Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2 Pomocný uˇcebn´ı text

Frantiˇsek Jeˇzek, Svˇetlana Tomiczková

Plzeˇn, 28. srpna 2013, verze 6.0

Pˇ redmluva Tento pomocn´ y text vznikl pro potˇreby pˇredmˇetu Geometrie pro FST 2, kter´ y vyuˇcujeme pro studenty druhého roˇcn´ıku Strojn´ı fakulty v zimn´ım semetru. Snaˇzili jsme se napsat velice struˇcné a jednoduché pojednán´ı. Vˇeˇr´ıme, ˇze je to ta forma, kterou studenti potˇrebuj´ı. Pokud jsme v textu nechali nedopatˇren´ı, resp. pokud je text nˇekde nesrozumiteln´ y, pros´ıme o sdˇelen´ı takov´ ych poznatk˚ u. Ideáln´ı cestou pro takové sdˇelen´ı je pouˇzit´ı e-mailu a adresy [email protected]. Zvláˇstˇe piln´ı hledaˇci chyb a pˇreklep˚ u budou odmˇenˇeni. Vˇeˇr´ıme, ˇze tou odmˇenou ale bude pˇredevˇs´ım u ´spˇeˇsné sloˇzen´ı zkouˇsky, nebot’ ten, kdo naˇsel chybu, zpravidla pˇrem´ yˇslel. Právˇe geometrie je pˇr´ıleˇzitost´ı k ovˇeˇren´ı myˇslenkového potenciálu.

Autoˇri

2

Obsah 1 Geometrick´ a zobrazen´ı a transformace souˇ radnic 1.1 Transformace kartézského systému souˇradnic . . . . . . . . . . 1.2 Homogenn´ı souˇradnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Geometrické transformace v E2 , resp. v P (E2 ) . . . . . . . . . 1.3.1 Posunut´ı neboli translace . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Otáˇcen´ı neboli rotace okolo bodu . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Osová soumˇernost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Zmˇena mˇeˇr´ıtka neboli dilatace . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Obecná afinn´ı transformace . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Skládán´ı transformac´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Inverzn´ı geometrická transformace . . . . . . . . . . . . 1.4 Geometrické transformace v E3 , resp. v P (E3 ) . . . . . . . . . 1.4.1 Posunut´ı neboli translace . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Otáˇcen´ı neboli rotace okolo osy . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Soumˇernost podle roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Dilatace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Obecná afinn´ı transformace a projektivn´ı transformace 1.5 Skládán´ı transformac´ı a inverzn´ı transformace . . . . . . . . . 1.6 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kˇ rivky 2.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Teˇcna a normála kˇrivky . . . . . . . 2.1.2 Klasifikace bod˚ u kˇrivky . . . . . . . . 2.1.3 Rektifikace . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Oskulaˇcn´ı rovina a oskulaˇcn´ı kruˇznice 2.1.5 Obálka . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Ekvidistanta . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Cykloida . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8 Evoluta a evolventa . . . . . . . . . . ˇ ıd´ıc´ı kuˇzelová plocha . . . . . . . . 2.1.9 R´ ˇ 2.2 Sroubovice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Parametrické vyjádˇren´ı ˇsroubovice . 3

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 14 15 15 15 16 17 19

. . . . . . . . . . . . .

20 20 21 22 22 23 25 26 26 26 26 27 27 27

OBSAH

2.3

4

2.2.3 Teˇcna ˇsroubovice a jej´ı pr˚ uvodn´ı trojhran . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.4 Kˇrivosti ˇsroubovice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Obecn´ e poznatky o ploch´ ach 3.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . ´ 3.2 Ulohy na plochách . . . . . . . 3.3 V´ ypoˇcetn´ı ˇreˇsen´ı nˇekter´ ych u ´loh 3.4 Gaussova kˇrivost plochy . . . . 3.5 Parametrické vyjádˇren´ı ploch . 3.6 Kontroln´ı otázky . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . na plochách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Rotaˇ cn´ı plochy 4.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . 4.2 Parametrické vyjádˇren´ı rotaˇcn´ı plochy 4.3 Vlastnosti rotaˇcn´ıch ploch . . . . . . . 4.4 Klasifikace rotaˇcn´ıch ploch . . . . . . . ´ 4.5 Ulohy na rotaˇcn´ıch plochách . . . . . . 4.6 Pr˚ uniky rotaˇcn´ıch ploch . . . . . . . . 4.7 Rotaˇcn´ı kvadriky . . . . . . . . . . . . 4.8 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

33 33 35 37 38 38 40

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

41 41 42 43 44 44 47 47 48 49

ˇ 5 Sroubov´ e plochy 5.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Parametrické vyjádˇren´ı ˇsroubové plochy 5.3 Vlastnosti ˇsroubov´ ych ploch . . . . . . . 5.4 Klasifikace ˇsroubov´ ych ploch . . . . . . . ´ 5.5 Ulohy na ˇsroubov´ ych plochách . . . . . . 5.6 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

50 50 50 51 52 52 54 54

6 Obalov´ e plochy 6.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . 6.2 Charakteristika roviny . . . . . 6.3 Charakteristika kulové plochy . 6.4 Metoda kulov´ ych ploch . . . . . 6.5 Metoda teˇcn´ ych rovin . . . . . . 6.6 Urˇcen´ı obalové plochy v´ ypoˇctem 6.7 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Kontroln´ı otázky . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

56 56 57 59 61 63 65 67 67

7 Rozvinuteln´ e plochy 7.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Typy rozvinuteln´ ych ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Metody komplanace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 68 68 69

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

OBSAH

7.4 7.5 7.6 7.7

5

7.3.1 Metoda normálového ˇrezu . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Metoda triangulace . . . . . . . . . . . . . . . . Teˇcna kˇrivky v rozvinut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozvinut´ı rozvinutelné ˇsroubové plochy . . . . . . . . . Konstrukce a rozvinut´ı pˇrechodové rozvinutelné plochy Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Nˇ ekter´ e nekart´ ezsk´ e souˇ radnicov´ e soustavy 8.1 Sférické souˇradnice . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Cylindrické souˇradnice . . . . . . . . . . . . 8.3 Vyuˇzit´ı nekartézsk´ ych souˇradnic . . . . . . . 8.4 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

9 Neline´ arn´ı u ´ tvary v rovinˇ e a v prostoru 9.1 Vyjádˇren´ı kˇrivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Kruˇznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.5 Obecná rovnice kuˇzeloseˇcky . . . . . . . . 9.2 Vektorové vyjádˇren´ı kuˇzelov´ ych a válcov´ ych ploch 9.2.1 Obecná kuˇzelová plocha . . . . . . . . . . 9.2.2 Obecná válcová plocha . . . . . . . . . . . 9.3 Rotaˇcn´ı plochy druhého stupnˇe (kvadriky) v E3 . 9.3.1 Kulová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Rotaˇcn´ı elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Rotaˇcn´ı paraboloid . . . . . . . . . . . . . 9.3.4 Rotaˇcn´ı hyperboloid jednod´ıln´ y . . . . . . 9.3.5 Rotaˇcn´ı hyperboloid dvoud´ıln´ y . . . . . . 9.4 Obecná rovnice kvadriky . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Kuˇzeloseˇcky a kvadriky v obecné poloze . . . . . 9.6 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

69 70 71 71 72 73

. . . . .

74 74 74 75 75 76

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 77 79 80 81 81 86 86 86 87 87 87 87 88 88 88 97 99 101

Kapitola 1 Geometrick´ a zobrazen´ı a transformace souˇ radnic Uvaˇzujme dvˇe mnoˇziny bod˚ u M a N . Geometrickým zobrazen´ım T rozum´ıme pˇredpis, kter´ ym kaˇzdému bodu X (vzoru) z mnoˇziny M pˇriˇrad´ıme jednoznaˇcnˇe bod T(X) (obraz) z mnoˇziny N . Pˇr´ıkladem geometrického zobrazen´ı je kolmé prom´ıtán´ı do p˚ udorysny (roviny xy), posunut´ı o dan´ y vektor, otoˇcen´ı okolo dané osy apod. ˇ Rekneme, ˇze geometrické zobrazen´ı T je vzájemnˇe jednoznaˇcné, jestliˇze kaˇzd´ ym dvˇema r˚ uzn´ ym bod˚ um jsou pˇriˇrazeny r˚ uzné body, tj. plat´ı-li X 6= Y, X ∈ M, Y ∈ M ⇒ T(X) 6= T(Y ) . Pro vzájemnˇe jednoznaˇcné zobrazen´ı T mnoˇziny M na mnoˇzinu N , tj. pro prosté zobrazen´ı, ˇ ıkáme, ˇze existuje zobrazen´ı T −1 , které obrazu Y = T(X) pˇriˇrad´ı vzor, tj. bod X. R´ zobrazen´ı T −1 je inverzn´ı k zobrazen´ı T. Vzájemnˇe jednoznaˇcné zobrazen´ı, pro nˇejˇz M = N , naz´ yváme transformace. Napˇr. pro posunut´ı m˚ uˇzeme poloˇzit M = N = E3 a jistˇe jde o prosté zobrazen´ı, tj. posunut´ı je transformace. Inverzn´ı transformac´ı je posunut´ı o vektor opaˇcn´ y k danému vektoru posunut´ı T. Pro kolmé prom´ıtán´ı do p˚ udorysny je M = E3 a N = E2 . Nejde tedy o transformaci a nav´ıc neexistuje inverzn´ı zobrazen´ı (z jednoho pr˚ umˇetu nelze rekonstruovat“ ” prostorov´ y objekt). Dále rozliˇs´ıme dva zp˚ usoby, jak´ ym jsou v geometrii a jej´ıch aplikac´ıch pouˇz´ıvány transformace: Geometrick´ e transformace (bod˚ u): Je zvolen souˇradnicov´ y systém. Transformaci jsou podrobeny body geometrického objektu, kter´ y t´ım mˇen´ı polohu vzhledem k systému souˇradnic, popˇr. i sv˚ uj tvar. Transformace syst´ emu souˇ radnic: Transformaci je podroben souˇradnicov´ y systém. Transformace je zvolena napˇr. tak, aby vybran´ y geometrick´ y objekt z´ıskal vzhledem k novému souˇradnicovému systému polohu v´ yhodnou pro matematické vyjádˇren´ı operac´ı s objektem.

6

´ ´ ´ ˇ 1.1. TRANSFORMACE KARTEZSK EHO SYSTEMU SOURADNIC

1.1

7

Transformace kart´ ezsk´ eho syst´ emu souˇ radnic

V tomto odstavci budeme popisovat transformace souˇradnicov´ ych soustav v E3 , ale provedené u ´vahy a v´ ypoˇcty lze snadno aplikovat i na transformace kartézsk´ ych systém˚ u souˇradnic v rovinˇe, tj. v prostoru E2 (a i v prostorech jiné dimenze). V textu pouˇzijeme tzv. Kroneckerovo delta δij , které nab´ yvá hodnoty 1 pro i = j a hodnoty 0 v pˇr´ıpadˇe i 6= j. Pˇripomeˇ nme, ˇze kartézskou sousuˇzeme tavu souˇradnic v E3 m˚ chápat jako uspoˇra´danou ˇctveˇrici (O, e1 , e2 , e3 ), kde O je poˇca´tek soustavy souˇradnic a vektory ei jsou ortonormáln´ı, tj. plat´ı pro nˇe ei · ej = δij ,

i, j = 1, 2, 3. (1.1)

Transformaci soustavy souˇradnic pouˇz´ıváme, chceme-li zjednoduˇsit vyjádˇren´ı objekt˚ u, nebo jestliˇze pro nˇekolik objekt˚ u chceme vyuˇz´ıt jednu souˇradnicovou soustavu. Pro zmˇenu souˇradnicové soustavy odvod´ıme potˇrebné vztahy mezi p˚ uvodn´ımu souˇradnicemi a nov´ ymi souˇradnicemi.

Obr´ azek 1.1:

V prostoru E3 zvol´ıme dvˇe kartézské soustavy souˇradnic S a S0 (obr. 1.1): S : (O, e1 , e2 , e3 ) ,

S0 : (O0 , e0 1 , e0 2 , e0 3 ).

(1.2)

V soustavˇe souˇradnic S má obecn´ y bod X souˇradnice X[x1 , x2 , x3 ] a v S0 má tent´ yˇz bod 0 0 0 X souˇradnice X[x1 , x2 , x3 ]. V soustavˇe S vyjádˇr´ıme poˇca´tek O0 a vektory e0 i : 0

O =O+

3 X

bj e j ,

(1.3)

i = 1, 2, 3.

(1.4)

j=1

e0 i =

3 X

aji ej ,

j=1

Podrobnˇeji lze (1.4) rozepsat na e0 1 = a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 , e0 2 = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 , e0 3 = a13 e1 + a23 e2 + a33 e3 .

(1.5)


8

Bod X vyjádˇr´ıme v obou soustavách souˇradnic: X =O+

3 X

0

xj ej = O +

j=1

3 X

x0i e0 i .

(1.6)

i=1

Pouˇzijeme-li v (1.6) vyjádˇren´ı (1.3) a (1.4), dostaneme O+

3 X

xj e j = O +

j=1

neboli

3 X

bj ej +

j=1

3 X

xj e j =

j=1

3 X

3 X

x0i

3 X

i=1

bj +

j=1

3 X

! aji ej

,

(1.7)

j=1

! aji x0i

ej .

(1.8)

i=1

Porovnán´ım obou stran v (1.8) zjist´ıme, ˇze pro nové“ a staré“ souˇradnice plat´ı ” ” xj =

3 X

aji x0i + bj ,

j = 1, 2, 3.

(1.9)

i=1

Transformaˇcn´ı rovnice rozepsané pro jednotlivá i a j maj´ı tvar x1 = a11 x01 + a12 x02 + a13 x03 + b1 , x2 = a21 x01 + a22 x02 + a23 x03 + b2 , x3 = a31 x01 + a32 x02 + a33 x03 + b3 .

(1.10)

V maticovém tvaru m˚ uˇzeme zapsat rovnice (1.10) jako X = X 0 · AT + b ,

(1.11)

kde X[x1 , x2 , x3 ], X 0 [x01 , x02 , x03 ], b = (b1 , b2 , b3 ) a matice A má prvky aij , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. Matici A budeme naz´ yvat transformaˇcn´ı matice. O této matici se dá dokázat pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem, ˇze plat´ı: a1i a1j + a2i a2j + a3i a3j = δij .

(1.12)

Jde o skalárn´ı souˇciny vektor˚ u dan´ ych sloupci matice A. Takto urˇcené vektory jsou jednotkové a vzájemnˇe kolmé. Proto se matice s touto vlastnost´ı oznaˇcuj´ı jako ortonorm´ aln´ı. Nav´ıc lze vypoˇc´ıtat, ˇze pro determinant ortononáln´ı matice A plat´ı det A = ±1 . M˚ uˇzeme tedy rozliˇsit dva pˇr´ıpady orientace S a S0 : 1. je-li det A = 1, jsou soustavy orientovány souhlasnˇe; 2. je-li det A = −1, jsou soustavy orientovány nesouhlasnˇe.


9

V geometrii a v ˇradˇe aplikac´ı se pouˇz´ıvaj´ı i tzv. afinn´ı souˇradnicové soustavy, tj. soustavy souˇradnic, v nichˇz vektory e1 , e2 a e3 nejsou ortonormáln´ı, ale tvoˇr´ı obecnou bázi. Pˇrechod od kartézské soustavy souˇradnic k afinn´ı soustavˇe je popsán rovnˇeˇz vztahem (1.11), ale matice A je jen regulárn´ı (nikoliv nutnˇe ortonormáln´ı). Pˇ r´ıklad 1. Uvaˇzujme bod X[1,1,1] dan´ y souˇradnicemi v kartézské souˇradnicové soustavˇe (O, e1 , e2 , e3 ). Urˇc´ıme souˇradnice bodu X v afinn´ı (nekartézské) souˇradnicové soustavˇe (O, e0 1 , e0 2 , e0 3 ), kde e0 1 = e1 ,

e0 2 = e2 ,

e0 3 = e2 + e3 .

ˇ sen´ı: Pokud si naˇctnete ilustraˇcn´ı obrázek, snadno dojdete pˇri tomto jednoduchém Reˇ zadán´ı k v´ ysledku bez v´ ypoˇctu (doporuˇcujeme, abyste si hypotézu o v´ ysledku vytvoˇrili). Pokud vyuˇzijeme vztah (1.11) a uvˇedom´ıme-li si, ˇze poˇcátek souˇradnicového systému se nemˇen´ı, tj. vektor b je nulov´ y, m˚ uˇzeme psát [1, 1, 1] = [x0 , y 0 , z 0 ]AT , neboli (vzhledem k pˇrepodkládané regularitˇe matice A existuje matice inverzn´ı) [x0 , y 0 , z 0 ] = [1, 1, 1](AT )−1 . Matice A má podle (1.5) ve sloupc´ıch souˇradnice vektor˚ u nové souˇradnicové soustavy vzhledem k p˚ uvodn´ı souˇradnicové soustavˇe, tj. plat´ı     1, 0, 0 1, 0, 0 −1 A =  0, 1, 1  , AT =  0, 1, 0  . 0, 0, 1 0, −1, 1 Vˇsimnˇete si, ˇze matice A nen´ı ortonormáln´ı (uvaˇzujte napˇr. druh´ y a tˇret´ı sloupec, resp. velikost vektoru daného tˇret´ım sloupcem). V´ ypoˇcet inverzn´ı matice zde neuvád´ıme, nebot’ jde jen o velmi jednoduché cviˇcen´ı na uplatnˇen´ı Jordanovy eliminace, resp. v´ ypoˇctu pomoc´ı algebraick´ ych doplˇ nk˚ u. Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme psát   1, 0, 0 [x0 , y 0 , z 0 ] = [1, 1, 1]  0, 1, 0  = [1, 0, 1] . 0, −1, 1 Vˇeˇr´ıme, ˇze se v´ ysledek shoduje s pˇredpokládan´ ym v´ ysledkem na základˇe vaˇseho u ´vodn´ıho náˇcrtku.

ˇ 1.2. HOMOGENNÍ SOURADNICE

1.2

10

Homogenn´ı souˇ radnice

Neˇz pˇristoup´ıme k popisu geometrick´ ych transformac´ı bod˚ u, zavedeme speciáln´ı souˇradnice bod˚ u – tzv. homogenn´ı souˇradnice – pomoc´ı nichˇz se zjednoduˇs´ı maticov´ y zápis geometrick´ ych transformac´ı. Uspoˇra´danou ˇctveˇrici ˇc´ısel [xh , yh , zh , w] (w 6= 0) nazveme pravo´ uhlé homogenn´ı souˇradnice bodu P v projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı euklidovského prostoru E3 , plat´ı-li: x=

xh , w

y=

yh , w

z=

zh w

kde ˇc´ısla x, y, z jsou kartézské souˇradnice bodu P . Body, pro které je w = 0, odpov´ıdaj´ı vektor˚ um a naz´ yvaj´ı se nevlastn´ı body. Tyto body nelze urˇcit jejich kartézsk´ ymi souˇradnicemi. uˇzeme ˇr´ıci, ˇze vznikne doProjektivn´ı rozˇs´ıˇren´ı euklidovského prostoru znaˇc´ıme P (E3 ) a m˚ plnˇen´ım eukleidovského prostoru o nevlastn´ı body. Z definice je patrné, jak lze pˇrevádˇet homogenn´ı souˇradnice vlastn´ıch bod˚ u (w 6= 0) na jejich kartézské souˇradnice a naopak. Pˇ r´ıklad 2. Bod A má v daném kartézském systému souˇradnic souˇradnice [3,2,1]. Za jeho homogenn´ı souˇradnice lze volit trojici [3w, 2w, w, w], kde w 6= 0. Napˇr. pro w = 1 jsou to souˇradnice [3,2,1,1]. Body (v homogenn´ıch souˇradnic´ıch) B=[3,2,1,0.5] a C=[3,2,1,2] maj´ı kartézské souˇradnice B=[6,4,2] a C=[1,5;1;0,5]. Homogenn´ı souˇradnice nevlastn´ıho bodu urˇceného vektorem OA jsou napˇr. [3,2,1,0]. Obdobnˇe lze zavést pravo´ uhlé homogenn´ı souˇradnice bodu P v rovinˇe.

1.3

Geometrick´ e transformace v E2, resp. v P (E2)

Zab´ yvejme se nejprve transformacemi v rovinˇe E2 , resp. v jej´ım projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı P (E2 ). Bod o souˇradnic´ıch [x, y], popˇr. [xh , yh , w] budeme transformovat do bodu [x0 , y 0 ], popˇr. [x0h , yh0 , w0 ].

1.3.1

Posunut´ı neboli translace

Posunut´ı (translace) je urˇceno vektorem posunut´ı p = (xt , yt ). Souˇradnice bodu [x, y] se transformuj´ı rovnicemi x0 = x + x t , y 0 = y + y t . Je zˇrejmé, ˇze nevlastn´ı bod urˇcen´ y vektorem (x, y) se posunut´ım nemˇen´ı. Pouˇzijeme-li homogenn´ı souˇradnice, lze obˇe transformace pro vlastn´ı i nevlastn´ı body zapsat jednotnˇe v maticovém tvaru:   1, 0, 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  0, 1, 0  xt , y t , 1

´ TRANSFORMACE V E2 , RESP. V P (E2 ) 1.3. GEOMETRICKE

1.3.2

11

Ot´ aˇ cen´ı neboli rotace okolo bodu

Otáˇcen´ı (rotace) kolem poˇca´tku O[0, 0] je urˇceno orientovan´ ym u ´hlem α. Na obr. 1.2 je znázornˇena odpov´ıdaj´ıc´ı situace. Koeficienty odvod´ıme z podm´ınky, ˇze body [0,0], [1,0] a [0,1] se otoˇc´ı do bod˚ u [0, 0], [cos α, sin α], [− sin α, cos α]. Plat´ı: x0 = x cos α − y sin α ,

y 0 = x sin α + y cos α.

Obr´ azek 1.2:

(1.13)

Obr´ azek 1.3:

Transformaˇcn´ı rovnice pˇrep´ıˇseme do maticového tvaru:   cos α, sin α, 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  − sin α, cos α, 0  . 0, 0, 1

(1.14)

Snadno zjist´ıme, ˇze w0 = w.

1.3.3

Osov´ a soumˇ ernost

Osová soumˇernost je urˇcena osou soumˇernosti. Uvedeme transformaˇcn´ı rovnice pro pˇr´ıpad, kdy osou soumˇernosti je nˇekterá souˇradnicová osa. Plat´ı x0 = ix,

y 0 = jy,

kde i = −1, j = 1 pro soumˇernost podle osy y; i = 1, j = −1 pro soumˇernost podle osy x. Transformaˇcn´ı rovnice pro soumˇernost podle osy x pˇrep´ıˇseme do maticového tvaru:   1, 0, 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  0, −1, 0  . (1.15) 0, 0, 1


12

Podobnˇe je moˇzné uvést maticov´ y zápis soumˇernosti podle osy y. Soumˇernost podle obecné osy pop´ıˇseme pomoc´ı rozkladu na elementárn´ı transformace“ – viz odst. 1.3.6 ”

1.3.4

Zmˇ ena mˇ eˇ r´ıtka neboli dilatace

Zmˇena mˇeˇr´ıtka (dilatace) na souˇradnicov´ ych osách je urˇcena násobky p˚ uvodn´ıch jednotek: x0 = s x x ,

y 0 = sy y .

Je-li sx = sy = s dostaneme stejnolehlost se stˇredem v poˇca´tku O[0, 0] a koeficientem stejnolehlosti s. Maticov´ y zápis transformaˇcn´ıch rovnic si snadno pˇredstav´ıte. Matice dilatace je diagonáln´ı.

1.3.5

Obecn´ a afinn´ı transformace

´ Rekneme, ˇze tˇri body A, B, C jsou kolineárn´ı, jsou-li kolineárn´ı vektory B − A a C − A. Afinn´ı transformac´ı rozum´ıme geometrické zobrazen´ı T, které zachovává kolinearitu bod˚ u a jejich dˇel´ıc´ı pomˇer, tj. pro kaˇzdé tˇri kolineárn´ı body A, B, C plat´ı, ˇze body T(A), T(B), T(C) jsou kolineárn´ı a pro dˇel´ıc´ı pomˇer tˇr´ı navzájem r˚ uzn´ ych kolineárn´ıch bod˚ u A, B, C plat´ı (A, B, C) = (T(A), T(B), T(C)) . Dá se ukázat, ˇze kaˇzdou afinn´ı transformaci lze popsat v následuj´ıc´ım maticovém tvaru:   a11 , a12 , 0 (1.16) [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  a21 , a22 , 0  , p1 , p 2 , 1 a11 , a12 kde matice A = je regulárn´ı (tj. má nenulov´ y determinant) a p = (p1 , p2 ) a21 , a22 je vektor posunut´ı. Pokud bychom upustili od pouˇzit´ı homogenn´ıch souˇradnic, je moˇzné zapsat vztah (1.16) pro body prostoru E2 je tvaru a11 , a12 0 0 [x , y ] = [x, y] + (p1 , p2 ), (1.17) a21 , a22 neboli struˇcnˇe: X 0 = X · A + p, kde p = (p1 , p2 ) je vektor posunut´ı. Pokud pouˇzijeme homogenn´ıch souˇradnic a oznaˇc´ıme   a11 , a12 , 0 T =  a21 , a22 , 0  , p1 , p 2 , 1 máme pro transformaci vlastn´ıch i nevlastn´ıch bod˚ u vztah X 0 = X · T.

(1.18)

(1.19)


13

Pˇ r´ıklad 3. Na obr. 1.3 je uveden pˇr´ıklad afinn´ı transformace v rovinˇe. St´ın“ je odvozen ” pomoc´ı afinn´ı transformace s matic´ı   1; 0; 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  1; −0, 5; 0  . (1.20) 0; 0; 1

1.3.6

Skl´ ad´ an´ı transformac´ı

Geometrick´ y objekt je zpravidla podroben posloupnosti uveden´ ych elementárn´ıch transformac´ı. Z asociativn´ıho zákona pro násoben´ı matic plyne, ˇze matice sloˇzené transformace je souˇcinem matic elementárn´ıch transformac´ı. V pˇredcházej´ıc´ıch odstavc´ıch jsme uvedli nˇekteré transformace s t´ım, ˇze jsme pˇredpokládali speciáln´ı urˇcen´ı (napˇr. stˇredem rotace byl poˇcátek, osou soumˇernosti byla souˇradnicová osa). Sloˇzitˇejˇs´ı transformace m˚ uˇzeme popsat pomoc´ı rozkladu (dekompozice) na transformace elementárn´ı. Postup vysvˇetl´ıme na pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 4. Najdeme rovnici rovinné transformace pro otáˇcen´ı kolem bodu A[xA , yA , 1] ou ´hel α. ˇ sen´ı: Hledanou transformaci sloˇz´ıme ze tˇr´ı elementárn´ıch transformac´ı. Posunut´ım Reˇ o vektor p = (−xA , −yA ) se bod A ztotoˇzn´ı s poˇca´tkem O. Po otoˇcen´ı bod˚ u kolem poˇca´tku o u ´hel α posuneme v´ ysledné body zpˇet o vektor −p . Posloupnost transformac´ı zap´ıˇseme za vyuˇzit´ı homogenn´ıch souˇradnic v maticovém tvaru: 

   1, 0, 0 cos α, sin α, 0 1, 0, 0 1, 0   − sin α, cos α, 0   0, 1, 0  . X 0 = X  0, −xA , −yA , 1 0, 0, 1 xA , y A , 1 Provedeme-li vynásoben´ı uveden´ ych tˇr´ı matic, obdrˇz´ıme matici dané transformace ve tvaru   cos α, sin α, 0  − sin α, cos α, 0  . xA (1 − cos α) + yA sin α, yA (1 − cos α) − xA sin α, 1

1.3.7

Inverzn´ı geometrick´ a transformace

Pro inverzn´ı transformaci T −1 k dané transformaci T plat´ı, ˇze sloˇzen´ım tˇechto dvou transformac´ı je identita, tj. transformace, která kaˇzdému bodu X pˇriˇrad´ı t´ yˇz bod, tj. X 0 = X. Matic´ı identity je samozˇrejmˇe jednotková matice I. Oznaˇcme T matici transformace T a L matici transformace T −1 . Pro tyto matice vˇsak mus´ı platit vztah T · L = L · T = I, tj. L = T−1 – matice inverzn´ı transformace je inverzn´ı matic´ı k matici dané transformace.


1.4

14

Geometrick´ e transformace v E3, resp. v P (E3)

Uvedeme pˇrehled elementárn´ıch afinn´ıch transformac´ı v prostoru E3 , resp. v P (E3 ). Transformaˇcn´ı rovnice zap´ıˇseme v maticovém tvaru. Postupovat budeme rychleji, nebot’ v mnoha ym poznatk˚ um pro prostor pˇr´ıpadech je urˇcen´ı transformac´ı v P (E3 ) analogické k uveden´ P (E2 ). Podrobnˇejˇs´ı v´ yklad je uveden jen tam, kde tato analogie neexistuje.

1.4.1

Posunut´ı neboli translace

Pro posunut´ı (translaci) urˇcenou vektorem posunut´ı rovnici:  1,  0, [x0 , y 0 , z 0 , w0 ] = [x, y, z, w]   0, xt ,

1.4.2

p = (xt , yt , zt ) máme transformaˇcn´ı  0, 0, 0 1, 0, 0   . 0, 1, 0  y t , zt , 1

Ot´ aˇ cen´ı neboli rotace okolo osy

Otáˇcen´ı (rotace) je urˇceno osou otáˇcen´ı a orientovan´ ym u ´hlem otáˇcen´ı. Uvedeme matici Rx,α pro otáˇcen´ı kolem souˇradnicové osy x o u ´hel α, matici Ry,β pro otáˇcen´ı kolem osy y ou ´hel β a matici Rz,γ pro otáˇcen´ı kolem osy z o u ´hel γ. Snadno stanov´ıme matici Rz,γ , nebot’ vztahy pro transformaci sloˇzky x a y jsou analogické s rotac´ı bodu okolo poˇca´tku – vztah (1.13), souˇradnice z se nemˇen´ı. Dalˇs´ı pˇr´ıpady, tj. popis rotace okolo osy x a y, z´ıskáme cyklickou zámˇenou os – tab. 1.1. Osa rotace z x y

1. osa 2. osa x y y z z x

Tabulka 1.1: Pro hledané matice plat´ı:  1, 0, 0, 0  0, cos α, sin α, 0 Rx,α =   0, − sin α, cos α, 0 0, 0, 0, 1  Rz,γ





cos β,   0, , Ry,β =    sin β, 0,  cos γ, sin γ, 0, 0  − sin γ, cos γ, 0, 0  . =  0, 0, 1, 0  0, 0, 0, 1

0, − sin β, 1, 0, 0, cos β, 0, 0,

 0 0  , 0  1

Vˇsimnˇete si, ˇze soumˇernost podle osy m˚ uˇzeme v prostoru P (E3 ) nahradit rotac´ı okolo dané osy o u ´hel ϕ = π. V prostoru P (E2 ) je rotace okolo bodu o u ´hel ϕ = π soumˇernost´ı podle daného bodu (stˇredu).


1.4.3

15

Soumˇ ernost podle roviny

Soumˇernost podle roviny je urˇcena rovinou soumˇernosti. Uvedeme rovnice pro transformaci bodu soumˇernost´ı podle jednotliv´ ych souˇradnicov´ ych rovin:   i, 0, 0, 0  0, j, 0, 0   [x0 , y 0 , z 0 , w0 ] = [x, y, z, w]   0, 0, k, 0  , 0, 0, 0, 1 kde i = -1, j = 1, k = 1 pro soumˇernost podle roviny yz, i = 1, j = -1, k = 1 pro soumˇernost podle roviny xz, i = 1, j = 1, k = -1 pro soumˇernost podle roviny xy.

1.4.4

Dilatace

Dilatace neboli zmˇena mˇeˇr´ıtka na souˇradnicov´ ych osách sx , sy , sz p˚ uvodn´ıch jednotek. Maticovˇe m˚ uˇzeme psát:  sx 0  0 sy [x0 , y 0 , z 0 , w0 ] = [x, y, z, w]   0 0 0 0

je urˇcena nenulov´ ymi násobky 0 0 sz 0

 0 0  . 0  1

Podobnˇe jako v pˇr´ıpadu rovinné geometrie dostaneme i zde pro s = sx = sy = sz stejnolehlost se stˇredem stejnolehlosti v poˇcátku a s koeficientem s.

1.4.5

Obecn´ a afinn´ı transformace a projektivn´ı transformace

Podobnˇe jako v rovinném pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme i v prostoru P (E3 ) popsat kaˇzdou afinn´ı transformaci v následuj´ıc´ım maticovém tvaru:   a11 , a12 , a13 , 0  a21 , a22 , a23 , 0   [x0 , y 0 , z 0 , w0 ] = [x, y, z, w]  (1.21)  a31 , a32 , a33 , 0  , p 1 , p2 , p3 , 1   a11 , a12 , a13 kde matice A =  a21 , a22 , a23  je regulárn´ı (tj. má nenulov´ y determinant). a31 , a32 , a33 Opˇet m˚ uˇzeme uvést, ˇze uplatnˇen´ı obecné afinn´ı transformace je popsáno maticov´ ym 0 souˇcinem X = X · T, kde T je matice transformace. Pro zv´ıdavého ˇctenáˇre m˚ uˇzeme jeˇstˇe doplnit, ˇze obecnˇejˇs´ı transformac´ı je tzv. projektivn´ı transformace. Ta sice zachovává kolinearitu bod˚ u, ale jiˇz m˚ uˇze mˇenit dˇel´ıc´ı pomˇer bod˚ u (nemˇen´ı vˇsak pod´ıl dˇel´ıc´ıch pomˇer˚ u – tzv. dvojpomˇer). Popis takového transformace je tvaru (1.21) s t´ım, ˇze posledn´ı sloupec transformaˇcn´ı matice m˚ uˇze obsahovat i nenulové prvky. V afinn´ı transformaci vlastn´ımu bodu byl pˇriˇrazen vˇzdy bod vlastn´ı (a nevlastn´ımu

´ AN ´ Í TRANSFORMACÍ A INVERZNÍ TRANSFORMACE 1.5. SKLAD

16

bod nevlastn´ı). Toto jiˇz neplat´ı v pˇr´ıpadˇe projektivn´ı transformace. V d˚ usledku to znamená, ˇze projektivn´ı transformace obecnˇe nezachovává rovnobˇeˇznost (afinn´ı transformace rovnobˇeˇznost zachovává). Pˇr´ıkladem projektivn´ıho zobrazen´ı je napˇr. perspektivn´ı pohled apod.

1.5

Skl´ ad´ an´ı transformac´ı a inverzn´ı transformace

Vˇse, co jsme uvedli o skládán´ı transformac´ı a o inverzn´ı transformaci v rovinném pˇr´ıpadˇe, je platné i pro transformace v prostoru P (E3 ). Pro ilustraci uvedeme alespoˇ n jeden pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 5. Sestav´ıme matici soumˇernosti podle roviny x − 2z + 3 = 0. Urˇc´ıme pak obrazy bod˚ u O[0, 0, 0], R[1, 1, 1] a Q[−3, 0, 5] a obraz smˇeru (nevlastn´ıho bodu) daného vektorem (1, 0, −2). ˇ sen´ı: Zvol´ıme postup, kter´ Reˇ y byl pouˇzit jiˇz v ˇcásti vˇenované rovinn´ ym transformac´ım, tj. provedeme rozklad (dekompozici) hledané transformace T na elementárn´ı transformace. Daná rovina je zˇrejmˇe rovnobˇeˇzná s osou y (koeficient u y je nulov´ y). Transformaci T tedy z´ıskáme sloˇzen´ım: • posunut´ı P (rovina soumˇernosti bude po posunut´ı procházet osou y), • rotace R (rovinu soumˇernosti pˇrevedeme do polohy totoˇzné s rovinou xy), • soumˇernosti S podle roviny xy, • rotace R−1 , • posunut´ı P−1 . Posledn´ı dvˇe transformace (pozor na poˇrad´ı) um´ıst´ı zpˇet rovinu soumˇernosti do p˚ uvodn´ı polohy. P´ıˇseme T = P−1 ◦ R−1 ◦ S ◦ R ◦ P . Vektor normály dané roviny je n = (1, 0, −2). Urˇc´ıme dále alespoˇ n jeden bod roviny, napˇr. bod X ∈ x. Vol´ıme tedy z = 0 a máme X[−3, 0, 0]. Prvn´ı transformac´ı bude posunut´ı P o vektor (3, 0, 0). Rovina soumˇernosti procház´ı po proveden´ı transformace P poˇcátkem a osou y. Nyn´ı provedeme rotaci R, v n´ıˇz rovina pˇrejde do nˇekteré souˇradnicové roviny, napˇr. xy. Stanov´ıme u ´hel otoˇcen´ı α jako odchylku rovin. Pouˇzijeme k tomu normálové vektory n a z, kde z=(0,0,1) je normálov´ y vektor roviny xy. Plat´ı cos α = tj.

|n · z| , |n| · |z|

2 2√ cos α = √ = 5. 5 5

Pomoc´ı vztahu sin2 α = 1 − cos2 α vypoˇcteme sin α =

√

5 . 5

ˇ Í 1.6. CVICEN

17

Oznaˇcme matice, které odpov´ıdaj´ı dan´ ym transformac´ım stejn´ ymi p´ısmeny, jako jsou oznaˇceny d´ılˇc´ı transformace (R bude matice rotace R apod.). Pro matici T v´ ysledné transformace plat´ı (pozor na poˇrad´ı): T = P · R · S · R−1 · P−1 , tj. 

1,  0, T=   0, 3,

0, 1, 0, 0,

√     2√ 5, 0, − 55 , 0 0 1, 5     1, 0, 0   0, 0   √0, √ · · 5 2  0 , 0, 5 5, 0   0, 5 1 0, 0, 0, 0, 1 √ √   5 2 5, 0, , 0 1, 0, 0, 5 5   0, 1, 0,  0, 1, 0, 0   √ ·  − 5 , 0, 2 √5, 0  ·  0, 0, 1 5 5 −3, 0, 0, 0, 0, 0, 1

0, 0, 1 0, 

0, 0, 1, 0, 0, −1 0, 0,  0 0   . 0  1

 0 0  · 0  1

Provedeme-li naznaˇcené násoben´ı matic, obdrˇz´ıme matici v´ ysledné transformace:   3 4 , 0, , 0 5 5  0, 1, 0, 0   T=  4 , 0, − 3 , 0  . 5 5 − 65 , 0, 12 , 1 5 Pro urˇcen´ı nové (transformované) polohy dan´ ych vlastn´ıch bod˚ u O, R, Q a nevlastn´ıho bodu [1, 0, −2, 0] staˇc´ı vynásobit homogenn´ı souˇradnice dan´ ych matic´ı T. S v´ yhodou m˚ uˇzeme tuto operaci zapsat ve tvaru (ˇrádky prvn´ı matice jsou dány homogenn´ımi souˇradnicemi zadan´ ych bod˚ u):   6     3 4 12 , 0, , 0 − , 0, , 1 0, 0, 0, 1 5 5 5 5  1 , 1, 13 , 1   1, 1,  1, 1  1, 0, 0  5 5     ·  0,  . =  −3, 0, 5, 1   54 , 0, − 35 , 0   1, 0, −3, 1  , 1 1, 0, −2, 0 − 56 , 0, 12 −1, 0, 2, 0 5 Máme tedy T(O) = [− 65 , 0, 12 , 1], T(R) = [ 51 , 1, 13 , 1], T(Q) = [1, 0, −3, 1] a obrazem 5 5 vektoru s = (1, 0, −2) je vektor T(s) = (−1, 0, 2), tj. vektor opaˇcn´ y (jde vlastnˇe o obraz normálového vektoru zadané roviny soumˇernosti). Oba vektory s a T(s) urˇcuj´ı stejn´ y nevlastn´ı bod, tj. bod, kter´ y je v dané transformaci samodruˇzn´ y.

1.6

Cviˇ cen´ı

1.1 Je dána jednotková krychle ABCDA0 B 0 C 0 D0 . Napiˇste transformaˇcn´ı rovnice pˇrechodu −→

−→

−→

−→

od kartézského souˇradnicového systému {A, AB, AD, AA0 } k systému {C 0 , C 0 D0 −→

−→

, C 0 B 0 , C 0 C}. [x = −x0 + 1, y = −y 0 + 1, z = −z 0 + 1]

ˇ Í 1.6. CVICEN

18

1.2 Rozhodnˇete, zda matice   A=

1 , 2 1 , √2 2 −2,

 √ − √22 , − 12  2 , −√12  2 0, 22

je transformaˇcn´ı matic´ı pro pˇrechod mezi dvˇema kartézsk´ ymi soustavami souˇradnic. [vyuˇzijeme vztah˚ u (1.12) – nen´ı] 1.3 Sestavte transformaˇcn´ı rovnice pˇrechodu mezi dvˇema kartézsk´ ymi systémy souˇradnic, jestliˇze nov´ y systém vznikne z p˚ uvodn´ıho otoˇcen´ ım kolem osy z√ o u ´hel ϕ = − π4 . √ [x = 22 (x0 + y 0 ), y = 22 (−x0 + y 0 ), z = z 0 ] 1.4 Urˇcete nové souˇradnice bodu M [2, −1, 3], jestliˇze se kartézská souˇradnicová soustava otoˇc´ı okolo osy z o orientovan´ yu ´hel α = π6 . h√ i √ [ 3 − 21 , −1 − 23 , 3 ] 1.5 Sestavte matici geometrické transformace v E2 , která vznikne sloˇzen´ım (v tomto poˇrad´ı) rotace okolo bodu S[1, 2] o u ´hel 45o a dilatace, v n´ıˇz se mˇen´ı mˇeˇr´ıtko na ose x na poloviˇcn´ı.    √ √ 2 2 , , 0 √4 √2    2 , 0  T =  − √42 , 2 √ 1 + 42 , 2 − 32 2, 1 2 1.6 Urˇcete obrazy bod˚ u S[1, 2] a O[0, 0] a vektoru a = (1, 1) v transformaci podle pˇredcházej´ıc´ıho pˇr´ıkladu.h √ √ √ i T(A) = [ 21 , 2] , T(0) = [ 12 + 42 , 2 − 23 2] , T(a) = (0, 2) 1.7 Urˇcete matici inverzn´ı transformace k transformaci podle cviˇcen´ı 5 z této kapitoly. [ urˇcete T−1 , pˇr´ıp. (poˇrad´ı!) T −1 = RS,−450 ◦ Dsx =2 ] 1.8 V prostoru E2 urˇcete afinn´ı transformaci, která má samodruˇzné body O[0, 0] a A[1, 0] a obrazem bodu B[0, 1] je bod B 0 [1, 1].    1, 0, 0 T =  1, 1, 0  0, 0, 1 1.9 Sestavte matici rotace – jako geometrické transformace v E3 , je-li osou rotace pˇr´ımka o : x = −t , y = 2t , z = −1 .  −1 −1 T = P ◦ R ◦ R ◦ R ◦ P ; y,ϕ o →y o→o 1 1 o→o o →y 1 1 √   2 5 4 1 2 2   cos ϕ + , cos ϕ − , − sin ϕ, 0   5 5 5 5 √    25  5 2 1 4 ϕ − 5 , 5 cos ϕ + 5 , − 5 sin ϕ, 0     5 cos √ √  T= 2 5   5   sin ϕ, sin ϕ, cos ϕ, 0   5 √ √5 2 5 5 sin ϕ, sin ϕ, cos ϕ − 1, 1 5 5

´ 1.7. KONTROLNÍ OTAZKY

19

1.10 Maticovˇe popiˇste geometrickou transformaci, která vznikne sloˇzen´ım rotace okolo osy z a posunut´ı ve smˇeru této osy (jde o popis ˇsroubov´  eho pohybu).  cos ϕ, sin ϕ, 0, 0    0, 0  matice transformace T =  − sin ϕ, cos ϕ,     0, 0, 1, 0  0, 0, v0 ϕ, 1

1.7

Kontroln´ı ot´ azky

1.1 Jak se liˇs´ı homogenn´ı souˇradnice vlastn´ıho a nevlastn´ıho bodu. 1.2 Pomoc´ı geometrick´ ych transformac´ı v rovinˇe uved’te pˇr´ıklad dvou matic A a B, pro nˇeˇz A · B = B · A, tj. pˇr´ıpad zamˇenitelného poˇrad´ı dvou transformac´ı. 1.3 Pomoc´ı geometrick´ ych transformac´ı v rovinˇe uved’te pˇr´ıklad dvou matic A a B, pro nˇeˇz A · B 6= B · A, tj. pˇr´ıpad nezamˇenitelného poˇrad´ı dvou transformac´ı. 1.4 Matice transformace v P (E3 ) je tvaru  α,  0, T=  0, 0,

0, β, 0, 0,

0, 0, γ, 0,

 0 0  . 0  1

Do následuj´ıc´ı tabulky doplˇ nte pro dané hodnoty diagonáln´ıch prvk˚ u, o jaké soumˇernosti se jedná: α -1 -1 -1 1 1 -1 1

β 1 -1 -1 -1 1 1 -1

γ 1 1 -1 1 -1 -1 -1

soumˇernost podle

1.5 K matic´ım soumˇernost´ı z pˇredcházej´ıc´ı otázky stanovte inverzn´ı transformace a formulujte obecné tvrzen´ı o inverzn´ı transformaci k soumˇernosti. 1.6 Popiˇste, jak je moˇzné stanovit parametrické vyjádˇren´ı translaˇcn´ıch (vznikaj´ı posuvn´ ym pohybem kˇrivky), rotaˇcn´ıch a ˇsroubov´ ych ploch pomoc´ı transformac´ı.

Kapitola 2 Kˇ rivky 2.1

Z´ akladn´ı pojmy

Kˇ rivkou rozum´ıme dráhu pohybuj´ıc´ıho se bodu. Kˇrivka je jednoparametrická mnoˇzina bod˚ u, nebot’ pohyb je závisl´ y na jediném parametru – zpravidla jde o ˇcas.

Obr´ azek 2.1: K definici kˇrivky Pomoc´ı matematick´ ych prostˇredk˚ u je moˇzné definovat regulárn´ı kˇrivku takto: Definice 1. Regulárn´ı kˇrivkou tˇr´ıdy Cn v E3 rozum´ıme mnoˇzinu K ⊂ E3 (obr. 2.1), pro n´ıˇz existuje vektorová funkce P (t), t ∈ I tak, ˇze (a) P : I → K, I je otevˇrený interval, (b) P je tˇr´ıdy Cn , P 0 (t0 )| = (c) |P 6 0 pro vˇsechna t0 ∈ I, (d) t1 6= t2 ⇒ P (t1 ) 6= P (t2 ). 20

´ Í POJMY 2.1. ZAKLADN

21

Je samozˇrejmˇe moˇzné omezit se v definici na rovinu, tedy na prostor E2 , tedy na kˇrivky leˇz´ıc´ı v rovinˇe. Rovinnou kˇrivkou rozum´ıme nav´ıc ale i kˇrivku, která je definována v prostoru E3 , ale vˇsechny jej´ı body leˇz´ı v jedné rovinˇe. Kˇrivkou (bez pˇr´ıvlastku regulárn´ı“) zpravidla rozum´ıme mnoˇzinu bod˚ u, která je po ” ˇca´stech regulárn´ı kˇrivkou, tj. pˇripouˇst´ıme, ˇze v koneˇcném poˇctu bod˚ u jsou poruˇseny uvedené podm´ınky. Uvedená definice vyuˇz´ıvá tzv. vektorov´ y popis kˇrivky, kter´ y lze ale snadno rozepsat do parametrick´ ych rovnic. Pˇ r´ıklad 6. Napˇr. elipsa má parametrické vyjádˇren´ı x = a cos t, y = b sin t,

t ∈ (0, 2π); a, b > 0,

jej´ı vektorov´ y popis v E2 je P (t) = (a cos t, b sin t). Rovnice x = r cos t, y = r sin t, z = 2t, t ∈ (−π, π) jsou vyjádˇren´ım ˇca´sti ˇsroubovice. Vektorovˇe m˚ uˇzeme psát P (t) = (r cos t, r sin t, 2t). I rovinnou kˇrivku m˚ uˇzeme zapsat jako kˇrivku v prostoru napˇr. x = 1 + t, y = t, z = 2 − 0.5t, t ∈ h5, 6i je vyjádˇren´ım u ´seˇcky v prostoru.

2.1.1

Teˇ cna a norm´ ala kˇ rivky

Na kˇrivce zvol´ıme bod T a v jeho okol´ı bod A. Teˇ cna kˇ rivky je limitn´ı polohou pˇr´ımky AT pro A → T (obr.2.2). Pomoc´ı vektoru prvn´ı derivace m˚ uˇzeme definovat teˇ cnu kˇ rivky jako pˇr´ımku urˇcenou u, kde bodem kˇrivky a teˇcn´ ym vektorem. P´ıˇseme X = T + su u = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)), u 6= o je teˇcn´ y vektor a T [T1 , T2 , T3 ] dotykov´ y bod. Seˇ cna je spojnice dvou bod˚ u kˇrivky. Asymptota je teˇcna v nevlastn´ım bodˇe. Norm´ ala v bodˇe T je kaˇzdá pˇr´ımka kolmá k teˇcnˇe v bodˇe T procházej´ıc´ı bodem T . Norm´ alov´ a rovina je mnoˇzina vˇsech normál v bodˇe kˇrivky. Je to rovina kolmá k teˇcnˇe. ´ Uhel kˇ rivek k1 , k2 (prot´ınaj´ıc´ıch se) je u ´hel jejich teˇcen v jejich pr˚ useˇc´ıku (obr.2.3). Rovnobˇeˇzn´ ym nebo stˇredov´ ym pr˚ umˇetem prostorové kˇrivky je rovinná kˇrivka. Pr˚ umˇetem teˇcny je teˇcna nebo bod.


22

Obr´ azek 2.2:

2.1.2

Obr´ azek 2.3:

Klasifikace bod˚ u kˇ rivky

Bod, ve kterém má kˇrivka jedinou teˇcnu urˇcenou jedin´ ym nenulov´ ym vektorem, naz´ yváme regul´ arn´ı bod; v opaˇcném pˇr´ıpadˇe bod nazveme singul´ arn´ı. R˚ uzné typy singulárn´ıch bod˚ u vid´ıme na obr. 2.4. Bod A v obrázku 2.4a) se naz´ yvá uzlov´ y bod , body B a C v obrázku 2.4b) a c) jsou body vratu a bod D v obrázku 2.4d) je inflexn´ı bod (ten je speciáln´ım pˇr´ıpadem regulárn´ıho bodu).

Obr´ azek 2.4:

2.1.3

Rektifikace

Rektifikace oblouku kˇ rivky je rozvinut´ı oblouku kˇrivky na pˇr´ımku, tj. sestrojen´ı u ´seˇcky stejné velikosti, jako je délka oblouku kˇrivky. Nejjednoduˇsˇs´ı rektifikace je zaloˇzena na náhradˇe kˇrivky lomenou ˇcarou (lineárn´ı interpolace) - obr. 2.5 . Na kˇrivce zvol´ıme vhodn´ y poˇcet bod˚ u (na obr. 2.5 jsou oznaˇceny A1 , A2 , . . .), spoj´ıme lomenou ˇcarou a jednotlivé u ´seˇcky pˇreneseme na pˇr´ımku. Je zˇrejmé, ˇze ˇc´ım v´ıce bod˚ u zvol´ıme, t´ım pˇresnˇeji m˚ uˇzeme zjistit délku kˇrivky. Vˇ eta 1. Délku oblouku prostorové kˇrivky, pro kterou známe jej´ı parametrické vyjádˇren´ı, m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat pomoc´ı integrálu Z t2 p x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt, t1


Obr´ azek 2.5:

23

Obr´ azek 2.6:

kde t1 a t2 jsou krajn´ı body oblouku kˇrivky. K rektifikaci oblouku kruˇznice se ˇcasto uˇz´ıvalo pˇribliˇzn´ ych konstrukc´ı jako napˇr. konstrukce Kochaˇ nského, d’Ocagneova nebo Sobotkova. Pouˇzit´ı poˇc´ıtaˇc˚ u v technick´ ych oborech nám umoˇzn ˇuje zjistit délku oblouku mnohem pohodlnˇeji i pˇresnˇeji, proto i zde budeme pouˇz´ıvat bud’ v´ ypoˇctu pomoc´ı integrálu, nebo pomoc´ı lineárn´ı interpolace (jako souˇcet délek stran nahrazuj´ıc´ı lomené ˇca´ry). Obrácenˇe m˚ uˇzeme také navinout u ´seˇcku na kˇrivku, tj. na dané kˇrivce najdeme oblouk, jehoˇz délka se rovná velikosti dané u ´seˇcky.

2.1.4

Oskulaˇ cn´ı rovina a oskulaˇ cn´ı kruˇ znice

Je dán bod T a teˇcna t v tomto bodˇe, na kˇrivce zvol´ıme v okol´ı bodu T bod A. Rovina α je urˇcená bodem A a teˇcnou t. Limitn´ı poloha této roviny pˇri A → T se naz´ yvá oskulaˇ cn´ı rovina . V oskulaˇcn´ı rovinˇe leˇz´ı jedna z normál kˇrivky v daném bodˇe. Tuto normálu naz´ yváme hlavn´ı norm´ ala . Normála kolmá k oskulaˇcn´ı rovinˇe se naz´ yvá binorm´ ala. Urˇcen´ı rovnice oskulaˇcn´ı roviny m˚ uˇzeme provést podle následuj´ıc´ıho tvrzen´ı: Vˇ eta 2. Pokud jsou vektory P 0 a P 00 v daném bodˇe P (t0 ) kˇrivky nekolineárn´ı, tj. daný bod kˇrivky nen´ı jej´ım inflexn´ım bodem, pak oskulaˇcn´ı rovina kˇrivky v daném bodˇe je urˇcena vektory P 0 a P 00 , tj. rovnici oskulaˇcn´ı roviny m˚ uˇzeme psát ve tvaru P 0 (t0 ) + vP P 00 (t0 ) , u ∈ R, v ∈ R . X (u, v) = P (t0 ) + uP Na kˇrivce k zvol´ıme libovoln´ y regulárn´ı bod A. Dále na kˇrivce zvol´ıme jeˇstˇe dalˇs´ı dva body A1 , A2 . Body A, A1 , A2 je urˇcena kruˇznice l. Oskulaˇ cn´ı kruˇ znice kˇrivky k v bodˇe A je limitn´ı polohou kruˇznice l(A, A1 , A2 ), jestliˇze A1 → A a A2 → A (obr.2.6). Stˇred této kruˇznice naz´ yváme stˇ red kˇ rivosti a polomˇer r této kruˇznice naz´ yváme polomˇ er 1 1 ˇ kˇ rivosti. C´ıslo k = r naz´ yváme prvn´ı kˇrivost´ı (flex´ı) kˇrivky k v bodˇe A. Kromˇe toho u kˇrivek pracujeme i s druhou kˇrivost´ı (torz´ı) 2 k, která vyjadˇruje prostorové zakˇriven´ı kˇrivky, tedy zakˇriven´ı vzhledem k oskulaˇcn´ı rovinˇe. Návod k urˇcen´ı obou kˇrivost´ı dává následuj´ıc´ı vˇeta.


24

Vˇ eta 3. Pro regulárn´ı kˇrivku s obecným parametrem plat´ı (1 k)2 =

2

k=

P 0 × P 00 )2 (P P 0 · P 0 )3 (P

P 0 , P 00 , P 000 ) (P P 0 × P 00 )2 (P

Oskulaˇ cn´ı kruˇ znice se v malém okol´ı bodu A velmi málo liˇs´ı od kˇrivky k, a proto m˚ uˇzeme v okol´ı bodu A nahradit kˇrivku jej´ı oskulaˇcn´ı kruˇznic´ı. Toto nahrazen´ı se pouˇz´ıvá napˇr. u kuˇzeloseˇcek, kde známe jednoduché konstrukce oskulaˇcn´ıch kruˇznic ve vrcholech. Oskulaˇcn´ı kruˇznice leˇz´ı v oskulaˇcn´ı rovinˇe kˇrivky a má polomˇer rovn´ y pˇrevrácené hodnotˇe prvn´ı kˇrivosti dané kˇrivky v daném bodˇe. Pro polohov´ y vektor stˇredu S kˇrivosti kˇrivky v bodˇe daném parametrem t0 máme S = P (t0 ) +

1 1 k(t ) 0

n.

Kˇrivky se dot´ ykaj´ı v daném bodˇe, maj´ı-li v nˇem spoleˇcnou teˇcnu. Kˇrivka m˚ uˇze b´ yt dána i jin´ ym zp˚ usobem, neˇz jako dráha bodu, napˇr. jako obálka jednoparametrické soustavy kˇrivek, ekvidistanta, evoluta, evolventa, cykloida nebo jako pr˚ unik ploch. Nˇekteré z tˇechto kˇrivek dále pop´ıˇseme, ale v´ıce se zamˇeˇr´ıme na prostorovou kˇrivku d˚ uleˇzitou pro technickou praxi – ˇsroubovici.

Obr´ azek 2.7:

Obr´ azek 2.8:

Pˇ r´ıklad 7. Pro prostorovou kˇrivku danou vektorovou funkc´ı P (t), t ∈ I, urˇcete jednotkové vektory urˇcuj´ıc´ı teˇcnu, hlavn´ı normálu a binormálu tak, aby tvoˇrily pravotoˇciv´ y systém. ˇ sen´ı: Hledané jednotkové a vzájemnˇe kolmé vektory oznaˇcme t , n a b . Je zˇrejmé, ˇze Reˇ t=

P0 P 0| |P

(jde o normován´ı teˇcného vektoru). Vektory P 0 a P 00 urˇcuj´ı (pokud jde o neinflexn´ı bod) spolu s dan´ ym bodem kˇrivky oskulaˇcn´ı rovinu. M´ısto vektoru P 0 m˚ uˇzeme uvaˇzovat jiˇz


25

jednotkov´ y vektor t . Pomoc´ı vektorového souˇcinu urˇc´ıme vektor kolm´ y k oskulaˇcn´ı rovinˇe a provedeme jeho normován´ı. Pro vektor binormály tedy plat´ı b=

t × P 00 . |tt × P 00 |

Jednotkov´ y vektor hlavn´ı normály (pozor na poˇrad´ı vektor˚ u) urˇc´ıme jiˇz snadno pomoc´ı vektorového souˇcinu jednotkov´ ych a na sebe kolm´ ych vektor˚ u (nen´ı jiˇz nutné normován´ı): n = b × t.

2.1.5

Ob´ alka

Je dána jednoparametrická soustava kˇrivek v rovinˇe. Kˇrivka u, které se dot´ ykaj´ı vˇsechny kˇrivky soustavy se naz´ yvá ob´ alka soustavy kˇ rivek. Dotykov´ y bod obálky a kˇrivky daného systému se naz´ yvá charakteristick´ y bod. Na obrázku 2.7a) je kˇrivka u obálkou soustavy pˇr´ımek, na obrázku 2.7b) je dvojice kˇrivek u, u0 obálkou soustavy elips. Na kaˇzdé obálce je vyznaˇceno nˇekolik charakteristick´ ych bod˚ u. Vˇ eta 4. Uvaˇzujeme rovinnou kˇrivku danou implicitn´ı rovnic´ı F (x, y, α) = 0, kde α je 2 parametr popisuj´ıc´ı jednotlivé kˇrivky dané soustavy kˇrivek. Necht’ ∂∂αF2 6= 0, tj. tvoˇr´ıc´ı kˇrivka má s obalovou kˇrivkou lokálnˇe spoleˇcný jen bod, tedy kˇrivka se svým pohybem nereprodukuje. Pak souˇradnice bod˚ u obalové kˇrivky jsou ˇreˇsen´ım soustavy F (x, y, α) = 0 ,

∂F (x, y, α) = 0. ∂α

Uvaˇzujeme-li α jako parametr, dostaneme obalovou kˇrivku a α je jej´ı parametr. Pˇ r´ıklad 8. Urˇcete obálku systému kruˇznic (x − α)2 + y 2 = 1. ˇ sen´ı: Podle pˇredcházej´ıc´ı vˇety máme rovnice: Reˇ (x − α)2 + y 2 = 1 Dostáváme dvˇe rovnice

∂F = 2(x − α)(−1) = 0 . ∂α

(x − α)2 + y 2 − 1 = 0 x − α = 0

Dosazen´ım z druhé rovnic do prvn´ı, máme tuto rovnici y 2 − 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému kˇrivek jsou tedy dvˇe pˇr´ımky y = 1 a y = −1. V´ ysledkem je samozˇrejmˇe v souladu s t´ım, ˇze v zadán´ı ˇslo o jednotkovou kruˇznici, které se posouvá sv´ ym stˇredem po ose x.


2.1.6

26

Ekvidistanta

Máme dánu rovinnou kˇrivku k. Okolo kaˇzdého bodu této kˇrivky op´ıˇseme kruˇznici o polomˇeru r. Jestliˇze existuje obálka této soustavy kruˇznic naz´ yváme ji ekvidistantou kˇ rivky k - obr. 2.8. Body ekvidistanty m˚ uˇzeme z´ıskat také jin´ ym zp˚ usobem: v kaˇzdém bodˇe A kˇrivky k sestroj´ıme hlavn´ı normálu a naneseme na ni od bodu A u ´seˇcku o velikosti r. Tento postup lze pouˇz´ıt i pro prostorové kˇrivky.

h c k

e p

Obr´ azek 2.9:

2.1.7

Obr´ azek 2.10:

Cykloida

Pˇri odvalován´ı kˇrivky k po pevné kˇrivce p op´ıˇse kaˇzd´ y bod roviny kˇrivku, kterou naz´ yváme trajektorie (dráha). Pˇri odvalován´ı kruˇznice k po pˇr´ımce p op´ıˇse kaˇzd´ y bod kruˇznice (prostou) cykloidu. Bod uvnitˇr kruˇznice k op´ıˇse zkrácenou cykloidu a bod vnˇe kruˇznice op´ıˇse prodlouˇzenou cykloidu. Na obrázku 2.9 je znázornˇena cykloida c, zkrácená cykloida e a prodlouˇzená cykloida h.

2.1.8

Evoluta a evolventa

Jestliˇze existuje obálka hlavn´ıch normál rovinné kˇrivky, naz´ yváme ji evolutou. Lze ji pak také z´ıskat jako mnoˇzinu stˇred˚ u kˇrivosti kˇrivky. Evolventu kˇrivky p z´ıskáme následuj´ıc´ım zp˚ usobem: Na kˇrivce p zvol´ıme bod A, na kˇrivce vol´ıme dalˇs´ı body, v kaˇzdém bodˇe A1 sestroj´ıme teˇcnu a naneseme na ni délku oblouku A1 A. Takto z´ıskan´ y bod je bodem evolventy kˇrivky p. M˚ uˇzeme také ˇr´ıci, ˇze jestliˇze odvalujeme pˇr´ımku po kˇrivce p, bod pˇr´ımky opisuje evolventu. Na obrázku 2.10 je ˇca´st evolventy kruˇznice. Kˇrivka q je evolventou kruˇznice p (kruhovou evolventou). Kruˇznice p je evolutou kˇrivky q.

2.1.9

ˇ ıd´ıc´ı kuˇ R´ zelov´ a plocha

ˇ ıd´ıc´ı kuˇ R´ zelov´ a plocha prostorové kˇrivky je mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, veden´ ych pevn´ ym bodem V rovnobˇeˇznˇe se vˇsemi teˇcnami kˇrivky (teˇcna kˇrivky je rovnobˇeˇzná s povrchovou

ˇ 2.2. SROUBOVICE

27

pˇr´ımkou ˇr´ıd´ıc´ı kuˇzelové plochy) (obr.2.11).

Obr´ azek 2.11:

2.2 2.2.1

ˇ Sroubovice Z´ akladn´ı pojmy

ˇ Definice 2. Sroubov´ y pohyb vzniká sloˇzen´ım rovnomˇerného ot´ aˇ civ´ eho pohybu kolem pevné pˇr´ımky (osy) a rovnomˇerného posuvn´ eho pohybu ve smˇeru této pˇr´ımky. ˇ Sroubovice je dráha bodu A pˇri ˇsroubovém pohybu, kde ω je u ´hel otoˇcen´ı a p posunut´ı bodu A (obr. 2.12). V´ yˇ ska z´ avitu v je velikost posunut´ı bodu pˇri otoˇcen´ı o 2π radián˚ u. Jestliˇze otoˇc´ıme bod o 1 radián, oznaˇc´ıme velikost posunut´ı v0 a naz´ yváme redukovanou v´ yˇ skou z´ avitu. v Plat´ı v0 = 2π . ˇ Sroubovice (o, A, v0 , {±}) je urˇcena osou o, bodem A, redukovanou v´ yˇskou závitu v0 a informac´ı o pravotoˇcivosti nebo levotoˇcivosti ˇsroubovice (+ nebo −). ˇ Sroubovice leˇz´ı na rotaˇcn´ı válcové ploˇse. Jestliˇze rozvineme tuto válcovou plochu do roviny, ˇsroubovice se rozvine do pˇr´ımky. Pokud zavedeme souˇradnicov´ y systém tak, aby stopn´ık ˇsroubovice (bod, ve kterém ˇsroubovice prot´ıná p˚ udorysnu) leˇzel v poˇca´tku a osa ˇsroubovice byla rovnobˇeˇzná s osou y, je toto rozvinut´ı ˇsroubovice grafem závislosti posunut´ı na délce oblouku (neboli u ´hlu otoˇcen´ı) (obr.2.13).

2.2.2

Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı ˇ sroubovice

Parametrické rovnice pravotoˇcivé ˇsroubovice, jej´ıˇz osou je osa z, r je polomˇer válcové plochy, na n´ıˇz ˇsroubovice leˇz´ı, redukovaná v´ yˇska závitu je v0 a bod A[r, 0, 0], jsou x = r cos ω,

y = r sin ω,

z = v0 ω,

ω ∈ (0, 2π).

Jestliˇze ˇsroubovici um´ıst´ıme tak, aby osa ˇsroubovice byla kolmá na p˚ udorysnu, pak p˚ udorysem ˇsroubovice je kruˇznice a nárysem ˇsroubovice je zobecnˇená sinusoida (kˇrivka odpov´ıdaj´ıc´ı sinusoidˇe v afinitˇe).

ˇ 2.2. SROUBOVICE

28

Obr´ azek 2.12:

Obr´ azek 2.13:

2.2.3

Obr´ azek 2.14:

Teˇ cna ˇ sroubovice a jej´ı pr˚ uvodn´ı trojhran

Vˇ eta 5. Teˇcny ˇsroubovice sv´ıraj´ı konstantn´ı u ´hel s rovinou kolmou k ose ˇsroubovice, resp. ˇ ıkáme, ˇze ˇsroubovice je kˇ s osou ˇsroubového pohybu. R´ rivka konstantn´ıho sp´ adu. D˚ ukaz: Urˇc´ıme teˇcn´ y vektor kˇrivky a vypoˇcteme odchylku tohoto vektoru od smˇerového vektoru osy ˇsroubovice. Bez u ´jmy na obecnosti pˇredpokládejme, ˇze osou ˇsroubovice je osa z, tedy smˇerov´ y vektor osy z = (0, 0, 1). Derivován´ım sloˇzek parametrické rovnice ˇsroubovice podle parametru ω vypoˇcteme P 0 = (−r sin ω, r cos ω, v0 ). Pro odchylku α vektor˚ u z a P 0 plat´ı cos α =

v0 v0 z ·P0 p p = = . P 0| |zz | · |P 1 · r2 + v02 r2 + v02

Z toho je zˇrejmé, ˇze u ´hel α nezávis´ı na parametru ω a tedy odchylka teˇcny ˇsroubovice od jej´ı osy je ve vˇsech bodech ˇsroubovice stejná.

ˇ 2.2. SROUBOVICE

29

P˚ udorysné stopn´ıky teˇcen ˇsroubovice leˇz´ı na kruhové evolventˇe kruˇznice, která je p˚ udorysem ˇsroubovice. ˇ ıd´ıc´ı kuˇ Vˇ eta 6. R´ zel ˇ sroubovice (ˇr´ıd´ıc´ı kuˇzelová plocha), který je tvoˇren povrˇskami rovnobˇeˇznými s teˇcnami ˇsroubovice, je rotaˇcn´ı, má výˇsku v0 a polomˇer podstavy r. D˚ ukaz: Tvrzen´ı plyne z d˚ ukazu vˇety 5. Teˇcna ˇsroubovice je rovnobˇeˇzná s pˇreponou troj´ uheln´ıka o odvˇesnách v0 a r s t´ım, ˇze odvˇesna délky v0 leˇz´ı na ose ˇsroubového pohybu. Hlavn´ı norm´ ala ˇsroubovice je normála kolmá k ose a osu prot´ıná. Oskulaˇ cn´ı rovina je urˇcena hlavn´ı normálou a teˇcnou ˇsroubovice. Binorm´ ala je normála kolmá na oskulaˇcn´ı rovinu.

2.2.4

Kˇ rivosti ˇ sroubovice

Provedeme v´ ypoˇcet prvn´ı a druhé kˇrivosti ˇsroubovice. Máme P 0 = (−r sin ω, r cos ω, v0 ) a vypoˇcteme P 00 = (−r cos ω, −r sin ω, 0). Urˇc´ıme vektor q = P 0 × P 00 = (rv0 sin ω, −rv0 cos ω, r2 ). Pro prvn´ı kˇrivost podle vˇety 3 obdrˇz´ıme s r2 v02 + r4 r 1 = 2 . k= 2 2 3 (r + v0 ) r + v0 2 Prvn´ı kˇrivost ˇsroubovice je tedy konstatn´ı. Pro druhou kˇrivost vypoˇcteme 2

k=

v0 r2 v0 = 2 . 2 2 4 r v0 + r r + v0 2

Tedy i druhá kˇrivost ˇsroubovice je konstatn´ı. Proveden´ y v´ ypoˇcet zˇrejmˇe nezáleˇz´ı na orientaci ˇsroubovice a ani na um´ıstˇen´ı osy. Vˇ eta 7. Prvn´ı kˇ rivost ˇ sroubovice je konstatn´ı a plat´ı 1

k=

r2

r . + v0 2

Druhá kˇrivost ˇsroubovice je konstatn´ı a plat´ı 2

k=

r2

v0 . + v0 2

Frenet˚ uv pr˚ uvodn´ı trojhran je tvoˇren teˇcnou, hlavn´ı normálou a binormálou.

ˇ 2.2. SROUBOVICE

Obr´ azek 2.15:

30

Obr´ azek 2.16:

ˇ Pozn´ amka 1. Sipkou budeme v p˚ udorysu vyznaˇcovat smˇer klesán´ı ˇsroubovice. Pˇ r´ıklad 9. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık ˇsroubovice (o, A, v0 , +) s rovinou α k o - obr. 2.15. ˇ sen´ı: (obr.2.16) Reˇ 1. Najdeme p˚ udorys pr˚ useˇc´ıku A1 ˇsroubovice s rovinou α. 2. Pomoc´ı velikost´ı v0 a r sestroj´ıme graf závislosti v´ yˇsky na délce oblouku. 3. Ze znalosti délky oblouku x = A1 A1 odeˇcteme z grafu velikost v´ yˇsky vx a tuto v´ yˇsku naneseme od bodu A2 ve smˇeru stoupán´ı. Na ordinále pak najdeme bod A2 .

ˇ 2.2. SROUBOVICE

31

Obr´ azek 2.17:

Obr´ azek 2.18:

Obr´ azek 2.19:

Obr´ azek 2.20:


32

Pˇ r´ıklad 10. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık ˇsroubovice (o, A, v0 , +) s rovinou β ⊥ o - obr. 2.17. ˇ sen´ı: (obr.2.18) Reˇ 1. V nárysu zjist´ıme vzdálenost vx bodu A ˇsroubovice od roviny β. 2. Pomoc´ı velikost´ı v0 a r sestroj´ıme graf závislosti v´ yˇsky na délce oblouku. 3. Ze znalosti zmˇeny v´ yˇsky, o kterou mus´ı vystoupat bod A, odeˇcteme z grafu délku oblouku x, tento oblouk naneseme od bodu A1 ve smˇeru stoupán´ı. Na ordinále pak najdeme v rovinˇe β bod A (rozum´ı se jeho nárys). Pˇ r´ıklad 11. Sestroj´ıme teˇcnu ˇsroubovice (o, A, v0 , +) v bodˇe A - obr. 2.19. ˇ sen´ı: (obr.2.20) Reˇ 1. Urˇc´ıme p˚ udorys t1 teˇcny t v bodˇe A. 2. Sestroj´ıme p˚ udorys povrˇsky t ˇr´ıd´ıc´ıho kuˇzele, která je rovnobˇeˇzná s teˇcnou (jej´ı stopn´ık najdeme na p˚ udorysu ˇsroubovice o u ´hel 90o ve smˇeru klesán´ı od bodu A). 3. Odvod´ıme nárys P2 stopn´ıku P a nárys povrˇsky t. 4. Teˇcna procház´ı bodem A a je rovnobˇeˇzná s t.

2.3


2.1 Definujte hlavn´ı normálu prostorové kˇrivky. 2.2 Definujte ˇr´ıd´ıc´ı kuˇzelovou plochu prostorové kˇrivky. 2.3 Jakou prvn´ı a druhou kˇrivost má pˇr´ımka? 2.4 Jakou prvn´ı a druhou kˇrivost má kruˇznice? 2.5 Uved’te definici ˇsroubového pohybu. ˇ ım je urˇcen ˇsroubov´ 2.6 C´ y pohyb? 2.7 Definujete parametr v0 ˇsroubového pohybu? 2.8 Uved’te vztah mezi v´ yˇskou závitu ˇsroubovice a redukovanou v´ yˇskou závitu. 2.9 Definujte (dvˇema zp˚ usoby) evolutu kˇrivky a pˇribliˇznˇe naˇcrtnˇete evolutu elipsy.

Kapitola 3 Obecn´ e poznatky o ploch´ ach 3.1


Plocha je • jednoparametrická soustava kˇrivek (plocha vzniká pohybem kˇrivky, která nen´ı dráhou pohybu - kˇrivka se m˚ uˇze bˇehem pohybu mˇenit) • dvouparametrická soustava bod˚ u

Obr´ azek 3.1:

Obr´ azek 3.2:

Podobnˇe jako u kˇrivek nyn´ı uvedeme matematickou“ definici plochy. Pouˇz´ıváme zde ” znaˇcen´ı parametr˚ u, které vycház´ı z tenzorové symboliky. V dalˇs´ım textu budeme ale pro jednoduchost m´ısto parametr˚ u u1 , u2 pouˇz´ıvat oznaˇcen´ı u, v: Definice 3. Regulárn´ı plochou tˇr´ıdy Cn v E3 rozum´ıme mnoˇzinu P ⊂ E3 , pro niˇz existuje vektorová funkce P (u1 , u2 ), (u1 , u2 ) ⊂ Ω, kde Ω je oblast (otevˇrená kompaktn´ı mnoˇzina), taková ˇze (a) P : Ω → P je zobrazen´ı na mnoˇzinu, (b) P je tˇr´ıdy Cn (n ≥ 3), (c)

P ∂P ∂u1

a

P ∂P ∂u2

jsou lineárnˇe nezávislé ve vˇsech bodech oblasti Ω, 33


34

(d) (u10 , u20 ) ∈ Ω,(u11 , u21 ) ∈ Ω a (u10 , u20 ) 6= (u11 , u21 ) ⇒ P (u10 , u20 ) 6= P (u11 , u21 ). Klasifikace ploch Plocha vzniká pohybem kˇrivky, proto nás zaj´ımaj´ı dva zp˚ usoby klasifikace ploch: podle druhu pohybu a podle tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. V následuj´ıc´ıch dvou tabulkách jsme plochy roztˇr´ıdili podle tˇechto dvou hledisek. Podle druhu pohybu N´ azev Pohyb translaˇcn´ı posunut´ı rotaˇcn´ı rotace ˇsroubové ˇsroubov´ y pohyb Podle tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivky N´ azev Kˇ rivka pˇr´ımkové pˇr´ımka cyklické kruˇznice jiné jiná kˇrivka

Pˇ r´ıklad válec, rovina rot. válec, rot. kuˇzel, rot. hyperboloid cyklická ˇsroubová plocha, v´ yvrtková plocha

Pˇ r´ıklad kuˇzelová plocha, hyperbolick´ y paraboloid válec, Archimédova serpentina kvadriky, obalové, grafické

Rovnice plochy • Parametrické vyjádˇren´ı: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), u ∈ I, v ∈ J (napˇr. parametrické vyjádˇren´ı rotaˇcn´ı válcové plochy je x = 3 cos u, y = 3 sin u, z = v, u ∈ h0, 2πi, v ∈ R nebo zápis pomoc´ı vektorové funkce: r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) jestliˇze u = konst. dostáváme: x = x(u0 , v), y = y(u0 , v), z = z(u0 , v) kˇrivkami pˇr´ımky) jestliˇze v = konst. dostáváme:

v-kˇrivky, (pro uveden´ y válec jsou v-

´ ´ 3.2. ULOHY NA PLOCHACH

x = x(u, v0 ), y = y(u, v0 ), z = z(u, v0 ) kˇrivkami kruˇznice)

35

u-kˇrivky, (pro uveden´ y válec jsou u-

• Explicitn´ı tvar: z = f (x, y) (napˇr. z = 3x + 7y − 9) • Implicitn´ı vyjádˇren´ı: F (x, y, z) = 0 (napˇr. 3x2 + y 2 + 4z − 2x = 0) Kˇ rivka na ploˇ se je kˇrivka, jej´ıˇz body vyhovuj´ı rovnici plochy. Speciáln´ımi kˇrivkami na ploˇse jsou parametrické kˇrivky. Jsou charakterizovány t´ım, ˇze jeden z parametr˚ u je konstantn´ı. Teˇ cn´ a rovina plochy je mnoˇzina teˇcen kˇrivek plochy v daném bodˇe. Teˇ cna plochy je pˇr´ımka teˇcné roviny, která procház´ı dotykov´ ym bodem. Norm´ ala plochy je kolmice k teˇcné rovinˇe plochy v bodˇe dotyku. Dvˇe plochy se dot´ ykaj´ı v daném bodˇe, jestliˇze v nˇem maj´ı spoleˇcnou teˇcnou rovinu. Pr˚ unikov´ a kˇ rivka je mnoˇzina spoleˇcn´ ych bod˚ u dvou ploch.

Bod na ploˇse je regul´ arn´ı, jestliˇze v nˇem existuje právˇe jedna teˇcná rovina a singul´ arn´ı v ostatn´ıch pˇr´ıpadech. Pˇr´ımky na ploˇse rozdˇelujeme na regul´ arn´ı, kdy v kaˇzdém bodˇe pˇr´ımky existuje jiná teˇcná rovina - teˇcné roviny tvoˇr´ı svazek rovin (napˇr. pˇr´ımky na rotaˇcn´ım jednod´ılném hyperboloidu) a torz´ aln´ı, kdy existuje jediná teˇcná rovina podél celé pˇr´ımky (napˇr. pˇr´ımky na kuˇzelové ploˇse).

3.2

´ Ulohy na ploch´ ach

• Teˇ cn´ a rovina τ v bodˇ e T a norm´ ala plochy: 1. zvol´ıme dvˇe kˇrivky k1 , k2 na ploˇse procházej´ıc´ı bodem T (vhodné jsou napˇr. tvoˇr´ıc´ı kˇrivka a dráha pohybu, pˇri ˇreˇsen´ı u ´lohy v´ ypoˇctem pak je vhodné zejména parametrické kˇrivky), 2. urˇc´ıme teˇcny t1 a t2 k tˇemto kˇrivkám (pˇredpokládáme, ˇze jsou r˚ uzné), 3. teˇcná rovina τ je urˇcena teˇcnami t1 a t2 (obr. 3.2), 4. normálu plochy urˇc´ıme jako kolmici k teˇcné rovinˇe v daném bodˇe. ˇ • Rez plochy rovinou % a teˇ cna ˇ rezu: 1. zvol´ıme kˇrivku k plochy 2. pr˚ unikem kˇrivky k s rovinou % je bod K (jeden bod ˇrezu) 3. opakován´ım bod˚ u 1) a 2) dostáváme jednotlivé body ˇrezu (obr. 3.3). 4. teˇcna ˇrezu je pr˚ useˇcnic´ı teˇcné roviny a roviny ˇrezu (obr. 3.4). • Pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımky p s plochou κ: 1. proloˇz´ıme rovinu % pˇr´ımkou p,

´ ´ 3.2. ULOHY NA PLOCHACH

Obr´ azek 3.3:

36

Obr´ azek 3.4:

2. urˇc´ıme ˇrez plochy κ rovinou %, dostaneme pr˚ unikovou kˇrivku k, 3. pr˚ unik pˇr´ımky p a kˇrivky k je hledan´ y pr˚ useˇc´ık X (obr. 3.5).

Obr´ azek 3.5:

Obr´ azek 3.6:

• Pr˚ unik dvou ploch α a β: 1. zvol´ıme pomocnou rovinu %, 2. najdeme pr˚ unikovou kˇrivku k1 roviny % s plochou α, 3. najdeme pr˚ unikovou kˇrivku k2 roviny % s plochou β, 4. pr˚ useˇc´ık P kˇrivek k1 a k2 je bodem pr˚ uniku ploch α a β (obr. 3.6), 5. opakován´ım bod˚ u 1)-4) najdeme poˇzadovan´ y poˇcet bod˚ u pr˚ uniku ploch α a β, 6. teˇcna pr˚ unikové kˇrivky v daném bodˇe je pr˚ useˇcnic´ı teˇcn´ ych rovin obou ploch v daném bodˇe (jiná moˇznost urˇcen´ı teˇcny pr˚ unikové kˇrivky spoˇc´ıvá v konstrukci kolmice k rovinˇe dané normálami dan´ ych ploch v daném bodˇe). Skuteˇ cn´ y obrys plochy tvoˇr´ı body plochy, v nichˇz jsou prom´ıtac´ı pˇr´ımky teˇcnami plochy. Zd´ anliv´ y obrys plochy je pr˚ umˇet skuteˇcného obrysu plochy.

´ ˇ Í RE ˇ SEN ˇ Í NEKTER ˇ ´ ´ ´ 3.3. VYPO CETN YCH ULOH NA PLOCHACH

3.3

37

V´ ypoˇ cetn´ı ˇ reˇ sen´ı nˇ ekter´ ych u ´ loh na ploch´ ach

Uved’me nˇekteré d˚ uleˇzité vˇety z diferenciáln´ı geometrie ploch. Vˇ eta 8. Vˇsechny teˇcny regulárn´ıch kˇrivek na regulárn´ı ploˇse v daném bodˇe leˇz´ı v jedné rovinˇe. D˚ ukaz: Uvaˇzujme kˇrivku u(t), v(t) na ploˇse P u, v . Urˇc´ıme P du ∂P P dv P ∂P du dv dP = · + · =P1 · +P2 · . dt ∂u dt ∂v dt dt dt Tedy kaˇzd´ y teˇcn´ y vektor je lineárn´ı kombinac´ı nekolineárn´ıch vektor˚ u P 1 a P 2. Na základˇe této vˇety m˚ uˇzeme stanovit rovnici teˇcné roviny plochy dané parametrick´ ym (nebo vektorov´ ym) vyjádˇren´ım tak, ˇze urˇc´ıme teˇcné vektory parametrick´ ych kˇrivek pomoc´ı parciáln´ıho derivován´ı. Tyto vektory tvoˇr´ı zamˇeˇren´ı teˇcné roviny. Normálu plochy pak vypoˇcteme pomoc´ı operace vektorového násoben´ı. Pˇ r´ıklad 12. Pro plochu danou vektorov´ ym vyjádˇren´ım P (u, v) = (u2 cos v, u2 sin v, u) , u ∈ (0, +∞) , v ∈ (0, 2π) . urˇcete v obecném bodˇe teˇcnou rovinu a normálu. ˇ sen´ı: Pomoc´ı parciáln´ıho derivován´ı urˇc´ıme teˇcné vektory parametrick´ Reˇ ych kˇrivek: P 1 (u, v) =

P ∂P = (2u cos v, 2u sin v, 1) , ∂u

P ∂P = (−u2 sin v, u2 cos v, 0) , ∂v n (u, v) = P 1 × P 2 = (−u2 cos v, −u2 sin v, 2u3 ) . P 2 (u, v) =

Teˇcná rovina v daném bodˇe A je urˇcena uveden´ ymi teˇcn´ ymi vektory. Normála je pak urˇcena dan´ ym bodem vektorem normály. Obecnˇe lze tedy teˇcnou rovinu vyjádˇrit ve vektorovém tvaru P 1 + βP P2 , α ∈ R, β ∈ R . X (α, β) = A + αP Vektorov´ y popis normály v daném bodˇe A je tvaru n, γ∈R. Y (γ) = A + γn Zadanou plochou je rotaˇcn´ı paraboloid, kter´ y vzniká rotac´ı paraboly z = x okolo osy z. Parametrick´ ymi kˇrivkami jsou jednotlivé polohy rotuj´ıc´ı paraboly a rovnobˇeˇzkové kruˇznice. Vˇ eta 9. Necht’ je plocha dána implicitn´ım vyjádˇren´ım f (x1 , x2 , x3 ) = 0. Pak jej´ım norm´ alovým n vektorem (v daném bodˇe) je vektor = (f1 , f2 , f3 ), jehoˇz sloˇzky jsou dány parciáln´ımi derivacemi funkce f .

ˇ 3.4. GAUSSOVA KRIVOST PLOCHY

38

Pˇ r´ıklad 13. Pro plochu danou implicitn´ım vyjádˇren´ım f (x, y, z) = x2 + y 2 − z = 0 . urˇcete v bodˇe X[1, 1, 2] teˇcnou rovinu a normálu. ˇ sen´ı: Pomoc´ı vˇety 9 stanov´ıme vektor normály plochy v daném bodˇe: Reˇ n=(

∂f ∂f ∂f (1, 1, 2), (1, 1, 2), (1, 1, 2)) = (2, 2, −1) . ∂x ∂y ∂z

Teˇcná rovina je pak urˇcena bodem X a sv´ ym normálov´ ym vektorem, tj. normálov´ ym vektorem plochy. Teˇcná rovina má tedy rovnici (absolutn´ı ˇclen vyjde nulov´ y) 2x + 2y − z = 0 . Poznamenejme, ˇze jde o rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu s vrcholem v poˇca´tku souˇradnicového systému a s osou v ose z.

3.4

Gaussova kˇ rivost plochy

V bodˇe X plochy uvaˇzujme normálu n a touto normálou proloˇzme svazek rovin. Kaˇzdá z rovin tohoto svazku vytváˇr´ı na ploˇse ˇrez. Uvaˇzujme orientovanou prvn´ı kˇrivost tˇechto ˇrez˚ u (naz´ yváme je normálové ˇrezy) a oznaˇcme kmax , resp. kmin , nejvˇetˇs´ı, resp. nejmenˇs´ı, z hodnot, kter´ ych orientované kˇrivosti nab´ yvaj´ı. Pokud nen´ı hodnota prvn´ı kˇrivosti pro vˇsechny normálové kˇrivosti stejná, pak ˇrezy, pro které dostaneme extrémn´ı prvn´ı kˇrivosti, leˇz´ı v rovinách na sebe kolm´ ych. Gaussovou kˇrivost´ı v bodˇe plochy rozum´ıme ˇc´ıslo G = kmax · kmin .

3.5

Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı ploch

Nyn´ı se vrát´ıme k otázce parametrizace ploch, které vznikaj´ı pohybem kˇrivky. Jestliˇze v transformaˇcn´ı matici existuje jeden parametr, m˚ uˇze matice popisovat pohyb. Pˇr´ıkladem je rotace nebo ˇsroubov´ y pohyb, kde parametrem bude u ´hel otoˇcen´ı. Uvaˇzujme prostorovou kˇrivku Y (v) = (x(v), y(v), z(v)),

v ∈ Iv .

(3.1)

a matici T transformace (napˇr. rotace nebo ˇsroubového pohybu, ale m˚ uˇze j´ıt i o jin´ y pohyb). Parametr pohybu oznaˇcme u, tedy matice transformace se stává maticov´ ym popisem pohybu a znaˇc´ıme ji T(u). Parametrické vyjádˇren´ı plochy, která vznikne dan´ ym pohybem dané kˇrivky, pak m˚ uˇzeme snadno zapsat ve tvaru P h (u, v) = Y h (v)T(u) ,

v ∈ Iv ,

u ∈ Iu ,

(3.2)

kde P h (u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v), 1] a Y h (v) = [x(v), y(v), z(v), 1] je vyjádˇren´ı bodu na ploˇse a bodu na kˇrivce v homogenn´ıch souˇradnic´ıch.

´ VYJAD ´ REN ˇ Í PLOCH 3.5. PARAMETRICKE

39

Pomoc´ı vztahu (3.2) odvod´ıme parametrické vyjádˇren´ı rotaˇcn´ı plochy, která vzniká rotaci dané (obecnˇe prostorové) kˇrivky okolo osy z. Plat´ı   cos u, sin u, 0, 0  − sin u, cos u, 0, 0   , v ∈ Iv , u ∈ Iu . P h (u, v) = [x(v), y(v), z(v), 1] ·  (3.3)  0, 0, 1, 0  0, 0, 0, 1 Snadno dostaneme po vynechán´ı homogenizuj´ıc´ı sloˇzky parametrické rovnice rotaˇcn´ı plochy, ˇze plat´ı P (u, v) = (x(v) cos u − y(v) sin u, x(v) sin u + y(v) cos u, z(v)) , u ∈ Iu , v ∈ Iv ,

(3.4)

coˇz je vyjádˇren´ı, které jsme uvedli v kapitole o rotaˇcn´ıch plochách na stranˇe 42 – rovnice (4.3). Podobnˇe je moˇzné odvodit parametrické vyjádˇren´ı ˇsroubové plochy, která vzniká pohybem dané prostorové kˇrivky a která má osu v ose z, je dáno v0 a uvád´ıme obˇe moˇznosti orientace ˇsroubového pohybu (znaménko plus pro kladnou orientaci, znaménko minus pro zápornou orientaci):   cos u, sin u, 0, 0  − sin u, cos u, 0, 0   , v ∈ Iv , u ∈ Iu . (3.5) P h (u, v) = [x(v), y(v), z(v), 1] ·   0, 0, 1, 0  0, 0, ±v0 u, 1 Po vynechán´ı homogenizuj´ıc´ı sloˇzky parametrické rovnice ˇsroubové plochy dostaneme P (u, v) = (x(v) cos u−y(v) sin u, x(v) sin u+y(v) cos u, z(v)±v0 u) , u ∈ Iu , v ∈ Iv , (3.6) coˇz je vyjádˇren´ı, které jsme uvedli v kapitole o ˇsroubov´ ych plochách na stranˇe 51 – rovnice (5.3). Pouˇzit´ı transformac´ı pro odvozen´ı rovnic ploch ale dovoluje podstatnˇe v´ıce. Je moˇzné pouˇz´ıt napˇr. rotaci okolo jiné souˇradnicové osy nebo okolo osy obecnˇe um´ıstˇené. Podobnˇe je moˇzné postupovat u ˇsroubov´ ych ploch. Tvoˇr´ıc´ı kˇrivka m˚ uˇze pˇri daném pohybu podléhat i tvarové zmˇenˇe v závislosti na pohybovém parametru, ˇc´ımˇz vznikaj´ı objekty, kter´ ymi se v tomto textu nezab´ yváme, ale které jsou vyuˇz´ıvány v kategorii “sweep” modern´ıch CAD/CAM systém˚ u. Pˇ r´ıklad 14. Uved’me, jakou Gaussovu kˇrivost maj´ı nˇekteré plochy: • Rovina má ve vˇsech bodech nulovou Gaussovu kˇrivost, nebot’ normálov´ ymi ˇrezy jsou pˇrimky a tedy kmax = kmin = 0. • Normálov´ ymi ˇrezy na kulové ploˇse jsou kruˇznice se stˇredem ve stˇredu kulové plochy. Jejich kˇrivost je 1r , kde r je polomˇer kulové plochy. Tedy pro kulovou plochu plat´ı, ˇze ve vˇsech bodech G = r12 . • Na rotaˇcn´ı válcové ploˇse jsou normálov´ ymi ˇrezy s extrémn´ı kˇrivost´ı povrˇska a 1 rovnobˇeˇzková kruˇznice, tedy kmax = r a kmin = 0. V libovolném bodˇe rotaˇcn´ı válcové plochy tedy G = 1r · 0 = 0. Roviny normálov´ ych ˇrez˚ u pro uvedené dvˇe extrémn´ı kˇrivosti jsou na sebe kolmé.


40

• Anuloidem (kruhov´ ym prstencem) rozum´ıme rotaˇcn´ı plochu, která vznikne rotac´ı kruˇznice okolo osy leˇz´ıc´ı v rovinˇe této kruˇznice. Necht’ osová kruˇznice anuloidu, tj. kruˇznice, po které se pohybuje pˇri rotaci stˇred kruˇznice, má polomˇer a a necht’ rotuj´ıc´ı kruˇznice má polomˇer r, r < a. Pro Gaussovu kˇrivost v bodech anuloidu, které leˇz´ı nejbl´ıˇze ose, máme (nen´ı ale jasné, která z tˇechto kˇrivost´ı je menˇs´ı, proto uvedené oznaˇcen´ı) k1 =

1 , r

k2 =

1 , a−r

G=−

1 . r(a − r)

Gaussova kˇrivost je v tomto pˇr´ıpadˇe záporná, nebot’ orientace uveden´ ych kˇrivost´ı je opaˇcná, tj. stˇredy uveden´ ych dvou kruˇznic leˇz´ı na opaˇcn´ ych ˇcástech (polopˇr´ımkách) normály.

3.6


3.1 Popiˇste, jak lze obecnˇe urˇcit teˇcnou rovinu a normálu plochu. 3.2 Popiˇste, jak lze urˇcit teˇcnou rovinu a normálu plochu z parametrick´ ych rovnic plochy. 3.3 Popiˇste, jak lze zkonstruovat teˇcnu ˇrezu plochy. 3.4 Uved’te dva zp˚ usoby urˇcen´ı teˇcny pr˚ unikové kˇrivky dvou ploch (návod: pomoc´ı teˇcn´ ych rovin nebo pomoc´ı normál ploch).

Kapitola 4 Rotaˇ cn´ı plochy 4.1


Rotaˇ cn´ı plocha vzniká rotac´ı kˇrivky k kolem pˇr´ımky o. Pˇredpokládáme, ˇze kˇrivka k nespl´ yvá s pˇr´ımkou o a neleˇz´ı v rovinˇe kolmé na pˇr´ımku o (obr. 4.1, 4.2). Pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh v Mongeovˇe prom´ıtán´ı budeme volit osu o zpravidla kolmou k p˚ udorysnˇe. Kˇrivku k naz´ yváme tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivka rotaˇcn´ı plochy, pˇr´ımku o osou rotaˇ cn´ı plochy.

Obr´ azek 4.1:

Obr´ azek 4.2:

Rovnobˇ eˇ zkov´ a kruˇ znice (rovnobˇeˇzka) rA je kruˇznice, která vznikne rotac´ı libovolného bodu A tvoˇr´ıc´ı kˇrivky kolem osy o. Meridi´ an (poledn´ık) je ˇrez rotaˇcn´ı plochy rovinou, procházej´ıc´ı osou rotaˇcn´ı plochy; hlavn´ı meridi´ an m je meridián leˇz´ıc´ı v rovinˇe rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou. Teˇ cnou rovinu rotaˇcn´ı plochy urˇcujeme teˇcnami dvou kˇrivek plochy procházej´ıc´ıch dan´ ym bodem. Obvykle je teˇcná rovina urˇcena bud’ teˇcnou meridiánu (tm ) a teˇcnou rovnobˇeˇzkové kruˇznice (tr ), nebo teˇcnou tvoˇr´ıc´ı kˇrivky (tk ) a teˇcnou rovnobˇeˇzkové kruˇznice (tr ). Norm´ ala n rotaˇcn´ı plochy je kolmice na teˇcnou rovinu v bodˇe dotyku. 41

´ VYJAD ´ REN ˇ Í ROTACN ˇ Í PLOCHY 4.2. PARAMETRICKE

4.2

42

Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı rotaˇ cn´ı plochy

Rotaˇcn´ı plocha vznikne otáˇcen´ım tzv. tvoˇr´ıc´ı kˇrivky k kolem osy o. Necht’ osou otáˇcen´ı o je souˇradnicová osa z a kˇrivka k je dána vektorovou funkc´ı Y (v), v ∈ Iv (obr. 4.3).

Obr´ azek 4.3: Pro kˇrivku k oznaˇcme sloˇzky jej´ı vektorové rovnice Y (v) = (x(v), y(v), z(v)),

v ∈ Iv .

(4.1)

Trajektori´ı bodu Y (v) kˇrivky k je kruˇznice, která leˇz´ı v rovinˇe kolm´ pe k o = z. Tato kruˇznice má stˇred S na ose o a jej´ı polomˇer je roven r(v) = |SY (v)| = [x(v)]2 + [y(v)]2 . Pro polohov´ y vektor bodu X rotaˇcn´ı plochy plat´ı X(u, v) = (r(v) cos u, r(v) sin u, z(v)) ,

(4.2)

kde pro parametry u, v plat´ı u ∈ h0, 2π) a v ∈ Iv . Tak jsme odvodili vektorovou rovnici rotaˇcn´ı plochy, která vznikne rotac´ı kˇrivky k (m˚ uˇze b´ yt i prostorová). Stanoven´ı parametrického vyjádˇren´ı rotaˇcn´ı plochy lze ale provést také obecn´ ym postupem pomoc´ı transformaˇcn´ı matice – viz str. 38. Tak snadno odvod´ıme odvod´ıme i jin´ y tvar rovnice rotaˇcn´ı plochy: X(u, v) = (x(v) cos u − y(v) sin u, x(v) sin u + y(v) cos u, z(v)) , u ∈ R , v ∈ Iv .

(4.3)

Rozd´ıl v uveden´ ych dvou tvarech parametrického popisu rotaˇcn´ı plochy je patrn´ y pˇri studiu parametrick´ ych kˇrivek. Jedn´ım systémem parametrick´ ych kˇrivek jsou v obou pˇr´ıpadech rovnobˇeˇzkové kruˇznice. Druh´ ym systémem parametrick´ ych kˇrivek jsou v pˇr´ıpadˇe (4.2) polomeridiány dané rotaˇcn´ı plochy. Pokud pouˇzijeme vyjádˇren´ı (4.3), je druh´ y systém parametrick´ ych kˇrivek tvoˇren polohami tvoˇr´ıc´ı kˇrivky pˇri daném pohybu.

ˇ ÍCH PLOCH 4.3. VLASTNOSTI ROTACN

43

Pˇ r´ıklad 15. Urˇc´ıme parametrické vyjádˇren´ı rotaˇcn´ı plochy, která vznikne rotac´ı pˇr´ımky Y (v) = (1 − v, 5v, 5v) kolem osy z. Dále urˇc´ıme teˇcnou rovinu a normálu plochy v bodˇe A = [1; 0; 0]. p ˇ sen´ı: Vyjdeme ze vztahu (4.2). Polomˇer trajektorie bodu je r(v) = (1 − v)2 + (5v)2 = Reˇ √ 1 − 2v + 26v 2 . Plochou je jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid a vektorová rovnice plochy je √ √ X (u, v) = ( 1 − 2v + 26v 2 cos u, 1 − 2v + 26v 2 sin u, 5v), u ∈ h0, 2π), v ∈ R. √ √ P ∂P = (− 1 − 2v + 26v 2 sin u, 1 − 2v + 26v 2 cos u, 0) ∂u P ∂P −2 + 52v −2 + 52v P 2 (u, v) = =( √ cos u, √ sin u, 5). ∂v 2 1 − 2v + 26v 2 2 1 − 2v + 26v 2 P 1 (u, v) =

Bod A = [1; 0; 0] z´ıskáme volbou parametr˚ u u = 0, v = 0, dosad´ıme tyto hodnoty do vypoˇcten´ ych parciáln´ıch derivac´ı a dostaneme dva vektory ze zamˇeˇren´ı teˇcné roviny P 1 (0, 0) = (0, 1, 0), P 2 (0, 0) = (−1, 0, 5). Normálov´ y vektor roviny vypoˇcteme pomoc´ı vektorového souˇcinu n = P 1 (0, 0) × P 2 (0, 0) = (0, 1, 0) × (−1, 0, 5) = (5, 0, 1). Rovnice teˇcné roviny po dopoˇc´ıtán´ı absolutn´ıho ˇclenu je 5x + z − 5 = 0 a vektorová rovnice normály n (t) = (1 + 5t, 0, t), t ∈ R.

4.3

Vlastnosti rotaˇ cn´ıch ploch

• Rotaˇcn´ı plocha je soumˇ ern´ a podle své osy a podle roviny kaˇzdého meridiánu. • Teˇ cn´ a rovina rotaˇcn´ı plochy je kolm´ a k rovinˇe meridiánu procházej´ıc´ı dotykov´ ym bodem. • Teˇ cn´ e roviny rotaˇcn´ı plochy v bodech téˇze rovnobˇeˇzkové kruˇznice obaluj´ı bud’ rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu, nebo rotaˇcn´ı válcovou plochu nebo rovinu. • Teˇ cny meridiánu v bodech téˇze rovnobˇeˇzkové kruˇznice tvoˇr´ı bud’ rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu, nebo rotaˇcn´ı válcovou plochu nebo rovinu (obr. 4.4, 4.5). • Norm´ ala rotaˇcn´ı plochy prot´ıná osu nebo je s n´ı rovnobˇeˇzná. • Norm´ aly rotaˇcn´ı plochy v bodech téˇze rovnobˇeˇzkové kruˇznice tvoˇr´ı bud’ rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu, nebo rotaˇcn´ı válcovou plochu nebo rovinu. Rovnobˇeˇzková kruˇznice se naz´ yvá hrdlo, jestliˇze teˇcny podél této rovnobˇeˇzky tvoˇr´ı rotaˇcn´ı válcovou plochu a polomˇer je lokáln´ım minimem, tj. ze vˇsech okoln´ıch rovnobˇeˇzek je tento polomˇer nejmenˇs´ı, rovn´ık, jestliˇze teˇcny podél této rovnobˇeˇzky tvoˇr´ı rotaˇcn´ı válcovou plochu a polomˇer je lokáln´ım maximem, tj. ze vˇsech okoln´ıch rovnobˇeˇzek je tento polomˇer nejvˇetˇs´ı, kr´ ater, jestliˇze teˇcny podél této rovnobˇeˇzky tvoˇr´ı rovinu.

ˇ ÍCH PLOCH 4.4. KLASIFIKACE ROTACN

44

2,5 2,5 2 2

1,5

1,5

1

-1

1

0,5 -1

-0,5 00 0

0,5

-0,5 0,5

0,5

1

-1

0 0

-0,5

0,5

1

1

Obr´ azek 4.4:

Obr´ azek 4.5:

Skuteˇcn´ ym obrysem rotaˇcn´ı plochy pˇri pravo´ uhlém prom´ıtán´ı na rovinu rovnobˇeˇznou s osou je hlavn´ı meridián a hraniˇcn´ı kruˇznice plochy. V pˇr´ıpadˇe kolmého pr˚ umˇetu na rovinu kolmou k ose jsou skuteˇcn´ ym obrysem hrdeln´ı, rovn´ıkové a hraniˇcn´ı kruˇznice plochy. Zdánliv´ ym obrysem rotaˇcn´ı plochy je pr˚ umˇet skuteˇcného obrysu.

4.4

Klasifikace rotaˇ cn´ıch ploch

Podle typu tvoˇr´ıc´ı kˇrivky dˇel´ıme rotaˇcn´ı plochy následovnˇe: N´ azev Tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivka Pˇr´ımkové pˇr´ımka p k o pˇr´ımka p r˚ uznobˇeˇzná s o pˇr´ımka p mimobˇeˇzná s o Cyklické kruˇznice k ⊂ β, o ⊂ β kruˇznice k ⊂ β, o 6⊂ β kruˇznice k ⊂ β, o ⊂ β a S ∈ o Rotaˇcn´ı elipsa e ⊂ β, o ⊂ β kvadriky parabola p ⊂ β, o ⊂ β hyperbola (rotace okolo vedlejˇs´ı osy) hyperbola (rotace okolo hlavn´ı osy) Obecné

4.5

Rotaˇ cn´ı plocha válcová kuˇzelová jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid anuloid globoid kulová plocha rotaˇcn´ı elipsoid rotaˇcn´ı paraboloid jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid dvojd´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid

´ Ulohy na rotaˇ cn´ıch ploch´ ach

Pˇ r´ıklad 16. Rotaˇcn´ı plocha je dána osou o a tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou k. Sestrojte teˇcnou rovinu v bodˇe M ∈ k - obr. 4.6.

o2 ´ ˇ ÍCH PLOCHACH ´ NA ROTACN mULOHY A2 A2 r4.5. 2

45

k2 S2

o1 A1

o2

x12 m1

o2

k2

t2´

k2

rA1

t2

k1

M2

rM2

M2 x12

x12

o1

o1

k1

k1 M1

Obr´ azek 4.6:

t1´

M1

rM1 t1

Obr´ azek 4.7:

ˇ sen´ı: (obr. 4.7) Reˇ 1. 2. 3. 4.

Sestroj´ıme nárys a p˚ udorys rovnobˇeˇzkové kruˇznice r procházej´ıc´ı bodem M . Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu t k rovnobˇeˇzkové kruˇznici. Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu t0 ke kˇrivce k. Teˇcná rovina τ je urˇcena teˇcnami t a t0 .

Pˇ r´ıklad 17. Rotaˇcn´ı plocha je dána osou o a hlavn´ım meridiánem m. Sestroj´ıme teˇcnou rovinu plochy v bodˇe M ∈ k, je-li dáno M2 - obr. 4.8. ˇ sen´ı: (obr. 4.9) Reˇ 1. Sestroj´ıme nárys a p˚ udorys rovnobˇeˇzkové kruˇznice r procházej´ıc´ı bodem M a odvod´ıme p˚ udorys bodu M . 2. Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu t k rovnobˇeˇzkové kruˇznici. 3. Najdeme bod M hlavn´ıho meridiánu, leˇz´ıc´ı na stejné rovnobˇeˇzkové kruˇznici jako bod M . 4. Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu tM k meridiánu. 5. Pouˇzit´ım vlastnosti, ˇze teˇcny meridiánu v bodech téˇze rovnobˇeˇzkové kruˇznice se prot´ınaj´ı na ose, sestroj´ıme teˇcnu t0 meridiánu v bodˇe M . 6. Teˇcná rovina τ je urˇcena teˇcnami t a t0 . D˚ uleˇzitou u ´lohu pˇredstavuje urˇcen´ı ˇrezu rotaˇcn´ı plochy rovinou ρ. Pouˇzijeme obecn´ y postup z u ´vodn´ı kapitoly o plochách, ale provedeme modifikaci pro rotaˇcn´ı plochy. Nejprve najdeme vhodnou kˇrivku na ploˇse. Touto vhodnou kˇrivkou je na rotaˇcn´ı ploˇse rovnobˇeˇzková kruˇznice, kterou dostaneme jako ˇrez pomocnou rovinou kolmou na osu rotaˇcn´ı plochy. Tuto rovinu vyuˇzijeme i pˇri hledán´ı pr˚ useˇc´ık˚ u kˇrivky s rovinou ρ.

´ ˇ ÍCH PLOCHACH ´ 4.5. ULOHY NA ROTACN

46

o2

o2

m2

m2 M2

t2´

rM2

M2

M2

x12 m1

t2

x12 m1

o1

o1

M1 rM1

M1 t1

Obr´ azek 4.8:

t1´

Obr´ azek 4.9:

Pˇ r´ıklad 18. Rotaˇcn´ı plocha je dána osou o a meridiánem m. Sestroj´ıme ˇrez rotaˇcn´ı plochy rovinou ρ, která je urˇcena stopami - obr. 4.10. ˇ sen´ı: (obr. 4.11) Reˇ 1. Zvol´ıme pomocnou rovinu α kolmou k ose o rotaˇcn´ı plochy. V nárysu se tato rovina prom´ıtne do pˇr´ımky kolmé k ose o. 2. Sestroj´ıme pr˚ unik roviny α s rotaˇcn´ı plochou. Pr˚ unikem je rovnobˇeˇzková kruˇznice α k , jej´ıˇz polomˇer najdeme v nárysu ve skuteˇcné velikosti (je to vzdálenost pr˚ useˇc´ıku roviny α s meridiánem od osy). Nárysem této kruˇznice je u ´seˇcka, p˚ udorysem kruˇznice. 3. Urˇc´ıme pr˚ unik roviny α s rovinou ρ. Pr˚ unikem je hlavn´ı pˇr´ımka hα roviny ρ, odvod´ıme ji do p˚ udorysu. 4. v p˚ udoryse najdeme pr˚ useˇc´ıky A, A hlavn´ı pˇr´ımky hα s rovnobˇeˇzkovou kruˇznic´ı k α . Tyto body jsou zároveˇ n pr˚ useˇc´ıky kruˇznice k α s rovinou ρ. Z p˚ udorysu je odvod´ıme α na hlavn´ı pˇr´ımku h do nárysu. 5. Body A, A jsou dva body ˇrezu rotaˇcn´ı plochy rovinou ρ. 6. Postup opakujeme volbou dalˇs´ı roviny kolmé k ose. Na obr. 4.11 jsou sestrojeny ˇctyˇri body pr˚ uniku roviny % s touto plochou. Body A, A jsme sestrojili v pomocné rovinˇe α (α ⊥ o), body B, B v pomocné rovinˇe β (β ⊥ o). T´ımto zp˚ usobem najdeme dostateˇcn´ y poˇcet bod˚ u, kter´ ymi pak proloˇz´ıme kˇrivku ˇrezu. Pozn´ amka 2. Jestliˇze je rotaˇcn´ı plochou rotaˇcn´ı kvadrika, je ˇrezem kuˇzeloseˇcka. V tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme ˇrez sestrojit pˇresnˇeji.

ˇ ÍCH PLOCH 4.6. PR˚ UNIKY ROTACN

47

Obr´ azek 4.10:

4.6

Obr´ azek 4.11:

Pr˚ uniky rotaˇ cn´ıch ploch

Pouˇzijeme algoritmus pro urˇcen´ı pr˚ uniku ploch, pouze pouˇzijeme speciáln´ı typ plochy % pro jednotlivé vzájemné polohy (obr. 4.12). a) Pokud osy rotaˇcn´ıch ploch spl´ yvaj´ı, jsou pr˚ unikov´ ymi kˇrivkami spoleˇcné rovnobˇeˇzkové kruˇznice. b) Pokud jsou osy rotaˇcn´ıch ploch rovnobˇeˇzné, vol´ıme jako plochu % rovinu kolmou na osy. c) Pokud jsou osy rotaˇcn´ıch ploch r˚ uznobˇeˇzné, vol´ıme jako plochu % kulovou plochu se stˇredem v pr˚ useˇc´ıku os. d) Pokud jsou osy rotaˇcn´ıch ploch mimobˇeˇzné, pouˇzijeme obecn´ y algoritmus.

4.7

Rotaˇ cn´ı kvadriky

• singulárn´ı (vzniknou rotac´ı singulárn´ı kuˇzeloseˇcky) a) rotaˇcn´ı válcová plocha

x2 a2

b) rotaˇcn´ı kuˇzelová plocha

+

x2 a2

y2 a2

+

=1

y2 a2

−

z2 c2

=0

• regulárn´ı (vzniknou rotac´ı regulárn´ı kuˇzeloseˇcky) a) kulová plocha x2 + y 2 + z 2 = r2

ˇ Í 4.8. CVICEN

48

Obr´ azek 4.12: b) elipsoid

x2 a2

b) paraboloid

+ x2 2p

y2 a2

+

+

y2 2q

z2 c2

=1

±z =0

b) hyperboloid 2 2 x2 + ay2 − zc2 = a2 2 2 2 − xa2 − ay2 zc2 = 1

jednod´ıln´ y dvojd´ıln´ y

1

ˇ Rezem rotaˇcn´ı kvadriky je kuˇzeloseˇcka. Konstrukce ˇrezu: - naj´ıt 5 prvk˚ u (5 bod˚ u, 3 body a 2 teˇcny ve dvou z nich, apod.) a pouˇz´ıt Pascalovu vˇetu - nebo v konkrétn´ıch pˇr´ıpadech naj´ıt urˇcuj´ıc´ı prvky ˇrezu (napˇr. hlavn´ı osy elipsy). Pr˚ unikem rotaˇcn´ıch kvadrik je kˇrivka 4. stupnˇe. Vˇ eta 10. Pr˚ unik dvou rotaˇcn´ıch kvadrik se rozpadne na dvˇe kuˇzeloseˇcky právˇe tehdy, kdyˇz existuje kulová plocha souˇcasnˇe vepsaná obˇema kvadrikám.

4.8

Cviˇ cen´ı

4.1 Sestavte parametrické rovnice plochy, která vznikne rotac´ı obecné pˇr´ımky okolo osy. (Návod: za osu rotace zvolte souˇradnicovou osu.) 4.2 Sestavte parametrické rovnice anuloidu. (Návod: za osu anuloidu zvolte souˇradnicovou osu.) 4.3 Rozhodnˇete, jaká plocha je popsána parametrick´ ym vyjádˇren´ım: π π x = a cos u cos v , y = a cos u cos v , z = b sin u , u ∈ (− , ) , v ∈ (0, 2π) . 2 2


49

4.4 Pro plochu z pˇredcházej´ıc´ıho cviˇcen´ı urˇcete teˇcnou rovinu a normálu v bodˇe, kter´ y odpov´ıdá parametr˚ um u = 0, v = π. 4.5 Dokaˇzte, ˇze normála rotaˇcn´ı plochy nem˚ uˇze b´ yt mimobˇeˇzná s osou této plochy. (Návod: plochu um´ıstˇete tak, ˇze jej´ı osa je souˇradnicovou osou; dokaˇzte, ˇze vektor osy, vektor normály ve zvoleném bodˇe a polohov´ y vektor zvoleného bodu jsou lineárnˇe závislé.) 4.6 Urˇcete Gaussovu kˇrivost v bodech rovn´ıkové kruˇznice anuloidu. Jaké bude m´ıt znaménko?

4.9


4.1 Uved’te, jak´ ym postupem se konstruuje pr˚ unik dvou rotaˇcn´ıch ploch v závislosti na poloze jejich os. 4.2 Popiˇste dva zp˚ usoby vytvoˇren´ı rotaˇcn´ıho jednod´ılného hyperboloidu. 4.3 Vyjmenujte rotaˇcn´ı kvadriky a rozdˇelte je na singulárn´ı a regulárn´ı. 4.4 Uved’te nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro rozpad pr˚ uniku dvou rotaˇcn´ıch kvadrik na dvˇe kuˇzeloseˇcky.

Kapitola 5 ˇ Sroubov´ e plochy 5.1


Obr´ azek 5.1:

5.2

ˇ Sroubov´ a plocha vzniká ˇsroubov´ ym pohybem ˇ kˇrivky k. Sroubov´ y pohyb je dán osou o, redukovanou v´ yˇskou závitu v0 a orientac´ı {±} (o, v0 , {±}). Kˇrivku k naz´ yváme tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivkou. Teˇ cn´ a rovina τ je obvykle urˇcena teˇcnou ke ˇsroubovici ts a teˇcnou k tvoˇr´ıc´ı kˇrivce tk . Norm´ ala ˇsroubové plochy je kolmice k teˇcné rovinˇe v bodˇe dotyku. Osov´ y ˇ rez (podéln´ y profil) je ˇrez ˇsroubové plochy rovinou σ, procházej´ıc´ı osou ˇsroubové plochy. Meridi´ an je osov´ y ˇrez na jednom závitu plochy. Polomeridi´ an je osov´ y ˇrez polorovinou s hraniˇcn´ı pˇr´ımkou o na jednom závitu plochy. ˇ Celn´ ı ˇ rez (pˇr´ıˇcn´ y profil, normáln´ı ˇrez) je ˇrez ˇsroubové plochy rovinou %, kolmou na osu.

Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı ˇ sroubov´ e plochy

ˇ Sroubov´ a plocha vznikne ˇsroubov´ ym pohybem tzv. tvoˇr´ıc´ı kˇrivky k kolem osy o. Necht’ osou ˇsroubového pohybu o je souˇradnicová osa z, parametr ˇsroubového pohybu je v0 a kˇrivka k je rovinná (leˇz´ı v rovinˇe xz) a je dána vektorovou funkc´ı Y (v), v ∈ Iv . Pro kˇrivku k oznaˇcme sloˇzky jej´ı vektorové rovnice Y (v) = (x(v), 0, z(v)),

50

v ∈ Iv .

(5.1)

ˇ ´ 5.3. VLASTNOSTI SROUBOV YCH PLOCH

51

Trajektori´ı bodu Y (v) kˇrivky k je ˇsroubovice s osou z. Pro polohov´ y vektor bodu X ˇsroubové plochy plat´ı X(u, v) = (x(v) cos u, x(v) sin u, z(v) ± v0 u) ,

(5.2)

kde pro parametry u, v plat´ı u ∈ R a v ∈ Iv . Tak jsme odvodili vektorovou rovnici ˇsroubové plochy pro speciáln´ı pˇr´ıpad, kdy tvoˇr´ıc´ı kˇrivka je ˇca´st´ı meridiánu. Konkrétn´ı znaménko plus nebo minus v rovnici (5.2) vol´ıme podle toho, zda jde o pravotoˇciv´ y (plus) nebo levotoˇciv´ y (m´ınus) pohyb. V obecném pˇr´ıpadˇe, kdy tvoˇr´ıc´ı kˇrivka je prostorová, resp. neleˇz´ı v rovinˇe xz, má ˇsroubová plocha vyjádˇren´ı X(u, v) = (x(v) cos u−y(v) sin u, x(v) sin u+y(v) cos u, z(v)±v0 u) , u ∈ R , v ∈ Iv . (5.3) Odvozen´ı uvedeného vyjádˇren´ı vycház´ı z obecného postupu vytváˇren´ı ploch pomoc´ı transformaˇcn´ıch matic – viz str. 38. Pˇ r´ıklad 19. Urˇc´ıme parametrické vyjádˇren´ı ˇsroubové plochy, která vznikne ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice leˇz´ıc´ı v rovinˇe xz se stˇredem v bodˇe S = [2, 0, 0, ] a polomˇerem r = 1. Osou ˇsroubového pohybu je osa z, parametr v0 = 3, pohyb je pravotoˇciv´ y. Dále urˇc´ıme teˇcnou rovinu a normálu plochy v bodˇe A = [1; 0; 0]. ˇ sen´ı: Tvoˇr´ıc´ı kˇrivka (kruˇznice) má vektorovou rovnici Y (v) = (2 + cos v, 0, sin v). Reˇ Plochou je osová cyklická ˇsroubová plocha a jej´ı vektorová rovnice je X (u, v) = ((2 + cos v) cos u, (2 + cos v) sin u, sin v + 3u), u ∈ R, v ∈ h0, 2π). P ∂P = (−(2 + cos v) sin u, (2 + cos v) cos u, 3) ∂u P ∂P = (− sin v cos u, − sin v sin u, cos v). P 2 (u, v) = ∂v Bod A = [1; 0; 0] z´ıskáme volbou parametr˚ u u = 0, v = π, dosad´ıme tyto hodnoty do vypoˇcten´ ych parciáln´ıch derivac´ı a dostaneme dva vektory ze zamˇeˇren´ı teˇcné roviny P 1 (0, π) = (0, 1, 3), P 2 (0, π) = (0, 0, −1). Normálov´ y vektor roviny vypoˇcteme pomoc´ı vektorového souˇcinu n = P 1 (0, 0) × P 2 (0, 0) = (0, 1, 3) × (0, 0, −1) = (−1, 0, 0). Rovnice teˇcné roviny po dopoˇc´ıtán´ı absolutn´ıho ˇclenu je x − 1 = 0 a vektorová rovnice normály n (t) = (1 − t, 0, 0), t ∈ R. P 1 (u, v) =

5.3

Vlastnosti ˇ sroubov´ ych ploch

• Kaˇzd´ ym bodem ˇsroubové plochy procház´ı ˇsroubovice sA , která leˇz´ı na této ˇsroubové ploˇse (obr. 5.1). • Kaˇzd´ ym bodem ˇsroubové plochy procház´ı (alespoˇ n) jedna poloha tvoˇr´ıc´ı kˇrivky.

ˇ ´ 5.4. KLASIFIKACE SROUBOV YCH PLOCH

52

• Vˇsechny polomeridiány jedné ˇsroubové plochy jsou shodné. • Vˇsechny ˇceln´ı ˇrezy jedné ˇsroubové plochy jsou shodné. • Existuje pouze jediná rozvinutelná ˇsroubová plocha – plocha teˇcen ˇsroubovice.

5.4

Klasifikace ˇ sroubov´ ych ploch

Klasifikace podle tvoˇr´ıc´ı kˇrivky: N´ azev Tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivka Pˇr´ımková plocha Pˇr´ımka p

Pˇr´ımka p

Cyklická plocha

5.5

Kruˇznice k

ˇ Sroubov´ a plocha Otevˇrená - p, o mimobˇeˇzky -pravo´ uhlá -koso´ uhlá – speciálnˇe rozvinutelná ˇsroubová plocha Uzavˇrená - p, o r˚ uznobˇeˇzky -pravo´ uhlá -koso´ uhlá – v´ yvrtková plocha) - vinut´ y sloupek (k ∈ β, β je kolmá na o) - osová (k ∈ β, o ∈ β) - Archimédova serpentina (k ∈ β, β je kolmá k teˇcnˇe t) - ostatn´ı

´ Ulohy na ˇ sroubov´ ych ploch´ ach

Pˇ r´ıklad 20. Sestroj´ıme 2 body ˇrezu cyklické ˇsroubové plochy polorovinou α, procházej´ıc´ı osou o. - obr. 5.2. ˇ sen´ı: (obr. 5.3) Reˇ 1. 2. 3. 4.

Na tvoˇr´ıc´ı kˇrivce zvol´ıme bod A. Bodem A proloˇz´ıme ˇsroubovici, která leˇz´ı na ˇsroubové ploˇse (zakresl´ıme p˚ udorys). Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık A této ˇsroubovice s rovinou α. Totéˇz opakujeme pro bod B.

Uvˇedomte si , ˇze graf závislosti je nutné konstruovat pro kaˇzd´ y bod znovu, nebot’ pro ˇsroubovice se mˇen´ı polomˇer pˇr´ısluˇsné válcové plochy. Teˇckovanˇe je vyznaˇcen tvar celého ˇrezu. Pˇ r´ıklad 21. Sestroj´ıme bod ˇrezu osové cyklické ˇsroubové plochy rovinou α (α ⊥ o). obr. 5.4. ˇ sen´ı: (obr. 5.5) Postup je podobn´ Reˇ y jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe, pouze z v´ yˇsky odvozujeme délku oblouku. 1. Na tvoˇr´ıc´ı kˇrivce zvol´ıme bod A.

´ ˇ ´ ´ 5.5. ULOHY NA SROUBOV YCH PLOCHACH

Obr´ azek 5.2:

53

Obr´ azek 5.3:

2. Bodem A proloˇz´ıme ˇsroubovici sA , která leˇz´ı na ˇsroubové ploˇse (zobraz´ıme v p˚ udorysu). 3. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık A této ˇsroubovice s rovinou α. (Sestroj´ıme graf závislosti v´ yˇsky na oblouku (rozvinutá ˇsroubovice sA - známe v0 a rA ). V nárysu zjist´ıme vzdálenost vA bodu A od roviny α. Z grafu odvod´ıme délku xA oblouku pˇr´ısluˇsnou k v´ yˇsce vA . Délku oblouku xA naneseme na p˚ udorys ˇsroubovice ve smˇeru stoupán´ı (protoˇze bod sA je pod rovinou α). Nárys bodu A najdeme v rovinˇe α.) Dalˇs´ı body bychom sestrojovali stejn´ ym zp˚ usobem. Uvˇedomte si , ˇze graf závislosti je nutné konstruovat pro kaˇzd´ y bod znovu (mˇen´ı se polomˇer). Teˇckovanˇe je vyznaˇcen tvar celého ˇrezu. Pˇ r´ıklad 22. Sestroj´ıme teˇcnou rovinu a normálu ˇsroubové plochy, která je urˇcena tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou k a ˇsroubov´ ym pohybem (o, v0 , +). - obr. 5.6. ˇ sen´ı: (obr. 5.7) Reˇ 1. Sestroj´ıme v bodˇe A teˇcnu r ke kˇrivce k (nárys i p˚ udorys). 2. Sestroj´ıme p˚ udorys ˇsroubovice s procházej´ıc´ı bodem A. 3. Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu t ke ˇsroubovici s (jej´ı nárys odvod´ıme pomoc´ı povrˇsky p ˇr´ıd´ıc´ıho kuˇzele). 4. Teˇcná rovina τ je urˇcena teˇcnami t a r. 5. Normála n je kolmá k teˇcné rovinˇe τ (sestroj´ıme hlavn´ı pˇr´ımky - v naˇsem pˇr´ıpadˇe je frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımka totoˇzná s pˇr´ımkou r).

ˇ Í 5.6. CVICEN

Obr´ azek 5.4:

5.6

54

Obr´ azek 5.5:

Cviˇ cen´ı

5.1 Pomoc´ı transformac´ı sestavte parametrické vyjádˇren´ı ˇsroubové plochy, která vzniká pravotoˇciv´ ym ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky dané body A a B okolo osy x, v0 = 1, A[0, 1, 1], B[1, 1, 0]. 5.2 Sestavte parametrické vyjádˇren´ı osové cyklické ˇsroubové plochy. 5.3 Sestavte parametrické rovnice uzavˇrené pravo´ uhlé pˇr´ımkové ˇsroubové plochy. 5.4 Na povrˇsce plochy z pˇredcházej´ıc´ıho pˇr´ıkladu zvolte dva r˚ uzné body a v´ ypoˇctem ukaˇzte, ˇze normály v nich nejsou kolineárn´ı.

5.7


5.1 Popiˇste vznik tzv. Archimédovy serpentiny. 5.2 Popiˇste konstrukci normály ˇsroubové plochy a porovnejte moˇznosti jej´ı konstrukce se stejnou u ´lohou pro rotaˇcn´ı plochy.


Obr´ azek 5.6:

55

Obr´ azek 5.7:

Kapitola 6 Obalov´ e plochy 6.1

Z´ akladn´ı pojmy Obalov´ a plocha Ω vzniká pohybem P jiné plochy α. Plochu α naz´ yváme tvoˇ r´ıc´ı plocha. Charakteristika c je kˇrivkou dotyku mezi tvoˇr´ıc´ı plochou α a vznikaj´ıc´ı obalovou plochou Ω – obr. 6.1. Charakteristika c pˇri pohybu P vytváˇr´ı plochu Ω, tj. P(Ω) = P(c).

Obr´ azek 6.1:

Pokud chceme naj´ıt pr˚ unik obalové plochy s rovinou, najdeme charakteristiku, to znamená tvoˇr´ıc´ı kˇrivku rotaˇcn´ı, ˇsroubové nebo jiné plochy a t´ım pˇrevedeme danou u ´lohu na u ´lohu, kterou jiˇz známe z pˇredchoz´ıch kapitol.

Hlavn´ı nápln´ı této kapitoly je tedy hledán´ı charakteristiky na r˚ uzn´ ych typech obalov´ ych ploch. Pˇr´ıklady obalov´ ych ploch: Pohyb Posunut´ı Rotace okolo osy o Rotace okolo osy o Rotace okolo osy o ˇ pohyb s osou o Sr. ˇ pohyb s osou o Sr.

Tvoˇ r´ıc´ı plocha Kulov´ a plocha Rovina % k o Rovina % 6k o Kulov´ a plocha, S ∈ /o Rovina % 6k o Kulov´ a plocha, S ∈ /o

Obalov´ a plocha Rotaˇcn´ı válcová plocha Rotaˇcn´ı válcová plocha Rotaˇcn´ı kuˇzelová plocha Anuloid Rozv. ˇsroubová plocha Archimédova serpentina

56

6.2. CHARAKTERISTIKA ROVINY

6.2

57

Charakteristika roviny

Charakteristikou c roviny α pˇri rotaˇcn´ım (osa o), resp. ˇsroubovém pohybu ( o, v0 , +), je pˇr´ımka c této roviny. Plat´ı c = α ∩ β, kde rovina β procház´ı osou o a je kolmá k rovinˇe β. • Pˇri rotaˇcn´ım pohybu roviny α r˚ uznobˇeˇzné s osou rotace o je v´ yslednou obalovou plochou rotaˇ cn´ı kuˇ zelov´ a plocha a charakteristikou (obr. 6.2) je spádová pˇr´ımka, která prot´ıná osu rotace .

Obr´ azek 6.2: • Pˇri rotaˇcn´ım pohybu roviny α rovnobˇeˇzné s osou o rotace je v´ yslednou obalovou plochou rotaˇ cn´ı v´ alcov´ a plocha a charakteristikou je pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou, která má nejmenˇs´ı vzdálenost od osy rotace (obr. 6.3).

Obr´ azek 6.3: • Pˇri ˇsroubovém pohybu roviny α rovnobˇeˇzné s osou o je v´ yslednou obalovou plochou opˇet rotaˇ cn´ı v´ alcov´ a plocha a charakteristikou sp´ adov´ a pˇ r´ımka, která má nejmenˇs´ı vzdálenost od osy rotace.

6.2. CHARAKTERISTIKA ROVINY

58

• Pˇri ˇsroubovém pohybu (o, v0 , +) roviny α r˚ uznobˇeˇzné s osou o je v´ yslednou obalovou plochou plocha teˇ cen ˇ sroubovice – rozvinuteln´ aˇ sroubov´ a plocha a charakteristikou je pˇr´ımka c, která je zároveˇ n teˇcnou ˇsroubovice dané ˇsroubov´ ym pohybem (o, v0 , +) (obr. 6.4).

Obr´ azek 6.4: Urˇcen´ı charakteristiky c je ponˇekud nároˇcnˇejˇs´ı, proto si pop´ıˇseme hledán´ı charakteristiky roviny pˇri ˇsroubovém pohybu jeˇstˇe v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe, kde pˇr´ımo urˇc´ıme povrˇsku k ˇr´ıd´ıc´ı kuˇzelové plochy. Pˇ r´ıklad 23. Sestroj´ıme charakteristiku roviny ρ pˇri ˇsroubovém pohybu (o, v0 , +) - obr. 6.5. ˇ sen´ı: (obr.6.6) Reˇ 1. Sestroj´ıme libovolnou spádovou pˇr´ımku s prvn´ı osnovy (s1 ⊥pρ1 , s2 odvod´ıme pomoc´ı stopn´ık˚ u). 2. Sestroj´ıme povrˇsku k ˇr´ıd´ıc´ıho kuˇzele (V ∈ k, k k s). 3. Najdeme p˚ udorysn´ y stopn´ık P pˇr´ımky k. 4. Stopn´ıkem procház´ı p˚ udorys ˇsroubovice (kruˇznice se stˇredem v o1 a polomˇerem o1 P1 ). 5. Sestroj´ıme teˇcnu c ˇsroubovice. Teˇcna je rovnobˇeˇzná s povrˇskou ˇr´ıd´ıc´ıho kuˇzele k, dotykov´ y bod najdeme na p˚ udorysu ˇsroubovice o 90◦ otoˇcen´ y od bodu P1 ve smˇeru stoupán´ı ˇsroubovice. 6. Nárys pˇr´ımky c odvod´ıme napˇr´ıklad pomoc´ı stopn´ık˚ u nebo rovnobˇeˇznosti c a k. 7. Pˇr´ımka c je hledanou charakteristikou.

´ PLOCHY 6.3. CHARAKTERISTIKA KULOVE

Obr´ azek 6.5:

6.3

59

Obr´ azek 6.6:

Charakteristika kulov´ e plochy

Charakteristikou kulové plochy pˇri libovolném pohybu je kruˇ znice leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolmé na teˇcnu dráhy stˇredu kulové plochy a procházej´ıc´ı stˇredem kulové plochy. Kruˇznice má stejn´ y polomˇer jako kulová plocha. • Pˇri posunut´ı kulové plochy ve smˇeru pˇr´ımky o je v´ yslednou obalovou plochou rotaˇ cn´ı v´ alcov´ a plocha a charakteristikou kruˇ znice, která leˇz´ı v rovinˇe kolmé na smˇer pohybu a procházej´ıc´ı stˇredem kulové plochy (obr. 6.7).

Obr´ azek 6.7: • Charakteristikou c kulové plochy pˇri rotaˇcn´ım pohybu (osa o) je kruˇ znice leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolmé na teˇcnu ke kruˇznici, kterou opisuje stˇred kulové plochy pˇri rotaˇcn´ım

´ PLOCHY 6.3. CHARAKTERISTIKA KULOVE

60

pohybu (rovina procház´ı stˇredem kulové plochy). Z toho plyne, ˇze charakteristika c kulové plochy pˇri rotaci leˇz´ı v rovinˇe urˇcené osou o rotace a stˇredem S kulové plochy. Vzniklou obalovou plochou je anuloid (obr. 6.8).

Obr´ azek 6.8: • Charakteristikou c kulové plochy pˇri ˇsroubovém pohybu (o, v0 , ±), je kruˇ znice leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolmé na teˇcnu ˇsroubovice, po které se pohybuje stˇred kulové plochy. Vzniklou obalovou plochou je Archim´ edova serpentina (obr. 6.9).

Obr´ azek 6.9: V dalˇs´ıch odstavc´ıch jsou popsány metody, které umoˇzn ˇuj´ı konstrukci jednotliv´ ych bod˚ u charakteristiky v pˇr´ıpadˇe, ˇze tvoˇr´ıc´ı plochou je plocha rotaˇcn´ı (metoda kulov´ ych ploch),

´ 6.4. METODA KULOVYCH PLOCH

6.4

61

Metoda kulov´ ych ploch

Uˇzit´ı: tvoˇr´ıc´ı plocha je rotaˇcn´ı. 1. Na tvoˇr´ıc´ı ploˇse α zvol´ıme rovnobˇeˇzkovou kruˇznici p. 2. Urˇc´ıme kulovou plochu τ , která se dot´ yká tvoˇr´ıc´ı plochy α podél kruˇznice p. 3. Urˇc´ıme charakteristiku c kulové plochy τ pˇri daném pohybu1 . 4. Spoleˇcné body (pokud existuj´ı) charakteristiky c a rovnobˇeˇzkové kruˇznice p náleˇz´ı hledané charakteristice plochy α pˇri daném pohybu2 .

Obr´ azek 6.10:

Obr´ azek 6.11:

Pˇ r´ıklad 24. Sestroj´ıme dva body charakteristiky komolého rotaˇcn´ıho kuˇzele pˇri rotaci okolo osy o - obr. 6.10. ˇ sen´ı: (obr.6.11) Reˇ ˇ sen´ı vycház´ı z poznámek uveden´ Reˇ ych v obecném postupu, tj. konstruována je jen rovina charakteristiky. 1. Na tvoˇr´ıc´ı ploˇse α (kuˇzeli) zvol´ıme rovnobˇeˇzkovou kruˇznici p. 2. Urˇc´ıme kulovou plochu τ , která se dot´ yká tvoˇr´ıc´ı plochy α podél kruˇznice p. 3. Urˇc´ıme charakteristiku c kulové plochy τ pˇri daném pohybu. Charakteristikou kulové plochy je kruˇznice, která se do p˚ udorysu prom´ıtne jako u ´seˇcka AB, nárys nemus´ıme konstruovat. 1

Staˇc´ı urˇcit jen rovinu γ, v n´ıˇz leˇz´ı charakteristika c. Pokud jsme v pˇredch´ azej´ıc´ım bodˇe naˇsli jen rovinu γ, urˇc´ıme pˇr´ıpadné pr˚ useˇc´ıky roviny γ s rovnobˇeˇzkovou kruˇznic´ı p. 2

´ 6.4. METODA KULOVYCH PLOCH

62

4. Body charakteristiky (pokud existuj´ı) jsou pr˚ useˇc´ıky kruˇznice p a charakteristiky kulové plochy τ (v p˚ udorysu sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky X, Y a odvod´ıme na kruˇznici p do nárysu). 5. Dalˇs´ı body charakteristiky bychom sestrojili podobnˇe, jen zvol´ıme novou rovnobˇeˇzkovou kruˇznici a vepsanou kulovou plochu. Cel´ y postup zopakujeme. Pˇ r´ıklad 25. Sestroj´ıme hlavn´ı meridián obalové plochy vzniklé rotac´ı rotaˇcn´ıho kuˇzele pˇri rotaci okolo osy o - obr. 6.12. ˇ sen´ı: (obr.6.13) Reˇ 1. Pouˇzijeme postup z pˇr´ıkladu 24 a sestroj´ıme body X, Y charakteristiky. 2. Dále postupujeme stejnˇe jako pˇri sestrojován´ı meridiánu rotaˇcn´ı plochy (body X, Y jsou body tvoˇr´ıc´ı kˇrivky: Sestroj´ıme rovnobˇeˇzkovou kruˇznici rotaˇcn´ı plochy s osou o procházej´ıc´ı body X, Y . Pr˚ useˇc´ıky X 0 a Y 0 rovnobˇeˇzkov´ ych kruˇznic s rovinou meridiánu µ jsou body meridiánu). 3. Dalˇs´ı body a z´ıskáme novou volbou rovnobˇeˇzkové kruˇznice p a vepsané kulové plochy a cel´ y postup zopakujeme. Na obrázku je vyznaˇcen tvar charakteristiky a meridiánu. o2

o2 Y'2

p2 V2 Y2 X2

V2

X'2

X1=Y1

p1

o1

m1

X'1=Y'1

o1 V1

V1

Obr´ azek 6.12:

Obr´ azek 6.13:

Pˇ r´ıklad 26. Sestroj´ıme dva body charakteristiky obalové plochy vzniklé ˇsroubov´ ym pohybem (o, v0 , +) rotaˇcn´ıho kuˇzele - obr. 6.14. ˇ sen´ı: (obr.6.15) Reˇ

ˇ YCH ´ 6.5. METODA TECN ROVIN

63

1. Na tvoˇr´ıc´ı ploˇse α (kuˇzeli) zvol´ıme rovnobˇeˇzkovou kruˇznici p. 2. Urˇc´ıme kulovou plochu τ , která se dot´ yká tvoˇr´ıc´ı plochy α podél kruˇznice p. 3. Urˇc´ıme charakteristiku c kulové plochy τ pˇri daném pohybu. Charakteristikou kulové plochy je kruˇznice. Ta leˇz´ı v rovinˇe kolmé k teˇcnˇe ˇsroubovice, po které se pohybuje stˇred kulové plochy τ . (Sestroj´ıme teˇcnu t a hlavn´ı pˇr´ımky roviny procházej´ıc´ı stˇredem kulové plochy a kolmé na teˇcnu.) 4. Body charakteristiky (pokud existuj´ı) jsou pr˚ useˇc´ıky kruˇznice p a charakteristiky kulové plochy τ . V p˚ udorysu sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky X, Y a odvod´ıme do nárysu. (Dvˇe kruˇznice na kulové ploˇse mohou m´ıt nejv´ yˇse dva pr˚ useˇc´ıky. Proto je zˇrejmé, ˇze dva pr˚ useˇc´ıky v nárysu jsou jen zdánlivé. Nárys a p˚ udorys skuteˇcného pr˚ useˇc´ıku mus´ı leˇzet na ordinále.) 5. Dalˇs´ı body charakteristiky bychom sestrojili podobnˇe, jen zvol´ıme novou rovnobˇeˇzkovou kruˇznici a vepsanou kulovou plochu. Cel´ y postup zopakujeme. o2

f2

t2 V2

t2

V2

p2

o2 h2

X2

Y2

v0

v0

P1

t1

h1 f1

p1 o1

P2

X1

Y1

o1

t1

6.5

V1

V1

Obr´ azek 6.14:

Obr´ azek 6.15:

Metoda teˇ cn´ ych rovin

Uˇzit´ı: Tvoˇr´ıc´ı plocha α je rozvinutelná. 1. Na tvoˇr´ıc´ı ploˇse α zvol´ıme povrchovou pˇr´ımku p. 2. Urˇc´ıme rovinu τ , která se dot´ yká tvoˇr´ıc´ı plochy α podél pˇr´ımky p. 3. Urˇc´ıme charakteristiku c roviny τ pˇri daném pohybu. 4. Spoleˇcné body (pokud existuj´ı) charakteristiky c a povrˇsky p náleˇz´ı hledané charakteristice plochy α pˇri daném pohybu.

ˇ YCH ´ 6.5. METODA TECN ROVIN

64

Pˇ r´ıklad 27. Sestroj´ıme charakteristiku a hlavn´ı meridián obalové plochy vzniklé rotac´ı ˇsikmého kruhového válce pˇri rotaci okolo osy o - obr. 6.16. ˇ sen´ı: (obr.6.17) Reˇ ˇ sen´ı vycház´ı z obecného postupu. Reˇ 1. Na tvoˇr´ıc´ı ploˇse α (ˇsikmém kruhovém válci) zvol´ıme povrchovou pˇr´ımku p. 2. Urˇc´ıme rovinu τ , která se dot´ yká tvoˇr´ıc´ı plochy α podél pˇr´ımky p: V pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky p s podstavou válce sestroj´ıme teˇcnu t k podstavˇe. Teˇcna t leˇz´ı v p˚ udorysnˇe, proto jej´ı nárys splyne s osou x12 . Pˇr´ımky p a t urˇcuj´ı teˇcnou rovinu τ . 3. Urˇc´ıme charakteristiku c roviny τ pˇri rotaˇcn´ım pohybu. Je to spádová pˇr´ımka roviny τ (v p˚ udorysu kolmá na t, protoˇze t je hlavn´ı pˇr´ımkou roviny τ ). 4. Pr˚ useˇc´ık charakteristiky c a povrˇsky p je jedn´ım bodem hledané charakteristice plochy α pˇri daném pohybu. Oznaˇc´ıme ho X. 5. Dále postupujeme stejnˇe jako pˇri sestrojován´ı meridiánu rotaˇcn´ı plochy (X je bod tvoˇr´ıc´ı kˇrivky: Sestroj´ıme rovnobˇeˇzkovou kruˇznici rotaˇcn´ı plochy s osou o procházej´ıc´ı bodem X. Pr˚ useˇc´ık X 0 rovnobˇeˇzkové kruˇznice s rovinou meridiánu µ je bod meridiánu). 6. Dalˇs´ı body z´ıskáme novou volbou povrˇsky p a opakován´ım celého postupu. Na obrázku je vyznaˇcen tvar charakteristiky a meridiánu. o2

p2 X'2

X2

t2=x12 c1 X'1

o1 X1

m1

p1

t1

Obr´ azek 6.16:

Obr´ azek 6.17:

Pˇ r´ıklad 28. Sestroj´ıme charakteristiku obalové plochy vzniklé ˇsroubov´ ym pohybem (o, v0 , +) kruhového kuˇzele - obr. 6.18. ˇ sen´ı: (obr.6.19) Reˇ Tuto u ´lohu nen´ı moˇzné ˇreˇsit metodou kulov´ ych ploch (tvoˇr´ıc´ı plocha nen´ı rotaˇcn´ı, jde o kruhov´ y, tj. ˇsikm´ y kuˇzel). ˇ sen´ı vycház´ı z obecného postupu. Reˇ

ˇ Í OBALOVE ´ PLOCHY VYPO ´ ˇ 6.6. URCEN CTEM

Obr´ azek 6.18:

65

Obr´ azek 6.19:

1. Na tvoˇr´ıc´ı ploˇse α (kuˇzeli) zvol´ıme povrchovou pˇr´ımku p. 2. Urˇc´ıme rovinu τ , která se dot´ yká tvoˇr´ıc´ı plochy α podél pˇr´ımky p: V pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky p s podstavou válce sestroj´ıme teˇcnu t k podstavˇe. Pˇr´ımky p a t urˇcuj´ı teˇcnou rovinu τ . Teˇcna t je hlavn´ı pˇr´ımkou roviny τ (je rovnobˇeˇzná s p˚ udorysnou), urˇc´ıme jeˇstˇe jeˇstˇe jednu hlavn´ı pˇr´ımku procházej´ıc´ı vrcholem V , popˇr. stopy roviny τ (zde jsme naˇsli pouze nárysnou stopu). 3. Urˇc´ıme charakteristiku c roviny τ pˇri ˇsroubovém pohybu pomoc´ı postupu z pˇr´ıkladu 23. 4. Pr˚ useˇc´ık charakteristiky c a povrˇsky p je jedn´ım bodem hledané charakteristice plochy α pˇri daném pohybu. Oznaˇc´ıme ho X. 5. Dalˇs´ı body bychom z´ıskali novou volbou povrˇsky p a opakován´ım celého postupu. ´ Ulohu 24 by bylo moˇzné ˇreˇsit nejen metodou kulov´ ych ploch, ale i metodou teˇcn´ ych rovin.

6.6

Urˇ cen´ı obalov´ e plochy v´ ypoˇ ctem

Uvaˇzujme nyn´ı obecnˇejˇs´ı pˇr´ıpad, totiˇz situaci, kdy tvoˇr´ıc´ı plocha koná nejen pohyb, ale nav´ıc se m˚ uˇze v závislosti na parametru pohybu tato tvoˇr´ıc´ı plocha mˇenit. Pˇredpokládáme, ˇze tvoˇr´ıc´ı plocha a vznikaj´ıc´ı obalová plocha se pro kaˇzdou hodnotu parametru dot´ ykaj´ı podél kˇrivky a nemaj´ı spoleˇcné ˇca´sti (plochy). Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe kˇrivek m˚ uˇzeme formulovat vˇetu, která je teoretick´ ym v´ ychodiskem pro stanoven´ı rovnice obalové plochy.

ˇ Í OBALOVE ´ PLOCHY VYPO ´ ˇ 6.6. URCEN CTEM

66

Vˇ eta 11. Pro obalovou plochu jednoparametrického systému ploch f (x, y, z, α) = 0 plat´ı: pro bod [x, y, z] leˇz´ıc´ı na obalové ploˇse existuje α tak, ˇze f (x, y, z, α) = 0

a

∂ f (x, y, z, α) = 0 . ∂α

Tedy popis obalové plochy z´ıskáme tak, ˇze ze soustavy (obecnˇe nelineárn´ıch algebraických rovnic) ∂ f (x, y, z, α) = 0 f (x, y, z, α) = 0 , ∂α eliminujeme (vylouˇc´ıme) α. Pˇ r´ıklad 29. Uvaˇzujme systém jednotkov´ ych kulov´ ych ploch: (x − α)2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 . Urˇcete obalovou plochu a charakteristiku. ˇ sen´ı: Podle vˇety 11 stanov´ıme pˇr´ısluˇsnou parciáln´ı derivaci a provedeme vylouˇcen´ı Reˇ pohybového parametru: ∂f = 2(x − α) · (−1) = 0 ⇒ x − α = 0. ∂α Rovnice obalové plochy je y 2 + z 2 − 1 = 0, coˇz je v E3 rotaˇcn´ı válcová plocha a v E2 charakteristika (v rovinˇe x = α). V´ ysledek je oˇcekávan´ y, nebot’ zadán byl posuvn´ y pohyb jednotkové kulové plochy ve smˇeru osy x. Pˇ r´ıklad 30. Uvaˇzujme systém kulov´ ych ploch: (x − 2α)2 + y 2 + z 2 − α2 = 0 . Urˇcete obalovou plochu. ˇ sen´ı: Opˇet jde o posouván´ı kulové plochy, ale kulová plocha nyn´ı mˇen´ı pˇri tomto Reˇ pohybu polomˇer, a to poloviˇcn´ı rychlost´ı, neˇz je rychlost pohybu. Postupujeme opˇet podle vˇety 11 : 3 ∂f = 2(x − 2α) · (−2) − 2α = 0 ⇒ α = x . ∂α 2 1 2 2 2 Rovnice obalové plochy je − 3 x + y + z = 0, coˇz je v rotaˇcn´ı kuˇzelová plocha s vrcholem v poˇca´tku a s osou v ose x.

ˇ Í 6.7. CVICEN

6.7

67

Cviˇ cen´ı

6.1 Uvaˇzujte jednoparametrick´ y systém rovin cos α·x−sin α·y−z = 0 a urˇcete pˇr´ısluˇsnou obalovou plochu.(Návod: pro vylouˇcen´ı parametru pouˇzijte umocnˇen´ı kaˇzdé z rovnic na druhou a seˇctˇete je.) 6.2 Pro rovinu rovnobˇeˇznou s osou urˇcete obalovou plochu, která vzniká rotac´ı této roviny okolo osy. (Návod: Za osu rotace zvolte nˇekterou souˇradnicovou osu, sestavte implicitn´ı rovnici rovnobˇeˇzné roviny ve vhodné poloze a pak do rovnice roviny zaved’te parametr rotace okolo zvolené souˇradnicové osy. Dalˇs´ı v´ ypoˇcet jiˇz proved’te aplikován´ım vˇety 11.)

6.8


6.1 Definujte charakteristiku obalové plochy a vysvˇetlete v´ yznam této kˇrivky pro ˇreˇsen´ı dalˇs´ıch u ´loh o obalov´ ych plochách. 6.2 Pro které tvoˇr´ıc´ı plochy lze pro konstrukci charakteristiky pouˇz´ıt metodu kulov´ ych ploch a pro které metodu teˇcn´ ych rovin. 6.3 Uved’te pˇr´ıklad tvoˇric´ı plochy, jej´ıˇz charakteristiku lze konstruovat jak metodou teˇcn´ ych rovin, tak metodou kulov´ ych ploch. Umˇeli byste pojmenovat vˇsechny takové plochy? 6.4 Jak se liˇs´ı u ´lohy, které lze ˇreˇsit pomoc´ı uveden´ ych metod graficky a v´ ypoˇcetnˇe? Uved’te pˇr´ıklad u ´lohy, kterou m˚ uˇzete ˇreˇsit jen v´ ypoˇcetnˇe.

Kapitola 7 Rozvinuteln´ e plochy 7.1


Torz´ aln´ı povrˇ skou pˇr´ımkové plochy rozum´ıme pˇr´ımku p, pro kterou plat´ı, ˇze v kaˇzdém jej´ım bodˇe je stejná teˇcná rovina τ , tj. teˇcná rovina τ se dot´ yká plochy podél torzáln´ı povrˇsky p. Pˇr´ımková plocha je rozvinuteln´ a, jestliˇze vˇsechny jej´ı povrˇsky jsou torzáln´ı. Rozvinutelná plocha je obalovou plochou pohybuj´ıc´ı se roviny. Vˇ eta 12. Plocha je rozvinutelná, právˇe kdyˇz ve vˇsech jej´ıch bodech je Gaussova kˇrivost nulová.

7.2

Typy rozvinuteln´ ych ploch

Vˇ eta 13. Rozvinutelnými plochami jsou pouze následuj´ıc´ı plochy a jejich ˇcásti: rovina, v´ alcov´ e plochy – obr. 7.1, kuˇ zelov´ e plochy – obr. 7.2 a plochy teˇ cen prostorov´ ych kˇ rivek – obr. 7.3.

Obr´ azek 7.1:

Obr´ azek 7.2:

68

7.3. METODY KOMPLANACE

69

V´ alcov´ a plocha je urˇcena rovinnou kˇrivku k (k ⊂ σ) a smˇerem s, kter´ y nenáleˇz´ı dané rovinˇe (s 6k σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, které prot´ınaj´ı kˇrivku k a jsou smˇeru s. Kuˇ zelov´ a plocha je urˇcena rovinnou kˇrivku k (k ⊂ σ) a bodem V , kter´ y neleˇz´ı v rovinˇe dané kˇrivky (V 6∈ σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, které prot´ınaj´ı kˇrivku k a procházej´ı bodem V . V projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı euklidovského prostoru lze definovat válcovou a kuˇzelovou plochu jednou definic´ı, a to jako mnoˇzinu pˇr´ımek, které prot´ınaj´ı danou kˇrivku k a procházej´ı dan´ ym vrcholem V . Oba typy ploch se liˇs´ı t´ım, zda vrchol V je vlastn´ı, pak jde o kuˇzelovou plochu, nebo je nevlastn´ı, pak jde o válcovou plochu.

Obr´ azek 7.3:

Obr´ azek 7.4:

Plocha teˇ cen prostorov´ e kˇ rivky je urˇcena prostorovou kˇrivkou k a je tvoˇrena jej´ımi teˇcnami. Na obr. 7.3 jsou uvedeny dva pˇr´ıklady takové plochy. Pˇr´ıkladem plochy teˇcen je ˇ rozvinutelná ˇsroubová plocha, která je tvoˇrena teˇcnami ˇsroubovice – obr. 7.4. Rezem této plochy rovinou kolmou k ose ˇsroubového pohybu je kruhov´ a evolventa, tj. kˇrivka, která vzniká jako trajektorie bodu pˇr´ımky odvaluj´ıc´ı se po kruˇznici.

7.3

Metody komplanace

Komplanac´ı neboli rozvinut´ım rozum´ıme zobrazen´ı ϕ rozvinutelné plochy do roviny, které zachovává délky a u ´hly. Obecné metody pro rozvinut´ı jsou dány následuj´ıc´ı tabulkou. Typ rozvinuteln´ e plochy Metoda rozvinut´ı Obecná válcová plocha Normálov´ y ˇrez Obecná kuˇzelová plocha Triangulace Plocha teˇcen prostorové kˇrivky Triangulace

7.3.1

Metoda norm´ alov´ eho ˇ rezu

Norm´ alov´ ym ˇ rezem v´ alcov´ e plochy rozum´ıme ˇrez rovinou kolmou na povrchové pˇr´ımky plochy. Takov´ y ˇrez se pˇri rozvinut´ı zobraz´ı na pˇr´ımku kolmou na obrazy povrˇsek. Pˇri rozvinut´ı válcové plochy postupujeme takto:

7.3. METODY KOMPLANACE

70

1. Vedeme libovolnou rovinu % kolmou na povrchové pˇr´ımky válcové plochy. 2. Urˇc´ıme ˇrez k dané válcové plochy rovinou %. 3. V rozvinut´ı se kˇrivka k zobraz´ı do u ´seˇcky 0 k. Délka obrazu se rovná délce vzoru, tj. délku u ´seˇcky 0 k urˇc´ıme pomoc´ı rektifikace kˇrivky k. Pokud chceme v rozvinut´ı zobrazit dalˇs´ı kˇrivku leˇz´ıc´ı na dané obecné válcové ploˇse, staˇc´ı na povrchové pˇr´ımky vynáˇset u ´seky povrˇsky mezi normálov´ ym ˇrezem a danou kˇrivkou. Normálov´ ym ˇrezem na rotaˇcn´ı válcové ploˇse je napˇr. jej´ı podstava. Oblouk ˇsroubovice leˇz´ıc´ı na dané rotaˇcn´ı válcové ploˇse se rozvine do u ´seˇcky.

Obr´ azek 7.5:

Obr´ azek 7.6:

Pˇ r´ıklad 31. Na obr. 7.5 je provedeno rozvinut´ı poloviny pláˇstˇe rotaˇcn´ıho válce s ˇrezem rovinou σ. Normálov´ ym ˇrezem je podstava k. Vzdálenost x povrˇsek v rozvinut´ı se rovná délce oblouku na podstavˇe. Pˇ r´ıklad 32. Na obr. 7.6 je provedeno rozvinut´ı poloviny pláˇstˇe kruhového (kosého) válce. Rovina % normálového ˇrezu je zobrazena v nárysu (vol´ıme jednu z rovin kolm´ ych na povrˇsky). Normálov´ ym ˇrezem je elipsa, jej´ıˇz hlavn´ı poloosa se rovná polomˇeru kruˇznice podstavy. Normálov´ y ˇrez je vyznaˇcen ve sklopen´ı. Délky oblouk˚ u elipsy ve sklopen´ı urˇcuj´ı vzdálenosti jednotliv´ ych povrˇsek v rozvinut´ı (napˇr. délky x a y). V daném pˇr´ıpadˇe maj´ı v rozvinut´ı vˇsechny povrˇsky stejnou délku. Pomˇer, v nˇemˇz dˇel´ı bod normálového ˇrezu povrˇsku, zjist´ıme z nárysu, nebot’ povrˇsky jsou rovnobˇeˇzné s nárysnou.

7.3.2

Metoda triangulace

Podstatou této metody je náhrada plochy mnohostˇenem, kter´ y má troj´ uheln´ıkové stˇeny. V pˇr´ıpadˇe kuˇzelov´ ych ploch vol´ıme troj´ uheln´ıky tak, ˇze maj´ı vˇzdy jeden vrchol ve vrcholu kuˇzelové plochy. Pro rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu plat´ı, ˇze podstava k se rozvine do oblouku kruˇznice, jehoˇz délka se mus´ı rovnat obvodu kruˇznice k. Polomˇer oblouku v rozvinut´ı se rovná délce u ´seku povrˇsky mezi vrcholem a podstavou.

ˇ ˇ 7.4. TECNA KRIVKY V ROZVINUTÍ

Obr´ azek 7.7:

71

Obr´ azek 7.8:

Pˇ r´ıklad 33. Na obr. 7.7 je zobrazeno rozvinut´ı ˇca´sti rotaˇcn´ı kuˇzelové plochy. Pro urˇcen´ı skuteˇcn´ ych délek u ´sek˚ u povrˇsek plochy je vyuˇzito rotace povrˇsky do roviny obrysové povrˇsky. Pˇ r´ıklad 34. Na obr. 7.8 je zobrazeno rozvinut´ı ˇca´sti kruhové kuˇzelové plochy. Pouˇzita je triangulace a cel´ y postup spoˇc´ıvá v urˇcován´ı skuteˇcn´ ych délek u ´seˇcek (´ usek˚ u povrˇsek plochy). K tomu je vyuˇzito otoˇcen´ı do polohy rovnobˇeˇzné s nárysnou. Povrˇsky urˇcené bodem 1, resp. 7, na podstavˇe se zobrazuj´ı v nárysu ve skuteˇcné velikosti.

7.4

Teˇ cna kˇ rivky v rozvinut´ı

Obrazem teˇcny kˇrivky na ploˇse je teˇcna kˇrivky v rozvinut´ı. Vzhledem k tomu, ˇze rozvinut´ı je zobrazen´ı, které zachovává u ´hly, je moˇzné urˇcit teˇcnu kˇrivky v rozvinut´ı pomoc´ı urˇcen´ı u ´hlu povrˇsky a teˇcny kˇrivky na ploˇse. Pˇ r´ıklad 35. Na obr. 7.7 je zkonstruována teˇcna kˇrivky ˇrezu v rozvinut´ı. K urˇcen´ı u ´hlu teˇcny a povrˇsky je vyuˇzito troj´ uheln´ıka 3P1 ¯3, pro nˇejˇz je urˇcena skuteˇcná velikost pomoc´ı skuteˇcn´ ych délek jeho stran. Bod ¯3 je bodem ˇrezu, bod 3 leˇz´ı na podstavˇe a bod P1 je pr˚ useˇc´ıkem teˇcny s podstavnou rovinou. Pˇr´ımka 3P1 je teˇcnou podstavy.

7.5

Rozvinut´ı rozvinuteln´ eˇ sroubov´ e plochy

Rozvinutelnou ˇsroubovou plochu lze rozvinout tak, ˇze urˇc´ıme obraz hrany vratu, tj. urˇcuj´ıc´ı ˇsroubovice. Plat´ı, ˇze ˇsroubovice vratu se v rozvinut´ı zobraz´ı do kruˇznice, pro jej´ıˇz polomˇer ρ plat´ı r2 + v02 ρ= , r coˇz je pˇrevrácená hodnota prvn´ı kˇrivosti ˇsroubovice v souladu s vˇetou 7 (str. 29).

ˇ ´ ROZVINUTELNE ´ PLOCHY 7.6. KONSTRUKCE A ROZVINUTÍ PRECHODOV E

72

Pˇ r´ıklad 36. Na obr. 7.9 je zobrazeno rozvinut´ı ˇcásti rozvinutelné ˇsroubové plochy. Pro ˇsroubovici vratu je urˇcen polomˇer ρ, kter´ y je polomˇerem pˇr´ısluˇsného oblouku v rozvinut´ı. Obrazem kruhové evolventy, která je ˇrezem dané plochy p˚ udorysnou, je opˇet kruhová evolventa. Pro zobrazen´ı dan´ ych povrˇsek v rozvinut´ı byla urˇcena k otoˇcen´ı, které odpov´ıdá oblouku ω, délka oblouku ˇsroubovice ω ¯.

Obr´ azek 7.9:

7.6

Konstrukce a rozvinut´ı pˇ rechodov´ e rozvinuteln´ e plochy

Uvaˇzujme dvˇe rovinné kˇrivky a a b leˇz´ıc´ı v rovinách α a β – obr. 7.10. V ˇradˇe technick´ ych aplikac´ı vzniká poˇzadavek na urˇcen´ı rozvinutelné plochy Ω, která obsahuje obˇe dané kˇrivky (a ⊂ Ω, b ⊂ Ω). Plochu Ω naz´ yváme pˇrechodová plocha mezi danými kˇrivkami. Postup konstrukce pˇrechodové plochy: 1. Na jedné z kˇrivek zvol´ıme bod – napˇr. A ∈ a a urˇc´ıme teˇcnu tA kˇrivky a v bodˇe A. 2. Na druhé kˇrivce, tj. na kˇrivce b, urˇc´ıme bod B tak, aby teˇcna tB v tomto bodˇe nebyla v teˇcnou tA mimobˇeˇzná. Tento krok realizujeme takto: tA k β – vedeme teˇcnu tB kˇrivky b rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou tA – obr. 7.11, tA 6k β – oznaˇcme p pr˚ useˇcnici rovin α a β; z pr˚ useˇc´ıku tA ∩ p vedeme teˇcnu tB kˇrivky b – obr. 7.10.


Obr´ azek 7.10:

73

Obr´ azek 7.11:

3. Pˇr´ımka AB je torzáln´ı pˇr´ımkou – teˇcná rovina v bodech A a B je stejná a tato rovina se dot´ yká vytváˇrené plochy i ve vˇsech bodech této povrˇsky. Zkonstruovaná pˇrechodová plocha je vˇzdy bud’ plochou teˇcen prostorové kˇrivky (zpravidla neznámé ˇci neurˇcované), nebo ve v´ yjimeˇcn´ ych pˇr´ıpadech plochou válcovou nebo kuˇzelovou. Rozvinut´ı pˇrechodové plochy se provede zpravidla pomoc´ı triangulace.

7.7


7.1 Definujte torzáln´ı povrˇsku plochy. 7.2 Definujte rozvinutelné plochy a uved’te vˇsechny typy rozvinuteln´ ych ploch. 7.3 Vysvˇetlete pojem Gaussova kˇrivost. 7.4 Uved’te pˇr´ıklad plochy, která je pˇr´ımková, ale nen´ı rozvinutelná. 7.5 Uved’te dva zp˚ usoby vytvoˇren´ı rozvinutelné ˇsroubové plochy (návod: jako obalovou plochu a jako jeden z typ˚ u rozvinuteln´ ych ploch). 7.6 Popiˇste metodu normálového ˇrezu pro rozvinut´ı. Pro které rozvinutelné plochy se tato metoda dá aplikovat?

Kapitola 8 Nˇ ekter´ e nekart´ ezsk´ e souˇ radnicov´ e soustavy V ˇradˇe aplikac´ı matematiky se pouˇz´ıvaj´ı k vhodnému analytickému popisu geometrického u ´tvaru v E3 souˇradnice, které nejsou kartézské. Jedná se o souˇradnice afinn´ı (souˇradnicové osy nemus´ı b´ yt na sebe kolmé), sférické (kulové), cylindrické (válcové) apod. Uvedeme vztahy, pomoc´ı nichˇz lze pˇrej´ıt od kartézsk´ ych souˇradnic k souˇradnic´ım sférick´ ym a cylindrick´ ym.

8.1

Sf´ erick´ e souˇ radnice

Sférické souˇradnice jsou prostorovou analogi´ı polárn´ıch souˇradnic v rovinˇe. Rovnice x = ρ · cos ϕ cos ψ , y = ρ · sin ϕ cos ψ , z = ρ · sin ψ , h− π2

(8.1)

dπ i, d2

v nichˇz ρ > 0, ϕ ∈ h0, 2π) a ψ ∈ , vyjadˇruj´ı pˇrechod k tzv. sférickým souˇradnic´ım [ρ, ϕ, ψ]. p ˇ ıslo ρ = x2 + y 2 + z 2 vyjadˇruje vzdálenost bodu X od poˇcátku O, ϕ a ψ jsou C´ orientované u ´hly ( zemˇepisná ˇs´ıˇrka a délka“) – obr. 8.1. ” S rovnicemi (8.2) a (8.1) se v´ yhodnˇe pracuje pˇri sledován´ı problém˚ u spojen´ ych s rotac´ı a soumˇernost´ı.

8.2

Cylindrick´ e souˇ radnice

Rovnice x = ρ cos ϕ ,

y = ρ sin ϕ ,

z=z,

(8.2)

v nichˇz ρ > 0 a ϕ ∈ h0, 2π) popisuj´ı vztah tzv. cylindrických souˇradnic [ρ, ϕ, z] s kartézsk´ ymi souˇradnicemi. p y Vid´ıme, ˇze ρ = x2 + y 2 vyjadˇruje vzdálenost bodu X od osy z a ϕ je orientovan´ u ´hel s poˇca´teˇcn´ım ramenem v kladné poloose x a koncov´ ym ramenem na polopˇr´ımce OX1 , kde X1 je pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet bodu X do souˇradnicové roviny xy – obr. 8.2. Ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe (8.2), kdy z = 0, hovoˇr´ıme o polárn´ıch souˇradnic´ıch v rovinˇe E2 . 74

ˇ Í NEKARTEZSK ´ ´ ˇ 8.3. VYUZIT YCH SOURADNIC

Obr´ azek 8.1:

8.3

75

Obr´ azek 8.2:

Vyuˇ zit´ı nekart´ ezsk´ ych souˇ radnic

Pouˇzit´ı uveden´ ych nekartézsk´ ych souˇradnic vede ke zjednoduˇsen´ı analytického vyjádˇren´ı u ´tvar˚ u (zkratka konst. oznaˇcuje kladnou konstantu). 1. ρ =konst. popisuje v pˇr´ıpadˇe sférick´ ych souˇradnic kulovou plochu se stˇredem O a polomˇerem ρ, 2. ρ =konst. popisuje v pˇr´ıpadˇe cylindrick´ ych souˇradnic rotaˇcn´ı válcovou plochu o polomˇeru ρ a s osou z, 3. ψ =konst. urˇcuje v pˇr´ıpadˇe sférick´ ych souˇradnic rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu, 4. ρ =konst. urˇcuje v polárn´ıch souˇradnic´ıch kruˇznici se stˇredem O a polomˇerem ρ.

8.4

Cviˇ cen´ı

8.1 V kartézské soustavˇe souˇradnic zobrazte body, jejichˇz polárn´ı souˇradnice jsou A 3, πi6 , h √ 3 π 1 B 1, 2π , C 2, − . Jak´ e jsou kart´ e zsk´ e souˇ r adnice bodu B? [B − , ] 3 4 2 2 8.2 Vypoˇctˇete velikost u ´seˇcky AB, znáte-li polárn´ı souˇradnice bod˚ u A 3, 11π , B 4, π3 . 18 [5] 8.3 Bod A má kartézské souˇradnice A[−1, 1, 2]. Jaké jsou jeho cylindrické souˇr√ adnice. [[ 2, 34 , 2]] 8.4 Bod A má cylindrické souˇradnice A[1, 1, 1]. Vypoˇctˇete jeho kartézské souˇradnice s pˇresnost´ı na tˇri desetinná m´ısta. [[0, 540; 0, 841; 1, 000]] 8.5 Jaké jsou sférické souˇradnice bodu A, jsou-li jeho souˇradnice √ v kartézské soustavˇe A[1, 1, 1]? [ρ = 3, ϕ = π4 , ψ = arctg √12 ]


8.6 V´ıme, ˇze sférické souˇradnice bodu A jsou ρ = 1, ϕ = − π3 , ψ =

76 π . 6

kartézské souˇradnice?

Jak´ jeho he jsou i √ 3 1 3 [ −4, 4 , 2 ]

8.7 V systému AutoCAD se pouˇz´ıvá následuj´ıc´ıch symbol˚ u: @ – relativn´ı souˇradnice (tj. souˇradnice vzhledem k aktuáln´ımu bodu, nikoliv k poˇca´tku), < – zadán´ı u ´hlu. Zˇrejmˇe zadán´ım 20 < 45 < 30 urˇcujeme bod pomoc´ı sférick´ ych souˇradnic. Urˇcete typ souˇradnic pro zadán´ı a) @100 < 45, b) 40 < 60, 10. [a) relativn´ı polárn´ı souˇradnice, b) cylindrické souˇradnice]

8.5


8.1 Uved’te, které body nemaj´ı jednoznaˇcnˇe urˇceny sférické souˇradnice. 8.2 Uved’te, které body nemaj´ı jednoznaˇcnˇe urˇceny cylindrické souˇradnice.

Kapitola 9 Neline´ arn´ı u ´ tvary v rovinˇ e a v prostoru 9.1

Vyj´ adˇ ren´ı kˇ rivek

Uved’me si dále vektorové rovnice nˇekter´ ych kˇrivek.

9.1.1

Kruˇ znice

Kruˇznice o stˇredu O a polomˇeru r (r > 0) má vektorovou rovnici X(t) = (r · cos t, r · sin t),

t ∈< 0, 2π).

(9.1)

Parametr t je u ´hel, kter´ y sv´ırá polohov´ y vektor X(t) s kladnou poloosou x (obr. 9.1). Snadno zjist´ıme, ˇze p |X(t)| = r2 cos2 t + r2 sin2 t = r , neboli vzhledem ke vztahu (9.1) x2 + y 2 = r2 . Jestliˇze má kruˇznice k stˇred v bodˇe S[m, n] a je-li jej´ı polomˇer r, provedeme posunut´ı kruˇznice o vektor s = (−m, −n). Kruˇznice k pˇrejde do kruˇznice k 0 = (O, r), kde O je poˇca´tek systému souˇradnic. Rovnice kruˇznice k = (S, r) má tedy tvar (x − m)2 + (y − n)2 = r2 . Pˇ r´ıklad 37. Sestavte vektorovou a parametrickou rovnici kruˇznice k daného polomˇeru r, jestliˇze se kruˇznice dot´ yká souˇradnicov´ ych os v jejich kladné ˇcásti. ˇ sen´ı: Stˇredem hledané kruˇznice je bod S[r, r]. Vektorovou rovnici kruˇznice k z´ıskáme Reˇ z rovnice (9.1) pˇriˇcten´ım polohového vektoru S bodu S k pravé stranˇe rovnice, tj. plat´ı X(t) = S + (r · cos t, r · sin t) = = (r + r · cos t, r + r · sin t) , t ∈< 0, 2π) . 77

(9.2)

´ REN ˇ Í KRIVEK ˇ 9.1. VYJAD

78

Obr´ azek 9.1:

Obr´ azek 9.2:

Parametrické vyjádˇren´ı kruˇznice k je tvaru x = r + r · cos t ,

y = r + r · sin t ,

t ∈< 0, 2π) .

Pˇ r´ıklad 38. Sestav´ıme parametrické vyjádˇren´ı epicykloidy, tj. kˇrivky, kterou vytváˇr´ı bod X pˇri odvalován´ı kruˇznice h vnˇejˇs´ım obvodem“ po vnˇejˇs´ım obvodu“ kruˇznice p. ” ” Uvaˇzujme kruˇznice h = (H, r) a p = (P, r), kde H[2r, 0], P = O – obr. 9.2. Bod X[r, 0] je bodem dotyku dan´ ych kruˇznic. ˇ sen´ı: Parametrické rovnice epicykloidy lze sestavit na základˇe obr. 9.3. Staˇc´ı vyjádˇrit Reˇ souˇradnice bodu H 0 a pak relativnˇe k nˇemu souˇradnice bodu X 00 . Jinou moˇznost ˇreˇsen´ı u ´lohy pˇredstavuje vyuˇzit´ı geometrick´ ych transformac´ı. Epicykloidáln´ı pohyb T, tj. pohyb urˇcen´ y odvalován´ım kruˇznice h po kruˇznici p, je geometrickou transformac´ı, kterou m˚ uˇzeme sloˇzit následuj´ıc´ım zp˚ usobem T = RH 0 ,t ◦ RP,t = PH 0 ◦ RP,t ◦ P−H 0 ◦ RP,t ,

(9.3)

kde t je u ´hel a H 0 je polohov´ y vektor bodu H 0 – obr. 9.3. Epicykloidáln´ı pohyb m˚ uˇzeme 0 tedy sloˇzit z rotace okolo poˇca´tku P o u ´hel t, posunut´ı o vektor −H , dalˇs´ı rotace okolo poˇca´tku o u ´hel t a z posunut´ı o vektor H 0 . Uvedené geometrické transformace zap´ıˇseme maticovˇe. Pro matici v´ ysledné transformace plat´ı 

     cos t, sin t, 0 1, 0, 0 cos t, sin t, 0 0, 1, 0  ·  − sin t, cos t, 0  · T =  − sin t, cos t, 0  ·  0, 0, 1 −2r cos t, −2r sin t, 1 0, 0, 1     1, 0, 0 cos 2t, sin 2t, 0    0, 1, 0 − sin 2t, cos 2t, 0  . · = 2r cos t, 2r sin t, 1 2r(cos t − cos 2t), 2r(sin t − sin 2t), 1


79

Pro bod X 00 , kter´ y je bodem epicykloidy vytváˇrené bodem X, plat´ı pˇri vyuˇzit´ı homogenn´ıch souˇradnic X 00 = X · T, tj.   cos 2t, sin 2t, 0 − sin 2t, cos 2t, 0 = X 00 = (r, 0, 1) ·  2r(cos t − cos 2t), 2r(sin t − sin 2t), 1 = (2r cos t − r cos 2t, 2r sin t − r sin 2t, 1) . Parametrické rovnice hledané epicykoidy jsou x = 2r cos t − r cos 2t ,

y = 2r sin t − r sin 2t ,

t ∈ h0, 2π) .

V´ ysledná epicykloida je zobrazena na obr. 9.4.

Obr´ azek 9.3:

9.1.2

Obr´ azek 9.4:

Elipsa

Elipsa o stˇredu O s osami v souˇradnicov´ ych osách a o poloosách a, b (a > 0, b > 0) má vektorovou rovnici X(t) = (a · cos t, b · sin t), t ∈< 0, 2π). (9.4) Parametr t je tentokrát u ´hel, jenˇz je vyznaˇcen v obr. 9.5. Ze vztah˚ u (9.4) a z obr. 9.5 plyne tzv. troj´ uheln´ıková konstrukce bod˚ u elipsy. Strana Xb X troj´ uheln´ıku Xa Xb X je rovnobˇeˇzná s osou x a strana Xa X tohoto troj´ uheln´ıku je rovnobˇeˇzná s osou y. Rozep´ıˇseme-li vztah (9.4) do sloˇzek, dostaneme parametrické vyjádˇren´ı x = a · cos t ,

y = b · sin t.

(9.5)

Po zˇrejmé u ´pravˇe rovnic (9.5), jejich umocnˇen´ı a seˇcten´ı, dojdeme k rovnici elipsy ve tvaru x2 y 2 + 2 = 1. a2 b

(9.6)


80

Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe kruˇznice lze ukázat, ˇze pro elipsu se stˇredem S[m, n] a poloosami a > 0, b > 0 na rovnobˇeˇzkách se souˇradnicov´ ymi osami plat´ı (x − m)2 (y − n)2 + = 1. a2 b2

9.1.3

(9.7)

Parabola

Parabola soumˇerná podle osy y, která má vrchol v poˇcátku O a ohnisko F 0, p2 , p > 0, má vektorovou rovnici 1 2 , t ∈ R. · t (9.8) X(t) = t, 2p Za parametr t je zvolena souˇradnice x bodu paraboly (obr. 9.6). Snadno z (9.8) dojdeme k vyjádˇren´ı paraboly ve tvaru y=

1 2 x , resp. x2 = 2p y . 2p

(9.9)

Pro parabolu s vrcholem V [m, n] a osou v rovnobˇeˇzce se souˇradnicovou osou y m˚ uˇzeme psát (y − n) =

1 (x − m)2 , resp. (x − m)2 = 2p (y − n) . 2p

(9.10)

Pˇ r´ıklad 39. Parabolu o rovnici y = x2 posuneme tak, aby mˇela vrchol v bodˇe V [2, 1], a urˇc´ıme spoleˇcné body posunuté paraboly s pˇr´ımkou p = AB, kde A[0, 1], B[6, 4]. ˇ sen´ı: Posunutá parabola k má podle (9.10) rovnici (y − 1) = (x − 2)2 . Reˇ Pˇr´ımku p vyjádˇr´ıme parametricky napˇr. ve tvaru x = 2t ,

y =1+t,

t∈R.

(9.11)

Po dosazen´ı z rovnic (9.11) do rovnice paraboly dostáváme kvadratickou rovnici pro ˇ sen´ı této kvadratické parametr t. Plat´ı (1 + t − 1) = (2t − 2)2 , tj. 4t2 − 9t + 4 = 0. Reˇ rovnice je tvaru √ 9 ± 17 . t12 = 8 Dosazen´ım za t do rovnice (9.11) urˇc´ıme dva pr˚ useˇc´ıky X a Y paraboly k a pˇr´ımky p. Plat´ı # " " √ √ √ √ # 9 − 17 17 − 17 9 + 17 17 + 17 , Y . X , , 4 8 4 8


81

Obr´ azek 9.5:

9.1.4

Obr´ azek 9.6:

Hyperbola

Vektorové vyjádˇren´ı hyperboly (obr. 9.8) lze uvést ve tvaru (osy hyperboly leˇz´ı v souˇradnicov´ ych osách; a > 0, b > 0) X(t) = (

a , b · tg t) , cos t

t ∈< 0, 2π) ,

t 6=

π 3π , . 2 2

(9.12)

Z tˇechto vztah˚ u vypl´ yvá konstrukce bodu hyperboly pro danou hodnotu parametru t – viz obr. 9.7. Z vlastnost´ı goniometrick´ ych funkc´ı plyne 1 − tg2 t = 1. cos2 t

(9.13)

Ze vztah˚ u (9.12) a (9.13) vypl´ yvá vyjádˇren´ı hyperboly ve tvaru x2 y 2 − 2 = 1. a2 b

(9.14)

Pro hyperbolu se stˇredem v bodˇe S[m, n] a s osami na rovnobˇeˇzkách se souˇradnicov´ ymi osami plat´ı (x − m)2 (y − n)2 − = 1. a2 b2

9.1.5

(9.15)

Obecn´ a rovnice kuˇ zeloseˇ cky

Kuˇzeloseˇckou neboli kˇrivkou druhého stupnˇe rozum´ıme kˇrivku, kterou lze popsat rovnic´ı (indexy i, j u koeficient˚ u aij jsou odvozeny z exponent˚ u u x a y v daném ˇclenu) a20 x2 + 2a11 xy + a02 y 2 + 2a10 x + 2a01 y + a00 = 0 ,

(9.16)


Obr´ azek 9.7: kde alespoˇ n jeden z koeficient˚ u a20 , a11 , a02 je nenulov´ y.    a20 , a11 , a10 (x, y, 1) ·  a11 , a02 , a01  ·  a10 , a01 , a00

82

Obr´ azek 9.8: V maticovém tvaru lze psát  x y =0. (9.17) 1

Pro regulárn´ı kuˇzeloseˇcku plat´ı, ˇze matice koeficient˚ u v rovnici (9.17) je regulárn´ı. Regulárn´ımi kuˇzeloseˇckami jsou: kruˇznice, elipsa, parabola a hyperbola. V pˇredcházej´ıc´ıch odstavc´ıch jsme popsali regulárn´ı kuˇzeloseˇcky pro pˇr´ıpad speciáln´ıho um´ıstˇen´ı (napˇr. stˇred kruˇznice, resp. elipsy, resp. vrchol paraboly byl v poˇcátku systému souˇradnic). Pomoc´ı transformace systému souˇradnic lze pro regulárn´ı kuˇzeloseˇcky pˇrevést rovnici kuˇzeloseˇcky z tvaru (9.16) na speciáln´ı tvar, tzv. kanonický, kter´ y jsme uvedli v pˇredcházej´ıc´ıch odstavc´ıch – tab. 9.1. Pokud je v rovnici (9.16) nenulov´ y koeficient a11 (koeficient u sm´ıˇseného ˇclenu), je moˇzné provést rotaci souˇradnicového systému tak, aby pˇri vyjádˇren´ı kuˇzeloseˇcky v nové soustavˇe souˇradnic byl tento koeficient nulov´ y. Uved’me alespoˇ n jeden konkrétn´ı pˇr´ıklad. Obecnˇeji o této vˇeci pojednává odstavec 9.5.


ˇ C.

83

N´ azev

Signatura

Rovnice

Elipsa 1. kruˇznice pro a = b

(2,0,0,1)

x2 a2

+

y2 b2

=1

Hyperbola 2. zámˇena promˇenn´ ych

(1,1,0,1)

x2 a2

−

y2 b2

=1

Parabola 3. zámˇena promˇenn´ ych

(1,0,1,0)

R˚ uznobˇ eˇ zn´ e pˇ r´ımky 4. zámˇena promˇenn´ ych

(1,1,0,0)

Rovnobˇ eˇ zn´ e pˇ r´ımky 5. zámˇena promˇenn´ ych

x2 ± 2py = 0

−

y2 b2

(1,0,0,1)

x2 a2

=1

Totoˇ zn´ e pˇ r´ımky 6. zámˇena promˇenn´ ych

(1,0,0,0)

x2 = 0

Bod 7. zámˇena promˇenn´ ych

(2,0,0,0)

Pr´ azdn´ a mnoˇ zina 8. zámˇena promˇenn´ ych

(0,2,0,1)

Pr´ azdn´ a mnoˇ zina 9. zámˇena promˇenn´ ych

(0,1,0,1) Tabulka 9.1:

x2 a2

x2 a2

+

y2 b2

2

− xa2 − 2

y2 b2

=0

=0

=1

− xa2 = 1


84

Pˇ r´ıklad 40. Hyperbolu xy = 1 vyjádˇr´ıme v systému souˇradnic, kter´ y vznikne z p˚ uvodn´ıho systému otoˇcen´ım okolo poˇcátku o u ´hel α = π4 . ˇ sen´ı: Pro transformaci kartézského souˇradnicového systému danou rotac´ı o u Reˇ ´hel α plat´ı (obr. 9.9) x = x0 · cos α − y 0 · sin α ,

y = x0 · cos α + y 0 · sin α .

(9.18)

Dosad´ıme-li do dané rovnice xy = 1 vztahy (9.18), dostaneme (x0 ·cos α−y 0 ·sin α)·(x0 ·cos α+y 0 ·sin α) = 1 , (9.19) tj. 2

2

x0 · cos2 α − y 0 · sin2 α = 1 .

(9.20)

√

ysledn´ y tvar Dosad´ıme cos α = sin α = 22 a v´ rovnice dané hyperboly v kartézské soustavˇe souˇradnic (O, x0 , y 0 ) je x0 2 y 0 2 − =1, 2 2

(9.21)

tj. pro √ poloosy a, b z rovnice (9.14) plat´ı a = b = 2.

Obr´ azek 9.9:

V dalˇs´ım textu budeme pˇredpokládat, ˇze a11 = 0. Rovnici kuˇzeloseˇcky uprav´ıme na kanonický tvar a?20 (x − sx )2 + a?02 (y − sy )2 + a?10 (x − px ) + a?01 (y − py ) = a?00 ,

(9.22)

kde a?00 = 1 nebo a?00 = 0 a sx , sy , px , py jsou koeficienty, které udávaj´ı posunut´ı kuˇzeloseˇcky. Pˇrevod rovnice kuˇzeloseˇcky (bez sm´ıˇseného ˇclenu) na kanonick´ y tvar se provede pomoc´ı tzv. doplnˇen´ı kvadratických ˇclen˚ u na u ´plný ˇctverec. Pro kanonick´ y tvar rovnice kuˇzeloseˇcky nav´ıc plat´ı: 1. Alespoˇ n jeden z koeficient˚ u a?20 , a?02 je nenulov´ y. 2. Je-li a?20 6= 0, pak a?10 = 0. 3. Je-li a?02 6= 0, pak a?01 = 0. 4. Je-li a?10 6= 0, pak a?00 = 0. 5. Je-li a?01 6= 0, pak a?00 = 0.


85

6. Je-li a?00 = 0 a poˇcet záporn´ ych koeficient˚ u u kvadratick´ ych ˇclen˚ u je vˇetˇs´ı neˇz poˇcet kladn´ ych koeficient˚ u u kvadratick´ ych ˇclen˚ u, vynásob´ıme rovnici ˇc´ıslem −1. ´ Upravou rovnice kuˇzeloseˇcky na kanonick´ y tvar minimalizujeme poˇcet nenulov´ ych koeficient˚ u v rovnici kuˇzeloseˇcky. Pˇ r´ıklad 41. Je dána kuˇzeloseˇcka k obecnou rovnic´ı 2x2 − 4x + 4y + 5 = 0.

(9.23)

Urˇc´ıme kanonick´ y tvar rovnice kuˇzeloseˇcky k. ˇ sen´ı: Rovnici (9.23) nap´ıˇseme ve tvaru 2(x2 − 2x) + 4y + 5 = 0 a dvojˇclen (x2 − 2x) Reˇ dopln´ıme na u ´pln´ y ˇctverec, tj. x2 − 2x = (x − 1)2 − 1.

(9.24)

Levou stranu rovnice (9.23) lze upravit na tvar 2x2 − 4x + 4y + 5 = 2[(x − 1)2 − 1] + 4y + 5 = 2(x − 1)2 + 4y + 3 = 0.

(9.25)

V´ ysledn´ y kanonick´ y tvar rovnice dané kuˇzeloseˇcky je 3 2(x − 1)2 + 4(y + ) = 0. 4

(9.26)

Signaturou kuˇzeloseˇcky v kanonickém tvaru (9.22) rozum´ıme uspoˇra´danou ˇctveˇrici ˇc´ısel (k, z, l, j), kde • k, resp. z, udává poˇcet kvadratick´ ych ˇclen˚ u s kladn´ ym, resp. záporn´ ym, koeficientem, • l nab´ yvá hodnoty 0 nebo 1 podle toho, zda po u ´pravˇe má rovnice kuˇzeloseˇcky nenulov´ y koeficient u lineárn´ıho ˇclenu, • j nab´ yvá hodnoty 0 nebo 1 podle toho, které z tˇechto ˇc´ısel obsahuje pravá strana upravené rovnice kuˇzeloseˇcky. Poznamenejme, ˇze pro l = 1 je vˇzdy j = 0 a pro j = 0 je k ≥ z. V tab. 9.1 je uvedena klasifikace kuˇzeloseˇcek podle jejich signatur. Je-li u názvu kuˇzeloseˇcky uvedena poznámka zámˇena promˇenn´ ych“, znamená to, ˇze v uvedené rovnici ” m˚ uˇzeme vzájemnˇe zamˇenit promˇenné x a y. Napˇr. zamˇen´ıme-li v rovnici paraboly x2 −y = 0 (osou paraboly je osa y) promˇenné, dostaneme parabolu y 2 − x = 0 (osou této paraboly je osa x). Pˇ r´ıklad 42. Pro kuˇzeloseˇcku z pˇr´ıkladu 41 stanov´ıme signaturu a typ kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı: Z rovnice (9.26) plyne, ˇze signatura dané kuˇzeloseˇcky je (1,0,1,0). Podle tab. 9.1 Reˇ se jedná o parabolu. Vrchol V paraboly má souˇradnice V [1, − 34 ] a osa o (V ∈ o) paraboly je rovnobˇeˇzná s osou y.

´ VYJAD ´ REN ˇ Í KUZELOV ˇ ´ ´ ´ 9.2. VEKTOROVE YCH A VALCOV YCH PLOCH

9.2

86

Vektorov´ e vyj´ adˇ ren´ı kuˇ zelov´ ych a v´ alcov´ ych ploch

V kartézské soustavˇe souˇradnic v prostoru E3 pop´ıˇseme dané plochy vektorov´ ymi rovnicemi.

9.2.1

Obecn´ a kuˇ zelov´ a plocha

Obecná kuˇzelová plocha je tvoˇrena pˇr´ımkami, které procházej´ı jej´ım vrcholem V a prot´ınaj´ı jej´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivku k (V 6∈ k), která je dána vektorovou funkc´ı Y (v), v ∈ Iv (Iv je interval). Oznaˇcme Y bod ˇr´ıdic´ı kˇrivky k kuˇzelové plochy a X obecn´ y bod pˇr´ımky V Y kuˇzelové plochy (obr. 9.10). Vektorovou rovnici obecné kuˇzelové plochy lze zapsat ve tvaru X(u, v) = Y (v) + u(Y (v) − V ) ,

(9.27)

v n´ıˇz se vyskytuj´ı dva parametry: v ∈ Iv je parametr na kˇrivce k a u ∈ R je parametr na pˇr´ımce V X kuˇzelové plochy.

Obr´ azek 9.10:

9.2.2

Obr´ azek 9.11:

Obecn´ a v´ alcov´ a plocha

Obecná válcová plocha je tvoˇrena pˇr´ımkami, které maj´ı dan´ y smˇerov´ y vektor a prot´ınaj´ı danou ˇr´ıdic´ı kˇrivku k, danou vektorovou funkc´ı Y (v), v ∈ Iv . Oznaˇcme s smˇerov´ y vektor pˇr´ımky plochy a Y (t) bod, v nˇemˇz tato pˇr´ımka plochy prot´ıná ˇr´ıdic´ı kˇrivku k. Pro polohov´ y vektor X bodu pˇr´ımky válcové plochy (obr. 9.11) plat´ı X(u, v) = Y (v) + u · s ,

(9.28)

kde v ∈ Iv je parametr na ˇr´ıdic´ı kˇrivce k válcové plochy a u ∈ R je parametr na tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımce válcové plochy.

ˇ Í PLOCHY DRUHEHO ´ ˇ (KVADRIKY) V E3 9.3. ROTACN STUPNE

9.3

87

Rotaˇ cn´ı plochy druh´ eho stupnˇ e (kvadriky) v E3

Rotaˇcn´ı kvadrika vznikne rotac´ı kuˇzeloseˇcky k kolem nˇekteré jej´ı osy o. Pˇredpokládejme, ˇze rotuj´ıc´ı kuˇzeloseˇcka k leˇz´ı v rovinˇe (xz) a osa kuˇzeloseˇcky, okolo n´ıˇz kuˇzeloseˇcka rotuje, spl´ yvá s osou z. Kuˇzeloseˇcka k je dána implicitn´ı rovnic´ı f (x, z) = 0 – viz vztah 9.16. Uvaˇzujme bod X0 [x0 , 0, z0 ] na dané kuˇzeloseˇcce. Rotac´ı bodu X0 kolem osy z vzniká kruˇznice, pro jej´ıˇz body M [x, y, z] plat´ı x2 + y 2 = x20 , p p yrazu ± x2 + y 2 za x do rovnice f (x, z) = 0 dostáváme tj. x0 = ± x2 + y 2 . Dosazen´ım v´ rovnici rotaˇcn´ı kvadriky ve tvaru p f (± x2 + y 2 , z) = 0 . (9.29) z = z0 ,

Uveden´ y obecn´ y postup budeme nyn´ı aplikovat v konkrétn´ıch pˇr´ıpadech.

9.3.1

Kulov´ a plocha

Kulovou plochu vytvoˇr´ı kruˇznice o rovnici x 2 + z 2 − a2 = 0 pˇri rotaci kolem osy z. Podle (9.29) dostáváme rovnici x 2 + y 2 + z 2 − a2 = 0 .

(9.30)

Kulová plocha (9.30) je mnoˇzinou vˇsech bod˚ u v prostoru E3 , které maj´ı od poˇca´tku O danou vzdálenost a > 0.

9.3.2

Rotaˇ cn´ı elipsoid

Rotaˇcn´ı elipsoid vznikne rotac´ı elipsy o rovnici x2 z 2 + 2 −1=0 a2 b kolem osy z. Rovnice rotaˇcn´ıho elipsoidu je tedy x2 y 2 z 2 + + −1=0. (9.31) a2 a2 b 2 Pokud je a > b mluv´ıme o zploˇstˇelém elipsoidu a pro a < b o protáhlém elipsoidu. Pro a = b dostáváme kulovou plochu.

9.3.3

Rotaˇ cn´ı paraboloid

Rotaˇcn´ı paraboloid vytvoˇr´ıme rotac´ı paraboly o rovnici x2 − 2pz = 0 kolem osy z. Rovnice rotaˇcn´ıho paraboloidu je tvaru x2 + y 2 − 2pz = 0 .

(9.32)

´ ROVNICE KVADRIKY 9.4. OBECNA

9.3.4

88

Rotaˇ cn´ı hyperboloid jednod´ıln´ y

Rotaˇcn´ı hyperboloid jednod´ılný vytvoˇr´ıme rotac´ı hyperboly o rovnici x2 z 2 − 2 −1=0 a2 b kolem osy z, tj. okolo vedlejˇs´ı osy hyperboly. Dostáváme rovnici x2 y 2 z 2 + − 2 −1=0. a2 a2 b

9.3.5

(9.33)

Rotaˇ cn´ı hyperboloid dvoud´ıln´ y

Rotaˇcn´ı hyperboloid dvoud´ılný vytvoˇr´ıme rotac´ı hyperboly okolo jej´ı hlavn´ı osy. Uvaˇzujme proto hyperbolu (hlavn´ı osa hyperboly je v ose z) o rovnici z 2 x2 − 2 − 1 = 0. a2 b Rotac´ı okolo osy z vznikne rotaˇcn´ı hyperboloid dvoud´ıln´ y o rovnici −

x2 y 2 z 2 − 2 + 2 −1=0. b2 b a

Obr´ azek 9.12:

9.4

(9.34)

Obr´ azek 9.13:

Obecn´ a rovnice kvadriky

Pokud uplatn´ıme na rotaˇcn´ı kvadriky afinn´ı transformaci dostaneme obecné kvadriky. Existuj´ı vˇsak kvadriky, které nejsou odvozeny z rotaˇcn´ıch kvadrik (napˇr. hyperbolick´ y


Obr´ azek 9.14:

89

Obr´ azek 9.15:

paraboloid). Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe kuˇzeloseˇcek uvedeme obecnou rovnici kvadriky a provedeme u ´plnou diskusi typ˚ u kvadrik. K tomu pouˇzijeme opˇet pojem signatura. Kvadrikou neboli plochou druhého stupnˇe rozum´ıme plochu, kterou lze popsat rovnic´ı (indexy i, j, k u koeficient˚ u aijk jsou odvozeny z exponent˚ u u x, y a z v daném ˇclenu) a200 x2 + a020 y 2 + a002 z 2 + 2(a110 xy + a101 xz + a011 yz) + 2(a100 x + a010 y + a001 z) + a000 = 0 , (9.35) kde alespoˇ n jeden z koeficient˚ u u ˇclen˚ u druhého stupnˇe (takov´ ych ˇclen˚ u je ˇsest) je nenulov´ y. V maticovém tvaru lze psát     a200 , a110 , a101 , a100 x  a110 , a020 , a011 , a010   y     (x, y, z, 1) ·  (9.36)  a101 , a011 , a002 , a001  ·  z  = 0 . a100 , a010 , a001 , a000 1 Pro regulárn´ı kvadriky plat´ı, ˇze matice koeficient˚ u v rovnici (9.36) je regulárn´ı. Regulárn´ımi kvadrikami jsou: kulová plocha, elipsoid (obr. 9.12), eliptick´ y paraboloid (obr. 9.13), hyperbolick´ y paraboloid (obr. 9.14, 9.15 a 9.16), jednod´ıln´ y hyperboloid (obr. 9.17) a dvoud´ıln´ y hyperboloid (obr. 9.19). Ze singulárn´ıch kvadrik uved’me (kruhovou) kuˇzelovou plochu (obr. 9.20), eliptickou válcovou plochu (obr. 9.21), parabolickou válcovou plochu 9.20), (obr. 9.22) a hyperbolickou válcovou plochu (obr. 9.23). 9.20), Urˇcen´ı kanonického tvaru kvadriky pro pˇr´ıpad nulov´ ych koeficient˚ u u sm´ıˇsen´ ych kvadratick´ ych ˇclen˚ u v rovnici kvadriky provád´ıme analogick´ ym postupem, jako v pˇr´ıpadˇe kuˇzeloseˇcek. Definice signatury kanonického tvaru rovnice kvadriky a kuˇzeloseˇcky je stejná. Poznamenejme, ˇze kanonick´ y tvar rovnice kvadriky neobsahuje v´ıce neˇz jeden lineárn´ı ˇclen (rovnˇeˇz tato u ´prava se dosáhne pomoc´ı transformace systému souˇradnic). V tab. 9.2 a 9.3 je uvedena u ´plná klasifikace kvadrik.


90

Obr´ azek 9.16: Pˇ r´ıklad 43. Rozhodneme, zda kvadrika daná rovnic´ı x2 − 4x + 2y 2 + z + 1 = 0

(9.37)

je regulárn´ı. ˇ sen´ı: Sestav´ıme maticov´ Reˇ y tvar rovnice dané kvadriky – viz rovnice (9.36):     1, 0, 0, −2 x  0, 2, 0,   y  0   =0. (x, y, z, 1) ·  1 ·  0, 0, 0, z  2 1 −2, 0, 2 , 1 1

(9.38)

Pro matici A ˇra´du 4 ze vztahu (9.38) vypoˇcteme jej´ı determinant. Provedeme-li napˇr. rozvoj podle tˇret´ıho ˇra´dku, zjist´ıme, ˇze |A| = − 12 . Daná kvadrika je tedy regulárn´ı. Pˇ r´ıklad 44. Stanov´ıme typ kvadriky dané rovnic´ı 4x2 − 8x + y 2 − 4y + z 2 + 4 = 0

(9.39)

a urˇc´ıme jej´ı urˇcuj´ıc´ı prvky (stˇred, poloosy apod.). ˇ sen´ı: Provedeme doplnˇen´ı ˇclen˚ Reˇ u (4x2 − 8x) a (y 2 − 4y) na u ´plné ˇctverce. Obdrˇz´ıme 4x2 − 8x + y 2 − 4y + z 2 + 4 = = [4(x − 1)2 − 4] + [(y − 2)2 − 4] + z 2 + 4 = = 4(x − 1)2 + (y − 2)2 + z 2 − 4 = 0

(9.40)


91

Obr´ azek 9.17:

Obr´ azek 9.18:

Kanonick´ y tvar rovnice kvadriky je tud´ıˇz (y − 2)2 z 2 (x − 1) + + =1. 4 4 2

Signatura dané kvadriky je (3, 0, 0, 1) a podle tab. 9.2 jde o elipsoid. Stˇred elipsoidu S má souˇradnice S[1, 2, 0] a pro poloosy plat´ı a = 1, b = c = 2. Protoˇze dvˇe poloosy maj´ı stejnou délku, jde o elipsoid rotaˇcn´ı. Osou rotace je rovnobˇeˇzka s osou x a protoˇze je a < b, jde o elipsoid zploˇstˇel´ y. Pˇ r´ıklad 45. Sestav´ıme rovnici kulové plochy, která se dot´ yká rovin (xy) a (yz) a má stˇred na pˇr´ımce o:

x=1−t,

y = 2 + 2t ,

z =3+t,

t∈R.

ˇ sen´ı: Nejprve urˇc´ıme stˇred S ∈ o hledané kulové plochy. Mnoˇzinou stˇred˚ Reˇ u vˇsech kulov´ ych ploch, které se dot´ ykaj´ı dan´ ych souˇradnicov´ ych rovin, jsou dvˇe roviny σ1 a σ2 (pˇri vynechán´ı bod˚ u osy y). Plat´ı σ1 :

x=z,

σ2 :

x = −z .

Snadno stanov´ıme pr˚ useˇc´ık S roviny σ1 s pˇr´ımkou o. Mus´ı platit 1 − t = 3 + t, tj. t = −1. Urˇcili jsme stˇred S[2, 0, 2] hledané kulové plochy. Polomˇer r je urˇcen vzdálenost´ı bodu S od dan´ ych souˇradnicov´ ych rovin, tj. r = 2. Pro rovinu σ2 se ukáˇze, ˇze s pˇr´ımkou o nemá spoleˇcn´ y bod, tj. jsou spolu rovnobˇeˇzné.


92

Obr´ azek 9.19: Daná u ´loha má tedy jediné ˇreˇsen´ı a t´ım je kulová plocha o rovnici (x − 2)2 + y 2 + (z − 2)2 = 4 , neboli x2 + y 2 + z 2 − 4x − 4z + 4 = 0 . Pˇ r´ıklad 46. Pro kvadriku danou rovnic´ı (9.37) stanov´ıme typ kvadriky a jej´ı základn´ı urˇcuj´ıc´ı prvky. Pak urˇc´ıme i ˇrezy kvadriky rovinami rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicov´ ymi rovinami. ˇ sen´ı: Danou rovnici x2 − 4x + 2y 2 + z + 1 = 0 uprav´ıme na kanonick´ Reˇ y tvar. Obdrˇz´ıme rovnici (x − 2)2 + 2y 2 + (z − 3) = 0 . (9.41) Signatura kvadriky (9.41) je (2,0,1,0), tj. podle tab. 9.2 jde o eliptick´ y paraboloid (nen´ı rotaˇcn´ı). Pro vrchol paraboloidu plat´ı V [2, 0, 3]. Osa paraboloidu je rovnobˇeˇzná s osou z. Stanov´ıme ˇrezy plochy rovinami rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicov´ ymi rovinami. Uvaˇzujme nejprve rovinu rovnobˇeˇznou s rovinou (xy), tj. rovinu o rovnici y = y0 , kde y0 ∈ R je ˇ takovou rovinou má rovnici konstanta. Rez (x − 2)2 + 2y02 + (z − 3) = (x − 2)2 + (z + 2y02 − 3) = 0 , tj. ˇrezy rovinami rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicovou rovinou (xz) jsou shodné paraboly. Podobnˇe ˇrezem rovinou rovnobˇeˇznou s rovinou (yz), tj. rovinou o rovnici x = x0 , kde x0 ∈ R je konstanta, jsou shodné paraboly.


Obr´ azek 9.20:

93

Obr´ azek 9.21:

ˇ je kuˇzeloseˇcka Dále stanov´ıme ˇrez rovinou z = z0 , kde z0 ∈ R je konstanta. Rezem o rovnici (x − 2)2 + 2y 2 = −(z0 − 3); . Pro z0 < 3 (pak je pravá strana uvedené rovnice kladná) je tedy t´ımto ˇrezem elipsa. Ukázali jsme tak, ˇze dan´ y eliptick´ y paraboloid leˇz´ı pod rovinou z = 3“. ”


Obr´ azek 9.22:

94

Obr´ azek 9.23:


95

ˇ C.

N´ azev

Signatura

Rovnice

1.

Elipsoid kulová plocha . . . a = b = c rotaˇcn´ı elipsoid pro dvˇe ˇc´ısla stejná

(3,0,0,1)

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

=1

2.

Hyperboloid jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı pro a = b (osa rotace z, cyklická zámˇena pro dalˇs´ı osy)

(2,1,0,1)

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

=1

3.

Hyperboloid dvoud´ıln´ y rotaˇcn´ı pro . . . a = b (osa rotace z, cyklická zámˇena pro dalˇs´ı osy)

(1,2,0,1)

− xa2 − yb2 + zc2 = 1

4.

Kuˇ zelov´ a plocha rotaˇcn´ı pro a = b (osa rotace z, cyklická zámˇena pro dalˇs´ı osy)

(2,1,0,0)

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

5.

Eliptick´ y paraboloid p > 0, rotaˇcn´ı pro a = b (osa rotace z, cyklická zámˇena pro dalˇs´ı osy), (2,0,1,0) znaménko urˇcuje poloprostor z ≤ 0 nebo z ≥ 0 , v nˇemˇz plocha leˇz´ı

x2 a2

+

y2 b2

±

z p

=0

6.

Hyperbolick´ y paraboloid p > 0, cyklická zámˇena promˇenn´ ych pro dalˇs´ı osy, znaménko urˇcuje orientaci parabol v rovinách xz (1,1,1,0) a yz

x2 a2

−

y2 b2

±

z p

=0

Tabulka 9.2:

2

2

2

=0


96

ˇ C.

N´ azev

Signatura

Rovnice

7.

Eliptick´ y v´ alec rotaˇcn´ı pro a = b (osa rotace z, cyklická zámˇena pro dalˇs´ı osy)

(2,0,0,1)

x2 a2

+

y2 b2

=1

8.

Hyperbolick´ y v´ alec cyklická zámˇena pro dalˇs´ı osy

(1,1,0,1)

x2 a2

−

y2 b2

=1

9.

Parabolick´ y v´ alec p > 0, cyklická zámˇena pro dalˇs´ı osy, znaménko urˇcuje poloprostor y ≤ 0 nebo y ≥ 0 , v nˇemˇz plocha leˇz´ı

(1,0,1,0)

x2 a2

±

y p

10.

R˚ uznobˇ eˇ zn´ e roviny cyklická zámˇena promˇenn´ ych

(1,1,0,0)

x2 a2

−

y2 b2

11.

Rovnobˇ eˇ zn´ e roviny cyklická zámˇena promˇenn´ ych

(1,0,0,1)

x2 a2

=1

12.

Totoˇ zn´ e roviny zámˇena promˇenn´ ych

(1,0,0,0)

x2 = 0

13.

Bod – poˇ c´ atek

(3,0,0,0)

x2 a2

+

y2 b2

+

14.

Pˇ r´ımka – osa z cyklická zámˇena promˇenn´ ych

(2,0,0,0)

x2 a2

+

y2 b2

=0

Pr´ azdn´ a mnoˇ zina pˇr´ıpadnˇe zámˇena promˇenn´ ych

(0,3,0,1) (0,2,0,1) (0,1,0,1)

− xa2 − yb2 − zc2 = 1 2 2 − xa2 − yb2 = 1 2 − xa2 = 1

15. 16. 17.

Tabulka 9.3:

2

=0

=0

2

z2 c2

=0

2

ˇ ˇ ´ POLOZE 9.5. KUZELOSE CKY A KVADRIKY V OBECNE

9.5

97

Kuˇ zeloseˇ cky a kvadriky v obecn´ e poloze

V pˇredcházej´ıc´ım textu jsme uvedli obecné vyjádˇren´ı kuˇzeloseˇcek – vztah (9.17) a pro kvadriky – vztah (9.36). Obecnˇe m˚ uˇzeme napsat obˇe rovnice ve tvaru Xh · Ah · XTh = 0, kde Xh je bod objektu v homogenn´ıch souˇradnic´ıch a Ah je matice dané kuˇzeloseˇcky nebo kvadriky. Pro potˇreby dalˇs´ıho v´ ypoˇctu oznaˇcme A tu ˇcást matice Ah , která obsahuje koeficienty u kvadratick´ ych ˇclen˚ u, tj. pro kvadriky plat´ı   a200 , a110 , a101 A =  a110 , a020 , a011  a101 , a011 , a002 a oznaˇcme B = (a100 , a010 , a001 ), X = (x, y, z). Obecnou rovnici kvadriky pak m˚ uˇzeme psát ve tvaru X A, BT · =0 (X, 1) · B, a000 1 Urˇc´ıme odpov´ıdaj´ıc´ı transformaci daného kvadratického objektu tak, aby po transformaci byly ve v´ ysledné rovnici nulové koeficienty u sm´ıˇsen´ ych kvadratick´ ych ˇclen˚ u. Urˇcujeme tedy matici Th popisuj´ıc´ı afinn´ı transformaci: T, 0T Th = , P, 1 kde T je ˇctvercová matice ˇrádu 3, P je vektor o tˇrech sloˇzkách a 0 je nulov´ y vektor o tˇrech sloˇzkách. Vzhledem k pravidlu (X · Y)T = YT · XT pro transponován´ı souˇcinu matic obdrˇz´ıme A, BT X T (X, 1) · Th · · Th · = 0, B, a000 1 tedy po uplatnˇen´ı asociativity násoben´ı matic a po dosazen´ı ˜T T · A · TT , B X (X, 1) · · = 0. ˜ 1 B , a ˜000 I kdyˇz to pro dalˇs´ı u ´vahy nen´ı podstatné, uved’me, ˇze ˜ = P · A · TT + B · TT B a ˜000 = P · A · PT + B · PT + P · BT + a000 .

(9.42)

Dále si vˇsimneme souˇcinu T · A · TT = D. Afinn´ı transformac´ı chceme dosáhnout toho, aby matice D byla diagonáln´ı, to totiˇz odpov´ıdá právˇe poˇzadavku, aby v rovnici kvadriky byly nulové koeficienty u sm´ıˇsen´ ych kvadratick´ ych ˇclen˚ u. V lineárn´ı algebˇre se dokazuje,

ˇ ˇ ´ POLOZE 9.5. KUZELOSE CKY A KVADRIKY V OBECNE

98

ˇze k symetrické matici (a matice A je symetrická) existuj´ı uvedené matice D a T. Matice D má za diagonáln´ı prvky vlastn´ı ˇc´ısla matice A a transformaˇcn´ı matice T má za ˇra´dky vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı tˇemto vlastn´ım ˇc´ısl˚ um. Zcela stejnˇe lze postupovat i v pˇr´ıpadˇe vyˇsetˇrován´ı kuˇzeloseˇcek. Uvedené vztahy jsme zapsali maticovˇe, a tak se v pˇr´ıpadˇe kuˇzeloseˇcek jen sn´ıˇz´ı pˇr´ısluˇsn´ ym zp˚ usobem rozmˇery pouˇzit´ ych objekt˚ u. Na druhou stranu jsme neuvedli vˇsechny detaily vyˇsetˇrován´ı kvadratick´ ych objekt˚ u pomoc´ı vlastn´ıch vektor˚ u a vlastn´ıch ˇc´ısel pˇr´ısluˇsné matice. Jde napˇr. o pˇr´ıpad, kdy jsou dvˇe vlastn´ı ˇc´ısla matice stejná. V pˇr´ıpadˇe shodn´ ych nenulov´ ych vlastn´ıch ˇc´ısel matice kvadriky je kvadrika rotaˇcn´ı. Poznamenejme dále, ˇze nulové vlastn´ı ˇc´ıslo dokazuje, ˇze kvadratick´ y objekt je singulárn´ı apod. Uveden´ y postup si znovu objasn´ıme na pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 47. Urˇc´ıme typ a základn´ı charakteristiky kvadriky x2 + 2xy − 2xz = 1. ˇ sen´ı: Maticovˇe m˚ Reˇ uˇzeme psát 

1,  1, (x, y, z, 1) ·   −1, 0,

  1, −1, 0 x   0, 0, 0   y · 0, 0, 0   z 0, 0, −1 1

   = 0. 

Snadno zjist´ıme, ˇze matice kvadriky je singulárn´ı (tˇret´ı ˇra´dek je násobkem druhého ˇra´dku), tedy p˚ ujde o singulárn´ı kvadriku. Urˇc´ıme vlastn´ı ˇc´ısla a odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ı vektory matice   1, 1, −1 0 . A =  1, 0, −1, 0, 0 Sestav´ıme determinant λ − 1, −1, 1 λ, 0 det(λI − A) = −1, 1, 0, λ a obdrˇz´ıme rovnici λ2 (λ − 1) − λ − λ = 0, tj. λ(λ2 − λ − 2) = 0. Snadno zjist´ıme, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla matice A jsou λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 2. Nyn´ı urˇc´ıme vlastn´ı vektory matice A odpov´ıdaj´ıc´ı vypoˇcten´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um. Zároveˇ n vlastn´ı vektory znormujeme. Urˇcen´ı vlastn´ıch vektor˚ u provedeme ˇreˇsen´ım soustav A · (x, y, z)T = λi · (x, y, z)T , i = 1, 2, 3.

ˇ Í 9.6. CVICEN

Jedná se tedy o homogenn´ı soustavy  2,  1, V1 = A, V2 = −1,

99

s maticemi    1, −1 −1, 1, −1 1, 0  , V3 =  1, −2, 0  0, 1 −1, 0, −2

Normovan´ ymi vlastn´ımi vektory jsou napˇr. vektory √ √ √ 2 3 6 (0, 1, 1), v 2 = (1, −1, 1), v 3 = (−2, −1, 1). v1 = 2 3 6 Snadno sestav´ıme matice Th a vyjádˇr´ıme kvadriku v souˇradnicové soustavˇe (O, v 1 , v 2 , v 3 ). Plat´ı    √ √  2 2 0, , , 0 1, 1, −1, 0 2 2 √ √ √   3 0, 0   , − √33 , √33 , 0    1, 0, · · Th · Ah · TTh =  √36  0, 0   − 3 , − 66 , 66 , 0   −1, 0, 0, 0, 0, −1 0, 0, 0, 1    √ √  3 0, , − √36 , 0 0, 0, 0, 0 3 √ √  2  0   √2 , − √33 , − √66 , 0    0, −1, 0, . ·  2 =   0, 3 6 0, 2, 0   2,  , , 0 3 6 0, 0, 0, −1 0, 0, 0, 1 Kanonick´ y tvar rovnice dané kvadriky po transformaci souˇradnic je −˜ y 2 + 2˜ z 2 = 1. Jde o hyperbolickou válcovou plochu s ˇr´ıd´ıc´ı hyperbolou v rovinˇe urˇcené poˇcátkem a vektory v 2 a v 3 .

9.6

Cviˇ cen´ı

9.1 Kruˇznice má rovnici x2 + y 2 − 2x + 4y − 20 = 0. Napiˇste jej´ı vektorovou rovnici. [r(t) = (1 + 5 cos t, −2 + 5 sin t), t ∈ h0, 2π)] 9.2 Napiˇste vektorovou rovnici, resp. parametrické rovnice elipsy, která má stˇred S[2, −1] a poloosy a = 3, b = 2. Jej´ı hlavn´ı osa je rovnobˇeˇzná s osou x. [r(t) = (2 + 3 cos t, −1 + 2 sin t), t ∈ h0, 2π)] 9.3 Eliminujte parametr t z parametrick´ ych rovnic paraboly x = 3t, y = 4t−5t2 , t ∈ R. [y = 43 x − 59 x2 ] 9.4 Odvod’te parametrické rovnice obyˇcejné cykloidy, kterou opisuje bod kruˇznice odvaluj´ıc´ı se po pˇr´ımce. Polomˇer této kruˇznice je r. [x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), t ∈ R]

ˇ Í 9.6. CVICEN

100

9.5 Odvalován´ım pˇr´ımky po kˇrivce k vzniká jako dráha bodu tzv. evolventa dané kˇrivky k. Sestavte parametrické rovnice evolventy kruˇznice o polomˇeru r. [x = r(cos t + t sin t), y = r(sin t − t cos t), t ∈ R] 9.6 Vypoˇctˇete souˇradnice bod˚ u s parametry t = 0, π4 , π2 , 3π , π leˇz´ıc´ıch na kˇrivce r(t) = 4 √ √ ( 2 cos t, 2 cos t, 2 sin t). √ √ √ √ √ √ [[ 2, 2, 0], [1, 1, 2], [0, 0, 2], [−1, −1, 2], [− 2, − 2, 0]] 9.7 Napiˇste vektorovou a implicitn´ı rovnici rotaˇcn´ı kuˇzelové plochy, která má vrchol v poˇca´tku a jej´ı ˇr´ıdic´ı kruˇznice o rovnici x2 + y 2 = a2 leˇz´ı v rovinˇe z = 1. [r(u, v) = (av cos u, av sin u, v), u ∈ h0, 2π), v ∈ R, x2 + y 2 − a2 z 2 = 0] 9.8 Napiˇste vektorovou a implicitn´ı rovnici kuˇzelové plochy o vrcholu V v poˇca´tku O, jej´ıˇz ˇr´ıdic´ı kˇrivka k je elipsa o vektorové rovnici r(t) = (a cos t, b sin t, 1), a > 0, t ∈ h0, 2π). 2 2 [r(t, v) = (av cos t, bv sin t, v), v ∈ R, xa2 + yb2 − z 2 = 0] 9.9 Napiˇste vektorovou a implicitn´ı rovnici válcové plochy, jej´ıˇz ˇr´ıdic´ı parabola o rovnici y 2 −4x = 0 leˇz´ı v rovinˇe z = 0 a jej´ı pˇr´ımky maj´ı smˇer urˇcen´ y vektorem s = (1, 2, 3). t2 2 2 [r(t, v) = ( 4 + v, t + 2v, 3v), t ∈ R, v ∈ R, 9y + 4z − 12yz − 36x + 12z = 0] 9.10 Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe y = 0 a má rovnici (x − b)2 + z 2 = a2 . Pˇri otáˇcen´ı kolem osy z vytvoˇr´ı plochu, j´ıˇz ˇr´ıkáme anuloid. Napiˇste implicitn´ı rovnici této plochy. [4b2 (x2 + y 2 ) = (x2 + y 2 + z 2 + b2 − a2 )2 ] 9.11 Napiˇste vektorovou rovnici kulové plochy o stˇredu S a polomˇeru a.

[|X − S| = a]

9.12 Rotaˇcn´ı elipsoid má implicitn´ı rovnici x2 y 2 z 2 + + −1=0. a2 a2 b 2 Sestavte jeho parametrické rovnice pˇri pouˇzit´ı sférick´ ych souˇradnic. [x = a cos ϕ cos ψ, y = a sin ϕ cos ψ, z = b sin ψ, a > 0, b > 0, π π ϕ ∈ h0, 2π), ψ ∈ − 2 , 2 ] 9.13 Ukaˇzte, ˇze vˇsechny roviny rovnobˇeˇzné s osou z prot´ınaj´ı kvadriku o rovnici x2 + y 2 − z = 0 ve shodn´ ych parabolách. Návod: Ukaˇzte, ˇze jde o rotaˇcn´ı paraboloid a uvaˇzujte ˇrezy rovinami y =konst. 9.14 Ukaˇzte, ˇze rotac´ı pˇr´ımky p, která je mimobˇeˇzná s osou rotace a nen´ı k n´ı kolmá, vznikne jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid. [viz Návod: Osu rotace volte v ose z a pˇr´ımku p o smˇernici ab v rovinˇe x = a. ( 9.33)] 9.15 Urˇcete typ kvadriky 4x2 + y 2 − 4z 2 − 16x − 2y + 21 = 0. Zjistˇete jej´ı urˇcuj´ıc´ı prvky. [dvoud´ıln´ y (nerotaˇcn´ı) hyperboloid; stˇred S[2, 1, 0]] 9.16 Urˇcete typ kvadriky 2x2 − 3y 2 − 8x + 12y + 10 = 0. [hyperbolická válcová plocha]


101

9.17 Urˇcete typ kvadriky 4y 2 + z 2 + x + 16y − 3 = 0. Zjistˇete jej´ı urˇcuj´ıc´ı prvky. [eliptick´ y (nerotaˇcn´ı) paraboloid; vrchol V [19, −2, 0], osa rovnobˇeˇzná s osou x, ˇrezy rovinami x = x0 , x0 < 19, jsou elipsy] 9.18 Urˇcete typ kvadriky −4x2 + 9y 2 + 36z = 0 a stanovte ˇrezy rovinami y = λx, λ ∈ R. [hyperbolick´ y paraboloid; ˇrezem je pro λ 6= ± 23 parabola, pro λ = ± 23 jsou ˇrezem pˇr´ımky]

9.7


9.1 Kolika jednoduch´ ymi podm´ınkami, tj. napˇr. kolika obecn´ ymi body, je urˇcena kuˇzeloseˇcka? (Návod: Urˇcete poˇcet voliteln´ ych koeficient˚ u v obecné rovnici kuˇzeloseˇcky.) 9.2 Vyjmenujte rotaˇcn´ı kvadriky. 9.3 Kolika jednoduch´ ymi podm´ınkami, tj. napˇr. kolika obecn´ ymi body, je urˇcena kvadrika? (Návod: Urˇcete poˇcet voliteln´ ych koeficient˚ u v obecné rovnici kvadriky.) 9.4 Vysvˇetlete pojem kanonick´ y tvar rovnice kvadriky (kuˇzeloseˇcky). 9.5 Uved’te metody, kter´ ymi je moˇzné upravit obecnou rovnici kvadriky na kanonick´ y tvar. 9.6 Matice kuˇzeloseˇcky má vlastn´ı ˇc´ısla λ1 = 2, λ2 = 3. O jakou kuˇzeloseˇcku jde? (Návod: Jsou dvˇe moˇznosti.) 9.7 Matice kvadriky má vlastn´ı ˇc´ısla λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2. O jakou kvadriku jde? (Návod: Jsou dvˇe moˇznosti.)

Literatura [1] Bohne, E. – Klix, W.D.: Geometrie – Grundlagen f¨ ur Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag 1995. ˇ 2003. [2] Jeˇzek, F. – M´ıková, M.: Maticová algebra a analytická geometrie. Plzeˇ n, ZCU [3] Rogers, D.F. – Adams, J.A.: Mathematical Elements for Computer Graphics. New York, Mc Graw–Hill 1990. [4] Urban, A.: Deskriptivn´ı geometrie I. Praha, SNTL 1965. [5] Urban, A.: Deskriptivn´ı geometrie II. Praha, SNTL 1967.

102

Rejstˇ r´ık Afinn´ı transformace, 12 Archimédova serpentina, 52, 60 Asymptota kˇrivky, 21

Flexe, 23

Bod charakteristick´ y, 25 inflexn´ı, 22 uzlov´ y, 22 vratu, 22

Hlavn´ı normála, 23 Hyperbola parametrické vyjádˇren´ı, 81 vektorové vyjádˇren´ı, 81 Hyperboloid dvojd´ıln´ y rotaˇcn´ı, 44 jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı, 44 rotaˇcn´ı dvoud´ıln´ y, 88 jednod´ıln´ y, 88

Charakteristika kulové plochy, 59 obalové plochy, 56 roviny, 57 Cykloida, 26 prodlouˇzená, 26 prostá, 26 zkrácená, 26 Dilatace, 12 Doplnˇen´ı na u ´pln´ y ˇctverec, 84 Dráha bodu, 26 Ekvidistanta kˇrivky, 26 Elipsa parametrické vyjádˇren´ı, 79 vektorové vyjádˇren´ı, 79 Elipsoid protáhl´ y, 91 rotaˇcn´ı, 87, 91 zploˇstˇel´ y, 91 Epicykloida, 78 Evoluta kˇrivky, 26 Evolventa kˇrivky, 26 kruhová, 69

Gaussova kˇrivost plochy, 38 Globoid, 44

Identita, 13 Inverzn´ı transformace, 13 Kˇrivka, 20, 21 asymptota, 21 definice, 20 konstantn´ıho spádu, 28 na ploˇse, 35 parametrická, 35 normála, 21 parametrické rovnice, 21 pr˚ uniková, 35 regulárn´ı, 20 rektifikace, 22 rovinná, 21 seˇcna, 21 teˇcna, 21 tvoˇr´ıc´ı, 41 vektorov´ y popis, 21 Kˇrivost druhá, 23 Gaussova, 38 prvn´ı, 23 103

ˇ ÍK REJSTR

Komplanace (rozvinut´ı), 69 teˇcna kˇrivky, 71 Kroneckerovo delta, 7 Kruˇznice hrdlová, 43 kráterová, 43 oskulaˇcn´ı, 23 parametrické vyjádˇren´ı, 77 rovn´ıková, 43 rovnobˇeˇzková, 41 vektorové vyjádˇren´ı, 77 Kruhová evolventa, 69 Kuˇzeloseˇcka kanonick´ y tvar rovnice, 84 obecná rovnice, 81 regulárn´ı, 82 signatura, 85 Kuˇzelová plocha ˇr´ıd´ıc´ı, 26 Kulová plocha, 87 Kvadrika kanonick´ y tvar rovnice, 89 obecná rovnice, 88 regulárn´ı, 89 rotaˇcn´ı, 47, 87 regulárn´ı, 47 singularn´ı, 47 singulárn´ı, 89 Meridián, 41, 50 hlavn´ı, 41 Metoda kulov´ ych ploch, 60, 61 normálového ˇrezu, 69 teˇcn´ ych rovin, 60, 63 triangulace, 70 Normála hlavn´ı, 23 kˇrivky, 21 plochy, 35 Normálová rovina kˇrivky, 21 Normálov´ y ˇrez, 38

104

Obálka, 25 Obalová kˇrivka, 25 Obalová plocha, 56 v´ ypoˇcet, 65 Obrys plochy, 36 Oskulaˇcn´ı kruˇznice, 23 rovina, 23 Osová soumˇernost, 11 Otáˇcen´ı (rotace), 14 okolo bodu, 11 Pˇr´ıˇcn´ y profil, 50 Pˇr´ımka na ploˇse regularn´ı, 35 torzáln´ı, 35 Parabola parametrické vyjádˇren´ı, 80 vektorové vyjádˇren´ı, 80 Paraboloid eliptick´ y, 92 hyperbolick´ y, 95 rotaˇcn´ı, 87 Parametrické vyjádˇren´ı plochy, 34 Plocha ˇsroubová, 50 Archimédova serpentina, 52 cyklická, osová, 52 meridián, 50 pˇr´ımková, 52 pˇr´ımková, koso´ uhlá, 52 pˇr´ımková, otevˇrená, 52 pˇr´ımková, pravo´ uhlá, 52 pˇr´ımková, uzavˇrená, 52 parametrické vyjádˇren´ı, 50 polomeridián, 50 rozvinutelná, 52 vinut´ y sloupek, 52 definice, 33 explicitn´ı vyjádˇren´ı, 35 implicitn´ı vyjádˇren´ı, 35 kuˇzelová (obecná), 69, 86 kulová, 87 normála, 35

ˇ ÍK REJSTR

obalová, 56 obrys, 36 pˇrechodová, 72 parametrické vyjádˇren´ı, 34 regulárn´ı, 33 rotaˇcn´ı, 41 ˇrez, 45 anuloid, 44 dvojd´ıln´ y hyperboloid, 44 elipsoid, 44 globoid, 44 jednod´ıln´ y hyperboloid, 44 kvadrika, 47 paraboloid, 44 pr˚ unik, 47 rozvinutelná, 68 teˇcen prostorové kˇrivky, 69 teˇcná rovina, 35 tvoˇr´ıc´ı, 56 válcová eliptická, 89 hyperbolická, 89 parabolická, 89 válcová (obecná), 69, 86 v´ yvrtková, 52 Pohyb ˇsroubov´ y, 27 Poledn´ık, 41 Polomˇer kˇrivosti, 23 Polomeridián, 50 Posunut´ı (translace), 14 Povrˇska regularn´ı, 35 torzáln´ı, 35, 68 Pr˚ unik rotaˇcn´ıch kvadrik rozpad, 48 rotaˇcn´ıch ploch, 47 Redukovaná v´ yˇska závitu, 27 Rektifikace kˇrivky, 22 Rotace okolo bodu, 11 Rotace (otáˇcen´ı), 14

105

Rovina oskulaˇcn´ı, 23 Rozpad pr˚ uniku rotaˇcn´ıch kvadrik, 48 Rozvinut´ı, 69 Rozvinutelná ˇsroubová plocha, 52 Rozvinutelná plocha ˇsroubová rozvinut´ı, 71 ˇ ıd´ıc´ı kuˇzel R´ ˇsroubovice, 29 ˇ Rez ˇceln´ı, 50 na rotaˇcn´ı ploˇse, 45 normálov´ y, 38, 69 Seˇcna kˇrivky, 21 Skládán´ı transformac´ı, 13, 16 Souˇradnice afinn´ı, 9, 74 cylindrické, 74 homogenn´ı, 10 kartézské, 74 sférické, 74 Soumˇernost podle osy, 11 podle roviny, 15 Stˇred kˇrivosti, 23 ˇ Sroubov´ y pohyb, 27 ˇ Sroubovice, 27 kˇrivosti, 29 levotoˇcivá, 27 parametrické vyjádˇren´ı, 27 pravotoˇcivá, 27 Teˇcná kˇrivky v rozvinut´ı, 71 Teˇcna kˇrivky, 21 Torze, 23 Trajektorie bodu, 26 Transformace, 6 afinn´ı, 12, 15 inverzn´ı, 13 skládán´ı, 13, 16

ˇ ÍK REJSTR

Translace (posunut´ı), 14 Tvoˇr´ıc´ı plocha, 56 ´ Uhel kˇrivek, 21 Válcová plocha eliptická, 89 hyperbolická, 89 parabolická, 89 V´ yˇska závitu, 27 redukovaná, 27 V´ yvrtková plocha, 52 Vˇeta o obalové ploˇse, 65 o typech rozvinuteln´ ych ploch, 68 Vinut´ y sloupek, 52 Zmˇena mˇeˇr´ıtka, 12

106

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Recommend Documents