Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar

Orova Lászlóné dr.

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Gödöllı, 2008.

Excel – kidolgozott feladatok

SZIE GÉK Informatika Tanszék

Bevezetı

Ez a feladatgyőjtemény összefoglalja az Informatika alapjai tantárgy keretében oktatott, Excellel kapcsolatos fıbb témaköröket, ismertnek tekintve az alapvetı táblázatkezelıi mőveleteket, mint pl. formázás, képletek bevitele, beépített függvények beszúrása. Az Excel további alkalmazási területeivel az Informatika tárgy foglalkozik. A példatár szerkezete: témakörönként rövid elméleti összefoglaló, kidolgozott példa, majd gyakorlásra ajánlott feladatok, melyek megoldása a példatár végén megtalálható. Jelen példatár Dr. Molnár Sándor Informatika alapjai tárgy keretében tartott elıadásaira épül. A példatár használatát megkönnyíti Molnár Sándor, Csikós Miklósné, Lágymányosi Attila: Informatika alapjai jegyzetének ismerete. Ez a feladatgyőjtemény kézirat, lehetséges, hogy még tartalmaz hibákat. Minden egyes, elıször jelzett hibáért pontjutalmat ad a szerzı.

Tartalomjegyzék

1.

FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS .................................................................................. 3

2.

MÁTRIXMŐVELETEK......................................................................................... 8

3.

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK .................................................................... 12

4.

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA.......................................... 15

5.

LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALAPJAI ............................................................ 18

6.

FELADATOK EREDMÉNYE ............................................................................. 23

2



1. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS Az Excel a függvényt megadó matematikai összefüggés alapján nem tudja közvetlenül a függvény görbéjét lerajzolni, de síkbeli (térbeli) pontokat adott koordinátákkal meg tud jeleníteni. A függvényábrázolás fıbb lépései: A függvény néhány pontjának meghatározása: pontok koordinátáit tartalmazó táblázat. A pontok ábrázolása diagramvarázsló segítségével Pont (xy), vagy a Felület típusú diagrammal, attól függıen, hogy a függvény egy-, vagy kétváltozós.

Függvényábrázolás Descartes-féle koordinátarendszerben Kidolgozott feladat Ábrázolja az f ( x) = 2 ln x + sin x 2 függvényt az [1;5] intervallumon 0.2-es lépésközzel! (Trigonometrikus függvény radiánt használ az Excelben.) Kidolgozás

3



Függvényábrázolás polárkoordináta rendszerben A polárkoordináta rendszerben megadott függvényt elıször át kell írni Descartes-féle koordináta rendszerbe, majd azt az elızıekhez hasonlóan lehet ábrázolni: Kidolgozott példa Ábrázolja az r = ϕ függvényt a [0;2 ϕ ] intervallumon!

Kidolgozás

4



Kétváltozós függvény ábrázolása Kidolgozott feladat: Ábrázolja f(x,y)=x2+y2 függvényt a [-2;2] intervallumon! Kidolgozás Felület típusú diagram alkalmazásával:

Egyenlet megoldása grafikusan Feladat: f(x)=g(x) meghatározása Egy diagramon ábrázolva f(x) és g(x) függvényeket a görbék metszéspontjának leolvasásával az egyenlet közelítı megoldása meghatározható. Kidolgozott példa 3sinx=2x,

x=?

a [-4;4] intervallumon.

5



Kidolgozás

Az egyenlet megoldása x ≅ ±1,4

1.

Egyenlet megoldása Célérték-kereséssel

Egyenlet megoldására az Excel beépített lehetısége a Célérték-keresés. Fıbb lépések •

Az egyenlet konstansra rendezése

•

Az egyenlet ismeretlent tartalmazó oldalának cellába vitele Excel képletként, kezdeti érték felvételével

•

Eszközök menü Célérték-keresés

Csak a kezdeti értékhez legközelebbi gyököt találja meg, a többit más kezdeti értékhez tartozó Célérték-kereséssel lehet meghatározni. Érdemes ezért elıször grafikusan meghatározni a gyökök számát és körülbelüli értékét. Kidolgozott példa Oldja meg 2 ln x + sin x 2 = 1,5 egyenletet az [1;5] intervallumon, •

Az egyenlet bal oldalának ábrázolása a megadott intervallumon →

•

a gyökök közelítı helye x1 ≅ 1,3 ; x 2 ≅ 1,6 ; x3 ≅ 2,6 ld. a 3. oldalon a görbét.

gyökök száma: 3,

6

Excel – kidolgozott feladatok •


A három különbözı gyökre külön-külön Célérték-keresés: ◦

Célcella: képletet tartalmazó cella (egyenlet bal oldala)

◦

Célérték: milyen értéke legyen a képletnek (egyenlet jobb oldala). Mindig egy valós szám!

◦

Módosuló cella: ahol a változó van. (Az x értékét tartalmazó cella, amire a képletben hivatkozunk.)

Eredmény a módosuló cellában olvasható le: A28= 1,287

A másik két kezdeti értékre is lefuttatva a Célérték-keresést: x2= 1,59216997, x3= 2,44725069

Fela da to k 1.1

Ábrázolja az f ( x) = e x −1 + 2 függvény görbéjét a [0;5] intervallumon!

1.2

Ábrázolja az g ( x) = e

1.3

Ábrázolja az h( x) =

1.4

Ábrázolja az r (ϕ ) = 3 sin ϕ függvény görbéjét a [0;2 π ] intervallumon!

1.5

Ábrázolja az r (ϕ ) = sin(ϕ / 2) 2 függvény görbéjét a [0;2 π ] intervallumon

1.6

Ábrázolja f ( x, y ) = sin x + cos y függvényt a [-2;2] intervallumon!

x − cos( x )

függvényt a [0;15] intervallumon 0,5-es lépésközzel!

cos(3 x 2 ) + 1 függvény görbéjét a [-5;5] intervallumon! x 4 + sin x + 1

7



2. MÁTRIXMŐVELETEK Összeadás, kivonás Mátrixok összeadása, kivonása: megfelelı elemek összege (különbsége), csak azonos mérető mátrixokkal végezhetı mőveletek.

Kidolgozott példa

2 − 1 3  A = 0 1 − 4 3 0 1 

A + B = ? , ha

 1 0 3 B = − 3 1 2  0 5 1 

Fıbb lépések •

A kiindulási mátrixok Excel táblázatba, tömbbe írása, a mátrix minden egyes eleme külön cellába kerül.

•

Az eredmény mátrix helyének kijelölése: B5:D7 tömb.

•

Szerkesztılécen a képlet beírása: a két tömb összege (a tömbök megfelelı celláinak összege)

•

Az eredménynek több cellában kell megjelennie (többértékő függvényt alkalmaztunk), ezért nem Enter-rel, hanem Ctrl + Shift + Enter együttes lenyomásával zárjuk a szerkesztést. (Érdemes az Enter-t utoljára lenyomni, miközben a másik két billentyőt benyomva tartjuk.) Az eredmény:

Mátrix szorzása konstanssal Kidolgozott példa: Határozza meg B = c A mátrixot, ha c = 5 ! A megoldás hasonló:

menete

az

összevonáshoz

•

A kiindulási adatok bevitele.

•

Az eredmény mátrix helyének kijelölése: B5:D7 tömb.

•

Szerkesztılécen a képlet beírása: =G2*B1:D3

•

Ctrl + Shift + Enter Az eredmény:

8



Mátrixok szorzása Két mátrix összeszorozható, ha méretükre igaz: az elsı mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix sorainak száma az elsı mátrix sorainak számával, az oszlopainak száma a második mátrix oszlopainak számával egyenlı. A fentiekbıl következik, hogy a tényezık sorrendje csak speciális esetben cserélhetı fel. Mátrixszorzás lépései Excelben: •

A mátrixok táblázatra vitele.

•

Eredménymátrix tömbjének kijelölése.

•

Beépített függvény használata

•

Ctrl + Shift + Enter

=mszorzat(tömb1;tömb2)

Kidolgozott példa

AB = ? ,

ha

0 1 − 1 2  A=1 0   1 −1  0 1

2 1  0  0 1 

1 3  B 0 2  1 −1

Lépések: •

A mátrixok táblázatba vitele után:

•

Eredménymátrix tömbjének kijelölése,

•

=mszorzat(B2:D6;G3:H5),

•


• Eredmény:

9



Mátrix transzponálása A mátrix transzponálása a megfelelı sorok és oszlopok felcserélése.

Kidolgozott példa Állítsa elı az A mátrix transzponáltját! 0 2 1 − 1 2 1    A=1 0 0    1 − 1 0  0 1 1  Megoldás menete a mátrixok táblázatba vitele után: •


•

=transzponálás(B1:D5)

•


Mátrix determinánsa Az A négyzetes mátrix determinánsa: det A , egy valós szám. Ha det A ≠ 0 , akkor az A mátrix sorai, oszlopai lineárisan függetlenek, azaz egyik sor (oszlop) sem állítható elı a többi sor(ok) (oszlop(ok)) valamelyikeinek lineáris kombinációjaként. (Pl. másik két sor összegeként, különbségeként, az egyik oszlop 3szorosaként, stb…). Ha det A = 0 , akkor éppen ellenkezıleg, az A mátrix sorai, oszlopai lineárisan összefüggık. (Pl. egyik sor elıállítható másik két sor különbségének 5-szöröseként, stb…)

Kidolgozott példa det A = ? ,

ha

1 2 − 1 A = 0 7 3  5 − 3 0 

Megoldás menete a mátrix táblázatba vitele után: •

Eredmény cellájának kijelölése,

•

=mdeterm(tömb),

•

Enter, mivel az eredményt egyetlen cellában kell kiíratni.

10



Mátrix inverze Az A mátrix inverze az a mátrix, mellyel bármely oldalról megszorozva az eredmény egységmátrix: A* A

−1

−1

= A *A= E

Fontos tudnivalók •

Csak négyzetes mátrixnak van inverze, ha a determináns nem nulla.

•

Az inverz mátrix az eredeti mátrixszal azonos mérető.

•

Az egységmátrix mindig négyzetes, fıátlóban egyeseket, másutt nullákat tartalmaz. (Jelen esetben mérete a mátrix méretével azonos.)

Kidolgozott példa: A

−1

=?,

ha

1 2 − 1 A = 0 7 3  5 − 3 0  Megoldás menete A mátrix táblázatba vitele után: •


•

=inverz.mátrix(tömb),

•

Ctrl + Shift + Enter Eredmény:

Fela da to k: 2.1

Adottak a következı mátrixok:

 0 1 A = − 8 3  1 4

1 5 3  B = 7 2 0 2 0 1

2 0 0 C = 0 2 4 2 1 2

2 6 4 D=  2 1 0

Végezze el az alábbiak közül az elvégezhetı mőveleteket Excel segítségével! a)

A∗ D

b)

B∗C

d)

A+ B

e)

( B + C ) ∗ det( B )

f)

D∗C

c)

A+ D

T

−1

−1

11



3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK A síkbeli lineáris transzformációk (eltolás, tükrözés, nagyítás, forgatás) megvalósíthatók egyegy alkalmasan megválasztott transzformációs mátrix és a síkbeli alakzat jellemzı pontjaiból alkotott mátrix szorzataként.

Az eltolás mátrixa miatt szükséges a z=1-es síkban levı síkidomokat transzformálni.

Kidolgozott példa Forgassa el az ABC háromszöget 30 fokkal, ábrázolja az eredeti és a transzformált alakzatot ugyanabban a koordináta-rendszerben, ha A(2,1), B(6,3), C(4,7). A háromszöget akkor tudjuk ábrázoltatni, ha feltüntetjük az összekötendı pontokat, ezért az A pont koordinátái kétszer szerepelnek a mátrixban. Az Excel szögfüggvényei radiánt használnak a szögek mértékegységeként.

12



Kidolgozás

13



Az eredeti és az elforgatott háromszög: Forgatás 30 fokkal 9 -0,035898385, 8,062177826

8 7

4, 7

6

3,696152423, 5,598076211

5

Adatsor1 Adatsor3

4 3

6, 3 1,232050808, 1,866025404

2 1

2, 1

0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

Fela da to k 3.1 Forgassa el az ABCD négyszöget az A csúcsa körül, ha A(1;2;1), B(3;1;1), C(6;4;1), D(5;7;1)! 3.2 Tükrözze az ABC háromszöget az AB oldal egyenesére, ha A(-2;3;1), B(3;3;1), C(1;5;1)

14



4. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA Lineáris egyenletrendszer általános alakja a11 x1 + a12 x 2 + ...a1m x m = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ...a 2 m x m = b2 . . a n1 x1 + a n 2 x 2 + ...a nm x m = bn Feladat: adott aij és bi

i=1, 2, …n,

j=1, 2, ….m esetén xj meghatározása b≠0 esetén.

Lineáris egyenletrendszer inverzének segítségével

megoldása

az

együtthatómátrix

A fenti egyenletrendszer átírható a mátrixszorzás szabályainak megfelelıen az alakban: Ax=b, ahol

 a11 a A =  21  :  a n1

... a1m   x1  ... a 2 m  x =  :  az együtthatómátrix az ismeretlenek   x m   a n 2 ... a nm   b1  b =  :  az egyenletrendszer jobb oldalából képzett oszlopvektor. oszlopvektora, bn  a12 a 22

Az inhomogén egyenletrendszer ( b ≠ 0 ) megoldható az alábbi alakban, ha az egyenletek lineárisan függetlenek egymástól, azaz, ha det A ≠ 0 :

x=A-1*b A lineáris egyenletrendszer megoldásához szükséges mőveletek: •

det A ≠ 0 érvényességének megvizsgálása

•

A-1 meghatározása

•

a szükséges mátrixszorzás elvégzése (sorrend fontos!)

15



Kidolgozott példa Oldja meg az alábbi egyenletrendszert: x1 + 2 x2 − x3 = −1 7 x2 + 3 x3 = −7 5 x1 − 3 x2 = 8

A már megismert Excelben a megoldás:

mőveletekkel

az

Egyenletrendszer megoldására az Excel beépített lehetısége a SOLVER.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Solver segítségével Az elıbbi feladat megoldása Eszlözök /Solver segítségével: (Ha a menüben a SOLVER nem jelenik meg, rá kell keresni a Solver.xla-ra, majd el kell indítani, vagy Eszközök/Bıvíménykezelı menüpontban be kell jelölni a Solvert. A Solver alkalmas szélsıéték-feladatok megoldására, lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek megoldására, lineáris programozási feladat megoldására ld. késıbb.) Szükséges lépések: •

Az egyenletrendszert alkotó egyenletek konstansra rendezése.

•

Az ismeretlenek számára egy-egy cella kijelölése, célszerően egy tömbben, kezdeti értékek megadásával. Pl.: 1.

•

Az egyes egyenletek ismeretlen tartalmazó oldalának egy-egy cellába vitele képlet formájában.

•

Solver párbeszédablak kitöltése: ◦

Célcella: egyik egyenlet bal oldala,

◦

Célérték: az elıbbi egyenlet jobb oldala (konstans!!!),

◦

Módosuló cella: Ismeretlenek tömbje,

◦

Korlátozó feltételek: a többi egyenlet.

16



Kidolgozás

(B2:D2;B$5:D$5)

Megoldás gomb megnyomása után a Solver eredményeket az eredeti táblázatban kérve az egyenletrendszer megoldása a B5:D5 tömbben jelenik meg. (1; -1; 0)

Fela da to k 4.1

a)

Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket az ismertetett módszerekkel:

a + 2b + 2c = 3 −b+c+d = 4 a + b + 2c + d = 4 a + b + c + 6d = 8

− 2x + y = 3 b)

2x + 3 y + z = 2 4y + z = 3

c)

3u + 2v = −1 5u + w = −5 3u + 4v + w = 1

17



5. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALAPJAI Probléma: korlátozó feltételek mellett, valamely cél szempontjából optimum elérése, azaz

x vektor meghatározása

- adott feltételek esetén (lineáris egyenlıtlenség rendszer) - valamilyen cél teljesülésével. (Maximum, minimum, egy bizonyos érték elérése, mely az ismeretlen lineáris függvénye)

Matematikai modell: x=?, ha x≥0 normál feladat

A⋅ x ≤ B c ⋅ x → max T

Részletesen: xi ≥ 0 , i=1...n a11 * x1 + a12 * x 2 + ... + a1n * x n ≤ b1 a 21 * x1 + a 22 * x2 + ... + a 2 n * xn ≤ b2

feltételrendszer . . .

a m1 * x1 + a m 2 * x 2 + ... + a mn * x n ≤ bm és c1 * x1 + c 2 * x 2 + ..... + c n * x n → max

célfüggvény

További feladattípusok: Módosított normál feladat: a feltételrendszerben az egyenlıtlenség mellett = reláció is szerepel. Általános maximum, ill. minimumfeladat: a feltételrendszerben = ≤ ≥ = < > relációk szerepelhetnek., s a célfüggvénynek a maximum- ill. a minimum-helye a kérdés. Alkalmazás: termelési, keverési, darabolási, szállítási, hozzárendelési feladatok. Megjegyzés az LP feladatok megoldhatóságáról: – az LP feladatnak nincs megengedett megoldása ( a feltételrendszer megoldáshalmaza üreshalmaz), akkor az eredeti feladatnak sincs megoldása, – az LP feladatnak van ugyan megengedett megoldása, de nincs optimális megoldása, – az LP feladatnak van optimális megoldása - egyetlen optimális megoldás van - végtelen sok optimális megoldás van 18



Kidolgozott példák 1. Oldja meg a következı LP feladatot grafikus úton! x≥0;

y≥0;

2x+y

2x+3y≤20;

4x+y≤15

max

Kidolgozás Két ismeretlen lévén a feltételek és a célfüggvény is ábrázolható a Descartes-féle koordináta rendszerben. Azonos átalakításokat alkalmazva az ábrázolandó a feltételrendszer: x≥0;

y≥0;

y≤(20-2x)/3;

y≤15-4x

és a célfüggvény: y=C-2*x, s keressük a feltételrendszert kielégítı legnagyobb C értéket. (Az adott meredekségő egyenest önmagával párhuzamosan „felfelé” tolva, míg a feltételrendszer megoldáshalmazán van (ld. ábra).

E kétváltozós feladat lehet például az alábbi termelési feladat matematikai modellje: Kétféle terméket gyártunk: I. és II. az A és B nyersanyagok felhasználásával. Egy egységnyi I. termékhez 2 egység A és 4 egység B nyersanyag szükséges, egy egységnyi II. termékhez pedig rendre 3, ill. 1 egység. Hány egységet állítsunk elı az I. és a II. termékekbıl, hogy a maximális legyen a bevétel, ha a nyersanyagkészletek (20, ill. 15 egység) nem léphetık túl és az I. ill. II. termék egységára 2 ill. 1? (A piac felvevıképessége korlátlan.)

Nyersanyag\Termék A B Eladási egységár

I 2 4 2

II 3 1 1

Nyersanyag készlete 20 15

19



2. Egy gyárban négyféle terméket gyártanak (A, B, C, D). Minden eladott darab után a várható haszon termékenként 1000, 300, 600, 350 Ft. Egy darab termék elıállításához szükséges gépidı és a megmunkáló gépek kapacitása az alábbi táblázatban van összefoglalva. Határozza meg, hogy az egyes termékekbıl hány darabot állítsanak elı, ha a maximális haszonra törekszenek, de a gépek kapacitását nem léphetik túl. Megmunkáló gépek

Termékek

Gépek

A

B

C

D

kapacitása

[óra/db]

[óra/db]

[óra/db]

[óra/db]

[óra]

eszterga

1

0

2

1

280

maró

2

1

0

0

140

köszörő

0

1

1

1

120

Kidolgozás Matematikai modell Ismeretlenek: A különbözı termékekbıl gyártandó darabszám: xA, xB, xC, xD [db]. Feltételek:

- csak 0, vagy ettıl nagyobb darabszám állítható elı: xA, xB, xC, xD ≥0

- a darabszám egész érték lehet csak: xA, xB, xC, xD: egész - az eszterga, maró, köszörő kapacitások nem léphetık túl: x A + 2 xC + xD ≤ 280 2 x A + xB ≤ 140

[óra]

xB + xC + xD ≤ 120 Cél: A maximális bevétel: 1000 x A + 300 x B + 600 xC + 350 xD → max

[Ft]

A feladat megoldásához szükséges lépések az Excelben: 1. Alapadatok beírása; egy-egy cella biztosítása az ismeretleneknek, az egyenlıtlenségek bal oldalának és a célfüggvénynek (Excel képletek, melyek hivatkozik az ismeretlen cellájára!). 2. Solverparaméterek megadása, Solver futtatása.

20



1. lépés:

2. lépés:

21



Az A termékbıl tehát 70, a B-bıl 0, a C-bıl 90 és a D termékbıl 30 db elıállítása esetén érhetı el a maximális haszon (134500Ft) az adott feltételek mellett.

Fela da to k 5.1 Oldja meg a grafikusan megoldott feladatot (az elsı Kidolgozott feladat) Solver segítségével! 5.2 Oldja meg az alábbi LP feladatot: x≥0;

y≥0;

z≥0

10x+12y+34z≤30 21x+10y+13z≤20 23y+41z≤60 10x+23y+62z

max

22

6. FELADATOK EREDMÉNYE 1.1

Ábrázolja az f ( x) = e x −1 + 2 függvény görbéjét a [0,5] intervallumon! f(x) 60 50 40 30 20 10 0 0

1.2

1

Ábrázolja az g ( x) = e

2

x − cos( x )

3

4

5

6

függvényt a [0;15] intervallumon 0,5-es lépésközzel! g(x)

120 100 80 60 40 20 0 0

1.3

5

Ábrázolja az h( x) =

10

15

20

cos(3 x 2 ) + 1 függvényt a [-5;5] intervallumon! x 4 + sin x + 1 h(x) 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

-6

-4

-2

-0,5 0

2

4

6

Excel – kidolgozott feladatok 1.4


Ábrázolja az r (ϕ ) = 3 sin ϕ függvény görbéjét a [0;2 π ] intervallumon! r=3sin(fi) 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -2

1.5

-1,5

-1

-0,5 -0,5 0

0,5

1

1,5

2

Ábrázolja az r (ϕ ) = sin(ϕ / 2) 2 függvény görbéjét a [0;2 π ] intervallumon r=sin(fi/2)^2 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -1,5

-1

-0,5

-0,2 0

0,5

-0,4 -0,6 -0,8

Ábrázolja f ( x, y ) = sin x + cos x függvényt a [-2;2] intervallumon!

f(x,y)=sin x+cos x 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 S21

-1

S11 21

17

13

9

5

-1,5 1

1.6

S1

24



2.1

3.1

Forgassa el az ABCD négyszöget az A csúcsa körül, ha A(1;2;1), B(3;1;1), C(6;4;1), D(5;7;1)! A forgatás mátrixa O körül forgat, így a feladat csak több lépésben oldható meg: Az alakzat eltolása úgy, hogy az A csúcsa az origóba kerüljön, majd a transzformált alakzat elforgatása, s végül az elforgatott alakzat visszatolása, hogy az A csúcs az eredeti helyére kerüljön.

25



3.2 Tükrözze az ABC háromszöget az AB oldal egyenesére, ha A(-2,3,1), B(3,3,1), C(1,5,1) Tükrözés mátrixai koordináta-tengelyre tükröznek, ezért több transzformációs lépésben oldható meg a feladat.

4.1

a)

a + 2b + 2c = 3 −b+c+d = 4

− 2x + y = 3 b)

a + b + 2c + d = 4 a + b + c + 6d = 8

3u + 4v + w = 1

a=1

b)

Nincs egyértelmő megoldás, mert az együtthatómátrix determinánsa nulla.

c)

u= -1

5.1

Oldja meg a következı LP feladatot:

v=1

y≥0;

c=1

c)

a)

x≥0;

b=0

2x + 3 y + z = 2 4y + z = 3

3u + 2v = −1 5u + w = −5

d=1

w=0

2x+3y≤20;

4x+y≤15;

2x+y

max

26



1. lépés

2. lépés

Eredmény:

A célfüggvény optimális értéke tehát: 10 (E14), x=2,5; y=5 (B16:C16). 5.2

Oldja meg az alábbi LP feladatot: x≥0;

y≥0;

z≥0

10x+12y+34z≤30 21x+10y+13z≤20 23y+41z≤60 10x+23y+62z

max

Eredmény: célfüggvény max. értéke: 56,467;

x=0;

y=1,576;

z=0,326;

27

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Recommend Documents