63

FUNGSI DAN MODEL

Departemen Matematika FMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

1 / 63

Topik Bahasan

1

Fungsi

2

Jenis-jenis Fungsi

3

Fungsi Baru dari Fungsi Lama

4

Model Matematika


Kalkulus I

Bogor, 2012

2 / 63

Fungsi

Pengertian Fungsi

Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain. Contoh 1

Populasi manusia P bergantung pada waktu t.

2

Biaya pengiriman surat B bergantung pada berat w.

3

Luas lingkaran L bergantung pada panjang jari-jari r.

De…nisi (Fungsi) Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f adalah suatu aturan yang memadankan setiap elemen x 2 A dengan tepat satu elemen y = f (x) 2 B.


Kalkulus I

Bogor, 2012

3 / 63

Fungsi

Ilustrasi Fungsi

Notasi: f : A ! B (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

4 / 63

Fungsi

Catatan: Dalam kalkulus biasanya A, B R. Aturan pemadanan fungsi: y = f (x) x variabel bebas y variabel takbebas, bergantung pada x 3 Daerah asal fungsi: 1 2

Df = A = fx : fungsi f terde…nisig 4

Daerah hasil fungsi: Wf = y 2 B : y = f (x) , x 2 Df

5

Gra…k fungsi:

(x, y) : x 2 Df , y = f (x)


Kalkulus I

Bogor, 2012

5 / 63

Fungsi

Ilustrasi Gra…k Fungsi


Kalkulus I

Bogor, 2012

6 / 63

Fungsi

Contoh Sketsa gra…k fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. 1

y = 2x + 1.

2

y = x2

1.


Kalkulus I

Bogor, 2012

7 / 63

Fungsi

Uji Garis Tegak

Kurva di bidang-xy merupakan gra…k suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali.


Kalkulus I

Bogor, 2012

8 / 63

Fungsi

Contoh Diberikan sketsa gra…k persamaan y = x + 1 dan x = y2

2y.

Periksa gra…k manakah yang merupakan gra…k suatu fungsi menggunakan uji garis tegak.


Kalkulus I

Bogor, 2012

9 / 63

Fungsi

Penyajian Fungsi

Secara verbal: dengan uraian kata-kata Secara numerik: dengan tabel Secara visual: dengan gra…k Secara aljabar: dengan aturan/rumusan eksplisit


Kalkulus I

Bogor, 2012

10 / 63

Fungsi

Contoh (Penyajian fungsi secara verbal) Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B (w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,- untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,- untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. Contoh (Penyajian fungsi secara numerik) Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons) 0<w 1 1<w 2 2<w 3 3<w 4 4<w 5


Biaya B (w) (rupiah) 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000

Kalkulus I

Bogor, 2012

11 / 63

Fungsi

Contoh (Penyajian fungsi secara visual) Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan gra…k berikut.


Kalkulus I

Bogor, 2012

12 / 63

Fungsi

Contoh (Penyajian fungsi secara aljabar) Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 8 1.000, jika 0 < w 1, > > > > 1.250, jika 1 < w 2, < 1.500, jika 2 < w 3, B (w) = > > 1.750, jika 3 < w 4, > > : 2.000, jika 4 < w 5.


Kalkulus I

Bogor, 2012

13 / 63

Fungsi

Contoh Salah satu stasiun TV swasta nasional memberlakukan aturan pemberian tingkat diskon (D) dalam persen atas banyaknya belanja iklan (x) dalam juta rupiah sebagai berikut. Belanja iklan kurang dari 500 juta rupiah diberi diskon 5%, belanja iklan dari 500 juta rupiah sampai dengan 1 miliar rupiah diberi diskon 10%, dan belanja iklan lebih dari 1 miliar rupiah diberi diskon 30%. Nyatakan hubungan D dengan x secara numerik, visual (gra…k fungsi D), dan aljabar.


Kalkulus I

Bogor, 2012

14 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Polinom

Aturan fungsi: y = f (x) = an xn + an

1x

n 1

+

+ a2 x2 + a1 x + a0

an , . . ., a1 , a0 konstanta, (an 6= 0), n = derajat polinom

Daerah asal: Df = R

Daerah hasil bergantung pada bentuknya


Kalkulus I

Bogor, 2012

15 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Polinom Fungsi Konstan (Polinom Berderajat 0)

Aturan fungsi: y = f (x) = a a konstanta Daerah asal: Df = R Daerah hasil: Wf = fag Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

16 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Polinom Fungsi Linear (Polinom Berderajat 1)

Aturan fungsi: y = f (x) = ax + b a dan b konstanta, (a 6= 0) a = kemiringan garis (gradien/slope) b = perpotongan garis dengan sumbu-y (intersep) Daerah asal: Df = R Daerah hasil: Wf = R Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

17 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Contoh


Kalkulus I

Bogor, 2012

18 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Polinom Fungsi Kuadratik (Fungsi Polinom Berderajat 2)

Aturan fungsi: y = f (x) = ax2 + bx + c a, b, dan c konstanta, (a 6= 0) Diskriminan: D = b2 4ac Titik maksimum/minimum: (x, y) =

b D , 2a 4a

Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

19 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Contoh Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. 1

y = x2 + 2x

2

y=

3

y=

1.

2x2 + 2x x2

4.

+ 4x + 5,


6

x

7.

Kalkulus I

Bogor, 2012

20 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Pangkat

Aturan fungsi: y = f ( x ) = xn ,

n2N

Daerah asal: Df = [0, ∞) Daerah hasil: Jika n ganjil (misalnya, f (x) = x dan f (x) = x3 ), Wf = R Jika n genap (misalnya, f (x) = x2 dan f (x) = x4 ), Wf = [0, ∞)


Kalkulus I

Bogor, 2012

21 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

22 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Akar

Aturan fungsi: y = f (x) =

p n

Jika n genap (misalnya, f (x) = Daerah asal: Df = [0, ∞) Daerah hasil: Wf = [0, ∞) Jika n ganjil (misalnya, f (x) = Daerah asal: Df = R Daerah hasil: Wf = R


n = 2, 3, 4, . . .

x,

p 2 p 3

x=

p

x dan f (x) =

x dan f (x) =

Kalkulus I

p 5

p 4

x)

x)

Bogor, 2012

23 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Gra…k:

Contoh Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut p 1 y= x 1. p 2 y= x2 + 3x 2.


Kalkulus I

Bogor, 2012

24 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Rasional Aturan fungsi: y = f (x) =

P (x) Q (x)

P dan Q adalah fungsi polinom Daerah asal: Df = R fx : Q (x) = 0g Daerah hasil bergantung pada bentuknya Contoh 1

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi rasional berikut. y=

2

x+1 x 1

Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut. y=


x x2

Kalkulus I

2 1 Bogor, 2012

25 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Rasional Fungsi Kebalikan

Aturan fungsi: y = f (x) =

1 , x

x 6= 0

Daerah asal: Df = R

f0g Daerah hasil: Wf = R f0g Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

26 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Aljabar De…nisi (Fungsi aljabar) Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh Berikut merupakan fungsi-fungsi aljabar. p x+1 1 f (x) = x 1 p p x 2 3 2 f (x) = + x 2 x+1 ( ) x2 1 Catatan: Fungsi polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, dan fungsi rasional merupakan fungsi aljabar. (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

27 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Trigonometri Fungsi Sinus

Aturan fungsi: y = f (x) = sin x,

x dalam radian

Daerah asal: Df = R Daerah hasil: Wf = [ 1, 1] Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

28 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Trigonometri Fungsi Kosinus

Aturan fungsi: y = f (x) = cos x,

x dalam radian

Daerah asal: Df = R Daerah hasil: Wf = [ 1, 1] Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

29 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Trigonometri Fungsi Tangen

Aturan fungsi: y = f (x) = tan x = Daerah asal: Df = R Daerah hasil: Wf = R Gra…k:


π 2

sin x , cos x

x dalam radian

+ nπ : n 2 Z

Kalkulus I

Bogor, 2012

30 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Trigonometri Fungsi Sekan, Kosekan, dan Kotangen

Fungsi sekan Aturan fungsi: y = f (x) = sec x =

1 , cos x

x dalam radian

1 , sin x

x dalam radian

1 , tan x

x dalam radian

Fungsi kosekan Aturan fungsi: y = f (x) = csc x = Fungsi kotangen Aturan fungsi: y = f (x) = cot x = (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

31 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Beberapa Sifat Fungsi Trigonometri

1

1

sin x

1

2

1

cos x

1

3

sin x = sin (x + 2π )

4

cos x = cos (x + 2π )

5

tan x = tan (x + π )


Kalkulus I

Bogor, 2012

32 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Eksponen Bentuk: y = f (x) = ax ,

a>0

Daerah asal: Df = R Daerah hasil: Wf = (0, ∞) Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

33 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Logaritma Bentuk: y = f (x) = loga x,

a>0

Daerah asal: Df = (0, ∞) Daerah hasil: Wf = R Gra…k:


Kalkulus I

Bogor, 2012

34 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Transenden De…nisi (Fungsi transenden) Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponen, dan logaritma. Contoh Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. p 4 1 f (x) = x+1 x 6 2 f (x) = x+6 3 f (x) = log10 x 4

f (x) = 10x

5

f (x) = x10 +

log10 x 2x x2


Kalkulus I

Bogor, 2012

35 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Sesepenggal (Piecewise Function) De…nisi (Fungsi sesepenggal) Fungsi sesepenggal adalah fungsi dengan banyak aturan dengan setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. Contoh Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dan g berikut, kemudian buatlah sketsa gra…knya. f (x) = jxj =

x,

x 0 x, x < 0

Catatan: f disebut fungsi nilai mutlak.


8 < x + 4, 1, g (x) = : 2 x ,

Kalkulus I

5 3 1

x< 3 x< 1 x<3

Bogor, 2012

36 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Contoh Dide…nisikan untuk setiap bilangan real x: [[x]] = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dengan f (x) = [[x]] , kemudian buatlah sketsa gra…knya. Catatan: f disebut fungsi bilangan bulat terbesar.


Kalkulus I

Bogor, 2012

37 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil De…nisi (Fungsi genap) Jika fungsi f memenuhi f ( x) = f (x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka fungsi f disebut fungsi genap.

Catatan: Gra…k fungsi genap simetri terhadap sumbu-y. (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

38 / 63

Jenis-jenis Fungsi

De…nisi (Fungsi ganjil) Jika fungsi f memenuhi f ( x) = f (x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka fungsi f disebut fungsi ganjil.

Catatan: Gra…k fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

39 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Contoh Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi genap, fungsi ganjil, atau bukan keduanya. x4 .

1

f (x) = 1

2

f (x) = x2 + cos x.

3

f (x) = x + sin x.

4

f (x) = 2x

x2 .


Kalkulus I

Bogor, 2012

40 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

De…nisi (Fungsi naik dan fungsi turun) 1

Fungsi f disebut naik pada interval I jika f (x1 ) < f (x2 ) untuk setiap x1 < x2 di I.

2

Fungsi f disebut turun pada interval I jika f (x1 ) > f (x2 ) untuk setiap x1 < x2 di I.


Kalkulus I

Bogor, 2012

41 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Contoh Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada interval I. 1

f (x) = x2 ,

2

f (x) = sin x,

I = [0, ∞). I = [π, 2π ].


Kalkulus I

Bogor, 2012

42 / 63


Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1

Transformasi fungsi Pergeseran, peregangan, dan pencerminan

2

Operasi aljabar fungsi Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

3

Komposisi fungsi


Kalkulus I

Bogor, 2012

43 / 63


Transformasi Fungsi Pergeseran (Translasi)

Misalkan c > 0. Untuk memperoleh gra…k: 1

y = f (x) + c, geser gra…k y = f (x) sejauh c satuan ke atas

2

y = f (x)

c, geser gra…k y = f (x) sejauh c satuan ke bawah

3

y = f (x

c), geser gra…k y = f (x) sejauh c satuan ke kanan

4

y = f (x + c), geser gra…k y = f (x) sejauh c satuan ke kiri


Kalkulus I

Bogor, 2012

44 / 63



Kalkulus I

Bogor, 2012

45 / 63


Transformasi Fungsi Peregangan (Dilatasi)

Misalkan c > 1. Untuk memperoleh gra…k: 1 2 3

4

y = cf (x), regangkan gra…k y = f (x) secara tegak dengan faktor c 1 y = f (x), mampatkan gra…k y = f (x) secara tegak dengan faktor c c y = f (cx), mampatkan gra…k y = f (x) secara mendatar dengan faktor c 1 y=f x , regangkan gra…k y = f (x) secara mendatar dengan c faktor c


Kalkulus I

Bogor, 2012

46 / 63



Kalkulus I

Bogor, 2012

47 / 63


Transformasi Fungsi Pencerminan (Re‡eksi)

Untuk memperoleh gra…k 1

y=

f (x), cerminkan gra…k y = f (x) terhadap sumbu-x

2

y = f ( x), cerminkan gra…k y = f (x) terhadap sumbu-y


Kalkulus I

Bogor, 2012

48 / 63



Kalkulus I

Bogor, 2012

49 / 63


Contoh Gambarkan gra…k fungsi f berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1 2

f (x) = jx

1j.

f (x) = sin 2x.

3

f (x) = x2 + 2x + 1.

4

f (x) = 1

cos x.


Kalkulus I

Bogor, 2012

50 / 63


Operasi Aljabar Fungsi

De…nisi (Aljabar fungsi) Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg . Fungsi f + g, f g, fg, dan f /g dide…nisikan sebagai berikut 1 2 3 4

(f + g) (x) = f (x) + g (x) ; (f g) (x) = f (x) g (x) ; (fg) (x) = f (x) g (x) ; (f /g) (x) = f (x) /g (x) ;


Df +g = Df \ Dg

= Df \ Dg Dfg = Df \ Dg Df /g = Df \ Dg Df

g

Kalkulus I

fx : g (x) = 0g

Bogor, 2012

51 / 63


Contoh Tentukan f + g, f hasilnya, jika

g, fg, dan f /g beserta daerah asal dan daerah f (x) = x2 ;

Contoh Tentukan f + g, f

g (x) = 2x

g, fg, dan f /g beserta daerah asalnya, jika p f (x) = 1 + x; g (x) = x 1


Kalkulus I

Bogor, 2012

52 / 63


Komposisi Fungsi

De…nisi (Komposisi fungsi) Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg . Fungsi komposit f g dide…nisikan sebagai berikut:

(f dengan Df

g

g) (x) = f (g (x))

= x : x 2 Dg dan g (x) 2 Df .


Kalkulus I

Bogor, 2012

53 / 63


Ilustrasi Komposisi Fungsi


Kalkulus I

Bogor, 2012

54 / 63


Ilustrasi Komposisi Fungsi (2)


Kalkulus I

Bogor, 2012

55 / 63


Contoh Tentukan f

g, g f , dan f

1

f (x) =

x2 ;

2

f (x) =

1 ; x

Contoh Tentukan f

f beserta daerah asalnya, jika p g (x) = x

g (x) = x + 1

g dan g f beserta daerah asalnya, jika f ( x ) = x2 + 1 ; x < 0 g (x) = 2 x ; 0 < x


Kalkulus I

5

Bogor, 2012

56 / 63

Model Matematika

Model Matematika

De…nisi (Model matematika) Model matematika adalah representasi dari fenomena dunia nyata yang melibatkan konsep atau formulasi matematik (sering kali menggunakan fungsi atau persamaan). Tujuan: memahami suatu fenomena dan mungkin membuat perkiraan tentang perilakunya di masa depan.


Kalkulus I

Bogor, 2012

57 / 63

Model Matematika

Proses Pemodelan


Kalkulus I

Bogor, 2012

58 / 63

Model Matematika

Contoh Tempat penampungan air berbentuk silinder tanpa tutup. Jika tinggi silinder 2 kali garis tengah alas silinder, maka tentukan luas permukaan tempat penampungan air sebagai fungsi dari jari-jari alas.


Kalkulus I

Bogor, 2012

59 / 63

Model Matematika

Contoh Kapal tanker yang bermuatan minyak mentah menabrak karang, sehingga kapal bocor. Tumpahan miyak membentuk lingkaran. Jari-jari tumpahan minyak berkembang dengan laju tetap 2 km/jam. 1

Rumuskan jari-jari r sebagai fungsi dari waktu t.

2

Rumuskan luas tumpahan minyak L sebagai fungsi dari jari-jari r.

3

Rumuskan luas tumpahan minyak L sebagai fungsi dari waktu t. (Tentukan fungsi komposisi (L r) (t)).

4

Tentukan luas tumpahan minyak pada hari ke-10 setelah kapal bocor.


Kalkulus I

Bogor, 2012

60 / 63

Model Matematika

Contoh Pada suatu medium, banyaknya bakteri mula-mula adalah 500 satuan. Perkembangan bakteri tersebut dipengaruhi oleh suhu t (dalam C) sebagai berikut. Pada 0 < t 10, setiap penambahan 1 C, bakteri bertambah sebanyak 50 satuan. Tetapi pada 10 < t 30 bakteri hanya bertambah 10 satuan setiap penambahan 1 C, bahkan pada t > 30 bakteri mati dengan laju konstan 5 satuan per 1 C. Rumuskan banyaknya bakteri P sebagai fungsi dari suhu t dan gambarkan gra…knya.


Kalkulus I

Bogor, 2012

61 / 63

Model Matematika

Contoh Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30 + v/2) $/mil jika dikemudikan dengan kecepatan konstan v mil/jam. Pengemudi truk mendapatkan upah 1400 $/jam. Rumuskan total biaya pengiriman barang dengan menggunakan truk tersebut ke kota A yang berjarak k mil, sebagai fungsi dari kecepatan v.


Kalkulus I

Bogor, 2012

62 / 63

Model Matematika

Contoh Aturan pembayaran biaya berlangganan air PDAM sebagai berikut. Dikenai biaya Rp 7.000,- untuk pemakaian 10 m3 pertama. Tambahan biaya Rp 1.000,- per m3 untuk pemakaian di atas 10 m3 sampai 20 m3 dan tambahan biaya Rp 2.600,- per m3 untuk pemakaian di atas 20 m3 . 1

Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 16 m3 , maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar?

2

Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 57 m3 , maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar?

3

Rumuskan biaya berlangganan air B sebagai fungsi dari banyaknya pemakaian air x, kemudian gambarkan gra…k fungsinya.


Kalkulus I

Bogor, 2012

63 / 63

63

Recommend Documents