Kidolgozott minta feladatok kinematikából EGYENESVONALÚ EGYNLETES MOZGÁS 1. Egy gépkocsi útjának az első felét
, a másik felét
sebességgel tette meg. Mekkora
volt az átlagsebessége? I. Saját szavainkkal megfogalmazva: tudjuk, hogy az összes megtett út s, amiből utat és utat
sebességgel tette meg a jármű. Kérdés, hogy az összes megtett
II.
útra mekkora az autó átlagsebessége? Fontos: az átlagsebesség nem egyenlő a sebességek átlagával! A I. pontban leírtakból világosan kitűnnek az ismert és az ismeretlen mennyiségek. Így ismertek a sebességek és a megtett út, ismeretlen az átlagsebesség és az az idő ameddig a jármű mozgott. Az időt közvetlenül nem ismerjük, ezért közvetetten kell majd meghatározni. Az ismert és ismeretlen mennyiségek közötti összefüggések feltárását az előző két pontban már megtettük, így jöhet a megoldási terv készítése, de előtte még egy megjegyzés: az alapfeladatnak egy jól átgondolt újrafogalmazása egészen közel visz a helyes megoldáshoz. A megoldási terv. Írjuk fel a lehetséges, és fizikailag értelmes összefüggéseket. . Az utat jelöljük egyszerűen -el. Az összes út megtétele ideig tartott, amit
III.
IV.
két részre kell bontani. Az út első felének a megtétele második felének a megtétele
ideig, míg az út
ideig tartott.
A megoldási terv végrehajtása.
V.
(
)
(
)
.
Az eredmény ellenőrzése. a. Teljesen természetes, hogy az eredmény fizikailag megfelelő. b. Az eredményt az eredeti feladat szövegébe helyettesítve ez könnyen bizonyítható. c. Mint azt a I. pontban írom az átlagsebesség nem egyenlő a sebességek átlagával. Ez a tény józan logikával is belátható. ================================================================== VI.
2. Egy személyvonat nat
sebességgel halad. A szomszédos pályán egy 100 m hosszú tehervo-
sebességgel jön a személyvonattal ellentétes irányban. a) Mekkora a személyvonat sebessége a tehervonathoz viszonyítva? b) Mekkora a tehervonat sebessége a személyvonathoz rögzített vonatkoztatási rendszerben? c) Mennyi ideig látja a személyvonat ablakán merőlegesen kinéző utas a tehervonatot? d) Mennyi ideig látja önmaga mellett a tehervonat vezetője a 200 m hosszú személyvonatot? e) Mennyi ideig látja a személyvonatban ülő megfigyelő a tehervonatot, ha az a személyvonattal egy irányban halad
I.
sebességgel?
Saját szavainkkal megfogalmazva: Célszerű először a személyvonaton ülő utasnak, majd pedig a tehervonat vezetőjének a helyzetébe képzelni magunkat. Hogy miért ép-
II.
pen a megadott személyek nézőpontja a célszerű, az a kérdésekből egyenesen következik. A feladat mértékegységei vegyesen vannak megadva. Ajánlatos SI alapegységekre váltani őket. a. b.
III.
Rögtön rá lehet térni a megoldás menetére, mert apró kicsi részkérdések vannak megfogalmazva. a. Mivel a két vonat egymással szemben halad, a személyvonat sebessége a tehervonathoz képest éppen a két sebesség összege. . Például ezért veszélyes a frontális ütközés, csak erre sokan nem gondolnak, amikor autóba ülnek és száguldoznak. b. Ha a személyvonatot tekintjük vonatkoztatási rendszernek, akkor az egy sebességgel, a személyvonattal ellenkező irányba haladó vonatkoztatási rendszer. Ebben a vonatkoztatási rendszerben vizsgálva a tehervonat sebességét, pontosan az előző sebességet kapjuk eredményül. c. A tehervonat 100 m hosszú, ezt jelöljük s1-el. Vegyük észre, hogy teljesen mindegy, hogy a személyvonaton ülő utas a vonat melyik részén foglal helyet. A kérdést úgy is feltehetjük, hogy sebességgel mennyi idő alatt lehet megtenni 100 m utat.
.
d. Most pedig azt a kérdést tehetjük fel, hogy mennyi idő alatt lehet megtenni sebességgel az utat. Ennyi ideig látja a mozdonyvezető a mellette elhaladó személyvonatot.
. Ez rögtön belátható
számolás nélkül is a c. pontban elmondottak alapján. e. Ennek a kérdésnek a megválaszolása figyelmet követel. i. A két vonat azonos irányban halad, tehát a közöttük lévő sebességkülönbség: . ii. Az utas helye nem fontos a következő okfejtés miatt. A személyvonat utoléri a tehervonatot és a megfigyelő attól a pillanattól méri az időt, amint a tehervonat végével egy vonalban van. Az időmérést akkor fejezi be, amikor a tehervonat mozdonyának az első síkjával van egyvonalban. iii. A kérdés tehát, hogy sebességgel mennyi idő alatt lehet megtenni 100 m távolságot. IV.
A feladat megoldásának ellenőrzési lépéseit szorgalmi feladatként végezze el az érdeklődő.
==================================================================
3. Egy hajó a folyó vizén
sebességgel halad. A folyó sebessége
. A folyó ugyanazon oldali
partján két város távolsága . Mennyi idő alatt teszi meg a hajó a két város közötti távolságot oda-vissza? Megváltozna-e a menetidő, ha a feladatba a folyó helyett egy tó szerepelne?
I. II.
Saját megfogalmazásban a feladat úgy szól, hogy mennyire befolyásolja a folyó sebessége a hajó sebességét, és ezen keresztül a mozgás időtartamát? Az ismert mennyiségek: a. a hajó sebessége a folyó vizéhez képest a folyó sebessége a parthoz képest
b.
III.
IV.
c. a városok közötti távolság Az ismeretlen mennyiségek: a. a folyón lefelé szükséges haladási idő b. a folyón felfelé szükséges haladási idő c. a teljes menetidő oda-vissza a két város között a folyón haladva d. a teljes menetidő, ha a mozgás ugyanazon távolságban egy tavon történne Keressünk összefüggéseket a mennyiségek között. A vonatkoztatási rendszer a folyó meder, hiszen a folyó sebességét ehhez képest adta meg a feladat. Tehát a folyó sebessége egy nyugvó koordinátarendszerben van értelmezve. A hajó sebessége a folyó mozgásához van viszonyítva. A folyó a hajóhoz képest mozog, tehát a hajó mozgását egy mozgó koordinátarendszerben adta meg a feladat. Célszerű viszont a mozgásokat úgy vizsgálni, hogy azok mindegyike (ha lehetséges) nyugvó koordinátarendszerben történjen. A mozgást (elmozdulást) szemléltető vektorok segítséget jelentenek majd a megoldás során. A megoldási tervhez rajzoljunk. 𝑠 𝑘𝑚 Folyó 𝑣
𝑚 𝑠
𝑣𝑓
𝑚 𝑠
Folyásirányban a folyó sebességéhez hozzáadódik a hajó sebessége!
Folyásiránnyal szemben a folyó sebességéből kivonódik a hajó sebes𝑠 sége!
𝑣𝑓 𝑘𝑚
𝑣
𝑚 𝑠 𝑚 𝑠
Folyó
V.
A két ábra szemléletes, így elkezdhetjük a megoldást. Első körben három időtartamot kell kiszámolni.
Tehát a teljes menetidő 4,444 óra. Ha tavon közlekedne a hajó, akkor az állóvíz, nem befolyásolná a hajó sebességét. Így egyszerűen az összes út és a hajó sebességének a hányadosa megadja a teljes menetidőt.
Tehát a menetidő jelentősen megváltozna (csökkenne) ha a hajó a folyó helyett tavon közlekedne. ======================================================================= 4. Egy vonat útjának első felét 1,5-szer nagyobb sebességgel tette meg, mint a második felét. Az egész útra vonatkozó átlagsebessége 43,2 km/h. Mekkora volt a vonat sebessége útjának első, illetve második részén? I. A feladat teljesen életszerű. A vonat az útjának első felében nagyobb sebességgel haladt, mint a második felében. A sebesség különbség oka pl. a vasúti pálya javítása miatt elrendelt sebességkorlátozás lehetett, vagy valami más. Azt kell észrevenni a feladatban, hogy a megtett út két feléhez a különböző sebességek esetén a sebességekkel arányos időtartamok rendelhetők. Mondhatni ez a kulcsa a feladat megoldásának. (Felületes olvasás esetén azt is hihetnénk, hogy a teljes menetidő felében az egyik, majd a másik felében a másik sebességgel haladt a vonat, pedig nem így írja a feladat. Ugyanakkor érdemes megoldani a feladatot olyan változatban is.)
II.
Figyelembe véve az előzőleg leírtakat, írjuk fel az ismert és az ismeretlen mennyiségeket. i. ismert mennyiségek: 1. (a vonat sebessége az út második felében) (a vonat sebessége az út első felében)
2. 3.
(az út második felének megtételéhez szükséges időtartam)
4.
(az út első felének megtételéhez szükséges időtartam)
5.
III.
ii. ismeretlen mennyiségek 1. 2. Keressünk összefüggéseket az „ismert” és az ismeretlen mennyiségek között. Ha ezt sikeresen megtesszük, akkor azzal a magoldási tervet is elkészítettük. Mint látható az ismert mennyiségek között, számértékkel és mértékegységgel rendelkező adat csak egy van, az átlagsebesség. A többi fizikai mennyiséget paraméteresen tudtuk leírni, de ez, mint később kiderül, nem okoz problémát. Az út felét jelöljük és fejezzük ki a sebesség és idő szorzatával mindkét esetre. és Van két egyenletünk, de a két egyenletben három ismeretlen van, az s, a v2 és a t2. Még egy független egyenlet szükséges, hogy a feladatot meg tudjuk oldani. Írjuk fel azt is.
IV.
Ha a v2 sebességet meghatároztuk, akkor az ismert mennyiségek 2.-es pontjába helyettesítve a v1 sebességet is megismerjük. Eddig tartott a feladat fizikai megoldása! Innentől már kizárólag matematikai ismeretek szükségesek az eredmények eléréséig! Az es egyenletek jobb oldalainak az összege az s utat szolgáltatja. Írjuk ezt fel.
Vegyük észre, hogy: Emeljük ki v2-t.
(
)
======================================================================= A továbbiakban a feladatokat akkor fogalmazzuk meg saját szavainkkal, ha a megoldáshoz elengedhetetlenül szükséges. Mondhatni, hogy a „kezét” nem lehet fogni örökké a tanulónak. Előbb-utóbb önállóvá kell válni a feladatmegoldás terén. EGYENESVONALÚ EGYNLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS, SZABADESÉS, HAJÍTÁS 5. Milyen hosszú kifutópályát kell építeni, hogy a repülőgép, a földön egyenletesen gyorsuló mozgással, a felszálláshoz szükséges 198 km/h sebességet elérje, ha a gyorsulása 2,5 m/s2? Ismert adatok:
Ismeretlen mennyiség: Megoldás:
A mozgás időtartamát nem ismerjük, de ki tudjuk fejezni a következő összefüggésből. Ebből:
Ezt helyettesítsük be az (
egyenletbe.
)
================================================================== 6. A háztetőről cserépdarab esik le, mely ablakunk előtt 0,2s alatt suhan el. Milyen magasról esik a cserép, ha az ablakunk magassága 2,2m? Az ablakpárkány földtől mért magassága 1,3m. Milyen magasan van a tető a földszinthez képest? Mennyi idő múlva, és mekkora sebességgel ér földet a cserép? Ismert adatok:
Ismeretlen mennyiségek:
Megoldás: Készítsünk egy vázlatot. 𝑡
A rendelkezésre álló adatokból és az ábrából látjuk, hogy szükség lesz a távolság megtételéhez szükséges időre, mert a négyzetes úttörvény vezet el e megoldáshoz. Tehát a négyzetes úttörvény általános alakja:
𝑎
Amikor a cserép az ablak felső szélének a magasságához ér, akkor már van valamilyen sebessége. Ezt nem ismerjük, de a négyzetes úttörvényt írjuk fel a következő képen. Világos, hogy:
𝑓
Az egyenletben egy ismeretlen van, a időtartam, ami a esésmagassághoz tartozik. Fejezzük ki ezt az időt. A matematikai levezetést mellőzve (azt most már végezze el a diák!)
Tehát a tetőről az ablak felső széléig tartó Most számoljuk ki a magasságot.
út megtételéhez
idő szükséges.
Mivel a cserép nulla kezdősebességgel indul, így az egyenlet első tagja nulla. Ezért: A tető földtől mért magassága: A cserép esésének a teljes ideje:
√
√
A földet érés sebessége: Tanulság: ha az ember leesik egy ilyen (nem túl magas) tetőről, az végzetes is lehet, de az a minimum, hogy sok csontját eltöri. ================================================================== 7. Nyugalomból induló és egyenletesen gyorsuló test mozgásának nyolcadik másodpercében 60 cm utat tett meg. Mekkora utat futott be a kilencedik másodperc alatt? Megoldás: Ez egy vízszintes síkon történő mozgás, gyorsulással. Először készítsünk rajzot, hogy egyszerűbb legyen az értelmezés és a feladatmegoldás. s3 s2 s1 0m s (m) 0s
7s x1
x2
8s
9s
t (s)
Ismert adatok:
Ismeretlen mennyiségek:
Az ábrát szemlélve megállapítható, hogy adatok csak a 7. és 8. másodperc közötti időtartamról vannak. A test a időpontban kezdősebességgel indul. Amikor a 8. s kezdetéhez, azaz a 7. s - hoz érkezik, akkor már van valamilyen éppen a sebessége.
sebessége. Ez a sebesség, a testnek
Most már egyre nyilvánvalóbb, hogy a négyzetes úttörvényben kell keresni a megoldást, de nem ismerjük a test gyorsulását. Ezt is abból határozhatjuk meg a következő képen. (
)
(
)
ezt a kifejezést írjuk be az előző egyenletbe. ( ) ( ) itt a gyorsulás ismeretlen, amit ki kell fejezni. ( ( (
) )
( ) (
)
(
) ) )
( (
)
A gyorsulás ismeretében kiszámítjuk, hogy mekkora utat tesz meg a test a kezdőponttól a időpontig (ez az x2 távolság), majd pedig azt, hogy mennyi utat tesz meg a időpontig (ez az x1 távolság). A két távolság különbsége éppen a 9. másodpercben megtett utat szolgáltatja. Tehát:
=================================================================== 8. Mennyi ideig emelkedik, és milyen magasra jut az elhajítás helyétől a függőlegesen felfelé kezdősebességgel dobott tárgy. Ismert adatok:
Ismeretlen mennyiségek:
Megoldás: A ge nulla.
összefüggésből indulunk ki. A testnek a felső holtpont elérésekor a v sebessé-
A t emelkedési idő könnyen meghatározható: Az emelkedés magassága: ( )
Vagy másképpen:
=================================================================== 9. Milyen magasra jut a függőlegesen fölfelé hajított test, mire a sebessége a kezdősebesség harmadára csökken? A paraméteresen megoldható fizika feladatok jellemzői: Ismert adatok: 1. fejleszti a fizikai látásmódot, 2. fejleszti az absztrakciós készséget, 3. fejleszti a gondolkodást, 4. fejleszti az egyenletmegoldó készséget, Ismeretlen mennyiség: 5. felvilágosítást ad arról, hogy egy fizikai mennyiség (függvény érték) hogyan függ a bemeneti változók (független változók) változásától. Megoldás: A feladatban számszerű adatok nincsenek. Az ilyet nevezzük paraméteresen megadott feladatnak. Az „ismert adatokat” a feladat szövegéből lehet és kell meghatározni. Csak megjegyzem, hogy ez az értő olvasás próbája, ugyanakkor ez a rész tényleg igényel fizikai ismeretet. Mivel egyenletesen változó mozgásról (függőleges felfelé hajítás) van szó a megoldást is az ott megismert összefüggések fogják biztosítani. Két alapvető egyenletet kell felírni. Az egyik az emelkedés magassága, a másik a kezdősebesség harmada.
A II. egyenletből kifejezzük a „t” időt. Ezt behelyettesítjük I.-be és megkapjuk a kérdéses magasságot. A feladat megoldása innen tiszta matematika! Lássuk a levezetést.
, Ezt behelyettesítjük I.-be. (
)
Tessék addig gondolkozni és gyakorolni, amíg teljesen nem világos a levezetés eredménye! ==================================================================
10. Egy
sebességgel süllyedő lift mellett elejtünk egy követ. Mikor és hol találkozik a kő a
lifttel? (
)
Ismert adatok:
Ismeretlen mennyiségek:
Megoldás: Mindenekelőtt észre kell venni, hogy kétféle mozgásról van szó. A vizsgálat időtartama alatt a lift egyenes vonalú egyenletes mozgást, míg a kő egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végez. A másik észrevétel, hogy a lefelé egyenletesen mozgó lift egy adott helyzete mellett engedjük el a követ nulla kezdősebességgel. A kő elengedésének a pillanatában a lift még nagyobb sebességgel halad, mint a kő, de (ahogy a megoldásból majd látni lehet) rövid időn belül utoléri a kő a liftet. Ez az egyenlet a lift által megtett útra vonatkozik. Ez az egyenlet a kő által megtett útra vonatkozik. Mivel a találkozásig megtett utak egyformák, így a két egyenlet jobb oldalai is egyformák.
Tehát ennyi idő múlva éri utol a kő a liftet. Ennyi idő alatt a lift (és a kő) által megtett út: =================================================================== 11. Függőleges egyenesen helyezkedik el az A pont, és 100 méterrel lejjebb a B pont. A-ból lefelé, B-ből fölfelé hajítanak egy-egy kavicsot azonos pillanatban, és azonos kezdősebességgel. Mikor és hol találkozik a két kavics? (
)
Tessék ábrát készíteni és átgondolni a kavicsok mozgását a kezdőfeltételek figyelembevételével.
