F Fuzzy Rendszerek R d k 1. előadás
Ballagi Áron egyetemi adjunktus Széchenyi István Egyetem, Automatizálási Tsz.
1
Előadó z
Ballagi Áron – – – –
egyetemi adjunktus
Széchenyi István Egyetem, Automatizálási Tanszék C707-es szoba Tel.: 3255 E-mail:
[email protected]
2
Vi-1.1
1
Irodalom z
Kóczyy T. László,, Tikk Domonkos,, Botzheim János: Intelligens g Rendszerek http://jegyzet.sze.hu
z
Kóczy T. László, Tikk Domonkos: Fuzzy Rendszerek Typotex Kiadó, Budapest, 2000.
z
Stuart J. Russel, Peter Norvig: Mesterséges Intelligencia modern megközelítésben P Panem-Prentice P ti Hall, H ll Budapest, B d t 2000. 2000
z
Lefteri H. Tsoukalas, Robert E. Uhrig: Fuzzy and Neural Approaches in Engineering John Wiley & Sons Inc., New York, 1997. 3
Mesterséges Intelligencia?!
4
Vi-1.1
2
Az intelligencia „egyszerű” definíciója z
Az intelligencia a tapasztalatokból való tanulás, az elvont fogalmakban való gondolkodás és a környezet hatékony kezelésének képessége.
z
Az a tulajdonság, amit egy megfelelően standardizált intelligencia teszt mér.
5
Az intelligencia kulcsfontosságú jellemvonásai z
szándékosság (intentionality)
z
rugalmasság (flexibility)
z
produktív lustaság (productive lazyness)
6
Vi-1.1
3
Az intelligencia kulcsfontosságú jellemvonásai z
Szándékosság – Olyan belső állapotokkal való rendelkezés képessége, melyek időben, vagy térben többé-kevésbé távoli, vagy teljesen elvont objektumokra, vagy szituációkra vonatkoznak, illetve utalnak.
z
A szándékos állapotok magukban foglalják pl.: – az elmélkedést, egyenletek vizsgálatát, tűnődést egy lehetséges tevékenységen, y g , egy gy fogalom g elképzelését p
7
Az intelligencia kulcsfontosságú jellemvonásai z
Rugalmasság uga asság – Kezeli a széles és változatos szándékos agyi tartalmakat, pl. a célok, objektumok, problémák, tervek, környezetek, stb. típusainak választékát, ez foglalkozik az új szituációkkal, felhasználva a régi ismereteket, új módon kombinálva és transzformálva azokat.
z
A rugalmasságból eredő képességek: – Kérdések sokaságának felvetése – Összetett problémák leegyszerűsítése
8
Vi-1.1
4
Az intelligencia kulcsfontosságú jellemvonásai z
Produktív lustaságg – a felesleges munka elkerülését jelenti – Másként számolja ki az emberi agy a 200! - 200! = ? feladatot, mint a számítógép. – Előny: a kombinatorikus robbanás elkerülése – Magába foglalja: • szimmetriák, viszonylatok, egyszerűsítő összefüggések felfedezését • általánosítás képességét
– Igényli a tanulás képességét: azt a képességet, hogy új koncepciókat formáljunk.
9
Az intelligencia mérése z
Teszttípusok p – Teljesítménytesztek: jelenleg mit tudunk teljesíteni – Képességtesztek: gyakorlás után mire leszünk képesek, jóslás ilyen az intelligencia teszt is
z
Érvényesség: azt mérje, amit mérni szeretnénk
z
Megbízhatóság: ismételve közel ugyanolyan eredményt adjon
10
Vi-1.1
5
Az intelligencia teszt Lewis Terman z
A Binet teszt (iskola érettség teszt) átdolgozása amerikai gyerekek értékelésére, 1916.
z
William Stern javaslatára bevezette az IQ hányadost: IQ = MK/ÉK *100 (MK – mentális kor, ÉK – életkor)
z
Átlagos intelligencia érték: 90 - 110, értelmi fogyatékosság: 70 alatt, zsenialitás 140 feletti értéknél.
z
Egyetemi és főiskolai hallgatók : IQ ~ 120.
z
Külön pontozott területek: – – – –
verbális gondolkodás, absztrakt-vizuális gondolkodás, számolás, rövidtávú memória
11
Mesterséges intelligencia z
Az AI (Artificial Intelligence = Mesterséges Intelligencia) elnevezést McCarthy alkalmazta először 1956-ban a dartmouthi találkozón.
z
A kifejezés elterjedése Marvin Minsky 1961-ben megjelent "Steps towards artificial intelligence" című cikkének köszönhető
z
Cél: az intelligens entitások megértése és ilyen entitások építése
12
Vi-1.1
6
Mesterséges intelligencia definíciók Emberi módra gondolkodó rendszerek „Izgalmas Izgalmas újszerű kísérlet, kísérlet hogy a számítógépet gondolkodásra késztessük… tudatos gépek, e fogalom és teljes és szó szerinti értelmében” (Haugeland, 1985) „Az emberi gondolkodással asszociálható olyan aktivitások [automatizálása], mint pl. a döntéshozatal, a problémamegoldás, a tanulás, …” (Belmann, 1978)
Racionálisan gondolkodó rendszerek A mentális képességek tanulmányozása „A számítási modellek segítségével” (Charniak és McDermott, 1985) „Az észlelést, a következtetést és a cselekvést biztosító számítási mechanizmusok tanulmányozása” (Winston, 1992)
„Az olyan funkciókat teljesítő gépi rendszerek létrehozásának a művészete művészete, amikhez az intelligencia szükséges, ha azt emberek teszik” (Kurzweil, 1990)
„Egy olyan kutatási terület, amely a számítási folyamatok segítségével megkísérli megmagyarázni és emulálni az intelligens viselkedést” (Schalkoff, 1990)
„Annak tanulmányozása, hogy hogyan lehet a számítógéppel olyan dolgokat művelni, amiben pillanatnyilag az emberek jobbak” (Rich és Knight, 1991)
„A számítógépes tudományok egy ága, amely az intelligens viselkedés automatizálásával foglalkozik” (Luger és Stubblefield, 1993)
Emberi módra cselekvő rendszerek
Racionálisan cselekvő rendszerek
13
Turing mesterséges intelligencia definíciója Alan Turing: az intelligens viselkedés az emberi teljesítmény olyan szintű elérésének képessége bármilyen kognitív feladatban, hogy egy külső kérdezőt be lehessen csapni Mi kell hozzá? z
természetes nyelvfeldolgozás a sikeres emberi nyelvű párbeszédhez
z
tudásreprezentáció a megszerzett információ tárolására
z
automatizált következtetés következtetés, tárolt információt a válaszok formálására és az új következtetések levonására használjuk
z
gépi tanulás az új körülményekhez való adaptálódáshoz, a mintázatok detektálására és általánosítására
14
Vi-1.1
7
Turing teszt (1950) z
A tesztet Alan Turing fogalmazta meg a(z igazi) mesterséges intelligencia minősítésére. minősítésére
z
Turing a COMPUTING MACHINERY AND INTELLIGENCE c. cikkében tette fel a kérdést: "Can machines think?" , azaz "Tudnak a gépek gondolkodni?"
z
A gondolkodó gép címre pályázó számítógép megítélésére alkotta meg tesztjét.
z
A tesztet általánosították az emberhez hasonlóan gondolkodó gépből kiindulva az emberhez hasonlóan cselekvő gép irányába (gépi látás + robotika) b ik )
15
Fuzzy rendszerek
16
Vi-1.1
8
Arisztotelészi logika
17
Taichi Yin Yin--Yang logika
18
Vi-1.1
9
Hagyományos és Fuzzy halmaz
Egy hagyományos halmaz
Egy fuzzy halmaz 19
Hagyományos és Fuzzy halmaz
20
Vi-1.1
10
A hagyom hagyományos ányos halmazok z
A={a {a1, a2, a3, …, an}
z
Egy elem halmazba tartozása egyértelműen megállapítható.
z
Ha beletartozik, úgy ezt egy logikai igaz, ha nem azt egy logikai hamis értékkel jellemezzük.
z
Az, hogy egy elem beletartozik-e A-ba 0 vagy 1 értékkel jelemezhető.
21
A hagyom hagyományos ányos halmazok - pl Magas emberek halmaza: A = { x ∈ X | x ≥ 180 } karakterisztikus függvény : χA(x) =
{
1 ha x ≥ 180 0 ha x < 180
χA(x)
1
180
x [cm] 22
Vi-1.1
11
A határozatlanság formái z
Sztochasztikus: kocka dobás, ...
z
Lingvisztikus: magas ár, alacsony kor, ...
z
Információs: őszinteség, hitelesség,... Hagyományos halmazok segítségével nem vagy csak nagyon nehezen reprezentálhatók.
23
Fuzzy Logika z
A fuzzy logika alkalmazása lehetővé teszi a mindennapi életben megszokott, korábban igen nehezen kezelhető nyelvi fogalmak (pl. magas, alacsony, öreg, fiatal) matematikai kezelését. A fuzzy logika a többértékű logikák sorába tartozik, tehát ellentétben a kétértékű logikával, ahol az érték vagy „igaz” vagy „hamis” köztes állapot p nincsen, itt az igaz g és hamis közti értékeket is meg tudunk különböztetni (pl. talán igaz).
z
A fuzzy logika műveletei fuzzy halmazokra épülnek
24
Vi-1.1
12
Történeti áttekintés z
1965 L.A Zadeh: a fuzzy halmazok első leírása (a fuzzy időszámítás kezdete)
z
1973 L.A. Zadeh: az első fuzzy következtető rendszer – fuzzy algoritmusok
z
1974 E.H. Mamdani: az első működő fuzzy vezérlés (gőzgép (g g p vezérlése))
z
1985 Megjelenik a fuzzy chip (Bell Labs)
z
1988 Az Omron elkezdi árulni fuzzy szabályozó rendszerét 25
Fuzzy halmazok Két értékű 1
0 Magasság [cm]
180
170 cm
190 cm
Fuzzy 1 "elég magas ember" (μ = 0.8 )
"nem túl magas ember" μ ( = 0.3 ) 0 180
Vi-1.1
Magasság [cm]
26
13
Fuzzy halmazok z
Minden A halmazbeli ak elemhez hozzárendelünk egy számot, általában 0 és 1 között, ami jellemzi az elem halmazba tartozásának mértékét.
z
A fuzzy tagsági érték megmutatja, hogy egy adott ak elem mennyire tartozik bele a halmazba: – nagyon, kissé, kevésbé, vagy egyáltalán nem.
27
Fuzzy halmazok z
Az X univerzumon értelmezett A fuzzy halmaz az x elemek és az ezekhez tartozó tagsági értékek által alkotott rendezet számpárok halmaza,
A = {( x, μ A ( x)) x ∈ X } z
A hozzárendelést tagsági függvénynek nevezzük, nevezzük mely egy A fuzzy halmaz esetén:
μ A : X → [0,1] 28
Vi-1.1
14
Fuzzy halmazok z
diszkrét elemű halmaz esetén: n
A = μ ( x1 ) / x1 + μ ( x2 ) / x2 + μ ( x3 ) / x3 + … μ ( xn ) / xn = ∑ μ ( xi ) / xi i =1
Pl.: Magas emberek halmaza:
Magas = 0 /165 + 0.1/170 + 0.5 /175 + 0.6 /180 + 0.8 /185 + 1/190 + 1/195
z
folytonos elemű halmaz esetén:
A = ∫ μ ( x) x u
29
Fuzzy halmazok – pl. z
Testmagasság univerzum:
X : 0 ≤ x ≤ 270
z
Magas emberek halmaza:
μ magas : X → [0,1]
μx
„magas”
1
μ180 = 0.6
170
180
190
210
testmagasság (cm)
30
Vi-1.1
15
Tagsági függvény típusok z
Háromszög μx
b
1
170 a
190
⎛
210 c
x
⎛ x−a c−x⎞ ⎞ , ⎟,0⎟ ⎝ b−a c −b ⎠ ⎠
μ ( x; a, b, c) = max ⎜ min ⎜ ⎝
31
Tagsági függvény típusok z
Trapéz μx
b
1
170 a
c
190
⎛
210 d
x
⎛ x−a d −x⎞ ⎞ ,1, ⎟,0⎟ ⎝ b−a d −c ⎠ ⎠
μ ( x; a, b, c, d ) = max ⎜ min ⎜ ⎝
32
Vi-1.1
16
Tagsági függvény típusok z
Gauss μx 1
170
190
μ ( x; σ , m) = e
210
−
x
( x − m )2 2σ 2
33
Tagsági függvény típusok z
Általánósított haranggörbe μx 1
170
190
210
x
1
μ ( x; a, b, c) = 1+
x−b a
2c
34
Vi-1.1
17
Tagsági függvény típusok z
Szigmoid μx 1
170
190
μ ( x; a, b) =
x
210
1 1 + e a ( x −b ) 35
Tagsági függvény típusok z
Szakaszonként lineáris μx 1
c b
170 a
d
190
210 e
x
36
Vi-1.1
18
Tagsági függvény típusok z
Singleton μx
c
1
b a 170
190
210
x
μ (a ) = 0.1 μ (b) = 0.8 μ (c ) = 1 37
Fuzzy halmazok jellemzői Nyelvi változó Nyelvi értékek
Testmagasság
μx 1
alacsony
középtermetű
magas Tagsági függvények gg y
160
170
X univerzum
Vi-1.1
180
x
ha x ≤ 160 ⎧1 ⎪⎪165 − x Aa = ⎨ ha 160 < x < 165 ⎪ 5 ha x ≥ 165 ⎩⎪0 ha x ≤ 160 vagy x ≥ 180 ⎧0 ⎪ x − 160 ⎪ ha 160 < x < 165 ⎪ 5 Ak = ⎨ ha 165 ≤ x ≤ 175 ⎪1 ⎪180 − x ha 175 < x < 180 ⎪ ⎩ 5 ha x ≤ 175 ⎧0 ⎪⎪ x − 175 ha 175 < x < 180 Am = ⎨ ⎪ 5 ha x ≥ 180 ⎪⎩1 38
19
Fuzzy halmazok: az α - vágat z
Valamely adott A fuzzy halmazhoz az Aα α – vágat minden α ∈ [0,1] értékre az
Aα = { x A( x) ≥ α } μx 1
A0.5 = [175, 205] 170
190 α = 0.5
210
39
Fuzzy halmazok: az α - vágat z
Az α – vágatok fontos tulajdonsága, hogy megfordítják az eredetí α ∈ [0,1] értékek rendezettségét, azaz minden α1, α2 ∈ [0,1] , α1 < α2 esetén
Aα1 ⊃ Aα 2
μx 1
Aα1 ∩ Aα 2 = Aα 2
α2 = 0.8 08 170
190 α1 = 0.5
210
Aα1 ∪ Aα 2 = Aα1
Az α – vágatok egymásba ágyazott halmazcsaládot alkotnak 40
Vi-1.1
20
Fuzzy halmazok: szigorú α - vágat z
Valamely adott A fuzzy halmazhoz az Aα+ szigorú α – vágat minden α ∈ [0,1] értékre az
Aα + = { x A( x) > α } μx 1
A0.5 = (175, 205 ) 170
190 α = 0.5
210
41
Fuzzy halmazok: a szinthalmaz z
μx
Az A fuzzy halmaz összes egymástól különböző α – vágatát tartalmazó halmazt A szinthalmazának nevezzük.
Λ ( A) = {α A( x) = α valamilyen x ∈ X -re} Λ f ( A) = [ 0,1]
1
170
190
210
x
Λ d ( A) = {0, 0.1, 0.4, 0.6, 0.8,1}
42
Vi-1.1
21
Fuzzy halmazok: lényeges α - vágatok z
Szakaszonként lineáris fuzzy halmazok esetén (pl.: háromszög, trapéz, stb.) azon α ∈ [0,1] értékeket, melyeknél a tagsági függvénynek töréspontja van, lényeges α – vágatoknak nevezzük.
μx 1
Λ* ( A) = {0,1 0 1} 170
190
210
x
43
Fuzzy halmazok: a hordozó z
Az X univerzumon értelmezett A fuzzyy halmaz hordozója j (support) S(A) halmaz, mely tartalmazza az X univerzum összes olyan elemét amelynek tagsági értéke nem nulla:
S ( A) = { x ∈ X μ A ( x) > 0} μx 1
S ( A) = (170, 210 ) 170
190 supp
210
44
Vi-1.1
22
Fuzzy halmazok: a mag z
Az X univerzumon értelmezett A fuzzyy halmaz magja gj (core) ( ) az a C(A) halmaz, mely tartalmazza A minden olyan elemét, melynek tagsági értéke egy:
C ( A) = { x ∈ X μ A ( x) = 1} μx 1
C ( A) = [185, 200] 170
190 core
210
45
Fuzzy halmazok: a magasság z
A fuzzy halmaz magassága (height) hgt(A) a halmazban levő legnagyobb tagsági függvényérték:
hgt ( A) = max x ( μ A ( x))
μx 1
170
190 height
210
Normalizált a fuzzy halmaz, ha a magassága egységnyi: hgt ( A) = 1 46
Vi-1.1
23
Fuzzy halmazok: konvexitás z
Konvex valamely X univerzumon értelmezett A fuzzy halmaz, ha valamennyi α – vágata konvex halmaz
μ A ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ≥ min [ μ A ( x1 ), μ A ( x2 )] ∀x1 , x2 ∈ , λ ∈ [ 0,1] μx 1 α 170
190
210 47
Fuzzy halmazműveletek z
Komplemens definiálható bármely olyan c függvény segítségével, amely megfelel a következő axiomának:
c : [ 0,1] → [ 0,1]
μ¬A ( x) = c( μ A ( x)) ∀x ∈ X 1: c(0)=1 ( ) és c(1)=0 ( ) 2: ∀a, b ∈ [ 0,1] , ha a
Vi-1.1
24
Zadeh--féle standard komplemens Zadeh c( μ A ( x)) = μ¬A ( x) = 1 − μ A ( x) μx
∀x ∈ X
μ ¬A ( x )
1
170
190
210
x
49
Sugeno komplemensek osztálya cλ ( μ A ( x)) =
1 − μ A ( x) 1 + λμ A ( x)
μx
∀x ∈ X λ > −1
cλ =1 ( μ A ( x ))
1
cλ =50 ( μ A ( x))
170
190
210
x 50
Vi-1.1
25
Yager féle komplemensek cω ( μ A ( x)) = ω 1 − ( μ A ( x))ω
μx
∀x ∈ X ω >0
cω =3 ( μ A ( x ))
1
cω =1 ( μ A ( x))
170
190
210
x 51
Fuzzy halmazműveletek z
Metszet: Fuzzy tt-norma norma (metszet) definiálható bármely olyan t függvény segítségével, amely megfelel a következő axiómáknak: t : [ 0,1] × [ 0,1] → [ 0,1]
μ A∩ B ( x) = t [ μ A ( x), μ B ( x) ] ∀x ∈ X
Vi-1.1
1: t(1,1)=1 t(0,1)=t(1,0)=t(0,0)=0
(határfeltétel)
2: t(a,b)=t(b,a)
(kommutatív)
3: ha a ≤ a ′ és b ≤ b′ akkor t (a, b) ≤ t (a′, b′)
(monoton)
4: t(t(a,b),c) = t(a,t(b,c))
(asszociatív)
52
26
Zadeh féle metszet t ( μ A ( x ), μ B ( x )) = μ A∩ B ( x ) = min [ μ A ( x ), μ B ( x ) ] μx 1
μA
∀x ∈ X
μB
170
190 μ A∩ B ( x )
x
210
53
Schweitzer - Sklar féle metszet
(
)
t S ( μ A ( x ), μ B ( x )) = μ S A∩ B ( x ) = p max 0, ( μ A ( x ) ) + ( μ B ( x ) ) − 1 p
p
∀x ∈ X μx 1
μA
μB
170 S
190
μ
A∩ B
( x)
p≠0
210
x
p = −0.5 54
Vi-1.1
27
Hamacher féle metszet t H ( μ A ( x ), ) μ B ( x )) = μ H A∩ B ( x ) =
μ A ( x) μ B ( x) r + (1 − r ) ( μ A ( x ) + μ B ( x ) − μ A ( x ) μ B ( x ) ) ∀x ∈ X
μx 1
μA
μB
170 S
190
μ
A∩ B
( x)
r >0
210
x
r =5 55
Yager féle metszet
(
tY ( μ A ( x ), μ B ( x )) = μ Y A∩ B ( x ) = 1 − min 1, w (1 − μ A ( x ) ) + (1 − μ B ( x ) ) w
w
)
∀x ∈ X μx 1
μA
μB
170 Y
190
μ
A∩ B
( x)
w>0
210
x
w = 1500 56
Vi-1.1
28
Fuzzy halmazműveletek z
Fuzzy ss-norma norma (t (t-conorma, conorma, unió) definiálható bármely olyan s függvény segítségével, amely megfelel a következő axiómáknak: s : [ 0,1] × [ 0,1] → [ 0,1]
μ A∪ B ( x) = s [ μ A ( x), μ B ( x) ] ∀x ∈ X
1: s(0,0)=0 s(0,1)=s(1,0)=s(1,1)=1 (0 1) (1 0) (1 1) 1
(h tá f ltét l) (határfeltétel)
2: s(a,b)=s(b,a)
(kommutatív)
3: ha a ≤ a ′ és b ≤ b′ akkor s(a, b) ≤ s(a′, b′)
(monoton)
4: s(s(a,b),c) = s(a,s(b,c))
(asszociatív)
57
Zadeh féle unió s ( μ A ( x ), μ B ( x ) ) = μ A∪ B ( x ) = max ( μ A ( x ), μ B ( x ) ) μx 1
∀x ∈ X μA
170
μB
190 μ A∪ B ( x )
210
x
58
Vi-1.1
29
Algebrai unió sa lg ( μ A ( x ) μ B ( x ) ) = μ a lg A∪ B ( x ) = μ A ( x ) + μ B ( x ) − μ A ( x ) μ B ( x ) μx 1
∀x ∈ X μA
170
μ
μB
a lg
190
A∪ B
( x)
210
x
59
Korlátos unió skorl ( μ A ( x ) μ B ( x ) ) = μ korl A∪ B ( x ) = min (1, μ A ( x ) + μ B ( x ) ) μx 1
∀x ∈ X μA
170
μ
μB
korl
190
A∪ B
( x)
210
x
60
Vi-1.1
30
Fuzzy halmazok tulajdonságai z
A,B és C legyenek az X univerzumon értelmezett fuzzy halmazok. 1. kommutatív
A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A
2. asszociatív
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C
3. disztributív
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
4. idempotenciális A ∪ A = A és
A∩ A = A
61
Fuzzy halmazok tulajdonságai z
A,B és C legyenek az X univerzumon értelmezett fuzzy halmazok. A ∪ 0 = A és A ∩ X = A 5. identitás A ∩ 0 = 0 és A ∪ X = X 6. tranzitív ha A ⊆ B ⊆ C akkor A ⊆ C 7. involució
z
A= A
Fuzzy halmazok esetén is alkalmazhatók a DeMorgan szabályok: A∩ B = A∪ B A∪ B = A∩ B
62
Vi-1.1
31
Fuzzy halmazok tulajdonságai Figyelem! A∪ A ≠ X
A∩ A ≠ 0
μx 1
170
190
210
170
190
210
μx 1
63
Fuzzy reláció z
Az n da darab ab A1, A2, …, …,An halmaz a a fuzzy u y relációja e ác ója aaz X1 × X2 × … × Xn univerzumon értelmezett fuzzy halmaz, ahol Ai az Xi univerzumon értelmezett halmaz és az „×” a direkt (Descartes) szorzat jele:
⎧⎪( (a1 , a2 ,..., an ), μ R (a1 , a2 ,..., an ) ) ⎫⎪ RA1 ×…× An = ⎨ ⎬ ⎪⎩(a1 , a2 ,..., an ) ∈ A1 × A2 × ... × An ⎪⎭
64
Vi-1.1
32
Fuzzy reláció z
Az n d darab b A1, A2, …, …,An fuzzy u y halmaz di direkt e t szorzata szo zata az X1 × X2 × … × Xn univerzumon értelmezett fuzzy halmaz:
⎧⎪( (a1 , a2 ,..., an ), μ R (a1 , a2 ,..., an ) ) (a1 , a2 ,..., an ) ∈ A1 × A2 × ... × An , ⎫⎪ RA1×…× An = ⎨ ⎬ ⎪⎩ μ R (a1 , a2 ,..., an ) = min i ( μ (ai )) ⎭⎪ z
Két tetszőleges halmaz relációját bináris relációnak nevezzük. 65
Fuzzy reláció z
Diszkrét, s é , véges elemszámú ee s ú fuzzy u y halmazok o esetén ese é a relációt legeggyszerübben tagsági függvény mátrixszal adhatjuk meg. R(X,Y)
y1
y2
y3
x1
0.8
0
0
x2
0.2
0
0.5
x3
0
1
0.5
66
Vi-1.1
33
Fuzzy reláció z
Egy R(X,Y) fuzzy reláció értelmezési tartományának (domain, domR(X,Y)) nevezzük azt az X-en értelmezett fuzzy halmazt, melynek tagsági függvényértékei:
μdomR ( x) = max μ R ( x, y ), y∈Y
z
∀x ∈ X
Egy R(X,Y) fuzzy reláció értékkészletének (range, ranR(X,Y)) nevezzük azt az Y-on értelmezett fuzzy halmazt, melynek tagsági függvényértékei:
μranR ( y ) = max μ R ( x, y ), x∈X
∀y ∈ Y 67
Fuzzy reláció z
Egy R(X,Y) fuzzy reláció magasságának (h(R)) nevezzük azt a valós számot, amely a reláció legmagasabb tagsági foka: h( R ) = max max μ R ( x, y ), y∈Y
x∈ X
h( R ) = h(domR) = h(ranR) z
Ha h(R)=1, akkor az R normális fuzzy reláció, egyébként szubnormális. 68
Vi-1.1
34
Fuzzy reláció z
Függvénynek nevezzük az X és Y fuzzy halmazokon értelmezett R(X,Y) bináris relációt, ha nem létezik olyan értelmezési tartománybeli eleme, amelyhez a reláció két értékkészletbeli elemet rendelne:
∀x ∈ X -hez nem létezik y1 , y2 ∈ Y , hogy R( x, y1 ) > 0 és R ( x, y2 ) > 0, ahol y1 ≠ y2
69
Fuzzy reláció z
Egy R(X,Y) bináris fuzzy reláció inverzének nevezzük azt az R-1(X,Y) relációt, ahol:
μ R ( y, x) = μ R ( y, x) −1
∀( x, y ) ∈ X × Y
domR ( X , Y ) = ranR −1 ( X , Y ) domR d R −1 ( X , Y ) = ranR R( X , Y )
(R )
−1 −1
=R
70
Vi-1.1
35
Fuzzy reláció z
(
×i∈ n X i =
z
)
X1 × X2 × … × Xn ×i∈ n X i u univerzum ve u eelemeit e e t az a x sorozattal (vektor) jelölhetjük: x = ( x1 , x2 ,..., xn )
{( x , x ,..., x ) x ∈ X , ∀i ∈ } 1
2
n
i
i
n
Az y sorozat az x sorozat részsorozata ( y ≺ x ) , ha az x sorozat tagjainak gj csak egy gy részét tartalmazza:
x = ( xi i ∈
n
) ∈×
i∈
n
(
)
X i , y = y j j ∈ J ∈× j∈J X j , J ⊂
n
yi = x j , ∀j ∈ J 71
Projekció z
Legyen egye R(X ( 1 × X2 × … × Xn) egy fuzzy u y reláció, e ác ó, ekkor e o ⎣⎡ R ↓ Y ⎦⎤ jelöli R-nek az Y halmazra vetített projekcióját, melynek tagsági függvénye:
μ ⎡ R↓Y ⎤ ( y ) = max μ R ( x) ⎣
ahol Y = { X j j ∈ J ⊂ z
⎦
y≺ x
n
} , y az x sorozat részsorozata
Kisebb dimenziószámra vetíti a relációt
72
Vi-1.1
36
Projekció (R ↓ Y )
Y
μx R
(R ↓ X ) 170
190
210
X
73
Hengeres kiterjesztés z
Legyen egye R(X ( 1 × X2 × … × Xn) egy fuzzy u y reláció, e ác ó, ekkor e o ⎡⎣ R ↑ X − Y ⎤⎦ jelöli R-nek az X-re vett hengeres kiterjesztését, melynek tagsági függvénye:
μ ⎡ R↑ X −Y ⎤ ( x) = μ R ( y ) ⎣
⎦
∀x-re, ahol y az x sorozat részsorozata z
Olyan dimenziókra terjeszti ki a relációt, melyekre az korábban nem volt definiálva (az X-ben megtalálhatóak de az Y-ban nem (X-Y)). 74
Vi-1.1
37
Hengeres kiterjesztés
Y
μx
(R ↑ X −Y ) R
170
190
210
X
75
Hengeres lezárt z
V Valamely e y relációt e c ó közelíthetünk ö e e ü az egyes dimenzióira d e ó vett vetületei hengeres kiterjesztésének metszetével, azok hengeres lezártjával:
μcyl{R } ( x) = min μ i
i∈I
⎡⎣ Ri ↑ X − Yi ⎤⎦
( x)
ahol cyl { Ri } Ri reláció { Ri i ∈ I } vetületeken alapuló hengeres lezártja
76
Vi-1.1
38
Hengeres lezárt
Y
μx (R ↑ Y )∩(R 1
2
↑ X)
R1
170
190
210
X
77
Fuzzy kompozició z
A fuzzy kompozíció általános alakja az ss- és tt-normával normával leírva (s-t kompozíció):
μP s,tQ ( x, z) = s ⎡⎣t ( μ p ( x, y), μq ( y, z)) ⎤⎦ y∈Y z
∀x ∈ X , z ∈ Z
Zadeh-féle max-min kompozíció:
μ P Q ( x, z ) = max min ⎡⎣ μ p ( x, y ), μ q ( y , z ) ⎤⎦ y∈Y
∀x ∈ X , z ∈ Z
78
Vi-1.1
39
Köszönöm a figyelmet! Kérdések?
79
Vi-1.1
40
