KMA/MAT1 Matematika 1 — Pˇredn´aˇska ˇc. 2 Jiˇr´ı Fiˇser
26. z´aˇr´ı 2016
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
1 / 24
Souˇcin, pod´ıl a mocniny komplexn´ıch ˇc´ısel v goniometrick´em tvaru Dvˇe nenulov´a komplexn´ı ˇc´ısla: z1 = |z1 | (cos α1 + i sin α1 ),
z2 = |z2 | (cos α2 + i sin α2 )
Jejich souˇcin z1 · z2 = |z1 | |z2 | cos(α1 + α2 ) + i sin(α1 + α2 ) Jejich pod´ıl:
z1 |z1 | cos(α1 − α2 ) + i sin(α1 − α2 ) = z2 |z2 | n-t´a mocnina: (z1 )n = |z1 |n cos(n · α1 ) + i sin(n · α1 ) Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
2 / 24
Souˇcin, pod´ıl a mocniny komplexn´ıch ˇc´ısel v goniometrick´em tvaru Pˇr´ıklad (EG,Pˇr. 4.5.3) Vypoˇcteme souˇcin a pod´ıl komplexn´ıch ˇc´ısel π π π π z1 = 3 cos + i sin a z2 = 2 cos + i sin . 3 3 6 6 Podle vzorc˚ u: π π π π π π + i sin = 6 cos + i sin , + + z1 · z2 = 3 · 2 cos 3 6 3 6 2 2 π π 3 z1 3 π π π π = − − cos + i sin = cos + i sin . z2 2 3 6 3 6 2 6 6
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
3 / 24
Maximum (nejvˇetˇs´ı prvek) a minimum (nejmenˇs´ı prvek) mnoˇziny Definice ˇıslo β ∈ M naz´yv´ame maximum mnoˇziny M a Necht’ M ⊂ R, M 6= ∅. C´ p´ıˇseme β = max M, pr´avˇe kdyˇz plat´ı: ∀x ∈ M : x ≤ β.
Definice ˇıslo α ∈ M naz´yv´ame minimum mnoˇziny M a Necht’ M ⊂ R, M 6= ∅. C´ p´ıˇseme α = min M, pr´avˇe kdyˇz plat´ı: ∀x ∈ M : x ≥ β.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
4 / 24
Supremum a infimum mnoˇziny
Zobecnˇen´ı pojm˚ u maxima a minima mnoˇziny. Pokud existuje max M, potom sup M = max M. Pokud existuje min M, potom inf M = min M.
Pˇr´ıklad Napˇr´ıklad mnoˇzina 1 1 1 M = 1, , , , . . . 2 3 4 m´a maximum max M = 1, ale nem´a minimum. M´ame tedy sup M = max M = 1 a nav´ıc m˚ uˇzeme definovat inf M = 0.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
5 / 24
Supremum a infimum mnoˇziny Definice ˇıslo β ∈ R naz´yv´ame supremum mnoˇziny M a Necht’ M ⊂ R, M 6= ∅. C´ p´ıˇseme β = sup M, pr´avˇe kdyˇz m´a tyto dvˇe vlastnosti: (1) ∀x ∈ M : x ≤ β, (2) ∀β ′ < β
∃x ′ ∈ M : x ′ > β ′ .
Definice ˇıslo α ∈ R naz´yv´ame infimum mnoˇziny M a Necht’ M ⊂ R, M 6= ∅. C´ p´ıˇseme α = inf M, pr´avˇe kdyˇz m´a tyto dvˇe vlastnosti: (1) ∀x ∈ M : x ≥ α, (2) ∀α′ > α
∃x ′ ∈ M : x ′ < α′ .
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
6 / 24
Supremum a infimum mnoˇziny Definice ˇıslo β ∈ R naz´yv´ame supremum mnoˇziny M a Necht’ M ⊂ R, M 6= ∅. C´ p´ıˇseme β = sup M, pr´avˇe kdyˇz m´a tyto dvˇe vlastnosti: (1) ∀x ∈ M : x ≤ β, (2) ∀β ′ < β
∃x ′ ∈ M : x ′ > β ′ .
Definice ˇıslo α ∈ R naz´yv´ame infimum mnoˇziny M a Necht’ M ⊂ R, M 6= ∅. C´ p´ıˇseme α = inf M, pr´avˇe kdyˇz m´a tyto dvˇe vlastnosti: (1) ∀x ∈ M : x ≥ α, (2) ∀α′ > α
∃x ′ ∈ M : x ′ < α′ .
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
6 / 24
Supremum a infimum ´ Uloha Urˇcete sup M a inf M pro mnoˇzinu M =
1 2 3 , , ,... . 2 3 4
ˇ sen´ı Reˇ Plat´ı sup M = 1, nebot’ vˇsechny prvky mnoˇziny M jsou prav´e zlomky a jsou tedy menˇs´ı neˇz 1; jestliˇze vˇsak vezmeme libovoln´e ˇc´ıslo r < 1, existuje n , kter´y je vˇetˇs´ı neˇz r . vˇzdy v M prvek n+1 1 D´ale inf M = 2 , nebot’ ˇz´adn´y prvek M nen´ı menˇs´ı neˇz 21 , a kdyˇz zvol´ıme libovoln´e ˇc´ıslo s > 21 , pak vˇzdy pr´avˇe pro prvek 12 plat´ı 21 < s. Pˇritom sup M nen´ı a inf M je prvkem zadan´e mnoˇziny M.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
7 / 24
Supremum a infimum
Vˇeta (o existenci suprema a infima) 1) Kaˇzd´a nepr´azdn´a shora omezen´a mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel m´a supremum. 2) Kaˇzd´a nepr´azdn´a zdola omezen´a mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel m´a infimum.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
8 / 24
Okol´ı bodu
Definice (Topologick´a definice) Okol´ım bodu a nazveme kaˇzd´y otevˇren´y interval (c, d) koneˇcn´e d´elky, kter´y obsahuje bod a (tj. kde a ∈ (c, d)); oznaˇcen´ı okol´ı bodu a: U(a).
Definice (Metrick´a definice) ε-okol´ım bodu a, kde ε ∈ R, ε > 0, naz´yv´ame interval (a − ε, a + ε); oznaˇcen´ı: U(a, ε) nebo t´eˇz U(a).
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
9 / 24
Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa
ˇ ıselnou osu rozˇs´ıˇr´ıme o dvˇe nevlastn´ı ˇc´ısla: +∞ a −∞. C´ Oznaˇcen´ı rozˇs´ıˇren´e re´aln´e osy: R∗ = R ∪ {−∞, +∞}. Zaveden´ı nevlastn´ıch ˇc´ısel n´am umoˇzn ˇuje hloubˇeji, l´epe a jednoduˇseji formulovat mnoh´e poznatky matematick´e anal´yzy.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
10 / 24
Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa Vlastnosti nevlastn´ıch ˇc´ısel
Na rozˇs´ıˇren´e re´aln´e ose definujeme pˇrirozen´e uspoˇr´ad´an´ı a poˇcetn´ı operace tak, ˇze rozˇs´ıˇr´ıme pˇr´ısluˇsn´a pravidla platn´a na R. Uspoˇr´ad´an´ı: ∀x ∈ R : −∞ < x < +∞, zvl´aˇstˇe −∞ < +∞,
−(−∞) = +∞,
−(+∞) = −∞,
| + ∞| = | − ∞| = +∞. Supremum a infimum: Pro mnoˇzinu M, kter´a nen´ı shora omezen´a, je sup M = +∞, pro mnoˇzinu M, kter´a nen´ı zdola omezen´a, je inf M = −∞. Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
11 / 24
Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa Vlastnosti nevlastn´ıch ˇc´ısel
Na rozˇs´ıˇren´e re´aln´e ose definujeme pˇrirozen´e uspoˇr´ad´an´ı a poˇcetn´ı operace tak, ˇze rozˇs´ıˇr´ıme pˇr´ısluˇsn´a pravidla platn´a na R. Uspoˇr´ad´an´ı: ∀x ∈ R : −∞ < x < +∞, zvl´aˇstˇe −∞ < +∞,
−(−∞) = +∞,
−(+∞) = −∞,
| + ∞| = | − ∞| = +∞. Supremum a infimum: Pro mnoˇzinu M, kter´a nen´ı shora omezen´a, je sup M = +∞, pro mnoˇzinu M, kter´a nen´ı zdola omezen´a, je inf M = −∞. Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
11 / 24
Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa Poˇcetn´ı operace s nevlastn´ımi ˇc´ısly
Sˇc´ıt´an´ı a odˇc´ıt´an´ı: ∀x ∈ R definujeme ±x + (+∞) = (+∞) ± x = ±x − (−∞) = (+∞) + (+∞) = = (+∞) − (−∞) = +∞,
±x + (−∞) = (−∞) ± x = ±x − (+∞) = (−∞) + (−∞) = = (−∞) − (+∞) = −∞. Nedefinujeme (+∞) − (+∞), Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
(+∞) + (−∞), KMA–MAT1
(−∞) + (+∞),
(−∞) − (−∞). 26. z´ aˇr´ı 2016
12 / 24
Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa Poˇcetn´ı operace s nevlastn´ımi ˇc´ısly
N´asoben´ı: ∀x ∈ R, x > 0 definujeme x · (+∞) = (+∞) · x = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞, x · (−∞) = (−∞) · x = (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞. Podobnˇe pro x < 0. Nedefinujeme 0 · (+∞),
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
(+∞) · 0,
KMA–MAT1
0 · (−∞),
(−∞) · 0.
26. z´ aˇr´ı 2016
13 / 24
Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa Poˇcetn´ı operace s nevlastn´ımi ˇc´ısly
Dˇelen´ı: ∀x ∈ R definujeme x x = = 0. (+∞) (−∞) Pro x > 0 je
pro x < 0 je
+∞ = +∞, x
−∞ = −∞, x
+∞ = −∞, x
−∞ = +∞. x
Nedefinujeme +∞ , +∞
+∞ , atd., −∞
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
x pro ˇz´adn´e x ∈ R, tj. ani 0
KMA–MAT1
0 0
nebo
26. z´ aˇr´ı 2016
±∞ . 0
14 / 24
Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa Poˇcetn´ı operace s nevlastn´ımi ˇc´ısly
Mocniny : ∀n ∈ N definujeme (+∞)n = +∞,
(+∞)−n = 0,
(−∞)n = (−1)n · (+∞).
Nedefinujeme (+∞)0 ,
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
(−∞)0 ,
00 ,
KMA–MAT1
1+∞ ,
1−∞ .
26. z´ aˇr´ı 2016
15 / 24
Rozˇs´ıˇren´a re´aln´a osa
´ Uloha Vypoˇctˇete a = +∞ · 5 −
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
1200! (−∞) + (−∞)3 · (100 − ∞) − . 3 +∞
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
16 / 24
Kombinatorika
Bez opakov´an´ı Variace
Vk (n) =
n! (n − k)!
Permutace
P(n) = n!
Kombinace
n! n Ck (n) = = k k!(n − k)!
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
S opakov´an´ım Vk∗ (n) = nk n! n1 !n2 ! · · · nk ! n+k −1 ∗ Ck (n) = k P ∗ (n) =
26. z´ aˇr´ı 2016
17 / 24
Kombinatorika
Variace k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚ u: = uspoˇr´adan´e skupiny o k prvc´ıch vybran´ych z n prvk˚ u.
Permutace n prvk˚ u: = uspoˇr´adan´e n-tice vybran´e z n prvk˚ u.
Kombinace k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚ u: = (neuspoˇr´adan´e) skupiny o k prvc´ıch vybran´ych z n prvk˚ u.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
18 / 24
Poˇcet variac´ı k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚ u bez opakov´an´ı
Vk (n) =
n! . (n − k)!
´ Uloha Je d´ana mnoˇzina M = {1, 2, 3, 4, 5}. Z prvk˚ u t´eto mnoˇziny m´ame vytv´aˇret dvojice, pˇriˇcemˇz z´aleˇz´ı na poˇrad´ı a prvky se nemohou opakovat.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
19 / 24
Poˇcet variac´ı k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚ u s opakov´an´ım
Vk∗ (n) = nk .
´ Uloha Kolik existuje trojcifern´ych ˇc´ısel, kter´e lze zapsat uˇzit´ım cifer 1, 2, 3, 4 a 5?
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
20 / 24
Poˇcet permutac´ı n prvk˚ u bez opakov´an´ı
P(n) = n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 3 · 2 · 1.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
21 / 24
Poˇcet permutac´ı n prvk˚ u s opakov´an´ım
P ∗ (n) =
n! n1 !n2 ! · · · nk !
´ Uloha Kolik r˚ uzn´ych ˇsesticifern´ych ˇc´ısel lze vytvoˇrit z ˇc´ıslic 1, 2, 2, 3, 3, 3?
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
22 / 24
Poˇcet kombinac´ı k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚ u bez opakov´an´ı
n! n Ck (n) = = . k k!(n − k)!
´ Uloha Jak´y je vztah mezi poˇcty variac´ı a kombinac´ı k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚ u bez opakov´an´ı?
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
23 / 24
Poˇcet kombinac´ı k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚ u s opakov´an´ım
Ck∗ (n)
=
n+k −1 k
=
(n + k − 1)! . k!(n − k)!
´ Uloha Zjistˇete, kolik existuje r˚ uzn´ych kv´adr˚ u, pro nˇeˇz plat´ı, ˇze d´elka kaˇzd´e jejich hrany je pˇrirozen´e ˇc´ıslo z intervalu h2;15i.
Jiˇr´ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc)
KMA–MAT1
26. z´ aˇr´ı 2016
24 / 24
