Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 2. Pomocný učební text - díl II

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text - díl II

František Ježek, Světlana Tomiczková

Plzeň – 7. února 2006 – verze 2.0

Obsah 7 Obalové plochy 7.1 Základní pojmy . . . . . . . . 7.2 Charakteristika roviny . . . . 7.3 Charakteristika kulové plochy 7.4 Metoda kulových ploch . . . . 7.5 Metoda tečných rovin . . . . . 7.6 Kontrolní otázky . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

8 Rozvinutelné plochy 8.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Typy rozvinutelných ploch . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Metody komplanace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Metoda normálového řezu . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Metoda triangulace . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Tečna křivky v rozvinutí . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy . . . . . . . . . 8.6 Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy 8.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Některé nekartézské souřadnicové soustavy 9.1 Sférické souřadnice . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Cylindrické souřadnice . . . . . . . . . . . . 9.3 Využití nekartézských souřadnic . . . . . . . 9.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

10 Geometrická zobrazení a transformace souřadnic 10.1 Transformace kartézského systému souřadnic . . . . 10.2 Homogenní souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Geometrické transformace v E2 , resp. v P (E2 ) . . . 10.3.1 Posunutí neboli translace . . . . . . . . . . . 10.3.2 Otáčení neboli rotace okolo bodu . . . . . . 10.3.3 Osová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Změna měřítka neboli dilatace . . . . . . . . 10.3.5 Obecná afinní transformace . . . . . . . . .

56

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

58 58 59 61 64 66 68

. . . . . . . . .

70 70 70 71 71 72 73 73 74 75

. . . . .

76 76 76 77 77 78

. . . . . . . .

79 80 82 83 83 83 84 84 85

Obsah

10.4

10.5 10.6 10.7

57

10.3.6 Skládání transformací . . . . . . . . . . 10.3.7 Inverzní geometrická transformace . . . . Geometrické transformace v E3 , resp. v P (E3 ) . 10.4.1 Posunutí neboli translace . . . . . . . . . 10.4.2 Otáčení neboli rotace okolo osy . . . . . 10.4.3 Souměrnost podle roviny . . . . . . . . . 10.4.4 Dilatace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.5 Obecná afinní transformace a projektivní Skládání transformací a inverzní transformace . Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Nelineární útvary v rovině a v prostoru 11.1 Vektorové a parametrické vyjádření křivek . . . . . . . . . . 11.1.1 Kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.5 Obecná rovnice kuželosečky . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Vektorové vyjádření kuželových, válcových a rotačních ploch 11.2.1 Obecná kuželová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Obecná válcová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Rotační plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Rotační plochy druhého stupně (kvadriky) v E3 . . . . . . . 11.3.1 Kulová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Rotační elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Rotační paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Rotační hyperboloid jednodílný . . . . . . . . . . . . 11.3.5 Rotační hyperboloid dvoudílný . . . . . . . . . . . . 11.4 Obecná rovnice kvadriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Kuželosečky a kvadriky v obecné poloze . . . . . . . . . . . 11.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

85 86 86 87 87 87 88 88 89 90 91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 94 95 96 97 98 101 102 102 102 103 103 104 104 104 104 105 113 115 117

Kapitola 7 Obalové plochy 7.1

Základní pojmy Obalová plocha Ω vzniká pohybem P jiné plochy α. Plochu α nazýváme tvořící plocha. Charakteristika c je křivkou dotyku mezi tvořící plochou α a vznikající obalovou plochou Ω – obr. 7.1. Charakteristika c při pohybu P vytváří plochu Ω, tj. P(Ω) = P(c).

Obrázek 7.1:

Pokud chceme najít průnik obalové plochy s rovinou, najdeme charakteristiku, to znamená tvořící křivku rotační, šroubové nebo jiné plochy a tím převedeme danou úlohu na úlohu, kterou již známe z předchozích kapitol.

Hlavní náplní této kapitoly je tedy hledání charakteristiky na různých typech obalových ploch. Příklady obalových ploch: Pohyb Posunutí Rotace okolo osy o Rotace okolo osy o Rotace okolo osy o Šr. pohyb s osou o Šr. pohyb s osou o

Tvořící plocha Kulová plocha Rovina % k o Rovina % 6k o Kulová plocha, S ∈ /o Rovina % 6k o Kulová plocha, S ∈ /o

Obalová plocha Rotační válcová plocha Rotační válcová plocha Rotační kuželová plocha Anuloid Rozv. šroubová plocha Archimédova serpentina

58

7.2. Charakteristika roviny

7.2

59

Charakteristika roviny

Charakteristikou c roviny α při rotačním (osa o), resp. šroubovém pohybu ( o, v0 , +), je přímka c této roviny. Platí c = α ∩ β, kde rovina β prochází osou o a je kolmá k rovině β. • Při rotačním pohybu roviny α různoběžné s osou rotace o je výslednou obalovou plochou rotační kuželová plocha a charakteristikou (obr. 7.2) je spádová přímka, která protíná osu rotace .

Obrázek 7.2: • Při rotačním pohybu roviny α rovnoběžné s osou o rotace je výslednou obalovou plochou rotační válcová plocha a charakteristikou je přímka rovnoběžná s osou, která má nejmenší vzdálenost od osy rotace (obr. 7.3).

Obrázek 7.3: • Při šroubovém pohybu roviny α rovnoběžné s osou o je výslednou obalovou plochou opět rotační válcová plocha a charakteristikou spádová přímka, která má nejmenší vzdálenost od osy rotace.

7.2. Charakteristika roviny

60

• Při šroubovém pohybu (o, v0 , +) roviny α různoběžné s osou o je výslednou obalovou plochou plocha tečen šroubovice – rozvinutelná šroubová plocha a charakteristikou je přímka c, která je zároveň tečnou šroubovice dané šroubovým pohybem (o, v0 , +) (obr. 7.4).

Obrázek 7.4: Určení charakteristiky c je poněkud náročnější, proto si popíšeme hledání charakteristiky roviny při šroubovém pohybu ještě v následujícím příkladě, kde přímo určíme površku k řídící kuželové plochy. Příklad 7.1 Sestrojíme charakteristiku roviny ρ při šroubovém pohybu (o, v0 , +) - obr. 7.5. Řešení: (obr.7.6) 1. Sestrojíme libovolnou spádovou přímku s první osnovy (s1 ⊥pρ1 , s2 odvodíme pomocí stopníků). 2. Sestrojíme površku k řídícího kužele (V ∈ k, k k s). 3. Najdeme půdorysný stopník P přímky k. 4. Stopníkem prochází půdorys šroubovice (kružnice se středem v o1 a poloměrem o1 P1 ). 5. Sestrojíme tečnu c šroubovice. Tečna je rovnoběžná s površkou řídícího kužele k, dotykový bod najdeme na půdorysu šroubovice o 90◦ otočený od bodu P1 ve směru stoupání šroubovice. 6. Nárys přímky c odvodíme například pomocí stopníků nebo rovnoběžnosti c a k. 7. Přímka c je hledanou charakteristikou.

7.3. Charakteristika kulové plochy

Obrázek 7.5:

7.3

61

Obrázek 7.6:

Charakteristika kulové plochy

Charakteristikou kulové plochy při libovolném pohybu je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu dráhy středu kulové plochy a procházející středem kulové plochy. Kružnice má stejný poloměr jako kulová plocha. • Při posunutí kulové plochy ve směru přímky o je výslednou obalovou plochou rotační válcová plocha a charakteristikou kružnice, která leží v rovině kolmé na směr pohybu a procházející středem kulové plochy (obr. 7.7).

Obrázek 7.7:


62

• Charakteristikou c kulové plochy při rotačním pohybu (osa o) je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu ke kružnici, kterou opisuje střed kulové plochy při rotačním pohybu (rovina prochází středem kulové plochy). Z toho plyne, že charakteristika c kulové plochy při rotaci leží v rovině určené osou o rotace a středem S kulové plochy. Vzniklou obalovou plochou je anuloid (obr. 7.8).

Obrázek 7.8: • Charakteristikou c kulové plochy při šroubovém pohybu (o, v0 , ±), je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu šroubovice, po které se pohybuje střed kulové plochy. Vzniklou obalovou plochou je Archimédova serpentina (obr. 7.9). V dalších odstavcích jsou popsány metody, které umožňují konstrukci jednotlivých bodů charakteristiky v případě, že tvořící plochou je plocha rotační (metoda kulových ploch), resp. rozvinutelná (metoda tečných rovin).


Obrázek 7.9:

63

7.4. Metoda kulových ploch

7.4

64

Metoda kulových ploch

Užití: Tvořící plocha α je rotační. 1. Na tvořící ploše α zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu1 . 4. Společné body (pokud existují) charakteristiky c a rovnoběžkové kružnice p náleží hledané charakteristice plochy α při daném pohybu2 .

Obrázek 7.10:

Obrázek 7.11:

Příklad 7.2 Sestrojíme dva body charakteristiky komolého rotačního kužele při rotaci okolo osy o - obr. 7.10. Řešení: (obr.7.11) Řešení vychází z poznámek uvedených v obecném postupu, tj. konstruována je jen rovina charakteristiky. 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 1

Stačí určit jen rovinu γ, v níž leží charakteristika c. Pokud jsme v předcházejícím bodě našli jen rovinu γ, určíme případné průsečíky roviny γ s rovnoběžkovou kružnicí p. 2

7.4. Metoda kulových ploch

65

3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu. Charakteristikou kulové plochy je kružnice, která se do půdorysu promítne jako úsečka AB, nárys nemusíme konstruovat. 4. Body charakteristiky (pokud existují) jsou průsečíky kružnice p a charakteristiky kulové plochy τ (v půdorysu sestrojíme průsečíky X, Y a odvodíme na kružnici p do nárysu). 5. Další body charakteristiky bychom sestrojili podobně, jen zvolíme novou rovnoběžkovou kružnici a vepsanou kulovou plochu. Celý postup zopakujeme. Příklad 7.3 Sestrojíme hlavní meridián obalové plochy vzniklé rotací rotačního kužele při rotaci okolo osy o - obr. 7.12. Řešení: (obr.7.13) 1. Použijeme postup z příkladu 7.2 a sestrojíme body X, Y charakteristiky. 2. Dále postupujeme stejně jako při sestrojování meridiánu rotační plochy (body X, Y jsou body tvořící křivky: Sestrojíme rovnoběžkovou kružnici rotační plochy s osou o procházející body X, Y . Průsečíky X 0 a Y 0 rovnoběžkových kružnic s rovinou meridiánu µ jsou body meridiánu). 3. Další body a získáme novou volbou rovnoběžkové kružnice p a vepsané kulové plochy a celý postup zopakujeme. Na obrázku je vyznačen tvar charakteristiky a meridiánu.

o2

o2 Y'2

p2 V2 Y2 X2

V2

X'2

X1=Y1

p1

o1

m1 o1 V1

V1 Obrázek 7.12:

Obrázek 7.13:

X'1=Y'1

7.5. Metoda tečných rovin

66

Příklad 7.4 Sestrojíme dva body charakteristiky obalové plochy vzniklé šroubovým pohybem (o, v0 , +) rotačního kužele - obr. 7.14. Řešení: (obr.7.15) 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu. Charakteristikou kulové plochy je kružnice. Ta leží v rovině kolmé k tečně šroubovice, po které se pohybuje střed kulové plochy τ . (Sestrojíme tečnu t a hlavní přímky roviny procházející středem kulové plochy a kolmé na tečnu.) 4. Body charakteristiky (pokud existují) jsou průsečíky kružnice p a charakteristiky kulové plochy τ . V půdorysu sestrojíme průsečíky X, Y a odvodíme do nárysu. (Dvě kružnice na kulové ploše mohou mít nejvýše dva průsečíky. Proto je zřejmé, že dva průsečíky v nárysu jsou jen zdánlivé. Nárys a půdorys skutečného průsečíku musí ležet na ordinále.) 5. Další body charakteristiky bychom sestrojili podobně, jen zvolíme novou rovnoběžkovou kružnici a vepsanou kulovou plochu. Celý postup zopakujeme.

o2

f2

t2 V2

t2

V2

p2

o2 h2

X2

Y2

v0

v0

P1

t1

h1 f1

p1 o1

X1

Y1

o1

t1 V1 Obrázek 7.14:

7.5

Metoda tečných rovin

Užití: Tvořící plocha α je rozvinutelná. 1. Na tvořící ploše α zvolíme povrchovou přímku p.

P2

V1 Obrázek 7.15:

7.5. Metoda tečných rovin

67

2. Určíme rovinu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p. 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při daném pohybu. 4. Společné body (pokud existují) charakteristiky c a površky p náleží hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Příklad 7.5 Sestrojíme charakteristiku a hlavní meridián obalové plochy vzniklé rotací šikmého kruhového válce při rotaci okolo osy o - obr. 7.16. Řešení: (obr.7.17) Řešení vychází z obecného postupu. 1. Na tvořící ploše α (šikmém kruhovém válci) zvolíme povrchovou přímku p. 2. Určíme rovinu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p: V průsečíku přímky p s podstavou válce sestrojíme tečnu t k podstavě. Tečna t leží v půdorysně, proto její nárys splyne s osou x12 . Přímky p a t určují tečnou rovinu τ . 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při rotačním pohybu. Je to spádová přímka roviny τ (v půdorysu kolmá na t, protože t je hlavní přímkou roviny τ ). 4. Průsečík charakteristiky c a površky p je jedním bodem hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Označíme ho X. 5. Dále postupujeme stejně jako při sestrojování meridiánu rotační plochy (X je bod tvořící křivky: Sestrojíme rovnoběžkovou kružnici rotační plochy s osou o procházející bodem X. Průsečík X 0 rovnoběžkové kružnice s rovinou meridiánu µ je bod meridiánu). 6. Další body získáme novou volbou površky p a opakováním celého postupu. Na obrázku je vyznačen tvar charakteristiky a meridiánu. Příklad 7.6 Sestrojíme charakteristiku obalové plochy vzniklé šroubovým pohybem (o, v0 , +) kruhového kužele - obr. 7.18. Řešení: (obr.7.19) Tuto úlohu není možné řešit metodou kulových ploch (tvořící plocha není rotační, jde o kruhový, tj. šikmý kužel). Řešení vychází z obecného postupu. 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme povrchovou přímku p. 2. Určíme rovinu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p: V průsečíku přímky p s podstavou válce sestrojíme tečnu t k podstavě. Přímky p a t určují tečnou rovinu τ . Tečna t je hlavní přímkou roviny τ (je rovnoběžná s půdorysnou), určíme ještě ještě jednu hlavní přímku procházející vrcholem V , popř. stopy roviny τ (zde jsme našli pouze nárysnou stopu). 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při šroubovém pohybu pomocí postupu z příkladu 7.1. 4. Průsečík charakteristiky c a površky p je jedním bodem hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Označíme ho X. 5. Další body bychom získali novou volbou površky p a opakováním celého postupu. Úlohu 7.2 by bylo možné řešit nejen metodou kulových ploch, ale i metodou tečných rovin.

7.6. Kontrolní otázky

68

o2

p2 X'2

X2

t2=x12 c1 X'1

o1 X1

m1

p1

t1 Obrázek 7.16:

7.6

Obrázek 7.17:

Kontrolní otázky

7.1 Definujte charakteristiku obalové plochy a vysvětlete význam této křivky pro řešení dalších úloh o obalových plochách. 7.2 Pro které tvořící plochy lze pro konstrukci charakteristiky použít metodu kulových ploch a pro které metodu tečných rovin. 7.3 Uveďte příklad tvořicí plochy, jejíž charakteristiku lze konstruovat jak metodou tečných rovin, tak metodou kulových ploch. Uměli byste pojmenovat všechny takové plochy?


Obrázek 7.18:

69

Obrázek 7.19:

Kapitola 8 Rozvinutelné plochy 8.1

Základní pojmy

Torzální površkou přímkové plochy rozumíme přímku p, pro kterou platí, že v každém jejím bodě je stejná tečná rovina τ , tj. tečná rovina τ se dotýká plochy podél torzální površky p. Přímková plocha je rozvinutelná, jestliže všechny její površky jsou torzální. Rozvinutelná plocha je obalovou plochou pohybující se roviny.

8.2

Typy rozvinutelných ploch

Rozvinutelnými plochami jsou pouze následující plochy a jejich části: rovina, válcové plochy – obr. 8.1, kuželové plochy – obr. 8.2 a plochy tečen prostorových křivek – obr. 8.3.

Obrázek 8.1:

Obrázek 8.2:

Válcová plocha je určena rovinnou křivku k (k ⊂ σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s 6k σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a jsou směru s. Kuželová plocha je určena rovinnou křivku k (k ⊂ σ) a bodem V , který neleží v rovině dané křivky (V 6∈ σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a procházejí bodem V .

70

8.3. Metody komplanace

71

V projektivním rozšíření euklidovského prostoru lze definovat válcovou a kuželovou plochu jednou definicí, a to jako množinu přímek, které protínají danou křivku k a procházejí daným vrcholem V . Oba typy ploch se liší tím, zda vrchol V je vlastní, pak jde o kuželovou plochu, nebo je nevlastní, pak jde o válcovou plochu.

Obrázek 8.3:

Obrázek 8.4:

Plocha tečen prostorové křivky je určena prostorovou křivkou k a je tvořena jejími tečnami. Na obr. 8.3 jsou uvedeny dva příklady takové plochy. Příkladem plochy tečen je rozvinutelná šroubová plocha, která je tvořena tečnami šroubovice – obr. 8.4. Řezem této plochy rovinou kolmou k ose šroubového pohybu je kruhová evolventa, tj. křivka, která vzniká jako trajektorie bodu přímky odvalující se po kružnici.

8.3

Metody komplanace

Komplanací neboli rozvinutím rozumíme zobrazení ϕ rozvinutelné plochy do roviny, které zachovává délky a úhly. Obecné metody pro rozvinutí jsou dány následující tabulkou. Typ rozvinutelné plochy Metoda rozvinutí Obecná válcová plocha Normálový řez Obecná kuželová plocha Triangulace Plocha tečen prostorové křivky Triangulace

8.3.1

Metoda normálového řezu

Normálovým řezem válcové plochy rozumíme řez rovinou kolmou na povrchové přímky plochy. Takový řez se při rozvinutí zobrazí na přímku kolmou na obrazy površek. Při rozvinutí válcové plochy postupujeme takto: 1. Vedeme libovolnou rovinu % kolmou na povrchové přímky válcové plochy. 2. Určíme řez k dané válcové plochy rovinou %. 3. V rozvinutí se křivka k zobrazí do úsečky 0 k. Délka obrazu se rovná délce vzoru, tj. délku úsečky 0 k určíme pomocí rektifikace křivky k.

8.3. Metody komplanace

72

Pokud chceme v rozvinutí zobrazit další křivku ležící na dané obecné válcové ploše, stačí na povrchové přímky vynášet úseky površky mezi normálovým řezem a danou křivkou. Normálovým řezem na rotační válcové ploše je např. její podstava. Oblouk šroubovice ležící na dané rotační válcové ploše se rozvine do úsečky.

Obrázek 8.5:

Obrázek 8.6:

Příklad 8.1 Na obr. 8.5 je provedeno rozvinutí poloviny pláště rotačního válce s řezem rovinou σ. Normálovým řezem je podstava k. Vzdálenost x površek v rozvinutí se rovná délce oblouku na podstavě. Příklad 8.2 Na obr. 8.6 je provedeno rozvinutí poloviny pláště kruhového (kosého) válce. Rovina % normálového řezu je zobrazena v nárysu (volíme jednu z rovin kolmých na površky). Normálovým řezem je elipsa, jejíž hlavní poloosa se rovná poloměru kružnice podstavy. Normálový řez je vyznačen ve sklopení. Délky oblouků elipsy ve sklopení určují vzdálenosti jednotlivých površek v rozvinutí (např. délky x a y). V daném případě mají v rozvinutí všechny površky stejnou délku. Poměr, v němž dělí bod normálového řezu površku, zjistíme z nárysu, neboť površky jsou rovnoběžné s nárysnou.

8.3.2

Metoda triangulace

Podstatou této metody je náhrada plochy mnohostěnem, který má trojúhelníkové stěny. V případě kuželových ploch volíme trojúhelníky tak, že mají vždy jeden vrchol ve vrcholu kuželové plochy. Pro rotační kuželovou plochu platí, že podstava k se rozvine do oblouku kružnice, jehož délka se musí rovnat obvodu kružnice k. Poloměr oblouku v rozvinutí se rovná délce úseku površky mezi vrcholem a podstavou. Příklad 8.3 Na obr. 8.7 je zobrazeno rozvinutí části rotační kuželové plochy. Pro určení skutečných délek úseků površek plochy je využito rotace površky do roviny obrysové površky.

8.4. Tečna křivky v rozvinutí

Obrázek 8.7:

73

Obrázek 8.8:

Příklad 8.4 Na obr. 8.8 je zobrazeno rozvinutí části kruhové kuželové plochy. Použita je triangulace a celý postup spočívá v určování skutečných délek úseček (úseků površek plochy). K tomu je využito otočení do polohy rovnoběžné s nárysnou. Površky určené bodem 1, resp. 7, na podstavě se zobrazují v nárysu ve skutečné velikosti.

8.4

Tečna křivky v rozvinutí

Obrazem tečny křivky na ploše je tečna křivky v rozvinutí. Vzhledem k tomu, že rozvinutí je zobrazení, které zachovává úhly, je možné určit tečnu křivky v rozvinutí pomocí určení úhlu površky a tečny křivky na ploše. Příklad 8.5 Na obr. 8.7 je zkonstruována tečna křivky řezu v rozvinutí. K určení úhlu tečny a površky je využito trojúhelníka 3P1 ¯3, pro nějž je určena skutečná velikost pomocí skutečných délek jeho stran. Bod ¯3 je bodem řezu, bod 3 leží na podstavě a bod P1 je průsečíkem tečny s podstavnou rovinou. Přímka 3P1 je tečnou podstavy.

8.5

Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy

Rozvinutelnou šroubovou plochu lze rozvinout tak, že určíme obraz hrany vratu, tj. určující šroubovice. Platí, že šroubovice vratu se v rozvinutí zobrazí do kružnice, pro jejíž poloměr ρ platí r2 + v02 ρ= . r Příklad 8.6 Na obr. 8.9 je zobrazeno rozvinutí části rozvinutelné šroubové plochy. Pro šroubovici vratu je určen poloměr ρ, který je poloměrem příslušného oblouku v rozvinutí. Obrazem kruhové evolventy, která je řezem dané plochy půdorysnou, je opět kruhová evolventa. Pro zobrazení daných površek v rozvinutí byla určena k otočení, které odpovídá oblouku ω, délka oblouku šroubovice ω ¯.

8.6. Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy

74

Obrázek 8.9:

8.6

Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy

Uvažujme dvě rovinné křivky a a b ležící v rovinách α a β – obr. 8.10. V řadě technických aplikací vzniká požadavek na určení rozvinutelné plochy Ω, která obsahuje obě dané křivky (a ⊂ Ω, b ⊂ Ω). Plochu Ω nazýváme přechodová plocha mezi danými křivkami.

Obrázek 8.10:

Obrázek 8.11:

Postup konstrukce přechodové plochy: 1. Na jedné z křivek zvolíme bod – např. A ∈ a a určíme tečnu tA křivky a v bodě A.


75

2. Na druhé křivce, tj. na křivce b, určíme bod B tak, aby tečna tB v tomto bodě nebyla v tečnou tA mimoběžná. Tento krok realizujeme takto: tA k β – vedeme tečnu tB křivky b rovnoběžnou s přímkou tA – obr. 8.11, tA 6k β – označme p průsečnici rovin α a β; z průsečíku tA ∩ p vedeme tečnu tB křivky b – obr. 8.10. 3. Přímka AB je torzální přímkou – tečná rovina v bodech A a B je stejná a tato rovina se dotýká vytvářené plochy i ve všech bodech této površky. Zkonstruovaná přechodová plocha je vždy buď plochou tečen prostorové křivky (zpravidla neznámé či neurčované), nebo ve výjimečných případech plochou válcovou nebo kuželovou. Rozvinutí přechodové plochy se provede zpravidla pomocí triangulace.

8.7

Kontrolní otázky

8.1 Definujte torzální površku plochy. 8.2 Definujte rozvinutelné plochy a uveďte všechny typy rozvinutelných ploch. 8.3 Uveďte dva způsoby vytvoření rozvinutelné šroubové plochy (návod: jako obalovou plochu a jako jeden z typů rozvinutelných ploch). 8.4 Popište metodu normálového řezu pro rozvinutí. Pro které rozvinutelné plochy se tato metoda dá aplikovat?

Kapitola 9 Některé nekartézské souřadnicové soustavy V řadě aplikací matematiky se používají k vhodnému analytickému popisu geometrického útvaru v E3 souřadnice, které nejsou kartézské. Jedná se o souřadnice afinní (souřadnicové osy nemusí být na sebe kolmé), sférické (kulové), cylindrické (válcové) apod. Uvedeme vztahy, pomocí nichž lze přejít od kartézských souřadnic k souřadnicím sférickým a cylindrickým.

9.1

Sférické souřadnice

Sférické souřadnice jsou prostorovou analogií polárních souřadnic v rovině. Rovnice x = ρ · cos ϕ cos ψ , y = ρ · sin ϕ cos ψ , z = ρ · sin ψ ,

(9.1)

v nichž ρ > 0, ϕ ∈ h0, 2π) a ψ ∈ h− π2 , dπ i, vyjadřují přechod k tzv. sférickým souřadnicím d2 [ρ, ϕ, ψ]. p Číslo ρ = x2 + y 2 + z 2 vyjadřuje vzdálenost bodu X od počátku O, ϕ a ψ jsou orientované úhly („zeměpisná šířka a délkaÿ) – obr. 9.1. S rovnicemi (9.2) a (9.1) se výhodně pracuje při sledování problémů spojených s rotací a souměrností.

9.2

Cylindrické souřadnice

Rovnice x = ρ cos ϕ ,

y = ρ sin ϕ ,

z=z,

(9.2)

v nichž ρ > 0 a ϕ ∈ h0, 2π) popisují vztah tzv. cylindrických souřadnic [ρ, ϕ, z] s kartézskými souřadnicemi. p Vidíme, že ρ = x2 + y 2 vyjadřuje vzdálenost bodu X od osy z a ϕ je orientovaný úhel s počátečním ramenem v kladné poloose x a koncovým ramenem na polopřímce OX1 , kde X1 je pravoúhlý průmět bodu X do souřadnicové roviny xy – obr. 9.2. Ve speciálním případě (9.2), kdy z = 0, hovoříme o polárních souřadnicích v rovině E2 . 76

9.3. Využití nekartézských souřadnic

Obrázek 9.1:

9.3

77

Obrázek 9.2:

Využití nekartézských souřadnic

Použití uvedených nekartézských souřadnic vede ke zjednodušení analytického vyjádření útvarů (zkratka konst. označuje kladnou konstantu). 1. ρ =konst. popisuje v případě sférických souřadnic kulovou plochu se středem O a poloměrem ρ, 2. ρ =konst. popisuje v případě cylindrických souřadnic rotační válcovou plochu o poloměru ρ a s osou z, 3. ψ =konst. určuje v případě sférických souřadnic rotační kuželovou plochu, 4. ρ =konst. určuje v polárních souřadnicích kružnici se středem O a poloměrem ρ.

9.4

Cvičení

9.1 V kartézské soustavě souřadnic zobrazte body, jejichž polární souřadnice jsouh A 3, π6 i, √ 3 π 1 B 1, 2π , C 2, − . Jaké jsou kartézské souřadnice bodu B? [B − , ] 3 4 2 2 9.2 Vypočtěte velikost úsečky AB, znáte-li polární souřadnice bodů A 3, 11π , B 4, π3 . 18 [5] 9.3 Bod A má kartézské souřadnice A[−1, 1, 2]. Jaké jsou jeho cylindrické souřadnice. √ [[ 2, 34 , 2]] 9.4 Bod A má cylindrické souřadnice A[1, 1, 1]. Vypočtěte jeho kartézské souřadnice s přesností na tři desetinná místa. [[0, 540; 0, 841; 1, 000]] 9.5 Jaké jsou sférické souřadnice bodu A, jsou-li jeho souřadnice v kartézské soustavě A[1, 1, 1]? √ [ρ = 3, ϕ = π4 , ψ = arctg √12 ]


78

9.6 Víme, že sférické souřadnice bodu A jsou ρ = 1, ϕ = − π3 , ψ = π6 . Jaké jsou jeho h kartézské i √ souřadnice? [ − 43 , 43 , 12 ] 9.7 V systému AutoCAD se používá následujících symbolů: @ – relativní souřadnice (tj. souřadnice vzhledem k aktuálnímu bodu, nikoliv k počátku), < – zadání úhlu. Zřejmě zadáním 20 < 45 < 30 určujeme bod pomocí sférických souřadnic. Určete typ souřadnic pro zadání a) @100 < 45, b) 40 < 60, 10. [a) relativní polární souřadnice, b) cylindrické souřadnice]

9.5

Kontrolní otázky

9.1 Uveďte, které body nemají jednoznačně určeny sférické souřadnice. 9.2 Uveďte, které body nemají jednoznačně určeny cylindrické souřadnice.

Kapitola 10 Geometrická zobrazení a transformace souřadnic Uvažujme dvě množiny bodů M a N . Geometrickým zobrazením T rozumíme předpis, kterým každému bodu X (vzoru) z množiny M přiřadíme jednoznačně bod T (X) (obraz) z množiny N . Příkladem geometrického zobrazení je kolmé promítání do půdorysny (roviny xy), posunutí o daný vektor, otočení okolo dané osy apod. Řekneme, že geometrické zobrazení T je vzájemně jednoznačné, jestliže každým dvěma různým bodům jsou přiřazeny různé body, tj. platí-li X 6= Y, X ∈ M, Y ∈ M ⇒ T (X) 6= T (Y ) . Pro vzájemně jednoznačné zobrazení T množiny M na množinu N , tj. pro prosté zobrazení, existuje zobrazení T −1 , které obrazu Y = T (X) přiřadí vzor, tj. bod X. Říkáme, že zobrazení T −1 je inverzní k zobrazení T . Vzájemně jednoznačné zobrazení, pro nějž M = N , nazýváme transformace. Např. pro posunutí můžeme položit M = N = E3 a jistě jde o prosté zobrazení, tj. posunutí je transformace. Inverzní transformací je posunutí o vektor opačný k danému vektoru posunutí T . Pro kolmé promítání do půdorysny je M = E3 a N = E2 . Nejde tedy o transformaci a navíc neexistuje inverzní zobrazení (z jednoho průmětu nelze „rekonstruovatÿ prostorový objekt). Dále rozlišíme dva způsoby, jakým jsou v geometrii a jejích aplikacích používány transformace: Geometrické transformace (bodů): Je zvolen souřadnicový systém. Transformaci jsou podrobeny body geometrického objektu, který tím mění polohu vzhledem k systému souřadnic, popř. i svůj tvar. Transformace systému souřadnic: Transformaci je podroben souřadnicový systém. Transformace je zvolena např. tak, aby vybraný geometrický objekt získal vzhledem k novému souřadnicovému systému polohu výhodnou pro matematické vyjádření operací s objektem.

79

10.1. Transformace kartézského systému souřadnic

10.1

80

Transformace kartézského systému souřadnic

V tomto odstavci budeme popisovat transformace souřadnicových soustav v E3 , ale provedené úvahy a výpočty lze snadno aplikovat i na transformace kartézských systémů souřadnic v rovině, tj. v prostoru E2 (a i v prostorech jiné dimenze). V textu použijeme tzv. Kroneckerovo delta δij , které nabývá hodnoty 1 pro i = j a hodnoty 0 v případě i 6= j. Připomeňme, že kartézskou soustavu souřadnic v E3 můžeme chápat jako uspořádanou čtveřici (O, e1 , e2 , e3 ), kde O je počátek soustavy souřadnic a vektory ei jsou ortonormální, tj. platí pro ně ei · ej = δij ,

i, j = 1, 2, 3. (10.1)

Transformaci soustavy souřadnic používáme, chceme-li zjednodušit vyjádření objektů, nebo jestliže pro několik objektů chceme využít jednu souřadnicovou soustavu. Pro změnu souřadnicové soustavy odvodíme potřebné vztahy mezi původnímu souřadnicemi a novými souřadnicemi.

Obrázek 10.1:

V prostoru E3 zvolíme dvě kartézské soustavy souřadnic S a S 0 (obr. 10.1): S : (O, e1 , e2 , e3 ) ,

S 0 : (O0 , e0 1 , e0 2 , e0 3 ).

(10.2)

V soustavě souřadnic S má obecný bod X souřadnice X[x1 , x2 , x3 ] a v S 0 má tentýž bod X souřadnice X[x01 , x02 , x03 ]. V soustavě S vyjádříme počátek O0 a vektory e0 i : 0

O =O+

3 X

bj ej ,

(10.3)

i = 1, 2, 3.

(10.4)

j=1

0

ei=

3 X

aji ej ,

j=1

Podrobněji lze (10.4) rozepsat na e0 1 = a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 , e0 2 = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 , e0 3 = a13 e1 + a23 e2 + a33 e3 .

(10.5)

Bod X vyjádříme v obou soustavách souřadnic: X =O+

3 X j=1

0

xj ej = O +

3 X i=1

x0i e0 i .

(10.6)

10.1. Transformace kartézského systému souřadnic

81

Použijeme-li v (10.6) vyjádření (10.3) a (10.4), dostaneme O+

3 X

xj ej = O +

j=1

neboli

3 X

bj ej +

j=1

3 X

xj ej =

j=1

3 X

3 X

x0i

3 X

i=1

bj +

j=1

3 X

! aji ej

,

(10.7)

j=1

! aji x0i ej .

(10.8)

i=1

Porovnáním obou stran v (10.8) zjistíme, že pro „novéÿ a „staréÿ souřadnice platí xj =

3 X

aji x0i + bj ,

j = 1, 2, 3.

(10.9)

i=1

Transformační rovnice rozepsané pro jednotlivá i a j mají tvar x1 = a11 x01 + a12 x02 + a13 x03 + b1 , x2 = a21 x01 + a22 x02 + a23 x03 + b2 , x3 = a31 x01 + a32 x02 + a33 x03 + b3 .

(10.10)

V maticovém tvaru můžeme zapsat rovnice (10.10) jako X = X 0 · AT + b ,

(10.11)

kde X[x1 , x2 , x3 ], X 0 [x01 , x02 , x03 ], b = (b1 , b2 , b3 ) a matice A má prvky aij , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. Matici A budeme nazývat transformační matice. O této matici se dá dokázat přímým výpočtem, že platí: a1i a1j + a2i a2j + a3i a3j = δij . (10.12) Jde o skalární součiny vektorů daných sloupci matice A. Takto určené vektory jsou jednotkové a vzájemně kolmé. Proto se matice s touto vlastností označují jako ortonormální. Navíc lze vypočítat, že pro determinant ortononální matice A platí det A = ±1 . Můžeme tedy rozlišit dva případy orientace S a S 0 : 1. je-li det A = 1, jsou soustavy orientovány souhlasně; 2. je-li det A = −1, jsou soustavy orientovány nesouhlasně. V geometrii a v řadě aplikací se používají i tzv. afinní souřadnicové soustavy, tj. soustavy souřadnic, v nichž vektory e1 , e2 a e3 nejsou ortonormální, ale tvoří obecnou bázi. Přechod od kartézské soustavy souřadnic k afinní soustavě je popsán rovněž vztahem (10.11), ale matice A je jen regulární (nikoliv nutně ortonormální).

10.2. Homogenní souřadnice

82

Příklad 10.1 Uvažujme bod X[1,1,1] daný souřadnicemi v kartézské souřadnicové soustavě (O, e1 , e2 , e3 ). Určíme souřadnice bodu X v afinní (nekartézské) souřadnicové soustavě (O, e0 1 , e0 2 , e0 3 ), kde e0 1 = e1 ,

e0 2 = e2 ,

e0 3 = e2 + e3 .

Řešení: Pokud si načtnete ilustrační obrázek, snadno dojdete při tomto jednoduchém zadání k výsledku bez výpočtu (doporučujeme, abyste si hypotézu o výsledku vytvořili). Pokud využijeme vztah (10.11) a uvědomíme-li si, že počátek souřadnicového systému se nemění, tj. vektor b je nulový, můžeme psát [1, 1, 1] = [x0 , y 0 , z 0 ]AT , neboli (vzhledem k přepodkládané regularitě matice A existuje matice inverzní) [x0 , y 0 , z 0 ] = [1, 1, 1](AT )−1 . Matice A má podle (10.5) ve sloupcích souřadnice vektorů nové souřadnicové soustavy vzhledem k původní souřadnicové soustavě, tj. platí     1, 0, 0 1, 0, 0 −1 A =  0, 1, 1  , AT =  0, 1, 0  . 0, 0, 1 0, −1, 1 Všimněte si, že matice A není ortonormální (uvažujte např. druhý a třetí sloupec, resp. velikost vektoru daného třetím sloupcem). Výpočet inverzní matice zde neuvádíme, neboť jde jen o velmi jednoduché cvičení na uplatnění Jordanovy eliminace, resp. výpočtu pomocí algebraických doplňků. Nyní již můžeme psát   1, 0, 0 [x0 , y 0 , z 0 ] = [1, 1, 1]  0, 1, 0  = [1, 0, 1] . 0, −1, 1 Věříme, že se výsledek shoduje s předpokládaným výsledkem na základě vašeho úvodního náčrtku.

10.2

Homogenní souřadnice

Než přistoupíme k popisu geometrických transformací bodů, zavedeme speciální souřadnice bodů – tzv. homogenní souřadnice – pomocí nichž se zjednoduší maticový zápis geometrických transformací. Uspořádanou čtveřici čísel [xh , yh , zh , w] (w 6= 0) nazveme pravoúhlé homogenní souřadnice bodu P v projektivním rozšíření euklidovského prostoru E3 , platí-li: xh yh zh x= , y= , z= w w w

10.3. Geometrické transformace v E2 , resp. v P (E2 )

83

kde čísla x, y, z jsou kartézské souřadnice bodu P . Body, pro které je w = 0, odpovídají vektorům a nazývají se nevlastní body. Tyto body nelze určit jejich kartézskými souřadnicemi. Projektivní rozšíření euklidovského prostoru značíme P (E3 ) a můžeme říci, že vznikne doplněním eukleidovského prostoru o nevlastní body. Z definice je patrné, jak lze převádět homogenní souřadnice vlastních bodů (w 6= 0) na jejich kartézské souřadnice a naopak. Příklad 10.2 Bod A má v daném kartézském systému souřadnic souřadnice [3,2,1]. Za jeho homogenní souřadnice lze volit trojici [3w, 2w, w, w], kde w 6= 0. Např. pro w = 1 jsou to souřadnice [3,2,1,1]. Body (v homogenních souřadnicích) B=[3,2,1,0.5] a C=[3,2,1,2] mají kartézské souřadnice B=[6,4,2] a C=[1,5;1;0,5]. Homogenní souřadnice nevlastního bodu určeného vektorem OA jsou např. [3,2,1,0]. Obdobně lze zavést pravoúhlé homogenní souřadnice bodu P v rovině.

10.3

Geometrické transformace v E2, resp. v P (E2)

Zabývejme se nejprve transformacemi v rovině E2 , resp. v jejím projektivním rozšíření P (E2 ). Bod o souřadnicích [x, y], popř. [xh , yh , w] budeme transformovat do bodu [x0 , y 0 ], popř. [x0h , yh0 , w0 ].

10.3.1

Posunutí neboli translace

Posunutí (translace) je určeno vektorem posunutí p = (xt , yt ). Souřadnice bodu [x, y] se transformují rovnicemi x0 = x + xt , y 0 = y + yt . Je zřejmé, že nevlastní bod určený vektorem (x, y) se posunutím nemění. Použijeme-li homogenní souřadnice, lze obě transformace pro vlastní i nevlastní body zapsat jednotně v maticovém tvaru:   1, 0, 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  0, 1, 0  xt , y t , 1

10.3.2

Otáčení neboli rotace okolo bodu

Otáčení (rotace) kolem počátku O[0, 0] je určeno orientovaným úhlem α. Na obr. 10.2 je znázorněna odpovídající situace. Koeficienty odvodíme z podmínky, že body [0,0], [1,0] a [0,1] se otočí do bodů [0, 0], [cos α, sin α], [− sin α, cos α]. Platí: x0 = x cos α − y sin α ,

y 0 = x sin α + y cos α.

Transformační rovnice přepíšeme do maticového tvaru:   cos α, sin α, 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  − sin α, cos α, 0  . 0, 0, 1 Snadno zjistíme, že w0 = w.

(10.13)

(10.14)


Obrázek 10.2:

10.3.3

84

Obrázek 10.3:

Osová souměrnost

Osová souměrnost je určena osou souměrnosti. Uvedeme transformační rovnice pro případ, kdy osou souměrnosti je některá souřadnicová osa. Platí x0 = ix,

y 0 = jy,

kde i = −1, j = 1 pro souměrnost podle osy y; i = 1, j = −1 pro souměrnost podle osy x. Transformační rovnice pro souměrnost podle osy x přepíšeme do maticového tvaru:   1, 0, 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  0, −1, 0  . (10.15) 0, 0, 1 Podobně je možné uvést maticový zápis souměrnosti podle osy y. Souměrnost podle obecné osy popíšeme pomocí rozkladu na „elementární transformaceÿ – viz odst. 10.3.6

10.3.4

Změna měřítka neboli dilatace

Změna měřítka (dilatace) na souřadnicových osách je určena násobky původních jednotek: x 0 = sx x ,

y 0 = sy y .

Je-li sx = sy = s dostaneme stejnolehlost se středem v počátku O[0, 0] a koeficientem stejnolehlosti s. Maticový zápis transformačních rovnic si snadno představíte. Matice dilatace je diagonální.


10.3.5

85

Obecná afinní transformace

Ŕekneme, že tři body A, B, C jsou kolineární, jsou-li kolineární vektory B − A a C − A. Afinní transformací rozumíme geometrické zobrazení T , které zachovává kolinearitu bodů a jejich dělící poměr, tj. pro každé tři kolineární body A, B, C platí, že body T (A), T (B), T (C) jsou kolineární a pro dělící poměr tří navzájem různých kolineárních bodů A, B, C platí (A, B, C) = (T (A), T (B), T (C)) . Dá se ukázat, že každou afinní transformaci lze popsat v následujícím maticovém tvaru:   a11 , a12 , 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  a21 , a22 , 0  , (10.16) p1 , p2 , 1 a11 , a12 kde matice A = je regulární (tj. má nenulový determinant) a p = (p1 , p2 ) je a21 , a22 vektor posunutí. Pokud bychom upustili od použití homogenních souřadnic, je možné zapsat vztah (10.16) pro body prostoru E2 je tvaru a11 , a12 0 0 + (p1 , p2 ), (10.17) [x , y ] = [x, y] a21 , a22 neboli stručně: X 0 = X · A + p, kde p = (p1 , p2 ) je vektor posunutí. Pokud použijeme homogenních souřadnic a označíme   a11 , a12 , 0 T =  a21 , a22 , 0  , p1 , p2 , 1

(10.18)

(10.19)

máme pro transformaci vlastních i nevlastních bodů vztah X 0 = X · T. Příklad 10.3 Na obr. 10.3 je uveden příklad afinní transformace v rovině. „Stínÿ je odvozen pomocí afinní transformace s maticí   1; 0; 0 [x0 , y 0 , w0 ] = [x, y, w]  1; −0, 5; 0  . (10.20) 0; 0; 1

10.3.6

Skládání transformací

Geometrický objekt je zpravidla podroben posloupnosti uvedených elementárních transformací. Z asociativního zákona pro násobení matic plyne, že matice složené transformace je součinem matic elementárních transformací.


86

V předcházejících odstavcích jsme uvedli některé transformace s tím, že jsme předpokládali speciální určení (např. středem rotace byl počátek, osou souměrnosti byla souřadnicová osa). Složitější transformace můžeme popsat pomocí rozkladu (dekompozice) na transformace elementární. Postup vysvětlíme na příkladu. Příklad 10.4 Najdeme rovnici rovinné transformace pro otáčení kolem bodu A[xA , yA , 1] o úhel α. Řešení: Hledanou transformaci složíme ze tří elementárních transformací. Posunutím o vektor p = (−xA , −yA ) se bod A ztotožní s počátkem O. Po otočení bodů kolem počátku o úhel α posuneme výsledné body zpět o vektor −p . Posloupnost transformací zapíšeme za využití homogenních souřadnic v maticovém tvaru:     1, 0, 0 cos α, sin α, 0 1, 0, 0 1, 0   − sin α, cos α, 0   0, 1, 0  . X 0 = X  0, −xA , −yA , 1 0, 0, 1 xA , y A , 1 Provedeme-li vynásobení uvedených tří matic, obdržíme matici dané transformace ve tvaru   cos α, sin α, 0  − sin α, cos α, 0  . xA (1 − cos α) + yA sin α, yA (1 − cos α) − xA sin α, 1

10.3.7

Inverzní geometrická transformace

Pro inverzní transformaci T −1 k dané transformaci T platí, že složením těchto dvou transformací je identita, tj. transformace, která každému bodu X přiřadí týž bod, tj. X 0 = X. Maticí identity je samozřejmě jednotková matice I. Označme T matici transformace T a L matici transformace T −1 . Pro tyto matice však musí platit vztah T · L = L · T = I, tj. L = T−1 – matice inverzní transformace je inverzní maticí k matici dané transformace.

10.4

Geometrické transformace v E3, resp. v P (E3)

Uvedeme přehled elementárních afinních transformací v prostoru E3 , resp. v P (E3 ). Transformační rovnice zapíšeme v maticovém tvaru. Postupovat budeme rychleji, neboť v mnoha případech je určení transformací v P (E3 ) analogické k uvedeným poznatkům pro prostor P (E2 ). Podrobnější výklad je uveden jen tam, kde tato analogie neexistuje.


10.4.1

87

Posunutí neboli translace

Pro posunutí (translaci) určenou vektorem posunutí p = (xt , yt , zt ) máme transformační rovnici:   1, 0, 0, 0  0, 1, 0, 0   [x0 , y 0 , z 0 , w0 ] = [x, y, z, w]   0, 0, 1, 0  . x t , y t , zt , 1

10.4.2

Otáčení neboli rotace okolo osy

Otáčení (rotace) je určeno osou otáčení a orientovaným úhlem otáčení. Uvedeme matici Rx,α pro otáčení kolem souřadnicové osy x o úhel α, matici Ry,β pro otáčení kolem osy y o úhel β a matici Rz,γ pro otáčení kolem osy z o úhel γ. Snadno stanovíme matici Rz,γ , neboť vztahy pro transformaci složky x a y jsou analogické s rotací bodu okolo počátku – vztah (10.13), souřadnice z se nemění. Další případy, tj. popis rotace okolo osy x a y, získáme cyklickou záměnou os – tab. 10.1. Osa rotace z x y

1. osa x y z

2. osa y z x

Tabulka 10.1:

Pro hledané matice platí:  1, 0, 0, 0  0, cos α, sin α, 0 Rx,α =   0, − sin α, cos α, 0 0, 0, 0, 1

  , 



Ry,β

cos β,  0, =  sin β, 0,

0, − sin β, 1, 0, 0, cos β, 0, 0,

 0 0  , 0  1



Rz,γ

 cos γ, sin γ, 0, 0  − sin γ, cos γ, 0, 0  . =  0, 0, 1, 0  0, 0, 0, 1

Všimněte si, že souměrnost podle osy můžeme v prostoru P (E3 ) nahradit rotací okolo dané osy o úhel ϕ = π. V prostoru P (E2 ) je rotace okolo bodu o úhel ϕ = π souměrností podle daného bodu (středu).

10.4.3

Souměrnost podle roviny

Souměrnost podle roviny je určena rovinou souměrnosti. Uvedeme rovnice pro transformaci bodu souměrností podle jednotlivých souřadnicových rovin:




i,  0, [x0 , y 0 , z 0 , w0 ] = [x, y, z, w]   0, 0,

88

0, j, 0, 0,

0, 0, k, 0,

 0 0   , 0  1

kde i = -1, j = 1, k = 1 pro souměrnost podle roviny yz, i = 1, j = -1, k = 1 pro souměrnost podle roviny xz, i = 1, j = 1, k = -1 pro souměrnost podle roviny xy.

10.4.4

Dilatace

Dilatace neboli změna měřítka na souřadnicových osách je určena nenulovými násobky sx , sy , sz původních jednotek. Maticově můžeme psát:   sx 0 0 0  0 sy 0 0   [x0 , y 0 , z 0 , w0 ] = [x, y, z, w]   0 0 sz 0  . 0 0 0 1 Podobně jako v případu rovinné geometrie dostaneme i zde pro s = sx = sy = sz stejnolehlost se středem stejnolehlosti v počátku a s koeficientem s.

10.4.5

Obecná afinní transformace a projektivní transformace

Podobně jako v rovinném případě můžeme i v prostoru P (E3 ) popsat každou afinní transformaci v následujícím maticovém tvaru:   a11 , a12 , a13 , 0  a21 , a22 , a23 , 0   [x0 , y 0 , z 0 , w0 ] = [x, y, z, w]  (10.21)  a31 , a32 , a33 , 0  , p1 , p2 , p3 , 1   a11 , a12 , a13 kde matice A =  a21 , a22 , a23  je regulární (tj. má nenulový determinant). a31 , a32 , a33 Opět můžeme uvést, že uplatnění obecné afinní transformace je popsáno maticovým součinem X 0 = X · T, kde T je matice transformace. Pro zvídavého čtenáře můžeme ještě doplnit, že obecnější transformací je tzv. projektivní transformace. Ta sice zachovává kolinearitu bodů, ale již může měnit dělící poměr bodů (nemění však podíl dělících poměrů – tzv. dvojpoměr). Popis takového transformace je tvaru (10.21) s tím, že poslední sloupec transformační matice může obsahovat i nenulové prvky. V afinní transformaci vlastnímu bodu byl přiřazen vždy bod vlastní (a nevlastnímu bod nevlastní). Toto již neplatí v případě projektivní transformace. V důsledku to znamená, že projektivní transformace obecně nezachovává rovnoběžnost (afinní transformace rovnoběžnost zachovává). Příkladem projektivního zobrazení je např. perspektivní pohled apod.

10.5. Skládání transformací a inverzní transformace

10.5

89

Skládání transformací a inverzní transformace

Vše, co jsme uvedli o skládání transformací a o inverzní transformaci v rovinném případě, je platné i pro transformace v prostoru P (E3 ). Pro ilustraci uvedeme alespoň jeden příklad. Příklad 10.5 Sestavíme matici souměrnosti podle roviny x − 2z + 3 = 0. Určíme pak obrazy bodů O[0, 0, 0], R[1, 1, 1] a Q[−3, 0, 5] a obraz směru (nevlastního bodu) daného vektorem (1, 0, −2). Řešení: Zvolíme postup, který byl použit již v části věnované rovinným transformacím, tj. provedeme rozklad (dekompozici) hledané transformace T na elementární transformace. Daná rovina je zřejmě rovnoběžná s osou y (koeficient u y je nulový). Transformaci T tedy získáme složením: • posunutí P (rovina souměrnosti bude po posunutí procházet osou y), • rotace R (rovinu souměrnosti převedeme do polohy totožné s rovinou xy), • souměrnosti S podle roviny xy, • rotace R−1 , • posunutí P −1 . Poslední dvě transformace (pozor na pořadí) umístí zpět rovinu souměrnosti do původní polohy. Píšeme T = P −1 ◦ R−1 ◦ S ◦ R ◦ P . Vektor normály dané roviny je n = (1, 0, −2). Určíme dále alespoň jeden bod roviny, např. bod X ∈ x. Volíme tedy z = 0 a máme X[−3, 0, 0]. První transformací bude posunutí P o vektor (3, 0, 0). Rovina souměrnosti prochází po provedení transformace P počátkem a osou y. Nyní provedeme rotaci R, v níž rovina přejde do některé souřadnicové roviny, např. xy. Stanovíme úhel otočení α jako odchylku rovin. Použijeme k tomu normálové vektory n a z, kde z=(0,0,1) je normálový vektor roviny xy. Platí cos α = tj.

|n · z| , |n| · |z|

2√ 2 5. cos α = √ = 5 5 √

Pomocí vztahu sin2 α = 1 − cos2 α vypočteme sin α = 55 . Označme matice, které odpovídají daným transformacím stejnými písmeny, jako jsou označeny dílčí transformace (R bude matice rotace R apod.). Pro matici T výsledné transformace platí (pozor na pořadí): T = P · R · S · R−1 · P−1 ,

10.6. Cvičení

90

tj. 

1,  0, T=   0, 3,

0, 1, 0, 0,

√     2√ 5 5, 0, − , 0 1, 0 5 5   0,  0, 1, 0, 0 0  · · √ √ 0   5 , 0, 2 5, 0   0, 5 5 0, 1 0, 0, 0, 1 √ √   5 2 5, 0, 1, 0, 0, , 0 5 5    0, 1, 0, 0   0, 1, 0, √ ·  − 5 , 0, 2 √5, 0  ·  0, 0, 1 5 5 −3, 0, 0, 0, 0, 0, 1

0, 0, 1 0, 

Provedeme-li naznačené násobení matic, obdržíme  3 4 , 0, , 5 5  0, 1, 0, T=  4 , 0, − 3 , 5 5 , − 65 , 0, 12 5

0, 0, 1, 0, 0, −1 0, 0,  0 0   . 0  1

 0 0  · 0  1

matici výsledné transformace:  0 0   . 0  1

Pro určení nové (transformované) polohy daných vlastních bodů O, R, Q a nevlastního bodu [1, 0, −2, 0] stačí vynásobit homogenní souřadnice daných maticí T. S výhodou můžeme tuto operaci zapsat ve tvaru (řádky první matice jsou dány homogenními souřadnicemi zadaných bodů):   6     3 4 − 5 , 0, 12 0, 0, 0, 1 , 0, , 0 , 1 5 5 5 13  1  1, 1,   1, 1  1, 0, 0   =  5 , 1, 5 , 1  .   ·  0, 3 4  −3, 0, 5, 1   5 , 0, − 5 , 0   1, 0, −3, 1  − 65 , 0, 12 , 1 −1, 0, 2, 0 1, 0, −2, 0 5 Máme tedy T (O) = [− 65 , 0, 12 , 1], T (R) = [ 51 , 1, 13 , 1], T (Q) = [1, 0, −3, 1] a obrazem vektoru 5 5 s = (1, 0, −2) je vektor T (s) = (−1, 0, 2), tj. vektor opačný (jde vlastně o obraz normálového vektoru zadané roviny souměrnosti). Oba vektory s a T (s) určují stejný nevlastní bod, tj. bod, který je v dané transformaci samodružný.

10.6

Cvičení

10.1 Je dána jednotková krychle ABCDA0 B 0 C 0 D0 . Napište transformační rovnice přechodu od −→

−→

−→

−→

−→

−→

kartézského souřadnicového systému {A, AB, AD, AA0 } k systému {C 0 , C 0 D0 , C 0 B 0 , C 0 C}. [x = −x0 + 1, y = −y 0 + 1, z = −z 0 + 1] 10.2 Rozhodněte, zda matice   A=

1 , 2 1 , √2 2 −2,

 √ − √22 , − 12  2 , −√12  2 0, 22

je transformační maticí pro přechod mezi dvěma kartézskými soustavami souřadnic. [využijeme vztahů (10.12) – není]


91

10.3 Sestavte transformační rovnice přechodu mezi dvěma kartézskými systémy souřadnic, jestliže nový systém vznikne z původního otočením kolem osy z o úhel ϕ = − π4 . √ √ [x = 22 (x0 + y 0 ), y = 22 (−x0 + y 0 ), z = z 0 ] 10.4 Určete nové souřadnice bodu M [2, −1, 3], jestliže se kartézská souřadnicová soustava otočí okolo osy z o orientovaný úhel α = π6 . h√ i √ [ 3 − 21 , −1 − 23 , 3 ] 10.5 Sestavte matici geometrické transformace v E2 , která vznikne složením (v tomto pořadí) rotace okolo bodu S[1, 2] o úhel 45o a dilatace, v níž semění měřítko na ose x na√poloviční.   √ 2 2 , , 0 √2 √4    2 , 0  T =  − √42 , 2 √ 1 + 42 , 2 − 32 2, 1 2 10.6 Určete obrazy bodů S[1, 2] a O[0, 0] a vektoru a = (1, 1) v transformaci podle předcházejícího příkladu. h √ √ √ i T (A) = [ 21 , 2] , T (0) = [ 12 + 42 , 2 − 23 2] , T (a) = (0, 2) 10.7 Určete matici inverzní transformace k transformaci podle cvičení 5 z této kapitoly. [ určete T−1 , příp. (pořadí!) T −1 = RS,−450 ◦ Dsx =2 ] 10.8 V prostoru E2 určete afinní transformaci, která má samodružné body O[0, 0] a a obrazem bodu B[0, 1] je bod B 0 [1, 1].   1, 0, T =  1, 1, 0, 0,

A[1, 0]  0 0  1

10.9 Sestavte matici rotace – jako geometrické transformace v E3 , je-li osou rotace přímka o : x = −t , y = 2t , z = −1 .   −1 −1 ; ◦ R ◦ R ◦ P T = P ◦ R y,ϕ o →y o→o 1 1 o→o o →y 1 1 √   2 5 4 1 2 2   cos ϕ + , cos ϕ − , − sin ϕ, 0   5 5 5 5 √    25  5 2 1 4 ϕ − 5 , 5 cos ϕ + 5 , − 5 sin ϕ, 0     5 cos √ √  T= 2 5   5   sin ϕ, sin ϕ, cos ϕ, 0   5 √ √5 5 2 5 sin ϕ, sin ϕ, cos ϕ − 1, 1 5 5 10.10 Maticově popište geometrickou transformaci, která vznikne složením rotace okolo osy z a posunutí ve směru této osy (jde o popis šroubového pohybu).   cos ϕ, sin ϕ, 0, 0    0, 0   matice transformace T =  − sin ϕ, cos ϕ,   0, 0, 1, 0  0, 0, v0 ϕ, 1

10.7

Kontrolní otázky

10.1 Jak se liší homogenní souřadnice vlastního a nevlastního bodu.


92

10.2 Pomocí geometrických transformací v rovině uveďte příklad dvou matic A a B, pro něž A · B = B · A, tj. případ zaměnitelného pořadí dvou transformací. 10.3 Pomocí geometrických transformací v rovině uveďte příklad dvou matic A a B, pro něž A · B 6= B · A, tj. případ nezaměnitelného pořadí dvou transformací. 10.4 Matice transformace v P (E3 ) je tvaru 

α,  0, T=  0, 0,

0, β, 0, 0,

0, 0, γ, 0,

 0 0  . 0  1

Do následující tabulky doplňte pro dané hodnoty diagonálních prvků, o jaké souměrnosti se jedná: α -1 -1 -1 1 1 -1 1

β 1 -1 -1 -1 1 1 -1

γ 1 1 -1 1 -1 -1 -1

souměrnost podle

10.5 K maticím souměrností z předcházející otázky stanovte inverzní transformace a formulujte obecné tvrzení o inverzní transformaci k souměrnosti.

Kapitola 11 Nelineární útvary v rovině a v prostoru 11.1

Vektorové a parametrické vyjádření křivek

Polohu libovolného bodu X v prostoru E3 v kartézské soustavě souřadnic (O, e1 , e2 , e3 ) určíme polohovým vektorem OX. Každé hodnotě parametru t z intervalu J přiřadíme jeden bod X(t), tj. právě jeden polohový vektor X(t). Probíhá-li t interval J, pohybuje se bod X(t) po křivce k. Křivkou k je množina všech bodů X(t) pro t ∈ hd, hi – obr. 11.1. S definicí, která podrobněji uvádí požadavky na vektorovou funkci X(t), se setkáte v rámci diferenciálního počtu po zavedení pojmů spojitost a derivace. Z fyzikálního hlediska představuje parametr t čas a křivka k dráhu (trajektorii) bodu X(t).

Obrázek 11.1:

Rozepsáním vektorové rovnice křivky X(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) · e1 + y(t) · e2 + z(t) · e3

(11.1)

do složek obdržíme parametrické vyjádření x = x(t),

y = y(t),

z = z(t) .

(11.2)

Uvedený postup je zobecněním postupu, který jsme využili při popisu přímky. Pro rovinné křivky, tj. křivky v E2 , je možné postupovat analogicky, resp. vynechat v uvedeném parametrickém vyjádření třetí souřadnice. Uveďme si dále vektorové rovnice některých křivek. Jejich parametrické rovnice utvoříme podle (11.2). 93

11.1. Vektorové a parametrické vyjádření křivek

11.1.1

94

Kružnice

Kružnice o středu O a poloměru r (r > 0) má vektorovou rovnici X(t) = (r · cos t, r · sin t),

t ∈< 0, 2π).

(11.3)

Parametr t je úhel, který svírá polohový vektor X(t) s kladnou poloosou x (obr. 11.2). Snadno zjistíme, že p |X(t)| = r2 cos2 t + r2 sin2 t = r , neboli vzhledem ke vztahu (11.3) x2 + y 2 = r2 . Jestliže má kružnice k střed v bodě S[m, n] a je-li její poloměr r, provedeme posunutí kružnice o vektor s = (−m, −n). Kružnice k přejde do kružnice k 0 = (O, r), kde O je počátek systému souřadnic. Rovnice kružnice k = (S, r) má tedy tvar (x − m)2 + (y − n)2 = r2 .

Obrázek 11.2:

Obrázek 11.3:

Příklad 11.1 Sestavte vektorovou a parametrickou rovnici kružnice k daného poloměru r, jestliže se kružnice dotýká souřadnicových os v jejich kladné části. Řešení: Středem hledané kružnice je bod S[r, r]. Vektorovou rovnici kružnice k získáme z rovnice (11.3) přičtením polohového vektoru S bodu S k pravé straně rovnice, tj. platí X(t) = S + (r · cos t, r · sin t) = = (r + r · cos t, r + r · sin t) , t ∈< 0, 2π) .

(11.4)

Parametrické vyjádření kružnice k je tvaru x = r + r · cos t ,

y = r + r · sin t ,

t ∈< 0, 2π) .


95

Příklad 11.2 Sestavíme parametrické vyjádření epicykloidy, tj. křivky, kterou vytváří bod X při odvalování kružnice h „vnějším obvodemÿ po „vnějším obvoduÿ kružnice p. Uvažujme kružnice h = (H, r) a p = (P, r), kde H[2r, 0], P = O – obr. 11.3. Bod X[r, 0] je bodem dotyku daných kružnic. Řešení: Parametrické rovnice epicykloidy lze sestavit na základě obr. 11.4. Stačí vyjádřit souřadnice bodu H 0 a pak relativně k němu souřadnice bodu X 00 . Jinou možnost řešení úlohy představuje využití geometrických transformací. Epicykloidální pohyb T , tj. pohyb určený odvalováním kružnice h po kružnici p, je geometrickou transformací, kterou můžeme složit následujícím způsobem T = RH 0 ,t ◦ RP,t = PH 0 ◦ RP,t ◦ P−H 0 ◦ RP,t ,

(11.5)

kde t je úhel a H 0 je polohový vektor bodu H 0 – obr. 11.4. Epicykloidální pohyb můžeme tedy složit z rotace okolo počátku P o úhel t, posunutí o vektor −H 0 , další rotace okolo počátku o úhel t a z posunutí o vektor H 0 . Uvedené geometrické transformace zapíšeme maticově. Pro matici výsledné transformace platí 

     cos t, sin t, 0 1, 0, 0 cos t, sin t, 0 0, 1, 0  ·  − sin t, cos t, 0  · T =  − sin t, cos t, 0  ·  0, 0, 1 −2r cos t, −2r sin t, 1 0, 0, 1     1, 0, 0 cos 2t, sin 2t, 0    0, 1, 0 − sin 2t, cos 2t, 0  . · = 2r cos t, 2r sin t, 1 2r(cos t − cos 2t), 2r(sin t − sin 2t), 1 Pro bod X 00 , který je bodem epicykloidy vytvářené bodem X, platí při využití homogenních souřadnic X 00 = X · T, tj.   cos 2t, sin 2t, 0 − sin 2t, cos 2t, 0 = X 00 = (r, 0, 1) ·  2r(cos t − cos 2t), 2r(sin t − sin 2t), 1 = (2r cos t − r cos 2t, 2r sin t − r sin 2t, 1) . Parametrické rovnice hledané epicykoidy jsou x = 2r cos t − r cos 2t ,

y = 2r sin t − r sin 2t ,

t ∈ h0, 2π) .

Výsledná epicykloida je zobrazena na obr. 11.5.

11.1.2

Elipsa

Elipsa o středu O s osami v souřadnicových osách a o poloosách a, b (a > 0, b > 0) má vektorovou rovnici X(t) = (a · cos t, b · sin t), t ∈< 0, 2π). (11.6)


Obrázek 11.4:

96

Obrázek 11.5:

Parametr t je tentokrát úhel, jenž je vyznačen v obr. 11.6. Ze vztahů (11.6) a z obr. 11.6 plyne tzv. trojúhelníková konstrukce bodů elipsy. Strana Xb X trojúhelníku Xa Xb X je rovnoběžná s osou x a strana Xa X tohoto trojúhelníku je rovnoběžná s osou y. Rozepíšeme-li vztah (11.6) do složek, dostaneme parametrické vyjádření x = a · cos t ,

y = b · sin t.

(11.7)

Po zřejmé úpravě rovnic (11.7), jejich umocnění a sečtení, dojdeme k rovnici elipsy ve tvaru x2 y 2 + 2 = 1. (11.8) a2 b Podobně jako v případě kružnice lze ukázat, že pro elipsu se středem S[m, n] a poloosami a > 0, b > 0 na rovnoběžkách se souřadnicovými osami platí (x − m)2 (y − n)2 + = 1. a2 b2

11.1.3

(11.9)

Parabola

Parabola souměrná podle osy y, která má vrchol v počátku O a ohnisko F 0, p2 , p > 0, má vektorovou rovnici 1 2 X(t) = t, · t , t ∈ R. (11.10) 2p Za parametr t je zvolena souřadnice x bodu paraboly (obr. 11.7). Snadno z (11.10) dojdeme k vyjádření paraboly ve tvaru y=

1 2 x , resp. x2 = 2p y . 2p

(11.11)

Pro parabolu s vrcholem V [m, n] a osou v rovnoběžce se souřadnicovou osou y můžeme psát (y − n) =

1 (x − m)2 , resp. (x − m)2 = 2p (y − n) . 2p

(11.12)


97

Příklad 11.3 Parabolu o rovnici y = x2 posuneme tak, aby měla vrchol v bodě V [2, 1], a určíme společné body posunuté paraboly s přímkou p = AB, kde A[0, 1], B[6, 4]. Řešení: Posunutá parabola k má podle (11.12) rovnici (y − 1) = (x − 2)2 . Přímku p vyjádříme parametricky např. ve tvaru x = 2t ,

y =1+t,

t∈R.

(11.13)

Po dosazení z rovnic (11.13) do rovnice paraboly dostáváme kvadratickou rovnici pro parametr t. Platí (1 + t − 1) = (2t − 2)2 , tj. 4t2 − 9t + 4 = 0. Řešení této kvadratické rovnice je tvaru √ 9 ± 17 t12 = . 8 Dosazením za t do rovnice (11.13) určíme dva průsečíky X a Y paraboly k a přímky p. Platí " " √ √ # √ # √ 9 + 17 17 + 17 9 − 17 17 − 17 X , , , Y . 4 8 4 8

Obrázek 11.6:

11.1.4

Obrázek 11.7:

Hyperbola

Vektorové vyjádření hyperboly (obr. 11.9) lze uvést ve tvaru (osy hyperboly leží v souřadnicových osách; a > 0, b > 0) X(t) = (

a , b · tg t) , cos t

t ∈< 0, 2π) ,

t 6=

π 3π , . 2 2

(11.14)

Z těchto vztahů vyplývá konstrukce bodu hyperboly pro danou hodnotu parametru t – viz obr. 11.8.


98

Z vlastností goniometrických funkcí plyne 1 − tg2 t = 1. 2 cos t

(11.15)

Ze vztahů (11.14) a (11.15) vyplývá vyjádření hyperboly ve tvaru x2 y 2 − 2 = 1. a2 b

(11.16)

Pro hyperbolu se středem v bodě S[m, n] a s osami na rovnoběžkách se souřadnicovými osami platí (x − m)2 (y − n)2 − = 1. a2 b2

Obrázek 11.8:

11.1.5

(11.17)

Obrázek 11.9:

Obecná rovnice kuželosečky

Kuželosečkou neboli křivkou druhého stupně rozumíme křivku, kterou lze popsat rovnicí (indexy i, j u koeficientů aij jsou odvozeny z exponentů u x a y v daném členu) a20 x2 + 2a11 xy + a02 y 2 + 2a10 x + 2a01 y + a00 = 0 , kde alespoň jeden z koeficientů a20 , a11 , a02 je nenulový. V maticovém tvaru lze psát     a20 , a11 , a10 x (x, y, 1) ·  a11 , a02 , a01  ·  y  = 0 . a10 , a01 , a00 1

(11.18)

(11.19)

Pro regulární kuželosečku platí, že matice koeficientů v rovnici (11.19) je regulární. Regulárními kuželosečkami jsou: kružnice, elipsa, parabola a hyperbola.


99

V předcházejících odstavcích jsme popsali regulární kuželosečky pro případ speciálního umístění (např. střed kružnice, resp. elipsy, resp. vrchol paraboly byl v počátku systému souřadnic). Pomocí transformace systému souřadnic lze pro regulární kuželosečky převést rovnici kuželosečky z tvaru (11.18) na speciální tvar, tzv. kanonický, který jsme uvedli v předcházejících odstavcích – tab. 11.1. Pokud je v rovnici (11.18) nenulový koeficient a11 (koeficient u smíšeného členu), je možné provést rotaci souřadnicového systému tak, aby při vyjádření kuželosečky v nové soustavě souřadnic byl tento koeficient nulový. Uveďme alespoň jeden konkrétní příklad. Obecněji o této věci pojednává odstavec 11.5. Č.

Název

Signatura

Rovnice

Elipsa 1. kružnice pro a = b

(2,0,0,1)

x2 a2

+

y2 b2

=1

Hyperbola 2. záměna proměnných

(1,1,0,1)

x2 a2

−

y2 b2

=1

Parabola 3. záměna proměnných

(1,0,1,0)

Různoběžné přímky 4. záměna proměnných

(1,1,0,0)

Rovnoběžné přímky 5. záměna proměnných

x2 ± 2py = 0

−

y2 b2

(1,0,0,1)

x2 a2

=1

Totožné přímky 6. záměna proměnných

(1,0,0,0)

x2 = 0

Bod 7. záměna proměnných

(2,0,0,0)

Prázdná množina 8. záměna proměnných

(0,2,0,1)

Prázdná množina 9. záměna proměnných

(0,1,0,1) Tabulka 11.1:

x2 a2

x2 a2

+

y2 b2

2

− xa2 − 2

y2 b2

=0

=0

=1

− xa2 = 1


100

Příklad 11.4 Hyperbolu xy = 1 vyjádříme v systému souřadnic, který vznikne z původního systému otočením okolo počátku o úhel α = π4 . Řešení: Pro transformaci kartézského souřadnicového systému danou rotací o úhel α platí (obr. 11.10) x = x0 · cos α − y 0 · sin α , y = x0 · cos α + y 0 · sin α . (11.20)

Dosadíme-li do dané rovnice xy = 1 vztahy (11.20), dostaneme (x0 · cos α − y 0 · sin α) · (x0 · cos α + y 0 · sin α) = 1 , (11.21) tj. 2

2

x0 · cos2 α − y 0 · sin2 α = 1 .

(11.22)

√

Dosadíme cos α = sin α = 22 a výsledný tvar rovnice dané hyperboly v kartézské soustavě souřadnic (O, x0 , y 0 ) je x0 2 y 0 2 − =1, 2 2

(11.23)

tj. pro √ poloosy a, b z rovnice (11.16) platí a = b = 2.

Obrázek 11.10: = 0. Rovnici kuželosečky upravíme na kano-

V dalším textu budeme předpokládat, že a11 nický tvar a?20 (x − sx )2 + a?02 (y − sy )2 + a?10 (x − px ) + a?01 (y − py ) = a?00 ,

(11.24)

kde a?00 = 1 nebo a?00 = 0 a sx , sy , px , py jsou koeficienty, které udávají posunutí kuželosečky. Převod rovnice kuželosečky (bez smíšeného členu) na kanonický tvar se provede pomocí tzv. doplnění kvadratických členů na úplný čtverec. Pro kanonický tvar rovnice kuželosečky navíc platí: 1. Alespoň jeden z koeficientů a?20 , a?02 je nenulový. 2. Je-li a?20 6= 0, pak a?10 = 0. 3. Je-li a?02 6= 0, pak a?01 = 0. 4. Je-li a?10 6= 0, pak a?00 = 0. 5. Je-li a?01 6= 0, pak a?00 = 0. 6. Je-li a?00 = 0 a počet záporných koeficientů u kvadratických členů je větší než počet kladných koeficientů u kvadratických členů, vynásobíme rovnici číslem −1.

11.2. Vektorové vyjádření kuželových, válcových a rotačních ploch

101

Úpravou rovnice kuželosečky na kanonický tvar minimalizujeme počet nenulových koeficientů v rovnici kuželosečky. Příklad 11.5 Je dána kuželosečka k obecnou rovnicí 2x2 − 4x + 4y + 5 = 0.

(11.25)

Určíme kanonický tvar rovnice kuželosečky k. Řešení: Rovnici (11.25) napíšeme ve tvaru 2(x2 − 2x) + 4y + 5 = 0 a dvojčlen (x2 − 2x) doplníme na úplný čtverec, tj. x2 − 2x = (x − 1)2 − 1. (11.26) Levou stranu rovnice (11.25) lze upravit na tvar 2x2 − 4x + 4y + 5 = 2[(x − 1)2 − 1] + 4y + 5 = 2(x − 1)2 + 4y + 3 = 0.

(11.27)

Výsledný kanonický tvar rovnice dané kuželosečky je 3 2(x − 1)2 + 4(y + ) = 0. 4

(11.28)

Signaturou kuželosečky v kanonickém tvaru (11.24) rozumíme uspořádanou čtveřici čísel (k, z, l, j), kde • k, resp. z, udává počet kvadratických členů s kladným, resp. záporným, koeficientem, • l nabývá hodnoty 0 nebo 1 podle toho, zda po úpravě má rovnice kuželosečky nenulový koeficient u lineárního členu, • j nabývá hodnoty 0 nebo 1 podle toho, které z těchto čísel obsahuje pravá strana upravené rovnice kuželosečky. Poznamenejme, že pro l = 1 je vždy j = 0 a pro j = 0 je k ≥ z. V tab. 11.1 je uvedena klasifikace kuželoseček podle jejich signatur. Je-li u názvu kuželosečky uvedena poznámka „záměna proměnnýchÿ, znamená to, že v uvedené rovnici můžeme vzájemně zaměnit proměnné x a y. Např. zaměníme-li v rovnici paraboly x2 − y = 0 (osou paraboly je osa y) proměnné, dostaneme parabolu y 2 − x = 0 (osou této paraboly je osa x). Příklad 11.6 Pro kuželosečku z příkladu 11.5 stanovíme signaturu a typ kuželosečky. Řešení: Z rovnice (11.28) plyne, že signatura dané kuželosečky je (1,0,1,0). Podle tab. 11.1 se jedná o parabolu. Vrchol V paraboly má souřadnice V [1, − 34 ] a osa o (V ∈ o) paraboly je rovnoběžná s osou y.

11.2

Vektorové vyjádření kuželových, válcových a rotačních ploch

V kartézské soustavě souřadnic v prostoru E3 popíšeme dané plochy vektorovými rovnicemi.

11.2. Vektorové vyjádření kuželových, válcových a rotačních ploch

11.2.1

102

Obecná kuželová plocha

Obecná kuželová plocha je tvořena přímkami, které procházejí jejím vrcholem V a protínají její řídicí křivku k (V 6∈ k), která je dána vektorovou funkcí Y (v), v ∈ Iv (Iv je interval). Označme Y bod řídicí křivky k kuželové plochy a X obecný bod přímky V Y kuželové plochy (obr. 11.11). Vektorovou rovnici obecné kuželové plochy lze zapsat ve tvaru X(u, v) = Y (v) + u(Y (v) − V ) ,

(11.29)

v níž se vyskytují dva parametry: v ∈ Iv je parametr na křivce k a u ∈ R je parametr na přímce V X kuželové plochy.

Obrázek 11.11:

11.2.2

Obrázek 11.12:

Obecná válcová plocha

Obecná válcová plocha je tvořena přímkami, které mají daný směrový vektor a protínají danou řídicí křivku k, danou vektorovou funkcí Y (v), v ∈ Iv . Označme s směrový vektor přímky plochy a Y (t) bod, v němž tato přímka plochy protíná řídicí křivku k. Pro polohový vektor X bodu přímky válcové plochy (obr. 11.12) platí X(u, v) = Y (v) + u · s ,

(11.30)

kde v ∈ Iv je parametr na řídicí křivce k válcové plochy a u ∈ R je parametr na tvořící přímce válcové plochy.

11.2.3

Rotační plocha

Rotační plocha vznikne otáčením tzv. tvořící křivky k kolem osy o. Nechť osou otáčení o je souřadnicová osa z a křivka k je dána vektorovou funkcí Y (v), v ∈ Iv (obr. 11.13).

11.3. Rotační plochy druhého stupně (kvadriky) v E3

103

Pro křivku k označme složky její vektorové rovnice Y (v) = (x(v), y(v), z(v)),

v ∈ Iv .

(11.31)

Trajektorií bodu Y (v) křivky k je kružnice, která leží v rovině kolmé k o = z. Tato kružnice má střed S nap ose o a její poloměr je roven r(v) = |SY (v)| = [x(v)]2 + [y(v)]2 . Pro polohový vektor bodu X rotační plochy platí X(u, v) = (r(v) cos u, r(v) sin u, z(v)) , (11.32) kde pro parametry u, v platí u ∈ h0, 2π) a v ∈ Iv . Tak jsme odvodili vektorovou rovnici rotační plochy, která vznikne rotací křivky k, která může být i prostorová.

11.3

Obrázek 11.13:

Rotační plochy druhého stupně (kvadriky) v E3

Rotační kvadrika vznikne rotací kuželosečky k kolem některé její osy o. Předpokládejme, že rotující kuželosečka k leží v rovině (xz) a osa kuželosečky, okolo níž kuželosečka rotuje, splývá s osou z. Kuželosečka k je dána implicitní rovnicí f (x, z) = 0 – viz vztah 11.18. Uvažujme bod X0 [x0 , 0, z0 ] na dané kuželosečce. Rotací bodu X0 kolem osy z vzniká kružnice, pro jejíž body M [x, y, z] platí z = z0 , x2 + y 2 = x20 , p p tj. x0 = ± x2 + y 2 . Dosazením výrazu ± x2 + y 2 za x do rovnice f (x, z) = 0 dostáváme rovnici rotační kvadriky ve tvaru p f (± x2 + y 2 , z) = 0 . (11.33) Uvedený obecný postup budeme nyní aplikovat v konkrétních případech.

11.3.1

Kulová plocha

Kulovou plochu vytvoří kružnice o rovnici x 2 + z 2 − a2 = 0 při rotaci kolem osy z. Podle (11.33) dostáváme rovnici x 2 + y 2 + z 2 − a2 = 0 .

(11.34)

Kulová plocha (11.34) je množinou všech bodů v prostoru E3 , které mají od počátku O danou vzdálenost a > 0.

11.3. Rotační plochy druhého stupně (kvadriky) v E3

11.3.2

104

Rotační elipsoid

Rotační elipsoid vznikne rotací elipsy o rovnici x2 z 2 + 2 −1=0 a2 b kolem osy z. Rovnice rotačního elipsoidu je tedy x2 y 2 z 2 + + −1=0. a2 a2 b 2

(11.35)

Pokud je a > b mluvíme o zploštělém elipsoidu a pro a < b o protáhlém elipsoidu. Pro a = b dostáváme kulovou plochu.

11.3.3

Rotační paraboloid

Rotační paraboloid vytvoříme rotací paraboly o rovnici x2 − 2pz = 0 kolem osy z. Rovnice rotačního paraboloidu je tvaru x2 + y 2 − 2pz = 0 .

11.3.4

(11.36)

Rotační hyperboloid jednodílný

Rotační hyperboloid jednodílný vytvoříme rotací hyperboly o rovnici x2 z 2 − 2 −1=0 a2 b kolem osy z, tj. okolo vedlejší osy hyperboly. Dostáváme rovnici x2 y 2 z 2 + − 2 −1=0. a2 a2 b

11.3.5

(11.37)

Rotační hyperboloid dvoudílný

Rotační hyperboloid dvoudílný vytvoříme rotací hyperboly okolo její hlavní osy. Uvažujme proto hyperbolu (hlavní osa hyperboly je v ose z) o rovnici z 2 x2 − 2 − 1 = 0. a2 b Rotací okolo osy z vznikne rotační hyperboloid dvoudílný o rovnici −

x2 y 2 z 2 − 2 + 2 −1=0. b2 b a

(11.38)

11.4. Obecná rovnice kvadriky

105

Obrázek 11.14:

11.4

Obrázek 11.15:

Obecná rovnice kvadriky

Pokud uplatníme na rotační kvadriky afinní transformaci dostaneme obecné kvadriky. Existují však kvadriky, které nejsou odvozeny z rotačních kvadrik (např. hyperbolický paraboloid). Podobně jako v případě kuželoseček uvedeme obecnou rovnici kvadriky a provedeme úplnou diskusi typů kvadrik. K tomu použijeme opět pojem signatura. Kvadrikou neboli plochou druhého stupně rozumíme plochu, kterou lze popsat rovnicí (indexy i, j, k u koeficientů aijk jsou odvozeny z exponentů u x, y a z v daném členu) a200 x2 +a020 y 2 +a002 z 2 +2(a110 xy+a101 xz+a011 yz)+2(a100 x+a010 y+a001 z)+a000 = 0 , (11.39) kde alespoň jeden z koeficientů u členů V maticovém tvaru lze psát  a200 ,  a110 , (x, y, z, 1) ·   a101 , a100 ,

druhého stupně (takových členů je šest) je nenulový. a110 , a020 , a011 , a010 ,

a101 , a011 , a002 , a001 ,

  a100 x   a010   y · a001   z a000 1

  =0. 

(11.40)

Pro regulární kvadriky platí, že matice koeficientů v rovnici (11.40) je regulární. Regulárními kvadrikami jsou: kulová plocha, elipsoid (obr. 11.14), eliptický paraboloid (obr. 11.15), hyperbolický paraboloid (obr. 11.16, 11.17 a 11.18), jednodílný hyperboloid (obr. 11.19) a dvoudílný hyperboloid (obr. 11.21). Ze singulárních kvadrik uveďme (kruhovou) kuželovou plochu (obr. 11.22), eliptickou válcovou plochu (obr. 11.23), parabolickou válcovou plochu (obr. 11.24) a hyperbolickou válcovou plochu (obr. 11.25). Určení kanonického tvaru kvadriky pro případ nulových koeficientů u smíšených kvadratických členů v rovnici kvadriky provádíme analogickým postupem, jako v případě kuželoseček.


106

Obrázek 11.16:

Obrázek 11.17:

Definice signatury kanonického tvaru rovnice kvadriky a kuželosečky je stejná. Poznamenejme, že kanonický tvar rovnice kvadriky neobsahuje více než jeden lineární člen (rovněž tato úprava se dosáhne pomocí transformace systému souřadnic). V tab. 11.2 a 11.3 je uvedena úplná klasifikace kvadrik. Příklad 11.7 Rozhodneme, zda kvadrika daná rovnicí x2 − 4x + 2y 2 + z + 1 = 0

(11.41)

je regulární. Řešení: Sestavíme maticový tvar rovnice  1,  0, (x, y, z, 1) ·   0, −2,

dané kvadriky – viz rovnice (11.40):    0, 0, −2 x   2, 0, 0   y  =0. 1 ·  z 0, 0, 2 1 0, 2 , 1 1

(11.42)

Pro matici A řádu 4 ze vztahu (11.42) vypočteme její determinant. Provedeme-li např. rozvoj podle třetího řádku, zjistíme, že |A| = − 21 . Daná kvadrika je tedy regulární. Příklad 11.8 Stanovíme typ kvadriky dané rovnicí 4x2 − 8x + y 2 − 4y + z 2 + 4 = 0 a určíme její určující prvky (střed, poloosy apod.).

(11.43)


107

Obrázek 11.18: Řešení: Provedeme doplnění členů (4x2 − 8x) a (y 2 − 4y) na úplné čtverce. Obdržíme 4x2 − 8x + y 2 − 4y + z 2 + 4 = = [4(x − 1)2 − 4] + [(y − 2)2 − 4] + z 2 + 4 = = 4(x − 1)2 + (y − 2)2 + z 2 − 4 = 0

(11.44)

Kanonický tvar rovnice kvadriky je tudíž (x − 1)2 +

(y − 2)2 z 2 + =1. 4 4

Signatura dané kvadriky je (3, 0, 0, 1) a podle tab. 11.2 jde o elipsoid. Střed elipsoidu S má souřadnice S[1, 2, 0] a pro poloosy platí a = 1, b = c = 2. Protože dvě poloosy mají stejnou délku, jde o elipsoid rotační. Osou rotace je rovnoběžka s osou x a protože je a < b, jde o elipsoid zploštělý. Příklad 11.9 Sestavíme rovnici kulové plochy, která se dotýká rovin (xy) a (yz) a má střed na přímce o : x = 1 − t , y = 2 + 2t , z = 3 + t , t ∈ R . Řešení: Nejprve určíme střed S ∈ o hledané kulové plochy. Množinou středů všech kulových ploch, které se dotýkají daných souřadnicových rovin, jsou dvě roviny σ1 a σ2 (při vynechání bodů osy y). Platí σ1 : x = z , σ2 : x = −z . Snadno stanovíme průsečík S roviny σ1 s přímkou o. Musí platit 1 − t = 3 + t, tj. t = −1. Určili jsme střed S[2, 0, 2] hledané kulové plochy. Poloměr r je určen vzdáleností bodu S od daných souřadnicových rovin, tj. r = 2.


Obrázek 11.19:

108

Obrázek 11.20:

Pro rovinu σ2 se ukáže, že s přímkou o nemá společný bod, tj. jsou spolu rovnoběžné. Daná úloha má tedy jediné řešení a tím je kulová plocha o rovnici (x − 2)2 + y 2 + (z − 2)2 = 4 , neboli x2 + y 2 + z 2 − 4x − 4z + 4 = 0 . Příklad 11.10 Pro kvadriku danou rovnicí (11.41) stanovíme typ kvadriky a její základní určující prvky. Pak určíme i řezy kvadriky rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami. Řešení: Danou rovnici x2 − 4x + 2y 2 + z + 1 = 0 upravíme na kanonický tvar. Obdržíme rovnici (x − 2)2 + 2y 2 + (z + 1) = 0 . (11.45) Signatura kvadriky (11.45) je (2,0,1,0), tj. podle tab. 11.2 jde o eliptický paraboloid (není rotační). Pro vrchol paraboloidu platí V [2, 0, −1]. Osa paraboloidu je rovnoběžná s osou z. Stanovíme řezy plochy rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami. Uvažujme nejprve rovinu rovnoběžnou s rovinou (xy), tj. rovinu o rovnici y = y0 , kde y0 ∈ R je konstanta. Řez takovou rovinou má rovnici (x − 2)2 + 2y02 + (z + 1) = (x − 2)2 + (z + 2y02 + 1) = 0 , tj. řezy rovinami rovnoběžnými se souřadnicovou rovinou (xz) jsou shodné paraboly.


109

Obrázek 11.21: Podobně řezem rovinou rovnoběžnou s rovinou (yz), tj. rovinou o rovnici x = x0 , kde x0 ∈ R je konstanta, jsou shodné paraboly. Dále stanovíme řez rovinou z = z0 , kde z0 ∈ R je konstanta. Řezem je kuželosečka o rovnici (x − 2)2 + 2y 2 = −(z0 + 1); . Pro z0 < −1 (pak je pravá strana uvedené rovnice kladná) je tedy tímto řezem elipsa. Ukázali jsme tak, že daný eliptický paraboloid leží „pod rovinou z = −1ÿ.


Obrázek 11.22:

Obrázek 11.24:

110

Obrázek 11.23:

Obrázek 11.25:


111

Č.

Název

Signatura

Rovnice

1.

Elipsoid kulová plocha . . . a = b = c rotační elipsoid pro dvě čísla stejná

(3,0,0,1)

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

=1

2.

Hyperboloid jednodílný rotační pro a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy)

(2,1,0,1)

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

=1

3.

Hyperboloid dvoudílný rotační pro . . . a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy)

(1,2,0,1)

− xa2 − yb2 + zc2 = 1

4.

Kuželová plocha rotační pro a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy)

(2,1,0,0)

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

5.

Eliptický paraboloid p > 0, rotační pro a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy), znaménko určuje poloprostor z ≤ 0 nebo z ≥ 0 , v němž plocha leží

(2,0,1,0)

x2 a2

+

y2 b2

±

z p

=0

6.

Hyperbolický paraboloid p > 0, cyklická záměna proměnných pro další osy, znaménko určuje orientaci parabol v rovinách xz a yz

(1,1,1,0)

x2 a2

−

y2 b2

±

z p

=0

Tabulka 11.2:

2

2

2

=0


112

Č.

Název

Signatura

Rovnice

7.

Eliptický válec rotační pro a = b (osa rotace z, cyklická záměna pro další osy)

(2,0,0,1)

x2 a2

+

y2 b2

=1

8.

Hyperbolický válec cyklická záměna pro další osy

(1,1,0,1)

x2 a2

−

y2 b2

=1

9.

Parabolický válec p > 0, cyklická záměna pro další osy, znaménko určuje poloprostor y ≤ 0 nebo y ≥ 0 , v němž plocha leží

(1,0,1,0)

x2 a2

±

y p

10.

Různoběžné roviny cyklická záměna proměnných

(1,1,0,0)

x2 a2

−

y2 b2

11.

Rovnoběžné roviny cyklická záměna proměnných

(1,0,0,1)

x2 a2

=1

12.

Totožné roviny záměna proměnných

(1,0,0,0)

x2 = 0

13.

Bod – počátek

(3,0,0,0)

x2 a2

+

y2 b2

+

14.

Přímka – osa z cyklická záměna proměnných

(2,0,0,0)

x2 a2

+

y2 b2

=0

15. 16. 17.

Prázdná množina případně záměna proměnných

(0,3,0,1) (0,2,0,1) (0,1,0,1)

− xa2 − yb2 − zc2 = 1 2 2 − xa2 − yb2 = 1 2 − xa2 = 1

Tabulka 11.3:

2

=0

=0

2

z2 c2

=0

2

11.5. Kuželosečky a kvadriky v obecné poloze

11.5

113

Kuželosečky a kvadriky v obecné poloze

V předcházejícím textu jsme uvedli obecné vyjádření kuželoseček – vztah (11.19) a pro kvadriky – vztah (11.40). Obecně můžeme napsat obě rovnice ve tvaru Xh · Ah · XTh = 0, kde Xh je bod objektu v homogenních souřadnicích a Ah je matice dané kuželosečky nebo kvadriky. Pro potřeby dalšího výpočtu označme A tu část matice Ah , která obsahuje koeficienty u kvadratických členů, tj. pro kvadriky platí   a200 , a110 , a101 A =  a110 , a020 , a011  a101 , a011 , a002 a označme B = (a100 , a010 , a001 ), X = (x, y, z). Obecnou rovnici kvadriky pak můžeme psát ve tvaru X A, BT · =0 (X, 1) · B, a000 1 Určíme odpovídající transformaci daného kvadratického objektu tak, aby po transformaci byly ve výsledné rovnici nulové koeficienty u smíšených kvadratických členů. Určujeme tedy matici Th popisující afinní transformaci: T, 0T , Th = P, 1 kde T je čtvercová matice řádu 3, P je vektor o třech složkách a 0 je nulový vektor o třech složkách. Vzhledem k pravidlu (X · Y)T = YT · XT pro transponování součinu matic obdržíme A, BT X T · Th · (X, 1) · Th · = 0, B, a000 1 tedy po uplatnění asociativity násobení matic a po dosazení ˜T T · A · TT , B X (X, 1) · · = 0. ˜ 1 B , a ˜000 I když to pro další úvahy není podstatné, uveďme, že ˜ = P · A · TT + B · TT B a ˜000 = P · A · PT + B · PT + P · BT + a000 .

(11.46)

Dále si všimneme součinu T · A · TT = D. Afinní transformací chceme dosáhnout toho, aby matice D byla diagonální, to totiž odpovídá právě požadavku, aby v rovnici kvadriky byly nulové koeficienty u smíšených kvadratických členů. V lineární algebře se dokazuje, že k symetrické matici (a matice A je symetrická) existují uvedené matice D a T. Matice D

11.5. Kuželosečky a kvadriky v obecné poloze

114

má za diagonální prvky vlastní čísla matice A a transformační matice T má za řádky vlastní vektory odpovídající těmto vlastním číslům. Zcela stejně lze postupovat i v případě vyšetřování kuželoseček. Uvedené vztahy jsme zapsali maticově, a tak se v případě kuželoseček jen sníží příslušným způsobem rozměry použitých objektů. Na druhou stranu jsme neuvedli všechny detaily vyšetřování kvadratických objektů pomocí vlastních vektorů a vlastních čísel příslušné matice. Jde např. o případ, kdy jsou dvě vlastní čísla matice stejná. V případě shodných nenulových vlastních čísel matice kvadriky je kvadrika rotační. Poznamenejme dále, že nulové vlastní číslo dokazuje, že kvadratický objekt je singulární apod. Uvedený postup si znovu objasníme na příkladu. Příklad 11.11 Určíme typ a základní charakteristiky kvadriky x2 + 2xy − 2xz = 1. Řešení: Maticově můžeme psát 

1,  1, (x, y, z, 1) ·   −1, 0,

  1, −1, 0 x   0, 0, 0   y · 0, 0, 0   z 0, 0, −1 1

   = 0. 

Snadno zjistíme, že matice kvadriky je singulární (třetí řádek je násobkem druhého řádku), tedy půjde o singulární kvadriku. Určíme vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice   1, 1, −1 0 . A =  1, 0, −1, 0, 0 Sestavíme determinant λ − 1, −1, 1 λ, 0 det(λI − A) = −1, 1, 0, λ a obdržíme rovnici λ2 (λ − 1) − λ − λ = 0, tj. λ(λ2 + λ − 2) = 0. Snadno zjistíme, že vlastní čísla matice A jsou λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 2. Nyní určíme vlastní vektory matice A odpovídající vypočteným vlastním číslům. Zároveň vlastní vektory znormujeme. Určení vlastních vektorů provedeme řešením soustav A · (x, y, z)T = λi · (x, y, z)T , i = 1, 2, 3.

11.6. Cvičení

115

Jedná se tedy o homogenní soustavy s maticemi     2, 1, −1 −1, 1, −1 0  , V3 =  1, −2, 0  V1 = A, V2 =  1, 1, −1, 0, 1 −1, 0, −2 Normovanými vlastními vektory jsou např. vektory √ √ √ 2 3 6 (0, 1, 1), v 2 = (1, −1, 1), v 3 = (−2, −1, 1). v1 = 2 3 6 Snadno sestavíme matice Th a vyjádříme kvadriku v souřadnicové soustavě (O, v 1 , v 2 , v 3 ). Platí    √ √  2 2 0, , , 0 1, 1, −1, 0 2 2 √ √ √   0, 0   √33 , − √33 , √33 , 0   T  1, 0, · Th · Ah · Th =  ·  0, 0   − 36 , − 66 , 66 , 0   −1, 0, 0, 0, 0, −1 0, 0, 0, 1    √ √  3 , − √36 , 0 1, 0, 0, 0, 0 3 √ √  2  0, 0   √2 , − √33 , − √66 , 0    0, −1, . = ·  2   0, 3 6 0, −2, 0   2,  , , 0 3 6 0, 0, 0, −1 0, 0, 0, 1 Kanonický tvar rovnice dané kvadriky po transformaci souřadnic je −˜ y 2 + 2˜ z 2 = 1. Jde o hyperbolickou válcovou plochu s řídící hyperbolou v rovině určené počátkem a vektory v2 a v3.

11.6

Cvičení

11.1 Kružnice má rovnici x2 + y 2 − 2x + 4y − 20 = 0. Napište její vektorovou rovnici. [r(t) = (1 + 5 cos t, −2 + 5 sin t), t ∈ h0, 2π)] 11.2 Napište vektorovou rovnici, resp. parametrické rovnice elipsy, která má střed S[2, −1] a poloosy a = 3, b = 2. Její hlavní osa je rovnoběžná s osou x. [r(t) = (2 + 3 cos t, −1 + 2 sin t), t ∈ h0, 2π)] 11.3 Eliminujte parametr t z parametrických rovnic paraboly x = 3t, y = 4t − 5t2 , t ∈ R. [y = 43 x − 59 x2 ] 11.4 Odvoďte parametrické rovnice obyčejné cykloidy, kterou opisuje bod kružnice odvalující se po přímce. Poloměr této kružnice je r. [x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), t ∈ R] 11.5 Odvalováním přímky po křivce k vzniká jako dráha bodu tzv. evolventa dané křivky k. Sestavte parametrické rovnice evolventy kružnice o poloměru r. [x = r(cos t + t sin t), y = r(sin t − t cos t), t ∈ R]

11.6. Cvičení

116

11.6 Vypočtěte souřadnice bodů s parametry t = 0, π4 , π2 , 3π , π ležících na křivce r(t) = 4 √ √ ( 2 cos t, 2 cos t, 2 sin t). √ √ √ √ √ √ [[ 2, 2, 0], [1, 1, 2], [0, 0, 2], [−1, −1, 2], [− 2, − 2, 0]] 11.7 Napište vektorovou a implicitní rovnici rotační kuželové plochy, která má vrchol v počátku a její řídicí kružnice o rovnici x2 + y 2 = a2 leží v rovině z = 1. [r(u, v) = (av cos u, av sin u, v), u ∈ h0, 2π), v ∈ R, x2 + y 2 − a2 z 2 = 0] 11.8 Napište vektorovou a implicitní rovnici kuželové plochy o vrcholu V v počátku O, jejíž řídicí křivka k je elipsa o vektorové rovnici r(t) = (a cos t, b sin t, 1), a > 0, t ∈ h0, 2π). 2 2 [r(t, v) = (av cos t, bv sin t, v), v ∈ R, xa2 + yb2 − z 2 = 0] 11.9 Napište vektorovou a implicitní rovnici válcové plochy, jejíž řídicí parabola o rovnici y 2 − 4x = 0 leží v rovině z = 0 a její přímky mají směr určený vektorem s = (1, 2, 3). 2 [r(t, v) = ( t4 + v, t + 2v, 3v), t ∈ R, v ∈ R, 9y 2 + 4z 2 − 12yz − 36x + 12z = 0] 11.10 Kružnice k leží v rovině y = 0 a má rovnici (x − b)2 + z 2 = a2 . Při otáčení kolem osy z vytvoří plochu, jíž říkáme anuloid. Napište implicitní rovnici této plochy. [4b2 (x2 + y 2 ) = (x2 + y 2 + z 2 + b2 − a2 )2 ] 11.11 Napište vektorovou rovnici kulové plochy o středu S a poloměru a.

[|X − S| = a]

11.12 Rotační elipsoid má implicitní rovnici x2 y 2 z 2 + + −1=0. a2 a2 b 2 Sestavte jeho parametrické rovnice při použití sférických souřadnic. [x = a cos ϕ cos ψ, y = a sin ϕ cos ψ, z = b sin ψ, a > 0, b > 0, ϕ ∈ h0, 2π), ψ ∈ − π2 , π2 ] 11.13 Ukažte, že všechny roviny rovnoběžné s osou z protínají kvadriku o rovnici x2 +y 2 −z = 0 ve shodných parabolách. Návod: Ukažte, že jde o rotační paraboloid a uvažujte řezy rovinami y =konst. 11.14 Ukažte, že rotací přímky p, která je mimoběžná s osou rotace a není k ní kolmá, vznikne jednodílný rotační hyperboloid. Návod: Osu rotace volte v ose z a přímku p o směrnici ab v rovině x = a. [viz ( 11.37)] 11.15 Určete typ kvadriky 4x2 + y 2 − 4z 2 − 16x − 2y + 21 = 0. Zjistěte její určující prvky. [dvoudílný (nerotační) hyperboloid; střed S[2, 1, 0]] 11.16 Určete typ kvadriky 2x2 − 3y 2 − 8x + 12y + 10 = 0. [hyperbolická válcová plocha] 11.17 Určete typ kvadriky 4y 2 + z 2 + x + 16y − 3 = 0. Zjistěte její určující prvky. [eliptický (nerotační) paraboloid; vrchol V [19, −2, 0], osa rovnoběžná s osou x, řezy rovinami x = x0 , x0 < 19, jsou elipsy] 11.18 Určete typ kvadriky −4x2 + 9y 2 + 36z = 0 a stanovte řezy rovinami y = λx, λ ∈ R. [hyperbolický paraboloid; řezem je pro λ 6= ± 32 parabola, pro λ = ± 23 jsou řezem přímky]


11.7

117

Kontrolní otázky

11.1 Kolika jednoduchými podmínkami, tj. např. kolika obecnými body, je určena kuželosečka? (Návod: Určete počet volitelných koeficientů v obecné rovnici kuželosečky.) 11.2 Vyjmenujte rotační kvadriky. 11.3 Kolika jednoduchými podmínkami, tj. např. kolika obecnými body, je určena kvadrika? (Návod: Určete počet volitelných koeficientů v obecné rovnici kvadriky.) 11.4 Vysvětlete pojem kanonický tvar rovnice kvadriky (kuželosečky). 11.5 Uveďte metody, kterými je možné upravit obecnou rovnici kvadriky na kanonický tvar. 11.6 Matice kuželosečky má vlastní čísla λ1 = 2, λ2 = 3. O jakou kuželosečku jde? (Návod: Jsou dvě možnosti.) 11.7 Matice kvadriky má vlastní čísla λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2. O jakou kvadriku jde? (Návod: Jsou dvě možnosti.)

Literatura [1] Bohne, E. – Klix, W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag 1995. [2] Ježek, F. – Míková, M.: Maticová algebra a analytická geometrie. Plzeň, ZČU 2003. [3] Rogers, D.F. – Adams, J.A.: Mathematical Elements for Computer Graphics. New York, Mc Graw–Hill 1990. [4] Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL 1965. [5] Urban, A.: Deskriptivní geometrie II. Praha, SNTL 1967.

118

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 2. Pomocný učební text - díl II

Recommend Documents