Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Geometrie Pomocný učební text

František Ježek, Světlana Tomiczková

Plzeň – 20. září 2004 – verze 2.0

Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie, který vyučujeme pro studenty prvního ročníku Strojní fakulty. Snažili jsme se napsat velice stručné a jednoduché pojednání. Věříme, že je to ta forma, kterou studenti potřebují. Rádi bychom tímto textem odstranili především časté studijní neúspěchy. Pokud jsme v textu nechali nedopatření, resp. pokud je text někde nesrozumitelný, prosíme o sdělení takových poznatků. Ideální cestou je použití e-mailu a adresy [email protected]. Zvláště pilní hledači chyb a překlepů budou odměněni. Věříme, že tou odměnou ale bude především úspěšné složení zkoušky, neboť ten, kdo našel chybu, zpravidla přemýšlel. Právě geometrie je příležitostí k ověření myšlenkového potenciálu.

Autoři

2

Obsah 1 Opakování stereometrie 1.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . 1.2 Axiómy . . . . . . . . . . . 1.3 Určování odchylek . . . . . 1.3.1 Odchylka mimoběžek 1.3.2 Odchylka dvou rovin 1.4 Kritéria rovnoběžnosti . . . 1.5 Kritéria kolmosti . . . . . . 1.6 Otáčení v prostoru . . . . . 1.7 Dělící poměr . . . . . . . . . 1.8 Kontrolní otázky . . . . . .

. . . . . . . . . .

6 6 6 7 7 7 7 8 8 9 10

2 Nevlastní elementy 2.1 Úvodní úvaha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nevlastní bod, přímka a rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 11 12

3 Základy promítání 3.1 Úvod . . . . . . . . . . 3.2 Středové promítání . . 3.3 Rovnoběžné promítání 3.4 Pravoúhlé promítání . 3.5 Středová kolineace . . 3.6 Osová afinita . . . . . 3.7 Kontrolní otázky . . .

. . . . . . .

13 13 13 14 15 15 18 20

. . . . . . . .

21 21 21 22 24 27 27 30 32

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

4 Mongeovo promítání 4.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Obraz bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Obraz přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Obraz roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Polohové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Přímka v rovině (základní úloha Z1) . 4.5.2 Bod v rovině (základní úloha Z2) . . . 4.5.3 Rovnoběžné roviny (základní úloha Z3)

3

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

Obsah

4.6

4.7

4

4.5.4 Průsečík přímky s rovinou (základní úloha Z4) . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5 Průsečnice dvou rovin (základní úloha Z5) . . . . . . . . . . . . . . . . . Metrické úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Skutečná velikost úsečky (základní úloha Z6) . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Nanesení úsečky na přímku (základní úloha Z7) . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Přímka kolmá k rovině (základní úloha Z8) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Rovina kolmá k přímce (základní úloha Z9) . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Otočení roviny do polohy rovnoběžné s průmětnou (základní úloha Z10) . 4.6.6 Obraz kružnice (základní úloha Z11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.7 Transformace průměten (základní úloha Z12) . . . . . . . . . . . . . . . Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Axonometrie 5.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Klasifikace axonometrií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Zobrazení bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Zobrazení přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Zobrazení roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Úlohy v axonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Vzájemná poloha přímek . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Přímka v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Průsečík přímky s rovinou . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4 Průsečnice rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.5 Kružnice v souřadnicové rovině . . . . . . . . . . . 5.7 Pravoúhlá axonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Metrické úlohy v rovinách xy, yz, zx . . . . . . . . 5.7.2 Obraz kružnice ležící v některé souřadnicové rovině 5.8 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Křivky 6.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Klasifikace křivek . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Tečna a normála křivky . . . . . . . . . . 6.1.3 Klasifikace bodů křivky . . . . . . . . . . . 6.1.4 Rektifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5 Oskulační rovina a oskulační kružnice . . . 6.1.6 Obálka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.7 Ekvidistanta . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.8 Cykloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.9 Evoluta a evolventa . . . . . . . . . . . . . 6.1.10 Řídící kuželová plocha . . . . . . . . . . . 6.2 Šroubovice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Parametrické vyjádření šroubovice . . . . . 6.2.3 Tečna šroubovice a její průvodní trojhran .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

33 34 36 36 38 39 41 41 45 45 47

. . . . . . . . . . . . . . .

48 48 49 50 51 52 53 53 54 55 56 57 58 59 61 62

. . . . . . . . . . . . . . .

63 63 63 64 64 64 65 66 66 66 67 67 68 68 69 69

Obsah

5

6.3

Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Obecné poznatky o plochách 72 7.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.2 Úlohy na plochách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.3 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8 Rotační plochy 8.1 Základní pojmy . . . . . . . 8.2 Vlastnosti rotačních ploch . 8.3 Klasifikace rotačních ploch . 8.4 Úlohy na rotačních plochách 8.5 Průniky rotačních ploch . . 8.6 Rotační kvadriky . . . . . . 8.7 Kontrolní otázky . . . . . .

. . . . . . .

76 76 77 77 78 80 81 82

. . . . .

83 83 83 84 84 85

10 Elementární plochy 10.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Řezy na elementárních plochách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Průsečíky přímky s plochou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 87 91

. . . . . . .

9 Šroubové plochy 9.1 Základní pojmy . . . . . . . . 9.2 Vlastnosti šroubových ploch . 9.3 Klasifikace šroubových ploch . 9.4 Úlohy na šroubových plochách 9.5 Kontrolní otázky . . . . . . .

11 Obalové plochy 11.1 Základní pojmy . . . . . . . . 11.2 Charakteristika roviny . . . . 11.3 Charakteristika kulové plochy 11.4 Metoda kulových ploch . . . . 11.5 Metoda tečných rovin . . . . . 11.6 Kontrolní otázky . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

94 94 95 97 100 102 104

12 Rozvinutelné plochy 12.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Typy rozvinutelných ploch . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Metody komplanace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Metoda normálového řezu . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Metoda triangulace . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Tečna křivky v rozvinutí . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy . . . . . . . . . 12.6 Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy 12.7 Kontrolní otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

106 106 106 107 107 108 109 109 110 111

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Kapitola 1 Opakování stereometrie 1.1

Úvod

Na úvod připomeneme základní pojmy a věty z prostorové geometrie, které budeme používat v dalších kapitolách.

1.2

Axiómy

Axiómy jsou jednoduchá tvrzení, která nemůžeme dokázat. Z nich se potom odvozují další věty. Tento systém axiómů použil před více než 2000 lety slavný řecký geometr Euklides k vybudování prostorové geometrie. Geometrii vybudované na tomto systému axiómů říkáme Euklidovská geometrie. Uvedeme si pět základních axiómů prostorové geometrie: 1. axióm: Dva různé body A, B určují právě jednu přímku p. Symbolicky tuto větu zapíšeme: ∀A, B; A 6= B ∃! p = AB. 2. axióm: Přímka p a bod A, který neleží na přímce p, určují právě jednu rovinu α. Symbolicky: ∀A, p; A ∈ / p ∃! α = (A, p). 3. axióm: Leží-li bod A na přímce p a přímka p v rovině α, leží i bod A v rovině α. Symbolicky: ∀A, p, α; A ∈ p ∧ p ⊂ α ⇒ A ∈ α. 4. axióm: Mají-li dvě různé roviny α, β společný bod P , pak mají i společnou přímku p a P leží na p. Symbolicky: ∀α, β, α 6= β : P ∈ α ∩ β ⇒ ∃! p : P ∈ p ∧ α ∩ β = p. 5. axióm: Ke každé přímce p lze bodem P , který na ní neleží, vést jedinou přímku p0 rovnoběžnou s p. Symbolicky: ∀A, p : A ∈ / p ⇒ ∃! p0 : p0 ||p ∧ A ∈ p0 . Uvedených pět axiómů tvoří základ, ale museli bychom je doplnit o další axiómy, aby systém dovoloval vybudování klasické geometrie. Není však cílem tohoto textu uvést úplný přehled axiómů a vět prostorové geometrie. Zaměříme se jen na takové vztahy, které budeme přímo využívat v dalším výkladu.

6

1.3. Určování odchylek

1.3

7

Určování odchylek

V rovině umíme určit odchylku přímek, které jsou různoběžné. Protože se zabýváme prostorovými vztahy, nadefinujeme si i odchylku dvou mimoběžek a ukážeme si i, jak lze určit odchylku dvou rovin.

1.3.1

Odchylka mimoběžek

1. V prostoru jsou dány dvě mimoběžky a, b. 2. Libovolným bodem M vedeme přímku a0 rovnoběžnou s přímkou a a přímku b0 rovnoběžnou s přímkou b. 3. Odchylka mimoběžek a, b je rovna odchylce přímek a0 , b0 .

1.3.2

Obrázek 1.1:

Odchylka dvou rovin

Uvedeme dva způsoby, jak určit odchylku dvou různoběžných rovin α a β. 1. způsob - obr. 1.2 1. 2. 3. 4.

Sestrojíme průsečnici p rovin α a β Sestrojíme rovinu γ kolmou na p. Sestrojíme průsečnici a rovin α a γ a průsečnici b rovin β a γ. Odchylka ϕ přímek a, b je odchylkou rovin α a β.

2. způsob - obr. 1.3 1. Libovolným bodem M vedeme kolmici n k rovině α. 2. Stejným bodem M vedeme kolmici n0 k rovině β. 3. Odchylka přímek n, n0 je odchylkou rovin α a β.

1.4

Kritéria rovnoběžnosti

Věta 1.1 Kritérium rovnoběžnosti přímky s rovinou. Přímka p je rovnoběžná s rovinou α, právě když existuje přímka p0 ležící v rovině α, rovnoběžná s přímkou p. Věta 1.2 Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin. Rovina α je rovnoběžná s rovinou β, právě když existují různoběžky a, b ležící v rovině α a rovnoběžné s rovinou β.

1.5. Kritéria kolmosti

1.5

8

Obrázek 1.2:

Obrázek 1.3:

Obrázek 1.4:

Obrázek 1.5:

Kritéria kolmosti

Věta 1.3 Kritérium kolmosti přímky a roviny. Přímka p je kolmá k rovině α, jestliže je kolmá ke dvěma různoběžkám a, b ležícím v rovině α. Věta 1.4 Kritérium kolmosti dvou rovin. Rovina α je kolmá k rovině β, jestliže v rovině α existuje přímka p kolmá k rovině β (tj. kolmá ke dvěma různoběžkám a, b ležícím v rovině β).

1.6

Otáčení v prostoru

Transformacím bude věnována celá kapitola. Nyní si pouze připomeneme základní vlastnosti otáčení (rotace), protože otáčení budeme potřebovat při studiu zobrazovacích metod. Popíšeme otáčení v prostoru okolo osy o o úhel ϕ. Body osy otáčení jsou samodružné (zobrazí se samy na sebe). Bod A se otáčí po kružnici k. Určíme střed S kružnice k, poloměr r a rovinu ρ, ve které kružnice k leží - obr. 1.8. • Rovina otáčení ρ prochází bodem A a je kolmá k ose otáčení o. • Střed otáčení S je průsečíkem osy o s rovinou ρ.

1.7. Dělící poměr

9

Obrázek 1.6:

Obrázek 1.7:

Obrázek 1.8:

Obrázek 1.9:

• Poloměr otáčení r je velikost úsečky AS, píšeme r = |AB|. Příklad 1.1 Jsou dány různoběžné roviny α a π, v rovině α je dán bod A. Napíšeme postup pro otočení bodu A do roviny π - obr. 1.9. Řešení: 1. 2. 3. 4.

Osou otáčení o je průsečnice rovin α a π (o = α ∩ π). Rovina otáčení ρ je kolmá k ose o a prochází bodem A (ρ ⊥ o ∧ A ∈ ρ). Střed otáčení S získáme jako průsečík osy o a roviny ρ (S = o ∩ ρ). Velikost úsečky SA je poloměr otáčení (r = |SA|).

1.7

Dělící poměr

Na orientované přímce p jsou dány dva různé body A, B. Bod C 6= B je libovolný bod přímky p. Dělící poměr bodu C vzhledem k bodům A, B je číslo −→ −−→ λ = (A, B, C) = d(AC) : d(BC),

1.8. Kontrolní otázky

10

−→ −−→ kde d(AC), d(BC) jsou orientované délky příslušných úseček. Například je-li bod C středem úsečky AB, jeho dělící poměr vzhledem k bodům A, B je −→ −−→ λ = −1, což plyne ze vztahu d(AC) = −d(BC). Obráceně ke každému číslu λ 6= 1 můžeme sestrojit na dané orientované přímce AB bod, jehož dělící poměr vůči bodům A, B je dané číslo λ.

1.8

Kontrolní otázky

1.1 Popište, jak lze určit odchylku dvou rovin. 1.2 Uveďte kritérium kolmosti přímky a roviny a kritérium kolmosti dvou rovin.

Kapitola 2 Nevlastní elementy 2.1

Úvodní úvaha

Je dána přímka q a bod P , který na této přímce neleží. Bodem P prochází přímka p (obr.1). Otáčíme přímkou p kolem bodu P a sestrojujeme průsečíky přímky p s přímkou q.

Obrázek 2.1: V určitém okamžiku se přímka p dostane do speciální polohy (p k q), kdy průsečík neexistuje. Nyní nastávají dvě možnosti: buď ve svých úvahách budeme uvádět tento případ zvlášť, nebo si pomůžeme tím, že i pro tuto situaci zavedeme “průsečík” a budeme rovnoběžky považovat za přímky, které mají společný bod. Tento průsečík, který ovšem nemůžeme zobrazit, nazveme nevlastním bodem.

2.2

Nevlastní bod, přímka a rovina

Definice 2.1 Všechny navzájem rovnoběžné přímky v prostoru mají společný právě jeden bod, který nazýváme nevlastním bodem. (Někdy říkáme, že rovnoběžné přímky mají stejný směr - nahradili jsme tedy pojem směr pojmem nevlastní bod.) - obr. 2.2 Podobnou úvahu jako v obr.1 můžeme provést pro dvě roviny a vyslovíme další definice: 11


Obrázek 2.2:

12

Obrázek 2.3:

Definice 2.2 Všechny navzájem rovnoběžné roviny v prostoru mají společnou právě jednu přímku, kterou nazýváme nevlastní přímkou - obr. 2.3. Definice 2.3 Nevlastní rovina je množina všech nevlastních bodů a nevlastních přímek. Nevlastní útvary označujeme stejně jako vlastní, pouze připojujeme index ∞. Tedy např. A∞ je nevlastní bod, p∞ je nevlastní přímka apod. Euklidovský prostor obsahuje pouze vlastní útvary. Jestliže k němu přidáme právě zavedené nevlastní body, přímky a roviny, dostaneme nový prostor, který nazýváme projektivně rozšířený euklidovský prostor (nebo zkráceně rozšířený euklidovský prostor). V rozšířeném euklidovském prostoru platí pro vlastní útvary všechny axiomy a věty, které platily v euklidovském prostoru. Pro nevlastní útvary musíme předpokládat platnost dalších tvrzení o incidenci vlastních a nevlastních útvarů: • Na každé vlastní přímce leží právě jeden nevlastní bod. • V každé vlastní rovině leží právě jedna nevlastní přímka. • Nevlastní body všech vlastních přímek jedné roviny leží na nevlastní přímce této roviny. Poznámka 2.1 Nevlastní bod na vlastní přímce značíme A∞ a někdy připojujeme k příslušné přímce šipku, což ale nesmí vést k domněnce, že na vlastní přímce existují dva různé nevlastní body. Vlastní přímka má jediný nevlastní bod, neboť patří jednomu systému navzájem rovnoběžných přímek. Dvě rovnoběžné přímky mají jeden společný nevlastní bod.

2.3

Kontrolní otázky

2.1 Definujte nevlastní bod přímky. 2.2 Kolik nevlastních bodů leží na jedné přímce (rozlište přímku vlastní a nevlastní)? 2.3 Je pravdivé tvrzení, že v rozšířené euklidovské rovině mají dvě různé přímky právě jeden společný bod? Je toto trvzení pravdivé i pro rozšížený euklidovský prostor?

Kapitola 3 Základy promítání 3.1

Úvod

Deskriptivní geometrie se zabývá studiem takových zobrazení, kterými můžeme zobrazit prostorové útvary do roviny a naopak. Zpravidla požadujeme, aby tato zobrazení byla vzájemně jednoznačná. Vzájemně jednoznačným zobrazením v deskriptivní geometrii říkáme zobrazovací metody. Protože deskriptivní geometrie vznikla z potřeb praxe, je důležité, aby bylo možné snadno vyčíst velikost objektů, jejich tvar a vzájemnou polohu jednotlivých částí. Další požadavky se týkají názornosti a snadného řešení stereometrických úloh. Procesu našeho vidění se nejvíce blíží středové promítání a jeho speciální případ lineární perspektiva. Tyto zobrazovací metody jsou velmi názorné a často se s nimi setkáváme v situacích, kdy je třeba reálné zobrazení světa, například v umění nebo architektuře. Nevýhodou středového promítání je složitost konstrukcí a obtíže s měřením délek. Proto se v technické praxi více používají zobrazovací metody, které můžeme označit společným názvem rovnoběžná promítání. V následujícím textu se tedy velmi krátce zmíníme o principech středového promítání, ale podrobněji se budeme zabývat promítáním rovnoběžným a jeho speciálním případem - pravoúhlým promítáním.

3.2

Středové promítání

Zvolme v prostoru rovinu π, na kterou budeme zobrazovat - budeme jí říkat průmětna a bod S (vlastní), který neleží v rovině π. Bod S se nazývá střed promítání. Libovolný bod A v prostoru (různý od bodu S) zobrazíme do roviny π následujícím způsobem: Body S a A proložíme přímku p. Přímka p se nazývá promítací přímka. Průsečík A0 přímky p s rovinou π je středovým průmětem bodu A do roviny π. Podobně sestrojíme bod B 0 jako středový průmět bodu B - obr. 3.1. Vlastnosti středového promítání 1. Středovým průmětem bodu různého od středu promítání je bod. (Bod S ve středovém promítání nemůžeme zobrazit.)

13

3.3. Rovnoběžné promítání

14

2. Středovým průmětem přímky, která neprochází středem promítání S, je přímka. Středovým průmětem přímky procházející středem promítání S je bod. 3. Středovým průmětem roviny procházející středem promítání S je přímka. Středovým průmětem roviny, která neprochází středem promítání S, je celá průmětna. 4. Středovým průmětem bodu A ležícího na přímce k je bod A0 ležící na středovém průmětu k 0 přímky k. Obecně leží-li bod na nějaké čáře, pak jeho průmět leží na průmětu té čáry. Říkáme, že se zachovává incidence. Poznámka 3.1 Pokud budeme pracovat s body z projektivního rozšíření prostoru, zjistíme, že ve středovém promítání může být obrazem vlastního bodu bod nevlastní a naopak obrazem nevlastního bodu bod vlastní. Načrtněte si takovou situaci a uveďte vhodný reálný příklad (např. zobrazení železničních kolejí).

Obrázek 3.1:

3.3

Obrázek 3.2:

Rovnoběžné promítání

Podobně jako ve středovém promítání zvolíme v rovnoběžném promítání rovinu π, na kterou budeme zobrazovat, a které říkáme průmětna. Dále zvolíme přímku s, která není rovnoběžná s rovinou π. Říkáme, že přímka s nám určuje směr promítání. Rovnoběžný průmět A0 bodu A získáme tak, že bodem A vedeme přímku p (nazýváme ji opět promítací přímka), která je rovnoběžná s přímkou s a najdeme její průsečík s rovinou π. Podobně najdeme průmět bodu B - obr. 3.2. Pokud použijeme pojmy z kapitoly o nevlastních elementech, můžeme říct, že rovnoběžné promítání je speciální případ středového promítání, kde středem promítání je nevlastní bod. Vlastnosti rovnoběžného promítání 1. Rovnoběžným průmětem (vlastního) bodu je (vlastní) bod.

3.4. Pravoúhlé promítání

15

2. Rovnoběžným průmětem přímky, která není směru promítání, je přímka. Rovnoběžným průmětem přímky, která je směru promítání, je bod. 3. Rovnoběžným průmětem roviny, která je směru promítání, je přímka. Rovnoběžným průmětem roviny, která není směru promítání, je celá průmětna. 4. Rovnoběžným průmětem bodu A ležícího na přímce k je bod A0 ležící na rovnoběžném průmětu k 0 přímky k. Obecně leží-li bod na nějaké čáře, pak jeho průmět leží na průmětu té čáry. 5. Rovnoběžným průmětem různoběžek a, b jsou různoběžné přímky nebo přímky splývající, pokud a, b nejsou směru promítání. Jestliže je jedna z přímek a, b směru promítání, pak rovnoběžným průmětem různoběžek a, b je přímka a na ní bod. 6. Rovnoběžnost se zachovává, tj. rovnoběžné přímky se zobrazí na rovnoběžné nebo splývající přímky (nebo na dva body), rovnoběžné úsečky na rovnoběžné úsečky apod. 7. Rovnoběžným průmětem rovnoběžných a shodných úseček jsou rovnoběžné a shodné úsečky (popř. dva body). 8. Rovnoběžným průmětem útvaru ležícího v rovině rovnoběžné s průmětnou je útvar s ním shodný. 9. Dělící poměr se v rovnoběžném promítání zachovává, tj. například střed úsečky se zobrazí na střed úsečky. Druhy rovnoběžného promítání Podle vztahu směru promítání vzhledem k průmětně rozlišujeme dva druhy rovnoběžného promítání. Jestliže směr promítání je kolmý k průmětně, pak hovoříme o pravoúhlém (nebo také o kolmém či ortogonálním) promítání. Pokud směr promítání není kolmý k průmětně, mluvíme o kosoúhlém promítání. Připomeňme, že jsme vyloučili případ, kdy směr promítání je rovnoběžný s průmětnou.

3.4

Pravoúhlé promítání

Vlastnosti, které jsme uvedli pro rovnoběžné promítání, doplníme dvěma větami, které platí jen pro pravoúhlé promítání. Věta 3.1 (Věta o pravoúhlém průmětu pravého úhlu) Pravoúhlým průmětem pravého úhlu je pravý úhel, jestliže alespoň jedno jeho rameno je rovnoběžné s průmětnou a druhé není na průmětnu kolmé. Věta 3.2 Velikost pravoúhlého průmětu A0 B 0 úsečky AB je menší nebo rovna velikosti úsečky AB, tj. |A0 B 0 | ≤ |AB|.

3.5

Středová kolineace

Jsou dány dvě různé roviny α a α0 a bod S, který neleží v žádné z rovin α a α0 . Středová kolineace je geometrická příbuznost, kdy bodu jedné roviny odpovídá jeho středový průmět z bodu S do druhé roviny. Průsečnice o rovin α a α0 se nazývá osa kolineace (obr. 3.3).

3.5. Středová kolineace

Obrázek 3.3:

16

Obrázek 3.4:

Vlastnosti středové kolineace Uvedeme vlastnosti středové kolineace, které vyplývají z vlastností středového promítání. 1. Bodu odpovídá bod a přímce přímka. 2. Přímky, které si odpovídají ve středové kolineaci, se protínají na ose kolineace nebo jsou s ní rovnoběžné, což ale znamená, že mají společné nevlastní body. 3. Body osy kolineace jsou samodružné, tj. vzor a obraz splývají. 4. Středová kolineace zachovává incidenci. To znamená, že jestliže bod A leží na přímce b, pak pro jejich obrazy A0 , b0 opět platí A0 ∈ b0 . 5. Body, které si odpovídají ve středové kolineaci, leží na přímce procházející středem kolineace. Poznámka 3.2 Je nutné si uvědomit, že středová kolineace obecně nezachovává rovnoběžnost a že vlastnímu bodu může odpovídat bod nevlastní a naopak. Také dělící poměr tří kolineárních bodů se obecně ve středové kolineaci nezachovává. Středová kolineace v rovině Protože se zabýváme zobrazováním trojrozměrného prostoru na rovinu, zajímá nás, co se stane, promítneme-li středovou kolineaci do roviny. Promítneme rovnoběžně obě roviny α, α0 a střed promítání S do průmětny π tak, aby směr promítání nebyl rovnoběžný s žádnou z rovin α a α0 (tj. žádná z rovin se nezobrazí jako přímka). Odpovídající si body A a A0 promítnuté do π leží opět na přímce procházející průmětem středu kolineace. Takto získanou příbuznost v rovině nazveme středovou kolineací v rovině - obr. 3.4. Vlastnosti, které jsme uvedli pro středovou kolineaci mezi rovinami, platí také pro středovou kolineaci v rovině. Znalost středové kolineace využijeme např. při sestrojování řezů na jehlanu a kuželi.

3.5. Středová kolineace

17

Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovídajících si bodů A, A0 (body A, A0 , S leží na jedné přímce). Pro sestrojování obrazů bodů ve středové kolineaci jsou nejdůležitější tyto tři vlastnosti: 1. Středová kolineace zachovává incidenci. 2. Přímky, které si odpovídají ve středové kolineaci, se protínají na ose kolineace nebo jsou s ní rovnoběžné. 3. Body, které si odpovídají, leží na přímce procházející středem kolineace. Příklad 3.1 Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovídajících si bodů A, A0 - obr. 3.5. Sestrojíme obraz bodu B v kolineaci. Řešení: (obr. 3.6) 1. Spojíme bod B se vzorem bodu, pro který známe jeho obraz, tj. v našem případě s bodem A - dostaneme přímku p. 2. Najdeme obraz p0 přímky p (p a p0 se protínají na ose a přímka p0 prochází bodem A0 vlastnost 2. a 1.) 3. Protože body, které si odpovídají, leží na přímce procházející středem kolineace- vlastnost 3., sestrojíme přímku SB. 4. Bod B 0 leží v průsečíku přímek SB a p0 .

Obrázek 3.5:

Obrázek 3.6:

Poznámka 3.3 Jak jsme již uvedli, obrazem vlastního bodu ve středové kolineaci nemusí vždy být vlastní bod. Stejně tak se některé nevlastní body zobrazí na vlastní body. Vzory a obrazy nevlastních bodů nazýváme úběžníky. Vzor nevlastní přímky se nazývá úběžnice vzorů a obraz nevlastní přímky se nazývá úběžnice obrazů.

3.6. Osová afinita

3.6

18

Osová afinita

Jsou dány dvě různé roviny α a α0 a směr s, který není rovnoběžný s žádnou z rovin α a α0 ’. Osová afinita je geometrická příbuznost, kdy bodu jedné roviny odpovídá jeho rovnoběžný průmět ve směru s do druhé roviny. Průsečnice rovin α a α0 se nazývá osa afinity. (obr. 3.7)

Obrázek 3.7:

Obrázek 3.8:

Vlastnosti osové afinity (vyplývají z rovnoběžného promítání) Vlastnosti 1.- 5. jsou podobné vlastnostem pro kolineaci, ale všimněte si pozorně vlastností 6. a 7. 1. Bodu odpovídá bod a přímce přímka. 2. Přímky, které si odpovídají v osové afinitě, se protínají na ose afinity nebo jsou s ní rovnoběžné. 3. Body osy afinity jsou samodružné. 4. Osová afinita zachovává incidenci.(To znamená, že jestliže bod A leží na přímce b, pak pro jejich průměty A0 , b0 opět platí A0 ∈ b0 .) 5. Body, které si odpovídají v osové afinitě leží na rovnoběžce se středem promítání. 6. Osová afinita zachovává rovnoběžnost. 7. Osová afinita zachovává dělící poměr. Osová afinita v rovině Podobně jako kolineaci promítneme rovnoběžně i afinitu. Promítneme rovnoběžně obě roviny α, α0 a směr promítání s do průmětny π tak, aby směr promítání u do roviny π nebyl rovnoběžný s žádnou z rovin α a α0 (tj. žádná z rovin se nezobrazí

3.6. Osová afinita

19

jako přímka) a aby nebyl rovnoběžný se směrem s (dostali bychom identitu). Odpovídající si body A a A0 promítnuté do π leží na přímce rovnoběžné s promítnutým směrem s. Takto získanou příbuznost nazveme osovou afinitou v rovině - obr. 3.8. Uvedené vlastnosti osové afinity mezi rovinami budou platit i pro osovou afinitu v rovině. Osovou afinitu využijeme při sestrojování řezů na hranolu a kuželi a při otáčení v Mongeově projekci a axonometrii. Nejčastější určení osové afinity je osou o a párem odpovídajících si bodů A a A0 (tím je určen směr afinity). Opět zopakujeme tři vlastnosti, které využijeme při sestrojování obrazu nebo vzoru daného bodu: 1. Osová afinita zachovává incidenci 2. Přímky, které si odpovídají v osové afinitě, se protínají na ose afinity nebo jsou s ní rovnoběžné. 3. Body, které si odpovídají, leží na rovnoběžce se směrem afinity. Příklad 3.2 Osová afinita v rovině je určena osou o a párem odpovídajících si bodů A, A0 obr. 3.9. Sestrojíme obraz bodu B v afinitě. Řešení: (obr. 3.10) 1. Spojíme bod B s bodem A - dostaneme přímku p. (Obecně se vzorem bodu, pro který známe jeho obraz.) 2. Najdeme obraz p0 přímky p (p a p0 se protínají na ose a přímka p0 prochází bodem A0 vlastnost 2 a 1) 3. Protože body, které si odpovídají, leží na přímce směru afinity a tento směr určuje přímka AA0 (vlastnost 3), sestrojíme přímku k rovnoběžnou s přímkou AA0 a procházející bodem B. 4. Bod B 0 leží v průsečíku přímek k a p0 .

Obrázek 3.9:

Obrázek 3.10:


20

Poznámka 3.4 Osová afinita může být určena i jiným způsobem než osou a párem odpovídajících bodů, např. osou, směrem a párem odpovídajících si přímek (které se protínají na ose) nebo dvěma páry odpovídajících si přímek. Stejně i kolineace může být určena jinak než středem, osou a párem odpovídajících si bodů.

3.7

Kontrolní otázky

3.1 Vyslovte větu o pravoúhlém průmětu pravého úhlu. 3.2 Jakou délku může mít (v porovnání s délkou zobrazované úsečky) průmět úsečky v pravoúhlém promítání a jakou v kosoúhlém? 3.3 Rovnoběžné promítání zachovává dělící poměr. Je pravda, že obrazem středu úsečky je v rovnoběžném promítání střed úsečky, která je průmětem dané úsečky? 3.4 Jakou vlastnost mají body, které leží na ose afinity nebo kolineace? 3.5 Jakou vlastnost mají body úběžnic kolineace?

Kapitola 4 Mongeovo promítání 4.1

Úvod

Mongeovo promítání je pravoúhlé promítání na dvě navzájem kolmé průmětny. Jeho výhodou je snadné řešení stereometrických úloh, nevýhodou může být menší názornost a složitější orientace ve dvou pohledech na jeden objekt.

Obrázek 4.1:

Zvolíme v prostoru dvě navzájem kolmé roviny. Rovinu π volíme ve vodorovné poloze - říkáme jí půdorysna - a rovinu ν v poloze svislé - nárysna. Průsečnici rovin π a ν ztotožníme s osou x souřadnicového systému a říkáme jí základnice. Osu y volíme v rovině π, tak aby byla kolmá k x. Průsečíkem O os x a y prochází osa z, leží v rovině ν a je kolmá k osám x, y. V Mongeově promítání budeme používat pravotočivý souřadnicový systém.

Poznámka 4.1 Pokud bychom chtěli promítat pouze na jednu průmětnu, pak útvar, který promítneme, nebude v prostoru jednoznačně určen. Další možností je použít kótované promítání, to znamená, že ke každému bodu budeme připisovat jeho vzdálenost od průmětny. Toto promítání se používá při řešení střech a při tvorbě map (vstevnice), to znamená většinou v případech, kdy není nutné řešit složitější prostorové vztahy.

4.2

Obraz bodu

Nejprve kolmo promítneme bod B do půdorysny a průmět označíme indexem 1 - dostaneme bod B1 - obr. 4.2a), potom bod B promítneme do nárysny, průmět označíme indexem 2 a 21

4.3. Obraz přímky

22

získáme bod B2 - obr. 4.2b). Nyní máme dvě možnosti, jak si představit sdružení průmětů. Buď otočíme rovinu π kolem osy x tak, aby kladná část osy y splynula se zápornou částí osy z - obr. 4.1 nebo si představíme nárysnu a půdorysnu jako dvě průhledné folie, které položíme na sebe, tak aby se překrývaly průměty osy x1 a x2 a bod O1 a O2 - obr. 4.2. Bod B1 nazýváme půdorysem a bod B2 nárysem bodu B. Spojnice nárysu a půdorysu téhož bodu je kolmá k základnici a nazývá se ordinála. (Půdorys je vlastně pohled shora a nárys je pohled zpředu). Z obrázku 4.2 c) je vidět jak sestrojíme nárys a půdorys bodu, známe-li jeho souřadnice. V našem případě jsou všechny tři souřadnice kladné. Nárysu a půdorysu bodu B říkáme sdružené průměty bodu B. (Neplést si se sdruženými průměry, ty najdeme u elipsy.)

Obrázek 4.2: Příklad 4.1 Určeme, kde bude ležet nárys a půdorys bodů B, C, D, E, jestliže umístíme každý do jiného kvadrantu vymezeného nárysnou a půdorysnou - obr. 4.3. Řešení: (obr. 4.4) Bod B, který se nachází nad půdorysnou a před nárysnou, má půdorys pod osou a nárys nad osou x1,2 . Bod C leží za nárysnou a nad půdorysnou a oba jeho průměty leží nad osou x1,2 . Nárys i půdorys bodu E ležícího pod půdorysnou a před nárysnou najdeme pod osou x1,2 . Pro bod D, který je za nárysnou a pod půdorysnou platí, že nárys je pod a půdorys nad osou x1,2 .

4.3

Obraz přímky

Z vlastností rovnoběžného promítání víme, že obrazem přímky je buď přímka, nebo bod. Pokud přímka p není kolmá k ose x, pak jejím půdorysem a nárysem jsou přímky p1 a p2 , které nejsou kolmé k ose x1,2 - obr. 4.5 a 4.6. Jestliže je přímka kolmá k půdorysně je jejím půdorysem bod a nárysem přímka kolmá k ose x1,2 , pro přímku kolmou k nárysně bude nárysem bod a půdorysem přímka kolmá k ose x1,2 . Ve všech těchto případech je přímka svými průměty jednoznačně určena.

4.3. Obraz přímky

Obrázek 4.3:

23

Obrázek 4.4:

Je-li přímka kolmá k ose x a přitom není kolmá k žádné průmětně, pak její sdružené průměty splývají a jsou kolmé k x1,2 . Jen v tomto případě není přímka určena svými sdruženými průměty. K určení je v tomto případě nutná znalost např. průmětů dvou různých bodů přímky. Přímkou, která není kolmá k průmětně, můžeme proložit rovinu kolmou k průmětně. Této rovině říkáme promítací rovina přímky. Přímkou můžeme proložit půdorysně promítací rovinu kolmou k půdorysně nebo nárysně promítací rovinu kolmou k nárysně. Na zvláštní polohy přímky vzhledem k průmětně se podívejme v příkladu 4.2.

Obrázek 4.5:

Obrázek 4.6:

Příklad 4.2 V obrázku 4.7 určíme polohu jednotlivých přímek vzhledem k průmětnám. Řešení: Přímky p, q, r jsou kolmé k základnici. Přímka p je navíc kolmá k půdorysně a q je kolmá k nárysně. Přímka r není svými průměty jednoznačně určena a musíme ji dourčit sdruženými průměty dvou bodů, které na ní leží. Přímka s je rovnoběžná s půdorysnou a přímka t s nárysnou, s0 v půdorysně leží a u je rovnoběžná se základnicí.

4.4. Obraz roviny

24

Obrázek 4.7: Vzájemný vztah přímky a bodu, který na ní leží, je v Mongeově promítání dán větou: Věta 4.1 Leží-li bod M na přímce p, pak M1 ∈ p1 a M2 ∈ p2 . Jestliže přímka p je určena svými průměty (tím vylučujeme přímky kolmé k ose x a nejsou promítací), pak pro sdružené průměty bodu M a přímky p platí: pokud M1 ∈ p1 a M2 ∈ p2 , pak bod M leží na přímce p. Přímka je jednoznačně určena dvěma body. Pro sdružené průměty přímky můžeme vyslovit následující větu: Věta 4.2 Sdružené průměty přímky p = AB jsou v Mongeově promítání jednoznačně určeny průměty dvou jejích bodů A, B. Vlastní bod, ve kterém přímka protne průmětnu, nazýváme stopník. Půdorysný stopník P je bod, ve kterém přímka protne půdorysnu, nárysný stopník N je bod, ve kterém přímka protíná nárysnu - obr. 4.5. Pro půdorysný stopník P přímky p platí: P1 ∈ p1 , P2 ∈ p2 a P2 ∈ x1,2 . Pro nárysný stopník N přímky p platí: N1 ∈ p1 , N2 ∈ p2 a N1 ∈ x1,2 - obr. 4.6. Poznámka 4.2 Přímka, která je rovnoběžná s průmětnou, má jen jeden stopník.

4.4

Obraz roviny

Pravoúhlým průmětem roviny, která není kolmá k průmětně, je celá průmětna. Rovinu v Mongeově projekci zadáme pomocí sdružených průmětů určujících prvků. Ukažme si nejobvyklejší způsoby určení roviny. 1. Třemi body, které neleží v přímce (nekolineární body) - obr. 4.8. 2. Dvěma různoběžkami - obr. 4.9. Sdružené průměty průsečíku různoběžek musí ležet na ordinále.

4.4. Obraz roviny

25

Obrázek 4.8:

Obrázek 4.9:

Obrázek 4.10:

Obrázek 4.11:

3. Dvěma rovnoběžkami - obr. 4.10. Nárysem i půdorysem rovnoběžek jsou opět rovnoběžky (mohou ovšem i splývat). 4. Bodem a přímkou - obr. 4.11. Aby byla rovina určena bodem a přímkou, nesmí bod ležet na přímce. Speciálním případem je zadání roviny stopami. Stopa roviny ρ je přímka, ve které rovina ρ protne průmětnu. Průsečnice roviny ρ s nárysnou se nazývá nárysná stopa a značíme ji nρ . Průsečnice roviny ρ s půdorysnou se nazývá půdorysná stopa a značíme ji pρ . Stopy roviny jsou dvě přímky (rovnoběžné nebo různoběžné). Rovina určená stopami je tedy opět určena rovnoběžkami nebo různoběžkami. Pro půdorys nárysné stopy nρ1 a nárys půdorysné stopy pρ2 platí nρ1 = pρ2 = x1,2 . Přímky nρ2 a pρ1 se protínají na ose x1,2 - obr. 4.12 nebo jsou obě rovnoběžné s osou x1,2 . Příklad 4.3 V obrázku 4.13 rozhodneme, jakou polohu mají roviny, určené svým stopami, vzhledem k průmětnám. Řešení: Rovina ρ je v obecné poloze vzhledem k průmětnám, není kolmá ani rovnoběžná s žádnou s průměten. Rovina β je kolmá k nárysně, rovina γ je kolmá k půdorysně. Rovina σ je kolmá k ose x a ρ je s x rovnoběžná. Posledním případem je rovina τ , která obsahuje osu x, v tomto případě není rovina stopami určena.

4.4. Obraz roviny

26

Obrázek 4.12:

Obrázek 4.13: Poznámka 4.3 Rovina, která je rovnoběžná s průmětnou, má jen jednu stopu. V následujících kapitolách ukážeme 12 základních úloh, pomocí kterých budeme schopni řešit složitější konstrukce jako např. sestrojení těles v obecné poloze, jejich průniky či řezy na plochách. Každou složitější úlohu pak rozložíme na tyto základní úlohy, které už budeme umět řešit (provedeme dekompozici, což je velice důležitý postup plynoucí z analytického geometrické myšlení). Rozdělíme úlohy na dva typy - polohové a metrické. Polohové úlohy řeší vztahy mezi jednotlivými útvary, jako je vzájemná poloha, průnik, rovnoběžnost. Vzdálenosti, velikost objektů, kolmost nám pomohou určit úlohy metrické. Uvedeme vždy důležité skutečnosti, které budeme využívat, a ukážeme přímo na příkladech řešení základních úloh.

4.5. Polohové úlohy

4.5 4.5.1

27

Polohové úlohy Přímka v rovině (základní úloha Z1)

Při řešení této úlohy je vhodné uvědomit si následující fakta: • Leží-li přímka v rovině, je se všemi přímkami roviny různoběžná nebo rovnoběžná. • Stopník přímky ležící v rovině leží na její stopě (Půdorysný stopník na půdorysné stopě, nárysný stopník na nárysné stopě). • Chceme-li sestrojit stopu roviny, určíme stopníky dvou přímek ležících v rovině. Půdorysná stopa je spojnicí půdorysných stopníků, nárysná stopa je spojnicí nárysných stopníků.

Obrázek 4.15:

Obrázek 4.14:

Obrázek 4.16:

Příklad 4.4 Je dána rovina ρ a jeden průmět přímky k ležící v rovině ρ. Sestrojme druhý průmět přímky k. a) Rovina ρ je učena přímkami a, b - obr. 4.15. b) Rovina ρ je učena stopami - obr. 4.17. Řešení: a) obr. 4.16 1. Sestrojíme průsečík A1 přímky a1 a k1 . 2. Sestrojíme průsečík B1 přímky b1 a k1 . 3. Odvodíme druhé průměty bodů A a B Na přímce a2 dostaneme bod A2 a podobně bod B2 .


Obrázek 4.17:

28

Obrázek 4.18:

4. Přímka k2 je spojnicí bodů A2 a B2 . b) obr. 4.18 1. 2. 3. 4.

Sestrojíme nárys nárysného stopníku N2 - průsečík přímky k2 a stopy nρ2 . Sestrojíme nárys půdorysného stopníku P2 - průsečík přímky k2 a osy x1,2 = pρ2 . Určíme body N1 a P1 , N1 leží na ose x1,2 a P1 na stopě pρ1 . Přímka k1 je spojnicí bodů N1 a P1 .

Hlavní přímky roviny Hlavní přímka roviny ρ je přímka, která leží v rovině ρ a je rovnoběžná s průmětnou. Horizontální hlavní přímka (hlavní přímka první osnovy) je rovnoběžná s půdorysnou. Speciálním případem horizontální hlavní přímky je půdorysná stopa. Všechny horizontální hlavní přímky jedné roviny jsou navzájem rovnoběžné - 4.19. Frontální hlavní přímka (hlavní přímka druhé osnovy) je rovnoběžná s nárysnou. Speciálním případem frontální hlavní přímky je nárysná stopa. Všechny frontální hlavní přímky jedné roviny jsou navzájem rovnoběžné - 4.20. Příklad 4.5 Zobrazte nějakou (libovolnou) a) horizontální hlavní přímku roviny ρ - obr. 4.21, b) frontální hlavní přímku roviny ρ - obr. 4.23. Řešení: a) (obr.4.22) Horizontální hlavní přímka je rovnoběžná s půdorysnou, proto je její nárys rovnoběžný s osou x1,2 . 1. Sestrojíme nárys přímky h. (h2 ||x1,2 ). 2. Půdorys přímky h je rovnoběžný se stopou pρ1 . Použijeme stopník N přímky h. Kdyby rovina nebyla určena stopami, odvodili bychom půdorys pomocí průsečíků s jinými přímkami roviny. b) (obr.4.24) Frontální hlavní přímka je rovnoběžná s nárysnou, proto je její půdorys rovnoběžný s osou x1,2 .


29

Obrázek 4.19:

Obrázek 4.20:

Obrázek 4.21:

Obrázek 4.22:

1. Sestrojíme půdorys přímky f . (f1 ||x1,2 ). 2. Nárys přímky f je rovnoběžný se stopou nρ2 . Použijeme stopník P přímky f . Kdyby rovina nebyla určena stopami, odvodili bychom nárys pomocí průsečíků s jinými přímkami roviny. Spádové přímky roviny Spádová přímka je kolmá na hlavní přímky jednoho systému - obr. 4.25. To znamená, že máme dva systémy spádových přímek - spádové přímky kolmé na horizontální hlavní přímky spádové přímky první osnovy a spádové přímky kolmé na frontální hlavní přímky - spádové přímky druhé osnovy. Příklad 4.6 Sestrojíme spádovou přímku s první osnovy (kolmou k horizontálním hlavním přímkám). Řešení: (obr. 4.26) Půdorys s1 spádové přímky je kolmý k půdorysné stopě pρ1 , což plyne z věty o pravoúhlém průmětu pravého úhlu. Najdeme půdorysy stopníků této přímky a odvodíme je do nárysu. Nárys s2 spádové přímky prochází nárysy těchto stopníků. Nárys spádové přímky nemá žádnou speciální polohu vůči stopám nebo ose x.


Obrázek 4.23:

30

Obrázek 4.24:

Obrázek 4.25:

4.5.2

Obrázek 4.26:

Bod v rovině (základní úloha Z2)

Bod leží v rovině, právě když leží na některé přímce roviny. Chceme-li odvodit druhý průmět bodu ležícího v rovině, zvolíme přímku procházející tímto bodem (může to být i přímka hlavní) a použijeme řešení úlohy 4.5.1, tj. Z1. Bod leží na odvozené přímce a na ordinále. Příklad 4.7 Rovina ρ je určena přímkami a, b. Sestrojme nárys bodu M ležícího v rovině ρ, známe-li jeho půdorys - obr.4.27. Řešení: (obr.4.28) 1. Bodem M1 vedeme přímku k1 , tím jsme úlohu převedli na úlohu 4.5.1, tj. Z1. a) Sestrojíme průsečík A1 přímky a1 a k1 . b) Sestrojíme průsečík B1 přímky b1 a k1 . c) Odvodíme body A2 a B2 . Po ordinále na přímce a2 dostaneme bod A2 , na přímce b2 dostaneme bod B2 . d) Přímka k2 je spojnicí bodů A2 a B2 .


Obrázek 4.27:

31

Obrázek 4.28:

2. Bod M2 najdeme na přímce k2 a na ordinále vedené bodem M1 .

Obrázek 4.29:

Obrázek 4.30:

Příklad 4.8 Rovina ρ je určena stopami. Sestrojme půdorys bodu M ležícího v rovině ρ, známe-li jeho nárys - obr.4.29. Řešení: (obr.4.30) 1. Bodem M2 vedeme přímku k2 , tím jsme úlohu převedli na úlohu 4.5.1, tj. Z1. a) b) c) d)

Sestrojíme nárys nárysného stopníku N2 - průsečík přímky k2 a stopy nρ2 . Sestrojíme nárys půdorysného stopníku P2 - průsečík přímky k2 a osy x1,2 = pρ2 . Odvodíme body N1 a P1 , N1 leží na ose x1,2 a P1 na stopě pρ1 . Přímka k1 je spojnicí bodů N1 a P1 .

2. Bod M1 najdeme na přímce k1 a na ordinále vedené bodem M2 .


32

Při řešení této úlohy je vhodné uvědomit si následující fakta: • Kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny. Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin. • Rovnoběžné stopy.

roviny

mají

rovnoběžné

• Stopy roviny obecně neprochází nárysem i půdorysem bodu ležícím v této rovině (aby nastal tento případ, musel by bod ležet na ose x).

Obrázek 4.32:

4.5.3

Obrázek 4.31:

Obrázek 4.33:

Rovnoběžné roviny (základní úloha Z3)

Příklad 4.9 Rovina ρ je určena přímkami a, b. Bodem M veďte rovinu σ rovnoběžnou s rovinou ρ - obr.4.32. Řešení: (obr.4.33) 1. Bodem M vedeme přímku a0 rovnoběžnou s přímkou a (a01 ||a1 , a02 ||a2 ). 2. Bodem M vedeme přímku b0 rovnoběžnou s přímkou b (b01 ||b1 , b02 ||b2 ). 3. Přímkami a0 b0 je určena rovina σ. Příklad 4.10 Rovina ρ je určena stopami. Bodem M veďte rovinu σ rovnoběžnou s rovinou ρ - obr.4.34. Sestrojte stopy roviny σ. Řešení: (obr.4.35)


Obrázek 4.34:

33

Obrázek 4.35:

1. Bodem M vedeme hlavní přímku h rovnoběžnou s půdorysnou stopou roviny ρ (h1 ||pρ1 , h2 ||pρ2 = x1,2 ). 2. Bodem M vedeme hlavní přímku f rovnoběžnou s nárysnou stopou roviny ρ (f2 ||nρ2 , f1 ||nρ1 = x1,2 ). 3. Přímkami h, f je určena rovina σ. 4. Pro sestrojení stop roviny σ nám stačí nalézt stopník jedné z přímek h f - našli jsme půdorysný stopník P přímky f . 5. Půdorysná stopa roviny σ prochází půdorysným stopníkem a je rovnoběžná s půdorysnou stopou roviny ρ. 6. Nárysná stopa roviny σ je rovnoběžná s nárysnou stopou roviny ρ a protíná se s půdorysnou stopou na ose x.

4.5.4

Průsečík přímky s rovinou (základní úloha Z4)

Pro určení průsečíku přímky s rovinou použijeme metodu krycí přímky. V rovině σ zvolíme přímku s, která se “kryje” s přímkou p v některém průmětu, tj. leží s přímkou p v jedné promítací rovině, a zároveň leží v rovině σ. Přímka s je průsečnicí roviny σ a promítací roviny přímky p. Průsečík přímky p a s je zároveň průsečíkem přímky p s rovinou σ. V průmětně, ve které průměty přímek p a s nesplývají, najdeme jejich průsečík a odvodíme pomocí ordinály do druhé průmětny.

Obrázek 4.36:


34

Příklad 4.11 Rovina σ je určena přímkami a, b. Sestrojte průsečík přímky p s rovinou σ obr.4.37. Řešení: (obr.4.38) 1. 2. 3. 4.

V rovině σ zvolíme půdorysně krycí přímku s (s1 = p1 , s ⊂ σ). Pomocí průsečíků přímky s s přímkami a, b odvodíme přímku s2 (úloha 4.5.1, tj. Z1). Průsečík P2 přímek p2 a s2 je nárysem hledaného průsečíku přímky p s rovinou σ. Půdorys P1 průsečíku najdeme na přímce p1 a na ordinále vedené bodem P2 .

Obrázek 4.37:

Obrázek 4.38:

Příklad 4.12 Rovina σ je určena stopami. Sestrojte průsečík přímky p s rovinou σ - obr.4.39. Řešení: (obr.4.40) 1. 2. 3. 4.

V rovině σ zvolíme nárysně krycí přímku s (s2 = p2 , s ⊂ σ). Pomocí stopníků odvodíme přímku s do půdorysu (úloha 4.5.1, tj. Z1). Průsečík P1 přímek p1 a s1 je půdorysem hledaného průsečíku přímky p s rovinou σ. Nárys P2 průsečíku najdeme na přímce p2 a na ordinále vedené bodem P1 .

4.5.5

Průsečnice dvou rovin (základní úloha Z5)

Příklad 4.13 Roviny ρ a σ jsou určeny stopami. Sestrojte průsečnici těchto rovin - obr.4.42. Řešení: (obr.4.43) 1. Nárysný stopník průsečnice leží na nárysné stopě roviny ρ i roviny σ. (N2 ∈ nρ2 ∩ nσ2 , N1 ∈ x1,2 ). 2. Půdorysný stopník průsečnice leží na půdorysné stopě roviny ρ i roviny σ. (P1 ∈ pρ1 ∩ pσ1 , P2 ∈ x1,2 ).


Obrázek 4.39:

35

Obrázek 4.40:

• Pokud přímka r leží v rovině ρ, pak průsečík R přímky r s rovinou σ leží na průsečnici p rovin ρ a σ. • Průsečnice rovin je přímka ležící v obou rovinách, tj. její stopník leží na stopách obou rovin.

Obrázek 4.41: 3. Přímka N P je hledanou průsečnicí. Příklad 4.14 Rovina ρ je určena přímkami r a q a rovina σ je dána stopami. Sestrojte průsečnici těchto rovin - obr.4.44. Řešení: (obr.4.45) Vyřešíme dvakrát úlohu průsečík přímky s rovinou. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Zvolíme krycí přímku s, tak aby s2 = q2 a s ⊂ σ. Odvodíme půdorys s2 přímky s. (Úloha 4.5.1). Najdeme průsečík X1 přímek s1 a q1 . Odvodíme bod X do nárysu na přímku q. Podobně zvolíme krycí přímku u a najdeme průsečík Y . Přímka XY je hledaná průsečnice.

4.6. Metrické úlohy

36

Obrázek 4.42:

Obrázek 4.43:

Obrázek 4.44:

Obrázek 4.45:

Poznámka 4.4 Všimněte si, že v některých úlohách jsme ke konstrukcím nepoužívali osu x1,2 , stačilo nám znát směr ordinály. Vzpomeneme si, že kolmé průměty téhož objektu do rovnoběžných rovin jsou shodné. Pokud tedy nezáleží na vzdálenosti od průměten, můžeme osu x vynechat, případně posunout průměty ve směry ordinály. Je to výhodné zejména v případech, kdy se nárys a půdorys překrývají a chceme zobrazení zpřehlednit. Není-li zadaná osa x, nemůžeme používat stopy a stopníky.

4.6 4.6.1

Metrické úlohy Skutečná velikost úsečky (základní úloha Z6)

Příklad 4.15 Sestrojte skutečnou velikost úsečky AB - obr.4.47. Řešení: (obr.4.48) 1. zA (zetovou souřadnici bodu A) naneseme na kolmici vedenou bodem A1 , získaný bod označíme (A). 2. zB (zetovou souřadnici bodu B) naneseme na kolmici vedenou bodem B1 , získaný bod označíme (B).


Na obrázku 4.46 je zřejmé, že body A, B a jejich průměty do půdorysny tvoří lichoběžník ABB1 A1 s pravými úhly při vrcholech A1 a B1 . V tomto lichoběžníku známe, kromě pravých úhlů, také velikost strany A1 B1 , a velikosti stran AA1 (z-ová souřadnice bodu A) a BB1 (z-ová souřadnice bodu B). Tento lichoběžník zobrazíme pomocí sklopení promítací roviny do půdorysny. Podobně můžeme provést sklopení do nárysny.

Obrázek 4.47:

37

Obrázek 4.46:

Obrázek 4.48:

3. Spojnice bodů (A), (B) je sklopená přímka b. Vzdálenost bodů (A), (B) je skutečná velikost úsečky AB. Poznámka 4.5 Mají-li body A, B opačná znaménka souřadnice z, pak body ABB1 A1 netvoří lichoběžník, ale čtyřúhelník, ve kterém se dvě strany protínají. Při sklápění tohoto čtyřúhelníku naneseme příslušné souřadnice na opačně orientované kolmice. Poznámka 4.6 Je-li body A, B je určena přímka p, pak sklopená přímka (p) je určena body (A)(B). Odchylka přímky od půdorysny je rovna odchylce přímek p(p). Postup pro určování skutečné velikosti úsečky si můžeme zjednodušit použitím metody rozdílového trojúhelníka. V obrázku 4.46 je vyznačen pravoúhlý trojúhelník A1 B1 (B)∗ s pravým úhlem při vrcholu B1 . Úsečky (A)(B) a A1 (B)∗ jsou rovnoběžné a shodné. Stačí tedy sestrojit tento rozdílový trojúhelník, kde velikost strany B1 (B)∗ je rovna rozdílu z-ových souřadnic bodů A a B. I tento postup lze analogicky použít pro nárys, na kolmici k úsečce A2 B2 ovšem naneseme rozdíl y-ových souřadnic bodů A a B.


Obrázek 4.49:

38

Obrázek 4.50:

Příklad 4.16 Sestrojte skutečnou velikost úsečky AB použitím rozdílového trojůhelníka obr.4.49. Řešení: (obr.4.50) Pomocí rozdílového trojúhelníka. 1. Na kolmici vedenou bodem B1 naneseme |zA − zB |, získaný bod označíme (B). 2. Spojnice bodů (B), A1 je sklopená úsečka AB a vzdálenost bodů (B), A1 je skutečná velikost úsečky AB. Je zřejmé, že velikost úsečky rovněž zjistíme, vedeme-li kolmici bodem A (a není přitom důležité, do které poloroviny sklápíme). Ve všech případech vyjdou shodné trojúhelníky, které mají shodné přepony. Uvedený postup používá místo absolutních souřadnic souřadnice relativní. Použití relativních souřadnic vede k možnosti vynechání základnice.

4.6.2

Nanesení úsečky na přímku (základní úloha Z7)

Sklápění, které jsme využili v úloze 4.6.1, využijeme i v této úloze. Zvolíme na přímce dva body a sklopíme ji. Na sklopenou přímku naneseme úsečku ve skutečné velikosti a sklopíme zpět. Při sklápění použijeme metodu rozdílového trojúhelníka. Příklad 4.17 Je dána přímka b a na ní bod A. Naneste na přímku b od bodu A vzdálenost u - obr.4.51. Řešení: (obr.4.52) 1. Zvolíme na přímce b bod X 6= A. 2. Sklopíme úsečku AX (použitím úlohy 4.6.1): (a) Na kolmici vedenou bodem X2 naneseme |zX − zA |, získaný bod označíme (X). (b) Spojnice bodů (X), A2 je sklopená přímka b. 3. Na sklopenou přímku b naneseme velikost u, získaný bod označíme (B).


Obrázek 4.51:

39

Obrázek 4.52:

4. Bod (B) sklopíme zpět na přímku b2 pomocí kolmice vedené bodem (B) k přímce b2 . Dostáváme bod B2 . 5. Bod B1 odvodíme po ordinále na přímku b1 . 6. Úsečka AB má skutečnou velikost u.

4.6.3

Přímka kolmá k rovině (základní úloha Z8)

Při hledání přímky kolmé k rovině je vhodné si přípomenout: • Kritérium kolmosti přímky a roviny. • Větu o průmětu pravého úhlu. • Protože h||π, tak k1 ⊥ h1 . • Protože f ||ν, tak k2 ⊥ f2 . Obrázek 4.53: Příklad 4.18 Rovina ρ je určena hlavními přímkami h, f . Sestrojte kolmici k bodem M k rovině ρ - obr.4.54. Řešení: (obr.4.55) 1. Bodem M1 vedeme kolmici k1 k přímce h1 .


40

Obrázek 4.54:

Obrázek 4.55:

Obrázek 4.56:

Obrázek 4.57:

2. Bodem M2 vedeme kolmici k2 k přímce f2 . Příklad 4.19 Rovina ρ je určena přímkami p, q. Sestrojte kolmici k bodem M k rovině ρ obr.4.56. Řešení: (obr.4.57) 1. Sestrojíme libovolné hlavní přímky h, f roviny ρ. a) Přímka f1 je rovnoběžná s x1,2 , f2 odvodíme pomocí průsečíků přímky f s p a q. b) Přímka h2 je rovnoběžná s x1,2 , h1 odvodíme pomocí průsečíků přímky h s p a q. 2. Postupujeme jako v předchozí úloze. a) Bodem M1 vedeme kolmici k přímce h1 , dostaneme k1 . b) Bodem M2 vedeme kolmici k přímce f2 , dostaneme k2 .


4.6.4

41

Rovina kolmá k přímce (základní úloha Z9)

Tato úloha je obrácená k úloze předchozí, využijeme opět znalostí kritéria kolmosti přímky k rovině a hlavních přímek. Uvědomíme si, že nárys horizontální hlavní hlavní přímky je rovnoběžný s osou x1,2 (neboli kolmý na ordinály) a půdorys je kolmý k zadané přímce. Pro frontální hlavní přímku platí, že půdorys je rovnoběžný s osou x1,2 a nárys je kolmý k zadané přímce. Tedy h1 ⊥ p1 a h2 ||x1,2 a f2 ⊥ p2 a f1 ||x1,2 . Hlavní přímky v této úloze proto neodvozujeme pomocí průsečíků, ale sestrojujeme kolmice k průmětům zadané přímky! Je totiž zřejmé, že hlavní přímky jsou zpravidla s danou přímkou mimoběžné, a tudíž průsečíky v prostoru neexistují.

Obrázek 4.58:

Obrázek 4.59:

Příklad 4.20 Je dána přímka p. Sestrojíme bodem M rovinu kolmou k přímce p - obr.4.58. Řešení: (obr.4.59) Sestrojíme hlavní přímky hledané roviny σ. 1. h1 ⊥ p1 a h2 ||x1,2 a M1 ∈ h1 , M2 ∈ h2 . 2. f2 ⊥ p2 a f1 ||x1,2 a M1 ∈ f1 , M2 ∈ f2 . 3. Rovina σ je určena přímkami h, f .

4.6.5

Otočení roviny do polohy rovnoběžné s průmětnou (základní úloha Z10)

Často je součástí prostorové konstrukce rovinná úloha. Potřebujeme například sestrojit podstavu nějakého tělesa v obecné rovině α. Víme, že útvar ležící v rovině rovnoběžné s průmětnou se promítne ve skutečné velikosti. Otočíme tedy rovinu α (některé její body) do polohy rovnoběžné s průmětnou π (obr. 4.60b)) nebo přímo do průmětny (obr. 4.60a)), provedeme požadovanou konstrukci a výsledek otočíme zpět. Nejprve musíme určit přímku, kolem které budeme rovinu α otáčet. V případě, že otáčíme přímo do průmětny, je osou otáčení průsečnice rovin α a π, tedy stopa roviny α (obr. 4.60a)).


42

n

n C

C2

C2 h

C C1 p 1r

x

p S

C1

S

C00 C C 0

p

x

C0

a)

b) Obrázek 4.60:

Nemáme-li zadanou osu x nebo chceme-li si ušetřit práci se sestrojováním stopy, můžeme otočit rovinu α do polohy rovnoběžné s průmětnou kolem přímky rovnoběžné s průmětnou, tedy hlavní přímky roviny α (obr. 4.60b)). Mezi body roviny α a body otočenými do průmětny existuje prostorová geometrická příbuznost - osová afinita. Víme, že rovnoběžným průmětem osové afinity získáme osovou afinitu v rovině, odtud plyne, že při konstrukcích můžeme využívat osové afinity mezi průměty bodů (například půdorysy) a otočenými body do téže průmětny (půdorysny). Osou afinity je osa otáčení, párem odpovídajících si bodů je průmět bodu (např. A1 ) a jeho otočený obraz A0 . Postup řešení rovinné úlohy je následující: 1. Určíme osu otáčení - hlavní přímka nebo stopa roviny. 2. Sestrojíme rovinu, střed a poloměr kružnice otáčení (příklad 1.1 na straně 9). 3. Otočíme jeden bod. 4. Další otočené body získáme pomocí afinity. 5. Provedeme rovinnou konstrukci. 6. S využitím afinity otočíme výsledek zpět. 7. Body výsledného útvaru odvodíme do druhého průmětu. Příklad 4.21 Otočme rovinu α kolem stopy do průmětny - obr.4.61. Řešení: (obr.4.62) Otočíme jeden bod roviny α. 1. Pomocí horizontální hlavní přímky h roviny α vedené bodem C odvodíme půdorys bodu C. 2. Budeme otáčet do půdorysny, tj. osou otáčení je půdorysná stopa pα1 . 3. Rovina otáčení ρ bodu C se promítá do přímky k1 procházející bodem C1 a kolmé k ose otáčení pα1 .


43

n 2a

h2

C2

x1,2

C1 (C) h1

S1 C0

p1a Obrázek 4.61:

r1=k1 Obrázek 4.62:

4. Střed otáčení S je průsečík roviny ρ se stopou, tedy S1 je průsečíkem přímky k1 se stopou pα1 . 5. Poloměr otáčení r je skutečná velikost úsečky CS. Skutečnou velikost úsečky určíme sklopením - na kolmici k úsečce C1 S naneseme zetovou souřadnici bodu C (tj. rozdíl zetových souřadnic bodů C a S, S má zetovou souřadnici 0, protože leží v půdorysně). 6. Na kolmici k1 naneseme od bodu S1 poloměr r, dostaneme tak otočený bod C0 .

C2

h2 h1

C1 S1

C0 k1 Obrázek 4.63:

Obrázek 4.64:

Příklad 4.22 Otočme rovinu α, určenou bodem C a hlavní přímkou h, kolem h do roviny rovnoběžné s průmětnou - obr.4.63. Řešení: (obr.4.64) Otočíme jeden bod roviny α. 1. Otočíme rovinu α kolem hlavní přímky h do polohy rovnoběžné s půdorysnou. 2. Osou otáčení je hlavní přímka h.


44

3. Bodem C1 vedeme kolmici k1 k přímce h1 (rovina otáčení se promítá do k1 ). 4. Průsečík přímky k1 s h1 je půdorysem středu otáčení S. 5. Sklopíme úsečku CS a zjistíme skutečnou velikost poloměru otáčení r (na kolmici k C1 S naneseme rozdíl zetových souřadnic bodu CS a přímky h). 6. Od bodu S1 naneseme na k1 poloměr r a získáme otočený bod C0 . n2r

A2

B2 D2

n2r

A2

A1

C2

x1,2

D1 B1

C2

C1

x1,2 D0

C0

p1r

p1r A0 B0

Obrázek 4.65:

Obrázek 4.66:

Příklad 4.23 V rovině ρ jsou dány body A a C svými nárysy. Sestrojíme čtverec ABCD s úhlopříčkou AC ležící v rovině ρ - obr.4.65. Řešení: (obr.4.66) Sestrojení čtverce je rovinná úloha. Rovinu ρ otočíme do půdorysny, sestrojíme čtverec v otočení a výsledek otočíme zpět. 1. 2. 3. 4. 5.

Pomocí hlavní přímky odvodíme bod C do půdorysu, půdorys bodu A leží na ose x1,2 . Otočíme bod C do půdorysny - získáme bod C0 . Bod A0 sestrojíme pomocí afinity (osa afinity je pρ1 , pár odpovídajících si bodů je A1 , A0 . V otočení sestrojíme čtverec A0 B0 C0 D0 . Pomocí afinity otočíme čtverec zpět do půdorysu. (Můžeme využít rovnoběžnosti protějších stran.) 6. S využitím hlavních přímek najdeme nárys čtverce.


4.6.6

45

Obraz kružnice (základní úloha Z11)

Podívejme se, jak se v pravoúhlém promítání zobrazí kružnice. Pokud kružnice leží v rovině rovnoběžné s průmětnou, bude jejím obrazem shodná kružnice. Obrazem kružnice ležící v rovině kolmé na průmětnu bude úsečka, jejíž délka je rovna průměru kružnice. Obrazem kružnice v obecném případě je elipsa. Velikost průměru kružnice, který leží na hlavní přímce, se při pravoúhlém promítání zachová, ostatní průměry se v pravoúhlém promítání zkracuje. Průměr na hlavní přímce bude tedy hlavní osou elipsy, do které se kružnice zobrazí.

r

r

B2

D2

S2

C2

f2 h2

A2

x1,2 A1 C1

r

S1

D1

f1

h1 B1 Obrázek 4.67:

Obrázek 4.68:

Příklad 4.24 V rovině ρ(h, f ) sestrojme kružnici k(S, r) - obr.4.67. Řešení: 1. Na horizontální hlavní přímku h naneseme v půdorysu od bodu S1 na obě strany skutečnou velikost poloměru r - body označíme A1 , B1 a odvodíme je po ordinále do nárysu. 2. Na frontální hlavní přímku f naneseme v nárysu od bodu S2 na obě strany skutečnou velikost poloměru r - body označíme C2 , D2 a odvodíme je po ordinále do půdorysu. 3. Obrazem kružnice v půdorysu je elipsa s hlavní osou A1 B1 , body C1 , D1 leží na elipse. Pomocí proužkové konstrukce získáme vedlejší osu. 4. Obrazem kružnice v nárysu je elipsa s hlavní osou C2 D2 , body A2 , B2 leží na elipse. Pomocí proužkové konstrukce získáme vedlejší osu.

4.6.7

Transformace průměten (základní úloha Z12)

V předchozích úlohách jsme již mluvili o možnosti vynechání osy x, to znamená o posunutí půdorysny nebo nárysny. Nárys nebo půdorys útvarů se neměnil, neboť poloha nových průměten byla rovnoběžná s původními. Nyní přejdeme od původních průměten k nové dvojici navzájem kolmých průměten. Jednu průmětnu necháme v původní poloze a jako druhou volíme libovolnou rovinu k ní kolmou (volíme ji vhodně tak, aby se použitím nových průměten úloha zjednodušila).


46

Zvolíme například třetí průmětnu µ kolmou k půdorysně π - obr.4.69. Průsečnice rovin µ a π bude novou osou x - označíme ji x1,3 . Promítneme bod M do třetí průmětny, průmět označíme indexem M3 a provedeme sdružení průmětů. Ordinála bude spojnicí bodů M1 a M3 a bude kolmá k ose x1,3 , vzdálenost M3 od osy x1,3 je z-ovou souřadnicí bodu M - obr.4.70.

n2

m

M2 x1,2

M1 M3 m1=x1,3 Obrázek 4.69:

Obrázek 4.70:

Příklad 4.25 Určeme vzdálenost bodu A od roviny ρ s využitím třetí průmětny.

n 2r

n2

A2

A2

m

N2 N1

x1,2

x1,2

N3

A1

A1 p1r Obrázek 4.71:

n 2r

m1=x1,3

A3

r3=n3r

p 1r

Obrázek 4.72:

Řešení: 1. Zvolíme třetí průmětnu µ kolmou k půdorysně a kolmou k rovině ρ - rovina ρ se do nové průmětny zobrazí jako přímka. 2. Najdeme třetí průmět bodu A. 3. Najdeme třetí průmět libovolného bodu roviny ρ - zvolili jsme stopník N . 4. Třetím průmětem roviny ρ je přímka procházející bodem N3 a protínající se se stopou pρ1 na ose x1,3 . 5. Vzdálenost A3 a ρ3 je hledanou vzdáleností bodu A od roviny ρ.


4.7

Kontrolní otázky

4.1 Definujte pojem stopník a stopa. 4.2 Vysvětlete pojem hlavní přímka. 4.3 Vysvětlete metodu krycí přímky. 4.4 K čemu se používá otáčení roviny? 4.5 V čem se liší otáčení roviny okolo stopy a okolo hlavní přímky?

47

Kapitola 5 Axonometrie 5.1

Úvod

Předpokládejme, že je v prostoru dána kartézská soustava souřadnic. Souřadnicové roviny nazýváme půdorysna (xy), nárysna (xz) a bokorysna (yz). V praxi obvykle umísťujeme objekty co nejvýhodněji vzhledem k osám. Např. hranol nebo válec umístíme tak, aby měl podstavu v souřadnicové rovině. Útvar, který má osu, umístíme tak, aby jeho osa byla rovnoběžná s osou soustavy souřadnic. Jestliže promítneme pravoúhle tento objekt do souřadnicových rovin (Mongeova projekce), budou se nám snadno řešit polohové a metrické úlohy, ale chybí názorný pohled. Názornou zobrazovací metodou, která využívá výhody rovnoběžného promítání, je axonometrie.

Obrázek 5.1: Axonometrie je rovnoběžné promítání na jednu průmětnu α takové, že směr promítání s není rovnoběžný s žádnou souřadnicovou rovinou, tj. osy se promítají do tří různých přímek xA , yA , zA - obr.5.1. Rovinu α nazýváme axonometrickou průmětnou; xA , yA , zA axonometrickými průměty os x, y, z; BA axonometrickým průmětem bodu B. Pravoúhlé průměty bodu B do souřadnicových rovin jsou půdorys (xy), nárys (xz) a bokorys (yz) a jejich průměty do

48

5.2. Klasifikace axonometrií

49

axonometrické průmětny axonometrický půdorys (B1A ), nárys (B2A ) a bokorys (B3A ). Jednotky na osách (jx , jy , jz ) se promítnou do axonometrických jednotek (jxA , jyA , jzA ). Chceme-li zadat axonometrii, vycházíme z následující věty: Věta 5.1 (Pohlkeova věta) Tři úsečky se společným koncovým bodem, které leží v jedné rovině a neleží na jedné přímce, můžeme považovat za rovnoběžný průmět tří navzájem kolmých a shodných úseček v prostoru.

5.2

Klasifikace axonometrií

Podle velikosti axonometrických jednotek jx , jy , jz

:

1. izometrie ( jx = jy = jz ) - obr. 5.2a) 2. dimetrie ( jx = jy nebo jy = jz nebo jx = jz ) - obr. 5.2b) 3. trimetrie ( jx 6= jy 6= jz ) - obr. 5.2c)

z

jx

x

z

jx

y

z

jy

jy

y

jx

y

x x

a)

b)

c)

Obrázek 5.2:

Podle směru promítání 1. Směr s je kolmý k axonometrické průmětně, axonometrie se nazývá pravoúhlá. 2. Směr s není kolmý k axonometrické průmětně, axonometrie se nazývá obecná nebo také kosoúhlá. Uveďme si ještě některé speciální axonometrie: 1. Kosoúhlé promítání. Průmětnou je souřadnicová rovina yz a směr není kolmý k průmětně. Na osách y a z jsou jednotky stejné, na ose x se jednotka obvykle zkracuje. Je to dimetrie nebo izometrie. 2. Vojenská perspektiva. Průmětnou je souřadnicová rovina xy a směr není kolmý k průmětně. Na všech osách je stejné zkrácení jednotek. Promítání je izometrie.

5.3. Zobrazení bodu

50

3. Pravoúhlá axonometrie. Průmětnou je obecná rovina, která protíná osy v bodech různých od počátku. Směr je kolmý k průmětně. Pravoúhlou axonometrií se budeme ještě podrobněji zabývat, protože má některé pěkné vlastnosti.

5.3

Zobrazení bodu

Jedním průmětem není bod v prostoru jednoznačně určen, proto musíme k axonometrickému průmětu zadávat ještě některý z pravoúhlých průmětů do souřadnicových rovin. Obvyklé je zadání dvojicí BA a B1A . Bod však může být určen libovolnou dvojicí z bodů BA , B1A , B2A , B3A (např. B1A , B3A ).

Na obrázku 5.3 je axonometrický obraz bodu B[2, 3, 4], jeho axonometrický nárys, půdorys a bokorys.

Obrázek 5.3:

Poznámka 5.1 Pro zjednodušení budeme tam, kde nemůže dojít k záměně, axonometrické průměty označovat bez dolního indexu A a vynechávat přívlastek axonometrický.

Obrázek 5.4:

Obrázek 5.5:

Příklad 5.1 Bod je v axonometrii určen dvojicí A a A3 - obr. 5.4. Doplníme zbývající pravoúhlé průměty do souřadnicových rovin. Řešení: (obr.5.5) Pomocí rovnoběžek s osami x, y, z doplníme zbývající průměty.

5.4. Zobrazení přímky

Obrázek 5.6:

51

Obrázek 5.7:

Příklad 5.2 Zobrazíme body A ∈ xy, B ∈ yz, C ∈ xz - obr. 5.6. Řešení: (obr.5.7) A ∈ xy ⇒ A = A1 , A2 ∈ x, A3 ∈ y B ∈ yz ⇒ B = B3 , B2 ∈ z, B1 ∈ y C ∈ xz ⇒ C = C2 , C1 ∈ x, C3 ∈ z

5.4

Zobrazení přímky

Přímka je určena dvěma body, průmět přímky je tedy určen průměty dvou bodů. Obrazem přímky p, která není kolmá k průmětně, je opět přímka. Zadáváme ji opět pomocí axonometrického průmětu pA a pravoúhlého průmětu do souřadnicové roviny (např. p1A ). Stopník je opět průsečík přímky s průmětnou, ovšem v tomto případě s průmětnou axonometrickou. Tento stopník ale v konstrukcích zpravidla nevyužíváme. Výhodné jsou pro nás pomocné stopníky, jimiž jsou průsečíky přímky se souřadnicovými rovinami (xy, xz, yz). Nazýváme je půdorysný, nárysný a bokorysný stopník. Příklad 5.3 Sestrojíme půdorysný, nárysný a bokorysný stopník přímky a - obr. 5.8. Řešení: (obr.5.9) Průsečík přímky a a jejího půdorysu a1 je půdorysný stopník P = P1 . Průsečík přímky a1 s osou x je půdorys nárysného stopníku N1 , nárysný stopník N najdeme na přímce a a na rovnoběžce s osou z vedené bodem N1 . Průsečík přímky a1 s osou y je půdorys bokorysného stopníku M1 , bokorysný stopník M najdeme na přímce a a na rovnoběžce s osou z vedené bodem M1 .

5.5. Zobrazení roviny

Obrázek 5.8:

5.5

52

Obrázek 5.9:

Zobrazení roviny

Rovinu můžeme určit pomocí průmětů prvků, které ji určují (např. třemi různými nekolineárními body, dvěma rovnoběžkami, dvěma různoběžkami nebo přímkou a bodem, který na ní neleží). Nejnázornější je zadání roviny pomocí stop. Stopa roviny je průsečnice roviny s průmětnou, ale my budeme (stejně jako u stopníků) používat průsečnice roviny se souřadnicovými rovinami (xy, xz, yz). Nazýváme je půdorysná, nárysná a bokorysná stopa.

Obrázek 5.10:

Obrázek 5.11:

Každá dvojice stop se protíná na ose (průsečík může být i nevlastní bod, tj. stopy jsou pak rovnoběžné). Pro určení roviny stačí zadat dvě stopy, jsou to dvě různoběžné nebo rovnoběžné přímky. Třetí stopu snadno doplníme pomocí průsečíků s osami - obr. 5.10 nebo 5.11. Na obrázku 5.12 jsou stopy roviny ρ rovnoběžné s půdorysnou xy, stopy roviny σ rovnoběžné s bokorysnou yz a stopy roviny τ rovnoběžné s nárysnou yz. Na obrázku 5.13 jsou stopy roviny α kolmé na nárysnu xz, stopy roviny β kolmé na půdorysnu xy a stopy roviny γ kolmé na bokorysnu yz.

5.6. Úlohy v axonometrii

53

Obrázek 5.12:

5.6

Obrázek 5.13:

Úlohy v axonometrii

V obecné axonometrii se zaměříme pouze na polohové úlohy a ukážeme si, jak lze zobrazit kružnici. Další typy úloh jsou nejen příliš složité, ale zejména jejich řešení umožňuje Mongeova projekce. Pomocí přepočtu délek na osách pak může být zobrazen v axonometrii jen výsledek.

Obrázek 5.14:

5.6.1

Vzájemná poloha přímek

Z axonometrických průmětů přímek a jejich půdorysů můžeme určit jejich vzájemnou polohu. Z vlastností rovnoběžného promítání plyne, že rovnoběžné přímky se budou promítat jako rovnoběžky (pokud se nepromítnou jako dva body). Rovnoběžné budou jak jejich axonometrické průměty, tak jejich půdorysy - obr. 5.14a). Na obrázku 5.14b) jsou různoběžky, průsečík jejich axonometrických průmětů a půdorysů leží na rovnoběžce s osou z (můžeme ji říkat ordinála) na rozdíl od mimoběžek - obr. 5.14c).


5.6.2

54

Přímka v rovině

Připomeňme důležité vlastnosti: • Přímka ležící v rovině je se všemi ostatními přímkami rovnoběžná nebo různoběžná. • Přímka leží v rovině, právě když všechny stopníky přímky leží na příslušných stopách roviny. Těchto vlastností využijeme i v následujících úlohách.

Obrázek 5.15:

Obrázek 5.16:

Příklad 5.4 Je dána rovina ρ. Sestrojme axonometrický průmět přímky m ∈ ρ, je-li dán její půdorys m1 - obr. 5.15. Řešení: (obr.5.16) 1. Najdeme průsečík přímky m1 s půdorysnou stopou pρ1 roviny ρ, získali jsme půdorysný stopník P = P1 . 2. Průsečík přímky m1 s osou y je půdorys bokorysného stopníku M1 . 3. Bokorysný stopník M najdeme na bokorysné stopě mρ a na rovnoběžce s osou z vedené bodem M1 . (Podobně bychom mohli sestrojit i nárysný stopník, ale pro konstrukci přímky stačí kterékoliv dva ze tří stopníků.) 4. Oba stopníky leží na přímce m, axonometrický průmět přímky m je proto jejich spojnicí. (Nárysný stopník by ležel na také na přímce m.) Příklad 5.5 Je dána rovina ρ(a, b). Sestrojte m1 , je-li dán axonometrický průmět přímky m ∈ ρ - obr. 5.17. Řešení: (obr.5.18) 1. Najdeme průsečíky A, B přímky m s přímkami a, b. 2. Body A, B odvodíme na přímky a1 a b1 a získáme jejich půdorysy A1 a B1 . 3. Přímka m1 prochází body A1 a B1 .


Obrázek 5.17:

5.6.3

55

Obrázek 5.18:

Průsečík přímky s rovinou

Průsečík přímky k s rovinou ρ budeme opět hledat metodou krycí přímky. Podobně jako v Mongeově projekci volíme krycí přímku s tak, aby krycí přímka ležela v rovině ρ. Máme dvě možnosti volby této krycí přímky: buď se kryjí axonometrické průměty přímek k a s a hledáme průsečík jejich půdorysů nebo se kryjí půdorysy a hledáme průsečík axonometrických průmětů přímek k a s. V následujících dvou příkladech jsme volili první možnost.

Obrázek 5.19:

Obrázek 5.20:

Příklad 5.6 Sestrojíme průsečík přímky k s rovinou ρ, určenou stopami - obr. 5.19. Řešení: (obr. 5.20) 1. Volíme krycí přímku s tak, že axonometrické průměty přímek s a k splynou a s ⊂ ρ. 2. Odvodíme půdorys přímky s pomocí stopníků N a M . Půdorys přímky s označíme s1 . 3. Průsečík přímek s1 a k1 je půdorysem hledaného průsečíku P1 . Axonometrický průmět bodu P odvodíme pomocí ordinály (rovnoběžky s osou z).


Obrázek 5.21:

56

Obrázek 5.22:

Příklad 5.7 Sestrojíme průsečík přímky k s rovinou ρ, určenou stopami - obr. 5.21. Řešení: (obr. 5.22) 1. Volíme krycí přímku s tak, že axonometrické průměty přímek s a k splynou a s ⊂ ρ. 2. Odvodíme půdorys přímky s pomocí průsečíků A, B s přímkami a a b. Půdorys přímky s označíme s1 . 3. Průsečík přímek s1 a k1 je půdorysem hledaného průsečíku P1 . Axonometrický průmět bodu P odvodíme pomocí ordinály (rovnoběžky s osou z).

5.6.4

Průsečnice rovin

Jsou dány roviny ρ a σ. Pokud je alespoň jedna z rovin, např. ρ, určena obecně zadanými přímkami, najdeme dvakrát průsečík přímky s rovinou σ a jejich spojnice je průsečnicí zadaných rovin. Jednodušší situaci máme, jestliže jsou obě roviny zadané stopami. Poznamenejme, že stopy roviny umíme najít pomocí stopníků. Půdorysné stopy obou rovin leží v rovině xy. Jejich průsečík je půdorysný stopník hledané průsečnice. Podobně můžeme najít nárysný stopník jako průsečík nárysných stop a bokorysný stopník jako průsečík bokorysných stop. Pro určení průsečnice stačí nalézt dva z těchto stopníků. Příklad 5.8 Sestrojíme průsečnici rovin ρ a σ, určených stopami - obr. 5.23. Řešení: (obr. 5.24) 1. Průsečík nárysných stop nρ a nσ je nárysný stopník N hledané průsečnice. Jeho půdorys N1 leží na ose x.


Obrázek 5.23:

57

Obrázek 5.24:

2. Průsečík bokorysných stop mρ a mσ je bokorysný stopník M hledané průsečnice. Jeho půdorys M1 leží na ose y. 3. Spojnice bodů N a M je průsečnice rovin ρ a σ. 4. Půdorysný stopník P je průsečíkem půdorysných stop a také leží na sestrojené průsečnici.

5.6.5

Kružnice v souřadnicové rovině

Obrazem kružnice v axonometrii je elipsa, protože se jedná o rovnoběžné promítání. Průměry kružnice, které jsou rovnoběžné s osami ležícími v rovině kružnice se zobrazí do sdružených průměrů elipsy. Hlavní osy elipsy získáme pomocí Rytzovy konstrukce.

Obrázek 5.25:

Obrázek 5.26:

Příklad 5.9 Sestrojíme kružnici se středem v bodě S a poloměrem 3 jednotky ležící v rovině yz - obr. 5.25.

5.7. Pravoúhlá axonometrie

58

Řešení: (obr. 5.26) 1. Bodem S vedeme rovnoběžku s osou y a naneseme na ni na obě strany třikrát jednotku jy . Získané body označíme A, B. 2. Bodem S vedeme rovnoběžku s osou z a naneseme na ni na obě strany třikrát jednotku jz . Získané body označíme C, D. 3. Úsečky AB a CD jsou sdružené průměry elipsy, do které se zobrazí kružnice v rovině yz. 4. Hlavní osy sestrojíme pomocí Rytzovy konstrukce.

5.7

Pravoúhlá axonometrie

Půdorysnu, nárysnu a bokorysnu protneme rovinou α, která neprochází počátkem a protíná všechny tři osy - obr. 5.27. Průsečíky roviny α s osami označíme X, Y, Z. Trojúhelník XY Z je vždy ostroúhlý. Rovina α je axonometrickou průmětnou, do které budeme pravoúhle promítat. Trojúhelníku XY Z říkáme axonometrický trojúhelník. Tento trojúhelník se zobrazoje vždy ve skutečné velikosti, neboť leží v axonometrické průmětně.

Obrázek 5.27:

Obrázek 5.28:

Podívejme se, jak se zobrazí v pravoúhlé axonometrii osy x, y, z. Osa z je kolmá k rovině xy, a tudíž ke všem přímkám této roviny, tedy i k přímce XY . Přímka XY leží v axonometrické průmětně. Podle věty 3.1 o pravoúhlém průmětu pravého úhlu se osa z a přímka XY zobrazí jako kolmice. Stejné závěry můžeme udělat i o ose y a přímce XZ a ose x a přímce Y Z. Můžeme proto vyslovit následující větu: Věta 5.2 Osy x, y, z se promítnou do výšek axonometrického trojúhelníka - obr. 5.28. Je-li dán axonometrický trojúhelník, umíme sestrojit axonometrické průměty os. Obráceně: jsou-li dány průměty os (axonometrický osový kříž), můžeme sestrojit nekonečně mnoho axonometrických trojúhelníků, které jsou navzájem podobné. Volbou axonometrického trojúhelníka


59

volíme axonometrickou průmětnu dál nebo blíž od počátku. Volba axonometrického trojúhelníka, a tím i axonometrické průmětny, nemá vliv na velikost a tvar průmětů, protože všechny tyto roviny jsou navzájem rovnoběžné. Pravoúhlá axonometrie je speciálním případem axonometrie obecné, proto řešíme polohové úlohy stejně jako v obecné axonometrii. Navíc si ukážeme řešení rovinných úloh v půdorysně, nárysně a bokorysně.

5.7.1

Metrické úlohy v rovinách xy, yz, zx

Rovinné úlohy v rovinách xy, yz a zx řešíme pomocí otočení příslušné roviny do axonometrické průmětny. Osou otáčení je jedna z přímek XY , Y Z, ZX. Do axonometrické průmětny vždy nejprve otočíme počátek. Mezi axonometrickými průměty bodů a jejich otočenými průměty opět existuje afinita, další body tedy získáme pomocí afinity. V otočení vyřešíme rovinnou úlohu (najdeme velikosti jednotek na osách, sestrojíme podstavu tělesa atd.) a výsledek otočíme zpět do axonometrické průmětny. Pro určení obecné axonometrie jsme museli zadat axonometrický osový kříž s velikostmi jednotek na jednotlivých osách. Tím byla obecná axonometrie podle Pohlkeovy věty 5.1 jednoznačně určena. V pravoúhlé axonometrii máme zadán směr promítání a umíme určit jednotky na osách,což si ukážeme v následujícím příkladu.

Obrázek 5.29:

Obrázek 5.30:

Příklad 5.10 Je dán axonometrický trojúhelník XY Z. Sestrojíme průměty os x, y, z a jednotky na osách - obr. 5.29. Řešení: (obr. 5.30) 1. Osy x, y, z se promítnou do výšek axonometrického trojúhelníka XY Z. 2. Otočíme rovinu xy kolem přímky XY . Otáčíme bod O: rovina otáčení je kolmá k přímce XY a prochází bodem O, promítne se do přímky k. Nemusíme hledat střed a poloměr otáčení, protože víme, že přímky x a y jsou ve skutečnosti kolmé a musí po otočení přejít do kolmic. Otočený bod O leží na přímce k a na Thaletově kružnici sestrojené nad úsečkou XY , označíme ho (O).


60

3. Otočená přímka x (označíme ji (x)) prochází bodem (O) a bodem X, který při otáčení zůstává na místě, protože leží na ose otáčení. 4. Otočená přímka y (označíme ji (y)) prochází bodem (O) a bodem Y , který při otáčení zůstává na místě, protože leží na ose otáčení. 5. Na otočených osách vyznačíme jednotky ve skutečné velikosti. 6. Pomocí afinity s osou XY a párem odpovídajících si bodů O, (O) odvodíme jednotky na osy x a y. 7. Pomocí otočení roviny yz kolem přímky Y Z získáme stejným způsobem jednotky na ose z (a znovu na ose y). 8. Není třeba otáčet rovinu xz, protože bychom jen znovu získali jednotky na osách x a z.

Obrázek 5.31:

Obrázek 5.32:

Příklad 5.11 V pravoúhlé axonometrii určené osovým křížem sestrojíme obraz čtverce ABCD, který leží v rovině yz, je-li dána úhlopříčka AC. - obr. 5.31. Řešení: (obr. 5.32) 1. Sestrojíme axonometrický trojúhelník XY Z. Strany trojúhelníka jsou kolmé na osy x, y a z. Stranu Y Z volíme tak, aby procházela bodem A (zjednodušíme si tím další konstrukci). 2. Pomocí Thaletovy kružnice a kolmice bodem O k přímce Y Z otočíme bod O - otočený bod označíme O0 . 3. S použitím afinity s osou Y Z a párem odpovídajících si bodů O, O0 otočíme body A a C (bod A je samodružný, protože jsme přímku Y Z, neboli osu otáčení, zvolili bodem A. Otočené body označíme A0 a C0 . 4. V otočení sestrojíme čtverec A0 B0 C0 D0 . 5. Pomocí afinity otočíme čtverec zpět a získáme axonometrický obraz čtverce ABCD ležícího v rovině yz Podobně můžeme sestrojovat rovinné útvary v rovinách xy a xz.


5.7.2

61

Obraz kružnice ležící v některé souřadnicové rovině

Kružnici v půdorysně, nárysně nebo bokorysně můžeme sestrojit stejně jako v příkladu 5.9. V pravoúhlé axonometrii si však můžeme tuto úlohu zjednodušit. V pravoúhlém promítání se úsečky rovnoběžné s průmětnou zobrazí ve skutečné velikosti a všechny ostatní se promítnutím zkrátí. To znamená, že velikosti stran axonometrického trojúhelníka a všech úseček s nimi rovnoběžných se zobrazí ve skutečné velikosti. Průměr kružnice k ležící v rovině xy rovnoběžný s úsečkou XY se promítne do hlavní osy elipsy, do které se zobrazí kružnice k. Podobně hlavní osa elipsy, do které se zobrazí kružnice ležící v rovině yz, je rovnoběžná s úsečkou Y Z a rovna skutečnému poloměru kružnice. Hlavní osa elipsy, do které se zobrazí kružnice ležící v rovině zx, je rovnoběžná s úsečkou ZX a rovna skutečnému poloměru kružnice. Protože pravoúhlé promítání zachovává rovnoběžnost, můžeme najít další bod kružnice na rovnoběžkách vedenými hlavními vrcholy elipsy s osami ležícími v rovině kružnice.

Obrázek 5.33:

Obrázek 5.34:

Příklad 5.12 V pravoúhlé axonometrii určené axonometrickým trojúhelníkem sestrojte kružnici m(V ; r1 ) ležící v rovině xy a kružnici n(U ; r2 ) ležící v rovině yz - obr. 5.33. Řešení: (obr. 5.34) 1. Sestrojíme osy x, y, z jako výšky axonometrického trojúhelníka XY Z. 2. Bodem V vedeme rovnoběžku s přímkou XY a naneseme na ni na obě strany velikost r1 . Body označíme A a B, jsou to hlavní vrcholy elipsy m. 3. Bodem A vedeme rovnoběžku s osou x a bodem B rovnoběžku s osou y, jejich průsečík je bod M . Bod M je bodem elipsy. Nyní můžeme pomocí proužkové konstrukce (není v obrázku vyznačena) sestrojit vedlejší osu hledané elipsy a tedy i celou elipsu m. 4. Elipsa m je obrazem hledané kružnice m(V ; r1 ). 5. Podobně sestrojíme obraz kružnice n(U ; r2 ) v rovině yz: hlavní osa CD elipsy je rovnoběžná s přímkou Y Z a její velikost je rovna poloměru r2 . Bod N je průsečíkem rovnoběžek vedených body C a D s osami z a y. K sestrojení elipsy použijeme opět proužkovou konstrukci.


62

Stejně bychom setrojili i kružnici v rovině xz a kružnice v rovinách rovnoběžných s rovinami xy, yz a xz. Nyní umíme sestrojit rovinný útvar v půdorysně, nárysně a bokorysně. To znamená, že umíme sestrojit základní tělesa jako hranoly, válce, kužele a jehlany s podstavou v těchto rovinách. V další kapitole se ještě naučíme řešit průniky těchto těles s přímkami a rovinami.

5.8

Kontrolní otázky

5.1 Uveďte, čím je obecně určena axonometrie. 5.2 Uveďte dva základní způsoby určení pravoúhlé axonometrie a popište vzájemný vztah mezi určujícími prvky v prvním a druhém způsobu určení. 5.3 Jakou konstrukci elipsy využijete při zobrazení kružnice v pravoúhlé, resp. obecné axonometrii?

Kapitola 6 Křivky 6.1

Základní pojmy

Křivkou rozumíme dráhu pohybujícího se bodu. Křivka je jednoparametrická množina bodů. (Protože pohyb je závislý na jediném parametru čase).

6.1.1

Klasifikace křivek

• Rovinné jsou křivky, jejichž všechny body leží v jedné rovině. V pravoúhlé souřadnicové soustavě {O; x, y} je parametrické vyjádření rovinné křivky (pokud existuje): x = x(t), y = y(t), t ∈ I. Např. elipsa má parametrické vyjádření x = a cos ϕ, y = b sin ϕ,

ϕ ∈ h0, 2πi; a, b > 0.

• Křivky, jejichž body neleží v jedné rovině, nazýváme prostorové. V pravoúhlé souřadnicové soustavě {O; x, y, z} je parametrické vyjádření prostorové křivky (pokud existuje): x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I Např. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = 2ϕ, ϕ ∈ h−π, πi je vyjádřením části šroubovice. I rovinnou křivku můžeme zapsat jako křivku v prostoru např. x = 1 + t, y = t, z = 2 − 0.5t, t ∈ h5, 6i je vyjádřením úsečky v prostoru.

63

6.1. Základní pojmy

6.1.2

64

Tečna a normála křivky

Na křivce zvolíme bod T a v jeho okolí bod A. Tečna křivky je limitní polohou přímky AT pro A → T (obr.6.1). Pomocí vektoru první derivace můžeme definovat tečnu křivky jako přímku určenou bodem křivky a tečným vektorem. Píšeme X = T + s~u, kde ~u = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)), ~u 6= ~o je tečný vektor a T [T1 , T2 , T3 ] dotykový bod. Sečna je spojnice dvou bodů křivky. Asymptota je tečna v nevlastním bodě. Normála v bodě T je přímka kolmá k tečně v bodě T . Normálová rovina je množina všech normál v bodě křivky. Je to rovina kolmá k tečně. Úhel křivek k1 , k2 (protínajících se) je úhel jejich tečen v jejich průsečíku (obr.6.2).

Obrázek 6.1:

Obrázek 6.2:

Rovnoběžným nebo středovým průmětem prostorové křivky je rovinná křivka. Průmětem tečny je tečna nebo bod.

6.1.3

Klasifikace bodů křivky

Bod, ve kterém má křivka jedinou tečnu určenou jediným nenulovým vektorem, nazýváme regulární bod; v opačném případě bod nazveme singulární. Různé typy singulárních bodů vidíme na obr. 6.3. Bod A v obrázku 6.3a) se nazývá uzlový bod, body B a C v obrázku 6.3b) a c) jsou body vratu a bod D v obrázku 6.3d) je inflexní bod.

6.1.4

Rektifikace

Rektifikace oblouku křivky je rozvinutí oblouku křivky na přímku, tj. sestrojení úsečky stejné velikosti, jako je délka oblouku křivky. Nejjednodušší rektifikace je založena na náhradě křivky lomenou čarou (lineární interpolace) - obr. 6.4. Na křivce zvolíme vhodný počet bodů (na obr. 6.4 jsou označeny A1 , A2 , . . ., spojíme lomenou čarou a jednotlivé úsečky přeneseme na přímku. Je zřejmé, že čím více bodů zvolíme, tím přesněji můžeme zjistit délku křivky.


65

Obrázek 6.3:

Obrázek 6.4:

Obrázek 6.5:

Délku oblouku křivky, pro kterou známe její parametrické vyjádření, můžeme vypočítat pomocí integrálu Z t2 p x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 , t1

kde t1 a t2 jsou krajní body křivky. K rektifikaci oblouku kružnice se často užívalo přibližných konstrukcí jako např. konstrukce Kochaňského, d’Ocagneova nebo Sobotkova. Použití počítačů v technických oborech nám umožňuje zjistit délku oblouku mnohem přesněji, proto i zde budeme používat buď výpočtu, nebo lineární interpolace. Obráceně můžeme také navinout úsečku na křivku, tj. na dané křivce najdeme oblouk, jehož délka se rovná velikosti dané úsečky.

6.1.5

Oskulační rovina a oskulační kružnice

Je dán bod T a tečna t v tomto bodě, na křivce zvolíme v okolí bodu T bod A. Rovina α, je určená bodem A a tečnou t. Limitní poloha této roviny při A → T se nazývá oskulační rovina. V oskulační rovině leží jedna z normál křivky v daném bodě. Tuto normálu nazyváme hlavní normála. Na křivce k zvolíme libovolný regulární bod A. Dále na křivce zvolíme ještě další dva body A1 , A2 . Body A, A1 , A2 je určena kružnice l. Oskulační kružnice křivky k v bodě A je


66

limitní polohou kružnice l(A, A1 , A2 ), jestliže A1 → A a A2 → A (obr.6.5). Střed této kružnice nazýváme střed křivosti a poloměr této kružnice nazýváme poloměr křivosti. Číslo ρ = 1r nazýváme první křivostí křivky k v bodě A. Poznámka 6.1 Oskulační kružnice se v malém okolí bodu A velmi málo liší od křivky k, a proto můžeme v okolí bodu A nahradit křivku její oskulační kružnicí. Toto nahrazení se používá např. u kuželoseček, kde známe jednoduché konstrukce oskulačních kružnic ve vrcholech. Křivky se dotýkají v daném bodě, mají-li v něm společnou tečnu. Křivka může být dána i jiným způsobem, než jako dráha bodu, např. jako obálka jednoparametrické soustavy křivek, ekvidistanta, evoluta, evolventa, cykloida nebo jako průnik ploch. Některé z těchto křivek si ukážeme a potom se více zaměříme na křivku důležitou pro technickou praxi - šroubovici.

Obrázek 6.6:

6.1.6

Obrázek 6.7:

Obálka

Je dána jednoparametrická soustava křivek v rovině. Křivka u, které se dotýkají všechny křivky soustavy se nazývá obálka soustavy křivek. Dotykový bod obálky a křivky daného systému se nazývá charakteristický bod. Na obrázku 6.6a) je křivka u obálkou soustavy přímek, na obrázku 6.6b) je dvojice křivek u, u0 obálkou soustavy elips. Na každé obálce je vyznačeno několik charakteristických bodů.

6.1.7

Ekvidistanta

Máme dánu křivku k. Okolo každého bodu této křivky opíšeme kružnici o poloměru r. Jestliže existuje obálka této soustavy kružnic nazýváme ji ekvidistantou křivky k- obr. 6.7. Body ekvidistanty můžeme získat také jiným způsobem: v každém bodě A křivky k sestrojíme normálu a naneseme na ni od bodu A úsečku o velikosti r.

6.1.8

Cykloida

Při odvalování křivky k po pevné křivce p, opíše každý bod roviny křivku, kterou nazýváme trajektorie (dráha).


67

h c e

k

p

Obrázek 6.8:

Obrázek 6.9:

Při odvalování kružnice k po přímce p opíše každý bod kružnice (prostou) cykloidu. Bod uvnitř kružnice k opíše zkrácenou cykloidu a bod vně kružnice opíše prodlouženou cykloidu. Na obrázku 6.8 je znázorněna cykloida c, zkrácená cykloida e a prodloužená cykloida h.

6.1.9

Evoluta a evolventa

Jestliže existuje obálka normál křivky, nazýváme ji evolutou. Evolventu křivky p získáme následujícím způsobem: Na křivce p zvolíme bod A, na křivce volíme další body, v každém bodě A1 sestrojíme tečnu a naneseme na ni délku oblouku A1 A. Takto získaný bod je bodem evolventy křivky p. Můžeme také říct, že jestliže odvalujeme přímku po křivce p, bod přímky opisuje evolventu. Na obrázku 6.9 je část evolventy kružnice. Křivka q je evolventou kružnice p (kruhovou evolventou). Kružnice p je evolutou křivky q.

6.1.10

Řídící kuželová plocha

Řídící kuželová plocha prostorové křivky je množina všech přímek, vedených pevným bodem V rovnoběžně se všemi tečnami křivky (tečna křivky je rovnoběžná s povrchovou přímkou řídící kuželové plochy) (obr.6.10).

Obrázek 6.10:

6.2. Šroubovice

6.2 6.2.1

68

Šroubovice Základní pojmy

Definice 6.1 Šroubový pohyb vzniká složením rovnoměrného otáčivého pohybu kolem pevné přímky (osy) a rovnoměrného posuvného pohybu ve směru této přímky.

Obrázek 6.11:

Obrázek 6.12:

Obrázek 6.13:

Šroubovice je dráha bodu A při šroubovém pohybu, kde ω je úhel otočení a p posunutí bodu A (obr. 6.11). Výška závitu v je velikost posunutí bodu při otočení o 2π radiánů. Jestliže otočíme bod o 1 radián, označíme velikost posunutí v0 a nazýváme redukovanou výškou závitu. Platí v v0 = 2π . Šroubovice (o, A, v0 , {±}) je určena osou o, bodem A, redukovanou výškou závitu v0 a informací o pravotočivosti nebo levotočivosti šroubovice (+ nebo −). Šroubovice leží na rotační válcové ploše. Jestliže rozvineme tuto válcovou plochu do roviny, šroubovice se rozvine do přímky. Pokud zavedeme souřadnicový systém tak, aby stopník šroubovice (bod ve kterém šroubovice protíná půdorysnu) ležel v počátku a osa šroubovice byla

6.2. Šroubovice

69

rovnoběžná s osou y, je toto rozvinutí šroubovice grafem závislosti posunutí na délce oblouku (neboli úhlu otočení) (obr.6.12).

6.2.2

Parametrické vyjádření šroubovice

Parametrické rovnice pravotočivé šroubovice, jejíž osou je osa z, r je poloměr válcové plochy, na níž šroubovice leží, redukovaná výška závitu je v0 a bod A[r, 0, 0], jsou x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

z = v0 ϕ,

ϕ ∈ h0, 2πi.

Jestliže šroubovici umístíme tak, aby osa šroubovice byla kolmá na půdorysnu, pak půdorysem šroubovice je kružnice a nárysem šroubovice je zobecněná sinusoida (křivka odpovídající sinusoidě v afinitě).

6.2.3

Tečna šroubovice a její průvodní trojhran

Tečny šroubovice svírají konstantní úhel s rovinou kolmou k ose šroubovice, resp. s osou šroubového pohybu. Říkáme, že šroubovice je křivka konstantního spádu.

Obrázek 6.14:

Obrázek 6.15:

Půdorysné stopníky tečen šroubovice leží na kruhové evolventě kružnice, která je půdorysem šroubovice. Řídící kužel šroubovice (řídící kuželová plocha) je rotační kužel s výškou v0 a poloměrem podstavy r; tečny šroubovice jsou rovnoběžné s površkami řídícího kužele. Hlavní normála šroubovice je normála kolmá k ose a osu protíná. Oskulační rovina je určena hlavní normálou a tečnou šroubovice. Binormála je normála kolmá na oskulační rovinu. Frenetův průvodní trojhran je tvořen tečnou, hlavní normálou a binormálou. Poznámka 6.2 Šipkou budeme v půdorysu vyznačovat směr klesání šroubovice.

6.2. Šroubovice

70

Příklad 6.1 Sestrojíme průsečík šroubovice (o, A, v0 , +) s rovinou α k o - obr. 6.14. Řešení: (obr.6.15) 1. Najdeme půdorys průsečíku A1 šroubovice s rovinou α. 2. Pomocí velikostí v0 a r sestrojíme graf závislosti výšky na délce oblouku. 3. Ze znalosti délky oblouku x = A1 A1 odečteme z grafu velikost výšky vx a tuto výšku naneseme od bodu A2 ve směru stoupání. Na ordinále pak najdeme bod A2 .

Obrázek 6.16:

Obrázek 6.17:

Příklad 6.2 Sestrojíme průsečík šroubovice (o, A, v0 , +) s rovinou β ⊥ o - obr. 6.16. Řešení: (obr.6.17) 1. V nárysu zjistíme vzdálenost vx bodu A šroubovice od roviny β. 2. Pomocí velikostí v0 a r sestrojíme graf závislosti výšky na délce oblouku. 3. Ze znalosti změny výšky, o kterou musí vystoupat bod A, odečteme z grafu délku oblouku x, tento oblouk naneseme od bodu A1 ve směru stoupání. Na ordinále pak najdeme v rovině β bod A (rozumí se jeho nárys). Příklad 6.3 Sestrojíme tečnu šroubovice (o, A, v0 , +) v bodě A - obr. 6.18. Řešení: (obr.6.19) 1. Určíme půdorys t1 tečny t v bodě A. 2. Sestrojíme půdorys površky t řídícího kužele, která je rovnoběžná s tečnou (její stopník najdeme na půdorysu šroubovice o úhel 90o ve směru klesání od bodu A). 3. Odvodíme nárys P2 stopníku P a nárys površky t. 4. Tečna prochází bodem A a je rovnoběžná s t.


Obrázek 6.18:

6.3

71

Obrázek 6.19:

Kontrolní otázky

6.1 Definujte hlavní normálu prostorové křivky. 6.2 Definujte řídící kuželovou plochu prostorové křivky. 6.3 Uveďte definici šroubového pohybu. 6.4 Čím je určen šroubový pohyb? 6.5 Definujete parametr v0 šroubového pohybu? 6.6 Uveďte vztah mezi výškou závitu šroubovice a redukovanou výškou závitu.

Kapitola 7 Obecné poznatky o plochách 7.1

Základní pojmy

Plocha je • jednoparametrická soustava křivek (plocha vzniká pohybem křivky, která není dráhou pohybu - křivka se může během pohybu měnit) • dvouparametrická soustava bodů

Obrázek 7.1:

Obrázek 7.2:

Klasifikace ploch Plocha vzniká pohybem křivky, proto nás zajímají dva způsoby klasifikace ploch: podle druhu pohybu a podle tvořící křivky. V následujících dvou tabulkách jsme plochy roztřídili podle těchto dvou hledisek. Podle druhu pohybu Název Pohyb Příklad translační posunutí válec, rovina rotační rotace rot. válec, rot. kužel, rot. hyperboloid šroubové šroubový pohyb cyklická šroubová plocha, vývrtková plocha

72

7.2. Úlohy na plochách

Podle tvořící křivky Název Křivka přímkové přímka cyklické kružnice jiné jiná křivka

73

Příklad kuželová plocha, hyperbolický paraboloid válec, Archimédova serpentina kvadriky, obalové, grafické

Rovnice plochy • Parametrické vyjádření: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), u ∈ I, v ∈ J (např. parametrické vyjádření rotační válcové plochy je x = 3 cos u, y = 3 sin u, z = v, u ∈ h0, 2πi, v ∈ R nebo zápis pomocí vektorové funkce: ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) jestliže u = konst. dostáváme: x = x(u0 , v), y = y(u0 , v), z = z(u0 , v) přímky)

v-křivky, (pro uvedený válec jsou v-křivkami

jestliže v = konst. dostáváme: x = x(u, v0 ), y = y(u, v0 ), z = z(u, v0 ) kružnice)

u-křivky, (pro uvedený válec jsou u-křivkami

• Explicitní tvar: z = f (x, y) (např. z = 3x + 7y − 9) • Implicitní vyjádření: F (x, y, z) = 0 (např. 3x2 + y 2 + 4z − 2x = 0) Křivka na ploše je křivka, jejíž body vyhovují rovnici plochy. Tečná rovina plochy je množina tečen křivek plochy v daném bodě. Tečna plochy je přímka tečné roviny, která prochází dotykovým bodem. Normála plochy je kolmice k tečné rovině plochy v bodě dotyku. Dvě plochy se dotýkají v daném bodě, jestliže v něm mají společnou tečnou rovinu. Průniková křivka je množina společných bodů dvou ploch.

Bod na ploše je regulární, jestliže v něm existuje právě jedna tečná rovina a singulární v ostatních případech. Přímky na ploše rozdělujeme na regulární, kdy v každém bodě přímky existuje jiná tečná rovina - tečné roviny tvoří svazek rovin (např. přímky na rotačním jednodílném hyperboloidu) a torzální, kdy existuje jediná tečná rovina podél celé přímky (např. přímky na kuželové ploše).

7.2

Úlohy na plochách

• Tečná rovina τ v bodě T : 1. zvolíme dvě křivky k1 , k2 na ploše procházející bodem T (vhodné jsou např. tvořící křivka a dráha pohybu), 2. určíme tečny t1 a t2 k těmto křivkám (předpokládáme, že jsou různé), 3. tečná rovina τ je určena tečnami t1 a t2 (obr. 7.2).

7.2. Úlohy na plochách

Obrázek 7.3:

74

Obrázek 7.4:

• Řez plochy rovinou % a tečna řezu: 1. zvolíme křivku k plochy 2. průnikem křivky k s rovinou % je bod K (jeden bod řezu) 3. opakováním bodů 1) a 2) dostáváme jednotlivé body řezu (obr. 7.3). 4. tečna řezu je průsečnicí tečné roviny a roviny řezu (obr. 7.4). • Průsečík přímky p s plochou κ: 1. proložíme rovinu % přímkou p, 2. určíme řez plochy κ rovinou %, dostaneme průnikovou křivku k, 3. průnik přímky p a křivky k je hledaný průsečík X (obr. 7.5).

Obrázek 7.5:

Obrázek 7.6:

• Průnik dvou ploch α a β: 1. zvolíme pomocnou rovinu %, 2. najdeme průnikovou křivku k1 roviny % s plochou α, 3. najdeme průnikovou křivku k2 roviny % s plochou β,


75

4. průsečík P křivek k1 a k2 je bodem průniku ploch α a β (obr. 7.6), 5. opakováním bodů 1)-4) najdeme požadovaný počet bodů průniku ploch α a β, 6. tečna průnikové křivky v daném bodě je průsečnicí tečných rovin obou ploch v daném bodě (jiná možnost určení tečny průnikové křivky spočívá v konstrukci kolmice k rovině dané normálami daných ploch v daném bodě). Skutečný obrys plochy tvoří body plochy, v nichž jsou promítací přímky tečnami plochy. Zdánlivý obrys plochy je průmět skutečného obrysu plochy.

7.3

Kontrolní otázky

7.1 Popište, jak lze obecně určit tečnou rovinu a normálu plochu. 7.2 Popište, jak lze zkonstruovat tečnu řezu plochy. 7.3 Uveďte dva způsoby určení tečny průnikové křivky dvou ploch (návod: pomocí tečných rovin nebo pomocí normál ploch).

Kapitola 8 Rotační plochy 8.1

Základní pojmy

Rotační plocha vzniká rotací křivky k kolem přímky o. Předpokládáme, že křivka k nesplývá s přímkou o a neleží v rovině kolmé na přímku o (obr. 8.1, 8.2). Při řešení úloh v Mongeově promítání budeme volit osu o zpravidla kolmou k půdorysně. Křivku k nazýváme tvořící křivka rotační plochy, přímku o osou rotační plochy.

Obrázek 8.1:

Obrázek 8.2:

Rovnoběžková kružnice (rovnoběžka) rA je kružnice, která vznikne rotací libovolného bodu A tvořící křivky kolem osy o. Meridián (poledník) je řez rotační plochy rovinou, procházející osou rotační plochy; hlavní meridián m je meridián ležící v rovině rovnoběžné s průmětnou. Tečnou rovinu rotační plochy určujeme tečnami dvou křivek plochy procházejících daným bodem. Obvykle je tečná rovina určena buď tečnou meridiánu (tm ) a tečnou rovnoběžkové kružnice (tr ), nebo tečnou tvořící křivky (tk ) a tečnou rovnoběžkové kružnice (tr ). Normála n rotační plochy je kolmice na tečnou rovinu v bodě dotyku.

76

8.2. Vlastnosti rotačních ploch

8.2

77

Vlastnosti rotačních ploch

• Rotační plocha je souměrná podle své osy a podle roviny každého meridiánu. • Tečná rovina rotační plochy je kolmá k rovině meridiánu procházející dotykovým bodem. • Tečné roviny rotační plochy v bodech téže rovnoběžkové kružnice obalují buď rotační kuželovou plochu, nebo rotační válcovou plochu nebo rovinu. • Tečny meridiánu v bodech téže rovnoběžkové kružnice tvoří buď rotační kuželovou plochu, nebo rotační válcovou plochu nebo rovinu. • Normála rotační plochy protíná osu nebo je s ní rovnoběžná. • Normály rotační plochy v bodech téže rovnoběžkové kružnice tvoří buď rotační kuželovou plochu, nebo rotační válcovou plochu nebo rovinu. Rovnoběžková kružnice se nazývá hrdlo, jestliže tečny podél této rovnoběžky tvoří rotační válcovou plochu a poloměr je lokálním minimem, tj. ze všech okolních rovnoběžek je tento poloměr nejmenší, rovník, jestliže tečny podél této rovnoběžky tvoří rotační válcovou plochu a poloměr je lokálním maximem, tj. ze všech okolních rovnoběžek je tento poloměr největší, kráter, jestliže tečny podél této rovnoběžky tvoří rovinu. Skutečným obrysem rotační plochy při pravoúhlém promítání na rovinu rovnoběžnou s osou je hlavní meridián a hraniční kružnice plochy. V případě kolmého průmětu na rovinu kolmou k ose jsou skutečným obrysem hrdelní, rovníkové a hraniční kružnice plochy. Zdánlivým obrysem rotační plochy je průmět skutečného obrysu.

8.3

Klasifikace rotačních ploch

podle tvořící křivky:

8.4. Úlohy na rotačních plochách

78

Název Přímkové

Tvořící křivka přímkap k o přímka p různoběžná s o přímka p mimoběžná s o Cyklické kružnice k ⊂ β, o ⊂ β kružnice k ⊂ β, o 6⊂ β kružnice k ⊂ β, o ⊂ β a S ∈ o Rotační kvadriky elipsa e ⊂ β, o ⊂ β parabola p ⊂ β, o ⊂ β hyperbola (rotace okolo vedlejší osy) hyperbola (rotace okolo hlavní osy) Obecné

o2

8.4m2 A2 rA2

Rotační plocha válcová kuželová jednodílný rot. hyperboloid anuloid globoid kulová plocha rotační elipsoid rotační paraboloid jednodílný rot. hyperboloid dvojdílný rot. hyperboloid

Úlohy na rotačních plochách

k2 S2

o1 A1

o2

x12 m1

o2

k2

t2´

k2

rA1

t2

k1

M2

rM2

M2 x12

x12

o1

o1

k1

k1 M1

Obrázek 8.3:

t1´

M1

rM1 t1

Obrázek 8.4:

Příklad 8.1 Rotační plocha je dána osou o a tvořící křivkou k. Sestrojte tečnou rovinu v bodě M ∈ k - obr.8.3. Řešení: (obr.8.4) 1. 2. 3. 4.

Sestrojíme nárys a půdorys rovnoběžkové kružnice r procházející bodem M . Sestrojíme v bodě M tečnu t k rovnoběžkové kružnici. Sestrojíme v bodě M tečnu t0 ke křivce k. Tečná rovina τ je určena tečnami t a t0 .

8.4. Úlohy na rotačních plochách

79

o2 m2 M2

x12 m1 o1

Obrázek 8.5:

Obrázek 8.6:

Příklad 8.2 Rotační plocha je dána osou o a hlavním meridiánem m. Sestrojíme tečnou rovinu plochy v bodě M ∈ k, je-li dáno M2 - obr.8.5. Řešení: (obr.8.6) 1. Sestrojíme nárys a půdorys rovnoběžkové kružnice r procházející bodem M a odvodíme půdorys bodu M . 2. Sestrojíme v bodě M tečnu t k rovnoběžkové kružnici. 3. Najdeme bod M hlavního meridiánu, ležící na stejné rovnoběžkové kružnici jako bod M . 4. Sestrojíme v bodě M tečnu tM k meridiánu. 5. Použitím vlastnosti, že tečny meridiánu v bodech téže rovnoběžkové kružnice se protínají na ose, sestrojíme tečnu t0 meridiánu v bodě M . 6. Tečná rovina τ je určena tečnami t a t0 . Důležitou úlohu představuje určení řezu rotační plochy rovinou ρ. Použijeme obecný postup z úvodní kapitoly o plochách, ale provedeme modifikaci pro rotační plochy. Nejprve najdeme vhodnou křivku na ploše. Touto vhodnou křivkou je na rotační ploše rovnoběžková kružnice, kterou dostaneme jako řez pomocnou rovinou kolmou na osu rotační plochy. Tuto rovinu využijeme i při hledání průsečíků křivky s rovinou ρ. Příklad 8.3 Rotační plocha je dána osou o a meridiánem m. Sestrojíme řez rotační plochy rovinou ρ, která je určena stopami - obr.8.7. Řešení: (obr.8.8)

8.5. Průniky rotačních ploch

Obrázek 8.7:

80

Obrázek 8.8:

1. Zvolíme pomocnou rovinu α kolmou k ose o rotační plochy. V nárysu se tato rovina promítne do přímky kolmé k ose o. 2. Sestrojíme průnik roviny α s rotační plochou. Průnikem je rovnoběžková kružnice k α , jejíž poloměr najdeme v nárysu ve skutečné velikosti (je to vzdálenost průsečíku roviny α s meridiánem od osy). Nárysem této kružnice je úsečka, půdorysem kružnice. 3. Určíme průnik roviny α s rovinou ρ. Průnikem je hlavní přímka hα roviny ρ, odvodíme ji do půdorysu. 4. v půdoryse najdeme průsečíky A, A hlavní přímky hα s rovnoběžkovou kružnicí k α . Tyto body jsou zároveň průsečíky kružnice k α s rovinou ρ. Z půdorysu je odvodíme na hlavní přímku hα do nárysu. 5. Body A, A jsou dva body řezu rotační plochy rovinou ρ. 6. Postup opakujeme volbou další roviny kolmé k ose. Na obr. 8.8 jsou sestrojeny čtyři body průniku roviny % s touto plochou. Body A, A jsme sestrojili v pomocné rovině α (α ⊥ o), body B, B v pomocné rovině β (β ⊥ o). Tímto způsobem najdeme dostatečný počet bodů, kterými pak proložíme křivku řezu. Poznámka 8.1 Jestliže je rotační plochou rotační kvadrika, je řezem kuželosečka. V tomto případě můžeme řez sestrojit přesněji.

8.5

Průniky rotačních ploch

Použijeme algoritmus pro určení průniku ploch, pouze použijeme speciální typ plochy % pro jednotlivé vzájemné polohy (obr. 8.9).

8.6. Rotační kvadriky

81

a) Pokud osy rotačních ploch splývají, jsou průnikovými křivkami společné rovnoběžkové kružnice. b) Pokud jsou osy rotačních ploch rovnoběžné, volíme jako plochu % rovinu kolmou na osy. c) Pokud jsou osy rotačních ploch různoběžné, volíme jako plochu % kulovou plochu se středem v průsečíku os. d) Pokud jsou osy rotačních ploch mimoběžné, použijeme obecný algoritmus.

Obrázek 8.9:

8.6

Rotační kvadriky

• singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha

x2 a2

b) rotační kuželová plocha

+

x2 a2

y2 a2

+

=1

y2 a2

−

z2 c2

=0

• regulární (vzniknou rotací regulární kuželosečky) a) kulová plocha x2 + y 2 + z 2 = r2 b) elipsoid

x2 a2

b) paraboloid

+ x2 2p

y2 a2

+

+

y2 2q

z2 c2

=1

±z =0

b) hyperboloid 2 2 x2 + ay2 − zc2 = a2 2 2 2 − xa2 − ay2 zc2 = 1

jednodílný dvojdílný

1


82

Řezem rotační kvadriky je kuželosečka. Konstrukce řezu: - najít 5 prvků (5 bodů, 3 body a 2 tečny ve dvou z nich, apod.) a použít Pascalovu větu - nebo v konkrétních případech najít určující prvky řezu (např. hlavní osy elipsy). Průnikem rotačních kvadrik je křivka 4. stupně. Věta 8.1 Průnik dvou rotačních kvadrik se rozpadne na dvě kuželosečky právě tehdy, když existuje kulová plocha současně vepsaná oběma kvadrikám.

8.7

Kontrolní otázky

8.1 Uveďte, jakým postupem se konstruuje průnik dvou rotačních ploch v závislosti na poloze jejich os. 8.2 Popište dva způsoby vytvoření rotačního jednodílného hyperboloidu. 8.3 Vyjmenujte rotační kvadriky a rozdělte je na singulární a regulární. 8.4 Uveďte nutnou a postačující podmínku pro rozpad průniku dvou rotačních kvadrik na dvě kuželosečky.

Kapitola 9 Šroubové plochy 9.1

Základní pojmy

Obrázek 9.1:

9.2

Šroubová plocha vzniká šroubovým pohybem křivky k. Šroubový pohyb je dán osou o, redukovanou výškou závitu v0 a orientací {±} (o, v0 , {±}). Křivku k nazýváme tvořící křivkou. Tečná rovina τ je obvykle určena tečnou ke šroubovici ts a tečnou k tvořící křivce tk . Normála šroubové plochy je kolmice k tečné rovině v bodě dotyku. Osový řez (podélný profil) je řez šroubové plochy rovinou σ, procházející osou šroubové plochy. Meridián je osový řez na jednom závitu plochy. Polomeridián je osový řez polorovinou s hraniční přímkou o na jednom závitu plochy. Čelní řez (příčný profil, normální řez) je řez šroubové plochy rovinou %, kolmou na osu.

Vlastnosti šroubových ploch

• Každým bodem šroubové plochy prochází šroubovice sA , která leží na této šroubové ploše (obr. 9.1). • Každým bodem šroubové plochy prochází (alespoň) jedna poloha tvořící křivky. • Všechny polomeridiány jedné šroubové plochy jsou shodné. 83

9.3. Klasifikace šroubových ploch

84

• Všechny čelní řezy jedné šroubové plochy jsou shodné. • Existuje pouze jediná rozvinutelná šroubová plocha - plocha tečen šroubovice.

9.3

Klasifikace šroubových ploch

podle tvořící křivky: Název Tvořící křivka Šroubová plocha Přímková plocha Přímka p Otevřená - p, o mimoběžky -pravoúhlá -kosoúhlá – speciálně rozvinutelná šroubová plocha Přímka p Uzavřená - p, o různoběžky -pravoúhlá -kosoúhlá – vývrtková plocha) Cyklická plocha Kružnice k - vinutý sloupek (k ∈ β, β je kolmá na o) - osová (k ∈ β, o ∈ β) - Archimédova serpentina (k ∈ β, β je kolmá k tečně t) - ostatní

9.4

Úlohy na šroubových plochách

Příklad 9.1 Sestrojíme 2 body řezu cyklické šroubové plochy polorovinou α, procházející osou o. - obr. 9.2. Řešení: (obr.9.3) 1. 2. 3. 4.

Na tvořící křivce zvolíme bod A. Bodem A proložíme šroubovici, která leží na šroubové ploše (zakreslíme půdorys). Sestrojíme průsečík A této šroubovice s rovinou α. Totéž opakujeme pro bod B.

Uvědomte si , že graf závislosti je nutné konstruovat pro každý bod znovu, neboť pro šroubovice se mění poloměr příslušné válcové plochy. Tečkovaně je vyznačen tvar celého řezu. Příklad 9.2 Sestrojíme bod řezu osové cyklické šroubové plochy rovinou α (α ⊥ o). - obr. 9.4. Řešení: (obr. 9.5) Postup je podobný jako v předchozím příkladě, pouze z výšky odvozujeme délku oblouku. 1. Na tvořící křivce zvolíme bod A. 2. Bodem A proložíme šroubovici sA , která leží na šroubové ploše (zobrazíme v půdorysu).


Obrázek 9.2:

85

Obrázek 9.3:

3. Sestrojíme průsečík A této šroubovice s rovinou α. (Sestrojíme graf závislosti výšky na oblouku (rozvinutá šroubovice sA - známe v0 a rA ). V nárysu zjistíme vzdálenost vA bodu A od roviny α. Z grafu odvodíme délku xA oblouku příslušnou k výšce vA . Délku oblouku xA naneseme na půdorys šroubovice ve směru stoupání (protože bod sA je pod rovinou α). Nárys bodu A najdeme v rovině α.) Další body bychom sestrojovali stejným způsobem. Uvědomte si , že graf závislosti je nutné konstruovat pro každý bod znovu (mění se poloměr). Tečkovaně je vyznačen tvar celého řezu.

9.5

Kontrolní otázky

9.1 Popište vznik tzv. Archimédovy sertentiny. 9.2 Popište konstrukci normály šroubové plochy a porovnejte možnosti její konstrukce se stejnou úlohou pro rotační plochy.


Obrázek 9.4:

86

Obrázek 9.5:

Kapitola 10 Obalové plochy 10.1

Základní pojmy Obalová plocha Ω vzniká pohybem P jiné plochy α. Plochu α nazýváme tvořící plocha. Charakteristika c je křivkou dotyku mezi tvořící plochou α a vznikající obalovou plochou Ω – obr. 11.1. Charakteristika c při pohybu P vytváří plochu Ω, tj. P(Ω) = P(c).

Obrázek 10.1:

Pokud chceme najít průnik obalové plochy s rovinou, najdeme charakteristiku, to znamená tvořící křivku rotační, šroubové nebo jiné plochy a tím převedeme danou úlohu na úlohu, kterou již známe z předchozích kapitol.

Hlavní náplní této kapitoly je tedy hledání charakteristiky na různých typech obalových ploch. Příklady obalových ploch: Pohyb Posunutí Rotace okolo osy o Rotace okolo osy o Rotace okolo osy o Šr. pohyb s osou o Šr. pohyb s osou o

Tvořící plocha Kulová plocha Rovina % k o Rovina % 6k o Kulová plocha, S ∈ /o Rovina % 6k o Kulová plocha, S ∈ /o

Obalová plocha Rotační válcová plocha Rotační válcová plocha Rotační kuželová plocha Anuloid Rozv. šroubová plocha Archimédova serpentina

87

10.2. Charakteristika roviny

10.2

88

Charakteristika roviny

Charakteristikou c roviny α při rotačním (osa o), resp. šroubovém pohybu ( o, v0 , +), je přímka c této roviny. Platí c = α ∩ β, kde rovina β prochází osou o a je kolmá k rovině β. • Při rotačním pohybu roviny α různoběžné s osou rotace o je výslednou obalovou plochou rotační kuželová plocha a charakteristikou (obr. 11.2) je spádová přímka, která protíná osu rotace .

Obrázek 10.2: • Při rotačním pohybu roviny α rovnoběžné s osou o rotace je výslednou obalovou plochou rotační válcová plocha a charakteristikou je přímka rovnoběžná s osou, která má nejmenší vzdálenost od osy rotace (obr. 11.3).

Obrázek 10.3: • Při šroubovém pohybu roviny α rovnoběžné s osou o je výslednou obalovou plochou opět rotační válcová plocha a charakteristikou spádová přímka, která má nejmenší vzdálenost od osy rotace.

10.2. Charakteristika roviny

89

• Při šroubovém pohybu (o, v0 , +) roviny α různoběžné s osou o je výslednou obalovou plochou plocha tečen šroubovice – rozvinutelná šroubová plocha a charakteristikou je přímka c, která je zároveň tečnou šroubovice dané šroubovým pohybem (o, v0 , +) (obr. 11.4).

Obrázek 10.4: Určení charakteristiky c je poněkud náročnější, proto si popíšeme hledání charakteristiky roviny při šroubovém pohybu ještě v následujícím příkladě, kde přímo určíme površku k řídící kuželové plochy. Příklad 10.1 Sestrojíme charakteristiku roviny ρ při šroubovém pohybu (o, v0 , +) - obr. 11.5. Řešení: (obr.11.6) 1. Sestrojíme libovolnou spádovou přímku s první osnovy (s1 ⊥pρ1 , s2 odvodíme pomocí stopníků). 2. Sestrojíme površku k řídícího kužele (V ∈ k, k k s). 3. Najdeme půdorysný stopník P přímky k. 4. Stopníkem prochází půdorys šroubovice (kružnice se středem v o1 a poloměrem o1 P1 ). 5. Sestrojíme tečnu c šroubovice. Tečna je rovnoběžná s površkou řídícího kužele k, dotykový bod najdeme na půdorysu šroubovice o 90◦ otočený od bodu P1 ve směru stoupání šroubovice. 6. Nárys přímky c odvodíme například pomocí stopníků nebo rovnoběžnosti c a k. 7. Přímka c je hledanou charakteristikou.

10.3. Charakteristika kulové plochy

Obrázek 10.5:

10.3

90

Obrázek 10.6:

Charakteristika kulové plochy

Charakteristikou kulové plochy při libovolném pohybu je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu dráhy středu kulové plochy a procházející středem kulové plochy. Kružnice má stejný poloměr jako kulová plocha. • Při posunutí kulové plochy ve směru přímky o je výslednou obalovou plochou rotační válcová plocha a charakteristikou kružnice, která leží v rovině kolmé na směr pohybu a procházející středem kulové plochy (obr. 11.7).

Obrázek 10.7:


91

• Charakteristikou c kulové plochy při rotačním pohybu (osa o) je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu ke kružnici, kterou opisuje střed kulové plochy při rotačním pohybu (rovina prochází středem kulové plochy). Z toho plyne, že charakteristika c kulové plochy při rotaci leží v rovině určené osou o rotace a středem S kulové plochy. Vzniklou obalovou plochou je anuloid (obr. 11.8).

Obrázek 10.8: • Charakteristikou c kulové plochy při šroubovém pohybu (o, v0 , ±), je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu šroubovice, po které se pohybuje střed kulové plochy. Vzniklou obalovou plochou je Archimédova serpentina (obr. 11.9). V dalších odstavcích jsou popsány metody, které umožňují konstrukci jednotlivých bodů charakteristiky v případě, že tvořící plochou je plocha rotační (metoda kulových ploch), resp. rozvinutelná (metoda tečných rovin).


Obrázek 10.9:

92

10.4. Metoda kulových ploch

10.4

93

Metoda kulových ploch

Užití: Tvořící plocha α je rotační. 1. Na tvořící ploše α zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu1 . 4. Společné body (pokud existují) charakteristiky c a rovnoběžkové kružnice p náleží hledané charakteristice plochy α při daném pohybu2 .

Obrázek 10.10:

Obrázek 10.11:

Příklad 10.2 Sestrojíme dva body charakteristiky komolého rotačního kužele při rotaci okolo osy o - obr. 11.10. Řešení: (obr.11.11) Řešení vychází z poznámek uvedených v obecném postupu, tj. konstruována je jen rovina charakteristiky. 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 1

Stačí určit jen rovinu γ, v níž leží charakteristika c. Pokud jsme v předcházejícím bodě našli jen rovinu γ, určíme případné průsečíky roviny γ s rovnoběžkovou kružnicí p. 2

10.4. Metoda kulových ploch

94

3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu. Charakteristikou kulové plochy je kružnice, která se do půdorysu promítne jako úsečka AB, nárys nemusíme konstruovat. 4. Body charakteristiky (pokud existují) jsou průsečíky kružnice p a charakteristiky kulové plochy τ (v půdorysu sestrojíme průsečíky X, Y a odvodíme na kružnici p do nárysu). 5. Další body charakteristiky bychom sestrojili podobně, jen zvolíme novou rovnoběžkovou kružnici a vepsanou kulovou plochu. Celý postup zopakujeme. Příklad 10.3 Sestrojíme hlavní meridián obalové plochy vzniklé rotací rotačního kužele při rotaci okolo osy o - obr. 11.12. Řešení: (obr.11.13) 1. Použijeme postup z příkladu 11.2 a sestrojíme body X, Y charakteristiky. 2. Dále postupujeme stejně jako při sestrojování meridiánu rotační plochy (body X, Y jsou body tvořící křivky: Sestrojíme rovnoběžkovou kružnici rotační plochy s osou o procházející body X, Y . Průsečíky X 0 a Y 0 rovnoběžkových kružnic s rovinou meridiánu µ jsou body meridiánu). 3. Další body a získáme novou volbou rovnoběžkové kružnice p a vepsané kulové plochy a celý postup zopakujeme. Na obrázku je vyznačen tvar charakteristiky a meridiánu.

o2

o2 Y'2

p2 V2 Y2 X2

V2

X'2

X1=Y1

p1

o1

m1 o1 V1

V1 Obrázek 10.12:

Obrázek 10.13:

X'1=Y'1

10.5. Metoda tečných rovin

95

Příklad 10.4 Sestrojíme dva body charakteristiky obalové plochy vzniklé šroubovým pohybem (o, v0 , +) rotačního kužele - obr. 11.14. Řešení: (obr.11.15) 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu. Charakteristikou kulové plochy je kružnice. Ta leží v rovině kolmé k tečně šroubovice, po které se pohybuje střed kulové plochy τ . (Sestrojíme tečnu t a hlavní přímky roviny procházející středem kulové plochy a kolmé na tečnu.) 4. Body charakteristiky (pokud existují) jsou průsečíky kružnice p a charakteristiky kulové plochy τ . V půdorysu sestrojíme průsečíky X, Y a odvodíme do nárysu. (Dvě kružnice na kulové ploše mohou mít nejvýše dva průsečíky. Proto je zřejmé, že dva průsečíky v nárysu jsou jen zdánlivé. Nárys a půdorys skutečného průsečíku musí ležet na ordinále.) 5. Další body charakteristiky bychom sestrojili podobně, jen zvolíme novou rovnoběžkovou kružnici a vepsanou kulovou plochu. Celý postup zopakujeme.

o2

f2

t2 V2

t2

V2

p2

o2 h2

X2

Y2

v0

v0

P1

t1

h1 f1

p1 o1

X1

Y1

o1

t1 V1 Obrázek 10.14:

10.5

Metoda tečných rovin

Užití: Tvořící plocha α je rozvinutelná. 1. Na tvořící ploše α zvolíme povrchovou přímku p.

P2

V1 Obrázek 10.15:

10.5. Metoda tečných rovin

96

2. Určíme rovinu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p. 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při daném pohybu. 4. Společné body (pokud existují) charakteristiky c a površky p náleží hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Příklad 10.5 Sestrojíme charakteristiku a hlavní meridián obalové plochy vzniklé rotací šikmého kruhového válce při rotaci okolo osy o - obr. 11.16. Řešení: (obr.11.17) Řešení vychází z obecného postupu. 1. Na tvořící ploše α (šikmém kruhovém válci) zvolíme povrchovou přímku p. 2. Určíme rovinu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p: V průsečíku přímky p s podstavou válce sestrojíme tečnu t k podstavě. Tečna t leží v půdorysně, proto její nárys splyne s osou x12 . Přímky p a t určují tečnou rovinu τ . 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při rotačním pohybu. Je to spádová přímka roviny τ (v půdorysu kolmá na t, protože t je hlavní přímkou roviny τ ). 4. Průsečík charakteristiky c a površky p je jedním bodem hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Označíme ho X. 5. Dále postupujeme stejně jako při sestrojování meridiánu rotační plochy (X je bod tvořící křivky: Sestrojíme rovnoběžkovou kružnici rotační plochy s osou o procházející bodem X. Průsečík X 0 rovnoběžkové kružnice s rovinou meridiánu µ je bod meridiánu). 6. Další body získáme novou volbou površky p a opakováním celého postupu. Na obrázku je vyznačen tvar charakteristiky a meridiánu. Příklad 10.6 Sestrojíme charakteristiku obalové plochy vzniklé šroubovým pohybem (o, v0 , +) kruhového kužele - obr. 11.18. Řešení: (obr.11.19) Tuto úlohu není možné řešit metodou kulových ploch (tvořící plocha není rotační, jde o kruhový, tj. šikmý kužel). Řešení vychází z obecného postupu. 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme povrchovou přímku p. 2. Určíme rovinu τ , která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p: V průsečíku přímky p s podstavou válce sestrojíme tečnu t k podstavě. Přímky p a t určují tečnou rovinu τ . Tečna t je hlavní přímkou roviny τ (je rovnoběžná s půdorysnou), určíme ještě ještě jednu hlavní přímku procházející vrcholem V , popř. stopy roviny τ (zde jsme našli pouze nárysnou stopu). 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při šroubovém pohybu pomocí postupu z příkladu 11.1. 4. Průsečík charakteristiky c a površky p je jedním bodem hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Označíme ho X. 5. Další body bychom získali novou volbou površky p a opakováním celého postupu. Úlohu 11.2 by bylo možné řešit nejen metodou kulových ploch, ale i metodou tečných rovin.


97

o2

p2 X'2

X2

t2=x12 c1 X'1

o1 X1

m1

p1

t1 Obrázek 10.16:

10.6

Obrázek 10.17:

Kontrolní otázky

10.1 Definujte charakteristiku obalové plochy a vysvětlete význam této křivky pro řešení dalších úloh o obalových plochách. 10.2 Pro které tvořící plochy lze pro konstrukci charakteristiky použít metodu kulových ploch a pro které metodu tečných rovin. 10.3 Uveďte příklad tvořicí plochy, jejíž charakteristiku lze konstruovat jak metodou tečných rovin, tak metodou kulových ploch. Uměli byste pojmenovat všechny takové plochy?


Obrázek 10.18:

98

Obrázek 10.19:

Kapitola 11 Rozvinutelné plochy 11.1

Základní pojmy

Torzální površkou přímkové plochy rozumíme přímku p, pro kterou platí, že v každém jejím bodě je stejná tečná rovina τ , tj. tečná rovina τ se dotýká plochy podél torzální površky p. Přímková plocha je rozvinutelná, jestliže všechny její površky jsou torzální. Rozvinutelná plocha je obalovou plochou pohybující se roviny.

11.2

Typy rozvinutelných ploch

Rozvinutelnými plochami jsou pouze následující plochy a jejich části: rovina, válcové plochy – obr. 12.1, kuželové plochy – obr. 12.2 a plochy tečen prostorových křivek – obr. 12.3.

Obrázek 11.1:

Obrázek 11.2:

Válcová plocha je určena rovinnou křivku k (k ⊂ σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s 6k σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a jsou směru s. Kuželová plocha je určena rovinnou křivku k (k ⊂ σ) a bodem V , který neleží v rovině dané křivky (V 6∈ σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a procházejí bodem V .

99

11.3. Metody komplanace

100

V projektivním rozšíření euklidovského prostoru lze definovat válcovou a kuželovou plochu jednou definicí, a to jako množinu přímek, které protínají danou křivku k a procházejí daným vrcholem V . Oba typy ploch se liší tím, zda vrchol V je vlastní, pak jde o kuželovou plochu, nebo je nevlastní, pak jde o válcovou plochu.

Obrázek 11.3:

Obrázek 11.4:

Plocha tečen prostorové křivky je určena prostorovou křivkou k a je tvořena jejími tečnami. Na obr. 12.3 jsou uvedeny dva příklady takové plochy. Příkladem plochy tečen je rozvinutelná šroubová plocha, která je tvořena tečnami šroubovice – obr. 12.4. Řezem této plochy rovinou kolmou k ose šroubového pohybu je kruhová evolventa, tj. křivka, která vzniká jako trajektorie bodu přímky odvalující se po kružnici.

11.3

Metody komplanace

Komplanací neboli rozvinutím rozumíme zobrazení ϕ rozvinutelné plochy do roviny, které zachovává délky a úhly. Obecné metody pro rozvinutí jsou dány následující tabulkou. Typ rozvinutelné plochy Metoda rozvinutí Obecná válcová plocha Normálový řez Obecná kuželová plocha Triangulace Plocha tečen prostorové křivky Triangulace

11.3.1

Metoda normálového řezu

Normálovým řezem válcové plochy rozumíme řez rovinou kolmou na povrchové přímky plochy. Takový řez se při rozvinutí zobrazí na přímku kolmou na obrazy površek. Při rozvinutí válcové plochy postupujeme takto: 1. Vedeme libovolnou rovinu % kolmou na povrchové přímky válcové plochy. 2. Určíme řez k dané válcové plochy rovinou %. 3. V rozvinutí se křivka k zobrazí do úsečky 0 k. Délka obrazu se rovná délce vzoru, tj. délku úsečky 0 k určíme pomocí rektifikace křivky k.

11.3. Metody komplanace

101

Pokud chceme v rozvinutí zobrazit další křivku ležící na dané obecné válcové ploše, stačí na povrchové přímky vynášet úseky površky mezi normálovým řezem a danou křivkou. Normálovým řezem na rotační válcové ploše je např. její podstava. Oblouk šroubovice ležící na dané rotační válcové ploše se rozvine do úsečky.

Obrázek 11.5:

Obrázek 11.6:

Příklad 11.1 Na obr. 12.5 je provedeno rozvinutí poloviny pláště rotačního válce s řezem rovinou σ. Normálovým řezem je podstava k. Vzdálenost x površek v rozvinutí se rovná délce oblouku na podstavě. Příklad 11.2 Na obr. 12.6 je provedeno rozvinutí poloviny pláště kruhového (kosého) válce. Rovina % normálového řezu je zobrazena v nárysu (volíme jednu z rovin kolmých na površky). Normálovým řezem je elipsa, jejíž hlavní poloosa se rovná poloměru kružnice podstavy. Normálový řez je vyznačen ve sklopení. Délky oblouků elipsy ve sklopení určují vzdálenosti jednotlivých površek v rozvinutí (např. délky x a y). V daném případě mají v rozvinutí všechny površky stejnou délku. Poměr, v němž dělí bod normálového řezu površku, zjistíme z nárysu, neboť površky jsou rovnoběžné s nárysnou.

11.3.2

Metoda triangulace

Podstatou této metody je náhrada plochy mnohostěnem, který má trojúhelníkové stěny. V případě kuželových ploch volíme trojúhelníky tak, že mají vždy jeden vrchol ve vrcholu kuželové plochy. Pro rotační kuželovou plochu platí, že podstava k se rozvine do oblouku kružnice, jehož délka se musí rovnat obvodu kružnice k. Poloměr oblouku v rozvinutí se rovná délce úseku površky mezi vrcholem a podstavou. Příklad 11.3 Na obr. 12.7 je zobrazeno rozvinutí části rotační kuželové plochy. Pro určení skutečných délek úseků površek plochy je využito rotace površky do roviny obrysové površky.

11.4. Tečna křivky v rozvinutí

Obrázek 11.7:

102

Obrázek 11.8:

Příklad 11.4 Na obr. 12.8 je zobrazeno rozvinutí části kruhové kuželové plochy. Použita je triangulace a celý postup spočívá v určování skutečných délek úseček (úseků površek plochy). K tomu je využito otočení do polohy rovnoběžné s nárysnou. Površky určené bodem 1, resp. 7, na podstavě se zobrazují v nárysu ve skutečné velikosti.

11.4

Tečna křivky v rozvinutí

Obrazem tečny křivky na ploše je tečna křivky v rozvinutí. Vzhledem k tomu, že rozvinutí je zobrazení, které zachovává úhly, je možné určit tečnu křivky v rozvinutí pomocí určení úhlu površky a tečny křivky na ploše. Příklad 11.5 Na obr. 12.7 je zkonstruována tečna křivky řezu v rozvinutí. K určení úhlu tečny a površky je využito trojúhelníka 3P1 ¯3, pro nějž je určena skutečná velikost pomocí skutečných délek jeho stran. Bod ¯3 je bodem řezu, bod 3 leží na podstavě a bod P1 je průsečíkem tečny s podstavnou rovinou. Přímka 3P1 je tečnou podstavy.

11.5

Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy

Rozvinutelnou šroubovou plochu lze rozvinout tak, že určíme obraz hrany vratu, tj. určující šroubovice. Platí, že šroubovice vratu se v rozvinutí zobrazí do kružnice, pro jejíž poloměr ρ platí r2 + v02 ρ= . r Příklad 11.6 Na obr. 12.9 je zobrazeno rozvinutí části rozvinutelné šroubové plochy. Pro šroubovici vratu je určen poloměr ρ, který je poloměrem příslušného oblouku v rozvinutí. Obrazem kruhové evolventy, která je řezem dané plochy půdorysnou, je opět kruhová evolventa. Pro zobrazení daných površek v rozvinutí byla určena k otočení, které odpovídá oblouku ω, délka oblouku šroubovice ω ¯.

11.6. Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy

103

Obrázek 11.9:

11.6

Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy

Uvažujme dvě rovinné křivky a a b ležící v rovinách α a β – obr. 12.10. V řadě technických aplikací vzniká požadavek na určení rozvinutelné plochy Ω, která obsahuje obě dané křivky (a ⊂ Ω, b ⊂ Ω). Plochu Ω nazýváme přechodová plocha mezi danými křivkami.

Obrázek 11.10:

Obrázek 11.11:

Postup konstrukce přechodové plochy: 1. Na jedné z křivek zvolíme bod – např. A ∈ a a určíme tečnu tA křivky a v bodě A.


104

2. Na druhé křivce, tj. na křivce b, určíme bod B tak, aby tečna tB v tomto bodě nebyla v tečnou tA mimoběžná. Tento krok realizujeme takto: tA k β – vedeme tečnu tB křivky b rovnoběžnou s přímkou tA – obr. 12.11, tA 6k β – označme p průsečnici rovin α a β; z průsečíku tA ∩ p vedeme tečnu tB křivky b – obr. 12.10. 3. Přímka AB je torzální přímkou – tečná rovina v bodech A a B je stejná a tato rovina se dotýká vytvářené plochy i ve všech bodech této površky. Zkonstruovaná přechodová plocha je vždy buď plochou tečen prostorové křivky (zpravidla neznámé či neurčované), nebo ve výjimečných případech plochou válcovou nebo kuželovou. Rozvinutí přechodové plochy se provede zpravidla pomocí triangulace.

11.7

Kontrolní otázky

11.1 Definujte torzální površku plochy. 11.2 Definujte rozvinutelné plochy a uveďte všechny typy rozvinutelných ploch. 11.3 Uveďte dva způsoby vytvoření rozvinutelné šroubové plochy (návod: jako obalovou plochu a jako jeden z typů rozvinutelných ploch). 11.4 Popište metodu normálového řezu pro rozvinutí. Pro které rozvinutelné plochy se tato metoda dá aplikovat?

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Recommend Documents