Kidolgozott minta feladatok optikából 1. Egy asztalon elhelyezünk két síktükröt egymásra és az asztalra is merőleges helyzetben. Az egyik tükörre az asztal lapjával párhuzamosan lézerfényt bocsátunk úgy, hogy mindkét tükröt csak egyszer érintse a fénysugár. Hogyan kell elhelyezni az asztalon egy harmadik síktükröt, hogy az arról visszavert fény a lézerceruza beeső fényével: a. párhuzamosan haladjon, b. 90o-os szöget zárjon be, c. 60o-os szöget zárjon be, d. 45o-os szöget zárjon be, e. 30o-os szöget zárjon be? f. Adjuk meg minden esetben, hogy a beeső fénysugarat fogadó tükörhöz képest milyen szögben álljon a harmadik tükör, hogy az egyes feltételek teljesüljenek. I. A feladat szemmel láthatóan geometriai szerkesztésekre vezethető vissza, figyelembe véve a síktükrök fényvisszaverését és a fénysugarak megfordíthatóságát. a. Azonnal szerkesztéssel kezdjük a feladat kiírása szerint úgy, mintha az asztal lapjára felülről tekintenénk. Így egyszerűen síkban ábrázolható a feladat. Az 1-es, 2-es, 3-as számok a tükröket jelölik. A nyilakat tartalmazó vonalak a fénysugarakat jelölik. A legegyszerűbb szerkesztés, ha a beeső fénysugarat 45o-ban rajzoljuk meg. Más beesési szög is alkalmazható, amire a feladat megoldása után még mutatok két példát. Most viszont egymás után a., b., c., ábrákkal jelölöm egymás után a megoldásokat.
b. ábra
c. ábra
a. ábra
e. ábra
d. ábra
Ha a szerkesztéseket az ábrákon látható módon végezzük, akkor azok önmagukért beszélnek. Megjegyzem, hogy a geometriai szerkesztések csak megfelelő eszközök (körző, vonalzó, szögmérő, tökéletes ceruzák, radír) segítségével, továbbá tiszta kézzel és sok türelemmel végezhetők el jó minőségben.
Végül nézzünk még meg két szerkesztést. Az első esetben a beeső fénysugár 60o, és a visszavert a beesőhöz képest szintén 60o.
A második példaszerkesztésnél a beeső fénysugár 30o. A visszavert fénysugár a beesőhöz képest 60o.
==================================================================
2. Egy szabályos háromszög alapú üvegprizma egyik oldallapján úgy lép be egy fénysugár, hogy az üvegben a másik oldallappal párhuzamosan halad, majd a harmadik oldallapon lép ki. Az üveg törésmutatója 1,4.
a. Mekkora belépéskor az α beesési, illetve kilépéskor a β törési szög? b. Mekkora δ szöggel térül el a fénysugár? Első lépésként elkészítjük a feladat leírása szerinti rajzot. Továbbá felírjuk a prizma alapegyenleteit (legalább kettőt).
I.
(
)
Máris látható a második egyenletből, hogy a törési szög, valamint a beesési szög egyenlő, azaz
Az
és az
szögeket a Snellius - Descartes törvény alapján határozhatjuk meg.
Ebből könnyedén kiszámítható az
szög. (
Az
)
hasonló módon adódik, ügyelve arra, hogy most a fény optikailag sűrűbb
közegből lép optikailag ritkább közegbe.
Számoljuk ki az
szöget.
. Ez ugyanaz az egyenlet, mint az előző, tehát a β szögek egyenlősége alapján az α szögek is egyenlők. . Most már az eltérítés szöge is könnyedén meghatározható. ( )
==================================================================
3. Végezzünk el egy kísérletet, a homorú és domború tükrök képalkotására. A kísérlet eszközei: 1 db 1000 ml-es lombik, 1db gyertya, gyufa, rajzlap. A lombikot és a gyertyát rajzlapra helyezzük. A kísérletben az égő gyertyát az optikai tengelyen helyezzük el, és megfigyeljük a lombik domború és homorú felületén keletkezett képeket. Ezt az 1. ábrán lehet látni. Végezzük el a szerkesztést. Ezt a 2. ábra mutatja.
Tárgy
1. ábra Fordított állású kép
Egyenes állású kép
2. ábra A szerkesztést a nevezetes sugármenetekkel végezzük. Ebben az elrendezésben a szerkesztés egyszerű, mert csak a tárgy csúcspontjának a képbeli megfelelőjét kell meghatározni. Az ábra színesben elkészítve jól áttekinthető. A tárgy a domború felület optikai középpontjától 40 mm távolságban van, a tárgyméret 50 mm. ==================================================================
4. A 3-as feladatot alakítsuk át úgy, hogy a tárgy nem az optikai tengelyen, hanem a lombik felfekvési síkjában helyezkedik el, ezt mutatja az 1. ábra. A szerkesztés a 2. ábrán látható.
Tárgy
2. ábra Fordított állású kép
Egyenes állású kép
1. ábra Ebben az esetben a szerkesztés bonyolultabb, mert a tárgynak a képbeli talppontját, és a csúcspontját is meg kell szerkeszteni. Az alapadatok megegyeznek a 3. feladatban leírtakkal, kivéve a tárgytávolságot, ami most a domború felület optikai középpontjától 50 mm. Ezzel a szerkesztés zsúfolt lett (szándékosan!), és odafigyelést igényel a nevezetes sugármenetek követése. Ha a tárgytávolság kisebb, a szerkesztés szellősebb, átláthatóbb. Javasolom a szerkesztést elvégezni 40 mm, és 30 mm tárgytávolsággal is. Szerencsés a szerkesztés során a színes vonalak használata az átláthatóság érdekében. ==================================================================
5. Egy - a mélységéhez képest nagy felületű - és 2,5 m mély, vízzel telt medence aljáról egy búvár kémleli a vízfelszín feletti területet. A víz törésmutatója: Milyen térszögben lát a víz alól a búvár az adott helyzetéből? Először tisztázni kell a térszög fogalmát, mert a középiskolai tanulmányok során ritkán kerül előtérbe. A térszög az SI rendszer második kiegészítő egysége. Definíciója: a térszög a sugár négyzetével egyenlő felületű gömbsüveghez tartozó középponti szög. Jele: Ω, mértékegysége: (sr) szteradián. A térszög a sugárzástan, a fénytan és a világítástechnika egyik legfontosabb fizikai fogalma. A térszög egy viszonyszám, ami a gömbsüveg felületének és a gömb teljes felületének a hányadosával arányos. II. Vázlatot készítünk. I.
Az első ábrán a feladatot axonometrikusan ábrázoltam. Így a térszög fogalom is érthetőbb. Az „Ω” maga a térszög.
A második ábrán síkban látható a feladat. Ez segít a feladat első felének a megoldásában.
III. A megoldási terv viszonylag egyszerű. a. meg kell határozni a β szöget, ami a határszögtől éppen, hogy csak kisebb. A határszöget most β’-vel jelöljük. b. a β szög segítségével kiszámítható az R, majd pedig az m értéke. c. kiszámítjuk a szöget (csak gyakorlásból), aminek a kétszerese a kúp nyílásszöge. d. ezekből az adatokból meghatározható a gömbsüveg és a gömb felszíne, amiknek a hányadosa maga az Ω térszög. IV. Megoldás. a.
(
)
most már a β szög a β’- től alig o
valamivel kisebb. Tekintsük ezt 48,5 -nak.
(ennek csak síkgeometriai szempontból van
b.
jelentősége, a továbbiakban nem használjuk) c. d. A gömbsüveg felszínét jelöljük AS-el, a gömb felszínét AG-vel.
Ha az axonometrikus ábrát megnézzük, azt látjuk, hogy ha a gömbsüveg felülete határesetben addig növekszik, mígnem átmegy az egész gömb felszínébe, akkor az
. Azaz a térszög, éppen
szteradián.
Most már felírhatunk egy aránypárt a felszínek és a térszögek esetére. Tehát a medence aljáról a megadott adatokkal a szemlélő feletti területet.
térszögben látja a felszín
==================================================================
6. Egy 50 cm sugarú homorú tükröt tartunk magunk előtt 10 cm-re. a. Szerkesszük meg a képalkotást, és írjuk le a keletkezett kép tulajdonságait. b. Számoljuk ki, hogy mekkora távolságra keletkezik a kép. c. Határozzuk meg a nagyítás számszerű értékét. I. Azonnal a szerkesztéssel kezdjük, ami az ábrán látható. a. Ezzel semmi gond nem lehet.
T
K
o
k
F
Képjellemzők: - virtuális - nagyított - egyenes állású
t f
b. A leképezési törvényt alkalmazzuk. Ne felejtsük el, hogy a képtávolságnak az eredményben negatív előjelűnek kell lenni. Adatok:
(
)
A nagyítás az adatok alapján a képtávolság és a tárgytávolság hányadosa adja. Megjegyzendő, hogy a nagyítás akkor negatív, ha a kép-, vagy a tárgy-távolság negatív. ==================================================================
7. Egy üvegkádba alkoholt öntünk. A folyadék felszínére 60o-os beesési szöggel fehér fényt bocsátunk. Az alkoholban szétvált vörös,- és ibolya-színű fénysugarak, egymással 6o-os szöget zárnak be. A vörös színre az alkohol törésmutatója . Mekkera az alkohol törésmutatója az ibolyaszínre, ha azt látjuk, hogy az alkoholban az ibolyaszínű fény kevésbé tört meg, mint a vörös? I. Saját szavainkkal megfogalmazva a feladatot: azt kell felismerni, hogy az új közeg határfelületre érkező fehér (összetett) fény a beeséséi pontban az új közegbe lépéskor az alkotók hullámhosszától függően törik meg. A legnagyobb hullámhosszúságú fény törik meg a legjobban, a legkisebb hullámhosszúságú a legkevésbé. II. Az ismert és ismeretlen mennyiségek meghatározása: a. ismert mennyiségek: i. ii. iii. b. ismeretlen mennyiségek: i. ii. iii. III. Megoldási terv készítése: Célszerű ábrát készíteni. Ha az ábra jól sikerül, akkor abból látható lesz, hogy először a vörös komponens törési szöge határozható meg. Ezt követően azt is észrevesszük, hogy az ibolyaszín törési szöge, éppen 6o-al kevesebb a vörös szín törési szögétől. Az ibolyaszín törési szögének meghatározása után kiszámítható az alkoholnak az ibolyaszínre vonatkozó törésmutatója. IV. Megoldás végrehajtása: a. ábra készítése: Egy szép és arányos ábra nagyban megkönnyíti a további munkát. A b. pontban kiszámítjuk az ismeretlen mennyiségeket, és azzal a feladatot meg is oldottuk. Az ábrán követhető a számítás menete.
b. Haladjunk a megoldási terv alapján. (
)
(
)
============================
8. Egy prizma törőszöge 50o, törésmutatója 1,56. Mekkora beesési szöggel érkezhet a fény a prizma egyik lapjára, hogy a másik lapon ne lépjen ki. I. Hogyan is fogalmazzuk meg a feladatot? Mindenekelőtt az biztos, hogy „visszafelé” kell megoldani. A feladat szerint a prizmából nem léphet ki a fény. Tehát keressük azt a határszöget a prizmában, amihez 90o-os visszaverődési szög tartozik. Ez azt jelenti, hogy a belépő lappal átellenes lapra eső fény a kilépő lap belső oldalán halad végig teljesen a prizma alapéléig. Teljesen akkor érthető a feladat, ha majd rajzot készítünk. II. Az ismert és ismeretlen mennyiségek kigyűjtése: a. ismert mennyiségek: i. ii. b. ismeretlen mennyiségek: i. (beesési szög) ii. (törési szög a belépő oldalon) iii. (beesési szög a prizmán belül, ez egyben a határszög is) iv. („kilépő” törési szög) III. Megoldási terv készítése: Ismét a jól megrajzolt ábra segít a megoldásban. Az ábra elkészítése után az első feladat meghatározni a szöget, ami egyben a határszög is. Ismerve a prizma φ törőszögét, meghatározható az beesési szöghöz tartozó törési szög. A törési szög ismeretében kiszámítjuk az beesési szöget. IV. Megoldás végrehajtása: Az láthatóan 90o. Így írható, hogy:
(
)
(
( (
)
) )
Tehát ha a beeső fénysugár 15,93o beesési szögben érkezik, akkor a fény a túloldalon nem lép ki a prizmából. Megjegyzem, hogy a rajz a szögek tekintetében nem léptékhelyes, de a megoldás menete jól követhető rajta. ==========================================================
9. Két homorú tükör áll egymás felé fordítva, egymástól való távolságuk 3 m. Fókusztávolságuk 75 cm és 2/3 m. Optikai tengelyük közös. Az első tükör előtt áll egy tárgy 125 cm-re. A tárgynak az első tükör által adott képéről a második tükör is ad képet. Mekkora távolságra van ez utóbbi kép a második tükörtől? Mennyi a második kép és az eredeti tárgy közötti távolság? Mekkora a keletkezett két kép esetén a nagyítás? I. Saját szavainkkal megfogalmazva ez egy egyszerű feladat. Gondolatban elképzelhető az elrendezés, de rajzot is célszerű készíteni. A fő feladat, hogy egy homorú tükör által előállított valódi, fordított állású nagyított képről egy vele közös optikai tengelyen lévő másik homorú tükör ismét egy valódi, fordított állású és nagyított képet alkot, amelynek a második tükörtől való távolságát kell meghatározni. Az eredeti tárgy és a második kép távolságának, illetve a nagyításoknak a meghatározása, már csak kézügyesség kérdése. II. Az ismert és ismeretlen mennyiségek kigyűjtése: a. ismert mennyiségek: i. ii. iii. iv. a két tükör optikai középpontja közötti távolság b. ismeretlen mennyiségek: i. ii. iii. iv. az eredeti tárgy és a végső kép közötti távolság v. vi. III. Megoldási terv készítése: Rajzkészítéssel kezdjük, majd az ismeretlen mennyiségeket a felírt sorrendben meghatározzuk. A munka során a leképezési törvényt alkalmazzuk. A feladatot a gyakorlás kedvéért végig valódi törtekkel oldjuk meg. IV. Megoldás végrehajtása: a. Elkészítjük a méretarányos rajzot, ami végigvezet a feladatmegoldás további lépésein.
b. Az első kép távolságának meghatározása.
c. A második kép távolságának meghatározása. A rajzról látható, hogy a K1-es kép egyben a második tükör számára a tárgy. A t2-es tárgytávolság: Ismét alkalmazzuk a leképezési törvényt a második tükörre.
d. Az eredeti tárgy és a K2-es kép közötti távolság kiszámítása. e. A nagyítások meghatározása.
V. Érdemes elemezni a megoldást és a rajzot. A rajz vezeti a diákot a megoldásban, ugyanakkor a megoldásból egyértelműen rekonstruálható a szerkesztés. Az is tény, hogy az eredmények tükrében azonnal átlátható az egész képalkotás. Sőt! Mint azt az elején említettem ez egy egyszerűen átlátható feladat. ================================================================== 10. Egy optikai rács állandója 0,025 mm. Az 1,5 m messze lévő ernyőn az első erősítés a középponttól 4,2 cm-re mutatkozott. Mennyi a fény hullámhossza? Milyen színű a fény? Mennyi a fényhullámok rezgésszáma? I. A fényhullámok útjába elhelyezett rés elemi hullámok kiinduló pontja. A réstől indulva a fényhullámok elhajlanak. Az elhajlás a haladó hullámoknál útkülönbséget hoz létre. A különböző utat megtevő hullámok adott pontokban erősítik egymást, ha a
erősítési feltétel teljesül. A réstől L távolságban
elhelyezett ernyőn felfoghatóak az erősítési pontok. A megadott adatokból meghatározható a fény hullámhossza, színe, frekvenciája. II. Az ismert és ismeretlen mennyiségek meghatározása. a. ismert mennyiségek: i. ii. iii. iv. b. ismeretlen mennyiségek: i. ii.
iii. III. A megoldási tervhez nem föltétlenül szükséges rajz, de a teljesség kedvéért készítünk. Az ábra önmagáért beszél, és a megoldás azonnal adódik. Megjegyzendő, hogy az α szög kicsi, tehát a szinusza helyettesíthető az hányadossal. Ezt egyébként célszerű leellenőrizni, mert tanulságos. IV. Rajzot készítünk.
Az ábrára felírhatóak azok az összefüggések, amiket az optikai rácsnál megismertünk. A a fényhullámok útkülönbsége. A két egyenletből:
Ez a hullámhossz megfelel a vörös színnek. A frekvencia: ================================================================== 11. Mennyi a felbontóképessége annak a 3 cm széles optikai rácsnak, amely a merőlegesen ráeső hullámhosszúságú fényt első rendben 30o-al téríti el eredeti irányától? I. Most nem fogalmazzuk meg a feladatot saját szavainkkal, hanem azonnal az adatokat vesszük fel. a. Ismert mennyiségek: i. ii. iii. iv. b. Keresett mennyiségek: i. ii. II. Megoldás: (az optikai rácson való elhajlás alapegyenlete) (ténymegállapítás a feladat szövegéből) (egy elemi rés-karcolat szélességének meghatározása) , (az 1 cm-ben található karcolatok száma, ezt kerestük)
12. Egy keskeny fehér fénysugár 45o-os beesési szöggel lép be a 60o-os törőszögű üvegprizma egyik felületén. Mekkora szöget zárnak be egymással a prizma másik lapján kilépő vörös és kék fénysugarak? Az üveg törésmutatója vörös fényre 1,5; kék fényre 1,53. Mekkora a két fénysugár által bezárt szög az első határfelület után, a prizma belsejében? Mekkora az eltérítés szöge a fehér fény vörös és kék komponensére? I. Ennél a feladatnál sem aprózzuk a megoldást. Tesszük mindezt azért, mert az eddigiek alapján a gyakorló diákok „kezét elengedjük”. Állandóan nem lehet a „szájába rágni” senkinek a megoldás részletes menetét. II. Adatfelvétel: a. Ismert mennyiségek: i. ii. iii. iv. b. Ismeretlen mennyiségek: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x. III. Megoldás: a. Rajzot készítünk!
b. Az ábra alapján kiszámítjuk az ismeretlen mennyiségeket: (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
Általánosságban az eltérítés szöge: ( ) ( ( ) (
( ) )
) )
)
================================================================= 13. Egy vékony lencsétől 10 cm távolságra lévő tárgy képe egyenes állású és kétszeres nagyítású. Mekkora a lencse fókusztávolsága? I. Adatok felvétele: a. Ismert adatok: i. ii. b. Ismeretlen mennyiségek: i. II. Megoldás:
