DODATEK A ´ ´I MATEMATICKE ´ OPAKOVAN ´ ´I UVODN
A.1
Komplexn´ı ˇ c´ısla
Komplexn´ı ˇc´ısla jsou dvoudimenzion´aln´ı ˇc´ısla nad jednodimenzion´aln´ımi re´aln´ ymi ˇc´ısly. To znamen´a, ˇze k vyj´adˇren´ı jednoho komplexn´ıho ˇc´ısla jsou potˇreba dvˇe ˇc´ısla re´aln´a. Pokud si tedy mnoˇzinu vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel pˇredstavujeme jako pˇr´ımku, potom mnoˇzina vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel je rovina, Gaussova rovina. Stejnˇe jako kaˇzd´ y bod na pˇr´ımce je re´aln´e ˇc´ıslo, tak bod v rovinˇe na obr´azku je ˇc´ıslo komplexn´ı. Na obr´azku A.1 vid´ıme pˇet r˚ uzn´ ych komplexn´ıch ˇc´ısel v Gaussovˇe rovinˇe. Gaussova rovinˇe vznikne zkˇr´ıˇzen´ım dvou os – re´aln´e a imagin´arn´ı osy. Jak n´am jiˇz n´azev napov´ıd´a, na re´aln´e Im
Im z3
Im z3
z3
z4 z1
z4 z2
z1
z5 0
z4 z2
z1
z5 Re
(a) Obecn´a Gaussova rovina
0
z5 Re
(b) Kart´ezsk´a s´ıt’
0
Re (c) Pol´arn´ı s´ıt’
Obr´ azek A.1: Na obr´ azku vid´ıme s´erii bod˚ u v obecn´e Gaussovˇe rovinˇe.
7
z2
ose nalezneme veˇsker´a re´aln´a ˇc´ısla. Imagin´arn´ı osa obsahuje ˇc´ısla, j´ımˇz ˇr´ık´ame ryze imagin´arn´ı. ˇ ıslo z5 Obˇe dvˇe osy leˇz´ı v rovinˇe, tud´ıˇs re´aln´a i ryze imagin´arn´ı ˇc´ısla jsou ˇc´ısly komplexn´ımi. C´ je re´aln´e a ˇc´ıslo z3 ryze imagin´arn´ı. Na obr´azku (b) jsme na komplexn´ı rovinu nat´ahli kart´ezskou s´ıt’, tedy s´ıt’ pouze rovnobˇeˇzn´ ych a vz´ajemnˇe kolm´ ych pˇr´ımek, pomoc´ı nichˇz dok´aˇzeme mˇeˇrit vzd´alenost. Vid´ıme, ˇze ˇc´ıslo z1 odpov´ıd´a pr˚ useˇc´ıku dvou pˇr´ımek, kter´e proch´az´ı re´alnou a imagin´arn´ı osou v jednotkov´e vzd´alenosti od poˇc´atku. ˇ ıslo na Kaˇzd´ y bode lze tedy pravo´ uhle spojit s obˇema osami za vytvoˇren´ı obd´eln´ıka. C´ imagin´arn´ı ose nazvama imagin´ arn´ı ˇc´ast´ı a ˇc´ıslo na re´aln´e ose re´ alnou ˇc´ast´ı komplexn´ıho ˇc´ısla. P´ıˇseme Re[z] = x = re´aln´a ˇc´ast komplexn´ıho ˇc´ısla z,
Im[z] = y = imagin´arn´ı ˇc´ast komplexn´ıho ˇc´ısla z. Abychom nemuseli takto sloˇzitˇe zapisovat kaˇzd´e komplexn´ı ˇc´ıslo, budeme ps´at kompaktnˇeji z = x + iy, kde i je imagin´arn´ı jednotka, o jej´ıch vlastnostech si pov´ıme pozdˇeji, prozat´ım n´am staˇc´ı vˇedˇet, ˇze ˇc´ıslo n´asoben´e i1 je imagin´arn´ı ˇc´ast´ı odpov´ıdaj´ıc´ı komplexn´ıho ˇc´ısla a ˇc´ıslo u ´mˇern´e ˇclenu i0 . Tomuto z´apisu ˇr´ık´ame algebraick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla
z = x + iy
(A.1)
Na obr´azku (c) jsme na Gaussovu rovinu nat´ahli s´ıt’ tzv. pol´ arn´ıch souˇradnic (r, ϕ). Prvn´ı ze souˇradnic r ud´av´a vzd´alenost od poˇc´atku. Definuje tedy kruˇznici, na n´ıˇz m˚ uˇze ˇc´ıslo leˇzet. ´ Uhel ϕ ∈ [0, 2π) pak definuje m´ısto na kruˇznici, kdy ϕ = 0 odpov´ıd´a kladn´e ˇc´asti re´aln´e osy, ϕ = π z´aporn´ ym re´aln´ ym ˇc´ısl˚ um. Z definice goniometrick´ ych funkc´ı vid´ıme na obr´azku A.2 vztah mezi kart´ezsk´ ymi a pol´arn´ımi souˇradnicemi x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
(A.2)
Dosazen´ım tˇechto vztah˚ u do algebraick´eho tvaru (A.1) tak z´ısk´av´ame goniometrick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) ,
kter´ y bude velice platn´ y pˇredevˇs´ım pro pozdˇejˇs´ı poˇc´ıt´an´ı mocnin komplexn´ıch ˇc´ısel. 8
(A.3)
A.1.1
Rotace v komplexn´ı rovinˇ e
Jedn´ım z d˚ uleˇzit´ ych pˇr´ıklad˚ u pr´ace s komplexn´ımi ˇc´ısly je jejich rotace. M´ame-li z obr´azku A.3 orotovat o u ´hel ψ komlpexn´ı ˇc´ıslo z okolo poˇc´atku, dostaneme ˇc´ıslo z � = x� + iy � = r� (cos ϕ� + i sin ϕ� ), pˇriˇcemˇz pˇri rotaci plat´ı r� = r, tj. vzd´alenost ˇc´ısla od poˇc´atku se zachov´a. ´ Uhel se zmˇen´ı jednoduˇse z ϕ na ϕ� = ϕ + ψ. Rotace v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch je tedy jednoduch´a a m˚ uˇzeme ps´at goniometrick´ y tvar kopmlexn´ıho ˇc´ısla � � z � = r cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) .
(A.4)
Naˇs´ım c´ılem je nyn´ı zjistit, jak vypadaj´ı souˇradnice x� , y � , samozˇrejmˇe vid´ıme z pˇredchoz´ıho vztahu, ˇze x� = r cos(ϕ + ψ), y � = r sin(ϕ + ψ), ale naˇse snaha vede k tomu vyj´adˇrit x� , y � pouze pomoc´ı zadan´eho algebraick´eho tvaru, tedy v z´avislosti na x, y. Vyuˇzijeme vztah˚ u cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ,
(A.5)
sin(ϕ + ψ) = cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ
(A.6)
z � = r (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + ir(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
(A.7)
a z´ısk´ame tak
= r cos ϕ(cos ψ + i sin ψ) − r sin ϕ(sin ψ − i cos ψ) = � �� � � �� � x
(A.8)
y
= x cos ψ − y sin ψ + i(x sin ψ + y cos ψ) = x� + iy � .
(A.9)
Jde tedy uk´azat, ˇze pˇri rotaci o u ´hel ψ lze nov´e souˇradnice v algebraick´em tvaru napsat ve tvaru
Im z
y r ϕ x
0
Re
Obr´ azek A.2: Kaˇzd´e komplexn´ı ˇc´ıslo lze popsat s pomoc´ı pol´ arn´ıch ˇci kart´ezsk´ych souˇradnic. Obr´ azek ilustratuje, jak je jednoduch´e pˇrech´ azet mezi tˇemito dvˇema sety souˇradnic.
9
Im
y y�
z� ψ x�
z
r ϕ
0
x
Re
Obr´ azek A.3: Rotace v prostoru lze sn´ aze ˇreˇsit v pol´ arn´ıch souˇradnic´ıch pˇriˇcten´ım u ´hlu ψ k u ´hlu ϕ.
z � = x� + iy � = x cos ψ − y sin ψ + i(x sin ψ + y cos ψ),
(A.10)
�
(A.11)
�
(A.12)
x = x cos ψ − y sin ψ, y = x sin ψ + y cos ψ
Naˇsli jsme tedy pravidlo pro rotaci jak pro goniometrick´ y, tak pro algebraick´ y tvar. Tyto vztahy jsou velice d˚ uleˇzit´e a kupˇr´ıkladu ve fyzice hraj´ı velkou roli pˇri budov´an´ı teorie rotace tuh´eho tˇelesa.
A.1.2
N´ asoben´ı komplexn´ıch ˇ c´ısel
Nyn´ı se pojd’me pod´ıvat na n´asoben´ı dvou komplexn´ıch ˇc´ısel. Nejprve si uvˇedomme jednoduchou vˇec, kter´a se t´ yk´a sˇc´ıt´an´ı a odˇc´ıt´an´ı dvou komplexn´ıch ˇc´ısel, totiˇz tu, ˇze se skuteˇcnˇe jedn´a o ˇc´ısla, kde se k i chov´ame jako k parametru, tud´ıˇz jej lze vyt´ ykat. Tento postup jsme pouˇzili uˇz v minul´e kapitole a plat´ı tedy Re[z1 + z2 ] = Re[z1 ] + Re[z2 ],
Im[z1 + z2 ] = Im[z1 ] + Im[z2 ].
(A.13) (A.14)
N´asoben´ı dvou komplexn´ıch ˇc´ısel jiˇz vyˇzaduje d´ıvat se na i jako na ˇc´ıslo s urˇcitou vlastnost´ı, kterou re´aln´a ˇc´ısla postr´adaj´ı. Z pˇredchoz´ı kapitoly v´ıme, jak vypadaj´ı transformaˇcn´ı vztahy mezi (x, y) a (x� , y � ) pˇri rotaci, tedy zn´ame vztah mezi komplexn´ımi ˇc´ısly z, z � . Zkusme se pod´ıvat na to, co se stane, pokud provedeme souˇcin Rψ z = (cos ψ + i sin ψ)(x + iy) = x cos ψ + i2 y sin ψ + i(x sin ψ + y cos ψ), 10
(A.15)
kde jsme definovali rotaˇcn´ı komplexn´ı ˇc´ıslo Rψ . Vid´ıme, ˇze po vyn´asoben´ı komplexn´ım ˇc´ıslem ´hel ψ, jedin´ ym Rψ , jehoˇz vzd´alenost od poˇc´atku je 1, je situace t´emˇeˇr stejn´a jako pˇri rotaci o u 2 rozd´ılem je ˇclen s i .
Srovn´an´ım obou v´ ysledk˚ u zav´ad´ıme rotaci v komplexn´ı rovinˇe coby n´asoben´ı komplexn´ım ˇc´ıslem Rψ zaveden´ım fundament´aln´ı podm´ınky komplexn´ıch ˇc´ısel i2 = −1.
A.1.3
(A.16)
Mocnˇ en´ı a odmocˇ nov´ an´ı
Zaveden´ım vlastnosti imagin´arn´ıho ˇc´ısla i (i2 = −1) jsme z´aroveˇ n naˇsli efektivn´ı zp˚ usob, jak poˇc´ıtat mocniny a odmocniny kladn´ ych i z´aporn´ ych ˇc´ısel. Umocnˇen´ı obecn´eho komplexn´ıho ˇc´ısla na druhou jej tak posune ze vzd´alenosti r do vzd´alenosti r au ´hel odtoˇcen´ı se zdvojn´asob´ı. Obecnˇe pˇri z n m˚ uˇzeme ps´at 2
z n = |z|n [cos(nϕ) + i sin(nϕ)], kde jsme novˇe zavedli znaˇcen´ı pro velikost komplexn´ıho ˇc´ısla |z| = t´eˇz naz´ yv´ame absolutn´ı hodnotou.
(A.17) � Re[z]2 + Im[z]2 , kterou
Nab´ız´ı se ot´azka, jak je to s odmocnˇen´ım komplexn´ıho ˇc´ısla. Odmocˇ nujeme-li re´aln´e ˇc´ıslo 2 x je v´ ysledkem vˇzdy x, tj. funkce odmocnina pˇriˇrazuje ˇc´ıslu x ˇc´ıslo x. To vˇsak neznamen´a, ˇze ych ˇc´ıslech v´ıme, ˇze neexistuje i jin´e ˇc´ıslo neˇz x, kter´e po umocnˇen´ı na druhou d´a x2 . V re´aln´ takov´a ˇc´ısla jsou dvˇe, konkr´etnˇe ±x. √ Odmocnˇen´ım komplexn´ıho ˇc´ısla z budeme m´ıt na mysli n. odmocninu n x = z 1/n , kter´a ˇc´ıslu z pˇriˇrazuje vˇsechna ˇc´ısla zi , pro kter´a plat´ı zin = z. Neˇz uvedeme u ´vodn´ı pˇr´ıklad, je potˇreba zav´est novou operaci: 2
z 4 −3 2i
√
|z| 4 2 + 02 = 4
� (−3)2 + 02 = 3 √ 0 2 + 22 = 2
ϕ
z2
z3,
0
42 (cos(2 · 0) + i sin(2 · 0)) = 16
43 = 64
π
32 (cos(2π) + i sin(2π)) = 9
π 2
22 (cos π + i sin π) = −4
39 cos(3π) = −27 � � = −8i 23 i sin 3π 2
11
Ke komplexn´ımu ˇc´ıslu z definujeme operaci komplexn´ıho sdruˇzen´ı tak, ˇze komplexnˇe sdruˇzen´e ˇc´ıslo z¯ = z ∗ = Re[z]−iIm[z]. Geometricky se jedn´a o nalezen´ı osovˇe symetrick´eho partnera dle re´aln´e osy v Gaussovˇe rovinˇe k ˇc´ıslu z. Napˇr. z = 3 + 5i d´a z ∗ = 3 − 5i. Motivaˇ cn´ı pˇ r´ıklad: Necht’ je d´ano ˇc´ıslo z = 1 + i, k nˇemu ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e je ∗ z = 1 − i. Nyn´ı se pod´ıv´ame na to, jak vypad´a druh´a mocnina ˇc´ısla, tedy rotujeme ˇc´ısla z o ˇ ame, ˇze tedy nalezneme ryze imagin´arn´ı ˇc´ısla, skuteˇcnˇe u. Cek´ π/4 a z ∗ o −π/4 radi´an˚ z 2 = (1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 2i, ∗ 2
2
2
(z ) = (1 − i) = 1 − 2i + i = −2i,
(A.18) (A.19)
pol´arn´ı u ´hlov´a souˇradnice ˇc´ısla je tak pro z 2 rovna π/2 a pro (z ∗ )2 3/2π. Pokud tedy tato ˇc´ısla jeˇstˇe jednou kvadraticky umocn´ıme, mˇelo by se prvn´ı ˇc´ıslo otoˇcit na π, komplexnˇe sdruˇzen´e na ˇ ısla by se tedy mˇela rovnat. A skuteˇcnˇe 3π � π. C´ z 4 = 4i2 = −4,
(z ∗ )4 = 4i2 = −4.
(A.20) (A.21)
√ Odtud m˚ uˇzeme jasnˇe ˇr´ıci, ˇze ˇreˇs´ıme-li u ´lohu z = 4 −4, potom dvˇe ˇreˇsen´ı jsou z1 = 1+i, z2 = 1 − i = z1∗ . Naˇsli jsme tedy efektivn´ı zp˚ usob, jak poˇc´ıtat odmocniny z´aporn´ ych ˇc´ısel! Ovˇsem st´ale jsme nepˇriˇsli na vˇsechna ˇreˇsen´ı. Existuj´ı jeˇstˇe dalˇs´ı dvˇe z3 = −1+i a z4 = −1−i. Po sloˇzitˇejˇs´ıch teoretick´ ych u ´vah´ach lze doj´ıt k tomu, kolik je vlastnˇe ˇreˇsen´ı. Berme jako fakt n´asleduj´ıc´ı pouˇcku √ n
x, kde x �= 0, potom m´a rovnice n ˇreˇsen´ı a ta maj´ı tvar � � �� � � � ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n + i sin , (A.22) ∀k ∈ {1, 2, . . . , n} : zk = |z| cos n n
Je-li d´ana rovnice z =
v Gaussovˇe rovinˇe tvoˇr´ı pravideln´ y n-´ uheln´ık, jehoˇz stˇredem je komplexn´ı ˇc´ıslo 0 + 0i = 0.
Zv´ yraznˇen´e pravidlo pro odmocˇ nov´an´ı lze velice jednoduˇse odvodit z toho, ˇze funkce sin, cos jsou 2π periodick´e. To znamen´a, ˇze komplexn´ı ˇc´ıslo dan´e u ´hlem ϕ lze stejnˇe dobˇre popsat u ´hlem ϕ + 2kπ. Uˇz jsme uk´azali, ˇze mocnˇen´ı ˇc´ısla odpov´ıd´a rotaci, konkr´etnˇe si m˚ uˇzeme rozmyslet, ˇze n. mocnina komplexn´ıho ˇc´ısla d´a u ´hel n×´ uhel p˚ uvodn´ı. Nen´ı tedy zvl´aˇstn´ı, ˇze v odmocninˇe ˇcek´ame u ´hel ϕ/n. Pokud jsme tvrdili, ˇze jako u ´hel ϕ je moˇzn´e komplexn´ı ˇc´ıslo zapsat libovoln´ ym z ˇc´ısel ϕ+2kπ pro cel´e ˇc´ıslo k, m˚ uˇzeme se nyn´ı zamyslet nad t´ım, co se stane, pokud takov´e ˇc´ıslo odmocn´ıme. Oˇcividnˇe jeho n. mocnina d´a opˇet n´ami hledan´e ˇc´ıslo, nav´ıc ovˇsem ˇc´ıslo dan´e u ´hlem (ϕ+2kπ)/n je odliˇsn´e od ˇc´ısla prvn´ıho, pokud nen´ı k n´asobkem n. Efektivnˇe tedy ˇreˇs´ı rovnici s odmocninou 12
libovoln´e ˇc´ıslo dan´e u ´hlem (ϕ + 2kπ)/n, ovˇsem pro k > n nebo k < 1 uˇz dost´av´ame stejn´a ˇc´ısla, kter´a jsou v rozmez´ı k ∈ {1, . . . , n}.
Lich´ e odmocniny re´ aln´ ych ˇ c´ısel
Sud´ e odmocniny re´ aln´ ych ˇ c´ısel
Lich´a odmocnina m´a vˇzdy jedno re´aln´e ˇreˇsen´ı, to m˚ uˇze leˇzet bud’ v kladn´e ˇc´asti, nebo v z´aporn´e ˇc´asti re´aln´e osy odpov´ıdaj´ıce tomu, jak´e znam´enko mˇelo ˇc´ıslo pod odmocninou. Na obr´azku vid´ıme tˇret´ı odmocninu z ˇc´ısla −1 ˇcervenˇe a z ˇc´ısla 1 modˇre.
U sud´ ych odmocnin z´aleˇz´ı na tom, jak´e je znam´enko ˇc´ısla pod odmocninou. Jeli znam´enko kladn´e, leˇz´ı jedno z ˇreˇsen´ı v kladn´e ˇc´asti re´aln´e osy, jedno v z´aporn´e. Je-li signum ˇc´ısla pod odmocninou z´aporn´e, existuj´ı dvˇe ˇreˇsen´ı na ose ima√ √ gin´arn´ı. Modˇre: −1, ˇcervenˇe: 1.
Im − 12 + i
√
3 2
Im 1 2
-1 − 12 − i
+i
3 2
1 √
3 2
1 2
−i
−i
√
-1
Re
1
Re
√
3 2
i
Z geometrick´eho hlediska bychom mohli naj´ıt jin´e pravideln´ı n-´ uheln´ıky, kter´e nemaj´ı ani jeden z vrchol˚ u na libovoln´e z os. Takov´a ˇc´ısla tak´e ˇreˇs´ı u ´lohu, ale s obecn´ ym komplexn´ım ˇc´ıslem pod odmocninou, tˇemi se zde zab´ yvat nebudeme.
A.1.4
ˇ sen´ı kvadratick´ Reˇ ych rovnic
Pohybov´ a rovnice Pro uk´azku vyuˇzit´ı komplexn´ıch ˇc´ısel mimo geometrickou interpretaci pˇrejdˇeme do analytiky, v n´ıˇz je potˇreba ˇreˇsit kvadratick´e rovnice. V diferenci´aln´ım poˇctu, o nˇemˇz budeme mluvit pozdˇeji, lze formulovat rovnici harmonick´eho oscil´atoru x¨ + ω 2 x = 0,
(A.23)
jedn´a se o pohybovou rovnici, jej´ımˇz v´ ysledkem je trajektorie z´avaˇz´ı zavˇeˇsen´eho na pruˇzinˇe 2 x(t), pˇriˇcemˇz ω = k/m je pomˇer tuhosti pruˇziny a hmotnosti z´avaˇz´ı. V praxi se takov´a rovnice ˇreˇs´ı pomoc´ı pˇreps´an´ı do polynomu, kdy m´ısto sloˇzit´ ych derivac´ı ˇ vyuˇz´ıv´ame jednoduch´e mocniny, za kaˇzdou teˇcnu pˇrid´ame mocninu. Clen x¨ tak nahrad´ıme λ2 13
a ˇclen x ˇz´adnou teˇcku nem´a, proto jej nahrad´ıme za λ0 = 1. dost´av´ame novou rovnici λ2 + ω 2 = 0.
(A.24)
Obecn´a pouˇcka n´am ˇr´ık´a, ˇze vyˇreˇs´ıme-li pˇredchoz´ı rovnici, potom v´ ysledn´e ˇreˇsen´ı bude iλt odpov´ıdat funkci x(t) = Ae , kde A je libovoln´a konstanta. Vyˇreˇsit rovnici jiˇz nyn´ı nen´ı probl´em, nebot’ v´ıme, ˇze λ2 = −ω 2 = i2 ω 2
−→
λ = ±iω.
(A.25)
Dost´av´ame tedy dvˇe ˇreˇsen´ı (druh´a odmocnina), kter´a seˇcteme, abychom dostali ˇreˇsen´ı celkov´e. To m´a tedy tvar x(t) = A1 eiωt + A2 e−iωt ,
(A.26)
pˇriˇcmeˇz konstanty A1 , A2 v tuto chv´ıli nezn´ame. Vid´ıme vˇsak, ˇze bez znalosti komplexn´ıch ˇ sen´ı vˇsak jeˇstˇe upravme se znalost´ı ˇc´ısel a jejich odmocˇ nov´an´ı bychom se d´ale nedostali. Reˇ n´asleduj´ıc´ıc pouˇcky. Z´apis ez lze zapsat tak´e jako exp(z), jedn´a se o dva r˚ uzn´e z´apisy stejn´e funkce, j´ıˇz naz´ yv´ame exponenci´ala. Plat´ı vztah eiz = exp(iz) = cos(z) + i sin(z).
(A.27)
Nyn´ı m˚ uˇzeme ˇreˇsen´ı upravit dosazen´ım tohoto vztahu a vyuˇzit´ım sudosti funkce kosinus, lichosti funkce sinus x(t) = (A1 + A2 ) cos(ωt) + i(A1 − A2 ) sin(ωt) = B1 cos(ωt) + B2 sin(ωt), � �� � � �� � B1
(A.28)
B2
coˇz je jiˇz ˇreˇsen´ı, kter´e zn´ame ze stˇredn´ıch ˇskol. Dalˇs´ı u ´pravou bychom mohli z´ıskat x(t) = xmax cos(ωt + ϕ), to zde jiˇz ukazovat nebudeme a ˇcten´aˇr si tak m˚ uˇze s´am u ´lohu dopoˇc´ıtat a zjistit, v jak´em vztahu jsou konstanty A1 , A2 a xmax , ϕ. Zadan´ a rovnice Spoˇctˇeme obecnˇe zadanou rovnici x2 + 5x + 7 = 0,
(A.29)
hledejme x, kter´e takovou rovnici vyˇreˇs´ı. Prvn´ım krokem je vˇzdy spoˇc´ıtat diskriminant a zjistit jeho znam´enko D = b2 − 4ac = 25 − 4 · 7 · 1 = 25 − 28 = −3. 14
(A.30)
Doposud byl ˇclovˇek zvykl´ y ˇr´ıci, ˇze rovnice nem´a ˇreˇsen´ı, jelikoˇz diskriminant je z´aporn´ y. V tuto chv´ıli bychom mˇeli poznamenat, ˇze rovnice nem´a re´aln´a ˇreˇsen´ı, avˇsak v´ıme, ˇze komplexn´ı existovat budou. Pˇripomeˇ nme, ˇze d˚ uvodem neexistence re´aln´ ych ˇreˇsen´ı je, ˇze pouˇz´ıv´ame odmocninu z diskriminantu, kter´a je v tomto pˇr´ıpadˇe ryze imagin´arn´ı. Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe kladn´eho diskriminantu jsme uvaˇzovali pouze kladn´a ˇreˇsen´ı, stejnˇe √ √ tak u ryze imagin´arn´ıho, tj. −3 = i 3. Dost´av´ame tedy √ √ √ −5 ± i 3 5 −b ± D 3 = =− ±i . (A.31) x1/2 = 2a 2 2 2
15
