Gyakorló feladatok a Valószín¶ségszámítás kurzushoz 1. 1.1.
Kombinatorikus valószín¶ség
Két szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószín¶sége, hogy a. b. c. d. e.
1.2.
Egy ételautomatából négyféle szendvics (sonkás, szalámis, tonhalas és vegetáriánus) illetve háromféle innivaló (tej, kakaó és tea) vásárolható. Anna a szendvicsek közül a sonkásat és a szalámisat, az italok közül pedig a kakaót szereti. Anna véletlenszer¶en vásárol egy ételt és egy italt a gépb®l. Mennyi annak az esélye, hogy a. b. c.
1.3.
1.4.
Négy barátn®, Anna, Bori, Cili és Dóri véletlenszer¶ sorrendben leül egymás mellé egy padra. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy b. c.
1.6.
a kapott ételt és a kapott italt is szeretni fogja; a kett® közül valamelyiket szeretni fogja; a kett® közül pontosan az egyiket fogja majd szeretni?
Magyarországon az autók rendszáma három bet¶b®l és három számjegyb®l áll. A bet¶k az angol ábécé 26 bet¶jéb®l kerülnek ki, de az els® bet¶ nem lehet U, X és Y. (Ezen bet¶k a motorkerékpároknak, az utánfutóknak és a lassú járm¶veknek vannak fenntartva.) A számjegyekre nincsen korlátozás. Hány különböz® rendszám írható fel ezen szabályok szerint? Ha véletlenszer¶en választunk egy lehetséges rendszámot, akkor mennyi annak a valószín¶sége, hogy minden bet¶ mássalhangzó és minden számjegy páratlan? Mennyi az esélye, hogy a rendszámban található magánhangzó és páros számjegy is?
a.
1.5.
két azonos számot dobunk; két különböz® számot dobunk; a dobott számok összege 7; valamelyik kockával 6-ost dobunk; pontosan az egyik kockával dobunk 6-ost?
Anna és Dóri a pad két szélére kerül; Anna Dóri jobbjára kerül; Anna és Dóri egymás mellé kerül?
Két testvér ugyanabba a 27 f®s osztályba jár. Egy gyors sorakozónál mindenki találomra áll be. Mi a valószín¶sége, hogy a két testvér egymás mellé kerül? Mennyi az esélye annak, hogy pontosan tizen állnak közöttük? Bet¶kockákból kirakjuk a KÖRÖMPÖRKÖLT szót, majd a bet¶ket véletlenszer¶en összekeverjük. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy visszakapjuk az eredeti szót? Mi annak az esélye, hogy a PÖRKÖLT szó részszóként kiolvasható? 1
1.7.
1.8.
Egy vendégl® egyik asztalánál 9 vendég ül, és mindenki rendel egy italt, összesen 3 sört, 4 vörös és 2 fehér bort. A pincér találomra osztja ki az italokat. Mennyi a valószín¶sége, hogy mindenki olyan italt kap, amilyet kért? Feldobunk 6 dobókockát. Mekkora valószín¶séggel lesz a dobott számok összege pontosan 36? Mennyi az esélye, hogy a dobott számok összege nagyobb, mint 34? Mekkora a valószín¶sége annak, hogy a dobott számok között vannak azonosak? A Valószín¶ségszámítás gyakorlaton a csoportok 30 f®re lettek meghirdetve. Mennyi annak az esélye, hogy egy 30 f®s csoportban mindenki az évnek ugyanazon a napján született? Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a csoportban lesz két ember, aki azonos napon született? (A szök®napoktól és az ikertestvérekt®l most tekintsünk el.)
1.9. A születésnap paradoxon.
1.10.
1.11.
Véletlenszer¶en felírunk egy valódi ötjegy¶ számot, tehát egy olyan ötjegy¶ számot, melynek nem 0 az els® jegye. Mi annak a valószín¶sége, hogy a szám jegyei különböz® páratlan számok? Mekkora eséllyel lesznek a számban azonos számjegyek? Visszatevéssel húzunk egy olyan urnából, melyben 3 piros és 5 zöld golyó található. a.
b.
c.
1.12.
Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az els® piros golyót harmadikra húzzuk ki? Mennyi az esélye, hogy az n-edik húzásra kapjuk az els® pirosat? Mennyi annak az esélye, hogy három húzás során kapunk legalább egy pirosat? Mi annak a valószín¶sége, hogy n húzásból kapunk pirosat? Hányat húzzunk, ha az a célunk, hogy 95 százalékos valószín¶séggel a kihúzott golyók között legyen piros?
Többször egymás után feldobunk két szabályos dobókockát. Azt mondjuk, hogy egy dobás dupla, ha a két kockával azonos értéket kapunk. a.
b.
c.
Mennyi az esélye, hogy az els® dupla pontosan az ötödik dobásra jön? Mi annak a valószín¶sége, hogy az els® duplát pontosan az n-edik dobásra kapjuk? Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az els® öt dobás során kapunk legalább egy duplát? Mekkora eséllyel kapunk legalább egy duplát az els® n dobás során? Hányszor dobjuk fel a két kockát, ha az a célunk, hogy legalább 90% valószín¶séggel a dobások között legyen dupla?
2
2. 2.1.
Mintavételezési feladatok
Egy 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk 6 lapot. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a kihúzott lapok között a. b. c. d. e.
pontosan 2 ász lesz; pontosan 3 piros lesz; pontosan 3 piros, 2 zöld és 1 makk lesz; lesz legalább egy ász; lesz ász vagy lesz piros?
Oldjuk meg a feladatot visszatevéssel és visszatevés nélkül is. 2.2.
Piri néni nagyon szereti a kertjét, különösen a tulipánjait. sszel a legszebb tulipánok közül kiválaszt 5 pirosat, 4 narancssárgát és 2 fehéret, és felszedi a hagymákat. Sajnos a hagymák a téli tárolás során összekeverednek. A következ® tavasszal Piri néni véletlenszer¶en kiválaszt 7 hagymát, és kiülteti ®ket. Mennyi az esélye annak, hogy a kiválasztot hagymák között a. b. c. d. e.
2.3.
Egy gyárban a makaront úgy csomagolják, hogy egy-egy dobozba két csokis, egy málnás és egy narancsos sütemény kerül. Anna a három barátn®jével öt napon keresztül minden nap vásárol egy doboz makaront, és a süteményeket véletlenszer¶en kiosztják egymás között. Mennyi annak az esélye, hogy Anna az öt nap folyamán a. b. c. d. e.
2.4.
pontosan 4 piros lesz; pontosan 4 piros, 2 narancssárga és 1 fehér lesz; lesz fehér; lesz piros; pontosan két különböz® szín fog majd el®fordulni, és ezek 4 illetve 3 tulipánon jelennek meg?
hétf®n, szerdán és csütörtökön csokis, a többi napon nem csokis makaront kap; pontosan 3 csokis makaront kap; összesen 2 csokis, 2 málnás és 1 narancsos makaront kap; egyszer sem kap málnás makaront; legalább egyszer kap csokis vagy narancsos makaront?
Az ötöslottón mennyi az esélye annak, hogy a. b.
minden nyer®szám páratlan; két páros és három páratlan számot húznak ki; 3
c. d. e. 2.5.
kihúzzák a 12-es és a 80-as számot; kihúzzák a 12-es és a 80-as számot, és a 12 a második legkisebb nyer®szám; öt egymást követ® számot húznak ki?
Egy urnában 4 piros és n zöld golyó található. Kihúzunk két golyót az urnából. a.
b.
Mennyi annak az esélye, hogy a kiválasztott golyók mindegyike piros? Mekkora legyen n értéke, ha az a cél, hogy ez a valószín¶ség kisebb legyen, mint 0,1? Mennyi annak az esélye, hogy a kiválasztott golyók között van piros? Mekkora legyen n értéke, ha az a cél, hogy ez a valószín¶ség kisebb legyen, mint 0,1?
Oldjuk meg a feladatot visszatevéses és visszatevés nélküli húzásra is. 2.6.
Egy vizsgán a vizsgázó a 100 lehetséges kérdésb®l n-re tudja a választ. Mekkora valószín¶séggel fogja teljesíteni a vizsgát, ha a. b.
két kérdést kap, és megbukik, ha valamelyikre nem tud válaszolni; két kérdést kap, melyek közül elég az egyikre válaszolni?
Az egyes vizsgáztatási módok esetén a vizsgázó hány kérdésre tanulja meg a választ, ha az a célja, hogy legalább 80% eséllyel teljesítse a vizsgát? 2.7.
2.8.
Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár. Hányféleképpen lehet a gyerekeket egy négy-, egy három- és egy kétf®s csoportba besorolni? Ha véletlenszer¶ a besorolás, akkor milyen valószín¶séggel fog a két testvér ugyanabba a csoportba kerülni? Az 52 lapos francia kártyápakliból kihúzunk 5 lapot visszatevés nélkül. Mennyi annak az esélye, hogy az alábbi lapkombinációkat kapjuk? a. b. c. d. e.
egy pár (két egyforma gura, és három t®le és egymástól is különböz® gura) két pár (két különböz® pár, és az ötödik lap egy t®lük is különböz® gura) drill (három egyforma gura, továbbá két t®le és egymástól is különböz® gura) full (három egyforma gura, és mellettük még két egyforma gura) póker (négy egyforma gura, továbbá egy tetsz®leges ötödik lap)
4
3. 3.1.
3.2.
A valószín¶ség általános tulajdonságai
Öt héten keresztül játszunk az ötöslottón. Jelölje Ai azt az eseményt, hogy az i-edik héten nyerünk valamennyi pénzt. Fejezzük ki az alábbi eseményeket az A1 , . . . , A5 események segítségével. Fogalmazzuk meg a B1 , B2 , B4 események tagadását is. a.
B1 = minden héten nyerünk;
b.
B2 = egyik héten sem nyerünk;
c.
B3 = az utolsó héten nyerünk el®ször;
d.
B4 = a második héten nyerünk, de a negyedik héten nem;
e.
B5 = pontosan négyszer nyerünk.
Az Am , a Bn és a Cp esemény azt jelöli, hogy három könyvsorozat kötetei közül az els®b®l m, a másodikból n, a harmadikból pedig p darabot veszünk, ahol m, n és p nemnegatív egész számok. (Például A3 az az esemény, hogy az els® sorozatból pontosan 3 könyvet veszünk.) Hogyan lehet formalizálni a következ® eseményeket? a. b. c. d. e. f.
3.3.
Próbagyártás után két szempontból vizsgáljuk a késztermékeket. Tudjuk, hogy 0,25 annak a valószín¶sége, hogy egy véletlenszer¶en kiválasztott gyártmány anyaghibás, míg 0,4 annak az esélye, hogy mérethibás. A gyártmányok 10 százaléka nem felel meg egyik szabványnak sem. Ha véletlenszer¶en kiválasztunk egy gyártmányt, akkor mennyi annak a valószín¶sége, hogy a. b. c. d.
3.4.
Az els® sorozatból pontosan 1, a másodikból pontosan 3 könyvet veszünk. Egy könyvet sem veszünk. Veszünk könyvet az els® sorozatból. Mindhárom sorozatból veszünk könyvet. Vagy veszünk legalább 2 könyvet az els® sorozatból, vagy nem veszünk semmit. Pontosan 2 könyvet veszünk összesen a második és a harmadik sorozatból.
a gyártmány anyaghibás, de megfelel a méretszabványnak; a gyártmánynak van valamilyen hibája; a gyártmány pontosan egyfajta hibája van? a gyártmány hibátlan?
Egy faluban három sportolási lehet®ség van, foci, kosárlabda és pingpong. A lakosok 25%-a focizik, 40%-a kosárlabdázik, és 45%-a pingpongozik. Az emberek tizede szokott focizni ás kosárlabdázni is, ötödük szokott focizni és pingpongozni is, továbbá negyedük szokott kosárlabdázni és pingpongozni is. Mindhárom sportot a lakosság 5%-a ¶zi. Véletlenszer¶en kiválasztunk egy lakost, és megkérdezzük t®le, hogy melyik sporttevékenységet szokta végezni. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a megkérdezett ember 5
a. b. c. d. 3.5.
A király lovagjai nehéz feladatot kapnak, meg kell menteniük a király lányát a sárkány fogságából. Mivel igazából egyik lovagnak sincs kedve ezen nemes küldetéshez, sorsolással döntik el, hogy ki induljon el a feladat elvégzésére. A sárkányt háromféleképpen lehet legy®zni, er®vel, fürgeséggel vagy ravaszsággal. A lovagok 19%-a er®sebb, 25%-a gyorsabb és 28%-a ravaszabb a sárkánynál. Huszaduk egyszerre er®sebb és gyorsabb, tizedük er®sebb és ravaszabb, nyolcaduk pedik gyorsabb és ravaszabb a sárkánynál. Azt is tudjuk, hogy a lovagok mindössze 3%-a rendelkezik a fenti erények mindegyikével. Mennyi a valószín¶sége, hogy a kiválasztott lovag a. b. c. d.
3.6.
3.7.
3.8.
focizik vagy pingpongozik; focizik, de nem kosárlabdázik; pontosan kett® sportot ¶z; semmit sem sportol?
er®sebb vagy gyorsabb a sárkánynál; pontosan kétféleképpen tudja legy®zni a sárkányt, és ezek egyike a ravaszság; legalább kétféleképpen le tudja gy®zni a sárkányt; semmilyen módszerrel sem tudja kiszabadítani a királylányt?
Egy cég három különböz® változatot szállít egy adott termékb®l a vele szerz®désben álló boltoknak. Ebben a hónapban a boltok fele rendelt az 1. típusból, és 57% nem rendelt a 2. típusból. A boltok 22%-a rendelt az 1. és a 2. változatból is, továbbá negyedrészük rendelt az 1. és a 3. típusú termékekb®l is. A boltok 14%-a mindegyik típusból rendelt, míg 0,12 részük egyikb®l sem. A boltok 6%-a olyan, hogy rendelt a 2. és 3. típusból is, de az 1.-b®l nem. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy egy véletlenszer¶en kiválasztott boltba kell szállítani a 3. változatból? A boltok hányad része rendelt csak az 1. típusból? Egy véletlenszer¶ bolt esetén mennyi az esélye, hogy pontosan egy típust rendeltek a termékb®l? Legyen A és B olyan esemény, melynek valószín¶sége 0,7 illetve 0,8. Ezen információ birtokában meg tudjuk határozni egyértelm¶en a P (A ∩ B) és a P (A ∪ B) valószín¶séget? Ha nem, akkor adjunk alsó és fels® korlátot ezekre a valószín¶ségekre. A megoldást illusztráljuk Venn-diagrammal. a.
b.
Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Mennyi a valószín¶sége, hogy a tíz dobás során az 1, 2, 3, 4, 5, 6 értékek mindegyike el®fordul? Tízszer feldobunk két szabályos dobókockát. Mennyi annak az esélye, hogy a tíz dobás során az (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) számpárok mindegyike el®fordul?
6
4. 4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
Geometriai valószín¶ségi mez®k és feltételes valószín¶ség
A vihar véletlenszer¶ helyen elszakít egy 20 km hosszú légvezetéket, ezért a vezeték két végér®l egy-egy keres®csapat indul, hogy felderítsék a szakadás helyét. A nehéz terep miatt az egyik csapat 4 km/h, a másik 6 km/h sebességgel halad. Tekintsük a következ® eseményeket: A = a szakadás helyét a lasabban haladó csapat találja meg B = valamelyik csapat fél órán belül megtalálja a szakadás helyét Mennyi az A illetve a B esemény valószín¶sége? Mennyi az A esemény valószín¶sége, ha a B esemény bekövetkezik? Független egymástól az A és a B esemény? Egy metróvonalon 10 perces követési id®vel járnak a szerelvények. Ha egy véletlenszer¶ id®pontban megyünk ki az állomásra, akkor mennyi annak a valószín¶sége, hogy legfeljebb 5 percet kell várni? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a legutóbbi szerelvény már legalább 3 perce elment. Milyen kapcsolatban van az az esemény, hogy legfeljebb 5 percet kell várni, és az, hogy az el®z® metró már legalább 3 perce elment: kizáróak, függetlenek, vagy valamelyik maga után vonja a másikat? Véletlenszer¶en választunk egy x értéket a [0, 1] intervallumon. Ez az érték egy x és egy 1 − x hosszúságú szakaszra bontja az egységnyi hosszúságú intervallumot. Mennyi annak az esélye, hogy a szakaszok hosszának szorzata nagyobb, mint 5/36? Ejt®erny®s ugrást hajtanak végre egy 500 m2 terület¶ mez®n. Az ugrás akkor sikeres, ha az ugró a mez®n kijelölt 10 m oldalhosszúságú négyzetben ér földet. Különdíjat kap az, aki a négyzet közepén megrajzolt 2 m sugarú körön belül érkezik. Feltehet®, hogy az érkezés helye a mez®n megfelel az egyenletességi hipotézisnek. Mekkora valószín¶séggel fog az ugró különdíjat kapni? Mennyi az esélye annak, hogy az ugró különdíjat kap, ha az ugrás sikeres? Milyen kapcsolat van az ugrás sikeressége és a különdíj megszerzése között: függetlenek, kizárják egymást, vagy valamelyik maga után vonja a másikat? Véletlenszer¶en választunk egy pontot az 5 egység oldalhosszúságú négyzetben. Mennyi annak az esélye, hogy a pont a legközelebbi oldaltól legfeljebb 1 egységnyire esik? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a pont az északi oldalhoz van a legközelebb? Független egymástól az, hogy a pont a legközelebbi oldaltól legfeljebb 1 egységnyire esik, illetve az, hogy a pont az eszaki oldalhoz van a legközelebb. Véletlenszer¶en rálövünk egy 10 centiméter sugarú kör alakú céltáblára. Tekintsük a következ® eseményeket: A = a céltáblát a középponttól legfeljebb 7 centiméterre találjuk el B = a találat a középponttól legalább 5 centiméterre esik Mennyi az A esemény valószín¶sége? Mennyi az A esemény valószín¶sége feltéve, hogy B bekövetkezik? Független a két esemény egymástól? Kizárják egymást? Esetleg valamelyik maga után vonja a másikat? 7
4.7.
4.8.
4.9.
Autóval végig akarunk menni egy 30 km hosszú egyenes útszakaszon, de balesetet szenvedünk egy véletlenszer¶ helyen. A közelben egyetlen egy mobiltelefon átjátszó torony van, ez az út felénél az úttól 6 km távolságra található. A torony egy 10 km sugarú kör alakú területet képes kiszolgálni. Mennyi annak az esélye, hogy a baleset helye ebbe a körbe esik, és ezáltal telefonon segítséget tudunk hívni? Mennyi a valószín¶sége ugyanennek, ha a baleset az út els® 5 kilométeres szakaszán történik? Párhuzamos egyeneseket húzunk síklapra egymástól váltakozva 2 cm és 8 cm távolságra. Ha véletlenszer¶en rádobunk a lapra egy 3 cm átmér®j¶ pénzérmét, akkor mennyi annak a valószín¶sége, hogy az érme egyik egyenesbe sem metsz bele? Ha a pénzérme belemetsz valamelyik egyenesbe, akkor mennyi az esélye, hogy egyszerre kett®be is belemetsz? Legyen A és B két esemény, és legyen P (B) > 0. Mennyi az P (A|B) feltételes valószín¶ség értéke, ha a.
A és B kizáró események;
b.
B maga után vonja az A eseményt;
c.
A és B független események?
8
5. 5.1.
Feltételes valószín¶ség és események függetlensége
Egy edénygyár mai napi tányértermelését a következ® táblázat foglalja össze: hibátlan selejtes összesen
leveses lapos salátás összesen 470 540 380 1390 30 60 20 110 500 600 400 1500
Véletlenszer¶en kiválasztunk egy tányért min®ségellen®rzésre. Jelölje Ai azt az eseményt, hogy az i-edik típusú termékb®l választottunk, és legyen B az az esemény, hogy a kiválasztott tányér selejtes. Értelmezzük és határozzuk meg a következ® valószín¶ségeket: P (A2 |B); P (A1 ∪ A3 |B); P (B|A2 ); P (B|A). 5.2.
5.3.
Két szabályos dobókockával dobunk. Határozzuk meg az A esemény feltétel nélküli valószín¶ségét, illetve a B eseményre vett feltételes valószín¶ségét. Milyen kapcsolat van a két esemény között? a.
A = az egyik dobás páratlan, B = a dobott számok szorzata páratlan;
b.
A = dupla hatost dobunk, B = a dobott számok szorzata páratlan;
c.
A = az egyik dobás kisebb, mint 3, B = a dobott számok szorzata páratlan.
a.
b. 5.4.
5.5.
Háromgyerekes családok körében vizsgáljuk, hogy hány ú és lány van a családban. Jelölje A azt az eseményt, hogy a vizsgált családban legfeljebb egy lány van, és legyen B az, hogy van ú és lány is. Feltehet®, hogy a gyerekek azonos eséllyel születnek únak vagy lánynak. Mennyi az A esemény valószín¶sége? Mennyi A valószín¶sége, ha tudjuk, hogy B bekövetkezik? Ezek alapján mit mondhatunk a két esemény kapcsolatáról? Válaszoljuk az el®z® pont kérdéseire négygyerekes családok esetén.
Egy városban tíz autókölcsönz® m¶ködik, ebb®l háromnál lehet kisbuszt is bérelni. Egy ember kisbuszt szeretne bérelni, de nem tudja, hogy ezt melyik kölcsönz®nél teheti meg, ezért elkezdi véletlenszer¶ sorrendben felhívni ®ket. Mekkora annak a valószín¶sége, hogy pontosan három hívásra lesz majd szüksége? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy az els® hívás nem volt sikeres? Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár, egy ú és egy lány. Egy foglalkozáson véletlenszer¶en kiválasztanak 4 gyereket. Mennyi a valószín¶sége annak, hogy a. b. c.
a testvérpár mindkét tagját kiválasztják; a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy a ú ki lett választva; a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy legalább az egyikük ki lett választva? 9
5.6.
5.7.
Egy feladat a mobiltelefonok el®tti id®kb®l. Barátunk egy adott estén 2/3 valószín¶séggel tartózkodik kocsmában. Ha kocsmában van, akkor egyenl® eséllyel található meg az öt környékbeli kocsma valamelyikében. Tegyük fel, hogy négyet már megnéztünk, de nem taláktuk. Mennyi az esélye, hogy az ötödikben lesz? Egy útszakaszon egymás után három jelz®lámpa irányatja a forgalmat. Az egyes lámpáknál egymástól függetlenül rendre 1/2, 2/3 illetve 3/4 valószín¶séggel kapunk pirosat. Mennyi az alábbi események valószín¶sége? a. b. c. d. e.
Mindhárom lámpánál pirosat kapunk. Egyik lámpánál sem kapunk pirosat. Az els® lámpánál pirosat kapunk, de a harmadiknál nem. Pontosan két lámpánál kapunk pirosat. Legalább két lámpánál pirosat kapunk.
Feltéve, hogy pontosan két pirosat kapunk, mennyi annak az esélye, hogy a zöldet az els®, a második, illetve a harmadik lámpánál kapjuk? 5.8.
Piri néni kertjében három gyümölcsfa áll, egy körte-, egy barack- és egy cseresznyefa. A három fa egymástól függetlenül rendre 0,4, 0,6 illetve 0,2 valószín¶séggel kap el egy bizonyos betegséget. Határozzuk meg az alábbi események valószín¶ségét. a. b. c. d.
Mindhárom fa megbetegszik. Sem a körte-, sem a cseresznyefa nem kapja el a betegséget. A három fa közül pontosan egy kapja el a betegséget. A három fa közül legfeljebb egy elkapja a betegséget.
Feltéve, hogy a három fa közül pontosan egy kapja el a betegséget, mennyi annak az esélye, hogy a körte-, a barack- illetve a cseresznyefa a beteg? 5.9.
a.
b.
5.10.
Hányszor dobjak fel egy szabályos pénzérmét, ha az a célom, hogy a dobások között 90% valószín¶séggel legyen fej? Hányszor dobjak fel egy szabályos dobókockát, ha az a célom, hogy a dobások között 90% valószín¶séggel legyen hatos?
Egy csatában az egyik harcoló fél ejt®erny®kkel próbál utánpótlást eljuttatni egy körbevett alakulathoz. Az er®s szél miatt az ejt®erny®k egymástól függetlenül és véletlenszer¶ helyen érnek földet a 15 km2 terület¶ csatatéren. Az alakulat egy 1 km2 terület¶ magaslaton védekezik, és az utánpótlást csak akkor kapják meg, ha az erny® ezen a magaslaton ér földet. a.
b.
Ha két ejt®erny®nyi utánpótlást dobnak le, akkor mennyi annak az esélye, hogy ezek közül pontosan egy fog eljutni az alakulathoz? Hány ejt®erny®t dobjanak le ahhoz, hogy ezek közül az alakulat 95 százalékos eséllyel megszerezzen legalább egyet? 10
6. 6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
A láncszabály és a teljes valószín¶ség tétele
Egy vizsgán a hallgatók 10%-a bukott meg. A sikeres vizsgát tev® hallgatók negyedrésze kapott jelest. Mekkora az esélye, hogy egy véletlenszer¶en kiválasztott hallgató jelest kapott? Egy adott területen vegyszeres szúnyogírtást végeznek három egymás követ® alkalommal. Az els® permetezés után a szúnyogok 80%-a elpusztul, de az életben maradt rovaroknak n® az ellenálló képessége a szerrel szemben. Ennek az a következménye, hogy a második permetezéskor az életben maradt szúnyogoknak már csak a 40%-a pusztul el, a harmadik írtásnál pedig csak a maradék 20%-a. Mennyi a valószín¶sége annak, hogy egy szúnyog túléli mindhárom permetezést? Feltéve, hogy egy szúnyog túlélte az els® permetezést, mennyi a valószín¶sége annak, hogy a másodikat és a harmadikat is túléli? Egy vacsora után n ember ki akarja sorsolni, hogy melyikük mosogasson. Fognak hát n egyforma gyufaszálat, az egyikb®l letörnek egy darabot, majd valaki összefogja úgy a szálakat, hogy ne látszódjon, melyik a rövid. Ezek után mindeki húz egy-egy gyufaszálat, és az mosogat, aki a rövidebbet húzza. Igazságos ez a sorsolás, tehát a húzás sorrendjét®l függetlenül mindenki 1/n valószín¶séggel kapja a rövid szálat? Vagy esetleg az els® vagy az utolsó húzónak jobbak az esélyei? Adott egy urna, benne pedig 3 piros és 2 zöld golyó. Visszatevés nélkül kihúzunk három golyót. a.
b. c.
d.
Mennyi annak a valószín¶sége, hogy sorban egy pirosat, egy zöldet, és még egy pirosat kapunk? Mennyi annak az esélye, hogy a második golyó zöld? Feltéve, hogy a második golyó zöld, mi annak a valószín¶sége, hogy az els® golyó piros volt? Függ az els® golyó színe attól, hogy milyen szín¶ a második? Mennyi az esélye, hogy a kihúzott golyók között pontosan 1 zöld lesz?
Válaszoljunk a kérdésekre azzal a módosítással is, hogy a golyókat visszatevéssel húzzuk ki. 6.5.
Egy üzemben három gép van, az els® adja a termelés 20%-át, a második pedig a 30%-át. Az els® gépnél 5% a selejtarány, a másodiknál és a harmadiknál gépnél 10%. Véletlenszer¶en kiválasztunk egy gyártmányt az üzem termeléséb®l. a.
b. c.
Mennyi az esélye annak, hogy a kiválasztott termék a harmadik gépen készült és selejtes? Mennyi a valószín¶sége, hogy a kiválasztott termék selejtes? Feltéve, hogy a gyártmány nem selejtes, mennyi annak az esélye, hogy az els®, a második illetve a harmadik gépen készült? 11
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
Egy csomagolóüzembe négy termel® szállít almát. A leadott gyümölcs tizede származik az els®, három tizede a második, és két ötöde a harmadik termel®t®l. Az egyes termel®k esetén a leadott mennyiség 40, 50, 20 illetve 100 százaléka els®osztályú. Ha véletlenszer¶en kiválasztunk egy almát, akkor mi annak a valószín¶sége, hogy az alma másodosztályú? Feltéve, hogy az alma másodosztályú, mennyi a valószín¶sége, hogy az els®, a második, a harmadik, illetve a negyedik termel® szállította? Lajosnak lejárt a bérlete, mégis felszáll az els® járm¶re, ami hazaviszi. A megállóban 25% valószín¶séggel érkezik el®ször busz, 40% valószín¶séggel troli, a többi esetben pedig villamos. A buszon 45% eséllyel jön ellen®r, a trolin 10% eséllyel, a villamoson pedig 30% eséllyel. Mennyi annak az esélye, hogy hazafelé utazva találkozik ellen®rrel? Otthon szomorúan meséli el, hogy megbüntették. Mennyi a valószín¶sége, hogy busszal utazott? A h¶t®ben négy doboz tej van: egy friss; egy, ami egy hete lejárt, és biztosan romlott; továbbá van két doboz, ami egy napja járt le, és 0,3 valószín¶séggel romlottak. Véletlenszer¶en kiválasztunk egy doboz tejet. Mekkora az esélye, hogy ez a tej nem romlott? Ha megkóstoljuk a kivett tejet, és az romlottnak bizonyul, akkor mi a valószín¶sége annak, hogy az egy hete lejárt tejet vettük ki? Egy vizsgán minden tesztkérdéshez négy lehetséges válasz van megadva, melyek közül csak egy helyes. A vizsgázó 2/3 valószín¶séggel tudja a helyes választ a kérdésre, és megjelöli azt. A többi esetben a vizsgázó tippel, tehát véletlenszer¶en jelöl meg egy választ. A javítás során azt látjuk, hogy egy kérdésre a vizsgázó helyes választ adott. Mennyi a valószín¶sége, hogy a vizsgázó tippelt? Van két pénzérménk, egy szabályos, és egy olyan, ami 1/4 valószín¶séggel ad fejet. Véletlenszer¶en kiválasztok egy érmét, és feldobom. Mennyi annak az esélye, hogy fejet kapok? Feltéve, hogy fejet kaptam, mennyi a valószín¶sége, hogy a szabályos érmét választottam? Egy ritka betegséget tízezer emberb®l átlagosan egy kap el. A sz¶r®teszt csak 97%-os megbízhatóságú, azaz ekkora a valószín¶sége, hogy helyes eredményt ad, akár beteg valaki, akár egészséges. Egy ember megvizsgáltatja magát, és a teszt eserménye pozitív. Mennyi a valószín¶sége, hogy tényleg beteg? Egy üzemben három gép van, az els® adja a termelés felét, a második a 40%-át. Az els® és a második gépnél is a termékek 3%-a selejtes. A harmadik gép esetében hány százalék a selejtarány, ha tudjuk, hogy az üzemben termelt selejtes termékek közül 32,5% készült a harmadik gépnél?
12
7. 7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
Diszkrét valószín¶ségi változók
Mennyi legyen az a valós paraméter értéke, ha az a célunk, hogy az alábbi értékek valószín¶ségeloszlást alkossanak? Határozzuk meg az eloszlás várható értékét és szórását is. a.
p1 = 0,15a, p2 = 0,55a, p3 = 0,25a, p4 = 0,3a;
b.
p0 = 0,25, p2 = a, p10 = a2 .
Egy iskolában tanuló 500 gyerek közül 130-nak nincs testvére, 200-nak van 1 testvére, 150-nek van 2 testvére és 20-nak van 3 testvére. Legyen ξ egy véletlenszer¶en kiválasztott gyerek testvéreinek a száma. Adjuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mit mutat meg a várható érték és a szórás ebben a feladatban? Két szabályos dobókockát feldobva legyen ξ a dobott értékek maximuma. √ Adjuk meg a ξ változó eloszlását, várható értékét és szórását. Adjuk meg a ξ változó várható értékét is. Anna, Bori és Cili pizzát rendelnek, három különböz® fajtát. Amikor a pizza megérkezik, véletlenszer¶en osztják ki egymás között a dobozokat. Jelölje ξ azt, hogy a lányok közül hányan kaptak olyan pizzát, amilyet rendeltek. Határozzuk meg a ξ változó eloszlását, várható értékét és szórását. Feldobok egy szabályos pénzérmét. Ha az eredmény fej, akkor az érmét még egyszer, ha írás, akkor még kétszer dobom fel újra. Adjuk meg az összesen kapott fejek számának eloszlását, várható értékét és szórását. Egy gyárban három nagyteljesítmény¶ dízelmotor üzemel, melyek egy adott id®pontban egymástól függetlenül 0,5, 0,6 illetve 0,7 valószín¶séggel m¶ködnek. Jelölje ξ azt, hogy egy adott id®pontban hány dízelmotor üzemel. a. b.
7.7.
Adjuk meg a ξ változó eloszlását, várható értékét és szórását. Amennyiben egy adott id®pillanatban x dízelmotor üzelem, akkor a dolgozókat 50 + 20x dB zajterhelés éri. Határozzuk meg a zajterhelés átlagos értékét.
Anna két mozijegyet kap egy vetítésre, ezért egymás után felhívja a három barátn®jét, hogy kísér®t szerezzen maga mellé. Egészen addig hívja fel ®ket egymás után, míg valaki bele nem egyezik, hogy elkíséri, vagy míg el nem fogynak a barátn®k. A három barátn®je egymástól függetlenül 0,4 valószín¶séggel mond igent Anna meg hívására. a.
b.
Adjuk meg a lefolytatott telefonhívások számának eloszlását, várható értékét és szórását. Mennyi annak az esélye, hogy Annának legfeljebb két barátn®jét kell majd felhívnia? Annának egy-egy telefonhívás 30 forintba kerül. Határozzuk meg, hogy várhatóan mennyi pénzbe kerül kísér®t szereznie a vetítésre. 13
7.8.
7.9.
Adott egy fert®z® betegség, melyet az emberek 1% valószín¶séggel kapnak el. A betegségre kifejlesztettek egy tesztet, mely a vérben található antitestek alapján mutatja ki a betegség jelenlétét, de az eljárás drága, egy-egy tesztelés ezer dollárba kerül. Egy kórházban a következ® módon végzik el a páciensek tesztelését. Nem egyesével tesztelik ®ket, hanem összevárnak tíz pácienst, és összeöntik a mintáikat. Ha az eredmény negatív, akkor egyik mintában sincs antitest, tehát mindeki egészséges. Ha a teszt eredménye pozitív, akkor ismét elvégzik a tesztet, de ezúttal már mind a tíz emberen külön-külön, hogy kiderüljön, kik betegek közülük. Határozzuk meg, hogy ezzel a módszerrel átlagosan mennyibe kerül egy páciens letesztelése. a.
b.
7.10.
Egy kaszinóban a következ® játékot lehet játszani. A játékos feldob egy szabályos pénzérmét, és ha fejet kap, akkor nyer 1 millió dollárt, míg ha írást, akkor nem nyer semmit. a. b.
c.
d.
7.11.
Péter és Pál a következ® játékot játsza. Feldobnak két szabályos dobókockát, és ha a dobott számok összege páros, akkor Péter zet Pálnak 100 Ft-ot, míg ha a dobott számok összege páratlan, akkor Pál zet Péternek x forintot. Mennyi legyen x értéke, ha az a céljuk, hogy a játék igazságos legyen? Péter és Pál úgy módosítja a játékot, hogy nem a dobott számok összegét, hanem azok szorzatát nézik. Milyen x érték esetén lesz igazságos a játék?
Mennyi a játék igazságos ára? A kaszinó milyen árat fog kérni ezért a játékért? Tegyük fel, hogy a kaszinó 450 ezer dollárban állapítja meg a játék árát. Az olvasó hajlandó lenne ezt a játékot játszani a kaszinó ellen, ha tetsz®leges sokszor játszhatna, és átmenetileg hitelt is felvehetne? És ha csak egyetlen egy játékot lehetne játszani, akkor érdemes lenne beszállni? Az olvasó milyen áron szállna be, ha csak egy játékra lenne lehet®sége? √ Tegyük fel, hogy egy játékos a vagyoni helyzetét az u(x) = x hasznossági függvénnyel értékeli. Egyetlen egy játék esetén ezen játékos számára mi az elfogadható ár? Oldjuk meg a feladat a. és c. részét azzal a módosítással is, hogy fej esetén 10 ezer dollár a nyeremény.
Biztosítást szeretnénk kötni egy 250 ezer forint érték¶ autóra. Tegyük fel, hogy az elkövetkezend® egy évben 95% valószín¶séggel az autónk nem fog balesetet szenvedni, és 5% eséllyel totálkáros lesz. Mi az a minimális biztosítási díj, amit egy √ biztosító ki fog majd szabni ránk? Ha a vagyoni helyzetünket az u(x) = x hasznossági függvényen keresztül értékeljük, akkor racionálisan gondolkodó fogyasztóként mi az a maximális összeg, amit még hajlandóak vagyunk ki zetni ezért a biztosításért?
14
8. 8.1.
A nevezetesebb diszkrét eloszlások a.
b.
8.2.
a.
b.
8.3.
8.4.
8.5.
Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Jelölje ξ azt, hogy hányszor kaptunk páratlan számot. Határozzuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a 10 dobásból pontosan annyi páratlan értéket kapunk, mint párosat? Ötször feldobunk két dobókockát. Jelölje η azt, hogy hányszor dobtunk két páratlan számot. Határozzuk meg η eloszlását és várható értékét. Egy ingatlanügynökségnél az eladott lakások 30%-át szokták a vev®k hitel felvétele mellett zetni. A következ® hétre 6 lakás van eladásra el®jegyezve. A ξ valószín¶ségi változó jelölje a hitelkonstrukcióban értékesített lakások számát. Adjuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mi annak a valószín¶sége, hogy egynél több, de ötnél kevesebb lakáseladáshoz vesznek majd fel hitelt? Egy másik ingatlanügynökségnél a lakások 40%-át szokták eladni hitelfelvétel mellett, és náluk 8 eladás van el®jegyezve a jöv® hétre. Mennyi annak az esélye, hogy az els® ügynökségnél pontosan 2, a másodiknál pedig pontosan 4 lakást adnak el hitelkonstrukcióban? (A két cégnél a lakáseladások száma független.)
Addig dobok fel két szabályos dobókockát újra és újra, míg duplát, tehát két azonos értéket nem kapok. Mennyi annak az esélye, hogy az els® duplát az ötödik dobásra kapom majd? Mi a valószín¶sége annak, hogy ötnél több dobás kell majd? Várhatóan hanyadik dobásra kapom majd az els® duplát? Egy kis ú kosarazni tanul, ezért elhatározza, hogy csak akkor megy el ebédelni, ha sikerül dobnia egy kosarat. A dobások egymástól függetlenek, és 15% annak a valószín¶sége, hogy egy dobással betalál. Jelölje ξ az ebédig történt dobások számát. Adjuk meg ξ eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az els® kosárhoz legfeljebb hármat kell dobnia? Lajos kulcscsomóján három kulcs van, ezek közül az egyik a lakásának a bejárati ajtaját nyitja. Egy este elmegy a barátaival italozni, és hazaérve azt tapasztalja, hogy nem tudja megkülönböztetni a kulcsait. Elhatározza, hogy addig választ véletlenszer¶en újabb és újabb kulcsot, míg végül sikerül kinyitnia a lakás ajtaját. a.
b.
c.
Adjuk meg a szükséges próbálkozások számának az eloszlását, ha Lajos nem jegyzi meg, hogy melyik kulccsal próbálkozott már korábban, hanem minden egyes alkalommal a három közül választ egyet véletlenszer¶en? Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb három próbálkozásra lesz majd szükség? Mennyi a próbálkozások számának a várható értéke és szórása? Miben változik az a. pont megoldása, ha Lajos minden egyes próbálkozás során 1/2 valószín¶séggel fejjel lefelé próbálja meg beleer®ltetni a kulcsot a zárba? (Fejjel lefelé a jó kulccsal sem tudja kinyitni az ajtót.) Miben változik az a. pont megoldása, ha Lajos megjegyzi, hogy melyik kulccsal próbálkozott már korábban? 15
8.6.
8.7.
Egy gyárban egy nap alatt 50 terméket készítenek, ebb®l 15 selejtes. Min®ségellen®rzéskor véletlenszer¶en kivesznek egyszerre 5 terméket, és megvizsgálják ®ket. Jelölje ξ a mintában talált selejtes termékek számát. Határozzuk meg a ξ valószín¶ségi változó eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb egy selejtes termék lesz a mintában? Egy szelvénnyel játszunk a Skandináv lottón, ahol 35 számból 7-et kell megjelölni. A szabályok szerint a számok két sorsoláson is részt vesznek, egy gépin és egy kézin, ez az úgynevezett ikersorsolás. Mindkét számsorsolás alkalmával 7 számot húznak ki, és akkor nyerünk pénzt, ha valamelyik sorsoláson elérünk legalább 4 találatot. a.
b.
8.8.
Adott egy urna, benne pedig 4 piros és 6 zöld golyó. a.
b. c.
8.9.
8.10.
Mennyi annak az esélye, hogy a gépi sorsoláson pontosan 4 találatot érünk el? Mekkora valószín¶séggel érünk el legalább 4 találatot? Mennyi a gépi sorsoláson a találatok számának a várható értéke? Mennyi annak az esélye, hogy a két sorsolás közül az egyiken nincs találatunk, a másikon pedig pontosan 1 találatot érünk el? Mekkora annak a valószín¶sége, hogy valamelyik soroláson lesz legalább 4 találatunk, tehát nyerünk pénzt? Visszatevéssel kihúzunk 3 golyót. Határozzuk meg a kihúzott piros golyók számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy pontosan két piros golyót húzunk majd ki ? Oldjuk meg az a. feladatot visszatevés nélküli mintavételezéssel is. Addig húzunk visszatevéssel, míg piros golyót nem kapunk. Adjuk meg a szükséges húzások számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az els® piros pontosan a második húzásra jön majd?
Egy adatszerverre óránként véletlen számú, átlagosan 5 lekérdezés érkezik. Feltehet®, hogy az egy órára es® lekérdezések száma Poisson-eloszlást követ. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy egy adott óraban pontosan három lekérdezés történik? Mennyi az egy órára jutó lekérdezések számának a szórása? Orvosi kutatások szerint az egységnyi nagyságú rádioaktív besugárzás véletlen számú mutációt okoz egy kromoszomán. A mutációk száma Poisson-eloszlást követ, és a besugárzások 13,5 százalékában nem történik egy mutáció sem. Az egységnyi nagyságó besugárzás átlagosan hány mutációt okoz? Mennyi annak az esélye, hogy a besugárzás hatására a várható értéknél több mutáció történik?
16
9. 9.1.
Folytonos valószín¶ségi változók
Milyen a valós szám esetén lesz az alábbi f függvény egy ξ folytonos valószín¶ségi változó s¶r¶ségfüggvénye? Mi a ξ változó értékkészlete? Mennyi a P (2 < ξ < 6) és a P (ξ ≥ 5) valószín¶ség? Határozzuk meg a ξ változó várható értékét illetve szórását. a.
b.
c.
9.2.
( 1/x2 + a, 1 ≤ x ≤ 5, f (x) = 0, különben. ( ax2 , 0 ≤ x ≤ 4, f (x) = 0, különben. ( a/x3 , x ≥ 3, f (x) = 0, x < 3.
Egy ξ folytonos valószín¶ségi változó egyenletes eloszlású az [a, b] intervallumon, ha a s¶r¶ségfüggvénye ( f (x) =
1/(b − a), a ≤ x ≤ b, 0, különben.
Ellen®rizzük le, hogy az f valóban s¶r¶ségfüggvény, majd határozzuk meg az egyenletes eloszlás értékkészletét, várható értékét és szórását. 9.3.
A TESCO-ban a narancsot a min®ségt®l függ®en változó áron árulják. Feltehet®, hogy az ár egyenletes eloszlást követ 200 és 400 forint között. a.
b.
c.
9.4.
Jelölje ξ a narancs árát egy véletlenszer¶en választott napon. Írjuk fel és ábrázoljuk a ξ s¶r¶ségfüggvényét. Átlagosan mennyibe kerül a narancs a TESCOban? Mennyi az ár szórása? Mennyi annak az esélye, hogy a kilónkénti ár 350 forint alatt marad? Jelölje η azt, hogy 1000 forintból hány kiló narancsot tudok vásárolni. Fejezzük ki az η valószín¶ségi változót a ξ segítségével. Mennyi annak az esélye, hogy a pénzem elég 4 kiló narancsra? Határozzuk meg az η várható értékét, és fogalmazzuk meg a jelentését. Teljesül az az egyenl®ség, hogy E(η) = 1000/E(ξ)? Oldjuk meg az el®z® feladatrészt azzal a módosítással, hogy a narancs kilós kiszerelés¶, tehát csak egész kilogrammokat tudok vásárolni. (Ebben az esetben természetesen maradhat pénz a zsebemben.)
Amikor telefonálok, a beszélgetéseim percekben kifejezett hosszúsága egy ξ valószín¶ségi változó, melynek s¶r¶ségfüggvénye ( 0,5 − 0,08x, 0 ≤ x ≤ 2,5, f (x) = 0, különben.
17
a.
b.
c.
9.5.
Ábrázoljuk az f s¶r¶ségfüggvényt, és határozzuk meg a ξ változó értékkészletét. Átlagosan milyen hosszúak a telefonbeszélgetéseim? A szolgáltatóval olyan szerz®dést kötöttem, hogy a telefonhívásokért percenként 40 forintot kell zetnem. Fejezzük ki a hívás ártá a hívás hosszának segítségével. A beszélgetéseim mekkora hányada drágább 50 forintnál? Átlagosan mennyibe kerül egy-egy telefonhívás? Régebben olyan szerz®désem volt, hogy 10 forint volt a kapcsolási díj, és nem másodperc alapon számláztak, hanem minden megkezdett percért 25 forintot kellett zetnem. A hívások mekkora hányadáért zettem többet 50 forintnál? Átlagosan mennyibe került egy-egy hívásom.
Felajánlanak nekem egy befektetési lehet®séget, ami 900 ezer forint kezd®t®két igényel. Sajnos a befektetés kockázatos, az eredmény nagysága nem garantált. Jelölje ξ a befektetés eredményét millió forintban kifejezve. Az el®zetes kalkulációk alapján a ξ változó s¶r¶ségfüggvénye: ( 1,5(x − 1)2 , 0 ≤ x ≤ 2 , fξ (x) = 0, különben. a.
b.
9.6.
Ábrázoljuk a s¶r¶ségfüggvényt, és határozzuk meg a ξ értékkészletét. Mennyi a befektetés eredményének a várható értéke? Ezek alapján érdemes kockáztatnom a 900 ezer forintos kezd®t®két? Tetsz®leges √ x valós szám esetén az x millió forint nagyságú jövedelemnek u(x) = x hasznosságot tulajdonítok. Mennyi a befektetés révén elért hasznosság várható értéke? Mennyi a kezd®t®ke hasznossága? Ezek alapján érdemes beszállnom az üzletbe?
Magyarországon az éves búzatermés közelít®leg egyenletes eloszlást követ 3,5 millió és 5,5 millió tonna között. A nagyobb termésmennyiség alacsonyabb piaci árat jelent. Amennyiben a teljes búzatermés x millió tonna, akkor a modellünkben a búza tonnánkénti felvásárlási ára legyen mondjuk 100 − 10x ezer forint. a.
b.
c.
Jelölje ξ az éves búzatermést millió tonnában kifejezve. Adjuk meg a ξ s¶r¶ségfüggvényét. Mennyi annak az esélye, hogy egy évben 5 millió tonnánál több búza terem? Mennyi az éves búzatermés várható értéke és szórása? Jelölje η a búza tonnánként felvásárlási árát ezer forintban kifejezve. Egy megfelel®en választott h függvény segítségével írjuk fel az η változót a h(ξ) alakban. Mennyi annak az esélye, hogy a tonnánkénti felvásárlási ár 50 ezer forint alatt lesz? Mennyi a felvásárlási ár várható értéke? Jelölje ζ a teljes búzatermés milliárd forintban kifejezett értékét. Egy megfelel®en választott h függvény segítségével írjuk fel az a ζ változót h(ξ) alakban. Várható értékben mennyi a teljes hazai búzatermés forintban kifejezett értéke? Ez az érték egyenl® az a. és a b. részben kapott várható értékek szorzatával? 18
10. 10.1.
A várható érték és a szórás tulajdonságai a.
b.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
Magyarországon a feln®tt emberek testtömegének az átlaga 80 kg, a szórása 15 kg. Egy liftbe beszáll 8 ember, akikr®l feltehet®, hogy egymástól független a testtömegük. Határozzuk meg a 8 ember együttes testtömegének várható értékét és szórását. Ennyi információ birtokában meg tudjuk azt mondani, hogy a 8 ember össztömege mekkora valószín¶séggel éri el a 800 kg-ot, a lift maximális teherbírása? Szegeden az éves csapadékmennyiség átlagos értéke 550 mm, szórása 100 mm. Feltehet®, hogy a csapadék mennyisége az egyes években független egymástól. Várhatóan mennyi csapadék fog hullani Szegeden a következ® három évben összesen? Mennyi a hároméves csapadékmennyiség szórása? Ennyi információ alapján meg tudjuk azt mondani, hogy a három év alatt milyen valószín¶séggel fog összesen 1800 mm-nél több csapadék hullani? Egy Coca-Cola autómatában 50 doboz jéghideg üdít® található. Egy forró nyári napon az emberek átlagosan 5 percenként vásárolnak egy doboz üdít®t, a vásárlások között eltelt id® szórása 3 perc. Várhatóan mennyi id® alatt fogy el az üdít® az autómatából? Mennyi ennek az id®nek a szórása? Meg tudjuk azt mondani, hogy ez az id® mekkora eséllyel esik 200 és 300 perc közé? Egy biztosítótársaságnál egy adott típusú biztosítás esetében a kárérték egyenletes eloszlást követ 200 és 400 ezer forint között. Egy adott hónapban 100 egymástól független kárbejelentés érkezik. Mennyi az össz kárérték várható értéke és szórása? Ennyi információ alapján meg tudjuk azt mondani, hogy az össz kárérték mekkora valószín¶séggel esik 29 és 31 millió forint közé? Egy játékautomatából egy mozgatható karral lehet plüsállatokat kiemelni, de ez egy kis szerencsét igényel. Az automatában 50 plüsállat van, egy játék 100 forintba kerül, és a próbálkozások egymástól függetlenül 20% valószín¶séggel lesznek sikeresek. a.
b.
10.7.
Feldobok egy szabályos dobókockát. Határozzuk meg a dobott szám várható értékét és szórását. Feldobok 500 szabályos dobókockát. Mennyi a dobott számok összegének a várható értéke és a szórása? Ennek ismeretében meg tudjuk azt mondani, hogy az összeg mekkora valószín¶séggel fog mondjuk 1700 és 1800 közé esik?
Várhatóan hány játék alatt fogynak el a plüsállatok az automatából? Mennyi a játékok számának a szórása? Várhatóan mennyi pénz lesz az automatában, mire elfogynak a plüsállatok? Mennyi az automatában összegy¶lt pénz szórása?
Egy vállalat egy hónapra es® pro tja a havi teljes bevétel és a havi teljes kiadás különbségeként áll el®, ahol a bevétel és a kiadás is valószín¶ségi változó. A bevétel várható értéke 120 millió forint 30 millió forint szórással, míg a kiadás várható értéke 80 millió forint 20 millió forint szórással. 19
a.
b.
10.8.
Egy család 4 kg narancsot és 2 kg banánt vásárol. A két gyümölcs ára tekinthet® valószín¶ségi változónak. A narancs árának a várható értéke 250 Ft, szórása 25 Ft, míg a banán árának a várható értéke 300 Ft, szórása 30 Ft. a.
b.
c.
10.9.
Várhatóan hány forintot fog majd a család gyümölcsre költeni? Befolyásolja ezt az, hogy milyen függ®ségi kapcsolat van a narancs és a banán ára között? Mennyi az elköltött összeg szórása, ha a két gyünölcs ára független egymástól? Mennyi ez a szórás, ha az árak közötti korreláció +0,5, illetve ha −0,5? A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk az elköltött összeg várható értékét és varianciáját.
Egy tervezett építkezésnél 100 tonna acélra és 10 tonna rézre lesz majd szükség. Az acél és a réz jöv®beli ára valószín¶ségi változó, melyeknek a várható értéke 700 illetve 1500 dollár/tonna, szórása pedig 20 illetve 80 dollát/tonna. a.
b.
c.
10.10.
Határozzuk meg az egy hónapra jutó pro t várható értékét és szórását akkor, ha a bevétel és a kiadás független, illetve akkor, ha a közöttük lév® korrelációs együttható 0,8. A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk gra konon a pro t várható értékét és varianciáját.
Várhatóan mekkora költséget jelent az építkezéshez szükséges anyagok megvásárlása? Befolyásolja ezt a várható értéket az acél és a réz ára közötti függ®ség? Határozzuk meg a költség szórását, ha az acél és a réz ára független egymástól. Mekkora ez a szórás abban az esetben, ha az acél és a réz ára közötti korreláció +0,6, illetve akkor, ha −0,6? A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk a teljes költség várható értékét és varianciáját.
Adott egy kötvény és egy részvény, mindkett®nek 2000 forint a jelenlegi ára. A kötvény 8%-os éves hozamot zet. A részvény egy év múlva 1900, 2300 vagy 2700 forintot érhet rendre 0,3, 0,5 és 0,2 valószín¶ségekkel. 3 millió forint áll a rendelkezésünkre, ebb®l állítunk össze egy portfóliót. a.
b.
c.
Ha a darab részvényt vásárolunk, akkor ez az értékpapírcsomag várhatóan mennyit fog majd érni egy év múlva? Mennyi a portfólió értékének a szórása? Ábrázoljuk a várható értéket és a szórást az a mennyiség függvényében. Hogyan állítsuk össze a portfoliónkat, ha az a célunk, hogy várható értékben 400 ezer forint hozamot realizáljunk? Hány darab részvényt vásároljunk, ha azt szeretnénk, hogy a portfólió jöv®beli értékének a szórása legfeljebb 200 ezer forint legyen? Mennyi ebben az esetben a hozam várható értéke? 20
11. 11.1.
A normális eloszlás és a centrális határeloszlás-tétel
Az alábbi ábrán ϕ a standard normális eloszlás s¶r¶ségfüggvénye. Határozzuk meg, hogy az f1 , f2 , f3 s¶r¶ségfüggvények közül melyik tartozik az alábbi µ várható értékkel és σ szórással de niált normális eloszlásokhoz. a.
f2
µ = 2, σ = 1 0,5
b.
µ = 2, σ = 0,5
c.
µ = 0, σ = 2
11.3.
11.4.
11.5.
f3
f1 −4
11.2.
ϕ
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x
A ropigyárban a készül® ropik hossza normális eloszlást követ 12 cm várható értékkel és 3 mm szórással. Mennyi az esélye, hogy egy véletlenszer¶en kiválasztott ropi hossza legfeljebb 2 milliméterrel tér el az átlagos értékt®l? Mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a ropik 99,75 százalékának a hossza ebbe az intervallumba esik. Az IQ teszteket úgy állítják össze, hogy az eredmény a feln®tt populáción belül normális eloszlást kövessen 100 pont várható értékkel és 15 pont szórással. A feln®tt népesség mekkora hányadának esik az IQ pontszáma 90 és 120 közé? A Mensa egy nemzetközi egyesület, ahol a belépés feltétele a legalább 131 pontos IQ. A népesség hány százeléka felel meg ennek a követelménynek? Mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy közelít®leg az emberek 95 százalékának ebbe az intervallumba esik az IQ pontszáma. Angol tudósok azt vizsgálták, hogy a szavannán él® majmok reggelente milyen eloszlás szerint ébrednek fel, és másznak le a fáról. A meg gyelések alapján azt találták, hogy az ébredési id® egy olyan valószín¶ségi változó, mely normális eloszlást követ 7 óra várható értékkel és 30 perc szórással. A majmok mekkora hányada kel fel 8 óra után? Adjunk meg egy olyan id®intervallumot, melyre teljesül, hogy a majmok 68 százaléka ebben az id®intervallumban mászik le a fáról. (Valós kutatás alapján.) Legyen ξ egy véletlenszer¶en kiválasztott feln®tt ember szisztolés vérnyomása, és legyen η = lg ξ . A statisztikai adatok alapján a teljes populáción belül az η változó nomális eloszlást követ µ = 2 várható értékkel és σ = 0,1 szórással. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy ξ értéke 90 Hgmm és 120 Hgmm közé esik? Mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a lakosság 95 százalékának a vérnyomása ebbe az intervallumba esik. Tipp: vegyük észre, hogy tetsz®leges a és b értékek esetén P (a ≤ ξ ≤ b) = P (lg a ≤ η ≤ lg b).
11.6.
A valószín¶ségszámítás kurzust ebben a félévben körülbelül 400 hallgató vette fel, és a korábbi tapasztalatok alapján az egyes hallgatók 65% eséllyel teljesítik a kurzust. Várhatóan hányan fognak majd megbukni? Mennyi a valószín¶sége, hogy ebben a 21
félévben legfeljebb 120 hallgató fog majd megbukni? Mennyi annak az esélye, hogy legalább 130, de legfeljebb 160 bukás lesz? Adjunk meg egy olyan intervallumot, mely közelít®leg 95% valószín¶séggel tartalmazza a bukott hallgatók számát. 11.7.
11.8.
Magyarországon az emberek 85 százaléka gyermekkorában átesik a bárányhiml®n. Megkérdezünk 1000 feln®ttet, hogy átesett-e gyermekkorában ezen a betegségen. Várhatóan hányan fognak majd igent mondani? Mennyi annak az esélye, hogy a megkérdezettek közül legalább 840, de legfeljebb 860 ember esett át a bárányhiml®n. Mekkora a valószín¶sége annak, hogy a válaszadók legfeljebb 82 százaléka esett át a betegségen? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy az igennel válaszolók száma 99,75 százalék eséllyel ebbe az intervallumba esik. Feldobok 500 szabályos dobókockát. a.
b.
11.9.
11.10.
11.11.
11.12.
Mennyi a kapott hatosok számának a várható értéke és szórása? Mennyi annak a valószín¶sége, hogy 100-nál több hatos kapok? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a hatosok száma 95% százalék valószín¶séggel ebbe az intervallumba esik. Mennyi a dobott értékek összegének a várható értéke és szórása? Mennyi annak az esélye, hogy a dobott számok összege 1650 és 1850 közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a dobott számok összege 99,75% valószín¶séggel ebbe az intervallumba esik.
A 10.4. feladatban mennyi annak az esélye, hogy 3 és fél órán belül kiürül az autómata? Mennyi annak a valószín¶sége, hogy 4 óra elteltével még mindig van üdit® az autómatában? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy közelít®leg 68% valószín¶séggel tartalmazza azt, hogy mennyi id® alatt ürül ki az autómata. A 10.5. feladatban mennyi annak az esélye, hogy a teljes kárérték 29 millió és 31 millió forint közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely közelít®leg 95% valószín¶séggel tartalmazza a teljes kárértéket. A repül®gépeknél az üzemanyag-fogyasztás szempontjából fontos tényez® az utasok és a pottyász tömege. A statisztikai adatok szerint egy-egy utasnak és a személyes pottyászának az együttes tömege egy olyan valószín¶ségi változó, melynek a várható értéke 100 kg, szórása pedig 25 kg. (A különböz® utasok tömege független egymástól.) Tegyük fel, hogy egy repül®gépre 120 utas száll fel. Mennyi annak az esélye, hogy az utasok és a pottyász teljes tömege 13 tonna alatt marad? Mi annak a valószín¶sége, hogy a teljes tömeg 11.500 kg és 12.500 kg közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, mely 99,75% valószín¶séggel tartalmazza az utasok és a pottyász teljes tömegét. Alkalmazhatjuk a centrális határeloszlás-tételt a 10.2. feladatban az utolsó kérdés megválaszolására?
22
Megoldások 1.1. a.
1/6;
1.2. a.
2/12;
1.3.
b.
5/6;
b.
c.
8/12;
1/6; c.
d.
11/36;
e.
10/36;
6/12;
(23 · 26 · 26) · 103 = 15.548.000; (19 · 21 · 21) · 53 /15.548.000 ≈ 0,067; 5.376.750/15.548.000 ≈ 0,346, ugyanis a kedvez® esetek száma: (23 · 26 · 26 − 19 · 21 · 21)(103 − 53 ) = 5.376.750;
1.4. a.
4/4!;
b.
6/4!;
c.
12/4!;
1.5.
(26 · 2) · 25!/27!; (16 · 2) · 25!/27!;
1.6.
2! · 4! · 2!/12!; 6 · (1 · 4 · 2 · 2 · 3 · 1 · 1) · 5!/12!;
1.7.
3! · 4! · 2!/9!;
1.8.
1/66 ; 7/66 ; (66 − 6!)/66 ;
1.9.
365/36530 ; (36530 − 365 · 364 · . . . · 336)/36530 ≈ 0,706 = 70,6%;
1.10.
5!/(9 · 104 ); (9 · 104 − 9 · 9 · 8 · 7 · 6)/(9 · 104 );
1.11. a.
5 · 5 · 3/83 ; 5n−1 · 3/8n ;
b.
(83 − 53 )/83 ; (8n − 5n )/8n ;
c.
7;
304 · 6/365 ; 30n−1 · 6/36n ; b. (365 − 305 )/365 ; (36n − 30n )/36n ; c. 13; visszatevés nélkül: a. 42 284 / 326 ; b. 83 243 / 326 ; c. 83 82 81 / 326 ; 32 32 32 d. − 28 / 6 ; e. 32 − 21 / 6 ; 6 6 6 6 visszatevéssel: a. 62 42 284 /326 ; b. 63 83 243 /326 ; c. 63 32 83 82 8/326 ;
1.12. a. 2.1.
(326 − 286 )/326 ; e. (326 − 216 )/326 ; 11 5 6 / 7 ; b. 54 42 21 / 11 ; c. 117 − 97 / 117 ; d. 1; e. 54 43 + 53 44 / a. 4 3 7 5 3 2 5 3 2 2 3 2 5 5 a. 2 2 /4 ; b. 2 2 /4 ; c. 2 1 1/45 ; d. 35 /45 ; e. (45 − 15 )/45 ; 3 2 2 90 77 90 45 90 90 45 ; / 5 ; d. 11 / 5 ; e. 86/ 90 / 5 ; c. 88 a. / 5 ; b. 45 2 5 3 3 1 5 2 visszatevés nélkül: a. 42 / 4+n ; n ≥ 8; b. 4+n − n2 / 4+n ; n ≥ 75; 2 2 2 visszatevéssel: a. 42 /(4 + n)2 ; n ≥ 9; b. (4 + n)2 − n2 /(4 + n)2 ; n ≥ 74; 100 100 100 100−n n ; 90 ; b. − / 2 ; 55; a. / 2 2 2 2 9 5 2 = 1260; 72 53 22 + 74 31 22 + 74 33 /1260; 4 3 2
d. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
2.6. 2.7.
23
11 7
;
2.8. a. e. 3.1. a.
4 4 13 3 52 4 / ; b. 11 2 2 4/ 2 5 2 52 13 · 12 44 4/ 52 = 13 · 48/ ; 5 5
13
12 3
4
52 5
; c. 13
12 2
4 2 4/ 3
52 5
; d. 13 · 12
4 3
4 / 2
52 5
;
B1 = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ; B1 = valamelyik héten nem nyerünk = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ;
b.
B2 = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ; B2 = valamelyik héten nyerünk = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ;
c.
B3 = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ;
d.
B4 = A1 \ A4 = A1 ∩ A4 ; B4 = a második héten nem nyerünk vagy a negyediken igen = A1 ∪ A4 ;
e. 3.2. a. f.
B5 = (A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4 ∩A5 )∪(A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4 ∩A5 )∪· · ·∪(A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4 ∩A5 ); A1 ∩B3 ; b. A0 ∩B0 ∩C0 ; c. A0 ; d. A0 ∩B0 ∩C0 ; e. (A2 ∪A3 ∪. . . )∪(A0 ∩B0 ∩C0 ); (B2 ∩ C0 ) ∪ (B1 ∩ C1 ) ∪ (B0 ∩ C2 );
3.3. a.
0,15;
3.4. a.
0,5;
3.5. a.
0,39;
3.6. 3.7.
0,15;
b.
c.
c.
0,165;
0,45;
0,4; c.
d.
d.
0,45;
0,4;
0,215;
d.
0,525;
A kett® közül egyik esemény valószín¶sége sem határozható meg egyértelm¶en, az események valószín¶sége az alábbi korlátok között bármilyen értéket felvehet: 0,5 ≤ P (A ∩ B) ≤ 0,7; 0,8 ≤ P (A ∪ B) ≤ 1;
b.
4.2.
b.
0,55;
0,48; 0,17; 0,49;
3.8. a.
4.1.
b.
P (mind el®fordul) = 1 − P (valamelyik nem fordul el®) 10 10 10 10 10 = 1 − 6 65 − 62 64 + 63 36 − 64 26 + 65 16 − 0 ≈ 27,2%; P (mind el®fordul) = 1 − P (valamelyik nem fordul el®) 35 10 6 34 10 6 33 10 6 32 10 6 31 10 = 1− 6 36 − 2 36 + 3 36 − 4 36 + 5 36 −
30 10 36
≈ 0,00005;
P (A) = 0,4; P (B) = 0,25; P (A|B) = 0,4; függetlenek egymástól;
0,5; 5/7; az, hogy legfeljebb 5 percet kell várni, maga után vonja azt, hogy az el®z® szerelvény már legalább 3 perce element;
4.3.
P (x(1 − x) > 5/36) = P (1/6 < x < 5/6) = 2/3;
4.4.
π/125 ≈ 0,025; π/25 ≈ 0,126; a különdíj maga után vonja azt, hogy az ugrás sikeres;
4.5.
16/25; 16/25; függetlenek egymástól;
24
4.6.
0,49; 24/75; nem függetlenek, nem zárják ki egymást, és egyik sem vonja maga után a másikat;
4.7.
16/30; 0;
4.8.
1/2; 1/5;
4.9. a. 5.1.
0;
b.
1;
c.
P (A);
a lapos tányérok aránya a selejtesek között: P (A2 |B) = 60/110; a leveses és a salátás tányérok együttes aránya a hibátlanok között: P (A1 ∪ A3 |B) = (470 + 380)/1390; a selejtesek aránya a lapos tányérok között: P (B|A2 ) = 60/600; a selejtesek aránya a nem lapos tányérok között: P (B|A2 ) = (30 + 20)/(500 + 400).
5.2. a.
P (A) = 27/36; P (A|B) = 1; B maga után vonja A-t;
b.
P (A) = 1/36; P (A|B) = 0; A és B kizárja egymást;
c.
P (A) = 20/36; P (A|B) = 5/9; A és B független egymástól.
5.3. a. b.
P (A) = 1/2 = P (A|B); A és B független egymástól; P (A) = 1/4; P (A|B) = 2/7; A és B nem független.
5.5.
(7 · 6 · 3)/(10 · 9 · 8); (6 · 3)/(9 · 8); 9 7 a. / 4 ; b. 72 / 83 ; c. 72 / 94 − 2
5.6.
2/7;
5.4.
5.7. a.
1/4;
b.
1/24;
c.
1/8;
d.
11/24;
e.
7 4
;
17/24;
utolsó kérdés: 6/11; 3/11; 2/11; 0,048; b. 0,48; c. 0,464; d. 0,656; utolsó kérdés: ≈ 0,276; ≈ 0,621; ≈ 0,103;
5.8. a.
5.9. a. 5.10. a.
4;
b.
13;
28/225;
b.
44;
6.1.
0,225;
6.2.
0,096; 0,48;
6.3.
igazságos, a húzás sorrendjének nincs jelent®sége;
6.4.
visszatevés nélkül: a. 3/5 · 2/4 · 2/3; b. 2/5; c. 3/4; igen, függ; d. 2/5; visszatevéssel: a. 3/5 · 2/5 · 3/5; b. 2/5; c. 3/5; nem függ; d. 54/125; 25
6.5. a.
0,05;
b.
0,09;
c.
≈ 0,209; ≈ 0,297; ≈ 0,495;
6.6.
0,53; 0,06/0,53; 0,15/0,53; 0,32/0,53; 0;
6.7.
0,2575; ≈ 0,437;
6.8.
0,6; 0,625;
6.9.
1/9;
6.10.
3/8; 2/3;
6.11.
≈ 3,1%;
6.12.
≈ 12%;
7.1. a. b. 7.2.
a = 0,8; E(ξ) = 2,56, D(ξ) ≈ 0,98; a = 0,5; E(ξ) = 3,5, D(ξ) ≈ 3,84.
P (ξ = 0) = 0,26, P (ξ = 1) = 0,4, P (ξ = 2) = 0,3, P (ξ = 3) = 0,04, E(ξ) = 1,12, D(ξ) = 0,84; az iskola tanulóinak átlagosan 1,12 testvérük van, továbbá átlagosan
0,84-gyel van több vagy kevesebb testvérük, mint az 1,12-es átlag. 7.3.
P (ξ = 1) = 1/36, P (ξ = 2) = 3/36, P (ξ = 3) = 5/36, P (ξ = 4) = √ 7/36, P (ξ = 5) = 9/36, P (ξ = 6) = 11/36, E(ξ) ≈ 4,47, D(ξ) ≈ 1,4, E( ξ) ≈ 2,08.
7.4.
P (ξ = 0) = 2/6, P (ξ = 1) = 3/6, P (ξ = 3) = 1/6, E(ξ) = 1, D(ξ) = 1.
7.5.
P (ξ = 0) = 1/8, P (ξ = 1) = 4/8, P (ξ = 2) = 3/8, E(ξ) = 1,25, D(ξ) ≈ 0,66. P (ξ = 0) = 0,06, √ P (ξ = 1) = 0,29, P (ξ = 2) = 0,44, P (ξ = 3) = 0,21, E(ξ) = 1,8, D(ξ) = 0,7 ≈ 0,84; b. E(50 + 20ξ) = 86.
7.6. a.
P (ξ = 1) = 0,4, P (ξ = 2) = 0,24, P (ξ = 3) = 0,36, E(ξ) = 1, 96, D(ξ) ≈ 0,87, P (ξ ≤ 2) = 0,66; b. E(30ξ) = 58,8 Ft.
7.7. a.
7.8.
Jelölje ξ azt, hogy egy 10 f®s betegcsoportot hány vizsgálattal lehet letesztelni. P (ξ = 1) = P (mindenki egészséges) = 0,9910 ≈ 0,9, P (ξ = 11) = P (van közöttük beteg) = 1 − P (mindenki egészséges) ≈ 0,1, E(ξ) ≈ 2, tehát a 10 f®s betegcsoportok átlagosan 2 vizsgálattal tesztelhet®ek le, ami átlagosan 2000 dollár költség. Ez 1 f®re vetítve átlagosan 200 dollárt jelent.
7.9. a.
100 Ft;
b.
300 Ft.
26
Az igazságos ár 500 ezer dollár; a kaszínó a m¶ködési költségek és a pro tcélok miatt ennél magasabb árat fog majd kérni. b. Ha több játékot is lehet játszani, akkor 450 ezer dolláros áron a játékosnak megéri játszani. Ha csak egy játékot lehet játszani, akkor ez már a játékos egyéni kockázatvállalási preferenciáin múlik. c. 250 ezer dollár. d. Sok játék esetén az igazságos ár 5000 dollár. Viszont egy vagy kevés játék esetén a játékos számára 2500 dollár az elfogadható ár.
7.10. a.
7.11.
12.500 Ft; ≈19.352 Ft. A ξ binomiális n = 10 és p = 0,5 paraméterrel: Rξ = {0, 1, . . . , 10}, eloszlású 10 k 10−k P (ξ = k) = k 0,5 0,5 , E(ξ) = 5, D(ξ) ≈ 1,58, P (ξ = 5) ≈ 0,246. b. Az η binomiális eloszlású n = 5 és p = 0,25 paraméterrel: Rη = {0, 1, . . . , 5}, P (η = k) = k5 0,25k 0,7510−k , E(ξ) = 1,25.
8.1. a.
A ξ binomiális eloszlású n = 6 és p = 0,3 paraméterrel: Rξ = {0, 1, . . . , 6}, P (ξ = k) = k6 0,3k 0,76−k , E(ξ) = 1,8, D(ξ) ≈ 1,12, P (1 < ξ < 5) ≈ 0,57. 2 4 8 4 4 6 b. 0,3 0,7 4 0,4 0,6 ≈ 0,075. 2
8.2. a.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
Jelölje ξ azt, hogy hanyadik dobásra kapom az els® duplát. A ξ változó geometriai eloszlású p = 1/6 paraméterrel: Rξ = {1, 2, . . . }, P (ξ = k) = (5/6)k−1 (1/6), P (ξ = 5) ≈ 0,08, P (ξ > 5) = (5/6)5 ≈ 0,4, E(ξ) = 6. A ξ változó geometriai eloszlású p = 0,15 paraméterrel: Rξ = {1, 2, . . . }, P (ξ = k) = 0,85k−1 0,15, E(ξ) = 1/0,15 ≈ 6,67, P (ξ ≤ 3) = 1 − 0,853 ≈ 0,39. Jelölje ξ azt, hogy hanyadik próbálkozásra sikerül kinyitni az ajtót. a. A változó geometriai eloszlású p = 1/3 paraméterrel: Rξ = {1, 2, . . . }, P (ξ = k) = (2/3)k−1 (1/3), P (ξ ≤ 3) = 1 − (2/3)3 ≈ 0,7, E(ξ) = 3, D(ξ) ≈ 2,45. b. A változó geometriai eloszlású p = 1/6 paraméterrel: Rξ = {1, 2, . . . }, P (ξ = k) = (5/6)k−1 (1/6), P (ξ ≤ 3) = 1 − (5/6)3 ≈ 0,42, E(ξ) = 6, D(ξ) ≈ 5,48. c. A ξ változó nem nevezetes eloszlást követ: Rξ = {1, 2, 3}, P (ξ = 1) = P (ξ = 2) = P (ξ = 3) = 1/3, P (ξ ≤ 3) = 1, E(ξ) = 2, D(ξ) ≈ 0,82. A ξ változó hipergeometrikus eloszlású = 50, M = 15 és n = 5 paraméterrel: 35 N 50 15 Rξ = {0, 1, . . . , 5}, P (ξ = k) = k 5−k / 5 , E(ξ) = 1,5, P (ξ ≤ 1) = 0,52. Legyen ξ és η a találatok száma a gépi illetve a kézi sorsoláson. A két változó független egymástól és hipergeometrikus eloszlású N = 35, M = 7 és n = 7 / 35 . paraméterrel: Rξ = Rη = {0, 1, . . . , 7}, P (ξ = k) = P (η = k) = k7 28 7 k a. P (ξ = 4) ≈ 0,017, P (ξ ≥ 4) ≈ 0,018, E(ξ) = 7 · 7/35 = 1,4. b. P (ξ = 0, η = 1 vagy ξ = 1, η = 0) = P (ξ = 0)P (η = 1) + P (ξ = 1)P (η = 0) = 0,138, P (ξ ≥ 4 vagy η ≥ 4) = P (ξ ≥ 4) + P (η ≥ 4) − P (ξ ≥ 4, η ≥ 4) ≈ 2 · 0,018 − 0,0182 ≈ 0,034. 27
8.8.
8.9.
8.10.
Legyen ξ a kihúzott piros golyók száma, η pedig annak a húzásnak a sorszáma, amikor el®ször kapunk piros golyót. a. A ξ binomiális eloszlású n = 3 és p = 0,4 paraméterrel: Rξ = {0, 1, 2, 3}, P (ξ = k) = k3 0,4k 0,63−k , E(ξ) = 1,2, P (ξ = 2) = 0,288. b. A ξ hipergeometrikus eloszlású N = 10, M = 4 és n = 3 paraméterrel: 6 10 Rξ = {0, 1, 2, 3}, P (ξ = k) = k4 3−k / 3 , E(ξ) = 1,2, P (ξ = 2) = 0,3. c. Az η geometriai eloszlású p = 0,4 paraméterrel: Rξ = {1, 2, . . . }, P (ξ = k) = 0,6k−1 0,4, E(ξ) = 1/0,4 = 2,5, P (ξ = 2) = 0,24. Legyen ξ az egy órára jutó lekérdezések száma. Most E(ξ) = 5, tehát λ = 5. Ekkor √ P (ξ = 3) ≈ 0,14 és D(ξ) = 5. Legyen ξ a mutációk száma. Most P (ξ = 0) = 0,135 és P (ξ = 0) = e−λ , amib®l λ = − ln 0,135 ≈ 2. Ekkor E(ξ) = 2 és P (ξ > 2) = 1 − P (ξ ≤ 2) ≈ 0,68. a = 0,05; Rξ = [1, 5]; P (2 < ξ < 6) = 0,45; P (ξ ≥ 5) = 0; E(ξ) ≈ 2,21; E(ξ 2 ) ≈ 6,07; D(ξ) ≈ 1,09;
9.1. a.
a = 3/64; Rξ = [0, 4]; P (2 < ξ < 6) = 7/8; P (ξ ≥ 5) = 0; E(ξ) = 3; E(ξ 2 ) = 9,6; D(ξ) ≈ 0,77; b.
a = 18; Rξ = [3, ∞); P (2 < ξ < 6) = 3/4; P (ξ ≥ 5) = 9/25; E(ξ) = 6; E(ξ 2 ) = ∞; D(ξ) = ∞. √ E(ξ) = (a + b)/2; D(ξ) = (b − a)/ 12. c.
9.2.
9.3. a.
( 1/200, 200 ≤ x ≤ 400, fξ (x) = 0, különben;
E(ξ) = 300; D(ξ) ≈ 57,74; P (ξ < 350) = 0,75; η = 1000/ξ ; P (η ≥ 4) = P (ξ ≤ 250) = 0,25; E(η) = E(1000/ξ) = 5 ln 2 ≈ 3,46; 1000 forintból átlagosan 3,46 kiló narancsot vehetünk; 1000/E(ξ) = 10/3 6= E(η); b.
c.
η = h(ξ), ahol h(x) azt mondja meg, hogy x forintos narancsár mellett hány kilót
tudunk megvásárolni:
2, 3, h(x) = 4, 5,
1000/3 < x, 250 < x ≤ 1000/3, 200 < x ≤ 250, x = 200;
P (η ≥ 4) = P (ξ ≤ 250) = 0,25; E(η) = E(h(ξ)) = 35/12 ≈ 2,92.
28
9.4. a.
Rξ = [0, 2,5]; E(ξ) = 1,14583;
b. Egy ξ hosszúságú telefonhívás ára η = 40ξ , ezért P (η > 50) = P (ξ > 1, 25) = 0,4375; E(η) = E(40ξ) = 45,8333; c.
Egy telefonhívás ára η = h(ξ), ahol h(x) az x perc hosszúságú hívás ára: 35, x ≤ 1, h(x) = 60, 1 < x ≤ 2, 85, 2 < x ≤ 2,5;
P (η > 50) = P (ξ > 1) = 0,54; E(η) = E(h(ξ)) = 52,5. 9.5. a. b.
Rξ = [0, 2]; E(ξ) = 1; igen, hiszen várható értékben nyerünk az üzleten. E(u(ξ)) ≈ 0,89; u(0,9) = 0,95; nem, hiszen a befektetés eredményének kisebb a
várható hasznossága, mint a kezd®t®ke hasznossága. 9.6. a.
A ξ változó egyenletes eloszlású a [3,5, 5,5] intervallumon, s¶r¶ségfüggvénye: ( 0,5 , 3,5 ≤ x ≤ 5,5 , f (x) = 0, különben;
P (ξ > 5) = 0,25; E(ξ) = 4,5.
Most η = 100 − 10ξ , tehát h(x) = 100 − 10x; P (η < 50) = P (ξ > 5) = 0,25; E(η) = E(h(ξ)) = 55. 2 2 c. Most ζ = ξη = ξ(100 − 10ξ) = 100ξ − 10ξ , tehát h(x) = 100x − 10x ; E(ζ) = E(h(ξ)) ≈ 244; E(ζ) 6= E(ξ)E(η) = 247,5. b.
10.1. a.
3,5; ≈ 1,71.
b.
1750; ≈ 38,24; nem.
10.2.
640 kg; ≈ 42,43 kg; nem.
10.3.
1650 mm; ≈ 173 mm; nem.
10.4.
250 perc; ≈ 21,21 perc; nem.
10.5.
Jelölje ξi az i-dik kárértéket ezer forintban kifejezve. Most ξ1 , . . . , ξ100 független és egyenletes eloszlású 200 és 400 között, ezért: E(ξ1 ) = · · · = E(ξ100 ) = 300; D(ξ1 ) = · · · = D(ξ100 ) ≈ 57,74. Legyen η = ξ1 + · · · + ξ100 az össz kárérték. Ekkor: E(η) = 30.000 = 30 millió; D(η) ≈ 577,4. A kérdéses valószín¶séget nem tudjuk meghatározni.
29
Jelölje ξi azt, hogy hanyadik próbálkozásra vették ki az i-dik plüsállatot. Most ξ1 , . . . , ξ50 független és geometriai eloszlást követ p = 0,2 paraméterrel, ezért: √ E(ξ1 ) = · · · = E(ξ50 ) = 1/p = 5; D(ξ1 ) = · · · = D(ξ50 ) = 1 − p/p ≈ 4,47.
10.6. a.
Legyen η = ξ1 + · · · + ξ50 a játékok össz száma. Ekkor: E(η) = 250; D(η) ≈ 31,6. b. A teljes árbevétel 100η , és E(100η) = 25.000; D(100η) ≈ 3160. 10.7.
10.8.
10.9.
10.10.
A pro t ξ − η , ahol legyen ξ és η a bevétel illetve a kiadás millió forintban számolva. E(ξ − η) = E(ξ) − E(η) = 40; a várható érték nem függ a korrelációs együtthatótól. D2 (ξ − η) = D2 (ξ) + D2 (η) − 2D(ξ)D(η) corr(ξ, η) = 1300 − 1200 corr(ξ, η). √ Ha ξ és η független, akkor corr(ξ, η) = 0, tehát D(ξ − η) = 1300. √ Ha corr(ξ, η) = 0,8, akkor D(ξ − η) = 340. Legyen ξ és η a narancs és a banán kilónkénti ára. Ekkor a család 4ξ + 2η forintot zet a kasszánál. E(4ξ + 2η) = 4 · 250 + 2 · 300 = 1600; nem befolyásolja. D2 (4ξ +2η) = 42 ·252 +22 ·302 +2·4·2·25·30· corr(ξ, η) = 13.600+12.000 corr(ξ, η). Ebb®l behelyettesítéssel megkapható a szórás tetsz®leges korrelációra. Legyen ξ és η az acél és a réz ára (dollát/tonna). A teljes anyagköltség 100ξ + 10η . E(100ξ + 10η) = 100 · 700 + 10 · 1500 = 85.000; nem befolyásolja. D2 (100ξ + 10η) = 1002 · 202 + 102 · 802 + 2 · 100 · 10 · 20 · 80 · corr(ξ, η) = 4.640.000 + 3.200.000 corr(ξ, η). Ebb®l behelyettesítéssel megkapható a szórás tetsz®leges korrelációra. Legyen ξ és η a részvény illetve a kötvény ára egy év múlva. Ekkor: E(ξ) = 2260; D(ξ) = 280; E(η) = 2160; D(η) = 0; corr(ξ, η) = 0. a. A portfolió értéke egy év múlva: aξ + (1500 − a)η ; E(aξ + (1500 − a)η) = a · 2260 + (1500 − a) · 2160 = 100a + 3.240.000; D2 (aξ + (1500 − a)η) = a2 · 2802 + (1500 − a)2 · 02 = 78.400a2 ; D(aξ + (1500 − a)η) = 280a. b.
a = 1600 darab részvényt és 1500 − a = −100 kötvényt kell vásárolni, tehát fel
kell venni 200 ezer forint hitelt. c. a ≤ 714; a = 714 esetén E(aξ + (1500 − a)η) = 3.311.400.
11.1. a.
f2 ;
b.
f3 ;
c.
f1 .
11.2.
0,5; [111 mm, 129 mm].
11.3.
82%; 2%; [70, 130].
30
11.4.
2,3%; [6 : 30, 7 : 30].
11.5.
48%; [63, 158]. ???
11.6.
140; 0,02; 0,83; [121, 159].
11.7.
850; 0,62; 0,04; [816, 884].
31
