I. feladatsor (1) T¨oltse ki az al´abbi t´abl´azatot: Komplex sz´am Val´os r´esz K´epzetes r´esz Konjug´alt Abszol´ ut´ert´ek 4 + 2i −3 + 4i 5i − 1 −6i −3 5 3 − 2i 7i (2) Adottak az al´abbi komplex sz´amok: z1 = 2 + 3i, z2 = 1 − i, z3 = 2i. Hat´arozza meg az al´abbiakat: (a) z1 + z2 (b) z1 + z2 (c) z1 + z2 (d) z1 − z2 (e) |z1 + z2 | (f) |z1 | + |z2 | (g) z1 · z2 (h) z1 · z2 (i) z3 · z2 (j) z1 · z2 (k) z1 · z2 (l) |z1 · z2 | z1 z2 z1 (m) |z1 | · |z2 | (n) (o) (p) z1 z3 zz2 z1 1 z1 · z3 1 (s) (q) (r) (t) z z z z2 3 2 2 z2 + z 3 (u) 1 z2 (3) Legyen z1 = 3(cos 60◦ + i sin 60◦ ) valamint z2 = 12(cos 120◦ + i sin 120◦ ). Hat´arozza meg az al´abbiakat: z1 (a) |z1 | (b) |z2 | (c) z1 · z2 (d) z2 √ √ √ (e) z13 (f) 3 z1 (g) 4 z2 (h) 2 z1 · z2 (4) T¨oltse ki az al´abbi t´abl´azatot: Algebrai alak Trigonometrikus alak 1 +√i 1 − 3i √ 2(cos 135◦ + i sin 135◦ ) 2 i (5) Oldja meg az al´abbi egyenleteket a komplex sz´amok halmaz´an: (a) (2 + 3i)z + 4 = 5 + 2i (b) z 2 − 2z + 10 = 0√ (c) z 2 − 2iz = 3 + 2 3i (d) z 2 = 9 (e) z 2 = −16 (f) z 3 − i + 1 = 0 (g) (1 + i)z 6 = −2 + 4i (h) z 6 + 2iz 3 + 3 = 0 (i) z 8 − z 4 (1 + 2i) − 1 + i = 0 (j) z 6 − (2 + 4i)z 3 + 4i − 4 = 0 (6) V´egezze olt m˝ uveleteket: √ el a kijel¨ ◦ (a) p2(cos 225 + i sin 225◦ ) + (4 − 3i)i √ 3 (b) 4 − 4 3i 3 + 3i (c) 2(cos 330◦ + i sin 330◦ ) i3 − i7 (d) · (2 − i) + 2(cos 120◦ + i sin 120◦ ) 4−i i2009 − i2010 (e) 3 − 2i 1
(7) Oldja meg az al´abbi egyenleteket a komplex sz´amok halmaz´an: (a) i · z − 3 + 2i3 = 4 (b) (2i − 3)z − 5 + i5 = 2 (c) 3z + 4z = 2 + i (d) z − 2iz − i3 = 3 + 2i (e) z 2 + iz = 0 (f) z(2 − z = 0 (2 + i)z1 + (i + 1)z2 = i (g) (2 − i)z1 − (3 − i)z2 = 2 + 5i ( z1 − iz2 = −3i (h) (1 + 2i)z1 + (1 + 3i)z2 = 8 + 6i (8) Hat´arozza abbi komplex sz´amok trigonometrikus alakj´at: √meg az al´ ◦ (a) z = 2(cos 45 − i sin 45◦ ) (b) z = 2(sin 135◦ + i cos 135◦ ) (c) z = 4(cos 300◦ + i sin 150◦ ) (d) z = 4(cos 330◦ + i sin 150◦ ) (e) z = i cos 30◦ − cos 120◦
II. feladatsor (1) T¨oltse ki az al´abbi t´abl´atatot: f (x) g(x) f (g(x)) 3 sin(x) x √ sin(x) + x + 1 x 1 x 3 +1 x+2 cos(x4 )
g(f (x))
f (f (x))
2sin(x) lg(x3 + 2x − 1) p arcsin(x) ln(x) ex ln(x) x2 ln(x) ln(x) (2) Hat´arozza meg uggv´enyek ´ertelmesek: p a val´os sz´amok legb˝ovebb r´eszhalmaz´at, ahol az al´abbi f¨ (x + 1)(x − 5) (a) f (x) = x+4 arcsin( x2 ) (b) f (x) = lg(2x + 4) x+1 (c) f (x) = 2 x−3 1 (d) f (x) = √ 2 x + 4x + 4 x−2 (e) f (x) = lg x +11 x (f) f (x) = arcsin x+2 √ 3x − 1 (g) f (x) = ln(2x + 36) arccos(x + 2) (h) f (x) = ln(x + 4) ´ azolja az al´abbi f¨ (3) Abr´ uggv´enyeket: (a) f (x) = −2(2x − 4)2 − 5 (b) f (x) = 3 arcsin(2x − 1) + π (c) f (x) = − ln( x2 + 3) − 4 1−x (d) f (x) = 3e√ +2 (e) f (x) = − 3x + 4 − 2
(4) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek inverz f¨ uggv´eny´et, ha l´etezik. Ha nem l´etezik akkor hat´arozza meg a val´os sz´amok legb˝ovebb r´eszhalmaz´at, ahol az inverz l´etezik ´es hat´arozza is meg azt! (a) f (x) = √ 4x − 6 (b) f (x) = 2x + 6 3 (c) f (x) = −6 x+5 (d) f (x) = 2x−7 + 3 (e) f (x) = log5 (2x − 10) + 6 (f) f (x) = (x − 4)2 + 3 2 (g) f (x) = +3 x−4 3x − 1 +π (h) f (x) = 2 arcsin 2 1 x−1 π (i) f (x) = arctg − 2 4 4 x−π (j) f (x) = cos −3 4 (5) P´aros, p´aratlan vagy egyik sem az al´abbi f¨ uggv´eny: −x 2 (a) f (x) = e x 2 (b) f (x) = e−x sin x (c) f (x) = x2 + cos x + 2
(1) (2) (3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
III. feladatsor 5n − 1 sorozat k¨ovetkez˝o elemeit: a1 , a2 , an+1 , an−3 . Adja meg az an = 2n + 1 Vizsg´alja meg az al´abbi sorozatokat monotonit´as ´es konvergencia szempontj´ab´ol: n+2 1 n 4n + 2 1 (b) an = (c) an = − (d) an = (a) an = n+4 n+3 2 3n − 7 Adottak az al´abbi konvergens sorozatok. Adja meg a hat´ar´ert´eket, ´es azt a k¨ usz¨obindexet, amelyn´el 1 nagyobb index˝ u tagjai a sorozatnak ε = 100 -n´al kisebb hib´aval k¨ozel´ıtik a hat´ar´ert´eket! 4n + 1 1 − 3n 2 − 3n 4n + 2 (a) an = (b) an = (c) an = (d) an = n n+4 1 − 4n 3n − 7 Hat´arozza meg az al´abbi nevezetes sorozatok hat´ar´ert´eket: 1 (a) an = 3 (b) an = (c) an = 2n n 1 3 n (d) an = n2 (e) an = 2 n (f) an = − 4 1 3 n 1 − (h) an = n 2 (i) an = n 2 (g) an = 1 − n 3 √ 2n (j) an = n n (k) an = (l) an = 1 + n1 n! A nevezetes sorozathat´ar´ert´ekek ismeret´evel ´es a m˝ uveletekre vonatkoz´o t´etelek seg´ıts´eg´evel hat´arozza meg mely sorozatok konvergensek ´es mi a hat´ar´ert´ek¨ uk! (a) an = 2n2 − 3n + 1 (b) an = 7n3 − 5n2 (c) an = 4n4 − 12n3 + 1 (d) an = −6n5 + 20n4 + 100 Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o sorozatok hat´ar´ert´ek´et: −5n + 1 3n2 + n + 1 (a) an = (b) an = 7n − 2 5n2 − 7n 1 + 5n3 − 7n4 2n + 1 (c) an = 4 (d) a = n 9n − 4n2 + 3n n2 − n + 2 1 − 2n2 −5n2 + 2n + 1 (f) a = (e) an = n 1 − n − 7n4 n3 − 7n + 1 4 n3 − 7n + 1 1 − n − 7n (h) a = (g) an = n −5n2 + 2n + 1 1 − 2n2 1 + 4n −2n + 7n2 √ √ (i) an = (j) an = 2n + 2n + 1 3n2 + n + n3 + 3 5−n 4 − 3n2 √ √ (k) an = (l) an = 4n − 2 + 9n2 + n + 3 2n2 + n4 + n3 + 1 Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o sorozatok hat´ar´ert´ek´et: n2 + 1 3n2 + 1 (2n + 1)2 (a) an = √ (b) a = − n 3 2n + 1 6n − 1 5n6 + 4n √ √ 2n2 + 1 4n2 + 1 − (d) an = 3n + 7 − 3n + 10 (c) an = 4n − 7 8n + 1 √ √ √ √ (e) an = √4n + 7 − 3n + 10 (f) an = n2 +√7n − 1 − n2 + n 4n2 + 2n + 1 n2 + n3 + 1 (g) an = √ (h) an = 3n2 − n + 4 5n2 + n + 10 Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o sorozatok hat´ar´ert´ek´et: 2n+1 − 3n−1 23n+1 − 3n+1 (b) a = (a) an = n 1 + 3n 2n + 8n+1 2n−1 n 2n+1 5 −2 4 − 2n+3 (c) an = (d) a = n 3 + 32n 5 + 17n+2 32n+1 − 43n−1 43n+1 − 23n+1 (f) an = 3n−3 (e) an = 1 + 2n 5 + 8n+1 24n−1 − 5n−3 42n−4 − 32n+3 (g) an = 2n+2 (h) an = 4 + 52n 5 + 2n+2
(9) Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o sorozatok hat´ar´ert´ek´et: n+3 n 4 2 (b) an = 1 + (a) an = 1 + n 2n n 2 1 1 (d) an = 1 − (c) an = 1 + 2 n 3n 2n−3 1 2 (e) an = 1 + (f) an = 1 − n n n+1 n−3 2n + 6 n+5 (h) an = (g) an = n + 2 2n−1 2n + 83n−2 n + 14 7n + 4 (i) an = (j) an = n − 3 n+1 7n + 5 n−3 n+5 2n + 6 (k) an = (l) an = 2n + 2 n+2 4n + 8 n−7 2n + 2 4n + 8 (m) an = (n) an = n+5 2n + 6 n−2 n2 +2 2 2 n +3 2n + 2 (o) an = (p) an = n2 + 5 2n2 + 5 n2 −202 7n−5 2 2 2n − n + 3 3n + 2n − 3 (q) an = (r) an = 2n2 + 5 3n2 + 7 3 n +2 n+2 2 2n + 2 n +2 (t) an = (s) an = n2 − 4 n2 + 5
IV. feladatsor (1) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyhat´ar´ert´ekeket a f¨ uggv´eny grafikonj´anak ismeret´eben: 3 3 (a) lim x , lim x x→+∞ x→−∞ 1 1 1 (b) lim , lim , lim x→+∞ x x→−∞ x x→0 x 1 1 1 (c) lim 2 , lim 2 , lim 2 x→+∞ √ x x→−∞ √ x x→0 x (d) lim x, lim+ x x→0
x→0
(e) lim 2x , lim 2x x→+∞ x→−∞ 1 x 1 x (f) lim , lim x→+∞ 3 x→−∞ 3 (g) lim lg x, lim+ lg x, lim lg x x→0
x→+∞
x→0
(h) lim log 1 x, lim+ log 1 x, lim log 1 x x→0
2
x→+∞
2
x→0
2
(i) lim sin x, lim sin x x→+∞
x→−∞
(j) lim tgx π− x→ 2
(k) lim + arcsin x, lim arcsin x, lim− arcsin x x→1
x→−1
x→1
(l) lim arctgx, lim arctgx x→+∞
x→−∞
(m) lim + arccos x, lim arccos x x→1
x→−1
(n) lim arcctgx, lim arcctgx x→+∞
x→−∞
(o) ( x2 + 4 ha x ≥ 1 f (x) = 4x ha x < 1 lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x)
x→+∞
x→−∞
x→1
x→2
(p) (
1 2
x √
f (x) =
ha x < 2 x ha x ≥ 2
lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x)
x→+∞
x→0
x→2
x→9
(q) ( f (x) =
1 x 1 3 3 − x1
ha x ≥ −1 ha x < −1
lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x)
x→−∞
x→−1
x→0
x→10
(2) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek x0 -beli hat´ar´ert´ek´et: 5 4 (a) f (x) = −x + 3x + x3 + 1, x0 = −∞, +∞ (b) f (x) = x3 − 10x2 + x + 20, x0 = −∞, +∞ −3x2 − 5x + 1 (c) f (x) = , x0 = −∞, +∞ 4x2 + 7x + 3 7x3 + 5x2 + 1 (d) f (x) = , x0 = −∞, +∞ −2x3 − x2 + 10 −x3 + x + 2 (e) f (x) = 4 , x0 = −∞, +∞ x + x2 + 10 3 2 −2x + 4x − 2 (f) f (x) = , x0 = −∞, +∞ −x2 + 3x + 7 2 x +x−6 (g) f (x) = 2 , x0 = −∞, +∞, −3, 0, 1 x + 2x − 3
x2 − x − 2 (h) f (x) = , x0 = −∞, +∞, 0, 1, 2, 4 −x3 + 6x2 − 8x 2 x − 4x + 3 (i) f (x) = 2 , x0 = 0, 1, 2, 3 x − 6x + 9 x2 − 4x + 4 , x0 = −1, 2 (j) f (x) = 2 x −x−2 x3 + 6x2 + 9x (k) f (x) = 2 , x0 = −3, 0 x + 5x + 6 x3 − 6x2 + 8x (l) f (x) = 2 , x0 = −∞, +∞ √x − 2x − 8 x+1−1 (m) f (x) = , x0 = 0, +∞ √ x x2 + x + 1 − 1 (n) f (x) = , x0 = −∞, +∞ x (3) Hat´arozza meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket: x 2x √ √ (a) lim √ (b) lim √ x→0 x→0 5−x− 5+x 3 − 2x − 3 + 2x sin 5x sin(2x) (d) lim (c) lim x→0 7x x→0 3x sin 5x tg5x (e) lim (f) lim x→0 sin 7x x→0 4x e4x − 1 e5x − 1 (h) lim (g) lim x→0 sin(3x) x→0 7x 2x 1 e −1 x (j) lim arctg (i) lim e x→0 x→∞ 5x−1 2x 2x+1 1 x+4 (k) lim 1 − (l) lim x→∞ x→∞ 2x + 3 x+4 x + 6 3x−2 3x + 1 5x − 2 (m) lim (n) lim x→∞ x→∞ 3x + 2x+1 5x + 7 3x x+1 2x + 5 (o) lim (p) lim x→∞ x→∞ 2x + 3 2x+3 7x − 34x−1 3x + 2 5x + 2 (q) lim (r) lim x→∞ x→∞ 2x − 1 x+3 2x+3 x2 +3 2 2x + 2 4x − 3 (s) lim (t) lim x→∞ x→∞ 2x2 − 1 2x − 1 2 2x2 +3 2 2x+3 3x + 2 3x + 2x + 20 (u) lim (v) lim x→∞ x→∞ 3x2 − 1 3x2 + 20
V. feladatsor (1) Adja meg az x0 helyhez tartoz´o differenciah´anyados f¨ uggv´enyt, a differenci´alh´anyados ´ert´ek´et a defin´ıci´o alapj´an: (a) f (x) = 5, x0 = 2, x0 = −3 (b) f (x) = x1 , x0 = 2, x0 = −3 √ (c) f (x) = x + x, x0 = −3, x0 = 2, x0 = 4 (2) Adja meg az al´abbi f¨ uggv´enyek szel˝o egyeneseinek egyenlet´et, valamint az ´erint˝o egyenesek egyenlet´et: (a) f (x) = 4x2 + 1, P1 (0, 1), P2 (−1, 5) (b) f (x) = x1 , P1 (2, 12 ), P2 (−3, − 31 ) (3) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altf¨ uggv´enyeit: √ 1 1 3 (a) f (x) = x5 + √ + − 1 x x x 2 − 4 sin x (b) f (x) = 3 √ (c) f (x) = 2x3 + π + log3 x 5 (d) f (x) = 3x4 − cos x + x (e) f (x) = sin x · tgx (f) f (x) = ex · ln x (g) f (x) = √ lg x · arcsin x (h) f (x) = x lg x (i) f (x) = 4x5 · arctgx (j) f (x) = ln x sin x (k) f (x) = tgx (l) f (x) = ctgx ex (m) f (x) = sin x tgx (n) f (x) = ln x 2x − x4 (o) f (x) = x+2 √ 3 x + 15 (p) f (x) = 3 sin x cgtx (q) f (x) = x e +4 (r) f (x) = sin(x3 ) (s) f (x) = (sin x)3 (t) f (x) = ln(x2 + 4) 2 1 (u) f (x) = ex − x +3 2 (v) f (x) = etgx·ln(x +cos x) (w) f (x) = xx (x) f (x) = (sinx)√cos x x+3 (y) f (x) = sin x 2 + x2 (z) f (x) = (x3 + 3)arctgx (aa) r(ϕ) = 4ϕ · ln ϕ + 2 (ab) V (t) = t6 · cos(3t) (ac) h(t) = t · p5 − p7 + t, p val´os param´eter (ad) h(p) = t · p5 − √ p7 + t, t val´os param´eter (aa) f (x) = ctgx · ( x + 3x )x+4 (4) Hat´arozza meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket:
arcsin(5x) lim x→0 3x x 1 lim 1 + x→−∞ x x−1
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
x2 + 2 lim lim+ (x2 · ln(x)) 2 + x + 11 x→∞ 3x x→0 1 x − sin x 1 − lim lim+ x→0 x sin x x→1 x − 1 ln x ln x2 1 − cos x lim lim x→0 x→2 x − 2 x2 lim 2x · ctg3x lim (sin x)x
lim+ xx x→0 1 1 lim − x→0+ x sin x arctan x lim x→0 x √ 3 lim+ (ctgx) x
lim e x−x2 x→1 2x lim 2 x→∞ x x→0 x→0+ x→0 1 5x x 2 x lim (e + x) lim lim (x − ln(x + 1)) lim ln x · tgx x→0+ x→∞ ln x x→∞ x→0+ ´Irja fel az al´abbi f (x) f¨ uggv´enyek m meredeks´eg˝ u ´erint˝oinek egyenlet´et: (a) f (x) = 2x3 − 9x2 + 18x + 20, m = 6 1 + x, m = 10 (b) f (x) = − x+2 1 1 (c) f (x) = arctg(2x + 3), m = 2 26 Hol n¨ovekv˝o, hol cs¨okken˝o, hol van lok´alis sz´els˝o´ert´eke ´es milyen a sz´els˝o´ert´ek jellege az f (x) f¨ uggv´enynek, ha a deriv´alt f¨ uggv´enye az al´abbi: 0 2 (a) f (x) = (x + 4)(x − 3) (x + 5)2 (x − 1) (b) f 0 (x) = x−3 (x − 2)2 (x − 5) (c) f 0 (x) = ln x · (x + 3)(x − 4) Hol konvex, hol konk´av, hol van inflexi´os pontja az f (x) f¨ uggv´enynek, ha a m´asodik deriv´alt f¨ uggv´enye az al´abbi: (a) f 00 (x) = (x + 4)(x − 3)2 (x + 4)3 (x − 2)2 (b) f 00 (x) = √ x+1 x(x − 4) 00 (c) f (x) = · 2x 2 (x − 1) (x − 2) V´egezzen teljes f¨ uggv´enyvizsg´alatot az al´abbi f¨ uggv´enyeken: (a) f (x) = 3x − x3 1 (b) g(x) = 1 + x2 1 (c) h(x) = 4x2 + x x2 (d) i(x) = 2 x +4 (e) j(x) = x2 e−x (f) k(x) = x lg x (g) l(x) = ln(x2 + 4) (h) m(x) = ln(x2 − 1) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek x0 k¨ ur¨oli n-ed fok´ u Taylor polimonj´at! 4 3 2 (a) f (x) = x + x − 2x + x + 3, x0 = 0, x0 = 1, n = 4 1 (b) f (x) = e1−2x , x0 = 0, x0 = , x0 = 1, n = 3, n = 4 2 (c) f (x) = ln(x + 2), x0 = 0, x0 = −1, n = 3 Oldja meg a k¨ovetkez˝o sz¨oveges feladatokat! (a) Egy fel¨ ul nyitott, n´egyzet alap´ u doboz k´esz´ıt´es´ehez 2m2 ter¨ ulet˝ u lemezt haszn´alhatunk fel. Hogyan v´alasszuk meg a doboz m´ereteit, hogy a t´erfogata a legnagyobb legyen, ´es mekkora ez a legnagyobb t´erfogat? (b) Egy foly´o k´et partj´an van k´et v´aros, a k´epen l´athat´o elrendez´es szerint. Szeretn´enk k´abelt fektetni a k´et v´aros k¨oz¨ott. A k´abelfektet´es k¨olts´ege 1000 pet´ak m´eterenk´ent a sz´azatf¨old¨on, 2000 pet´ak m´eterenl´ant a v´ız alatt. Milyen u ´tvonal(ak) eset´en minim´alis a k¨olts´eg?
(c) Egy fel¨ ul nyitott henger alak´ u, 1/2 l t´erfogat´ u m´er˝oed´enyt szeretn´enk k´esz´ıteni. Hogyan v´alasszuk az ed´eny alapsugar´at ´es magass´ag´at, hogy min´el kevesebb lemezt haszn´aljunk fel, ´es mennyi felhaszn´alt lemezmennyis´eg? (d) Legfeljebb mekkora t´eglalap alak´ u ter¨ uletet lehet k¨orbeker´ıtani 400 m´eter ker´ıt´essel? (e) Legal´abb mennyi ker´ıt´es kell egy 25 m2 alapter¨ ulet˝ u t´egalap alak˝ u telek k¨orbeker´ıt´es´ehez?
VI. feladatsor
(1) Az alapf¨ uggv´enyek integr´alja seg´ıts´eg´evel hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek hat´arozatlan integr´alj´at: 1 3x4 − 2 1 (b)f (x) = (a) f (x) = x4 √ − + 2 x5 x x 1 1 (c) f (x) = ex − 4 sin x + (d) f (x) = √ 2 cos x 4 − 4x2 2 2 x 5 +3 (e) f (x) = + 4 (f) f (x) = 5 − 3x + 3 + 3x2 x √ 3 7 4 (g) f (x) = 4 cos x − (h) f (x) = + 3 − 3 x x2 sin2 x (2) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek hat´arozatlan integr´alj´at: 3 (a) f (x) = (1 − 7x)2 (b)f (x) = 2x + 3 (c) f (x) = e2−4x (d) f (x) = sin(5 − 3x) 2 1 (e) f (x) = (f) f (x) = 2 1 + (4x + 3)2 sin (4x + 1) 1 −1 (g) f (x) = p (h) f (x) = √ 3 2 5x + 3 1 − (5x + 2) (3) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek hat´arozatlan integr´alj´at: 2x2 (a) f (x) = 4 sin x · cos5 x (b) f (x) = √ 3 3 + 2x3 2x tg3 x (c) f (x) = √ (d) f (x) = 4 2 cos2 x x2 + 2 p 3 √ arctg2 x 5 (e) f (x) = x3 − 2 · x2 (f) f (x) = 1 + x2 4 4 3 ln x √ (h) f (x) = (g) f (x) = 2 x (arccos (x)) · 1 − x2 cos x 2x + 1 (i) f (x) = (j) f (x) = 2 3 (x + x)4 sin x (4) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek hat´arozatlan integr´alj´at: 2 7 (a) f (x) = (b) f (x) = 4x + 1 4 − 3x 4 cos x −5x (c) f (x) = (d) f (x) = 1 + x−x2 1 + 3 sin x 4e 2 (e) f (x) = (f) f (x) = −x 2 5 + 3e (1 + x )arctg(x) (5) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek hat´arozatlan integr´alj´at: 1 ex 1+sin x (a) f (x) = e cos x (b) f (x) = 2 4x √ 4 1 cos(5 x) (c) f (x) = 2√x (d) f (x) = 3 · sin x x2 (6) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek hat´arozatlan integr´alj´at parci´alis integr´al´assal: (a) f (x) = (2x − 5) cos x (b) f (x) = (x2 − 1) sin x (c) f (x) = (4x + 3)e2x (d) f (x) = 4xe1−2x 1−x (e) f (x) = sin(2x)e (f)f (x) = arcsin x (g) f (x) = (x2 − 2x + 1) ln x (h) f (x) = ln x (i) f (x) = arctgx (j) f (x) = 2xarctgx (k) f (x) = cos(2x + 2)e3x−4 (l) f (x) = ln2 (x) · (x2 + x + 2) (7) Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek hat´arozatlan integr´alj´at:
1 +4 1 (c) f (x) = 2 16x + 25 1 (e) f (x) = 2 x + 2x + 5 1 (g) f (x) = √ 2x − x2 1 (i) f (x) = √ −4x2 − 12x − 8 (a) f (x) =
x2
1 +1 2 (d) f (x) = 2 5x + 3 3 (f) f (x) = 2 x − 6x + 13 1 (h) f (x) = √ 6x − 9x2 1 (j) f (x) = √ 12x − 9x2 − 3 (b) f (x) =
9x2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
VII. feladatsor Hat´arozza et: Z 7hat´arozott integr´alok ´ert´ Zek´ Z −1meg az al´abbi 3 √ x 1 dx (b) x + 2 dx (c) √ √ dx (a) 2 x 1 + x 2 2 2 −2 Z −2 Z e Z π 1 ln x dx (e) sin x dx (d) dx (f) 2 −4 x + 8x + 20 1 0 Hat´arozza meg a ter¨ uleteket, ha: 1 (a) f (x) = , ´es x ∈ [−6; −3] x+2 2x (b) f (x) = xe √ , ´es x ∈ [0; 1] (c) f (x) = x + 3, ´es x ∈ [−3, 1] Hat´arozza meg a k´et g¨orbe ´altal k¨ozrez´art ter¨ uletet! 2 (a) f (x) = √ x , g(x) = x + 2 (b) f (x) = x, g(x) = x3 √ (c) f (x) = x, g(x) = x2 Hat´arozza meg az f (x) ´es az x tengely ´altal k¨ozbez´art ter¨ uletet! (a) f (x) = x2 − 5x (b) f (x) = −x2 − 5x (c) f (x) = (x − 2) ln x Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek ´ıvhossz´at! (a) f (x) = √ 3x x ∈ [2; 4] (b) f (x) = 1√− x2 x ∈ [0; 1] (c) f (x) = 2x x + 1, x ∈ [0; 11] Hat´arozza meg uggv´enyek x tengely k¨or¨ uli megforgat´as´aval keletkezett forg´astest t´erfogat´at! √ az al´abbi f¨ 2 (a) f (x) = 1 − x x ∈ [0; 1] 1 x ∈ [−2; 0] (b) f (x) = √ x+3 2 (c) f (x) = , x ∈ [0; 2] 4−x x (d) f (x) = e √+ 1, x ∈ [0; 1] (e) f (x) = r x ln x, x ∈ [1; e] 1 (f) f (x) = , x ∈ [− 21 ; 1] 4x2 + 4x + 10 Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek x tengely k¨or¨ uli megforgat´as´aval keletkezett forg´astest pal´astj´anak felsz´ın´et! √ (a) f (x) = 1 − x2 x ∈ [0; 1] (b) f (x) = x3 x ∈ [0; 2] Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek x tengely k¨or¨ uli megforgat´as´aval keletkezett forg´astest teljes felsz´ın´et! √ (a) f (x) = 1 − x2 x ∈ [0; 1] (b) f (x) = x3 x ∈ [0; 2]
(1) (2) (3)
(4)
(5)
(6)
(7)
VIII. feladatsor Igazolja, hogy az y = 2 − 2x + y differenci´alegyenletnek megold´asa az y = 2x + 3ex ! Igazolja, hogy az y 00 − 3y 0 + 2y + 3 − 2x = 0 differenci´alegyenletnek az y = 3ex + e2x + x f¨ uggv´eny megold´asa Oldja meg az al´abbi differenci´alegyenleteket (a) y 0 = cos x + 2, y(0) = 5 y0 (b) 2 √ = 1, y(0) = 0 x + x+1 Oldja meg az al´abbi differenci´alegyenleteket 1 − 2x (a) y 0 + y=1 x2 2 (b) y 0 + 2xy = xe−x 2x y=x (c) y 0 − 2 x +1 (d) y 0 x − 2yx2 = x2 Oldja meg az al´abbi differenci´alegyenleteket (a) (x2 + 1)y 0 = xy, y(0) = 3 y (b) y 0 = √ x 0 (c) xy − y = 1 (d) y 0 = e2x+y (e) (2x + 1)y 0 = 3y, y(4) = 54 (f) y 0 = (y + x)2 (g) x(1 + y 2 ) = y(1 + x2 )y 0 (h) (y 2 + 1)x = (x2 − 2)yy 0 Oldja meg az al´abbi differenci´alegyenleteket (a) y 00 + 4y 0 + 3y = 0 (b) y 00 − 6y 0 + 9y = 0 (c) y 00 + 4y 0 + 5y = 0 (d) y 00 + 4y 0 = 0 (e) y 00 + 5y = 0 (f) y 00 − 4y = 0 (g) y 00 − 6y 0 + 34y = 174 cos(2x) (h) y 00 + 5y 0 + 6y = x2 (i) y 00 + 4y 0 + 3y = 2x + 3 (j) y 00 − 3y 0 − 10y = −30 sin(2x) − 46 cos(2x) (k) y 00 − 2y 0 − 8y = −8x2 + 12x + 70 (l) y 00 + 2y 0 + y = 6 cos(3x) − 8 sin(3x) (m) y 00 − 10y 0 + 25y = 12e3x − 36e−x (n) y 00 + 2y 0 + 10y = 10x + 12 (o) y 00 + y 0 + 6y = 12e2x + 6x2 + 2x + 2 Oldja meg az al´abbi differenci´alegyenleteket (a) y 00 − 2y 0 = 6e2x (b) y 00 + 4y 0 = (24x + 10)e−4x (c) y 00 − 4y 0 + 4y = 10e2x (d) y 00 + 9y = 27x − 12 sin 3x 0
