Goed leren rekenen door getal Kees Buys
Als kinderen in groep 3 komen, weten ze al een heleboel van getallen. Door
groepjes van 6'. Het resultaat hiervan is dat de getallen heel sterk 'doorleefd' raken voor de kinderen.
hierop aan te sluiten verwerven ze steeds meer inzicht in de praktische betekenis van getallen. Met een goede oriëntatie op de getallen ontwikkelen kinderen gevoel voor de grootte van getallen. Ieder kind komt op zijn eigen
Het grote voordeel van een dergelijke opzet van het onderwijsleerproces laat zich raden: een goed begrip van de getallen maakt het zoveel makkelijker voor de kinderen om het rekenen goed onder de knie te krijgen. 2 Bovendien is het zo mogelijk dat ze veel meer inzicht in het rekenen verwerven en dat ze een veel grotere inbreng in hun eigen leerproces hebben. In plaats van dat de leraar moet voordoen hoe de sommen opgelost kunnen worden, kan deze de kinderen geschikte probleemsituaties voorleggen waarbij ze op basis van hun inzicht in de getallen zelf oplossingsmanieren bedenken, uitproberen en verbeteren. Zo kunnen de kinderen in groep 3 en 4 hun kennis van de getallen tot 20 gebruiken om handige rekenstrategieën voor het rekenen over de 10 (7+5, 12-8) te ontwikkelen. Als je immers goed doorziet hoe de getallen binnen dat gebied 'in elkaar zitten', dan is het betrekkelijk eenvoudig om opgaven als 7+5 en 12-8 handig uit te
niveau tot een oplossing. In dit artikel wordt aan deze twee belangrijke aspecten aandacht besteed: getal begrip en niveaudifferentiatie.
B
epalend voor het leersucces van kinderen bij rekenen is een goed begrip van de getallen voordat ze ~rmee leren rekenen. Of het nu om het getalgebied tot 20 in groep 3 gaat, de gebieden tot 100 en tot 1000 in de groepen 4 en 5 ofhet gebied van de breuken, kommagetallen en procenten in de groepen 6, 7 en 8; steeds opnieuw blijkt hoe belangrijk het is dat het leren rekenen binnen zulke gebieden begint met een periode waarin de kinderen zich oriënteren op de getallen als zodanig. 1 Een goed begrip van de getallen
Op basis van wat ze er zelf al van weten en begrijpen, verwerven de kinderen steeds meer inzicht in
de verschillende praktische betekenissen van getallen. Ze leren doorzien hoe de telrij in elkaar zit, en ontwikkelen gevoel voor de grootte van getallen en hun plaats op de getallenlijn. Zo worden de kinderen in groep 3 zich steeds meer bewust dat een getal als 12 kan staan voor een hoeveelheid (12 appels, 12 kaarsen, 12 tegels, etc.), een nummer (nummer 12 in de rij) of een maat (iemand van 12 jaar oud, een afstand van 12 stappen). Ook raken ze vertrouwd met het tellen en terugtellen, en met de plaats van 12 op de getallenlijn (tussen 10 en 20, iets voorbij de 10). En aan de hand van het rekenrek leren ze hoe je 12 als een getalbeeld kunt voorstellen van '10 en nog 2', '2 groepjes van 5 en nog 2', en '2
Figuur 1 Voorbeelden van voorstellingen van het getal 12 uit groep 3
O'=!!!3Jj-===/50=;-
===..--=-: 12
I
13
345678
eu
E E
=>
z:
~ 1Z
""-
6
Lr)
4
00 bIJ
c:
cu
cu
10
=:
5
e" ~
.
~
• 12
~~~ ~ =: ~ ~
::...~~
begrip en niveaudifferentiatie Figuur 2 Handelingen op het reken rek én op mentaal niveau bij bijvoorbeeld 7+ 5
o
o
o ? e.n 5
?
5 en 5 is 10 ren 5 is f1.
o
o
o
5 en ; UI
.
IS 10 nJtie ...
noq Z. Witte
is 11.
1 en 5 f lJfAbbel 5 is 10 el1 nog 2 is ft. ...
len 5?
7~n3
is 10
en noC} 1. is 12.
rekenen. Dit is zeker zo als daarbij aanvankelijk het rekenrek als ondersteuning gebruikt kan worden. De leraar is hierbij uiteraard degene die het proces in goede banen leidt en aanstuurt. Hij laat de kinderen hun aanpakken zo goed mogelijk verwoorden, wijst op het efficiënte van bepaalde aanpakken en stuurt zonodig bij als een kind even het spoor bijster is. Veel sterker dan voorheen is het leren rekenen zo een activiteit waarbij de kinderen inzicht in de rekenhandelingen verwerven en zelf allerlei ontdekkingen doen. Het gevolg is niet alleen dat ze veel makkelijker greep op het rekenen krijgen, maar ook dat ze veel meer plezier in het leren hebben - en dit laatste geldt niet alleen voor de leerlingen maar evenzeer voor hun leraren. Steeds opnieuw is gebleken dat het proces van het leren rekenen ook voor hen telkens weer een levend en verrassend ontwikkelingsproces is. Het is om deze redenen dat aan de verschillende aspecten van getallen zorgvuldig aandacht moet worden besteed. Voor groep 8 kan dat uiteindelijk tot interessante en verrassende leermomenten leiden. Niveaud ifferentiatie
Als tweede factor die bepalend is
voor het leersucces van de kinderen, noemen we de mate van zorgvuldigheid waarmee leerlijnen worden uitgewerkt. In het bijzonder is het van belang rekening te houden met de verschillen tussen kinderen en ze ruim de gelegenheid te geven op hun eigen niveau tot een oplossing te komen in allerlei probleemsituaties. Om dit te verwezenlijken is het belangrijk dat een vorm van differentiatie mogelijk is waarbij de kinderen in principe aan dezelfde opgaven werken maar waarbij ze gelegenheid hebben om deze op verschillende niveaus op te lossen. Een vorm van niveaudifferentiatie dus. Zo is er in de methode Wis en Reken in groep 3 en 4 bij het al genoemde rekenen over de 10 de mogelijkheid om de opgaven met behulp van het rekenrek op te lossen. Op basis van hun vertrouwdheid met de getalbeelden ontwikkelen ze handige rekenstrategieën om sommen als 7+5 en 12-8 op te lossen. In eerste instantie maken ze daarbij volop gebruik van het rekenrek zelf, maar al gauw gaan veel leerlingen ertoe over om hun handelingen steeds meer in gedachten uit te voeren. Zo ontstaat een situatie dat iedereen met dezelfde opgaven bezig is, maar niet op hetzelfde niveau:
- sommIgen voeren de handelingen nog daadwerkelijk op het rekenrek uit; - anderen kijken alleen nog maar naar het rek; - weer anderen werken al helemaal op mentaal niveau. Een en ander gebeurt uiteraard onder regie van de leraar. Deze zorgt ervoor dat de kinderen hun kennis van de getalbeelden goed leren inzetten en dat ze gaandeweg steeds meer op mentaal niveau gaan werken. De handleiding bij de methode geeft hierbij een goede ondersteuning. In de methode Wis en Reken worden met regelmaat aanwijzingen gegeven over welke strategieën er van de kinderen verwacht kunnen worden en hoe de overgang naar de mentale handelingen gestimuleerd kan worden. Op een soortgelijke manier worden de kinderen bij het rekenen tot 100 (34+28, 72-35) in groep 4 en 5 in de gelegenheid gesteld om de opgaven met behulp van de lege getallenlijn uit te rekenen. In de voorafgaande periode hebben ze zich uitgebreid op dit getalgebied georiënteerd, waarbij onder andere de verschillende praktische betekenissen van getallen, de structuur van de telrij en het met sprongen langs de ge-
•
13
Praktijkvoorbeeld uit de bovenbouw IH.J.lHJ fNJlH.J. !HJ fIIJ lfIJ fNJ !/IJ INJ
fllJf'H./
/I
(1(f /1{1
72 euru
72 alltCl's VClorbijgeqaan
l Z 'jéludstu/.J<.en
@,~ o
e en
W"rr Vill1
I 100
m
72 fI1
6.
/I ummer Ti IJl' de zunndin 10
10
10
10
~
72
S-I:eec{s 10
Figuur 3 Voorstellingen van het getal 72
Figuur 4 Voorbeelden van de verschillende oplossingsniveaus bij het rekenen tot
100
10
/\~~ À 37
47
57
60
=
37 + 20 = 57 57 + 3 = 60 60 + 2 = 62
62
kladblaadje
kladblaadje 10
~~ À 37
25
kladblaadje
kladblaadje 10
+
57
60
72 T 5 = 72 T 8 =
72 + /Cl '"
72 + 11.=
•
eraf
tallenlijn bewegen (34, 44, 54, ... ; 72,62,52, ... ) aan de orde zijn gekomen. Op basis van deze kennis onderzoeken ze vervolgens hoe je opgaven als 34+28 of 72-35 handig met behulp van de getallenlijn kunt uitrekenen. Mede op aangeven van de leraar worden ze zich daarbij bewust hoe je je denkstappen in sprongen langs de getallenlijn kunt weergeven op een manier die heel dicht aansluit bij de eigen, intuïtieve aanpakken en waarbij het overzicht over de verschillende handelingen heel goed bewaard blijft. Als ze voldoende inzicht in deze werkwijze hebben, gaan veel kinderen er gewoonlijk al gauw toe over om hun handelingen in beknopte vorm in rekentaal te noteren. En al snel zijn er ook kinderen die veel opgaven helemaal uit het hoofd oplossen. Ook hier ontstaat dan de situatie dat alle kinderen aan dezelfde opgaven werken, maar wel op verschillende niveaus. De leraar speelt uiteraard weer'een centrale rol om het proces aan te sturen, te begeleiden en zo nodig bij te sturen. 37
7t + 4 =
Om te illustreren hoe zo'n moment van onderlinge uitwisseling en samenspraak onder leiding van de leraar kan plaatsvinden, volgt nu een praktijkvoorbeeld van een les. De activiteit vindt plaats in een 7/8-combinatie van basisschool De Overhael te Driehuizen. Deze school neemt samen met vier andere scholen al geruime tijd deel aan de try-out van Wis en Reken. 3 De leraar in deze groep, Jan Hoekstra, begint de les
30+20 = 50 7 + 5 = 12 50 +12 = 62
62
Het mooie van deze vorm van niveaudifferentiatie is, dat het onderwijs voor de leraar uitstekend beheersbaar en overzichtelijk
blijft doordat een belangrijk deel van de tijd met de groep als geheel wordt gewerkt, terwijl toch alle kinderen individueel goed aan hun trekken kunnen komen. Bovendien kunnen ze elkaar op klassikale momenten laten zien hoe ze te werk zijn gegaan. Door de gezamenlijke uitwisseling en. doordenking onder leiding van de leraar die daarbij plaatsvindt, doorzien ook de zwakkere leerlingen steeds beter hoe je efficiënt tot een oplossing kunt komen, terwijl de betere leerlingen op nieuwe ideeën gebracht kunnen worden. Zo komt ook het sociale aspect van het onderwijsleerproces goed uit de verf: de kinderen ervaren hoe ze niet alleen van de leraar, maar ook van elkaar kunnen leren. Natuurlijk doen zich bij deze opzet regelmatig verschillen in tempo voor: sommige kinderen zijn sneller klaar dan andere en kunnen ook meer aan dan andere. De bij de methode Wis en Reken ontwikkelde variaboeken voorzien daarom in een belangrijke behoefte. De kinderen kunnen hiermee zelfstandig werken aan opgaven die hetzij een functie hebben als extra oefenstof, hetzij als verrijkingsstof. Omdat de verschillen tussen kinderen in de hogere leerjaren steeds sterker een rol gaan spelen, zijn er in de groepen 7 en 8 twee soorten variaboeken zijn ontwikkeld: de 'gewone' variaboeken waarin vooral gevarieerde oefenstof is opgenomen, en de varia-extraboeken waarin verrijkingsstof te vinden is die veel verder gaat dan de basisstof zonder dat vooruitgelopen wordt op wat voor álle kinderen nog komen gaat.
Treinkaartjes Vier treink aartjes Bekijk d e allemaal?
kaartje~
ee ns goe d . Wat betekenen de getallen
"§~~-=~;:~.- - ,,;:;;" ,.,~ .
...
""
,.~
L_ ·~!.: · ~
,:';:':t'~~~~,~' :
•.
i
""'''I
C:~.:·-=-~ I .,.n,. ,
r.." . ~
_
.
::._~
2
Prijsstijgin ge n
...'"
-
-
''''."
... t
' ".::'''
Volgens het bericht hieronder gaan de pri jzen 4% omhoog. a
Wat wordt
den ieuwe p rijs van een
enkele reis Zoetermeer- Ut recht Centraal?
b
TRfJNKAARTIES VOLGEN JAAR 4'); DUURDER
0.. prl jUl\ van !l t inh,ntJ
(Let op: de NS rondt de prijzen af
stiig~ n "olg~ml i~n Wal
op een dubbel tje.)
sdlljnhjk
Reken nu ook de prijzen van de
(NSl
me t
Ncdtlbnds~ ~len"n
C
o{%.
Spoorwtg~
dJ t hie! niet
~~
ande re kaart jes uit.
3
Ext ra. Dit jaar zijn de prijzen van treinkaartje~ 2% gestegen. Wat kostten de kaartjes bij opdrac.ht 1 vorig jaar o ngeveer"! (Je mag je rekenmachine gebruiken.)
blok 5 •
met een korte toelichting voor de kinderen van groep 7 op een zelfstandig-werkenoefening rond een serie hoofdrekenopgaven. In groep 8 gaat vervolgens een interactieve activiteit van start rond 'prijsstijgingen bij de NS'. Inleiding Eerst worden enkele in het wisboek afgebeelde treinkaartjes bestudeerd. Nadat de kinderen deze kaartjes eerst zelfstandig even hebben bekeken, ontspint zich de volgende gedachtewisseling. Jan (leraar): 'Welke getallen geven jou belangrijke informatie op zo'n kaartje?' Ingrid: 'De prijs, 11 euro 50.' Rowan: 'De datum dat je reist; dat is ... .. 11 juli bij dat eerste kaartje.' Jan: 'Welke van de vier is het oudste kaartje?'
da~
Otto: 'Ik denk die derde, van ... 19 april.' Ingrid: 'Maar die tweede, die is van 12 april; dat is nog ouder.' (Anderen: 'Ja .. .') Jan: 'Nog meer belangrijke informatie?' Simone: 'De klasse. Je hebt klasse 2 en klasse 1.' Jan: 'Wat is het verschil?' Otto: 'Klasse 1 is heel luxe, voor zakenmensen enzo. Klasse 2 is meer voor toeristen. In klasse 2 zit je meer op elkaar en je krijgt minder te eten.' Anderen: 'Welnee, joh, je krijgt niks te eten.' Ingrid: 'Maar soms is er wel een wagentje dat langskomt met thee enzo. Daar moet je wel voor betalen.' Jan: 'Ben je er sneller als je klasse 1 reist?' Diverse kinderen (in onderlinge samenspraak): 'Nou ... ? Misschien wel... Welnee, ze zitten toch in één trein? Ja, natuurlijk. . .' Simone: 'Mijn tante reist wel eens klasse 1 en die zegt: het zit veel lekkerder.' Sietze: 'En je kunt ook veel makkelijker werken, met een laptop enzo.' Jan: 'Waar is het drukker?' Diverse leerlingen: 'In de tweede klas; die is veel goedkoper!' Jan: 'Zijn er nog meer belangrijke getallen?' Sietze: 'Afgiftepunt .. .' José: 'Dat is waar je het kaartje gekocht heb; het loket .. .' Rowan: 'Je ziet ook enkele reis of dagretour. Dagretour is heen en weer. Op dezelfde dag.' Instructie/ver~erking
Na dit inleidende gesprekje over de getallen als zodanig wordt het artikeltje over de prijsstijging van 4% bekeken. Jan: 'Wat vertelt dat bericht?' Sietze: 'Dat die kaartjes 4% duurder worden.' Jan: 'Is dat veel?' Diverse leerlingen: 'Nee, niet veel. Iets minder dan 5%.' Jan: 'Laten we eens even uitrekenen, 4% prijsstijging op het bovenste kaartje. Schrijf voor jezelf zo nauwkeurig en netjes mogelijk op hoe je dat aanpakt, en wat de nieuwe prijs wordt.' De kinderen doen hier flink hun best op. De meeste kinderen noteren een berekening in rekentaal, maar sommigen tekenen ter
ondersteuning van hun handelen een strook. Jan (na enige minuten waarin hij in groep 7 heeft rondgekeken en daar enkele aanwijzingen heeft gegeven): 'Vertel maar eens,]osé?' José: 'Eerst 11,50, dat is 100%. En dan is 1,15 10%; en dat keer 4 is 4 euro 60.' Ingrid: 'Maar dat gaat niet goed; want je moet 4% uitrekenen.' José: 'Ja, wacht nou effe ... Dan heb je 40% en dan deel je door 10, dan krijg je 4%. Dat is dus 46 cent; en die moet je dan nog bij die 11,50 doen; bij elkaar 11 euro 96 (instemmend gemompel van anderen). En dan nog afronden dus 12 euro.' (idem) Ingrid: 'Maar je kunt ook in één keer doen: 1% is 11,5 cent; en dat keer 4.' (Anderen: ja zo deed ik het ook!) Jan (heeft beide aanpakken volgens de aanwijzingen van de kinderen op het bord genoteerd): 'Twee goede aanpakken. Iedereen duidelijk? (instemming) Ik
zag Simone nog even een strook tekenen; dat kan ook natuurlijk hè? Als je even twijfelt kun je altijd je stappen in een strook zetten .. .' (Noteert deze aanpak ook nog op het bord.)
Figuur 6 Drie oplossingen bij de eerste opgave
Aansluitend gaan de kinderen aan de gang met de overige opgaven van de bladzijde. Zelfstandig ~erken Daarna werken de kinderen van groep 8 zelfstandig uit hun variaof varia-extraboek. Jan richt zich nu tot de kinderen uit groep 7, die het eerste deel van de les zelfstandig aan het werk zijn geweest. Er vindt eerst een gesprekje plaats over de opgaven. Daarna volgt een instructiemoment rond het werken met de breuk als operator (2/5 deel van 600 mensen, en dergelijke). In het laatste gedeelte van de les zijn beide groepen leerlingen vervolgens zelfstandig aan het werk. Figuur 7 Drie aanpakken
r--
Ci>
E E
:::>
z:
en
00 b.O
c
~
'"
~
•
15
Terugblik op de les
Tot zover dit leergesprek in groep 8. Het is een typisch voorbeeld van een gesprek zoals regelmatig in alle leerjaren in Wis en Reken wordt gehouden. Er wordt de kinderen een herkenbare situatie voorgelegd waarin getallen en getalsmatige gegevens een belangrijke rol spelen. Ter inleiding buigen ze zich vooral over de vraag wat die getallen nu precies te betekenen hebben, en wat je over die situatie vanuit je eigen ervaringskennis kunt zeggen. Vervolgens wordt een rekenkundig kernprobleem onder de loep genomen, in dit geval een probleem rond procenten. In eerste instantie gaat het daarbij niet zozeer om de vraag wat de uitkomst van het probleem is, maar veel
De leerkracht laat de kinderen hun aanpak zo duidelijk mogelijk verwoorden
• 16
meer om een geschikte werkwijze te bedenken en deze zo duidelijk mogelijk op papier te zetten. In de uitwisseling die vervolgens plaatsvindt, verwoorden de kinderen hoe ze te werk zijn gegaan, en hoe ze hun oplossing genoteerd hebben. Op basis daarvan wordt vastgesteld hoe je dergelijke problemen efficiënt kunt oplossen, en op wat voor verschillende manieren dat kan. Ten slotte vindt een verwerking plaats waarbij de kinderen soortgelijke problemen zelfstandig oplossen. In een a"antal zelfstandig-werkenactiviteiten die in het verlengde van zo'n activiteit plaatsvinden, leren de kinderen hun kennis vervolgens steeds doelmatiger toe te passen. Het zal duidelijk zijn dat de leraar in dergelijke interactieve lessen een sleutelrol vervult. Hij is degene die de probleemsituatie aandraagt en tot leven brengt, die de kinderen hun eigen kennis en ideeën naar voren laat brengen, en die het inleidende gesprekje in goede banen leidt. Hij is ook degene die de uitwisseling van aanpakken leidt, de kinderen hun
aanpak zo duidelijk mogelijk laat verwoorden, en die deze aanpakken voor de hele groep verder verheldert door 'met de kinderen mee te schrijven' en de aangedragen aanpakken stapsgewijs en overzichtelijk op het bord te noteren. Ook bij het vaststellen van wat handige en minder handige aanpakken zijn, is de inbreng van de leraar uiteraard doorslaggevend. Hij is degene die het leerproces overziet en zo nodig voor extra impulsen zorgt. Ook hierbij geeft de handleiding van de methode ondersteuning via heldere aanwijzingen over de opzet van het leergesprek en over te verwachten aanpakken van kinderen. Dit draagt ertoe bij dat zulke gesprekken goed uit de verf komen.
Tot slot
In de geschetste les komt duidelijk naar voren hoe waardevol een goed begrip van de getallen voor de kinderen is. Het is juist doordat de procenten in een eerste, oriënterende periode zo uitvoerig van alle kanten bekeken en doordacht zijn, dat de kinderen goed greep hebben gekregen op het rekenen daarmee. Hoe belangrijk het is dat de kinderen vertrouwd zijn met de mogelijkheid om problemen op hun eigen niveau op te lossen, is in de les eveneens duidelijk terug te zien. Bij het leren rekenen met procenten hebben ze de strook leren kennen als een waardevol hulpmiddel waarmee je in allerlei probleemsituaties stapsgewijs tot een oplossing kunt komen op een manier die enigszins vergelijkbaar is met het gebruik van de lege getallenlijn in de groepen 4 en 5. De meeste kinderen zijn inmiddels allang losgekomen van het werken met de strook, maar voor sommigen kan deze in een betrekkelijk lastige probleemsituatie als die van de NS-prijsstijging toch nog voor een steuntje in de rug zorgen. Het is met name doordat ze zich goed bewust zijn van deze mogelijkheid om problemen op je eigen niveau op te lossen, dat iedereen zo sterk het gevoel heeft dat je 'er eigenlijk altijd wel uitkomt', gebruik makend van wat je al weet en begrijpt. Voor het zelfvertrouwen van de kinderen is dit besef van grote betekenis.
Kees Buys is auteur van Wis en Reken en is werkzaam bij uitgeverij Bekadidact en bij de Stichting Leerplanontwikkeling (SLO) te Enschede.
Er zijn bij de ontwikkeling van Wis en Reken wel meer factoren aan te wijzen die in hoge mate bepalend zijn gebleken voor het leersucces van de kinderen, zoals de onderlinge verwevenheid van leerlijnen. Hier gaan we nu niet verder op in. We volstaan hier met de constatering dat de genoemde factoren, een goed begrip van de getallen en de niveaudifferentiatie, voor een nieuwe methode zoals Wis en Reken van doorslaggevende betekenis zijn voor het leersucces van de kinderen. En het is natuurlijk bovenal de combinatie van deze factoren en de vakbekwaamheid van de leraar die de doorslag geeft.
Noten
1 De bevindingen die in dit artikel worden beschreven, zijn gebaseerd op de ontwikkeling en op de ervaring van de try-outscholen van Wis en Reken. Met dank aan Marjan Torn, Carlijn Bergmans, Huub Jansen en Willem Vermeulen voor hun kritische kanttekeningen en aanvullingen bij eerdere versies van dit artikel. 2 Bij het ontwikkelen van en werken met Wis en Reken bleek het van tevoren oriënteren op de getallen bepalend te zijn voor het leersucces. 3 Het zijn vooral ook de ervaringen en resultaten op deze tryoutscholen geweest die in hoge mate bepalend zijn geweest voor de defintieve opzet en uitwerking van Wis en Reken.
Voor meer informatie Uitgeverij 8ekadldact (035) 548 24 21
•••
