FYZIKA – 3. ROČNÍK Vlastní kmitání oscilátoru
Kmitavý pohyb Kmitání – periodický děj – zařízení koná opakovaně stejný pohyb a periodicky se vrací do určitého stavu. oscilátor … zařízení, které může volně kmitat (závaží na pružině, kyvadlo) kmit… periodicky se opakující část kmit. pohybu T … perioda (doba kmitu) f … frekvence (počet kmitů za 1s) jednoduchý kmitavý pohyb = harmonický pohyb – jeho časový diagram je sinusoida
Kinematika kmitavého pohybu Na pružinu zavěsíme závaží → pružina se vlivem tíhy závaží protáhne → rovnovážná poloha Fp = − Fg → do těžiště závaží umístíme počátek vztažné soust. → souřadnice x,
(
)
z nulové, souřadnice y = okamžitá výchylka ym … maximální výchylka = amplituda výchylky Závaží na pružině a rovnoměrný pohyb po kružnici … analogie ⇒ najdeme vztah pro okamžitou výchylku kmitavého pohybu jako funkci času. Hmotný bod M se pohybuje po kružnici stálou úhlovou rychlostí ω . Promítneme-li pohyb bodu M do úsečky PQ (tj. promítnutí rotující úsečky 0M do úsečky PQ), je zřejmé, že bod M koná v tomto průmětu kmitavý pohyb. Vidíme tedy, jak rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici souvisí s kmitavým pohybem.
P y ym
ϕ ϕ 0
M r X
Z obrázku dostaneme:
y = sin ϕ r y = ym sin ϕ
Q
ϕ
… tzv. fáze harmonicky proměnné veličiny 2π ϕ =ω⋅t ω= = 2π f … úhlová frekvence kmitavého pohybu T
Vlastní kmitání oscilátoru www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 3. ROČNÍK okamžitá výchylka jednoduchého kmitavého pohybu: y = ym sin ωt Jednoduchý kmitavý pohyb: periodický, přímočarý, nerovnoměrný, okamžitá výchylka se mění s časem podle fce sinus… jde o tzv. harmonické kmitání
Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu Odvodíme z RP po kružnici. v0 …vektor rychlosti RP po kružnici, má směr tečny k trajektorii v0 = ω ⋅ r velikost rychlosti RP po kružnici v … průmět v0 do osy y
v0
ϕ ϕ
v a
Z obrázku plyne: v = cos ϕ v0 v = v0 cos ϕ
a0
ϕ 0
v = ω ⋅ ym cos ωt … rychlost kmit. pohybu max. rychlost … při rovn. poloze (ϕ = 0) min. rychlost … ve výchylkách amplitud
a = sin ϕ a0
a = a0 sin ϕ
⇒
a = −ω 2 ym sin ωt a = −ω y
a0 = ω 2 r
… zrychlení kmit. pohybu
2
Zrychlení kmitavého pohybu je přímo úměrné okamžité výchylce a v každém okamžiku má opačný směr.
Vlastní kmitání oscilátoru www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 3. ROČNÍK Fáze kmitavého pohybu
y
t t0
oscilátor prošel rovnovážnou polohou před počátečním okamžikem (začátkem měření) o dobu t0 dříve
rovnice okamžité výchylky tedy bude:
y = ym sin ω ( t + t0 ) = ym sin (ωt + ωt0 ) ⇒ y = ym sin (ωt + ϕ )
ϕ … počáteční fáze (fázová konstanta), určuje hodnotu veličiny harmon. kmitání v počátečním okamžiku (t = 0 s) fázový rozdíl ∆ ϕ veličin kmitavého pohybu = rozdíl jejich poč. fází, mají-li obě veličiny stejnou frekvenci ∆ϕ ∆
= 2 kπ … veličiny mají stejnou fázi ϕ = (2k + 1)π … veličiny mají opačnou fázi
Fázorový diagram Graficky znázorňuje kmitavý děj … využívá souvislosti kmit. pohybu a pohybu po kružnici Fázory … smyšlené rotující vektory (nepředstavují skutečnou veličinu kmitavého děje,viz úsečka 0M v obrázku v části kinematika kmitavého pohybu – souvislost RP po kružnici a kmitavého pohybu) Fázorový diagram je vhodný k určení fázového rozdílu (pro děje se stejnou úhlovou frekvencí).
Vlastní kmitání oscilátoru www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 3. ROČNÍK Fázorový diagram veličin reprezentovaných fázory Y1 a Y2 , časový diagram a vyjádření jejich fázového rozdílu:
y
ϕ2
Y2 ∆
Y2 Y1
ϕ ϕ1
t
Y1
Složené kmitání Princip superpozice: Koná-li těleso najednou více pohybů, je výsledná poloha tělesa stejná, jako kdyby pohyby konalo za sebou v libovolném pořadí. Složené kmitání: hmotný bod koná více harmonických pohybů téhož směru Nejjednodušší je skládání izochronních kmitání (v přímce a se stejnou úhl. frekvencí). Skládáme v časovém diagramu: sečteme popř. odečteme úsečky odpovídající hodnotám okamžitých výchylek v jednotlivých časových okamžicích s přihlédnutím ke znaménku výchylky Ve fázorovém diagramu: výsledný fázor najdeme vektorovým složením fázorů složek Amplituda max. … ∆ϕ = 2k π ym = ym1 + ym2 Amplituda min.
… ∆ϕ = (2k + 1)π ym = ym1 − ym2
Izochronní kmitání se při stejné počáteční fázi složením zesiluje a při opačné zeslabuje. Výsledné kmitání je opět izochronní. Pro neizochronní kmity nevzniká harmonické kmitání. Pro případ blízkých frekvencí ω1 → ω2 … vznikají rázy
Vlastní kmitání oscilátoru www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 3. ROČNÍK Dynamika kmitavého pohybu
2) Fp = FG k ⋅ ∆ l = mg … rovnovážná poloha závaží l0 + ∆ l
l0+ ∆ l
l0
1) 0 y
3) Fp > FG … vychýlení závaží z rovn. polohy proměnlivá výsledná síla půs. na oscilátor: F = FG - Fp
2) 3)
k … tuhost pružiny celková síla působící na oscilátor při okamžité výchylce: F = mg – k(∆ l + y) = mg – k∆ l – ky F = − ky
⇒
F míří neustále do rovnovážné polohy a její velikost je úměrná okamžité
výchylce ⇒ ma = – ky k a=− y m
ω02 =
k m
a = −ω02 y
ω0 =
k m
… úhlová frekvence vlastního kmitání oscilátoru, závislost jen na parametrech oscilátoru
ω0 = 2π f 0 = T0 =
2π
2π T0
ω0
Vlastní kmitání oscilátoru www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 3. ROČNÍK m k
T0 = 2π f0 =
1 2π
k m
Přeměny energie v mechanickém oscilátoru Při uvádění oscilátoru do kmit. pohybu musíme oscilátor vychýlit z rovnovážné polohy, při tom musíme působit silou, která se postupně zvětšuje F = k ⋅ y (viz obrázek ↓ )
F
y
1 1 Fy = ky 2 2 2 tj. W = Ep … má maximum při amplitudě výchylky
Vykonáme práci: W =
při přechodu oscilátoru do rovnov. polohy klesá Ep a roste Ek (Ek v rovn. pol. = Ep při amplitudě výchylky) Celková mechanická energie oscilátoru je konstantní. V reálu je každé kmitání tlumené a tedy se mechanická energie oscilátoru mění na jiné formy energie.
Elektromagnetický oscilátor LC obvod … přeměna el. energie kondenzátoru v energii mgn. pole cívky a naopak
1 energie el. pole kondenzátoru: Ee = Q ⋅U Q = C ⋅ U 2 energie magnetického pole cívky: Em =
⇒ Ee =
1 Q2 2 C
1 2 LI 2
K nabitému C připojíme L → elmg. kmitání (harmonické změny U, I v obvodu). Vlastní kmitání obvodu pozorujeme osciloskopem
Vlastní kmitání oscilátoru www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 3. ROČNÍK
+ –
Ue
a)
C
připojení osciloskopu
b) i
+ –
L
c) –
u
e)
d) i +
u
–
+
u, i
T 4
T 2
3T 4
T
t
a) kondenzátor nabitý, obvodem proud neprochází. b) Kondenzátor se vybíjí, napětí na něm klesá na nulu, obvodem prochází max. proud, max. hodnota energie mgn. pole cívky. c) Při klesání proudu se indukuje na cívce napětí podle Lenz. pravidla (proud stejného směru) → nabití kondenzátoru. d), e) Stejné děje pouze opačně. - kmitání je vždy tlumené (odpor vodičů, hlavně odpor vinutí cívky) T π - fázový posun mezi u a i je rad 4 2
Vlastní kmitání oscilátoru www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 3. ROČNÍK
Analogie mezi oscilátory 1 1 q2 Ee = uq = 2 2 c 1 Em = Li 2 2
1 1 E p = Fy = ky 2 2 2 1 Ek = mv 2 2
Mechanický oscilátor y v Ep Ek F m F k= y
Elektromagnetický oscilátor q i Ee Em u L 1 u = C q
T0 = 2π
m k
T0 = 2π LC
1 2π
k m
f0 =
f0 =
q = Qm ⋅ cos ω t u = Um ⋅ cos ω t i = Im ⋅ sin ω t
1 2π LC
Qm amplituda náboje Um amplituda napětí Im amplituda proudu
Vlastní kmitání oscilátoru www.e-fyzika.cz
