Geodézia I. Gyenes Róbert

Geodézia I. Gyenes Róbert

1

Bemutatkozás Tanulmányok • 1988-1993: Varga Márton Kertészeti és Földmérési Szakközépiskola • 1993-1996: Erdészeti és Faipari Egyetem Földmérési és Földrendezői Főiskolai Kar • 2003-2005: University of Applied Sciences- Hochschule für Technik, Karlsruhe, Németország Munkahelyek • 1996-1997: Kishold Bt. (Cegléd) • 1997- : SE FFFK ill. NYME GEO, Geodézia Tanszék 2

Oktatás, kutatás, gyakorlat • Geodéziai alapismeretek, Kiegyenlítő számítások, Vetülettan, Mérnökgeodézia, Statistics and Adjustment (2004/2005, Karlsruhe) • Geodéziai adatfeldolgozás, Matematikai geodézia, Sztochasztikus folyamatok modellezése felszínmozgások esetén, Robusztus kiegyenlítések, Magassági referencia felület számítása, Szoftverfejlesztés • Sajátos célú geodéziai munkák (Telekalakítások), Mérnökgeodézia, Szabatos szintezés, GPS mérések 3

Gyakorlatvezetők

Farkas Róbert Földmérő mérnök 311

Tarsoly Péter Földmérő mérnök 309

4

Az előadások főbb témakörei • A helymeghatározás alapjai, a Föld elméleti alakja. Történeti áttekintés. • Vízszintes mérések alapműveletei – Irány-, szög-, hossz és távmérések

• A részletmérés alapjai • Teodolit szerkezeti elemei • Geodéziai számítások 5

Kötelező irodalom • Csepregi Szabolcs : Földméréstan I. ASZI, 2000. • Krauter András : Geodézia. Műegyetemi Kiadó, 2002. • Tánczos László : Általános Geodézia. • Fialovszky Lajos (szerk): Geodéziai műszerek. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1979. 6

A helymeghatározás alapjai • Geodézia: a helymeghatározás tudománya ( positioning ) • Hely? • Tájékozódás – Hol? – Hová? – Hogyan? ⇒ Navigáció (közlekedés, hadászat, kriminológia)

7

A helymeghatározás alapjai • Minek a helyét kell meghatározni? – Objektumok – Entitás

• Helymeghatározás értelmezési tartománya • Vonatkoztatási rendszer • Helymeghatározó adatok definiálása • Helymeghatározás végrehajtása • Helymeghatározás pontossága Busics Gy. (1999) : Földméréstan III. ASZI.

8

Objektumok – Entitás fogalma • Mesterséges létesítmények • Természetes alakzatok

9

Helymeghatározás értelmezési tartománya • • • • •

Globális Kontinentális Országos Regionális Helyi

10

Vonatkoztatási rendszer • Vonatkoztatási rendszer definiálása – Fizikai – Geometriai

• Vonatkoztatási rendszer gyakorlati megvalósítása ⇒ Geodéziai alapponthálózatok / alappontok

11

Vonatkoztatási rendszer • Példa: Geocentrikus koordináta rendszer – Értelmezési tartomány: Föld – Fizikai definíció • Föld tömege ⇒Modell: tömegközéppont • Föld forgása ⇒Modell: forgástengely • Időbeli változások : tömegátrendeződés (okok), forgási szögsebesség változása

– Geometriai definíció • Térbeli derékszögű koordinátarendszer • Föld alakjának matematikai közelítése ⇒forgási ellipszoid 12

A pólusmozgás és a pólus vándorlás Z

Greenwich

P ZP YP

Y

XP

X

13

Inerciális vonatkoztatási rendszer Z

Y X

ϒ

•ICRS •ICRF (http://www.journals.uchicago.edu/AJ/journal/issues/v116n1/970504/970504.web.pdf) •Koordináták 608 objektum (http://hpiers.obspm.fr/webiers/results/icrf/icrfrsc.html) 14

Országos GPS Hálózat

www.sgo.fomi.hu

15

Helymeghatározó adatok definiálása • • • • •

Térbeli (háromdimenziós - spatial), 3D Kétdimenziós 2D – felületi koordináták Egydimenziós 1D – „vonalmenti” Időfüggő definíciók – referencia időpont Gyakorlati megvalósítás : 2D + 1D

16

Helymeghatározó adatok definiálása Térbeli (háromdimenziós), 3D Z

Z

P

P(r,ψ,λ)

ZP YP X

r ψ

Y

λ

XP

YP

Y

ZP XP

X

17

Helymeghatározó adatok definiálása Kétdimenziós 2D – felületi koordináták Matematikai y u

P

v

x

P(x,y) y x

Geodéziai

Matematikai polár

+x

y

y

P(r, ψ) r ψ

x x

δ

P(y,x)

t +y

18

Helymeghatározó adatok definiálása Egydimenziós 1D

19

Helymeghatározó adatok definiálása 2 + 1 dimenzió • A 2D és 1D helymeghatározó adatok vonatkoztatási (referencia) felülete különböző P(u,v,H) H

Po 1D

u

Po

v

2D

20

Helymeghatározás végrehajtása

Földi módszerek

21


Távérzékelés - Űrfelvételek

22


Távérzékelés – Légi fotogrammetria 1.

3.

2.

4.

23


Távérzékelés – Légi fotogrammetria Eredmény: digitális ortofotó Eredmény:digitális domborzat modell

24

Helymeghatározás végrehajtása - Távérzékelés

Radar és lézer szkenner rendszerek Side-Looking Airborne Radar (SLAR)

Földi lézer szkenner

25

Helymeghatározás végrehajtása - Távérzékelés

Radar és lézer rendszerek Légi lézer szkenner : Light Detection And Ranging - LIDAR

http://soundwaves.usgs.gov

26 http://www.nosa.noaa.gov

http://oumits.olemiss.edu


Műholdas helymeghatározás

27

Helymeghatározás pontossága • „Milyen pontos ?” – Pontatlan? Megbízható? Bizonytalan? ⇒ Értelmezés? • Pontosság • Megbízhatóság • Bizonytalanság (részletek későbbi tanulmányok során) 28

Geodézia • Jelentése : Földosztás (Arisztotelész ie. 384-322) • Geodézia ⇒ geodéta • Földmérés ⇒ földmérő

DE Geometria = földmérés ! 29

Geodézia feladata: klasszikus és modern definiciók • Friedrich Robert Helmert (1843-1917) – A geodézia a Föld felszín mérésének és térképezésének a tudománya (1880)

• Heiskanen(1894-1971) és Vening Meinesz(1887-1966) – A geodézia elméleti és gyakorlati részre osztható (1958): • Elméleti geodézia: a Föld méretének és alakjának a meghatározása • Gyakorlati geodézia:helymeghatározás a Föld felszínén

Schwarz, K.P. Fundamentals of Geodesy. University of Calgary,1996.

30

Geodézia feladata: klasszikus és modern definíciók Magyarországon elfogadott :

• Elméleti geodézia (Felsőgeodézia) – a Föld alakjának és méretének a meghatározása

• Gyakorlati geodézia (Általános geodézia) – a Föld felszínén vagy a felszín alatt található természetes alakzatok és mesterséges létesítmények alakjelző pontjainak a felmérése és térképezése

31

A Geodézia helye a tudományokban

Busics Gy. (1999) : Földméréstan III. ASZI.

32

Geomatika fogalma, feladata • Geodesy + Geoinformatics = Geomatics

• Helyhez kötött kvantitatív és kvalitatív adatok gyűjtése, feldolgozása, elemzése, megjelenítése, fenntartása. •

•

The mathematics of the earth; the science of the collection, analysis, and interpretation of data, especially instrumental data, relating to the earth's surface. (Oxford English Dictionary) Geomatics Engineering is a modern discipline, which integrates acquisition, modelling, analysis, and management of spatially referenced data.(University of Calgary)

• Nincsen egységes definíció, összefoglaló fogalom 33

Geomatika fogalma, feladata • Magában foglalja: – Geodézia – Navigáció – Távérzékelés és Digitális képfeldolgozás – Térképészet – Térinformatika – Földrajzi Információs Rendszerek – Földügy – Földügyi Információs Rendszerek 34

Geomatika

35

A Föld elméleti alakja • • • •

Történeti áttekintés Alapelv Mérési módszerek A Föld nehézségi erőtere

1

A Föld elméleti alakja – Történeti áttekintés

• Erastothenes (ie. 275-194) • Út: 50 nap • R≅7423 km • Mai: ≈6371 km

2

A Föld elméleti alakja – Történeti áttekintés • Fokmérések, XVIII sz. • Francia Tudományos Akadémia • Expedíciók – Lappföld (1730-1736) – Peru (1735-1745)

• Geometriai lapultság kérdése • Fizikai közelítés : – Newton – Clairaut (1743):Theorie de la figure de la Terre

• Tömegvonzás hatása – Bouguer - Andok – XIX sz. Everest - India 3

Bouguer

ellipszoidi normális

helyi függőleges

4

A Föld elméleti alakja – Történeti áttekintés

• Carl Friedrich Gauss (1828) • George Gabriel Stokes (1849) – Föld elméleti alakja meghatározható tisztán fizikai mérések alapján ⇒ Stokes elmélete – Alapfelület, amelyre a fizikai méréseket vonatkoztatjuk

• Listing ⇒ Geoid fogalma (1873) • F.R. Helmert (1880): Első teljes felsőgeodézia könyv 5

A Föld elméleti alakja - Irodalom • Gauss, C.F., 1828: Bestimmung des Breitenunterscchiedes zwischen den Sternwarten von Gottingen und Altona, Gottingen. • Stokes, G.G. (1849): On the variation of gravity at the surface of the Earth, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, V. 8, p. 672. • Listing, J.B. (1873): Über unsere jetzige Kenntnis der Gestalt und Grosse der Erde, Nachr. d. Kgl., Gesellsch. d. Wiss. und der Georg-August-Univ., 33-98, Gottingen. • Helmert, F.R. (1880): Die mathematischen und physicalischen Theorien der hoheren Geodasie, Teubner, Leipzip, Frankfurt. • Heiskanen, W.A. and H. Moritz (1967): Physical Geodesy, W.H. Freeman, San Francisco. • Torge, W., 2001: Geodesy, Walter de Gruyter, Berlin. 6

A Föld elméleti alakja – Stokes elmélete

Graviméter

Terepfelszín

Fneh

Geoid

7

A Föld elméleti alakja – Stokes elmélete

• Problémák – A nehézségi erőt nem ismerjük mint folytonos függvényt – A pontos sűrűségeloszlás ismeretlen

8

A Föld elméleti alakja – Modern módszerek

Altiméteres magasságmérésSatellite Altimetry

Műholdról műholdra követés – Satellite to Satellite Tracking 9

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér

• A nehézségi (erő) vektor és komponensei – Gravitációs erő (Föld - tömegpont) – Centrifugális erő – Egyéb égitestek ( Hold, Nap, stb. )

• • • •

Potenciál- és potenciálkülönbség fogalma Szintfelület fogalma Függővonal fogalma Geoid fogalma 10

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér Tömegvonzás hatása

Fi

dM i dV i Xi,Yi,Zi

P(XP,YP,ZP)

li Ft

M ⎡ Xi − XP ⎤ dMi ⋅ m l dMi ⋅ m 1 ⎢ ⎥ Fi = −G = −G Y Y − P⎥ ⎢ i 2 2 l l li li i ⎢ ⎣ Z i − Z P ⎥⎦

11

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér Föld tengely körüli forgásának hatása

P FC

p

R

1 FC = p ⋅ ω ⋅ ⋅ p p 2

12

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér Egyéb égitestek tömegvonzása

P

FN FH

FNap = −G

MNap 2 lNap

⎡ X Nap − X P ⎤ ⎡ X Hold − X P ⎤ MHold 1 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ − Y Y = − − F G Y Y Nap P⎥ Hold P⎥ ⎢ Hold 2 lNap ⎢⎢ l lHold Hold ⎢ Z ⎥ − Z Z P⎦ ⎣ Nap ⎣ Hold − Z P ⎥⎦ 13

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér Nehézségi erő

P

Ft

FN

FC FH

g

M

g = Ft + FC + Ft (égitestek )

14

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér • Nehézségi vektor – 3 komponens • Egyetlen skalár – potenciál

P0

g

ds

Pi

α

Wi W0

∆W = −g ⋅ ds = − g ⋅ ds ⋅ cos α 15

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér Szintfelületek származtatása

P0

ds 90˚

g

Wi W0

16

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér Terep

P Közepes óceán / tengerszint

WP

W0≅geoid 17

A Föld elméleti alakja – Helyettesítő felületek

• Szferoid ( szintszferoidok) • Háromtengelyű ellipszoid (-) • Forgási ellipszoid Pl. WGS 84 – a = 6 378 137 m – f = 1/298.257223563 ⇒(b = 6 356 752.314 m) – GM = 3986005 x 10-8 m3/sec2 – ω = 7292115 x 10-11 rad/sec 18

A Föld elméleti alakja – Normál nehézségi erőtér

• Normál ellipszoid – Tömeg = Föld tömege – Forgási szögsebesség = Föld forgási szögsebesség – Ekvipotenciális felület – Inercianyomatékok különbsége azonos

• Normál nehézségi gyorsulás – γP = 9.83 218 636 85 m/s2 – γE = 9.78 032 677 15 m/s2 19

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér anomáliái • • • •

Potenciálzavar : T = W0 - U0 Geoid magasság (geoid unduláció) : N Függővonal-elhajlás : θ Nehézségi anomália : ∆g = |g | - |γ | N Geoid

Függővonal

Ellipszoidi normális

θ

W0 U0

γ

g

Normál ellipszoid 20

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér Terep

P Közepes óceán / tengerszint

h

H

Forgási ellipszoid

N

N=h-H

WP

W0≅geoid

21

A Föld elméleti alakja – A geoid

http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/ICGEM.html

22

Geodézia I.

Geodéziai alapponthálózatok Vízszintes alappontok ideiglenes és végleges megjelölése Gyenes Róbert

1

Geodéziai alapponthálózatok

• Vonatkozási rendszer gyakorlati megvalósítása – Egységes keret biztosítása további mérések céljából

• Alapponthálózatok típusai • Alappontok típusai – Terepfelszínen megjelölt pontok – Magaspontok 2

Alappontok megjelölése – felszíni pontjelek Betonkő

• Központi jel – Furatos rézcsap – Keresztvésés

• Méret – 25 x 25 x 90 cm – 20 x 20 x 70 cm – 15 x 15 x 60 cm

• Alkalmazás – Elsősorban külterületen – Ritkábban belterületen 3

Alappontok megjelölése – felszíni pontjelek Csap

• Anyag: öntöttvas • Központi jel – Furat

• Méret • Felirat – SP – Korábban: pontszám

• Alkalmazás – Elsősorban belterület

• Vésett lyuk 4

Alappontok megjelölése – felszíni pontjelek Betonszeg

• Rozsdaálló galvanizált acél • Központi jel – Furat

• Méret • Felirat • Alkalmazás – Elsősorban belterület

• Fúrt lyuk betonnal v. speciális fagyálló kötőanyaggal kitöltve

5

Alappontok megjelölése – felszíni pontjelek Vasrúd műanyag fejjel

• Fej: kemény műanyag • Központi jel – Lyuk / Betonszeg belehelyezés

• Alkalmazás – talaj

• Horgonyzat • Leverő szerkezet

6

Alappontok megjelölése – felszíni pontjelek • Földalatti megjelölés • Központi jel – Lyuk

• Alkalmazás – Belterület

• További földalatti jel • Napjainkban nem alkalmazott eljárás

7

Alappontok megjelölése – magaspontok

Templomtorony

8

Alappontok megjelölése – magaspontok Kémény

• Központ : szimmetriatengely • Magasság: kémény felső pereme

9

Alappontok megjelölése – Mérőtorony • • • •

• •

Csak földmérési célra Vasbeton Magasság : 6…30 m Központ: – kő furatos csappal – Vetítés észlelő pillérre Észlelőpillér Gúla

10

Alappontok megjelölése – Állandósítás 1.

2.

11

Alappontok megjelölése – Állandósítás 3.

12

Alappontok megjelölése – Állandósítás

13

Alappontok megjelölése – Őrpontok

14

Alappontok megjelölése – Helyszínrajzok készítése – Felszíni állandósítás

15

Alappontok megjelölése – Helyszínrajzok készítése - Templomtorony

16

Alappontok megjelölése – Helyszínrajzok készítése - Kémény

17

Alappontok megjelölése – Helyszínrajzok készítése - Mérőtorony

18

Alappontok megjelölése – Helyszínrajzok készítése – Bemérés őrpontok alapján

19

Alappontok megjelölése – Ideiglenes pontjelölések

Kitűzőrúd

Tripód

20

Alappontok megjelölése – Ideiglenes pontjelölések

Állványos gúla - Észlelő állvány és műszerállvány független - Központ : kő, vetítés a műszerállványra -„Tetőjel” : gúla

21

Irodalom • Krauter A. : 4-5…4-7 • Tánczos L.: 21-35.

22

Geodézia I.

A vízszintes mérések alapműveletei A távolság meghatározása Gyenes Róbert

1

Vízszintes mérések - alapelv • Cél: kétdimenziós relatív helymeghatározás – Két adat : felületi koordináták

• Szükséges: két független mérés – Két irány – Két szög – Két távolság – Irány / szög és távolság kombinációja

2

Vízszintes mérések - alapelv Vízszintes helymeghatározás két szög és két ismert koordinátájú pont alapján

3

Vízszintes mérések - alapelv Vízszintes helymeghatározás két távolság és két ismert koordinátájú pont alapján

4

Vízszintes mérések - alapelv Vízszintes helymeghatározás egy szög, egy távolság és egy ismert pont (két ismert koordináta) alapján

5

Vízszintes mérések – távolság meghatározása

• Közvetlen távolságmeghatározás – hosszmérés • Közvetett távolságmeghatározás – távmérés • Távolság nem egyértelmű fogalom

6

Vízszintes mérések – távolság meghatározása

B

Fer

ság l o v á de t

szín Terepfel

A

Helyi vízszintes (A) Szintfelü le

Alapfelületi távols

ág

t (A)

Alapfe lület 7

Vízszintes mérések – Hosszmérés

8


Beintés

Beállás 9 Csepregi Sz. (2000): Földméréstan I.


1.

2.

3. 10 Csepregi Sz. (2000): Földméréstan I.


4.

11 Csepregi Sz. (2000): Földméréstan I.

Vízszintes mérések – Hosszmérés redukciói • • • •

Komparálási javítás (ld később) Hőmérsékleti redukció (ld később) Vízszintesre történő redukálás Alapfelületi redukció – közelítések

A

volság á t e d r Fe szín Terepfel

Alapfelületi távols

ág

B Helyi vízszintes (A) Szintfelü le

t (A)

Alapfe lület

12

Ellenőrző kérdések • • • • • • • • • • • • • • •

Mit értünk hely alatt? Ismertesse a tájékozódás folyamatát! Mit értünk entitás alatt? Mit értünk a helymeghatározás értelmezési tartománya alatt? Soroljon fel példákat természetes és mesterséges objektumok alakjelző pontjainak a modellezésére! Soroljon fel példákat a helymeghatározás értelmezési tartományára vonatkozóan! Milyen alapon történik a vonatkoztatási rendszer definiálása? Ismertesse a Földhöz kötött vonatkoztatási rendszer fizikai definícióját! Milyen okai lehetnek a Föld forgástengelyének időbeli változásának? Ismertesse a Földhöz kötött vonatkoztatási rendszer geometriai definícióját! Ismertesse a háromdimenziós helymeghatározó adatokat. Készítsen ábrát! Ismertesse a kétdimenziós Gauss-féle felületi koordináták alapelvét! Készítsen ábrát! Mi a jellegzetessége a 2D +1D helymeghatározásnak? Mi az alapelve a távérzékelésen alapuló helymeghatározásnak? Mi az alapelve a légi fotogrammetrián alapuló helymeghatározásnak? 13

Ellenőrző kérdések • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Ismertesse a Geodézia különböző értelmezésű definícióit! Hogyan értelmezzük Magyarországon a geodézia fogalmát? Mit értünk Geomatika alatt? Ismertesse Erastothenes kísérletét a Föld alakjának a meghatározására vonatkozóan! Milyen céllal indultak meg a XVIII. Században az ún. fokmérések? Ismertesse röviden Stokes elméletét! Ismertesse a gravimetriai mérésen alapuló elméleti földalak meghatározásának elvét és lépéseit! Milyen hátrányai emelhetők ki a Stokes elven alapuló elméleti földalak meghatározásnak? Mi az altiméteres magasságmeghatározás elve? Ismertesse a nehézségi vektor komponenseit! Készítsen ábrát! Mit értünk potenciál / potenciálkülönbség alatt? Miért alkalmazzuk a potenciált / potenciálkülönbséget a Föld elméleti alakjának modellezésére a nehézségi vektor helyett? Hogyan származtatjuk a szintfelületet egy tetszőleges pont differenciálisan kis környezetében? Igazolja, hogy a nehézségi vektor merőleges a helyi szintfelület érintősíkjára! Mit nevezünk alapszintfelületnek? Mit értünk geoid alatt? Hogyan definiáljuk a normál nehézségi erőteret? Mit értünk a nehézségi erőtér anomáliáin? 14

Ellenőrző kérdések • • • • • • • • • • • • • • • •

Mit értünk geoid magasság (geoid unduláció) alatt? Mit értünk függővonal-elhajlás alatt? Mit értünk nehézségi anomália alatt? Milyen összefüggés áll fenn a tengerszint feletti (geoid feletti), az ellipszoid feletti és a geoid magasság között? Készítsen ábrát! Mit értünk geodéziai alapponthálózatok alatt? Mit nevezünk állandósításnak? Ismertesse a kővel történő állandósítás jellemzőit! Ismertesse a csappal történő állandósítás jellemzőit! Ismertesse a magaspontok felhasználásán alapuló geodéziai pontjeleket! Ismertesse a mérőtorony főbb szerkezeti részeit! Ismertesse a kővel történő állandósítás menetét! Milyen célt szolgálnak az őrpontok? Hogyan végezzük el őrpontok felhasználásával a központi jellel történő összemérést? Ismertesse az alappontok helyszínrajzi leírásának tartalmát! Ismertesse a terepfelszínen állandósított pontok helyszínrajzi jellemzőit! Ismertesse a templomtoronyként felhasznált geodéziai alappontok helyszínrajzi jellemzőit! Ismertesse a kéményként felhasznált geodéziai alappontok helyszínrajzi jellemzőit!

15

Ellenőrző kérdések • • • • • • • • •

Milyen ideiglenes pontjelöléseket ismer? Ismertesse a vízszintes helymeghatározás szög- és távolságmeghatározáson alapuló elvét! Hogyan csoportosítjuk a távolságmeghatározás módszereit? Ismertesse és készítsen ábrát a különböző távolságok fogalmáról! Mi a különbség a mérési vonal beintéssel és beállással történő kitűzése között? Ismertesse a hosszmérés végrehajtását! Ismertesse a hosszméréssel kapcsolatos redukciókat! Vezesse le az alapfelületi redukció számításának közelítő összefüggését! Mekkora távolságon tekinthető a tengerszinten értelmezett vízszintes síkban fekvő távolság mm élességgel azonosnak az alapfelületi távolsággal? A számításhoz közepes görbületi sugárnak R=6371 km-t válasszon!

16

Geodézia I.

Egyszerű alapműveletek Egyenesek kitűzésének a módszerei. A részletmérés alapjai. Derékszögű koordinátamérés. Gyenes Róbert 1

Egyenesek kitűzése fokozatos közelítéssel

2

Egyenesek metszéspontjának a kitűzése

3

A részletmérés alapjai • Feladat – Természetes és mesterséges objektumok felmérése és megjelenítése

• Felmérési módszer : numerikus – Koordináta számítása – Koordináták adatbázisban történő tárolása – Megjelenítés digitális térkép formájában

• Mérési módszerek – Poláris felmérés – Ortogonális felmérés (Derékszögű koordinátamérés) 4

Ortogonális részletmérés elve • Adott: K(yK,xK), V(yV,xV) • Mért – a:abszcissza – b:ordináta • Végméret - (s)

b

(s)

V

a-

K 5

Ortogonális részletmérés menete • Elhatárolás – részletpontok azonosítása – részletpontok ideiglenes megjelölése – ⇒ elhatárolási vázlat • Mérési vonal kitűzése • Részletpontok mérése növekvő abszcissza szerint, mérési jegyzet vezetése • „Végméret” • Ellenőrző mérések – más mérési vonalról – „összemérések” – Mérési vonal kezdő- és végpontjával – „kikötés”

• Kiegészítő mérések – épületek körbemérése

6

Ortogonális részletmérés

• Mérési jegyzet – manuálé • Mérési vázlat • Tömbrajz

7

Ortogonális részletmérés – néhány gyakorlati szabály • Épületek bemérése, körbemérése • Ívek bemérése • Mérési vonal és objektumok metszéspontja – vonalpontok felvétele • Ordináta hossza • Mérési vonalhálózat kialakítása • Szabad mérési vonal 8

Ortogonális részletmérés – mérési vázlat és tömbrajz készítése

9

Derékszögű koordináta-mérés -folytatás-

Mérési eredmények feltüntetésének szabályai • • • • • • • • • •

Mérési vonal kezdőpontjának jelölése Talppont jelölése Mérési vonal és ordináta vonal jelölése Abszcissza és ordináta megírások Végméret feltüntetése Mérési vonal kihosszabbításának és méretezésének a feltüntetése Vonalpontok méretezése Abszcisszák egymás „fölé és alá” írásának az esetei Összemérések feltüntetése Egyenes mentén fekvő pontok méretezése - töréspontok jelölése 10

Szögprizmák


Szögprizmák használata



Egyenesbe állás

Talppontkeresés / kitűzés 13

Csepregi Sz. (2000): Földméréstan I.



Irodalom • Krauter A. : 10-1…10-6 • Tánczos L.: 35-38. 49-61.

15

Ellenőrző kérdések • • • • • • • • • • • • • • •

Ismertesse az egyenes kitűzésének fokozatos közelítéssel történő végrehajtását! Ismertesse két egyenes metszéspontja kitűzésének menetét! Mit értünk részletmérés alatt? Ismertesse a numerikus felmérés jellemzőit! Ismertesse az ortogonális részletmérés elvét! Mit értünk egy tetszőleges pont mérési vonalra vonatkozó talppontján? Mit értünk elhatárolás alatt? Ismertesse a derékszögű koordináta-mérés végrehajtásának a menetét! Mit értünk mérési jegyzet alatt? Mit értünk mérési vázlat és tömbrajz alatt? Ismertesse példákon keresztül az ortogonális részletmérés során végrehajtandó ellenőrző és kiegészítő méréseket! Készítsen ábrát a háromszög alapú szögprizma sugármenetéről! Igazolja, hogy két síktükörből álló tükörrendszer esetén a rendszerbe beérkező és onnan kilépő fősugár egymással kétszer akkora szöget zár be, mint a síktükrök egymással bezárt lapszöge! Ismertesse a szögprizmával történő egyenesbe állás menetét! Ismertesse a talppontkeresés szögprizmával történő menetét! 16

Geodézia I.

A vízszintes mérések alapműveletei Szögmérés Gyenes Róbert

1

Irodalom • Krauter A. : 5-1…5-17., 5-23…5-46. • Tánczos L.: 119-191.

2

Szögmérés • Vízszintes szögmérés / iránymérés • Magassági szögmérés • Definíciók

V

V Zenitszög

Magassági szög

3

Szögmérés – A teodolit

4

Zeiss THEO 010 A

Wild T2 (1950) 5

Szögmérés - követelmények • • • • • •

Állótengely függőleges - libella Fekvőtengely vízszintes Állótengely merőleges a vízszintes körre Fekvőtengely merőleges a magassági körre Fekvőtengely merőleges az állótengelyre Állótengely meghosszabbítása menjen át a szög csúcsán – vetítő berendezések • Irányzás végrehajtása – távcső, geodéziai távcső • Szögleolvasás végrehajtása leolvasóberendezések 6

7

Műszertalp Alhidádé

8

Műszertalpak - szabvány

Leica - Svájc

Sokkia - Japán

Topcon - Japán

9

Libellák

10

Libellák


Libellák


Műveletek libellákkal - Libella elforgatása 1


Műveletek libellákkal - Libella elforgatása 2


Műveletek libellákkal

• Libella átfektetése • Libella billentése

15

Állótengely függőlegessé tétele

I. főirány

II. főirány

16

Geodézia I.


1

A teodolit szerkezeti elemei

Irányzó dioptra Geodéziai távcső Okulár Parallaxis csavar Magassági kör Megvilágító berendezés

Leolvasó mikroszkóp

Koincidencia csavar (THEO 010)

Alhidádé oszlop Csöves libella Szelencés libella Limbuszkör elforgató csavarja (THEO 010) Talpcsavar Talplemez

Vízszintes / magassági kötőcsavar Vízszintes / magassági paránycsavar

Összekötőcsavar anyája 2

Tánczos L.: Általános geodézia. p 119. - 127.

A teodolit szerkezeti elemei

Objektív

Optikai vetítő

3

A műszerállvány

Műszerállvány-fejezet Összekötőcsavar Lemezke

Szorító csavar

Taposó saru

4 Tánczos L.: Általános geodézia. p 121. - 123.

A teodolit szerkezeti elemei – geodéziai távcső

diafragma gyűrű


A teodolit szerkezeti elemei – geodéziai távcső

• Parallaxis fogalma

észlelő

szálsík

képsík

észlelő

képsík

szálsík

6 Tánczos L.: Általános geodézia. p 90.-91.

A teodolit szerkezeti elemei – állótengely Félkinematikus állótengely Zeiss, Leica

Hengeres állótengely csapággyal alátámasztva

Tánczos L.: Általános geodézia. p 128.-129. Fialovszky L. (1979): Geodéziai műszerek

7

A teodolit szerkezeti elemei – állótengely • Szorzó rendszerű • Ismétlő rendszerű

8

A teodolit szerkezeti elemei – leolvasóberendezések • Alapelv • Irányérték fogalma

főleolvasás k

0

c

n so

lv o e al

ás s a

„index”

Főleolvasás + csonkaleolvasás Tánczos L.: Általános geodézia. p 95.-118.

9

A teodolit szerkezeti elemei – leolvasóberendezések

• • • •

Becslő Beosztásos Optikai mikrométeres Koincidenciás



• Becslő

41

42

41˚ 36’ 11 Tánczos L.: Általános geodézia. p 95.-118.


•

Beosztásos 2

41

0

1

2

3

4

5

6

41˚ 56’ 06” 12 Tánczos L.: Általános geodézia. p 95.-118.

A teodolit szerkezeti elemei – leolvasóberendezések • Optikai mikrométeres / koincidenciás • Alapelv • Követelmény


A teodolit szerkezeti elemei – optikai mikrométer


A teodolit szerkezeti elemei – koincidenciás leolvasómikroszkóp elve ≈ 52˚26’

52

53

232232

51

233233

234234

≈ 232˚26’ 50

0

10

5

6

6

52˚ 26’ 04” Tánczos L.: Általános geodézia. p 95.-118.

2

15

A teodolit szerkezeti elemei – leolvasóberendezések • Leolvasás előtt vizsgálandó: – Főbeosztás legkisebb osztásköze – Segédbeosztás / mikrométerosztások osztásköze

• Feltétel: leolvasás parallaxis-mentes látómező mellett


A teodolit szerkezeti elemei – optikai vetítő • Alhidádéba épített • Műszertalpba épített


A teodolit szerkezeti elemei – kötő- és paránycsavarok (irányítócsavarok)

• Tengelyes kötés • Kerületi kötés

18 Tánczos L.: Általános geodézia. p 133.

Geodézia I.


1

Mérési módszerek • Iránymérés – Iránysorozat-mérés

• Szögmérés – Egyszerű szögmérés – Szögmérés minden kombinációban

• Alapfogalmak – Távcsőállás, forduló

2

Iránysorozat-mérés végrehajtása • Mérendő irányok kiválasztása, iránysorozat összeállítása • Kezdőirány kiválasztása • Irányok mérése az óramutató járásával egyező értelemben, kezdés a kezdőiránnyal • Horizontzárás • Második távcsőállás • Irányok mérése az óramutató járásával ellentétes értelemben, kezdés a kezdőiránnyal • Horizontzárás 3

Iránysorozat-mérés végrehajtása I. távcsőállás

II. távcsőállás

4

Iránysorozatmérés feldolgozása

• I. és II. távcsőállás számítása (koincidenciás) • Két távcsőállás különbségének számítása – (kollimáció hiba, ld. később) • Irányérték számítása • Horizontzárás ellenőrzése - hibahatár • Nullára forgatás számítása (általában csak több forduló esetén) 5

Több fordulóban végzett iránysorozatmérés végrehajtása

• Szükségesség • Limbuszkör elforgatása – 180 / fordulók száma

• Mikrométer dob elforgatása – ≈ mérési tartomány / fordulók száma

6

Egyszerű szögmérés végrehajtása

1

2

7

Minden kombinációban végzett szögmérés végrehajtása 1

2

4

• 1-2 • 1-3 • 1-4 • 2-3 • 2-4 • 3-4 Szögek száma :

3

n −1 n 2 8

Külpontos mérések központosítása • Iránymérések központosítása • Távmérések központosítása

9

Külpontos mérések központosítása - iránymérés Adott : K (yK;xK), T(yT;xT)

T

Mért : lK, lT, r Számítandó: lKT Számított: t, ε

t

η

η lKT lT

K

ε

0

0

r lT lK

E 10

Külpontos mérések központosítása - távmérés Adott : K (yK;xK)

T

Mért : lK, lT, r, t’ Számított: ε Számítandó : t

t t’

K

Számítás menete általános esetben

ε

0

r lT lK

E

1. Távmérés központosítása 2. Iránymérés központosítása 11

Külpontos mérések központosítása - iránymérés • Külpontos iránymérés végrehajtása – Külpont-központ távolság mérése – I. távcsőállás mérése a központ kivételével, horizontzárás – Központ mérése I. távcsőállásban – Központ mérése II. távcsőállásban – II. távcsőállás mérése a központ kivételével, horizontzárás

12

Geodézia I.

Magassági szögmérés Gyenes Róbert

1

Irodalom • Krauter A. : 5-33…5-36, 5-41. (Csak kompenzátoros műszer)

• Tánczos L.: 193-203. (Csak kompenzátoros műszer)

2

Alapelv • Magasság meghatározása – 1D – 3D

• Definíció

3

Magassági kör szerkezete • Számozás • Konstrukciós megoldás • Index beállítása – Kompenzátor

4

Magassági kör szerkezete-kompenzátor

Tánczos L.(2002): Általános geodézia. 193-197. Fialovszky L. (1979): Geodéziai műszerek. 272-276.

5

Magassági kör szerkezete – Zeiss THEO kompenzátor Okulár

Rugós felfüggesztés

Indexlemez

Objektív

Ingatest

Lengéscsillapító Fialovszky L. (1979): Geodéziai műszerek. 275. alapján

6

Magassági kör szerkezete-szerkezeti hibák

• Indexhiba – Kompenzátor igazítási hibája – Ékelési hiba

7

Magassági szögmérés végrehajtása

• Klasszikusan – Irányméréstől függetlenül – Eltérés az irányméréstől • I.távcsőállás • II. távcsőállás

– Mai mérési technika: mérőállomásokkal egyidejű irány és magassági szögmérés

8

Magassági szögmérés végrehajtása I. távcsőállás

II. távcsőállás

index

index 270

90

0

0 180

180

90

270

zI + zII = 360˚

9

Magassági szögmérés végrehajtása-indexhiba I. távcsőállás

∆i

II. távcsőállás

Index (képe)

∆i 270

90

zI’

Index (képe)

zII’

∆é

∆é 0

0 180

180

90

270

zI = zI’+ ∆i + ∆é

zII = zII’+ ∆i - ∆é

10

Zenitszög számítása zI + zII = zI' + ∆i + ∆ é + zII' + ∆ i - ∆ é =

= zI' + zII' + 2∆ i = 360°

360° - (zI' + zII' ) ∆i = 2 zI = zI' + ∆ i 11


Ismertesse a mérési eredmények feltüntetésének eseteit ábrán is szemléltetve azokat! Mit értünk vízszintes szög alatt? Mit nevezünk zenitszögnek? Mit nevezünk magassági szögnek? Ismertesse a teodolit főbb szerkezeti elemeit és azok funkcióját! Ismertesse a műszerállvány szerkezeti elemeit és azok funkcióját! Mi a csöves libella és a szelencés libella közötti különbség származtatásuk szempontjából? Mit értünk a libella állandóján? Mit nevezünk a libella érzékenységének? Ismertesse a libella nevezetes pontjait! Mikor beszélünk a libella igazítási hibájáról? Ismertesse a libella elforgatásával végezhető műveleteket! Ismertesse az állótengely függőlegessé tételét! Ismertesse a belső képállítású geodéziai távcső főbb részeit? Milyen célt szolgál a diafragma gyűrű? Mit értünk parallaxis alatt? Hogyan vizsgáljuk meg a parallaxis létét irányzáskor? Ismertesse a félkinematikus állótengely kialakításának elvét! 12


Mi a különbség a szorzó és az ismétlő tengelyrendszer között? Mit nevezünk főleolvasásnak? Mit nevezünk csonkaleolvasásnak? Mit nevezünk irányértéknek? Ismertesse az optikai mikrométer elvén alapuló leolvasó berendezéseket! Ismertesse a koincidenciás leolvasó berendezések elvét! Milyen feltételnek kell teljesülni optikai mikrométeres vagy koincidenciás leolvasó berendezés esetén? Ismertesse az optikai vetítők típusait! Ismertesse a pontraállás optikai vetítővel történő végrehajtását! Mit értünk iránysorozatmérés alatt? Mit értünk egyszerű szögmérés alatt? Mit értünk minden kombinációban történő szögmérés alatt? Mit nevezünk távcsőállásnak? Mit nevezünk fordulónak? Mit értünk horizontzárás alatt? Ismertesse az iránysorozatmérés végrahajtásának menetét! Ismertesse az egy fordulóban végzett iránymérés feldolgozásának lépéseit! Mit értünk nullára forgatás / nullára forgatott irányérték alatt? 13

Ellenőrző kérdések • • • • • • • • •

Ismertesse a több fordulóban végzett iránysorozatmérés végrehajtásának a menetét! Ismertesse a külpontosan mért távolságok központosításának elvét és a számítás menetét! Ismertesse a külpontosan mért irányok központosításának elvét és a számítás menetét! Ismertesse a magassági kör szerkezeti megoldásának főbb sajátosságait! Ismertesse a magassági kör kompenzátorának működési elvét! Mit nevezünk kompenzálási hibának? Mit nevezünk ékelési hibának? Ismertesse a magassági szögmérés végrehajtásának a menetét! Hogyan számoljuk a zenitszöget két távcsőállásban végzett mérések alapján? Válaszát indokolja!

14

Geodézia I.

Vízszintes és magassági szögmérés szabályos hibái Gyenes Róbert

1

Mérési hibákról általában • Mérési eredményeket mindig hibák terhelik • Hibák forrása különböző, így más és más módon hatnak a mérési eredményekre • Hibák csoportosítása – Eredet szerint – Jelleg szerint

2

Mérési hibák csoportosítása • Eredetük szerint – Műszerhibák – Külső körülményekből adódó hibák – Személyi hibák

3

Mérési hibák csoportosítása • Jellegük szerint – Durva hibák • Pl. téves irányzás • Téves leolvasás

– Szabályos hibák • Értékük (trendjük) valamilyen szabályosságot mutat • Pl. kollimáció hiba, indexhiba

– Véletlen (szabálytalan) hibák • Előfordulások a véletlen következménye, leírásuk valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapon történik

4

Szabályos hibák figyelembevétele • Mérési módszer • Számítás • Műszer igazítása

5

Vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásai • Műszerhibák – Szálferdeség – Kollimáció hiba – Fekvőtengely ferdeségi hibája – Távcső külpontossága – Limbuszkör külpontossági hibája – Limbuszkör ferdeségi hibája – Limbuszkör osztáshibája – Leolvasóberendezés nagyítási hibája 6

Vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásai • Külső körülményekből eredő hibák – Állványelcsavarodás – Refrakció ⇒ oldalrefrakció

• Műszer felállításából eredő hibák – Állótengely ferdeségi hibája – Pontraállás hibája

7

Geodézia I.

Geodéziai számítások Álláspont tájékozása Gyenes Róbert

1

Vízszintes helymeghatározás - alapelv

Vízszintes helymeghatározás két szög és két ismert koordinátájú pont alapján

2

Vízszintes helymeghatározás - alapelv Vízszintes helymeghatározás két távolság és két ismert koordinátájú pont alapján

3

Vízszintes helymeghatározás - alapelv

Vízszintes helymeghatározás egy szög, egy távolság és egy ismert pont koordinátái alapján

4

Geodéziai koordinátarendszer – 2D • Koordinátarendszer kezdőpontja (ϕ0 , λ0) • Koordinátarendszer kezdőiránya (α) +X

α

+

+Y 0

5

Geodéziai számítások – 2D • Síkbeli koordinátarendszer ≡ vetületi koordinátarendszer Mérési eredmények az alapfelületen (szög, távolság) Vetítés (ld. Vetülettan, 2. félév)

- Redukált mérési eredmények a vetületi síkon - Síkbeli számítások a vetületi síkra vonatkozó redukált mérési eredményekkel történik

6

Irányszög- és távolság számítása +X

+

α - +

+ +

δ

I. δ + Y II. δ III. δ IV.δ

α α α δ δ - -

Yi - YAP α = tan Xi - X AP -1

=α = 180 - l α l = 180 + α = 360 - l α l

+ 7

Álláspont tájékozása • A mért irányok koordinátarendszerben elfoglalt helyzete nem ismert • Szükséges olyan pontokon/pontokra mérni amelyek koordinátái (⇒irányszög) ismertek • Az ismert irányszögek és a mért irányértékek alapján levezethető a limbuszkör nulla osztásához tartozó irány koordinátarendszerbeli helyzete, az ún. tájékozási szög, amelynek ismeretében az ismeretlen koordinátájú pontokra menő irányok tájékozott irányértékei számíthatók

8

Álláspont tájékozása T δT

• Adott – A (YA,XA), T(YT,XT) • Mért – lT, lP • Számítandó – δ’P

z 0

A

lT δ’P

lP

P 9

Számítás menete T δT z 0

A

lT δ’P

lP

P 10

Tájékozás több tájékozó irány esetén T1 z T2

z T1 zK z T3 0

A

P T3 T2

11

Tájékozás több tájékozó irány esetén számítás menete • Irányszög és távolság számítása a tájékozó irányokra vonatkozóan • Tájékozási szögek számítása • Iránysúlyok számítása • Középtájékozási szög számítása • Irányeltérések számítása • Számítási ellenőrzés • Lineáris eltérések számítása

12

Poláris pontszámítás YP = YA + t sin δP' XP = X A + t cos δP'

z δ’P

0

lP

XA

A t P

XP YA

YP

13

Tájékozás vektoros megoldási módszere Rx

R

zT4 pT4 zT3

R X = ∑ p Ti cos z Ti

RY tan zK = RX

pT3 zT2 pT1

R Y = ∑ p Ti sin z Ti

pT2

ZK zT1

RY

14

Geodézia I.

Geodéziai számítások Koordináta transzformációk Gyenes Róbert

1

Koordináta transzformációk • Koordináták különböző koordináta rendszerekben adottak • Osztályozás – Helymeghatározás dimenziója alapján: 2D, 3D – Kapcsolat típusa: alkalmazott funkcionális modell • Hasonlósági • Affin • Stb.

2

Síkbeli koordináta transzformációk -hasonlósági transzformációi

Eltolás Forgatás

i

Nagyítás l i l = l j l j

4 paraméter j 3

Síkbeli koordináta transzformációk -affin transzformációi

Eltolás Forgatás Nagyítás

i

lil≠ljl

Merőlegességi eltérés j

6 paraméter

j 4

Térbeli transzformációk -térbeli hasonlósági transzformáció• Eltolás (X,Y,Z) • Forgatás(X,Y,Z) • Méretarány 7 paraméter

5

Mátrixok szorzása • oszlop(A)=sor(B) • C=A⋅B (n,r)

(n,m) (m,r)

r

m m

A n

r

B C

= n n

r

m

c ik = ∑∑∑ aij b jk i =1 k =1 j =1

6

Mátrixok szorzása-példa

B=

A=

1 3 -1 2

3 2

1 13

1 2

-1 7

0 2

-2

4

Pl. Pascal for i:=1 to n do Begin for k:=1 to r do Begin C[i,k]:=0; for j:=1 to m do Begin C[i,k]:=C[i,k]+A[i,j]*B[j,k]; end; end; end;

7

Mátrix inverze

-1

A A =E =

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

Ortogonális mátrix:

A =1 A =A -1

T

8

Síkbeli koordináta transzformációk -hasonlósági transzformációX

X’

r ' = Y ' ⋅ j '+ X '⋅ i ' Y = r ⋅ j = r ' ⋅ j = (Y '⋅ j '+ X '⋅ i ') ⋅ j = Y ' ⋅ j ' ⋅ j + X ⋅' i ' ⋅ j X = r ⋅ i = r ' ⋅ i = (Y ' ⋅ j '+ X '⋅ i ') ⋅ i = Y ' ⋅ j '⋅ i + X '⋅ i '⋅ i

r r’ Y’ +α i’

i j’ +α j

Y 9

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció-

Viszont :

j' ⋅ j = cosα i' ⋅ j = cos(90 + α ) = -sinα

j' ⋅ i = cos[- (90 - α )] = cos(90 - α ) = sin α

i '⋅ i = cosα Azaz:

Y = Y ' ⋅ cosα - X '⋅ sinα X = Y '⋅ sinα + X '⋅ cos α

⇒ Egybevágósági transzformáció

10


Méretarány figyelembevétele s=

j j'

≡

i i'

Így:

Y = r ⋅ j = r '⋅ j = (Y '⋅ j '+ X '⋅ i ') ⋅ j = Y '⋅ s ⋅ j '⋅ j + X '⋅ s ⋅ i '⋅ j

X = r ⋅ i = r '⋅ i = (Y ' ⋅ j '+ X ' ⋅ i ') ⋅ i = Y '⋅ s ⋅ j ' ⋅ i + X '⋅ s ⋅ i '⋅ i

Azaz:

Y = s ⋅ Y '⋅ cosα - s ⋅ X '⋅ sinα X = s ⋅ Y '⋅ sinα + s ⋅ X '⋅ cos α 11


⎡Y⎤ ⎡cos α − sin α ⎤ ⎡ Y'⎤ ⎢ X⎥ = s ⋅ ⎢ sin α cos α ⎥ ⋅ ⎢ X'⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇒

Y = s ⋅ R ⋅ Y'

Forgató mátrix tulajdonságai: 1.

R =

2.

−1

R

cos α − sin α sin α

=R

cos α

T

= cos α ⋅ cos α − (− sin α ) ⋅ sin α = cos 2 α + sin 2 α = 1

⎡ cos α

sin α ⎤

⇒ R −1 = R T = ⎢ ⎥ ⎣− sin α cos α ⎦

12

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció

A méretaránytényező értelmezési és megadási módjai s = 1.000 045 ⇒ ha az egységnyi távolság = 1km s ⋅ 1000 [m]= 1000,045 m ≡ + 45 mm/km s = 0.999 942 ⇒ ha az egységnyi távolság = 1km s ⋅ 1000 [m]= 999,942 m ≡ - 58 mm/km

• Megadási mód – méretarányszám – egységnyi távolságra vonatkozóan pl. mm/km, cm/km, stb. 13


X

Eltolás figyelembevétele r X’ r’ Y’ +α i’

j’ +α

TX i

⎡cos α − sin α ⎤ ⎡ Y'⎤ ⎡ Y ⎤ ⎡TY ⎤ + ⋅ = s ⎢ sin α cos α ⎥ ⋅ ⎢ X'⎥ (1) ⎢ X ⎥ ⎢T ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ X⎦

t j

TY

Y

14


Inverz transzformáció

Y = R ⋅ Y'

⇒

Y' = R −1 ⋅ Y

⎡ Y'⎤ ⎡ cos α sin α ⎤ ⎡ Y ⎤ ⎡ Y ⋅ cos α + X ⋅ sin α ⎤ ⎢ X'⎥ = ⎢− sin α cos α ⎥ ⋅ ⎢ X⎥ = ⎢− Y ⋅ sin α + X ⋅ cos α ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

15


• Alkalmazás – Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása – Derékszögű kitűzési méretek számítása

16

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása Adott: K (Yk;Xk), V(Yv;Xv)

X

Mért: a, b,….., t mért

P

b +α

b

δ

(t

a

)

rt mé

a-

V

δ = f (YK , XK , YV , X V ) K XK YK

α = 90 - δ Y

17

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása

Méretaránytényező értelmezése t szám ≠ t mért • Mérési hibák • Kerethibák

V t

m szá

(t

)

rt mé

K

t szám Méretaránytényező: s = t mért 18


Forgató mátrix elemei : ⎡cos α − sin α ⎤ ⎡cos(90 − δ ) − sin(90 − δ )⎤ ⎡ sin δ − cos δ⎤ =⎢ R=⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ( ) ( ) α α − δ − δ sin cos sin 90 cos 90 cos sin δ δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Alkalmazva (1)-et:

⎡ YP ⎤ ⎡ YK ⎤ ⎡ sin δ − cos δ⎤ ⎡a⎤ ⋅⎢ ⎥ = + s ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣cos δ sin δ ⎦ ⎣b ⎦ ⎣ X P ⎦ ⎣ XK ⎦ Kifejtve:

t X V − XK t YV − YK ⋅b = ⋅a − YP = YK + s ⋅ sin δ ⋅ a − s ⋅ cos δ ⋅ b = YK + tm t tm t YV − YK X V − XK = YK + ⋅a − ⋅ b = YK + r ⋅ a − m ⋅ b tm tm 19


t X V − XK t YV − YK X P = X K + s ⋅ cos δ ⋅ a + s ⋅ sin δ ⋅ b = X K + ⋅b = ⋅a + tm t tm t = XK +

X V − XK Y − YK ⋅a + V ⋅ b = XK + m ⋅ a + r ⋅ b tm tm

Összefoglalva:

⎡ YP ⎤ ⎡ YK ⎤ ⎡ r − m⎤ ⎡a⎤ ⋅⎢ ⎥ ⎢X ⎥ = ⎢X ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ P ⎦ ⎣ K ⎦ ⎣m r ⎦ ⎣b⎦ Méretaránytényező számítása a paraméterekből s = r 2 + m2 =

(s ⋅ sin δ )2 + (s ⋅ cos δ )2

= s ⋅ sin 2 δ + cos 2 δ

20


Számítás lépései • Transzformációs paraméterek (r,m), valamint a méretaránytényező számítása • Koordinátákból számított és a mért mérési vonal hosszának összehasonlítása • Részletpontok koordinátáinak a számítása

21


Abszcissza és ordináta előjelek értelmezése -b

-a

+a +b

+b -a

-b

+a

22


Gyakorlati számítás r=

Pontszám

m=

s=

a

b

K

Y

X

YK

XK

1

a1

b1

Y1

X1

2

a2

b2

Y2

X2

…

…

…

V

tmért

YV

XV

YV - YK

XV - XK

tmért-t

t

23


Szabad mérési vonal Adott: K (Yk;Xk), V(Yv;Xv)

X

Mért: aK, bK,aV,bV, a, b….

V aV

-

bV

P

a

b

b

K

TX

bK

aK -

a-

Y TY

24


Szabad mérési vonal YK = TY + r ⋅ aK − m ⋅ bK

(2)

XK = TX + m ⋅ aK + r ⋅ bK

(3)

YV = TY + r ⋅ a V − m ⋅ b V

(4)

X V = TX + m ⋅ a V + r ⋅ b V

(5)

(

)

( ) X V − XK = m ⋅ (a V − aK ) + r ⋅ (b V − bK )

(4)-(2): YV − YK = r ⋅ a V − aK − m ⋅ b V − bK (5)-(3):

⇒

(6) ⇒

∆Y = r ⋅ ∆a − m ⋅ ∆b

(6)

∆X = m ⋅ ∆a + r ⋅ ∆b

(7)

r ⋅ ∆a − ∆Y m= ∆b

(8) 25


Szabad mérési vonal (8)-at (7)-be helyettesítve:

r ⋅ ∆ a 2 − ∆ Y ⋅ ∆a + r ⋅ ∆ b 2 r ⋅ ∆a − ∆Y ∆X = ⋅ ∆a + r ⋅ ∆ b = ∆b ∆b

(

)

∆ X ⋅ ∆b = r ⋅ ∆ a 2 − ∆ Y ⋅ ∆a + r ⋅ ∆ b 2 = r ⋅ ∆ a 2 + ∆b 2 − ∆ Y ⋅ ∆ a

r=

∆Y ⋅ ∆a + ∆X ⋅ ∆b ∆a 2 + ∆b 2

(9)

26


Szabad mérési vonal (9)-et (8)-ba helyettesítve:

∆Y ⋅ ∆a2 + ∆X ⋅ ∆b ⋅ ∆a ∆Y ⋅ ∆a + ∆X ⋅ ∆b − ∆Y ⋅ ∆a − ∆Y 2 2 2 2 ∆a + ∆b ∆a + ∆b = = m= ∆b ∆b ∆Y ⋅ ∆a2 + ∆X ⋅ ∆b ⋅ ∆a ∆Y ∆Y ⋅ ∆a2 + ∆X ⋅ ∆b ⋅ ∆a − ∆Y ⋅ ∆a2 + ∆b2 = − = = 2 2 2 2 ∆b ∆a + ∆b ⋅ ∆b ∆a + ∆b ⋅ ∆b

(

(

)

)

(

)

∆Y ⋅ ∆a2 + ∆X ⋅ ∆b ⋅ ∆a − ∆Y ⋅ ∆a2 − ∆Y ⋅ ∆b2 ∆X ⋅ ∆a − ∆Y ⋅ ∆b = = 2 2 ∆a2 + ∆b2 ∆a + ∆b ⋅ ∆b

(

)

27


Szabad mérési vonal Gyakorlati számítás

X

V aV

-

bV

bK b b P-

P

a

) a k (a P a-

b

K

TX

bK

aK -

Számítandó minden egyes pont „kezdőpontra” vonatkozó abszcissza és ordináta különbsége YP = YK + r ⋅ (a P − a K ) − m ⋅ (b P − b K ) XP = XK + m ⋅ (aP − aK ) + r ⋅ (bP − bK )

TY

Y 28


Szabad mérési vonal - számítás lépései • Transzformációs paraméterek (r,m), valamint a méretaránytényező számítása • Koordinátákból számított és a mért mérési vonal hosszának összehasonlítása

(t mért ) = (a V − aK )2 + (b V − bK )2 2 2 t = (YV − YK ) + (X V − X K ) ∆ = (t mért ) − t • Részletpontok koordinátáinak a számítása

29


Gyakorlati számítás - szabad mérési vonal r=

m=

s=

Pontszám

a

b

K

aK

bK

1

a11

b2

a1-aK

2

a12

b2

… aV

… V

( t mért )

ai-aK

bi-bK

Y

X

YK

XK

b1-bK

Y1

X1

a2-aK

bi-bK

Y2

X2

…

…

…

…

…

bV

aV-aK

bV-bK

YV

XV

t

YV - YK

XV - XK

30

Derékszögű kitűzési méretek számítása Adott: K (Yk;Xk), V(Yv;Xv) P (YP;XP)

X

P b +α

b

δ

a-

a

(t )

V

K XK YK

Y

31

Derékszögű kitűzési méretek számítása

⎡ YP ⎤ ⎡ YK ⎤ ⎡ sin δ − cos δ⎤ ⎡a⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + s⋅⎢ ⎥ ⋅ ⎢b⎥ X cos δ sin δ X ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ P⎦ ⎣ K⎦ s=1, így ⇒

⎡ YP − YK ⎤ ⎡ sin δ − cos δ⎤ ⎡a⎤ ⎢ X − X ⎥ = ⎢cos δ sin δ ⎥ ⋅ ⎢b ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ K⎦ ⎣ P Alkalmazva a 15. fólia összefüggéseit:

⎡a⎤ ⎡ sin δ cos δ⎤ ⎡ YP − YK ⎤ ⎢b ⎥ = ⎢− cos δ sin δ ⎥ ⋅ ⎢ X − X ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ P K⎦

a = (YP − YK ) ⋅ sin δ + (XP − XK ) ⋅ cos δ

b = −(YP − YK ) ⋅ cos+ (XP − XK ) ⋅ sin δ

32


Gyakorlati számítás sin δ =

Pontszám

cosδ =

Y

X

a

b

1

Y1

X1

a1

b1

2

Y2

X2

a2

b2

…

…

…

V

YV

XV

YV - YK

XV - XK

K

t

33


Kitűzési vázlat készítése

34

Síkbeli koordináta transzformációk -Affin transzformáció X

X’

r ' = Y ' ⋅ j '+ X '⋅ i ' Y = r ⋅ j = r ' ⋅ j = (Y '⋅ j '+ X '⋅ i ') ⋅ j = Y ' ⋅ j ' ⋅ j + X ⋅' i ' ⋅ j X = r ⋅ i = r ' ⋅ i = (Y ' ⋅ j '+ X '⋅ i ') ⋅ i = Y ' ⋅ j '⋅ i + X '⋅ i '⋅ i

r r’ Y’ +ϕ +α i i’

j’

j

+(α+ϕ)

Y 35

Síkbeli koordináta transzformációk - affin transzformáció

Viszont :

j' ⋅ j = cos(α + ϕ)

i' ⋅ j = cos(90 + α ) = -sinα

j' ⋅ i = cos[- (90 - (α + ϕ))] = cos(90 - (α + ϕ)) = sin(α + ϕ)

i '⋅ i = cosα Azaz:

Y = Y ' ⋅ cos(α + ϕ) - X '⋅ sinα X = Y '⋅ sin(α + ϕ) + X '⋅ cos α

36


Méretarány figyelembevétele

sY =

j j'

sX =

i i'

Így:

Y = r ⋅ j = r '⋅ j = (Y '⋅ j '+ X '⋅ i ') ⋅ j = Y '⋅ s Y ⋅ j '⋅ j + X '⋅ s X ⋅ i '⋅ j X = r ⋅ i = r '⋅ i = (Y ' ⋅ j '+ X ' ⋅ i ') ⋅ i = Y '⋅ s Y ⋅ j ' ⋅ i + X '⋅ s X ⋅ i '⋅ i

Azaz:

Y = Y ' ⋅ s Y ⋅ cos(α + ϕ) - X '⋅s X ⋅ sinα

X = Y '⋅ s Y ⋅ sin(α + ϕ) + X '⋅s X ⋅ cos α 37


Eltolás figyelembevétele

Y = TY + Y ' ⋅ s Y ⋅ cos(α + ϕ) - X '⋅s X ⋅ sinα

X = TX + Y '⋅ s Y ⋅ sin(α + ϕ) + X '⋅s X ⋅ cos α

38


Szakirodalomban található jelölések

Y = TY + a ⋅ Y '+b ⋅ X ' X = TX + c ⋅ Y '+d ⋅ X ' Ahol:

a = s Y ⋅ cos(α + ϕ) b = −s X ⋅ sinα

c = s Y ⋅ sin(α + ϕ) d = s X ⋅ cos α

Ha a paraméterek adottak

⎛ b⎞ α = arctan⎜ − ⎟ ⎝ d⎠ c ϕ = arctan − α a sY = a2 + c 2 s X = b 2 + d2 39

Térbeli transzformációk -térbeli hasonlósági transzformáció• Eltolás (X,Y,Z) • Forgatás(X,Y,Z) • Méretarány

Z1

Z2

7 paraméter

Y1

Y2 TZ TY TX

X1 X2

40

Forgatás X körül Zα

Z1

Zβ

+α

k

Forgatás Y körül

−β

P Y1

kα r j O X1

jα

Zα

+α

Yβ

Yα

Xα −β

Xβ

O Yα

Yγ

Yβ

+γ Forgatás Z körül

Xβ +γ O Zβ Z γ

Xγ

41

Forgatás X körül

Zα

Z1 +α

k

P kα r j

O X1

Y1 +α

Yα

jα

0 0 ⎤ ⎡ X1⎤ ⎡ X α ⎤ ⎡1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ X α = ⎢ Yα ⎥ = ⎢0 cos α − sin α ⎥ ⎢ Y1⎥ = R α X α1 ⎢⎣ Z α ⎥⎦ ⎢⎣0 sin α cos α ⎥⎦ ⎢⎣ Z1⎥⎦

42

Forgatás Y körül

Zβ

Zα

−β Xα

Xβ

−β O Yα

Yβ

⎡ Xβ ⎤ ⎡cos(− β ) 0 − sin(− β )⎤ ⎡ X α ⎤ ⎡ cos β 0 sin β ⎤ ⎡ X α ⎤ ⎢ ⎥ ⎥⎢ Y ⎥ = ⎢ 0 ⎥⎢ Y ⎥ = R X X β = ⎢ Yβ ⎥ = ⎢⎢ 0 1 0 1 0 β α ⎥⎢ α ⎥ ⎢ ⎥⎢ α ⎥ ⎢ Zβ ⎥ ⎢⎣ sin(− β) 0 cos(− β) ⎥⎦ ⎢⎣ Z α ⎥⎦ ⎢⎣− sin β 0 cos β⎥⎦ ⎢⎣ Z α ⎥⎦ ⎣ ⎦ 43

Forgatás Z körül

Yβ

Yγ

+γ Xβ +γ

Xγ

O Zβ Z γ ⎡ X γ ⎤ ⎡cos γ − sin γ 0⎤ ⎡ X β ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ X γ = ⎢ Yγ ⎥ = ⎢ sin γ cos γ 0⎥ ⎢ Yβ ⎥ = R γ X β ⎢Z γ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎦ ⎢ Z β ⎥ 0 1 ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

44

Eredő forgatás X γ = X 2 = R γ ⋅ X β = R γ ⋅ R β ⋅ X α = R γ ⋅ R β ⋅ R α ⋅ X1 = R ⋅ X 1 ahol ⎡cosγ ⋅ cosβ cos γ ⋅ sin β ⋅ sin α − sin γ ⋅ cos α cos γ ⋅ sin β ⋅ cos α + sin γ ⋅ sin α ⎤ ⎡r11 r12 ⎢ ⎥ ⎢ R = ⎢ sinγ ⋅ cosβ sin γ ⋅ sin β ⋅ sin α + cos γ ⋅ cos α sin γ ⋅ sin β ⋅ cos α − cos γ ⋅ sin α ⎥ = ⎢r21 r22 ⎢⎣ − sin β ⎥⎦ ⎢⎣r31 r32 cos β ⋅ sin α cos β ⋅ cos α

Kifejtve:

X 2 = r11 ⋅ X1 + r12 ⋅ Y1 + r13 ⋅ Z1 Y2 = r21 ⋅ X1 + r22 ⋅ Y1 + r23 ⋅ Z1 Z 2 = r31 ⋅ X1 + r32 ⋅ Y1 + r33 ⋅ Z1 45

r13 ⎤ ⎥ r23 ⎥ r33 ⎥⎦

Méretaránytényező figyelembevétele X 2 = s ⋅ R ⋅ X1 Kifejtve:

X 2 = s ⋅ (r11 ⋅ X1 + r12 ⋅ Y1 + r13 ⋅ Z 1 )

Y2 = s ⋅ (r21 ⋅ X1 + r22 ⋅ Y1 + r23 ⋅ Z 1 )

Z 2 = s ⋅ (r31 ⋅ X1 + r32 ⋅ Y1 + r33 ⋅ Z 1 )

46

Eltolás figyelembevétele X 2 = T + s ⋅ R ⋅ X1 Kifejtve:

X 2 = TX + s ⋅ (r11 ⋅ X1 + r12 ⋅ Y1 + r13 ⋅ Z 1 )

Y2 = TY + s ⋅ (r21 ⋅ X1 + r22 ⋅ Y1 + r23 ⋅ Z1 )

Z 2 = TZ + s ⋅ (r31 ⋅ X1 + r32 ⋅ Y1 + r33 ⋅ Z1 )

Térbeli hasonlósági transzformáció transzformációs egyenletei

47

Geodézia I.

Geodéziai számítások Pontkapcsolások Gyenes Róbert

1

Pontkapcsolások • Általános fogalom (1D, 2D, 3D, 1+2D) – Egy vagy több ismeretlen pont helymeghatározó adatainak a meghatározása az ismert pontok helymeghatározó adatai, valamint az ismert és a meghatározandó pontokon vagy pontokra végzett mérési eredmények felhasználásával

• Kétdimenziós helymeghatározásban – Egy vagy több ismeretlen pont koordinátáinak a meghatározása az ismert pontok koordinátái, valamint az ismert és a meghatározandó pontokon végzett irány- és távolságmérések felhasználásával

• Fölös mérések kérdése 2

Pontkapcsolások osztályozása kétdimenziós helymeghatározás során • Meghatározandó pontok száma szerint – Egyetlen pont koordinátáinak a számítása – Két pont koordinátáinak együttes (hierarchia nélküli) számítása (páros pontkapcsolás⇒ma már nem alkalmazzuk. Irodalom: ld. Pl. Hansen-féle páros pontkapcsolás, Marek-féle feladat)

– Több pont koordinátáinak együttes számítása – Több pont koordinátáinak a számítása hierarchia alapján 3

Egyetlen pont koordinátáinak a számítása

Előmetszés

Új pont koordinátáinak a számítása két ismert koordinátájú pont, valamint az ismert pontokról az új pontra menő irányok tájékozott irányértékeinek a felhasználásával

Ívmetszés

Új pont koordinátáinak a számítása két ismert koordinátájú pont, valamint az ismert pontok és az új pont közötti 4 vízszintes/vetületi távolság felhasználásával

Egyetlen pont koordinátáinak a számítása Ív-oldalmetszés vagy külpont számítása

Ld. Geodézia II.

5

Egyetlen pont koordinátáinak a számítása Hátrametszés

Ld. Geodézia II.

6

Pontkapcsolások osztályozása kétdimenziós helymeghatározás során Két pont koordinátáinak a számítása – páros pontkapcsolás Hansen-féle feladat

Ld. Szakirodalom

7

Több pont koordinátáinak együttes számítása - sokszögelés

Ld. Geodézia II. 8

Pontkapcsolások osztályozása kétdimenziós helymeghatározás során • Felhasznált mérések típusa szerint – Csak iránymérésen alapuló helymeghatározás (előmetszés, hátrametszés, Hansen-féle feladat) – Csak távmérésen alapuló helymeghatározás (ívmetszés) – Irány- és távmérésen alapuló helymeghatározás (poláris pontszámítás, ívoldalmetszés, sokszögelés) 9

Előmetszés Adott: A, B Számítás menete

Mért/számított: δ’AP, δ’BP

1.

Számítandó: P (yP, xp)

(t AP ) = t AB

( (

' sin δ BP − δ BA ' sin δ 'AP − δ BP

2. y P = y A + (t AP ) ⋅ sin δ 'AP

x P = x A + (t AP ) ⋅ cos δ

δ’AP

A

δAB

(tAP)

δAB-δ’AP

tAB

P δ’AP-δ’BP

B

(tBP)

(1)

(2)

Számítás B pontból

(t BP ) = t AB

δ’BP-δBA

δ’BP

δ’AP-δ’BP

' AP

) )

( (

sin δ AB − δ 'AP ' sin δ 'AP − δ BP

) )

' y P = y B + (t BP ) ⋅ sin δ BP

' x P = x B + (t BP ) ⋅ cos δ BP

δBA 10

Előmetszés De (1) ⇒

(

)

' ' ' sin δ BP − δ BA = sin δ BP ⋅ cos δ BA − cos δ BP ⋅ sin δ BA

(3)

és sin δ BA =

y A − yB t AB

cos δ BA =

(4)

x A − xB t AB

(5)

Behelyettesítve (3)-at, (4)-et és (5)-öt (1)-be

(t AP ) = t AB

' sin δ BP ⋅

t AB ⋅

( (

) )

' ' ' sin δ BP sin δ BP − δ BA ⋅ cos δ BA − cos δ BP ⋅ sin δ BA t = ⋅ = AB ' ' ' ' sin δ AP − δ BP sin δ AP − δ BP

(

)

x A − xB y − yB ' − cos δ BP ⋅ A t AB t AB = ' ' sin δ AP − δ BP

(

)

' ' ( x A − x B ) ⋅ sin δ BP − (y A − y B ) ⋅ cos δ BP =

(

' sin δ 'AP − δ BP

)

(6) 11

Előmetszés Végeredményképpen (6)-ot (2)-be helyettesítve: yP = y A

' ' ( x A − x B ) ⋅ sin δ BP − (y A − y B ) ⋅ cos δ BP + ⋅ sin δ '

xP = x A

' ' ( x A − x B ) ⋅ sin δ BP − (y A − y B ) ⋅ cos δ BP + ⋅ cos δ '

(

)

(

)



AP

AP

Algoritmus : A és B pontok cseréje az indexekben További algoritmusok, amelyek levezethetők: -„iránytangenses” megoldás két egyenes metszéspontjaként -hátránya: tan(90)=? tan(270)=? -Lehetséges megoldás numerikusan: tan(90+0.00000001), stb. -De hátrány, hogy: tan(90+0.00000001)= - 572957951.308… Következtetés

A geodéziai számításokban lehetőleg ne használjuk a tangens és cotangens szögfüggvényeket: 1. Numerikus problémák miatt 2. Számítási ellenőrzések miatt : -1 ≤ sin(), cos() ≤ +1 3. Hibaterjedés miatt

12

Ívmetszés Adott: A, B Számítás menete

Mért/redukált: tAP, tBP Számítandó: P (yP, xp)

1.

2 t 2AP + t 2AB − t BP α = arccos 2 ⋅ t AP ⋅ t AB

2.

(δ AP ) = δ AB + α

Levezetett irányszög B (δAP) δAB A

α

3.

tAB

y P = y A + t AP ⋅ sin(δ AP )

x P = x A + t AP ⋅ cos(δ AP ) tBP

tAP

Számítás B pontból hasonlóan

13

Az ívmetszés egyértelműsége

+ B A

14

Külpont koordinátáinak a számítása 1. Tájékozás számítása tájékozó irányok központosítása alapján ⇒ zK 2.

δ’KE T1

0

lEK

K

T2

T3

r

0

3. Külpont számítása polárisan a központból

zK

lEK

' δ KE = z K + lEK ± 180°

E

A módszer előnye: 1. Nem szükséges az új pontokra vonatkozó méréseket központosítani 2. A távolság ismerete nem feltétel a

T4

tájékozott irányérték számításához

15

Pontkapcsolások – fölös mérések biztosítása és a legkedvezőbb alakzat kérdése Előmetszés

X

Ívmetszés

!

16

Koordinátageometriai feladatok megoldása pontkapcsolások alkalmazásával Két egyenes metszéspontja – előmetszés alkalmazása Számítás menete

A

B

1. Irányszögek számítása koordinátákból pl. δAC, δBD 2. Előmetszés összefüggéseinek alkalmazása

P D C

17

Koordinátageometriai feladatok megoldása pontkapcsolások alkalmazásával Két kör metszéspontja – ívmetszés alkalmazása (analitikus geometria: másodfokú egyenlet megoldása)

O2 O1

18

Koordinátageometriai feladatok megoldása pontkapcsolások alkalmazásával Ívmetszés alkalmazása – részletmérés: kiegészítő mérések

?

51.48

26.11

19

Kitűzési és számítási vázlatok értelmezése 54-4162

0 16 4 54

1002

54-4164

54 -40 01

54 -41 62

1001

54-4165

Iránymérések száma = 16

A számítás jellemzői

54-4166

-Hierarchikusan történik -1001? 1002? -Fölös mérések figyelembevétele -Először: 1001, majd 1002 -Végleges tájékozás

Távmérések száma =4

További információk: Alappontmeghatározás, Kiegyenlítő számítások III. félév

20

Geodézia I. Gyenes Róbert

Recommend Documents