Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk Sˇ´ır Matematicky´ u´stav UK
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
1 / 18
O cˇem prˇedmeˇt bude
Chceme podat teoreticky´ za´klad nezbytny´ pro nejru˚zneˇjsˇ´ı geometricke´ aplikace: Pocˇ´ıtacˇova´ grafika, animace Pocˇ´ıtacˇovy´ design - CAD Robotika, mechanika, pocˇ´ıtacˇem rˇ´ızene´ obra´beˇnı´ (CNC stroje) Zpracova´nı´ obrazu, umeˇle´ videˇnı´ atd. . . . Jde tedy o matematiku, ale pokusı´me se ji co nejvı´ce motivovat a prova´zat na aplikace.
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
2 / 18
Souvislosti
Aplikovane´ goemetricke´ discipliny cˇerpajı´ prakticky ze vsˇech geometricky´ch disciplin, zejme´na Analyticka´ geometrie, afinnı´ geometrie Projektivnı´ geometrie Diferencia´lnı´ geometrie Deskriptivnı´ geometrie Algebraicka´ geometrie atd. . . . Pochopitelneˇ nalezneme vazby na prˇedmeˇt Pocˇ´ıtacˇova´ grafika XX a dalsˇ´ı aplikovane´ prˇedna´sˇky.
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
3 / 18
Jak bude vyuka probı´hat
Kombinace Teoreticke´ prˇedna´sˇky (definice du˚kazy) Uka´zek aplikacı´ Uka´zky kra´tky´ch implementacı´ (MATHEMATICA, MAPLE, APPLETY) Pocˇ´ıta´nı´ prˇ´ıkladu˚ (na papı´ru i na pocˇ´ıtacˇi) Samostudia (text, manua´l)
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
4 / 18
Prakticke´ za´lezˇitosti
Rozsah 2/0, Zk, 2 body, 3 kredity Strˇeda 9:00-10:30, poslucha´rna S1 Zkousˇka bude probı´hat formou diskuze nad trˇemi kra´tky´mi u´koly (progra´mky, ktere´ student vytvorˇ´ı v libovolne´m software (doporucˇuji MATHEMATICA, ktera´ je na MFF zdarma dostupny´). Prˇitom teorii souvisejı´cı´ s vybrany´mi te´maty by meˇl student zna´t podrobneˇ (vcˇetneˇ du˚kazu˚) a teorii ze zbytku prˇedna´sˇky orientacˇneˇ (definice, hlavnı´ vy´sledky, schopnost pocˇ´ıtat prˇ´ıklady). Dalsˇ´ı informace budou postupneˇ stra´nka´ch prˇedmeˇtu.
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
5 / 18
Na´plnˇ prˇedna´sˇky
Dva hlavnı´ prˇ´ıstupy ke geometrii Studovat objekty (Eukleide´s 300 p.n.l. a cela´ stara´ tradice) Studovat transformace a jejich invarianty (Felix Klein, Erlangen 1872) V tomto prˇedmeˇtu uplatnı´me prˇedevsˇ´ım druhy´ prˇ´ıstup. Objektu˚m aplikovane´ geometrie (Splajny, NURBS atd.) se v LS veˇnuje prˇedmeˇt Geometricke´ modelova´nı´ PGR021.
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
6 / 18
Grupy transformacı´ - otocˇenı´
–3
–2
–1
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
→
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
1
2
3
–3
7 / 18
Grupy transformacı´ - shodnost
–3
–2
–1
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
→
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
1
2
3
–3
8 / 18
Grupy transformacı´ - afinita
–3
–2
–1
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
→
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
1
2
3
–3
9 / 18
Grupy transformacı´ - projektivnı´
–3
–2
–1
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
→
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
1
2
3
–3
10 / 18
Pla´n na ZS 2013/14 - hlavnı´ te´mata
shodnosti a podobnosti ve 2D, popis, klasifikace, aplikace, Cauchy - Croftonova formule diferencia´lnı´ geometrie krˇivek (kvu˚li pohybu objektu pode´l krˇivky) shodnosti a podobnosti ve 3D, dimenze a klasifikace parametrizace shodnotı´ ve 3D pomocı´ kvaternionu˚ a dua´lnı´ch kvaternionu˚ interpolace poloh objektu ve 3D, animace projektivnı´ prostor, projektivnı´ transformace konecˇne´ projektivnı´ geometrie lepenı´ snı´mku˚, rekonstrukce 3D sce´ny, kalibrace fotoapara´tu
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
11 / 18
Spra´vne´ pochopenı´ geometrie je za´sadnı´ Singularity paralelnı´ho robota (Steward platform):
dveˇ sˇestice bodu˚ lezˇ´ı na kuzˇelosecˇka´ch a jsou projektivneˇ prˇ´ıbuzne´ ⇒ samopohyb sˇest spojnic tvorˇ´ı projektivnı´ linea´rnı´ komplex ⇒ robot loka´lneˇ ztra´cı´ stupenˇ volnosti ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
12 / 18
Spra´vne´ pochopenı´ geometrie je za´sadnı´ Obra´beˇnı´ rotoru turbodmychadla:
pouze rozvinutelne´ plochy je mozˇno obra´beˇt va´lcovou fre´zou, jinak nutneˇ docha´zı´ k podrˇezu chyby jsou cˇasto marneˇ odstranˇova´ny pokusy o vysˇsˇ´ı kvalitu a prˇesnost fre´zova´nı´ na´vrh spra´vne´ho na´stroje je obtı´zˇny´ geometricky´ proble´m ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
13 / 18
Repe´ry pode´l krˇivky Uvazˇujeme pode´l dane´ krˇivky kolmy´ jednotkovy´ vektor. Ten spolu s tecˇny´m jednotkovy´m vektorem urcˇuje repe´r.
Nalevo je Frenetu˚v repe´r, napravo repe´r minimizujı´cı´ rotaci.
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
14 / 18
Aplikace v grafice
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
15 / 18
Aplikace v CAD - Sweep surfaces
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
16 / 18
Eukleidovske´ shodnosti - zejme´na ve 2D
Motivace: Jak vypadajı´ rovnice posunutı´, otocˇenı´, osove´ a strˇedove´ soumeˇrnosti Sestrojte rovnostranny´ troju´helnı´k, jehozˇ jeden vrchol je pevneˇ da´n a zbyle´ dva lezˇ´ı na dvou dany´ch prˇ´ımka´ch. Analyzujte a vykreslete kuzˇelosecˇku s rovnicı´ 52x 2 − 72xy + 73y 2 − 280x + 290y + 325 = 0 Animujte „co nejkratsˇ´ı“ a „co nejrovnomeˇrneˇjsˇ´ı“ prˇesun objektu v rovineˇ z jedne´ polohy do druhe´.
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
17 / 18
Eukleidovske´ shodnosti Definice: Zobrazenı´ f : Rn → Rn se nazy´va´ shodne´, jestlizˇe pro kazˇde´ dva body x, y ∈ Rn platı´ |x − y| = |f (x) − f (y)|. Veˇta: Kazˇde´ shodne´ zobrazenı´ f : Rn → Rn ma´ tvar f (x) = A · x + p, kde p ∈ Rn je libovolny´ vektor a A je matice n × n splnˇujı´cı´ A · AT = AT · A = E. Takovou matici nazy´va´me ortonorma´lnı´ nebo te´zˇ unita´rnı´.
ˇ ´ır (MU ´ UK) - Geometrie pro pocˇı´tacˇovou grafiku - PGR020 Zbyneˇk S
18 / 18
