně méně odolnější než státy ekonomicky bohatší, které obvykle snáze vzniklé potíže překonají. Mezi výhledově nejvíce narušené ekosystémy patří tundra, boreální lesy, horské, středomořské a pobřežní ekosystémy a korálové útesy. Zvyšováním hladin moří a oceánů budou stále ohroženější pobřežní oblasti. Nejzranitelnější budou vodní zdroje ve středních a nízkých zeměpisných šířkách, kde bude klesat množství srážkových úhrnů a bude se zvyšovat výpar, bude zde klesat i zemědělská produktivita. Z regionů budou nejvíce ohrožené arktické oblasti, kde je rychlost oteplování již dlouhodobě nejvyšší, dále subsaharská Afrika s nízkou adaptační kapacitou, malé ostrovní státy v Pacifiku či Karibiku ohrožené vzestupem hladin oceánu 18


FYZIKA

a tropickými bouřemi a cyklonami a rovněž území kolem rozsáhlých asijských říčních delt, kde je enormní množství populace vystaveno rizikům nárůstu hladin oceánu, tropických bouří a rozsáhlých záplav. Při hledání řešení boje proti klimatické změně“ se nabízí dvě zcela ” základní možnosti. Jednou z nich je omezovat vliv člověka a snižovat objem emisí skleníkových plynů vypouštěných do atmosféry. Tuto možnost nelze opomíjet, ale sama o sobě nemůže rizika dopadů významně snížit. Druhou možností je hledat cesty, jak se probíhajícím změnám klimatu aktivně přizpůsobovat a hledat co nejúčinnější a nejlevnější způsoby, jak jejich škodlivé důsledky s předstihem minimalizovat. Ani jednu z těchto cest bychom neměli upřednostňovat, neboť obě mají svoje opodstatnění a měly by proto působit společně.

Literatura: [1] Climate Change 2001: The Scientific Basis. IPCC, 2001 (http://www.ipcc.ch/) [2] Climate Change 2001: Impacts, Adaptation, Vulnerability. IPCC, 2001 (http://www.ipcc.ch/)

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

NEMŮŽEME NEPROHRÁT Americký fyzikální chemik Walter John Moore (1918–2001) formuloval tři základní věty termodynamiky populárním způsobem takto: 1. První věta termodynamiky praví, že nemůžete vyhrát; v nejlepším případě dosáhnete nerozhodného výsledku. 2. Druhá věta termodynamiky praví, že nerozhodného výsledku můžete dosáhnout pouze při teplotě absolutní nuly. 3. Třetí věta termodynamiky praví, že absolutní nuly nemůžete nikdy dosáhnout. Ivan Štoll ∗ )

∗

) Z publikace Historky o slavných fyzicích a matematicích, Praha, Prometheus 2005


19

INFORMATIKA Program TI InterActive!, 4. část Jan Kašpar, Dana Machová, MFF UK Praha

Univerzálnost programu Program TI InterActive! (dále TIIA) je především výukový software. Jeho tvůrci zkombinovali vlastnosti několika softwarových balíčků: textového editoru (na způsob MS Wordu), matematického softwaru (jako např. Mathematica, Maple, Derive), tabulkového procesoru (MS Excel) a internetového prohlížeče (Internet Explorer). Jednotlivé komponenty jsou koncipovány tak, aby byly co nejjednodušší a současně dostatečně robustní – aby zvládaly vše podstatné, co nabízejí specializované programy. Při používání TIIA tedy odpadá nutnost pracovat s ostatními programy, TIIA je však s programy běžně používanými v prostředí Windows (speciálně MS Office) kompatibilní. Podporuje export a import dokumentů z MS Wordu, vytváření webových stránek, soubory z tabulkového procesoru TIIA mohou být otevřeny v MS Excelu apod. TIIA splňuje standardy všech těchto programů i způsobem ovládání a vzhledem. Připomeňme, že základním stavebním kamenem dokumentu TIIA je text, do něhož se vkládají matematické objekty, tj. matematické rámečky, grafy, matice, tabulky funkčních hodnot, seznamy, listy tabulkového procesoru, statistické výpočty a pohyblivé lišty. Text se zapisuje jako v běžném textovém editoru; k dispozici jsou základní nástroje pro jeho formátování (druh, velikost a barva písma, zarovnání a odsazení textu). Program ukládá dokumenty ve vlastním formátu .tii. Umožňuje také vyexportovat je do některého z formátů .html (pro webové stránky), .rtf, .doc, popř. .txt. Export však nepodporuje všechny vlastnosti původního dokumentu – může dojít ke změně formátování a matematické objekty jsou nahrazeny obrázky. Nevýhodou je, že nelze vytvořit formát .exe. Chyby a nedostatky programu Některé záležitosti nejsou v programu TIIA vyřešeny právě ideálně. Uživatel občas potřebuje určitou dávku trpělivosti a objevitelského ducha, 20


INFORMATIKA

protože některé věci nefungují nebo fungují jinak, než by bylo přirozené. Někdy je třeba zobrazit netisknutelné znaky, aby bylo možné kontrolovat přesnou pozici kurzoru, konce řádků, mezery, a tím vyřešit problémy s umístěním textu a matematických rámečků na řádku. Další problém může vzniknout při umístění několika matematických rámečků na jeden řádek. Pokud v prvním z nich přiřadíme proměnné nějakou hodnotu, nelze se spolehnout na to, že další rámečky toto přiřazení zaregistrují“. Chceme-li si být jisti, že ano, je třeba ostatní rámečky ” s proměnnou umístit až na následující řádek. Občas je nutné použít místo myši klávesnici. Např. ne vždy funguje scrollování“ pomocí kolečka myši – přestože to vypadá, že listujete do” kumentem, zobrazuje se pořád dokola stejná stránka. Je zvláštní, že program používá jiný font pro černé“ symboly ma” tematické palety a jiný pro modré“ a zelené“ symboly. Výraz x2 tak ” ” vypadá rozdílně v závislosti na tom, jakou barvou je zapsán. Angloamerický zvyk psát desetinné tečky je rozšířen o to, že nula před desetinnou tečkou se vůbec nepíše. Bohužel to není věcí nastavení, tudíž to nejde změnit. Funkce signum neodpovídá předpisu, který známe: v programu TIIA sign (0) = ±1, a ne sign (0) = 0. Program TIIA nemá příliš bohatou paletu formátovacích funkcí, mezi matematickým softwarem však patří k těm lepším. Chybí např. možnost zarovnat text do sloupců, vytvářet rámečky kolem textu či vyznačit odrážky“. ” Za vážný nedostatek považujeme chybějící symboly pro kombinační čísla a pro logické operace. Intervaly jsou zapisovány jinak, než je u nás zvykem (nejen u nich je vidět, že se americká konvence v matematickém značení liší od české). Nepříjemné, je, že nelze zvolit, zda se zlomek vykreslí s vodorovnou, nebo šikmou zlomkovou čarou. Při manipulaci s matematickými rámečky by bylo užitečné mít možnost vybrat několik rámečků současně a nastavit jim společně vlastnosti. Velmi by to urychlilo práci. Při práci s grafy by popisky měly nabízet použití matematické palety. Např. y = sqrt(abs(xˆ2 − 2)) není ideálním popisem grafu funkce (je paradoxní, že k zapsání funkčního předpisu, který se na rozdíl od popisku nikde nezobrazuje, matematická paleta k dispozici je). Rovněž by bylo užitečné propojení popisku s příslušným bodem nebo křivkou – mohl by pak reagovat na změny, schovat se, schová-li se graf, apod. Ročník 81 (2006), číslo 4

21

INFORMATIKA

Popis osy x při zobrazení grafů goniometrických funkcí by byl vhodnější pomocí násobků čísla p, nikoliv desetinnými čísly. Program, bohužel, neumí nakreslit křivky dané implicitními rovnicemi a grafy funkcí dvou proměnných (ani jiné prostorové obrázky). Při výuce by se uplatnilo i znázornění grafického řešení rovnic a nerovnic, které rovněž není implementováno a musí být vytvořeno ručně“ ” pomocí grafu funkce a šrafování. Další problém, na nějž jsme narazili, je konstrukce přímky rovnoběžné s osou y. Nástroj, jímž se kreslí svislá přímka, nepodporuje zadání x-ové souřadnice pomocí proměnné, svislou přímku tedy nelze kombinovat s pohyblivou lištou. Tento nedostatek je možné obejít přes statistický graf. Dokument v TIIA nelze zamknout pouze pro čtení. Také chybí možnost vytvoření read-only“ výstupu. Program nepodporuje tvorbu ” apletů. Protože program TIIA není určen pro český trh, neexistuje jeho lokalizovaná verze. Uživatel se musí vypořádat s angličtinou, což může některé zájemce odradit. Nepříjemný je ještě jeden konkrétní dopad. TIIA si automaticky volí jazyk podle nastavení počítače, tuto volbu uchovává a nedovoluje ji změnit. Prakticky to znamená, že nejde přepínat mezi českou a anglickou klávesnicí. Kde najít podrobné informace o práci s programem TIIA Některé podrobnosti jste se dozvěděli v prvních třech pokračováních tohoto článku. Další informace (jak vložit objekt do dokumentu atd.) můžete najít v zabudované nápovědě (Help), popř. v nápovědě na internetu, kterou spolu s internetovým prohlížečem otevřete kliknutím na 14. (předposlední) ikonu třetího řádku nabídek na základní obrazovce. Na webových stránkách katedry didaktiky matematiky MFF UK (www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/index.php) můžete pod odkazem Studentské práce najít diplomovou práci Dany Machové Programy podporující výuku matematiky věnovanou programu TIIA. V ní je kromě podrobného návodu, jak s programem pracovat, uvedeno také mnoho zajímavých příkladů. Prostřednictvím různých vyhledávačů (Google apod.) lze na internetu najít mnoho odkazů na další webové stránky týkající se programu TIIA.

22


HISTORIE Dva geniové, kteří se neměli rádi František Jáchim, VOŠ a SPŠ Volyně Od Isaaca Newtona pochází proslulý výrok: Jestliže jsem viděl dál než ” jiní, bylo to jen proto, že jsem stál na ramenech obrů.“ ∗ ) I když byl Newton v dějinách fyziky osobností svými schopnostmi zcela výjimečnou, k završení klasické mechaniky dospěl syntézou poznatků svých předchůdců i současníků. On to byl, kdo složil mozaiku nebeské a pozemské mechaniky do jednoho obrazu, s úhledným a pro příští staletí vkusným rámem. Newton, jako člověk sebevědomý, avšak nespolečenský a bez zkušenosti z nějaké osobní spolupráce, neměl ke svým současníkům přílišné ohledy. S řadou z nich nevycházel v dobrém, vedl spory o prioritu, cítil se zraněn, když slyšel námitky. Jedním z těch, kdo tyto znaky Newtonovy osobnosti poznali a velmi intenzivně pocítili, byl Robert Hooke. Na vzájemné nevraživosti však měli podíl oba. Robert Hooke se narodil roku 1635 na ostrově Weigt. Po studiích (mj. na Christ Church v Oxfordu) se stal profesorem geometrie v Gresham College. Jeho vzdělání šlo daleko za rámec matematiky – studoval také astronomii, fyziku, chemii a částečně i architekturu. Od roku 1663 působil jako placený demonstrátor v londýnské Royal Society. Akademikům předváděl různé pokusy a dělal to dobře a rád. Získal tím bohaté zkušenosti z pracovních metod fyziky, které uplatnil při překračování jejích stávajících hranic. Roku 1673 nalezl poměr mezi napětím a deRobert Hooke formací pevných látek a tuto skutečnost dovedl do tvaru zákona, který nese jeho jméno. ∗

) Mezi tyto obry pravděpodobně patřili J. Kepler a G. Galilei – tvůrci rozsáhlých

částí klasické mechaniky.


23

HISTORIE

Zmínky o Hookeovi najdeme i v historii biologie. Přísluší mu priorita objevu buňky, jak on říkal komůrky – celluly. Odumřelé buňky nalezl prostřednictvím vlastnoručně sestrojeného mikroskopu např. v korkové vrstvě. Ke konstrukci tohoto přístroje bylo třeba nejen velké zručnosti, ale i dobrých znalostí z optiky. Zatímco Hookeův mikroskop je faktem, jeho prohlášení o prioritní konstrukci zrcadlového dalekohledu nelze historicky doložit. Dostáváme se tak k prvnímu sporu Hookea s Newtonem. Když roku 1668 Newton sestrojil zrcadlový dalekohled, ozval se Hooke, že tentýž instrument vyrobil už roku 1664 a jen kvůli morové epidemii se o něm nikdo nedověděl. Tento spor odhaluje některé Hookeovy vlastnosti, pro něž byl znepřátelen téměř se všemi současníky. Na jedné straně obrovská originalita a zručnost, na druhé straně závist a podezírání z využívání nápadů.

Hookem sestrojený mikroskop

Newtonův zrcadlový dalekohled

Jako kritik měl Hooke na půdě optiky nepochybně pravdu. Newtonovou teorií světla jako proudu částic nebylo možné vysvětlit výsledky všech známých pokusů, zejména ohybu světla a vzniku barev na tenkých vrstvách. Nemalý podíl má Hooke na zkoumání gravitace. Ta byla hlavním předmětem společného zájmu Roberta Hookea a Isaaca Newtona. Hooke se více zajímal o její příčiny, Newton hledal zákonitosti v jejím působení, tedy důsledky – v tom se oba lišili. Podle Hookea vyvolávají gravitaci milióny záchvěvů uvnitř éteru a uvnitř velkých těles. K výkladu světa tudíž potřeboval éter, který Newton zásadně odmítal, a působení gravitace vysvětloval tzv. okamžitým působením na dálku. 24


HISTORIE

Roku 1674 vydal Hooke spis Pokus zkoumat pohyb Země z pozorování, v němž jsou některé teze společné s úvahami Newtonovými: 1. Všechna tělesa vykazují přitažlivost nejen vůči vlastnímu středu, ale i vůči ostatním tělesům. 2. Všechna tělesa, která se začala pohybovat rovnoměrně přímočaře, se pohybují po přímce, pokud nejsou přinucena nějakou silou opisovat kuželosečku. 3. Přitažlivé síly jsou tím větší, čím je těleso blíže středu. Pohyb planet okolo Slunce byl v té době dokonale popsán Keplerovými zákony. Slunce vyvolává silové působení rozhodující o tvaru jejich drah a měl-li být nalezen další zákon – tentokrát silový, musel v sobě Keplerovy kinematické zákony obsáhnout. Zdálo se, že klíčovým pojítkem mezi kinematikou a dynamikou sluneční soustavy je myšlenka ubývání přitažlivé síly se čtvercem vzdálenosti. Myšlenka se nezávisle objevuje jak v díle Hookeově, tak i u Newtona, ale také u E. Halleye (podrobněji v [4]). Jedna věc je mít nápad, druhá vložit tento nápad do ucelené teorie. To druhé učinil Newton. Zcela sobecky však popřel Hookeův přínos a Hookeovo přání, aby jeho jméno alespoň zmínil v Principiích ∗ ), Newton odmítl. Jádro slavných Principií vzniklo v roce 1684 na naléhání Halleye, celé dílo pak vyšlo o tři roky později. Zatímco Halley a Wren usilovali o jejich co nejrychlejší vydání, Hooke, který byl znepřátelen téměř s každým, kladl vydání (jako člen učené společnosti) nejrůznější překážky. To Newton velice citlivě vnímal, a když roku 1703 Hooke zemřel a on se stal prezidentem Royal Society, nechal všechny Hookeovy portréty spálit.

Literatura: [1] [2] [3] [4]

∗

Koyré, A.: The astronomical revolution. Londýn, 1973 Nový, L. – Smolka, J.: Isaac Newton. Praha, Orbis 1969 Lipson, G.: Velké pokusy ve fyzice. Moskva, 1972 Jáchim, F.: Astronomický příběh Edmonda Halleye. Rozhledy MF, roč. 80, 2005, č. 4

) Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Matematické základy přírodní

filozofie) – Newtonův spis vydaný roku 1687 v Londýně, který mj. obsahuje zákon všeobecné gravitace.


25

HISTORIE

Victor F. Weisskopf – pohľady sa vzájomne dopĺňajú Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave

Zodpovedný prístup Victor Frederick Weisskopf mal zmysel nielen pre faktické výsledky fyzikálnych vied, ale pozorne vnímal celý vývoj vedeckého poznania (hlavne v 20. storočí). Zvlášť výrazne sa zamyslel nad zodpovednosťou vedcov za ich prácu a jej dôsledky. Zistil, že veda ” môže urobiť veľa, ale nikdy nemôže rozhodnúť, čo je dobré a čo zlé“. Žiadal od všetkých zodpovednosť – predchádzať vojnám a katastrofám v životnom prostredí, vytvárať zmysluplný život pre väčšinu ľudí, zdokonaľovať vzdelávanie, trvať na slobode názorov. Vnímal tri ciele každej vedy: porozumenie, vysvetlenie a predpovedanie. Fyzikálny výskum chápal ako humánnu činnosť, lebo vyjadruje vzťah medzi prírodou a človekom. Vedel, že skutočné poznanie vedie k odlíšeniu medzi podstatným a okrajovým. Niekedy aj veľmi malé príčiny môžu mať veľmi veľké dôsledky. Uznal: Veda by ” nebola možná bez presvedčenia každého vedca i spoločnosti ako celku, že vedecká pravda je dôležitá a podstatná.” Uvedomoval si aj, že veda a technika sú iba jednou z ciest k realite. Pre pochopenie úplného významu našej existencie potrebujeme aj iné cesty. Veda je iba jeden zo ” spôsobov, hoci veľmi dôležitý, budovania vzťahu medzi ľudstvom a jeho prírodným a sociálnym prostredím.“ Rôzne zmysluplné prístupy ku skutočnosti, ktoré sa možno vzájomne vylučujú, môžu prispievať k nášmu chápaniu javov ako celku. Existuje mnoho spôsobov myslenia a cíte” nia: každý z nich obsahuje nejaký kúsok toho, čo možno považovať za pravdu . . . Tradície, ktoré človek nazhromaždil, idey, pojmy, báje a ná26


HISTORIE

boženstvá, to sú všetko účinky mnohostranného vplyvu prírody na človeka.“ Cesta za výskumom Victor F. Weisskopf (19. 9. 1908, Viedeň – 21. 4. 2002, Cambridge) sa stal uznávaným popredným fyzikom i popularizátorom vedy. Bol spolutvorcom teoretickej fyziky 20. storočia. Vedou sa začal aktívne zaoberať, keď prišiel ako doktorand k M. Bornovi (Göttingen, 1928). Neskôr študoval a pracoval u W. Pauliho v Zürichu, W. Heisenberga v Lipsku, E. Schrödingera v Berlíne, L. D. Landaua v Charkove, P. Diraca v Cambridgi a N. Bohra v Kodani. V roku 1937 odišiel do USA (na univerzitu v Rochestri) a v rokoch 1942 až 1945 sa zapojil u R. Oppenheimera v Los Alamos do Projektu Manhattan (vývoj americkej atómovej bomby). Po vojne pôsobil ako profesor MIT v Cambridgi (1946–1960). V rokoch 1960 až 1965 bol generálnym riaditeľom CERN v Ženeve. Prezidentom Americkej akadémie vied a umení bol v rokoch 1975 až 1979. Vhodné doplnky V. F. Weisskopf často zdôrazňoval nevyhnutnosť doplnkových (komplementárnych) postupov. Všetky časti a všetky aspekty vedy patria ” k sebe: veda sa nemôže rozvíjať, ak sa nerobí s cieľom čistého poznania a vhľadu (hlbokého porozumenia podstate).“ Pre plný význam našich skúseností musíme brať do úvahy všetky racionálne pohľady, ktoré sa navzájom dopĺňajú. Napr. vo fyzike pri popise atómu sú kvantový stav atómu a jeho priestorová lokalizácia navzájom komplementárne javy. Sú to pojmy, ktoré sú nevyhnutné pre úplné poznanie atómovej reality. Aj ako fyzik Weisskopf uznával, že pre niektoré vzťahy medzi človekom a prírodou vedecká interpretácia nepokrýva všetky aspekty ľudskej skúsenosti (láska, krása, umenie). Neexistuje úplná vedecká definícia súcitu či nadšenia, viery ani cti, humoru alebo šťastia. Rôznorodé formy ľudskej tvorivosti nemusia byť rozporom medzi racionálnym myslením a emocionálnym cítením. Ak sa chceme zaoberať celkovou ľudskou skúsenos” ťou, potrebujeme viac odpovedí ako len tie, ktoré získavame vo vede. Je potrebné rozvíjať koncepcie, ktoré berú do úvahy aj ľudskú dušu a ktoré priberajú k výsledkom vedeckých snáh aj morálne hodnoty.“ Zmysluplná stupnica vnútorných hodnôt môže vytvoriť komplexný systém, ktorý obohatí ľudské poznanie ďalšími netušenými rozmermi. Po ” Ročník 81 (2006), číslo 4

27

HISTORIE

dlhej dobe pátrania a omylov sa niektoré pojmy a idey ľudského myslenia postupne stále tesnejšie približujú k základným zákonom sveta . . . Príroda prostredníctvom človeka začína poznávať sama seba.“ Z odkazu V. F. Weisskopf ponúkal aj zaujímavé postrehy: • Pre to, aby človek spoznal a mal radosť aj z najelementárnejšieho nahliadnutia do fyziky, vyžaduje si to naučiť sa a ovládať nový jazyk, jazyk matematiky. • Nedocenenie jednoduchej matematiky je vážnou prekážkou primeraného chápania prírodných udalostí. • Príroda je oveľa bohatšia a mnohotvárnejšia, než si to mohol ľudský intelekt kedy predstaviť. • Trvajte na slobode názorov a na hodnote pochybností. Trvajte na tom, že je dobré o niečom pochybovať. Je to proti fanatizmu a autoritárstvu. • Ľudská existencia závisí od súcitu a poznania. Poznanie bez súcitu je neľudské, súcit bez poznania je neefektívny. Hlbšie štruktúry Vedecká práca, základný výskum alebo aplikácie sú aj kultúrnou, zušľachťujúcou činnosťou. Moderná doba, so svojimi úspešnými technológiami skoro v každom smere ľudského úsilia, je následkom neutíchajúceho bádateľského zápasu o hlbšie poznanie, o vysvetlenie vlastnej existencie i existencie sveta, v ktorom žijeme. Pretože je mnoho javov a procesov, ktoré zatiaľ sú neúplne pochopené, potrebujeme naďalej tvorcov nových ideí. Victor F. Weisskopf apeloval na učiteľov fyziky, aby aj cez historický prístup ukazovali, ako sa získava štruktúra hlbšieho chápania prírody. Študent by mal vidieť, vycítiť a presvedčiť sa, že dobre popísané a spracované kvantitatívne vzťahy ukazujú aj kvalitatívne zmeny, a tým vedú k odhaleniu podstatných aspektov prírody. Ani dôslednejšie zdôrazňovanie humánnych prístupov vedeckého poznávania nemusí byť zbytočné. Túžba po užitočných ideách priviedla ľudstvo k modernej vede i obdivuhodnej technike. Neskrotný idealizmus často udržiava mnohých vedcov na tŕnistej ceste poznávania. Podpora výchovy k bádateľstvu zostáva dôležitou úlohou aj pre 21. storočie. 28


SOUTĚŽE 48. ročník Fyzikální olympiády, kategorie E a F Ivo Volf, ÚVFO, PedF UHK Hradec Králové Kategorie E Fyzikální olympiády je určena žákům devátých ročníků základních škol, čtvrtých ročníků osmiletých gymnázií a druhých ročníků šestiletých gymnázií, kategorie F je pro žáky ročníků o rok nižších. Protože školní vzdělávací programy jsou (i při dodržení schválených rámcových vzdělávacích programů) velmi různorodé, je pro první kolo kategorií E a F zadáno společně 15 úloh, z nichž učitel fyziky vybere pro každou kategorii 7 úloh podle toho, které učivo bude ve škole včas probráno. Letos poprvé jsou zařazeny také úlohy, k jejichž řešení je potřebný počítač a internet. Řešení prvních tří ze zadaných úloh odevzdají soutěžící v termínu, který jim učitel určí (zpravidla konec listopadu 2006), řešení zbylých čtyř úloh pak odevzdají do 23. března 2007, kdy první kolo soutěže končí. Řešení každé úlohy bude hodnoceno maximálně deseti body. Mělo by být úplné, odborně na výši, doprovázené slovním výkladem popisujícím myšlenkový postup. K metodice řešení fyzikálních úloh je připraven materiál pro učitele fyziky s mnoha konkrétními příklady. Návodné úlohy lze nalézt v časopise Školská fyzika. Za úspěšného řešitele prvního kola bude považován soutěžící, který alespoň v pěti úlohách získá nejméně 5 bodů, přičemž bude řešit experimentální úlohy (třeba i neúspěšně). Druhé (okresní) kolo soutěže se uskuteční 4. dubna 2007 a třetí (oblastní) kolo kategorie E pak 18. května 2007. Všichni úspěšní řešitelé druhého i třetího kola obdrží pochvalná uznání a nejlepší soutěžící budou odměněni. Následují texty úloh prvního kola.∗ ) Lze je nalézt i na webových stránkách http://fo.cuni.cz a www.uhk.cz/fo. Po skončení prvního kola budou na těchto webových stránkách vystavena i řešení všech úloh. ∗

) Protože zadání úloh je již na školách šířeno, uvádíme je bez jakékoliv odborné

a jazykové úpravy v takové podobě, jak nám bylo dodáno. Totéž platí pro zadání úloh Archimediády na str. 38–40.


29

SOUTĚŽE

1. Elektrický vlak Délka elektrické vozové soupravy je 150 m. Souprava stojí na prvním nástupišti tak, že lokomotiva přední částí je právě na úrovni začátku střechy nástupiště. Vlak se rozjíždí z klidu, po době 20 s dosáhne rychlosti 54 km/h, pak se zrychlování změní a na konci 30. s má již rychlost 90 km/h a jede stálou rychlostí dalších 90 s. Pak začne rovnoměrně brzdit a během 60 s zastaví v následující stanici. a) Nakresli graf změn rychlosti v závislosti na čase. b) Z grafu zjisti, jak daleko je lokomotiva od původního místa v okamžiku, kdy se změnilo tempo zrychlování vlaku. c) Jakou dráhu ujel vlak, než zastavil v následující stanici? d) Jakou průměrnou rychlostí jel vlak po celou trasu? 2. Stavba hotelu Přímo proti oknům hotelu Meritus Mandarin v Singapuru, v němž byli ubytováni vedoucí delegací na 38. mezinárodní fyzikální olympiádě, pracovali stavební dělníci ve 25. poschodí. V přízemí nově stavěné budovy jsou plánovány obchody, a proto je výška přízemí 6,0 m, na každé další poschodí připadá 3,5 m. Dělníci se dostávají na vrchol stavby vnějším výtahem na boku budovy. a) Jak vysoko byli stavební dělníci nad okolním terénem? b) Kdyby neopatrnému dělníkovi vypadl z kapsy šroubovák, jakou rychlostí by dopadl na zem? c) Jakou rychlostí se musí pohybovat výtah, když stihne trasu urazit za 2,5 min? d) Dokázal by hráč golfu odpálit míček na vrchol stavby, popř. až do plánovaného 35. poschodí? Nejlepší hráči golfu dokážou odpálit míček rychlostí až 65 m/s. e) Zjisti, zda z vrcholu výškové budovy, která bude mít 35 poschodí, bude možno obhlédnout celý ostrovní stát Singapur, jehož plošný obsah je 640 km2 . Modeluj ostrov kruhovým nebo eliptickým tvarem a pracuj s atlasem nebo mapou na počítači. K řešení můžeš použít skutečnosti, že polohovou energii tělesa lze určit ze vztahu E = mgh, pohybovou ze vztahu E = 12 mv 2 .

30


SOUTĚŽE

3. Pravidelný let BA 011 Při pravidelném letu BA 011 z Londýna do Singapuru vylétá letadlo britských aerolinií z letiště Londýn-Heathrow ve 21 h 25 min a přistává v Singapuru-Changi následující den v 17 h 15 min. Při startu oznámila informační TV předpokládanou vzdálenost až do přistání 6 768 mil (anglických). Trasa podle mapky vedla v okolí následujících míst: Londýn, Berlín, Kyjev, Islamábád, Dillí, Kalkata, Kuala Lumpur, Singapur-Changi. Na zpáteční cestu vyráží letadlo ve 23 h 59 min a v Londýně přistává v 6 h 45 min. Zpáteční cesta vede přes Kuala Lumpur, Indický poloostrov, Dubaj, Damašek, Ankaru, přeletí Černé moře a pokračuje v okolí Bukurešti, Budapešti, Vídně, Mnichova, Rotterdamu na londýnské letiště, přičemž urazí přibližně tutéž dráhu. a) Obkresli z mapy Asie obrys Eurasie a vyznač obě trasy plynulou čarou; měřením si ověř údaje o délce trasy. b) Vysvětli rozdíl v době letu v obou směrech letu. Proč se udává někdy start v čase World Time (WT)? c) Urči průměrnou rychlost letadla v každém z obou směrů letu. Na čem závisí rychlost letadla? Při řešení pracuj se zeměpisným atlasem nebo s globusem. 4. Kameraman na cestách Kameraman a režisér dokumentárního filmu o deštných pralesích se jednoho dne vydali z letiště Changi v Singapuru nejprve letadlem do Pontianaku na ostrově Kalimantan; průměrná rychlost letu byla včetně startu a přistání 320 km/h. Tam si pro další den najali menší letadlo, aby zjistili vhodné podmínky pro filmování. Letadlo dosahovalo průměrné rychlosti 250 km/h a přeletěli s ním do Samarindy, odtud do Sandakanu, nakonec přistáli v Bandar Seri Begawanu, hlavním městě Brunei Darussalam a vydali se zpět do Pontianaku. Při každém přistání počítáme technickou přestávku 1,5 h. a) Zjisti zeměpisné souřadnice všech uvedených míst. b) Zjisti vzdálenosti uvedených míst. c) Stačil by jeden den na filmování? V tropech trvá den zpravidla 12 h, později svítá a dříve se stmívá než v létě v našich zeměpisných šířkách. Ročník 81 (2006), číslo 4

31

SOUTĚŽE

d) Protože režisér dostal v Bandar Seri Begawanu mobilem zprávu, že se musí urychleně vrátit do Singapuru, letělo menší letadlo přímo na letiště Changi místo do Pontianaku. Kdy přistálo? K řešení úlohy si sežeň mapu s vhodným měřítkem, doporučujeme Nový atlas světa, kde jsou mapy s měřítkem 1 : 4 500 000. Můžeš použít též na internetu Google Earth 3D, stanovit souřadnice všech letišť; rovníkový poloměr Země je 6 378 km, délka poledníku je 20 004 km. 5. Stožárová anténa vysílače V rovinné krajině je postaven stožár antény vysílače o celkové výšce 150 m, kterým byla šířena elektromagnetická vlna; zeměpisná šířka polohy stožáru je asi 50◦ 12′ a zeměpisná délka 15◦ 8,5′ (tyto stožáry jsou dva, jsou stejně vysoké a stojí nedaleko jeden od druhého). a) Najdi si polohu stožáru na mapě České republiky a pak v autoatlasu. b) Jaký nejkratší může být stín stožáru ve dnech, kdy nastává rovnodennost? c) Jaký vůbec může být nejkratší stín tohoto stožáru? d) Jak bychom mohli určit výšku stožáru, máme-li k dispozici tyč o délce přesně 4 m? e) Na vyhledávači internetu www.mapy.cz najdi polohu místa Gol” fový klub Poděbrady“, v jehož bezprostředním okolí stožáry jsou. Zjisti vzájemnou vzdálenost obou stožárů. Změř délku stínu stožáru, zjisti úhlovou výšku Slunce nad obzorem v okamžiku vzniku snímku. Příslušnou teoretickou část úlohy si nastuduj v učebnici astronomie nebo zeměpisu. 6. Na letišti Heathrow v Londýně (poprvé) Jednu část letištní odletové haly v Terminálu 1 na letišti Londýn-Heathrow tvoří prostor pro čekání cestujících umožňující pozorování přistávajících a odlétávajících letadel. Výhledový prostor je omezen svislou skleněnou stěnou, která představuje plášť skoro válcové plochy o poloměru 15,0 m a o středovém úhlu 160◦ . Tato válcová plocha je vytvořena ze skleněných desek o šířce 70 palců, výšce 150 palců (což je i výška místnosti) a tloušťce 0,2 palce. 32


SOUTĚŽE

a) Vysvětli, proč jsou svislé skleněné desky polepeny ve výšce 80 cm a 150 cm zelenými kruhovými samolepkami, které ztěžují výhled na letištní plochu? b) Urči, kolik skleněných desek je potřeba k sestavení této stěny. c) Urči hmotnost jedné skleněné desky, je-li hustota skla 2 600 kg/m3. Unesou ji čtyři lidé? d) Vypočti, jaká je celková hmotnost skleněných desek použitých na tuto stěnu a na kolik automobilů o nosnosti 5 t je bylo nutno naložit. e) Jaký je obvyklý systém jednotek pro měření délek ve Velké Británii? 7. Na letišti Heathrow v Londýně (podruhé) Na letišti Heathrow je v odpoledních hodinách značný provoz. V oblasti terminálů 1 a 2 startuje každých 10 minut čtyři až pět letadel. Předpokládejme, že letadla mají vzletovou rychlost 162 km/h a že se rozjíždějí po ranveji při startu tak, že jejich rychlost se každou sekundou zvětšuje o 1,5 m/s. a) Nakresli graf závislosti rychlosti na čase od okamžiku rozjezdu. b) Urči dráhu nutnou pro dosažení vzletové rychlosti. Předpokládejme, že letadlo potom začne stoupat s úhlem stoupání 18◦ do té doby, než dosáhne letové rychlosti 864 km/h, přičemž se zrychlení nemění. c) Za jak dlouho dosáhne této rychlosti? d) Jakou vzdálenost přitom letadlo urazí a v jaké výšce se přitom nachází (k řešení využij podobnosti trojúhelníků se společným úhlem 18◦ )? Vysvětli, proč a v čem musíme úlohu zjednodušit oproti skutečnosti, abychom mohli problémy řešit. 8. Majitel bazénu Majitel vlastní bazén o rozměrech 1,80 m a 6,00 m. Může do něj napustit vodu až do výšky 1,25 m. Ke konci podzimu byla hloubka vody 50 cm. Když jedné noci přišel silný mráz, na vodě se utvořila vrstva ledu a zbylá voda měla teplotu 0 ◦C. Aby bazén byl odizolován, majitel ho přikryl ochrannými polystyrénovými deskami; pak mohl zvolit jednu z následujících metod k odstranění ledové vrstvy: Ročník 81 (2006), číslo 4

33

SOUTĚŽE

a) Ze zásobníku horké vody přečerpal do bazénu 3 hl vody o teplotě 80 ◦C, když led právě roztál. Jaká mohla být největší tloušťka ledu v bazénu? b) Do vody ponořil pod led přes noc čtyři ponorné vařiče, každý o příkonu 1200 W, a nechal je zapnuté po dobu 6 h, když led právě roztál. Jaká mohla být největší tloušťka ledu v bazénu? c) Jak by se změnily výsledky, kdyby podruhé byla tloušťka ledu stejná, jako vyjde v části a), ale majitel zapomněl při čerpání pozorovat hladinu a přičerpal 4,5 hl? d) Jak by se změnily výsledky v části b), kdyby podruhé byla tloušťka zase stejná, jako vyjde v části b), ale majitel na vařiče zapomněl a nechal je zapnuté celou noc, tj. 8 h? Potřebné údaje si najdi v matematicko-fyzikálních tabulkách nebo v učebnici. 9. Geopoziční satelitní systém Geopoziční satelitní systém určuje velmi přesně polohu vybraných bodů na povrchu Země a pomocí těchto údajů můžeme zjišťovat i vzdálenosti mezi nimi. Totéž můžeme zjistit z údajů leteckých snímků, k nimž se dostaneme prostřednictvím internetových vyhledávačů. a) Najdi na vhodné mapě a jí odpovídajícím leteckém snímku vaši školu, dům, v němž bydlíte, a stanov zeměpisné souřadnice těchto míst. b) Odhadni, s jakou přesností jsou polohy vybraných bodů stanoveny; převeď na délkové údaje. c) Z údajů na letecké mapě a užitím Pythagorovy věty zjisti pomocí souřadnic přímou vzdálenost vybraných dvou bodů, jež leží, popř. neleží na jedné rovnoběžce, popř. poledníku. d) Urči přímou vzdálenost těchto bodů užitím programu Měření“ ” v tomto systému. 10. Měření z leteckých snímků Najdi si letecký snímek Brodku u Přerova. Tam na nádraží najdeš čtyři nákladní vlaky. Zjisti jejich délku dvěma způsoby: a) Změř délku vlaků programem Měření“. Nezapomeň, že při nej” větší zvolené přesnosti se ti asi nepodaří provádět celé měření jen na jednom zobrazení na monitoru. 34


SOUTĚŽE

b) Změř souřadnice počátečního a koncového bodu každého vlaku, zjisti jejich rozdíl, a tedy změnu úhlových souřadnic odpovídající délce vlaku. c) Vycházej ze skutečnosti, že střední poloměr naší Země je přibližně 6 371 km. Zjisti, jaká délka odpovídá jednomu délkovému stupni, jedné minutě, jedné vteřině na povrchu Země v daném místě, a této skutečnosti využij ke stanovení severojižní a východozápadní změny souřadnic. Z nich pomocí Pythagorovy věty zjisti délku vlaků. Délka rovnoběžky 49,5◦ je asi 26 000 km. d) Kdyby vlaky nestály ve stanici, ale pohybovaly by se stálou rychlostí 54 km/h, potom mezi umístěním kótovací značky (křížku) na obou koncích vlaku uplyne doba alespoň 5,0 s. Jak se tato skutečnost projeví při měření délky jedoucího vlaku. 11. Je to možné? Kdosi vymyslel následující přirovnání: v jednom molu plynu je za normálního tlaku tolik částic, jako je zrnek písku na Sahaře. Zrnko si představíme tak, že ho právě vměstnáme do krychle o hraně 0,5 mm. Plošný obsah Sahary je 8,0 miliónu km2 . Počet částic v 1 molu je asi 6,0 · 1023 . a) Je uvedené přirovnání reálné, tj. jak vysoká by byla v tomto případě vrstva písku na Sahaře? b) Jak dlouho by tyto částice odpočítával člověk, kdyby dokázal nechat proudit písek malým otvorem a každou sekundu tak oddělit milion částic? c) Jaká by byla hmotnost tohoto suchého písku, kdyby jeho hustota byla 2 000 kg/m3 ? Porovnej s molární hmotností vzduchu 0,029 kg/mol. 12. Polárníci budou zachráněni Ledová kra o rozměrech 15 m × 12 m a o tloušťce 120 cm má hustotu 910 kg/m3 , hustota okolní mořské vody je 1 030 kg/m3 . Na kře jsou tři polárníci s vybavením, což dohromady představuje hmotnost 1,50 tuny. Při záchranné akci přistál na kře přesně uprostřed vrtulník BK117-B2 o hmotnosti 1 800 kg, aby polárníky přesunul na záchrannou loď. Ročník 81 (2006), číslo 4

35

SOUTĚŽE

a) Jaká část kry je ponořena pod hladinu, když na ní jsou zpočátku polárníci s výbavou? b) Nejsou polárníci ohroženi přistáním vrtulníku na tuto kru? c) Jaké zatížení by kra unesla, aniž by se ponořila její horní plocha pod hladinu? 13. Elektrický rozvod Při renovaci starých budov je nutno vyměnit starý hliníkový elektrický rozvod za měděný. Budeme požadovat, aby průřez drátů i jejich délka se nezměnily. Hustota mědi je 8 960 kg/m3 a hustota hliníku 2 700 kg/m3 , obsah kolmého příčného řezu vodičů je 2,5 mm2 , odpor vodiče o délce 1 m a obsahu kolmého příčného řezu 1 mm2 je pro měď 0,015 5 ohmu, pro hliník 0,024 5 ohmu. Odpor R drátu o délce l, obsahu kolmého příčného řezu S a měrné rezistivitě ̺ se určí ze vztahu R = ̺l/S. Z praktických důvodů budeme dosazovat obsah kolmého příčného řezu v mm2 a délku vodiče v m; potom výše uvedené hodnoty představují měrnou rezistivitu v jiných jednotkách než v SI, ale prakticky se užívají. Pro výměnu je třeba 100 m vodiče. a) O kolik se změní hmotnost stometrového měděného vodiče oproti hliníkovému? b) O kolik se změní odpor stometrového měděného vodiče oproti hliníkovému? 14. Největší český rybník Největší český rybník Rožmberk má plošný obsah 489 ha a obvykle se v něm nachází 6 miliónů krychlových metrů vody. Rybář seděl na loďce a jedl housku, na jejímž povrchu byly krystalky kuchyňské soli. Seškrábl několik krystalků soli o celkové hmotnosti 0,35 g a vhodil do vody. Kdyby bylo možno dobře, a tedy dokonale vodu v rybníce promíchat, sůl by se rozpustila a rozptýlila po celém rybníku. Rybář pak nabral na lžičku 1,0 cm3 vody. a) Obsahuje voda ve lžičce alespoň dva atomy sodíku, které by pocházely z krystalků soli na housce? Jeden mol NaCl má hmotnost 0,058 5 kg a obsahuje 6,0 · 1023 molekul. b) Jaká je hmotnost NaCl na lžičce vody a kolik je v ní molekul pocházejících z krystalku? c) Jaká je hmotnost jedné molekuly NaCl? 36


SOUTĚŽE

15. Proč průhledné desky kloužou? Asi jsi zpozoroval, že umístíš-li papír na skloněnou plochu, pak až do určitého úhlu sklonu zůstane v klidu a teprve potom začne klouzat. Daleko horší je to s euroobaly, které kloužou i tehdy, když si to nepřejeme. Příčinou je tření. V této práci si sám navrhneš postup i zápis svých měření a stanovíš podmínku pro vznik klouzání papíru, papírových desek, euroobalů (jsou drsnější i hladší) po různých podložkách (deska stolu nebo lavice – dřevěná či umakart, papírová podložka, PVC). Nejlepší bude, když najdeš dostatečně dlouhé a široké prkno, s nímž budeš potom laborovat. Jako těleso si vezmi dvacet kancelářských papírů formátu A4, které vhodně spojíš do balíčku nebo umístíš do desek. Pokus prováděj v případě, že až do začátku pohybu desek se jich nebudeš dotýkat (klidové tření), nebo tělesu uděl drobný počáteční impuls (smykové tření). Při měření umísti základní podložku (prkno) o délce l jedním koncem na vodorovnou rovinu a zjišťuj výšku h druhého konce nad touto rovinou a pak podíl h/l = sin α, kde α je úhel sklonu. Fyzikální teorie říká (jak poznáš na střední škole), že součinitel smykového tření je roven tg α. K příslušným výpočtům použij svého kalkulátoru. Každé měření alespoň pětkrát opakuj a uveď v tabulce naměřené hodnoty i hodnotu průměrnou. Věnuj pozornost protokolu o svém měření. Všimni si, že ve fyzice při měření některých veličin musíme měřit veličiny zcela jiné a potřebnou hodnotu potom vypočítat. Pro porovnání zjisti i úhel sklonu podložky, po které se dá do rovnoměrného pohybu kulička nebo míček od stolního tenisu. Výsledky porovnej. Poznámka: Pokusy můžeš provádět i s krabičkami od léků naplněnými pískem, které budou klouzat po prkně, tj. po nakloněné rovině. Při řešení experimentálních úloh nezapomeň, že veličiny měříme vždy s určitou neurčitostí, že při měření téže veličiny získáme vždy několik navzájem různých hodnot, z nichž je někdy vhodné stanovit aritmetický průměr a vypočítat (nebo alespoň hodnověrně odhadnout) neurčitost získaného výsledku. Výsledkem měření je potom nejen získaná průměrná hodnota“, ale také meze, v nichž lze s nej” větší pravděpodobností očekávat správnou hodnotu měření.


37

SOUTĚŽE

Archimediáda 2007, kategorie G Fyzikální olympiády Ivo Volf, ÚVFO, PedF UHK Hradec Králové Soutěž ARCHIMEDIÁDA probíhá ve dvou částech a je určena žákům 7. ročníků základních škol a odpovídajících ročníků víceletých gymnázií. První část soutěže se uskuteční v únoru až květnu. Soutěžící dostávají k řešení pět úloh, které jsou uvedeny v tomto textu. Řešení těchto úloh vyžaduje schopnost fyzikálně uvažovat, používat jednoduché výpočty nebo grafy. Některé úlohy předpokládají také provedení jednoduchých pokusů. Řešení úloh odevzdají řešitelé nejpozději v prvním týdnu v květnu svému učiteli fyziky. Druhá část soutěže proběhne koncem měsíce května a může být organizována jako soutěž jednotlivců nebo družstev. Forma této části soutěže je v kompetenci okresních výborů Fyzikální olympiády. 1. Zpráva letí po lese Lovecký pes vyslechl v rozhovoru dvou myslivců, že se bude pořádat odstřel černé zvěře v revíru. Protože však byl s lesní zvěří kamarád, rozhodl se, že je upozorní. Nesměl však být příliš dlouho z domu, aby to jeho pán nezpozoroval. Běžel tedy k lesu po trase 1,20 km stálou rychlostí 12 m/s, když potkal zajíce. Vysvětlil mu vše během 20 s a vrátil se stejnou rychlostí zpět domů. Zajíc běžel lesem po trase 2,40 km stálou rychlostí 8,0 m/s, když zpozoroval datla. Tomu za dalších 20 s předal zprávu a datel letěl průměrnou rychlostí 6,0 m/s po dobu 150 s až ke kančí rodince. a) Jak dlouho trvalo, než zpráva doletěla ke kančí rodince? b) Jakou dráhu urazila zvířata se zprávou? c) Jakou průměrnou rychlostí se zpráva šířila? d) Načrtni závislost dráhy pohybujících se zvířat na čase, tj. graf (čas; dráha). e) Do grafu vyznač, jak se vracel myslivecký pes domů. 38


SOUTĚŽE

2. Pendolino Ranní spoj expresní linky SC Pendolino vyjíždí ze stanice Praha-Holešovice v 5:56 h; z Pardubic (104 km) pokračuje v 6:52 h, z Olomouce (252 km) v 8:21 h a v Ostravě končí na 358. km v 9:25 h. a) Urči průměrnou rychlost soupravy SC Pendolino. b) Urči průměrnou rychlost soupravy v uvedených úsecích. Z porovnání údajů zjisti, v kterém úseku jede nejrychleji. c) Jak se změní výsledky, když na rozjíždění, zastavování, vystupování a nastupování v mezistanicích je třeba odpočítat 4 min? 3. Cyklista Petr Cyklista Petr používá bicykl (jízdní kolo), který při jedné otáčce zadního kola kolem osy urazí vzdálenost 182 cm. Převod síly a pohybu se od nohou uskutečňuje řetězem na ozubené kolo spojené s osou zadního kola. Počet zubů na talíři spojeném s klikami pedálů je 54, počet zubů na příslušném kolečku přehazovačky je 18. a) Cyklista Petr šlápne levou nohou 40krát za minutu. Jakou rychlostí se jízdní kolo pohybuje? b) Cyklista Petr při závodech jede rychlostí 54 km/h. S jakou minutovou frekvencí šlape do pedálů“? ” c) Ve skutečnosti při jízdě po rovině nemusí cyklista neustále šlapat ” do pedálů“. Jak to lze vysvětlit? 4. Cyklistka Lenka Cyklistka Lenka se rozjížděla z klidu a po době 30 s dosáhla rychlosti 43,2 km/h. Touto rychlostí projela vzdálenost 720 m a následujících 60 s se postupně zpomalovala až do zastavení. a) Jakou dobu se Lenka pohybovala rovnoměrným pohybem? b) Nakresli graf změn rychlosti v závislosti na čase pro všechny uvedené úseky Lenčina pohybu. c) Uvědom si, jak je v grafu v(t) vyjádřena dráha (jak je vlastně ukryta informace o dráze) při Lenčině rovnoměrném pohybu; urči obdobným způsobem dráhu při rozjíždění i zastavování. d) Urči průměrnou rychlost cyklistky Lenky během celého pohybu. 5. Pokusy s knížkou Některé knížky vycházejí v měkké vazbě (tzv. paperbackové vydání). Knížka připomíná kvádr o podstavě o rozměrech a, b a výšce c. Ve Ročník 81 (2006), číslo 4

39

SOUTĚŽE

škole je jednoduché zjistit hmotnost knížky, použitím pravítka není složité zjistit její rozměry. Pro jednoduchost vycházej z předpokladu, že desky lze nahradit třemi listy tiskového papíru vpředu i vzadu. a) Urči tloušťku jednoho listu v knížce. b) Jaká je průměrná hustota papíru? c) Urči, jaká je hmotnost 1 m2 papíru, na němž je knížka vytisknuta. 6. Prémie pro zdatné řešitele: Ferda Mravenec – práce všeho druhu Ferda Mravenec dostal za úkol zjistit stav nátěru minutové ručky na jdoucích věžních hodinách. Délka ručky je 3,0 m. Při první kontrole zjišťoval stav orientačně, dělal si poznámky a za 60 min doběhl od osy ručky na její konec a zpět. Podruhé mu cesta na konec ručky a zpátky trvala celé dvě hodiny. Potřetí běžel, a tak celou cestu tam i zpět urazil během jedné hodiny dvakrát. Počtvrté se Ferda Mravenec nejprve rozběhl, za 15 min doběhl do poloviny délky ručky, zjistil, že cosi zapomněl, vrátil se za 15 minut zpět k ose a za další půlhodinku dorazil na konec ručky. Ve všech případech nakresli trajektorii Ferdy Mravence tak, jak by ji sledoval pozorovatel na ose, umístěný v určité vzdálenosti od ciferníku. Pohyb Ferdy Mravence promítni do roviny ciferníku. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ KVADRATURA KRUHU Pravil jeden lední medvěd svému druhu, že chce provést kvadraturu polárního kruhu. Druhý říká – Já tím ale vůbec nadšen nejsem. Nevíš, jaký bude život za polárním čtvercem. Emil Calda ∗ ) ∗

) Z publikace Úvod do obecné teorie prostoru, Praha, Karolinum 2003

40


SOUTĚŽE

37. mezinárodní fyzikální olympiáda ∗) Ivo Volf, Bohumil Vybíral, PedF UHK Hradec Králové V letošním roce se o uspořádání mezinárodní fyzikální olympiády (MFO) postaralo ministerstvo vzdělávání Singapurské republiky. Tato světová soutěž se tak vrátila na jihovýchod Asie, kde v nedávné minulosti proběhla již třikrát (2002 Bali, Indonézie, 2003 Tchaj-wan, 2004 Pohang, Korea). Na uspořádání vrcholové soutěže fyzikálních talentů z řad středoškolské mládeže se podílely singapurské vysokoškolské i vědecké instituce. K vysoké kulturní a společenské úrovni přispěla řada sponzorů. Soutěžící a jejich vedoucí doprovázelo po celou dobu soutěže několik set dobrovolníků – středoškolských a vysokoškolských studentů. Do delegace České republiky byli navrženi vítězové celostátního kola národní soutěže Fyzikální olympiády. Po domácí přípravě byli pozváni na soustředění, které se tradičně uskutečnilo na Katedře fyziky a informatiky Pedagogické fakulty Univerzity Hradec Králové. Studenti zde řešili obtížnější fyzikální úlohy, zvláštní pozornost byla věnována experimentálním úlohám, na něž je ve školní výuce fyziky velmi málo času. Přednášky se zabývaly oblastmi fyziky, jejichž znalost je při MFO potřebná. Na soustředění vystoupili také někteří naši úspěšní účastníci minulých ročníků mezinárodních fyzikálních olympiád. Na závěr soustředění bylo jmenováno reprezentační družstvo ve složení: Marek Pechal z Gymnázia v Lesní čtvrti ve Zlíně, Petr Smital z Gymnázia Kpt. Jaroše v Brně, Radek Žlebčík z Gymnázia Christiana Dopplera v Praze, Pavel Motloch z Gymnázia Petra Bezruče ve Frýdku-Místku, Marek Scholle z Gymnázia v Dašické ulici v Pardubicích, náhradník Jakub Benda z Gymnázia Jana Nerudy v Praze. Vedoucím delegace se stal prof. RNDr. Ivo Volf , CSc., pedagogickým vedoucím českého družstva pak prof. Ing. Bohumil Vybíral, CSc. Organizátoři připravili pro soutěžící tři teoretické úlohy (hodnocené 10 body za každou) a jednu úlohu experimentální (hodnocenou 20 body) ∗

) Podrobnější informace lze nalézt na webové stránce http://www.ipho2006.org/.


41

SOUTĚŽE

– celkem mohl soutěžící získat maximálně 50 bodů. Úlohy odpovídaly (jak se již stalo zvykem) úrovni úvodního kursu vysokoškolské fyziky. Běžný student střední školy není tedy na řešení těchto úloh připraven, všichni soutěžící musí projít speciálním nadstavbovým vzděláváním pro talentované mladé fyziky. Úloha T1 – Gravitace a neutronový interferometr – vycházela z výsledků známého experimentu, který provedli Collela, Overhauser a Werner, a zabývala se interferencí de Broglieových vln neutronů. Měla část geometrickou a optickou. Úloha T2 – Díváme se na tyč v pohybu – se zabývala výsledky zobrazení délky tyče získanými dírkovou kamerou. Úloha T3 – Řádový odhad veličin – obsahovala pět podúloh, které splňovaly požadavek, aby úlohy zadané na mezinárodní fyzikální olympiádě pokrývaly v podstatě všechny oblasti fyziky: T3/1 – Digitální kamera (o rozlišovacích možnostech zobrazení a schopnostech lidského oka), T3/2 – Vajíčko uvařené natvrdo (vedení tepla), T3/3 – Blýskání (proud a energie spojené s bleskem), T3/4 – Vlásečnice (odhad počtu kapilár v lidském těle a rychlost proudění krve), T3/5 – Mrakodrap (studium gradientu teploty při projektování supermrakodrapu o výšce 1 000 m). K řešení každé úlohy byl připraven list odpovědí, v němž byly vyžadovány odpovědi na jednotlivé části rozfázované úlohy. Na řešení teoretických úloh měli soutěžící pět hodin čistého času. V experimentální úloze soutěžící pracovali s originální soupravou na bázi centimetrových vln. Úloha měla čtyři části, v nichž museli řešitelé navrhnout vhodné experimentální postupy pro stanovení odpovědí na zadané otázky. K řešení měli opět pět hodin času a úlohu zpracovávali všichni souběžně (proto muselo být připraveno celkem asi 400 experimentálních souprav). V úloze 4/1 se modeloval známý Michelsonův interferometr a soutěžící měli stanovit vlnovou délku mikrovlny s maximální odchylkou 0,02 cm. Úloha 4/2 se zabývala interferencí na tenké vrstvě, vedoucí ke stanovení indexu lomu polymerové desky. Úloha 4/3 byla zaměřena na tzv. narušený úplný vnitřní odraz. Úkolem bylo zjistit index lomu daného parafinového hranolu. Úloha 4/4 se zabývala difrakcí mikrovln na mřížce z kovových tyček (Braggův odraz), která byla umístěna v neprůhledné papírové krabici fungující jako černá schránka – soutěžící měli určit mřížkovou konstantu na základě provedených experimentů a měření. Text experimentální úlohy měl 15 stran a text listu odpovědí 12 stran – jeho předtisk obsahoval místo pro popis experimentu, popis užité soupravy, místo pro obrázky, tabulky a grafy, vše doprovázené slovním komentářem. 42


SOUTĚŽE

Nejlepším řešitelem se stal Mailoa Jonathan Pradana z Indonézie s celkovým ziskem 47,20 bodu (jednotlivé úlohy: 10,0 + 10,0 + 9,7 + 17,5), který získal zlatou medaili a navíc dostal další speciální ceny. Druhý skončil Yang Shuolong z Čínské lidové republiky s 46,35 body (10,0 + 9,8 + + 9,8 + 16,75) a zlatou medailí, jako třetí se umístil Halász Gábor z Maďarska s 45,45 body (10,0 + 10,0 + 10,0 + 15,45) a zlatou medailí, který dosáhl plného počtu bodů z teoretické části. Na slavnostním zakončení MFO bylo předáno celkem 37 zlatých, 48 stříbrných a 83 bronzových medailí, 82 soutěžících obdrželo čestná uznání. Nejúspěšnějším družstvem byla reprezentace Čínské lidové republiky, která získala pět zlatých medailí a 214,45 bodu, tj. 86 % z 250 možných bodů (tento výsledek nejlepšího družstva charakterizuje obtížnost soutěže). Na 2. až 4. místě se umístila družstva Indonézie, USA a Korey, která získala shodně po čtyřech zlatých a jedné stříbrné medaili, na pátém místě Rusko se dvěma zlatými a třemi stříbrnými medailemi, dále pak: 6. – 9. Maďarsko, Tchaj-wan, Thajsko a Írán 10. – 11. Německo a Ázerbájdžán 12. – 13. Indie a Rumunsko 14. – 16. Singapur , Austrálie a Ukrajina 17. – 18. Francie a Hongkong 19. – 22. Kanada, Turecko, Izrael a Bulharsko 23. – 25. Česká republika, Japonsko a Velká Británie 26. – 28. Polsko, Bělorusko a Itálie 29. – 31. Rakousko, Slovensko a Vietnam 32. – 34. Mongolsko, Lotyšsko a Švýcarsko Podíváme-li se detailně na výsledky našeho družstva, můžeme být docela spokojeni – všichni naši účastníci se stali úspěšnými řešiteli. Musíme však přiznat, že jsme očekávali lepší výsledky. Marek Pechal dosáhl 34,00 bodu a získal stříbrnou medaili, Pavel Motloch získal 28,00 bodu a bronzovou medaili, Radek Žlebčík 25,30 bodu a bronzovou medaili, Petr Smital 22,10 bodu a bronzovou medaili, Marek Scholle získal 18,50 bodu a přivezl si čestné uznání. Soutěžící z České republiky získali celkově 127,90 bodu, tj. 51 % z maximálního možného počtu bodů. Důležitou součástí této světové soutěže je vždy i kulturní, sportovní, turistický a vzdělávací program. Letos se mezinárodní fyzikální olympiády zúčastnili čtyři nositelé Nobelovy ceny (tři ji získali za fyziku, jeden za chemii): Douglas D. Osheroff (NC 1996), Chen Ning Yang (NC 1957), Aaron Ciechanover (NC 2004), Masatoshi Toshiba (NC 2002) Ročník 81 (2006), číslo 4

43

SOUTĚŽE

a dále nositel Templetonovy ceny Paul Davies (TC 1995). Všichni přednesli zajímavé přednášky o oblastech výzkumu, v nichž sami vynikli. Účastníci soutěže měli možnost navštívit univerzitní a další vědecká pracoviště. Přes poměrně malé rozměry ostrovního státu – Singapur má rozlohu necelých 650 km2 (což představuje plochu Berounského okresu) a asi 4 milióny obyvatel – mohli účastníci obdivovat moderní architekturu velkoměsta i kulturní dědictví minulosti. Zajímavé je soužití obyvatel Singapuru – Číňanů, Malajců, Indů a jednoprocentní menšiny dalších. Na závěrečném ceremoniálu vystoupil zástupce státu Írán, který bude pořadatelem mezinárodní fyzikální olympiády v příštím roce. Všechny zúčastněné země pozval do Isfahánu na další velké setkání mladých fyziků.

Delegace České republiky (zleva): Radek Žlebčík, Pavel Motloch, Marek Pechal, Christina Ng - průvodce delegace, prof. Ivo Volf, prof. Bohumil Vybíral, Marek Scholle, Petr Smital

44


SOUTĚŽE

Na ukázku uvádíme dva problémy, na jejichž vyřešení měli soutěžící zhruba půldruhé hodiny času. Pokuste se je vyřešit. T3/2 Vajíčko uvařené natvrdo Vajíčko o teplotě T0 = 4◦C, které vyjmeme přímo z chladničky, vložíme do hrnce s vodou, kterou udržujeme při teplotě T1 . a) Jaká je energie U potřebná na koagulaci (sražení) vajíčka? b) Jaká je hustota tepelného toku J tepla, přecházejícího z vody do vajíčka? c) Jaký je tepelný výkon P přenášený do vajíčka? d) Jak dlouho musíme vajíčko vařit, abychom ho uvařili natvrdo? Nápověda: Můžete použít zjednodušený tvar Fourierova zákona J = κ ∆T /∆r, kde ∆T je rozdíl teplot na vzdálenosti ∆r, což je charakteristický rozměr daného problému. Hustota tepelného toku J má jednotku W · m−2 . Hodnoty: hustota vajíčka µ = 103 kg · m−3 , měrná tepelná kapacita vajíčka c = 4,2 J · K−1 · g−1 , poloměr vajíčka R = 2,5 cm, teplota koagulace albuminu (vaječný protein) Tc = 65◦C, součinitel měrné tepelné vodivosti κ = 0,64 W · K−1 · m−1 (předpokládáme, že je stejný pro tekutý i sražený albumin). T3/5 Mrakodrap U mrakodrapu o výšce 1 000 m je na úrovni terénu vnější teplota Tbot = 30◦C. Cílem úlohy je odhadnout vnější teplotu Ttop na střeše mrakodrapu. Uvažujte tenkou vrstvu vzduchu ideální plynný dusík s adiabatickou, tj. Poissonovou konstantou γ = 75 , která pomalu stoupá do výšky z, kde je nižší tlak. Předpokládejte, že se tato vrstva adiabaticky rozpíná, takže její teplota klesá na teplotu okolního vzduchu. a) Jaká je relativní změna teploty dT /T odpovídající relativní změně tlaku dp/p? b) Vyjádřete změnu tlaku dp pomocí změny výšky dz. c) Jaká je teplota na střeše budovy? Hodnoty: Boltzmannova konstanta k = 1,38 · 10−23 J · K−1, tíhové zrychlení g = 9,80 m · s−2 , hmotnost molekuly dusíku m = 4,65 · 10−26 kg.


45

SOUTĚŽE

47. mezinárodní matematická olympiáda Jaroslav Zhouf, PedF UK Praha Ve dnech 6. až 18. července 2006 se v Lublani, hlavním městě Slovinska, konala 47. mezinárodní matematická olympiáda (MMO). Soutěž byla uspořádána pod záštitou slovinského ministerstva školství a sportu.

V posledních ročnících MMO byl téměř vždy vytvořen nový rekord v počtu zúčastněných zemí. Letos se soutěže zúčastnilo 90 zemí, což je sice o jednu méně než loni, ale více než v ostatních letech. Každou zemi reprezentuje nejvýše šest soutěžících; letos jich bylo celkem 498 (loni 513). Výběr družstva České republiky byl proveden v Kostelci nad Černými lesy na soutěžním soustředění osmi vítězů celostátního kola 55. ročníku MO. Vybraní soutěžící se pak zúčastnili trojutkání v Žilině mezi Českou republikou, Slovenskem a Polskem, kde byla simulována situace, která bývá při soutěži na MMO. Po této přípravě odjela do Slovinska šestice soutěžících: Jaroslav Hančl z Gymnázia Mikuláše Koperníka v Bílovci, Zbyněk Konečný, Jakub Opršal, Vojtěch Říha a Jan Uhlík , všichni z Gymnázia na tř. Kpt. Jaroše v Brně, a Pavel Šalom z Gymnázia v Rožnově pod Radhoštěm. Vedoucím české delegace byl RNDr. Jaroslav Švrček, Csc., z Přírodovědecké fakulty Palackého univerzity v Olomouci, zástupcem vedoucího RNDr. Jaroslav Zhouf , Ph.D., z Pedagogické fakulty Karlovy univerzity v Praze. Slavnostní zahájení 47. ročníku MMO se konalo 11. července v lublaňském hotelu Union. V dalších dvou dnech proběhla v několika středních školách v centru Lublaně vlastní soutěž. Každý z těchto dnů řešili soutěžící trojici úloh, na které měli vždy 4,5 hodiny. Za každou úlohu mohli získat maximálně 7 bodů. 46


SOUTĚŽE

Podle pravidel MMO jsou vždy zhruba polovině účastníků uděleny medaile, z toho asi jedné šestině zlaté, dvěma šestinám stříbrné a třem šestinám bronzové. Zlaté medaile tak byly letos uděleny za 28 až 42 bodů, stříbrné medaile za 19 až 27 bodů a bronzové medaile za 15 až 18 bodů. Plný počet bodů získali jeden čínský, jeden moldavský a jeden ruský soutěžící. Z našich účastníků tři získali bronzové medaile, a to Zbyněk Konečný a Pavel Šalom za zisk 16 bodů a Jaroslav Hančl za 15 bodů. Ostatní čeští soutěžící získali čestná uznání udělovaná za vyřešení aspoň jedné úlohy za plný počet bodů. Česká republika se v neoficiálním pořadí zemí umístila na 48. místě (s celkovým ziskem 77 bodů), což je značný propad oproti loňskému roku. Na vině je zřejmě paralelní konání mezinárodní fyzikální olympiády v Singapuru, které dali přednost tři z vítězů celostátního kola MO. Neoficiální pořadí prvních dvaceti zemí a jejich bodový zisk: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Čína (214 bodů) Rusko (174) Korea (170) Německo (157) USA (154) Rumunsko (152) Japonsko (146) Írán (145) Moldávie (140) Tchaj-wan (136)

11. 12. 13. 14. 15. – 16.

Polsko (133) Itálie (132) Vietnam (131) Hongkong (129) Thajsko (123) Kanada (123) 17. Maďarsko (122) 18. Slovensko (118) 19. – 20. Velká Británie (117) Turecko (117)

Vedle soutěžního klání připravili pořadatelé pro soutěžící a jejich vedoucí bohatý doprovodný program, mimo jiné návštěvu jeskyně Postrojna, jezera Bled a přímořského města Portorož. Mnoho dalších informací, hlavně však kompletní výsledky soutěže, lze najít na webových stránkách na adrese http://imo2006.dmfa.si/. Na těchto stránkách jsou vystaveny také texty soutěžních úloh v jazycích všech zemí, které na MMO soutěžily. To proto, že se soutěžícím úlohy zadávají v jejich rodném jazyce. My zde uvádíme znění všech šesti soutěžních úloh 47. MMO v jazyce anglickém a s použitím značení běžného v anglicky mluvících zemích (česky jsou otištěny např. v časopise Matematika, fyzika, informatika). Čtenáři si tak mohou procvičit nejen matematiku, ale i angličtinu. Ročník 81 (2006), číslo 4

47

SOUTĚŽE

1. Let ABC be a triangle with the incentre I. A point P in the interior of the triangle satisfies 6

P BA + 6 P CA = 6 P BC + 6 P CB.

Show that AP ≥ AI, and that the equality holds if and only if P = I. (Korea) 2. Let P be a regular 2006-gon. A diagonal of P is called good if its endpoints divide the boundary of P into two parts, each composed of an odd number of sides of P . The sides of P are also called good . Suppose P has been dissected into triangles by 2003 diagonals, no two of which have a common point in the interior of P . Find the maximum number of isosceles triangles having two good sides that could appear in such a configuration. (Srbsko) 3. Determine the least real number M such that the inequality ab a2 − b2 + bc b2 − c2 + ca c2 − a2 ≤ M a2 + b2 + c2 2 holds for all real numbers a, b and c.

(Irsko)

4. Determine all pairs (x, y) of integers such that 1 + 2x + 22x+1 = y 2 .

(USA)

5. Let P (x) be a polynomial of degree n > 1 with integer coefficients and let k be a positive integer. Consider the polynomial Q(x) = P (P ( . . . P (P (x)) . . . )), where P occurs k times. Prove that there are at most n integers t such that Q(t) = t. (Rumunsko) 6. Assign to each side b of a convex polygon P the maximum area of a triangle that has b as a side and is contained in P . Show that the sum of the areas assigned to the sides of P is at least twice the area of P . (Srbsko) 48


SOUTĚŽE

Český tým na MMO Zleva: Jaroslav Zhouf, Pavel Šalom, Jakub Opršal, Jaroslav Hančl, Vojtěch Říha, Zbyněk Konečný, Jan Uhlík, Jaroslav Švrček

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

RAMANUJAN – OSOBNÝ PRIATEĽ KAŽDÉHO PRIRODZENÉHO ČÍSLA Aj v modernej dobe a vo svete matematiky sa dejú zvláštne veci. Mladý skromný Ind S. A. Ramanujan (1887–1920), bez vysokoškolského vzdelania, produkoval pozoruhodné príspevky k teórii čísiel. Spomenuli pred ním číslo 1729. Bez prípravy spoznal jeho zaujímavú vlastnosť: je to najmenšie číslo, S. A. Ramanujan ktoré je dvakrát súčtom dvoch tretích mocnín 1729 = 103 + 93 = 123 + 13 . Aby to jeden z najvýznamnejších matematikov G. H. Hardy (1877–1947) dokázal, musel sa problému venovať polrok. Ramanujan produkoval formálne úvahy, intuície a indukcie, ktoré často nedokázal ani súvislo popísať. Mnohé hlboké a ťažké matematické vzťahy boli pre neho ako jednoduché použitie všeobecnejších výsledkov, ktoré sa nedajú vymyslieť. Tento indický matematik sa stal členom Trinity College v Cambridge. Dušan Jedinák Ročník 81 (2006), číslo 4

49

PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL

Užitočné aritmetické i algebraické úpravy Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave Na vybraných príkladoch ponúkame ukážky matematickej klasiky“, ” ktoré ukazujú zmysluplnosť základných algebraických a aritmetických úprav. Čo je väčšie? Rozhodnite a zdôvodnite, ktoré zo zadaných čísiel je väčšie (bez kalkulačky a tabuliek): √ √ √ √ √ √ a) 5 5, 2 b) 7 + 10, 3 + 19 c) 6399 , 6389 + 6388

d)

131978 + 1 131979 + 1 , 131979 + 1 131980 + 1

Riešenie a) Ak obe čísla umocníme na desiatu, tak dostaneme √ 10 5 5 = 25,

√ 10 2 = 32.

√ √ Pretože 32 > 25, tak spätným postupom“ dostávame 2 > 5 5. ” √ √ √ √ b) Predpokladajme (hypotéza), že platí 7 + 10 < 3 + 19 a postupne upravujme: √ √ √ √ 7 + 10 < 3 + 19 / 2 √ √ √ √ 7 + 2 · 7 · 10 + 10 < 3 + 2 · 3 · 19 + 19 √ √ 2 · 70 < 5 + 2 · 57 / 2 √ 4 · 70 < 25 + 20 · 57 + 4 · 57 √ 27 < 20 · 57 √ Pretože 57 > 2, tak to platí. Dôkaz by sme viedli spätným √ √ ” postupom“. Ukázalo sa, že číslo 3 + 19 je väčšie ako číslo √ √ 7 + 10. 50



c) Platí: 6399 = 639 · 6398 ,

6389 + 6388 = 6388 · (638 + 1) = 639 · 6388

Pretože 6398 > 6388 , tak 6399 > 6389 + 6388 .

d) Ak si označíme A = 131978 , môžeme rozdiel daných čísiel vyjadriť takto: A+1 13A + 1 169A2 + 170A + 1 − 169A2 − 26A − 1 − 2 = = 13A + 1 13 A + 1 (13A + 1) · (169A + 1) 144A = (13A + 1) · (169A + 1) Pretože posledný zlomok je kladný, je prvé číslo väčšie ako druhé. Kalkulačka nepomáha? Dokážte, že číslo 123123 − 5757 je deliteľné desiatimi. Riešenie Stačí ukázať, že na konci tohto čísla je nula, to znamená, že čísla 123123 a 5757 majú na konci rovnakú číslicu. U mocnín 31 = 3,

32 = 9,

33 = 27,

34 = 81,

35 = 243,

...

čísla 3 sa na konci pravidelne striedajú štyri cifry 3, 9, 7, 1. Ďalej 123123 = 123120+3 = 123120 · 1233 . Číslo 123120 = 12330·4 má na konci číslicu 1, číslo 1233 má na konci číslicu 7, to znamená, že číslo 123123 má poslednú číslicu 1 · 7 = 7. Podobne u mocnín 71 = 7,

72 = 49,

73 = 343,

74 = 2 401,

75 = 16 807,

...

čísla 7 sa striedajú na konci štyri cifry v poradí 7, 9, 3, 1. Pretože 5757 = 5714·4 · 571 , má číslo 5757 poslednú číslicu 7 · 1 = 7. Teda rozdiel 123123 − 5757 má poslednú cifru 7 − 7 = 0 a je deliteľný desiatimi. Ročník 81 (2006), číslo 4

51


To, čo chcú, sme si pripravili Stanovte hodnotu súčinu pq, ak p, q sú navzájom rôzne reálne čísla, pre ktoré platí: 1 1 2 + = 2 2 1+p 1+q 1 + pq Riešenie Nechcú od nás vedieť, aká je hodnota zvlášť pre p a zvlášť pre q, tak si všímajme iba súčin pq. Ak platí daná rovnosť, tak z nej postupne vyplýva: 1 + q 2 · (1 + pq) + 1 + p2 · (1 + pq) = 2 · 1 + p2 · 1 + q 2 1 + q 2 + pq + pq 3 + 1 + p2 + pq + p3 q = 2 + 2p2 + 2q 2 + 2p2 q 2 p3 q − 2p2 q 2 + pq 3 = p2 − 2pq + q 2 pq · p2 − 2pq + q 2 = (p − q)2

pq · (p − q)2 − (p − q)2 = 0

(p − q)2 · (pq − 1) = 0

Pretože p 6= q (vyplýva to z textu úlohy), tak musí byť pq − 1 = 0, teda pq = 1. Zázračné krátenie zlomkov Nájdite všetky zlomky s dvojciferným čitateľom a dvojciferným menovateľom (v ktorých sa cifry neopakujú) umožňujúce naznačené zázračné ” krátenie“: 2/6 2 = /65 5 Riešenie Aj keď sa takéto krátenie“ v žiadnej škole neuznáva, existujú prípady, ” v ktorých to funguje“. Hľadáme zlomky tvaru ” 10a + b , 10b + c kde a, b, c ∈ {1, 2, 3, . . . , 9}, a 6= b, b 6= c, pre ktoré platí 10a + b a = . 10b + c c 52

(1) Rozhledy matematicko-fyzikální


Z (1) postupne dostaneme: c · (10a + b) = a · (10b + c)

c · (10a + b − a) = 10ab c=

10ab 9a + b

c=

9ab + b2 + ab − b2 9a + b

c=

b · (9a + b) + ab − b2 9a + b

c=b+

b · (a − b) 9a + b

(2)

Z rovnosti (2) vieme, že číslo b · (a − b) 9a + b

(3)

je celé. Keby platilo a > b, bolo by číslo (3) nielen celé, ale aj kladné, platilo by preto: b · (a − b) ≧1 9a + b ab − b2 ≧ 9a + b

a · (b − 9) ≧ b · (b + 1)

(4)

Pretože pravá strana nerovnosti (4) je kladná, bolo by b > 9, čo nieje pravda. Neplatí teda a > b a pretože čísla a, b sú rôzne, je b > a. Rovnosť (1) môžeme upraviť aj na tvar 10a · (b − c) = c · (b − a),

(5)

z ktorého vidno, že rozdiely b − c a b − a majú tie isté znamienka. Preto b > c. Na ľavej strane rovnosti (5) je číslo s nulou na konci, teda aj na jej pravej strane musí byť číslo končiace nulou, t. j. súčin c · (b − a) je súčiRočník 81 (2006), číslo 4

53


nom čísla 5 a párneho čísla. Ak zvážime, že b > c i b > a, tak preveríme týchto 24 možností: c=5

b − a je párne

c je párne

b−a=5

c=5

b−a=6−2

c=2

b−a=6−1

c=5

b−a=6−4

c=2

b−a=7−1

c=2

b−a=7−2

b−a=7−3

c=2

b−a=7−5

c=4

b−a=8−2

c=4

b−a=8−4

c=4

b−a=8−6

c=4

b−a=9−1

c=6

b−a=9−3

c=6

b−a=9−5

c=6

b−a=9−7

c=8

c=5 c=5 c=5 c=5 c=5 c=5 c=5 c=5 c=5 c=5

b−a=8−3 b−a=9−4 b−a=6−1 b−a=7−2 b−a=8−3 b−a=9−4 b−a=7−2 b−a=8−3 b−a=9−4 b−a=9−4

Vyhovujú voľby: a = 2,

b = 6, c = 5;

a = 1, b = 6, c = 4

a = 1,

b = 9, c = 5;

a = 4, b = 9, c = 8

Uvedené zázračné krátenie“ možno uplatniť len na zlomkoch ” 26 , 65

54

19 , 95

16 , 64

49 . 98


ZPRÁVY

Ceny PRAEMIUM BOHEMIAE 2006 Podporovat orientaci mladých lidí na vědu je prozíravé a záslužné. To od roku 2001 dělá Nadace Bohuslava Jana Horáčka Českému ráji . Dne 4. 12. 2006, v den 82. výročí narození zakladatele Nadace, již pošesté udělila v zámeckém divadle zámku Sychrov nedaleko Turnova 21 studentům prestižní ceny Praemium Bohemiae za úspěšnou reprezentaci České republiky na světových přírodovědných soutěžích v roce 2006. Od roku 2001 udělila Nadace studentům již 130 těchto prestižních cen. Oceněna byla úspěšná účast studentů na 37. mezinárodní fyzikální olympiádě v Singapuru, kde 5 českých řešitelů získalo v konkurenci 384 účastníků z 83 zemí 1 stříbrnou medaili, 3 bronzové medaile a 1 čestné uznání, na 38. mezinárodní chemické olympiádě v Jižní Koreji, kde 4 naši studenti za účasti 254 soutěžících z 67 států získali 1 zlatou, 1 stříbrnou a 2 bronzové medaile, na 17. mezinárodní biologické olympiádě v Argentině, kde v konkurenci 188 soutěžících ze 47 států ze 4 českých účastníků 3 získali medaile: 1 stříbrnou a 2 bronzové, na 47. mezinárodní matematické olympiádě ve Slovinsku, kde 6 českých studentů za účasti 498 soutěžících z 90 zemí získalo 3 bronzové medaile a 3 čestná uznání, a konečně na 17. mezinárodní olympiádě v informatice konané za účasti 284 řešitelů ze 76 států v Mexiku, odkud 3 ze 4 českých soutěžících přivezli medaile: 1 stříbrnou a 2 bronzové. Ceny Praemium Bohemiae ve výši od 5 000 Kč do 30 000 Kč (podle míry dosaženého úspěchu) v celkové částce 230 000 Kč udělila studentům Nadace Bohuslava Jana Horáčka Českému ráji . Vedle finančního ocenění obdrželi odměnění studenti také medaili Bohuslava Jana Horáčka - podle dosaženého úspěchu byla zlatá, stříbrná, nebo bronzová. Je příznačné, že 14 z 21 oceněných studentů jsou fyzici nebo matematici (včetně programátorů – programování je u nás k matematice přiřazeno). Z mladých fyziků získali ocenění Marek Pechal z Gymnázia v Lesní čtvrti ve Zlíně (za stříbrnou medaili), Pavel Motloch z Gymnázia Petra Bezruče ve Frýdku-Místku, Radek Žlebčík z Gymnázia Christiana Dopplera v Praze, Petr Smital z Gymnázia Kpt. Jaroše v Brně (všichni tři za bronzové medaile) a Marek Scholle z Gymnázia v Dašické ulici v Pardubicích (za čestné uznání). Z mladých matematiků byli oceněni Jaroslav Hančl z Gymnázia Mikuláše Koperníka v Bílovci, Zbyněk Konečný z Gymnázia Kpt. Jaroše v Brně, Pavel Šalom z Gymnázia v Rožnově pod Radhoštěm (za bronzové medaile) a tři studenti Gymnázia Kpt. Jaroše v Brně: Vojtěch Říha, Jakub Opršal a Jan Uhlík (za čestná Ročník 81 (2006), číslo 4

55

ZPRÁVY

uznání). Z mladých programátorů obdrželi ocenění Josef Pihera z Gymnázia ve Strakonicích (za stříbrnou medaili), Daniel Marek z Gymnázia Christiana Dopplera v Praze a Michal Vaner z Gymnázia v Turnově (za bronzové medaile). Pozoruhodné je, že D. Marek získal cenu Praemium Bohemiae také v letech 2004 a 2005 a studenti M. Pechal, P. Motloch a J. Opršal v roce 2005. Vedle malých cen“ byla letos udělena ” také jedna velká cena (500 000 Kč) Praemium Bohemiae za rozvoj vědních oborů (letos šlo o obory matematika a fyzika). Na základě náročného výběrového řízení získal toto ocenění astronom světového věhlasu RNDr. Zdeněk Ceplecha, DrSc., za vybudování největší a nejdéle fungu” jící sítě pro pozorování bolidů, jež umožnila získání nových poznatků zásadního Zdeněk Ceplecha významu o těchto tělesech“. astronom světového věhlasu

Někteří z oceněných studentů

Bohumil Vybíral 56


Harmonická řada a srovnávací kritérium v zajímavé úloze

Recommend Documents