6.3
NekoneEnA Eada a jeji souEet, nekoneEn5 geometrickh Eada
ozohy zahrnujici uc'ivo: pojem nekoneEn6 Fady a jejiho souEtu, konvergentni nekoneEn6 iady a divergentni nekoneEn6 fady, nekoneEnd geometrickd fada a jeji souEet, re61n6 Eislo jako souEet konvergentni nekoneEn6 fady, pievod racion6lniho Eisla dan6ho periodickjrm desetinnjrm rozvojem na tvar zlomku, Glohy na aplikace vzorce pro souEet konvergentni nekoneEn6 fady ([I]str. 282 - 287).
Pojem nekoneEn6 Eady a jejiho souEtu, konvergentni nekoneEn6 Eady a divergentni nekoneEn6 Eady 1. Jak se definuji pojmy nekoneEnb f a d a a souEet nekoneEn6 fady? Ktere neko-
neEn6 fady se nazjrvaji konvergentni a kter6 divergentni? OdpovCd Je-li dbna posloupnost (an):'l, pak vj.raz (symbol) 00
a1
+ a2 + . . . f a , + . . .
neboli
an, n= 1
se nazj.vb nekoneEn6 Fada, pIiEemi Eisldm a l , az, . . . , a,, nekoneEn6 Fady.
. . . se pak Pika Eleny
m
Pro zavedeni pojmu souztu nekoneEnE iady
a n uvaiujeme posloupnost (sn);==, n=l
s n-tjrm Elenem sn = a1
+ a2 + . . . + an
x n
neboli s =
ak.
00
Cislo s n se nazj.vb n-t4 EdsteEnjr souEet nekoneEnk Fady
a, a posloupnosti n=l
(s,),=,m se fikb posloupnost EBsteEngch souEti~nekoneEn6 fady. M&li posloupnost (s,):=~ limitu (vlastni neb0 nevlastni), nazj.vbme tuto limitu souEtem m
nekoneEn6 Fady
Je-li posloupnost (s,):=~
an a z n d se s. Tedy:
konvergentni, tj. kdyi s E R, Iikbme, i e nekoneEn6 fada
m
an je konvergentni. Je-li posloupnost (s,):=,
divergentni, tj, kdyi s = +co,
n=l anebo s = -co, anebo s neexistuje, Eikbme, i e nekoneEn6 fada
x m
an je di-
[.!3ynpu! noy3!q~urapurmypp al;paao~d.e (N 3 y 016 T+Yzs B YZS nq?od@ apelygz BU aped!:d A) yapa~s@alaupeqpo (a '(p .qz azolp A auqopqo ap[ndn$sod (3 "ez azop A 0-[ auqopqo a?[ndn$sod (q '("2 : ~ o ~ v N ] = (a
0-[
- zu u ( I - )
' ( z4- u)(1+ u ) u = "0 (q
' ( I - uz)u = Uv (v
T=Y
:"v
1p o j q3Ju~auoyau&?nos ?u?aqy? 93-uaqa2Jn .g 00
3 Lpofiqaauoyau
old us Lqjnos ?u?aaq3 93-u aqaZrn
.e
00
5. Uiitim vEty z filohy 4 dokaite, i e jsou divergentni nekoneEn6 fady:
Pozndmka. Podminka lim a, = 0 je pouze nutnou, nikoliv vSak postaEujici podn-m
..
minkou konvergence nekoneEn6 iady
x
a,. Viz nbledujici vjrznamn? pfiklad.
1 n n=l koneEnA Tada je divergentni, aEkoliv spliiuje nutnou podminku konvergence:
6. NekoneEnA fada
O0
- se nazjivb harmonick6 Pada. Dokaite, i e tato ne-
1
lim 1 = 0.
n-ma
n
1
1 * . -)
Ehtetnjrch souttd harR s h n i Posloupnost (s,),, = (1 + 5 + . . . + n=l monickd iady je rostouci, nebot! s,+l - sn > 0 pro kaid6 n E N. Dile lze dokbzat matematickou indukci, ie pro souEet prvnich n = 2" Elenfi harmonick6 m fady plati: s, = S p n > 1 + - pro kaid6 m E N a odtud plyne, i e posloup2 nost je neomezenb. Harmonickb fada tedy je divergentni, piiEemi s =
7. NekoneEna fada pfifazena aritmetick6 posloupnosti s diferenci d, tj. nekoneEna
x x 00
00
+
a1 (n - l ) d , se nazjrvj nekoneEn6 aritmetickzi n=l Pada s diferenci d. Dokaite, i e pro ni plati v6ta: NekoneEnA aritmetick6 Eada vBdy diverguje s vjijimkou piipadu, kdy d = 0 a zArovefi a1 = 0.
fada tvaru
a, =
n=l
8. Dokaite, i e dan6 nekoneEn6 Tady jsou konvergentni, tj. maji koneEn6 souEty:
[Na'vod: UrEete souEty danjrch fad na zbkladf: visledkd Gloh 2b a 3c.I
NekoneEn6 geometrickii Fada a jeji souEet 9. K t e r j nekoneEn6 fada se naz+b geometrickA? Kdy je nekoneEna geometrickj Fada konvergentni a jakjr vzorec plati pro jeji souEet? Odpov&f
NekoneEni iada pfifazenb geometrickk posloupnosti s kvocientem q , tj.
x M -.
nekoneEni fada tvaru
n= 1
M -.
a1("",
a, =
se nazjvd nekoneEnd geometrickd
n= 1
Tada s kvocientem q. 0 jeji konvergenci plati vsta: Je-li al = 0, nekoneEnb geome00
trickb fada
C olqn-' n=l
66
je konvergentni pro kaid6 q E R a m6 souEet s = 0. Je-li
x -.
a1 191
#
<
0, nekoneEnb geometrickb iada
alqn-' je konvergentni, prbvivi: kdyi plati
n= 1
1 Eili q E (-1; 1) a jeji souEet s je dbn vzorcem
Pozncimka. Pfi ddkazu tohoto vzorce se vychbzi z toho, i e n-tjr EbteEnjr souEet nekoneEn6 geometrickk fady piedstavuje souEet prvnich n Elenfi geometrickh posloupnosti (viz nbledujici Glohu 10). J e l i a1 # 0 a Iql 2 1, lze dokbzat, i e nekoneEnb geometrickb fada je divergentni (pfi ddkazu se uvaiuji piipady: q > 1, q = 1, q = -1, q < -1).
x 00
10. Dokazte vaorec pro souEet konvergentni geometrickk fady a1
#
0 a (ql
<
alqn-l, pro
n=l 1 (uvedenjr v Gloze 9).
[Ncivod: Za pfedpokladu, i e Iql
<
1, urEete s = lim s,, kde sn = a1 12-00
qn - 1 .a-1
(viz v6tu c) v Gloze 81 kap. 6.1). Dble uiijte toho, i e za uvedenkho pfedpokladu je lim qn = 0 (viz v6tu uvedenou v Gloze 48 kap. 6.2).] n-DJ
11. UrEete souEty nekonetnjrcli geometrickjrch fad:
12. UrEete souEty nekoneEnjrch fad:
[Ndvod: Dan4 nekoneEnk iady vyjufete ve tvaru souEtu dvou konvergentnich nekoneEnjlch geometrickjrch fad.]
13. UrEete souEty nekoneEnjrch fad (souvisejicich s geometrickou fadou):
[Ncivod: Vyjdete z piislu9njrch n-tjrch EbteEnjrch souEtd t6chto fad odvozenjrch v Glohbch 113a, b a 114d kap. 6.1 a uiijte limit posloupnosti urEenjrch v Glohbch 26c a 25c kap. 6.2.1 00
14. UrEete konvergentni nekoneEnou geornetrickou fadu
alqn-l, jejii prvni n=l
Elen je a1 = 25 a kterri m& souEet s = 62,5.
x w
15. UrEete konvergentni nekoneEn6 geometrickc5 fady
alqn-l, pro nBi plati: n= 1 a) fada mb souEet s = 9 a souCet druhjrch mocnin vSech jejich Elenfi je sf = 40,5, b) fada m i souEet s = 4 a souEet tfetich mocnin vsech jejich Elend je s' = 192. [Ndvod: Ukajte, ie pro konvergentni nekoneEnou geometrickou fadu jsou nekoneEnk fady druhgch i tfetich mocnin vgech Elend op6t konvergentni geometrickk fady, a uiijte pro n6 vzorce pro souEet geometrickk Pady.] w
16. UrEete konvergentni nekoneenou geometrickou fadu
2 je s = 2 - a kterb mb souEet prvnich p6ti Elenfi 3
alqn-l, jejif souEet n=l
s5
3
= 2-. 4
x 00
17. a) UrEete konvergentni nekoneEnou geometrickou fadu
alqn-', kteri mb n=l 1. Elen a1 = 1 a kaidjr jeji Elen je tfikr6t vEt8i nei souEet vSech Elenfi za nim nkledujicich. VypoEtBte t6f souEet s t6to nekoneEnk Pady.
x w
b) UrCete vSechny konvergentni nekoneEn6 geornetrickk fady
algn-l, n=l v nichi kafdJi Elen je desetinhobkem souEtu vSech Elend za nim nkledujicich. Stanovte t6i souEty s t6chto nekoneEnjrch Pad. [Ndvod: Aplikujte uvedenou vlastnost Elend a, na Elen al.]
18. Zjistgte, pro kter6 hodnoty parametru x E R jsou dan6 nekoneEn6 iady konvergentni geometrickc5 iady a urCete jejich souEty:
19. Stanovte, pro kter6 hodnoty parametru x E R Ize zlomek
+
1
1 sin x
povaiovat
za souEet konvergentni nekoneEn6 geometricke fady, a urEete tuto fadu. 20. fieSte rovnice s neznbmou x E R:
R e h 6 Eislo jako souEet konvergentni nekoneEn6 Pady, pzevod racion5lniho Eisla dan6ho periodickjrm desetinnjrm rozvojem na tvar zlomku 21. Kaid6 reiln6 Eislo a > 0 vyjbdfen6 desetinnjrm rozvojem a = ao,ala2. . .an. . . (kde a0 E N, an E ( 0 , 1 , 2 , . . . , 9 ) , n E N) 1ze t6i vyj6dfit ve tvaru nekoneEn6 al an an iady a0 - - . . . $ - . . ., kterd konverguje k Eislu a. Dokaite. 10 102 lon
+ +
+
+
a1 a2 +++ . . . + 5) EBs 10 lo2 lon a1 a2 an teEnjrch souEtd nekoneEn6 fady a0 + ++...+je neklesajici a shora 10 102 10n omezenb Eislem a0 + 1, a proto podle ;ity a); lilohy 28 < kap. 6.2 je konvergentni, CQ
Reieni (dGkaz). Posloupnost (s,),,
= (a0
n=l
pfiEemi lim sn = lim an,d = a. Odtud plyne dokazovank tvrzeni: n-a,
n-00
> 0,kter6 je dan6 periodickjrm desetinnjrm rozvojem ao,alaz. . .an. . ., lze jeho vyj&dfenim nekoneEnou konvergentni iadou podle vQty z Glohy 21 a uiitim vzorce pro souEet konvergentni geometrickg iady t6i pfev6st na tvar zlomku P- s celoEiselnjrm Eitatelem i jmenovatelem. Pieved'te
22. Kaid6 racion&lniEislo a
4
takto na tvar zlomku racionalni Eisla dan&periodickjrmi rozvoji: a) 0 , a (ryze periodickjr rozvoj s periodou 43),
b) 1,3= (neryze periodickjr rozvoj s pfedperiodou 3 a periodou 45). Reieni.
23. Racionblni Eisla dan& periodickfmi rozvoji
a) 0,8, b) 0,49, c) 0 , 4 2 8 , d) 6,W, e) 6,2'5 vyj&dfete ve tvaru zlomkfi s celoEiselnfmi Eitateli a jmenovateli. Na zikladE FeSenfch liloh se pokuste formulovat obecne pravidlo o pfevodu periodickeho desetinnkho rozvoje racionblniho Eisla a E (0; 1) na zlomek s celoEiselnfm Eitatelem i jmenovatelem.
olohy na aplikace souEtu konvergentni geometrickc5 Eady 24. oloha Goldbachova: UrEete souEet vSech racionblnich Eisel, kter& lze zapsat 1 ve tvaru zlomku kde n E N , m E N - (1). (n 1)"' ' [Nduod: Pro kaid6 n = 1, 2, 3, . . . nechte postupng probihat m = 2, 3,
+
a seEt6te takto vznikl6 konvergentni geometrick6 fady.]
Pozndmka. NQledujici i~lohyukazuji, jak se pouiivb souEta konvergentnich nekoneEnjrch geometrickjrch fad v geometrii. Potfebn6 geometrickb pojmy a vzorce rnfiie Etenrii. nal6zt v 9. kapitole.
25. UrCete d6lku kiivky spir6lov6ho tvaru (obr. 6.15), kterb je sloiena z nekoneEnE mnoha polokruinic takovjrch, i e polomBr prvni (nejvEtSi) polokruinice je r (IABI = T ) a polomBr kaidk nbsledujici polokruinice je dvakrbt menSi nei r T polomBr piedchbzejici polokruinice (IBCI = -, [CDl = -, . . . ). 2 4 fles'eni.
Po1omF:ry sestrojovanjrch polokruinic tvoii geometrickou posloupnost ur1
Eenou rekurentng:
TI
=
=
T , r,+l
:T,
( n E N), a proto take d6lky tgchto polo-
G ,
1 1 kruinic piedstavuji geometrickou posloupnost: l I = Tr, ln+l = -1 - -Trn. (ObF: 2 n- 2 1 posloupnosti maji kvocient q = - .) D6lka s kiivky je rovna souEtu konvergentni 2 00
1,:
nekoneEn6 geornetrickb fady n=1
Dospgli jsme tak k zajirnavkmu v-jsledku, i e spirblovb kiivka mb tut6i d6lku jako kruinice o polomEru r.
Obr. 6.15
26. ZjistEte vzd6lenost koncovdho bodu X spir6lovk kiivky z piedchozi lilohy 25 od jejiho poE6teEniho bodu 0. Regen;. V obr. 6.15 vidime, ie od poEbteEniho bodu 0 je bod A vzdblen o 211 vpravo, od bodu A je vzdblen bod B o T vlevo, od bodu B je bod C vzdblen o - r 2 vpravo atd. Proto koncov? bod X je od bodu 0 ve vzdblenosti s' dan6 souEtem konvergentni nekoneEn6 geometrickk fady:
27. UrEete kiivku spir8lovdho tvaru, kter6 je sloiena z nekoneEnG mnoha Etvrtkruinic o polomErech: 1 3 b) TI = T, r,+l = -rn (n E N). 8) TI =TiTn+l = ~ T n i 4 28. Do Etverce o stran8 ddlky a je veps6n kruh, do nEho pak Etverec, do toho opEt kruh (obr. 6.16) atd. do nekonefna. VypoEtEte:
a) soueet obvodb a souEet obsahb vSech tBchto Etvercb, b) souEet obvodb a souCet obsahb vSech tEchto kruhb.
Obr. 6.16
Obr. 6.17
29. Ke Etverci ABCD o strang dblky a pfipojime pravolihljr trojlihelnik C B E shodnjr s trojlihelnikem DAB (obr. 6.17). Na pfimce B E sestrojime postupnQ a liseEky BB1, B1B2, B2B3, . . ., Bn-1 B,, . . . o dblkfich lBBll = ,; lBl B2l = a a a = - IB2B31 = 8, . . ., lBn-l Bn I = - . . .. A obdobnE na piimce C E 4' 2n ' sestrojime postupnE GseEky CC1, C1C2, C2C3, . . . , Cn-lCn, . . . o d61k6ch U U U ICCll = 5,kde u = a d , IC1C21 = -, IC2C3J = . . ., JCn-1CnI = L ,
4
71. -
8,
- -
2n' a) Dokaite, i e pro n -+ cu body Bn i Cn dospEji do t6hoi bodu X = E . b) UrEete ddlku lomen6 E&ry BC1B1C2B2 . . . CnBn . . . E. c) UrEete souEet obsahb vSech pravofihljrch trojlihelnikd CBC1, BB1C1, ClBlC2, BlB2C2, . . .. " "
30. Do rovnostrannbho trojlihelniku AIBICl o stran5 ddlky a je veps6n kruh K1,
do nBho rovnostrannjr trojlihelnik A2B2C2, do toho opGt kruh K2 (obr. 6.18) atd. do nekoneEna. UrEete: a) souEet obsahb vSech tEchto trojlihelnikb, b) souEet obsahfi vSech tgchto kruhb.
Obr. 6.18
Obr. 6.19
31. Do rovnostrannkho trojfihelniku AIBICl o stran6 dblky a je veps&n kruh K1. Sestrojme kruh K2 dotjrkajici se kruhu K1 a stran AIC1, BlCl dankho rovnostrannkho trojfihelniku, obdobnG sestrojme kruh Kg dotjrkajici se kruhu K 2 a stran AIC1, BICl dankho trojfihelniku (obr. 6.19), atd. do nekoneEna. Obdobn6 sestrojme posloupnosti kruhd K2, K3, . . . pii vrcholech A1, B1. UrEete souEet obsahd vgech t6chto kruhd (K1 a trojic kruhd K2, K3, . . .) a porovnejte je s obsahem dankho rovnostrannbho trojfihelniku. 32. Je d&n rovnostrannjr trojfihelnik ABC o strang dblky a. Nad jeho vjrSkou C D sestrojime drub$ rovnostrannjr trojfihelnik D E C , nad jeho vjrgkou EF tieti rovnostrannjr trojfihelnik F E G (obr. 6.20) atd. do nekoneEna. VypoEtGte souCet obsahd vSech t6chto trojiihelnikii.
Obr. 6.20
Obr. 6.21
33. Do kruhu o polom6ru T je vepsbn pravidelnjr Sesti&elnik, do n6ho kruh, do toho op6t pravidelnjr Sestiiihelnik (obr. 6.21) atd. do nekoneEna. UrEete: a) souEet obsahfi vSech t6chto kruhd, b) souCet obsahd vgech t6chto gestilihelnikd. 34. Do krychle o hran6 dklky a je vepsbna koule, do ni krychle, do tk op6t koule atd. do nekoneEna. VypoEtBte: a) souEet povrchd vSech t6chto krychli, b) souEet povrchd vSech techto kouli. 35. Do pravidelnkho Etyibokkho jehlanu o podstavnk hran6 (stran6 podstavy) dklky a a vjrSce v je vepsbn pravidelnjr Ctyibokjr jehlan, jehoi podstava je v polovin6 vjr5ky prvniho (dankho) jehlanu a vrchol leii ve stfedu jeho podstavy (obr. 6.22). Do druhkho (vepsankho) jehlanu je obdobn6 vepsbn tfeti jehlan atd. do nekoneEna. VypoEt6te souEet S objemd vSech t6chto jehland a rozdil s - Vl, kde Vl je objem prvniho (dankho) jehlanu. 72
Obr. 6.22
36. Do rovnostrann6ho kuiele o polomBru podstavy T je vepsAna koule, nad ni druhb koule, nad tou tfeti atd. do nekoneEna. VypoEtBte: a) souEet povrchd vgech ti5chto kouli, b) souEet objemd vgech tBchto kouli.
b) Je-li q = 1, pak pro vSechna n E N je bn = 1, an = a l , a tedy lirn qn = 1 n-w
a lirn an = a l . n- w
(i)n
1 = lirn = 0, a tedy (podle v6ty qn n-w z Clohy 42 s piihl6dnutim k tomu, i e q > 0) je lirn qn = +oo a lirn a , = + m , n-w pokud je a1 > 0, lirn an = -m, pokud a1 < 0.
> 1Eili q E (1, + m ) , pak
c) Je-li q
lirn
n-w
71-05
71-00
d) Je-li q
5 -1
Eili q E (-oo, -I), takie lirn qn neexistuje a takk lirn an nen- w
n-w
existuje. P o n d m k a . Limity urEen6 v jednotlivjrch piipadech lilohy 48 si mdiete t k i ov6Pit pfimj.m uiitim definice vlastni a nevlastni limity posloupnosti. 49. Na zBlad6 v6ty z Clohy 48 plyne:
a) lirn
n- w
(;In
= 0, posloupnost je konvergentni,
b) lirn 2" = +oo, posloupnost je divergentni, n-m
C,
lim
n-+m
2 = 0, 3n-1
lirn (-2)"" d) n-w
posloupnost je konvergentni,
neexistuje, posloupnost je divergentni.
51. Obdobnfrn zpfisobem jako v liloze 50 dostAvAme: -
1
-
1
c)O,
d)3,
e)16,
f
1
3
)
g)-oo,
7
h)E.
l + 2 + . . .+2" 2n - 1 = lim 4 . - = 0 (obdobnkm postupem jako v 6101+5+...+5n n-oo 5n-1 h h h 50, 51). 54. Obdobnjrm postupem jako v liloze 53 dostAvAme: a) 0, b) 0.
52. lirn n-w
6.3
NekoneEnA 5ada a jeji souEet, nekoneEnA geometrickA Fada
e) s2k =
x
[(2m)2 - (2m - I ) ~ = ] x ( 4 m - 1) = k(2k
s n = (-1)" 5. a) lirn (-1)" n-m
. "(n pro
+ 1), k t N,
kaidC n E N.
2
neexistuje, b) lirn n = + m , n-w
c) lim (-l)n n neexistuje, a proto nekoneEn6 fady jsou divergentni. n-m
7. a) Pro d # 0 je lirn a n = lirn [a1 + (n - l)d] = + m neb0 -m, tj. lirn a n # 0, n-m
n-m
n-m
takie nekoneEnk aritmetickb fada je pak divergentni.
b) Pro d = 0 je lirn a n = a l , takie lirn an # 0, kdyi a1 # 0, a tedy nen- w
n-m
koneEnb aritmetickk iada je pak divergentni; lirn a n = 0, kdyi a1 = 0, pak n-w
s = lirn sn = 0, a tedy nekoneEnk aritmetickb iada jenom v tomto speciklnim n-m
piipad6 je konvergentni. n 8. a) s = lim sn = lim -= 1, n-m n-m n + l b) s = lirn sn = lirn n-m
n-m
n(n+3) -1 4 ( n + l ) ( n + 2) 4'
qn - 1 1, je sn = a1 -, a protoie 141 < 1, je lim qn = 0, takie s = q-1 n-m qn - 1 a1 a1 - lim sn = lirn a1 -= -. lim (qn - I) = -( 0 - 1 ) = n-m n-w q-1 q - 1 n-m 9-1 1-q'
10. Protoie q
13, a) s =
#
am
sn =
1
=
&'
~ ~ e b oPro t
71-05
141
<
1 je lirn qn = 0, lim nqn = 0, n-m
n-m
q b) uiitim vjrsledku a): s = (1 - d2' n-m
428
1 n = 3 ( n e b d t lim - =o, lim - = 0 ) . n-m 2n n-m 2n
.(m+(;)
n
(I-
loo-)
.(m+ '5) n (1- 'm-) 3 x .b '1-
3 x
.-
Z + XF 0 Fz < 1x1old "'2 = s (a
> x oqau 1 < x
I +x =s old -
(3
1
.o1'1 = s lalnos em
'e 3 1)
y-ed '(OIS!~ ?rqeal aholnuau a q o ~ o q g )(0) -
00
a
I-1 = 6 :ep; e ~ p a l q:-1 = s qapos
3 o = To oqau
Lo
1 =u
1 1 c) a1 = log x, x > 0, q = --; je Iql = 2 2 2 3 - log x = 2, feSeni: x = 10 . 3
<
d) a1 = 1, q = sin2x; pro 191 = sin2x < 1 Eili sin x (pak cos x
# 0): sin 22
= 1, FeSeni: x = (4k
1, a tedy pro vSechna x
>
R # f1 % x # (2k + 1) b ,k
+ 1) -, k E Z. 4
0:
E Z
Y
R
1 1 1 f) a l = x , q = - ; p r o / q l =
- o x E (-m,-i)U(i,+co): 22 21x1 2 2x2 1 1 = 33: - 1, feSeni: x = 1 (x = - nevyhovuje podmince 1x1 > - ) . 22 - 1 4 2 3 3 g) a1 = 1, q = - - ; pro Iql = - < 1 u 1x1 > 3 u x E ( - m , - 3 ) ~ ( 3 , + m ) : x 1x1
h)
a1
s=-
x x -3'
*
3 3 < 1 % 1x1 > 3 x E (-m, -3) U (3, + m ) : x 1x1 . . PeSeni: x = 6 (x = 2 nevyhovuje podmince 1x1 > 3).
= 1, q = -; pro 141 =
x - 2x2 i) a1 = (1 - 2x)x, q = x2; pro 191 = x2 < 1 u 1x1 < 1 u x E (-1; 1): -1- x 2 2 2 1 = -5 , dv6 feSeni: xl = - , x2 = - - . 3 4 1 j) a1 = 2", q = 2-I = - < 1; pro vSechna x E R: 2 . 2" = d 1 0 . 2 " - 4, dvi! 2 ieSeni: xl = 1, x2 = -1.
Obecne'prawidlo: Periodickjl desetinnjl rozvoj racionalniho Eisla a E (0; 1) lze pievdst na tvar zlomku, jehoi Eitatel je roven rozdilu pfirozenkho Eisla tvoiendho Eislicemi piedperiody i periody a piirozenkho Eisla tvofenkho Eislicemi piedperiody a jehoi jmenovatel je pfirozenk Eislo tvofend tolika devitkami, kolik desetinnjrch mist ma perioda, a tolika nulami, kolik desetinnjrch mist ma piedperioda.
(viz lilohu 8).
430
IEP '=u
. V Z J 9 = ISP =
1-u
( bE ) . :s
3
= ,s ( q
',JY~
=
1st.=
m
I-u
z . P = ISP = V ' eW= VZw- .w-Z . P = nw 96 P ',"gELOL0 = , W E - - V IT. z
+ 1s = ( " ' + & S f
ZS)C+
m
I-u
03
'[=u
,
.,WX
9 6 = IS 8 = IS-8 + 1s = I1
T.1
IS = S '-zT zWX
6
(V!)
I-u
.x= z
Z
(!)
(.t)
P
ZWX
P
I
.x=
E+
1s r g
z
1 =u
F = .65 = 1s- E. z='X
m
1-u
lSx=s 1=u
E
6-
1 ~ =5
- - .P- = E
z
P
V Z W
P
.
1 . "
'ZW
(b) T:
1-u
(2
.Og
00
1=u
Z P 0- = wZT: Z I
.z=
ISZ= m
q-1 . g p = - - I w
.(I+zy)W
-
= Irgr31
IT391: a m ! ~ u z O ( q
=
'ID
M
'3 = : ~ p a V? =
z . g p ~= n .z
= 11331~ = I-u
,
x * 1331=u 1 = 1x31 'laal = lxal
(') .lU331
m
mcZL
= l"331 mg =
r=u
1x31 'w = Z . z = I~aalz=
(4) .
1-ZL
mcu
3 = iuaa1-!I
11*k71
,,
=
=
03
. z
,S
=
1xI.
( e '6.
- 'SZ = I-u
05
'=u
gp-z .TO=
,(gpfZ)2),'=
Z
I -u
I=u
zy-z .lo= z
'(zy+z)ot.=
1=u
Z .p= 'JXZ = JX
'JX
z . z = I1z = -
=
JX
M
36. Polom6ry vepsanjrch kouli (v fezu v obr. 6.16): 1
7.1
1
el = Q = -v3
=
rd3 -a =2 3 '
-1 . 2r 3
Kombinatorika
2. a) Provedeme rozklad mnoiiny vSech Etvercd ve vznikl6m obrazci na podmnoiiny A1, Az, A3, A4 takov6, i e Ai (i = 1, 2, 3, 4) obsahuje vSechny Etverce o stran6 delky i. Zfejm6 plati: \All = 4' = 16, lAzl = (4- 1)2 = 32 = 9, lA3l = = (4 - 2)' = 22 = 4, (A41= (4 - 3)2 = 1' = 1, Protoie mnoiiny A1, A2, A3, A4 jsou navzajem disjunktni, podle kombinatorick6ho pravidla souEtu je poEet vSech jejich prvkii (tj. celkovjl poEet Etvercd ve vznikl6m obrazci) roven souEtu 1 6 + 9 + 4 + l = 30.
b) ZobecnBnim postupu feSeni lilohy a) dosttivame, i e poEet vSech Etvercd je roven souEtu n 2
1 + (n - 1)' + . . . + l2 = ; n ( n + 1)(2n + 1) (viz Glohu 45a v kap. 1.1
v 1. dilu na str. 16).
3. Abychom j i s t 6 vytahli 14 kuliEek stejn6 barvy, musime uvaiovat nejmkn6 pfiznivjl pfipad, kdy vytahneme 10 biljrch, 10 Eernjrch, 12 zelenjrch kuliEek a z Eervenjlch, modrjrch neb0 ilut9ch kuliEek vytahneme 2 . 13 kuliEek dvou barev a 14 kuliEek zbjivajici barvy. Protoie mnoiiny kuliEek r8znpch barev jsou disjunktni, podle kombinatorickkho pravidla souEinu hledanp nejmenSi poEet vytajenjlch kuliEek je dan souttem 10 10 12 2 . 13 14 = 72.
+ + +
+
4. Z definice sjednoceni mnoiin a definice mnoiin plyne, i e plati (viz t6i Venndv diagram v obr. V 7.1): A = (A - B) U B, pfiEemi (A - B) n B = 0. A odtud podle kombinatorick6ho pravidla souEtu dostAvAme: 1A( = [(A- B) U B( = JA- BJ (BI IA - BI = 1Al - IBI (pro B c A).
+ *
+-
5 , a) Z definice sjednoceni, rozdilu a prdniku mnoiin plyne (viz Venndv diagram v obr. V 7.2): A U B = A U (B - A) = A U [B - ( A n B)], piiEemi ( A n B) C B.
Odtud podle kombinatorickkho pravidla souEtu spolu s uiitim v6ty odvozen6 v Gloze 4 dostBvame: JAU BI = IAl IB - ( A n B)I = IAl+ IBI - IA n BI. Pozncimka. Modifikovanf ddkaz vyuiivajici toho, i e pro kaZd6 dv6 mnoiiny A , B p l a t i A - B = A n B t , B - A = A t n B , v i z [llstr. 3 4 - 3 5 a s t r . 288-289.
+
