Gyraˇcn´ı polomˇer jako invariant relativistick´eho pohybu nabit´e ˇca´stice v konfiguraci rovnobˇeˇzn´eho konstantn´ıho vnˇejˇs´ıho elektromagnetick´eho pole 1
Popis probl´ emu
Uvaˇzujme pohyb nabit´e ˇc´ astice v E3 v takov´e konfiguraci elektrick´eho a magnetick´eho pole, ˇze E = gB, kde g je nˇejak´a re´aln´a konstanta a magnetick´e pole je homogenn´ı. V nerelativistick´em pˇribl´ıˇzen´ı pro nenulovou projekci poˇc´ateˇcn´ı rychlosti do roviny ρ kolm´e k B pozorujeme charakteristickou trajektorii, ˇc´astice gyruje“. Zjednoduˇsenˇe ˇreˇceno, projekce trajektorie pohybu ˇc´astice do roviny ρ ” ´ je kruˇznic´ı. BUNO vol´ıme kart´ezsk´e souˇradnice tak, aby magnetick´e pole leˇzelo ve smˇeru osy z, tedy B = (0, 0, B) E = gB Rovina ρ pak bude shodn´ a s rovinou XY. M´a-li b´ yt Larmor˚ uv polomˇer konstantn´ı, trajektori´ı ˇc´ astice pro libovoln´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky v projekci do ρ bude kruˇznice(siln´ y pˇredpoklad).
2 2.1
Nerovnomˇ ern´ y pohyb po kruˇ znici v R2 Zaveden´ı pohybu po kruˇ znici
Nejdˇr´ıve pˇrehled z´ akladn´ıch vztah˚ u pro pohyb po kruˇznici, obecnˇe libovolnˇe zrychlen´ y. Samotn´e vztahy jsou odvozeny pomoc´ı transformace do pol´arn´ıch souˇradnic. Kruhov´ y pohyb m´ a rovnice x = RL cos [φ(t)] y = RL sin [φ(t)] pro konstantn´ı RL , pˇriˇcemˇz φ(t) je obecn´a spojit´a funkce laboratorn´ıho ˇcasu t. Spojitost plyne z podm´ınek pro ˇreˇsen´ı obecn´e pohybov´e rovnice v klasick´e meˇ chanice. Casovou derivaci budeme znaˇcit ˇc´arkou. Odvozen´e vztahy pro rychlost a zrychlen´ı v souˇradnic´ıch XY: x0 = −yφ0 (t) y 0 = xφ0 (t) x00 = − yφ00 (t) + xφ02 (t) y 00 = xφ00 (t) − yφ02 (t) Standardnˇe zavedeme vektory v a a: v = (x0 , y 0 ) a = (x00 , y 00 )
1
Obecn´e zrychlen´ı nen´ı kolm´e na rychlost. Pro kruhov´ y pohyb poloˇz´ıme velikost (teˇcn´e) rychlosti v do rovnosti v(t) = RL φ0 (t) Z transformace i z konstantn´ı vzd´alenosti od poˇc´atku je jasn´e, ˇze nemus´ıme rozliˇsovat mezi obecnou rychlost´ı a jej´ı teˇcnou sloˇzkou v kruhov´em pohybu. Zrychlen´ı ale rozloˇz´ıme na pod´eln´e a dostˇredn´e: a = ap + ad Umˇele zavedeme: ap (t) = (−yφ00 (t), xφ00 (t)) ad (t) = −xφ02 (t), −yφ02 (t) D´ ale uˇz vynech´ ame z´ avislosti na ˇcase t, jedin´e konstanty jsou: Larmor˚ uv polomˇer RL , velikost mag. pole B a konstanta line´arn´ı z´avislosti g. Ostatn´ı objekty jsou funkcemi ˇcasu.
2.2
Podstatn´ e vztahy
Velikost pod´eln´e a kolm´e sloˇzky zrychlen´ı je ||ap || = |RL φ00 | v2 ||ad || = |RL φ02 | = RL Skal´ arn´ı souˇcin dostˇredn´e sloˇzky zrychlen´ı a vektoru rychlosti: ad · v = xyφ03 − xyφ03 = 0 Skal´ arn´ı souˇcin obecn´eho zrychlen´ı a vektoru rychlosti: a · v = ap · v + ad · v = ap · v = y 2 φ0 φ00 + x2 φ0 φ00 = RL2 φ0 φ00 coˇz plyne z vlastnosti seskviline´arn´ı formy re´aln´ ych funkc´ı a vztahu RL2 = x2 + y 2 Z pˇredchoz´ıho d´ ale plyne |ap · v| = ||ap || · ||v|| ˇcili pod´eln´ a sloˇzka zrychlen´ı je rovnobˇeˇzn´a s v. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı je ovˇsem vztah pro velikost dostˇredn´e sloˇzky zrychlen´ı: ||ad || =
p
φ04 x2 + φ04 y 2 =
2
p
RL2 φ04 = RL φ02 =
v2 RL
3 3.1
Ovˇ eˇ ren´ı kruhov´ eho pohybu ˇ c´ astice v poli Myˇ slenka ovˇ eˇ ren´ı
Naˇs´ım c´ılem je tedy ovˇeˇrit, zda jsme schopni pˇrev´est pohybov´e rovnice do tvar˚ u odvozen´ ych v´ yˇse. Protoˇze hlavn´ım probl´emem je relativistick´ y vliv na pˇr´ıˇcn´e sloˇzky rychlosti, velikost dostˇredn´eho zrychlen´ı by mˇela zachov´avat tvar ||ad || = Kv · v kde K je konstanta, jej´ıˇz reciprok´a hodnota bude rovna Larmorovu polomˇeru. D´ ale mus´ı z˚ ustat zachov´ any hodnoty pˇr´ısluˇsn´ ych skal´arn´ıch souˇcin˚ u vektor˚ u zrychlen´ı a rychlosti. Tento postup by d´ale mohl v´est k pochopen´ı jak´ ym zp˚ usobem se relativistick´e skl´ ad´ an´ı rychlost´ı prom´ıt´a do pod´eln´e sloˇzky zrychlen´ı takov´eho pohybu po kruˇznici.
3.2
Pohybov´ e rovnice a notace
Rovnice obecn´eho pohybu ve vnˇejˇs´ım elektromagnetick´em poli v prostoru E3 jsou Q (E + v × B) (γv)0 = m0 pro n´ aboj ˇc´ astice Q, klidovou hmotu m0 a Lorentz˚ uv faktor γ. N´aboj i klidov´a hmota jsou konstantn´ı. V naˇs´ı konfiguraci rovnobˇeˇzn´eho homogenn´ıho pole v ose z lze rovnice zjednoduˇsit na QB vy m0
(γvx )0 =
(γvy )0 = − (γvz )0 =
QB vx m0
QB g m0
Prvn´ı dvˇe rovnice jsou sv´ az´ any se tˇret´ı faktorem γ, definovan´ ym jako γ=q
1 1−
2 +v 2 +v 2 vx y z
c2
Zobecnˇeme γ na jakoukoliv alespoˇ n jednou spojitˇe diferencovatelnou funkci ˇcasu s definiˇcn´ım oborem h0, ∞) a oborem hodnot h1, ∞). Tˇret´ı rovnice se tak stane pˇrebyteˇcnou a m˚ uˇzeme obecnˇe pracovat se tˇr´ıdou soustav rovnic typu (γvx )0 = Hvy (γvy )0 = −Hvx kde v naˇs´ı konfiguraci plat´ı H =
QB m0 ,
obecnˇe je vˇsak nˇejakou konstantou.
3
3.3
Odvozen´ı vektor˚ u zrychlen´ı
V zadan´e konfiguraci zavedeme vektor F jako F = (γv)0 = (Hvy , −Hvx ) Protoˇze a = v0 , form´ alnˇe zderivujeme prostˇredn´ı v´ yraz a vyj´adˇr´ıme zrychlen´ı: (γv)0 = γ 0 v + γv0 γv0 = (γv)0 − γ 0 v = F − γ 0 v v0 =
1 γ0 F− v γ γ
a=
1 γ0 F− v γ γ
Zkusmo rozdˇel´ıme vznikl´ y v´ yraz na pod´elnou a dostˇrednou sloˇzku: ap = −
γ0 v γ
1 ad = F γ Je okamˇzitˇe jasn´e, ˇze takto definovan´a pod´eln´a sloˇzka ap je rovnobˇeˇzn´a s v. Zb´ yv´ a ovˇeˇrit skal´ arn´ı souˇcin dostˇredn´e sloˇzky s rychlost´ı v a velikost dostˇredn´e sloˇzky. Kolmost vektor˚ u lze ovˇeˇrit snadno: 1 QB ad · v = F · v = (vy vx − vx vy ) = 0 γ γm0 V´ ypoˇcet velikosti dostˇredn´e sloˇzky ovˇsem povede k n´asleduj´ıc´ımu probl´emu: 1 |H| q 2 |H| ||ad || = || F|| = vy + vx2 = v γ γ γ kde v oznaˇcuje velikost rychlosti. Tento v´ yraz mus´ı odpov´ıdat vztahu odvozen´emu v´ yˇse pro kruhov´ y pohyb, tedy |H| v2 v= γ RL Pro v = 0 je vztah splnˇen vˇzdy, hled´ame tedy d´al: RL |H| = γv Protoˇze v´ yraz na lev´e stranˇe m´a b´ yt konstantn´ı v ˇcase, mus´ı b´ yt konstantn´ı i v´ yraz na prav´e stranˇe, tedy (γv)0 = 0 Zaveden´ım vektoru u := γv = (γvx , γvy ) m˚ uˇzeme vztah upravit: q 0 γ vx2 + vy2 = 0 4
i0 hq γ 2 vx2 + γ 2 vy2 = 0 V´ yraz v derivaci je velikost vektoru u(oznaˇc´ıme u) a probl´em tak lze pˇrev´est na vztah u0 = 0 ˇ Vektor u je pouze funkc´ı ˇcasu, stejnˇe tak jako vektor rychlosti. Casov´ a derivace jeho velikosti je tak u0 =
0 q 1 u2x + u2y = q (ux u0x + uy u0y ) 2 ux + u2y
Je tˇreba si uvˇedomit, ˇze sloˇzk´ am u0x a u0y odpov´ıdaj´ı sloˇzky vektoru F. Z identit ux = γvx a uy = γvy tak substituc´ı dost´av´ame γH u0 = q (vx vy − vy vx ) = 0 γ vx2 + vy2 coˇz dokazuje v´ yˇse uvedenou podm´ınku pro velikost dostˇredn´eho zrychlen´ı. Lorentz˚ uv faktor se zde nav´ıc u ´plnˇe vykompenzoval ve v´ yrazu pˇred z´avorkou.
4
Z´ avˇ er
Pˇredpoklady kruhov´eho pohybu se podaˇrilo ovˇeˇrit v r´amci podm´ınek uveden´ ych v textu. Interpretace v´ ysledku zn´ı n´asledovnˇe: Pro relativistickou ˇc´ astici, pohybuj´ıc´ı se v homogenn´ım magnetick´em poli, nevede spojit´e urychlov´ an´ı ve smˇeru magnetick´ych silokˇrivek ke zmˇenˇe gyraˇcn´ıho polomˇeru. Larmor˚ uv polomˇer odvod´ıme z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek: v u 2 + v2 u vx0 γ0 m0 v⊥0 y0 RL = u = t QB 2 2 2 2 v +v +vz0 |QB| 1 − x0 cy0 2 m0 q 2 + v 2 je poˇ kde v⊥0 = vx0 c´ateˇcn´ı kolm´a rychlost a γ0 poˇc´ateˇcn´ı hodnota y0 Lorentzova faktoru. D´ ale, jednoduchou u ´vahou z faktu, ˇze q γv⊥ = γ vx2 + vy2 = konst., RL = konst. dospˇejeme k z´ avˇeru, ˇze pˇri spojit´em urychlov´an´ı ˇc´astice ve smˇeru silokˇrivek magnetick´eho pole se bude mˇenit velikost kolm´e sloˇzky rychlosti a tedy gyraˇcn´ı frekvence.
5
