Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Katedra matematiky

Geometrie pro FST 1 Pomocný uˇcebn´ı text

Frantiˇsek Jeˇzek, Marta M´ıková, Svˇetlana Tomiczková

Plzeˇn – 1. uńora 2009 – verze 6.0

Pˇ redmluva Tento pomocn´ y text vznikl pro potˇreby pˇredmˇetu Geometrie pro Strojn´ı fakultu 1 (KMA/GS1), kter´ y vyuˇcujeme od roku 2009 ve v´ yznamnˇe upravené podobˇe. Snaˇzili jsme se napsat velice struˇcné a jednoduché pojednán´ı. Vˇeˇr´ıme, ˇze je to ta forma, kterou studenti potˇrebuj´ı. Rádi bychom t´ımto textem odstranili pˇredevˇs´ım ˇcasté studijn´ı ne´ uspˇechy. Pokud jsme v textu nechali nedopatˇren´ı, resp. pokud je text nˇekde nesrozumiteln´ y, pros´ıme o sdˇelen´ı takov´ ych poznatk˚ u. Ideáln´ı cestou je pouˇzit´ı e-mailu a adresy [email protected]. Zvláˇstˇe piln´ı hledaˇci chyb a pˇreklep˚ u budou odmˇenˇeni. Vˇeˇr´ıme, ˇze tou odmˇenou ale bude pˇredevˇs´ım u ´spˇeˇsné sloˇzen´ı zkouˇsky, nebot’ ten, kdo naˇsel chybu, zpravidla pˇrem´ yˇslel. Právˇe geometrie je pˇr´ıleˇzitost´ı k ovˇeˇren´ı Vaˇseho myˇslenkového potenciálu, kter´ y pak uplatn´ıte v kreativn´ı inˇzen´ yrské ˇcinnosti.

Autoˇri

2

Obsah 1 Opakov´ an´ı stereometrie 1.1 Axiómy . . . . . . . . . . . 1.2 Urˇcován´ı odchylek . . . . . 1.2.1 Odchylka mimobˇeˇzek 1.2.2 Odchylka dvou rovin 1.3 Kritéria rovnobˇeˇznosti . . . 1.4 Kritéria kolmosti . . . . . . 1.5 Otáˇcen´ı v prostoru . . . . . 1.6 Dˇel´ıc´ı pomˇer . . . . . . . . . 1.7 Kontroln´ı otázky . . . . . .

. . . . . . . . .

8 8 8 9 9 9 10 11 11 12

2 Nevlastn´ı elementy ´ 2.1 Uvodn´ ıu ´vaha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nevlastn´ı bod, pˇr´ımka a rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 13 14

3 Kuˇ zeloseˇ cky ´ 3.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rovnice elipsy . . . . . . . . 3.2.2 Prouˇzková konstrukce elipsy 3.2.3 Oskulaˇcn´ı kruˇznice elipsy . . 3.2.4 Rytzova konstrukce . . . . . 3.2.5 Teˇcna a ohniskové vlastnosti 3.3 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Teˇcna a ohniskové vlastnosti 3.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Teˇcna a ohniskové vlastnosti 3.5 Pascalova a Brianchonova vˇeta . . . 3.6 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

15 15 15 16 17 18 19 20 22 22 23 24 24 29

4 Element´ arn´ı plochy a tˇ elesa 4.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Jehlanová plocha, jehlan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Hranolová plocha, hranol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 30 30

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . elipsy . . . . . . . . hyperboly . . . . . . paraboly . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

OBSAH

4.2

4

4.1.3 Kuˇzelová plocha, kuˇzel 4.1.4 Válcová plocha, válec . 4.1.5 Kulová plocha, koule . Kontroln´ı otázky . . . . . . .

5 Z´ aklady prom´ıt´ an´ı ´ 5.1 Uvod . . . . . . . . . . 5.2 Stˇredové prom´ıtán´ı . . 5.3 Rovnobˇeˇzné prom´ıtán´ı 5.4 Pravo´ uhlé prom´ıtán´ı . 5.5 Stˇredová kolineace . . 5.6 Osová afinita . . . . . 5.7 Kontroln´ı otázky . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

6 Mongeovo prom´ıt´ an´ı ´ 6.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Obraz bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Obraz pˇr´ımky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Obraz roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Polohové u ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Pˇr´ımka v rovinˇe (základn´ı u ´loha Z1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Bod v rovinˇe (základn´ı u ´loha Z2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Rovnobˇeˇzné roviny (základn´ı u ´loha Z3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou (základn´ı u ´loha Z4) . . . . . . . . . . . . . . 6.5.5 Pr˚ useˇcnice dvou rovin (základn´ı u ´loha Z5) . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Metrické u ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Skuteˇcná velikost u ´seˇcky (základn´ı u ´loha Z6) . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Nanesen´ı u ´seˇcky na pˇr´ımku (základn´ı u ´loha Z7) . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Pˇr´ımka kolmá k rovinˇe (základn´ı u ´loha Z8) . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Rovina kolmá k pˇr´ımce (základn´ı u ´loha Z9) . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.5 Otoˇcen´ı roviny do polohy rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou (základn´ı u ´loha Z10) 6.6.6 Obraz kruˇznice (základn´ı u ´loha Z11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.7 Transformace pr˚ umˇeten (základn´ı u ´loha Z12) . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Axonometrie ´ 7.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Klasifikace axonometri´ı . . . . . . 7.3 Zobrazen´ı bodu . . . . . . . . . . 7.4 Zobrazen´ı pˇr´ımky . . . . . . . . . 7.5 Zobrazen´ı roviny . . . . . . . . . ´ 7.6 Ulohy v axonometrii . . . . . . . 7.6.1 Vzájemná poloha pˇr´ımek . 7.6.2 Pˇr´ımka v rovinˇe . . . . . . 7.6.3 Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

31 32 32 32

. . . . . . .

33 33 33 34 35 35 38 40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 41 42 44 47 47 50 52 53 55 57 57 59 59 61 62 65 66 67

. . . . . . . . .

68 68 69 70 71 72 72 73 73 75

OBSAH

7.7

7.8

5

7.6.4 Pr˚ useˇcnice rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.5 Kruˇznice v souˇradnicové rovinˇe . . . . . . . . . . . Pravo´ uhlá axonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Metrické u ´lohy v rovinách xy, yz, zx . . . . . . . . 7.7.2 Obraz kruˇznice leˇz´ıc´ı v nˇekteré souˇradnicové rovinˇe Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ 8 Ulohy na element´ arn´ıch ploch´ ach a tˇ elesech ˇ 8.1 Rezy na elementárn´ıch plochách . . . . . . . 8.2 Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a elementárn´ı plochy . . . . 8.3 Pr˚ unik jehlanov´ ych a hranolov´ ych ploch . . 8.4 Teˇcná rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

9 Mnohoˇ cleny a algebraick´ e rovnice 9.1 Pojem mnohoˇclenu (polynomu) v jedné promˇenné . 9.2 Algebraické operace s polynomy v jedné promˇenné . 9.3 Pod´ıl dvou polynom˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Horner˚ uv algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Algebraické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Souvislost koˇren˚ u a koeficient˚ u algebraické rovnice . 9.6.1 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

10 Maticov´ y poˇ cet 10.1 Pojem matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Vlastnosti matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Rovnost matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Transponován´ı matic . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 V´ yznaˇcné matice . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Aritmetické operace s maticemi . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Souˇcet matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Násoben´ı matice ˇc´ıslem . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Souˇcin matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Determinant ˇctvercové matice . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Definice determinantu . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Dalˇs´ı zp˚ usoby v´ ypoˇctu determinantu . . . . . 10.4.4 Vlastnosti determinant˚ u . . . . . . . . . . . . 10.5 Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Regulárn´ı a singulárn´ı matice, inverzn´ı matice 10.5.2 Vlastnosti inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . 10.6 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

76 77 78 78 80 82

. . . . .

83 83 86 88 91 91

. . . . . . . .

. . . . . . . .

93 93 94 95 96 98 100 101 101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 . 102 . 103 . 103 . 103 . 104 . 105 . 105 . 106 . 106 . 108 . 108 . 110 . 111 . 112 . 114 . 114 . 115 . 115 . 118

. . . . .

OBSAH

6

11 Soustavy line´ arn´ıch rovnic 11.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Metody ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic . . . . . . . . . 11.2.1 Elementárn´ı u ´pravy matice . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . 11.2.3 Podm´ınky ˇreˇsitelnosti soustavy lineárn´ıch rovnic 11.2.4 Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Soustavy lineárn´ıch rovnic s parametrem . . . . . . . . 11.4 V´ ypoˇcet inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 V´ ypoˇcet inverzn´ı matice eliminac´ı . . . . . . . . 11.4.2 V´ ypoˇcet inverzn´ı matice pomoc´ı determinantu . 11.5 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matice 12.1 Charakteristick´ y polynom a charakteristická rovnice 12.2 V´ ypoˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel matice . . . . . . . . . . . . 12.3 Vlastn´ı vektory matice . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Vektorov´ y poˇ cet 13.1 Euklidovsk´ y prostor E3 . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Vázan´ y a voln´ y vektor . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Souˇradnice vektoru a algebraické operace s vektory 13.4 Vektorové zamˇeˇren´ı prostou E3 a ortonormáln´ı báze 13.5 Lineárn´ı závislost a nezávislost vektor˚ u . . . . . . . 13.6 Báze a dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7 Skalárn´ı souˇcin vektor˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8 Vektorov´ y souˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9 Sm´ıˇsen´ y souˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10Lagrangeova identita a Cauchyova nerovnost . . . . 13.11Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Analytick´ a geometrie line´ arn´ıch u ´ tvar˚ u v E3 14.1 Rovnice pˇr´ımky . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Vektorová rovnice pˇr´ımky . . . . . . 14.1.2 Parametrické vyjádˇren´ı pˇr´ımky . . . 14.2 Vzájemná poloha dvou pˇr´ımek . . . . . . . . 14.3 Rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Vektorová rovnice roviny . . . . . . . 14.3.2 Parametrické vyjádˇren´ı roviny . . . . 14.3.3 Hess˚ uv normálov´ y tvar rovnice roviny 14.3.4 Obecná rovnice roviny . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

119 119 121 121 122 124 126 127 129 129 131 132 134

matice . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

135 135 135 136 138 138

. . . . . . . . . . . .

140 . 140 . 141 . 142 . 143 . 144 . 144 . 145 . 147 . 150 . 152 . 152 . 155

. . . . . . . . .

156 . 156 . 156 . 157 . 158 . 159 . 159 . 160 . 160 . 160

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

OBSAH

´ 14.3.5 Usekov´ y tvar rovnice roviny . . . . . . . . . . . 14.4 Vzájemná poloha dvou rovin, pr˚ useˇcnice dvou rovin . . 14.5 Geometrická interpretace Gaussovy eliminace . . . . . 14.6 Vzájemná poloha pˇr´ımky a roviny . . . . . . . . . . . . 14.7 Vzdálenost bod˚ u, pˇr´ımek a rovin . . . . . . . . . . . . 14.7.1 Vzdálenost bod˚ u A, B . . . . . . . . . . . . . . 14.7.2 Vzdálenost bodu A od pˇr´ımky q . . . . . . . . . 14.7.3 Vzdálenost bodu B od roviny α . . . . . . . . . 14.7.4 Vzdálenost rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek p a q . . . . . 14.7.5 Vzdálenost mimobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek q a r . . . . . 14.7.6 Vzdálenost pˇr´ımky p od rovnobˇeˇzné roviny β . . 14.7.7 Vzdálenost rovnobˇeˇzn´ ych rovin α a β . . . . . . 14.8 Odchylky pˇr´ımek a rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.1 Odchylka pˇr´ımek p a q . . . . . . . . . . . . . . 14.8.2 Odchylka pˇr´ımky p a roviny α . . . . . . . . . . 14.8.3 Odchylka rovin α a β . . . . . . . . . . . . . . . 14.9 Pˇr´ıˇcky mimobˇeˇzek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9.1 Pˇr´ıˇcka mimobˇeˇzek a, b bodem M . . . . . . . . 14.9.2 Pˇr´ıˇcka mimobˇeˇzek a, b rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou c . 14.9.3 Nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcka mimobˇeˇzek a, b . . . . . . . . . 14.10Cviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.11Kontroln´ı otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161 162 164 165 166 167 167 168 169 169 170 170 170 170 171 171 172 172 173 173 173 176

Kapitola 1 Opakov´ an´ı stereometrie Na u ´vod pˇripomeneme základn´ı pojmy a vˇety z prostorové geometrie, které budeme pouˇz´ıvat v dalˇs´ıch kapitolách.

1.1

Axi´ omy

Axiómy jsou jednoduchá tvrzen´ı, která nem˚ uˇzeme dokázat. Z nich se potom odvozuj´ı dalˇs´ı vˇety. Tento systém axióm˚ u pouˇzil pˇred v´ıce neˇz 2000 lety slavn´ y ˇreck´ y geometr Euklides k vybudován´ı prostorové geometrie. Geometrii vybudované na tomto systému axióm˚ u ˇr´ıkáme Euklidovsk´ a geometrie. Uvedeme si pˇet základn´ıch axióm˚ u prostorové geometrie: 1. axi´ om: Dva r˚ uzné body A, B urˇcuj´ı právˇe jednu pˇr´ımku p. Symbolicky tuto vˇetu zap´ıˇseme: ∀A, B; A 6= B ∃! p = AB. 2. axi´ om: Pˇr´ımka p a bod A, kter´ y neleˇz´ı na pˇr´ımce p, urˇcuj´ı právˇe jednu rovinu α. Symbolicky: ∀A, p; A ∈ / p ∃! α = (A, p). 3. axi´ om: Leˇz´ı-li bod A na pˇr´ımce p a pˇr´ımka p v rovinˇe α, leˇz´ı i bod A v rovinˇe α. Symbolicky: ∀A, p, α; A ∈ p ∧ p ⊂ α ⇒ A ∈ α. 4. axi´ om: Maj´ı-li dvˇe r˚ uzné roviny α, β spoleˇcn´ y bod P , pak maj´ı i spoleˇcnou pˇr´ımku p a P leˇz´ı na p. Symbolicky: ∀α, β, α 6= β : P ∈ α ∩ β ⇒ ∃! p : P ∈ p ∧ α ∩ β = p. 5. axi´ om: Ke kaˇzdé pˇr´ımce p lze bodem P , kter´ y na n´ı neleˇz´ı, vést jedinou pˇr´ımku p0 rovnobˇeˇznou s p. Symbolicky: ∀P, p : P ∈ / p ⇒ ∃! p0 : p0 ||p ∧ P ∈ p0 . Uveden´ ych pˇet axióm˚ u tvoˇr´ı základ, ale museli bychom je doplnit o dalˇs´ı axiómy, aby systém dovoloval vybudován´ı klasické geometrie. Nen´ı vˇsak c´ılem tohoto textu uvést u ´pln´ y pˇrehled axióm˚ u a vˇet prostorové geometrie. Zamˇeˇr´ıme se jen na takové vztahy, které budeme pˇr´ımo vyuˇz´ıvat v dalˇs´ım v´ ykladu.

1.2

Urˇ cov´ an´ı odchylek

V rovinˇe um´ıme urˇcit odchylku pˇr´ımek, které jsou r˚ uznobˇeˇzné. Protoˇze se zab´ yváme prostorov´ ymi vztahy, nadefinujeme si i odchylku dvou mimobˇeˇzek a ukáˇzeme si, jak lze urˇcit odchylku dvou rovin. 8

´ ˇ ZNOSTI ˇ 1.3. KRITERIA ROVNOBE

1.2.1

9

Odchylka mimobˇ eˇ zek

1. V prostoru jsou dány dvˇe mimobˇeˇzky a, b. 2. Libovoln´ ym bodem M vedeme pˇr´ımku a0 rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou a a pˇr´ımku b0 rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou b. 3. Odchylka mimobˇeˇzek a, b je rovna odchylce pˇr´ımek a0 , b0 .

1.2.2

Obrázek 1.1:

Odchylka dvou rovin

Uvedeme dva zp˚ usoby, jak urˇcit odchylku dvou r˚ uznobˇeˇzn´ ych rovin α a β.

Obrázek 1.2:

Obrázek 1.3:

1. zp˚ usob - obr. 1.2 1. 2. 3. 4.

Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici p rovin α a β. Sestroj´ıme rovinu γ kolmou na p. Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici a rovin α a γ a pr˚ useˇcnici b rovin β a γ. Odchylka ϕ pˇr´ımek a, b je odchylkou rovin α a β.

2. zp˚ usob - obr. 1.3 1. Libovoln´ ym bodem M vedeme kolmici n k rovinˇe α. 2. Stejn´ ym bodem M vedeme kolmici n0 k rovinˇe β. 3. Odchylka pˇr´ımek n, n0 je odchylkou rovin α a β.

1.3

Krit´ eria rovnobˇ eˇ znosti

Vˇ eta 1.1 Krit´ erium rovnobˇ eˇ znosti pˇ r´ımky s rovinou. Pˇr´ımka p je rovnobˇeˇzná s rovinou α, právˇe kdyˇz existuje pˇr´ımka p0 leˇz´ıc´ı v rovinˇe α, rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou p – obr. 1.4.

´ 1.4. KRITERIA KOLMOSTI

10

Vˇ eta 1.2 Krit´ erium rovnobˇ eˇ znosti dvou rovin. Rovina α je rovnobˇeˇzná s rovinou β, právˇe kdyˇz existuj´ı r˚ uznobˇeˇzky a, b leˇz´ıc´ı v rovinˇe α a rovnobˇeˇzné s rovinou β – obr. 1.5.

Obrázek 1.4:

1.4

Obrázek 1.5:

Krit´ eria kolmosti

Vˇ eta 1.3 Krit´ erium kolmosti pˇ r´ımky a roviny. Pˇr´ımka p je kolmá k rovinˇe α, jestliˇze je kolmá ke dvˇema r˚ uznobˇeˇzkám a, b leˇz´ıc´ım v rovinˇe α – obr. 1.6. Vˇ eta 1.4 Krit´ erium kolmosti dvou rovin. Rovina α je kolmá k rovinˇe β, jestliˇze v rovinˇe α existuje pˇr´ımka p kolmá k rovinˇe β (tj. kolmá ke dvˇema r˚ uznobˇeˇzkám a, b leˇz´ıc´ım v rovinˇe β) – obr. 1.7.

Obrázek 1.6:

Obrázek 1.7:

´ CEN ˇ Í V PROSTORU 1.5. OTA

1.5

11

Ot´ aˇ cen´ı v prostoru

Transformac´ım bude vˇenována celá kapitola. Nyn´ı si pouze pˇripomeneme základn´ı vlastnosti otáˇcen´ı (rotace), protoˇze otáˇcen´ı budeme potˇrebovat pˇri studiu zobrazovac´ıch metod. Pop´ıˇseme otáˇcen´ı v prostoru okolo osy o o u ´hel ϕ. Body osy otáˇcen´ı jsou samodruˇzné (zobraz´ı se samy na sebe). Bod A se otáˇc´ı po kruˇ znici k. Urˇc´ıme stˇ red S kruˇznice k, polomˇ er r a rovinu ρ, ve které kruˇznice k leˇz´ı - obr. 1.8. • Rovina otáˇcen´ı ρ procház´ı bodem A a je kolmá k ose otáˇcen´ı o. • Stˇred otáˇcen´ı S je pr˚ useˇc´ıkem osy o s rovinou ρ. • Polomˇer otáˇcen´ı r je velikost u ´seˇcky AS, p´ıˇseme r = |AS|.

Obrázek 1.8:

Obrázek 1.9:

Pˇ r´ıklad 1.1 Jsou dány r˚ uznobˇeˇzné roviny α a π, v rovinˇe α je dán bod A. Nap´ıˇseme postup pro otoˇcen´ı bodu A do roviny π - obr. 1.9. ˇ sen´ı: Reˇ 1. 2. 3. 4.

1.6

Osou otáˇcen´ı o je pr˚ useˇcnice rovin α a π (o = α ∩ π). Rovina otáˇcen´ı ρ je kolmá k ose o a procház´ı bodem A (ρ ⊥ o ∧ A ∈ ρ). Stˇred otáˇcen´ı S z´ıskáme jako pr˚ useˇc´ık osy o a roviny ρ (S = o ∩ ρ). Velikost u ´seˇcky SA je polomˇer otáˇcen´ı (r = |SA|).

Dˇ el´ıc´ı pomˇ er

Na orientované pˇr´ımce p jsou dány dva r˚ uzné body A, B. Bod C 6= B je libovoln´ y bod pˇr´ımky p. Dˇel´ıc´ı pomˇer bodu C vzhledem k bod˚ um A, B je ˇc´ıslo −→ −−→ λ = (A, B, C) = d(AC) : d(BC), −→ −−→ kde d(AC), d(BC) jsou orientované délky pˇr´ısluˇsn´ ych u ´seˇcek. Napˇr´ıklad je-li bod C stˇredem u ´seˇcky AB, jeho dˇel´ıc´ı pomˇer vzhledem k bod˚ um A, B je −→ −−→ λ = −1, coˇz plyne ze vztahu d(AC) = −d(BC). Obrácenˇe ke kaˇzdému ˇc´ıslu λ 6= 1 m˚ uˇzeme sestrojit na dané orientované pˇr´ımce AB bod, jehoˇz dˇel´ıc´ı pomˇer v˚ uˇci bod˚ um A, B je dané ˇc´ıslo λ.

´ 1.7. KONTROLNÍ OTAZKY

1.7

12

Kontroln´ı ot´ azky

1.1 Popiˇste, jak lze urˇcit odchylku dvou rovin. 1.2 Uved’te kritérium rovnobˇeˇznosti pˇr´ımky a roviny a kritérium rovnobˇeˇznosti dvou rovin. 1.3 Uved’te kritérium kolmosti pˇr´ımky a roviny a kritérium kolmosti dvou rovin. 1.4 Proˇc nem˚ uˇze dˇel´ıc´ı pomˇer podle uvedené definice nab´ yvat hodnoty 1?

Kapitola 2 Nevlastn´ı elementy 2.1

´ Uvodn´ ıu ´ vaha

Je dána pˇr´ımka q a bod P , kter´ y na této pˇr´ımce neleˇz´ı. Bodem P procház´ı pˇr´ımka p (obr.2.1). Otáˇc´ıme pˇr´ımkou p kolem bodu P a sestrojujeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s pˇr´ımkou q.

Obrázek 2.1: V urˇcitém okamˇziku se pˇr´ımka p dostane do speciáln´ı polohy (p k q), kdy pr˚ useˇc´ık neexistuje. Nyn´ı nastávaj´ı dvˇe moˇznosti: bud’ ve sv´ ych u ´vahách budeme uvádˇet tento pˇr´ıpad zvláˇst’, nebo si pom˚ uˇzeme t´ım, ˇze i pro tuto situaci zavedeme pr˚ useˇc´ık“ a budeme rovnobˇeˇzky povaˇzovat ” za pˇr´ımky, které maj´ı spoleˇcn´ y bod. Tento pr˚ useˇc´ık, kter´ y ovˇsem nem˚ uˇzeme zobrazit, nazveme nevlastn´ım bodem.

2.2

Nevlastn´ı bod, pˇ r´ımka a rovina

Definice 2.1 Vˇsechny navzájem rovnobˇeˇzné pˇr´ımky v prostoru maj´ı spoleˇcný právˇe jeden bod, který nazýváme nevlastn´ım bodem. (Nˇekdy ˇr´ıkáme, ˇze rovnobˇeˇzné pˇr´ımky maj´ı stejný smˇ er - nahradili jsme tedy pojem smˇer pojmem nevlastn´ı bod.) - obr. 2.2 13


Obrázek 2.2:

14

Obrázek 2.3:

Podobnou u ´vahu jako v obr. 2.1 m˚ uˇzeme provést pro dvˇe roviny a vyslov´ıme dalˇs´ı definice: Definice 2.2 Vˇsechny navzájem rovnobˇeˇzné roviny v prostoru maj´ı spoleˇcnou právˇe jednu pˇr´ımku, kterou nazýváme nevlastn´ı pˇ r´ımkou - obr. 2.3. Definice 2.3 Nevlastn´ı rovina je mnoˇzina vˇsech nevlastn´ıch bod˚ u a nevlastn´ıch pˇr´ımek. Nevlastn´ı u ´tvary oznaˇcujeme stejnˇe jako vlastn´ı, pouze pˇripojujeme index ∞. Tedy napˇr. A∞ je nevlastn´ı bod, p∞ je nevlastn´ı pˇr´ımka apod. Euklidovsk´ y prostor obsahuje pouze vlastn´ı u ´tvary. Jestliˇze k nˇemu pˇridáme právˇe zavedené nevlastn´ı body, pˇr´ımky a roviny, dostaneme nov´ y prostor, kter´ y naz´ yváme projektivnˇ e rozˇ s´ıˇ ren´ y euklidovsk´ y prostor (nebo zkrácenˇe rozˇ s´ıˇ ren´ y euklidovsk´ y prostor). V rozˇs´ıˇreném euklidovském prostoru plat´ı pro vlastn´ı u ´tvary vˇsechny axiomy a vˇety, které platily v euklidovském prostoru. Pro nevlastn´ı u ´tvary mus´ıme pˇredpokládat platnost dalˇs´ıch tvrzen´ı o incidenci vlastn´ıch a nevlastn´ıch u ´tvar˚ u: • Na kaˇzdé vlastn´ı pˇr´ımce leˇz´ı právˇe jeden nevlastn´ı bod. • V kaˇzdé vlastn´ı rovinˇe leˇz´ı právˇe jedna nevlastn´ı pˇr´ımka. • Nevlastn´ı body vˇsech vlastn´ıch pˇr´ımek jedné roviny leˇz´ı na nevlastn´ı pˇr´ımce této roviny. Pozn´ amka 2.1 Nevlastn´ı bod na vlastn´ı pˇr´ımce znaˇc´ıme A∞ a nˇekdy pˇripojujeme k pˇr´ısluˇsné pˇr´ımce ˇsipku, coˇz ale nesm´ı vést k domnˇence, ˇze na vlastn´ı pˇr´ımce existuj´ı dva r˚ uzné nevlastn´ı ’ body. Vlastn´ı pˇr´ımka má jedin´ y nevlastn´ı bod, nebot patˇr´ı jednomu systému navzájem rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek. Dvˇe rovnobˇeˇzné pˇr´ımky maj´ı jeden spoleˇcn´ y nevlastn´ı bod.

2.3


2.1 Definujte nevlastn´ı bod pˇr´ımky. 2.2 Kolik nevlastn´ıch bod˚ u leˇz´ı na jedné pˇr´ımce (rozliˇste pˇr´ımku vlastn´ı a nevlastn´ı)? 2.3 Je pravdivé tvrzen´ı, ˇze v rozˇs´ıˇrené euklidovské rovinˇe maj´ı dvˇe r˚ uzné pˇr´ımky právˇe jeden spoleˇcn´ y bod? Je toto trvzen´ı pravdivé i pro rozˇs´ıˇren´ y euklidovsk´ y prostor?

Kapitola 3 Kuˇ zeloseˇ cky 3.1

´ Uvod

Kuˇzeloseˇcka je rovinná kˇrivka, kterou z´ıskáme jako pr˚ unik rotaˇcn´ı kuˇzelové plochy a roviny. Kuˇzeloseˇcky m˚ uˇzeme rozdˇelit na singulárn´ı, pokud rovina ˇrezu procház´ı vrcholem rotaˇcn´ı kuˇzelové plochy (bod, pˇr´ımka, dvˇe pˇr´ımky), a regulárn´ı, jestliˇze rovina ˇrezu vrcholem neprocház´ı (elipsa 1 , hyperbola, parabola). V dalˇs´ım textu nejprve uvedeme definice a tzv. ohniskové vlastnosti kuˇzeloseˇcek, pˇriˇcemˇz se nejv´ıce zamˇeˇr´ıme na elipsu, protoˇze elipsa je afinn´ım obrazem kruˇznice, a tedy se s n´ı ˇcasto setkáme v rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı. Protoˇze ohniska kuˇzeloseˇcek nejsou invariantem (nezobrazuj´ı se do ohnisek) afinn´ıch zobrazen´ı, zamˇeˇr´ıme se v dalˇs´ı ˇca´sti na dvˇe vˇety, které nevyuˇz´ıvaj´ı ohniskov´ ych vlastnost´ı, ale pracuj´ı pouze s body, teˇcnami a incidenc´ı. Pozn´ amka 3.1 Seˇcna kuˇzeloseˇcky (resp. jiné kˇrivky) je spojnice dvou bod˚ u kuˇzeloseˇcky. Teˇcnu lze definovat jako limitn´ı pˇr´ıpad seˇcny, pokud tyto dva body v limitˇe splynou.

3.2

Elipsa

Definice 3.1 Elipsa je mnoˇzina vˇsech bod˚ u v rovinˇe, které maj´ı od dvou daných vlastn´ıch bod˚ u F, G stálý souˇcet vzdálenost´ı 2a, vˇetˇs´ı neˇz vzdálenost daných bod˚ u (obr. 3.1). Body F, G se naz´ yvaj´ı ohniska, spojnice bod˚ u elipsy s ohnisky jsou pr˚ uvodiˇ ce, stˇred u ´seˇcky F G je stˇred elipsy. Pˇr´ımka F G je osou soumˇernosti elipsy a naz´ yváme ji hlavn´ı osa, stejn´ ym názvem oznaˇcujeme i vzdálenost bod˚ u A, B elipsy leˇz´ıc´ıch na této ose, polovinˇe této vzdálenosti ˇr´ıkáme hlavn´ı poloosa a znaˇc´ıme a. Osu u ´seˇcky F G naz´ yváme vedlejˇ s´ı osa, stejn´ ym názvem oznaˇcujeme i vzdálenost bod˚ u C, D elipsy leˇz´ıc´ıch na této ose, polovinˇe této vzdálenosti ˇr´ıkáme vedlejˇ s´ı poloosa a znaˇc´ıme b. Vzdálenost ohniska od stˇredu elipsy se naz´ yvá line´ arn´ı v´ ystˇ rednost neboli excentricita a znaˇc´ıme ji e. Pro poloosy a excentricitu plat´ı vztah a2 = b 2 + e 2 . 1

Kruˇznici povaˇzujeme za speci´ aln´ı pˇr´ıpad elipsy

15

3.2. ELIPSA

16

Obrázek 3.1:

3.2.1

Rovnice elipsy

V této podkapitole pouˇz´ıváme z ˇcásti pojmov´ y aparát z kapitoly Analytická geometrie (viz 14), je moˇzné tuto ˇca´st vynechat a vrátit se k n´ı pozdˇeji. Pokud um´ıst´ıme elipsu tak, aby jej´ı osy leˇzely na souˇradnicov´ ych osách (stˇred je v poˇca´tku souˇradnicové soustavy), potom ohniska maj´ı souˇradnice F = [−e, 0], G = [e, 0] a bod elipsy M = [x, y]. q q Z definice elipsy plat´ı, ˇze |F M | + |GM | = 2a tj. (x + e)2 + y 2 + (x − e)2 + y 2 = 2a. Po u ´pravˇe z´ıskáme kanonickou rovnici x2 y 2 + 2 = 1. a2 b Jestliˇze um´ıst´ıme stˇred elipsy do bodu S = [s1 , s2 ] (a osy z˚ ustanou rovnobˇeˇzné se souˇradnicov´ ymi osami), pak má elipsa rovnici (x − s1 )2 (y − s2 )2 + = 1. a2 b2 Parametrické vyjádˇren´ı vyjádˇren´ı lze odvodit z tzv. troj´ uheln´ıkové konstrukce elipsy (viz obr. 3.2). Jsou dány dvˇe soustˇredné kruˇznice se spoleˇcn´ ym stˇredem v bodˇe S = [0, 0] a polomˇery a, b (a > b). Bodem S vedeme polopˇr´ımku r, která prot´ıná kruˇznice v bodech A, B. Bodem A vedeme rovnobˇeˇzku s osou y a bodem B rovnobˇeˇzku s osou x. Pr˚ useˇc´ık tˇechto rovnobˇeˇzek oznaˇc´ıme X = [x, y] a odvod´ıme jeho souˇradnice. Odvozen´ı ukáˇzeme pro prvn´ı kvadrant t ∈ (0; π/2), v ostatn´ıch kvadrantech bude situace analogická. Souˇradnice bodu A resp. B jsou [xa , ya ] = [a cos t, a sin t], resp. [xb , yb ] = [b cos t, b sin t]. Z pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku ABX lze vyjádˇrit velikosti odvˇesen v = |AX| = (a − b) sin t, u = |BX| = (a − b) cos t. Souˇradnice bodu X = [x, y] m˚ uˇzeme vyjádˇrit pomoc´ı souˇradnic bod˚ u A, B a velikost´ı u, v: x = xb + u = b cos t + (a − b) cos t = a cos t y = ya − v = a sin t − (a − b) sin t = b sin t.

3.2. ELIPSA

17

Bod X je bodem elipsy, protoˇze jeho souˇradnice vyhovuj´ı kanonické rovnici uvedené v´ yˇse a x = a cos t, y = b sin t, t ∈ (0; 2π) je parametrick´ ym vyjádˇren´ım elipsy.

Obrázek 3.2:

3.2.2

Obrázek 3.3:

Prouˇ zkov´ a konstrukce elipsy

Bodem X vedeme rovnobˇeˇzku q s pˇr´ımkou r. Pˇr´ımka q protne hlavn´ı a vedlejˇs´ı osu elipsy v bodech P a R. Protoˇze r k q, BX k SP a AX k SR, plat´ı také, ˇze |RX| = |SA| = a a |XP | = |SB| = b .

Obrázek 3.4:

Obrázek 3.5:

Pˇ r´ıklad 3.1 Elipsa je urˇcena hlavn´ı osou AB a bodem M , kter´ y je bodem elipsy. Urˇcete velikost vedlejˇs´ı poloosy elipsy - obr. 3.4. ˇ sen´ı: (obr. 3.5) Reˇ

3.2. ELIPSA

18

1. Sestroj´ıme osu o u ´seˇcky AB. 2. Sestroj´ıme kruˇznici f ≡ (M, a), velikost hlavn´ı poloosy a je rovna polovinˇe vzdálenosti bod˚ u A, B. 3. Sestroj´ıme bod R jako pr˚ useˇc´ık kruˇznice f s osou o (ze dvou moˇznost´ı vybereme bod, kter´ y leˇz´ı v opaˇcné polorovinˇe k polorovinˇe urˇcené osou AB a bodem M ). 4. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık P u ´seˇcky RM s osou AB. 5. Velikost b vedlejˇs´ı poloosy je vzdálenost bod˚ u P M.

3.2.3

Oskulaˇ cn´ı kruˇ znice elipsy

Pokud jsme nuceni sestrojit elipsu pomoc´ı kruˇz´ıtka a prav´ıtka, m˚ uˇzeme ji ve vrcholech nahradit oblouky tzv. oskulaˇcn´ıch kruˇznic. Oskulaˇcn´ı kruˇznice pˇredstavuje nejlepˇs´ı“ náhradu kˇrivky v ” okol´ı daného bodu pomoc´ı kruˇznice. Oskulaˇcn´ı kruˇznice ve vrcholu elipsy (ale i jiné kˇrivky) se naz´ yvá hyperoskulaˇcn´ı kruˇcnice. Pˇ r´ıklad 3.2 Sestrojte libovoln´ y dalˇs´ı bod a hyperoskulaˇcn´ı kruˇznice elipsy urˇcené hlavn´ı a vedlejˇs´ı osou - obr. 3.6. ˇ sen´ı: (obr. 3.7) Reˇ 1. Sestroj´ıme u ´seˇcku U W velikosti 2a = |AB| a zvol´ıme bod V na u ´seˇcce U W . 2. Urˇc´ıme ohniska F, G (plat´ı |CF | = a). Bod X je pr˚ useˇc´ıkem kruˇznic u1 ≡ (F, |U V |) a u2 ≡ (G, |V W |). 3. Sestroj´ıme bodem C rovnobˇeˇzku s hlavn´ı osou a bodem B rovnobˇeˇzku s vedlejˇs´ı osou (teˇcny ve vrcholech). 4. Pr˚ useˇc´ıkem rovnobˇeˇzek vedeme kolmici r k pˇr´ımce CB. 5. Pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky r s hlavn´ı a vedlejˇs´ı osou jsou stˇredy S1 , S2 hyperoskulaˇcn´ıch kruˇznic k1 ≡ (S1 , |S1 B|), k2 ≡ (S2 , |S2 C|).

Obrázek 3.6:

Obrázek 3.7:

3.2. ELIPSA

3.2.4

19

Rytzova konstrukce

Pr˚ umˇer elipsy je u ´seˇcka, která procház´ı stˇredem elipsy a jej´ı krajn´ı body leˇz´ı na elipse. Na rozd´ıl od kruˇznice nen´ı elipsa sv´ ym pr˚ umˇerem urˇcena. Jednoznaˇcnˇe je urˇcena tzv. sdruˇ zen´ ymi pr˚ umˇ ery, pro které plat´ı, ˇze teˇcny v krajn´ıch bodech jednoho pr˚ umˇeru jsou rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇerem sdruˇzen´ ym (viz obr. 3.8).

Obrázek 3.8:

Obrázek 3.9:

Obrázek 3.10:

Pˇ r´ıklad 3.3 Sestrojte hlavn´ı a vedlejˇs´ı osu elipsy urˇcené sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery - obr. 3.9. ˇ sen´ı: (Rytzova konstrukce - obr. 3.10) Reˇ 1. K pr˚ umˇeru KL vedeme bodem S kolmici u. 2. Na kolmici sestroj´ıme bod Q tak, ˇze na u naneseme od bodu S délku |QS| = |KS|. Bod Q leˇz´ı ve stejné polorovinˇe urˇcené hraniˇcn´ı pˇr´ımkou KL jako bod M . 3. Sestroj´ıme pˇr´ımku QM . 4. O je stˇred u ´seˇcky QM . 5. Sestroj´ıme kruˇznici r ≡ (O, |OS|). 6. QM ∩ r = {R, P }. 7. Pˇr´ımky RS a P S udávaj´ı polohu hlavn´ı a vedlejˇs´ı osy elipsy. Hlavn´ı osa procház´ı ostr´ ym u ´hlem sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u. 8. Velikost hlavn´ı osy elipsy a = |P M |. Velikost vedlejˇs´ı osy elipsy b = |RM |.

3.2. ELIPSA

3.2.5

20

Teˇ cna a ohniskov´ e vlastnosti elipsy

Teˇcna elipsy je pˇr´ımka, která má s elipsou spoleˇcn´ y právˇe jeden bod. Pˇri sestrojován´ı obrysu nˇekter´ ych tˇeles (kuˇzel) budeme hledat teˇcny z bodu (nebo v bodˇe) k elipse. Následuj´ıc´ı tˇri vˇety poskytuj´ı potˇrebn´ y návod k tˇemto konstrukc´ım. Vˇ eta 3.1 Teˇcna elipsy p˚ ul´ı vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u dotykového bodu (viz obr. 3.1).

Obrázek 3.11:

Obrázek 3.12:

Vˇ eta 3.2 Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které jsou soumˇernˇe sdruˇzené s jedn´ım ohniskem elipsy podle jej´ıch teˇcen, je kruˇznice se stˇredem v druhém ohnisku o polomˇeru rovném velikosti hlavn´ı osy elipsy (tj. 2a). Tato kruˇznice se naz´ yvá ˇ r´ıd´ıc´ı kruˇ znice (viz obr. 3.11). Vˇ eta 3.3 Mnoˇzina vˇsech pat kolmic, které jsou spuˇstˇeny z ohnisek elipsy na jej´ı teˇcny, je kruˇznice opsaná okolo stˇredu elipsy polomˇerem rovným velikosti hlavn´ı poloosy (tj. a). Tato kruˇznice se naz´ yvá vrcholov´ a kruˇ znice (viz obr. 3.12). Pˇ r´ıklad 3.4 Elipsa je urˇcena hlavn´ı a vedlejˇs´ı osou. Z bodu M ved’te teˇcny k zadané elipse obr. 3.13. ˇ sen´ı: (pomoc´ı vrcholové kruˇznice - obr. 3.14) Reˇ 1. 2. 3. 4. 5.

Sestroj´ıme vrcholovou kruˇznici r ≡ (S, a). Sestroj´ıme Thaletovu kruˇznici k nad u ´seˇckou GM . Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky U1 , U2 kruˇznic k, r. Teˇcny t1 resp. t2 jsou urˇceny body U1 M resp. U2 M . Pokud urˇcujeme dotykov´ y bod T , sestroj´ıme bod G0 soumˇernˇe sdruˇzen´ y k ohnisku G podle teˇcny t2 . Bod T je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek F G0 a t2 . Druh´ y dotykov´ y bod bychom naˇsli analogicky.

3.2. ELIPSA

21

Obrázek 3.13:

Obrázek 3.14:

ˇ sen´ı: (pomoc´ı ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice - obr. 3.15) Reˇ Sestroj´ıme ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznici d ≡ (F, 2a). Sestroj´ıme kruˇznici k ≡ (M, |M G|). Bod G0 (bod soumˇernˇe sdruˇzen´ y k ohnisku podle teˇcny) je pr˚ useˇc´ık kruˇznic k, r. Teˇcna t2 je kolmá k u ´seˇcce GG0 . (Teˇcnu t1 najdeme pomoc´ı druhého pr˚ useˇc´ıku kruˇznic k, r - konstrukce nen´ı z d˚ uvodu pˇrehlednosti v obrázku znázornˇena.) 5. Dotykov´ y bod T je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek F G0 a t2 .

1. 2. 3. 4.

Obrázek 3.15:

3.3. HYPERBOLA

3.3

22

Hyperbola

Definice 3.2 Hyperbola je mnoˇzina vˇsech bod˚ u v rovinˇe, které maj´ı od dvou daných pevných 2 bod˚ u F, G stálý rozd´ıl vzdálenost´ı 2a. (obr. 3.16).

Obrázek 3.16: Body F, G se naz´ yvaj´ı ohniska, spojnice bod˚ u hyperboly s ohnisky jsou pr˚ uvodiˇ ce, stˇred u ´seˇcky F G je stˇred hyperboly. Vzdálenost ohniska od stˇredu elipsy se naz´ yvá line´ arn´ı v´ ystˇ rednost neboli excentricita a znaˇc´ıme ji e. Pˇr´ımka F, G je osou soumˇernosti hyperboly a naz´ yváme ji hlavn´ı osa, stejn´ ym názvem oznaˇcujeme i vzdálenost bod˚ u A, B hyperboly leˇz´ıc´ıch na této ose, polovinˇe této vzdálenosti ˇr´ıkáme hlavn´ı poloosa a znaˇc´ıme a. Osu u ´seˇcky F, G naz´ yváme vedlejˇ s´ı osa, vedlejˇ s´ı poloosa naz´ yváme velikost b, pro kterou plat´ı vztah e2 = a2 + b2 .

3.3.1

Teˇ cna a ohniskov´ e vlastnosti hyperboly

Pro hyperbolu plat´ı podobné vˇety jako pro elipsu a lze je vyuˇz´ıt pˇri hledán´ı teˇcny hyperboly. Pro teˇcny v nevlastn´ıch bodech pouˇz´ıváme oznaˇcen´ı asymptoty. Vˇ eta 3.4 Teˇcna hyperboly p˚ ul´ı vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u dotykového bodu. (viz obr. 3.16). Vˇ eta 3.5 Asymptoty hyperboly procházej´ı jej´ım stˇredem a pro jejich odchylku α s hlavn´ı osou hyperboly plat´ı tgα = ab . Vˇ eta 3.6 Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které jsou soumˇernˇe sdruˇzené s jedn´ım ohniskem hyperboly podle jej´ıch teˇcen, je kruˇznice se stˇredem v druhém ohnisku o polomˇeru rovném velikosti hlavn´ı osy hyperboly. 2

Pro délku hlavn´ı poloosy a mus´ı platit 2a < |F G|

3.4. PARABOLA

23

Tato kruˇznice se naz´ yvá ˇ r´ıd´ıc´ı kruˇ znice (viz obr. 3.17). Vˇ eta 3.7 Mnoˇzina vˇsech pat kolmic, které jsou spuˇstˇeny z ohnisek hyperboly na jej´ı teˇcny, je kruˇznice opsaná okolo stˇredu hyperboly polomˇerem rovným velikosti hlavn´ı poloosy. Tato kruˇznice se naz´ yvá vrcholov´ a kruˇ znice (viz obr. 3.18).

Obrázek 3.17:

3.4

Obrázek 3.18:

Parabola

Definice 3.3 Parabola je mnoˇzina vˇsech bod˚ u v rovinˇe, které maj´ı od pevného bodu F a pevné pˇr´ımky d, která t´ımto bodem neprocház´ı, stejné vzdálenosti (obr. 3.19).

Obrázek 3.19: Bod F se naz´ yvá ohnisko, pˇr´ımka d ˇ r´ıd´ıc´ı pˇ r´ımka, spojnice bod˚ u paraboly s ohniskem a kolmice dan´ ym bodem k ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımce jsou pr˚ uvodiˇ ce. Pˇr´ımka procházej´ıc´ı ohniskem F a

ˇ 3.5. PASCALOVA A BRIANCHONOVA VETA

24

kolmá na ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımku je osou soumˇernosti paraboly a naz´ yváme ji osa paraboly. Pr˚ useˇc´ık V osy s parabolou je vrchol paraboly. Vzdálenost ohniska od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky se naz´ yvá parametr a znaˇc´ı se p. Oskulaˇ cn´ı kruˇ znice v hlavn´ım vrcholu paraboly (tedy hyperoskulaˇcn´ı kruˇznice) má stˇred S na ose paraboly ve vzdálenosti p od vrcholu V (viz obr. 3.19).

3.4.1

Teˇ cna a ohniskov´ e vlastnosti paraboly

Pro parabolu plat´ı podobné vˇety jako pro elipsu a hyperbolu, pouze m´ısto ˇr´ıd´ıc´ı a vrcholové kruˇznice dostáváme ˇr´ıd´ıc´ı a vrcholovou pˇr´ımku. Tyto vˇety lze opˇet vyuˇz´ıt pˇri urˇcován´ı teˇcny paraboly. Vˇ eta 3.8 Teˇcna paraboly p˚ ul´ı vnˇejˇs´ı u ´hly pr˚ uvodiˇc˚ u dotykového bodu (viz obr. 3.19). Vˇ eta 3.9 Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které jsou soumˇernˇe sdruˇzené s ohniskem paraboly podle jej´ıch teˇcen, je jej´ı ˇ r´ıd´ıc´ı pˇ r´ımka. (viz obr. 3.20). Vˇ eta 3.10 Mnoˇzina vˇsech pat kolmic, které jsou spuˇstˇeny z ohniska na teˇcny paraboly, je vrcholov´ a teˇ cna paraboly. (viz obr. 3.21).

Obrázek 3.20:

3.5

Obrázek 3.21:

Pascalova a Brianchonova vˇ eta

V této ˇca´sti uvedeme velice d˚ uleˇzité a uˇziteˇcné vlastnosti kuˇzeloseˇcek, které se zachovávaj´ı pˇri tzv. projektivn´ıch transformac´ıch, tedy napˇr. jak v rovnobˇeˇzném, tak stˇredovém prom´ıtán´ı. Zejména Pascalovu vˇetu lze vyuˇz´ıt jako nástroj pro interpolaci kuˇzeloseˇcek, tedy pro opakovan´ y v´ ypoˇcet ˇci konstrukci dalˇs´ıch bod˚ u tˇechto kˇrivek. Pascalova vˇeta uvád´ı, ˇze ˇsest bod˚ u leˇz´ı na jedné kuˇzeloseˇcce jen v pˇr´ıpadˇe, ˇze splˇ nuj´ı dalˇs´ı podm´ınku. Z toho lze vyvodit, ˇze pro urˇcen´ı kuˇzeloseˇcky v obecném pˇr´ıpadˇe staˇc´ı pˇet bod˚ ua pomoc´ı Pascalovy vˇety lze naopak sestrojit (interpolovat) dalˇs´ı body.


25

Vˇ eta 3.11 (Pascalova vˇeta) Pr˚ useˇc´ıky tˇr´ı dvojic protˇejˇs´ıch stran ˇsesti´ uheln´ıka vepsaného do kuˇzeloseˇcky leˇz´ı na jedné pˇr´ımce tzv. Pascalovˇ e pˇ r´ımce (obr. 3.22).

Obrázek 3.22:

P = 12 ∩ 45 Q = 23 ∩ 56 R = 34 ∩ 61

Pˇ r´ıklad 3.5 Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky k(A, B, C, D, E) urˇcené pˇeti body - obr. 3.23. ˇ sen´ı: (volba pˇr´ımky, na které leˇz´ı hledan´ Reˇ y bod - obr. 3.24) 1. Oˇc´ıslujeme body 3 napˇr. A = 1, B = 4, C = 2, D = 5, E = 3 a hledáme bod F = 6. 2. Protoˇze hledáme libovoln´ y bod, m˚ uˇzeme pˇr´ımku, na které budeme bod 6 hledat, vhodnˇe zvolit. Vol´ıme pˇr´ımku procházej´ıc´ı bodem 1 a oznaˇc´ıme ji 16 (spojnice bod˚ u 1 a 6) 3. Sestroj´ıme bod P , kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem spojnic 12 a 45. 4. Sestroj´ıme bod R, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem spojnic 34 a 16. 5. Sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p = P R. 6. Sestroj´ıme bod Q, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem Pascalovy pˇr´ımky p a pˇr´ımky 23. 7. Sestroj´ıme pˇr´ımku 56, která je spojnic´ı bod˚ u Q a 5. 8. Bod F = 6 je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek 16 a 56.

Pozn´ amka 3.2 Pokud dva body kuˇzeloseˇcky splynou, pak jejich spojnice pˇrejde v teˇcnu (viz obr. 3.25). Pokud splynou dvˇe teˇcny, pak jejich pr˚ useˇc´ık pˇrejde v dotykov´ y bod (viz obr. 3.26). Techto u ´vah vyuˇzijeme v následuj´ıc´ıch pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklad 3.6 Kuˇzeloseˇcka k(A, B, C, D, E) je urˇcena pˇeti body. Sestrojte teˇcnu k této kuˇzeloseˇcce v bodˇe A - obr. 3.27. ˇ sen´ı: (obr. 3.28) Reˇ 3

Na oˇc´ıslov´ an´ı bod˚ u nez´ aleˇz´ı, ale volbou oˇc´ıslován´ı m˚ uˇzeme ovlivnit dosaˇzitelnost potˇrebn´ ych bod˚ u na n´ akresnˇe.


26

Obrázek 3.23:

Obrázek 3.24:

Obrázek 3.25:

Obrázek 3.26:

1. Protoˇze hledáme teˇcnu v bodˇe A, oznaˇc´ıme tento bod jako dva body, které splynuly (a v Pascalovˇe vˇetˇe je vyuˇz´ıvána jejich spojnice) A = 1 = 6. 2. Oˇc´ıslujeme ostatn´ı body napˇr. B = 2, C = 5, D = 3, E = 4 a hledáme spojnici 16. 3. Sestroj´ıme bod P , kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem spojnic 12 a 45. 4. Sestroj´ıme bod Q, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem spojnic 23 a 56. 5. Sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p = P Q. 6. Sestroj´ıme bod R jako pr˚ useˇc´ık Pascalovy pˇr´ımky p a pˇr´ımky 34. 7. Sestroj´ıme pˇr´ımku 16, která je spojnic´ı bod˚ u R a 1 = 6. 8. Pˇr´ımka tA = 16 je teˇcnou kuˇzeloseˇcky v bodˇe 1 = 6.

Pˇ r´ıklad 3.7 Kuˇzeloseˇcka k(A, B, b, D, E) je urˇcena pˇeti body a teˇcnou v jednom z nich. Sestrojte teˇcnu k této kuˇzeloseˇcce v bodˇe A - obr. 3.29. ˇ sen´ı: (obr. 3.30) Reˇ


Obrázek 3.27:

27

Obrázek 3.28:

1. Protoˇze hledáme teˇcnu v bodˇe A, oznaˇc´ıme tento bod jako dva body, které splynuly (a v Pascalovˇe vˇetˇe je vyuˇz´ıvána jejich spojnice) A = 1 = 2. 2. Protoˇze pˇr´ımka b je teˇcnou v bodˇe B, oznaˇc´ıme i bod B jako dva body, které splynuly (a v Pascalovˇe vˇetˇe je vyuˇz´ıvána jejich spojnice) B = 3 = 4 a pˇr´ımku b jako spojnici 34. 3. Oˇc´ıslujeme ostatn´ı body napˇr. D = 5, E = 6 a hledáme spojnici 12. 4. Sestroj´ıme bod Q, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem spojnic 23 a 56. 5. Sestroj´ıme bod R, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem spojnic 34 a 16. 6. Sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p = QR. 7. Sestroj´ıme bod P jako pr˚ useˇc´ık Pascalovy pˇr´ımky p a pˇr´ımky 45. 8. Sestroj´ıme pˇr´ımku 12, která je spojnic´ı bod˚ u P a 1 = 2. 9. Pˇr´ımka tA = 12 je teˇcnou kuˇzeloseˇcky v bodˇe 1 = 2.

Obrázek 3.29:

Obrázek 3.30:

Vˇ eta 3.12 (Brianchonova vˇeta) Spojnice tˇr´ı dvojic protˇejˇs´ıch vrchol˚ u ˇsesti´ uheln´ıka opsaného kuˇzeloseˇcce procházej´ı jedn´ım bodem tzv. Brianchonov´ ym bodem (obr. 3.31).


Obrázek 3.31:

28

p = (1 ∩ 2)(4 ∩ 5) q = (2 ∩ 3)(5 ∩ 6) r = (3 ∩ 4)(6 ∩ 1)

Pˇ r´ıklad 3.8 Kuˇzeloseˇcka k(a, b, c, d, e) je urˇcena pˇeti teˇcnami. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu této kuˇzeloseˇcky - obr. 3.32. ˇ sen´ı: (obr. 3.33) Reˇ 1. Oˇc´ıslujeme pˇr´ımky napˇr. a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5 a hledáme pˇr´ımku f = 6. 2. Protoˇze hledáme libovolnou pˇr´ımku, m˚ uˇzeme zvolit bod, kter´ ym pˇr´ımka bude procházet. Vol´ıme bod na pˇr´ımce 1 a oznaˇc´ıme ho 16 (pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek 1 a 6) 3. Sestroj´ıme pˇr´ımku p, která je spojnic´ı pr˚ useˇc´ık˚ u 12 a 45. 4. Sestroj´ıme pˇr´ımku r, která je spojnic´ı pr˚ useˇc´ık˚ u 34 a 16. 5. Sestroj´ıme Brianchon˚ uv bod B, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek p a r. 6. Sestroj´ıme pˇr´ımku q, která je spojnic´ı Brianchonova bodu B a pr˚ useˇc´ıku 23. 7. Sestroj´ıme bod 56, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek q a 5. 8. Teˇcna f = 6 je spojnic´ı bod˚ u 16 a 56. Pˇ r´ıklad 3.9 Kuˇzeloseˇcka k(a, b, c, d, D) je urˇcena pˇeti teˇcnami a jedn´ım bodem dotyku (bod D na teˇcnˇe d). Sestrojte dotykov´ y bod A na teˇcnˇe a - obr. 3.34. ˇ sen´ı: (obr. 3.35) Reˇ 1. Protoˇze na teˇcnˇe d známe dotykov´ y bod, oznaˇc´ıme ji jako dvˇe teˇcny, které splynuly d = 5 = 6 a dotykov´ y bod jako jejich pr˚ useˇc´ık D = 56. 2. Pˇr´ımku a, na které hledáme dotykov´ y bod, také oznaˇc´ıme jako dvˇe pˇr´ımky , které splynuly a = 1 = 2 a hledáme jejich pr˚ useˇc´ık A = 12. 3. Oˇc´ıslujeme ostatn´ı pˇr´ımky napˇr. b = 3, c = 4. 4. Sestroj´ıme pˇr´ımku q, která je spojnic´ı pr˚ useˇc´ık˚ u 23 a 56. 5. Sestroj´ıme pˇr´ımku r, která je spojnic´ı pr˚ useˇc´ık˚ u 34 a 16. 6. Sestroj´ıme Brianchon˚ uv bod B, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek q a r. 7. Sestroj´ıme pˇr´ımku p, která je spojnic´ı Brianchonova bodu B a pr˚ useˇc´ıku 45. 8. Sestroj´ıme bod 12, kter´ y je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek p a 1 = 2. 9. Bod 12 je dotykov´ ym bodem na teˇcnˇe a.


3.6

29

Obrázek 3.32:

Obrázek 3.33:

Obrázek 3.34:

Obrázek 3.35:


3.1 Kolika obecn´ ymi (r˚ uzn´ ymi) body je kuˇzeloseˇcka jednoznaˇcnˇe urˇcena. 3.2 Jak jsou definovány sdruˇzené pr˚ umˇery elipsy? 3.3 Které pr˚ umˇery kruˇznice jsou sdruˇzené, pokud kruˇznici povaˇzujeme za speciáln´ı pˇr´ıpad elipsy (a = b)? 3.4 Kolik nevlastn´ıch bod˚ u maj´ı jednotlivé regulárn´ı kuˇzeloseˇcky?

Kapitola 4 Element´ arn´ı plochy a tˇ elesa 4.1

Z´ akladn´ı pojmy

Elementárn´ımi plochami budeme rozumˇet jehlanovou, hranolovou, kuˇzelovou, válcovou a kulovou plochu a elementárn´ımi tˇelesy jehlan, hranol, kuˇzel, válec a kouli. Elementárn´ı tˇelesa znáte z pˇredchoz´ıho studia na stˇredn´ı ˇskole. Zde je jen dáme do souvislost´ı s novˇe definovan´ ymi pojmy.

4.1.1

Jehlanov´ a plocha, jehlan

Jehlanov´ a plocha je urˇcena rovinnou lomenou ˇcárou - polygonem c (c ⊂ σ) a bodem V , kter´ y neleˇz´ı v rovinˇe polygonu (V 6∈ σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, které prot´ınaj´ı polygon c a procházej´ı bodem V - obr. 4.1 a). Je-li polygon uzavˇren´ y, pak mnoˇzina pˇr´ımek, které procházej´ı dan´ ym bodem V a prot´ınaj´ı vnitˇrek polygonu nebo polygon, se naz´ yvá jehlanov´ y prostor. Pˇr´ımky urˇcené vrcholem V a vrcholy polygonu jsou hrany jehlanové plochy. Rovina, která procház´ı vrcholem, se naz´ yvá vrcholov´ a rovina. Jehlan je pr˚ unik jehlanového prostoru a prostorové vrstvy urˇcené rovinou σ ˇr´ıd´ıc´ıho polygonu a vrcholové roviny σ 0 k σ - obr. 4.1 c). ) V´ yˇska jehlanu je vzdálenost vrcholu V od roviny podstavy. Má-li podstava stˇred S a leˇz´ı-li vrchol V na kolmici vztyˇcené v bodˇe S k rovinˇe podstavy, naz´ yváme jehlan kolm´ y a SV je jeho osa. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe je jehlan kos´ y.

4.1.2

Hranolov´ a plocha, hranol

Hranolov´ a plocha je urˇcena rovinnou lomenou ˇcárou - polygonem c (c ⊂ σ) a smˇerem s, kter´ y nenáleˇz´ı dané rovinˇe (s 6k σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, které prot´ınaj´ı polygon c a jsou smˇeru s obr. 4.1b). Je-li polygon uzavˇren´ y, pak mnoˇzina pˇr´ımek smˇeru s, které prot´ınaj´ı polygon nebo vnitˇrek polygonu, se naz´ yvá hranolov´ y prostor. Pˇr´ımky urˇcené vrcholy polygonu a smˇeru s jsou hrany hranolové plochy. V projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı euklidovského prostoru lze definovat hranolovou plochu jako speciáln´ı pˇr´ıpad jehlanové plochy, jej´ımˇz vrcholem je nevlastn´ı bod. Vrcholovou rovinou je kaˇzdá rovina smˇeru s.

30

´ Í POJMY 4.1. ZAKLADN

31

Hranol je pr˚ unik hranolového prostoru a prostorové vrstvy urˇcené rovinou σ ˇr´ıd´ıc´ıho polygonu a roviny σ 0 k σ - obr. 4.1d). V´ yˇska hranolu je vzdálenost rovin podstav. Jsou-li poboˇcné hrany kolmé na roviny podstav, naz´ yváme hranol kolm´ y a spojnice stˇred˚ u podstav je jeho osou (pokud existuje). V opaˇcném pˇr´ıpadˇe je hranol kos´ y. Hranol, jehoˇz podstavou je rovnobˇeˇzn´ık, naz´ yváme rovnobˇ eˇ znostˇ en.

Obrázek 4.1:

4.1.3

Obrázek 4.2:

Kuˇ zelov´ a plocha, kuˇ zel

Kuˇ zelov´ a plocha je urˇcena rovinnou kˇrivku k (k ⊂ σ) a bodem V , kter´ y neleˇz´ı v rovinˇe dané kˇrivky (V 6∈ σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, které prot´ınaj´ı kˇrivku k a procházej´ı bodem V - obr. 4.2 a). Je-li kˇrivka k uzavˇrená, pak mnoˇzina pˇr´ımek, které procházej´ı dan´ ym bodem V a prot´ınaj´ı kˇrivku nebo vnitˇrek kˇrivky, se naz´ yvá kuˇ zelov´ y prostor. Pˇr´ımka urˇcená vrcholem V a bodem kˇrivky k je povrˇska kuˇzelové plochy. Rovina, která procház´ı vrcholem, se naz´ yvá vrcholov´ a rovina. Kuˇ zel je pr˚ unik kuˇzelového prostoru a prostorové vrstvy urˇcené rovinou σ ˇr´ıd´ıc´ıho polygonu a vrcholové roviny σ 0 k σ - obr. 4.2 c). Je-li ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou kuˇzelové plochy kruˇznice (ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice), kuˇzelová plocha se naz´ yvá kruhov´ a. Jestliˇze je spojnice stˇredu S ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice k a vrcholu V kolmá na rovinu σ, pak naz´ yváme kuˇzelovou plochu kolmou nebo rotaˇ cn´ı a pˇr´ımku SV osou kuˇzelové plochy. Rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu m˚ uˇzeme také z´ıskat rotac´ı pˇr´ımky, která prot´ıná osu otáˇcen´ı a nen´ı k n´ı kolmá. Nen´ı-li pˇr´ımka SV kolmá na rovinu ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice, naz´ yvá se kuˇzelová plocha kos´ a. Podobnˇe kolm´ y nebo rotaˇ cn´ı kuˇ zel má osu kolmou k rovinˇe podstavy na rozd´ıl od kos´ eho kuˇ zele.


4.1.4

32

V´ alcov´ a plocha, v´ alec

V´ alcov´ a plocha je urˇcena rovinnou kˇrivkou k (k ⊂ σ) a smˇerem s, kter´ y nenáleˇz´ı dané rovinˇe (s 6k σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, které prot´ınaj´ı kˇrivku k a jsou smˇeru s - obr. 4.2 b). Je-li kˇrivka k uzavˇrená, pak mnoˇzina pˇr´ımek smˇeru s, které prot´ınaj´ı kˇrivku nebo procházej´ı vnitˇrn´ım bodem kˇrivky, se naz´ yvá v´ alcov´ y prostor. Pˇr´ımka urˇcená bodem kˇrivky k a smˇeru s je povrˇska. Podobnˇe jako u hranolové plochy, m˚ uˇzeme v projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı euklidovského prostoru definovat válcovou plochu jako speciáln´ı pˇr´ıpad kuˇzelové plochy, jej´ımˇz vrcholem je nevlastn´ı bod. Vrcholovou rovinou je kaˇzdá rovina smˇeru s. V´ alec je pr˚ unik válcového prostoru a prostorové vrstvy urˇcené rovinou σ ˇr´ıd´ıc´ıho polygonu a roviny σ 0 k σ - obr. 4.2 d). Je-li ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou válcové plochy regulárn´ı kuˇzeloseˇcka, z´ıskáme eliptickou, parabolickou ˇci hyperbolickou válcovou plochu. Jestliˇze je ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou kruˇznice, naz´ yvá se válcová plocha kruhov´ a. Jestliˇze jsou povrˇsky kolmé na rovinu ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice, dostáváme kolmou kruhovou neboli rotaˇ cn´ı válcovou plochu, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe je plocha kos´ a. Pozn´ amka 4.1 Kaˇzdá kˇrivka (podle naˇs´ı definice rovinná) na válcové nebo kuˇzelové ploˇse ˇ m˚ uˇze b´ yt ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou této plochy. Rezem rotaˇcn´ı kuˇzelové plochy rovinou m˚ uˇze b´ yt, podle polohy roviny ˇrezu, i jiná kuˇzeloseˇcka. To znamená, ˇze zvol´ıme-li tuto kuˇzeloseˇcku jako ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivku, dostaneme opˇet rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu. Nemá tedy smysl, na rozd´ıl od válcov´ ych ploch, rozliˇsovat hyperbolickou nebo parabolickou kuˇzelovou plochu od eliptické kuˇzelové plochy.

4.1.5

Kulov´ a plocha, koule

Kulov´ a plocha je mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı od daného bodu S vzdálenost rovnu danému kladnému ˇc´ıslu r. Koul´ı rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u, které maj´ı od daného bodu S vzdálenost menˇs´ı nebo rovnu danému kladnému ˇc´ıslu r.

4.2


4.1 Popiˇste a naˇcrtnˇete pravideln´ y trojbok´ y jehlan a pravideln´ y ˇctyˇrbok´ y hranol. 4.2 Definujte kos´ y kruhov´ y válec. 4.3 Vysvˇetlete rozd´ıl mezi koul´ı a kulovou plochou.

Kapitola 5 Z´ aklady prom´ıt´ an´ı 5.1

´ Uvod

Deskriptivn´ı geometrie se zab´ yvá studiem takov´ ych zobrazen´ı, kter´ ymi m˚ uˇzeme zobrazit prostorové u ´tvary do roviny a naopak. Zpravidla poˇzadujeme, aby tato zobrazen´ı byla vzájemnˇe jednoznaˇcná. Vzájemnˇe jednoznaˇcn´ ym zobrazen´ım v deskriptivn´ı geometrii ˇr´ıkáme zobrazovac´ı metody. Protoˇze deskriptivn´ı geometrie vznikla z potˇreb praxe, je d˚ uleˇzité, aby bylo moˇzné snadno vyˇc´ıst velikost objekt˚ u, jejich tvar a vzájemnou polohu jednotliv´ ych ˇca´st´ı. Dalˇs´ı poˇzadavky se t´ ykaj´ı názornosti a snadného ˇreˇsen´ı stereometrick´ ych u ´loh. Procesu naˇseho vidˇen´ı se nejv´ıce bl´ıˇz´ı stˇ redov´ e prom´ıt´ an´ı a jeho speciáln´ı pˇr´ıpad lineárn´ı perspektiva. Tyto zobrazovac´ı metody jsou velmi názorné a ˇcasto se s nimi setkáváme v situac´ıch, kdy je tˇreba reálné zobrazen´ı svˇeta, napˇr´ıklad v umˇen´ı nebo architektuˇre. Nev´ yhodou stˇredového prom´ıtán´ı je sloˇzitost konstrukc´ı a obt´ıˇze s mˇeˇren´ım délek. Proto se v technické praxi v´ıce pouˇz´ıvaj´ı zobrazovac´ı metody, které m˚ uˇzeme oznaˇcit spoleˇcn´ ym názvem rovnobˇ eˇ zn´ a prom´ıt´ an´ı. V následuj´ıc´ım textu se tedy velmi krátce zm´ın´ıme o principech stˇredového prom´ıtán´ı, ale podrobnˇeji se budeme zab´ yvat prom´ıtán´ım rovnobˇeˇzn´ ym a jeho speciáln´ım pˇr´ıpadem pravo´ uhl´ ym prom´ıtán´ım.

5.2

Stˇ redov´ e prom´ıt´ an´ı

Zvolme v prostoru rovinu π, na kterou budeme zobrazovat - budeme j´ı ˇr´ıkat pr˚ umˇ etna a bod S (vlastn´ı), kter´ y neleˇz´ı v rovinˇe π. Bod S se naz´ yvá stˇ red prom´ıt´ an´ı. Libovoln´ y bod A v prostoru (r˚ uzn´ y od bodu S) zobraz´ıme do roviny π následuj´ıc´ım zp˚ usobem: Body S a A proloˇz´ıme pˇr´ımku p. Pˇr´ımka p se naz´ yvá prom´ıtac´ı pˇ r´ımka. Pr˚ useˇc´ık A0 pˇr´ımky p s rovinou π je stˇredov´ ym pr˚ umˇetem bodu A do roviny π. Podobnˇe sestroj´ıme bod B 0 jako stˇredov´ y pr˚ umˇet bodu B - obr. 5.1. Vlastnosti stˇ redov´ eho prom´ıt´ an´ı 1. Stˇredov´ ym pr˚ umˇetem bodu r˚ uzného od stˇredu prom´ıtán´ı je bod. (Bod S ve stˇredovém prom´ıtán´ı nem˚ uˇzeme zobrazit.)

33

ˇ ZN ˇ E ´ PROMÍTAN ´ Í 5.3. ROVNOBE

34

2. Stˇredov´ ym pr˚ umˇetem pˇr´ımky, která neprocház´ı stˇredem prom´ıtán´ı S, je pˇr´ımka. Stˇredov´ ym pr˚ umˇetem pˇr´ımky procházej´ıc´ı stˇredem prom´ıtán´ı S je bod. 3. Stˇredov´ ym pr˚ umˇetem roviny procházej´ıc´ı stˇredem prom´ıtán´ı S je pˇr´ımka. Stˇredov´ ym pr˚ umˇetem roviny, která neprocház´ı stˇredem prom´ıtán´ı S, je celá pr˚ umˇetna. 4. Stˇredov´ ym pr˚ umˇetem bodu A leˇz´ıc´ıho na pˇr´ımce k je bod A0 leˇz´ıc´ı na stˇredovém pr˚ umˇetu 0 k pˇr´ımky k. Obecnˇe leˇz´ı-li bod na nˇejaké ˇca´ˇre, pak jeho pr˚ umˇet leˇz´ı na pr˚ umˇetu té ˇca´ry. ˇ ıkáme, ˇze se zachovává incidence. R´ Pozn´ amka 5.1 Pokud budeme pracovat s body z projektivn´ıho rozˇs´ıˇren´ı prostoru, zjist´ıme, ˇze ve stˇredovém prom´ıtán´ı m˚ uˇze b´ yt obrazem vlastn´ıho bodu bod nevlastn´ı a naopak obrazem nevlastn´ıho bodu bod vlastn´ı. Naˇcrtnˇete si takovou situaci a uved’te vhodn´ y reáln´ y pˇr´ıklad (napˇr. zobrazen´ı ˇzelezniˇcn´ıch kolej´ı).

Obrázek 5.1:

5.3

Obrázek 5.2:

Rovnobˇ eˇ zn´ e prom´ıt´ an´ı

Podobnˇe jako ve stˇredovém prom´ıtán´ı zvol´ıme v rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı rovinu π, na kterou budeme zobrazovat, a které ˇr´ıkáme pr˚ umˇ etna. Dále zvol´ıme pˇr´ımku s, která nen´ı rovnobˇeˇzná ˇ s rovinou π. R´ıkáme, ˇze pˇr´ımka s nám urˇcuje smˇ er prom´ıt´ an´ı. Rovnobˇeˇzn´ y pr˚ umˇet A0 bodu A z´ıskáme tak, ˇze bodem A vedeme pˇr´ımku p (naz´ yváme ji opˇet prom´ıtac´ı pˇ r´ımka), která je rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou s a najdeme jej´ı pr˚ useˇc´ık s rovinou π. Podobnˇe najdeme pr˚ umˇet bodu B - obr. 5.2. Pokud pouˇzijeme pojmy z kapitoly o nevlastn´ıch elementech, m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze rovnobˇeˇzné prom´ıtán´ı je speciáln´ı pˇr´ıpad stˇredového prom´ıtán´ı, kde stˇredem prom´ıtán´ı je nevlastn´ı bod. Vlastnosti rovnobˇ eˇ zn´ eho prom´ıt´ an´ı 1. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem (vlastn´ıho) bodu je (vlastn´ı) bod.

´ E ´ PROMÍTAN ´ Í 5.4. PRAVOUHL

35

2. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem pˇr´ımky, která nen´ı smˇeru prom´ıtán´ı, je pˇr´ımka. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem pˇr´ımky, která je smˇeru prom´ıtán´ı, je bod. 3. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem roviny, která je smˇeru prom´ıtán´ı, je pˇr´ımka. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem roviny, která nen´ı smˇeru prom´ıtán´ı, je celá pr˚ umˇetna. 4. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem bodu A leˇz´ıc´ıho na pˇr´ımce k je bod A0 leˇz´ıc´ı na rovnobˇeˇzném pr˚ umˇetu k 0 pˇr´ımky k. Obecnˇe leˇz´ı-li bod na nˇejaké ˇca´ˇre, pak jeho pr˚ umˇet leˇz´ı na pr˚ umˇetu té ˇcáry. 5. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem r˚ uznobˇeˇzek a, b jsou r˚ uznobˇeˇzné pˇr´ımky nebo pˇr´ımky spl´ yvaj´ıc´ı, pokud a, b nejsou smˇeru prom´ıtán´ı. Jestliˇze je jedna z pˇr´ımek a, b smˇeru prom´ıtán´ı, pak rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem r˚ uznobˇeˇzek a, b je pˇr´ımka a na n´ı bod. 6. Rovnobˇeˇznost se zachovává, tj. rovnobˇeˇzné pˇr´ımky se zobraz´ı na rovnobˇeˇzné nebo spl´ yvaj´ıc´ı pˇr´ımky (nebo na dva body), rovnobˇeˇzné u ´seˇcky na rovnobˇeˇzné u ´seˇcky apod. 7. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem rovnobˇeˇzn´ ych a shodn´ ych u ´seˇcek jsou rovnobˇeˇzné a shodné u ´seˇcky (popˇr. dva body). 8. Rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem u ´tvaru leˇz´ıc´ıho v rovinˇe rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou je u ´tvar s n´ım shodn´ y. 9. Dˇel´ıc´ı pomˇer se v rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı zachovává, tj. napˇr´ıklad stˇred u ´seˇcky se zobraz´ı na stˇred u ´seˇcky. Druhy rovnobˇ eˇ zn´ eho prom´ıt´ an´ı Podle vztahu smˇeru prom´ıtán´ı vzhledem k pr˚ umˇetnˇe rozliˇsujeme dva druhy rovnobˇeˇzného prom´ıtán´ı. Jestliˇze smˇer prom´ıtán´ı je kolm´ y k pr˚ umˇetnˇe, pak hovoˇr´ıme o pravo´ uhl´ em (nebo také o kolmém ˇci ortogonáln´ım) prom´ıtán´ı. Pokud smˇer prom´ıtán´ı nen´ı kolm´ y k pr˚ umˇetnˇe, mluv´ıme o koso´ uhl´ em prom´ıtán´ı. Pˇripomeˇ nme, ˇze jsme vylouˇcili pˇr´ıpad, kdy smˇer prom´ıtán´ı je rovnobˇeˇzn´ y s pr˚ umˇetnou.

5.4

Pravo´ uhl´ e prom´ıt´ an´ı

Vlastnosti, které jsme uvedli pro rovnobˇeˇzné prom´ıtán´ı, dopln´ıme dvˇema vˇetami, které plat´ı jen pro pravo´ uhlé prom´ıtán´ı. Vˇ eta 5.1 (Vˇ eta o pravo´ uhl´ em pr˚ umˇ etu prav´ eho u ´ hlu) Pravo´ uhlým pr˚ umˇetem pravého u ´hlu je pravý u ´hel, jestliˇze alespoˇ n jedno jeho rameno je rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou a druhé nen´ı na pr˚ umˇetnu kolmé. Vˇ eta 5.2 Velikost pravo´ uhlého pr˚ umˇetu A0 B 0 u ´seˇcky AB je menˇs´ı nebo rovna velikosti u ´seˇcky 0 0 AB, tj. |A B | ≤ |AB|.

5.5

Stˇ redov´ a kolineace

Jsou dány dvˇe r˚ uzné roviny α a α0 a bod S, kter´ y neleˇz´ı v ˇza´dné z rovin α a α0 . Stˇ redov´ a kolineace je geometrická pˇr´ıbuznost, kdy bodu jedné roviny odpov´ıdá jeho stˇredov´ y pr˚ umˇet z bodu S do druhé roviny. Pr˚ useˇcnice o rovin α a α0 se naz´ yvá osa kolineace (obr. 5.3).

ˇ ´ KOLINEACE 5.5. STREDOV A

Obrázek 5.3:

36

Obrázek 5.4:

Vlastnosti stˇ redov´ e kolineace Uvedeme vlastnosti stˇredové kolineace, které vypl´ yvaj´ı z vlastnost´ı stˇredového prom´ıtán´ı. 1. Bodu odpov´ıdá bod a pˇr´ımce pˇr´ımka. 2. Pˇr´ımky, které si odpov´ıdaj´ı ve stˇredové kolineaci, se prot´ınaj´ı na ose kolineace nebo jsou s n´ı rovnobˇeˇzné, coˇz ale znamená, ˇze maj´ı spoleˇcné nevlastn´ı body. 3. Body osy kolineace jsou samodruˇzné, tj. vzor a obraz spl´ yvaj´ı. 4. Stˇredová kolineace zachovává incidenci. To znamená, ˇze jestliˇze bod A leˇz´ı na pˇr´ımce b, pak pro jejich obrazy A0 , b0 opˇet plat´ı A0 ∈ b0 . 5. Body, které si odpov´ıdaj´ı ve stˇredové kolineaci, leˇz´ı na pˇr´ımce procházej´ıc´ı stˇredem kolineace. Pozn´ amka 5.2 Je nutné si uvˇedomit, ˇze stˇredová kolineace obecnˇe nezachovává rovnobˇeˇznost a ˇze vlastn´ımu bodu m˚ uˇze odpov´ıdat bod nevlastn´ı a naopak. Také dˇel´ıc´ı pomˇer tˇr´ı kolineárn´ıch bod˚ u se obecnˇe ve stˇredové kolineaci nezachovává. Stˇ redov´ a kolineace v rovinˇ e Protoˇze se zab´ yváme zobrazován´ım trojrozmˇerného prostoru na rovinu, zaj´ımá nás, co se stane, prom´ıtneme-li stˇredovou kolineaci do roviny. Prom´ıtneme rovnobˇeˇznˇe obˇe roviny α, α0 a stˇred prom´ıtán´ı S do pr˚ umˇetny π tak, aby smˇer prom´ıtán´ı nebyl rovnobˇeˇzn´ y s ˇza´dnou z rovin α a α0 (tj. ˇza´dná z rovin se nezobraz´ı jako pˇr´ımka). Odpov´ıdaj´ıc´ı si body A a A0 prom´ıtnuté do π leˇz´ı opˇet na pˇr´ımce procházej´ıc´ı pr˚ umˇetem stˇredu kolineace. Takto z´ıskanou pˇr´ıbuznost v rovinˇe nazveme stˇ redovou kolineac´ı v rovinˇ e - obr. 5.4. Vlastnosti, které jsme uvedli pro stˇredovou kolineaci mezi rovinami, plat´ı také pro stˇredovou kolineaci v rovinˇe. Znalost stˇredové kolineace vyuˇzijeme napˇr. pˇri sestrojován´ı ˇrez˚ u na jehlanu a kuˇzeli.

ˇ ´ KOLINEACE 5.5. STREDOV A

37

Stˇredová kolineace v rovinˇe je urˇcena stˇredem S, osou o a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A, A0 (body A, A0 , S leˇz´ı na jedné pˇr´ımce). Pro sestrojován´ı obraz˚ u bod˚ u ve stˇredové kolineaci jsou nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı tyto tˇri vlastnosti: 1. Stˇredová kolineace zachovává incidenci. 2. Pˇr´ımky, které si odpov´ıdaj´ı ve stˇredové kolineaci, se prot´ınaj´ı na ose kolineace nebo jsou s n´ı rovnobˇeˇzné. 3. Body, které si odpov´ıdaj´ı, leˇz´ı na pˇr´ımce procházej´ıc´ı stˇredem kolineace. Pˇ r´ıklad 5.1 Stˇredová kolineace v rovinˇe je urˇcena stˇredem S, osou o a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A, A0 - obr. 5.5. Sestroj´ıme obraz bodu B v kolineaci. ˇ sen´ı: (obr. 5.6) Reˇ 1. Spoj´ıme bod B se vzorem bodu, pro kter´ y známe jeho obraz, tj. v naˇsem pˇr´ıpadˇe s bodem A - dostaneme pˇr´ımku p. 2. Najdeme obraz p0 pˇr´ımky p (p a p0 se prot´ınaj´ı na ose a pˇr´ımka p0 procház´ı bodem A0 vlastnost 2. a 1.) 3. Protoˇze body, které si odpov´ıdaj´ı, leˇz´ı na pˇr´ımce procházej´ıc´ı stˇredem kolineace- vlastnost 3., sestroj´ıme pˇr´ımku SB. 4. Bod B 0 leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımek SB a p0 .

Obrázek 5.5:

Obrázek 5.6:

Pozn´ amka 5.3 Jak jsme jiˇz uvedli, obrazem vlastn´ıho bodu ve stˇredové kolineaci nemus´ı vˇzdy b´ yt vlastn´ı bod. Stejnˇe tak se nˇekteré nevlastn´ı body zobraz´ı na vlastn´ı body. Vzory a obrazy nevlastn´ıch bod˚ u naz´ yváme u ´ bˇ eˇ zn´ıky. Vzor nevlastn´ı pˇr´ımky se naz´ yvá u ´ bˇ eˇ znice vzor˚ u a obraz nevlastn´ı pˇr´ımky se naz´ yvá u ´ bˇ eˇ znice obraz˚ u.

´ AFINITA 5.6. OSOVA

5.6

38

Osov´ a afinita

Jsou dány dvˇe r˚ uzné roviny α a α0 a smˇer s, kter´ y nen´ı rovnobˇeˇzn´ y s ˇza´dnou z rovin α a α0 ’. Osov´ a afinita je geometrická pˇr´ıbuznost, kdy bodu jedné roviny odpov´ıdá jeho rovnobˇeˇzn´ y pr˚ umˇet ve smˇeru s do druhé roviny. Pr˚ useˇcnice rovin α a α0 se naz´ yvá osa afinity (obr. 5.7).

Obrázek 5.7:

Obrázek 5.8:

Vlastnosti osov´ e afinity (vypl´ yvaj´ı z rovnobˇeˇzného prom´ıtán´ı) Vlastnosti 1.- 5. jsou podobné vlastnostem pro kolineaci, ale vˇsimnˇete si pozornˇe vlastnost´ı 6. a 7. 1. Bodu odpov´ıdá bod a pˇr´ımce pˇr´ımka. 2. Pˇr´ımky, které si odpov´ıdaj´ı v osové afinitˇe, se prot´ınaj´ı na ose afinity nebo jsou s n´ı rovnobˇeˇzné. 3. Body osy afinity jsou samodruˇzné. 4. Osová afinita zachovává incidenci.(To znamená, ˇze jestliˇze bod A leˇz´ı na pˇr´ımce b, pak pro jejich pr˚ umˇety A0 , b0 opˇet plat´ı A0 ∈ b0 .) 5. Body, které si odpov´ıdaj´ı v osové afinitˇe leˇz´ı na rovnobˇeˇzce se stˇredem prom´ıtán´ı. 6. Osová afinita zachovává rovnobˇeˇznost. 7. Osová afinita zachovává dˇel´ıc´ı pomˇer. Osov´ a afinita v rovinˇ e Podobnˇe jako kolineaci prom´ıtneme rovnobˇeˇznˇe i afinitu. Prom´ıtneme rovnobˇeˇznˇe obˇe roviny α, α0 a smˇer prom´ıtán´ı s do pr˚ umˇetny π tak, aby smˇer 0 prom´ıtán´ı u do roviny π nebyl rovnobˇeˇzn´ y s ˇza´dnou z rovin α a α (tj. ˇza´dná z rovin se nezobraz´ı

´ AFINITA 5.6. OSOVA

39

jako pˇr´ımka) a aby nebyl rovnobˇeˇzn´ y se smˇerem s (dostali bychom identitu). Odpov´ıdaj´ıc´ı si body A a A0 prom´ıtnuté do π leˇz´ı na pˇr´ımce rovnobˇeˇzné s prom´ıtnut´ ym smˇerem s. Takto z´ıskanou pˇr´ıbuznost nazveme osovou afinitou v rovinˇ e - obr. 5.8. Uvedené vlastnosti osové afinity mezi rovinami budou platit i pro osovou afinitu v rovinˇe. Osovou afinitu vyuˇzijeme pˇri sestrojován´ı ˇrez˚ u na hranolu a kuˇzeli a pˇri otáˇcen´ı v Mongeovˇe projekci a axonometrii. Nejˇcastˇejˇs´ı urˇcen´ı osové afinity je osou o a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A a A0 (t´ım je urˇcen smˇer afinity). Opˇet zopakujeme tˇri vlastnosti, které vyuˇzijeme pˇri sestrojován´ı obrazu nebo vzoru daného bodu: 1. Osová afinita zachovává incidenci 2. Pˇr´ımky, které si odpov´ıdaj´ı v osové afinitˇe, se prot´ınaj´ı na ose afinity nebo jsou s n´ı rovnobˇeˇzné. 3. Body, které si odpov´ıdaj´ı, leˇz´ı na rovnobˇeˇzce se smˇerem afinity. Pˇ r´ıklad 5.2 Osová afinita v rovinˇe je urˇcena osou o a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A, A0 obr. 5.9. Sestroj´ıme obraz bodu B v afinitˇe. ˇ sen´ı: (obr. 5.10) Reˇ 1. Spoj´ıme bod B s bodem A - dostaneme pˇr´ımku p. (Obecnˇe se vzorem bodu, pro kter´ y známe jeho obraz.) 2. Najdeme obraz p0 pˇr´ımky p (p a p0 se prot´ınaj´ı na ose a pˇr´ımka p0 procház´ı bodem A0 vlastnost 2 a 1) 3. Protoˇze body, které si odpov´ıdaj´ı, leˇz´ı na pˇr´ımce smˇeru afinity a tento smˇer urˇcuje pˇr´ımka AA0 (vlastnost 3), sestroj´ıme pˇr´ımku k rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou AA0 a procházej´ıc´ı bodem B. 4. Bod B 0 leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımek k a p0 .

Obrázek 5.9:

Obrázek 5.10:


40

Pozn´ amka 5.4 Osová afinita m˚ uˇze b´ yt urˇcena i jin´ ym zp˚ usobem neˇz osou a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch bod˚ u, napˇr. osou, smˇerem a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek (které se prot´ınaj´ı na ose) nebo dvˇema páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek. Stejnˇe i kolineace m˚ uˇze b´ yt urˇcena jinak neˇz stˇredem, osou a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u.

5.7


5.1 Vyslovte vˇetu o pravo´ uhlém pr˚ umˇetu pravého u ´hlu. 5.2 Jakou délku m˚ uˇze m´ıt (v porovnán´ı s délkou zobrazované u ´seˇcky) pr˚ umˇet u ´seˇcky v pravo´ uhlém prom´ıtán´ı a jakou v koso´ uhlém? 5.3 Rovnobˇeˇzné prom´ıtán´ı zachovává dˇel´ıc´ı pomˇer. Je pravda, ˇze obrazem stˇredu u ´seˇcky je v rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı stˇred u ´seˇcky, která je pr˚ umˇetem dané u ´seˇcky? 5.4 Jakou vlastnost maj´ı body, které leˇz´ı na ose afinity nebo kolineace? 5.5 Jakou vlastnost maj´ı body u ´bˇeˇznic kolineace?

Kapitola 6 Mongeovo prom´ıt´ an´ı 6.1

´ Uvod

Mongeovo prom´ıtán´ı je pravo´ uhlé prom´ıtán´ı na dvˇe navzájem kolmé pr˚ umˇetny. Jeho v´ yhodou je snadné ˇreˇsen´ı stereometrick´ ych u ´loh, nev´ yhodou m˚ uˇze b´ yt menˇs´ı názornost a sloˇzitˇejˇs´ı orientace ve dvou pohledech na jeden objekt.

Obrázek 6.1:

Zvol´ıme v prostoru dvˇe navzájem kolmé roviny. Rovinu π vol´ıme ve vodorovné poloze - ˇr´ıkáme j´ı p˚ udorysna - a rovinu ν v poloze svislé - n´ arysna. Pr˚ useˇcnici rovin π a ν ztotoˇzn´ıme s osou x souˇradnicového systému a ˇr´ıkáme j´ı z´ akladnice. Osu y vol´ıme v rovinˇe π, tak aby byla kolmá k x. Pr˚ useˇc´ıkem O os x a y procház´ı osa z, leˇz´ı v rovinˇe ν a je kolmá k osám x, y. V Mongeovˇe prom´ıtán´ı budeme pˇri vynáˇsen´ı souˇradnic pouˇz´ıvat zpravidla levotoˇciv´ y souˇradnicov´ y systém – viz obr. 6.2. Pˇri pouˇzit´ı pravotoˇcivého souˇradnicového systému by se kladné souˇradnice x nanáˇsely vlevo.

Pozn´ amka 6.1 Pokud bychom chtˇeli prom´ıtat pouze na jednu pr˚ umˇetnu, pak u ´tvar, kter´ y prom´ıtneme, nebude v prostoru jednoznaˇcnˇe urˇcen. Dalˇs´ı moˇznost´ı je pouˇz´ıt kótované prom´ıtán´ı , to znamená, ˇze ke kaˇzdému bodu budeme pˇripisovat jeho vzdálenost od pr˚ umˇetny. Toto prom´ıtán´ı se pouˇz´ıvá pˇri ˇreˇsen´ı stˇrech a pˇri tvorbˇe map (vstevnice), to znamená vˇetˇsinou v pˇr´ıpadech, kdy nen´ı nutné ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı prostorové vztahy.

6.2

Obraz bodu

Nejprve kolmo prom´ıtneme bod B do p˚ udorysny a pr˚ umˇet oznaˇc´ıme indexem 1 - dostaneme bod B1 - obr. 6.2a), potom bod B prom´ıtneme do nárysny, pr˚ umˇet oznaˇc´ıme indexem 2 a z´ıskáme 41

ˇ ÍMKY 6.3. OBRAZ PR

42

bod B2 - obr. 6.2b). Nyn´ı máme dvˇe moˇznosti, jak si pˇredstavit sdruˇzen´ı pr˚ umˇet˚ u. Bud’ otoˇc´ıme rovinu π kolem osy x tak, aby kladná ˇcást osy y splynula se zápornou ˇcást´ı osy z - obr. 6.1 nebo si pˇredstav´ıme nárysnu a p˚ udorysnu jako dvˇe pr˚ uhledné folie, které poloˇz´ıme na sebe, tak aby se pˇrekr´ yvaly pr˚ umˇety osy x1 a x2 a bod O1 a O2 - obr. 6.2. Bod B1 naz´ yváme p˚ udorysem a bod B2 n´ arysem bodu B. Spojnice nárysu a p˚ udorysu téhoˇz bodu je kolmá k základnici a naz´ yvá se ordin´ ala. (P˚ udorys je vlastnˇe pohled shora a nárys je pohled zpˇredu). Z obrázku 6.2 c) je vidˇet, jak sestroj´ıme nárys a p˚ udorys bodu, známe-li jeho souˇradnice. V naˇsem pˇr´ıpadˇe jsou vˇsechny tˇri souˇradnice kladné. Nárysu a p˚ udorysu bodu B ˇr´ıkáme sdruˇ zen´ e pr˚ umˇ ety bodu B. (Neplést si se sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery, ty najdeme u elipsy.)

Obrázek 6.2: Pˇ r´ıklad 6.1 Urˇceme, kde bude leˇzet nárys a p˚ udorys bod˚ u B, C, D, E, jestliˇze um´ıst´ıme kaˇzd´ y do jiného kvadrantu vymezeného nárysnou a p˚ udorysnou - obr. 6.3. ˇ sen´ı: (obr. 6.4) Bod B, kter´ Reˇ y se nacház´ı nad p˚ udorysnou a pˇred nárysnou, má p˚ udorys pod osou a nárys nad osou x1,2 . Bod C leˇz´ı za nárysnou a nad p˚ udorysnou a oba jeho pr˚ umˇety leˇz´ı nad osou x1,2 . Nárys i p˚ udorys bodu E leˇz´ıc´ıho pod p˚ udorysnou a pˇred nárysnou najdeme pod osou x1,2 . Pro bod D, kter´ y je za nárysnou a pod p˚ udorysnou plat´ı, ˇze nárys je pod a p˚ udorys nad osou x1,2 .

6.3

Obraz pˇ r´ımky

Z vlastnost´ı rovnobˇeˇzného prom´ıtán´ı v´ıme, ˇze obrazem pˇr´ımky je bud’ pˇr´ımka, nebo bod. Pokud pˇr´ımka p nen´ı kolmá k ose x, pak jej´ım p˚ udorysem a nárysem jsou pˇr´ımky p1 a p2 , které nejsou kolmé k ose x1,2 - obr. 6.5 a 6.6. Jestliˇze je pˇr´ımka kolmá k p˚ udorysnˇe je jej´ım p˚ udorysem bod a nárysem pˇr´ımka kolmá k ose x1,2 , pro pˇr´ımku kolmou k nárysnˇe bude nárysem bod a p˚ udorysem pˇr´ımka kolmá k ose x1,2 . Ve vˇsech tˇechto pˇr´ıpadech je pˇr´ımka sv´ ymi pr˚ umˇety jednoznaˇcnˇe urˇcena.

ˇ ÍMKY 6.3. OBRAZ PR

Obrázek 6.3:

43

Obrázek 6.4:

Je-li pˇr´ımka kolmá k ose x a pˇritom nen´ı kolmá k ˇzádné pr˚ umˇetnˇe, pak jej´ı sdruˇzené pr˚ umˇety spl´ yvaj´ı a jsou kolmé k x1,2 . Jen v tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı pˇr´ımka urˇcena sv´ ymi sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇety. K urˇcen´ı je v tomto pˇr´ıpadˇe nutná znalost napˇr. pr˚ umˇet˚ u dvou r˚ uzn´ ych bod˚ u pˇr´ımky. Pˇr´ımkou, která nen´ı kolmá k pr˚ umˇetnˇe, m˚ uˇzeme proloˇzit rovinu kolmou k pr˚ umˇetnˇe. Této rovinˇe ˇr´ıkáme prom´ıtac´ı rovina pˇ r´ımky. Pˇr´ımkou m˚ uˇzeme proloˇzit p˚ udorysnˇ e prom´ıtac´ı rovinu kolmou k p˚ udorysnˇe nebo n´ arysnˇ e prom´ıtac´ı rovinu kolmou k nárysnˇe. Na zvláˇstn´ı polohy pˇr´ımky vzhledem k pr˚ umˇetnˇe se pod´ıvejme v pˇr´ıkladu 6.2.

Obrázek 6.5:

Obrázek 6.6:

Pˇ r´ıklad 6.2 V obrázku 6.7 urˇc´ıme polohu jednotliv´ ych pˇr´ımek vzhledem k pr˚ umˇetnám. ˇ sen´ı: Pˇr´ımky p, q, r jsou kolmé k základnici. Pˇr´ımka p je nav´ıc kolmá k p˚ Reˇ udorysnˇe a q je kolmá k nárysnˇe. Pˇr´ımka r nen´ı sv´ ymi pr˚ umˇety jednoznaˇcnˇe urˇcena a mus´ıme ji dourˇcit sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇety dvou bod˚ u, které na n´ı leˇz´ı. Pˇr´ımka s je rovnobˇeˇzná s p˚ udorysnou a pˇr´ımka 0 t s nárysnou, s v p˚ udorysnˇe leˇz´ı a u je rovnobˇeˇzná se základnic´ı.

6.4. OBRAZ ROVINY

44

Obrázek 6.7: Vzájemn´ y vztah pˇr´ımky a bodu, kter´ y na n´ı leˇz´ı, je v Mongeovˇe prom´ıtán´ı dán vˇetou: Vˇ eta 6.1 Leˇz´ı-li bod M na pˇr´ımce p, pak M1 ∈ p1 a M2 ∈ p2 . Jestliˇze pˇr´ımka p je urˇcena svými pr˚ umˇety (t´ım vyluˇcujeme pˇr´ımky kolmé k ose x a nejsou prom´ıtac´ı), pak pro sdruˇzené pr˚ umˇety bodu M a pˇr´ımky p plat´ı: pokud M1 ∈ p1 a M2 ∈ p2 , pak bod M leˇz´ı na pˇr´ımce p. Pˇr´ımka je jednoznaˇcnˇe urˇcena dvˇema body. Pro sdruˇzené pr˚ umˇety pˇr´ımky m˚ uˇzeme vyslovit následuj´ıc´ı vˇetu: Vˇ eta 6.2 Sdruˇzené pr˚ umˇety pˇr´ımky p = AB jsou v Mongeovˇe prom´ıtán´ı jednoznaˇcnˇe urˇceny pr˚ umˇety dvou jej´ıch bod˚ u A, B. Vlastn´ı bod, ve kterém pˇr´ımka protne pr˚ umˇetnu, naz´ yváme stopn´ık. P˚ udorysn´ y stopn´ık P je bod, ve kterém pˇr´ımka protne p˚ udorysnu, nárysn´ y stopn´ık N je bod, ve kterém pˇr´ımka prot´ıná nárysnu - obr. 6.5. Pro p˚ udorysn´ y stopn´ık P pˇr´ımky p plat´ı: P1 ∈ p1 , P2 ∈ p2 a P2 ∈ x1,2 . Pro nárysn´ y stopn´ık N pˇr´ımky p plat´ı: N1 ∈ p1 , N2 ∈ p2 a N1 ∈ x1,2 - obr. 6.6. Pozn´ amka 6.2 Pˇr´ımka, která je rovnobˇeˇzná s pr˚ umˇetnou, má jen jeden stopn´ık.

6.4

Obraz roviny

Pravo´ uhl´ ym pr˚ umˇetem roviny, která nen´ı kolmá k pr˚ umˇetnˇe, je celá pr˚ umˇetna. Rovinu v Mongeovˇe projekci zadáme pomoc´ı sdruˇzen´ ych pr˚ umˇet˚ u urˇcuj´ıc´ıch prvk˚ u. Ukaˇzme si nejobvyklejˇs´ı zp˚ usoby urˇcen´ı roviny. 1. Tˇ remi body, které neleˇz´ı v pˇr´ımce (nekolineárn´ı body) - obr. 6.8. 2. Dvˇ ema r˚ uznobˇ eˇ zkami - obr. 6.9. Sdruˇzené pr˚ umˇety pr˚ useˇc´ıku r˚ uznobˇeˇzek mus´ı leˇzet na ordinále.

6.4. OBRAZ ROVINY

45

Obrázek 6.8:

Obrázek 6.9:

Obrázek 6.10:

Obrázek 6.11:

3. Dvˇ ema rovnobˇ eˇ zkami - obr. 6.10. Nárysem i p˚ udorysem rovnobˇeˇzek jsou opˇet rovnobˇeˇzky (mohou ovˇsem i spl´ yvat). 4. Bodem a pˇ r´ımkou - obr. 6.11. Aby byla rovina urˇcena bodem a pˇr´ımkou, nesm´ı bod leˇzet na pˇr´ımce. Speciáln´ım pˇr´ıpadem je zadán´ı roviny stopami. Stopa roviny ρ je pˇr´ımka, ve které rovina ρ protne pr˚ umˇetnu. Pr˚ useˇcnice roviny ρ s nárysnou se naz´ yvá n´ arysn´ a stopa a znaˇc´ıme ji nρ . Pr˚ useˇcnice roviny ρ s p˚ udorysnou se naz´ yvá p˚ udorysn´ a stopa a znaˇc´ıme ji pρ . Stopy roviny jsou dvˇe pˇr´ımky (rovnobˇeˇzné nebo r˚ uznobˇeˇzné). Rovina urˇcená stopami je tedy opˇet urˇcena rovnobˇeˇzkami nebo r˚ uznobˇeˇzkami. Pro p˚ udorys nárysné stopy nρ1 a nárys p˚ udorysné stopy pρ2 plat´ı nρ1 = pρ2 = x1,2 . Pˇr´ımky nρ2 a pρ1 se prot´ınaj´ı na ose x1,2 - obr. 6.12 nebo jsou obˇe rovnobˇeˇzné s osou x1,2 . Pˇ r´ıklad 6.3 V obrázku 6.13 rozhodneme, jakou polohu maj´ı roviny, urˇcené sv´ ymi stopami, vzhledem k pr˚ umˇetnám. ˇ sen´ı: Rovina α je v obecné poloze vzhledem k pr˚ Reˇ umˇetnám, nen´ı kolmá ani rovnobˇeˇzná s ˇzádnou z pr˚ umˇeten. Rovina β je kolmá k nárysnˇe, rovina γ je kolmá k p˚ udorysnˇe. Rovina σ je kolmá k ose x a ρ je s x rovnobˇeˇzná. Posledn´ım pˇr´ıpadem je rovina τ , která obsahuje osu x, v tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı rovina stopami jednoznaˇcnˇe urˇcena.

6.4. OBRAZ ROVINY

46

Obrázek 6.12:

Obrázek 6.13: Pozn´ amka 6.3 Rovina, která je rovnobˇeˇzná s pr˚ umˇetnou, má jen jednu stopu. V následuj´ıc´ıch kapitolách ukáˇzeme 12 základn´ıch u ´loh, pomoc´ı kter´ ych budeme schopni ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı konstrukce jako napˇr. sestrojen´ı tˇeles v obecné poloze, jejich pr˚ uniky ˇci ˇrezy na plochách. Kaˇzdou sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohu pak rozloˇz´ıme na tyto základn´ı u ´lohy, které uˇz budeme umˇet ˇreˇsit (provedeme dekompozici, coˇz je velice d˚ uleˇzit´ y postup plynouc´ı z analytického geometrického myˇslen´ı). Rozdˇel´ıme u ´lohy na dva typy - polohové a metrické. Polohové u ´lohy ˇreˇs´ı vztahy mezi jednotliv´ ymi u ´tvary, jako je vzájemná poloha, pr˚ unik, rovnobˇeˇznost. Vzdálenosti, velikost objekt˚ u, kolmost nám pomohou urˇcit u ´lohy metrické. Uvedeme vˇzdy d˚ uleˇzité skuteˇcnosti, které budeme vyuˇz´ıvat, a ukáˇzeme pˇr´ımo na pˇr´ıkladech ˇreˇsen´ı základn´ıch u ´loh.

´ ULOHY ´ 6.5. POLOHOVE

6.5 6.5.1

47

Polohov´ eu ´ lohy Pˇ r´ımka v rovinˇ e (z´ akladn´ı u ´ loha Z1)

Pˇri ˇreˇsen´ı této u ´lohy je vhodné uvˇedomit si následuj´ıc´ı fakta: • Leˇz´ı-li pˇr´ımka v rovinˇe, je se vˇsemi pˇr´ımkami roviny r˚ uznobˇeˇzná nebo rovnobˇeˇzná. • Stopn´ık pˇr´ımky leˇz´ıc´ı v rovinˇe leˇz´ı na jej´ı stopˇe (P˚ udorysn´ y stopn´ık na p˚ udorysné stopˇe, nárysn´ y stopn´ık na nárysné stopˇe). • Chceme-li sestrojit stopu roviny, urˇc´ıme stopn´ıky dvou pˇr´ımek leˇz´ıc´ıch v rovinˇe. P˚ udorysná stopa je spojnic´ı p˚ udorysn´ ych stopn´ık˚ u, nárysná stopa je spojnic´ı nárysn´ ych stopn´ık˚ u.

Obrázek 6.15:

Obrázek 6.14:

Obrázek 6.16:

Pˇ r´ıklad 6.4 Je dána rovina ρ a jeden pr˚ umˇet pˇr´ımky k leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ. Sestrojme druh´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky k. a) Rovina ρ je uˇcena pˇr´ımkami a, b - obr. 6.15. b) Rovina ρ je uˇcena stopami - obr. 6.17. ˇ sen´ı: a) obr. 6.16 Reˇ 1. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık A1 pˇr´ımky a1 a k1 . 2. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık B1 pˇr´ımky b1 a k1 . 3. Odvod´ıme druhé pr˚ umˇety bod˚ u A a B. Na pˇr´ımce a2 dostaneme bod A2 a podobnˇe bod B2 .


Obrázek 6.17:

48

Obrázek 6.18:

4. Pˇr´ımka k2 je spojnic´ı bod˚ u A2 a B2 . b) obr. 6.18 1. 2. 3. 4.

Sestroj´ıme nárys nárysného stopn´ıku N2 - pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky k2 a stopy nρ2 . Sestroj´ıme nárys p˚ udorysného stopn´ıku P2 - pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky k2 a osy x1,2 = pρ2 . Urˇc´ıme body N1 a P1 , N1 leˇz´ı na ose x1,2 a P1 na stopˇe pρ1 . Pˇr´ımka k1 je spojnic´ı bod˚ u N1 a P1 .

Hlavn´ı pˇ r´ımky roviny Hlavn´ı pˇ r´ımka roviny ρ je pˇr´ımka, která leˇz´ı v rovinˇe ρ a je rovnobˇeˇzná s pr˚ umˇetnou. Horizont´ aln´ı hlavn´ı pˇ r´ımka (hlavn´ı pˇr´ımka prvn´ı osnovy) je rovnobˇeˇzná s p˚ udorysnou. Speciáln´ım pˇr´ıpadem horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımky je p˚ udorysná stopa. Vˇsechny horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımky jedné roviny jsou navzájem rovnobˇeˇzné – obr. 6.19.

Obrázek 6.19:

Obrázek 6.20:


49

Front´ aln´ı hlavn´ı pˇ r´ımka (hlavn´ı pˇr´ımka druhé osnovy) je rovnobˇeˇzná s nárysnou. Speciáln´ım pˇr´ıpadem frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımky je nárysná stopa. Vˇsechny frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımky jedné roviny jsou navzájem rovnobˇeˇzné – obr. 6.20.

Obrázek 6.21:

Obrázek 6.22:

Obrázek 6.23:

Obrázek 6.24:

Pˇ r´ıklad 6.5 Zobrazte nˇejakou (libovolnou) a) horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımku roviny ρ - obr. 6.21, b) frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımku roviny ρ - obr. 6.23. ˇ sen´ı: a) (obr. 6.22) Horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımka je rovnobˇeˇzná s p˚ Reˇ udorysnou, proto je jej´ı nárys rovnobˇeˇzn´ y s osou x1,2 . 1. Sestroj´ıme nárys pˇr´ımky h. (h2 ||x1,2 ). 2. P˚ udorys pˇr´ımky h je rovnobˇeˇzn´ y se stopou pρ1 . Pouˇzijeme stopn´ık N pˇr´ımky h. Kdyby rovina nebyla urˇcena stopami, odvodili bychom p˚ udorys pomoc´ı pr˚ useˇc´ık˚ u s jin´ ymi pˇr´ımkami roviny. b) (obr.6.24) Frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımka je rovnobˇeˇzná s nárysnou, proto je jej´ı p˚ udorys rovnobˇeˇzn´ y s osou x1,2 . 1. Sestroj´ıme p˚ udorys pˇr´ımky f . (f1 ||x1,2 ).


50

2. Nárys pˇr´ımky f je rovnobˇeˇzn´ y se stopou nρ2 . Pouˇzijeme stopn´ık P pˇr´ımky f . Kdyby rovina nebyla urˇcena stopami, odvodili bychom nárys pomoc´ı pr˚ useˇc´ık˚ u s jin´ ymi pˇr´ımkami roviny.

Sp´ adov´ e pˇ r´ımky roviny Sp´ adov´ a pˇ r´ımka je kolmá na hlavn´ı pˇr´ımky jednoho systému - obr. 6.25. To znamená, ˇze máme dva systémy spádov´ ych pˇr´ımek - spádové pˇr´ımky kolmé na horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımky sp´ adov´ e pˇ r´ımky prvn´ı osnovy a spádové pˇr´ımky kolmé na frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımky - sp´ adov´ e pˇ r´ımky druh´ e osnovy. Pˇ r´ıklad 6.6 Sestroj´ıme spádovou pˇr´ımku s prvn´ı osnovy (kolmou k horizontáln´ım hlavn´ım pˇr´ımkám). ˇ sen´ı: (obr. 6.26) P˚ Reˇ udorys s1 spádové pˇr´ımky je kolm´ y k p˚ udorysné stopˇe pρ1 , coˇz plyne z vˇety o pravo´ uhlém pr˚ umˇetu pravého u ´hlu. Najdeme p˚ udorysy stopn´ık˚ u této pˇr´ımky a odvod´ıme je do nárysu. Nárys s2 spádové pˇr´ımky procház´ı nárysy tˇechto stopn´ık˚ u. Nárys spádové pˇr´ımky nemá ˇza´dnou speciáln´ı polohu v˚ uˇci stopám nebo ose x.

Obrázek 6.25:

6.5.2

Obrázek 6.26:

Bod v rovinˇ e (z´ akladn´ı u ´ loha Z2)

Bod leˇz´ı v rovinˇe, právˇe kdyˇz leˇz´ı na nˇekteré pˇr´ımce roviny. Chceme-li odvodit druh´ y pr˚ umˇet bodu leˇz´ıc´ıho v rovinˇe, zvol´ıme pˇr´ımku procházej´ıc´ı t´ımto bodem (m˚ uˇze to b´ yt i pˇr´ımka hlavn´ı) a pouˇzijeme ˇreˇsen´ı u ´lohy 6.5.1, tj. Z1. Bod leˇz´ı na odvozené pˇr´ımce a na ordinále. Pˇ r´ıklad 6.7 Rovina ρ je urˇcena pˇr´ımkami a, b. Sestrojme nárys bodu M leˇz´ıc´ıho v rovinˇe ρ, známe-li jeho p˚ udorys - obr. 6.27. ˇ sen´ı: (obr. 6.28) Reˇ 1. Bodem M1 vedeme pˇr´ımku k1 , t´ım jsme u ´lohu pˇrevedli na u ´lohu 6.5.1, tj. Z1.


Obrázek 6.27:

51

Obrázek 6.28:

a) Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık A1 pˇr´ımky a1 a k1 . b) Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık B1 pˇr´ımky b1 a k1 . c) Odvod´ıme body A2 a B2 . Po ordinále na pˇr´ımce a2 dostaneme bod A2 , na pˇr´ımce b2 dostaneme bod B2 . d) Pˇr´ımka k2 je spojnic´ı bod˚ u A2 a B2 . 2. Bod M2 najdeme na pˇr´ımce k2 a na ordinále vedené bodem M1 .

Obrázek 6.29:

Obrázek 6.30:

Pˇ r´ıklad 6.8 Rovina ρ je urˇcena stopami. Sestrojme p˚ udorys bodu M leˇz´ıc´ıho v rovinˇe ρ, známe-li jeho nárys - obr. 6.29. ˇ sen´ı: (obr. 6.30) Reˇ 1. Bodem M2 vedeme pˇr´ımku k2 , t´ım jsme u ´lohu pˇrevedli na u ´lohu 6.5.1, tj. Z1. a) Sestroj´ıme nárys nárysného stopn´ıku N2 - pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky k2 a stopy nρ2 .


52

b) Sestroj´ıme nárys p˚ udorysného stopn´ıku P2 - pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky k2 a osy x1,2 = pρ2 . c) Odvod´ıme body N1 a P1 , N1 leˇz´ı na ose x1,2 a P1 na stopˇe pρ1 . d) Pˇr´ımka k1 je spojnic´ı bod˚ u N1 a P1 . 2. Bod M1 najdeme na pˇr´ımce k1 a na ordinále vedené bodem M2 .

6.5.3

Rovnobˇ eˇ zn´ e roviny (z´ akladn´ı u ´ loha Z3)

Pˇri ˇreˇsen´ı této u ´lohy je vhodné uvˇedomit si následuj´ıc´ı fakta: • Kritérium rovnobˇeˇznosti pˇr´ımky a roviny. Kritérium rovnobˇeˇznosti dvou rovin. • Rovnobˇeˇzné stopy.

roviny

maj´ı rovnobˇeˇzné

• Stopy roviny obecnˇe neprocház´ı nárysem i p˚ udorysem bodu leˇz´ıc´ım v této rovinˇe (aby nastal tento pˇr´ıpad, musel by bod leˇzet na ose x).

Obrázek 6.32:

Obrázek 6.31:

Obrázek 6.33:

Pˇ r´ıklad 6.9 Rovina ρ je urˇcena pˇr´ımkami a, b. Bodem M ved’te rovinu σ rovnobˇeˇznou s rovinou ρ - obr. 6.32. ˇ sen´ı: (obr.6.33) Reˇ


53

1. Bodem M vedeme pˇr´ımku a0 rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou a (a01 ||a1 , a02 ||a2 ). 2. Bodem M vedeme pˇr´ımku b0 rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou b (b01 ||b1 , b02 ||b2 ). 3. Pˇr´ımkami a0 b0 je urˇcena rovina σ.

Obrázek 6.34:

Obrázek 6.35:

Pˇ r´ıklad 6.10 Rovina ρ je urˇcena stopami. Bodem M ved’te rovinu σ rovnobˇeˇznou s rovinou ρ - obr.6.34. Sestrojte stopy roviny σ. ˇ sen´ı: (obr. 6.35) Reˇ 1. Bodem M vedeme hlavn´ı pˇr´ımku h rovnobˇeˇznou s p˚ udorysnou stopou roviny ρ (h1 ||pρ1 , h2 ||pρ2 = x1,2 ). 2. Bodem M vedeme hlavn´ı pˇr´ımku f rovnobˇeˇznou s nárysnou stopou roviny ρ (f2 ||nρ2 , f1 ||nρ1 = x1,2 ). 3. Pˇr´ımkami h, f je urˇcena rovina σ. 4. Pro sestrojen´ı stop roviny σ nám staˇc´ı nalézt stopn´ık jedné z pˇr´ımek h f - naˇsli jsme p˚ udorysn´ y stopn´ık P pˇr´ımky f . 5. P˚ udorysná stopa roviny σ procház´ı p˚ udorysn´ ym stopn´ıkem a je rovnobˇeˇzná s p˚ udorysnou stopou roviny ρ. 6. Nárysná stopa roviny σ je rovnobˇeˇzná s nárysnou stopou roviny ρ a prot´ıná se s p˚ udorysnou stopou na ose x.

6.5.4

Pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımky s rovinou (z´ akladn´ı u ´ loha Z4)

Pˇ r´ıklad 6.11 Rovina σ je urˇcena pˇr´ımkami a, b. Sestrojte pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s rovinou σ - obr. 6.37. ˇ sen´ı: (obr. 6.38) Reˇ


Pro urˇcen´ı pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky s rovinou pouˇzijeme metodu kryc´ı pˇ r´ımky. V rovinˇe σ zvol´ıme pˇr´ımku s, která se kryje“ s pˇr´ımkou ” p v nˇekterém pr˚ umˇetu, tj. leˇz´ı s pˇr´ımkou p v jedné prom´ıtac´ı rovinˇe, a zároveˇ n leˇz´ı v rovinˇe σ. Pˇr´ımka s je pr˚ useˇcnic´ı roviny σ a prom´ıtac´ı roviny pˇr´ımky p. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p a s je zároveˇ n pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımky p s rovinou σ. V pr˚ umˇetnˇe, ve které pr˚ umˇety pˇr´ımek p a s nespl´ yvaj´ı, najdeme jejich pr˚ useˇc´ık a odvod´ıme pomoc´ı ordinály do druhé pr˚ umˇetny. 1. 2. 3. 4.

54

Obrázek 6.36:

V rovinˇe σ zvol´ıme p˚ udorysnˇ e kryc´ı pˇ r´ımku s (s1 = p1 , s ⊂ σ). Pomoc´ı pr˚ useˇc´ık˚ u pˇr´ımky s s pˇr´ımkami a, b odvod´ıme pˇr´ımku s2 (´ uloha 6.5.1, tj. Z1). Pr˚ useˇc´ık P2 pˇr´ımek p2 a s2 je nárysem hledaného pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky p s rovinou σ. P˚ udorys P1 pr˚ useˇc´ıku najdeme na pˇr´ımce p1 a na ordinále vedené bodem P2 .

Obrázek 6.37:

Obrázek 6.38:

Pˇ r´ıklad 6.12 Rovina σ je urˇcena stopami. Sestrojte pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s rovinou σ - obr. 6.39. ˇ sen´ı: (obr. 6.40) Reˇ 1. 2. 3. 4.

V rovinˇe σ zvol´ıme n´ arysnˇ e kryc´ı pˇ r´ımku s (s2 = p2 , s ⊂ σ). Pomoc´ı stopn´ık˚ u odvod´ıme pˇr´ımku s do p˚ udorysu (´ uloha 6.5.1, tj. Z1). Pr˚ useˇc´ık P1 pˇr´ımek p1 a s1 je p˚ udorysem hledaného pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky p s rovinou σ. Nárys P2 pr˚ useˇc´ıku najdeme na pˇr´ımce p2 a na ordinále vedené bodem P1 .


Obrázek 6.39:

6.5.5

55

Obrázek 6.40:

Pr˚ useˇ cnice dvou rovin (z´ akladn´ı u ´ loha Z5)

• Pokud pˇr´ımka r leˇz´ı v rovinˇe ρ, pak pr˚ useˇc´ık R pˇr´ımky r s rovinou σ leˇz´ı na pr˚ useˇcnici p rovin ρ a σ. • Pr˚ useˇcnice rovin je pˇr´ımka leˇz´ıc´ı v obou rovinách, tj. jej´ı stopn´ık leˇz´ı na stopách obou rovin.

Obrázek 6.41: Pˇ r´ıklad 6.13 Roviny ρ a σ jsou urˇceny stopami. Sestrojte pr˚ useˇcnici tˇechto rovin - obr. 6.42. ˇ sen´ı: (obr. 6.43) Reˇ 1. Nárysn´ y stopn´ık pr˚ useˇcnice leˇz´ı na nárysné stopˇe roviny ρ i roviny σ. (N2 ∈ nρ2 ∩ nσ2 , N1 ∈ x1,2 ). 2. P˚ udorysn´ y stopn´ık pr˚ useˇcnice leˇz´ı na p˚ udorysné stopˇe roviny ρ i roviny σ. (P1 ∈ pρ1 ∩ pσ1 , P2 ∈ x1,2 ). 3. Pˇr´ımka N P je hledanou pr˚ useˇcnic´ı.

Pˇ r´ıklad 6.14 Rovina ρ je urˇcena pˇr´ımkami r a q a rovina σ je dána stopami. Sestrojte pr˚ useˇcnici tˇechto rovin - obr. 6.44.


56

Obrázek 6.42:

Obrázek 6.43:

Obrázek 6.44:

Obrázek 6.45:

ˇ sen´ı: (obr. 6.45) Vyˇreˇs´ıme dvakrát u Reˇ ´lohu pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Zvol´ıme kryc´ı pˇr´ımku s, tak aby s2 = q2 a s ⊂ σ. ´ Odvod´ıme p˚ udorys s2 pˇr´ımky s. (Uloha 6.5.1). Najdeme pr˚ useˇc´ık X1 pˇr´ımek s1 a q1 . Odvod´ıme bod X do nárysu na pˇr´ımku q. Podobnˇe zvol´ıme kryc´ı pˇr´ımku u a najdeme pr˚ useˇc´ık Y . Pˇr´ımka XY je hledaná pr˚ useˇcnice.

Pozn´ amka 6.4 Vˇsimnˇete si, ˇze v nˇekter´ ych u ´lohách jsme ke konstrukc´ım nepouˇz´ıvali osu x1,2 , staˇcilo nám znát smˇer ordinály. Vzpomeneme si, ˇze kolmé pr˚ umˇety téhoˇz objektu do rovnobˇeˇzn´ ych rovin jsou shodné. Pokud tedy nezáleˇz´ı na vzdálenosti od pr˚ umˇeten, m˚ uˇzeme osu x vynechat, pˇr´ıpadnˇe posunout pr˚ umˇety ve smˇery ordinály. Je to v´ yhodné zejména v pˇr´ıpadech, kdy se nárys a p˚ udorys pˇrekr´ yvaj´ı a chceme zobrazen´ı zpˇrehlednit. Nen´ı-li zadaná osa x, nem˚ uˇzeme pouˇz´ıvat stopy a stopn´ıky.

´ ULOHY ´ 6.6. METRICKE

6.6 6.6.1

57

Metrick´ eu ´ lohy Skuteˇ cn´ a velikost u ´ seˇ cky (z´ akladn´ı u ´ loha Z6)

Na obrázku 6.46 je zˇrejmé, ˇze body A, B a jejich pr˚ umˇety do p˚ udorysny tvoˇr´ı lichobˇeˇzn´ık ABB1 A1 s prav´ ymi u ´hly pˇri vrcholech A1 a B1 . V tomto lichobˇeˇzn´ıku známe, kromˇe prav´ ych u ´hl˚ u, také velikost strany A1 B1 , a velikosti stran AA1 (z-ová souˇradnice bodu A) a BB1 (zová souˇradnice bodu B). Tento lichobˇeˇzn´ık zobraz´ıme pomoc´ı sklopen´ı prom´ıtac´ı roviny do p˚ udorysny. Podobnˇe m˚ uˇzeme provést sklopen´ı do nárysny.

Obrázek 6.46:

Obrázek 6.47:

Obrázek 6.48:

Pˇ r´ıklad 6.15 Sestrojte skuteˇcnou velikost u ´seˇcky AB - obr. 6.47. ˇ sen´ı: (obr. 6.48) Reˇ 1. zA (zetovou souˇradnici bodu A) naneseme na kolmici vedenou bodem A1 , z´ıskan´ y bod oznaˇc´ıme (A). 2. zB (zetovou souˇradnici bodu B) naneseme na kolmici vedenou bodem B1 , z´ıskan´ y bod oznaˇc´ıme (B).


58

3. Spojnice bod˚ u (A), (B) je sklopená pˇr´ımka b. Vzdálenost bod˚ u (A), (B) je skuteˇcná velikost u ´seˇcky AB.

Pozn´ amka 6.5 Maj´ı-li body A, B opaˇcná znaménka souˇradnice z, pak body ABB1 A1 netvoˇr´ı lichobˇeˇzn´ık, ale ˇctyˇru ´heln´ık, ve kterém se dvˇe strany prot´ınaj´ı. Pˇri sklápˇen´ı tohoto ˇctyˇru ´heln´ıku naneseme pˇr´ısluˇsné souˇradnice na opaˇcnˇe orientované kolmice. Pozn´ amka 6.6 Je-li body A, B je urˇcena pˇr´ımka p, pak sklopená pˇr´ımka (p) je urˇcena body (A)(B). Odchylka pˇr´ımky od p˚ udorysny je rovna odchylce pˇr´ımek p(p). Postup pro urˇcován´ı skuteˇcné velikosti u ´seˇcky si m˚ uˇzeme zjednoduˇsit pouˇzit´ım metody rozd´ılov´ eho troj´ uheln´ıka. V obrázku 6.46 je vyznaˇcen pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık A1 B1 (B)∗ s ´ cky (A)(B) a A1 (B)∗ jsou rovnobˇeˇzné a shodné. Staˇc´ı tedy seprav´ ym u ´hlem pˇri vrcholu B1 . Useˇ strojit tento rozd´ılov´ y troj´ uheln´ık, kde velikost strany B1 (B)∗ je rovna rozd´ılu z-ov´ ych souˇradnic bod˚ u A a B. I tento postup lze analogicky pouˇz´ıt pro nárys, na kolmici k u ´seˇcce A2 B2 ovˇsem naneseme rozd´ıl y-ov´ ych souˇradnic bod˚ u A a B.

Obrázek 6.49:

Obrázek 6.50:

Pˇ r´ıklad 6.16 Sestrojte skuteˇcnou velikost u ´seˇcky AB pouˇzit´ım rozd´ılového troj´ uheln´ıka - obr. 6.49. ˇ sen´ı: (obr. 6.50) Pomoc´ı rozd´ılov´ Reˇ eho troj´ uheln´ıka. 1. Na kolmici vedenou bodem B1 naneseme |zA − zB |, z´ıskan´ y bod oznaˇc´ıme (B). 2. Spojnice bod˚ u (B), A1 je sklopená u ´seˇcka AB a vzdálenost bod˚ u (B), A1 je skuteˇcná velikost u ´seˇcky AB. Je zˇrejmé, ˇze velikost u ´seˇcky rovnˇeˇz zjist´ıme, vedeme-li kolmici bodem A (a nen´ı pˇritom d˚ uleˇzité, do které poloroviny skláp´ıme). Ve vˇsech pˇr´ıpadech vyjdou shodné troj´ uheln´ıky, které maj´ı shodné pˇrepony. Uveden´ y postup pouˇz´ıvá m´ısto absolutn´ıch souˇradnic souˇradnice relativn´ı. Pouˇzit´ı relativn´ıch souˇradnic vede k moˇznosti vynechán´ı základnice.


6.6.2

59

Nanesen´ı u ´ seˇ cky na pˇ r´ımku (z´ akladn´ı u ´ loha Z7)

Sklápˇen´ı, které jsme vyuˇzili v u ´loze 6.6.1, vyuˇzijeme i v této u ´loze. Zvol´ıme na pˇr´ımce dva body a sklop´ıme ji. Na sklopenou pˇr´ımku naneseme u ´seˇcku ve skuteˇcné velikosti a sklop´ıme zpˇet. Pˇri sklápˇen´ı pouˇzijeme metodu rozd´ılového troj´ uheln´ıka.

Obrázek 6.51:

Obrázek 6.52:

Pˇ r´ıklad 6.17 Je dána pˇr´ımka b a na n´ı bod A. Naneste na pˇr´ımku b od bodu A vzdálenost u - obr. 6.51. ˇ sen´ı: (obr. 6.52) Reˇ 1. Zvol´ıme na pˇr´ımce b bod X 6= A. 2. Sklop´ıme u ´seˇcku AX (pouˇzit´ım u ´lohy Z6 z odst. 6.6.1): (a) Na kolmici vedenou bodem X2 naneseme |zX − zA |, z´ıskan´ y bod oznaˇc´ıme (X). (b) Spojnice bod˚ u (X), A2 je sklopená pˇr´ımka b. 3. Na sklopenou pˇr´ımku b naneseme velikost u, z´ıskan´ y bod oznaˇc´ıme (B). 4. Bod (B) sklop´ıme zpˇet na pˇr´ımku b2 pomoc´ı kolmice vedené bodem (B) k pˇr´ımce b2 . Dostáváme bod B2 . 5. Bod B1 odvod´ıme po ordinále na pˇr´ımku b1 . ´ cka AB má skuteˇcnou velikost u. 6. Useˇ

6.6.3

Pˇ r´ımka kolm´ a k rovinˇ e (z´ akladn´ı u ´ loha Z8)

Pˇri hledán´ı pˇr´ımky kolmé k rovinˇe je vhodné si pˇr´ıpomenout: • Kritérium kolmosti pˇr´ımky a roviny. • Vˇetu o pr˚ umˇetu pravého u ´hlu.


60

Obrázek 6.53:

Obrázek 6.54:

Obrázek 6.55:

• Protoˇze h||π, tak k1 ⊥ h1 . • Protoˇze f ||ν, tak k2 ⊥ f2 . Pˇ r´ıklad 6.18 Rovina ρ je urˇcena hlavn´ımi pˇr´ımkami h, f . Sestrojte kolmici k bodem M k rovinˇe ρ - obr. 6.54. ˇ sen´ı: (obr. 6.55) Reˇ 1. Bodem M1 vedeme kolmici k1 k pˇr´ımce h1 . 2. Bodem M2 vedeme kolmici k2 k pˇr´ımce f2 .

Pˇ r´ıklad 6.19 Rovina ρ je urˇcena pˇr´ımkami p, q. Sestrojte kolmici k bodem M k rovinˇe ρ obr. 6.56. ˇ sen´ı: (obr. 6.57) Reˇ


Obrázek 6.56:

61

Obrázek 6.57:

1. Sestroj´ıme libovolné hlavn´ı pˇr´ımky h, f roviny ρ. a) Pˇr´ımka f1 je rovnobˇeˇzná s x1,2 , f2 odvod´ıme pomoc´ı pr˚ useˇc´ık˚ u pˇr´ımky f s p a q. b) Pˇr´ımka h2 je rovnobˇeˇzná s x1,2 , h1 odvod´ıme pomoc´ı pr˚ useˇc´ık˚ u pˇr´ımky h s p a q. 2. Postupujeme jako v pˇredchoz´ı u ´loze. a) Bodem M1 vedeme kolmici k pˇr´ımce h1 , dostaneme k1 . b) Bodem M2 vedeme kolmici k pˇr´ımce f2 , dostaneme k2 .

6.6.4

Rovina kolm´ a k pˇ r´ımce (z´ akladn´ı u ´ loha Z9)

Tato u ´loha je obrácená k u ´loze pˇredchoz´ı, vyuˇzijeme opˇet znalost´ı kritéria kolmosti pˇr´ımky k rovinˇe a hlavn´ıch pˇr´ımek. Uvˇedom´ıme si, ˇze nárys horizontáln´ı hlavn´ı hlavn´ı pˇr´ımky je rovnobˇeˇzn´ y s osou x1,2 (neboli kolm´ y na ordinály) a p˚ udorys je kolm´ y k zadané pˇr´ımce. Pro frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımku plat´ı, ˇze p˚ udorys je rovnobˇeˇzn´ y s osou x1,2 a nárys je kolm´ y k zadané pˇr´ımce. Tedy h1 ⊥ p1 a h2 ||x1,2 a f2 ⊥ p2 a f1 ||x1,2 . Hlavn´ı pˇr´ımky v této u ´loze proto neodvozujeme pomoc´ı pr˚ useˇc´ık˚ u, ale sestrojujeme kolmice k pr˚ umˇet˚ um zadané pˇr´ımky! Je totiˇz zˇrejmé, ˇze hlavn´ı pˇr´ımky jsou zpravidla s danou pˇr´ımkou mimobˇeˇzné, a tud´ıˇz pr˚ useˇc´ıky v prostoru neexistuj´ı. Pˇ r´ıklad 6.20 Je dána pˇr´ımka p. Sestroj´ıme bodem M rovinu kolmou k pˇr´ımce p - obr. 6.58. ˇ sen´ı: (obr. 6.59) Sestroj´ıme hlavn´ı pˇr´ımky hledané roviny σ. Reˇ 1. h1 ⊥ p1 a h2 ||x1,2 a M1 ∈ h1 , M2 ∈ h2 . 2. f2 ⊥ p2 a f1 ||x1,2 a M1 ∈ f1 , M2 ∈ f2 . 3. Rovina σ je urˇcena pˇr´ımkami h, f .


62

Obrázek 6.58:

6.6.5

Obrázek 6.59:

Otoˇ cen´ı roviny do polohy rovnobˇ eˇ zn´ e s pr˚ umˇ etnou (z´ akladn´ı u ´ loha Z10)

n

n C

C2

C2 h

C C1 p 1r

p S

x C1

S

C00 C C 0

p

x

C0

a)

b) Obrázek 6.60:

ˇ Casto je souˇca´st´ı prostorové konstrukce rovinná u ´loha. Potˇrebujeme napˇr´ıklad sestrojit podstavu nˇejakého tˇelesa v obecné rovinˇe α. V´ıme, ˇze u ´tvar leˇz´ıc´ı v rovinˇe rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou se prom´ıtne ve skuteˇcné velikosti. Otoˇc´ıme tedy rovinu α (nˇekteré jej´ı body) do polohy rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou π (obr. 6.60b)) nebo pˇr´ımo do pr˚ umˇetny (obr. 6.60a)), provedeme poˇzadovanou konstrukci a v´ ysledek otoˇc´ıme zpˇet. Nejprve mus´ıme urˇcit pˇr´ımku, kolem které budeme rovinu α otáˇcet. V pˇr´ıpadˇe, ˇze otáˇc´ıme pˇr´ımo do pr˚ umˇetny, je osou otáˇcen´ı pr˚ useˇcnice rovin α a π, tedy stopa roviny α (obr. 6.60a)). Nemáme-li zadanou osu x nebo chceme-li si uˇsetˇrit práci se sestrojován´ım stopy, m˚ uˇzeme otoˇcit rovinu α do polohy rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou kolem pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou, tedy hlavn´ı pˇ r´ımky roviny α (obr. 6.60b)). Mezi body roviny α a body otoˇcen´ ymi do pr˚ umˇetny existuje prostorová geometrická pˇr´ıbuznost - osová afinita. V´ıme, ˇze rovnobˇeˇzn´ ym pr˚ umˇetem osové afinity z´ıskáme osovou afinitu v rovinˇe,


63

odtud plyne, ˇze pˇri konstrukc´ıch m˚ uˇzeme vyuˇz´ıvat osové afinity mezi pr˚ umˇety bod˚ u (napˇr´ıklad p˚ udorysy) a otoˇcen´ ymi body do téˇze pr˚ umˇetny (p˚ udorysny). Osou afinity je osa otáˇcen´ı, párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u je pr˚ umˇet bodu (napˇr. A1 ) a jeho otoˇcen´ y obraz A0 . Postup ˇreˇsen´ı rovinné u ´lohy je následuj´ıc´ı: 1. Urˇc´ıme osu ot´ aˇ cen´ı - hlavn´ı pˇr´ımka nebo stopa roviny. 2. Sestroj´ıme rovinu, stˇ red a polomˇ er kruˇ znice ot´ aˇ cen´ı (pˇr´ıklad 1.1 na stranˇe 11). 3. Otoˇc´ıme jeden bod. 4. Dalˇs´ı otoˇcené body z´ıskáme pomoc´ı afinity. 5. Provedeme rovinnou konstrukci. 6. S vyuˇzit´ım afinity otoˇc´ıme v´ ysledek zpˇet. 7. Body v´ ysledného u ´tvaru odvod´ıme do druhého pr˚ umˇetu.

Obrázek 6.61:

Obrázek 6.62:

Pˇ r´ıklad 6.21 Otoˇcme rovinu α kolem stopy do pr˚ umˇetny - obr. 6.61. ˇ sen´ı: (obr. 6.62) Otoˇc´ıme jeden bod roviny α. Reˇ 1. Pomoc´ı horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımky h roviny α vedené bodem C odvod´ıme p˚ udorys bodu C. 2. Budeme otáˇcet do p˚ udorysny, tj. osou ot´ aˇ cen´ı je p˚ udorysná stopa pα1 . 3. Rovina otáˇcen´ı ρ bodu C se prom´ıtá do pˇr´ımky k1 procházej´ıc´ı bodem C1 a kolmé k ose otáˇcen´ı pα1 . 4. Stˇred otáˇcen´ı S je pr˚ useˇc´ık roviny ρ se stopou, tedy S1 je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımky k1 se stopou pα1 . 5. Polomˇer otáˇcen´ı r je skuteˇcná velikost u ´seˇcky CS. Skuteˇcnou velikost u ´seˇcky urˇc´ıme sklopen´ım - na kolmici k u ´seˇcce C1 S1 naneseme (relativn´ı) zetovou souˇradnici bodu C (tj. rozd´ıl zetov´ ych souˇradnic bod˚ u C a S, S má zetovou souˇradnici 0, protoˇze leˇz´ı v p˚ udorysnˇe).


64

C2

h2 h1

C1 S1

C0 k1 Obrázek 6.63:

Obrázek 6.64:

6. Na kolmici k1 naneseme od bodu S1 polomˇer r, dostaneme tak otoˇcen´ y bod C0 .

Pˇ r´ıklad 6.22 Otoˇcme rovinu α, urˇcenou bodem C a hlavn´ı pˇr´ımkou h, kolem h do roviny rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou - obr. 6.63. ˇ sen´ı: (obr. 6.64) Otoˇc´ıme jeden bod roviny α. Reˇ 1. 2. 3. 4. 5.

Otoˇc´ıme rovinu α kolem hlavn´ı pˇr´ımky h do polohy rovnobˇeˇzné s p˚ udorysnou. Osou otáˇcen´ı je hlavn´ı pˇr´ımka h. Bodem C1 vedeme kolmici k1 k pˇr´ımce h1 (rovina otáˇcen´ı se prom´ıtá do k1 ). Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky k1 s h1 je p˚ udorysem stˇredu otáˇcen´ı S. Sklop´ıme u ´seˇcku CS a zjist´ıme skuteˇcnou velikost polomˇeru otáˇcen´ı r (na kolmici k C1 S1 naneseme rozd´ıl zetov´ ych souˇradnic bodu CS a pˇr´ımky h). 6. Od bodu S1 naneseme na k1 polomˇer r a z´ıskáme otoˇcen´ y bod C0 .

Pˇ r´ıklad 6.23 V rovinˇe ρ jsou dány body A a C sv´ ymi nárysy. Sestroj´ıme ˇctverec ABCD su ´hlopˇr´ıˇckou AC leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ - obr. 6.65. ˇ sen´ı: (obr. 6.66) Sestrojen´ı ˇctverce je rovinná u Reˇ ´loha. Rovinu ρ otoˇc´ıme do p˚ udorysny, sestroj´ıme ˇctverec v otoˇcen´ı a v´ ysledek otoˇc´ıme zpˇet. 1. 2. 3. 4. 5.

Pomoc´ı hlavn´ı pˇr´ımky odvod´ıme bod C do p˚ udorysu, p˚ udorys bodu A leˇz´ı na ose x1,2 . Otoˇc´ıme bod C do p˚ udorysny - z´ıskáme bod C0 . Bod A0 sestroj´ıme pomoc´ı afinity (osa afinity je pρ1 , pár odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u je A1 , A0 . V otoˇcen´ı sestroj´ıme ˇctverec A0 B0 C0 D0 . Pomoc´ı afinity otoˇc´ıme ˇctverec zpˇet do p˚ udorysu. (M˚ uˇzeme vyuˇz´ıt rovnobˇeˇznosti protˇejˇs´ıch stran.) 6. S vyuˇzit´ım hlavn´ıch pˇr´ımek najdeme nárys ˇctverce.


65

Obrázek 6.65:

6.6.6

Obrázek 6.66:

Obraz kruˇ znice (z´ akladn´ı u ´ loha Z11)

Pod´ıvejme se, jak se v pravo´ uhlém prom´ıtán´ı zobraz´ı kruˇznice. Pokud kruˇznice leˇz´ı v rovinˇe rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou, bude jej´ım obrazem shodná kruˇznice. Obrazem kruˇznice leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolmé na pr˚ umˇetnu bude u ´seˇcka, jej´ıˇz délka je rovna pr˚ umˇeru kruˇznice. Obrazem kruˇznice v obecném pˇr´ıpadˇe je elipsa. Velikost pr˚ umˇeru kruˇznice, kter´ y leˇz´ı na hlavn´ı pˇr´ımce, se pˇri pravo´ uhlém prom´ıtán´ı zachová, ostatn´ı pr˚ umˇery se v pravo´ uhlém prom´ıtán´ı zkracuj´ı. Pr˚ umˇer na hlavn´ı pˇr´ımce bude tedy hlavn´ı osou elipsy, do které se kruˇznice zobraz´ı.

Obrázek 6.67:

Obrázek 6.68:


66

Pˇ r´ıklad 6.24 V rovinˇe ρ(h, f ) sestrojme kruˇznici k(S, r) - obr. 6.67. ˇ sen´ı: (obr. 6.68) Reˇ 1. Na horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımku h naneseme v p˚ udorysu od bodu S1 na obˇe strany skuteˇcnou velikost polomˇeru r - body oznaˇc´ıme A1 , B1 a odvod´ıme je po ordinále do nárysu. 2. Na frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımku f naneseme v nárysu od bodu S2 na obˇe strany skuteˇcnou velikost polomˇeru r - body oznaˇc´ıme C2 , D2 a odvod´ıme je po ordinále do p˚ udorysu. 3. Obrazem kruˇznice v p˚ udorysu je elipsa s hlavn´ı osou A1 B1 , body C1 , D1 leˇz´ı na elipse. Pomoc´ı prouˇzkové konstrukce z´ıskáme vedlejˇs´ı osu. 4. Obrazem kruˇznice v nárysu je elipsa s hlavn´ı osou C2 D2 , body A2 , B2 leˇz´ı na elipse. Pomoc´ı prouˇzkové konstrukce z´ıskáme vedlejˇs´ı osu.

6.6.7

Transformace pr˚ umˇ eten (z´ akladn´ı u ´ loha Z12)

V pˇredchoz´ıch u ´lohách jsme jiˇz mluvili o moˇznosti vynechán´ı osy x, to znamená o posunut´ı p˚ udorysny nebo nárysny. Nárys nebo p˚ udorys u ´tvar˚ u se nemˇenil, nebot’ poloha nov´ ych pr˚ umˇeten byla rovnobˇeˇzná s p˚ uvodn´ımi. Nyn´ı pˇrejdeme od p˚ uvodn´ıch pr˚ umˇeten k nové dvojici navzájem kolm´ ych pr˚ umˇeten. Jednu pr˚ umˇetnu necháme v p˚ uvodn´ı poloze a jako druhou vol´ıme libovolnou rovinu k n´ı kolmou (vol´ıme ji vhodnˇe tak, aby se pouˇzit´ım nov´ ych pr˚ umˇeten u ´loha zjednoduˇsila). Zvol´ıme napˇr´ıklad tˇret´ı pr˚ umˇetnu µ kolmou k p˚ udorysnˇe π – obr. 6.69. Pr˚ useˇcnice rovin µ a π bude novou osou x - oznaˇc´ıme ji x1,3 . Prom´ıtneme bod M do tˇret´ı pr˚ umˇetny, pr˚ umˇet oznaˇc´ıme indexem M3 a provedeme sdruˇzen´ı pr˚ umˇet˚ u. Ordinála bude spojnic´ı bod˚ u M1 a M3 a bude kolmá k ose x1,3 , vzdálenost M3 od osy x1,3 je z-ovou souˇradnic´ı bodu M - obr. 6.70.

Obrázek 6.69:

Obrázek 6.70:

Pˇ r´ıklad 6.25 Urˇceme vzdálenost bodu A od roviny ρ s vyuˇzit´ım tˇret´ı pr˚ umˇetny (obr. 6.71). ˇ sen´ı: (obr. 6.72) Reˇ


Obrázek 6.71:

67

Obrázek 6.72:

1. Zvol´ıme tˇret´ı pr˚ umˇetnu µ kolmou k p˚ udorysnˇe a kolmou k rovinˇe ρ - rovina ρ se do nové pr˚ umˇetny zobraz´ı jako pˇr´ımka. 2. Najdeme tˇret´ı pr˚ umˇet bodu A. 3. Najdeme tˇret´ı pr˚ umˇet libovolného bodu roviny ρ - zvolili jsme stopn´ık N . 4. Tˇret´ım pr˚ umˇetem roviny ρ je pˇr´ımka procházej´ıc´ı bodem N3 a prot´ınaj´ıc´ı se se stopou pρ1 na ose x1,3 . 5. Vzdálenost A3 a ρ3 je hledanou vzdálenost´ı bodu A od roviny ρ.

6.7


6.1 Definujte pojem stopn´ık a stopa. 6.2 Vysvˇetlete pojem hlavn´ı pˇr´ımka. 6.3 Vysvˇetlete metodu kryc´ı pˇr´ımky. 6.4 K ˇcemu se pouˇz´ıvá otáˇcen´ı roviny? 6.5 V ˇcem se liˇs´ı otáˇcen´ı roviny okolo stopy a okolo hlavn´ı pˇr´ımky?

Kapitola 7 Axonometrie 7.1

´ Uvod

Pˇredpokládejme, ˇze je v prostoru dána kartézská soustava souˇradnic. Souˇradnicové roviny naz´ yváme p˚ udorysna - xy (1 π), nárysna xz (2 π) a bokorysna yz (3 π). V praxi obvykle um´ıst’ujeme objekty co nejv´ yhodnˇeji vzhledem k osám. Napˇr. hranol nebo válec um´ıst´ıme ´ tak, aby mˇel podstavu v souˇradnicové rovinˇe. Utvar, kter´ y má osu, um´ıst´ıme tak, aby jeho osa byla rovnobˇeˇzná s osou soustavy souˇradnic. Jestliˇze prom´ıtneme pravo´ uhle tento objekt do souˇradnicov´ ych rovin (Mongeova projekce), budou se nám snadno ˇreˇsit polohové a metrické u ´lohy, ale chyb´ı názorn´ y pohled. Názornou zobrazovac´ı metodou, která vyuˇz´ıvá v´ yhody rovnobˇeˇzného prom´ıtán´ı, je axonometrie.

Obrázek 7.1: Axonometrie je rovnobˇeˇzné prom´ıtán´ı na jednu pr˚ umˇetnu α takové, ˇze smˇer prom´ıtán´ı s nen´ı rovnobˇeˇzn´ y s ˇzádnou souˇradnicovou rovinou, tj. osy se prom´ıtaj´ı do tˇr´ı r˚ uzn´ ych pˇr´ımek xA , yA , zA - obr.7.1. Rovinu α naz´ yváme axonometrickou pr˚ umˇ etnou; xA , yA , zA axonometrick´ ymi pr˚ umˇ ety os x, y, z; BA axonometrick´ ym pr˚ umˇ etem bodu B. Pravo´ uhlé pr˚ umˇety bodu B do souˇradnicov´ ych rovin jsou p˚ udorys (xy), nárys (xz) a bokorys (yz) a jejich pr˚ umˇety do axonometrické pr˚ umˇetny axonometrick´ y p˚ udorys (B1A ), n´ arys (B2A ) a bokorys (B3A ). Jednotky 68

7.2. KLASIFIKACE AXONOMETRIÍ

69

na osách (jx , jy , jz ) se prom´ıtnou do axonometrick´ ych jednotek (jxA , jyA , jzA ). Chceme-li zadat axonometrii, vycház´ıme z následuj´ıc´ı vˇety: Vˇ eta 7.1 (Pohlkeova vˇeta) Tˇri u ´seˇcky se spoleˇcným koncovým bodem, které leˇz´ı v jedné rovinˇe a neleˇz´ı na jedné pˇr´ımce, m˚ uˇzeme povaˇzovat za rovnobˇeˇzný pr˚ umˇet tˇr´ı navzájem kolmých a shodných u ´seˇcek v prostoru.

7.2

Klasifikace axonometri´ı

Podle velikosti axonometrick´ ych jednotek jx , jy , jz

:

1. izometrie ( jx = jy = jz ) - obr. 7.2a) 2. dimetrie ( jx = jy nebo jy = jz nebo jx = jz ) - obr. 7.2b) 3. trimetrie ( jx 6= jy 6= jz ) - obr. 7.2c)

z

jx

x

z

jx

y

z

jy

jy

y

jx

y

x x

a)

b)

c)

Obrázek 7.2: Podle smˇ eru prom´ıt´ an´ı 1. Smˇer s je kolm´ y k axonometrické pr˚ umˇetnˇe, axonometrie se naz´ yvá pravo´ uhl´ a. 2. Smˇer s nen´ı kolm´ y k axonometrické pr˚ umˇetnˇe, axonometrie se naz´ yvá obecn´ a nebo také koso´ uhl´ a. Uved’me si jeˇstˇe nˇekteré speciáln´ı axonometrie: 1. Koso´ uhl´ e prom´ıt´ an´ı. Pr˚ umˇetnou je souˇradnicová rovina yz a smˇer nen´ı kolm´ y k pr˚ umˇetnˇe. Na osách y a z jsou jednotky stejné, na ose x se jednotka obvykle zkracuje. Je to dimetrie nebo izometrie. 2. Vojensk´ a perspektiva. Pr˚ umˇetnou je souˇradnicová rovina xy a smˇer nen´ı kolm´ y k pr˚ umˇetnˇe. Na vˇsech osách je stejné zkrácen´ı jednotek. Prom´ıtán´ı je izometrie. 3. Pravo´ uhl´ a axonometrie. Pr˚ umˇetnou je obecná rovina, která prot´ıná osy v bodech r˚ uzn´ ych od poˇcátku. Smˇer je kolm´ y k pr˚ umˇetnˇe. Pravo´ uhlou axonometri´ı se budeme jeˇstˇe podrobnˇeji zab´ yvat, protoˇze má nˇekteré pˇekné vlastnosti.

7.3. ZOBRAZENÍ BODU

7.3

70

Zobrazen´ı bodu

Jedn´ım pr˚ umˇetem nen´ı bod v prostoru jednoznaˇcnˇe urˇcen, proto mus´ıme k axonometrickému pr˚ umˇetu zadávat jeˇstˇe nˇekter´ y z pravo´ uhl´ ych pr˚ umˇet˚ u do souˇradnicov´ ych rovin. Obvyklé je zadán´ı dvojic´ı BA a B1A . Bod vˇsak m˚ uˇze b´ yt urˇcen libovolnou dvojic´ı z bod˚ u BA , B1A , B2A , B3A (napˇr. B1A , B3A ).

Na obrázku 7.3 je axonometrick´ y obraz bodu B[2, 3, 4], jeho axonometrick´ y nárys, p˚ udorys a bokorys.

Obrázek 7.3:

Pozn´ amka 7.1 Pro zjednoduˇsen´ı budeme tam, kde nem˚ uˇze doj´ıt k zámˇenˇe, axonometrické pr˚ umˇety oznaˇcovat bez doln´ıho indexu A a vynechávat pˇr´ıvlastek axonometrick´ y.

Obrázek 7.4:

Obrázek 7.5:

Pˇ r´ıklad 7.1 Bod je v axonometrii urˇcen dvojic´ı A a A3 - obr. 7.4. Dopln´ıme zb´ yvaj´ıc´ı pravo´ uhlé pr˚ umˇety do souˇradnicov´ ych rovin. ˇ sen´ı: (obr.7.5) Pomoc´ı rovnobˇeˇzek s osami x, y, z dopln´ıme zb´ Reˇ yvaj´ıc´ı pr˚ umˇety. Pˇ r´ıklad 7.2 Zobraz´ıme body A ∈ xy, B ∈ yz, C ∈ xz - obr. 7.6. ˇ sen´ı: (obr.7.7) Reˇ A ∈ xy ⇒ A = A1 , A2 ∈ x, A3 ∈ y B ∈ yz ⇒ B = B3 , B2 ∈ z, B1 ∈ y C ∈ xz ⇒ C = C2 , C1 ∈ x, C3 ∈ z

ˇ ÍMKY 7.4. ZOBRAZENÍ PR

Obrázek 7.6:

7.4

71

Obrázek 7.7:

Zobrazen´ı pˇ r´ımky

Pˇr´ımka je urˇcena dvˇema body, pr˚ umˇet pˇr´ımky je tedy urˇcen pr˚ umˇety dvou bod˚ u. Obrazem pˇr´ımky p, která nen´ı kolmá k pr˚ umˇetnˇe, je opˇet pˇr´ımka. Zadáváme ji opˇet pomoc´ı axonometrického pr˚ umˇetu pA a pravo´ uhlého pr˚ umˇetu do souˇradnicové roviny (napˇr. p1A ). Stopn´ık je opˇet pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s pr˚ umˇetnou, ovˇsem v tomto pˇr´ıpadˇe s pr˚ umˇetnou axonometrickou. Tento stopn´ık ale v konstrukc´ıch zpravidla nevyuˇz´ıváme. V´ yhodné jsou pro nás pomocné stopn´ıky, jimiˇz jsou pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky se souˇradnicov´ ymi rovinami (xy, xz, yz). Naz´ yváme je p˚ udorysn´ y, n´ arysn´ y a bokorysn´ y stopn´ık.

Obrázek 7.8:

Obrázek 7.9:

Pˇ r´ıklad 7.3 Sestroj´ıme p˚ udorysn´ y, nárysn´ y a bokorysn´ y stopn´ık pˇr´ımky a - obr. 7.8. ˇ sen´ı: (obr.7.9) Reˇ Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a a jej´ıho p˚ udorysu a1 je p˚ udorysn´ y stopn´ık P = P1 . Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a1 s osou x je p˚ udorys nárysného stopn´ıku N1 , nárysn´ y stopn´ık N najdeme na pˇr´ımce a a na rovnobˇeˇzce s osou z vedené bodem N1 .

7.5. ZOBRAZENÍ ROVINY

72

Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a1 s osou y je p˚ udorys bokorysného stopn´ıku M1 , bokorysn´ y stopn´ık M najdeme na pˇr´ımce a a na rovnobˇeˇzce s osou z vedené bodem M1 .

7.5

Zobrazen´ı roviny

Rovinu m˚ uˇzeme urˇcit pomoc´ı pr˚ umˇet˚ u prvk˚ u, které ji urˇcuj´ı (napˇr. tˇremi r˚ uzn´ ymi nekolineárn´ımi body, dvˇema rovnobˇeˇzkami, dvˇema r˚ uznobˇeˇzkami nebo pˇr´ımkou a bodem, kter´ y na n´ı neleˇz´ı). Nejnázornˇejˇs´ı je zadán´ı roviny pomoc´ı stop. Stopa roviny je pr˚ useˇcnice roviny s pr˚ umˇetnou, ale my budeme (stejnˇe jako u stopn´ık˚ u) pouˇz´ıvat pr˚ useˇcnice roviny se souˇradnicov´ ymi rovinami (xy, xz, yz). Naz´ yváme je p˚ udorysn´ a, n´ arysn´ a a bokorysn´ a stopa.

Obrázek 7.10:

Obrázek 7.11:

Kaˇzdá dvojice stop se prot´ıná na ose (pr˚ useˇc´ık m˚ uˇze b´ yt i nevlastn´ı bod, tj. stopy jsou pak rovnobˇeˇzné). Pro urˇcen´ı roviny staˇc´ı zadat dvˇe stopy, jsou to dvˇe r˚ uznobˇeˇzné nebo rovnobˇeˇzné pˇr´ımky. Tˇret´ı stopu snadno dopln´ıme pomoc´ı pr˚ useˇc´ık˚ u s osami - obr. 7.10 nebo 7.11. Na obrázku 7.12 jsou stopy roviny ρ rovnobˇeˇzné s p˚ udorysnou xy, stopy roviny σ rovnobˇeˇzné s bokorysnou yz a stopy roviny τ rovnobˇeˇzné s nárysnou yz. Na obrázku 7.13 jsou stopy roviny α kolmé na nárysnu xz, stopy roviny β kolmé na p˚ udorysnu xy a stopy roviny γ kolmé na bokorysnu yz.

7.6

´ Ulohy v axonometrii

V obecné axonometrii se zamˇeˇr´ıme pouze na polohové u ´lohy a ukáˇzeme si, jak lze zobrazit kruˇznici. Dalˇs´ı typy u ´loh jsou nejen pˇr´ıliˇs sloˇzité, ale zejména jejich ˇreˇsen´ı umoˇzn ˇuje Mongeova projekce. Pomoc´ı pˇrepoˇctu délek na osách pak m˚ uˇze b´ yt zobrazen v axonometrii jen v´ ysledek.

´ 7.6. ULOHY V AXONOMETRII

73

Obrázek 7.12:

Obrázek 7.13:

Obrázek 7.14:

7.6.1

Vz´ ajemn´ a poloha pˇ r´ımek

Z axonometrick´ ych pr˚ umˇet˚ u pˇr´ımek a jejich p˚ udorys˚ u m˚ uˇzeme urˇcit jejich vzájemnou polohu. Z vlastnost´ı rovnobˇeˇzného prom´ıtán´ı plyne, ˇze rovnobˇeˇzné pˇr´ımky se budou prom´ıtat jako rovnobˇeˇzky (pokud se neprom´ıtnou jako dva body). Rovnobˇeˇzné budou jak jejich axonometrické pr˚ umˇety, tak jejich p˚ udorysy - obr. 7.14a). Na obrázku 7.14b) jsou r˚ uznobˇeˇzky, pr˚ useˇc´ık jejich axonometrick´ ych pr˚ umˇet˚ u a p˚ udorys˚ u leˇz´ı na rovnobˇeˇzce s osou z (m˚ uˇzeme ji ˇr´ıkat ordinála) na rozd´ıl od mimobˇeˇzek - obr. 7.14c).

7.6.2

Pˇ r´ımka v rovinˇ e

Pˇripomeˇ nme d˚ uleˇzité vlastnosti: • Pˇr´ımka leˇz´ıc´ı v rovinˇe je se vˇsemi ostatn´ımi pˇr´ımkami rovnobˇeˇzná nebo r˚ uznobˇeˇzná. • Pˇr´ımka leˇz´ı v rovinˇe, právˇe kdyˇz vˇsechny stopn´ıky pˇr´ımky leˇz´ı na pˇr´ısluˇsn´ ych stopách roviny.


Obrázek 7.15:

74

Obrázek 7.16:

Tˇechto vlastnost´ı vyuˇzijeme i v následuj´ıc´ıch u ´lohách. Pˇ r´ıklad 7.4 Je dána rovina ρ. Sestrojme axonometrick´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky m ∈ ρ, je-li dán jej´ı p˚ udorys m1 - obr. 7.15. ˇ sen´ı: (obr.7.16) Reˇ udorysn´ y 1. Najdeme pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky m1 s p˚ udorysnou stopou pρ1 roviny ρ, z´ıskali jsme p˚ stopn´ık P = P1 . 2. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky m1 s osou y je p˚ udorys bokorysného stopn´ıku M1 . 3. Bokorysn´ y stopn´ık M najdeme na bokorysné stopˇe mρ a na rovnobˇeˇzce s osou z vedené bodem M1 . (Podobnˇe bychom mohli sestrojit i nárysn´ y stopn´ık, ale pro konstrukci pˇr´ımky staˇc´ı kterékoliv dva ze tˇr´ı stopn´ık˚ u.) 4. Oba stopn´ıky leˇz´ı na pˇr´ımce m, axonometrick´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky m je proto jejich spojnic´ı. (Nárysn´ y stopn´ık by leˇzel na také na pˇr´ımce m.)

Obrázek 7.17:

Obrázek 7.18:


75

Pˇ r´ıklad 7.5 Je dána rovina ρ(a, b). Sestrojte m1 , je-li dán axonometrick´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky m ∈ ρ - obr. 7.17. ˇ sen´ı: (obr.7.18) Reˇ 1. Najdeme pr˚ useˇc´ıky A, B pˇr´ımky m s pˇr´ımkami a, b. 2. Body A, B odvod´ıme na pˇr´ımky a1 a b1 a z´ıskáme jejich p˚ udorysy A1 a B1 . 3. Pˇr´ımka m1 procház´ı body A1 a B1 .

7.6.3

Pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımky s rovinou

Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky k s rovinou ρ budeme opˇet hledat metodou kryc´ı pˇ r´ımky . Podobnˇe jako v Mongeovˇe projekci vol´ıme kryc´ı pˇr´ımku s tak, aby kryc´ı pˇr´ımka leˇzela v rovinˇe ρ. Máme dvˇe moˇznosti volby této kryc´ı pˇr´ımky: bud’ se kryj´ı axonometrické pr˚ umˇety pˇr´ımek k a s a hledáme pr˚ useˇc´ık jejich p˚ udorys˚ u nebo se kryj´ı p˚ udorysy a hledáme pr˚ useˇc´ık axonometrick´ ych pr˚ umˇet˚ u pˇr´ımek k a s. V následuj´ıc´ıch dvou pˇr´ıkladech jsme volili prvn´ı moˇznost.

Obrázek 7.19:

Obrázek 7.20:

Pˇ r´ıklad 7.6 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky k s rovinou ρ, urˇcenou stopami - obr. 7.19. ˇ sen´ı: (obr. 7.20) Reˇ 1. Vol´ıme kryc´ı pˇr´ımku s tak, ˇze axonometrické pr˚ umˇety pˇr´ımek s a k splynou a s ⊂ ρ. 2. Odvod´ıme p˚ udorys pˇr´ımky s pomoc´ı stopn´ık˚ u N a M . P˚ udorys pˇr´ımky s oznaˇc´ıme s1 . 3. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek s1 a k1 je p˚ udorysem hledaného pr˚ useˇc´ıku P1 . Axonometrick´ y pr˚ umˇet bodu P odvod´ıme pomoc´ı ordinály (rovnobˇeˇzky s osou z).

Pˇ r´ıklad 7.7 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky k s rovinou ρ, urˇcenou stopami - obr. 7.21.


Obrázek 7.21:

76

Obrázek 7.22:

ˇ sen´ı: (obr. 7.22) Reˇ 1. Vol´ıme kryc´ı pˇr´ımku s tak, ˇze axonometrické pr˚ umˇety pˇr´ımek s a k splynou a s ⊂ ρ. 2. Odvod´ıme p˚ udorys pˇr´ımky s pomoc´ı pr˚ useˇc´ık˚ u A, B s pˇr´ımkami a a b. P˚ udorys pˇr´ımky s oznaˇc´ıme s1 . 3. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek s1 a k1 je p˚ udorysem hledaného pr˚ useˇc´ıku P1 . Axonometrick´ y pr˚ umˇet bodu P odvod´ıme pomoc´ı ordinály (rovnobˇeˇzky s osou z).

7.6.4

Pr˚ useˇ cnice rovin

Jsou dány roviny ρ a σ. Pokud je alespoˇ n jedna z rovin, napˇr. ρ, urˇcena obecnˇe zadan´ ymi pˇr´ımkami, najdeme dvakrát pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou σ a jejich spojnice je pr˚ useˇcnic´ı zadan´ ych rovin. Jednoduˇsˇs´ı situaci máme, jestliˇze jsou obˇe roviny zadané stopami. Poznamenejme, ˇze stopy roviny um´ıme naj´ıt pomoc´ı stopn´ık˚ u. P˚ udorysné stopy obou rovin leˇz´ı v rovinˇe xy. Jejich pr˚ useˇc´ık je p˚ udorysn´ y stopn´ık hledané pr˚ useˇcnice. Podobnˇe m˚ uˇzeme naj´ıt nárysn´ y stopn´ık jako pr˚ useˇc´ık nárysn´ ych stop a bokorysn´ y stopn´ık jako pr˚ useˇc´ık bokorysn´ ych stop. Pro urˇcen´ı pr˚ useˇcnice staˇc´ı nalézt dva z tˇechto stopn´ık˚ u. Pˇ r´ıklad 7.8 Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici rovin ρ a σ, urˇcen´ ych stopami - obr. 7.23. ˇ sen´ı: (obr. 7.24) Reˇ 1. Pr˚ useˇc´ık nárysn´ ych stop nρ a nσ je nárysn´ y stopn´ık N hledané pr˚ useˇcnice. Jeho p˚ udorys N1 leˇz´ı na ose x. 2. Pr˚ useˇc´ık bokorysn´ ych stop mρ a mσ je bokorysn´ y stopn´ık M hledané pr˚ useˇcnice. Jeho p˚ udorys M1 leˇz´ı na ose y. 3. Spojnice bod˚ u N a M je pr˚ useˇcnice rovin ρ a σ. 4. P˚ udorysn´ y stopn´ık P je pr˚ useˇc´ıkem p˚ udorysn´ ych stop a také leˇz´ı na sestrojené pr˚ useˇcnici.


Obrázek 7.23:

7.6.5

77

Obrázek 7.24:

Kruˇ znice v souˇ radnicov´ e rovinˇ e

Obrazem kruˇznice v axonometrii je elipsa, protoˇze se jedná o rovnobˇeˇzné prom´ıtán´ı. Pr˚ umˇery kruˇznice, které jsou rovnobˇeˇzné s osami leˇz´ıc´ımi v rovinˇe kruˇznice se zobraz´ı do sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u elipsy. Hlavn´ı osy elipsy z´ıskáme pomoc´ı Rytzovy konstrukce.

Obrázek 7.25:

Obrázek 7.26:

Pˇ r´ıklad 7.9 Sestroj´ıme kruˇznici se stˇredem v bodˇe S a polomˇerem 3 jednotky leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz - obr. 7.25. ˇ sen´ı: (obr. 7.26) Reˇ 1. Bodem S vedeme rovnobˇeˇzku s osou y a naneseme na ni na obˇe strany tˇrikrát jednotku jy . Z´ıskané body oznaˇc´ıme A, B. 2. Bodem S vedeme rovnobˇeˇzku s osou z a naneseme na ni na obˇe strany tˇrikrát jednotku jz . Z´ıskané body oznaˇc´ıme C, D. ´ cky AB a CD jsou sdruˇzené pr˚ 3. Useˇ umˇery elipsy, do které se zobraz´ı kruˇznice v rovinˇe yz. 4. Hlavn´ı osy sestroj´ıme pomoc´ı Rytzovy konstrukce.

´ A ´ AXONOMETRIE 7.7. PRAVOUHL

7.7

78

Pravo´ uhl´ a axonometrie

P˚ udorysnu, nárysnu a bokorysnu protneme rovinou α, která neprocház´ı poˇcátkem a prot´ıná vˇsechny tˇri osy - obr. 7.27. Pr˚ useˇc´ıky roviny α s osami oznaˇc´ıme X, Y, Z. Troj´ uheln´ık XY Z je vˇzdy ostro´ uhl´ y. Rovina α je axonometrickou pr˚ umˇ etnou, do které budeme pravo´ uhle prom´ıtat. Troj´ uheln´ıku XY Z ˇr´ıkáme axonometrick´ y troj´ uheln´ık. Tento troj´ uheln´ık se zobrazoje vˇzdy ve skuteˇcné velikosti, nebot’ leˇz´ı v axonometrické pr˚ umˇetnˇe.

Obrázek 7.27:

Obrázek 7.28:

Pod´ıvejme se, jak se zobraz´ı v pravo´ uhlé axonometrii osy x, y, z. Osa z je kolmá k rovinˇe xy, a tud´ıˇz ke vˇsem pˇr´ımkám této roviny, tedy i k pˇr´ımce XY . Pˇr´ımka XY leˇz´ı v axonometrické pr˚ umˇetnˇe. Podle vˇety 5.1 o pravo´ uhlém pr˚ umˇetu pravého u ´hlu se osa z a pˇr´ımka XY zobraz´ı jako kolmice. Stejné závˇery m˚ uˇzeme udˇelat i o ose y a pˇr´ımce XZ a ose x a pˇr´ımce Y Z. M˚ uˇzeme proto vyslovit následuj´ıc´ı vˇetu: Vˇ eta 7.2 Osy x, y, z se prom´ıtnou do výˇsek axonometrického troj´ uheln´ıka - obr. 7.28. Je-li dán axonometrick´ y troj´ uheln´ık, um´ıme sestrojit axonometrické pr˚ umˇety os. Obrácenˇe: jsou-li dány pr˚ umˇety os (axonometrick´ y osov´ y kˇr´ıˇz), m˚ uˇzeme sestrojit nekoneˇcnˇe mnoho axonometrick´ ych troj´ uheln´ık˚ u, které jsou navzájem podobné. Volbou axonometrického troj´ uheln´ıka vol´ıme axonometrickou pr˚ umˇetnu dál nebo bl´ıˇz od poˇcátku. Volba axonometrického troj´ uheln´ıka, a t´ım i axonometrické pr˚ umˇetny, nemá vliv na velikost a tvar pr˚ umˇet˚ u, protoˇze vˇsechny tyto roviny jsou navzájem rovnobˇeˇzné. Pravo´ uhlá axonometrie je speciáln´ım pˇr´ıpadem axonometrie obecné, proto ˇreˇs´ıme polohové u ´lohy stejnˇe jako v obecné axonometrii. Nav´ıc si ukáˇzeme ˇreˇsen´ı rovinn´ ych u ´loh v p˚ udorysnˇe, nárysnˇe a bokorysnˇe.

7.7.1

Metrick´ eu ´ lohy v rovin´ ach xy, yz, zx

Rovinné u ´lohy v rovinách xy, yz a zx ˇreˇs´ıme pomoc´ı otoˇcen´ı pˇr´ısluˇsné roviny do axonometrické pr˚ umˇetny. Osou otáˇcen´ı je jedna z pˇr´ımek XY , Y Z, ZX. Do axonometrické pr˚ umˇetny vˇzdy nejprve otoˇc´ıme poˇca´tek. Mezi axonometrick´ ymi pr˚ umˇety bod˚ u a jejich otoˇcen´ ymi pr˚ umˇety


79

opˇet existuje afinita, dalˇs´ı body tedy z´ıskáme pomoc´ı afinity. V otoˇcen´ı vyˇreˇs´ıme rovinnou u ´lohu (najdeme velikosti jednotek na osách, sestroj´ıme podstavu tˇelesa atd.) a v´ ysledek otoˇc´ıme zpˇet do axonometrické pr˚ umˇetny. Pro urˇcen´ı obecné axonometrie jsme museli zadat axonometrick´ y osov´ y kˇr´ıˇz s velikostmi jednotek na jednotliv´ ych osách. T´ım byla obecná axonometrie podle Pohlkeovy vˇety 7.1 jednoznaˇcnˇe urˇcena. V pravo´ uhlé axonometrii máme zadán smˇer prom´ıtán´ı a um´ıme urˇcit jednotky na osách,coˇz si ukáˇzeme v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu.

Obrázek 7.29:

Obrázek 7.30:

Pˇ r´ıklad 7.10 Je dán axonometrick´ y troj´ uheln´ık XY Z. Sestroj´ıme pr˚ umˇety os x, y, z a jednotky na osách - obr. 7.29. ˇ sen´ı: (obr. 7.30) Reˇ 1. Osy x, y, z se prom´ıtnou do v´ yˇsek axonometrického troj´ uheln´ıka XY Z. 2. Otoˇc´ıme rovinu xy kolem pˇr´ımky XY . Otáˇc´ıme bod O: rovina otáˇcen´ı je kolmá k pˇr´ımce XY a procház´ı bodem O, prom´ıtne se do pˇr´ımky k. Nemus´ıme hledat stˇred a polomˇer otáˇcen´ı, protoˇze v´ıme, ˇze pˇr´ımky x a y jsou ve skuteˇcnosti kolmé a mus´ı po otoˇcen´ı pˇrej´ıt do kolmic. Otoˇcen´ y bod O leˇz´ı na pˇr´ımce k a na Thaletovˇe kruˇznici sestrojené nad u ´seˇckou XY , oznaˇc´ıme ho (O). 3. Otoˇcená pˇr´ımka x (oznaˇc´ıme ji (x)) procház´ı bodem (O) a bodem X, kter´ y pˇri otáˇcen´ı z˚ ustává na m´ıstˇe, protoˇze leˇz´ı na ose otáˇcen´ı. 4. Otoˇcená pˇr´ımka y (oznaˇc´ıme ji (y)) procház´ı bodem (O) a bodem Y , kter´ y pˇri otáˇcen´ı z˚ ustává na m´ıstˇe, protoˇze leˇz´ı na ose otáˇcen´ı. 5. Na otoˇcen´ ych osách vyznaˇc´ıme jednotky ve skuteˇcné velikosti. 6. Pomoc´ı afinity s osou XY a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u O, (O) odvod´ıme jednotky na osy x a y. 7. Pomoc´ı otoˇcen´ı roviny yz kolem pˇr´ımky Y Z z´ıskáme stejn´ ym zp˚ usobem jednotky na ose z (a znovu na ose y). 8. Nen´ı tˇreba otáˇcet rovinu xz, protoˇze bychom jen znovu z´ıskali jednotky na osách x a z.


Obrázek 7.31:

80

Obrázek 7.32:

Pˇ r´ıklad 7.11 V pravo´ uhlé axonometrii urˇcené osov´ ym kˇr´ıˇzem sestroj´ıme obraz ˇctverce ABCD, kter´ y leˇz´ı v rovinˇe yz, je-li dána u ´hlopˇr´ıˇcka AC. - obr. 7.31. ˇ sen´ı: (obr. 7.32) Reˇ 1. Sestroj´ıme axonometrick´ y troj´ uheln´ık XY Z. Strany troj´ uheln´ıka jsou kolmé na osy x, y a z. Stranu Y Z vol´ıme tak, aby procházela bodem A (zjednoduˇs´ıme si t´ım dalˇs´ı konstrukci). 2. Pomoc´ı Thaletovy kruˇznice a kolmice bodem O k pˇr´ımce Y Z otoˇc´ıme bod O - otoˇcen´ y bod oznaˇc´ıme O0 . 3. S pouˇzit´ım afinity s osou Y Z a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u O, O0 otoˇc´ıme body A a C (bod A je samodruˇzn´ y, protoˇze jsme pˇr´ımku Y Z, neboli osu otáˇcen´ı, zvolili bodem A. Otoˇcené body oznaˇc´ıme A0 a C0 . 4. V otoˇcen´ı sestroj´ıme ˇctverec A0 B0 C0 D0 . 5. Pomoc´ı afinity otoˇc´ıme ˇctverec zpˇet a z´ıskáme axonometrick´ y obraz ˇctverce ABCD leˇz´ıc´ıho v rovinˇe yz Podobnˇe m˚ uˇzeme sestrojovat rovinné u ´tvary v rovinách xy a xz.

7.7.2

Obraz kruˇ znice leˇ z´ıc´ı v nˇ ekter´ e souˇ radnicov´ e rovinˇ e

Kruˇznici v p˚ udorysnˇe, nárysnˇe nebo bokorysnˇe m˚ uˇzeme sestrojit stejnˇe jako v pˇr´ıkladu 7.9. V pravo´ uhlé axonometrii si vˇsak m˚ uˇzeme tuto u ´lohu zjednoduˇsit. V pravo´ uhlém prom´ıtán´ı se u ´seˇcky rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇetnou zobraz´ı ve skuteˇcné velikosti a vˇsechny ostatn´ı se prom´ıtnut´ım zkrát´ı. To znamená, ˇze velikosti stran axonometrického troj´ uheln´ıka a vˇsech u ´seˇcek s nimi rovnobˇeˇzn´ ych se zobraz´ı ve skuteˇcné velikosti. Pr˚ umˇer kruˇznice k leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy rovnobˇeˇzn´ y su ´seˇckou XY se prom´ıtne do hlavn´ı osy elipsy, do které se zobraz´ı kruˇznice k. Podobnˇe hlavn´ı osa elipsy, do které se zobraz´ı kruˇznice leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz, je rovnobˇeˇzná s u ´seˇckou Y Z a rovna


81

skuteˇcnému polomˇeru kruˇznice. Hlavn´ı osa elipsy, do které se zobraz´ı kruˇznice leˇz´ıc´ı v rovinˇe zx, je rovnobˇeˇzná s u ´seˇckou ZX a rovna skuteˇcnému polomˇeru kruˇznice. Protoˇze pravo´ uhlé prom´ıtán´ı zachovává rovnobˇeˇznost, m˚ uˇzeme naj´ıt dalˇs´ı bod kruˇznice na rovnobˇeˇzkách veden´ ymi hlavn´ımi vrcholy elipsy s osami leˇz´ıc´ımi v rovinˇe kruˇznice.

Obrázek 7.33:

Obrázek 7.34:

Pˇ r´ıklad 7.12 V pravo´ uhlé axonometrii urˇcené axonometrick´ ym troj´ uheln´ıkem sestrojte kruˇznici m(V ; r1 ) leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy a kruˇznici n(U ; r2 ) leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz - obr. 7.33. ˇ sen´ı: (obr. 7.34) Reˇ 1. Sestroj´ıme osy x, y, z jako v´ yˇsky axonometrického troj´ uheln´ıka XY Z. 2. Bodem V vedeme rovnobˇeˇzku s pˇr´ımkou XY a naneseme na ni na obˇe strany velikost r1 . Body oznaˇc´ıme A a B, jsou to hlavn´ı vrcholy elipsy m. 3. Bodem A vedeme rovnobˇeˇzku s osou x a bodem B rovnobˇeˇzku s osou y, jejich pr˚ useˇc´ık je bod M . Bod M je bodem elipsy. Nyn´ı m˚ uˇzeme pomoc´ı prouˇzkové konstrukce (nen´ı v obrázku vyznaˇcena) sestrojit vedlejˇs´ı osu hledané elipsy a tedy i celou elipsu m. 4. Elipsa m je obrazem hledané kruˇznice m(V ; r1 ). 5. Podobnˇe sestroj´ıme obraz kruˇznice n(U ; r2 ) v rovinˇe yz: hlavn´ı osa CD elipsy je rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou Y Z a jej´ı velikost je rovna polomˇeru r2 . Bod N je pr˚ useˇc´ıkem rovnobˇeˇzek veden´ ych body C a D s osami z a y. K sestrojen´ı elipsy pouˇzijeme opˇet prouˇzkovou konstrukci. Stejnˇe bychom setrojili i kruˇznici v rovinˇe xz a kruˇznice v rovinách rovnobˇeˇzn´ ych s rovinami xy, yz a xz. Nyn´ı um´ıme sestrojit rovinn´ y u ´tvar v p˚ udorysnˇe, nárysnˇe a bokorysnˇe. To znamená, ˇze um´ıme sestrojit základn´ı tˇelesa jako hranoly, válce, kuˇzele a jehlany s podstavou v tˇechto rovinách. V dalˇs´ı kapitole se jeˇstˇe nauˇc´ıme ˇreˇsit pr˚ uniky tˇechto tˇeles s pˇr´ımkami a rovinami.


7.8

82


7.1 Uved’te, ˇc´ım je obecnˇe urˇcena axonometrie. 7.2 Uved’te dva základn´ı zp˚ usoby urˇcen´ı pravo´ uhlé axonometrie a popiˇste vzájemn´ y vztah mezi urˇcuj´ıc´ımi prvky v prvn´ım a druhém zp˚ usobu urˇcen´ı. 7.3 Jakou konstrukci elipsy vyuˇzijete pˇri zobrazen´ı kruˇznice v pravo´ uhlé, resp. obecné axonometrii?

Kapitola 8 ´ Ulohy na element´ arn´ıch ploch´ ach a tˇ elesech 8.1

ˇ Rezy na element´ arn´ıch ploch´ ach

V následuj´ıc´ı podkapitole budeme ˇreˇsit ˇrezy na elementárn´ıch plochách. Pláˇstˇem elementárn´ıho tˇelesa je pˇr´ısluˇsná elementárn´ı plocha, tzn. pokud provád´ıme ˇrez na tˇelese, mus´ıme sestrojit ˇrez plochou a popˇr. doplnit pr˚ unik roviny ˇrezu s podstavou tˇelesa. ˇ • Rez hranolovou a jehlanovou plochou, popˇ r. hranolu a jehlanu Je dán hranol nebo jehlan s podstavou v rovinˇe σ a rovina ˇrezu ρ.

Obrázek 8.1:

Obrázek 8.2:

Postup ˇ reˇ sen´ı: 1. Urˇc´ıme pr˚ useˇcnici rovin σ a ρ. (o = σ ∩ ρ) 83

ˇ ´ ÍCH PLOCHACH ´ 8.1. REZY NA ELEMENTARN

84

2. Najdeme jeden bod ˇrezu jako pr˚ unik jedné hrany s rovinou ρ. 3. a) Pro hranol vyuˇzijeme k sestrojen´ı dalˇs´ıch bod˚ u ˇrezu osovou afinitu, která je urˇcena osou o = σ ∩ ρ, smˇerem afinity, kter´ y je dán hranou hranolu a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u, kter´ ymi jsou bod podstavy a bod ˇrezu leˇz´ıc´ı na jedné hranˇe (obr.8.1). b) Pro jehlan vyuˇzijeme k sestrojen´ı dalˇs´ıch bod˚ u ˇrezu stˇredovou kolineaci, která je urˇcena osou o = σ ∩ ρ, stˇredem kolineace, kter´ ym je vrchol jehlanu a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u, kter´ ymi jsou bod podstavy a bod ˇrezu leˇz´ıc´ı na jedné hranˇe (obr.8.2). ˇ • Rez v´ alcovou a kuˇ zelovou plochou, popˇ r. v´ alce a kuˇ zele Je dán válec nebo kuˇzel s podstavou v rovinˇe σ a rovina ˇrezu ρ. Postup ˇ reˇ sen´ı: V pˇr´ıpadˇe obecné válcové nebo kuˇzelové plochy sestroj´ıme dostateˇcn´ y poˇcet bod˚ u ˇrezu následuj´ıc´ım zp˚ usobem a proloˇz´ıme jimi kˇrivku. Pokud v´ıme, ˇze ˇrezem dané plochy je známá kˇrivka, kterou um´ıme sestrojit ze zadan´ ych prvk˚ u, m˚ uˇzeme naj´ıt tyto prvky a ˇrez dokonˇcit jinou konstrukc´ı (napˇr. ˇrezem rotaˇcn´ıho kuˇzele bude kuˇzeloseˇcka, která je podle Pascalovy vˇety urˇcena napˇr. pˇeti body nebo tˇremi body a dvˇema teˇcnami apod.) ˇ setrojujeme podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe, jen m´ısto hran pouˇzijeme povrˇsky. Rez 1. Urˇc´ıme pr˚ useˇcnici rovin σ a ρ = o. (o = σ ∩ ρ) 2. Najdeme jeden bod ˇrezu jako pr˚ unik jedné povrˇsky s rovinou ρ. 3. a) Pro válec vyuˇzijeme k sestrojen´ı dalˇs´ıch bod˚ u ˇrezu osovou afinitu, která je urˇcena osou o = σ ∩ ρ, smˇerem afinity, kter´ y je rovnobˇeˇzn´ y s osou válce a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u, kter´ ymi jsou bod podstavy a bod ˇrezu leˇz´ıc´ı na jedné povrˇsce. b) Pro kuˇzel vyuˇzijeme k sestrojen´ı dalˇs´ıch bod˚ u ˇrezu stˇredovou kolineaci, která je urˇcena osou o = σ ∩ ρ, stˇredem kolineace, kter´ ym je vrchol kuˇzele a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u, kter´ ymi jsou bod podstavy a bod ˇrezu leˇz´ıc´ı na jedné povrˇsce. ˇ • Rez kulov´ e plochy Je dána kulová plocha se stˇredem S a polomˇerem r a rovina ˇrezu ρ. Postup ˇ reˇ sen´ı: ˇ Rezem kulové plochy rovinou ρ je kruˇznice l leˇz´ıc´ı v této rovinˇe. Je tˇreba naj´ıt jej´ı stˇred O a polomˇer R. 1. Stˇred O kruˇznice l leˇz´ı na pˇr´ımce k kolmé k rovinˇe ρ: k ⊥ ρ, S ∈ k. 2. O = k ∩ ρ. 3. Urˇc´ıme vzdálenost |OS|. Podle Pythagorovy vˇety R =

q

r2 − |OS|2 .

4. Kruˇznice ˇrezu l ≡ (O; R). Pˇ r´ıklad 8.1 Sestroj´ıme ˇrez jehlanu, kter´ y má podstavu v rovinˇe xy a vrchol V rovinou ρ obr. 8.4.

ˇ ´ ÍCH PLOCHACH ´ 8.1. REZY NA ELEMENTARN

85

Obrázek 8.3: ˇ sen´ı: (obr.8.5) Reˇ 1. Podstava jehlanu leˇz´ı v rovinˇe xy, pr˚ useˇcnic´ı roviny ˇrezu a roviny podstavy je p˚ udorysná stopa pρ . 2. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık A0 hrany AV s rovinou ρ pomoc´ı kryc´ı pˇr´ımky s (A01 = A1 V1 ∩ s1 ). 3. S vyuˇzit´ım kolineace se stˇredem V , osou pρ a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A, A0 , sestroj´ıme dalˇs´ı body ˇrezu (napˇr. D0 ∈ DV a DA ∩ D0 A0 ∈ pρ ).

Obrázek 8.4:

Obrázek 8.5:

ˇ ÍK PR ˇ ÍMKY A ELEMENTARN ´ Í PLOCHY 8.2. PR˚ USEC

8.2

86

Pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımky a element´ arn´ı plochy

Postup ˇ reˇ sen´ı: 1. Proloˇz´ıme pˇr´ımkou rovinu ρ. 2. Najdeme ˇrez plochy rovinou ρ. 3. Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky a ˇrezu. V pˇr´ıpadˇe kulové plochy vol´ıme libovolnou rovinu, sestroj´ıme ˇrez (ˇrezem je vˇzdy kruˇznice) a najdeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky s kruˇznic´ı ˇrezu. Speciálnˇe je moˇzné volit rovinu procházej´ıc´ı stˇredem kulové plochy. Stˇred kruˇznice ˇrezu je potom totoˇzn´ y se stˇredem kulové plochy a jej´ı polomˇer je shodn´ y s polomˇerem kulové plochy. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech je vhodné volit vrcholovou rovinu. Pro kuˇzelovou a jehlanovou plochu procház´ı vrcholová rovina vrcholem plochy. Pokud pˇr´ımka prot´ıná plochu, pak jsou ˇrezem vrcholovou rovinou r˚ uznobˇeˇzné pˇr´ımky. Pro válcovou a hranolovou plochu je vrcholová rovina rovnobˇeˇzná s povrˇskami nebo hranami ˇ vrcholovou rovinou jsou, v pˇr´ıpadˇe, ˇze plochy (procház´ı nevlastn´ım vrcholem plochy). Rezem pˇr´ımka plochu prot´ıná, rovnobˇeˇzky. Pˇ r´ıklad 8.2 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s pláˇstˇem válce, kter´ y má podstavu v rovinˇe xy obr. 8.6. ˇ sen´ı: (obr.8.7) Reˇ 1. Vrcholová rovina ρ je urˇcena pˇr´ımkou p a je rovnobˇeˇzná s osou válce. (Vedeme pˇr´ımku n r˚ uznobˇeˇznou s pˇr´ımkou p a rovnobˇeˇznou s osou o - ρ(p, n). 2. Sestroj´ıme ˇrez válce vrcholovou rovinou: a) Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici roviny ˇrezu a roviny podstavy. Protoˇze podstava leˇz´ı v rovinˇe xy, sestroj´ıme p˚ udorysnou stopu pρ roviny ρ (sestroj´ıme p˚ udorysné stopn´ıky pˇr´ımek p, n). b) Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky X 0 , Y 0 stopy pρ a podstavy válce. ˇ c) Rezem válcové plochy vrcholovou rovinou ρ jsou pˇr´ımky r, q procházej´ıc´ı body X 0 , Y 0 a rovnobˇeˇzné s osou o válce. 3. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky X, Y pˇr´ımky p s ˇrezem válcové plochy vrcholovou rovinou (pˇr´ımky r, q).

Pˇ r´ıklad 8.3 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s pláˇstˇem jehlanu ABCDV , kter´ y má podstavu ABCD v rovinˇe yz - obr. 8.8. ˇ sen´ı: (obr.8.9) Reˇ 1. Vrcholová rovina ρ je urˇcena pˇr´ımkou p a vrcholem V jehlanu. (vedeme pˇr´ımku n rovnobˇeˇznou (m˚ uˇzeme vést i r˚ uznobˇeˇzku) s pˇr´ımkou p a procházej´ıc´ı vrcholem V - ρ(p, n). 2. Sestroj´ıme ˇrez jehlanu vrcholovou rovinou:

ˇ ÍK PR ˇ ÍMKY A ELEMENTARN ´ Í PLOCHY 8.2. PR˚ USEC

Obrázek 8.6:

87

Obrázek 8.7:

a) Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici roviny ˇrezu a roviny podstavy. Protoˇze podstava leˇz´ı v rovinˇe yz, sestroj´ıme bokorysnou stopu mρ roviny ρ (sestroj´ıme bokorysné stopn´ıky pˇr´ımek p, n). b) Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky X 0 , Y 0 stopy mρ a podstavy jehlanu. ˇ c) Rezem jehlanové plochy vrcholovou rovinou ρ jsou pˇr´ımky r, q procházej´ıc´ı body X 0 , Y 0 a vrcholem V jehlanu. 3. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky X, Y pˇr´ımky p s ˇrezem jehlanové plochy vrcholovou rovinou (pˇr´ımky r, q). Pˇ r´ıklad 8.4 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s kulovou plochou κ. Kulová plocha je urˇcena stˇredem S a polomˇerem r - obr. 8.10. ˇ sen´ı: (obr.8.11) Reˇ 1. Sestroj´ıme ˇrez rovinou ρ, která je urˇcena pˇr´ımkou p a stˇredem S kulové plochy κ. (bodem S vedeme horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımku h, r˚ uznobˇeˇznou s pˇr´ımkou p - ρ(p, h). 2. Sestroj´ıme ˇrez kulové plochy κ rovinou ρ (ˇrezem je kruˇznice k se stˇredem S a polomˇerem r) a najdeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s ˇrezem: a) Otoˇc´ıme rovinu ρ kolem hlavn´ı pˇr´ımky h do polohy rovnobˇeˇzné s p˚ udorysnou (sestroj´ıme otoˇcenou pˇr´ımku p a ˇrez). V otoˇcen´ı se ˇrez zobraz´ı jako kruˇznice k0 (jej´ı stˇred je bod S1 = S0 , kter´ y pˇri otáˇcen´ı z˚ ustane na m´ıstˇe, protoˇze leˇz´ı na ose otáˇcen´ı a polomˇer je shodn´ y s polomˇerem kulové plochy). b) V otoˇcen´ı urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky X0 , Y0 pˇr´ımky p0 a kruˇznice ˇrezu k0 . c) Pr˚ useˇc´ıky otoˇc´ıme zpˇet do p˚ udorysu a odvod´ıme po ordinálách do nárysu. 3. Urˇc´ıme viditelnost.

´ ´ 8.3. PR˚ UNIK JEHLANOVYCH A HRANOLOVYCH PLOCH

8.3

Obrázek 8.8:

Obrázek 8.9:

Obrázek 8.10:

Obrázek 8.11:

88

Pr˚ unik jehlanov´ ych a hranolov´ ych ploch

Hledáme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u spoleˇcn´ ych stˇenám obou ploch. V´ ysledkem je jeden nebo v´ıce polygon˚ u (nemus´ı b´ yt rovinné). Vrcholy polygonu jsou pr˚ useˇc´ıky hran jedné plochy se stˇenami druhé plochy. Strany polygonu jsou pr˚ useˇcnicemi stˇen polygon˚ u. Tyto strany m˚ uˇzeme sestrojit jako spojnice vrchol˚ u, ale jen tˇech, které leˇz´ı ve stejné stˇenˇe obou ploch. Postup ˇ reˇ sen´ı:


89

Protoˇze pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s jehlanem nebo hranolem hledáme pomoc´ı vrcholové roviny, m˚ uˇzeme tuto metodu vyuˇz´ıt pˇri hledán´ı pr˚ uniku jehlanov´ ych a hranolov´ ych ploch. 1. 2. 3. 4. 5.

Sestroj´ıme spojnici r vrchol˚ u ploch (u hranolu pracujeme s nevlastn´ım vrcholem). Najdeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky r s rovinami podstav. Sestroj´ıme roviny, které jsou urˇceny pˇr´ımkou r a jednotliv´ ymi vrcholy podstav. Urˇc´ıme pr˚ unik kaˇzdé roviny s podstavami tˇeles a urˇc´ıme pr˚ unik hrany s druh´ ym tˇelesem. Spoj´ıme z´ıskané body lomenou ˇca´rou.

Pˇ r´ıklad 8.5 Sestrojte pr˚ unik dvou jehlan˚ u s podstavami v rovinách xy a xz. - obr. 8.13. ˇ sen´ı: (obr.8.13) Reˇ 1. Sestroj´ıme spojnici r vrchol˚ u U a V jehlan˚ u. 2. Najdeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky r s rovinami podstav. Pr˚ useˇc´ıky P a N jsou p˚ udorysn´ y a nárysn´ y stopn´ık, protoˇze podstavy leˇz´ı v rovinách xy a xz. 3. Sestroj´ıme vrcholové roviny, které jsou urˇceny pˇr´ımkou r a jednotliv´ ymi vrcholy podstav. 4. Urˇc´ıme pr˚ unik kaˇzdé roviny s podstavami tˇeles a urˇc´ıme pr˚ unik hrany s druh´ ym tˇelesem. 5. Spoj´ıme z´ıskané body lomenou ˇca´rou.


Obrázek 8.12:

Obrázek 8.13:

90

ˇ A ´ ROVINA 8.4. TECN

8.4

91

Teˇ cn´ a rovina

Teˇ cn´ a rovina kuˇzelové nebo válcové plochy je urˇcena povrˇskou p a teˇcnou t ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice k v bodˇe T = p ∩ t. Pˇ r´ıklad 8.6 Je dán kuˇzel s vrcholem V a podstavou v rovinˇe xy. Bodem B sestroj´ıme teˇcné roviny k zadanému kuˇzeli - obr. 8.14. ˇ sen´ı: (obr.8.15) Reˇ 1. Teˇcná rovina se dot´ yká kuˇzele podél jeho povrˇsky, proto také vrchol V (a pˇr´ımka BV ) leˇz´ı v teˇcné rovinˇe. 2. Sestroj´ıme pˇr´ımku BV a najdeme jej´ı pr˚ useˇc´ık P s rovinou podstavy. Protoˇze podstava leˇz´ı v rovinˇe xy, je pr˚ useˇc´ıkem P p˚ udorysn´ y stopn´ık pˇr´ımky BV . ρ σ 3. Sestroj´ıme teˇcny p a p z bodu P k podstavˇe kuˇzele. Dotykové body oznaˇc´ıme R a Q. 4. Teˇcná rovina je urˇcena pˇr´ımkou pρ popˇr. pσ (coˇz je zároveˇ n jej´ı p˚ udorysná stopa, protoˇze bod P i podstava kuˇzele leˇz´ı v p˚ udorysnˇe) a povrˇskou RV popˇr. QV .

Obrázek 8.14:

8.5

Obrázek 8.15:


8.1 Uved’te, jak vyuˇz´ıváme afinitu a kolineaci pˇri urˇcován´ı ˇrez˚ u. ˇ ım je urˇcena teˇcná rovina k válcové resp. kuˇzelové ploˇse? 8.2 C´ 8.3 Kolik teˇcn´ ych rovin m˚ uˇzeme vést vnˇejˇs´ım bodem k rotaˇcn´ı kuˇzelové ploˇse? 8.4 Vyznaˇcte spoleˇcné body pˇr´ımky p a dané plochy na obr. 8.16 a), b), c).


92

Obrázek 8.16:

Kapitola 9 Mnohoˇ cleny a algebraick´ e rovnice 9.1

Pojem mnohoˇ clenu (polynomu) v jedn´ e promˇ enn´ e

Pˇripomeˇ nme, ˇze v´ yraz˚ um typu a2 x 2 + a1 x + a0 ˇ ısl˚ ˇr´ıkáme kvadratick´ y trojˇ clen, kdyˇz a2 6= 0. C´ um a0 , a1 , a2 ˇr´ıkáme koeficienty a p´ısmenem x oznaˇcujeme promˇennou. Naznaˇcujeme t´ım, ˇze za x lze dosazovat r˚ uzná ˇc´ısla (reálná ˇci komplexn´ı). Mnoˇzinu reáln´ ych ˇc´ısel dále znaˇc´ıme symbolem R a mnoˇzinu komplexn´ıch ˇc´ısel oznaˇcujeme C. Napˇr´ıklad pro kvadratick´ y trojˇclen 3x2 − 5x + 1 po dosazen´ı x=0 x = −2

dostaneme 3 · 02 − 5 · 0 + 1 = 1 (hodnota v bodˇe x = 0), dostaneme 3 · (−2)2 − 5 · (−2) + 1 = 23 (hodnota v bodˇe x = −2).

Definice 9.1 Výraz tvaru an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 =

n X

ak x k ,

an 6= 0

(9.1)

k=0

ˇ ısla (reálná, resp. komplexn´ı) se nazývá mnohoˇ clen v promˇ enn´ e x. C´ ak , k = 0, 1, 2, . . . , n, n ∈ N (N je mnoˇzina pˇrirozených ˇc´ısel), se nazývaj´ı koeficienty mnohoˇ clenu. Exponent n, tedy nejvyˇsˇs´ı mocnitel x ve ˇclenech s nenulovým koeficientem, ud´ av´ a stupeˇ n polynomu. Nam´ısto názvu mnohoˇclen se pro výraz (9.1) pouˇz´ıvá také oznaˇcen´ı polynom n-t´ eho stupnˇ e v promˇ enn´ e x (v dalˇs´ım textu budeme pouˇz´ıvat oznaˇcen´ı polynom ” v jedné promˇenné“). ˇ ıslo Definice 9.2 C´

n X

ak αk = an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + α

k=0

se nazývá hodnota polynomu v bodˇ e α. Pˇ r´ıklad 9.1 Je dán polynom x4 − 4x3 − 76x2 + 324x − 405. Vypoˇcteme hodnotu v bodech α1 = −1 a α2 = 2 + i. 93

´ OPERACE S POLYNOMY V JEDNE ´ PROMENN ˇ ´ 9.2. ALGEBRAICKE E

94

ˇ sen´ı: Hodnota v bodˇe α1 = −1: Reˇ (−1)4 − 4(−1)3 − 76(−1)2 + 324(−1) − 405 = 1 + 4 − 76 − 324 − 405 = −800 . Hodnota v bodˇe α2 = 2 + i: (2 + i)4 − 4(2 + i)3 − 76(2 + i)2 + 324(2 + i) − 405 = = (−7 + 24i) − 4(2 + 11i) − 76(3 + 4i) + 324(2 + i) − 405 = 0 .

(9.2)

Definice 9.3 Polynom, který má vˇsechny koeficienty rovny nule, se nazývá nulov´ y polynom.

Pro nulov´ y polynom nedefinujeme stupeˇ n. Mezi vˇsemi polynomy je pouze jeden nulov´ y polynom.

9.2

Algebraick´ e operace s polynomy v jedn´ e promˇ enn´ e n P

Definice 9.4 Dva polynomy

ak xk , an 6= 0, a

k=0

ak = b k

n P

bk xk , bn 6= 0, si jsou rovny, je-li

k=0

pro k = 0, 1, 2, . . . , n ,

tj. rovnaj´ı-li se koefiecienty u stejných mocnin x. Pˇ r´ıklad 9.2 Urˇc´ıme koeficienty A, B, C polynomu A(x2 + 1) + Bx2 + Cx(x2 + 1) tak, aby byl roven polynomu x3 + x + 1. ´ ˇ sen´ı: Upravou Reˇ dostáváme A(x2 + 1) + Bx2 + Cx(x2 + 1) = Cx3 + (A + B)x2 + Cx + A . Z rovnosti Cx3 + (A + B)x2 + Cx + A = x3 + x + 1 dostaneme porovnán´ım koeficient˚ u u stejn´ ych mocnin x podm´ınky C = 1, takˇze A = 1, B = −1, C = 1.

A + B = 0,

A=1,

9.3. PODÍL DVOU POLYNOM˚ U

95

Polynomy m˚ uˇzeme (stejnˇe jako ˇc´ısla) seˇc´ıtat, odeˇc´ıtat, násobit i dˇelit. Sˇc´ıtat a odeˇc´ıtat polynomy budeme podle pravidel pro poˇc´ıtán´ı s mocninami: (3x2 − x + 7) + (5x4 − 7x2 + 12x − 1) = = 5x4 + (3 − 7)x2 + (−1 + 12)x + (7 − 1) = 5x4 − 4x2 + 11x + 6 , (3x2 − x + 7) − (5x4 − 7x2 + 12x − 1) = = −5x4 + (3 + 7)x2 + (−1 − 12)x + (7 + 1) = −5x4 + 10x2 − 13x + 8 . Násobit polynomy budeme podle distributivn´ıho zákona, tj. násob´ıme kaˇzd´ y ˇclen jednoho polynomu s kaˇzd´ ym ˇclenem druhého polynomu: (x2 + 1)(x3 − x) = x5 + x3 − x3 − x = x5 − x . Vid´ıme, ˇze souˇcet, rozd´ıl i souˇcin polynom˚ u je opˇet polynom. Jsou-li si dva polynomy rovny, jejich rozd´ıl je nulov´ y polynom. Dˇelen´ı polynom˚ u je sloˇzitˇejˇs´ı a (jak uvid´ıme v dalˇs´ım textu) v´ ysledkem nen´ı vˇzdy polynom.

9.3

Pod´ıl dvou polynom˚ u

Dˇelen´ı polynomu polynomem nultého stupnˇe (tj. nenulovou konstantou) je definováno takto: an−1 n−1 a1 an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 an a0 = xn + x + ··· + x + . b0 b0 b0 b0 b0 Dˇelen´ı polynom˚ u definujeme obecnˇe podobnˇe jako dˇelen´ı pˇrirozen´ ych ˇc´ısel: 11 4

=2+

3 4

⇒

11 = 2 · 4 + 3 (dˇelen´ı se zbytkem, pod´ıl nen´ı pˇrirozené ˇc´ıslo), (9.3)

12 4

=3

⇒

12 = 3 · 4

(dˇelen´ı beze zbytku, pod´ıl je pˇrirozené ˇc´ıslo) .

Chceme-li stanovit pod´ıl polynom˚ u P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 a S(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 (pro nenulov´ y S(x)), mus´ıme naj´ıt polynomy Q(x) a R(x) tak, aby platil vztah R(x) P (x) = Q(x) + , S(x) S(x)

(9.4)

P (x) = S(x)Q(x) + R(x)

(9.5)

neboli (srovnej s (9.3) pro dˇelen´ı pˇrirozen´ ych ˇc´ısel). Pokud stupeˇ n polynomu S(x) je vˇetˇs´ı neˇz stupeˇ n P (x), pak Q(x) = 0 a R(x) = P (x). Postup, kter´ y pro dané polynomy P (x) a S(x) urˇc´ı polynom Q(x) (tj. pod´ıl, resp. ˇ c´ asteˇ cn´ y pod´ıl) a polynom R(x) (tj. zbytek), se naz´ yvá algoritmus dˇ elen´ı polynom˚ u.

9.4. HORNER˚ UV ALGORITMUS

96

Pˇ r´ıklad 9.3 Vypoˇcteme pod´ıl, resp. ˇca´steˇcn´ y pod´ıl, polynom˚ u x3 − 2x2 + x − 1, x2 − 3x + 2. ˇ sen´ı: Reˇ

(x3 − 2x2 + ±x3 ∓ 3x2 ± x2 − ±x2 ∓

x − 1) : (x2 − 3x + 2) = x + 1 (ˇcásteˇcn´ y pod´ıl) 2x x−1 3x ± 2 2x − 3 (zbytek)

Tedy x3 − 2x2 + x − 1 2x − 3 =x+1+ 2 , 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 resp. x3 − 2x2 + x − 1 = (x2 − 3x + 2)(x + 1) + 2x − 3 . (Srovnej s (9.3).)

9.4

Horner˚ uv algoritmus

Ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe, kdyˇz dˇel´ıme polynom P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 lineárn´ım polynomem (polynomem prvn´ıho stupnˇe) S(x) = x − α ,

kde α je dané ˇc´ıslo,

je algoritmus dˇelen´ı velmi jednoduch´ y a naz´ yvá se Horner˚ uv algoritmus. Neˇz si jej uvedeme, pˇripomeˇ nme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe maj´ı vzorce (9.4) a (9.5) tvar P (x) R = Q(x) + , x−α x−α

(9.6)

P (x) = (x − α)Q(x) + R ,

(9.7)

resp. kde R je polynom nultého stupnˇe (konstanta) a je to hodnota polynomu P (x) pro x = α. Je totiˇz P (α) = (α − α)Q(x) + R = 0 · Q(x) + R = R . Tento poznatek bude velice d˚ uleˇzit´ y pˇri urˇcován´ı koˇren˚ u algebraick´ ych rovnic (odst. 9.5). ’ Uved me nyn´ı r˚ uzné verze algoritmu dˇelen´ı lineárn´ım ˇcinitelem.

9.4. HORNER˚ UV ALGORITMUS

97

1. verze algoritmu (7x4 −2x3 +3x ±7x4 ±7x3 −9x3 +3x ∓9x3 ∓9x2 9x2 ±9x2

+8) : (x + 1) = 7x3 − 9x2 + 9x − 6 +8 +3x ±9x −6x ∓6x

+8 +8 ∓6 14

(zbytek)

Je tedy 7x4 − 2x3 + 3x + 8 14 = 7x3 − 9x2 + 9x − 6 + x+1 x+1

⇒

R = P (−1) = 14 .

(9.8)

2. verze algoritmu Polynom P (x) = 7x4 − 2x3 + 3x + 8 nap´ıˇseme ve tvaru P (x) = (((7x − 2)x + 0)x + 3)x + 8 .

(9.9)

Pro x = −1 poˇc´ıtáme hodnoty jednotliv´ ych závorek: q3 q2 q1 q0 R

= a4 = 7(−1) − 2 = q3 α + a3 = −9(−1) + 0 = q2 α + a2 = 9(−1) + 3 = q1 α + a1 = −6(−1) + 8 = q0 α + a0

=7 = −9 =9 = −6 = 14 = P (α)

Z´ıskaná ˇc´ısla q0 , q1 , q2 , q3 jsou koeficienty polynomu Q(x), je tedy Q(x) = 7x3 −9x2 +9x−6. 3. verze algoritmu Uprav´ıme-li polynom do tvaru (9.9), lze pomoc´ı kalkulátoru velice snadno vypoˇc´ıtat koeficienty polynomu Q(x) i hodnotu P (−1). 4. verze algoritmu Pˇredchoz´ı postup se dá zapsat do schématu, kter´ y se dobˇre pamatuje (v prvn´ım ˇrádku jsou koeficienty polynomu P (x)): a4 = 7 a3 = −2 a2 = 0 a1 = 3 a0 = 8 −7 9 −9 6 −1 q3 = 7 q2 = −9 q1 = 9 q0 = −6 14 = P (−1) Postup v´ ypoˇctu: 1. q3 = a4 = 7; 2. q2 = αq3 + a3 = (−1) · 7 − 2 = −9; 3. q1 = αq2 + a2 = (−1) · (−9) + 0 = 9; 4. q0 = αq1 + a1 = (−1) · 9 + 3 = −6; 5. P (−1) = αq0 + a0 = (−1) · (−6) + 8 = 14. Tato verze Hornerova algoritmu je známa pod názvem Hornerovo sch´ ema.

´ ROVNICE 9.5. ALGEBRAICKE

9.5

98

Algebraick´ e rovnice

Koˇ ren rovnice a z´ akladn´ı vˇ eta algebry Rovnice typu an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 ,

(9.10)

kde ak pro k = 0, 1, 2, . . . , n jsou daná ˇc´ısla (tzv. koeficienty rovnice) a an 6= 0, se naz´ yvá algebraick´ a rovnice n-t´ eho stupnˇ e v promˇ enn´ e x. Na levé stranˇe rovnice je polynom n P k P (x) = ak x obecnˇe s komplexn´ımi koeficienty. k=0

ˇ sen´ı (koˇ Reˇ ren) rovnice (9.10) je ˇc´ıslo α takové, ˇze P (α) = 0. Plat´ı následuj´ıc´ı velice d˚ uleˇzitá základn´ı vˇeta algebry, kterou uvád´ıme bez d˚ ukazu: Vˇ eta 9.1 Kaˇzdá algebraická rovnice má v oboru komplexn´ıch ˇc´ısel alespoˇ n jeden koˇren. Jinými slovy: Pro kaˇzdou algebraickou rovnici (je lhostejné, zda koeficienty jsou komplexn´ı ˇci reálné) existuje alespoˇ n jedno ˇc´ıslo, které je koˇrenem této rovnice. Je-li ˇc´ıslo α koˇrenem rovnice (9.10), je ve vztahu (9.7) R = 0 a plat´ı tedy rovnost P (x) = (x − α)Q(x) , kde Q(x) je polynom stupnˇe n − 1. Lineárn´ı polynom x − α se naz´ yvá koˇ renov´ yˇ cinitel. Pˇ r´ıklad 9.4 Jedn´ım koˇrenem rovnice x3 −2x2 −x+2 = 0 je ˇc´ıslo 1. Vypoˇcteme ostatn´ı koˇreny. ˇ sen´ı: Dˇelen´ım polynomu x3 − 2x2 − x + 2 koˇrenov´ Reˇ ym ˇcinitelem x − 1 (napˇr. Hornerov´ ym schématem) zjist´ıme, ˇze rovnici lze psát ve tvaru (x − 1)(x2 − x − 2) = 0 . Dalˇs´ı koˇreny zjist´ıme ˇreˇsen´ım kvadratické rovnice x2 − x − 2 = 0 . Koˇreny této kvadratické rovnice jsou ˇc´ısla −1 a 2. Daná rovnice tˇret´ıho stupnˇe má tedy koˇreny 1, −1, 2. Z pˇredchoz´ıho vid´ıme, ˇze známe-li koˇren α algebraické rovnice n-tého stupnˇe, m˚ uˇzeme dˇelen´ım koˇrenov´ ym ˇcinitelem x − α dostat algebraickou rovnici stupnˇe n − 1. Opakován´ım tohoto postupu lze tedy polynom na levé stranˇe rovnice rozloˇzit na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn ) , kde α1 , α2 , . . . , αn jsou koˇreny algebraické rovnice an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 = 0. Vyskytujeli se v rozkladu koˇrenov´ y ˇcinitel x − αi k-krát, naz´ yvá se koˇren αi k-násobn´ y koˇren algebraické rovnice P (x) = 0. Maj´ı-li koˇreny α1 , α2 , . . . , αk násobnosti k1 , k2 , . . . , kr , kde r ≤ n a k1 + k2 + · · · + kr = n, pak rozklad polynomu lze zapsat ve tvaru an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 · · · (x − αr )kr .

´ ROVNICE 9.5. ALGEBRAICKE

99

Pˇ r´ıklad 9.5 Jedn´ım koˇrenem rovnice 8x3 − 36x2 + 54x − 27 = 0 je ˇc´ıslo α1 = 23 . Vypoˇcteme ostatn´ı koˇreny. ˇ sen´ı: Dˇelen´ım zadaného polynomu 8x3 −36x2 +54x−27 polynomem (koˇrenov´ Reˇ ym ˇcinitelem) 3 2 x − 2 z´ıskáme polynom 8x − 24x + 18, ˇreˇs´ıme tedy rovnici 8x2 − 24x + 18 = 0

⇒

4x2 − 12x + 9 = 0

⇒

α2,3 =

3 . 2

Daná rovnice má tedy jeden trojnásobn´ y koˇren α1,2,3 = 32 . Pozn´ amka 9.1 Rozklad polynomu 8x3 − 36x2 + 54x − 27 na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u má tvar 3 3 3 2 8x − 36x + 54x − 27 = 8 x − . 2 Vlastnosti koˇ ren˚ u algebraick´ e rovnice s re´ aln´ ymi koeficienty 1. Má-li algebraická rovnice s reáln´ ymi koeficienty komplexn´ı koˇren α = a + bi, má také koˇren α = a − bi (ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzené k α). 2. Má-li algebraická rovnice s reáln´ ymi koeficienty v´ıcenásobn´ y komplexn´ı koˇren, potom ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzené je také v´ıcenásobn´ ym koˇrenem této rovnice a násobnosti obou koˇren˚ u jsou stejné. 3. Má-li algebraická rovnice s reáln´ ymi koeficienty komplexn´ı koˇreny, je jejich poˇcet sud´ y. 4. Kaˇzdá algebraická rovnice s reáln´ ymi koeficienty lichého stupnˇe má alespoˇ n jeden reáln´ y koˇren. √ Pˇ r´ıklad 9.6 Jedn´ım koˇrenem rovnice x4 − 8x3 + 26x2 − 36x + 24 = 0 je ˇc´ıslo α1 = 3 − 3i. Vypoˇcteme ostatn´ı koˇreny. √ ˇ sen´ı: Druh´ Reˇ ym koˇrenem je ˇc´ıslo α2 = 3 + 3i. Hledáme polynom q(x) takov´ y, aby √ √ (9.11) (x − 3 + 3i)(x − 3 − 3i)q(x) = x4 − 8x3 + 26x2 − 36x + 24 2 4 3 2 (x − 6x + 12)q(x) = x − 8x + 26x − 36x + 24 4 3 2 −36x+24 q(x) = x −8xx+26x 2 −6x+12 Dˇelen´ım zjist´ıme, ˇze q(x) = x2 − 2x + 2. Staˇc´ı tedy naj´ıt koˇreny rovnice x2 − 2x + 2 = 0

⇒ α3 = 1 + i, α4 = 1 − i . √ √ Daná rovnice má tedy koˇreny: α1 = 3 − 3i, α2 = 3 + 3i, α3 = 1 + i, α4 = 1 − i. Pˇ r´ıklad 9.7 Urˇc´ıme koˇreny rovnice x4 + 4x3 − 16x − 16 = 0.

ˇ ˚ ´ ROVNICE 9.6. SOUVISLOST KOREN U A KOEFICIENT˚ U ALGEBRAICKE

100

ˇ sen´ı: Postupn´ Reˇ ym dosazován´ım (zkus´ıme napˇr. dosadit ˇc´ısla 1, −1, 2, −2 atd.) zjist´ıme, ˇze ˇc´ısla 2 a −2 jsou koˇreny naˇs´ı rovnice. Je tedy (x − 2)(x + 2)(x2 + 4x + 4) = 0 a zb´ yvá vyˇreˇsit kvadratickou rovnici x2 + 4x + 4 = 0. Ta má jeden dvojnásobn´ y koˇren −2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobn´ y koˇren −2 a jednonásobn´ y (jednoduch´ y) koˇren 2. Pˇ r´ıklad 9.8 Vypoˇcteme koˇreny rovnice 3x3 + 2x2 − x − 4 = 0. ˇ sen´ı: Postupn´ Reˇ ym dosazován´ım zjist´ıme, ˇze rovnice má koˇren 1. Je tedy (x − 1)(3x2 + 5x + 4) = 0 a ˇreˇsen´ım rovnice 3x2 + 5x + 4 = 0 jsou ˇc´ısla − 65 ± √ Daná rovnice má tedy tˇri koˇreny 1 a − 56 ± 623 i.

9.6

√

23 i. 6

Souvislost koˇ ren˚ u a koeficient˚ u algebraick´ e rovnice

Z pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u je zˇrejmé, ˇze u algebraick´ ych rovnic vyˇsˇs´ıch stupˇ n˚ u nám nezb´ yvá nic jiného, neˇz nˇekterá ˇreˇsen´ı rovnice bud’ uhádnout, nebo je urˇcovat numerick´ ymi metodami, kter´ ymi se zab´ yvá tzv. numerická matematika. Pro rovnice 3. a 4. stupnˇe je sice moˇzné pouˇz´ıt vzorce pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u, ale ty jsou znaˇcnˇe komplikované. Pro rovnice vyˇsˇs´ıch stupˇ n˚ u takové vzorce v˚ ubec neexistuj´ı. K urˇcen´ı koˇren˚ u napomohou vztahy (tzv. Viétovy vzorce) mezi koeficienty a koˇreny polynomu. Pro nás budou v´ yznamné dva z nich: 1. Souˇcet vˇsech koˇren˚ u násoben´ y koeficientem an je roven opaˇcnému koeficientu u xn−1 , tj. (α1 + α2 + · · · + αn )an = −an−1 . 2. Pro souˇcin vˇsech koˇren˚ u a koeficientu an plat´ı (α1 · α2 · · · · · αn ) · an = (−1)n · a0 . Pozn´ amka 9.2 1. Koˇreny algebraické rovnice odhadujeme tak, ˇze urˇc´ıme dˇelitele absolutn´ıho ˇclenu a0 a dosazen´ım se pˇresvˇedˇc´ıme, zda je koˇrenem. 2. Pro kvadratick´ y trojˇclen lze velice snadno uvedené vlastnosti odvodit z rovnosti: x2 + a1 x + a0 = (x − α1 )(x − α2 ) = x2 − (α1 + α2 )x + α1 α2 . Porovnán´ım koeficient˚ u u stejn´ ych mocnin x dostáváme a1 = −(α1 + α2 ) , a0 = α 1 α 2 .

ˇ ˚ ´ ROVNICE 9.6. SOUVISLOST KOREN U A KOEFICIENT˚ U ALGEBRAICKE

9.6.1

101

Cviˇ cen´ı

9.1 Urˇcete koeficienty A, B, C polynomu A(x − 1) + B(x − 1)x + Cx2 tak, aby byl roven polynomu x + 1. [V´ ysledek: A = −1, B = −2, C = 2] 9.2 Jsou dány polynomy 6x4 + 2x3 − 5x2 + 4x + 5 a x + 1. Vypoˇctˇete jejich souˇcet, rozd´ıl, souˇcin. [V´ ysledek: 6x4 + 2x3 − 5x2 + 5x + 6, 6x4 + 2x3 − 5x2 + 3x + 4, 6x5 + 8x4 − 3x3 − x2 + 9x + 5] 9.3 Vypoˇctˇete pod´ıl polynom˚ u: 1. (3x3 + 10x2 + 2x − 3) : (x2 + 5x + 6) ; 2. (2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6) : (x2 − 3x + 1); 3. (2x5 − x4 − 3x3 + x − 3) : (x − 3). [V´ ysledek: 1. 3x − 5 + x29x+27 , 2. 2x2 + 3x + 11 + x225x−5 , +5x+6 −3x+1 324 4 3 2 3. 2x + 5x + 12x + 36x + 109 + x−3 ] 9.4 Jedn´ım koˇrenem rovnice P (x) = 0 je ˇc´ıslo α. Vypoˇctˇete ostatn´ı koˇreny. 1. 2x3 + 6x2 − 18x − 54 = 0, α = −3, 2. x3 + 2x2 − 3x − 10 = 0, α = 2,

[α1,2 = −3, α3 = 3] [−2 ± i] √

3. 14x3 − 15x2 + 6x − 1 = 0, α = 12 ,

[ 2±i7 3 ] √ 1±i 3 ] 2

4. x4 + 3x3 + 2x2 − x + 5 = 0, α = −2 + i,

[−2 − i,

5. x4 + 2x3 + 2x2 + 10x + 25 = 0, α = −2 − i,

[−2 + i, 1 ± 2i]

6. 6x8 − 5x7 + 19x6 − 15x5 + 21x4 − 15x3 + 9x2 − 5x + 1, α1,2,3 = i, (trojnásobn´ y koˇren) 1 [α4,5,6 = −i, α7 = 2 , α8 = 13 ] 9.5 Hledán´ım celoˇc´ıseln´ ych koˇren˚ u ˇreˇste dané rovnice. 1. x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0, 3

2

4

2

2. x − 5x + 2x + 8 = 0, 3. x − 4x + x + 2 = 0, 4. x3 − x2 − 7x + 15 = 0,

9.6.2

[1, 2, 3] [−1, 2, 4] √

[1, −2, −1±2

5

]

[−3, 2 ± i]


9.1 Jaká ˇreˇsen´ı m˚ uˇze m´ıt kvadratická rovnice s reáln´ ymi koeficienty? 9.2 Zd˚ uvodnˇete, proˇc je v poˇc´ıtaˇcov´ ych aplikac´ıch hodnota polynomu zpravidla vyˇc´ıslována Hornerov´ ym algoritmem. (Návod: Porovnejte poˇcet násoben´ı, která je nutné provést pro urˇcen´ı hodnoty polynomu stupnˇe n.) 9.3 Formulujte nˇekolika zp˚ usoby základn´ı vˇetu algebry. 9.4 Polynom (s reáln´ ymi koeficienty) lichého stupnˇe má alespoˇ n jeden reáln´ y koˇren. Zd˚ uvodnˇete toto tvrzen´ı.

Kapitola 10 Maticov´ y poˇ cet 10.1

Pojem matice

Matic´ı typu (m, n), kde m, n jsou pˇrirozená ˇc´ısla, se rozum´ı soubor mn veliˇcin ajk zapsan´ ych do m ˇra´dk˚ u a n sloupc˚ u tvaru:          

a11 a12 . . . a21 a22 . . . ... aj1 aj2 . . . ... am1 am2 . . .

a1k a2k ajk



. . . a1n . . . a2n   ...

   ajn    

(10.1)

amk . . . amn

Veliˇciny a11 , a12 , . . . , amn ve schématu (10.1) naz´ yváme prvky matice a mohou to b´ yt ˇc´ısla (reálná i komplexn´ı) i funkce. Indexy j, k prvku ajk urˇcuj´ı pozici (um´ıstˇen´ı) prvku ve schématu. Prvn´ı index j udává poˇrad´ı ˇra´dku, druh´ y index k poˇrad´ı sloupce. Napˇr. prvek a32 je um´ıstˇen ve 3. ˇra´dku a ve 2. sloupci, tj. má pozici 32. Matici (10.1) budeme oznaˇcovat A nebo (aij ). Chceme-li souˇcasnˇe vyjádˇrit, ˇze matice A je typu (m, n), zap´ıˇseme A(m,n) . Je-li matice tvoˇrena jedin´ ym sloupcem, resp. jedin´ ym ˇra´dkem, m˚ uˇzeme k oznaˇcen´ı jej´ıch prvk˚ u pouˇz´ıt pouze jeden index, napˇr.   

B=  

b1 b2 .. .

   ,  

resp. C = (c1 , c2 , . . . , cn ).

bm Prvky aii matice (10.1) naz´ yváme diagon´ aln´ı prvky, vˇsechny diagonáln´ı prvky tvoˇr´ı hlavn´ı diagon´ alu matice.

102

10.2. VLASTNOSTI MATIC

103

10.2

Vlastnosti matic

10.2.1

Rovnost matic

ˇ Rekneme, ˇze dvˇe matice A = (aij ) a B = (bij ), i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, téhoˇz typu (m, n) jsou si rovny, jestliˇze prvky ve stejn´ ych pozic´ıch si jsou rovny, tj. plat´ı rovnost aij = bij ,

pro kaˇzdé i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n .

Zapisujeme A = B. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze matice A a B jsou r˚ uzné a zapisujeme A 6= B. !

1 2 Pˇ r´ıklad 10.1 Matice A = aB= 3 0 typu (2, 2), zat´ımco B je matice typu (2, 3).

1 2 0 3 0 0

!

si nejsou rovny, protoˇze A je matice

Pˇ r´ıklad 10.2 Oznaˇc´ıme-li    

D=

d1 d2 d3 d4

    



,

  

potom rovnost D = 

−1 2 3 −4

    

je struˇcn´ ym zápisem ˇctyˇr rovnost´ı d1 = −1, d2 = 2, d3 = 3, d4 = −4. Pˇ r´ıklad 10.3 Rovnost matic typu (3, 1) 







x + 5y − 3z −9      2x − 7y + z  =  3  6y − z −3

(10.2)

je jeden z moˇzn´ ych zápis˚ u soustavy tˇr´ı lineárn´ıch rovnic x + 5y − 3z = −9 2x − 7y + z = 3 6y − z = −3 .

10.2.2

Transponov´ an´ı matic

Je-li dána matice A = (aij ) typu (m, n), potom matice B = (bji ) typu (n, m), pro jej´ıˇz prvky plat´ı bji = aij pro kaˇzdé i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n , se naz´ yvá transponovan´ a matice k matici A a znaˇc´ı se AT .

10.2. VLASTNOSTI MATIC

104

Pˇ r´ıklad 10.4 Transponovaná matice k matici    

A=

1, 3, 0 7, 4, −1    = (aij ) −4, −3, 0  2, 1, 5 

je matice 



1, 7, −4, 2  4, −3, 1  AT =  3,  = (aji ) , 0, −1, 0, 5 tj. prvek z pozice (i, j) se objev´ı v pozici (j, i). Z definice transponované matice vypl´ yvá (AT )T = A .

(10.3)

Pomoc´ı horn´ıho indexu T se dá matice typu (n, 1) zapsat ve tvaru      

x1 x2 .. .

     

= (x1 , x2 , . . . , xn )T .

xn Je u ´ˇcelné si zvyknout na oznaˇcován´ı n-tic ˇc´ısel právˇe naznaˇcen´ ym zp˚ usobem.

10.2.3

V´ yznaˇ cn´ e matice

1. Nulov´ a matice má vˇsechny prvky nulové; budeme ji znaˇcit 0. ˇ 2. Ctvercov´ a matice je matice, jej´ıˇz poˇcet ˇrádk˚ u je stejn´ y jako poˇcet sloupc˚ u (v opaˇcném pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o obd´ eln´ıkov´ e matici). Poˇcet ˇra´dk˚ u (a tedy i poˇcet sloupc˚ u) u ˇctvercové matice se naz´ yvá ˇ r´ ad matice. Je zˇrejmé, ˇze transponovaná matice ke ˇctvercové matici n-tého ˇra´du je opˇet ˇctvercová matice stejného ˇrádu. 3. Diagon´ aln´ı matice je ˇctvercová matice, jej´ıˇz prvky leˇz´ıc´ı mimo hlavn´ı diagonálu jsou nulové. Zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem diagonáln´ı matice je jednotkov´ a matice, která má na diagonále vˇsechny prvky rovné 1, tj. plat´ı aij = 0 pro kaˇzdé i 6= j, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n , aii = 1 pro kaˇzdé i = 1, 2, . . . , n . Jednotkovou matici znaˇc´ıme I.

´ OPERACE S MATICEMI 10.3. ARITMETICKE

105

4. Symetrick´ a matice je ˇctvercová matice, pro jej´ıˇz prvky plat´ı aij = aji

pro kaˇzdé i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n .

Snadno lze ovˇeˇrit, ˇze (a) pro symetrickou matici je AT = A; (b) kaˇzdá diagonáln´ı matice je symetrická; (c) jednotková matice je symetrická. 5. Horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice U = (uij ) je ˇctvercová matice, jej´ıˇz prvky pod hlavn´ı diagonálou jsou nulové, tj. plat´ı uij = 0 pro i > j . Doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice L = (lij ) je ˇctvercová matice, jej´ıˇz prvky nad hlavn´ı diagonálou jsou nulové, tj. plat´ı lij = 0 pro i < j .

10.3

Aritmetick´ e operace s maticemi

10.3.1

Souˇ cet matic

Pro matice A = (aij ) a B = (bij ) t´ ehoˇ z typu (m, n) definujeme 1. souˇ cet matic jako matici S = (sij ) typu (m, n), pro jej´ıˇz prvky plat´ı sij = aij + bij ; 2. rozd´ıl matic jako matici R = (rij ) typu (m, n), pro jej´ıˇz prvky plat´ı rij = aij − bij ; pro i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n. Krátce ˇreˇceno: sˇc´ıtáme, resp. odeˇc´ıtáme, prvky ve stejn´ ych pozic´ıch. Znaˇc´ıme A + B, resp. A − B. ˇ Pˇ r´ıklad 10.5 Ctvercovou matici A = (aij ) lze zapsat jako souˇcet horn´ı a doln´ı troj´ uheln´ıkové matice. Pro matici 3. ˇra´du je tedy 











a11 a12 a13 a11 a12 a13 0 0 0      a22 a23  +  a21 0 0   a21 a22 a23  =  0  . a31 a32 a33 0 0 a33 a31 a32 0 Toto vyjádˇren´ı se pouˇz´ıvá u numerick´ ych metod ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic, zvláˇstˇe u tzv. metody LU-rozkladu. Sˇc´ıtán´ı matic je definováno tak, ˇze plat´ı: A+B=B+A komutativn´ı zákon (A + B) + C = A + (B + C) asociativn´ı zákon (A + B)T = AT + BT 0+A=A+0=A


10.3.2

106

N´ asoben´ı matice ˇ c´ıslem

Pro libovolnou matici A = (aij ) typu (m, n) definujeme r-násobek (r reálné nebo komplexn´ı ˇc´ıslo) matice A jako matici typu (m, n), jej´ıˇz prvky jsou r-násobky prvk˚ u aij , tedy rA = (r · aij ) pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n . Tedy matici vynásob´ıme ˇc´ıslem r tak, ˇze ˇc´ıslem r vynásob´ıme vˇ sechny jej´ı prvky. Odtud plyne, ˇze pro násobek matice plat´ı: rA + sA = (r + s)A r(A + B) = rA + rB r(sA) = (rs)A (rA)T = rAT

distributivn´ı zákon distributivn´ı zákon

kde r, s jsou ˇc´ısla (reálná nebo komplexn´ı). Pˇ r´ıklad 10.6 Je dána matice A = (aij ) tˇret´ıho ˇra´du. Vytvoˇr´ıme matici λI − A, kde λ je libovolné ˇc´ıslo (reálné nebo komplexn´ı). ˇ sen´ı: Reˇ 











λ − a11 −a12 −a13 a11 a12 a13 1 0 0       λI − A = λ  0 1 0  −  a21 a22 a23  =  −a21 λ − a22 −a23  . −a31 −a32 λ − a33 a31 a32 a33 0 0 1 S matic´ı tohoto typu se setkáme pˇri v´ ypoˇctu tzv. vlastn´ıch ˇc´ısel matice.

Pˇ r´ıklad 10.7 Matici, obsahuj´ıc´ı komplexn´ı ˇc´ısla, m˚ uˇzeme vyjádˇrit pomoc´ı matic s reáln´ ymi ˇc´ısly: ! ! ! 2 + 3i 4 − 5i 2 4 3 −5 = +i . −2 6i −2 0 0 6

10.3.3

Souˇ cin matic

Souˇcin matic je definován sloˇzitˇejˇs´ım zp˚ usobem neˇz pˇredchoz´ı operace s maticemi, proto si nejdˇr´ıve budeme postup ilustrovat na jednoduchém pˇr´ıkladˇe: Pˇ r´ıklad 10.8 



2 3    9 4 · 5 0

1 −1 6 7

!









2 · 1 + 3 · 6, 2 · (−1) + 3 · 7 20 19    =  9 · 1 + 4 · 6, 9 · (−1) + 4 · 7  =  33 19   . 5 · 1 + 0 · 6, 5 · (−1) + 0 · 7 5 −5

Pˇ r´ıklad 10.9 Násoben´ı dvou matic provedeme pro obecné matice A = (aij ) typu (3, 2) a B = (bij ) typu (2, 2).


ˇ sen´ı: Reˇ





a11 a12    a21 a22  · a31 a32

b11 b12 b21 b22

!

107





a11 b11 + a12 b21 , a11 b12 + a12 b22   =  a21 b11 + a22 b21 , a21 b12 + a22 b22  . a31 b11 + a32 b21 , a31 b12 + a32 b22

Uved’me obecné zásady, které plat´ı pro v´ ypoˇcet souˇcinu dvou matic A a B : 1. Aby souˇcin dvou matic A a B byl definován, mus´ı b´ yt poˇcet sloupc˚ u matice A stejn´ y jako poˇcet ˇra´dk˚ u matice B, tj. je-li matice A = (aik ) typu (m, p), mus´ı b´ yt matice B = (bkj ) typu (p, n), tj. A(m,p) · B(p,n) = C(m,n) . 2. Prvek cij v´ ysledné matice C = A · B je cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj =

p X

aik bkj .

(10.4)

k=1

3. V´ ysledná matice C je typu (m, n). Pozn´ amka 10.1 Pokud povaˇzujeme ˇra´dky (resp. sloupce) matice za ˇrádkové (resp. sloupcové) aritmetické vektory, lze vztah ( 10.4) pro prvek cij chápat jako skalárn´ı souˇcin i-tého ˇra´dkového vektoru matice A a j-tého sloupcového vektoru matice B. T´ım je také zd˚ uvodnˇena podm´ınka pro typ matic, která mus´ı b´ yt pro definici souˇcinu splnˇena. Vlastnosti souˇ cinu matic 1. N´ asoben´ı matic nen´ı obecnˇ e komutativn´ı. Je-li definován souˇcin AB, nemus´ı b´ yt definován souˇcin BA, protoˇze nemus´ı b´ yt splnˇena podm´ınka pro poˇcet ˇrádk˚ u a sloupc˚ u. Ale i v pˇr´ıpadˇe, ˇze souˇciny AB i BA jsou definovány, nemus´ı platit AB=BA (viz následuj´ıc´ı pˇr´ıklad). Ovˇsem v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech dan´ y vztah plat´ı. Pˇ r´ıklad 10.10 3 1 4 2

!

ale 0 1 −1 2

0 1 −1 2

· !

·

3 1 4 2

!

= !

=

−1 5 −2 8 4 2 5 3

!

, !

.

V tomto pˇr´ıpadˇe je tedy AB 6= BA. Rovnost plat´ı pouze pro nˇekteré speciáln´ı dvojice matic, napˇr. je-li jedna z matic jednotková. 2. Pro libovolnou matici A plat´ı 0A = 0 a A0 = 0, kde 0 je nulová matice (jsou-li souˇciny na lev´ ych stranách definovány). Pro ˇctvercové matice plat´ı A·0 = 0·A, kde A je libovolná ˇctvercová matice. 3. Pro libovolnou matici A je AI = A a IA = A, kde I je jednotková matice (jsou-li souˇciny na lev´ ych stranách definovány).

ˇ ´ MATICE 10.4. DETERMINANT CTVERCOV E

108

4. Souˇcin dvou nenulov´ ych matic m˚ uˇze b´ yt nulová matice. To znamená, ˇze z rovnosti AB = 0 nevypl´ yvá, ˇze mus´ı b´ yt A nebo B nulová matice. Je tˇreba si uvˇedomit, ˇze v pˇr´ıpadˇe ˇc´ısel (reáln´ ych nebo komplexn´ıch) z nulovosti souˇcinu plyne nulovost alespoˇ n jednoho z ˇc´ısel. To vyuˇz´ıváme ˇcasto pˇri ˇreˇsen´ı rovnic. Pro maticové rovnice vˇsak takové postupy nelze pouˇz´ıt. Pˇ r´ıklad 10.11 2 2 1 1

!

·

−2 1 2 −1

!

0 0 0 0

=

!

.

Jsou-li vˇsechny následuj´ıc´ı souˇciny matic definovány (maj´ı smysl), plat´ı: 4. A(BC) = (AB)C

asociativn´ı zákon,

5. (A + B)C = AC + BC

distributivn´ı zákon,

6. (AB)T = BT AT , 7. r(AB) = (rA)B = A(rB) , kde r je libovolné ˇc´ıslo. 8. Pomoc´ı souˇcinu matic m˚ uˇzeme definovat mocninu ˇ ctvercov´ e matice: (a) A1 = A; (b) An = An−1 A pro n ∈ N, n ≥ 2; (c) Definujeme A0 = I.

10.4

Determinant ˇ ctvercov´ e matice

V tomto odstavci se budeme zab´ yvat pouze ˇctvercov´ ymi maticemi.

10.4.1

Definice determinantu

Pojem determinant matice nejdˇr´ıve zavedeme pro (ˇc´ıselnou) matici 2. a 3. ˇra´du a pak teprve pˇristoup´ıme k definici determinantu matice n-tého ˇra´du. Je dána ˇctvercová matice 2. ˇ r´ adu A=

a11 a12 a21 a22

!

.

(10.5)

ˇ ıslo a11 a22 − a21 a12 se naz´ C´ yvá determinant matice A a znaˇc´ı se

a11 a12 a21 a22

,

det

a11 a12 a21 a22

!

,

Je dána ˇctvercová matice 3. ˇ r´ adu 



a11 a12 a13  A =  a21 a22 a23   . a31 a32 a33

det A .


ˇ ıslo C´

a11 |

a22 a23 a32 a33 {z

A11

−a12 | }

109

a21 a23 a31 a33 {z

A12

+a13 | }

a21 a22 a31 a32 {z

A13

}

.

(10.6)

se naz´ yvá determinant matice A a znaˇc´ı se

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33





a11 a12 a13  det   a21 a22 a23  , a31 a32 a33

,

det A .

Determinanty A11 , A12 , A13 v (10.6) jsme vytvoˇrili vynechán´ım prvn´ıho ˇra´dku a postupnˇe prvn´ıho, druhého a tˇret´ıho sloupce p˚ uvodn´ı matice tˇret´ıho ˇrádu. Analogicky jako v (10.6) definujeme determinant ˇctvercové matice n-tého ˇra´du pro n > 3 (pomoc´ı determinant˚ u (n − 1)-ho ˇra´du): Determinant ˇ ctvercov´ e matice (n-tého ˇra´du)  

A=  

a11 a21 ... an1

a12 a22 ... an2

... ... ... ...

a1n a2n ... ann

    

je ˇc´ıslo oznaˇcované det A a definované takto: 1. Pro n = 1 je det A = a11 . 2. Pro n = 2 je det A = a11 a22 − a12 a21 . 3. Pro n > 2 je det A = a11 det A11 − a12 det A12 + · · · + (−1)n+1 a1n det A1n ,

(10.7)

kde matice A1i pro i = 1, 2, . . . , n jsou matice (n − 1)-ho ˇra´du a vzniknou z matice A vynechán´ım 1. ˇrádku a i-tého sloupce, i = 1, 2, . . . , n. Pozn´ amka 10.2 Vyjádˇren´ı determinantu vztahem (10.7) se naz´ yvá rozvoj determinantu podle 1. ˇ r´ adku. 3 4 5 −6

Pˇ r´ıklad 10.12 Vypoˇcteme determinant matice ˇ sen´ı: Reˇ

3 4 5 −6

!

.

= 3 · (−6) − 5 · 4 = −38.





0 3 4  Pˇ r´ıklad 10.13 Vypoˇcteme determinant matice  1 2 −1  . −2 3 −1


110

ˇ sen´ı: Reˇ

10.4.2

0 3 4 1 −1 2 −1 1 2 −1 = 0 · −3· −2 −1 3 −1 −2 3 −1 = 0 · 1 − 3 · (−3) + 4 · 7 = 37

+4·

1 2 = −2 3

Sarrusovo pravidlo

Pˇredpis (10.6) pro urˇcen´ı determinantu matice tˇret´ıho ˇra´du se naz´ yvá Sarrusovo pravidlo. Z (10.6) rozepsán´ı determinant˚ u a roznásoben´ım dostaneme det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 .

(10.8)

Pro zapamatován´ı volby pˇr´ısluˇsn´ ych tˇr´ı v´ ybˇer˚ u s kladn´ ym, pˇr´ıpadnˇe záporn´ ym znaménkem se pouˇz´ıvá obvykle jedno z následuj´ıc´ıch dvou schémat. Matici A rozˇs´ıˇr´ıme na matici typu (5, 3) (resp. typu (3, 5)) tak, ˇze pod (resp. za) matici A pˇrip´ıˇseme jeˇstˇe prvn´ı a druh´ y ˇra´dek (resp. prvn´ı a druh´ y sloupec) matice A. Dostaneme matice a11 a21 a31 a11 a21

a12 a22 a32 a12 a22

a11 a21 a31

a13 a23 a33 a13 a23

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21 a31

a12 a22 a32

v nichˇz v´ ybˇery s kladn´ ym znaménkem jsou vyznaˇceny souvisl´ ymi ˇcarami a v´ ybˇery se záporn´ ym znaménkem ˇca´rkovanˇe. Nebezpeˇcnost“ tohoto pravidla spoˇc´ıvá v tom, ˇze je mnohdy nesprávnˇe aplikováno i na ” v´ ypoˇcet determinant˚ u matic vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u. POZOR, je to hrubá CHYBA. Pˇ r´ıklad 10.14 Sarrusov´ ym pravidlem vypoˇcteme determinant matice 



0 3 4  A =  1 2 −1   . −2 3 −1 ˇ sen´ı: det A = 0 · 2 · (−1) + 3 · (−1) · (−2) + 4 · 1 · 3 − 4 · 2 · (−2) − 3 · 1 · (−1) − 0 · (−1) · 3 = 37 . Reˇ

Pˇ r´ıklad 10.15 Rozvojem podle 1. ˇra´dku vypoˇcteme determinant matice    

A=

1 2 2 3

0 −1 2 3 2 −2    . 4 2 1  0 5 −3 


111

ˇ sen´ı: Reˇ det A =

1·

3 2 −2 4 2 1 0 5 −3

−0·

2 2 −2 2 2 1 3 5 −3

+ (−1) ·

2 3 −2 2 4 1 3 0 −3

−2·

2 3 2 2 4 2 . 3 0 5

Pˇrevedli jsme v´ ypoˇcet determinantu 4. ˇra´du na v´ ypoˇcet 4 determinant˚ u 3. ˇrádu. Pomoc´ı ( 10.6) dostáváme det A = 1 · (−49) − 0 · (−12) + (−1) · 27 − 2 · 4 = −84 .

10.4.3

Dalˇ s´ı zp˚ usoby v´ ypoˇ ctu determinantu

Postup v´ ypoˇctu determinantu rozvojem podle prvn´ıho ˇra´dku lze modifikovat tak, ˇze provedeme rozvoj podle libovolného ˇra´dku, popˇr. sloupce. Rozvoj determinantu podle i-t´ eho ˇ r´ adku zap´ıˇseme det A = (−1)i+1 ai1 det Ai1 + (−1)i+2 ai2 det Ai2 + · · · + + (−1)i+n ain det Ain =

n X

(10.9)

(−1)i+j aij det Aij ,

j=1

a rozvoj podle j-tého sloupce zap´ıˇseme det A = (−1)1+j a1j det A1j + (−1)2+j a2j det A2j + · · · + + (−1)n+j anj det Anj =

n X

(10.10)

(−1)i+j aij det Aij .

i=1

Matice Aij je matice ˇra´du n − 1 vzniklá z p˚ uvodn´ı matice A vynechán´ım i-tého ˇrádku a j-tého sloupce. ˇ ıslo (pro daná i = 1, 2, . . . , n, j = 1, . . . , n) C´ Dij = (−1)i+j det Aij ,

(10.11)

se naz´ yvá algebraick´ y doplnˇ ek prvku aij . Rozvoj determinantu podle i-tého ˇra´dku (vztah 10.9) lze pomoc´ı algebraick´ ych doplˇ nk˚ u psát ve tvaru det A = ai1 Di1 + ai2 Di2 + · · · + ain Din =

n X

aij Dij .

(10.12)

j=1

Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce (viz (10.10)) lze pomoc´ı algebraick´ ych doplˇ nk˚ u psát ve tvaru resp. podle det A = a1j D1j + a2j D2j + · · · + anj Dnj =

n X

aij Dij .

(10.13)

i=1

Nyn´ı si pro v´ ypoˇcet determinantu m˚ uˇzeme vybrat vhodn´ y ˇra´dek nebo sloupec, podle kterého provedeme rozvoj. Nejˇcastˇeji vyb´ıráme takov´ y ˇra´dek nebo sloupec, v nˇemˇz je nejv´ıce nulov´ ych prvk˚ u.


112

Pˇ r´ıklad 10.16 Um´ıme-li nyn´ı provést rozvoj determinantu podle libovolného sloupce nebo ˇra´dku, pokusme se vypoˇc´ıtat determinant matice z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu kratˇs´ım postupem. Provedeme-li rozvoj podle druhého sloupce, je zˇrejmé, ˇze v rozvoji dostaneme pouze dva nenulové sˇc´ıtance a budeme tedy poˇc´ıtat pouze dva determinanty 3. ˇra´du. det A = (−1)2+2 · 3 · det A22 + (−1)3+2 · 4 · det A32 = 1 −1 1 −1 2 2 2 −2 . 2 1 + (−1)5 · 4 · 2 = (−1)4 · 3 · 2 3 3 5 −3 5 −3 ´ Pˇ r´ıklad 10.17 Uplnou matematickou indukc´ı lze dokázat, ˇze determinant troj´ uheln´ıkové matice je roven souˇcinu prvk˚ u na diagonále. D˚ ukaz provedeme pro horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici. Pro n = 2 je u 11 u12 = u11 u12 . 0 u22 Pˇredpokládejme, ˇze tvrzen´ı plat´ı pro troj´ uheln´ıkovou matici (n − 1)-ho ˇrádu. Rozvineme-li determinant horn´ı troj˚ uheln´ıkové matice n-tého ˇra´du podle prvk˚ u n-to ˇra´dku, dostaneme

u11 u12 . . . u1n 0 u22 . . . u2n ... 0 0 . . . unn

=

n+n (−1) unn

u11 u12 . . . u1,n−1 0 u22 . . . u2,n−1 ... 0 0 . . . un−1,n−1

= u11 u22 . . . un−1,n−1 · unn .

Stejn´ ym zp˚ usobem lze dokázat tvrzen´ı pro doln´ı troj´ uheln´ıkovou matici.

10.4.4

Vlastnosti determinant˚ u

1. Pro libovolnou ˇctvercovou matici A plat´ı det AT = det A. Pro determinant matice 2. ˇrádu je d˚ ukaz uvedeného tvrzen´ı elementárn´ı.

a a det A = 11 12 a21 a22

a a det A = 11 21 a12 a22 T

= a11 a22 − a12 a21

= a11 a22 − a12 a21 .

Je tedy det A = det AT . Pro determinant matice A 3. ˇra´du dostaneme rozvojem podle 1. ˇrádku

a11 a12 a13 det A = a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

a11

a22 a23 a32 a33

− a12

a21 a23 a31 a33

+ a13

a21 a22 a31 a32

a pro determinant matice transponované AT dostaneme rozvojem podle prvn´ıho sloupce


a11 a21 a31 det AT = a12 a22 a32 a13 a23 a33

=

a11

a22 a32 a23 a33

113

− a12

+ a13

a21 a31 a23 a33

a21 a31 a22 a32

.

Pro determinant matice 3. ˇrádu tedy plat´ı det A = det AT . ´ Uplnou matematickou indukc´ı lze analogick´ ym postupem dokázat uvedenou vlastnost pro determinant matice n-tého ˇra´du. D˚ usledkem uvedené vlastnosti je, ˇze vˇsechna tvrzen´ı o determinantech, která plat´ı pro ˇr´ adky matice, plat´ı i pro jej´ı sloupce. 2. Zamˇen´ıme-li v matici poˇrad´ı dvou ˇrádk˚ u, zmˇen´ı se znaménko determinantu. Pro determinant matice 2. ˇrádu je zˇrejmˇe

a11 a12 a21 a22

= a11 a22 − a12 a21 = −(a12 a21 − a11 a22 ) =

−

a21 a22 a11 a12

.

´ Uplnou indukc´ı lze opˇet ukázat, ˇze tvrzen´ı plat´ı i pro determinant matice ˇra´du n > 2. D˚ usledkem tvrzen´ı 2. je: 3. Má-li matice dva ˇrádky stejné, je determinant matice nulový. 4. Z definice determinantu vypl´ yvá, ˇze je-li jeden ˇrádek matice A nulový, je det A = 0. 5. Vznikne-li matice B z matice A vynásoben´ım jednoho ˇrádku ˇc´ıslem k, je det B = k det A. 6. Vznikne-li matice B z matice A pˇriˇcten´ım k-násobku i-tého ˇrádku k j-tému, je det B = det A. Pro matici 2. ˇrádu je

a11 a12 = a11 (a22 + k · a12 ) − a12 (a21 + k · a11 ) = a21 + ka11 a22 + ka12 = a11 a22 − a12 a21 + k(a11 a12 − a12 a11 ) = det A + k · 0 .

7. Jsou-li A a B ˇctvercové matice téhoˇz ˇrádu, pak det AB = det A det B.

Pˇ r´ıklad 10.18 Vypoˇcteme determinant

1 2 1 1

2 3 4 3 1 2 . 1 1 −1 0 −2 −6

10.5. INVERZNÍ MATICE

114

ˇ sen´ı: Od druhého ˇrádku odeˇcteme dvojnásobek prvn´ıho ˇra´dku a od tˇret´ıho a ˇctvrtého Reˇ odeˇcteme prvn´ı ˇra´dek. Potom provedeme rozvoj determinantu podle prvn´ıho sloupce.

1 2 3 4 0 −1 −5 −6 0 −1 −2 −5 0 −2 −5 −10

=

3 (−1)

1 0 0 0

2 1 1 2

3 4 5 6 2 5 5 10

=

2 −1 · (−1)

1 5 6 1 2 5 2 5 10

=

−

1 5 6 1 2 5 2 5 10

.

Od druhého ˇra´dku odeˇcteme prvn´ı ˇra´dek, od tˇret´ıho dvojnásobek prvn´ıho ˇra´dku a provedeme rozvoj podle prvn´ıho sloupce: −

Je tedy

1 2 1 1

1 5 6 2 3 1 0 3 1 = −1 · (−1) 5 2 0 5 2

= −(3 · 2 − 5 · 1) = −1 .

2 3 4 3 1 2 = −1. 1 1 −1 0 −2 −6

10.5

Inverzn´ı matice

10.5.1

Regul´ arn´ı a singul´ arn´ı matice, inverzn´ı matice

ˇ Ctvercov´ a matice, jej´ıˇz determinant je r˚ uzn´ y od nuly, se naz´ yvá regul´ arn´ı matice. ˇ Ctvercov´ a matice, jej´ıˇz determinant je roven nule, se naz´ yvá singul´ arn´ı matice. Necht’ A je regulárn´ı matice, I jednotková matice. Jestliˇze pro matici X plat´ı AX = XA = I ,

(10.14)

naz´ yvá se matice X inverzn´ı matice k matici A a znaˇc´ı se A−1 . Vztah (10.14) lze psát tedy ve tvaru AA−1 = A−1 A = I . Inverzn´ı matice X = A−1 je tedy ˇreˇsen´ım maticové rovnice AX = I. Pˇ r´ıklad 10.19 Stanovme matici X takovou, ˇze plat´ı AX = I, kde 1 1 1 2

A=

!

1 0 0 1

a I=

!

.

ˇ sen´ı: Tedy Reˇ 1 1 1 2

!

·

x11 x12 x21 x22

!

=

1 0 0 1

!

.

ˇ Í 10.6. CVICEN

115

Z podm´ınky rovnosti matic ˇreˇs´ıme soustavu rovnic x11 + x21 = 1 , x11 + 2x21 = 0 ,

x12 + x22 = 0 , x12 + 2x22 = 1 .

ˇ sen´ı tˇechto dvou soustav snadno vypoˇcteme: Reˇ x12 = −1 x22 = 1 .

x11 = 2, x21 = −1, Tedy X=A

−1

=

2 −1 −1 1

!

.

Vid´ıme, ˇze stanoven´ı inverzn´ı matice je ekvivalentn´ı k urˇcen´ı ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic (viz kap. 11).

10.5.2

Vlastnosti inverzn´ı matice

1. Ke kaˇzdé ˇctvercové matici existuje nejv´ yˇse jedna inverzn´ı matice. 2. Ke kaˇzdé regulárn´ı matici existuje právˇe jedna inverzn´ı matice. 3. (A−1 )−1 = A; 4. I−1 = I; 5. (AC)−1 = C−1 A−1 , jakmile je definována alespoˇ n jedna strana této rovnosti; 6. (AT )−1 = (A−1 )T ; 7. det A−1 =

1 . det A

8. Inverzn´ı matice aln´ı matici D = (di ), di 6= 0, je opˇet diagonáln´ı matice X k diagon´ 1 −1 X = D = di ; rozepsáno  

D−1 =   

10.6

d1 , 0, . . . , 0 0, d2 , . . . , 0 ... 0, 0, . . . , dn

−1    

=

 1 ,  d1  0,   ... 

0,



0, . . . , 1 , ..., d2 0,

0  0   1 dn

...,

.

 

Cviˇ cen´ı

ˇ ste následuj´ıc´ı maticové rovnice, tj. urˇcete matici X tak, aby platila rovnost 10.1 Reˇ 1. 1 −2 3 −5 6 −2

!

+X=3

0 2 4 2 −3 1

!

ˇ Í 10.6. CVICEN

116

2.









1 −i i −2      2 3i  − (1 + i)X = i  3 1 + i  0 1 1 1−i −1 8 9 11 −15 5

[V´ ysledky: 1. X =

!



1−i

, 2. X =  

−1−5i 2 −1−i 2

1+i 2 3+i 2 −1−i 2

  ]

10.2 Ukaˇzte, ˇze pro kaˇzdou ˇctvercovou matici A je B = A + AT symetrická matice. (Návod: Máte prokázat, ˇze B = BT . Urˇcete (A + AT )T a pouˇzijte pˇr´ısluˇsné zákony pro transponován´ı.) 







−1   Y =  −2  . −3

10   10.3 Jsou dány matice X =  20  , 30 1. Urˇcete matici X + 2Y.

2. Zjistˇete, zda existuje dvojice ˇc´ısel p 6= 0, q 6= 0 taková, ˇze pX + qY je nulová matice. [V´ ysledek: 1. X + 2Y = −8Y, 2. q = 10p] 10.4 Pro zadané matice A, B urˇcete AB a BA (pokud tyto souˇciny existuj´ı). 1. A =

3 −5 7 −2 9 4

2. A =

1 −2 −4 3





1 0  , B =  −3 4   5 7

!

!

5 6 7 −8

,B= 

!



2  3. A = (5, 2, −3), B =  −1   4 

!

[1. AB =

53 29 −9 64

2. AB =

−9 22 1 −48

, BA =   !



, BA =

10 4  3. AB = −4, BA =  −5 −2 20 8



3 −5 7 −17 51 −5  , 1 38 63 ! −19 8 , 39 −38  −6 3  .] −12

10.5 Vypoˇc´ıtejte souˇcin matic 







1 2 3 3     1.  2 3 1  ·  1  ; 3 1 2 3





10   2.  20  · (1, 2, 3) . 30

ˇ Í 10.6. CVICEN

117 



1 2 3   T [V´ ysledky: 1. (14, 12, 16) , 2. 10  2 4 6  .] 3 6 9 10.6 Ukaˇzte, ˇze pro diagonáln´ı matice D1 , D2 plat´ı D1 D2 = D2 D1 , pokud jsou dané matice stejného ˇra´du. 3 4 −2 1

10.7 Vypoˇctˇete A2 a A3 , je-li A =

!

. 1 16 −8 −7

2

[A =

! 3

,A =

−29 20 −10 −39

!

]

10.8 Je-li A symetrická, jsou A2 , A3 , . . . , An symetrické matice. Dokaˇzte. (Návod: Oznaˇcte A2 = C = (cij ). Pomoc´ı ( 10.4) vyjádˇrete cij a cji .] 10.9 Je dána matice A =

1 1 0 1

!

.

1. Utvoˇrte matice A2 , A3 ; 2. Vyslovte domnˇenku o tvaru matice An a dokaˇzte jej´ı správnost u ´plnou indukc´ı. "

An =

1 n 0 1

!#

10.10 Vypoˇctˇete determinanty 1.

3 4 5 −6

;

2.

2 −3 4 −7 6 5 8 −9 10

.

[V´ ysledky: 1. −38, 2. −60] 



1 −2 3 5 4  10.11 Vypoˇctˇete det A a det AT pro A =  uj v´ ysledek s pravi −6 . Porovnejte sv˚ 7 0 8 dlem 1 na str. 112. [V´ ysledek: det A = −217]

10.12

Rozvojem podle nˇekterého ˇra´dku nebo sloupce vypoˇctˇete determinant

3 2 0 5 1 2 −1 4 . 2 −7 6 0 −8 0 8 0 [−544]

10.13 Zd˚ uvodnˇete následuj´ıc´ı tvrzen´ı: 1. Determinant diagonáln´ı matice je roven souˇcinu prvk˚ u na diagonále. (Návod: Pouˇzijte definici determinantu.) 2. Determinant jednotkové matice je roven 1.


118

3. Jednotková matice je regulárn´ı. 



k k+1 k+2  10.14 Vypoˇctˇete determinant matice A =  k + 3 k + 4 k + 5   . k+6 k+7 k+8 ˇ ste nerovnici 10.15 Reˇ

[det A = 0]

2 x + 2 −1 1 1 −2 > 0 . 5 −3 x

[x ∈ (−6, −4)]

10.16 Vypoˇctˇete tzv. Vandermond˚ uv determinant

1 x1 x21 1 x2 x22 , kde x1 , x2 , x3 jsou libovolná 1 x3 x23

reálná nebo komplexn´ı ˇc´ısla. [V´ ysledek: (x2 − x − 1)(x3 − x1 )(x3 − x2 )]

10.7


10.1 Pro jaké matice je definována mocnina, tj. Xn , kde n je pˇrirozené ˇc´ıslo? 10.2 Pro jaké matice je definován determinant. 10.3 Uved’te vztah, jak´ y plat´ı mezi det A a det An . 10.4 Definujte regulárn´ı a singulárn´ı matici. 10.5 Doplˇ nte následuj´ıc´ı tabulku, tj. rozhodnˇete, kdy souˇcinem dvou ˇctvercov´ ych matic je matice singulárn´ı ˇci regulárn´ı. A B regulárn´ı regulárn´ı singulárn´ı regulárn´ı regulárn´ı singulárn´ı singulárn´ı singulárn´ı

A.B

10.6 Formulujte obecnou podm´ınku regularity a singularity souˇcinu libovolného poˇctu ˇctvercov´ ych matic. 10.7 Definujte inverzn´ı matici a uved’te, pro které matice je tento pojem definován. 10.8 Jak rozhodnete, zda dvˇe matice jsou vzájemnˇe inverzn´ı? Proved’te pro matice A=

1 0 1 1

!

, B=

1 0 −1 1

!

.

10.9 Vyjádˇrete (A.B)−1 pomoc´ı A−1 a B−1 . 10.10 Uved’te a zd˚ uvodnˇete vztah, kter´ y plat´ı mezi determinantem regulárn´ı matice a determinantem matice k n´ı inverzn´ı.

Kapitola 11 Soustavy line´ arn´ıch rovnic V této kapitole se budeme zab´ yvat soustavami lineárn´ıch rovnic, to znamená nˇekolika lineárn´ımi rovnicemi, které mus´ı b´ yt souˇcasnˇe splnˇeny.

11.1

Z´ akladn´ı pojmy

Definice 11.1 Soustavu m lineárn´ıch rovnic o n neznámých zapisujeme ve tvaru a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , .. . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,

(11.1)

kde aij , bi pro i = 1, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n jsou daná ˇc´ısla. Hledáme n-tici ˇc´ısel (reálných nebo komplexn´ıch) (v1 , v2 , . . . , vn ) takovou, ˇze po dosazen´ı vi za xi do (11.1) dostaneme identity. Oznaˇcujeme-li  

A=  

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... am1 am2 . . . amn

    



,



x=  

x1 x2 ... xn

    



,



b=  

b1 b2 ... bm

    

,

pak (11.1) lze zapsat ve tvaru Ax = b ,

(11.2)

Matice A se naz´ yvá matice soustavy (11.1), matice b se naz´ yvá sloupec prav´ ych stran a matice x se naz´ yvá matice nezn´ am´ ych. Matice A a b zapisujeme také spoleˇcnˇe jako jednu matici, oznaˇcujeme ji A|b, v n´ıˇz posledn´ı sloupec tvoˇr´ı sloupec prav´ ych stran a pˇri jej´ım zápisu

119

´ Í POJMY 11.1. ZAKLADN

120

pomoc´ı prvk˚ u oddˇelujeme posledn´ı sloupec svislou ˇcarou, tj.    

A|b = 

a11 a21 ... am1

a12 a22 ... am2

... ... ... ...

a1n a2n ... amn

b1 b2 ... bm

    

.

Matice A|b se naz´ yvá rozˇ s´ıˇ ren´ a matice soustavy. Je-li matice prav´ ych stran b nulová, naz´ yvá se taková soustava homogenn´ı. Je-li alespoˇ n jedno z ˇc´ısel bi , i = 1, 2, . . . , m, nenulové, mluv´ıme o nehomogenn´ı soustavˇ e. Pojem ˇ reˇ sitelnosti soustavy line´ arn´ıch rovnic Na soustavˇe dvou rovnic se dvˇema neznám´ ymi x, y a11 x + a12 y = b1 , a21 x + a22 y = b2 si ukáˇzeme tˇri moˇznosti pro ˇreˇsitelnost soustavy lineárn´ıch rovnic. (a) Soustava má jediné ˇreˇsen´ı. Napˇr´ıklad soustava x+y = 3 x−y = 1 T

má jediné ˇreˇsen´ı x = (2, 1) . Vid´ıme, ˇze det

1 1 1 −1

!

= −2 6= 0, tj. matice soustavy je

regulárn´ı. Jestliˇze x a y povaˇzujeme za souˇradnice bodu v rovinˇe, pak kaˇzdá rovnice soustavy vyjadˇruje pˇr´ımku v rovinˇe. Dvojice v1 , v2 je ˇreˇsen´ım soustavy, právˇe kdyˇz bod [v1 , v2 ] leˇz´ı na obou pˇr´ımkách. V naˇsem pˇr´ıpadˇe maj´ı obˇe pˇr´ımky spoleˇcn´ y bod [2, 1] - viz obr. 11.1. (b) Soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Napˇr´ıklad soustava x+y = 3 2x + 2y = 6 obsahuje dvˇe rovnice, z nichˇz druhá je dvojnásobkem prvn´ı. Druhá rovnice tedy nedává ˇza´dnou novou informaci o dvojici neznám´ ych x, y, a proto ji m˚ uˇzeme vynechat. T´ım se soustava redukuje na jednu rovnici se dvˇema neznám´ ymi. Jej´ım ˇreˇsen´ım je nekoneˇcnˇe mnoho dvojic, pro nˇeˇz plat´ı y = 3 − x, napˇr. (1, 2)T , (2, 1)T , (−1, 4)T atd. Vid´ıme, ˇze det

1 1 2 2

!

= 0, tj. matice soustavy je

singulárn´ı. Geometricky vyjadˇruj´ı obˇe rovnice tutéˇz pˇr´ımku (viz obr. 11.2).

ˇ SEN ˇ Í SOUSTAV LINEARN ´ ÍCH ROVNIC 11.2. METODY RE

y

y 6

y 6

x+y =3 x−y =1

1

3

Obrázek 11.1:

6

x+y =3

[2, 1] 0

121

x

0

2x + 2y = 6 x 3

Obrázek 11.2:

x+y =3 2x + 2y = 4 x 2 3

0

Obrázek 11.3:

(c) Soustava nemá ˇreˇsen´ı. Napˇr´ıklad soustava x+y = 3 2x + 2y = 4 nemá ˇreˇsen´ı, nebot’ levá strana 2. rovnice je dvojnásobek lev´ e !e strany 1. rovnice, pro prav´ 1 1 strany vˇsak uveden´ y vztah neplat´ı. Vid´ıme, ˇze det = 0. Geometricky vyjadˇruj´ı 2 2 obˇe rovnice dvˇe r˚ uzné rovnobˇeˇzné pˇr´ımky (nemaj´ı spoleˇcn´ y bod) – viz obr.11.3. ˇ sit soustavu znamená naj´ıt obecné ˇreˇsen´ı, tj. popsat vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı, Pozn´ amka 11.1 Reˇ popˇr. zjistit, ˇze je neˇreˇsitelná. Má-li soustava nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, ˇreˇsit soustavu“ znamená ” uvést pˇredpis, podle nˇehoˇz lze vyjádˇrit jednotlivé neznámé. V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe (b) lze tento pˇredpis uvést ve tvaru x = t, y = 3 − t, t ∈ R. Geometricky ˇreˇceno, zapsali jsme pˇr´ımku x + y = 3 v parametrickém tvaru. ˇ asteˇcn´ C´ ym (partikulárn´ım) ˇreˇsen´ım rozum´ıme jedno z ˇreˇsen´ı.

11.2

Metody ˇ reˇ sen´ı soustav line´ arn´ıch rovnic

11.2.1

Element´ arn´ı u ´ pravy matice

Element´ arn´ımi u ´ pravami matice W budeme rozumˇet kteroukoli z následuj´ıc´ıch u ´prav: • v´ ymˇenu i-tého a j-tého ˇra´dku; • vynásoben´ı i-tého ˇrádku nenulov´ ym ˇc´ıslem; • pˇriˇcten´ı k-násobku i-tého ˇra´dku k j-tému ˇra´dku. ˜ O matic´ıch W a W ˜ ˇr´ıkáme, ˇze jsou Elementárn´ımi u ´pravami matice W vznikne matice W. ˜ ekvivalentn´ı. Znaˇc´ıme W ∼ W. Mˇejme dánu soustavu lineárn´ıch rovnic tvaru (11.1) s matic´ı soustavy A = (aij ) typu (m, n) a s rozˇs´ıˇrenou matic´ı A|b. Lze dokázat, ˇze elementárn´ımi u ´pravami rozˇs´ıˇrené matice soustavy z´ıskáme matici, které odpov´ıdá soustava rovnic se stejn´ ym ˇreˇsen´ım, jaké mˇela soustava p˚ uvodn´ı.


122

Pozn´ amka 11.2 Nˇekdy se za elementárn´ı u ´pravy povaˇzuje i vyˇskrtnut´ı nulového ˇra´dku. Tato u ´prava vˇsak mˇen´ı typ matice, a proto ji za elementárn´ı u ´pravu nebudeme povaˇzovat. ˇ Dalˇs´ı pojem, kter´ y zavedeme, je matice ve stupˇ novitém tvaru“. Rekneme, ˇze matice A je ” ve stupˇ novit´ em tvaru, jestliˇze plat´ı: Je-li v nˇekterém ˇrádku prvn´ı nenulový prvek na i-tém m´ıstˇe, potom ve vˇsech dalˇs´ıch ˇr´ adc´ıch jsou vˇsechny prvky aˇz do i-tého vˇcetnˇe rovny nule.

11.2.2

Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda

Proces Gaussovy eliminace budeme pˇri ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic realizovat na prvky rozˇs´ıˇrené matice soustavy. Uvedeme paralelnˇe dva zp˚ usoby vyluˇcován´ı neznám´ ych, jednak pˇr´ımo v soustavˇe, jednak s prvky rozˇs´ıˇrené matice soustavy. C´ılem u ´prav je pˇrevést rozˇs´ıˇrenou matici soustavy do stupˇ novitého tvaru. Pˇ r´ıklad 11.1 

x1 +3x2 +x3 = 5 2x1 +x2 +x3 = 2 x1 +x2 +5x3 = −7

1   2 1

3 1 1



1 5 1 2  . 5 -7

ˇ sen´ı: Reˇ 1. krok Ze vˇsech rovnic, kromˇe prvn´ı, vylouˇc´ıme neznámou x1 . U rozˇs´ıˇrené matice soustavy to znamená, ˇze chceme, aby v pozic´ıch (2, 1) a (3, 1) byly nulové prvky. Prvn´ı ˇrádek op´ıˇseme a postupnˇe jej násob´ıme ˇc´ıslem −2 a pˇriˇcteme ke druhému ˇrádku, ˇc´ıslem −1 a pˇriˇcteme ke tˇret´ımu ˇrádku. 

x1 +3x2 +x3 = 5 −5x2 −x3 = −8 −2x2 +4x3 = −12

1   0 0



5 3 1 −5 −1 −8  . −2 4 −12

2. krok Vylouˇc´ıme x2 ze tˇret´ı rovnice. U rozˇs´ıˇrené matice soustavy násob´ıme druh´ y ˇrádek 2 ˇc´ıslem − 5 a pˇriˇcteme ke tˇret´ımu ˇra´dku. T´ım dostaneme v pozici (3, 2) nulov´ y prvek. x1 +3x2 −5x2

+x3 = 5 −x3 = −8 22 x = − 44 5 3 5





1 3 1 5  −8   0 −5 −1 . 22 44 0 0 −5 5

(11.3)

Rozˇs´ıˇrená matice soustavy (11.3) je jiˇz ve stupˇ novitém tvaru. Proces Gaussovy eliminace je u konce. Soustavu (11.3) jiˇz snadno vyˇreˇs´ıme zpˇetn´ ym dosazen´ım: 22 44 x3 = − 5 5 −5x2 − x3 = −8 x1 + 3x2 + x3 = 5

⇒

x3 = −2

⇒ x2 = 2 ⇒ x1 = 1 .

Jedin´ ym ˇreˇsen´ım soustavy je trojice ˇc´ısel (1, 2, −2)T . O správnosti ˇreˇsen´ı se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit dosazen´ım trojice do dané soustavy.


123

Dalˇs´ımi dvˇema pˇr´ıklady budeme ilustrovat pouˇzit´ı Gaussovy eliminace pro pˇr´ıpad soustavy, která má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, a pro pˇr´ıpad neˇreˇsitelné soustavy. ˇ sme soustavu Pˇ r´ıklad 11.2 Reˇ x1 −2x2 +3x3 −4x4 x2 −x3 +x4 x1 +3x2 −3x4 −7x2 +3x3 +x4

= 4 = −3 = 1 = −3.

ˇ sen´ı: V tomto pˇr´ıkladˇe jiˇz budeme vyluˇcovat neznámé Gaussovou eliminac´ı pouze v rozˇs´ıˇrené Reˇ matici soustavy. Rozˇs´ıˇrenou matici soustavy    

A|b = 

4 1 −2 3 −4 0 1 −1 1 −3 1 3 0 −3 1 0 −7 3 1 −3

    

pˇrevedeme Gaussovou eliminac´ı na matici     

1 −2 3 −4 4 0 1 −1 1 −3   . 6  0 0 1 −2 0 0 0 0 0 

Rozˇs´ıˇrená matice soustavy má po eliminaci jeden ˇrádek nulov´ y a ten odpov´ıdá rovnici 0 · x1 + 0 · x2 + 0 · x3 + 0 · x4 = 0, která je splnˇena identicky, tj. plat´ı pro libovolnou ˇctveˇrici ˇc´ısel, a proto m˚ uˇzeme tuto rovnici vynechat. Ekvivalentn´ı soustava vzniklá po eliminaci má tedy tvar x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 4 x2 −x3 +x4 = −3 x3 −2x4 = 6.

(11.4)

Chceme zjistit v´ ysledn´ y tvar ˇreˇsen´ı. Pˇrevedeme soustavu (11.4) na tvar x1 −2x2 +3x3 = 4 +4x4 , x2 − x3 = −3 − x4 , x3 = 6 +2x4 . Jestliˇze do této soustavy dosad´ıme x4 = t, t ∈ R, dostaneme soustavu, kterou jiˇz um´ıme ˇreˇsit zpˇetn´ ym dosazen´ım. Soustava má tedy nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı tvaru x1 = −8,

x2 = 3 + t,

x3 = 6 + 2t,

x4 = t,

t∈R,

ˇ sen´ı (rozum´ı se obecné) lze napˇr. partikulárn´ı ˇreˇsen´ı jsou (−8, 4, 8, 1)T , (−8, 3, 6, 0)T apod. Reˇ psát také ve tvaru x = (−8, 3, 6, 0)T + t(0, 1, 2, 1)T .


124

ˇ sme soustavu Pˇ r´ıklad 11.3 Reˇ x1 +2x2 +3x3 = 4 2x1 +x2 −x3 = 3 . 3x1 +3x2 +2x3 = 10 ˇ sen´ı: Rozˇs´ıˇrenou matici soustavy Reˇ 



1 2 3 4   A|b =  2 1 -1 3  3 3 2 10 uprav´ıme eliminac´ı na tvar 

1   0 0

2 3 0



3 4 7 5  . 0 3

Ekvivalentn´ı soustava vzniklá po eliminaci má tedy tvar x1 +2x2 +3x3 = 4 3x2 +7x3 = 5 0 · x3 = 3. Neexistuje x3 takové, aby byla splnˇena posledn´ı rovnice vzniklé soustavy. Daná soustava je tud´ıˇz také neˇreˇsitelná.

11.2.3

Podm´ınky ˇ reˇ sitelnosti soustavy line´ arn´ıch rovnic

Pˇri realizaci Gaussovy eliminace lze zároveˇ n rozhodnout o ˇreˇsitelnosti a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı soustavy. Pomoc´ı matice a rozˇs´ıˇrené matice soustavy m˚ uˇzeme vyslovit obecné podm´ınky ˇreˇsitelnosti a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı. Kaˇzdé matici A pˇriˇrad´ıme celé nezáporné ˇc´ıslo h(A), které naz´ yváme hodnost matice a definujeme jako poˇcet nenulov´ ych ˇrádk˚ u v matici, kterou dostaneme pˇreveden´ım matice A do stupˇ novitého tvaru. ’ Vrat me se nyn´ı k pˇr´ıklad˚ um z pˇredcházej´ıc´ıho odstavce a zkusme formulovat podm´ınky ˇreˇsitelnosti (Frobeniova vˇeta) uveden´ ych soustav pomoc´ı hodnosti soustavy a hodnosti matice rozˇs´ıˇrené. Pˇ r´ıklad 11.4 1. V pˇr´ıkladˇe 3.2, kde soustava mˇela jediné ˇreˇsen´ı, vznikla po eliminaci rozˇs´ıˇrená matice ve tvaru 

1  A|b =  0 0



5 3 1 −5 −1 −8  . 22 44 0 −5 5

Matice soustavy i rozˇs´ıˇrená matice maj´ı 3 nenulové ˇra´dky, a proto maj´ı obˇe hodnost 3, tj. h(A) = h(A|b) = 3.


125

2. V pˇr´ıkladˇe 3.3, kde soustava mˇela nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, vznikla po eliminaci rozˇs´ıˇrená matice ve tvaru   1 −2 3 −4 4  0 1 −1 1 −3     .  0 0 1 −2 6  0 0 0 0 0 Zde je h(A) = h(A|b) = 3. Pˇripomeˇ nme, ˇze ˇslo o soustavu, která má ˇctyˇri neznámé. 3. V pˇr´ıkladˇe 3.4, kde soustava nemˇela ˇreˇsen´ı, vznikla po eliminaci rozˇs´ıˇrená matice ve tvaru 



1 2 3 4    0 3 7 5 . 0 0 0 3 V tomto pˇr´ıpadˇe je h(A) = 2,

h(A|b) = 3.

Tvar soustavy

Podm´ınky ˇ sitelnost Reˇ

h(A) = h(A|b) = n

h(A) = h(A|b) < n

h(A) < h(A|b)

Existuje jediné ˇreˇsen´ı

Existuje nekoneˇcnˇe Neexistuje ˇreˇsen´ı mnoho ˇreˇsen´ı

Tabulka 11.1: V uveden´ ych pˇr´ıkladech je zaj´ımavé si vˇsimnout vztahu mezi hodnost´ı matice soustavy a hodnost´ı matice rozˇs´ıˇrené. U ˇreˇsitelné soustavy (pˇr´ıpad 1. a 2.) plat´ı h(A) = h(A|b), u neˇreˇsitelné (pˇr´ıpad 3.) je h(A) 6= h(A|b). Tyto vlastnosti plat´ı obecnˇe (Frobeniova vˇeta) a lze je shrnout do tabulky 11.1 (n v tabulce znaˇc´ı poˇcet neznám´ ych dané soustavy lineárn´ıch rovnic). Vˇ eta 11.1 (Frobeniova) Soustava lineárn´ıch rovnic Ax = b o n neznámých má alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı, právˇe kdyˇz h(A) = h(A|b) , tj. hodnost matice soustavy se rovná hodnosti rozˇs´ıˇrené matice.


11.2.4

126

Cramerovo pravidlo

Pˇ r´ıklad 11.5 Pro ilustraci Cramerova pravidla vyˇreˇs´ıme soustavu dvou rovnic o dvou neznám´ ych a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 . ˇ sen´ı: Vynásob´ıme prvn´ı rovnici ˇc´ıslem a22 , druhou rovnici ˇc´ıslem −a12 a obˇe rovnice Reˇ seˇcteme. Vylouˇc´ıme tak promˇennou x2 a dostaneme jednu rovnici pro neznámou x1 (a11 a22 − a12 a21 )x1 = a22 b1 − a12 b2 . Je-li a11 a22 − a12 a21 6= 0 , pak a22 b1 − a12 b2 . a11 a22 − a12 a21 Obdobnˇe dostaneme (vylouˇcen´ım promˇenné x1 ) x1 =

x2 =

a11 b2 − a21 b1 . a11 a22 − a12 a21

Vzorce pro x1 a x2 m˚ uˇzeme pˇrepsat pomoc´ı determinant˚ u na tvar

x1 =

b 1 b2 a 11 a21

a12 a22

a12 a22

,

x2 =

a 11 a21 a 11 a21

a12 a22

b1 b2

.

Uvedené vzorce jsou speciáln´ım pˇr´ıpadem tzv. Cramerova pravidla. Uvaˇzujme soustavu n rovnic o n neznám´ ych Ax = b (matice soustavy A je ˇ ctvercov´ a) s regulárn´ı matic´ı soustavy A (tj. det A 6= 0). Potom má soustava ˇreˇsen´ı a toto ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme vyjádˇrit pomoc´ı determinant˚ u ve tvaru x1 =

det A1 , det A

x2 =

det A2 , det A

...,

xn =

det An , det A

(11.5)

kde Ak , k = 1, 2, . . . , n, je matice, která vznikne z matice A nahrazen´ım jej´ıho k-tého sloupce sloupcem prav´ ych stran. Vzorce (11.5) se naz´ yvaj´ı Cramerovo pravidlo. Ve srovnán´ı s ostatn´ımi metodami ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic (v numerické matematice) je ˇreˇsen´ı soustavy pomoc´ı Cramerova pravidla pro n > 3 mnohem pracnˇejˇs´ı a ˇcasovˇe nároˇcnˇejˇs´ı. Nav´ıc tuto metodu lze pouˇz´ıt jen pro soustavy s regulárn´ı matic´ı. Crammerovo pravidlo ale na druhé stranˇe poslouˇz´ı k odvozen´ı vzorc˚ u v r˚ uzn´ ych aplikac´ıch. Pˇ r´ıklad 11.6 Pomoc´ı Cramerova pravidla vyˇreˇs´ıme soustavu 4x1 2x1

+x2 −x3 = 2, −x2 +x3 = −10, +3x2 −2x3 = 24.

´ ÍCH ROVNIC S PARAMETREM 11.3. SOUSTAVY LINEARN

127

ˇ sen´ı: Matice soustavy je ˇctvercová a Reˇ

4 1 −1 1 det A = 0 −1 2 3 −2

= −4 6= 0,

proto m˚ uˇzeme Cramerovo pravidlo pouˇz´ıt. Vypoˇcteme tedy postupnˇe determinanty det A1 , det A2 , a det A3 .

2 1 −1 1 det A1 = −10 −1 24 3 −2

=8,

4 2 −1 1 det A2 = 0 −10 2 24 −2

= −32 ,

4 1 2 det A3 = 0 −1 −10 = 8 . 2 3 24 Podle (11.5) je tedy x1 =

8 = −2, −4

x2 =

−32 =8 −4

x3 =

8 = −2. −4

Pozn´ amka 11.3 Ze vzorc˚ u (11.5) m˚ uˇzeme také odvodit jeden d˚ uleˇzit´ y v´ ysledek t´ ykaj´ıc´ı se ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy s regulárn´ı matic´ı soustavy. U homogenn´ı soustavy jsou det Ak = 0 pro k = 1, 2, . . . , n a soustava má tedy vˇzdy jen nulové (tzv. triviáln´ı) ˇreˇsen´ı.

11.3

Soustavy line´ arn´ıch rovnic s parametrem

Budeme se zab´ yvat soustavou lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic Ax = b (homogenn´ı i nehomogenn´ı), v n´ıˇz nˇekteré z prvk˚ u aij , bi nejsou udány jako ˇc´ısla, ale jako parametry, které mohou nab´ yvat libovoln´ ych hodnot z dané ˇc´ıselné mnoˇziny. Hodnost matice i rozˇs´ıˇrené matice takové soustavy závis´ı obecnˇe na hodnotách parametru, a proto na hodnotách parametru závis´ı i existence ˇci neexistence ˇreˇsen´ı. U soustav s parametrem je tˇreba nejdˇr´ıve provést rozbor a teprve pak hledat pˇr´ısluˇsná ˇreˇsen´ı soustavy, pokud existuj´ı. Pˇ r´ıklad 11.7 Provedeme rozbor existence ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic −x1 +px2 +3x3 = −1 −2x1 +x2 +px3 = −3 x1 −5x2 −7x3 =0

(11.6)

v závislosti na parametru p ∈ R a najdˇete vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı: Nejprve zjist´ıme, pro které hodnoty parametru p je matice soustavy regulárn´ı. StaReˇ nov´ıme proto det A: −1 p 3 1 p = (p − 2)(p − 17) . det A = −2 1 −5 −7 Matice A je regulárn´ı, právˇe kdyˇz det A 6= 0, tj. kdyˇz p 6= 2 a p 6= 17. Mus´ıme tedy vyˇsetˇrit zvláˇst’ tˇri pˇr´ıpady.

´ ÍCH ROVNIC S PARAMETREM 11.3. SOUSTAVY LINEARN

128

1. Pro hodnoty parametru p 6= 2 a p 6= 17 m˚ uˇzeme hledat ˇreˇsen´ı soustavy napˇr. pomoc´ı Cramerova pravidla:

−1 p 3 1 p det A1 = −3 0 −5 −7

= 26(2 − p) ,

−1 −1 3 p =2−p, det A2 = −2 −3 1 0 −7 −1 p −1 1 −3 = 3(2 − p) . det A3 = −2 1 −5 0 Odtud x1 =

26(2 − p) 26 = , (p − 2)(p − 17) 17 − p x3 =

x2 =

(2 − p) 1 = , (p − 2)(p − 17) 17 − p

3(2 − p) 3 = (p − 2)(p − 17) 17 − p

pro p 6= 2 a p 6= 17. 2. Pro hodnotu parametru p = 2 je det A = 0 a Cramerovo pravidlo tedy nelze pouˇz´ıt. Gaussovou eliminac´ı dostaneme, ˇze rozˇs´ıˇrená matice soustavy (11.6) má tvar 





−1 −1 2 3 −1    1 2 −3  ∼  0  −2 0 1 −5 −7 0



2 3 −1 −3 −4 −1   0 0 0

a soustava tedy má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı ve tvaru x1 =

5 1 + t, 3 3

x2 =

1 4 − t, 3 3

x3 = t ,

t∈R.

3. Pro hodnotu parametru p = 17 má rozˇs´ıˇrená matice soustavy (11.6) tvar 





−1 −1 17 3 −1   1 17 −3  0  −2 ∼ 1 −5 −7 0 0



17 3 −1 1  −3 1 − 11  . 15 0 0 − 44

Vid´ıme, ˇze hodnost matice soustavy je menˇs´ı neˇz hodnost rozˇs´ıˇrené matice soustavy, a tedy soustava v tomto pˇr´ıpadˇe nemá ˇreˇsen´ı.

´ ˇ 11.4. VYPO CET INVERZNÍ MATICE

129

Pˇ r´ıklad 11.8 Provedeme rozbor existence ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic x +y +2z +2t = 2 x +2y +3z +t = 3 x +z +3t = a

(11.7)

v závislosti na parametru a ∈ R a najdeme vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı: Tuto soustavu nelze ˇreˇsit postupem z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu, protoˇze matice soustavy Reˇ nen´ı ˇctvercová. Pouˇzijeme tedy Gaussovu eliminaci. Po u ´pravˇe dostaneme rozˇs´ıˇrenou matici soustavy ve tvaru   1 1 2 2 2  1   0 1 1 −1  0 0 0 0 a−1 1. Pro a = 1 je hodnost matice soustavy stejná jako hodnost matice rozˇs´ıˇrené a je rovna 2. Soustava má tedy nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı tvaru x = 1 − 3p − q,

y = 1 + p − q,

z = q,

t = p,

p, q ∈ R .

2. Pro a 6= 1 nemá soustava ˇreˇsen´ı, protoˇze hodnost matice soustavy je 2, kdeˇzto hodnost matice rozˇs´ıˇrené je 3.

11.4

V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice

11.4.1

V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice eliminac´ı

Na obecné regulárn´ı matici A tˇret´ıho ˇra´du ukáˇzeme, jak lze urˇcit prvky inverzn´ı matice modifikovanou Gaussovou eliminac´ı. Oznaˇc´ıme prvky matice A a A−1 : 



a11 a12 a13  A =  a21 a22 a23   , a31 a32 a33



A−1



x11 x12 x13  =  x21 x22 x23   . x31 x32 x33

(11.8)

Naˇs´ım u ´kolem je naj´ıt matici A−1 takovou, aby AA−1 = A−1 A = I ,

(11.9)

kde I je jednotková matice. Rovnost AA−1 = I lze rozepsat pomoc´ı tˇr´ı rovnost´ı takto: 









a11 a12 a13 x11 1       a21 a22 a23   x21  =  0  , a31 a32 a33 x31 0 









a11 a12 a13 x12 0       a21 a22 a23   x22  =  1  , a31 a32 a33 x32 0 







(11.10)

(11.11)



a11 a12 a13 x13 0       a21 a22 a23   x23  =  0  . a31 a32 a33 x33 1

(11.12)


130

Máme tedy tˇri soustavy rovnic se stejnou matic´ı soustavy A. O matici A v´ıme, ˇze je regulárn´ı, vˇsechny tˇri soustavy maj´ı tedy jediné ˇreˇsen´ı. Neznámé v soustavách jsou prvky inverzn´ı matice ˇ sen´ım prvn´ı soustavy dostaneme prvky x11 , x21 , x31 , ˇreˇsen´ım druhé soustavy prvky A−1 . Reˇ x12 , x22 , x32 a ˇreˇsen´ım tˇret´ı soustavy prvky x13 , x23 , x33 . Pouˇzijeme-li pro ˇreˇsen´ı vˇsech tˇr´ı soustav (se stejnou matic´ı soustavy) Gaussovu eliminaˇcn´ı metodu, m˚ uˇzeme eliminaci provádˇet souˇcasnˇe tak, ˇze vytvoˇr´ıme modifikovanou rozˇs´ıˇrenou matici soustavy ve tvaru a13 1 0 a23 0 1 a33 0 0 } | {z (2)

   a  11   a21   a31 |

a12 a22 a32 {z

(1)



0 0 1

       }

.

(11.13)

Gaussovu eliminaˇcn´ı metodu m˚ uˇzeme modifikovat tak, aby v rozˇs´ıˇrené matici soustavy (11.13) na m´ıstˇe matice A (v (11.13) je toto m´ısto oznaˇceno (1)) vznikla jednotková matice. Na m´ıstˇe jednotkové matice (oznaˇceno (2)) pak vznikne matice inverzn´ı. Tato modifikace Gaussovy eliminace se naz´ yvá Jordanova eliminaˇ cn´ı metoda, jej´ıˇz princip se dá charakterizovat v nˇekolika kroc´ıch: 1. Vytvoˇr´ıme rozˇs´ıˇrenou matici (11.13). 2. V n´ı eliminujeme znám´ ym postupem prvky pod diagonálou (GEM). Analogick´ ym postupem eliminujeme i prvky nad diagonálou. 3. Dˇel´ıme ˇra´dek, pomoc´ı nˇehoˇz jsme provedli eliminaci, jeho diagonáln´ım prvkem. Jin´ ymi slovy v Jordanovˇe eliminaˇcn´ı metodˇe odeˇc´ıtáme ˇrádek matice ve vhodn´ ych násobc´ıch od vˇsech ˇra´dk˚ u matice (s v´ yjimkou daného ˇra´dku). Tak zároveˇ n odpadne realizace zpˇetného chodu, tj. zpˇetné dosazován´ı. T´ımto algoritmem dostaneme a) na m´ıstˇe p˚ uvodn´ı matice A matici jednotkovou, b) na m´ıstˇe jednotkové matice matici inverzn´ı A−1 . Pˇ r´ıklad 11.9 Jordanovou metodou urˇc´ıme inverzn´ı matici k matici 



2 1 1   A= 1 1 4  . 3 2 1 ˇ sen´ı: Vytvoˇr´ıme rozˇs´ıˇrenou matici Reˇ 

2  A|I =  1 3

1 1 2

1 1 4 0 1 0

0 1 0



0 0   . 1


131

1. krok Znám´ ym postupem dostaneme v pozic´ıch (2, 1) a (3, 1) nulové prvky. 

2 1 1 1  1 0 −1 −7  0 −1 1 3



0 0 −2 0   . 0 −2

2. krok Stejn´ ym postupem eliminujeme prvek v pozici (3, 2) a dostaneme matici 







2 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0    0  ∼  0 −1 −7 1 −2 0   .  0 −1 −7 1 −2 2 −2 1 −1 0 0 8 2 0 0 4 1 K dokonˇcen´ı u ´pravy druhého sloupce k prvn´ımu ˇra´dku pˇriˇcteme druh´ y ˇra´dek a t´ım eliminujeme prvek v pozici (1, 2): 







2 0 −6 2 −2 0 0 1 0 −3 1 −1    1 −2 0 1 −2 0  0 −1 −7 0 −1 −7 ∼     . 0 0 4 1 0 0 4 1 1 −1 1 −1 Pomoc´ı násobk˚ u tˇret´ıho ˇra´dku eliminujeme dva prvky tˇret´ıho sloupce v pozic´ıch (1, 3) a (2, 3):   4 0 0 7 −1 −3    0 −4 0 11 −1 −7  . 1 −1 0 0 4 1 3. krok Posledn´ı krok spoˇc´ıvá v pˇreveden´ı matice, která je na m´ıstˇe p˚ uvodn´ı matice A, na matici jednotkovou. Prvn´ı a tˇret´ı ˇrádek vydˇel´ıme ˇc´ıslem 4, druh´ y ˇra´dek ˇc´ıslem −4: 7 1 0 0 4   0 1 0 − 11  4 1 0 0 1 4



− 14

− 34



1 4 1 4

7 4 − 14

  

.

Hledaná inverzn´ı matice má tedy tvar 

A−1 =   

7 4 − 11 4 1 4

− 14 − 34 1 4 1 4

7 4 − 14

   

.

T´ım jsme vyˇreˇsili souˇcasnˇe vˇsechny tˇri soustavy rovnic (11.10). Správnost v´ ysledku m˚ uˇzeme ovˇeˇrit platnost´ı rovnost´ı AA−1 = I, A−1 A = I (staˇc´ı ovˇeˇrit platnost jedné z nich).

11.4.2

V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice pomoc´ı determinantu

Vˇ eta 11.2 Necht’ A = (aij ), i, j = 1, . . . , n, je regulárn´ı matice ˇrádu n. Pak 

A−1 =

1    det A 

D11 , D21 , . . . , Dn1 D12 , D22 , . . . , Dn2 ... D1n , D2n , . . . , Dnn

kde Dij je algebraický doplnˇek prvku aij – viz (10.11).

    

,

(11.14)

ˇ Í 11.5. CVICEN

132

D˚ ukaz: Oznaˇcme AA−1 = C = (cij ) . Ovˇeˇr´ıme, ˇze matice C je jednotková. Podle definice souˇcinu matic je 1 (ai1 Dj1 + ai2 Dj2 + · · · + ain Djn ) . cij = det A Je-li i = j, pak podle (10.12) je ai1 Di1 + ai2 Di2 + · · · + ain Din = det A , a tedy cii = 1 pro i = 1, 2, . . . , n. Je-li i 6= j, pak souˇcet ai1 Dj1 + ai2 Dj2 + · · · + ain Djn pˇredstavuje rozvoj determinantu (podle i-tého ˇrádku) matice, která vznikla z matice A nahrazen´ım j-tého ˇra´dkového vektoru i-t´ ym ˇra´dkov´ ym vektorem. Jde tedy o determinant matice, která má dva ˇra´dky stejné. To znamená, ˇze determinant je roven nule, takˇze cij = 0 pro i 6= j. Matice C je tedy jednotková. Analogicky se dokáˇze, ˇze také BA je jednotková matice.

Pˇ r´ıklad 11.10 Pro matici druhého ˇra´du A=

a11 , a12 a21 , a22

!

je podle (10.11) D11 = a22 ,

D12 = −a21 ,

D21 = −a12 ,

D22 = a11 ,

a tedy podle (11.14) A

−1

1 = det A

a22 , −a12 −a21 , a11

!

.

Pozn´ amka 11.4 Vzorec (11.14) je pro praktick´ y v´ ypoˇcet inverzn´ı matice vhodn´ y pouze u matic nejv´ yˇse tˇret´ıho ˇra´du. Pro matice ˇctvrtého ˇra´du vyˇzaduje v´ ypoˇcet jednoho determinantu ˇctvrtého ˇra´du a ˇsestnácti determinant˚ u tˇret´ıho ˇra´du.

11.5

Cviˇ cen´ı

11.1 Naleznˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic: x1 +x2 +x3 = 5 x 1. 1 −x2 +x3 = 1 x1 +x3 = 3 2x1 −x2 +3x3 = 9 2. 3x1 −5x2 +x3 = −4 4x1 −7x2 +x3 = 5

[x1 = 1 + t, x2 = 2, x3 = 2 − t, t ∈ R]

ˇ sen´ı neexistuje.] [Reˇ

ˇ Í 11.5. CVICEN

x1 +x2 +2x3 +3x4 3x1 −x2 −x3 −2x4 3. 2x1 +3x2 −x3 −x4 x1 +2x2 +3x3 −x4

133

= 1 = −4 = −6 = −4 [x1 = −1, x2 = −1, x3 = 0, x4 = 1.]

4.

x +2y −3z = 5 3x −4y +5z = 6 [x = 15 (t + 16), y =

1 (14t 16

+ 9), z = t, t ∈ R.]

5x +3z +u = 0 4y +2t = 6 5. x +3z +5u = 0 2y +4t = 6 x +z +u = 0 [x = t, y = 1, z = −2t, t = 1, u = t, t ∈ R.] 11.2 Naleznˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ıch soustav lineárn´ıch rovnic: x +y +z = 0 1. x +3y +6z = 0 x +8y −3z = 0

[x = 0, y = 0, z = 0.]

2x −4y +5z +3t = 0 2. 4x −8y +17z +11t = 0 3x −6y +4z +2t = 0 [x = 2r, y = s, z = −5r + 5s, t = 7r − 7s, r, s ∈ R.] 11.3 Pomoc´ı Cramerova pravidla ˇreˇste soustavu x1 +x2 −x3 = −2 x1 −4x2 +2x3 = −1 x1 −x2 +x3 = 0. [x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2.] ˇ ste soustavy lineárn´ıch rovnic s parametrem p ∈ R 11.4 Reˇ x1 +x2 +px3 = p 1. x1 +px2 +x3 = p x1 +x2 +x3 = 1 [Pro p = 1 je x1 = 1 − t − s, x2 = t, x3 = s, pro p 6= 1 je x1 = −1, x2 = 1, x3 = 1] 2.

t, s ∈ R,

px1 +x2 = 1 x1 +px2 = p [Pro p = 1 je x1 = t, x2 = 1−t, t ∈ R, pro p = −1 je x1 = −1+t, x2 = t, t ∈ R, pro p 6= 1 ∧ p 6= −1 je x1 = 0, x2 = 1.]


3.

4.

134

px1 +x2 = p x1 +px2 = 0 [Pro p = 1 nemá soustava ˇreˇsen´ı, pro p = −1 nemá soustava ˇreˇsen´ı, 2 p2 pro p 6= 1 ∧ p 6= −1 je x1 = p2p−1 , x2 = 1−p 2 .] px1 +x2 = p x1 +px2 = p [Pro p = 1 je x1 = t, x2 = 1 − t, t ∈ R, pro p = −1 nemá soustava ˇreˇsen´ı, p p pro p 6= 1 ∧ p 6= −1 je x1 = p+1 , x2 = p+1 .]

11.5 Najdˇete inverzn´ı matici k matici A: cos x − sin x sin x cos x

1. A = 

!

[A−1 =

;



3. A =   

11.6

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1



2 9

   

[A−1 = 

;

2 9 1 9 − 29

.] 

[A−1 =

    

 5  29   9

!

2 9 − 92 1 9



1 2 2  1 −2  2. A =  2  ; 2 −2 1 

cos x sin x − sin x cos x

  

   

.]

.]


11.1 Definujte hodnost matice. 11.2 Jakou hodnost má matice A=

1 2 1 2

!

?

11.3 Formulujte Frobeniovu vˇetu pro popis mnoˇziny ˇreˇsen´ı dané soustavy lineárn´ıch rovnic v závislosti na hodnosti matice soustavy, hodnosti soustavy rozˇs´ıˇrené a poˇctu neznám´ ych. 11.4 Uved’te nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro existenci alespoˇ n jednoho ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. 11.5 Proˇc je nevhodné pouˇzit´ı Cramerova pravidla pro ˇreˇsen´ı soustav rovnic s vˇetˇs´ım poˇctem rovnic (a neznám´ ych)? 11.6 Vysvˇetlete rozd´ıl mezi Gaussovou a Jordanou eliminaˇcn´ı metodou. 11.7 Uved’te dvˇe metody v´ ypoˇctu inverzn´ı matice k dané regulárn´ı matici.

Kapitola 12 Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matice 12.1

Charakteristick´ y polynom a charakteristick´ a rovnice matice

Mˇejme ˇctvercovou matici A = (aij ) ˇra´du n. Determinant matice λI − A λ − a11 , −a12 , . . . , −a1n −a21 , λ − a22 , . . . , −a2n det(λI − A) = ... −an1 , −an2 , . . . , λ − ann

je polynom stupnˇe n v promˇenné λ s reáln´ ymi koeficienty. Tento polynom se naz´ yvá charakteristick´ y polynom matice A. Algebraická rovnice det(λI − A) = 0 (12.1) je charakteristick´ a rovnice matice A.

12.2

V´ ypoˇ cet vlastn´ıch ˇ c´ısel matice

Koˇreny rovnice (12.1) naz´ yváme vlastn´ı ˇ c´ısla matice A. Je-li λ0 k-násobn´ ym koˇrenem charakteristické rovnice, ˇr´ıkáme, ˇze je k-n´ asobn´ ym vlastn´ım ˇ c´ıslem matice A. M´ısto pojmu vlastn´ı ˇc´ıslo matice se také pouˇz´ıvá název charakteristick´ a hodnota matice A. Koˇreny charakteristické rovnice hledáme v mnoˇzinˇe komplexn´ıch ˇc´ısel. Mnoˇzina vˇsech vlastn´ıch ˇc´ısel matice A se naz´ yvá spektrum matice A. Pˇ r´ıklad 12.1 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla matice 



−1 1 1   A =  1 −1 1  . −1 1 1 ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve vypoˇcteme charakteristick´ Reˇ y polynom matice A

λ+1 −1 −1 −1 λ + 1 −1 det(λI − A) = 1 −1 λ − 1 135

= λ3 + λ2 − 2λ .

12.3. VLASTNÍ VEKTORY MATICE

136

ˇ s´ıme charakteristickou rovnici matice A Reˇ λ3 + λ2 − 2λ = 0 . Jej´ım ˇreˇsen´ım dostaneme tˇri jednoduchá (reálná) vlastn´ı ˇc´ısla matice A: λ2 = −2,

λ1 = 1,

λ3 = 0.

Pˇ r´ıklad 12.2 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla matice 



−1 1 0  4  A =  0 −1  . 1 0 −4 ˇ sen´ı: Charakteristick´ Reˇ y polynom matice A má tvar

λ + 1 −1 0 0 λ + 1 −4 det(λI − A) = −1 0 λ+4

= λ3 + 6λ2 + 9λ = λ(λ + 3)2 .

Jeho koˇreny jsou λ1 = 0, λ2 = λ3 = −3. Matice A má tedy jednoduché vlastn´ı ˇc´ıslo 0 a dvojnásobné vlastn´ı ˇc´ıslo −3. Pˇ r´ıklad 12.3 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla matice 



1 0 0   A =  0 2 −2  . 0 2 2 ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice matice A Reˇ

λ−1 0 0 0 λ−2 2 det(λI − A) = 0 −2 λ − 2

= (λ − 1)(λ2 − 4λ + 8) = 0

má reáln´ y koˇren λ1 = 1 a komplexnˇe sdruˇzené koˇreny λ2 = 2 + 2i, λ3 = 2 − 2i. Matice A má tedy jednonásobná vlastn´ı ˇc´ısla 1, 2 + 2i, 2 − 2i.

12.3

Vlastn´ı vektory matice

Je-li ˇc´ıslo λ0 vlastn´ım ˇc´ıslem matice A, je matice λ0 I − A singulárn´ı (má nulov´ y determinant). Pro jej´ı hodnost tedy plat´ı h(λ0 I − A) < n. Homogenn´ı soustava rovnic (λ0 − a11 )x1 −a21 x1 ... −an1 x1

−a12 x2 +(λ0 − a22 )x2 −an2 x2

−··· −···

−a1n xn −a2n xn

= 0, = 0,

− · · · +(λ0 − ann )xn

= 0.

(12.2)

má matici soustavy λ0 I − A (ta je singulárn´ı) a má tud´ıˇz nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı tvaru (x1 , x2 , . . . , xn )T . Kaˇzdé netriviáln´ı, tj. nenulové, ˇreˇsen´ı soustavy (12.2) se naz´ yvá vlastn´ı vektor (nebo také charakteristick´ y vektor) matice A pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ımu ˇc´ıslu λ0 .

12.3. VLASTNÍ VEKTORY MATICE

137

Pˇ r´ıklad 12.4 Hledejme vlastn´ı vektory matice 2, 6 6, −3

A=

!

.

ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice Reˇ

λ − 2, −6 det(λI − A) = −6, λ + 3

= λ2 + λ − 42 = (λ + 7)(λ − 6) = 0

má koˇreny λ1 = −7, λ2 = 6. Vlastn´ı vektory matice A pˇr´ısluˇsej´ıc´ı vlastn´ımu ˇc´ıslu hledáme jako ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy lineárn´ıch rovnic (λ − 2)x1 − 6x2 = 0, −6x1 + (λ + 3)x2 = 0. Pro λ1 = −7 ˇreˇs´ıme soustavu −9x1 −6x2 = 0, −6x1 −4x2 = 0. Tato soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı a vyhovuje j´ı kaˇzdá dvojice x1 = 2t, x2 = −3t, t ∈ R. To znamená, ˇze vlastn´ım vektorem matice A pˇr´ısluˇsej´ıc´ım vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1 = −7 je kaˇzd´ y vektor tvaru (2t, −3t), t ∈ R, t 6= 0. Pro λ = 6 ˇreˇs´ıme soustavu lineárn´ıch rovnic 4x1 −6x2 = 0, −6x1 +9x2 = 0. ˇ sen´ım této rovnice je kaˇzdá dvojice x1 = 3t, x2 = 2t, t ∈ R. Vlastn´ım vektorem matice A Reˇ pˇr´ısluˇsej´ıc´ım vlastn´ımu ˇc´ıslu λ2 = 6 je kaˇzd´ y vektor tvaru (3t, 2t), t ∈ R, t 6= 0. Pˇ r´ıklad 12.5 Hledejme vlastn´ı vektory matice 



2, −1 2  3  A =  5, −3  . −1 0 −2 ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice Reˇ

λ − 2, 1 −2 det(λI − A) = −5, λ + 3 −3 1 0 λ+2 má trojnásobn´ y koˇren λ1 = λ2 = λ3 = −1. lineárn´ıch rovnic −3x1 +x2 −5x1 +2x2 x1

= λ3 + 3λ2 + 3λ + 1 = (λ + 1)3 = 0

Vlastn´ı vektor hledáme jako ˇreˇsen´ı soustavy −2x3 = 0, −3x3 = 0, +x3 = 0.

ˇ sen´ım této soustavy je kaˇzdá trojice x1 = t, x2 = t, x3 = −t, t ∈ R. Vlastn´ım vektorem Reˇ matice A pˇr´ısluˇsej´ıc´ım vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1,2,3 = −1 je kaˇzd´ y vektor tvaru (t, t, −t), t ∈ R, t 6= 0 .

ˇ Í 12.4. CVICEN

138

Pˇ r´ıklad 12.6 Hledejme vlastn´ı vektory matice 



0, 1 0  A=  −4, 4 0  . −2 1 2 ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice Reˇ

λ, −1 0 0 det(λI − A) = 4, λ − 4 2 −1 λ − 2

= λ3 − 6λ2 + 12λ − 8 = (λ − 2)3 = 0

má trojnásobn´ y koˇren λ1 = λ2 = λ3 = 2. Vlastn´ı vektor hledáme jako ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic 2x1 −x2 = 0, 4x1 −2x2 = 0, 2x1 −x2 = 0. ˇ sen´ım této soustavy je kaˇzdá trojice x1 = t, x2 = 2t, x3 = r, t, r ∈ R. Vlastn´ım vektorem Reˇ matice A pˇr´ısluˇsej´ıc´ım vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1,2,3 = 2 je kaˇzd´ y vektor tvaru 6 0 (t, 2t, r), t, r ∈ R, |t| + |r| = (parametry t a r nemohou b´ yt souˇcasnˇe rovny 0).

12.4

Cviˇ cen´ı 1 5 2 4

12.1 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice A, kde A =

!

[λ1 = 6, (t, t), t ∈ R, t 6= 0, λ2 = −1, (−5t, 2t), t ∈ R, t 6= 0] 



0 1 0   12.2 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice A, kde A =  0 0 1  0 1 0 [λ1 = 0, (t, 0, 0), t ∈ R, t 6= 0, λ2 = −1, (t, t, t), t ∈ R, t 6= 0, λ3 = 1, (t, −t, t), t ∈ R, t 6= 0] 



−1 −2 2  1 0  12.3 Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice A, kde A =  0  0 0 1 t, r ∈ R, |t| + |r| = 6 0.] [λ1 = −1, (t, 0, 0), t ∈ R, t 6= 0, λ2 = λ3 = 1, (−t + r, t, r),

12.5


12.1 Definujte pojem vlastn´ı ˇc´ıslo matice a uved’te, pro jaké matice je tento pojem definován. 12.2 Necht’ λ je vlastn´ı ˇc´ıslo matice A. Definujte vlastn´ı vektor u matice A pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ımu ˇc´ıslu λ.


139

12.3 Jaká vlastn´ı ˇc´ısla má diagonáln´ı matice? 12.4 Jaká vlastn´ı ˇc´ısla má horn´ı nebo doln´ı troj´ uheln´ıková matice? 12.5 Které matice maj´ı alespoˇ n jedno reálné vlastn´ı ˇc´ıslo? (Návod: Uvˇedomte si, ˇze v´ ypoˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel se provád´ı pomoc´ı hledán´ı koˇren˚ u polynomu - viz kontroln´ı otázka 4 na stranˇe 101.)

Kapitola 13 Vektorov´ y poˇ cet 13.1

Euklidovsk´ y prostor E3

Vlastnostmi euklidovsk´ ych prostor˚ u E2 (rovina) a E3 (prostor – trojdimenzionáln´ı prostor) se y prostor, zab´ yvá planimetrie a stereometrie na stˇredn´ı ˇskole. Euklidovsk´ y prostor E3 je bodov´ v nˇemˇz je definována vzdálenost dvou jeho bod˚ u X, Y (znaˇc´ıme ji |XY |) jako velikost u ´seˇcky XY s t´ım, ˇze pro libovolné tˇri body X, Y, Z z E3 plat´ı 1. |XY | ≥ 0 a |XY | = 0

⇔

X =Y,

2. |XY | = |Y X|, 3. |XY | + |Y Z| ≥ |XZ|. Prvn´ı dvˇe vlastnosti maj´ı zˇrejm´ y geometrick´ y v´ yznam. Tˇret´ı z vlastnost´ı se naz´ yvá troj´ uheln´ıkov´ a nerovnost a slovnˇe ji lze vyjádˇrit takto: souˇcet délek dvou stran v troj´ uheln´ıku je vˇetˇs´ı neˇz délka tˇret´ı strany. Rovnost nastane jen tehdy, jestliˇze dané body leˇz´ı v pˇr´ımce. ezskou soustavu souˇ radnic, kterou tvoˇr´ı bod V euklidovském prostoru E3 zavedeme kart´ O (poˇcátek) a uspoˇrádaná trojice vzájemnˇe kolm´ ych souˇradnicov´ ych os x, y, z. Na souˇradnicov´ ych osách jsou dány body Ex , Ey , Ez tak, ˇze (obr. 13.1) |OEx | = |OEy | = |OEz | = 1. Urˇcen´ım bod˚ u Ex , Ey a Ez je stanovena i orientace souˇradnicov´ ych os i souˇradnicového systému (zpravidla se v aplikac´ıch pracuje s pravotoˇciv´ ym kartézsk´ ym souˇradnicov´ ym systémem). Pro urˇcen´ı orientace souˇradnicového systému pouˇz´ıváme pravidlo pravé ruky, které je známé ze stˇredoˇskolské fyziky. Pomoc´ı pravo´ uhl´ ych pr˚ umˇet˚ u bodu prostoru E3 do souˇradnicov´ ych os pˇriˇrazujeme kaˇzdému bodu A uspoˇra´danou trojici ˇc´ısel A[a1 , a2 , a3 ]. Obrácenˇe, kaˇzdé trojici ˇc´ısel ai , i = 1, 2, 3, pˇriˇrazujeme jedin´ y bod A ∈ E3 . Vzd´ alenost bod˚ u A[a1 , a2 , a3 ], B[b1 , b2 , b3 ] ∈ E3 definujeme v euklidovském prostoru E3 jako ˇc´ıslo q d = |AB| = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 . (13.1)

140

´ ´ A VOLNY ´ VEKTOR 13.2. VAZAN Y

141

Obrázek 13.1:

13.2

Obrázek 13.2:

V´ azan´ y a voln´ y vektor

V´ azan´ ym vektorem rozum´ıme uspoˇra´danou dvojici bod˚ u A, B, tj. orientovanou u ´seˇcku. Pro −→ vázan´ y vektor dan´ y body A, B se pouˇz´ıvá znaˇcen´ı AB, resp. B − A, resp. AB. Bod A je poˇca´teˇcn´ım bodem a bod B koncov´ ym bodem tohoto vektoru. S takto vymezen´ ym pojmem vektoru pracuje fyzika napˇr. pˇri popisu sil. −→ Uvaˇzujme mnoˇzinu vˇsech vázan´ ych vektor˚ u XY , které splˇ nuj´ı následuj´ıc´ı podm´ınku: pro −→ −→ kaˇzdé dva vektory X1 Y1 a X2 Y2 z této mnoˇziny maj´ı u ´seˇcky X1 Y2 a Y1 X2 spoleˇcn´ y stˇred S – obr. 13.2. Jin´ ymi slovy tato mnoˇzina je tvoˇrena rovnobˇeˇzn´ ymi u ´seˇckami stejné délky a o stejné orientaci. Tuto mnoˇzinu naz´ yváme voln´ ym vektorem a znaˇc´ıme ji ~a, resp. a. Samozˇrejmˇe −→ plat´ı, ˇze vázan´ ym vektorem AB je jednoznaˇcnˇe urˇcen (reprezentován) voln´ y vektor a. Vázan´ y −→

vektor AB je moˇzné chápat jako um´ıstˇ en´ı voln´ eho vektoru a do bodu A. V dalˇs´ım textu se budeme zab´ yvat voln´ ymi vektory, a proto budeme slovo voln´ y“ vynechávat. ”

Obrázek 13.3: Na obr. 13.3 je znázornˇeno, jak je urˇcen pro vektory u a v jejich souˇcet u + v. Vektory um´ıst´ıme do bodu Q a troj´ uheln´ık UQV dopln´ıme na rovnobˇeˇzn´ık. Vázan´ y vektor QR je pak

ˇ ´ OPERACE S VEKTORY 13.3. SOURADNICE VEKTORU A ALGEBRAICKE

142

um´ıstˇen´ım hledaného vektoru u + v. Na tomto obrázku je znázornˇeno i násoben´ı vektoru u (reáln´ ym) ˇc´ıslem k, tj. vektor ku. Uvedena je varianta pro násoben´ı kladn´ ym i záporn´ ym ˇc´ıslem. Jestliˇze zvol´ıme k = −1, pak znaˇc´ıme (−1)a = −a a ˇr´ıkáme, ˇze vektor −a je opaˇ cn´ y k vektoru a. Dále je na obr. 13.3 znázornˇeno urˇcen´ı rozd´ılu vektor˚ u u − v. Tuto operaci m˚ uˇzeme provést pomoc´ı souˇctu vektoru u s vektorem opaˇcn´ ym k vektoru v, tj. vyuˇzijeme vztahu u − v = u + (−v). Velikost´ı vektoru a rozum´ıme velikost u ´seˇcky Xi Yi , která je um´ıstˇen´ım vektoru a. Vektor, jehoˇz velikost je rovna nule, naz´ yváme nulov´ y vektor a znaˇc´ıme ~o, resp. o.

13.3

Souˇ radnice vektoru a algebraick´ e operace s vektory −→

Uvaˇzujme vektor u a jeho um´ıstˇen´ı AB. Necht’ souˇradnice bod˚ u v dané souˇradnicové soustavˇe ˇ jsou dány takto: A[a1 , a2 , a3 ], B[b1 , b2 , b3 ]. C´ısla u 1 = b 1 − a1 ,

u2 = b2 − a2 ,

u3 = b3 − a3

se nezmˇen´ı, zvol´ıme-li jiné um´ıstˇen´ı vektoru u. Proto uspoˇra´danou trojici (u1 , u2 , u3 ) naz´ yváme souˇ radnicemi vektoru u v dan´ e souˇ radnicov´ e soustavˇ e a p´ıˇseme u = (u1 , u2 , u3 ). Pro nulov´ y vektor plat´ı o = (0, 0, 0). Velikost vektoru u = (u1 , u2 , u3 ) je ˇc´ıslo |u| =

q

u21 + u22 + u23 .

(13.2)

Velikost nulového vektoru je nulová. Je-li |u| = 1, ˇr´ıkáme, ˇze vektor u je jednotkov´ y vektor. Pojem vektoru a jeho souˇradnic jsme zavedli na základˇe geometrie prostoru E3 . Vektor vˇsak lze chápat jako uspoˇrádanou n-tici reáln´ ych ˇc´ısel xi , i = 1, . . . , n. V technick´ ych aplikac´ıch pak napˇr. mluv´ıme o stavovém vektoru jistého systému apod. Vektor tedy m˚ uˇze m´ıt i jin´ y poˇcet sloˇzek a nemus´ı vˇzdy vycházet jen z geometrick´ ych pˇredstav. Nyn´ı urˇc´ıme, jaké souˇradnice maj´ı vektory, které vzniknou z dan´ ych vektor˚ u pomoc´ı aritmetick´ ych operac´ı. Snadno zjist´ıme (naˇcrtnˇete si obrázek), ˇze pro souˇcet s vektor˚ u u a v, kde u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), plat´ı s = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ).

(13.3)

Pro souˇcin ˇc´ısla α a vektoru u = (u1 , u2 , u3 ) plat´ı s = αu = (αu1 , αu2 , αu3 ). Uvedené operace (souˇcet dvou vektor˚ u a vlastnosti: 1. komutativn´ı zákon 2. asociativn´ı zákon 3. 4. distributivn´ı zákon 5. distributivn´ı zákon 6. 7. asociativn´ı zákon 8.

(13.4)

násoben´ı vektoru skalárem“) maj´ı následuj´ıc´ı ” u+v =v+u (u + v) + z = u + (v + z) u+o=u α(u + v) = αu + αv (α + β) · u = αu + βu 1·u=u α(βu) = (αβ)u. u + (−u) = o.

´ ZAME ˇ REN ˇ Í PROSTOU E3 A ORTONORMALN ´ Í BAZE ´ 13.4. VEKTOROVE

143

Platnost vlastnost´ı 1 – 8 se snadno ovˇeˇr´ı pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem pomoc´ı souˇradnic vektor˚ u u, v, z. Vektory u, v nazveme koline´ arn´ı, je-li jeden z nich násobkem druhého, tj. pokud existuje reálné ˇc´ıslo λ tak, ˇze u = λ · v nebo v = λ · u. (13.5) Pokud je uvedené λ > 0, ˇr´ıkáme, ˇze vektory jsou souhlasnˇ e koline´ arn´ı. Rozd´ıl vektor˚ u u, v urˇc´ıme snadno jako vektor r = u − v = u + (−v) .

(13.6)

Pro souˇradnice vektoru r plat´ı: r = (u1 − v1 , u2 − v2 , u3 − v3 ). D˚ uleˇzitou operac´ı je tzv. normov´ an´ı vektoru. Podstatou této operace je, ˇze k danému nenulovému vektoru u = (u1 , u2 , u3 ) stanov´ıme jednotkov´ y vektor e tak, aby s n´ım byl souhlasnˇe kolineárn´ı. Plat´ı e =

1 1 ·u= q (u1 , u2 , u3 ) = |u| u21 + u22 + u23 

= q

13.4

u1 u21

+

u22

+

u23

,q

u2 u21

+

u22

+

u23

,q

(13.7) 

u3 u21

+

u22

+

u23



.

Vektorov´ e zamˇ eˇ ren´ı prostou E3 a ortonorm´ aln´ı b´ aze

Vˇsechny vektory, které m˚ uˇzeme utvoˇrit uspoˇra´dan´ ymi dvojicemi bod˚ u z E3 , tvoˇr´ı tzv. vektorov´ e zamˇ eˇ ren´ı euklidovsk´ eho prostoru E3 , které oznaˇc´ıme V(E3 ). Zamˇeˇren´ı eukliych trojic reáln´ ych dovského prostoru E3 je také moˇzné chápat jako mnoˇzinu vˇsech uspoˇrádan´ ˇc´ısel (u1 , u2 , u3 ). V prostoru V(E3 ) jsou d˚ uleˇzité jednotkové vektory e1 = (1, 0, 0),

e2 = (0, 1, 0),

e3 = (0, 0, 1) .

(13.8)

Vektory ei , i = 1, 2, 3, nazveme bázové vektory. Budeme rovnˇeˇz ˇr´ıkat, ˇze tvoˇr´ı bázi prostoru ych osách postupnˇe V(E3 ). Jednotkové vektory ei um´ıstˇené do poˇcátku urˇc´ı na souˇradnicov´ body Ex [1, 0, 0], Ey [0, 1, 0], Ez [0, 0, 1]. Odtud ihned vid´ıme, ˇze vektory ei jsou rovnˇeˇz vzájemnˇe kolmé, takˇze tvoˇr´ı tzv. ortonorm´ aln´ı b´ azi. Pomoc´ı nich m˚ uˇzeme vˇsechny vektory z V(E3 ) jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit ve tvaru u = u1 · e1 + u2 · e2 + u3 · e3 =

3 X

ui ei .

(13.9)

i=1

K tomu, abychom uspoˇrádanou trojici u1 , u2 , u3 povaˇzovali za souˇradnice vektoru u v bázi V(E3 ), tvoˇrené jednotkov´ ymi vektory ei , nás nyn´ı opravˇ nuje (13.9). Obecnˇe povaˇzujeme za ortonormáln´ı bázi prostoru V(E3 ) kaˇzdou trojici navzájem kolm´ ych jednotkov´ ych vektor˚ u. Vztahy mezi souˇradnicemi bodu v r˚ uzn´ ych kartézsk´ ych soustavách souˇradnic (urˇcen´ ych vˇzdy bodem a ortonormáln´ı báz´ı) se budeme vˇenovat v pˇredmˇetu GS2. Ve fyzice a v mechanice je zvykem znaˇcit v prostoru V(E3 ) bázové vektory ei symboly i, j, k.

´ Í ZAVISLOST ´ ´ 13.5. LINEARN A NEZAVISLOST VEKTOR˚ U

13.5

144

Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost vektor˚ u

ˇ Uvaˇzujme vektory u1 , u2 , . . . , ur a reálná ˇc´ısla λ1 , λ2 , . . . , λr . Rekneme, ˇze vektor w je lineárn´ı kombinac´ı vektor˚ u u1 , u2 , . . . , ur pro kombinaˇ cn´ı koeficienty λ1 , λ2 , . . . , λr , jestliˇze w=

r X

λi ui .

(13.10)

i=1

ˇ Rada u ´vah v geometrii je opˇrena o pojmy lineárn´ı závislost ˇci nezávislost vektor˚ u. Vektory u1 , u2 , . . . , ur jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e, jestliˇze jeden z nich lze vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinaci zb´ yvaj´ıc´ıch vektor˚ u. Vektory jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, nejsou-li lineárnˇe závislé, tedy vektory u1 , u2 , . . . , ur jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, jestliˇze ˇzádn´ y z nich nelze vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinaci zb´ yvaj´ıc´ıch vektor˚ u. u charakterizovat takto: V prostoru V(E3 ) lze lineárn´ı závislost vektor˚ 1. Dva vektory u1 , u2 jsou lineárnˇe závislé právˇe tehdy, kdyˇz jeden je násobkem druhého. Lineárnˇe závislé (tj. kolineárn´ı) vektory lze um´ıstit na tutéˇz pˇr´ımku. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe jsou dva vektory v V(E3 ) lineárnˇe nezávislé. 2. Tˇri vektory u1 , u2 , u3 jsou lineárnˇe závislé právˇe tehdy, kdyˇz jeden z nich je lineárn´ı kombinac´ı ostatn´ıch, tedy napˇr. u3 = λ1 u2 + λ2 u2 . Tˇri lineárnˇe závislé vektory lze vˇzdy um´ıstit do téˇze roviny (tzv. komplanárn´ı vektory), resp. na tutéˇz pˇr´ımku (kolineárn´ı vektory). V opaˇcném pˇr´ıpadˇe jsou vektory u, v, w lineárnˇe nezávislé. ˇ ri vektory jsou v V(E3 ) vˇzdy lineárnˇe závislé. Podobnˇe skupina v´ıce neˇz ˇctyˇr vektor˚ u 3. Ctyˇ v V(E3 ) je vˇzdy lineárnˇe závislá. Pro posouzen´ı lineárn´ı závislosti ˇci nezávislosti tˇr´ı vektor˚ u v V(E3 ) s v´ yhodou vyuˇzijeme vlastnost´ı determinant˚ u. Sestavme matici U, jej´ıˇz ˇra´dky tvoˇr´ı souˇradnice vektor˚ u u1 , u2 , u3 . Z vlastnost´ı determinant˚ u plyne u 1 det U = u2 = 0, (13.11) u3 právˇe kdyˇz jsou vektory u1 , u2 , u3 lineárnˇe závislé.

13.6

B´ aze a dimenze

ych vektor˚ u. Snadno plyne, B´ az´ı prostoru V(E3 ) rozum´ıme libovolnou trojici lineárnˇe nezávisl´ ˇze kaˇzdá ˇctveˇrice vektor˚ u je jiˇz lineárnˇe závislá. Poˇcet prvk˚ u v r˚ uzn´ ych báz´ıch téhoˇz prostoru je shodn´ y a naz´ yvá se dimenze. Zamˇeˇren´ı V(E2 ) euklidovské roviny má dimenzi dvˇe. Prostor V(E3 ) má dimenzi tˇri. Je moˇzné i zobecnˇen´ı na prostory vyˇsˇs´ıch dimenz´ı.

´ Í SOUCIN ˇ 13.7. SKALARN VEKTOR˚ U

13.7

145

Skal´ arn´ı souˇ cin vektor˚ u

´ Nejprve pˇripomeneme definici u ´hlu a velikosti u ´hlu dvou vektor˚ u. Uhlem dvou nenulov´ ych vektor˚ u rozum´ıme konvexn´ı u ´hel um´ıstˇen´ı tˇechto vektor˚ u do spoleˇcného bodu. Pro velikost ϕ u ´hlu (v obloukové m´ıˇre) dvou nenulov´ ych vektor˚ u plat´ı 0 ≤ ϕ ≤ π. Ve fyzice se poˇc´ıtá práce, kterou vykoná s´ıla F p˚ usob´ıc´ı po dráze, která je um´ıstˇen´ım vektoru s, jako tzv. skalárn´ı souˇcin vektor˚ u F a s. Velikost u ´hlu vektor˚ u F a s oznaˇcme ϕ. Pro vykonanou práci plat´ı A = F · s = |F | · |s| · cos ϕ . Skal´ arn´ı souˇ cin u · v dvou nenulov´ ych vektor˚ u u a v definujeme jako ˇc´ıslo, které je souˇcinem velikost´ı obou vektor˚ u a kosinu velikosti u ´hlu, kter´ y tyto vektory sv´ıraj´ı, tj. u · v = |u| |v| cos ϕ.

(13.12)

Pokud je alespoˇ n jeden z vektor˚ u u a v nulov´ y, definujeme jejich skalárn´ı souˇcin jako nulov´ y. Pouˇzijeme-li (13.12) pro v´ ypoˇcet skalárn´ıch souˇcin˚ u vektor˚ u ei ortonormáln´ı báze, dostaneme e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1, e1 · e2 = e2 · e3 = e3 · e1 = 0. Obecnˇe lze pro bázové vektory struˇcnˇe zapsat v´ ysledek skalárn´ıho násoben´ı pomoc´ı tzv. Kroneckerova delta ( 0 pro i 6= j ei ej = δij = (13.13) 1 pro i = j. Poznamenejme bez d˚ ukazu, ˇze skalárn´ı souˇcin je distributivn´ı operac´ı – viz tabulka v závˇeru odstavce. Vypoˇcteme skalárn´ı souˇcin vektor˚ u u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ). V ortonormáln´ı bázi tvoˇrené vektory ei vyjádˇr´ıme vektory u a v jako lineárn´ı kombinaci bázov´ ych vektor˚ u: u=

3 X

ui ei ,

i=1

v=

3 X

vj ej .

j=1

Pak provedeme násoben´ı podle distributivn´ıho zákona. Dostaneme u·v =

3 X

 ! 3 X ui ei  vj ej , 

i=1

j=1

=

3 X

ui vj (ei ej ) .

i,j=1

Pouˇzijeme-li (13.13), z´ıskáme v´ ysledek u·v =

3 X

ui vi = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .

(13.14)

i=1

Ze vztah˚ u (13.12) a (13.14) vypl´ yvá, ˇze skalárn´ı souˇcin je komutativn´ı, tj. u · v = v · u. Poloˇz´ıme-li v (13.14) v = u, obdrˇz´ıme jin´ y moˇzn´ y zp˚ usob v´ ypoˇctu velikosti vektoru u |u| =

q √ u · u = u21 + u22 + u23 .

(13.15)

´ Í SOUCIN ˇ 13.7. SKALARN VEKTOR˚ U

146

Pomoc´ı (13.12) zjist´ıme, ˇze nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou kolmosti dvou nenulov´ ych vektor˚ u je nulovost jejich skal´ arn´ıho souˇ cinu. Pˇri v´ ypoˇctech s vektory se ˇcasto pouˇz´ıvá následuj´ıc´ı implikace (samozˇrejmˇe by mohla b´ yt doplnˇena na ekvivalenci) (u · v = 0) ⇒ (u = o) ∨ (v = o) ∨ ((u 6= o) ∧ (v 6= o) ∧ (u ⊥ v)). Slovnˇe: je-li skalárn´ı souˇcin dvou vektor˚ u nulov´ y, pak bud’ alespoˇ n jeden z vektor˚ u je nulov´ y, nebo jsou dané vektory na sebe kolmé. Je vhodné si uvˇedomit rozd´ıl oproti poˇc´ıtán´ı v oboru reáln´ ych ˇc´ısel. Povˇsimnˇeme si jeˇstˇe jednou vzorce (13.12) pro u 6= 0 a |v| = 1. V tomto pˇr´ıpadˇe znaˇc´ı absolutn´ı hodnota skalárn´ıho souˇcinu |u · v| velikost pravo´ uhlého pr˚ umˇetu (obr. 13.4) vektoru u na pˇr´ımku, jej´ıˇz smˇer je urˇcen vektorem v.

Obrázek 13.4:

Obrázek 13.5:

Shrneme nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vlastnosti, které se pouˇz´ıvaj´ı pˇri v´ ypoˇctech za pouˇzit´ı skalárn´ıho souˇcinu: 1. definice

u 6= o, v 6= o, u · v = |u| |v| cos ϕ

2. v´ ypoˇcet

u ·v =

3 P

ui vi

i=1

3. 4. 5. 6.

komutativn´ı zákon distributivn´ı zákon velikost kolmost

u ·v =v ·u u · (v + z) = u · v + u · z √ |u| = u · u pro u 6= o, v 6= o plat´ı u · v = 0 ⇔ u ⊥ v

Pˇ r´ıklad 13.1 Pomoc´ı vlastnost´ı skalárn´ıho souˇcinu dvou vektor˚ u budeme ˇreˇsit vektorovou rovnici pro neznám´ y vektor x a dané nenulové vektory a a b: 3a x − 2xb + 2x(b − a) = 0. Pˇr´ıklad upozorˇ nuje na v´ yznamn´ y rozd´ıl mezi ˇreˇsen´ım algebraick´ ych (koˇrenem je ˇc´ıslo) a vektorov´ ych rovnic (koˇrenem je vektor). ˇ sen´ı: Vypoˇcteme Reˇ 3a x − 2xb + 2x(b − a) = 0 3a x − 2xb + 2xb − 2a x = 0 ax = 0 ˇ sen´ım rovnice jsou vˇsechny vektory x ⊥ a a nulov´ Reˇ y vektor.

´ SOUCIN ˇ 13.8. VEKTOROVY

147

Pˇ r´ıklad 13.2 Stanov´ıme jednotkov´ y vektor n, kter´ y je kolm´ y k dan´ ym dvˇema vektor˚ um a a b. Uvaˇzujme a = (0, 1, 2) a b = (2, 1, 0). ˇ sen´ı: Pro hledan´ Reˇ y vektor n = (n1 , n2 , n3 ) mus´ı platit |n| = 1 a n · a = 0,

n · b = 0.

(13.16)

Pro dané souˇradnice vektor˚ u a a b dostáváme z (13.16) soustavu 2n1

n2 +2n3 = 0 +n2 = 0

ˇ sen´ı (proved’te si) m˚ Reˇ uˇzeme psát ve tvaru n3 = t, n2 = −2t, n1 = t, kde t ∈ R. Parametr t stanov´ıme tak, aby byla splnˇena i podm´ınka |n| = 1. Plat´ı √ √ |n| = t2 + 4t2 + t2 = |t| 6 = 1. √

ˇ sen´ım je tedy vektor n = 6 (1, −2, 1) a vektor k nˇemu opaˇcn´ Reˇ y. 6 Jin´ y postup ˇreˇsen´ı této u ´lohy bude uveden v pˇr´ıkladu 13.3. V mechanice se pouˇz´ıvaj´ı tzv. smˇ erov´ e kosiny vektoru u. Jsou to kosiny u ´hl˚ u αi , které sv´ırá vektor u postupnˇe s vektory báze ei , i = 1, 2, 3. Dostaneme je snadno z (13.12) a (13.14): cos(αi ) =

ui , |u|

i = 1, 2, 3.

(13.17)

Umocnˇen´ım rovnic (13.17) na druhou a seˇcten´ım odvod´ıme d˚ uleˇzit´ y vztah cos2 (α1 ) + cos2 (α2 ) + cos2 (α3 ) = 1 .

(13.18)

Porovnáme-li (13.17) a (13.7), zjist´ıme, ˇze smˇerové kosiny vektoru u jsou souˇradnicemi jednotkového vektoru kolineárn´ıho s vektorem u.

13.8

Vektorov´ y souˇ cin

Vektorov´ y souˇcin zavedeme pro vektory z V(E3 ). Pouˇzit´ı vektorového souˇcinu je velmi ˇcasté napˇr. v mechanice pˇri stanoven´ı momentu s´ıly apod. Vektorov´ ym souˇcinem dvou vektor˚ u, z nichˇz jeden je nulov´ y, je nulov´ y vektor. Uvaˇzujme nenulové vektory u, v v V(E3 ). Jejich vektorov´ ym souˇcinem (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme vektor w, kter´ y má tyto vlastnosti: 1. vektor w je kolm´ y na vektory u, v; 2. trojice vektor˚ u u, v, w je stejnˇe orientovaná (pravotoˇcivˇe) jako trojice bázov´ ych vektor˚ u e1 , e2 , e3 – obr. 13.6; 3. velikost |w| = |u| · |v| · sin ϕ, kde ϕ ∈ h0, πi je velikost u ´hlu vektor˚ u u, v.


148

Obrázek 13.6:

Obrázek 13.7:

Vektorov´ y souˇcin vektor˚ u u, v znaˇc´ıme u × v. Geometrick´ y v´ yznam tˇret´ı vlastnosti lze formulovat takto: velikost |u × v| vektoru u × v je rovna obsahu rovnobˇeˇzn´ıku sestrojeného pomoc´ı vektor˚ u u, v (obr. 13.7). Podle v´ yˇse uveden´ ych vlastnost´ı vektorového souˇcinu lze vypoˇc´ıtat, ˇze pro vektory báze ei plat´ı ei × ei = 0 , i = 1, 2, 3; ei × ei+1 = ei+2 , i = 1, 2, 3; ei+1 × ei = −ei+2 , i = 1, 2, 3.

1. 2. 3.

(13.19) (13.20) (13.21)

Ve vztaz´ıch (13.19) je nutné chápat indexy modulo“ 3, tj. je-li hodnota nˇekterého v´ yrazu vˇetˇs´ı ” neˇz 3, pak ˇc´ıslo 3 odeˇcteme. Napˇr. druhá uvedená vlastnost má pro i = 2 tvar e2 × e3 = e(4 mod 3) = e1 . Nyn´ı vyjádˇr´ıme vektorov´ y souˇcin pomoc´ı souˇradnic vektor˚ u u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ). Pouˇzijeme-li (13.19), dostaneme u × v = (u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 ) × (v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 ) = u1 v2 (e1 × e2 ) + u1 v3 (e1 × e3 ) + u2 v1 (e2 × e1 ) + u2 v3 (e2 × e3 ) + u3 v1 (e3 × e1 ) + u3 v2 (e3 × e2 ) (u2 v3 − u3 v2 )e1 + (u3 v1 − u1 v3 )e2 + (u1 v2 − u2 v1 )e3 = ! u u u u u u 2 1 3 3 1 2 = ,− , . v2 v3 v1 v3 v1 v2

w = = + =

(13.22)

V´ ysledek v (13.22) se dá struˇcnˇe zapsat symbolick´ ym determinantem (pozor na poˇrad´ı!):

e1 e2 e3 w = u1 u2 u3 v1 v2 v3

(13.23)


149

Ze známé vlastnosti o zámˇenˇe dvou ˇrádk˚ u v determinantu (13.23) plyne, ˇze pro vektorové násoben´ı nenulov´ ych vektor˚ u nebude platit komutativn´ı zákon. Plat´ı tu vˇsak, ˇze u × v = −(v × u) .

(13.24)

Z vlastnosti (13.24) plyne, ˇze pˇri vektorovém násoben´ı vektorové rovnosti ˇci rovnice dan´ ym vektorem je nutné rozliˇsit násoben´ı zprava a zleva podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe matic. Z definice vektorového souˇcinu dále vypl´ yvá, ˇze u × v = o, právˇe kdyˇz jsou vektory u, v lineárnˇe závislé, tj. kolineárn´ı, neboli jeden vektor je násobkem druhého vektoru. V symbolickém tvaru: u × v = o ⇔ (∃λ ∈ R, u = λv) ∨ (∃λ ∈ R, v = λu) Shrneme nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vlastnosti, které se pouˇz´ıvaj´ı pˇri v´ ypoˇctech za pouˇzit´ı vektorového souˇcinu: |u × v| = |u| |v| sin ϕ, kolmost a pravidlo pravé ruky v´ ypoˇcet viz vztah (13.22) antikomutativn´ı zákon u × v = −(v × u) distributivn´ı zákon u × (v + z) = u × v + u × z distributivn´ı zákon (v + z) × u = v × u + z × u

1. definice 2. 3. 4. 5.

Pˇ r´ıklad 13.3 Pomoc´ı vektorového souˇcinu znovu vyˇreˇs´ıme pˇr´ıklad 13.2, tj. stanov´ıme jednotkov´ y vektor n, kter´ y je kolm´ y k dan´ ym dvˇema vektor˚ um a a b, je-li a = (0, 1, 2) a b = (2, 1, 0). ˇ sen´ı: Pro hledan´ Reˇ y vektor n = (n1 , n2 , n3 ) mus´ı platit n=±

a ×b . |a × b|

Pro dané souˇradnice máme: a ×b=

0, 2 1, 2 ,− 2, 0 1, 0

,

!

0, 1 = (−2, 4, −2). 2, 1

Vypoˇcteme-li velikost vektoru a provedeme jeho normován´ı, dojdeme (spolu s vektorem opaˇcn´ ym) k ˇreˇsen´ı podrobnˇe uvedeném v pˇr´ıkladu 13.2.

Pˇ r´ıklad 13.4 Urˇc´ıme obsah troj´ uheln´ıka SQR, je-li S[1, 1, 1], Q[3, 2, −1] a R[4, 5, 0]. ˇ sen´ı: K urˇcen´ı obsahu pouˇzijeme geometrického v´ Reˇ yznamu velikosti vektorového souˇcinu vektor˚ u. Oznaˇcme q = Q−S a r = R−S. Vypoˇcteme-li |q×r|, dostaneme obsah rovnobˇeˇzn´ıku, kter´ y vznikne doplnˇen´ım troj´ uheln´ıka SQR. Pro obsah troj´ uheln´ıka SQR tedy plat´ı 1 P∆SQR = |q × r|. 2 Pro dané souˇradnice máme: q = (2, 1, −2), r = (3, 4, −1),

ˇ Y ´ SOUCIN ˇ 13.9. SMÍSEN

q×r =

150

2, −2 1, −2 ,− 3, −1 4, −1

,

!

2, 1 = (7, −4, 5). 3, 4

Nyn´ı urˇc´ıme obsah troj´ uheln´ıka: P∆SQR =

13.9

1q 2 3√ 7 + (−4)2 + 52 = 10. 2 2

Sm´ıˇ sen´ y souˇ cin

Jsou-li dány vektory u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ), definujeme pro nˇe sm´ıˇ sen´ y souˇ cin (u, v, w) jako ˇc´ıslo ∆ = (u, v, w) = u · (v × w).

(13.25)

Na základˇe definice vektorového a skalárn´ıho souˇcinu a s uplatnˇen´ım vztah˚ u (13.22) lze ukázat, ˇze u 1 u2 u3 ∆ = (u, v, w) = u · (v × w) = v1 v2 v3 . (13.26) w1 w2 w3 Pˇ r´ıklad 13.5 Pro dané vektory u, v a w je dán sm´ıˇsen´ y souˇcin ∆ = (u, v, w). Pomoc´ı ∆ urˇc´ıme (v, u, w) (zámˇena dvou operand˚ u) a (w, u, v) (cyklická zámˇena operand˚ u). ˇ sen´ı: Ze vztahu (13.26) plyne, ˇze (v, u, w) = −∆, nebot’ v determinantu dojde k v´ Reˇ ymˇenˇe prvn´ıho a druhého ˇra´dku. V pˇr´ıpadˇe cyklické zámˇeny operand˚ u provedeme vlastnˇe dvˇe v´ ymˇeny ˇrádk˚ u, tj. dvakrát dojde ke zmˇenˇe znaménka, neboli plat´ı (w, u, v) = (−1)2 ∆ = ∆. V´ yznamná je geometrická interpretace sm´ıˇseného souˇcinu. Snadno lze zd˚ uvodnit, ˇze ˇc´ıslo |∆| = |(u, v, w)|

(13.27)

udává objem rovnobˇ eˇ znostˇ enu, kter´ y je urˇcen vektory u, v, w um´ıstˇen´ ymi do spoleˇcného bodu P (obr. 13.8). Pro objem V rovnobˇeˇznostˇenu plat´ı V = P · a, kde P je obsah podstavy a a je v´ yˇska rovnobˇeˇznostˇenu. Staˇc´ı si vˇsak uvˇedomit, ˇze P = |v × w| (viz obr. 13.7 a obr. 13.9) a v´ yˇska a odpov´ıdá pravo´ uhlému pr˚ umˇetu vektoru u do smˇeru vektoru v × w, tedy je a = u · n – obr. 13.4. Pro vektor n v obr. 13.9 plat´ı n=

1 (v × w), |v × w|

ˇ Y ´ SOUCIN ˇ 13.9. SMÍSEN

Obrázek 13.8:

151

Obrázek 13.9:

tj. vznikne normován´ım vektoru v × w. Jin´ ymi slovy: geometrická interpretace absolutn´ı hodnoty sm´ıˇseného souˇcinu plyne z geometrické interpretace vektorového a skalárn´ıho souˇcinu. Sm´ıˇsen´ y souˇcin vektor˚ u u, v, w je roven nule jen v pˇr´ıpadˇe, jsou-li dané vektory line´ arnˇe závislé. Vektory jsou v tomto pˇr´ıpadˇe komplanárn´ı nebo dokonce kolineárn´ı a nelze proto mluvit o vytvoˇren´ı tˇelesa podle obr. 13.8.

Obrázek 13.10:

Obrázek 13.11:

Obrázek 13.12:

Pˇ r´ıklad 13.6 Pro ˇctyˇrstˇen ABCA0 stanov´ıme jeho objem V . Uvaˇzujme A[1, 1, 0], B[2, −2, 3], C[4, 4, 1] a A0 [2, 0, 7]. ˇ sen´ı: K v´ Reˇ ypoˇctu objemu vyuˇzijeme geometrické interpretace absolutn´ı hodnoty sm´ıˇseného souˇcinu tˇr´ı vektor˚ u. Oznaˇc´ıme b = B − A = (1, −3, 3), c = C − A = (3, 3, 1) a v = A0 − A = (1, −1, 7).

13.10. LAGRANGEOVA IDENTITA A CAUCHYOVA NEROVNOST

152

Vypoˇcteme sm´ıˇsen´ y souˇcin (b, c, v). Plat´ı:

1, −3, 3 ∆ = (b, c, v) = 3, 3, 1 = 21 − 3 − 9 − 9 + 1 + 63 = 64. 1, −1, 7

(13.28)

Vypoˇctené ˇc´ıslo udává objem rovnobˇeˇznostˇenu, kter´ y lze podle obr. 13.10 rozloˇzit na dva trojboké hranoly o stejném objemu a kaˇzd´ y z tˇechto trojbok´ ych hranol˚ u pak na tˇri ˇctyˇrstˇeny – obr. 13.11 a 13.12 – o stejném objemu. Snadno tedy stanov´ıme objem V zadaného ˇctyˇrstˇenu ABCA0 . Plat´ı 1 64 2 V = (b, c, v) = = 10 . (13.29) 6 6 3

13.10

Lagrangeova identita a Cauchyova nerovnost

Vyjádˇreme |u × v|2 pomoc´ı velikost´ı vektor˚ u u a v a pomoc´ı jejich skalárn´ıho souˇcinu. Podle definice vektorového souˇcinu plat´ı |u × v|2 = |u|2 |v|2 sin2 ϕ. Vzhledem k tomu, ˇze sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ a vzhledem k definici (13.12) skalárn´ıho souˇcinu máme |u × v|2 = |u|2 |v|2 (1 − cos2 ϕ) = = |u|2 |v|2 − |u|2 |v|2 cos2 ϕ = |u|2 |v|2 − (u · v)2 . Tak jsme dokázali Lagrangeovu identitu: |u × v|2 = |u|2 |v|2 − (u · v)2 , která vyjadˇruje velikost vektorového souˇcinu dvou vektor˚ u pomoc´ı velikosti a skalárn´ıho souˇcinu tˇechto vektor˚ u. Vypoˇctˇeme nyn´ı druhou mocninu skalárn´ıho souˇcinu dvou vektor˚ u, tj. urˇc´ıme (u ·v)2 . Podle (13.12) plat´ı (u · v)2 = (|u||v| cos ϕ)2 = |u|2 |v|2 cos2 ϕ. Vzhledem k tomu, ˇze cos2 ϕ ≤ 1, m˚ uˇzeme psát (u · v)2 ≤ |u|2 |v|2 . Tento vztah se naz´ yvá Cauchyova nerovnost a ukazuje, ˇze pˇri poˇc´ıtán´ı s vektory, v tomto pˇr´ıpadˇe s jejich skalárn´ım souˇcinem, neplat´ı prostá analogie s aritmetikou reáln´ ych ˇc´ısel.

13.11

Cviˇ cen´ı

13.1 Je dán bod A[3, −5, 1]. Urˇcete souˇradnice bodu, kter´ y je symetrick´ y k bodu A podle a) poˇca´tku, b) roviny xz, c) osy y. [a) [−3, 5, −1], b) [3, 5, 1], c) [−3, −5, −1]]

ˇ Í 13.11. CVICEN

153

13.2 Na ose x stanovte bod, jenˇz má stejnou vzdálenost od bod˚ u A[4, 1, −2], B[1, 0, 3].

,0,0] [ 11 6

13.3 Rozhodnˇete, zda body A[−2, 1, 4], B[3, 0, 1], C[1, 1, 1] leˇz´ı na jedné pˇr´ımce. napˇr. troj´ uheln´ıkovou nerovnost – neleˇz´ı]

[pouˇzijte

13.4 Je dán rovnobˇeˇznostˇen ABCDA0 B 0 C 0 D0 a vektory a = B − A, b = D − A, c = A0 − A. Graficky v náˇcrtu znázornˇete vektory a) x = a + b + c, b) y = a − b + 13 c. −→

−→

−→

13.5 V bodˇe O kvádru OABCDEF G p˚ usob´ı tˇri s´ıly, které jsou dány vektory OB, OE, OG. −→ V náˇcrtu zobrazte s´ılu OR, která u ´ˇcinek dan´ ych tˇrech sil ruˇs´ı. −→

13.6 Je dán ˇctyˇrstˇen OABC. Hranami vycházej´ıc´ımi z bodu O jsou urˇceny vektory a =OA, −→ −→ −→ b =OB, c =OC . Pomoc´ı tˇechto vektor˚ u vyjádˇrete vektor OT , je-li T tˇeˇziˇstˇe stˇeny ABC. −→ [OT = 13 (a + b + c)] 13.7 Jsou dány vektory a = (5, 7, 2), b = (3, 0, 4), c = (−6, 1, −1). Urˇcete vektor d = 3a − 2b + c. √ 13.8 Vypoˇctˇete velikost vektoru a = (−4, 4, 3) a urˇcete jednotkov´ y vektor n, kter´ y je s n´ım (souhlasnˇe) kolineárn´ı. √ √ [|a| = 35, n = √135 (−4, 4, 3)] 13.9 Rozhodnˇete, zda ˇctyˇru ´heln´ık o vrcholech A[2, 1, 1], B[5, 5, 6], C[6, 11, 14] a D[3, 7, 9] je rovnobˇeˇzn´ık.

[je, B − A = C − D]

13.10 Jsou dány vrcholy troj´ uheln´ıka A[−1, 2, 3], B[5, −3, 4], C[2, 1, 6]. Vektory AB, BC, AC vyjádˇrete jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u ei , i = 1, 2, 3 ortonormáln´ı báze V(E3 ). −→

[AB= 6e1 − 5e2 + e3 atd.] 13.11 Rozhodnˇete, zda vektory AB, BC jsou kolineárn´ı, kdyˇz A[2, 4, 1], B[3, 7, 5], C[4, 10, 9]. [jsou kolineárn´ı] 13.12 Vyjádˇrete vektor d = (0, 20, 18) jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u a = (3, 5, 6), b = (2, −7, 1), c = (12, 0, 6). [d = 4a − c] 13.13 Pro která α, β jsou vektory a = (α, 2, −2), b = (3, 1, β) kolineárn´ı? [α = 6, β = −1] 13.14 Rozhodnˇete, zda vektory a = (−1, 3, 2), b = (2, −3, −4), c = (−3, 12, 6) jsou lineárnˇe závislé ˇci nezávislé. [determinant dle 13.11 je nulov´ y, vektory jsou lineárnˇe závislé] 13.15 Pro které x ∈ R jsou vektory a = (1, 1, x), b = (x, 1, 1), c = (1, x, 1) lineárnˇe závislé? [x = 1]


154

13.16 Pro které x jsou vektory a = (2, 3, −1), b = (1, −5, x) vzájemnˇe kolmé? tak, aby a · b = 0, v´ ysledek x = −13]

[stanov´ıme x

13.17 Urˇcete vektor r tak, aby platilo a · r = −5, b · r = −11, c · r = 20, jestliˇze a = (2, 1, 3), b = (1, −3, 2), c = (3, 2, −4). [r = (2, −3, −2)] √ 13.18 Urˇcete vektor r = (3, −9, z), jehoˇz |r| = 12. [z = ±3 6] 13.19 Vypoˇctˇete odchylku vektor˚ u a = (4, −2, 4), b = 3e1 + 2e2 + 6e3 . [cos ϕ =

16 ; 21

. ϕ = 400 200 ]

13.20 Urˇcete jednotkov´ y vektor, kter´ y je souˇcasnˇe kolm´ y k vektor˚ um a = (3, 6, 8) a e1 = (1, 0, 0). [(0, ∓ 45 , ± 53 )] 13.21 Vypoˇctˇete velikost pr˚ umˇetu vektoru a = (6, −2, 1) do jednotkového vektoru kolineárn´ıho s vektorem AB, A[3, 4, −2], B[4, −2, −3]. [ √1738 ] 13.22 Vypoˇctˇete vektorov´ y souˇcin a × b, je-li a = 4e1 − 2e2 + 4e3 , b = (3, 2, 6). [(−20, −12, 14)] 13.23 Pro dané vektory a = (3, 5, −1), b = (0, −2, 1), c = (−2, 2, 3) vypoˇctˇete (a × b) × c. [(3, 3, 0)] 13.24 Vypoˇctˇete a × (b + c) − (u × v) × w pro vektory a = (1, 2, −2), b = (−2, 3, 1), c = (2, −2, 2), u = (−1, 3, 5), v = (1, 0, −2), w = (3, −2, 2). [(8, −14, −13)] 13.25 Zjednoduˇste

i × [(j × k) × i − (i + j) × (j + k)] .

[j + k]

13.26 Urˇcete vektor c = (9, y, z) tak, aby byl kolm´ y k vektor˚ um a = (10, −14, 2), b = (6, 5, −2). [c = (9, 14, 54)] 13.27 Proved’te vektorové násoben´ı

(2a + 3b) × (a − 2b) .

[7b × a]

13.28 Stanovte obsah rovnobˇeˇzn´ıku o vrcholech A[2, 1, 1], B[5, 5, 6], C[6, 11, 14] a D[3, 7, 9].

√ [ 381]

13.29 Vypoˇctˇete sm´ıˇsen´ y souˇcin vektor˚ u a = (1, 2, 3), b = (−1, 0, 2), c = (3, 4, 0). V´ ysledek interpretujte geometricky.

[−8]

13.30 Rozhodnˇete, zda vektory a, b, c jsou lineárnˇe závislé ˇci nezávislé. Plat´ı a = (3, 1, 2), b = (2, 7, 4), c = (1, 2, 1). [jsou nezávislé] 13.31 Pro jaké t je sm´ıˇsen´ y souˇcin (a, b, c) = 0, jestliˇze a = (0, −1, 2), b = (−1, 1, 2), c = (0, 1, t + 1).

[t = −3]

13.32 Vypoˇctˇete sm´ıˇsen´ y souˇcin (u, v, w), jestliˇze u = a + b + c, v = a + b − c, w = a − b + c. [4(a, c, b)]


13.12

155


13.1 Definujte lineárn´ı závislost n vektor˚ u. Jak´ y je speciáln´ı v´ yznam definice pro n = 2? 13.2 Definujte lineárn´ı nezávislost n vektor˚ u. Jak´ y je speciáln´ı v´ yznam definice pro n = 2? 13.3 Jak rozhodnete, ˇze dané tˇri vektory tvoˇr´ı bázi v V(E3 )? 13.4 Jsou dány nenulové vektory a a b a pro skalárn´ı souˇcin plat´ı a · b = 0. Jakou vlastnost pak maj´ı dané vektory? 13.5 Jsou dány vektory a a b v V(E3 ) a pro vektorov´ y souˇcin plat´ı a × b = o. Jakou vlastnost pak maj´ı dané vektory? y souˇcin plat´ı (a, b, c) = 0. Jakou 13.6 Jsou dány vektory a, b a c v V(E3 ) a pro sm´ıˇsen´ vlastnost pak maj´ı dané vektory? 13.7 Odpovˇedi na pˇredcházej´ıc´ı tˇri otázky zd˚ uvodnˇete pomoc´ı geometrické interpretace v´ yznamu jednotliv´ ych souˇcin˚ u vektor˚ u.

Kapitola 14 Analytick´ a geometrie line´ arn´ıch u ´ tvar˚ u v E3 V této ˇcásti textu budeme aplikovat nˇekteré poznatky vektorového poˇctu na popis lineárn´ıch geometrick´ ych u ´tvar˚ u v prostoru E3 . Pracovat budeme s body, pˇr´ımkami a rovinami. Zkoumat budeme jejich vzájemnou polohu – polohov´ e vztahy a uvedeme i potˇrebn´ y aparát pro urˇcen´ı vzdálenost´ı ˇci odchylek (velikost´ı u ´hl˚ u) – metrick´ e vztahy. Pouˇz´ıvat budeme popisu objekt˚ u pomoc´ı rovnic, tj. tzv. analytick´ e metody. Jiného popisu geometrick´ ych objekt˚ u pouˇz´ıvá syntetick´ a geometrie, kterou jste poznali na základn´ı a stˇredn´ı ˇskole. V syntetické geometrii se pracuje s grafick´ ym znázornˇen´ım objekt˚ u a jako nástroj se pouˇz´ıvá kruˇz´ıtko a prav´ıtko. Zd˚ uraznˇeme, ˇze obˇe metody popisuj´ı stejné objekty a doporuˇcujeme, aby pˇri analytické metodˇe byly postupy a v´ ysledky v´ ypoˇct˚ u konfrontovány s názornˇejˇs´ım syntetick´ ym popisem.

14.1

Rovnice pˇ r´ımky

14.1.1

Vektorov´ a rovnice pˇ r´ımky

Uvaˇzujme pˇr´ımku p urˇcenou dvˇema r˚ uzn´ ymi body A, B. Smˇ erov´ ym vektorem pˇ r´ımky p rozum´ıme libovoln´ y nenulov´ y vektor, kter´ y je kolineárn´ı s vektorem u = AB = B − A. Pro libovoln´ y bod X na pˇr´ımce p plat´ı X − A = t(B − A) = t · u ,

t∈R.

Tak dostáváme tzv. vektorovou rovnici pˇ r´ımky p X =A+t·u,

t∈R.

(14.1)

V rovnici uˇz´ıváme symbol˚ u X, A, B, které oznaˇcuj´ı body, ale zde se jedná o polohové vektory X, A, B dan´ ych bod˚ u – obr. 14.1. Symbolem t je oznaˇcen tzv. parametr. Bodu A, resp. B, pˇr´ısluˇs´ı parametr t = 0, resp. t = 1. Uvedená vektorová rovnice pˇr´ımky je formálnˇe stejná pro vyjádˇren´ı pˇr´ımek v libovolném euklidovském prostoru, tj. v E2 , resp. v E3 , ale i v euklidovsk´ ych prostorech vyˇsˇs´ıch dimenz´ı.

156

ˇ ÍMKY 14.1. ROVNICE PR

157

Obrázek 14.1:

14.1.2

Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı pˇ r´ımky

Rozep´ıˇseme-li rovnici (14.1) do jednotliv´ ych sloˇzek pomoc´ı souˇradnic bod˚ u X[x, y, z], A[a1 , a2 , a3 ] a vektoru u = (u1 , u2 , u3 ), dostaneme parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı pˇr´ımky p: x = a1 + tu1 ,

y = a2 + tu2 ,

z = a3 + tu3 ,

t∈R.

(14.2)

Z hlediska fyziky a mechaniky jsou uvedené rovnice (14.1) a (14.2) popisem rovnomˇerného pˇr´ımoˇcarého pohybu a parametr t udává ˇcas. Chceme-li analyticky vyjádˇrit jen (uzavˇrenou) u ´seˇcku AB, resp. polopˇr´ımku AB, vol´ıme t ∈ h0, 1i, resp. t ∈ h0, ∞). Podobnˇe libovoln´ ym omezen´ ym intervalem hd, hi je urˇcena u ´seˇcka DH leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce p, kde D = A + d · u a H = A + h · u. Snadno zjist´ıme, ˇze napˇr. stˇredu S u ´seˇcky AB odpov´ıdá parametr t = 12 . V aplikac´ıch geometrie se pro tˇri body A, B, X, A 6= B, X 6= B, leˇz´ıc´ı na jedné pˇr´ımce pouˇz´ıvá tzv. dˇ el´ıc´ı pomˇ er λ bodu X vzhledem k bod˚ um A, B, kter´ y je definován vztahem AX = λXB a znaˇc´ıme λ = (A, B; X). Snadno zjist´ıme, ˇze napˇr. pro stˇred S u ´seˇcky AB plat´ı (A, B; S) = −1. V následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu si ukáˇzeme, ˇze pˇr´ımku je moˇzné parametrizovat podle konkrétn´ıho zadán´ı jinak, neˇz jsme uvedli v (14.2). Provedeme tzv. line´ arn´ı transformaci parametru. Pˇ r´ıklad 14.1 Hmotn´ y bod koná pˇr´ımoˇcar´ y rovnomˇern´ y pohyb z bodu R[1, 5, 2] (ˇcas tR = 12) do bodu Q[3, 2, 7] (ˇcas tQ = 22). Urˇc´ıme ˇcas a bod, v nˇemˇz hmotn´ y bod dosáhne v´ yˇsky“ v = 6. ” ˇ sen´ı: Nejprve sestav´ıme parametrické rovnice pˇr´ımky RQ podle (14.2). Plat´ı u = Q − R = Reˇ (2, −3, 5). Parametrické rovnice jsou pak tvaru x = 1 + 2t,

y = 5 − 3t,

z = 2 + 5t,

t∈R.

(14.3)

Nyn´ı provedeme transformaci parametru t tak, aby byly splnˇeny podm´ınky u ´lohy. Zavedeme nov´ y parametr t? tak, ˇze t bude lineárn´ı funkc´ı t? , tj. t = αt? + β. Hodnoty α a β stanov´ıme tak, aby pro t? = 12 bylo t = 0 a pro t? = 22 bylo t = 1, tj. dostáváme soustavu 12α + β = 0 22α + β = 1,

´ ´ POLOHA DVOU PR ˇ ÍMEK 14.2. VZAJEMN A

158

Obrázek 14.2:

která má ˇreˇsen´ı α = 0, 1, β = −1, 2. Dosad´ıme t = 0, 1 t? − 1, 2 do parametrického vyjádˇren´ı (14.3) a dostaneme x = −1, 4 + 0, 2t? , y = 8, 6 − 0, 3t? , z = −4 + 0, 5t? , t? ∈ R .

(14.4)

Nyn´ı urˇc´ıme bod dráhy, kter´ y má v´ yˇsku“ v = 6, tj. bod pˇr´ımky (14.4), kter´ y má souˇradnici ” ? ? z = 6. Plat´ı tedy 6 = −4 + 0, 5t . Snadno vypoˇcteme ˇcas t = 20. Hledan´ y bod X má pak souˇradnice X[2, 6; 2, 6; 6].

14.2

Vz´ ajemn´ a poloha dvou pˇ r´ımek

K diskusi vzájemné polohy dvou pˇr´ımek vyuˇzijeme vektorové algebry. Kaˇzdou z pˇr´ımek p a q urˇc´ıme bodem a smˇerov´ ym vektorem. Necht’ rovnice dan´ ych pˇr´ımek jsou tvaru p: q:

X = P + t p, Y = Q + s q,

t∈R s ∈R.

Vzájemnou polohu pˇr´ımek p a q lze posoudit na základˇe vlastnost´ı vektor˚ u p, q a P Q (plat´ı p 6= o a q 6= o). Pˇrehlednˇe je klasifikace vzájemné polohy uvedena v tab. 14.1. p,q kolineárn´ı

p a P Q kolineárn´ı p a P Q nekolineárn´ı p,q nekolineárn´ı p, q a P Q lineárnˇe závislé p, q a P Q lineárnˇe nezávislé Tabulka 14.1:

totoˇzné pˇr´ımky r˚ uzné rovnobˇeˇzky r˚ uznobˇeˇzky mimobˇeˇzky

14.3. ROVINA

159

Pˇ r´ıklad 14.2 Rozhodneme o vzájemné poloze pˇr´ımky a a osy y. Pˇr´ımka a je urˇcena body A[−2, 3, −4] a A0 [1, −1, 2]. ˇ sen´ı: Oznaˇcme a smˇerov´ Reˇ y vektor pˇr´ımky a. Vypoˇcteme a = A0 − A = (3, −4, 6). Pro osu y m˚ uˇzeme za urˇcuj´ıc´ı prvky vz´ıt poˇca´tek O[0, 0, 0] a vektor e2 = (0, 1, 0). Je zˇrejmé, ˇze smˇerové vektory a a e2 jsou nekolineárn´ı (ˇza´dn´ y z nich nelze vyjádˇrit jako násobek druhého). Uvaˇzované pˇr´ımky jsou tedy podle tab. 14.1 bud’ r˚ uznobˇeˇzné nebo mimobˇeˇzné. Nyn´ı záleˇz´ı na tom, zda vektor OA pˇr´ıˇcky“ je na vektorech a a e2 lineárnˇe závisl´ y ” nebo nezávisl´ y. Proto vypoˇcteme determinant

a e2 OA

3, −4, 6 0, 1, 0 = −2, 3, −4

= −12 + 0 + 0 + 12 − 0 − 0 = 0.

Vektory a, e2 a OA jsou lineárnˇe závislé. Pˇr´ımky a a y jsou tedy r˚ uznobˇeˇzné. Stanov´ıme souˇradnice jejich pr˚ useˇc´ıku Q. Nap´ıˇseme parametrické vyjádˇren´ı tˇechto pˇr´ımek: a: y:

x = −2 + 3t, y = 3 − 4t, z = −4 + 6t, x = 0, y = s, z = 0, s ∈ R.

t∈R

ˇ s´ıme tedy soustavu tˇr´ı rovnic pro neznámé t a s (v´ıme, ˇze soustava bude m´ıt jediné ˇreˇsen´ı): Reˇ −2 + 3t = 0, Zˇrejmˇe t =

14.3

2 3

3 − 4t = s,

−4 + 6t = 0

a s = 13 . Hledan´ y pr˚ useˇc´ık Q[0, 31 , 0].

Rovina

Uvaˇzujme rovinu ρ urˇcenou tˇremi nekoline´ arn´ımi body A, B, C. Analytick´ y popis roviny ρ m˚ uˇze m´ıt nˇekolik tvar˚ u. Postupnˇe uvedeme vektorovou rovnici, normálov´ y a parametrick´ y tvar, obecnou rovnici a u ´sekov´ y tvar rovnice.

14.3.1

Vektorov´ a rovnice roviny

Oznaˇcme b = B − A, c = C − A. Vektor (X − A) urˇcen´ y dan´ ym bodem A a libovoln´ ym bodem X roviny ρ vyjádˇr´ıme jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u b, c, tj. vektory b, c, X − A jsou lineárnˇe závislé (komplanárn´ı): X −A=u·b+v·c, neboli X =A+u·b+v·c,

(u, v) ∈ R2 .

(14.5)

Rovnice (14.5) je vektorovou rovnic´ı roviny ρ. Parametry jsou oznaˇceny u, v a dvojici b, c naz´ yváme zamˇ eˇ ren´ı roviny. Na obr. 14.3 je znázornˇen v´ yznam tˇechto parametr˚ u a rovnice (14.5).

14.3. ROVINA

160

Obrázek 14.3:

14.3.2

Obrázek 14.4:

Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı roviny

Rovnici (14.5) rozep´ıˇseme do jednotliv´ ych sloˇzek. Oznaˇcme souˇradnice bod˚ u X[x, y, z], A[xA , yA , zA ] a souˇradnice vektor˚ u b = (b1 , b2 , b3 ) a c = (c1 , c2 , c3 ). Parametrick´ e rovnice roviny ρ jsou pak tvaru: x = x A + u · b1 + v · c 1 , y = yA + u · b2 + v · c2 , z = zA + u · b3 + v · c3 .

14.3.3

(14.6)

Hess˚ uv norm´ alov´ y tvar rovnice roviny

Pomoc´ı operac´ı s vektory m˚ uˇzeme rovinu popsat i jinou cestou (obr. 14.4): Vektory b = B − A a c = C − A vynásob´ıme vektorovˇe a oznaˇc´ıme n = u × v. Vektor n – tzv. norm´ alov´ y vektor roviny – je kolm´ y k nekolineárn´ım vektor˚ um b a c (tj. vektor n je smˇerov´ ym vektorem kolmice k rovinˇe ρ). Hess˚ uv norm´ alov´ y tvar rovnice roviny ρ pˇredstavuje podm´ınku (X − A) · n = 0,

(14.7)

kde X je libovoln´ y (obecn´ y) bod roviny ρ. Vycház´ıme z toho, ˇze pro X 6= A mus´ı b´ yt vektory XA a n kolmé. Je-li X = A, pak vektor XA je nulov´ y a vztah (14.7) je splnˇen.

14.3.4

Obecn´ a rovnice roviny

Vyjdeme z Hessova normálového tvaru (14.7) a oznaˇc´ıme normálov´ y (nenulov´ y) vektor n = (n1 , n2 , n3 ). Rozep´ıˇseme-li rovnici (14.7) do jednotliv´ ych sloˇzek, obdrˇz´ıme obecnou rovnici roviny ρ n1 x + n2 y + n3 z + d = 0 , (14.8) v n´ıˇz koeficient d = −(xA n1 + yA n2 + zA n3 ). Koeficient d tedy urˇc´ıme dosazen´ım souˇradnic libovolného bodu A roviny do rovnice (14.8).

14.3. ROVINA

161

Obecnou rovnici roviny ρ lze odvodit také z parametrického vyjádˇren´ı (14.6). Staˇc´ı vylouˇcit parametry u, v.

14.3.5

´ Usekov´ y tvar rovnice roviny

Uvaˇzujme rovnici (14.8) pro pˇr´ıpad d 6= 0 a nenulové sloˇzky vektoru n. M˚ uˇzeme psát y z x =1, d + d + − n1 − n2 − nd3

(14.9)

´ sekov´ y tvar V rovnici (14.9) oznaˇcme dx = − nd1 , dy = − nd2 , dz = − nd3 . Z´ıskáváme tak u rovnice roviny x y z + + =1. (14.10) dx dy dz Název tohoto tvaru rovnice roviny vycház´ı ze skuteˇcnosti, ˇze ˇc´ısla dx , dy , dz udávaj´ı u ´seky“, ” které rovina ρ vyt´ıná na souˇradnicov´ ych osách, pˇresnˇeji rovina ρ prot´ıná souˇradnicové osy v bodech Px [dx , 0, 0], Py [0, dy , 0], Pz [0, 0, dz ]. Toto tvrzen´ı plyne z toho, ˇze v´ ypoˇcet pr˚ useˇc´ık˚ u roviny ρ napˇr. se souˇradnicovou osou x m˚ uˇzeme provést z rovnice (14.10) tak, ˇze poloˇz´ıme y = z = 0 (t´ım jsou charakterizovány vˇsechny body leˇz´ıc´ı na ose x). Pokud je rovina ρ rovnobˇeˇzná s nˇekterou souˇradnicovou osou, pak je v rovnici (14.8) pˇr´ısluˇsná sloˇzka vektoru n rovna nule, tj. v rovnici (14.10) chyb´ı pˇr´ısluˇsn´ y ˇclen. Konkrétnˇe napˇr. pro rovinu ρ rovnobˇeˇznou s osou x, x 6⊂ ρ, ρ 6 k(xy), lze uvést u ´sekov´ y tvar rovnice y z + = 1 a podobnˇ e pro dalˇ s ´ ı pˇ r ´ ıpady. V u ´ sekov´ e m tvaru vˇ s ak nelze uv´ e st rovnici rovin, které dy dz procházej´ı poˇca´tkem O. Pro takové roviny je totiˇz v rovnici (14.8) d = 0. Pˇ r´ıklad 14.3 Pro rovinu α = (LM N ) uved’te jednotlivé typy (vektorov´ y, parametrick´ y, Hess˚ uv, obecn´ y, u ´sekov´ y) jej´ıho analytického popisu, je-li L[2, 4, 0], M [1, −2, 2], N [−1, 1, 6]. ˇ sen´ı: Zamˇeˇren´ı roviny α tvoˇr´ı napˇr. vektory a = M − L = (−1, −6, 2) a b = N − L = Reˇ (−3, −3, 6). Vybrat by bylo moˇzné i jiné zamˇeˇren´ı roviny, napˇr. m´ısto vektoru b = N − L m˚ uˇzeme uvaˇzovat vektor b? = M − N apod. Vektorová rovnice roviny α je napˇr. tvaru X = L + u · a + v · b = [2, 4, 0] + u(−1, −6, 2) + v(−3, −3, 6) .

(14.11)

Jin´ y tvar vektorové rovnice roviny α (vektory a a b? um´ıst´ıme do bodu N ) je X = N + u · a + v · b? = [−1, 1, 6] + u(−1, −6, 2) + v(2, −3, −4) .

(14.12)

Parametrické vyjádˇren´ı roviny α z´ıskáme rozepsán´ım vztahu (14.11) nebo (14.12), pˇr´ıp. i jiného vektorového vyjádˇren´ı, do sloˇzek. Z (14.11) máme x = 2 − u − 3v, y = 4 − 6u − 3v, z = 2u + 6v. Ukázali jsme tak, ˇze pro danou rovinu nen´ı jej´ı vektorová rovnice vyjádˇrena jednoznaˇcnˇe (voliteln´ y je bod roviny a jej´ı zamˇeˇren´ı). Pochopitelnˇe i parametrické vyjádˇren´ı závis´ı na v´ ybˇeru urˇcuj´ıc´ıch prvk˚ u roviny. Urˇc´ıme nyn´ı normálov´ y vektor n roviny α. Stanov´ıme n = a × b, tj. n=

−1, 2 −6, 2 ,− −3, 6 −3, 6

,

!

−1, −6 = (−30, 0, −15). −3, −3

´ ´ POLOHA DVOU ROVIN, PR˚ ˇ 14.4. VZAJEMN A USECNICE DVOU ROVIN

162

Normálov´ y vektor n roviny je urˇcen jednoznaˇcnˇe aˇz na násobek, tj. m´ısto vektoru n m˚ uˇzeme 1 · n, tj. uvaˇzovat libovoln´ y nenulov´ y vektor n? kolineárn´ı s vektorem n. Zvolme n? = − 15 n? = (2, 0, 1). Hess˚ uv normálov´ y tvar rovnice roviny α m˚ uˇzeme zapsat jako (X − L) · n? = 0, tj. (x − 2, y − 4, z) · (2, 0, 1) = 0 . (14.13) Obecn´ y tvar rovnice roviny m˚ uˇzeme nyn´ı urˇcit nˇekolika zp˚ usoby. Nejjednoduˇsˇs´ı cestou je rozepsán´ı rovnice (14.13). Jinou moˇznost´ı je napˇr. vyuˇzit´ı vztahu (14.8). Snadno obdrˇz´ıme obecnou rovnici roviny α: 2x + z − 4 = 0 . (14.14) Je zˇrejmé, ˇze obecn´ y tvar rovnice roviny je urˇcen jednoznaˇcnˇe aˇz na násobek nenulov´ ym reáln´ ym ˇc´ıslem. To je nepochybnˇe v´ yhoda tohoto tvaru pro mnohé aplikace (napˇr. pˇri návrhu datového popisu objekt˚ u v CAD/CAM). Uvedeme jeˇstˇe u ´ sekov´ y tvar rovnice roviny α. Rovnici (14.14) uprav´ıme na tvar (14.10). Plat´ı x z + =1. (14.15) 2 4 Zu ´sekového tvaru si dokáˇzeme snadno pˇredstavit, jak je rovina α um´ıstˇena vzhledem k osám systému souˇradnic. Rovina α je rovnobˇeˇzná s osou y, osu x prot´ıná v bodˇe X[2, 0, 0] a osu z v bodˇe Z[0, 0, 4].

14.4

Vz´ ajemn´ a poloha dvou rovin, pr˚ useˇ cnice dvou rovin

Uvaˇzujeme dvˇe roviny α, resp. β, a kaˇzdou urˇc´ıme bodem A, resp. B, a normálov´ ym vektorem nα , resp. nβ . Rovnice dan´ ych dan´ ych rovin v Hessovˇe normálovém tvaru jsou α: β:

(X − A) · nα = 0 , (Y − B) · nβ = 0 .

(14.16) (14.17)

Vzájemnou polohu rovin α a β lze posoudit na základˇe vlastnost´ı vektor˚ u nα , nβ a AB = B −A (plat´ı nα 6= o a nβ 6= o). Pˇrehlednˇe je klasifikace vzájemné polohy dvou rovin uvedena v tab. 14.2. nα · AB = 0 totoˇzné roviny nα · AB 6= 0 r˚ uzné rovnobˇeˇzné roviny nα ,nβ nekolineárn´ı r˚ uznobˇeˇzné roviny nα ,nβ kolineárn´ı

Tabulka 14.2: O vzájemné poloze dvou rovin lze rozhodnout také napˇr. na základˇe diskuse ˇreˇsen´ı soustavy, kterou vytvoˇr´ıme z obecn´ ych rovnic dan´ ych rovin. Pˇ r´ıklad 14.4 Rozhodnˇete o vzájemné poloze rovin α a β dan´ ych parametrick´ ym vyjádˇren´ım: α: β:

x = 1 + u + 2v , y = −2 + 6u − 3v , x = 2 + 2s , y = r , z = −4s ,

z = 2 − 2u − 4v ;

´ ´ POLOHA DVOU ROVIN, PR˚ ˇ 14.4. VZAJEMN A USECNICE DVOU ROVIN

163

kde u a v jsou parametry ve vyjádˇren´ı roviny α a s a r jsou parametry pro rovinu β. ˇ sen´ı: Pro kaˇzdou z rovin stanov´ıme nejprve normálov´ Reˇ y vektor. Pomoc´ı vektorového souˇcinu pˇr´ısluˇsn´ ych vektor˚ u zamˇeˇren´ı obdrˇz´ıme nα =

1, −2 6, −2 ,− 2, −4 −3, −4

nβ =

1, 6 2, −3

,

2, −4 2, 0, −4 , ,− 0, 0 0, 1, 0

! = (−30, 0, −15) ! 0 = (4, 0, 2) . 1

,

n . Dané roviny jsou tedy bud’ rovnobˇeˇzné, Vektory nα a nβ jsou kolineárn´ı, nebot’ nα = − 15 2 β nebo totoˇzné. Urˇc´ıme pˇr´ıˇcku“ AB dan´ ych rovin a podle tab. 14.2 posoud´ıme nulovost skalárn´ıho ” souˇcinu vektoru AB s nˇekter´ ym z normálov´ ych vektor˚ u. Z parametrického vyjádˇren´ı dan´ ych rovin snadno zvol´ıme (moˇzn´ y je i v´ ybˇer jin´ ych bod˚ u) A[1, −2, 2], B[2, 0, 0] a máme AB = B − A = (1, 2, −2). Pro zm´ınˇen´ y skalárn´ı souˇcin plat´ı nβ · (B − A) = (4, 0, 2) · (1, 2, −2) = 0 . Ukázali jsme tedy, ˇze dané roviny α a β jsou totoˇzné. Pro dvˇe r˚ uznobˇeˇzné roviny α a β je moˇzné stanovit rovnici (vektorovou nebo parametrickou) jejich spoleˇcné pˇr´ımky – tzv. pr˚ useˇ cnice. Postupovat m˚ uˇzeme nˇekolika zp˚ usoby. Pop´ıˇseme-li obˇe roviny pomoc´ı obecné rovnice, staˇc´ı ˇreˇsit soustavu, která je tvoˇrena tˇemito rovnicemi, tj. soustavu: nx,α x + ny,α y + nz,α z + dα = 0 , nx,β x + ny,β y + nz,β z + dβ = 0 .

(14.18)

Pro smˇerov´ y vektor p pr˚ useˇcnice p plat´ı (normálové vektory r˚ uznobˇeˇzn´ ych rovin jsou nekolineárn´ı) p = nα × nβ . Pˇ r´ıklad 14.5 Urˇc´ıme pr˚ useˇcnici (pokud existuje) rovin ρ a σ: ρ: σ:

x + 2y − 3z + 1 = 0 , 2x − 2y + 3z − 4 = 0 ,

ˇ sen´ı: Sestav´ıme rozˇs´ıˇrenou matici soustavy a provedeme Gaussovu eliminaci. Reˇ 1, 2, −3 −1 2, −2, 3 4

!

∼

1, 2, −3 −1 0, −6, 9 6

!

.

ˇ sen´ı m˚ Reˇ uˇzeme psát ve tvaru 3 y = −1 + t , x = −1 + 3t + 2 − 3t = 1 , t ∈ R , 2 coˇz jsou parametrické rovnice hledané pr˚ useˇcnice rovin ρ a σ. Poznamenejme, ˇze pr˚ useˇcnice je urˇcena bodem P [1, −1, 0] a napˇr. smˇerov´ ym vektorem p = (0, 3, 2). z=t,

Urˇcen´ı pˇr´ımky jako pr˚ useˇcnice dvou r˚ uznobˇeˇzn´ ych rovin – viz (14.18) – je dalˇs´ım zp˚ usobem popisu pˇr´ımky (kromˇe vektorového a parametrického popisu).

´ INTERPRETACE GAUSSOVY ELIMINACE 14.5. GEOMETRICKA

14.5

164

Geometrick´ a interpretace Gaussovy eliminace

Uvaˇzujme tˇri roviny α, β a γ. Diskuse jejich vzájemné polohy souvis´ı s diskus´ı ˇreˇsitelnosti soustavy lineárn´ıch rovnic, kterou tvoˇr´ı obecné rovnice dan´ ych rovin. Uvaˇzujme konkrétn´ı roviny: α: x+y+z−3=0,

β : x + 2y − z − 2 = 0 ,

γ : 2x + y − z − 2 = 0 .

Urˇcen´ı spoleˇcného bodu X tˇechto rovin provedeme ˇreˇsen´ım soustavy lineárn´ıch rovnic Gaussovou eliminac´ı: 





1, 1, 1 3    1, 2, −1 2  2, 1, −1 2

∼

1, 1, 1  1, −2  0, 0, −1, −3





3 −1   −4

∼



1, 1, 1 3    0, 1, −2 −1  . 0, 0, −5 −5

ˇ sen´ım soustavy je, jak snadno zjist´ıme, z = y = x = 1, neboli pr˚ Reˇ useˇc´ıkem dan´ ych rovin je bod X[1, 1, 1].

Obrázek 14.5: Vˇsimnˇeme si nyn´ı, jak´ y proces byl z geometrického hlediska realizován Gaussovou eliminac´ı. V kaˇzdém kroku eliminaˇcn´ıho procesu soustava popisuje tˇri roviny s uveden´ ym spoleˇcn´ ym bodem X. Po prvn´ım kroku eliminace uvaˇzujeme m´ısto rovin β a γ roviny β1 : y − 2z + 1 = 0 ,

γ1 : y + 3z − 4 = 0 .

V druhém kroku dojde k v´ ymˇenˇe roviny γ1 za rovinu γ2 s rovnic´ı (po u ´pravˇe) z − 1 = 0. Na obr. 14.5 je znázornˇena v´ ychoz´ı situace. Obr. 14.6 zobrazuje situaci po prvn´ım eliminaˇcn´ım kroku a na obr. 14.7 je uvedena v´ ysledná konfigurace. Geometrickou podstatou Gaussovy eliminace (ale i jin´ ych, podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ıch eliminaˇcn´ıch postup˚ u) je, ˇze z´ıskáváme nové geometrické objekty (zde roviny), které maj´ı vzhledem k systému souˇradnic speciáln´ı polohu. Napˇr. roviny β1 a γ1 jsou rovnobˇeˇzné s osou x, rovina γ2 je rovnobˇeˇzná jak s osou x, tak s osou y, tj. je rovnobˇeˇzná s rovinou (xy).

´ ´ POLOHA PR ˇ ÍMKY A ROVINY 14.6. VZAJEMN A

Obrázek 14.6:

14.6

165

Obrázek 14.7:

Vz´ ajemn´ a poloha pˇ r´ımky a roviny

Necht’ je pˇr´ımka p daná vektorovou rovnic´ı X =A+t·u

(14.19)

a rovina ρ Hessov´ ym normálov´ ym tvarem (X − B) · n = 0 .

(14.20)

O vzájemné poloze pˇr´ımky p a roviny ρ lze rozhodnout na základˇe skalárn´ıho souˇcinu u · n smˇerového vektoru pˇr´ımky a normálového vektoru roviny a pˇr´ıpadnˇe i vektoru pˇr´ıˇcky“ AB. ” Klasifikace vzájemné polohy pˇr´ımky a roviny je uvedena v tab. 14.3 (u 6= o, n 6= o). u · n = 0 (B − A) · n = 0 p ⊂ ρ (B − A) · n 6= 0 rovnobˇeˇznost, p 6⊂ ρ u · n 6= 0 r˚ uznobˇeˇznost Tabulka 14.3: Urˇcen´ı pr˚ useˇc´ıku v pˇr´ıpadˇe r˚ uznobˇeˇzné pˇr´ımky a roviny provedeme pomoc´ı v´ ypoˇctu pˇr´ısluˇsného parametru t z rovnice (14.19). Je-li bod X spoleˇcn´ ym bodem pˇr´ımky a roviny, plyne z (14.20) a z (14.19) po jednoduché u ´pravˇe [(A − B) + t · u] · n = 0 . Pro parametr t z´ıskáme lineárn´ı rovnici (A − B) · n + t · (u · n) = 0 ,

(14.21)

která má jediné ˇreˇsen´ı t0 , nebot’ skalárn´ı souˇcin u · n 6= 0. Hledan´ ym pr˚ useˇc´ıkem je bod P = A + t0 · u.

´ ˇ ÍMEK A ROVIN 14.7. VZDALENOST BOD˚ U, PR

166

Pˇ r´ıklad 14.6 Rozhodneme o vzájemné poloze pˇr´ımky p a roviny α a jsou-li r˚ uznobˇeˇzné, urˇc´ıme jejich pr˚ useˇc´ık. Pro pˇr´ımku plat´ı p = RQ, R[1, 1, 1], Q[2, 3, 0] a rovina α = (ABC) je urˇcena body A[−1, 2, −3], B[2, 0, 4], C[0, 4, −2]. ˇ sen´ı: Urˇc´ıme smˇerov´ Reˇ y vektor p pˇr´ımky p a zamˇeˇren´ı b = B − A, c = C − A roviny α. Plat´ı p = Q − R = (1, 2, −1) ,

b = (3, −2, 7) ,

c = (1, 2, 1) .

(14.22)

Snadno vypoˇcteme vektorov´ y souˇcin w = b × c = (−16, 4, 8) a zvol´ıme normálov´ y vektor n = (−4, 1, 2) roviny α (n je nenulov´ y a kolineárn´ı s vektorem w). Pomoc´ı skalárn´ıho souˇcinu p · n (viz tab. 14.3) rozhodneme o vzájemné poloze dan´ ych objekt˚ u. Plat´ı p·n = (1, 2, −1)·(−4, 1, 2) = −4 6= 0, tj. vektory p a n nejsou kolmé a v d˚ usledku toho je pˇr´ımka p r˚ uznobˇeˇzná s rovinou α. Pro v´ ypoˇcet pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky p a roviny α sestav´ıme parametrické vyjádˇren´ı pˇr´ımky p a obecnou rovnici roviny α. Plat´ı p:

x=1+t,

y = 1 + 2t ,

z =1−t,

t∈R.

(14.23)

Obecná rovnice roviny α (má normálov´ y vektor n) je tvaru −4x + y + 2z + d = 0. Absolutn´ı ˇclen d této rovnice stanov´ıme napˇr. z podm´ınky B ∈ α, tj. −8 + 0 + 8 + d = 0, neboli d = 0 (zjistili jsme, ˇze rovina α procház´ı poˇca´tkem souˇradnicového systému). Máme tedy: α:

−4x + y + 2z = 0 .

(14.24)

Jestliˇze nyn´ı z (14.23) dosad´ıme do (14.24), dostaneme lineárn´ı rovnici pro hledanou hodnotu parametru t. Po snadn´ ych u ´pravách obdrˇz´ıme rovnici −4t − 1 = 0, tud´ıˇz pr˚ useˇc´ıku X pˇr´ımky p 1 a roviny α odpov´ıdá na pˇr´ımce p parametr t0 = − 4 . Po dosazen´ı hodnoty parametru do (14.23) máme X = [ 34 , 12 , 54 ]. Vzhledem k záporné hodnotˇe parametru t0 jsme zjistili, ˇze pr˚ useˇc´ık X leˇz´ı na polopˇr´ımce opaˇcné k polopˇr´ımce RQ. Plat´ı X = R − 41 (Q − R).

14.7

Vzd´ alenost bod˚ u, pˇ r´ımek a rovin

V pˇrehledu uvedeme metody a pˇr´ıp. i pˇr´ısluˇsné vzorce pro urˇcen´ı vzdálenost´ı. V celém odstavci uvaˇzujeme body A a B, pˇr´ımky p, q (p k q), r (r mimobˇeˇzná s q) a roviny α a β (α k β) dané takto: A[a1 , a2 , a3 ] , B[b1 , b2 , b3 ] , p: X =A+t·u, q : Y =B+s·u, r : Z =C +w·v , α : (X − A) · n = 0 , β : (Y − B) · n = 0 .

(14.25)

Znaˇc´ıme dále u = (u1 , u2 , u3 ), n = (n1 , n2 , n3 ) atd. Pro absolutn´ı ˇclen obecné rovnice roviny α pouˇz´ıváme oznaˇcen´ı d.


14.7.1

167

Vzd´ alenost bod˚ u A, B

Pˇr´ısluˇsn´ y vzorec je d˚ usledkem opakovaného pouˇzit´ı Pythagorovy vˇety a odpov´ıdá samozˇrejmˇe vztahu pro urˇcen´ı velikosti vektoru (B − A): d(A, B) = |AB| =

q

(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 =

v u 3 uX t (b

i

− ai )2 .

(14.26)

i=1

14.7.2

Vzd´ alenost bodu A od pˇ r´ımky q

Postupovat m˚ uˇzeme tak, ˇze bodem A proloˇz´ıme rovinu ρ kolmou na pˇr´ımku q a urˇc´ıme pr˚ useˇc´ık M pˇr´ımky q s rovinou ρ. Pro hledanou vzdálenost plat´ı d(A, q) = d(A, M ) – obr. 14.8.

Obrázek 14.8:

Obrázek 14.9:

Hledanou vzdálenost lze z´ıskat rovnˇeˇz pomoc´ı vektorového poˇctu, zejména pomoc´ı geome1 u normalizovan´ y smˇerov´ y vektor trick´ ych vlastnost´ı vektorového souˇcinu. Oznaˇcme u? = |u | pˇr´ımky q a uvaˇzujme vektor (B − A) – obr. 14.9. Z vlastnost´ı vektorového souˇcinu v´ıme, ˇze velikost |(B − A) × u? | udává obsah rovnobˇeˇzn´ıku urˇceného um´ıstˇen´ım dan´ ych vektor˚ u. Vzhledem k tomu, ˇze strana rovnobˇeˇzn´ıku leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce q má jednotkovou délku, je obsah rovnobˇeˇzn´ıku roven jeho v´ yˇsce v, tj. hledané vzdálenosti d(A, q). Plat´ı tedy d(A, q) = |(B − A) × u? | =

1 |(B − A) × u| |u|

(14.27)

Pˇ r´ıklad 14.7 Urˇc´ıme v´ yˇsku va v troj´ uheln´ıku ABC, kde A[1, 1, 1], B[2, 3, 4] a C[−1, −1, −1]. ˇ sen´ı: Pro hledanou v´ Reˇ yˇsku va plat´ı va = d(A, BC). Vzdálenost bodu A od pˇr´ımky BC urˇc´ıme podle vzorce (14.27): va = d(A, BC) =

1 |(B − A) × (B − C)| = d(B, C)

1 = √ |(1, 2, 3) × (3, 4, 5)| = 50

s

4 + 16 + 4 2√ = 3. 50 5


168

Pˇ r´ıklad 14.8 Na u ´seˇcce AB urˇc´ıme bod X, kter´ y má minimáln´ı vzdálenost od daného bodu C. A[1, 1, 1], B[2, 3, 4] a C[−1, −1, −1]. ˇ sen´ı: Urˇc´ıme bod M ∈ AB, kter´ Reˇ y urˇcuje vzdálenost bodu C od pˇr´ımky AB. Pokud bod M náleˇz´ı u ´seˇcce AB, bude X = M . Padne-li bod M mimo u ´seˇcku AB, splyne bod X s jedn´ım z krajn´ıch bod˚ uu ´seˇcky AB. Je-li d(C, A) < d(C, B), bude X = A, jinak X = B. Pro urˇcen´ı bodu M vedeme bodem C rovinu ρ kolmou na pˇr´ımku AB. Pro normálov´ y vektor roviny ρ plat´ı n = B − A = (1, 2, 3). Obecná rovnice roviny ρ po dopoˇc´ıtán´ı absolutn´ıho ˇclenu z podm´ınky C ∈ ρ má tvar x + 2y + 3z + 6 = 0. Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ık M pˇr´ımky AB s rovinou ρ. Pˇr´ımka AB má parametrické vyjádˇren´ı x=1+t,

y = 1 + 2t ,

z = 1 + 3t ,

t ∈ R.

Po dosazen´ı a u ´pravˇe stanov´ıme pro pr˚ useˇc´ık M parametr t0 = − 67 . Jelikoˇz t0 6∈ h0, 1i, nenáleˇz´ı bod M u ´seˇcce AB. √ ˇ 12 a d(B, C) = Reˇ s en´ ım u ´ lohy bude tedy jeden z krajn´ ıch bod˚ u u ´ seˇ c ky. Vypoˇ c teme d(A, C) = √ 50. Je tedy d(A, C) < d(B, C) a ˇreˇsen´ım u ´lohy je bod M = A. Zd˚ uvodnˇen´ı tohoto závˇeru plyne i z toho, ˇze t0 < 0, tj. bod M leˇz´ı na opaˇcné polopˇr´ımce k polopˇr´ımce AB a bod A oddˇeluje body M a B.

14.7.3

Vzd´ alenost bodu B od roviny α

Konstruktivn´ı postup ˇreˇsen´ı u ´lohy vede k urˇcen´ı paty B 0 kolmice k vedené z bodu B k rovinˇe α. Hledaná vzdálenost d(B, α) = d(B, B 0 ) – obr. 14.10.

Obrázek 14.10:

Obrázek 14.11:

S vyuˇzit´ım geometrické interpretace absolutn´ı hodnoty skalárn´ıho souˇcinu vektor˚ u snadno ? dojdeme k jiné moˇznosti urˇcen´ı vzdálenosti. Oznaˇc´ıme n jednotkov´ y normálov´ y vektor roviny α. Hledaná vzdálenost – obr. 14.11 1 d(B, α) = |n? · (B − A)| = |n · (B − A)| . (14.28) |n| Po u ´pravˇe (jde vlastnˇe analogii k pˇreveden´ı Hessova normálového tvaru rovnice roviny na obecnou rovnici) m˚ uˇzeme psát d(B, α) =

|n1 b1 + n2 b2 + n3 b3 + d| q

n21 + n22 + n23

.

(14.29)


14.7.4

169

Vzd´ alenost rovnobˇ eˇ zn´ ych pˇ r´ımek p a q

Snadno zjist´ıme, ˇze d(p, q) = d(A, q), tj. vzdálenost dvou rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek m˚ uˇzeme urˇcit jako vzdálenost zvoleného bodu na jedné z dan´ ych pˇr´ımek od druhé pˇr´ımky. Urˇcen´ı vzdálenosti d(A, q) jsme podrobnˇe probrali v odst. 14.7.2.

14.7.5

Vzd´ alenost mimobˇ eˇ zn´ ych pˇ r´ımek q a r

Vzdálenost mimobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek q a r je urˇcena tzv. nejkratˇ s´ı pˇ r´ıˇ ckou mimobˇ eˇ zek. Oznaˇcme body, v nichˇz nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcka prot´ıná dané mimobˇeˇzky, Y0 a Z0 . Lze ukázat, ˇze d(Y0 , Z0 ) = min{d(Y, Z); Y ∈ q, Z ∈ r} ⇔ (Y0 Z0 ⊥ q) ∧ (Y0 Z0 ⊥ r) . Nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcka mimobˇeˇzek je kolmá k obˇema mimobˇeˇzkám. Na obr. 14.12 jsou uvedeny mimobˇeˇzky q a r a pro lepˇs´ı názornost je doplnˇen ˇctyˇrstˇen. V odst. 14.9 uvedeme v´ıce poznatk˚ u o pˇr´ıˇckách mimobˇeˇzek. Zde urˇc´ıme vzdálenost mimobˇeˇzek q a r pomoc´ı vektorové algebry. Uvaˇzujme vektory u, v a C − B – obr. 14.13. V´ıme, ˇze objem V rovnobˇeˇznostˇenu urˇceného tˇremi vektory se rovná absolutn´ı hodnotˇe sm´ıˇseného souˇcinu dan´ ych vektor˚ u, tj. V = |(u, v, C − B)|.

Obrázek 14.12:

(14.30)

Obrázek 14.13:

Pˇripomeˇ nme, ˇze obsah rovnobˇeˇzn´ıku se rovná velikosti vektorové souˇcinu vektor˚ u urˇcen´ ych jeho stranami. Podstava rovnobˇeˇznostˇenu z obr. 14.13 má tedy obsah P = |u × v|.

(14.31)

Pro v´ yˇsku v rovnobˇeˇznostˇenu plat´ı v = VP a zároveˇ n v = d(Y0 , Z0 ) = d(q, r). Pro vzdálenost mimobˇeˇzek q a r jsme tedy odvodili vztah v=

|(u, v, C − B)| . |u × v|

(14.32)

Pˇ r´ıklad 14.9 Urˇc´ıme vzdálenost mimobˇeˇzek a a b. Pˇr´ımka a je rovnobˇeˇzná s osou z a procház´ı bodem A[2, 1, 0], pˇr´ımka b je pr˚ useˇcnic´ı rovin dan´ ych obecn´ ymi rovnicemi x − y + z = 0 a 2x + y + 2z = 0.

ˇ ÍMEK A ROVIN 14.8. ODCHYLKY PR

170

ˇ sen´ı: Oznaˇcme a a b smˇerové vektory stejnojmenn´ Reˇ ych pˇr´ımek. Uvaˇzovat m˚ uˇzeme a = (0, 0, 1) a vektor b vypoˇcteme jako vektorov´ y souˇcin normálov´ ych vektor˚ u dan´ ych rovin, tj. b = (1, −1, 1) × (2, 1, 2) = (−3, 0, 3). Pro dalˇs´ı v´ ypoˇcet mus´ıme znát jeˇstˇe jeden bod pˇr´ımky b, zde je takov´ ym bodem poˇca´tek O[0, 0, 0]. Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme urˇcit vzdálenost mimobˇeˇzek a a b podle vztahu (14.32): v=

|(a, b, A − O)| = |a × b|

 1  abs  3



0, 0, 1 −3, 0, 3  =1. 2, 1, 0

Doporuˇcujeme ˇctenáˇri, aby si v náˇcrtku vyznaˇcil dané pˇr´ımky. K tomuto zadán´ı se vrát´ıme jeˇstˇe v pˇr´ıkladu 14.10.

14.7.6

Vzd´ alenost pˇ r´ımky p od rovnobˇ eˇ zn´ e roviny β

Plat´ı d(p, β) = d(A, β), tj. vzdálenost pˇr´ımky od rovnobˇeˇzné roviny se rovná vzdálenosti zvoleného bodu pˇr´ımky od dané roviny. Urˇcen´ı vzdálenosti d(A, β) jsme podrobnˇe probrali v odst. 14.7.3.

14.7.7

Vzd´ alenost rovnobˇ eˇ zn´ ych rovin α a β

Plat´ı d(α, β) = d(A, β), tj. vzdálenost rovnobˇeˇzn´ ych rovin se rovná vzdálenosti zvoleného bodu v jedné rovinˇe od druhé roviny. Urˇcen´ı vzdálenosti d(A, β) jsme podrobnˇe probrali v odst. 14.7.3.

14.8

Odchylky pˇ r´ımek a rovin

V tomto odstavci uvaˇzujeme pˇr´ımky a, b a roviny α, β dané takto: a: X =A+t·u, b: Y =B+s·v , α : (X − N ) · n = 0 , β : (Y − M ) · m = 0 .

(14.33)

Odchylkou dvou geometrick´ ych u ´tvar˚ u rozum´ıme velikost (ostrého nebo pravého) u ´hlu, kter´ y dané u ´tvary sv´ıraj´ı. Pro odchylku ϕ tedy plat´ı 0 ≤ ϕ ≤ π2 .

14.8.1

Odchylka pˇ r´ımek p a q

Pomoc´ı skalárn´ıho souˇcinu smˇerov´ ych vektor˚ u lze urˇcit odchylku dan´ ych pˇr´ımek. Oznaˇcme ϕ? odchylku vektor˚ u u a v. Plat´ı 0 ≤ ϕ? ≤ π a podle definice skalárn´ıho souˇcinu je u · v = |u| · |v| · cos ϕ? . Pro odchylku ϕ pˇr´ımek p a q – obr. 14.14 a 14.15 – plat´ı |u · v| cos ϕ = . |u| · |v|

(14.34)

ˇ ÍMEK A ROVIN 14.8. ODCHYLKY PR

171

Obrázek 14.14:

14.8.2

Obrázek 14.15:

Odchylka pˇ r´ımky p a roviny α

Podle pˇredcházej´ıc´ıho odstavce snadno urˇc´ıme odchylku ϕ¯ pˇr´ımky p a normály n roviny α. Pro odchylku ϕ pˇr´ımky p a roviny α plat´ı ϕ = π2 − ϕ¯ (jedná se o velikost doplˇ nkového u ´hlu) – obr. 14.16. V´ ysledn´ y vztah je tvaru sin ϕ = cos(

|u · n| π − ϕ) = cos ϕ¯ = . 2 |u| · |n|

Obrázek 14.16:

14.8.3

(14.35)

Obrázek 14.17:

Odchylka rovin α a β

Odchylku ϕ dan´ ych rovin urˇc´ıme jako odchylku jejich normál – obr. 14.17. Plat´ı tedy cos ϕ =

|n · m| . |n| · |m|

(14.36)

ˇ ÍCKY ˇ ˇ ZEK ˇ 14.9. PR MIMOBE

14.9

172

Pˇ r´ıˇ cky mimobˇ eˇ zek

Pˇr´ıˇckou mimobˇeˇzek a, b rozum´ıme kaˇzdou pˇr´ımku p, která dané mimobˇeˇzky a, b prot´ıná. Mezi vˇsemi pˇr´ıˇckami dvou mimobˇeˇzek m˚ uˇzeme hledat takovou, která splˇ nuje dalˇs´ı podm´ınky. Z hlediska aplikac´ı maj´ı v´ yznam následuj´ıc´ı u ´lohy: 1. urˇcit pˇr´ıˇcku mimobˇeˇzek procházej´ıc´ı dan´ ym bodem M , 2. urˇcit pˇr´ıˇcku daného smˇeru, tj. pˇr´ıˇcku rovnobˇeˇznou s danou pˇr´ımkou c, resp. pˇr´ıˇcku s dan´ ym smˇerov´ ym vektorem, 3. urˇcit nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcku, tj. pˇr´ıˇcku kolmou k dan´ ym mimobˇeˇzkám. Pˇredpokládejme, ˇze mimobˇeˇzky a, b jsou dány vektorov´ ymi rovnicemi a : X = A + t · a,

14.9.1

b: Y =B+u·b.

(14.37)

Pˇ r´ıˇ cka mimobˇ eˇ zek a, b bodem M

Pˇr´ıˇcku p mimobˇeˇzek a, b procházej´ıc´ı bodem M urˇc´ıme jako pr˚ useˇcnici rovin α = (M a) a β = (M b) – obr. 14.18. Pro tuto pr˚ useˇcnici známe jeden bod – bod M – a m˚ uˇzeme urˇcit jej´ı smˇerov´ y vektor p pomoc´ı vektorového souˇcinu normálov´ ych vektor˚ u rovin α a β. V symbolickém zápisu: p = ((M − A) × a) × ((M − B) × b) .

(14.38)

Vektorová rovnice pˇr´ıˇcky p je tvaru Z = M + v · p,

v∈R,

(14.39)

kde v je parametr a smˇerov´ y vektor p je dán vztahem (14.38). Pokud by bylo potˇreba v rámci ˇreˇsen´ı u ´lohy urˇcit i body A? , resp. B ? , v nichˇz pˇr´ıˇcka p prot´ıná pˇr´ımku a, resp. b, m˚ uˇzeme je urˇcit jako pr˚ useˇc´ıky rovin α, resp. β s dan´ ymi mimobˇeˇzkami.

Obrázek 14.18:

Obrázek 14.19:


14.9.2

173

Pˇ r´ıˇ cka mimobˇ eˇ zek a, b rovnobˇ eˇ zn´ a s pˇ r´ımkou c

Sestav´ıme vektorovou rovnici pˇr´ıˇcky p mimobˇeˇzek a, b rovnobˇeˇzné s pˇr´ımkou c. Smˇerov´ ym vektorem pˇr´ımky c necht’ je vektor c. Pˇr´ıˇcku p m˚ uˇzeme urˇcit jako pr˚ useˇcnici rovin α a β, kde rovina α je urˇcená bodem A a zamˇeˇren´ım a,c; rovina β obsahuje bod B a má zamˇeˇren´ı b,c. Podobnˇe jako v u ´loze o pˇr´ıˇcce mimobˇeˇzek vedené dan´ ym bodem, m˚ uˇzeme i zde urˇcit body ? ? A , B , v nichˇz pˇr´ıˇcka prot´ıná dané mimobˇeˇzky – obr. 14.19.

14.9.3

Nejkratˇ s´ı pˇ r´ıˇ cka mimobˇ eˇ zek a, b

V odst. 14.7.4 jsme popsali vlastnosti nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcky dan´ ych mimobˇeˇzek. Urˇcili jsme pak vzdálenost mimobˇeˇzek. Nyn´ı uvedeme postup, kter´ ym je moˇzné stanovit vektorovou rovnici nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcky, pˇr´ıp. urˇcit body A? , B ? , v nichˇz nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcka prot´ıná dané mimobˇeˇzky. Vzhledem k tomu, ˇze nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcka je kolmá k dan´ ym mimobˇeˇzkám, m˚ uˇzeme urˇcit smˇerov´ y vektor p této pˇr´ıˇcky pomoc´ı vektorového souˇcinu smˇerov´ ych vektor˚ u a a b. T´ım jsme ale u ´lohu o nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcce pˇrevedli na u ´lohu pˇredcházej´ıc´ı, tj. na urˇcen´ı pˇr´ıˇcky o daném smˇerovém vektoru. Pˇ r´ıklad 14.10 Urˇc´ıme body A? a B ? , v nichˇz nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcka mimobˇeˇzek a a b prot´ıná tyto pˇr´ımky. Stejnˇe jako v pˇr´ıkladu 14.9 je pˇr´ımka a rovnobˇeˇzná s osou z a procház´ı bodem A[2, 1, 0] a pˇr´ımka b je pr˚ useˇcnic´ı rovin dan´ ych obecn´ ymi rovnicemi x − y + z = 0 a 2x + y + 2z = 0. ˇ sen´ı: Pro smˇerov´ Reˇ y vektor nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcky plat´ı p = a × b. V pˇr´ıkladu 14.9 jsme vypoˇcetli b = (−3, 0, 3). Snadno plyne, ˇze p = (0, −3, 0). Uvaˇzujme pro dalˇs´ı v´ ypoˇcet vektor e2 , kter´ y je kolineárn´ı s vektorem p. Urˇc´ıme pˇr´ıˇcku se smˇerov´ ym vektorem e2 – odst. 14.9.2. Pˇripomeˇ nme, ˇze a = e3 . Pro rovinu α lze pak uvaˇzovat e1 jako jej´ı normálov´ y vektor. Obecná rovnice roviny α (A ∈ α) je tvaru x − 2 = 0. Vzhledem k tomu, ˇze parametrické rovnice pˇr´ımky b lze psát ve tvaru x = −t, y = 0, z = t – uvaˇzovali jsme smˇerov´ y vektor kolineárn´ı s vektorem b, dostáváme ? B [2, 0, −2]. Stanov´ıme-li obecnou rovnici roviny β a urˇc´ıme-li pr˚ useˇc´ık s pˇr´ımkou a, obdrˇz´ıme A? [2, 1, −2]. K tomuto v´ ysledku vˇsak m˚ uˇzeme doj´ıt i u ´vahou zaloˇzenou na tom, ˇze pˇr´ımka a je rovnobˇeˇzná s osou z. Potvrzuje se v´ ysledkem z pˇr´ıkladu 14.9 – vzdálenost mimobˇeˇzek a a b se rovná jedné, nebot’ ? ? |A B | = 1.

14.10

Cviˇ cen´ı

14.1 Pro pˇr´ımku AB uved’te vektorovou rovnici a parametrické vyjádˇren´ı, je-li A[1, 0, −2], B[2, 4, −4]. [a) X = [1, 0, −2] + t(1, 4, −2), t ∈ R, b) x = 1 + t, y = 4t, z = −2 − 2t, t ∈ R] 14.2 Kter´ y z bod˚ u A[5, 7, 1], B[0, 21 , 0] leˇz´ı na pˇr´ımce p: x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 6t? [A 6∈ p, B ∈ p]


174

14.3 Napiˇste parametrické rovnice pˇr´ımky p, která je vedená bodem A[3, 5, 1] rovnobˇeˇznˇe s pˇr´ımkou q: x = 2 + 4t, y = −3t, z = −3. [x = 3 + 4u, y = 5 − 3u, z = 1] 14.4 Urˇcete pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky p: x = 3 − 5t, y = 4 + 6t, z = 6 + 8t do roviny xy. [x = 3 − 5u, y = 4 + 6u, z = 0] 14.5 Rozhodnˇete o vzájemné poloze pˇr´ımek a, b: 1. a : b:

x = 1 + 2t, x = 6 + 3u,

y = 7 + t, z = 3 + 4t, t ∈ R; y = −1 − 2u, z = −2 + u, u ∈ R.

2. a : b:

x = 2 + 4t, x = 7 − 6u,

y = −6t, z = −1 − 8t, t ∈ R; y = 2 + 9u, z = 12u, u ∈ R.

3. a : b:

x = 1 + 2t, y = 2 − 2t, z = −t, t ∈ R; x = −2u, y = −5 + 3u, z = 4, u ∈ R.

Jedná-li se o r˚ uznobˇeˇzky, vypoˇctˇete souˇradnice jejich pr˚ useˇc´ıku. Jedná-li se o rovnobˇeˇzky nebo r˚ uznobˇeˇzky, napiˇste obecnou rovnici roviny, ve které pˇr´ımky a, b leˇz´ı. [(a) r˚ uznobˇeˇzky; P [−3, 5, −5], 9x + 10y − 7z − 58 = 0, (b) rovnobˇeˇzky; 5x − 22y + 19z + 9 = 0, (c) mimobˇeˇzky] 14.6 Rovina ρ procház´ı bodem A[−2, 5, 7] a jej´ı normálov´ y vektor je n = (21, 15, 8). Uved’te obecnou rovnici roviny ρ a rozhodnˇete, zda rovina ρ procház´ı poˇca´tkem O. [21x + 15y + 8z = 0, O ∈ ρ] 14.7 Rovina σ je urˇcena body A[2, 3, 1], B[3, 1, 4], C[2, 1, 5]. Napiˇste r˚ uzná analytická vyjádˇren´ı roviny σ. [napˇr. obecná rovnice je x + 2y + z − 9 = 0] 14.8 Napiˇste obecnou rovnici roviny, pro n´ıˇz znáte jej´ı parametrické rovnice x = u + v,

y = u − v,

z = 5 + 6u − 4v,

u, v ∈ R . [x + 5y − z + 5 = 0]

14.9 Sestavte rovnici roviny v u ´sekovém tvaru, jestliˇze tato rovina procház´ı bodem A[3, 5, −7] a na souˇradnicov´ ych osách vyt´ıná stejnˇe dlouhé u ´seky. [ x1 + y1 + z1 = 1] 14.10 Urˇcete rovinu, která je rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou x = 1 + 82t, y = 7 z = 5 + 79t a ve které leˇz´ı pˇr´ımka (daná jako pr˚ useˇcnice dvou rovin) 3x−4y +z −12 = 0 , 4x−7y −3z +4 = 0. [79x − 147y − 82z + 184 = 0] 14.11 Rozhodnˇete o vzájemné poloze rovin ρ a σ: 1. ρ :

3x − 2y − 3z + 5 = 0,

2. ρ :

x + y + z − 1 = 0,

σ:

σ:

9x − 6y − 9z − 5 = 0;

2x + 2y − 2z + 3 = 0. [(a) rovnobˇeˇzné r˚ uzné; (b) r˚ uznobˇeˇzné]


175

14.12 Vyˇsetˇrete vzájemnou polohu následuj´ıc´ıch tˇr´ı rovin, jejichˇz obecné rovnice jsou: 2x − 4y + 5z − 21 = 0,

x − 3y + 18 = 0,

6x + y + z − 30 = 0 . [prot´ınaj´ı se v bodˇe [3, 5, 7]]

14.13 Pro kterou hodnotu λ ∈ R nemaj´ı roviny o rovnic´ıch x + y + z − 3 = 0, x + λy + z + 1 = 0, 2x + y − z − 2 = 0 ˇzádn´ y spoleˇcn´ y bod? [λ = 1] 14.14 Rozhodnˇete o vzájemné poloze pˇr´ımky p a roviny ρ. 1. p : x = −1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t,

ρ : 3x − 3y + 2z − 5 = 0.

2. p : x = 13 + 8t, y = 1 + 2t, z = 4 + 3t,

ρ : x + 2y − 4z + 1 = 0. [(a) p||ρ, p 6⊂ ρ, (b) p ⊂ ρ]

14.15 Stanovte pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p: x = 6 + 2t, y = −2 + 4t, z = −5t se souˇradnicov´ ymi 5 rovinami. [[6, −2, 0], [7, 0, − 2 ], [0, −14, 15]] 14.16 Sestavte parametrické rovnice pr˚ useˇcnice rovin ρ : x + y + z − 1 = 0 a σ : 2x + y − z + 2 = 0. [napˇr. x = −3 + 2t, y = 4 − 3t, z = t] 14.17 Urˇcete obecnou rovnici roviny, která procház´ı bodem A[−3, 1, 0] a pr˚ useˇcnic´ı rovin ρ : x + 2y − z + 4 = 0 a σ : 3x − y + 2z − 1 = 0. [20x + 19y − 5z + 41 = 0] 14.18 Pˇr´ımka p je dána jako pr˚ useˇcnice rovin o rovnic´ıch x − 3y + 2z + 4 = 0 , 2x + y − 3z − 6 = 0. Urˇcete obecné rovnice pravo´ uhl´ ych pr˚ umˇet˚ u pˇr´ımky p do souˇradnicov´ ych rovin xz a yz. [x − z − 2 = 0, y − z − 2 = 0] 14.19 Vypoˇctˇete vzdálenost bodu M od roviny ρ: 1. M [1, 2, −3], ρ : 2x + 3y − 4z + 5 = 0; 2. M [7, −1, 2], ρ = ABC, A[−5, 0, 0], B[0, 0, 25 ], C[0, − 52 , 0]. [(a) 4, 6; (b) 2] 14.20 Vypoˇctˇete vzdálenost bodu M od pˇr´ımky p: 1. M [1, 3, 5], p = ρ ∩ σ, ρ : 2x + y + z − 1 = 0, σ : 3x + y + 2z − 3 = 0; 2. M [1, 2, 5], p : x = t, y = 1 − 2t, z = 3 + t. [(a) 14.21 Vypoˇctˇete vzdálenost pˇr´ımek a, b: 1. a : x = 3 + t, y = 1 − t, z = 2 + 2t, b : x = −u, y = 2 + 3u, z = 3u;

q √ 14, (b) 35 ] 6


176

2. a : x = 2 + 3t, y = −1 + 4t, z = 2t, b : x = 7 + 3u y = 1 + 4u, z = 3 + 2u; [(a) 14.22 Vypoˇctˇete odchylku ϕ pˇr´ımek a, b, je-li a : x = 1 + 3t, y = −2 + 6t, z = 5 + 2t, b : x = 2u y = 3 + 9u, z = −1 + 6u.

√18 110

, (b) 3]

[ϕ = arccos 72 ] 77

14.23 Vypoˇctˇete odchylku ϕ rovin ρ a σ, kde ρ : x + 2y − 3z = 0, σ : 2x + 3y + z + 8 = 0. 5 ] [ϕ = arccos 14 14.24 Vypoˇctˇete odchylku pˇr´ımky p a roviny ρ, kde p : x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t, ρ : x + 2y + 2z − 3 = 0. [ϕ = 74, 20 ] 14.25 Vypoˇctˇete souˇradnice bodu, kter´ y je soumˇernˇe poloˇzen podle roviny ρ : x−4y +z +7 = 0 k bodu A[2, 7, 1]. [4, −1, 3]] 14.26 Poˇca´tkem O je vedena rovina kolmá k pˇr´ımce p : x = −2 + 4t, y = 3 + 5t, z = 1 − 2t. Urˇcete jej´ı obecnou rovnici. [4x + 5y − 2z = 0] 14.27 Napiˇste parametrické rovnice pˇr´ımky jdouc´ı bodem A[−1, 0, 4], která prot´ıná pˇr´ımku p : x = 1 + t, y = 2t, z = 4 − t pod prav´ ym u ´hlem. Jaké souˇradnice má pr˚ useˇc´ık tˇechto pˇr´ımek? [x = −1 + 5u, y = −2u, z = 4 + u; [ 23 , − 32 , 13 ]] 3 14.28 Napiˇste parametrické rovnice pˇr´ıˇcky mimobˇeˇzek a : x = 1 − t, y = t, z = 4t, b : x = 2 − u, y = 4 + 2u, z = 1, která leˇz´ı v rovinˇe ρ : y + 2z = 0. [x = 1 + 4u, y = −2u, z = u] 14.29 Napiˇste parametrické rovnice pˇr´ıˇcky mimobˇeˇzek a : x = t, y = 1 − t, z = 3 + t, b : x = 2 + 2u, y = 3 − u, z = 4 + 3u, která procház´ı poˇca´tkem O. [x = 22v, y = −19v, z = 31v] 14.30 Urˇcete pˇr´ıˇcku mimobˇeˇzek a : x = 3+t, y = −1+2t, z = 4t, b : x = −2+3u, y = −1, z = 4 − u, pro n´ıˇz je dán jej´ı smˇerov´ y vektor s = (1, 1, 2). [2y − z + 2 = 0, x − 7y + 3z − 17 = 0] 14.31 Napiˇste parametrické rovnice nejkratˇs´ı pˇr´ıˇcky osy y a pˇr´ımky p : x = 3 + 4t, y = 1 − t, 63 , z = −4u] z = 2 + 5t. [napˇr. x = 5u, y = 41

14.11


14.1 Uved’te pˇrehled r˚ uzn´ ych zp˚ usob˚ u analytického popisu pˇr´ımky v E3 . (Návod: jde o tˇri moˇznosti.) 14.2 Uved’te pˇrehled r˚ uzn´ ych zp˚ usob˚ u analytického popisu roviny v E3 . (Návod: jde o pˇet moˇznost´ı.) 14.3 Uved’te, pro které roviny nen´ı dané vyjádˇren´ı definováno.


177

14.4 Popiˇste algoritmus, pomoc´ı nˇehoˇz rozhodnete o vzájemné poloze 1. dvou pˇr´ımek, 2. dvou rovin, 3. pˇr´ımky a roviny. 14.5 Jak se liˇs´ı odchylka vektor˚ u a odchylka pˇr´ımek? 14.6 Uved’te, jak´ y geometrick´ y v´ yznam má nulovost jednotliv´ ych koeficient˚ u v obecné rovnici roviny. 14.7 Slovnˇe pomoc´ı geometrick´ ych pojm˚ u (obsah rovnobˇeˇzn´ıku, jeho v´ yˇska) popiˇste vzorec pro v´ ypoˇcet vzdálenosti bodu od pˇr´ımky. 14.8 Slovnˇe pomoc´ı geometrick´ ych pojm˚ u (rovnobˇeˇznostˇen, objem, obsah podstavy, v´ yˇska) popiˇste vzorec pro v´ ypoˇcet vzdálenosti dvou mimobˇeˇzek.

Literatura [1] Bohne, E. – Klix, W.D.: Geometrie – Grundlagen f¨ ur Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag 1995. [2] Demlová, M. – Nagy, J.: Algebra. Praha, SNTL 1985. ˇ 1995. [3] Holenda, J.: Lineárn´ı algebra I. Plzeˇ n, ZCU ˇ 2003. [4] Jeˇzek, F. – M´ıková, M.: Maticová algebra a analytická geometrie. Plzeˇ n, ZCU [5] Jirásek, F. – Kriegelstein, E. – Tich´ y, Z.: Sb´ırka ˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u z matematiky. Praha, SNTL/Alfa 1987. [6] Luhan, E. – Novotn´ y, M. – Voj´ıková, J.: Sb´ırka ˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u z matematiky. Plzeˇ n, ˇ VSSE 1965. [7] Mezn´ık, I. – Karásek, J. – Mikl´ıˇcek, J.: Matematika I pro strojn´ı fakulty. Praha, SNTL 1992. [8] Polák, J.: Pˇrehled stˇredoˇskolské matematiky. Praha, SPN 1991. [9] Rogers, D.F. – Adams, J.A.: Mathematical Elements for Computer Graphics. New York, Mc Graw–Hill 1990. ˇ ˇ 2004. [10] Stauberov´ a, Z.: Mongeovo prom´ıtán´ı. Plzeˇ n, ZCU ˇ 1997. [11] Tesková, L.: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z lineárn´ı algebry. Plzeˇ n, ZCU [12] Urban, A.: Deskriptivn´ı geometrie I. Praha, SNTL 1965.

178

Index Afinita osová, 38 Algoritmus Horner˚ uv, 96 Axonometrická pr˚ umˇetna, 68 Axonometrické jednotky, 69 Axonometrie, 68 axonometrick´ y troj´ uheln´ık, 78 dimetrie, 69 izometrie, 69 koso´ uhlá (obecná), 69 pravo´ uhlá, 69 trimetrie, 69 vojenská perspektiva, 69 Báze ortonormáln´ı, 143 vektorového prostoru, 143 Bod nevlastn´ı, 13 samodruˇzn´ y, 36, 38 Bokorysna, 68 Brianchonova vˇeta, 27 Cauchyova nerovnost, 152 ˇ ıslo C´ vlastn´ı, 135 Dˇel´ıc´ı pomˇer, 11 Determinant, 108 v´ ypoˇcet rozvojem, 109 vlastnosti, 112 Dimenze prostoru, 144 Elementárn´ı plochy, 30 ˇrez, 83 Elipsa definice, 15

parametrické vyjádˇren´ı, 17 Euklidovská geometrie axiomy, 8 Euklidovsk´ y prostor, 140 projektivnˇe rozˇs´ıˇren´ y, 14 Frobeniova vˇeta, 124 Frontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımka, 49 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda, 122 Gaussova eliminace geometrick´ y v´ yznam, 164 Hess˚ uv normálov´ y tvar rovnice roviny, 160 Horizontáln´ı hlavn´ı pˇr´ımka, 48 Hyperbola, 22 Identita Lagrangeova, 152 Kartézská soustava souˇradnic, 140 Koˇren rovnice, 98 Kolineace stˇredová, 35 osa, 35 Konstrukce prouˇzková, 17 Rytzova, 77 Kritérium kolmosti dvou rovin, 10 kolmosti pˇr´ımky a roviny, 10 rovnobˇeˇznosti pˇr´ımky a roviny, 9 rpvnobˇeˇznosti dvou rovin, 10 Kroneckerovo delta, 145 Kruˇznice hyperoskulaˇcn´ı, 18 oskulaˇcn´ı, 18 Kryc´ı pˇr´ımka, 54 Lagrangeova identita, 152 179

INDEX

Matice, 102 ˇctvercová, 104 ˇra´d, 104 determinant, 108 diagonáln´ı, 104 hlavn´ı diagonála, 102 hodnost, 124 inverzn´ı, 114 Jordanova eliminaˇcn´ı metoda, 130 v´ ypoˇcet, 129, 131 v´ ypoˇcet pomoc´ı determinant˚ u, 131 mocnina, 108 násoben´ı, 106 násoben´ı ˇc´ıslem, 106 regulárn´ı, 114 rovnost, 103 singulárn´ı, 114 souˇcet, 105 soustavy, 119 rozˇs´ıˇrená, 120 spektrum, 135 symetrická, 105 transponovaná, 103 troj´ uheln´ıková, 105 typ, 102 vlastn´ı ˇc´ıslo, 135 vlastn´ı vektor, 136 Metoda Cramerova, 126 Gaussova eliminaˇcn´ı, 122 Jordanova eliminaˇcn´ı, 130 Mnohoˇclen definice, 93 nulov´ y, 94 stupeˇ n, 93 Mnohoˇcleny pod´ıl, 95 ˇca´steˇcn´ y, 95 rovnost, 94 Mongeovo prom´ıtán´ı, 41 ordinála, 42 stopa roviny, 45 stopn´ık pˇr´ımky, 44 základnice, 42

180

Nárysna, 68 Nerovnost Cauchyova, 152 Nevlastn´ı bod, 13 Nevlastn´ı pˇr´ımka, 14 Nevlastn´ı rovina, 14 Normálov´ y tvar rovnice roviny, 160 Obecná rovnice roviny, 160 Odchylka dvou pˇr´ımek, 8, 170 dvou rovin, 9, 171 pˇr´ımky a roviny, 171 Osová afinita, 38 Otáˇcen´ı, 62 P˚ udorysna, 68 Pˇr´ıˇcka mimobˇeˇzek daného smˇeru, 173 dan´ ym bodem, 172 nejkratˇs´ı, 173 Pˇr´ımka hlavn´ı, 48 frontáln´ı, 49 horizontáln´ı, 48 kryc´ı, 54 nevlastn´ı, 14 prom´ıtac´ı, 33 spádová, 50 Pˇr´ımka a rovina inkluze (pˇr´ımka leˇz´ı v rovinˇe), 165 pr˚ useˇc´ık, 165 r˚ uznobˇeˇznost, 165 rovnobˇeˇznost, 165 vzájemná poloha, 165 Pˇr´ımky mimobˇeˇzné, 158 odchylka, 8 r˚ uznobˇeˇzné, 158 rovnobˇeˇzné, 158 totoˇzné, 158 vzájemná poloha, 158 Parabola, 23 Parametrické vyjádˇren´ı pˇr´ımky, 157 Parametrické vyjádˇren´ı roviny, 160 Pascalova vˇeta, 25

INDEX

Plocha hranolová, 30 jehlanová, 30 kuˇzelová, 31 kruhová, 31 rotaˇcn´ı, 31 kulová, 32 válcová, 32 kosá, 32 kruhová, 32 rotaˇcn´ı, 32 Polynom charakteristick´ y, 135 definice, 93 nulov´ y, 94 stupeˇ n, 93 Polynomy pod´ıl, 95 ˇca´steˇcn´ y, 95 rovnost, 94 Pr˚ umˇetna, 34 Pr˚ unik hranolov´ ych a jehlanov´ ych ploch, 88 Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s elementárn´ı plochou, 86 Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou kryc´ı pˇr´ımka, 75 Pr˚ useˇcnice dvou rovin, 76, 163 Pravidlo Cramerovo, 126 pravé ruky, 147, 149 Sarrusovo, 110 Prom´ıtán´ı kótované, 41 koso´ uhlé, 35, 69 Mongeovo, 41 pravo´ uhlé (kolmé, ortogonáln´ı), 35 rovnobˇeˇzné, 33 stˇredové, 33 Prostor euklidovsk´ y, 140 vektorové zamˇeˇren´ı, 143 Rovina nevlastn´ı, 14

181

teˇcná, 91 vrcholová, 30–32, 86 Roviny odchylka, 9 r˚ uznobˇeˇzné, 162 ˚ useˇcnice, 163 rovnobˇeˇzné, 162 totoˇzné, 162 vzájemná poloha, 162 Rovnice algebraická, 98 koˇren, 98 charakteristická, 135 pˇr´ımky, 156 parametrická, 157 vektorová, 156 roviny u ´sekov´ y tvar, 161 Hess˚ uv normálov´ y tvar, 160 obecná, 160 parametrické, 160 vektorová, 159 Rovnobˇeˇznostˇen, 31 ˇ Rez hranolovou a jehlanovou plochou, 83 kulovou plochou, 84 na elementárn´ı ploˇse, 83 válcovou a kuˇzelovou plochou, 84 Sarrusovo pravidlo, 110 Skalárn´ı souˇcin vektor˚ u, 145 definice, 146 geometrick´ y v´ yznam, 146 nulovost, 146 v´ ypoˇcet, 146 Sklopen´ı, 57 rozd´ılov´ y troj´ uheln´ık, 58 Sm´ıˇsen´ y souˇcin vektor˚ u, 150 geometrick´ y v´ yznam, 150, 151 nulovost, 151 Smˇer prom´ıtán´ı, 34 Souˇcadnice vektoru, 142 Souˇcet

INDEX

vektor˚ u, 142 Souˇcin vektor˚ u skalárn´ı, 145 sm´ıˇsen´ y, 150 vektorov´ y, 148 Soustava ˇca´steˇcné (partikulárn´ı) ˇreˇsen´ı, 121 ˇreˇsen´ı Gaussova eliminace, 122 ˇreˇsitelnost, 120, 124 elementárn´ı u ´pravy matice, 121 homogenn´ı, 120 matice soustavy, 119 nehomogenn´ı, 120 obecné ˇreˇsen´ı, 121 rozˇr´ıˇrená matice soustavy, 120 s parametrem, 127 Soustava lineárn´ıch rovnic, 119 Soustava souˇradnic kartézská, 140 Spektum matice, 135 Stˇredová kolineace, 35 osa, 35 Stopa, 72 Stopa roviny, 45 Stopn´ık, 44, 71 ´ Usekov´ y tvar rovnice roviny, 161 Vˇeta Brianchonova, 27 Frobeniova, 124 o pravo´ uhlém pr˚ umˇetu pravého u ´hlu, 35 Pascalova, 84 Pohlkeova, 69 Vektor, 141 jednotkov´ y, 143 násoben´ı reáln´ ym ˇc´ıslem, 142 normálov´ y, 160 normován´ı, 143 normovan´ y, 143 nulov´ y, 142 smˇerové kosiny, 147 souˇradnice, 142 vázan´ y, 141 velikost, 142

182

vlastn´ı, 136 voln´ y, 141 Vektorová rovnice pˇr´ımky, 156 Vektorové zamˇeˇren´ı prostoru, 143 Vektorov´ y rovnice roviny, 159 Vektorov´ y souˇcin definice, 148, 149 geometrick´ y v´ yznam, 148, 149 v´ ypoˇcet, 148, 149 Vektorov´ y souˇcin vektor˚ u nulovost, 149 Vektory bázové, 143 kolineárn´ı, 143 komplanárn´ı, 144 lineárnˇe nezávislé, 144 lineárnˇe závislé, 144 rozd´ıl, 143 sˇc´ıtán´ı, 142 souˇcin skalárn´ı, 145 sm´ıˇsen´ y, 150 vektorov´ y, 148 Velikost vektoru, 142 Vzdálenost bod˚ u, 140 bodu od pˇr´ımky, 167 bodu od roviny, 168 dvou bod˚ u, 167 dvou mimobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek, 169 dvou rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek, 169 dvou rovnobˇeˇzn´ ych rovin, 170 pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s rovinou od roviny, 170 Vzorce Viétovy, 100 Základn´ı vˇeta algebry, 98 Základnice vynechán´ı, 58 Zákon antikomutativn´ı, 149 asociativn´ı, 142 distributivn´ı, 142, 149 komutativn´ı, 142

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Recommend Documents