Gyakorló feladatok A sztochasztika alapjai kurzushoz 1. Kombinatorikus valószín¶ség 1.1. Egy vendégl® egyik asztalánál 9 vendég ül, és mindenki rendel egy italt, összesen
3 sört, 4 vörös és 2 fehér bort. A pincér találomra osztja ki az italokat. Mennyi a valószín¶sége, hogy mindenki azt kapja, amit kért ? 1.2. Két testvér ugyanabba a 27 f®s osztályba jár. Egy gyors sorakozónál mindenki
találomra áll be. Mi a valószín¶sége, hogy a két testvér egymás mellé kerül ? Mennyi az esélye annak, hogy pontosan tizen állnak közöttük ? 1.3. Bet¶kockákból kirakjuk a KÖRÖMPÖRKÖLT szót, majd a bet¶ket véletlenszer¶en
összekeverjük. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az összekeverés után ismét csak a KÖRÖMPÖRKÖLT szót olvassuk le ? Mi a valószín¶sége, hogy a PÖRKÖLT szó részszóként kiolvasható ? 1.4. Magyarországon az autók rendszáma három bet¶b®l és három számjegyb®l áll. A
bet¶k az angol ábécé 26 bet¶jéb®l kerülnek ki, de az els® bet¶ nem lehet U, X és Y. (Az ezen bet¶kkel kezd®d® rendszámok a motorkerékpároknak, az utánfutóknak és a lassú járm¶veknek vannak fenntartva.) A számjegyekre nincsen semmilyen korlátozás. Ha véletlenszer¶en választunk egy lehetséges rendszámot, akkor mennyi annak a valószín¶sége, hogy ebben minden bet¶ magánhangzó és minden számjegy páratlan ? Mennyi annak az esélye, hogy a rendszámban minden bet¶ magánhangzó vagy minden számjegy páratlan ? 1.5. Hány különböz® kimenetele van annak kísérletnek, hogy feldobunk két szabályos
dobókockát ? Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a. két egyenl® számot dobunk ; b. két különböz® számot dobunk ; c. a dobott számok összege 7 ; d. legalább az egyik kockán 6-ost dobunk ; e. a dobott számok összege 7, és az egyik dobás eredménye 6-os ? 1.6. Feldobunk 6 dobókockát. Mekkora valószín¶séggel lesz a dobott számok összege
pontosan 36 ? Mennyi az esélye, hogy a dobott számok összege nagyobb, mint 34 ? Mekkora a valószín¶sége annak, hogy a dobott számok között vannak azonosak ? 1.7. Visszatevéssel húzunk egy olyan urnából, melyben 3 piros és 5 zöld golyó található. a. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az els® piros golyót harmadikra húzzuk
ki ? Mennyi az esélye, hogy az
n-edik
húzásra kapjuk az els® pirosat ?
b. Mennyi annak az esélye, hogy három húzás során kapunk legalább egy pirosat ?
Mi annak a valószín¶sége, hogy
n 1
húzásból kapunk pirosat ?
c. Hányat húzzunk, ha az a célunk, hogy 95 százalékos valószín¶séggel a kihúzott
golyók között legyen piros ? 1.8.
a. Hányszor dobjak fel egy szabályos pénzérmét, ha az a célom, hogy a dobások
között 90% valószín¶séggel legyen fej ? b. Hányszor dobjak fel egy szabályos dobókockát, ha az a célom, hogy a dobások
között 90% valószín¶séggel legyen hatos ? 1.9. A következ® két kérdés a valószín¶ségszámítás egyik legrégebbi feladata, mely a
XVII. századból származik, és a de Méré probléma néven szerepel a köztudatban. a. Egy szabályos dobókockával 4-szer dobva mekkora valószín¶séggel kapunk leg-
alább egy hatost ? b. Két szabályos dobókockával 24-szer dobva mekkora valószín¶séggel kapunk
legalább egyszer dupla hatost ? 1.10. Az ötöslottón mennyi az esélye annak, hogy a. minden nyer®szám páratlan ; b. kihúzzák a 12-es és a 80-as számot ; c. kihúzzák a 12-es és a 80-as számot, és a 12 a második legkisebb nyer®szám ; d. öt egymást követ® számot húznak ki ?
Ha egy szelvénnyel játszunk, akkor mi annak a valószín¶sége, hogy e. telitalálatot érünk el ; f. pontosan
k
találatot érünk el (0
≤k≤5
adott egész szám) ;
g. nyerünk pénzt, tehát legalább 2 találatot érünk el ? 1.11. Egy szelvénnyel játszunk a 13+1 mez®s totó játékon. Mi az esélye annak, hogy a. 13+1 találatot érünk el ; b. pontosan 10 találatot érünk el ; c. pontosan 13 találatot érünk el ; d. nyerünk pénzt, tehát legalább 10 találatot érünk el ?
(Feltehet®, hogy minden mérk®zésen 1/31/3 valószín¶séggel nyernek az egyes csapatok, illetve születik döntetlen eredmény.) 1.12. Egy 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk 6 lapot. Mennyi annak a valószín¶sége,
hogy a kihúzott lapok között a. pontosan 2 ász lesz ; b. pontosan 3 piros, 2 zöld és 1 makk lesz ;
2
c. lesz legalább egy ász ; d. lesz ász vagy lesz piros ; e. pontosan két különböz® szín lesz, 2 illetve 4 lappal ;
Oldjuk meg a feladatot visszatevéssel és visszatevés nélkül is. 1.13. Piri néni nagyon szereti a kertjét, és különösképpen a tulipánjait. sszel a leg-
szebb tulipánok közül kiválaszt 5 pirosat, 4 narancssárgát és 2 fehéret, és felszedi a hagymákat. Sajnos a hagymák a téli tárolás során összekeverednek. A következ® tavasszal Piri néni véletlenszer¶en kiválaszt 5 hagymát, és kiülteti ®ket. Mennyi az esélye annak, hogy a kiválasztot hagymák között a. pontosan 2 piros, 2 narancssárga és 1 fehér lesz ; b. pontosan 2 piros lesz ; c. lesz fehér ; d. pontosan két különböz® szín fog majd el®fordulni, és ezek 2 illetve 3 tulipánon
jelennek meg ? 1.14. Egy gyárban a makaront úgy csomagolják, hogy egy-egy dobozba két csokis, egy
málnás és egy narancsos sütemény kerül. Anna a három barátn®jével öt napon keresztül minden nap vásárol egy doboz makaront, és a süteményeket véletlenszer¶en kiosztják egymás között. Mennyi annak az esélye, hogy Anna az öt nap folyamán a. pontosan 3 csokis makaront kap ; b. nem mindig málnásat kap ; c. összesen 2 csokis, 2 málnás és 1 narancsos makaront kap ? 1.15. Egy urnában 4 piros golyó található, melyhez hozzáteszünk néhány zöldet. Ezután
kihúzunk két golyót. Hány zöld golyót kell tennünk az urnába, ha azt szeretnénk, hogy legfeljebb
0,1
legyen azon esemény valószín¶sége, hogy
a. a kiválasztott golyók mindegyike piros ; b. a kiválasztott golyók között van piros ?
Oldjuk meg a feladatot visszatevéses és visszatevés nélküli húzásra is. 1.16. Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár. Egy foglalkozáson a gye-
rekeket egy két-, egy három- és egy négyf®s csoportba sorolják be. Ha véletlenszer¶ a besorolás, akkor milyen valószín¶séggel fog a két testvér ugyanabba a csoportba kerülni ?
3
2. A valószín¶ség általános tulajdonságai 2.1. Tekintsük azt a véletlen kísérletet, hogy feldobunk egy szabályos dobókockát. a. Mely kimenetelek esetén következnek be az alábbi események ?
A = páros számot dobunk ; B = ötnél kisebbet dobunk ; C = hétnél nagyobbat dobunk ; D = pozitív számot dobunk. b. Fogalmazzuk meg szavakkal és írjuk fel halmazelméleti m¶veletekkel a követke-
z® eseményeket :
A
és
B; A
vagy
B; A
igen, de
B
nem ; nem
A.
A megoldást
illusztráljuk Venn-diagrammal is. c. Melyik halmazelméleti m¶velet felel meg a kizáró vagy logikai m¶veletnek ? 2.2. Öt héten keresztül játszunk az ötöslottón. Jelölje
Ai
azt az eseményt, hogy az
i-
edik héten nyerünk, tehát legalább két találatot érünk el. Fejezzük ki az alábbi eseményeket az
B1 , . . . , B5 a.
B1 = minden
b.
B2 = egyik
c.
B3 = az
d.
B4 = a
e.
B5 = pontosan
2.3. Az
Am ,
els®b®l
n
A1 , . . . , A5
és
p
események segítségével. Szavakkal fogalmazzuk meg a
események tagadását is. héten nyerünk ;
héten sem nyerünk ;
utolsó héten nyerünk el®ször ;
második héten nyerünk, de a negyedik héten nem ; négyszer nyerünk.
a Bn és a Cp esemény azt jelöli, hogy három könyvsorozat kötetei közül az m, a másodikból n, a harmadikból pedig p darab könyvet veszünk, ahol m,
nemnegatív egészek. Hogyan lehet formalizálni a következ® eseményeket ?
a. Az els® sorozatból pontosan 1, a másodikból pontosan 3 könyvet veszünk. b. Egy könyvet sem veszünk. c. Veszünk könyvet az els® sorozatból. d. Mindhárom sorozatból veszünk könyvet. e. Vagy veszünk legalább 2 könyvet az els® sorozatból, vagy nem veszünk semmit. f. Pontosan 2 könyvet veszünk összesen a második és a harmadik sorozatból. g. Pontosan 2 könyvet veszünk összesen a három sorozatból. 2.4. Próbagyártás után két szempontból vizsgáljuk a késztermékeket. Tudjuk, hogy
0,25
annak a valószín¶sége, hogy egy véletlenszer¶en kiválasztott termék anyaghibás, míg
0,4
annak az esélye, hogy mérethibás. A gyártmányok
10
százaléka nem felel
meg egyik szabványnak sem. Ha véletlenszer¶en kiválasztunk egy terméket, akkor mennyi annak a valószín¶sége, hogy
4
a. a termék anyaghibás, de megfelel a méretszabványnak ; b. a kiválasztott terméknek van valamilyen hibája ; c. a terméknek pontosan egyfajta hibája van ; d. a termék hibátlan ?
P (A) = 0,7 és P (B) = 0,8. Ezen információ birtokában meg tudjuk határozni egyértelm¶en a P (A∩B) és a P (A∪B) valószín¶séget ? Ha nem, akkor adjunk alsó
2.5. Legyen
és fels® korlátot ezekre a valószín¶ségekre. Illusztráljuk Venn-diagrammal, hogy a kapott eredmények mikor teljesülnek egyenl®séggel. 2.6. Egy faluban három sportolási lehet®ség van, foci, kosárlabda és pingpong. A lakosok
25%-a
focizik,
40%-a
kosárlabdázik, és
45%-a
pingpongozik. Az els® két sportot
az emberek tizede, az els®t és a harmadikat ötöde, a másodikat és harmadikat negyede ¶zi. Mindhárom sportot a lakosság
5%-a
¶zi. Véletlenszer¶en kiválasztunk
egy lakost, és megkérdezzük t®le, hogy melyik sporttevékenységet szokta végezni. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a megkérdezett ember a. focizik vagy pingpongozik ; b. focizik, de nem kosárlabdázik ; c. pontosan kett® sportot ¶z ; d. semmit sem sportol ? 2.7. Egy cég három különböz® típust szállít egy adott termékb®l a vele szerz®désben
álló boltoknak. Ebben a hónapban a boltok fele rendelt az 1. típusból, míg nem rendelt a 2. típusból. A boltok
22%-a
negyedrészük az 1. és a 3. típusú termékekb®l is. Tudjuk, hogy a boltok mindegyik típusból rendelt, míg
0,12
57%
rendelt az 1. és a 2. típusból is, továbbá
részük egyikb®l sem. A boltok
6%-a
14%-a rendelt
a 2. és 3. típusból, de az 1.-b®l nem. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy egy véletlenszer¶en választott boltba kell szállítani a 3. típusból ? A boltok hányad része rendelt csak az 1. típusból ? Egy véletlenszer¶ bolt esetén mennyi az esélye, hogy pontosan egy típust rendeltek a termékb®l ? 2.8. Egy dobozban 50 darab szabványos és 50 darab selejtes termék van, melyek közül
véletlenszer¶en kiveszünk 20 terméket. Tekintsük a következ® eseményeket :
A=a
mintában pontosan 10 hibás termék van,
B=a
mintában több a szabványos termék, mint a selejtes,
C =a
mintában több a hibás termék, mint a szabványos.
A esemény valószín¶sége ? Milyen összefüggés írható fel a három esemény valószín¶sége között ? Melyiknek nagyobb a valószín¶sége, a B vagy a C eseménynek ? Ezek alapján mennyi a B illetve a C esemény pontos valószín¶sége ?
Mennyi az
5
2.9. A kupongy¶jt® problémája. Egy cég úgy próbálja népszer¶síteni az általa forgalma-
zott chipset, hogy a zacskókba a Micimackó cím¶ mese guráit rejti el : Micimackót, Malackát, Tigrist és Fülest. Minden zacskóban pontosan egy gura található, és minden gurának azonos a gyakorisága. Addig vásáróljuk a terméket, míg meg nem kapjuk a teljes kollekciót, tehát míg végül mindegyik gurából lesz legalább egy darab. Mennyi annak az esélye, hogy ehhez elég 4 darab chipset kell megvenni ? Mi annak a valószín¶sége, hogy elég 6 zacskót megvásárolni ? 2.10. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a Totó játékban egy adott héten az 1, a 2 és
az x találat is el®fordul ? 2.11.
a. Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Mennyi a valószín¶sége, hogy a
tíz dobás során az
1, 2, 3, 4, 5
és
6
érték mindegyike el®fordul ?
b. Tízszer feldobunk két szabályos dobókockát. Mennyi a valószín¶sége, hogy a
tíz dobás során az
(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)
és
(6,6)
párok mindegyike
el®fordul ? 2.12. A lovagok céhe nehéz feladatot kap, meg kell menteniük a király lányát a sárkány
fogságából. A lovagok sorsolással döntik el, hogy kit küldjenek a feladat elvégzésére. Mint közismert, egy sárkányt háromféleképpen lehet legy®zni : er®sebbnek, fürgébbnek vagy ravaszabbnak kell nála lenni. A lovagok 19%-a er®sebb, 25%-a gyorsabb és 28%-a ravaszabb a sárkánynál. A tagok egyhuszada egyszerre er®sebb és gyorsabb, tizede er®sebb és ravaszabb, nyolcada gyorsabb és ravaszabb a sárkánynál. A lovagok 3%-a er®sebb, gyorsabb és ravaszabb is a szörnynél. Mennyi a valószín¶sége, hogy a kiválasztott lovag a. er®sebb vagy gyorsabb a sárkánynál, de nem mindkett® ; b. pontosan két módszerrel tudja legy®zni a sárkányt, és ezek egyike a ravaszság ; c. legalább kétféleképpen le tudja gy®zni a sárkányt ; d. semmilyen módszerrel sem tudja kiszabadítani a királylányt ?
6
3. Feltételes valószín¶ség és geometriai valószín¶ségi mez®k 3.1. Egy edénygyár egynapi tányértermelését a következ® táblázat foglalja össze :
hibátlan selejtes összesen
leveses
lapos
salátás
összesen
470
540
380
1390
30
60
20
110
500
600
400
1500
Véletlenszer¶en kiválasztunk egy terméket min®ségellen®rzésre. Jelölje ményt, hogy az i-edik típusú termékb®l választottunk, és legyen
B
Ai azt az ese-
az az eseményt,
hogy a kiválasztott termék selejtes. Értelmezzük és határozzuk meg a következ® valószín¶ségeket : 3.2.
P (A2 |B) ; P (A1 ∪ A3 |B) ; P (B|A2 ) ; P (B|A2 ).
a. Háromgyerekes családok körében vizsgáljuk, hogy hány ú és lány van a csa-
ládban. Jelölje
A
azt az eseményt, hogy a vizsgált családban legfeljebb egy
lány van, és legyen
B
az, hogy van ú és lány is. Feltehet®, hogy a gyerekek
azonos valószín¶séggel születnek únak vagy lánynak. Mennyi az valószín¶sége ? Mennyi
A
esemény
A valószín¶sége, ha tudjuk, hogy B bekövetkezik ? Ezek
alapján mit mondhatunk a két esemény kapcsolatáról ? b. Válaszoljuk az el®z® pont kérdéseire négygyerekes családok esetén. 3.3. Piri néni véletlenszer¶ sorrendben elültet egymás mellé 3 piros és 2 narancssárga
tulipánt. Mennyi a valószín¶sége annak, hogy a sor valamelyik végére sárga tulipán kerül ? Mennyi az esélye ugyanennek, ha a két sárga tulipán egymás mellé kerül ? 3.4. Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár, egy ú és egy lány.
Egy foglalkozáson véletlenszer¶en kiválasztanak 4 gyereket. Mennyi a valószín¶sége annak, hogy a. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják ; b. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy a ú ki lett választva ; c. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy legalább az egyikük ki
lett választva ? 3.5. Az oktaéder egy olyan szabályos test, melynek 8 lapja van. Beszámozzuk a lapo-
kat 1-t®l 8-ig, és kapunk egy dobóoktaédert. Ha egyszer dobunk, akkor az alábbi események közül melyek függetlenek ?
A = párosat
dobunk ;
B = prímszámot dobunk ;
C = 3-nál nagyobbat dobunk.
3.6. Egymástól függetlenül feldobunk két szabályos dobókockát. a. Mutassuk meg, hogy ekkor mind a 36 kimenetelnek azonos a valószín¶sége.
7
b. Határozzuk meg az
A esemény feltétel nélküli valószín¶ségét, illetve a B -re vett A és a B esemény között ?
feltételes valószín¶ségét. Milyen kapcsolat van az
• A = az egyik dobás páratlan, B = a számok szorzata páratlan ; • A = dupla hatost dobunk, B = a számok szorzata páratlan ; • A = az egyik dobás kisebb, mint 3, B = a számok szorzata páratlan. 3.7. Tekintsünk egy tetsz®leges véletlen kísérletet, és ehhez kapcsolódó
nyeket, ahol
P (B) > 0.
Mennyi az
a.
A
és
B
független események ;
b.
A
és
B
kizáró események ;
c. a
B
P (A|B)
esemény maga után vonja az
A
A
és
B
esemé-
feltételes valószín¶ség értéke, ha
eseményt ?
3.8. Egy feladat a mobiltelefonok el®tti id®kb®l. Barátunk egy adott estén
2/3 valószín¶-
séggel tartózkodik kocsmában. Ha kocsmában van, akkor egyenl® eséllyel található meg az öt környékbeli kocsma valamelyikében. Tegyük fel, hogy négyet már megnéztünk, de nem taláktuk. Mennyi az esélye, hogy az ötödikben lesz ?
2
3.9. Ejt®erny®s ugrást hajtanak végre egy 500 m -es mez®n. Az ugrás akkor sikeres, ha
az ugró a mez®n kijelölt 10 m oldalhosszúságú négyzetben ér földet. Különdíjat kap az, aki a négyzet közepén megrajzolt 2 m sugarú körbe érkezik. Feltehet®, hogy az érkezés helye a mez®n megfelel az egyenletességi hipotézisnek. Mennyi a valószín¶sége annak, hogy az ugrás sikeres ? Mennyi az esélye annak, hogy az ugró különdíjat is kap, ha az ugrása sikeres ? 3.10. A vihar véletlenszer¶ helyen elszakít egy 10 km hosszú légvezetéket, ezért a vezeték
két végér®l egy-egy keres®csapat indul, hogy megkeresség a szakadás helyét. A nehéz terep miatt az egyik csapat 5, a másik 6 km/h sebességgel halad. Mennyi az esélye, hogy fél órán belül megtalálják a szakadás helyét ? 3.11. Egy metróvonalon 10 perces követési id®vel járnak a szerelvények. Ha egy véletlen-
szer¶ id®pontban megyünk ki az állomásra, akkor mennyi annak a valószín¶sége, hogy legfeljebb 5 percet kell várni ? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a legutóbbi szerelvény már legalább 3 perce elment. 3.12. Véletlenszer¶en választunk egy
és egy
1−x
x
értéket a
[0,1]
intervallumon. Ez az érték egy
x
hosszúságú szakaszra bontja az egységnyi hosszúságú intervallumot.
Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a. a kapott szakaszok hosszának szorzata nagyobb, mint b. a szakaszok hosszának négyzetösszege kisebb, mint
számok esetén a két érték négyzetösszege c. a rövidebb szakasz hoszabb, mint
8
1/3
2
a +b
egység ?
2
)
5/36 ;
13/18 ;
(tetsz®leges
a
és
b
3.13. Autóval végig akarunk menni egy 30 km hosszú egyenes útszakaszon, de balesetet
szenvedünk egy véletlenszer¶ helyen. A közelben egyetlen egy mobiltelefon átjátszó torony van, ez az út felénél az úttól 5 km távolságra található. A torony egy 10 km sugarú kör alakú területet képes kiszolgálni. Mennyi annak az esélye, hogy a baleset helye ebbe a körbe esik, és ezáltal telefonon segítséget tudunk hívni ? 3.14. Véletlenszer¶en rálövünk egy 10 centiméter sugarú kör alakú céltáblára. Mennyi
annak a valószín¶sége, hogy a céltáblát a középponttól legfeljebb 7 centiméterre találjuk el ? Mennyi ugyanennek a valószín¶sége akkor, ha tudjuk, hogy a találat a középponttól legalább 5 centiméterre esik. 3.15. Véletlenszer¶en választunk egy pontot az 5 egység oldalhosszúságú négyzetben.
Mennyi annak az esélye, hogy a pont a legközelebbi oldaltól legfeljebb 1 egységnyire lesz ? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a pont az északi oldalhoz van a legközelebb ? 3.16. Adott egy téglalap alakú város 6 és 10 kilométer oldalhosszúsággal. A város egyik
sarkában található egy t¶zoltó állomás, amit akkor riasztanak, ha a t¶z az állomástól légvonalban legfeljebb 4 kilométerre üt ki. Ha a városban egy véletlenszer¶ helyen üt ki t¶z, akkor mennyi annak az esélye, hogy ezt a t¶zoltó állomást fogják majd riasztani ? Tegyük fel, hogy egy napon egymástól függetlenül két t¶zeset is történik a városban. Mennyi az esélye, hogy ezek közül az állomásnak pontosan egy esethez kell kivonulnia ? 3.17. Párhuzamos egyeneseket húzunk síklapra egymástól váltakozva 2 cm és 8 cm távol-
ságra. Ha véletlenszer¶en rádobunk egy 2,5 cm átmér®j¶ pénzérmét lapra, akkor mennyi annak a valószín¶sége, hogy az érme egyik egyenesbe sem metsz bele ? Ha a pénzérme belemetsz valamelyik egyenesbe, akkor mennyi annak az esélye, hogy egyszerre kett®be is belemetsz ?
9
4. A teljes valószín¶ség tétele és több esemény függetlensége 4.1. Egy csomagolóüzembe négy termel® szállít almát. A leadott gyümölcs tizede szár-
mazik az els®, három tizede a második, és két ötöde a harmadik termel®t®l. Az egyes termel®k esetén a leadott mennyiség 40, 50, 20 illetve 100 százaléka els®osztályú. Ha véletlenszer¶en kiválasztunk egy almát, akkor mi annak a valószín¶sége, hogy az alma els®osztályú ? Feltéve, hogy az alma másodosztályú, mennyi a valószín¶sége, hogy a harmadik termel® szállította be ? 4.2. Egy csoport 60%-a n®. A n®k 30%-ának, a fér ak 25%-ának van fels®fokú nyelvvizs-
gája. Válaszoljunk az alábbi kérdésekre. Véletlenszer¶en kiválasztunk egy embert a csoportból. Mennyi a valószín¶sége annak, hogy a kiválasztott személy egy nyelvvizsgával nem rendelkez® fér ? Mennyi annak az esélye, hogy a kiválasztott személy nem endelkezik nyelvvizsgával ? Ha tudjuk, hogy a kiválasztott személy nem rendelkezik nyelvvizsgával, mi annak a valószín¶sége, hogy fér t választottunk ? 4.3. Egy ritka betegséget tízezer emberb®l átlagosan egy kap el. Adott egy teszt, ami
99%-os megbízhatóságú, azaz ekkora a valószín¶sége, hogy helyes eredményt ad, akár beteg valaki, akár egészséges. Egy ember megvizsgáltatja magát, és a teszt eredménye pozitív. Mennyi a valószín¶sége, hogy tényleg beteg ? 4.4. A h¶t®ben négy doboz tej van, ezek között van egy friss, egy egy hete lejárt, ami
biztosan romlott, és van két doboz, ami egy napja járt le, ezek 0,3 valószín¶séggel romlottak. Véletlenszer¶en kiválasztunk egy doboz tejet. Mekkora az esélye, hogy ez a tej nem romlott ? Ha megkóstoljuk a kivett tejet, és az romlottnak bizonyul, akkor mi a valószín¶sége annak, hogy az egy hete lejárt tejet vettük ki ? 4.5.
a. Egy vizsgán minden tesztkérdéshez három lehetséges válasz van megadva, me-
lyek közül csak egy helyes. A vizsgázó
2/3 valószín¶séggel tudja a helyes választ
a kérdésre, és megjelöli azt. A többi esetben a vizsgázó tippel, tehát véletlenszer¶en jelöl meg egy választ. A javítás során azt látjuk, hogy egy kérdésre a vizsgázó helyes választ adott. Mennyi a valószín¶sége, hogy a vizsgázó tippelt ? b. Tegyük fel, hogy a vizsgáztató egy-egy kérdéshez
Hogyan függ
n
lehetséges választ ad meg.
n-t®l annak a valószín¶sége, hogy a vizsgázó egy helyes válasznál
csak tippelt ? 4.6. Egy üzemben három gép van, az els® adja a termelés felét, a második a 40%-át.
Az els® és a második gépnél is a termékek 3%-a selejtes. A harmadik gép esetében hány százalék a selejtarány, ha tudjuk, hogy az üzemben termelt selejtes termékek közül 32,5% készült a harmadik gépnél ? 4.7. Egy útszakaszon egymás után három jelz®lámpa irányítja a forgalmat. Az egyes
lámpáknál egymástól függetlenül rendre
1/2, 2/3 illetve 3/4 valószín¶séggel kapunk
pirosat. Mennyi az alábbi események valószín¶sége ? a. Mindhárom lámpánál pirosat kapunk.
10
b. Egyik lámpánál sem kapunk pirosat. c. Az els® lámpánál pirosat kapunk, de a harmadiknál nem. d. Pontosan két lámpánál kapunk pirosat. e. Legalább két lámpánál pirosat kapunk. f. Feltéve, hogy pontosan egy pirosat kapunk, mennyi annak az esélye, hogy ez
az els® lámpánál történik ? g. Feltéve, hogy valamelyik lámpánál pirosat kapunk, mennyi annak a valószín¶-
sége, hogy az els® lámpánál zöld a jelzés. 4.8. Egy 1 m oldalhosszúságú négyzet alakú céltáblára rá van festve egy 20 cm sugarú
kör. Többször egymás után véletlenszer¶en rálövünk a céltáblára, és akkor érünk el érvényes találatot, ha eltaláljuk a kört. Hány lövést adjunk le, ha az célunk, hogy legalább 95% valószín¶séggel legyen érvényes találatunk. (Feltehet®, hogy a lövések függetlenek egymástól, és minden lövés eltalálja a céltáblát.) 4.9. Egy kaparós sorsjeggyel akkor lehet nyerni, ha a játékos mindhárom lekaparható
mez®n koronát talál. Az egyes mez®k egymástól függetlenül 1/21/2 valószín¶séggel rejtenek koronát. Mennyi annak az esélye, hogy egy sorsjegyet vásárolva nyerünk ? Mennyi a valószín¶sége annak, hogy
n sorsjegyet vásárolva találunk legalább
egy nyertes szelvényt ? Hány sorsjegyet vásároljunk, ha az a célunk, hogy közöttük legalább 95 százalék valószín¶séggel legyen nyertes szelvény ? 4.10. Egy vizsgán a hallgatók 10%-a bukott meg. A sikeres vizsgát tev® hallgatók ne-
gyedrésze kapott jelest. Mekkora az esélye, hogy egy véletlenszer¶en kiválasztott hallgató jelest kapott ? 4.11. Egy adott területen vegyszeres szúnyogírtást végeznek három egymás követ® alka-
lommal. Az els® permetezés után a szúnyogok 80%-a elpusztul, de az életben maradt rovaroknak n® az ellenálló képessége a szerrel szemben. Ennek az a következménye, hogy a második permetezéskor az életben maradt szúnyogoknak már csak a 40%-a pusztul el, a harmadik írtásnál pedig csak a maradék 20%-a. Mennyi a valószín¶sége annak, hogy egy szúnyog túléli mindhárom permetezést ? Feltéve, hogy egy szúnyog túlélte az els® permetezést, mennyi a valószín¶sége annak, hogy a másodikat és a harmadikat is túléli ? 4.12. Adott egy urna, benne pedig 3 piros és 2 zöld golyó. Visszatevés nélkül kihúzunk
három golyót. a. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy sorban egy pirosat, egy zöldet, és még egy
pirosat kapunk ? Mennyi annak az esélye, hogy a második golyó zöld ? b. Feltéve, hogy a második golyó zöld, mi annak a valószín¶sége, hogy az els®
golyó piros volt ? Függ az els® golyó színe attól, hogy milyen szín¶ a második ? Válaszoljunk a kérdésekre azzal a módosítással is, hogy a golyókat visszatevéssel húzzuk ki.
11
5. Diszkrét valószín¶ségi változók 5.1. Mennyi legyen az
a
valós paraméter értéke, ha az a célunk, hogy az alábbi értékek
valószín¶ségeloszlást alkossanak ? a.
p0 = 0,1a, p1 = 0,55a, p2 = 0,25a, p3 = 0,3a.
b.
pk = a0,6k , k = 0,1,2, . . .
5.2. Egy iskolában tanuló 500 gyerek közül 130-nak nincs testvére, 200-nak van 1 test-
vére, 150-nek van 2 testvére, és 20-nak van 3 testvére. Legyen kiválasztott gyerek testvéreinek a száma. Adjuk meg
ξ
ξ
egy véletlenszer¶en
eloszlását, eloszlásfüggvé-
nyét, várható értékét és szórását. 5.3. Két szabályos dobókockát feldobva legyen
meg a
ξ
ξ
a dobott értékek nagyobbika. Adjuk
változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását.
5.4. Feldobok egy szabályos pénzérmét. Ha az eredmény fej, akkor az érmét még egyszer,
ha írás, akkor még kétszer dobom fel újra. Jelölje Adjuk meg a
ξ
az összesen dobott fejek számát.
ξ
valószín¶ségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét 3 és szórását. Mennyi a ξ változó várható értéke ? 5.5. Egy biztosítótársaság az alábbi bonus-malus rendszert dolgozza ki a kötelez® gép-
járm¶ felel®sségbiztosításra. Minden új ügyfél a BONUS-0 kategóriában kezd. Ha a biztosított egy adott évben nem okoz balesetet, akkor egy biztosítási kategóriával feljebb (az alábbi táblázatban jobbra) lép, ha kis érték¶ balesetet okoz, akkor marad a kategóriájában, ha nagy érték¶ kárt okoz, akkor egy kategóriával lejjebb (balra) kerül. Az alábbi táblázat tartalmazza az éves biztosítási díjakat forintban. kategória
MALUS-2
MALUS-1
BONUS-0
BONUS-1
BONUS-2
éves díj
50.000
37.000
30.000
25.000
22.000
Új ügyfélként biztosítást kötök ennél a biztosítónál. A vezetési szokásaimat tekintve egy-egy évben 0,4 valószín¶séggel okozok kis érték¶ balesetet és 0,1 eséllyel nagy érték¶ balesetet. Feltehet®, hogy az elkövetkez® két évben egymástól függetlenül fogok baleseteket okozni. Határozzuk meg, hogy két év elteltével mekkora valószín¶séggel leszek az egyes bonus-malus kategóriákban. Két év múlva várhatóan mekkora éves biztosítási díjat kell majd zetnem ? 5.6. Véletlenszer¶en összekeverjük az ALMA szó bet¶it. Jelölje
ξ
azt, hogy az új ka-
rakterlánc hány helyen egyezik meg az eredeti ALMA szó bet¶ivel. Adjuk meg a
ξ
eloszlását és várható értékét. Mennyi az esélye, hogy legalább két egyezés lesz ? 5.7. Egy terráriumban három hörcsög él, melyek egy adott id®pontban egymástól füg-
getlenül 0,5, 0,6 illetve 0,7 valószín¶séggel vannak ébren. Jelölje adott id®pontban hány hörcsög van ébren.
12
ξ
azt, hogy egy
a. Adjuk meg a
ξ
változó eloszlását, várható értékét és szórását.
b. A hörcsögök sajnos zajosak. Ha
x hörcsög van ébren, akkor azok 10x3/2
decibel
zajszintet okoznak. Határozzuk meg a terrárium átlagos zajszintjét. 5.8. Anna két mozijegyet kap egy vetítésre, ezért egymás után felhívja a három barátn®-
jét, hogy egy partner találjon magának. Egészen addig hívja fel ®ket egymás után, míg valaki bele nem egyezik, hogy elkíséri, vagy míg el nem fogynak a barátn®k. A három barátn®je egymástól függetlenül 0,4 valószín¶séggel mond igent Anna meghívására. Jelölje
ξ
a lebonyolított telefonhívások számát. Adjuk meg a
ξ
valószín¶ségi
változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Mennyi annak az esélye, hogy Annának legfeljebb két barátn®jét kell majd felhívnia ? 5.9. Adott egy fert®z® betegség, melyet az emberek 1% valószín¶séggel kapnak el. A
betegségre kifejlesztettek egy tesztet, mely a vérben található antitestek alapján mutatja ki a betegség jelenlétét, de az eljárás drága, egy-egy tesztelés ezer dollárba kerül. Egy kórházban a következ® módon végzik el a páciensek tesztelését. Nem egyesével tesztelik ®ket, hanem összevárnak tíz pácienst, és összeöntik a mintáikat. Ha az eredmény negatív, akkor egyik mintában sincs antitest, tehát mindeki egészséges. Ha a teszt eredménye pozitív, akkor ismét elvégzik a tesztet, de ezúttal már mind a tíz emberen külön-külön, hogy kiderüljön, kik a betegek közülük. a. Jelölje
ξ
azt, hogy hány teszt szükséges a tíz páciens letesztelésére ezzel az új
módszerrel. Határozzuk meg
ξ
eloszlását és várható értékét.
b. Ezzel a módszerrel átlagosan mennyibe kerül egy páciens letesztelése ? 5.10.
a. Péter és Pál a következ® játékot játsza. Feldobnak két szabályos dobókockát, és
ha a dobott számok összege páros, akkor Péter zet Pálnak 100 Ft-ot, míg ha a dobott számok összege páratlan, akkor Pál zet Péternek legyen
x
x forintot. Mennyi
értéke, ha az a céljuk, hogy a játék igazságos legyen ?
b. Péter és Pál úgy módosítja a játékot, hogy nem a dobott számok összegét,
hanem azok szorzatát nézik. Milyen
x
érték esetén lesz igazságos a játék ?
5.11. Péter és Pál az úgynevezett szentpétervári játékot játsza, melynek a következ®k
a szabályai. Péter addig dob egy szabályos pénzérmével, míg fejet nem kap. Ha az n els® fej az n-dik dobásra jön, akkor Pál 2 forintot zet Péternek. a. Jelölje
ξ
Péter nyereményét egy játék során. Határozzuk meg a
ξ
valószín¶ségi
változó eloszlását és várható értékét. b. Péternek minden játék elején egy rögzített nagyságú díjért meg kell vásárolnia
a játék jogát. Milyen ár esetén kedvez a játék Péternek illetve Pálnak ? Milyen ár esetén lesz a játék igazságos ?
13
6. Nevezetes diszkrét eloszlások 6.1. Egy ingatlanügynökségnél az eladott lakások 30%-át szokták a vev®k hitel felvétele
mellett ki zetni. A következ® hétre 6 lakás van eladásra el®jegyezve. A
ξ
valószín¶-
ségi változó jelölje a hitelkonstrukcióban értékesített lakások számát. a. Adjuk meg
ξ
eloszlását, várható értékét és szórását. Mi annak a valószín¶sége,
hogy legfeljebb 4 lakáseladáshoz vesznek majd fel hitelt ? Mennyi a
P (1<ξ <5)
valószín¶ség értéke ? b. Milyen hitelfelvételi arány mellett teljesül legalább 0,95 valószín¶séggel az,
hogy lesz olyan lakás, amit hitelkonstrukcióval adnak el ? 6.2. A légitársaságok a kihasználtság érdekében több jegyet adnak el el®vételben, mint
amennyi hely van a repül®gépen. Ezt arra alapozzák, hogy átlagosan a jeggyel rendelkez® utasok 5 százaléka nem jelenik meg beszálláskor. Természetesen id®nként el®fordul, hogy valaki nem fér fel a gépre, ilyenkor ®t kárpótolják. Legyen adva egy 70 fér®helyes gép, melyre 72 jegyet adott el a légitársaság. Adjuk meg a beszálláskor megjelen® utasok számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy lesz olyan utas, akik már nem fér fel a gépre ? 6.3.
a. Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Jelölje
tunk páratlan számot. Határozzuk meg a
ξ
ξ
azt, hogy hányszor kap-
eloszlását, várható értékét és szó-
rását. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a 10 dobásból pontosan annyi páratlan értéket kapok, mint párosat ? b. Tízszer feldobok két szabályos dobókockát, és legyen
ξ
a kapott dupla dobások
száma. (Egy dobást akkor nevezünk duplának, ha a két kockán azonos értéket kapunk.) Adjuk meg a
ξ
eloszlását és várható értékét. Hányszor dobjak, ha az
a célom, hogy 90% valószín¶séggel legyen dupla a dobások között ? 6.4.
a. Egy kis ú kosarazni tanul, ezért elhatározza, hogy csak akkor megy el ebédel-
ni, ha sikerül dobnia egy kosarat. A dobások egymástól függetlenek, és 15% annak a valószín¶sége, hogy egy dobással betalál. Jelölje dobások számát. Adjuk meg
ξ
ξ
az ebédig történt
eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a
valószínusége, hogy az els® kosárhoz legfeljebb kett®t kell dobnia ? b. Milyen találati arány mellett teljesül, hogy 40% eséllyel két dobás is elegend® ? c. A kis ú bátyja már ügyesebb, ® 70% találati aránnyal dobja a kosarakat.
azt határozza el, hogy csak akkor megy ebédelni, ha már tíz kosarat dobott. Jelölje
η
az ehhez szükséges dobások számát. Határozzuk meg az
η
változó
eloszlását és várható értékét. Mennyi az esélye, hogy 10 dobás elegend® lesz ? 6.5. Addig dobok fel két szabályos dobókockát újra és újra, míg duplát nem kapok.
Mennyi annak az esélye, hogy az els® duplát az ötödik dobásra kapom majd ? Mi a valószín¶sége annak, hogy ötnél több dobás kell majd ? Várhatóan hanyadik dobásra kapom majd az els® duplát ?
14
6.6. Egy gyárban egy nap alatt 50 terméket készítenek, ebb®l 15 selejtes. Min®ségel-
len®rzéskor véletlenszer¶en kivesznek egyszerre 5 terméket, és megvizsgálják ®ket. Jelölje
ξ
a mintában talált selejtes termékek számát. Határozzuk meg a
ξ
valószín¶-
ségi változó eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb egy selejtes termék lesz a mintában ? 6.7. Adott egy urna, benne pedig 4 piros és 6 zöld golyó. a. Visszatevéssel kihúzunk 3 golyót. Határozzuk meg a kihúzott piros golyók szá-
mának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy pontosan két piros golyót húzunk majd ki ? b. Oldjuk meg az a. feladatot visszatevés nélküli mintavételezéssel is. c. Addig húzunk visszatevéssel, míg piros golyót nem kapunk. Adjuk meg a szük-
séges húzások számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az els® piros pontosan a második húzásra jön majd ? 6.8. A Skandináv lottó esetében 35 számból 7-et kell megjelölni. A számok két sorsoláson
is részt vesznek, egy gépin és egy kézin, ez az úgynevezett ikersorsolás. Mindkét számsorsolás alkalmával 77 számot húznak ki. A játékos akkor nyer, ha bármelyik, vagy akár mindkét sorsoláson legalább 4 találata van. Egy szelvénnyel játszunk. a. Adjuk meg a gépi sorsoláson elért találatok számának az eloszlását és a várható
értékét. Mennyi az esélye, hogy a gépi sorsoláson elérünk legalább 4 találatot ? b. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az egyik sorsoláson pontosan 4, a másikon
pontosan 5 találatot érünk el ? Mennyi annak az esélye, hogy egyik sorsoláson sem nyerünk ? Várhatóan hány találatot érünk el összesen a két sorsoláson ? 6.9. Orvosi kutatások szerint az egységnyi nagyságú rádioaktív besugárzás véletlen szá-
mú mutációt okoz egy kromoszomán. A mutációk száma Poisson-eloszlást követ, és a besugárzások 13,5 százalékában nem történik egy mutáció sem. Az egységnyi nagyságó besugárzás átlagosan hány mutációt okoz ? Mennyi annak az esélye, hogy a besugárzás hatására a várható értéknél több mutáció történik ? 6.10. Egy adatszerverre óránként véletlen számú, átlagosan 5 lekérdezés érkezik. Feltehe-
t®, hogy az egy órára es® lekérdezések száma Poisson-eloszlást követ, és a különböz® órákban érkez® lekérdezések száma független egymástól. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy egy adott óraban nem érkezik lekérdezés ? Mennyi annak az esélye, hogy egy adott órában legalább három lekérdezés érkezik ?
15
7. Folytonos valószín¶ségi változók 7.1. Azt mondjuk, hogy a
ξ
változó egyenletes eloszlású az
[a, b]
intervallumon, ha a
s¶r¶ségfüggvénye
f (x) = Ellen®rizzük le, hogy az
f
1/(b − a) , a ≤ x ≤ b , 0, különben.
valóban s¶r¶ségfüggvény, és számoljuk ki az egyenletes
eloszlás eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását.
a érték esetén lesz az alábbi f függvény egy ξ valószín¶ségi változó s¶r¶ségξ valószín¶ségi változó értékkészlete, illetve mekkora a P (2 ≤ ξ ≤ 5) és a P (ξ > 4) valószín¶ség ? Határozzuk meg a ξ és a ξ 3 változó várható
7.2. Milyen
függvénye ? Mi a kapcsolatos értékét illetve szórását. a.
ax2 , −10 ≤ x ≤ 10 , 0, különben.
f (x) = b.
f (x) =
c.
a/x , 1 ≤ x ≤ 5 , 0, különben.
f (x) =
a/x3 , x ≥ 3 , 0, x < 3.
7.3. A TESCO-ban a narancsot a min®ségt®l függ®en változó áron árulják. Feltehet®,
hogy az ár egyenletes eloszlást követ 200 és 400 forint között. a. Jelölje a
ξ változó egy kilogramm narancs árát. Adjuk meg ξ s¶r¶ségfüggvényét
és várható értékét. b. Tegyük fel, hogy a narancsot kilós kiszerelésben árulják, és jelölje
η
azt, hogy
1000 forintból hány kiló narancsot tudunk megvásárolni. Adjuk meg az
η válto-
zó eloszlását és várható értékét. (A kiszerelés miatt csak egész kilogrammokat tudunk megvásárolni !) c. Tegyük fel, hogy a narancs nem kilós kiszerelés¶, tehát nem csak egész kilo-
grammokat, hanem tetsz®leges mennyiséget megvásárolhatunk. Jelölje
η
ismét
azt, hogy hány kiló narancsot tudok megvásárolni 1000 forintból. Mennyi annak az esélye, hogy az
η
változó értéke 3 és 4 közé esik ? Határozzuk meg az
várható értékét és szórását. Írjuk fel az
η
η változó eloszlás- és s¶r¶ségfüggvényét.
7.4. Magyarországon az éves búzatermés közelít®leg egyenletes eloszlást követ 3,5 millió
és 5,5 millió tonna között. A nagyobb termésmennyiség alacsonyabb piaci árat je-
x millió tonna, akkor a modellünkben a búza mondjuk 100 − 10x ezer forint.
lent. Amennyiben a teljes búzatermés tonnánkénti felvásárlási ára legyen
16
a. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az éves búzatermés 4 és 4,5 millió tonna
közé esik ? Határozzuk meg az éves termés várható értékét és szórását.
η a búza tonnánkénti felvásárlási árát. Mekkora valószín¶séggel fog az η felvásárlási ár 62 ezer forint fölé menni ? Határozzuk meg az η várható értékét.
b. Jelölje
c. Hogyan írható fel
ξ
segítségével a teljes hazai búzatermés forintban kifejezett
értéke ? Határozzuk meg a teljes termés értékének a várható értékét. Ez a várható érték egyenl® az a. és b. részben kapott várható értékek szorzatával ? 7.5. Amikor telefonálok, a beszélgetések percekben kifejezett hosszúsága egy valószín¶-
ségi változó, mely az alábbi s¶r¶ségfüggvénnyel írható le :
f (x) = a. Ábrázoljuk az
f
0,5 − 0,08x , 0 ≤ x ≤ 2,5 , 0, különben.
függvényt, és ellen®rizzük le, hogy valóban s¶r¶ségfüggvény.
Határozzuk meg a telefonbeszélgetések hosszának várható értékét és szórását. b. Régebben olyan szerz®désem volt a szolgáltatóval, hogy nem volt kapcsolási
díj, és minden megkezdett percért 30 forintot kellett zetnem. Legyen telefonhívás költsége. Írjuk fel az
η
η
egy
eloszlását és várható értékét.
c. Manapság a szolgáltatók már nem a megkezdett percek alapján, hanem má-
sodperc alapon számláznak. Most egy olyan szerz®désem van, hogy nincs kapcsolási díj, az els® 30 másodperc ingyenes, de utána percenként 40 forintot kell zetnem. Átlagosan mennyibe kerül egy telefonhívás ezen feltételek mellett ? (Tipp : Írjuk fel a hívás költségét a hívás hosszának függvényeként.) 7.6. Legyen
pn , n=1,2, . . . , valószín¶ségeloszlás, tehát olyan valós számsorozat, melynek
tagjai nemnegatívak, és a tagok összege pontosan 1. Tegyük fel, hogy számítógéppel tudunk olyan
ξ
[0,1] inη pozitív egész érték¶ valószín¶ségi P (η = n) = pn , n = 1,2, . . . ?
valószín¶ségi változót generálni, mely egyenletes eloszlású a
tervallumon. Hogyan lehet számítógéppel olyan változót generálni, melyre teljesül az, hogy 7.7. Az 5.2 feladatban határozzuk meg a
ξ3
változó eloszlás- illetve s¶r¶ségfüggvényét.
7.8. Egy m¶szaki berendezés élettartama exponenciális eloszlást követ, a berendezések
átlagos élettartama
5
év. Mennyi annak az esélye, hogy a berendezés kibír
Mennyi annak az esélye, hogy egy
100
1
évet ?
éves berendezés kibír még 1 évet ?
7.9. A rádióaktív anyagok atomjainak élettartama exponenciális eloszlást követ. A 60-as
tömegszámú kobalt izotóp felezési ideje 5,26 év, tehát ennyi id® alatt bomlik le a 60 részecskék fele. Mennyi a Co atom élettartamának várható értéke ? A részecskék mekkora hányada bomlik le 52,6 év alatt ? Feltéve, hogy egy részecske nem bomlott le 52,6 év alatt mennyi annak az esélye, hogy a következ® 5,26 év folyamán sem bomlik le ?
17
8. Valószín¶ségi változók összegének a tulajdonságai 8.1.
a. Adott egy
ξ
valószín¶ségi változó, melynek az eloszlása ismeretlen, de tudjuk,
hogy a változó nem vehet fel negatív számot értékül, továbbá becslést adhatunk a
P (ξ ≥ 10)
E(ξ) = 4. Milyen
valószín¶ségre ?
ξ valószín¶ségi változó, melynek az eloszlása ismeretlen, de tudjuk, E(ξ) = 4 és D(ξ) = 1. Milyen becslést adhatunk annak a valószín¶ségére,
b. Adott egy
hogy
hogy a változó legfeljebb két szórásnyival tér el a várható értékét®l ? 8.2. Feldobok 5 szabályos dobókockát. Mennyi a dobott számok összegének a várható
értéke és a szórása ? Adjunk becslést annak a valószín¶ségére, hogy a dobott számok összege legalább 24. Milyen becslést adhatunk annak az esélyére, hogy a dobott számok összege legalább 12, de legfeljebb 23 ? 8.3. Magyarországon az emberek testtömegének az átlaga 80kg, szórása 20kg. Egy liftbe
beszáll 8 ember, akikr®l feltehet®, hogy egymástól független a testtömegük. a. Határozzuk meg a 8 ember együttes testtömegének várható értékét és szórását. b. A lift maximális teherbírása 800kg. Adjunk becslést annak a valószín¶ségére,
hogy a 8 ember össztömege eléri a maximális teherbírást. 8.4. Szegeden az éves csapadékmennyiség átlagos értéke 550 mm, szórása 100 mm. Felte-
het®, hogy a csapadék mennyisége az egyes években független egymástól. Várhatóan mennyi csapadék fog hullani Szegeden a következ® három évben összesen ? Mennyi a három éves csapadékmennyiség szórása ?Adjunk becslést annak a valószín¶ségére, hogy a három év alatt 1800 mm-nél több csapadék fog majd hullani. Adjunk becslést annak a valószín¶ségére, hogy a három éves összes csapadék mennyisége legfeljebb 300 mm-rel tér el a várható értékt®l. 8.5. A Tisza és a Maros vízhozama számunkra ismeretlen eloszlást követ. Azt tudjuk,
660m3 /s, szórása 160m3 /s, 3 3 értéke 200m /s, szórása 50m /s.
hogy Szentesnél a Tisza vízhozamának a várható értéke míg Makónál a Maros vízhozamának a várható Jelölje
ξ
a Tisza belvárosi hídnál mért vízhozamát. (A Tisza és a Maros vízhozama
a fenti mérési pontok és Szeged között csak elhanyagolható mértékben n®.) a. Határozzuk meg a
ξ
változó várható értékét és szórását, ha a két vízhozam füg-
getlen, ha a két vízhozam korrelációs együtthatója együttható
0,4,
illetve ha a korrelációs
−0,4. A három eset közül vajon melyik áll a legközelebb a valóság-
hoz ? Milyen jelent®sége van a korrelációs együtthatónak az árvizi védekezés szempontjából ? b. A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk a
ξ változó várható
értékét és varianciáját. 8.6. Két részvényb®l állítunk össze egy portfóliót. Mindkett®nek 1000 forint a jelenlegi
ára, az els®b®l 700, a másodikból 300 darabot veszünk. Az els® részvény év végére
18
várhatóan 1100 forintot fog majd érni, és az értékének a szórása 150 forint. A második részvény várhatóan 1300 forintot fog érni, a szórása 450 forint. a. Mennyi a portfóliónk jöv®beli értékének a várható értéke ? Befolyásolja ezt a
várható értéket az, hogy milyen függ®ségi kapcsolat van a két részvény jöv®beli értéke között ? b. Mennyi a portfóliónk jöv®beli értékének a szórása, ha a két részvény értéke füg-
getlen egymástól ? Mennyi ez a szórás, ha a jöv®beli értékek közötti korreláció
+0,5
illetve
−0,5 ?
c. A korreláció függvényében írjuk fel formulával és ábrázoljuk a portfólió jöv®beli
értékének várható értékét és varianciáját. Ezek alapján milyen jelent®sége van a korrelációs együtthatónak ? 8.7. Fizikusok szeretnének megmérni egy mennyiséget, melynek ismeretlen értékét jelölje
a.
Sajnos a mér®berendezés véletlen nagyságú mérési hibát vét, és emiatt a mérés
eredménye nem pontosan az
a
érték, hanem egy
ξ
valószín¶ségi változó. A gyári
adatok szerint a mér®m¶szer torzításmentesen mér, ami azt jelenti, hogy továbbá ismert a mérés szórása is,
D(ξ) = a/10.
egymástól független mérést szoktak elvégezni, (ezek eredményét jelölje és az
a
értéket a mérések
a. Mennyi az
a ˆ
a ˆ = (ξ1 + · · · + ξn )/n
E(ξ) = a,
Ilyen esetekben a zikusok több
ξ1 , . . . , ξn ,)
számtani átlagával szokták becsülni.
becslés várható értéke illetve szórása ?
b. Hány mérést kell elvégezni, ha az a cél, hogy az ismeretlen
a
értéket 95%-os
megbízhatósággal és 1%-os pontossággal megbecsüljük. Tehát, mekkora legyen az
n
értéke, ha azt akarjuk, hogy
P (|ˆ a − a| ≤ a/100) ≥ 0,95 ?
8.8. Az X közvéleménykutató intézet szeretné felmérni az Y párt támogatottsági arányát
a választásra jogosult lakosság körében. Az ismeretlen támogatottsági arányt jelölje
p ∈ (0,1).
Mivel minden választásra jogosult állampolgárt megkérdezni költséges
és id®igényes lenne, telefonos felmérés formájában
n
véletlenszer¶en és visszatevés-
sel( !) kiválasztott ember pártszimpátiáját kérdezik meg. Jelölje
ξ
azt, hogy az
megkérdezett emberb®l hányan szavaznának az Y pártra. Ekkor az ismeretlen támogatottsági arányt lehet becsülni a
pˆ = ξ/n
n p
hányadossal.
ξ valószín¶ségi változó eloszlását. Ennek segítségével írjunk pˆ becslés várható értékét és szórását az n és a p paraméter függvényeként.
a. Határozzuk meg a
fel a
p értéket 90%-os megbízhatósággal és 0,03 pontossággal szeretnék megbecsülni ? Tehát, mekkora legyen n értéke, ha az a cél, hogy P (|ˆ p −p| ≤ 0,03) ≥ 0,9 ? (A számolások során érdemes felhasználni azt, hogy tesz®leges p ∈ (0,1) esetén p(1 − p) ≤ 1/4.)
b. Hány embert kérdezzenek meg, ha az ismeretlen
19
9. A normális eloszlás és a centrális határeloszlás-tétel 9.1. Az IQ teszteket úgy állítják össze, hogy az eredmény a feln®tt populáción belül
normális eloszlást kövessen 100 pont várható értékkel és 15 pont szórással. A népességen belül az emberek mekkora hányada rendelkezik 145 pont feletti IQ értékkel ? Az eloszlástáblázat használata nélkül mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy közelít®leg az emberek 95 százalékának ebbe az intervallumba esik az IQ pontszáma. 9.2.
a. Magyarországon az emberek testtömege (közelít®leg) normális eloszlást követ
80 kg várható értékkel és 20 kg szórással. Az emberek mekkora hányadának esik a testtömege 60 kg és 90 kg közé ? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy az emberek 95 százalékának a testtömege esik bele ebbe az intervallumba. b. Egy liftbe beszáll 8 ember, akikr®l feltehet®, hogy egymástól független a test-
tömegük. Határozzuk meg a 8 ember össztömegének eloszlását. Mennyi annak az esélye, hogy az össztömeg eléri a lift maximális teherbírását, ami 800 kg ? (Hasonlítsuk össze ezt az eredményt a 8.3. feladat eredményével.) c. Mennyi a 8 ember átlagos testtömegének várható értéke és szórása ? Adjunk
meg egy olyan
[a, b]
intervallumot, melyre teljesül, hogy a 8 ember átlagos
testtömege 90% megbízhatósággal ebbe az intervallumba esik.
ξ egy véletlenszer¶en kiválasztott feln®tt ember szisztolés vérnyomása, és legyen η = lg ξ . A statisztikai adatok alapján a teljes populáción belül az η változó nomális eloszlást követ µ = 2 várható értékkel és σ = 0,3 szórással. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy ξ értéke 90 Hgmm és 120 Hgmm közé esik ? A teljes lakosság
9.3. Legyen
mekkora hányadának szenved magas vérnyomásban, tehát nagyobb a vérnyomása,
a és b P a ≤ ξ ≤ b = P lg a ≤ η ≤ lg b .
mint 120 Hgmm ? Tipp : vegyük észre, hogy tetsz®leges
értékek esetén
9.4. Angol tudósok azt vizsgálták, hogy a szavannán él® majmok reggelente milyen elosz-
lás szerint ébrednek fel, és másznak le a fáról. A meg gyelések alapján azt találták, hogy az ébredési id® egy olyan valószín¶ségi változó, mely normális eloszlást követ 7 óra várható értékkel és 30 perc szórással. (Valós kutatás alapján.) a. Határozzuk meg a normális eloszlás paramétereit, tehát az ébredési id®pont
várható értékét és szórását. b. A majmok mekkora hányada kel fel 8 óra után ? Adjunk meg egy olyan id®-
intervallumot, melyre teljesül, hogy a majmok 90 százaléka ebben az id®intervallumban mászik le a fáról. 9.5. Egy felmérés szerint a gyerekek 63 százaléka nem iszik elég folyadékot. 2000 gyereket
megkérdezve várhatóan hány lesz közöttük olyan, aki nem iszik elég folyadékot.
20
Mekkora annak a valószín¶sége, hogy több, mint a felük nem iszik elég folyadékot ? Mennyi annak az esélye, a kevés folyadékot fogyasztó gyerekek száma 700 és 800 közé esik ? 9.6. Az emberek 85%-a gyermekkorában átesik a bárányhiml®n. Megkérdezünk 1000
feln®ttet, hogy átesett-e már ezen a betegségen. Várhatóan hányan fognak majd igent mondani ? Mekkora a valószín¶sége, hogy a válaszadók legfeljebb 87%-a válaszol igennel ? Mennyi annak az esélye, hogy az 1000 emberb®l 120-nál többen, de 150-nél kevesebben válaszolnak nemmel ? 9.7. Feldobok 500 szabályos dobókockát. a. Mennyi a kapott hatosok számának a várható értéke és szórása ? Mennyi an-
nak a valószín¶sége, hogy 100-nál több hatos kapok ? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a hatosok száma 95% valószín¶séggel ebbe az intervallumba esik. b. Mennyi a dobott értékek összegének a várható értéke és szórása ? Mennyi an-
nak az esélye, hogy a dobott számok összege 1650 és 1850 közé esik ? (Erre a valószín¶ségre milyen becslés adható a Csebisev-egyenl®tlenséggel ?) Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a dobott számok összege 99,75% valószín¶séggel ebbe az intervallumba esik. 9.8. Egy biztosító társaságnál egy adott típusú biztosítás esetében a kárértékek egyen-
letes eloszlást követnek 200 és 400 ezer forint között. Egy adott hónapban 50 egymástól független kárbejelentés érkezik. Mennyi az össz kárérték várható értéke és szórása ? Mennyi annak a valószín¶sége, hogy az össz kárérték ebben a hónapban 14 és 16 millió forint közé esik ? Adjunk meg egy olyan
[a, b]
intervallumot, melyre
teljesül, hogy az össz kárérték 95% megbízhatósággal ebbe az intervallumba esik. 9.9. Egy adatszerverre exponenciális id®közönként, átlagosan 5 percenként érkeznek a
lekérdezések. Feltehet®, hogy a lekérdezések közötti id®tartamok függetlenek egymástól. Várhatóan mennyi id® alatt érkezik 50 lekérdezés a szerverre ? Mennyi ennek az id®nek a szórása ? Mennyi annak az esélye, hogy ez az id® 200 és 300 perc közé esik ? Adjunk meg egy olyan
[a, b] intervallumot, melyre teljesül, hogy ez az id® 97%
megbízhatósággal a megadott intervallumba esik.
21
10. Alapstatisztikák, kon dencia intervallumok és a várható érték tesztelése 10.1. Egy
ξ
valószín¶ségi változó értékeit meg gyelve a következ® statisztikai mintát kap-
juk : 6,5, 7,3, 5,4, 2,1, 6,5, 4,7. a. Ábrázoljuk a minta empirikus eloszlásfüggvényét, valamint számoljuk ki a kö-
vetkez® statisztikákat : empirikus várható érték, korrigálatlan/korrigált empirikus variancia és empirikus szórás, standard hiba, medián. b. Tegyük fel, hogy a
ξ
háttérváltozó normális eloszlást követ
D(ξ) = 2 szórással. ξ várható ér-
Adjunk 99% megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot a
tékére. Teszteljük 5%-os szigni kancia szinten azt a nullhipotézist, hogy 6 az elméleti várható érték. c. Oldjuk meg a b. feladatot azzal a módosítással, hogy a
ξ
változó szórását a
mintából becsüljük. 10.2. Bejelentés érkezik a Fogyasztóvédelmi F®felügyel®séghez, hogy az X tejgyár 1 literes
kiszerelés¶ dobozos teje a névleges tartalomnál kevesebbet tartalmaz. Tudni kell, hogy a tölt®berendezések véletlen nagyságú hibával dolgoznak, így ténylegesen egyik dobozban sincs pontosan 1 liter tej. Feltehet®, hogy a dobozokba töltött mennyiség egy
ξ
normális eloszlású változó, melynek 1 liter a várható értéke, ha a gép jól van
beállítva. A fogyasztóvédelem emberei beszereznek hat doboz tejet, és azt találják, hogy ezek 975, 980, 985, 995, 1000, 1010 ml tejet tartalmaznak. (A dobozokban található tej mennyisége független egymástól.) a. Adjuk becslést a
ξ
változó várható értékére és szórására. Ábrázoljuk a minta
empirikus eloszlásfüggvényét. b. A gyári adatok szerint a tejgyárban alkalmazott tölt®berendezés 3 ml szórással
adagolja a tejet. Ezek alapján adjunk 95% megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot a
ξ
változó várható értékére.
c. Teszteljük 5%-os szigni kancia szinten az a nullhipotézist, hogy a tölt®beren-
dezés jól van beállítva, tehát a
ξ
változó várható értéke 1000 ml.
d. Oldjuk meg a b. és a c. feladatrészt azzal a módosítással, hogy a szórást a
mintából számoljuk, és nem a gyári adatot használjuk. 10.3. Régészek radiokarbonos kormeghatározással szeretnék meghatározni egy lel®hely
korát. Ismert, hogy a radiokarbonos módszert az egyazon ásatáson talált különböz® leleteken alkalmazva nem pontosan ugyanazt a kort fogjuk megkapni minden lelet esetében, hanem a kapott korok (közelít®leg) normális eloszlást követnek, melynek elméleti várható értéke a lel®hely igazi kora. a. A radiokarbonos módszert hét leleten alkalmazva a következ® korokat kapjuk :
1180, 1220, 1230, 1250, 1270, 1290 és 1340 év. Adjunk becslést a lel®hely korára,
22
valamint írjunk fel egy 95% megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot erre a korra. b. Egy másik, közeli ásatásról hat leletet vetnek alá kormeghatározásnak. A min-
taátlag 1100 évnek, a korrigált empirikus szórás 50 évnek adódik. (Feltehet®, hogy a két lel®helyr®l származó minták esetében azonos a radiokarbonos módszerrel kapott korok elméleti szórása.) Teszteljük 10%-os szigni kancia szinten azt a nullhipotézist, hogy a két lel®hely egyid®s. Adjunk meg egy 90% megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot a lel®helyek kora közötti különbségre. 10.4. A '80-as években egy klinikai kísérlet keretei között azt vizsgálták, hogy a nagy-
dózisú kálciumbevitelnek van-e vérnyomáscsökkent® hatása. A kísérlet id®tartama alatt 10 alany kálciumtablettákat szedett, míg 11 másik ember, a kontroll csoport, placebot kapott. A 12 hetes kísérlet végén a kísérleti alanyok vérnyomása 100, 114, 105, 112, 115, 116, 106, 102, 125 és 104 Hgmm volt, míg a kontroll csoportban mért vérnyomásértékek 124, 97, 113, 105, 95, 119, 114, 114, 121, 118 és 133 Hgmm voltak. Feltehet®, hogy a vérnyomásértékek mindkét csoportban (közel) normális eloszlást követnek. a. Adjunk 95% megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot a kontroll cso-
portban mért vérnyomás elméleti várható értékére. Teszteljük le azt a nullhipotézist, hogy ez a várható érték 110 Hgmm. b. Feltételezve, hogy a kíséreti és a kontroll csoportban azonos a vérnyomásér-
tékek elméleti szórása, teszteljük azt a nullhipotézist, hogy a két csoportban azonos a vérnyomásértékek elméleti várható értéke. Érdemes bevezetni a gyógyászatban a nagydózisú kálciumkezelést, mint a magas vérnyomás ellenszerét ? c. Ellen®rizzük le azt a feltevést, hogy a két csoportban azonos a vérnyomásérté-
kek elméleti szórása. 10.5. Ismert, hogy a kakukkok más madarak fészkeibe rakják a tojásukat. 1940-ben Edgar
Chance angol ornitológus azt vizsgálta, hogy a kakukktojások mérete függ-e attól, hogy a kakukk milyen fajtájú madár fészkébe csempészi bele a tojását. Megmért 16 illetve 15 kakukktojást, melyeket vörösbegyek illetve ökörszemek fészkében talált. A vörösbegyfészkekben talált tojások átlagos hosszúsága 22,4 mm volt, míg ugyanez az érték az ökörszemfészkekben talál tojásoknál 21,2 mm volt. A korriált empirikus szórás a két minta esetében 0,94 mm illetve 0,68 mm volt. Feltehet®, hogy a kakukktojások hossza mindkét fészekben normális eloszlást követ. a. Tegyük fel, hogy a két fészektípus esetében azonos a kakukktojások hosszának
a szórása. Teszteljük le 1%-os szigni kancia szinten azt a nullhipotézist, hogy a kakukktojások hosszának a várható értéke azonos a vörösbegyek és az ökörszemek esetében. Adjunk 99% megbízhatósági szint¶ kon dencia intervallumot a várható értékek különbségére. b. Teszteljük le az a. pontban alkalmazott feltevésünket is, tehát azt, hogy a két
fészektípus esetében megegyezik a kakukktojások hosszának a szórása.
23
11. A χ2-próba és a Pearson-féle korrelációs teszt 11.1.
a. Feldobunk egy nem feltétlenül szabályos dobókockát 100 alkalommal. A dobá-
sok során 15 egyest, 15 kettest, 15 hármast, 15 négyest, 20 ötöst és 20 hatost kaptunk. Mi most a statisztikai minta, és mekkora az elemszáma ? A minta alapján adjunk pontbecslést az egyes értékek dobásának a valószín¶ségére. Teszteljük 5%-os szigni kancia szinten azt a nullhipotézist, hogy a dobókocka szabályos, tehát minden értéknek 1/6 az esélye. Teszteljük azt a nullhipotézist is, hogy hatosdobás valószín¶sége 1/6. b. Ugyanezt a dobókockát most 1000 alkalommal dobjuk fel, melyb®l 150 egyest,
150 kettest, 150 hármast, 150 négyest, 200 ötöst és 200 hatost kapunk. Oldjuk meg az a. feladatrészt ezzel a módosítással. 11.2. 11.3. Az alábbi két táblázat azt tartalmazza, hogy egy f®iskolán a hallgatók közül a
tanulmányaik mellett hányan dolgoznak rész- vagy teljes munkaid®ben. Az els® táblázat életkor szerinti bontásban mutatja a hallgatókat, a második a 20-24 éves korosztályt részletezi ki nemek szerint is bontva. Rész-
Teljes
Össz.
Nem
Rész-
Teljes
Össz.
15-19
355
33
388
Fér
272
59
331
20-24
571
122
693
N®
299
63
362
25-34
183
186
369
Összes
571
122
693
90
198
288
1199
539
1738
Korcsoport
35Összes
a. Mekkora a teljes minta elemszáma ? A hallgatók mekkora hányada dolgozik
részmunkaid®ben ; mekkora hányaduk 35 év feletti ; illetve mekkora hányaduk dolgozik részmunkaid®ben ÉS 35 év feletti. Ezek alapján függetlennek t¶nik a hallgatók életkorától az, hogy napi hány órában dolgoznak ? Teszteljük 1%-os szigni kancia szinten a két tényez® függetlenségét. b. Mekkora a minta elemszáma a második táblázatban ? A 20-24 éves korcsoport-
ban teszteljük le azt a nullhipotézist, hogy a hallgatók neme nem befolyásolja azt, hogy napi hány órában vállalnak munkát. A szigni kancia szint 1%. 11.4. 11.5. 1960-ban az Egyesült Államokban egy orvosi kutatás keretei között felmérték, hogy
az egyes tagállamokban milyenek a dohányzási szokások, illetve mekkora a különféle ráktípusok gyakorisága. Az alábbi táblázat hat tagállam adatait tartalmazza. A cigeretta oszloban az található meg, hogy egy év alatt a lakosok átlagosan hány száll cigerettát szívtak el. A tüd®rák és a leukémia oszlop azt mutatja, hogy mennyi volt a halálesetek száma ebb®l a két betegségb®l kifolyólag 100 ezer f®re vetítve.
24
Tagállam
Cigeretta
Tüd®rák
Leukémia
Alaszka
1820
17,05
6,15
Kalifornia
2860
22,07
7,06
Florida
2827
23,57
6,07
New York
2914
25,02
7,23
Texas
2257
20,74
7,02
Washington
2117
20,34
7,48
a. Mekkora a minta elemszáma, és mik a meg gyelések ? Teszteljük le 5%-os
szigni kancia szinten a cigeretta és a tüd®rák változók függetlenségét. Ezek alapján tapasztalható kapcsolat a dohányzási szokások és a tüd®rák kialakulása között ? Ha igen, akkor a kapcsolat milyen irányú illetve er®sség¶ ? Ábrázoljuk a meg gyeléseket koordináta-rendszerben, és végezzünk lineáris regressziót a cigeretta és a töd®rák változón. b. 5%-os szigni kancia szint mellett van statisztikailag kimutatható kapcsolat a
dohányzási szokások és a leukémia kialakulása között ? 11.6. Az alábbi táblázat a Miss America szépségverseny 1981 és 1990 közötti gy®zteseinek
testmagasságát (cm) és testsúlyát (kg) tartalmazza. Év
Név
Testmagasság
Testsúly
1981
Susan Powell
163
50
1982
Elizabeth Ward
175
59
1983
Debra Maett
170
52
1984
Vanessa Williams
168
50
1984
Suzette Charles
160
45
1985
Sharlene Wells
173
54
1986
Susan Akin
175
52
1987
Kellye Cash
173
53
1988
Kaye Lani Rae Rafko
179
59
1989
Gretchen Carlson
160
49
1990
Debbye Turner
173
54
a. Határozzuk meg a testmagasság és a testsúly közötti korrelációs együtthatót,
valamint teszteljük le azt a nullhipotézist, hogy a két mennyiség független egymástól. A korrelációs együttható alapján milyen irányú és milyen er®sség¶ kapcsolat mutatható ki a testsúly és a testmagasság között ? b. Ábrázoljuk az adatsort koordináta-rendszerben, majd végezzünk lineáris reg-
ressziót.
25
12. Paraméterbecslések 12.1. Egy almáskertben a fákat egy fert®zés támadja meg, a fert®zött fák száma Poisson-
eloszlást követ. A kertben tíz egyforma nagyságú ültetvény található, melyekben rendre 0, 3, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 1 és 2 beteg fát találtak. Adjunk becslést a Poisson-eloszlás
λ
paraméterése a maximum likelihood illetve a momentum módszer segítségével.
12.2. Egy adott típusú izzó egy-egy felkapcsolás során rendre
gyárban
n
p
valószín¶séggel ég ki. A
izzót tesztelve azt tapasztalják, hogy ezek rendre
után égtek ki. Adjunk becslést a
x1 , . . . , x n
felkapcsolás
p értékre a maximum likelihood illetve a momentum
módszer segítségével. 12.3. A bálnaállomány becslésére a következ® módszert szokták alkalmazni. Néhány na-
pon át kb. 30 cm hosszú fémhengereket l®nek be a bálnák zsírpárnájába, közvetlenül a b®r alá. Feljegyzik, hogy hány bálnát jelölnek meg (M ), majd felszólították a bálnahalászokat, hogy adják meg, hány bálnát fogtak ki összesen (n), és ezek közül hány volt megjelölve (k ). Ezen mennyiségek ismeretében a momentumok módszerét alkalmazva adjunk becslést a bálnák
N
számára.
12.4. Egy adatszerverre a lekérdezések exponenciális id®közönként érkeznek ismeretlen
λ
paraméterrel. Hat véletlenszer¶en kiválasztott id®köz hosszúsága 1,94, 0,33, 2,51, 5,27, 1,73 és 0,61 perc. Adjunk becslést a paraméterre a maximum likelihood illetve a momentum módszer alkalmazásával. 12.5. Egy
x1 , . . . , x n
statisztikai minta alapján adjunk maximum likelihood becslést az
alábbi s¶r¶ségfüggvényekkel de niált folytonos eloszlás
f (x) = 12.6.
α>0
paraméterére.
2αx(1 − x2 )α−1 , 0 < x < 1, 0, egyébként.
a. Adott két pénzérme, az egyik szabályos, a míg a másikkal 0,25 valószín¶séggel
dobunk fejet. Véletlenszer¶en kiválasztunk egy érmét, és feldobjuk egy alkalommal. Adjuk meg a szabályos érme kiválasztásának
a priori
és
a posteriori
valószín¶ségét, ha a dobás eredménye írás, illetve ha fej. b. Módosítsuk a feladatot olyan módon, hogy a kiválasztott érmét addig dobjuk
fel újra és újra, míg fejet nem kapunk, és jelölje
k
azt, hogy hanyadik dobásra
jön az els® fej. Határozzuk meg a szabályos érme kiválasztásának valószín¶ségét a
k = 1,2,3
k
a posteriori
érték függvényében. Számoljuk ki a kérdéses valószín¶séget
esetén, továbbá határozzuk meg a határértékét, amint
k → ∞.
12.7. Egy közlekedésmérnök egy útkeresztez®dés forgalmát elemzi. Azt tapasztalja, hogy
a keresztez®désen percenként áthaladó járm¶vek száma Poisson-eloszlást követ, melynek
λ paramétere függ attól, hogy a nap melyik id®szakában vizsgáljuk a rend-
szert. Az id® 70 százalékában kicsi forgalom, ilyenkor a Poisson-eloszlás paramétere
λ = 3,
míg a fennmaradó id®ben, mikor nagyobb a forgalom, a paraméter
26
λ = 5.
a. Adjuk meg a
λ
paraméter
a priori
eloszlását.
b. Egy véletlenszer¶ id®pontban a mérnök azt tapasztalja, hogy egy perc alatt
autó hajtott át a keresztez®sésen. Mi a
λ
k
paraméter eloszlása ezen információ
birtokában ? 12.8. Egy képfelismer® programot készítünk azzal a céllal, hogy a program eldöntse, a
megadott képen látható alakzat kör, négyzet vagy háromszög. Az alábbi táblázat azt tartalmazza, hogy a program a tesztelés során a különféle inputokra mekkora valószín¶séggel adta vissza a lehetséges outputokat. input
output kör
négyzet
háromszög
kör
0,6
0,4
0
négyzet
0,2
0,6
0,2
háromszög
0
0
1
Az alkalmazás során el®reláthatóan az input alakzatok 30, 50 és 20 százaléka lesz kör, négyzet, illetve háromszög. a. Adjuk meg a három alakzat
a priori
eloszlását.
b. Tegyük fel, hogy az alkalmazás során a program egy képet négyzetként ismer
fel. Határozzuk meg a három alakzat
27
a posteriori
eloszlását.
