Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání
1. díl Ivona Spurná
Nakladatelství a vydavatelství
w w w. co mp u t er med i a. cz
R
Obsah
TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl • Úvod – Gaspard Monge • Souřadný systém, zobrazení bodu • Zobrazení přímky • Stopníky obecné přímky • Sklopení přímky • Zobrazení roviny • Bod a přímka v rovině, odchylka roviny od průmětny • Obrazce v rovině • Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice rovin • Průsečík přímky s rovinou • Průnik rovinných obrazců • Kolmost přímky a roviny • Otočení roviny do průmětny, osová afinita
2. díl • Zobrazení hranolu • Řez hranolu • Síť hranolu • Průsečík přímky s hranolem • Zobrazení jehlanu • Středová kolineace a řez jehlanu • Síť jehlanu • Průsečík přímky s jehlanem • Kuželosečky • Zobrazení válce • Řez válce • Síť válce • Průnik přímky s válcem • Zobrazení kuželu • Řez kuželu • Síť kuželu • Průsečíky přímky s kuželem • Koule – zobrazení, řez, průnik s přímkou • Průnik těles 3
Díl
Deskriptivní geometrie
1
Mongeovo promítání
Obsah 1. dílu 1 Úvod .....................................................................................................................................8 Gaspard Monge ................................................................................................................................................................. 8 Pravoúhlé promítání na dvě průmětny ......................................................................................................................... 9
2 Souřadný systém, zobrazení bodu..................................................................................12 Souřadný systém ............................................................................................................................................................. 12 Zobrazení bodu ............................................................................................................................................................... 12 Kvadranty ......................................................................................................................................................................... 13 Příklad – zobrazení bodů ............................................................................................................................................... 14 Cvičení – zobrazení bodů, kvadranty .......................................................................................................................... 15
3 Zobrazení přímky ..............................................................................................................16 Zobrazení přímky dané dvěma body ........................................................................................................................... 16 Přímka rovnoběžná s jinou přímkou ............................................................................................................................ 17 Přímka rovnoběžná s průmětnou ................................................................................................................................. 18 Přímka kolmá na průmětnu........................................................................................................................................... 20 Příklad – přímka rovnoběžná s nárysnou ................................................................................................................... 21 Cvičení – zobrazení přímky ........................................................................................................................................... 22
4 Stopníky obecné přímky ..................................................................................................23 Příklad – stopníky přímky ............................................................................................................................................. 24 Příklad – stopníky přímky ............................................................................................................................................. 25 Stopníky přímky rovnoběžné s nárysnou ................................................................................................................... 26 Stopníky přímky rovnoběžné s půdorysnou .............................................................................................................. 26 Stopníky přímky rovnoběžné s oběma průmětnami ................................................................................................. 27 Stopníky přímky kolmé k nárysně ............................................................................................................................... 27 Stopníky přímky kolmé k půdorysně .......................................................................................................................... 28 Cvičení – stopníky přímky ............................................................................................................................................. 28 Zobrazení přímky kolmé k základnici ......................................................................................................................... 29
5 Sklopení přímky ................................................................................................................30 Stopníky přímky kolmé k základnici ........................................................................................................................... 31 Skutečná velikost úsečky................................................................................................................................................ 32 Sklopení úsečky do půdorysny – skutečná velikost .................................................................................................. 33 Sklopení do nárysny ....................................................................................................................................................... 33 Cvičení – skutečná velikost úsečky .............................................................................................................................. 34
6 Zobrazení roviny ...............................................................................................................35 Stopy roviny ..................................................................................................................................................................... 35 Zadání roviny souřadnicemi ......................................................................................................................................... 35 Rovina ve speciálních polohách .................................................................................................................................... 37 Rovina zadaná dvojicí přímek....................................................................................................................................... 40 Rovina zadaná přímkou a bodem................................................................................................................................. 41 Rovina zadaná trojicí bodů ............................................................................................................................................ 41 Cvičení – rovina ............................................................................................................................................................... 42
7 Bod a přímka v rovině, odchylka roviny od průmětny...................................................43 Hlavní přímky roviny ..................................................................................................................................................... 43 Vyhledání chybějícího průmětu bodu v rovině .......................................................................................................... 44
4
Obsah
Cvičení – hlavní přímky roviny .................................................................................................................................... 46 Spádová přímka roviny .................................................................................................................................................. 46 Odchylka roviny od průmětny ..................................................................................................................................... 47 Příklad – hlavní a spádové přímky roviny .................................................................................................................. 48 Příklad – rovina zadaná spádovou přímkou .............................................................................................................. 50 Příklad – odchylka roviny od průmětny ..................................................................................................................... 50 Cvičení – rovina ............................................................................................................................................................... 53
8 Obrazce v rovině ...............................................................................................................54 Příklad – nalezení chybějícího nárysu obrazce v rovině ........................................................................................... 54 Příklad – nalezení chybějícího půdorysu obrazce v rovině ...................................................................................... 56 Příklad – chybějící průměty bodů obrazce v rovině .................................................................................................. 58 Cvičení – obrazce v rovině ............................................................................................................................................. 60
9 Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice rovin .............................................................61 Průsečnice různoběžných rovin .................................................................................................................................... 61 Průsečnice rovin – speciální případy............................................................................................................................ 62 Cvičení – průsečnice rovin ............................................................................................................................................. 64
10 Průsečík přímky s rovinou .............................................................................................65 Sestrojení průsečíku přímky s rovinou ........................................................................................................................ 66 Průsečík přímky s rovinou ve zvláštní poloze ............................................................................................................ 68 Cvičení – průsečík přímky s rovinou ........................................................................................................................... 70
11 Průnik rovinných obrazců ..............................................................................................71 Sestrojení průniku dvou rovinných obrazců............................................................................................................... 74 Příklad – sestrojení průniku rovinných obrazců – krycí přímka.............................................................................. 78 Cvičení – průnik rovinných obrazců ............................................................................................................................ 83
12 Kolmost přímky a roviny ................................................................................................84 Přímka kolmá k rovině ................................................................................................................................................... 84 Příklad – přímka kolmá k rovině .................................................................................................................................. 84 Rovina kolmá k přímce .................................................................................................................................................. 84 Příklad – rovina kolmá k přímce................................................................................................................................... 86 Cvičení – kolmost přímky a roviny .............................................................................................................................. 87
13 Otočení roviny do průmětny, osová afinita...................................................................88 Osová afinita .................................................................................................................................................................... 88 Příklad – osová afinita .................................................................................................................................................... 88 Otočení bodu roviny (do půdorysny) .......................................................................................................................... 89 Příklad – skutečná velikost obrazce.............................................................................................................................. 91 Příklad – otočení roviny kolmé k nárysně ................................................................................................................... 91 Příklad – sestrojení obrazce zadaného tvaru ............................................................................................................... 92 Příklad – sestrojení pravidelného pětiúhelníka .......................................................................................................... 98 Cvičení – otočení roviny a afinita.................................................................................................................................. 99
5
1 Úvod
Pravoúhlé promítání na dvě průmětny
A
A2
A1
Obr. 1-1
Princip této zobrazovací metody spočívá v tom, že se bod v prostoru promítne pod pravým úhlem do vodorovné průmětny – tzv. půdorysny, a pod pravým úhlem do svislé průmětny – tzv. nárysny. Obě průmětny – roviny, do nichž se bod promítá – jsou vzájemně kolmé (obr. 1-1). První průmět bodu do půdorysny se nazývá půdorys bodu a značí se dolním indexem 1, druhý průmět bodu do nárysny se nazývá nárys bodu a značí se dolním indexem 2.
A2
A
nárysna
A1
x=x1,2
A1
Obr. 1-2 Aby se oba průměty bodu – nárys i půdorys – mohly nakreslit na jednu společnou rovnou plochu, je potřeba jednu průmětnu otočit do druhé okolo jejich společné přímky – průsečnice x. Půdorysna se sklopí – otočí se o 90° – do nárysny okolo přímky x – průsečnice obou průměten. Sklopení jedné průmětny do druhé se nazývá sdružení průměten (obr. 1-2). Přímka x se nazývá základnice. Přímka x má také své dva průměty – nárys a půdorys. Splývají spolu s původní přímkou a tento splývající půdorysný a nárysný průmět přímky x se značí x1,2. Jestliže původním bodem, jeho půdorysem a nárysem v prostoru proložíte rovinu – tzv. promítací rovinu, je tato rovina kolmá na nárysnu i půdorysnu. Průsečnice promítací roviny a nárysny je kolmá na základnici x a také průsečnice promítací roviny a půdorysny je kolmá na základnici x. Po sklopení půdorysny do nárysny obě kolmé průsečnice promítací roviny a půdorysny, resp. nárysny, splynou v jednu přímku kolmou na základnici x.
7
Díl
Deskriptivní geometrie
1
Mongeovo promítání
Půdorys i nárys bodu pak leží na kolmici k základnici x. Tato kolmá přímka se nazývá ordinála. Průmětům bodu A – A1 a A2 – se říká sdružené průměty (obr. 1-3). Podívejte se na obrázek (obr. 1-3) a zkuste říci, jak vysoko je bod A nad půdorysnou. V prostoru je to snadné. V levé části obrázku v prostorovém zobrazení je vidět, že tato vzdálenost je rovna vzdálenosti bodu A a jeho půdorysného průmětu A1 (před sklopením půdorysny). Když tuto informaci přeneseme do obrázku vpravo, kde je již vidět nárys i půdorys situace v jedné rovině, je zřejmé, že tato vzdálenost je také rovna vzdálenosti nárysu bodu A2 od základnice x1,2. Podobně lze z prostorového obrázku vlevo odvodit, že vzdálenost bodu A od nárysny je rovna vzdálenosti bodu A a jeho nárysného průmětu A2. Převeďte situaci v prostoru do roviny, kdy se půdorysna sklopila do nárysny. V pravé části obrázku je tato situace nakreslena. Vzdálenost půdorysu bodu A1 od základnice x1,2 je rovna vzdálenosti původního bodu A od nárysny.
A
A2
A2 x1,2
A1
x=x1,2
A1
A1
Obr. 1-3 Naučte se na situaci v prostoru dívat dvěma způsoby. Když se díváte shora, dostáváte půdorysný pohled. Díváte-li se na situaci zepředu kolmo k nárysně, dostáváte nárysný pohled (obr. 1-4).
A2
A
A1
x=x1,2
A1
Obr. 1-4
8
1 Úvod
Podívejte se na následující obrázek (obr. 1-5). Je zde zobrazen jistý objekt, je znázorněn svým půdorysem a nárysem. Dokážete si představit, jak vypadá tento objekt v prostoru? Jestliže jste pochopili, že nárys objektu je umístěn obvykle nad základnicí x1,2 a je značen dolním indexem 2 a že půdorys je umístěn obvykle pod základnicí x1,2 a je značen dolním indexem 1, pak již víte, že zde znázorněný objekt je pětiboký jehlan.
V2
D2 C2
E2 A2
x1,2
B2
D1
V1
E1
A1
C1 B1
Obr. 1-5 Vrcholy A, B, C, D, E leží v půdorysně, neboť jejich vzdálenost od půdorysny je 0. To je vidět v nárysu, zde leží nárysy bodů A2 – E2 na základnici x1,2. Odtud je tedy zřejmé, že body A – E mají nulovou vzdálenost od půdorysny, tudíž v ní leží. Vrchol V neleží v půdorysně, jeho vzdálenost od půdorysny lze opět zjistit z nárysu. Vidíte, že nárys bodu V2 má od základnice x1,2 nenulovou vzdálenost, a to je jeho vzdálenost od půdorysny. Prostorové zobrazení tohoto objektu by mohlo vypadat následovně (obr. 1-6):
Obr. 1-6
9
Díl
Deskriptivní geometrie
1
Mongeovo promítání
2 SOUŘADNÝ SYSTÉM, ZOBRAZENÍ BODU Souřadný systém Aby bylo možné pracovat s body, přímkami a jejich vzájemnými vztahy, je potřeba do prostoru umístit souřadný systém a pomocí něj pak polohu objektů popisovat. Osa z bude svislá osa, kolmá na půdorysnu. Osa y bude vodorovná osa, kolmá na nárysnu. Osa x bude současně kolmá na osu y a z, tj. bude umístěna do průsečnice půdorysny a nárysny. Pro další upřesnění je nutné dohodnout, na kterou stranu budou směřovat kladné a na kterou záporné hodnoty. U osy z to bude intuitivní, kladné hodnoty budou směřovat nahoru. U osy y budou kladné hodnoty směřovat před nárysnu. U osy x je možné zvolit buď levotočivý pravoúhlý souřadný systém, kdy budou kladné hodnoty x vynášeny doprava, nebo pravotočivý pravoúhlý souřadný systém, kdy budou kladné hodnoty x vynášeny směrem doleva od počátku souřadného systému. V této knize budeme pracovat s levotočivým pravoúhlým souřadným systémem, kdy budou kladné hodnoty x vynášeny od počátku souřadného systému směrem doprava. Na následujícím obrázku (obr. 2-1) vidíte umístění levotočivého pravoúhlého souřadného systému v prostoru a jeho interpretaci po sdružení průměten do jedné roviny.
kladné hodnoty z - kladné
z x kladné hodnoty
0 ! " systému
y kladné hodnoty
0
x - kladné
y - kladné Obr. 2-1
Zobrazení bodu Abyste mohli zobrazit sdružené průměty bodu, musí být tento bod jednoznačným způsobem určen. Jedním ze způsobů je určit tento bod pomocí souřadnic [x, y, z]. Kladná souřadnice x se nanese od zvoleného počátku 0 směrem vpravo, kladná souřadnice y se nanese směrem dolů od základnice x1,2, kladná souřadnice z se nanese směrem nahoru od základnice x1,2. Na následujícím obrázku (obr. 2-2) jsou znázorněny sdružené průměty A1 a A2 bodu A[x, y, z].
10
2 Souřadný systém, zobrazení bodu
A2
z x x1,2
0
y A1
Obr. 2-2
Kvadranty Půdorysna a nárysna rozdělují prostor do čtyř částí – kvadrantů (obr. 2-3). První kvadrant – v něm se nejčastěji nacházejí objekty, které mají být zobrazeny. Objekt se nachází před nárysnou a nad půdorysnou. Souřadnice y a z jsou zde kladné. Druhý kvadrant – objekt umístěný zde se nachází za nárysnou a nad půdorysnou. Souřadnice z je kladná a souřadnice y záporná. Třetí kvadrant – objekt umístěný zde se nachází za nárysnou a pod půdorysnou. Souřadnice y i z jsou záporné. Čtvrtý kvadrant – objekt umístěný zde se nachází pod půdorysnou a před nárysnou. Souřadnice z je záporná a souřadnice y kladná.
II
I
III
IV
Obr. 2-3
11
Díl
Deskriptivní geometrie
1
Mongeovo promítání
Příklad – zobrazení bodů Sestrojte sdružené průměty bodů A [2; 3; 4], B [–2; 3; 4], C [1; –2; 3], D[0; –2; –5], E [–1; 3; –1] a určete, v kterém kvadrantu se nachází.
Řešení:
A2
4 2 0
x1,2 3
A1 Obr. 2-4
B2
4 2 0 3
B1 Obr. 2-5
12
x1,2
2 Souřadný systém, zobrazení bodu
Body A a B se oba nacházejí v prvním kvadrantu (obr. 2-4, obr. 2-5). Další body jsou zobrazeny už bez vyznačení nanášených vzdáleností na osy x, y a z (obr. 2-6).
C2 C1
D1
E2
x 1,2
0
E1 D2 Obr. 2-6 Pro lepší představu, ve kterých kvadrantech body leží, se podívejte na ilustrativní prostorový obrázek (obr. 2-7). Bod C leží ve druhém kvadrantu, bod D ve třetím kvadrantu, bod E ve čtvrtém.
II
C
I
B
A
E
D III
IV
Obr. 2-7
Cvičení – zobrazení bodů, kvadranty a. Sestrojte sdružené průměty bodů A[0; 1; 2], B[1; –2; 3], C[2; –4; –5], D[3; 2; –1], E[4; 0; 0]. b. Sestrojte sdružené průměty bodů A[–1; 2; 1], B[0; –3; 2], C[1; –2; –4], D[2; 3; –5], E[3; 4; 0]. c. Sestrojte sdružené průměty bodů A[–1; 1; –1], B[1; –2; 2], C[0; 0; 0]. d. Zjistěte, ve kterých kvadrantech leží body z předchozích tří cvičení.
13
Díl
1
Deskriptivní geometrie
Mongeovo promítání
3 ZOBRAZENÍ PŘÍMKY Abyste mohli pomocí Mongeovy deskriptivní geometrie zobrazit přímku, tedy její sdružené průměty, musí být přímka zadaná nějakým jednoznačným způsobem. Jedním z nich je zadání přímky pomocí dvou různých bodů v prostoru. Pak se získají sdružené průměty těchto dvou bodů, a spojnice příslušných průmětů těchto dvou bodů je průmětem dané přímky. Jiným způsobem může být zadání přímky pomocí jednoho bodu a nějaké vlastnosti, například že hledaná přímka má být rovnoběžná s nějakou jinou přímkou. Možností je mnoho a některé z nich si prakticky vyzkoušíte.
Zobrazení přímky dané dvěma body Zobrazte sdružené průměty přímky p dané body A[–1; 1; 5] a B[1; 3; 2].
Řešení: Nejprve zobrazte půdorysy a nárysy bodů A a B. Spojením nárysů bodů A a B – A2 a B2 – dostanete nárys přímky p – p2. Spojením půdorysů bodů A a B – A1 a B1 – dostanete půdorys přímky p – p1 (obr. 3-1). Pro lepší představu situace se podívejte na prostorový obrázek (obr. 3-2). Body A a B jsou dány svými půdorysy a nárysy (A1, B1, A2, B2). Spojením půdorysů bodů vzniká půdorys přímky p – p1 procházející body A1 a B1. Spojením nárysů bodů vzniká nárys přímky p – p2 procházející body A2 a B2.
A2
p2 B2 0 x1,2
A1 B1
p1
A
A2
p2 B2
B
Obr. 3-1
0
B1
A1 Obr. 3-2
14
x=x1,2
p
p1
3 Zobrazení přímky
Přímka rovnoběžná s jinou přímkou Přímka p je dána bodem A[0; 2; 2] a dále je rovnoběžná s přímkou q danou body C[0; 4; 5] a D[3; 2; 1]. Zobrazte přímku p.
q2
C2
p2 A2
D2
0 x1,2 A1 D1
p1 q1
C1 Obr. 3-3
Řešení: Nejprve sestrojte sdružené průměty bodů A, C a D – A1, A2, C1, C2, D1, D2. Spojením sdružených průmětů bodů C a D získáte sdružené průměty přímky q – q1 a q2. Průměty dvou v prostoru rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky (pokud průmětem nejsou body). Protože hledaná přímka p má být s přímkou q rovnoběžná a má procházet bodem A, její půdorys bude rovnoběžný s půdorysem přímky q – q1 a bude procházet půdorysem bodu A – A1, její nárys bude rovnoběžný s nárysem přímky q – q2 a bude procházet nárysem bodu A –A2 (obr. 3-3). Pro lepší představu situace se podívejte na prostorový obrázek (obr. 3-4). Přímky p a q jsou v prostoru rovnoběžné, a proto i jejich kolmé průměty jsou rovnoběžné. Pokud bod leží na přímce, pak i průmět tohoto bodu leží na průmětu této přímky.
15
Díl
Deskriptivní geometrie
1
Mongeovo promítání
q
p q2 C2
C x=x1,2
p2
D2 A2 A
D D1
0
C p1 A1 q1 1 Obr. 3-4
Přímka rovnoběžná s průmětnou Jestliže je přímka rovnoběžná s nárysnou, pak její půdorysný průmět je rovnoběžný se základnicí x1,2 (obr. 3-5).
p
p2 x=x1,2
p2
x1,2 p1 p1
Obr. 3-5 Jestliže je přímka rovnoběžná s půdorysnou, pak její nárysný průmět je rovnoběžný se základnicí x1,2 (obr. 3-6).
16
3 Zobrazení přímky
p2 p p2 x=x1,2 x1,2 p1 p1 Obr. 3-6 Jestliže je přímka rovnoběžná s oběma průmětnami, pak je také rovnoběžná s jejich průsečnicí, tj. se základnicí x, a pak půdorysný i nárysný průmět takové přímky je rovnoběžný se základnicí x1,2 (obr. 3-7).
p2 p
p2
x=x1,2 p1
x1,2 p1
Obr. 3-7
17
