Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák | eMentor.hu

1. oldal, összesen: 8 oldal

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet:

Számtani sorozat: a1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a1 és d segítségével: an = a1+(n-1)·d az első n tag összege:

ill. a fenti képlet felhasználásával:

a sorozat bármelyik tagja felírható szomszédainak számtani közepeként:

Mértani sorozat: a1 a sorozat első tagja, q a hányadosa a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a1 és q segítségével: an = a1·qn-1

az első n tag összege: a sorozat bármelyik tagjának négyzete megegyezik szomszédainak szorzatával:

Típusfeladatok (számtani sorozat):

Egy számtani sorozat 12. tagja 62, 21. tagja pedig 116. A. Határozzuk meg a sorozat különbségét! B. Határozzuk meg a sorozat 37. tagját! C. Határozzuk meg a sorozat első 15 tagjának összegét! D. Tagja-e a sorozatnak a(z) 227? E. A sorozat hányadik tagja a 248? Megoldás: a12 = 62 a21 = 116 Írjuk fel ezt a két tagot a1 és d segítségével: a12 = a1+11·d = 62 a21 = a1+20·d = 116 Vonjuk ki a21-ből a12-t: a1+20·d-(a1+11·d) = 116-62 9·d = 54

/ :9

d = 6 (ezzel az A. kérdést meg is válaszoltuk) Ezt a12 = a1+11·d = 62 -be visszahelyettesítve: a1+11·6 = 62 a1+66 = 62

/ -66

a1 = -4 B. a37 = a1+36·d = -4+36·6 = 212 C. S15 = (2·a1+14·d)·15/2 = (2·(-4)+14·6)·15/2 = 570 D. A 227 akkor tagja a sorozatnak, ha van olyan n természetes szám, amire 227 = a1+n·d, azaz 227 = -4+n·6 231 = 6n

/ +4 / :6

http://www.ementor.hu/?q=node/77

2012.09.30.



38,5 = n Mivel n nem természetes szám, a 227 nem tagja a sorozatnak. E. Keressük azt az n természetes számot, amire an = 248 an = a1 + (n-1)·d, azaz 248 = -4+(n-1)·6

/ +4

252 = (n-1)·6

/ :6

42 = n 1

/ +1

43 = n Tehát a sorozat 43. tagja a 248

Egy számtani sorozat első négy tagjának összege -76, következő négy tagjának összege pedig -300. a. Határozzuk meg a sorozat különbségét! b. Határozzuk meg a sorozat 18. tagját! c. Határozzuk meg a sorozat első 10 tagjának összegét! d. Tagja-e a sorozatnak a -146? e. A sorozat hányadik tagja a -320? Megoldás: a1+a2+a3+a4 = -76 a5+a6+a7+a8 = -300 Írjuk fel a sorozat tagjait a1 és d segítségével: a1+a1+d+a1+2·d+a1+3·d = -76 a1+4·d+a1+5·d+a1+6·d+a1+7·d = -300 összevonás után: 4·a1+6·d = -76 4·a1+22·d = -300 Vonjuk ki a második 4 tag összegéből az első 4 tag összegét: 4·a1+22·d-(4·a1+6·d) = -300-(-76) 16·d = -224

/ :16

d = -14 (ezzel az A. kérdést meg is válaszoltuk) Ezt 4·a1+6·d = -76 -ba visszahelyettesítve: 4·a1+6·(-14) = -76 4·a1-84 = -76 4·a1 = 8

/ +84 / :4

a1 = 2 B. a18 = a1+17·d = 2+17·(-14) = -236 C. S10 = (2·a1+9·d)·10/2 = (2·2+9·(-14))·10/2 = -610 D. A -146 akkor tagja a sorozatnak, ha van olyan n természetes szám, amire -146 = a1+n·d, azaz -146 = 2+n·(-14) -148 = -14n

/ -2 / :(-14)

10,57 ≈ n Mivel n nem természetes szám, a -146 nem tagja a sorozatnak. E. Keressük azt az n természetes számot, amire an = -320 an = a1 + (n-1)·d, azaz -320 = 2+(n-1)·(-14)

/ -2

-322 = (n-1)·(-14)

/ :(-14)

23 = n-1

/ +1

24 = n Tehát a sorozat 24. tagja a -320

Határozzuk meg az első 60 pozitív, 4-gyel osztható szám összegét! Megoldás:


2012.09.30.



a1 = 4 d=4 S60 = (2·a1+59·d)·60/2 = (2·4+59·4)·60/2 = 7320

Határozzuk meg a 150 és 400 közötti, 5-tel osztva 3 maradékot adó számok összegét! Megoldás: a1 = 153 d=5 Határozzuk meg, hogy a sorozatnak hány tagja van a megadott intervallumban: an = a1+(n-1)·d <= 400, azaz 153+(n-1)·5 <= 400

/ -153

(n-1)·5 <= 247

/ :5

n-1 <= 49,4

/ +1

n <= 50,4 tehát a sorozatnak 50 tagja van 150 és 400 között. S50 = (2·a1+49·d)·50/2 = (2·153+49·5)·50/2 = 13775

Egy színházi nézőtéren 24 sor van. Az első sorban 13 szék van, a székek száma soronként 3-mal nő. Hány szék van összesen a nézőtéren? Megoldás: a1 = 13 d=3 S24 = (2·a1+23·d)·24/2 = (2·13+23·3)·24/2 = 1140

Egy színházi nézőtéren a színpad felé haladva a székek száma soronként 4-gyel csökken. Az első sorban 15 az utolsó sorban 99 szék van. Hány szék van összesen a nézőtéren? Megoldás: a1 = 15 d=4 Először határozzuk meg, hogy hány sor van a nézőtéren: an = a1+(n-1)·d, azaz 99 = 15+(n-1)·4

/ -15

84 = (n-1)·4 21 = n-1

/ :4 / +1

22 = n A nézőtéren tehát 22 sor van. S22 = (a1+a22)·22/2 = (15+99)·22/2 = 1254

Egy színházi nézőtéren 35 sor van. Minden sorban 6-tal több szék van, mint az előzőben. A 19. sorban 125 szék van. Hány szék van összesen a nézőtéren? Megoldás: a19 = 125 d=6 Először határozzuk meg a sorozat első tagját: a19 = a1+18·d, azaz 125 = a1+18·6 125 = a1+108

/ -108

17 = a1 S35 = (2·a1+34·d)·35/2 = (2·17+34·6)·35/2 = 4165

Egy színházi nézőtéren a színpad felé haladva a székek száma soronként 3-mal csökken. Az első sorban 17 az utolsó sorban 113 szék van. Hány soros a nézőtér? Megoldás: a1 = 17 d=3 Először határozzuk meg, hogy hány sor van a nézőtéren: an = a1+(n-1)·d, azaz


2012.09.30.


113 = 17+(n-1)·3


/ -17

96 = (n-1)·3

/ :3

32 = n-1

/ +1

33 = n A nézőtér tehát 33 soros.

Típusfeladatok (mértani sorozat):

Típusfeladatok (számtani-mértani vegyes):

Egy számtani sorozat második tagja 7. E sorozat első, harmadik és a nyolcadik tagja egy mértani sorozat három, egymást követő tagja. Határozza meg a mértani sorozat hányadosát! Megoldás: a2=7 Írjuk fel a tagokat a2 és d segítségével: a1=a2-d=7-d a3=a2+d=7+d a8=a2+6d=7+6d Ez a három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja, tehát a középső négyzete megegyezik a szélsők szorzatával. a32=a1·a8 (7+d)2=(7-d)(7+6d) 2

49+14d+d =49+42d-7d-6d 2

14d+d =35d-6d

2

2

14d+7d =35d

/ +6d

2

/ -49

2

/ -35d

2

-21d+7d =0 7d(-3+d)=0 I. d=0 (ez nem lehetséges) II. -3+d=0, azaz d=3 a1=7-3=4 a3=7+3=10 q=a3/a1=10/4=2,5

Egy mértani sorozat első három tagjának összege 35. Ha a harmadik számot öttel csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot! Megoldás: a1+a2+a3=35 Írjuk fel ezt a1 és q segítségével: a1+a1q+a1q2=35 2

a1(1+q+q )=35

(I. egyenlet)

Ha a3-t öttel csökkentjük, akkor egy számtani sorozat szomszédos tagjait kapjuk, tehát a középső a két szélső számtani közepével lesz egyenlő: (a1+a3-5)/2=a2

/ ·2

a1+a3-5=2a2 Írjuk fel ezt is a1 és q segítségével: 2

a1+a1q -5=2a1q Rendezzük: 2

a1+a1q -2a1q=5 a1(1+q2-2q)=5

(II. egyenlet)

Osszuk el az I. egyenletet a II. egyenlettel: (1+q+q2)/(1+q2-2q)=7

/·(1+q2-2q)

1+q+q2=7(1+q2-2q) 2

2

1+q+q =7+7q -14q Rendezzük:


2012.09.30.



2

0=6q -15q+6 Az egyenletet megoldva: q1=2, q2=0,5 Helyettesítsük vissza q1-t a II. egyenletbe: a1(1+22-2·)=5 a1=5 az I. megoldás: a1=5, a2=10, a3=20 q2-t visszahelyettesítve a II. egyenletbe pedig: a1(1+0,52-2·0,5)=5 4a1=5 a1=20 a II. megoldás: a1=20, a2=10, a3=5

Egy mértani sorozat első három tagjának szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot! Megoldás: a1·a2·a3=216 Írjuk fel ezt a2 és q segítségével: (a2/q)·a2·(a2·q)=216 3

a2 =216 a2=6 Ha a3-t hárommal csökkentjük, akkor egy számtani sorozat szomszédos tagjait kapjuk, tehát a középső a két szélső számtani közepével lesz egyenlő: (a1+a3-3)/2=a2

/·2

a1+a3-3=2a2 Írjuk fel ezt is a2 és q segítségével: 6/q+6q-3=2·6

/ ·q

2

6+6q -3q=12q Rendezzük: 6q2-15q+6=0 Az egyenletet megoldva: q1=2, q2=0,5 az I. megoldás: a1=3, a2=6, a3 =12 a II. megoldás: a1=12, a2=6, a3=3

Egy számtani sorozat első három tagjának összege 24. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 2-t, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozza meg a számtani sorozatot! Megoldás: a1+a2+a3=24 Írjuk fel ezt a2 és d segítségével: a2-d+a2+a2+d=24 3a2=24 a2=8 Ha a1-hez 1-et, a2-höz 2-t, a3-hoz pedig 35-öt adunk, akkor egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk, tehát a középső négyzete megegyezik a szélsők szorzatával: (a2+2)2=(a1+1)(a3+35) Írjuk fel ezt is a2 és d segítségével: 2

(8+2) =(8-d+1)(8+d+35) 100=(9-d)(43+d) 100=387+9d-43d-d2 Rendezzük: 2

d +34d-287=0 Az egyenletet megoldva: d1=7, d2=-41


2012.09.30.



az I. megoldás: a1=1, a2=8, a3 =15 a II. megoldás: a1=49, a2=8, a3=-33

Egy mértani sorozat első három tagjának összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz pedig 3-at adunk, egy számtani sorozat egymást követő tagjaihoz jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot! Megoldás: a1+a2+a3=26 Írjuk fel ezt a1 és q segítségével: a1+a1q+a1q2=26 2

a1(1+q+q )=26

(I. egyenlet)

Ha a1-hez 1-et, a2-höz 6-ot, a3-hoz pedig 3-at adunk, akkor egy számtani sorozat szomszédos tagjait kapjuk, tehát a középső a két szélső számtani közepével lesz egyenlő: (a1+1+a3+3)/2=a2+6

/ ·2

a1+1+a3+3=2a2+12 a1+a3=2a2+8 Írjuk fel ezt is a1 és q segítségével: 2

a1+a1q =2a1q+8 Rendezzük: 2

a1+a1q -2a1q=8 a1(1+q2-2q)=8

(II. egyenlet)

Osszuk el az I. egyenletet a II. egyenlettel: (1+q+q2)/(1+q2-2q)=26/8 2

2

8(1+q+q )/(1+q -2q)=26

/·8 /·(1+q2-2q)

8(1+q+q2)=26(1+q2-2q) 2

2

8+8q+8q =26+26q -52q Rendezzük: 0=18q2-60q+18 Az egyenletet megoldva: q1=3, q2=1/3 Helyettesítsük vissza q1-t a II. egyenletbe: 2

a1(1+3 -2·3)=8 4a1=8 a1=2 az I. megoldás: a1=2, a2=6, a3 =18 q2-t visszahelyettesítve a II. egyenletbe pedig: 2

a1(1+(1/3) -2·1/3)=8 4/9a1=8 a1=18 a II. megoldás: a1=18, a2=6, a3=2

Típusfeladatok (kamatos kamat):

Év elején 20000 Ft-ot helyezünk el a bankban évi 4%-os kamatra. A. Mennyi pénzünk lesz a bankban 5 év múlva? B. Mennyi idő alatt kétszereződik meg a pénzünk? Megoldás: A. 1 év múlva: 20000·1,04 2 év múlva: (20000·1,04)·1,04=20000·1,042 3 év múlva: (20000·1,042)·1,04=20000·1,043 ... 5 év múlva: (20000·1,044)·1,04=20000·1,045=24333,06 B.


2012.09.30.



Az előbbi elgondolást folytatva: n év múlva: 20000·1,04n Az akarjuk, hogy megkétszereződjön a pénzünk, tehát azt az n-t keressük, amire: n

20000·1,04 =40000 n

1,04 =2

/ :20000

/ vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát

n

lg1,04 =lg2 A logaritmus azonosságainak felhasználásával: n·lg1,04=lg2

/ :lg1,04

n=lg2/lg1,04=17,67 Azaz 18 év alatt kétszereződik meg a pénzünk.

Mennyi pénzt kell lekötnünk a bankban, hogy évi 5 %-os kamat mellett 10 év múlva 500000 Ft-unk legyen? Megoldás: 1 év múlva: x·1,05 2 év múlva: (x·1,05)·1,05=x·1,052 3 év múlva: (x·1,052)·1,05=x·1,053 ... 9

10 év múlva: (x·1,05 )·1,05=x·1,05

10

Azt akarjuk, hogy 10 év múlva 50000 Ft-unk legyen, tehát: 50000=x·1,0510

/ :1,0510

10

50000/1,05 =x x=30695,66

100000 Ft-ot helyeztünk el a bankban, ami a kamatokkal 6 év alatt 180000 Ft-ra nőtt. Hány %-os volt az éves kamat? Megoldás: 1 év múlva: 100000·(100+x)/100 2 év múlva: (100000·(100+x)/100)·(100+x)/100=100000·((100+x)/100)2 3 év múlva: (100000·((100+x)/100)2)·(100+x)/100=100000·((100+x)/1003 ... 6 év múlva: (100000·((100+x)/100)5)·(100+x)/100=100000·((100+x)/100)6 A 6. év végén 180000 Ft-unk lesz, tehát: 6

180000=100000·((100+x)/100) 6

/ :100000

1,8=((100+x)/100)

/ 6. gyököt vonunk

1,1029=(100+x)/100

/·100

110,29=100+x / -100 10,29=x

Tíz éven keresztül minden év elején 10000 Ft-ot helyezünk el a bankban évi 5%-os kamatra. Mennyi pénzünk lesz a 10. év végén? Megoldás: Nézzük meg mennyi pénzünk lesz az egyes évek végén: 1. év végén: 10000·1,05

(a 10000 Ft 5% kamattal gyarapodott)

ehhez a 2. év elején 10000 Ft-ot téve újabb 1 évig kamatozik: 2. év végén: (10000·1,05+10000)·1,05=10000·1,052+10000·1,05 ehhez a 3. év elején újabb 10000 Ft-ot fizetve megint 1 évig kamatozik: 3. év végén: (10000·1,052+10000·1,05+10000)·1,05=10000·1,053+10000·1,052+10000·1,05 ezt a módszert folytatva: 10. év végén: (10000·1,059+10000·1,058+...+10000)·1,05=10000·1,0510+10000·1,059+...+10000·1,05 Ez egy mértani sorozat első 10 tagjának összege, ahol a1=10000·1,05; q=1,05 S10=a1·(q10-1)/(q-1)


2012.09.30.



10

S10=10000·1,05·(1,05 -1)/(1,05-1)=10500·0,628894/0,05=132067,74

400000 Ft-ot teszünk a bankba évi 6%-os kamatra, majd 8 éven keresztül minden év végén kiveszünk 50000 Ft-ot. Mennyi pénzünk marad a bankban a 8. év végén? Megoldás: Nézzük meg mennyi pénzünk lesz az egyes évek végén: 1. év végén: 400000·1,06-50000 (a 400000 Ft egy évig kamatozott, és év végén kivettünk 50000 Ft-ot) 2. év végén: (400000·1,06-50000)·1,06-50000=400000·1,062-50000·1,06-50000 (az előző év végi összeg egy évig kamatozott, és év végén kivettünk 50000 Ft-ot) 3. év végén: (400000·1,062-50000·1,06-50000)·1,06-50000=

400000·1,063-50000·1,062-50000·1,06-50000 (az előző év végi összeg egy évig kamatozott, és év végén kivettünk 50000 Ft-ot) ezt a módszert folytatva: 10. év végén: (400000·1,069-50000·1,068-...-50000)·1,06-50000= 10

9

400000·1,06 -50000·1,06 -...-50000·1,06-50000= 10

9

400000·1,06 -(50000·1,06 +...+50000·1,06+50000) A zárójelben egy mértani sorozat első 10 tagjának összege van, ahol a1=50000; q=1,06 10

S10=a1·(q -1)/(q-1) S10=50000·(1,0610-1)/(1,06-1)=50000·0,790848/0,06=659040 A végeredmény: 400000·1,0610-S10=400000·1,790848-659040=57299,2

Évfordulók


2012.09.30.

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Recommend Documents